Notas de ClaseJJSegura

IEMS - GDF2014

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GOBIERNO DEL DISTRITO FEDERALSECRETARÌA DE EDUCACIÒN

INSTITUTO DE EDUCACION MEDIA SUPERIOR

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La elaboración de estas notas de clase de Ecuaciones de 2° grado surge de la necesidad de apoyar a nuestros estudiantes del Instituto de Educación Media Superior del Gobierno del Distrito Federal (IEMS-GDF), con materiales didácticos accesibles para ellos que les ayuden en el desarrollo de sus competencias matemáticas, de acuerdo con el Plan de Estudios vigente.

Los contenidos que integran estas notas de clase son los temas fundamentales de Ecuaciones de 2° grado que se tratan a nivel de bachillerato. El enfoque que sigo en su desarrollo, es iniciar con situaciones problemáticas que en su solución aparecen modelos matemáticos de ecuaciones de este tipo y que el estudiante intente resolverlas por sí mismo y exponga sus resultados; motivando que surja la necesidad de contar con procedimientos sistematizados que aligeren el trabajo y puedan emplearse en situaciones diversas.

Se incluyen ejercicios y problemas tanto considerados teóricos como de aplicaciones en diferentes campos, tratando que el estudiante capte la belleza de las matemáticas en sí mismas y también las valore como una herramienta imprescindible en el trabajo científico de muchas disciplinas. Estas notas son una aportación para el logro de ese cometido.

J. Javier Segura R.

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JOSÉ JAVIER SEGURA RAMÍREZACTUARIO EGRESADO DE LAFACULTAD DE CIENCIAS, UNAM.DTI ACADEMIA DE MATEMÁTICAS,PLANTEL “FELIPE CARRILLO PUERTO”IZTACALCO, IEMS-GDF.josejavier.segura@iems.edu.mx

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Í N D I C E Pág.

1.1 Introducción. ............................................................................................................... 7

1.2 Situaciones que dan lugar a ecuaciones de segundo grado.......................................... 7

1.3 Análisis de los métodos de solución............................................................................10 Actividad 1...................................................................................................................11 Practica en casa 1. .......................................................................................................11

1.4 Situaciones que dan lugar a ecuaciones de 2° grado completas..................................11 Actividad 2...................................................................................................................14 Practica en casa 2. .......................................................................................................14 Proyecto de investigación. ..........................................................................................15

1.5 Métodos algebraicos de solución de ecuaciones de 2° grado completas. ...................15 Actividad 3...................................................................................................................16 Practica en casa 3. .......................................................................................................16 Actividad 4. .................................................................................................................18 Practica en casa 4. .......................................................................................................18

1.6 Introducción a los números complejos. ......................................................................18 Actividad 5. .................................................................................................................19 Lectura científica. .......................................................................................................19

1.7 Análisis del comportamiento gráfico de una ecuación cuadrática. .............................20 Actividad 6. .................................................................................................................21 Practica en casa 5. .......................................................................................................21

1.8 Reconstrucción de una ecuación cuadrática conociendo las raíces.............................22 Actividad 7. .................................................................................................................22

1.9 Ejercicios y aplicaciones diversas. ..............................................................................23

1.10 Bibliografia.................................................................................................................25

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En este ejemplo, el coeficiente principal es 1, es decir, es el coeficiente del término de 2° grado. Si el coeficiente principal no es 1, debes dividir ambos lados de la ecuación por este coeficiente antes de completar el trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo, si se tuviera la ecuación:

5 x2 – 4x + 8 = 0, primero se divide cada término por el coeficiente principal 5, quedando:

. Luego, se prosigue como en el ejemplo. ¿Puedes terminar los pasos?

¿Puedes describir el método general? Seguramente, tu respuesta será, más o menos: se ordena en forma ordinaria la ecuación; si el coeficiente principal es a = 1, se prosigue, si no, se divide cada término entre a; se dejan del lado izquierdo los dos términos en x, pasando algebraicamente el término independiente al lado derecho; se suma a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente del término de primer

grado, es decir, ; se simplifica y del lado izquierdo queda un trinomio cuadrado perfecto; este

trinomio se sustituye por su factorización de un binomio al cuadrado; se extraen raíces cuadradas a ambos lados, quedando del lado derecho el resultado con el doble signo ; se despeja la variable del lado izquierdo; las dos soluciones se obtienen tomando una operación del lado derecho con el signo positivo y otra con el signo negativo.

