Calculo_numerico Metodo Gauss-newton

7/31/2019 Calculo_numerico Metodo Gauss-newton

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CLCULO NUMRICO

D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S


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Instituto Profesional Dr.Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas

NDICE TEMTICO

Unidades Pgina

I Unidad N "Teora de errores. Normas vectoriales y matriciales" " 1

Introduccin a la teora de errores"" 3

Errores experimentales y de modelacin 3"""

Errores de tipo matemtico 4""#

Errores absolutos y relativos 4""$

Grfica del error global 6""%

Condicionamiento y estabilidad 7""&

Cifras significativas"# 7

Ejercicios"$ 8

Actividad Personal 13

Normas vectoriales y matriciales"% 14

1.4.1. Normas vectoriales 14

1.4.2. Distancia inducida por una norma 15

1.4.3. Convergencia en espacios normados 15

1.4.4. Normas matriciales 16

II.- Unidad N 2 "Sistema de ecuaciones lineales" 17

2.1. Nmero de condicin 18

2.1.1. Propiedades del nmero de condicin 20

2.2. Mtodos por factorizacin PY 21

2.2.1. Factorizacin de Cholesky(i) 22

2.3. Mtodos iterados 24

2.3.1. Mtodos de descomposicin 26

2.4. Ejercicios 30


III.- Unidad N 3 "Resolucin de ecuaciones no lineales" 40

3.1. Acotacin y separacin de races 41

3.2. Mtodo y algoritmo de la biseccin: anlisis de errores 41

3.3. Punto fijo e iteracin funcional 43

3.4. Mtodo de Newton: anlisis de errores y Regla de Fourier 45

3.5. Ejercicios 50



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IV.- Unidad N 4 "Aproximaciones" 63

4.1. Mejor Aproximacin en espacios normados 63

4.2. Aproximacin discreta de mnimos cuadrados 64

4.3. Aproximacin discreta de mnimos cuadrados, caso no lineal 65

4.3.1. Mtodo de Gauss-Newton 66

4.4. Ejercicios 68


V.- Unidad N 5 "Interpolacin" 72

5.1. Interpolacin polinomial 72

5.1.1. Interpolacin de Lagrange 72

5.1.2. Interpolacin de Newton 73

5.1.3. Fenmeno de Runge 76

5.1.4. Interpolacin de Hermite 77

5.2. Interpolacin por Spline 79

5.2.1. Clculo de los Splines cbicos de interpolacin 79

5.3. Ejercicios 81


VI.- Unidad N 6 "Integracin Numrica" 88

6.1. Frmulas de cuadratura 88

6.2. Frmulas de Newton-Cotes90

6.2.1. Frmula del trapecio 90

6.2.2. Frmula de Simpson 91

6.3. Frmulas Compuestas 916.3.1. Simpson para par 918

6.3.2. Trapecios para impar 928

6.4. Ejercicios 92


VII.- Unidad N 7 "Solucin Numrica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias" 102

7.1. Introduccin a las E.D.O. 102

7.2. Mtodo de Taylor 104

7.3. Mtodos de Runge-Kutta 105

7.3.1. Mtodo de Euler 106

7.3.2. Mtodo de Euler Mejorado y Euler-Cauchy (o de Heun) 108 7.3.3. Runge-Kutta de tercer y cuarto orden 109

7.3.4. Runge-Kutta de orden superior 110

7.4. Ejercicios 111



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C l c u l o N u m r i c o

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El Anlisis Numrico trata de modelar o disear mtodos para aproximar, de manera eficiente, lasolucin a problemas numricos complejos utilizando operaciones de la aritmtica.

La eficiencia de los mtodos depende tanto de la precisin que se requiera como de la facilidad con quepueda implementarse.

En la prctica, el problema matemtico se deriva de un fenmeno fsico sobre el cual se hacensuposiciones para representarlo matemticamente. Muchas veces es ms conveniente encontrar una solucinaproximada del problema matemtico ms complicado que encontrar una solucin exacta del modelosimplificado.

Ejemplo de un osciloscopio:

Anlisis de datos en la interaccin con dispositivos de hardware

Los mtodos de clculo se denominan "algoritmos". El algoritmo es una secuencia de operacionesalgebraicas y lgicas que producen la aproximacin al problema matemtico y se espera que tambin alproblema fsico.

