Cap 8 - Más Aplicaciones De La Integración - Pag 524-565

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    M A s APLICACIONESDE LA INTEGRACION

    La longitud de una curva es ellimite de las extensiones de

    los polfgonos inscrltos.

    Se han considerado algunas aplicaciones de integrales en el capitulo 6: areas, voltimetrabajo y valores prornedio. Aquf se exploran aJgunas de muchas otras aplicacionesgeometricas de la integraci6n: la longitud de una curva, el area de una superficie,como cantidades de interes en ffsica, ingenierfa, biologfa, economia y estadfstica.ejemplo, se investigara el centro de gravedad de una placa, la fuerza ejercida par lpresion del agua de una presa, el flujo de sangre desde el corazon humane y el tiempromedio en espera durante una Hamada telefonica.

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    ~~~~~~~~3~r_L_O_N_G __T _ U _ D _ D _ E _ A _ R _ C _ O

    F IGURA I

    Ii]EVisual 8.1 exhibe una animaci6nde la f igura 2.0000F IGURA 2

    FIGURA 3

    l.Que se entiende por longituc1de una eurva? Se podrfa pensar en ajustar un trozo deda a la curva de la figura I. y despues medir la cuerda contra una regla. Pero eso podndiffcil de hacer con mucha exactitud si se tiene una eurva cornplicada. Se necesita ufinicion precisa para la longitud de un arco de una curva, en el mismo sentido qdefiniciones desarrolladas para los conceptos de area y volurnen.

    Si la curva es un poltgono, se determina con facilidad su longitud: s610 se sumlongitudes de los segmentos de recta que forman el polfgono. (Se puede usar la formula distancia para hallar la distancia entre los puntos extremes de cada segrnento.) Se dra la longitud de una curva general aproxirnandola primero mediante un polfgono ytaman do un Ifmite cuando se incrementa el rnimero clesegmentos del polfgono. Esteso es familiar para eI caso de un cfrculo, donde la circunferencia es el Iimite de longde poligonos inseritos (vease la figura 2),Ahora suponga que una curva C se define mediante la ecuacion y =(x). dond

    continua y a ~ x ~ b. Se obtiene una aproxirnacion poligonal a C dividiendo el in10 [a, b] en n subintervaios con puntos extrernos Xo, X " . , x" y de amplitud igualSi y,=(x,), par 10 tanto e l p un to P ,(x" )',) yace en Cy el polfgono con vertices Po. P "P", ilustrado en la figura 3, es una aproximaci6n a C.

    y P, Y'" f i x )\ .P I'

    P (I

    . . .0 (/ x, x~ X1-1 x , Ii .r

    La Iongitud L de C es aproximadamente la longitud de este polfgono y la aproxcion es rnejor cuando se incrementa II. (Vease la figura 4. donde se ha arnpliado ede la curva entre Pi-I Y Pi Yse rnuestran las aproximaciones COil valores sucesivarmas pequefios de Ax) Por 10 tanto. se define Ia longitud L de Ia curva C con la ecu)' = .r(x), a ~ x ~ b. cuando ellimite de las longitudes de estos pohgonos inscritos

    P, Ifrnite existe):

    P ,

    P,

    P,

    FIGURA 4

    C DObserve que el procedimiento para definir la longitud de arco es rnuy similar al p

    dimiento empleado para definir area y volumen: se divide Ia curva en un gran mimepartes pequefias. Luego, se determinan las longitudes aproximadas de las partes peqy se suman, Por ultimo, se toma ellfmite cuando J 1 --'> 00.