ACTIVIDAD 3. Reúnete en equipo para realizar la actividad siguiente. Expongan al grupo los resultados obtenidos.

1. Resuelvan la ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto de los ejercicios impares:

1. x 2 + 3x – 40 = 0 2. x 2 – 2x – 24 = 03. 3 + 2y 2 + 5y = 0 4. 10 z – 5z 2 = 25. m 2 – 5m = 0 6. 6x – 4x 2 = 0

2. Escojan dos ejercicios impares y dibujen las gráficas correspondientes.

PRACTICA EN CASA 3. Resuelve los ejercicios pares de la actividad 3. Elige dos de estos mismos ejercicios y traza sus gráficas. Expón al grupo tus resultados.

MÉTODO DE LA FÓRMULA GENERAL.

Además de los métodos de factorización y completar un trinomio cuadrado, existe otro método para resolver ecuaciones cuadráticas. Como ya te has dado cuenta, a veces no es tan sencillo factorizar o completar un cuadrado perfecto. Entonces, puede utilizarse una fórmula general que se obtiene aplicando la idea de completar cuadrado partiendo de la forma ordinaria de la ecuación de 2° grado. Trabajemos esta idea. ¿Puedes seguir los pasos?

Forma ordinaria de la ecuación: a x2 + bx + c = 0, con a 0

Restar c de ambos lados: a x2 + bx = – c

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EJEMPLO 3. Resolver la ecuación: 5 x2 = 8 x. ¿Puedes seguir los pasos?Identifica los coeficientes: a = 5 ; b = – 8 ; c = 0. Sustituyendo en la fórmula queda:

, así: x1 = y x2 =

Como el radicando es positivo, hay dos soluciones reales diferentes: x1 = 1.6 y x2 = 0.

Nota que el radicando b2 – 4ac es importante para el tipo de soluciones que se pueden obtener. Recibe el nombre de Discriminante. Así, según si el discriminante es positivo, cero o negativo se puede conocer la naturaleza de las raíces o soluciones de la ecuación de 2° grado. ¿Puedes completar la tabla siguiente?

SI ENTONCES LA ECUACIÓN TIENEb2 – 4ac > 0 Dos soluciones reales diferentes.b2 – 4ac = 0 Una sola solución real; llamada repetida o de multiplicidad dos.b2 – 4ac < 0 Solución en los números complejos. No hay solución en los números reales.

ACTIVIDAD 4. Reúnete en equipo para realizar la actividad siguiente. Expongan al grupo los resultados obtenidos. 1. Resuelvan los ejercicios impares.

En las ecuaciones 1 a la 4, usa el discriminante En las ecuaciones 5 a la 8, usa la fórmula generalpara determinar su tipo de soluciones: para resolver la ecuación:1. 5 x2 – 10x + 5 = 0 5. – 3 x2 + 8x + 7 = 02. 3 x2 – 6x + 2 = 0 6. x2 + 4x + 1 = 03. 8 x2 – 7x + 3 = 0 7. 6 x2 + 9x – 4 = 04. x2 + 5x – 1 = 0 8. – 2x2 – 3x – 6 = 0

2. Escojan tres ejercicios impares y dibujen las gráficas correspondientes.

PRACTICA EN CASA 4. Resuelve los ejercicios pares de la actividad 4. Escoge tres de estos mismos ejercicios y traza sus gráficas. Expón al grupo tus resultados.

1.6 Introducción a los números complejos. Al resolver ecuaciones de 2° grado, te has dado cuenta que no hay soluciones reales cuando el discriminante es negativo. Ahí mencionamos que había solución en los números complejos. Tú has trabajado en tu proyecto con dichos números. Vamos a resumir aquí algunos resultados importantes que nos permitan resolver esos casos, aunque, desde luego, los números complejos tienen otras muchas propiedades que tú verás posiblemente en cursos superiores de matemáticas.

Los números complejos se crearon para resolver operaciones que no tenían solución en el conjunto de los números reales. Como, por ejemplo, extraer raíces cuadradas de números negativos. Una forma de representarlos es: a + bi, donde a, b son números reales y el símbolo i se llama Unidad Imaginaria que cumple la condición i = , o bien i 2 = – 1. El término “a” se llama parte real y el término “bi” se llama parte imaginaria, de ahí que también se les conoce como números imaginarios, aunque de imaginarios no tienen nada. Todo número real se puede representar en la forma a + bi, tomando “a” igual al número real y b = 0. Por ejemplo:

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15 = 15 + 0i, – 500 = – 500 + 0i, 0.25 = 0.25 + 0i, , etc. De esta manera, los números reales son un subconjunto de los números complejos y éstos conservan muchas de las propiedades de aquéllos.

