Capitulo4 Interpolacao Rev 2005

5/28/2018 Capitulo4 Interpolacao Rev 2005

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unesp CAMPUS DE GUARATINGUETComputao e Clculo Numrico: Elementos de Clculo Numrico

Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemtica Rev. 2005

CAPTULO 4

INTERPOLAO

4.1 INTRODUO

Considere a seguinte tabela relacionando calor especfico da gua(c) e temperatura (T):

T (oC) 25 30 35 40

c 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828

Suponha se queira determinar:

(i) c para T = 32.5 oC; (ii) T para c = 0.99825.

Este tipo de problema pode ser resolvido com a ajuda da interpolao. Interpolar umafuno f(x) consiste em "substituir" esta funo por outra funo, g(x), que uma

aproximao da funo dada.

H a necessidade de se efetuar uma interpolao em vrias situaes, como por exemplo:

(a) Quando a funo conhecida apenas em um conjunto finito e discreto de pontos,

no se dispondo de sua forma analtica;(b) Quando a forma analtica da funo tal que operaes como a diferenciao e a

integrao so difceis (ou mesmo impossveis) de serem realizadas.

4.2 PROBLEMA GERAL DE INTERPOLAO

Sejam x0, x1,..., xn (n+1) pontos distintos, chamados pontos de interpolao e sejamf(x0), f(x1), ..., f(xn) os valores de f(x) nesses pontos.

Objetiva-se obter uma funo de interpolao g(x) para a funo f(x), a partir dos pontos

de interpolao, com a condio de que os valores numricos de f e g sejam coincidentesnesses pontos de interpolao, ou seja:

g(x0) = f(x0)

g(x1) = f(x1)

g(xn) = f(xn)


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74

Graficamente:

Observe-se que:(a) a funo g(x) pode pertencer classe das funes exponenciais, logartmicas,

trigonomtricas ou polinomiais;

(b) para o caso da interpolao polinomial, h as formas dadas, por exemplo, pela

frmula de Taylor e pelos polinmios de Hermite, em que as condies de

interpolao so outras

4.3 INTERPOLAO POLINOMIAL

4.3.1 EXISTNCIA E UNICIDADE DO POLINMIO INTERPOLADOR

Dados os pontos ( )( ) ( )( ) ( )( )nn1100 xf,x,...,xf,x,xf,x , portanto (n + 1) pontos, queremos

aproximar ( )f x por umpolinmio de grau ( ) n P xn, , tal que:

( ) ( ) nkxPxf knk ,...,2,1,0==

Dado que ( )P xn da forma

n

n

2

210 xa...xaxaa ++++

obter ( )P xn significa obter os coeficientes

a a a an0 1 2, , , . .. ,

Da condio ( ) ( )P x f xn k k= , obtm-se o sistema linear:


3/29

75

( )

( )

( )

S

a a x a x a x f x

a a x a x a x f x

a a x a x a x f x

n

nn

nn

n n n nn

n

+

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

1

0 1 0 2 02

0 0

0 1 1 2 12

1 1

0 1 22

L

L

M M M M M

L

com n+1 equaes e n+1 variveis: a a an0 1, , ,L .

A matriz A dos coeficientes:

A

x x

x x

x x

x

x

xn n

n

n

nn

=

1

1

1

0 02

1 12

2

0

1

L

L

M M M

L

M

uma matriz de Vandermonde. Portanto, desde que x0, x1, ..., xn sejam pontosdistintos, tem-se que det A 0 e que o sistema admite soluo nica.

Concluindo: se x x j k k j , , ento existe um nico polinmioPn(x), de grau n, tal

que P x f x k nn k k( ) ( ), , , , ... ,= = 0 1 2 .

Exemplo:Obter um polinmio de grau 2 que interpole os pontos da tabela

x 1.0 1.1 1.2

f(x) 2.718 3.004 3.320

Determinar o valor aproximado de f(1.05)

Soluo:

Forma do polinmio:

P x a a x a xo2 1 22( ) = + +

Condio de interpolao:P x f x k k k2 0 1 2( ) ( ) , ,= =

= = + + = = =

= = + + = =

= = + + = =

P x P a a a f x f

P x P a a a f

P x P a a a f

2 0 2 0 1 2 0

2 1 2 0 1 2

2

2 2 2 0 1 2

2

10 10 2 718

11 11 11 11 3004

12 12 12 12 3320

( ) ( . ) ( ) ( . ) .

( ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) .

( ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) .

Os coeficientes ao, a1e a2so obtidos, portanto, da soluo do sistema:


4/29

76

=++

=++

=++

320.3a44.1a2.1a

004.3a21.1a1.1a

718.2aaa

:S

210

210

210

3

Usando o dispositivo prtico para o mtodo de eliminao de Gauss, obtm-se:

a0 a1 a2

1

1

1

1

1.1

1.2

1

1.21

1.44

2.718

3.004

3.320a 2

0003

000215= =

.

..

0.1

0.2

0.21

0.44

0.286

0.60229.0

1.0

)5.1)(21.0(286.0a1 =

=

0.002 0.003 a0= 2.718 - 1.5 + 0.29 = 1.508

2

2 x5.1x29.0508.1)x(P +=

857.2)05.1)(5.1()05.1)(29.0(508.1)05.1(P)05.1(f2

2 =+=

Obs.: sabendo-se que f(x) = ex, tem-se que 8576511.2e)05.1(f05.1

==

A matriz A dos coeficientes pode ser, no caso geral, mal condicionada. Portanto, no ser

sempre conveniente obter o polinmio de interpolao da forma indicada no exemplo.