En la seleccin del algoritmo se debe tener en cuenta que los cambios tecnolgicos los afectansignificativamente, ya que computacionalmente dependen de la capacidad de almacenamiento de la computadora

y del costo asociado con los tiempos de cmputo.

Adems de esto se toman dos criterios muy evidentes: la rapidez y la precisin. La primera se ve msfavorecida cuando sean problemas a gran escala, es decir, que el algoritmo ms rpido sera el elegido.

Superficie creada usando spline racional y su polinomio de Taylor Modelo numrico de un huracn

Dado que un computador est compuesto de dispositivos que realizan las operaciones lgicas yaritmticas, los procedimientos matemticos deben simplificarse a tal grado que sean accesibles para procesarseen un computador.


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Las aplicaciones de los mtodos numricos son prcticamente ilimitadas y se requiere conocimiento endiferentes disciplinas como la economa, fsica, ingeniera, etc.

En especial nuestra asignatura de constituye una introduccin a la resolucinClculo Numricoefectiva de los problemas de la Matemtica Aplicada planteados en las asignaturas de Clculo Infinitesimal (I, II,III o Complemento) y lgebra Lineal, las cuales deben haber proporcionado la base terica necesaria para lacomprensin de los mismos; si no, te invitamos a que refuerces algunos conceptos que te sern de gran ayuda.

El esquema esencial que se sigue en este curso, con respecto a sus temas, es:

. Planteamiento del problema

.Algoritmos de resolucin

.Anlisis de los errores

.Ejercicios desarrollados

Autoevaluacin.

Se considera esencial que se entienda la verdadera dimensin de los problemas (por ejemplo, se trata deresolver sistemas de miles de ecuaciones en otras tantas incgnitas o calcular la integral de una funcin sloconocida en un nmero pequeo de puntos).

Slo de esta forma comprender la importancia del estudio de los diferentes errores que se producen enla resolucin numrica de un problema, as como la necesidad de su control, seguimiento y acotacin.

Vista especular de un cuanto usando datos procedentes

de un microscopio de tnel de barrido.

En la mayora de los casos trataremos de buscar la solucin de una forma iterada, es decir, construyendouna sucesin convergente a la solucin del problema.

En resumen, el siguiente diagrama explica grficamente todo lo anterior:


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"" Introduccin a la teora de errores

Las tcnicas del Clculo Numrico han experimentado un notable avance desde la aparicin de los PC's.Dicho tipo de PC's ofrecen la posibilidad de realizar grandes cadenas de clculos en un tiempo prudencial, lo quese traduce en que muchos mtodos que durante tiempo han permanecido en el terreno de lo utpico e irrealizableson ahora factibles.

Sin embargo, y dado que el PC trabaja con un determinado nmero de cifras decimales, todos losnmeros que aparecen en los clculos son redondeados. As por ejemplo, si trabajamos con cinco cifrasdecimales e introducimos el nmero el PC lo redondear a cometiendo un error de# "#$&'( # "#$&( ! !!!!!$que recibe el nombre de error de redondeo. Es evidente que para clculos con pocas operaciones este error esprcticamente despreciable, pero estamos hablando de que los mtodos que eran utpicos y que resolvemosahora con la ayuda del PC constan de gran cantidad de operaciones y, por tanto, de redondeos.

Evidentemente no todos los errores que se comenten son de redondeo, sino que estos pueden serproducidos por muchas otras causas que estudiaremos en este tema.

Lo que si debe quedar claro es que debido a la gran cantidad de operaciones que vamos a realizar en undeterminado proceso, es necesario realizar un detallado estudio de todos los errores que pueden ser arrastradosen l, ya que de lo contrario, el resultado no sera fiable.

Comenzaremos, por ello, estudiando los diferentes tipos de errores que pueden producirse en unproceso de clculo.

""" Errores experimentales y de modelacin

Estos errores son inherentes al planteamiento del problema y pueden ser de dos tipos:

Experimentales

Surgen de la utilizacin de datos afectados de error, bien debido a los aparatos de medida (por falta de

precisin de estos), bien debido a nuestros sentidos (errores personales entre ellos).

De modelizacin

Tienen su raz en la aproximacin de la realidad por modelos matemticos sobre los que se realiza elestudio. Son generalmente de tipo fsico y debidos a que el modelo matemtico utilizado no refleja exactamentela realidad sino una aproximacin de sta. Se pueden producir voluntariamente (intencionados) oinvoluntariamente (por desconocimiento de algunas leyes).