Dos números complejos de la forma a + bi y a – bi se llaman números complejos conjugados, uno es el conjugado del otro. Nota que tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria, sólo difieren en el signo. Por ejemplo: 5 + 2i es el conjugado de 5 – 2i. Asimismo, – 4 – 6i es el conjugado de – 4 + 6i .

Seguramente, en tu proyecto analizaste la manera en que se resuelve la raíz cuadrada de un número real negativo. ¿Puedes describir el procedimiento? Debe ser semejante al siguiente:

Se tiene, por ejemplo, . Que factorizando puede escribirse así: . Aplicando la identidad

i 2 = – 1 y sustituyendo: = i ( 20) = 20i. Para comprobar las soluciones, una

positiva y una negativa, las elevamos al cuadrado y el resultado debe ser – 400. Veamos:

(20 i) (20 i) = 400 ( i 2 ) = 400 ( – 1 ) = – 400 .

( – 20 i) ( – 20 i) = 400 ( i 2 ) = 400 ( – 1 ) = – 400 .

ACTIVIDAD 5. Reúnete en equipo para resolver los ejercicios siguientes. Expongan al grupo los resultados obtenidos.

1. En los ejercicios del 1 al 8, escribe el número complejo en su forma estándar:

1. 5 + 2. – 3 + 3. – 1 – 4. 7 – 5. 13 6. 7. – 15 i 2 + 9 i 8. – 2 i + 3 i 2

2. En los ejercicios del 9 al 12, usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación:

9. x2 + 3x + 5 = 0 10. – 5 t2 – 3t – 4.5 = 0

11. x2 – 12. 8 m2 – 6m – 2 = 0

LECTURA CIENTÍFICA.

Investiga datos biográficos de Niels H. Abel, matemático noruego, anotando lo siguiente:- Lugar y año de nacimiento y muerte.- Aportaciones principales por las que es reconocido.- Hechos históricos sobresalientes que ocurrieron en el mundo en esa época.

Entrega un reporte escrito y expón al grupo tus comentarios.

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1.7 Análisis del comportamiento gráfico de una ecuación cuadrática. Veamos más de cerca el comportamiento gráfico de las ecuaciones de 2° grado y su relación con sus expresiones algebraicas. Desarrolla el análisis en tu cuaderno y expón al grupo tus conclusiones.

a) Si el Discriminante es positivo, b2 – 4ac > 0, las dos raíces son números reales y desiguales.

y = x2 + 4x + 3 El Discriminante es: ( 4) 2 – 4 (1) (3) = 4 > 0. Y

x y

-5 8-4 3-3 0-2 -1 -1 0

0 3

1 8

Nota que la parábola corta al eje X en dos puntos distintos: (– 3, 0) y (– 1, 0). Los valores – 3 y – 1 son las raíces de la ecuación x2 + 4x + 3 = 0, siendo números reales distintos. Observa también que el coeficiente de x2 es positivo (+1) y se relaciona con el hecho de que la parábola se abre hacia arriba. Además, al abrirse hacia arriba, tiene un punto que queda más abajo que todos los demás, es el (– 2, –1) y se le llama Mínimo. Como sabes, también es el vértice de la parábola. El valor de x = – 2 es la abscisa

del vértice y se puede obtener con la expresión x = – . Nota que para puntos situados a izquierda y

derecha y a la misma distancia de este valor, el valor de la ordenada “y” es el mismo.

b) Si el Discriminante es cero, b2 – 4ac = 0, las raíces son reales e iguales.

y = – 2x2 + 12x – 18 El Discriminante es: (12)2 – 4 (– 2) (–18) = 0.

x y

0 -18

20

X-3 -2 -1

-1

0 1 2 3 4 5Y

X

Vértice y Mínimo

Vértice y Máximo

1 -8

2 -2

3 0

4 -25 -8

6 -18

La parábola es tangente al eje X en el punto (3, 0). El valor x = 3 es la raíz de la ecuación– 2x2 + 12x – 18 = 0, se le llama repetida o de multiplicidad dos, es decir, las dos raíces son iguales. Nota que ahora el coeficiente de x2 es negativo (– 2) y se relaciona con el hecho de que la parábola se abre hacia abajo. También, al abrirse hacia abajo, tiene un punto que queda más arriba que todos los demás, es el (3, 0) y se le llama Máximo, que corresponde al vértice de la parábola. La abscisa x = 3 se puede obtener con la expresión x = – b / 2a. Similar al caso anterior, para puntos situados a izquierda y derecha y a la misma distancia de este valor, el valor de la ordenada “y” es el mismo. Puede verse como un “eje de simetría” que pasa por el vértice paralelo al eje Y, y los puntos de la parábola situados a izquierda y derecha están a la misma distancia de este eje; es decir, son simétricos.