4.3.2 OBTENO DE Pn(x) - FORMA DE LAGRANGE

Sejam x0, x1, ..., xn, (n+1) pontos distintos, e yi = f(xi), (i = 0, ..., n). Seja Pn(x) o

polinmio de grau n que interpola f em x0, ..., xn. Supor que Pn(x) da forma:

)(...)()()( 1100 xLyxLyxLyxP nnn +++=

onde cada ),...,2,1,0(),( nkxLk = , um polinmio de grau n.

Da condio de interpolao:

Pn(xi) = yi

vem que iinnii yxLyxLyxLy =+++ )(...)()( 1100

Esta condio ser satisfeita se se impuser:


5/29

77

==

ikse

iksexL ik

,0

,1)(

o que obtido com a seguinte definio de Lk(x):

))...()()...()(())...()()...()(()(

1110

1110

nkkkkkkk

nkkk xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxL

=

+

+

pois:

kisexL

exL

ik

kk

=

=

0)(

1)(

Como Lk(x) tem n fatores da forma (x - xi), Lk(x) um polinmio de grau n. Assim, Pn(x)

um polinmio de grau n.

Esta a forma de Lagrangepara o polinmio interpolador:

onde

xLyxPnn

kkk

=

=

0

)()(

)(

)(

)(

0

0

ik

n

kii

i

n

kii

k

xx

xx

xL

=

=

=

Exemplo:

Considere a funo f(x) dada na forma tabelar a seguir. Use a forma de Lagrange paraobter:

(a) o valor aproximado para f(1.05), considerando todos os pontos da tabela;

(b) o polinmio de interpolao de grau 2, da forma2

212 )( xaxaaxP o ++= , que

interpole todos os pontos da tabela.

x 1.0 1.1 1.2

f(x) 2.718 3.004 3.320

Resoluo:

(a) )()()()( 2211002 xLyxLyxLyxP ++= (1)


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78

)2.10.1)(1.10.1(

)2.1)(1.1(

))((

))(()(

2010

210

=

=

xx

xxxx

xxxxxL (2)

)2.11.1)(11.1(

)2.1)(1(

))((

))(()(

2101

201

=

=

xx

xxxx

xxxxxL (3)

)1.12.1)(12.1(

)1.1)(1(

))((

))((

)(1202

10

2

=

=

xx

xxxx

xxxx

xL (4)

Substituindo-se x=1.05nas expresses (2), (3) e (4), obtm-se:

375.0)2.10.1)(1.10.1(

)2.105.1)(1.105.1()05.1(0 =

=L

75.0)2.11.1)(11.1(

)2.105.1)(105.1()05.1(1 =

=L

125.0)1.12.1)(12.1(

)1.105.1)(105.1()05.1(2 =

=L

Substituindo-se estes valores na equao (1):

857.2)125.0(320.375.0004.3375.0718.2)05.1()05.1( 2 =++=Pf

(b) Para obter o polinmio na forma solicitada, preciso desenvolver as expresses (2), (3)

e (4) acima, como indicado a seguir:

661155002.0

32.13.2

)2.10.1)(1.10.1(

)2.1)(1.1()(

22

0 +=+

=

= xx

xxxxxL (5)

12022010001.0

2.12.2

)2.11.1)(11.1(

)2.1)(1()(

22

1 +=

+=

= xx

xxxxxL (6)

551055002.0

1.11.2

)1.12.1)(12.1(

)1.1)(1()(

22

2 +=+

=

= xx

xxxxxL (7)

Substituindo (5), (6) e (7) em (1), e efetuando-se a reduo dos termos semelhantes,

obtm-se:

)5510550(320.3)120220100(004.3)6611550(718.2)( 2222 +++++= xxxxxxxP

508.129.05.1)(2

2 += xxxP

Observao:

320.3508.1)2.1)(29.0()2.1)(5.1()2.1(

004.3508.1)1.1)(29.0()1.1)(5.1()1.1(

718.2508.1)1)(29.0()1)(5.1()0.1(

2

2

2

2

2

2

=+=

=+=

=+=

P

P

P

(pois a funo e o polinmio de interpolao devem coincidir nos pontos tabelados).


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79

Exemplo:Seja a funo f(x) conhecida apenas nos pontos tabelados:

x 0 0.1 0.3 0.6 1

f(x) 1 2.001 4.081 8.296 21

Determinar o valor aproximado para f(0.2) aplicando-se a frmula de Lagrange, para as

formas de interpolao (a) lineare (b) quadrtica.

Resoluo:

(a)Interpolao linear( )(1 xP )

Deve-se considerar um intervalo com dois pontos, contendo a abscissa de interesse (0.2),

ou seja:

0.1 0.3

2.001 4.081

Forma de )(1 xP :

)()()( 11001 xLyxLyxP +=

onde:

)3.01.0(

)3.0(

)(

)()(

10

10

=

=

x

xx

xxxL

)1.03.0(

)1.0(

)(

)()(

01

01

=

=

x

xx

xxxL

Substituindo-se x=0.2, obtm-se os valores =)2.0(0L 0.5 e =)2.0(1L 0.5. Substituindo-se

estes valores na expresso de )(1 xP obtm-se:

041.35.0081.45.0001.2)2.0(1 =+=P 041.3)2.0( f

(b)Interpolao quadrtica( )(2 xP )

Deve-se considerar um intervalo com trs pontos, contendo a abscissa de interesse (0.2). O

intervalo escolhido deve ser tal que o ponto de interesse se situe o mais internamente

possvel ele (ou seja, o mais distante possvel de qualquer das extremidades). Um

possvel conjunto de pontos seria:

0 0.1 0.3

1 2.001 4.081

Tambm poderiam ser utilizados os pontos:

0.1 0.3 0.6

2.001 4.081 8.296

Utilizaremos o primeiro intervalo neste exemplo.