Un ejemplo tpico de modelizacin es el tiro parablico. Es evidente que la trayectoria de un proyectilno es exactamente una parbola, ya que sta se producira slo en el caso de que el aire no ofreciera resistencia,que la gravedad no experimentara variaciones etc., sin embargo es evidente que cada vez que introducimos unnuevo factor que pueda modificar la trayectoria, elmodelo se complica. Es por ello, que resulta prcticamenteimposible tener en cuenta todos estos factores y es necesario despreciar alguno de ellos para que el modelo

resultante sea factible de estudiar. De esta manera, podemos comenzar diciendo que no tendremos en cuenta lasvariaciones de la gravedad (estamos cometiendo un error de modelizacin voluntario).

Supongamos ahora que se quiere estimar la posicin de un cometa a partir de los datos obtenidos trasuna serie de observaciones. Es evidente que estos datos vendrn afectados de ciertos errores de medicin debidosa mltiples causas como puedan ser la falta de precisin de los aparatos, las variaciones producidas por larefraccin de la luz e incluso a errores personales. Es decir, vienen afectados de errores de experimentacin.


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Esta ltima expresin se denomina "en el sentido amplio" de la teora de errorres y la que utilizaremosen este apunte. Debe observarse que ello no indica que han de coincidir las primeras cifras decimales de y .: B B!Por ejemplo, si y se tiene que | | y, por tanto, tiene las cuatro cifrasB # B " **** "! " ****! %&decimales exactas (aunque no coincidan ninguno de los decimales de con los de ).# !!!! " ****

Cuando se trabaja con datos que arrastran errores debe realizarse un estudio del comportamiento delerror de transmisinen cada una de las operaciones bsicas.

Para ello, consideremos los nmeros reales exactos e con sus valores aproximados e . LosB C B C! !errores absolutos de cada uno de ellos vienen dados por las diferencias y .& &B ! C ! B B C C

. Sumas y diferencias

La suma (diferencia) exacta de los nmeros e es , mientras que la aproximada esB C W B CW B C ! ! ! El error de dicha suma (diferencia) viene dado por

& & &= ! ! ! B C W W B C B C

por lo que ? & &W B C & & &= B C

. Productos

& & &: ! ! B C BC B C BC B C BC BC B C & & & &B B B C

( considerando despreciable )? & &T : B C & & & B C C BPodemos observar entonces que el error absoluto del producto depende de las magnitudes eB C

Trabajando con los errores relativos tenemos que:

& & & & && & & & & & && &


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. Funciones

& &0 ! B 0B 0B 0B 0B

0 B 0 B 0 B 0 B &B w ww#xB

0 B 0 B 0 B#x

& &&

B Bw

#B w ww

? &0 B w &0 0 B

Observacin importante: Aunque no podamos calcular exactamente el valor de , podemos0 Bw

sustituirlo por ya que el error depende, en gran medida, del valor de .0 B w B0 &

""% Grfica del error global

En un proceso tpico de discretizacin, es decir, en una familia infinita de procesos que dependen de 8(grado de un polinomio, nmero de trminos de una suma, etc.) sabemos que al aumentar el error de8discretizacin tiende a cero, pero aumenta el nmero de operaciones y por tanto, el error de redondeo.

Figura Variacin de los errores de discretizacin y redondeo.""

Las grficas (1) y (2) de la nos muestran la variacin de los errores de discretizacin y deFigura ""redondeo, respectivamente, a medida que aumenta el valor de .8

El error total que se comete en el proceso completo de discretizacin viene dado por la suma de amboserrores, es decir:

| | = | | + | |& & &> . B # " %"% & # "! #! ! !!# "! & %& % #Calculamos ahora el valor de obteniendo:" %"%&

, con | | ." %"% & '&)%#* & '& # ' "!& & &< con

| | | | | | ,& & & # ' "! # "! % ' "! "!< >$ $ $ #

por lo que con todas sus cifras exactas.# & '&&Llamando a la aproximacin de , el error de transmisin es:B #

! | | | | | | | |.& & &

> B B! # B & # #! & %&

Ejercicio "% # #Determinar la precisin con la que hay que tomar para calcular con tres cifras &decimales exactas.

Solucin: Para obtener tres cifras decimales exactas, ha de ser | | , es decir: &>$

"!

| | | |#! "! ! & "! "!& &B B$ $"!

