T1 T2 T3 T4 T5 T6 TOTAL

CALCULO INFINITESIMALFINAL SEPTIEMBRE 6-9-06

NUM.de MATRICULA

APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICACIONES PREVIASEl examen se compone de dos partes. En la primera se realizara la TEORIA en un tiempo maximo

de 1h.30min. Se ha de indicar al grupo al que se pertenece.No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante la

primera hora. No se admiten calculadoras.

PRIMERA PARTE TEORIA

Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

T1. Se verifica que {x ∈ IR /|x − 2| + |x − 1| < 1 } = ∅ (5 puntos)

T2. lımx→0

e1x

1 + e1x

= 1. (5 puntos)

T3. Los polinomios de grado 1 de Taylor de las funciones f y g son, respectivamente P (x) = 3 − xy Q(x) = 2x, centrados en a = 0 ambos. Entonces el polinomios de grado 1 de Taylor centradoen a = 0 de h = f ◦ g es R(x) = 3 + x. (5 puntos)

T4. El teorema de Rolle se verifica para la funcion f(x) = ln(senx) en el intervalo[π

6,5π

6

].

(5 puntos)

T5.∫ 1/2

−1/2[x] dx = 0. (5 puntos)

T6. x = 0 es el maximo de la funcion F (x) =∫ x

−1t5et dt x ∈ [−1, 1]. (5 puntos)

P1 P2 P3

CALCULO INFINITESIMALFINAL SEPTIEMBRE 6-9-06

NUM.de MATRICULA

APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICACIONES PREVIASEn esta segunda parte se realizaran los PROBLEMAS en un tiempo maximo de 2h.,estos se

entregaran en hojas separadas. No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer enella al menos durante la primera hora. No se admiten calculadoras.

PROBLEMAS

P1.

(a) Estudiar la convergencia de la serie numerica∞∑

n=0

(−1)n

n!(ln 5)n

(b) Calcular lımx→π

4

sec2 x− 2 tg x

1 + cos(4x)

(10 puntos)

P2. Sea f(x) = ln(

x + 1

x − 1

)

(a) Determina el dominio de f .

(b) Estudia la existencia de asıntotas.

(c) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(d) Calcula, si existen, los valores maximo y mınimo de la funcion.

(e) Determina los intervalos de concavidad y convexidad.

(10 puntos)

P3.

(a) Probar por induccion que∫ +∞

0e−xxn−1 dx = (n − 1)! n ≥ 1.

(b) Calcular el area del recinto plano acotado por y = |x| − |x|2 y y = |x|+ |x|3 − 2.

(10 puntos)

PRIMERA PARTE TEORIA

T1. VERDADERO.

|x−2|+|x−1| < 1 =⇒

Si x ≤ 1 =⇒ −(x− 2) + (−(x− 1)) < 1 =⇒ 3 − 2x < 1 =⇒ x > 1!!!Si 1 < x ≤ 2 =⇒ −(x− 2) + (x− 1) < 1 =⇒ 2 − 1 < 1 =⇒ 1 < 1!!!Si x > 2 =⇒ (x − 2) + (x − 1) < 1 =⇒ 2x − 3 < 1 =⇒ x < 2!!!

T2. FALSO.

lımx→0+

e1x

1 + e1x

= lımx→0+

1

1 + e−1x

= 1, lımx→0−

e1x

1 + e1x

=0

1= 0

T3. FALSO.

Los polinomios de grado 1 de Taylor de las funciones f y g son P (x) = f(0) + f ′(0)x = 3 − xy Q(x) = g(0) + g′(0)x = 2x. Entonces el polinomios de grado 1 de Taylor centrado en a = 0de h = f ◦ g es R(x) = h(0) + h′(0)x = (f ◦ g)(0) + (f ◦ g)′(0)x = f(g(0)) + f ′(g(0))g′(0)x =f(0) + f ′(0)g′(0)x = 3 + (−1)2x = 3 − 2x 6= 3 + x.