Forma de )(2 xP :

)()()()( 2211002 xLyxLyxLyxP ++=


8/29

80

onde:

)3.00)(1.00(

)3.0)(1.0(

))((

))(()(

2010

21

0

=

=

xx

xxxx

xxxxxL

)3.01.0)(01.0(

)3.0)(0(

))((

))(()(

2101

201

=

=

xx

xxxx

xxxxxL

)1.03.0)(03.0(

)1.0)(0(

))((

))(()(1202

10

2

=

= xx

xxxxxxxxxL

Substituindo-se x=0.2, obtm-se os valores: =)2.0(0L -0.333, =)2.0(1L 1 e

=)2.0(2L 0.333. Substituindo-se estes valores na expresso de )(2 xP , obtm-se:

027.3333.0081.41001.2)333.0(1)2.0(2 =++=P 027.3)2.0( f

Exerccio:Resolver o item(b) do exerccio anterior considerando o segundo conjunto de pontos

possvel.

Exemplo:(Interpolao Linear)(a) obter aforma de Lagrangepara o polinmio P1(x) que interpole os pontos (x0,f(x0)) e

(x1,f(x1)).

(b) obter a equao da reta que passa por (x0,f(x0)) e (x1,f(x1)).

Resoluo:

(a)P x y L x y L x1 0 0 1 1( ) ( ) ( )= + x x0 x1

L xx x

x x0

1

0 1

( )( )

( )=

f(x) f(x0) f(x1)

L xx x

x x1

0

1 0

( )( )

( )=

=

+

=

+

=

+

P x y

x x

x xy

x x

x xy

x x

x xy

x x

x x

y y

x xx

y x y x

x x

a b

1 0

1

0 1

1

0

1 0

0

1

1 0

1

0

1 0

1 0

1 0

0 1 1 0

1 0

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )1 24 34 1 24 34

(b)


9/29

81

0

01

01

01 )(

xx

yxP

xx

yytg

=

= 00

01

011 )(

)(

)()( yxx

xx

yyxP +

=

)(

)()(

)(

)()(

01

001010

01

011 xx

yxxxyyx

xx

yyxP

++

=

4342143421ba

xx

xyxyx

xx

yyxP

)(

)(

)(

)()(

01

0110

01

011

+

=

Exerccio:Seja a funo f(x) conhecida apenas nos pontos tabelados:

x 0 0.2 0.4 0.5

f(x) 0 2.008 4.064 5.125

Determinar o valor aproximado para f(0.3) aplicando-se a frmula de Lagrange, . para as

formas de interpolao (a) lineare (b) quadrtica.

Exerccio:Usar a forma de Lagrangepara obter um polinmio de grau 3 que interpole os pontosda tabela:

x 0 1 3 4

f(x) -5 1 25 55

Calcular )4()3(),1(),0( 3333 PePPP , utilizando Briot-Ruffini.

Resp.: 572)(23

3 += xxxxP

4.3.3 OBTENO DE Pn(x) - FORMA DE GREGORY - NEWTON PARA OPOLINMIO INTERPOLADOR

4.3.3.1 TABELA DE DIFERENAS FINITAS

Definio:Sejam nxxx ,...,, 10 pontos que se sucedem com passo h, isto , jhxxn += 0 .


10/29

82

Define-se o operador de diferenas finitascomo segue:

)()()(

)()()(

)()()(

)()(

11

2

0

xfhxfxf

xfhxfxf

xfhxfxf

xfxf

nnn +=

+=

+=

=

M

Conhecidos os valores de f(x) em nxxx ,...,, 10 , constri-se a seguinte tabela de diferenas

finitas:

x f(x) f(x) 2f(x)

x0 f(x0)

f(x0)

x1 f(x1) 2f(x0)

f(x1) ...

x2 f(x2) 2f(x1)

f(x2) M

x3 f(x3)

M M M

Exemplo:Seja f(x) dada na forma tabular:

x -1 0 1 2 3

f(x) 2 1 2 5 10

A tabela de diferenas finitas para esta funo mostrada a seguir:

x f(x) f(x) 2f(x) 3f(x)

-1 2

-1

0 1 2

1 01 2 2

3 0

2 5 2

5

3 10


11/29

83

4.3.2 O POLINMIO DE INTERPOLAO

Estabelece-se a seguinte forma para o polinmio de interpolao (forma de Gregory-Newton):

!.

)())...()((...

2

)())((

)()()()( 01102

0

2

10

0

00

nh

xfxxxxxx

h

xfxxxx

h

xfxxxfxP

n

n

nn

++

+

+=

Observar que os pontos de interpolao devem ser igualmente espaados, com um passo h,ou seja:

hxx += 01 hxx += 12 ... hxx nn += 1

ou, equivalentemente, njjhxxj ,...,1,0,0 =+= .

Exemplo:Dada a funo y=f(x), conhecida pelos pontos da tabela abaixo, pede-se obter uma

aproximao para f(0.25) empregando a frmula de Gregory-Newton, para as formas de

interpolao (a) linear, e (b) quadrtica.

x 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

f(x) 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001

Resoluo:

(a)Interpolao Linear( )(1 xP ):

Constri-se )(1 xP o polinmio interpolador de f(x) no intervalo:

0.20 0.30

0.064 0.027Tabela de diferenas finitas:

x f(x) f(x)

=ox 0.20 0.064

-0.037

0.30 0.027

Forma de )(1 xP :

h

xfxxxfxP

)()()()( 0001

+=

Substituindo os valores da tabela, obtm-se:

1.0

)037.0()2.0(064.0)(1

+= xxP

Substituindo-se x=0.25, obtm-se:

046.0)25.0(1 =P 046.0)25.0( f

(b)Interpolao Quadrtica( )(2 xP ):


12/29

84

Constri-se )(2 xP , o polinmio interpolador de f(x) no intervalo:

0.10 0.20 0.30

0.125 0.064 0.027

Tabela de diferenas finitas:

x f(x) f(x) 2f(x)

=ox 0.10 0.125

-0.061

0.20 0.064 0.024

-0.037

0.30 0.027

Forma de )(2

xP

2

0

2

100

0022

)())((

)()()()(

h

xfxxxx

h

xfxxxfxP

+

+=

Substituindo-se os valores da tabela, obtm-se:

22)1.0(2

024.0)2.0)(1.0(

1.0

)061.0()1.0(125.0)(

+

+= xxxxP

Substituindo-se x=0.25, obtm-se:

043.0)25.0(2 =P 043.0)25.0( f

Observe-se que neste caso no foi preciso construir a tabela de diferenas finitas para todosos pontos da tabela de dados. Abaixo mostrada a tabela de diferenas finitas completa:

x f(x) f(x) 2f(x) 3f(x) 4f(x)

=ox 0.10 0.125

-0.061

0.20 0.064 0.024

-0.037 -0.006

0.30 0.027 0.018 0.000

-0.019 -0.0060.40 0.008 0.012

-0.007

0.50 0.001

Observe-se que, como o nmero de pontos na tabela de dados cinco, a tabela de

diferenas finitas permite calcular at a diferena de ordem quatro, que o grau mximo

que um polinmio de interpolao pode ter para este nmero de pontos. No entanto, o


13/29

85

valor desta ltima diferena na tabela acima nulo, isto significando que o grau do

polinmio de interpolao, ao se considerar todos os pontos da tabela, ser igual a trs e

no a quatro.

Exemplo:

Obter, usando a forma de Gregory-Newton, o polinmio )(2 xP da forma2

212 )( xaxaaxP o ++= , que interpola f(x) nos pontos dados abaixo:

x 1.0 1.1 1.2

f(x) 2.718 3.004 3.320

Resoluo:(a) Construo da tabela das diferenas finitas

x f(x) f(x) 2f(x)

=ox 1.0 2.718

0.286

1.1 3.004 0.03

0.316

1.2 3.320

(b) obteno de P2(x):

2

02

100

0022

)())((

)()()()(

hxfxxxx

hxfxxxfxP ++=

2.)1.0(

03.0)1.1)(1(

1.0

286.0)1(718.2)(

22 ++= xxxxP

508.129.05.1)( 22 += xxxP

Exerccio: dada a funo y = f(x), conhecida pelos pontos da tabela abaixo, calcular umaaproximao para f(3.7), empregrando a frmula de Gregory-Newton.

x 1 2 3 4 Obs.:

f(x) 0 0.6931 1.0986 1.3863 f(x) = ln x

Exerccio: obter, usando a frmula de Gregory-Newton, uma aproximao para f(0.7),onde f uma funo conhecida apenas nos pontos tabelados a seguir:


14/29

86

x 0 0.5 1 1.5 2.0

f(x) 0.0 1.1487 2.7183 4.9811 8.3890

4.3.4 OBTENO DE Pn(x) - FORMA DE NEWTON COM DIFERENAS

DIVIDIDAS

4.3.4.1 TABELA DE DIFERENAS DIVIDIDAS

Definio:

Seja f(x) uma funo tabelada em ( )1n,x,,x,x n10 +K pontos distintos. Define-se ooperador de diferenas divididascomo segue:

( )

[ ] [ ] [ ] ( ) ( )

01

01

01

01

10

00

,xx

xfxfxx

xfxfxxf

xfxf

=

=

=

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

03

2103213210

02

1021210

,,,,,,,

,,,,

xx

xxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

=

=

[ ] [ ] [ ]

0

11021210

,,,,,,,,,,

xx

xxxfxxxfxxxxf

n

nnn

=

KK

K

M

Define-se [ ]kxxxf ,,, 10 K como sendo a diferena dividida de ordem k da funo f(x)

sobre os (k+1) pontos: kxxx ,,, 10 K

Tabela de diferenas divididas

Conhecidos os valores de f(x) em ,,,, 10 nxxx K , constri-se a seguinte tabela de diferenas

divididas.


15/29

87

x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ... ordem n

0x [ ]0xf

[ ]1,0 xxf

1x [ ]1xf [ ]2,1,0 xxxf

[ ]2,1 xxf [ ]3,2,1,0 xxxxf

2x [ ]2xf [ ]3,2,1 xxxf O

[ ]3,2 xxf M [ ]nxxxxf ,,2,1,0 K

3x [ ]3xf M N

M [ ]nxnxnxnxf ,1,2,3

M M [ ]nxnxnxf ,1,2

[ ]nxnxf ,1

nx [ ]nxf

Exemplo:Construir a tabela de diferenas divididas para a funo f(x) tabelada a seguir:

x -1 0 1 2 3

f(x) 1 1 0 -1 -2

Resoluo:

x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4-1 1

( )

1 1

0 10

=

0 1( )

=

1 0

1 1

1

2

0 1

1 01

= ( )

( )

0 1 2

2 1

1

6

=

1 0 ( )

=

1 1

2 00

( )

0 1 6

3 1

1

24

=

=

1 0

2 1

10 0

3 0

0

=

2 -1 ( )

=

1 1

3 10

( )

=

2 1

3 21

3 -2


16/29

88

4.3.4.2 FORMA DE NEWTON PARA O POLINMIO INTERPOLADOR

A forma de Newton para o polinmio Pn (x) que interpola f(x) em ,,,, 10 nxxx K (n+1)

pontos distintos, a seguinte:

( ) ],...,1

,

0

[)

1

()

1

)(

0

(]

2

,

1

,

0

[)

1

)(

0

(]

1

,

0

[)

0

()