    La definicion de la longitud de arco expresada en la ecuacion I no es muy convenpara propositos de calculo, pero se puede deducir una formula integral para L en edondeftiene una derivada continua. [Tal funcionjse denomina uniforme porque unbio pequefio en x produce un cambio pequefio en f'(x).1Si AY i =i - Y i-I , por 1 0 tanto

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    526 !!!I CAPiTULO B MAs APLICACIONES DE LA INTEGRACIONAl aplicar el teorema del valor medio af en el intervalo [XH, Xi], se encuentra cjueruirnero x ? entre Xi-I y X i tal que

    es decir, b.y,='(x/j b. xAsi, se tiene

    I Pi-IP.! =(!:lxF + (b.YiF =(!:lxF + [f'(xt) b.xl"=Jl + ff'{Xt)]2 J{!:lxF =Jl + [f'(X/)]2 D .x ( pu es to q ue j

    Por 10 tanto, por la definicion 1 ,II n

    L=1 m 2 : I PHP, I = 1 m 2 : Jl + [f'(xnr!:lx, , - ~ ' : . C i= I 11~),:o:., i-ISe reeonoce que esta expresi6n es iguaI a

    J 'b Jl + [f'(X)]2 dx"por la definicion de una integral definida. Esta integral existe porque la fug(x) =JI + [f'(X)J2 es continua. Asf, se ha demostrado el siguiente teorerna:

    r n FORt4ULA DE LA LONG 1TU D DE A ReO S i f' es continua en [a, b] . en tal casolongitud de la curva y =(x), a "'" x "'"b, es

    Si se usa l a notac ion de Leibniz para derivadas, se puede eseribir la f6rmula degitud de arco como sigue:

    r b ~ ( d y ) 2L = J " 1 + dx dxEJEM PLO I Halle la Iongitud de area de la parabola sernicubica y2 =3 entre los p(1, n y (4,8). (Vease figura 5).

    (4,8) S O L U C I O N Para la mitad superior de la curva se tiene

    y . por 10 tanto, la formula de longitud de arco producex

    (dy ) 2 ' 4I + - dx = J 1 + ~X dxdx .1 4F IG U R A 5 L= fSi se sustituye II= I + ~x, despues e l l ! = ~dx. Cuando x = 1, U = ; cuando x =II= 0 .

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    2C om o eo mprob aei6 n d e la resp ues ta a lejem p lo 1, observe en la figu ra 5 que esneeesa rio q ue la lo ng itu d d e a rea debe serun poco m as g rande que la d is tan c ia de 1 1, 1 ) a(4 ,8 1, q ue es

    J 58 '" 7.615773De a cu erd o c an el ca l eu l 0 de! e jem plo 1. setiene

    L=7 (soJlO - uv 'T I) '" 7.633705C on certeza su fic ien te. es ta es u n p oc o m asgra nd e q ue la lo ng itu d d e I s sq rnen to d e rec ta .

    En la figu ra 6 se m ues tra el a rea de lap arab ola cuy a lon qitud s e ca lcu l6 en ele je mp lo 2 . ju nto c an a pro xlm ac io nes p oliq on a-les qu e tien en segm en tos de rec ta n=Y11 = 2 . re sp ec tiv am en te. Pa ra It= lalo ng itu d a pr ox im a da e s L I=./2. l a d ia g o na lde un cuad rado . En la tab la se m ues tran lasaprox imac iones L; qu e S8 o b ti en en a J d i vid ir[0 , 1] en n s ub in te rv alo s ig ua le s. O bs er ve q uec ad a v ez q ue S8 dup lica el ndm ero de lades deu n p o lf g on o . S8 a prox im a m as a la lon gitudexsc ta . qu e es

    .[5 10(.[5+ 2 )L=- + = I 4789432 4 .

    SECCJON 8.1 LONGITUD DEAReo 1 1 1 1

    Por 1 0 tanto,_ 4 flO I _i ~ 3/ 2] 1 0L - ij I v II du -

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    Debido a la presencia del signo de la rafz cuadrada en las formulas 2 y 4, el calcuna longitud de arco a menudo conduce a una integral que es muy diffcil 0 inclusosible de evaluar de manera explfcita, Asi, algunas veces se tiene que conformar conuna aproximacion de la longitud de una curva como en el siguiente ejernplo.