#!% %

Luego debe tomarse al menos con cuatro cifras decimales exactas tras el redondeo, es decir, dado B!

que . . :# "%"%#"$ con | | .# " %"%# ! & "! "!&B % %

Conclusin: el error de transmisin es superior al error en el dato. Partiendo de un valor que tiene cuatro cifrasdecimales exactas, llegamos a un resultado del que slo podemos garantizar la exactitud de tres cifras decimales.

Ejercicio "& # " # " %"%Calcular ( ) tomando (que tiene todas sus cifras exactas) y estimar el &error . Determinar laprecisin con la que hay que tomar para calcular ( ) con tres cifras decimales # # " &exactas.Solucin: Partimos de que el valor aproximado de dado por tiene todas sus# " B " %"% " ! %"%

!

cifras exactas, es decir, partimos de un error en los datos | | .&B "!$

Si consideramos la funcin ( ) = , de la cual queremos obtener el valor de ( ) = ( ), el0 B B 0 B 0 # "& error de transmisin vienedado por

| | | | ' ( ) ( )& &> B !

0 B "! & ! %"% " %')) "! " %( "! "!$ % % $%

por lo que no podremos obtener ms de tres cifras decimales exactas.


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Al calcular ... slo podremos garantizar como exactas, a lo ms, las tres! %"% ! !"#"'"*!(&

primeras cifras decimales.

Si redondeamos obtenemos donde | | . .. .! %"% ! !"# " '"*!( "! " '# "!& % %& &< < >

donde

| | | | | | ,& & & " '# "! " %( "! $ !* "! "!< >% % $%

por lo que ( ) con todas sus cifras exactas.# " ! ! "#5En cuanto a la precisin con que debe conocerse para obtener tres cifras decimales exactas al#

calcular ( ) , vamos a ver que puede ser algo menor que la que nos dan en el enunciado.# " 5Se trata de que | | | | | ( ) | .&> ! !

$ B B # " B "!& & & 5

| | | | | | | | .& & &> B B$

0 B & B "!w %

Luego:

| | ... y este es el error mximo que debe tener .&B !$ $

% % ! !!'(*% B"! "!&B & #"( )

Si se toma on tres cifras exactas de , el error ser | | ... ,B - # " "! ! !!" ! !!'(*%! B

$ &pero observemos que podemos afinar an ms, y concluir diciendo que basta con tomar con dos cifrasB

!

decimales exactas y redondear, pues entonces:

| | ...&B

# !& "! !!!& !!!'(*%

Por tanto, puesto que ... , tomaremos:# " ! %"%#"$con | | ...B ! %" ! %"%#"$ ! !!&

! B&

y el error transmitido ser:

| | | | .& &> B !$

& B ! !!& & ! !#) ! !!!( ( "! "!% %

As pues, tomando obtenemos# "%"( ) ...# " ! %" ! !""&)&' 5 &

> >& &

redondeando se tiene que

( )# " ! !"# ! !"# 5 & & &> #% % %

Obsrvese, como conclusin, que el error transmitido es menor que el error en el dato, es decir, esperfectamente posible que, partiendo de un dato con una determinada precisin, despus de operar con l, sealcance mayor precisin en el resultado. En otras palabras, el operar con los datos aproximados no siemprelleva a una prdida de precisin.


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Ejercicio "' # " # " %Se quiere calcular el valor de ( ) utilizando el valor aproximado . Cul de las 6siguientes expresiones es mejor numricamente? Justifica la respuesta.

a) ( ) b)$ # #"

** (! # 3

Solucin: Si aproximamos por , estamos trabajando con un error menor que .# " % "!"

a) La aproximacin de dada por tiene un error$ # # B $ # " % ! #!

| |&B"

# "! ! #

por tanto ( ) , con$ # # ! !!) 3 &>

| | | | ( ) ( ) ( )& &> B !"

$ B ! # $ ! !% ! !#% "!#

con lo que podemos garantizar, a lo ms, un cifra decimal exacta:

( )$ # # ! ! ! ! 3 & & &< >con | | | | | | ,& & & ! !!) ! !#% ! !$# "!

< >

"

es decir, obtenemos que ( ) , pero no podemos garantizar ninguna cifra decimal ms.# " ! !6b) Aproximando por el valor , tenemos un error** (! # B ** (! " % "*(

!

| |&B"

(! "! (

Si consideramos la funcin ( ) = y aproximamos el valor buscado por el de ( ) obtenemos que0 B 0 B"

B !