T4. VERDADERO.

f(x) = ln(senx) es continua donde senx > 0 =⇒ x ∈[π

6,5π

6

]⊂ (0, π) f continua,

f ′(x) =cos x

senxx ∈

(π

6,5π

6

)y f(π/6) = f(5π/6) =⇒ ∃α ∈

(π

6,5π

6

)/ f ′(α) = 0

α = π/2

T5. FALSO.∫ 1/2

−1/2[x] dx =

∫ 0

−1/2[x] dx +

∫ 1/2

0[x] dx =

∫ 0

−1/2(−1) dx +

∫ 1/2

00 dx = (−x]0−1/2 = −1

26= 0

T6. FALSO.

F (x) =∫ x

−1t5et dt x ∈ [−1, 1] =⇒ F ′(x) = x5ex x ∈ (−1, 1)

F ′(0) = 0, F ′(x) > 0 si x > 0, F ′(x) < 0 si x < 0 =⇒ x = 0 es mınimo local de F .

PROBLEMAS

P1.

(a) Estudiamos la serie numerica de los valores absolutos∞∑

n=0

∣∣∣∣∣(−1)n

n!(ln 5)n

∣∣∣∣∣ =∞∑

n=0

1

n!(ln 5)nutilizando

el criterio del cociente

lımn→∞

1(n+1)!(ln5)(n+1)

1n!(ln5)n

= lımn→∞

n!(ln 5)n

(n + 1)!(ln 5)(n+1)= lım

n→∞

1

(n + 1) ln 5= 0 < 1

la serie es absolutamente convergente.

(b) lımx→π

4

sec2 x − 2 tg x

1 + cos(4x)= lım

x→π4

1cos2 x

− 2 senxcosx

1 + cos2 2x − sen2 2x= lım

x→π4

1 − sen 2x

cos2 x(2 − 2 sen2 2x)=

lımx→π

4

1 − sen 2x

2 cos2 x(1 − sen 2x)(1 + sen 2x)= lım

x→π4

1

2 cos2 x(1 + sen 2x)=

1

2

P2. f(x) = ln(

x + 1

x− 1

)

(a) Dom(f) ={x ∈ IR /

x + 1

x − 1> 0, x 6= 1

}= IR−[−1, 1].

(b) Asıntotas verticales: x = 1+, x = −1−

lımx→1+

ln(

x + 1

x − 1

)= +∞, lım

x→−1−ln(

x + 1

x − 1

)= −∞

Asıntotas no verticales: lımx→∞

ln(

x + 1

x − 1

)= 0 =⇒ y = 0 asıntota horizontal.

(c) Crecimiento y decrecimiento.Maximos y mınimos.

f ′(x) = − 2

x2 − 1< 0 x ∈ (−∞,−1)

⋃(1,+∞) =⇒ f decrece en su dominio, y por tanto,

no hay extremos.

(d) Concavidad y convexidad.

f ′′(x) =4x

(x2 − 1)2=⇒ f ′′ > 0 x ∈ (1,+∞), f ′′ > 0 x ∈ (−∞,−1) =⇒ f es concava en

(1,+∞) y es convexa en (−∞,−1)

P3.

(a)∫ +∞

0e−xxn−1 dx = (n − 1)! n ≥ 1

n = 1∫ +∞

0e−xx0 dx =

∫ +∞

0e−x dx = lım

T→+∞

∫ T

0e−x dx = lım

T→+∞

(−e−x

]T0

= lımT→+∞

(−e−T + 1

)=

1 = 0!

Suponemos cierto el resultado para n = k∫ +∞

0e−xxk−1 dx = (k − 1)! veamos que pasa

para el siguiente:

n = k + 1∫ +∞

0e−xxk dx =

∣∣∣∣∣u = xk du = kxk−1 dxdv = e−x dx v = −e−x

∣∣∣∣∣ =

lımT→+∞

((−xke−x

]T0

+ k∫ T

0e−xxk−1 dx

)= k

∫ +∞

0e−xxk−1 dx = k(k − 1)! = k!

(b) Area del recinto plano acotado por y = |x| − |x|2 y y = |x| + |x|3 − 2 ambas funcionespares, es decir, simetricas respecto al eje OY . Buscamos los puntos de interseccion en x >0 =⇒ x − x2 = x + x3 − 2 =⇒ x = 1

Area = 2∫ 1

0

((x− x2) − (x + x3 − 2)

)dx = 2

∫ 1

0

(−x2 − x3 + 2)

)dx = 2

(−x3

3− x4

4+ 2x)

]1

0

=

= 2(−1

3− 1

4+ 2)

)=

17

6u2