    528 H I I CAPiTULO 8 MAs APLlCACIONES DE LA INTEGRACION

    AI c om pro ba r e l v alo r dela i nt eg r a l d e fi ni dac on u n a a p ro x im a c io n m a s ex ac ta p ra du cid a p oru n s is tem a a lqeb ra ico com pu tac io na l, se ve q uela a p r o x i r n a c i r n p or m ed ia de la reg ia d e S im pso nes ex ac ts h as ta cua tro d ec im a les .

    ~ EJEMPlO 3(a) Establezca una integral para la longitud del areo de la hiperbola xy = 1 del pun(1, 1) al punta ( 2 , D -(b) Use la regia de Simpson con n=10 para estimar Ia longitud de area.S O l U ( I O N(a) Se tiene

    y=-xy, par 10 tanto. la Iongitud de area es

    + ( d ) : ) 1 dx = 1 2 ~ dx = 1 ' 2 ~ dxdx . ! \j 1 ""t"7 J ! X(b) POl' media de la regIa de Simpson (vease la seccion 7.7) con a =, b = 2, n =L lX = 0.1, y f(x) =I + l /x4, se tieneL = j 2 ~dx.! " V J" " t " 7

    L lX=-3- [f(1) + 4f(1.1) + 2f(1.2) + 4f(1.3) + . , , + 2f(1.8) + 4f(1.9) + f(2= 1.1321

    FUNCION DE LA LONGITUD DE ARCOSe encontrara uti! tener una funcion que mida la longitud de arco de una curva de unminado punta de partida a eualquier otro punta sabre la curva. Asi, si una curva unifotiene la ecuacion y =(x), a ~ x ~ b, sea s(x) la distancia a 10 largo de C del puntoPo(a,J(a al punto Q(x,f(x, Despues s es una funcion, Hamada la funcion longitarco y , par la formula 2,

    s(x) =t JI + [f'(t)J2 dt(Se ha reemplazado la variable de integracion por t para que x no tenga dos significSe puede usar la parte 1 del teorema fundamental del calculo para derivar la ecua(puesto que el integrando es continuo):

    ci s ~l' + (ddxY)Z r- =I + L f ' ( X ) ] 2 =cl x

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    F IGURA 7

    o

    SECCION 8.1 LONGITUD DEARCO IIIIEn la ecuacion 6 se muestra que la relacion de cambio de s con respecto a x es siernpre10menos 1 y es igual a I cuando rex)' la pendiente de la curva, es O. La difereneiallongitud de areo es

    ~ ( d l ' ) 2s = I + d:, dxy esta ecuacion se escribe a veces en la forma simerrica

    (cis)" =dX)2 + (dyfLa interpretacion geometrica de la ecuacion 8 se muestra en la figura 7. Se puede usar cdispositivo mnernotecnico para recordar las formulas 3 y 4. Si se escribe L= ds. atinuacion de la ecuacion 8 se puede resolver para obtener (7), que da (3), 0 se puede resopara obtener

    x (dX)"1+ - dydyds =que c ia (4).I lA EJEMPLO 4 Encuentre la fu ncio n lo ng itu d de area para la cu rv a y =2 - ~ In xtornando a Po(l, 1) como el punta de partida.S O l U C I O N Si f(x) =2 - ~ In x, en tal caso

    Irex) =x -- 8xI + [rex)]" =I + ( 2 X - _1 ) 2 = 1+ 4 ' ( 2 _ J _ + _1 _8x . 2 64x2

    1 I ( 1 ) 24x2 + - + --1 = 2x + -2 64x- 8xJl + [j'(x)]2 =x + _1

    8x

    Asi, la funci6n longitud de area esta dada por

    sex) =r")l + Lf'(t)F dt.1

    r 't ( 1 ) 1 1 ]'2t - - dt =: + il In t 1.1 8 f=" + ~In x - I

    Par ejemplo, la longirud de area a 10 largo de la curva de (I, J) a (3./(3)) es1 1 In 3s(3) =3' + sIn 3 - I= + -8- =8.1373

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    y

    " ' ( jP o

    y=x2-i lnro x

    530 1 1 1 1 CAPiT