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-2

Eje de Simetría

Distancias iguales

c) Si el Discriminante es negativo, b2 – 4ac < 0, las dos raíces son números complejos distintos.

y = x2 – 4 x + 5 El Discriminante es: (– 4)2 – 4 (1) (5) = – 4.

x y-1 100 51 22 1

3 24 5

5 10

Observa que la parábola no cruza ni toca al eje X. El coeficiente de x2 es positivo (+1) por lo que la parábola se abre hacia arriba. Al resolver la ecuación x2 – 4x + 5 = 0 , obtenemos lo siguiente:

, tendríamos que calcular la raíz cuadrada de un número

negativo, por lo que no hay solución en los números reales. Como sabes, sí hay solución en los números

complejos: , por lo que las dos raíces serían: x1 = 2 + i y x2 = 2 – i .

La abscisa del vértice se obtiene: x = – b / 2a = – (– 4) / 2 (1) = 2 y la ordenada se obtiene:y = x2 – 4 x + 5 = (2)2 – 4 (2) + 5 = 1. Las coordenadas del vértice son (2, 1), como aparece en la gráfica, y como se abre hacia arriba es un punto mínimo. ¿Puedes dibujar el eje de simetría de la parábola?

Podemos resumir los resultados anteriores en la tabla siguiente:SI: LAS RAÍCES SON: LA GRÁFICA:

b 2 – 4ac > 0 Dos números reales diferentes. Cruza al eje X en dos puntos..b 2 – 4ac = 0 Una sola solución real; llamada repetida o de

multiplicidad dos.Toca al eje X en un solo punto. Es tangente al eje X.

b 2 – 4ac < 0 Dos números complejos conjugados. No cruza ni toca al eje X.a > 0 La gráfica se abre hacia arriba; tiene un Punto Mínimo.a < 0 La gráfica se abre hacia abajo; tiene un Punto Máximo.

ACTIVIDAD 6. Reúnete en equipo para realizar la actividad siguiente y expongan al grupo los resultados obtenidos. Analicen el comportamiento gráfico de las ecuaciones siguientes:1. y = x 2 + 5x – 14 2. y = x 2 – 6x + 92. y = x 2 – 2x + 3 4. y = – 2 x 2 – x + 6

PRACTICA EN CASA 5. Realiza los ejercicios y problemas siguientes. Expón tus resultados al grupo:1. La suma de dos números es 18 y su producto es 80. Halla los dos números.2. La altura de un triángulo es 2 cm menor que su base y el área es igual a 40 cm2. Hallar las medidas de la base y la altura.3. Analiza el comportamiento gráfico de las ecuaciones cuadráticas siguientes:a) y = – x 2 + 2x + 8 b) y = x 2 – 2x + 1

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-1 1 2 3 4 5 6 X

Y5

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Vértice y Mínimo

c) y = x 2 – 2x + 31.8 Reconstrucción de una ecuación cuadrática conociendo las raíces. ¿Es posible encontrar una ecuación cuadrática conociendo sus soluciones? Trabajemos el procedimiento.

1. Halla una ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1 = 2 y x2 = – 3.Pasamos los valores de las raíces al primer miembro: x – 2 = 0 y x + 3 = 0Formamos el producto de dos factores: (x – 2) (x + 3) = 0Hacemos el producto: x 2 + 3x – 2x – 6 = 0Simplificamos y obtenemos la ecuación: x 2 + x – 6 = 0.

Nota que el procedimiento esta basado en el método de factorización para resolver una ecuación de segundo grado; sólo que se procede hacia atrás. Hay muchas ecuaciones. ¿Por qué?