0

(

n

xxxf

n

xxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxnP

++++= KK

Exemplo:Dada a funo y = f(x), conhecida pelos pontos da tabela abaixo, obter uma aproximao

para f(0.27), empregando a frmula de Newton (com diferenas divididas), para as formas

de interpolao (a) linear e (b) quadrtica.

x 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50f(x) 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001

Resoluo:

(a)Interpolao Linear ( )(1 xP ):

Obtm-se o polinmio )(1 xP que interpola f(x) nos pontos do intervalo:

0.20 0.30

0.064 0.027Tabela de diferenas divididas:

x ordem 0 ordem 1

0.20 0.064

37.020.030.0

064.0027.0=

0.30 0.027

Forma de )(1 xP :( ) ]

1,

0[)

0()

0(1 xxfxxxfxP +=

Substituindo-se os valores da tabela, obtm-se:

( ) (-0.37))2.0(064.01

+= xxP

Calculando-se em x=0.27, obtm-se:

( ) 038.027.01

=P 038.0)27.0( f

(b)Interpolao Quadrtica ( )(2 xP ):

Obtm-se o polinmio )(2 xP que interpola f(x) nos pontos do intervalo:

0.20 0.30 0.40

0.064 0.027 0.008

Recorde-se que devem ser escolhidos trs pontos de forma que (i) contenham a abscissa de

interesse (no caso, x=0.27), e (ii) que este valor se situe o mais internamente possvel ao

intervalo considerado. Assim , pelo critrio (ii), o intervalo a seguir no deve ser usado,

mesmo contendo a abscissa de interesse:

0.10 0.20 0.30

0.125 0.064 0.027


17/29

89

Tabela de diferenas divididas:

x ordem 0 ordem 1 ordem 2

0.20 0.064

37.0

20.030.0

064.0027.0=

0.30 0.027 ( )

=

0 19 0 37

0 0 200 9

. .

.40 ..

19.0

30.040.0

027.0008.0=

0.40 0.008

Forma do polinmio )(2 xP :

( ) ]2

,1

,0

[)1

)(0

(]1

,0

[)0

()0

(2 xxxfxxxxxxfxxxfxP ++=

Substituindo-se os valores da tabela, obtem-se:

( ) 0.9)3.0)(2.0()37.0)(2.0(064.02

++= xxxxP

Calculando-se em x=0.27, obtm-se:

( ) 036.027.02

=P ( ) 036.027.0 f

Observe-se que, para este exemplo, no foi necessrio calcular todos os valores da tabela

de diferenas divididas. A tabela completa mostrada a seguir. Note-se que a diferena

dividida de ordem 4 nula. Ou seja, o grau mximo de um polinmio de interpolao para

esta tabela trs.

x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4

0.10 0.125

-0.610.20 0.064 1.2

-0.37 -1

0.30 0.027 0.9 0

-0.19 -1

0.40 0.008 0.6

-0.07

0.50 0.001

Exemplo: obter, usando a forma de Newton, o polinmio )(2 xP da forma2212 )( xaxaaxP o ++= que interpola )(xf nos pontos dados abaixo:

x 1.0 1.1 1.2

f(x) 2.718 3.004 3.320

Resoluo:


18/29

90

(a) Tabela das diferenas divididas

x ordem 0 ordem 1 ordem 21.0 2.718

86.20.11.1

718.2004.3=

1.1 3.004 3 16 2 861 2 1 0

1 5. .

. ..

=

16.31.12.1

004.3320.3=

1.2 3.320

(b) obteno de P2(x):

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) 508.129.05.1

5.11.1186.21718.2

,,,

2

2

2

2101010002

+=

++=

++=

xxxP

xxxxP

xxxfxxxxxxfxxxfxP

4.3.4.3 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAO

Ao se aproximar uma funo f(x) por um polinmio interpolador de grau n comete-se um

erro, ou seja:

( ) ( ) ( ) [ ]nnn xxxxPxfxE ,, 0=

Teorema 1:Sejam ( )1,210 +


19/29

91

Corolrio 1:Sob as hipteses do Teorema 1, e se

( ) ( )xf n 1+ for contnua em [ ],,0 nxxI = pode-seescrever a seguinte relao:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )!1

110

+=

+

n

MxxxxxxxPxfxE nnnn K

onde( ) ( )xfmxM

n

Ixn

1

1 +

+

=

Se a funo )(xf dada na forma de uma tabela, o valor absoluto do erro, ( ),xEn

somente pode ser estimado. Se construirmos a tabela de diferenas divididas at ordem

(n+1), podemos usar o maior valor (em mdulo) das diferenas divididas de ordem (n+1)

como uma aproximao para( )!1n

1Mn

+

+no intervalo [ ],, no xx ou seja:

110 ))...()(()( + nnn MaxxxxxxxxE

onde:

)1(1 +=+ nde ordemdivididasdiferenasMaxMaxn

Exemplo:No primeiro exemplo do item 4.3.4.2, foram determinadas aproximaes para f(0.27) a

partir dos dados da tabela abaixo, utilizando-se as formas de interpolao linear e

quadrtica. Pede-se estimar os erros para cada uma destas formas.

x 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50f(x) 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001

Resoluo:

a)Interpolao Linear

No caso geral, )(xEn pode ser estimado por:

( )( ) ( ) 110)( + nnn MaxxxxxxxxE K

Assim o erro )(1 xE para interpolao linear pode ser estimado por:

2101 ))(()( MaxxxxxxE

onde: 22 de ordemdivididasdiferenasMaxMax =

Recorde-se, do exemplo mencionado acima, que )(1 xP foi construdo sobre os pontos

(0.2,0.064) e (0.3,0.027), e que =2Max 1.2. Substituindo-se os valores na expresso de

)(1 xE , obtm-se:2.1)3.0)(2.0()(1 xxxE

Calculando-se para x=0.27, obtm-se:3

1 1052.2)27.0(

E

b)Interpolao Quadrtica:


20/29

92

A partir da expresso para )(xEn obtm-se a seguinte expresso para a estimao de

)(2 xE , que corresponde ao erro para interpolao quadrtica:

32102 ))()(()( MaxxxxxxxxE


Recorde-se, do exemplo mencionado acima, que )(2 xP foi construdo sobre os pontos(0.2,0.064), (0.3,0.027) e (0.4,0.008) e que =3Max 1.0. Substituindo-se os valores na

expresso de )(2 xE , obtm-se:

0.1)4.0)(3.0)(2.0()(2 xxxxE

Calculando-se para x=0.27, obtm-se:4

2 1073.2)27.0(

E

Exemplo:Seja f(x) dada na forma tabelar:

x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72

f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37

(a) obter uma aproximao para f(0.47) utilizando um polinmio de interpolao de grau 2;

(b) obter uma estimativa para o erro.

Soluo:

(a) Tabelas de diferenas divididas:

Para se calcular uma aproximao para f(0.47) utilizando )(2 xP , seria necessrio construir

a tabela de diferenas divididas apenas para os valores do conjunto de dados a seguir:

0.4 0.52 0.6

0.27 0.29 0.32

No entanto, como o problema pede para que seja determinada tambm uma estimativa do

erro da aproximao, preciso construir a tabela de diferenas divididas considerando

todos os pontos da tabela de dados e calculando-se at os termos de ordem 3, ou seja:

x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3

0.2 0.16

0.4286

0.34 0.22 2.0235

0.8333 -17.8963x0=0.4 0.27 -3.7033

0.1667 18.2492x1=0.52 0.29 1.0415

0.375 -2.6031

x2=0.6 0.32 0.2085

0.4167

0.72 0.37


21/29

93

A partir desta tabela, constri-se o polinmio )(2 xP como indicado:

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] =++= 2101010002 ,,, xxxfxxxxxxfxxxfxP

( ) ( ) ( )( )( )0415.152.04.00.16674.027.0 ++ xxx

que utilizado para obter a aproximao solicitada:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) 2780.047.0f

0415.152.047.04.047.00.16674.047.027.047.0P47.0f 2

+=

(b) ( ) ( )( ) ( ) 110 + nnn MaxxxxxxxxE K

( ) ( )( )( ) 32102 MaxxxxxxxxE


( ) ( )( )( )( ) ( ) 322 10303.847.02492.186.047.052.047.04.047.047.0

xEE

4.3.5 INTERPOLAO INVERSA

Dada a Tabela:

x x0 x1 x2 xn

f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(xn)

o problema de Interpolao Inversa consiste em, dado ( ) ( )( )no xfxf ,y , obter x uma

aproximao para o valor de x tal que ( ) .x yf =

FORMAS DE SE RESOLVER ESTE PROBLEMA

(I) Obter ( )xnP que interpole f(x) em ,,,, 10 nxxx K e em seguida encontrar x tal que

( ) yPn =x .

Exemplo:Dada a tabela a seguir, encontrar x uma aproximao para x tal que ( ) .2x =f

x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

f(x) 1.65 1.86 2.01 2.23 2.46 2.72

utilizando interpolao quadrtica sobre x o = = =0 6 0 7 0 81 2. , . , .x e x

Resoluo:

Tabela de Diferenas Divididas:

(Construda apenas para os pontos de interesse e at a ordem 2)


22/29

94

x ordem 0 ordem 1 ordem 20.6 1.86

1.50.7 2.01 3.5

2.2

0.8 2.23

Polinmio de Interpolao

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]2101010002 ,,, xxxfxxxxxxfxxxfxP ++= ( )

( ) 43.205.35.3P

0.7)(3.5)-0.6)(x-(x+0.6)1.5-(x+1.86=xP

2

2

2

+=

xxx

( ) ( )

0430053530243205353

2x0.2x

22

2

=+=+

=

.x.x...x.x.

fP

1770ou69450 .x.x == 69450.x = (pois )7.0,6.0(6945.0 =x )

(II) Interpolao Inversa

Se f(x) for inversvel num intervalo contendo y ento fazemos a interpolao de

( ) ( )ygyfx == 1 .

Uma condio para que uma funo contnua num intervalo [a, b] seja inversvel que seja

montona crescente (ou decrescente) neste intervalo. Se f(x) dada na forma tabelar,

supondo que f(x) seja contnua em ( ) ( )xf,x,x no ser considerada montona crescente se

( ) ( ) ( )n1o xfxfxf > K .

Exemplo:Dada a tabela a seguir, encontrar x uma aproximao para x tal que ( ) .2x =f Estimar oerro cometido com esta aproximao.

x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

f(x) 1.65 1.86 2.01 2.23 2.46 2.72

(Utilizar interpolao quadrtica)

Resoluo:Neste caso, como alm da aproximao para x, solicita-se uma estimativa do erro incorrido

com esta aproximao, preciso construir a tabela de diferenas divididas (i) considerando

todos os pontos da tabela de dados, e (ii) calculando-se os valores das diferenas at a

ordem 3, uma vez que ser utilizada interpolao quadrtica. Como ser utilizada

interpolao inversa, a tabela ser construda colocando-se x como funo de y, como

mostrado a seguir. (O clculo dos valores das diferenas divididas segue o mesmo esquema

anterior).