2. Halla una ecuación de 2° grado cuyas raíces son: x1 = y x2 = .

Pasamos los valores de las raíces al primer miembro: x + = 0 y x – = 0

Quitamos denominadores multiplicando por su 20(x + ) = 20(0) 20(x – ) 20(0)

M.C.M. = 20Hacemos los productos: 20x + 8 = 0 y 20x –15 = 0Formamos el producto de dos factores: (20x + 8) (20x – 15) = 0Hacemos el producto: 400x 2 – 300x + 160x – 120 = 0Simplificamos y obtenemos la ecuación: 400x 2 – 140x – 120 = 0.Simplificándola queda: 20x 2 – 7x – 6 = 0.

3. Halla una ecuación cuadrática cuyas raíces son: x1 = 2 + 3i y x2 = 2 – 3iPasamos los valores de las raíces al primer miembro: x – 2 – 3i = 0 y x – 2 + 3i = 0Formamos el producto de dos factores: (x – 2 – 3i) (x – 2 + 3i) = 0Hacemos el producto: x 2 – 2x + 3ix – 2x + 4 – 6i – 3ix + 6i –

9i 2 = 0Simplificamos: x 2 – 4x + 4 – 9 i 2 = 0.Recuerda que i 2 = – 1 y simplificamos: x 2 – 4x + 13 = 0.

ACTIVIDAD 7. Reúnete en equipo para reconstruir una ecuación cuadrática con las raíces que se dan en cada caso. Expongan al grupo los resultados obtenidos.

1. x1 = 4 y x2 = 7 2. x1 = – 5 y x2 = – 3

3. x1 = 6 y x2 = – 2 4. x1 = y x2 =

5. x1 = y x2 = 0.27777 6. x1 = 5 + 2i y x2 = 5 – 2i

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1.9 Ejercicios y aplicaciones diversas. Se presentan a continuación diversos ejercicios y problemas de aplicación en distintos contextos, con el fin de que practiques y compruebes lo que has aprendido. Selecciona los que te parezcan interesantes y expón tus resultados y comentarios al grupo.

A. En los ejercicios siguientes escribe la ecuación cuadrática en forma estándar:1. 4x = 5 – 2x2 2. 4x – 3 (x2 + 6) = – 183. (x – 5) 2 = 9 4. x (x + 4) = x (2x – 6)

B. Utiliza el discriminante para determinar el tipo de soluciones de las ecuaciones siguientes:5. x2 + 6x +5 = 0 6. – 3x2 – 5x + 2 = 07. x2 = 8x – 16 8. 7x = – 3x2 – 6

C. Verifica si los valores de x1 y x2 son raíces de la ecuación dada:9. x1 = 9 y x2 = – 2, para x2 – 7x – 18 = 0. 10. x1 = 9 y x2 = – 8, para x2 + x – 72 = 0

11. x1 = – 1/4 y x2 = 2/3, para 12. x1 = 1.5 y x2 = – 1.5, para x2 – 2.25 = 0

13. x1 = 8 + 5i y x2 = 8 – 5i , para x2 – 16x + 89 = 0

D. Encuentra una ecuación cuadrática para cada pareja de raíces dadas:14. x1 = 14 y x2 = – 14 15. x1 = – 11 y x2 = 016. x1 = 2/5 y x2 = – 3/7 17. x1 = – 6 y x2 = – 618. x1 = 3 + i y x2 = 3 – i

E. Utiliza cualquiera de los métodos que conoces para resolver las ecuaciones siguientes:19. x2 + 2x – 3 = 0 20. 40x2 + 3x = 2821. x2 + 441 = – 42x 22. 5x = x2 + 923. – x2 = 13x 24. x2 – 361 = 0

F. Grafica las ecuaciones siguientes:25. y = x2 – 7x 26. y = – x2 + 28927. y = – x2 + 8x – 18 28. y = x2 + 8x + 16

29. La suma de dos números es 40 y su producto es 351. Halla los dos números.

30. La altura de un anuncio triangular es igual a su base. El área del anuncio tiene 18 m 2. Halla las medidas de la base y la altura del anuncio.

31. El área de un terreno rectangular mide 50 m2. Su largo mide x + 4 m y su ancho mide x – 1 m. Halla las medidas del terreno.

32. En un triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es 14 cm y la hipotenusa mide 10 cm. ¿Cuánto mide cada cateto?

33. En una empresa se ha encontrado que la utilidad U, en pesos, obtenida por vender x piezas de un artículo está dada por la función U(x) = 80x – x 2 . Se desea graficar la función; encontrar para qué cantidad de piezas vendidas la utilidad es cero; y determinar el número de piezas que deben venderse para obtener la utilidad máxima y cuál es ésta.

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34. El gerente de producción de una empresa sabe que el costo C, en pesos, de producir x piezas de cierta

mercancía está dado por la función C(x) = . Se desea graficar la función y saber

cuántas piezas se deben producir para que el costo sea mínimo y cuál es éste.

35. En la superficie terrestre, la posición vertical (y) que ocupa un objeto en caída libre está dada por la expresión física: y = y0 + v0 t + ( ½ ) g t 2 , donde y0 es la altura original (en metros), v0 es la velocidad inicial con la que se lanza el objeto (en metros por segundo), g es la constante de aceleración de la gravedad con g = – 9.8 m / s2 ; t es el tiempo (en segundos). Un persona lanza verticalmente una pelota hacia arriba desde una altura de 1.5 m y con una velocidad de 10 m / s. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima y cuál es ésta. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?

36. Un proyectil es lanzado desde una altura de 3 m, en un ángulo de 30° y con una velocidad inicial de 100 m / s. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil y qué distancia horizontal ha recorrido? Calcula la distancia horizontal recorrida por el proyectil al tocar el suelo.

Considera que en física, cuando se lanza un objeto (proyectil, balón, etc.) hacia arriba y deseando que caiga a cierta distancia, su movimiento puede modelarse mediante una parábola y se considera que influyen dos movimientos rectilíneos: una componente horizontal, con desplazamiento ( x = x0 + v0 t ), velocidad ( v x0 = v0 cos ) y aceleración ( a = 0 ); y una componente vertical en caída libre, con desplazamiento ( y = y0 + v0 t + ( ½ ) g t 2 ), velocidad ( v y0 = v0 sen ) y aceleración (a = – g ). (Sugerencia: calcula v y0 y utiliza el desplazamiento vertical para obtener la altura máxima y el recorrido hecho, así como el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo. Con este tiempo y el cálculo de v x0 , utiliza el desplazamiento horizontal para calcular la distancia recorrida al tocar el suelo).

37. Los tirantes de un puente colgante toman laforma de una parábola que puede modelarse con

la ecuación: y = . ¿A qué altura

del puente quedan el punto más bajo del cable y losextremos del mismo? ¿Cuál es la longitud del puente?Las unidades están en metros.

38. En un centro comercial, la venta de ropa en la temporada otoño-invierno que empezó el mes de Septiembre, ha sido la siguiente en millones de pesos:

SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE ENERO FEBRERO2.8 4.1 5.7 9.8 14.3 ?

El gerente ha encontrado que una función de ventas (V) que aproxima estos datos es:V(t) = 0.625 t 2 – t + 3.375, donde t representa el número de mes con 1 t 6. Calcula la venta mensual utilizando esta función y obtén la diferencia con el dato real de cada mes. Haz un diagrama de barras mostrando las ventas reales y las calculadas con la función. Estima el importe de ventas para el mes de febrero. ¿Entre qué días, aproximadamente, las ventas llegaron a 8 millones de pesos?

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Origen

B I B L I O G R A F Ì A

ANGEL, Allen. INTERMEDIATE ALGEBRA. Pearson Education, Inc. 6ª. Ed., U.S.A., 2004.

BALDOR, Aurelio. ÀLGEBRA. Publicaciones Cultural, S.A. 5ª. Reimp., Mèxico, 1988.

CRUZ, Toribio. ÀLGEBRA CON ARITMÈTICA. Ediciones Matemàticas Fàciles. 1ª. Ed., Mèxico, 1999.

CUÈLLAR, Juan. ÀLGEBRA. McGraw-Hill. 2ª. Ed., Mèxico, 2010.

DOLCIANI, Mary et al. ÀLGEBRA MODERNA, LIBRO 1. Publicaciones Cultural, S.A. 21ª. Reimp., Mèxico, 1987.

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LARSON, Roland y HOSTETLER, Robert. ÀLGEBRA. Publicaciones Cultural, S.A. 1ª. Reimp., Mèxico, 1997.

LOVAGLIA, Florence et al. ÀLGEBRA. Oxford University Press Mèxico, S.A. 1a. Ed., Mèxico, 2002.

SWOKOWSKI, Earl. ÀLGEBRA UNIVERSITARIA. Compañìa Editorial Continental, S.A. 3ª. Imp., Mèxico, 1971.

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