23/29

95

y ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 31.65 0.5

0.4762

y0=1.86 0.6 0.5292

0.6667 -1.9012

y1=2.01 0.7 -0.57350.4545 0.8828

y2=2.23 0.8 -0.0438

0.4348 -0.0825

2.46 0.9 -0.1024

0.3846

2.72 1.0

A forma do polinmio de interpolao ser a mesma anterior, apenas substituindoxporyefpor g( 1= f ), como mostrado a seguir:

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]21112 ,,, yyygyyyyyygyyygyP ooooo ++=

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

6941.0

6941.0=5735.001.2286.126667.086.126.000.25735.001.286.16667.086.16.0

2

2

=

++=

++=

x

P yyyyP

Exerccio:Seja a Tabela:

x 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

f(x) 0.12 0.16 0.19 0.22 0.25 0.27

Usando um polinmio interpolador de grau 2, trabalhe de dois modos diferentes para obtero valor estimado de x para o qual f(x) = 0.23. D uma estimativa do erro cometido em cada

caso, se possvel.

Resp.: (I) 0.3166666 (II) 0.3166666;3

10666664.1 xerro

Exerccio:Construa uma tabela para a funo f(x) = cos(x) usando os pontos: 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2,

1.3. Obtenha um polinmio de 3o grau para estimar cos(1.07) Fornea um limitante

superior para o erro ao se calcular cos(1.07) pelo polinmio obtido.

Resp.:

( )

( ) 610x2020383.107.1E

4801232.007.1cos

Exerccio:O calor especfico da gua, como funo da temperatura, dado por:


24/29

96

Temperatua, oC Calor Especfico

20 0.99907

25 0.99852

30 0.99826

35 0.99818

40 0.99828

45 0.99849

50 0.99878

(a) use interpolao linear para estimar o calor especfico da gua a 37oC;

(b) use interpolao quadrtica para estimar o calor especfico a 37oC;

Obs.: usar o polinmio interpolante de Newton com diferenas divididos, estimar o erro

cometido em cada caso:

4.3.6 INTERPOLAO LINEAR DUPLA

Seja determinar uma aproximao para ( )cc y,xf , utilizando a teoria de Interpolao.Supor que xce ycsatisfaam s restries:

x x x

y y y

j c j

i c i

1

1

Graficamente:

Inicialmente interpolamos yxfz j ,1= e obtemos uma expresso para ( )cj yxf ,1r

, onde

( )c1j y,xf

r uma aproximao para cj yxf ,1 . Depois interpolamos yxfz j ,= e

obtemos uma expresso para ( )cj yxf , . Interpolamos ento ( )cyxfz ,= e obtemos entouma expresso para ( )cc yxf , . O detalhamento segue:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1111

1111 ,,,,

+= ijij

ii

icijcj yxfyxfyy

yyyxfyxf

( ) ( ) ( ) ( )[ ]11

1

1 ,,,,

+= ijij

ii

icijcj yxfyxfyy

yyyxfyxf


25/29

97

( ) ( ) ( ) ( )[ ]cjcjjj

jccjcc yxfyxfxx

xxyxfyxf ,,,, 1

1

1

1

+=

Notar que as expresses para ( )cj yxf ,1 e ( )cj yxf , so obtidas a partir da interpolao dez como funo de y, mantidos constantes os correspondentes valores de x. Notar tambm

que a expresso para ( )cc y,xf obtida a partir da interpolao de z como funo de x, em

y constante igual a yc . Observar, por final, que os valores para ( )cj yxf ,1r

e )cj yxf , ,

calculados atravs das duas primeiras expresses, so utilizados no clculo de ( )cc yxf , .

Exemplo:

A integral elptica de primeira espcie definida como sendo:

( )

=

0 22 sensen1

, d

F

Mostra-se, a seguir, uma tabela parcial do valor desta funo:

50 60 70 80 90

50 0.9401 0.9647 0.9876 1.0044 1.0107

55 1.0500 1.0848 1.1186 1.1444 1.1542

60 1.1643 1.2125 1.2619 1.3014 1.3170

65 1.2833 1.3489 1.4199 1.4810 1.5065

70 1.4068 1.4944 1.5959 1.6918 1.735475 1.5345 1.6492 1.7927 1.9468 2.0276

80 1.6660 1.8125 2.0119 2.2653 2.4362

Seja determinar ( )ooF 77,73 , utilizando interpolao linear dupla.

Resoluo:

Notao utilizada:

x x x x x

y y y y y y y

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7

50 60 70 80 90

50 55 60 65 70 75 80

= = = = =

= = = = = = =

, , , ,

, , , , , ,

Clculo de uma aproximao para ( )77,73f


26/29

98

( )

( )

( )

( ) 2653.280,80f

9468.175,80f

0119.280,70f

7927.175,70f

=

=

=

=

(i) ( ) ( ) 8804.17927.10119.27580

75777927.177,70f =

+=

(ii) ( ) ( ) 0742.29468.12653.27580

75779468.177,80f =

+=

(iii) ( ) ( ) 9385.18804.10742.27080

70738804.177,73f =

+=

4.3.7 ASPECTOS COMPUTACIONAIS: IMPLEMENTAO DO MTODO DENEWTON COM DIFERENAS DIVIDIDAS

Esquema para construo da tabela de diferenas divididas:

X 0ordem ordem 1 ordem 2 ordem (N-1) ordem N

X(0) D(0,0)

)0()1(

)0,0()0,1()1,0(

XX

DDD

=

)0()2(

)1,0()1,1()2,0(

XX

DDD

=

...

)0()1(

)2,0()2,1()1,0(

XNX

NDNDND

=

)0()(

)1,0()1,1(),0(

XNX

NDNDND

=

X(1) D(1,0)

)1()2(

)0,1()0,2()1,1(

XX

DDD

= )1()3(

)1,1()1,2()2,2(

XX

DDD

= ...

)1()(

)2,1()2,2()1,1(

XNX

NDNDND

=

X(2) D(2,0)

)2()3(

)0,2()0,3()1,2(

XX

DDD

=

)2()4(

)1,2()1,3()2,3(

XX

DDD

=

X(3) D(3,0)

)3()4(

)0,3()0,4()1,3(

XX

DDD

=

)3()5(

)1,3()1,4()2,4(

XX

DDD

=

M M M M

)1()(

)1,1()1,()2,1(

=

NXNX

NDNDND

X(N-1) D(N-1,0)

)1()(

)0,1()0,()1,(

=

NXNX

NDNDND

X(N) D(N,0)


27/29

99

Seja M = N + 1, o nmero de pontos da tabela. Os elementos de D podem ser obtidos, de

uma forma genrica, a partir das expresses:

1,...,2,1,0,...,2,1,)()(

)1,()1,1(),(

,0)),(()0,(

+==

+

+=

==

JMINJIXJIX

JIDJIDJID

NIIXFID

O polinmio de interpolao de Newton com diferenas divididas, em uma determinada

abscissa A, dado por:

),0())1())...(1())(0((

)1,0())2())...(1())(0((

...)2,0())1())(0(()1,0())0(()0,0()(

NDNXAXAXA

NDNXXXAXA

DXAXADXADAP

+

++

+++=

( )

( ) 1)(

),0()(

1

0

0

1

0

=

=

=

=

=

kXAcom

JDKXA

K

N

J

J

K

Segue o algoritmo:

Incio ! Mtodo de Newton com Diferenas Divididas

! entrada de dados

Solicite o nmero de pontos

Leia o nmero de pontos (M)

Solicite os valores de (X,F(X))

N = M 1

Para I de 0 at N

Faa

Leia X(I), D(I,0)

Fim Para

! construo da tabela de diferenas divididas

Para J de 1 at N

Faa

Para I de 0 at M-J+1

Faa

)()(

)1,()1,1(),(

IXJIX

JIDJIDJID

+

+=

Fim para

Fim para

! clculo do valor aproximado

Solicite o valor da abscissa em que se quer aproximar F

Leia o valor da abscissa (A)

F = 0Para J de 0 at N

Faa

P = 1

Para K de 0 at J-1

Faa

P = P * (A X(K))

Fim Para

F = F + D(0,J)*P

Fim para


28/29

100

(* sada do valor aproximado *)

Escreve Aproximao = , F

Fim ! Mtodo de Newton com Diferenas Divididas

Exerccios:

(1) Considere a funo y = f (x) conhecida atravs dos pontos da tabela:

x 0.000 0.100 0.300 0.400

f(x) 1.000 0.761 0.067 -0.376

Atravs da forma de Lagrange, determine:

(a) o valor aproximado de f(0.32) usando um polinmio interpolador de 2ograu, ou

seja, calcule P2(0.32)

(b) P3(0.32)

Sabendo que a funo f(x) x3- 4x2- 2x + 1, calcule f(0.32) exatamente.

Obs.:trabalhar com quatro decimaisResp.: P2(0.32) = -0.0165 P3(0.32) = -0.0168

(2) A tabela a selguir relaciona o calor especfico da gua (c) em funo da temperatura

(T). Calcular o calor especifico da gua a uma temperatura de 25oC interpolando os

pontos da tabela com um polinmio de 3ograu, obtido atravs:

(a) da frmula de Lagrange.

(b) da frmula de Newton com diferenas divididas.Comparar os resultados obtidos com o valor real 0.99852

T (oC) C

20

30

45

55

0.99907

0.99826

0.99849

0.99919

Resp.: P3(25) = 0.99854

(3) A tabela a seguir relaciona a velocidade (v) de um foguete lanado do solo com otempo (t). Calcule a velocidade aproximada do foguete 25s aps o lanamento,

interpolando os pontos da tabela com um polinmio de 4o grau, obtido atravs da

frmula de Newton com diferenas divididas.

t (s) 0 8 20 30 45

v (m/s) 0.000 52.032 160.450 275.961 370.276

Resp.: P4(25) = 219.612 m/s


29/29

101

(4) A tabela a seguir relaciona a distncia (d) percorrida por uma bala ao longo do cano de

um canho com o tempo (t). Encontrar a distncia percorrida pela bala 5 segundos aps

ter sido disparada, interpolando os pontos da tabela atravs de um polinmio de 4ograu

obtido atravs da frmula de Gregory-Newton.

t (s) 0 2 4 6 8d (m) 0.000 0.049 0.070 0.087 0.103

Resp.: P4(5) = 0.078

(5) Considerando a tabela a seguir, onde esto representados alguns pontos da funo

f x x( ) = 3 , determine o valor aproximado de 0.53.

x 0.000 0.008 0.064 0.216 0.512

f(x) 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800

Agradecimentos:Ao Plo Computacional, em particular equipe de digitao, cujo apoio foi essencial para a produo do

presente trabalho. Aos colegas do DMA, pelo apoio, crticas e sugestes recebidas.

BIBLIOGRAFIA1. RUGGIERO, M.A.G. & LOPES, V.L.R. Clculo Numrico Aspectos Tericos e Computacionais.

McGraw-Hill, 1988.

2. DORN, W.S. & MAcCRACKEN, D.D. Clculo Numrico com Estudo de Casos em Fortran IV.Campus,1978.

3. BARROSO, L.C. & outros. Clculo Numrico (com aplicaes). Editora Harbra Ltda, 1987.4. SCHEID, F. Anlise Numrica. McGraw-Hill, 1991.5. ALBRECHT, P. Anlise Numrica: um curso moderno. Livros Tcnicos e Cientficos, 1973.6. PACITTI, T. & ATKINSON, C.P. Programao e Mtodos Computacionais(Vol. 2). Livros Tcnicos

e Cientficos, 1981.7. CHAPRA, S.C. & CANALE, R.P. Numerical Methods for Engineers (with Personal Computer

Applications). McGraw-Hill, 1987.

Capitulo4 Interpolacao Rev 2005

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