= ... , con( )

" "

** (! # "*( ! !!&!('" & &> >

| | | | ... .& &> B

( " )!$ "! "!" "

B "*(#!

#% $

Si redondeamos a la tercera cifra decimal

, donde( )

"

** (! # ! !!& ! !!& & & &< >

| | | | | |& & & ! ! !!!) ! ! !!"* ! ! !!#( "!< >

$

es decir, obtenemos ( ) con todas las cifras exactas.# " ! !!&6En resumen, por el primer mtodo slo garantizamos una cifra decimal exacta, mientras que el segundo nosgarantiza tres.

Ejercicio "( ( % $ $Se desea calcular el valor de la expresin ( ) utilizando el valor aproximado de 4

" ($#!& (que tiene todas sus cifras exactas). Cul de las siguientes frmulas equivalentes es mejor desde elpunto de vista numrico?

a) b) c) d) e)" "(% $ *(&' $ ( ) 4 #

#*( &' $ "))"( "!)'% $

"

"))"( "!)'% $

Solucin: Trabajando con , es decir, con un error inicial de tenemos:$ " ($#!& "!&( % $ ! !(") % "! & &

B B

&, con | | , por lo que


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( ) ... , con | | | | ( % $ ! !!!!#'&('%** % ! !(") ' "! "! 4 & & &> > B

$ ) (

por lo que ( ) , con( % $ ! ! !!!#' 4 &| | | | | |& & & # $' "! ' "! "!

< >

) ) (

es decir, obtenemos 7 cifras decimales exactas.

a) ... , con | | | |( ) )

" %

( % $ ! !!!!#'&("(%" $ " "! "!

"$*#)# 4 & &> B "! *&y, por tanto, , con

( )

"

( % $ ! !!!!#'&(# 4 &

| | | | | | ( )& & & # ' $ " "! "!< >"! *

por lo que obtenemos 9 cifras decimales exactas.

b) con | | , por lo que*( &' $ "*$ **%) &' "! & &B B

&

... , con | | | |" #

*( &' $ ! !!!!#'&("(#* " ' "! "!

"*$ **%)#

> B $

"! *

& &

es decir , con"

*( &' ! !!!!#'&(# # &

| | | | | | ( )& & & # ) " ' "! "!< >

"! *

por lo que, en este caso, tambin obtenemos 9 cifras decimales exactas.

c) con | | , por lo que*( &' $ ! !! &' "! & &B B &( ) ... , con | | | |*( &' $ ! !!!!#(!%! # ! !! & )$ "! "! 2 & & &> > B ' &

es decir ( ) , con*( &' $ ! ! !!!$ 2 &| | | | | |& & & # *' "! & )$ "! ) (* "! "!< >

' ' ' &

slo obtenemos 5 cifras decimales exactas.

d) , con | | , por lo que no"))"( "!)'% $ ! !!)(******** "!)'% "! ! "!* & &B B

&

podemos garantizar ninguna cifra decimal.

e) , con | | por lo que"))"( " !)'% $ $('$$ **"# "!)'% "! ! "!)'% & &B B

&

"

"))"( "!)'% $ ! !!!!#'&("(#$#((

( ) &>

con | | | | , es decir & &> B #"" "!

( '(" "! "!"

$('$$ **"#

"

"))"( "!)'% $ ! !!!!#'&("(

( ), con &

| | | | | | ( )& & & # $#) ( '(" "! "!< >"" "!

que resulta ser el caso ptimo, ya que se obtiene el resultado con cifras decimales exactas."!


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Ejercicio ") B %! B " !Calcular la menor de las races de la ecuacin sabiendo que#$** "**(& (con todas sus cifras exactas) y comparar los errores producidos.a) Directamenteb) Utilizando la expresin ( ) .#! $** "

Solucin: Las races de la ecuacin son , por lo que la menor de ellas es .#! $** B #! $** 7a) Si la calculamos directamente se obtiene que con las tres cifras decimalesB #! "* *(& !!#&

7

exactas.

b) con un error | | .#! $** $* *(& "! &B $" "

#! $** ! !#&!"&'$%(( ' $ "! "!

$* *(&( )... , con | | | | .

( ) & & &> > B # ( 'Redondeando a la sexta cifra decimal

"

#! $** ! !#&!"' $ "! ' $ "! "!

( ), con | | | | | | 7 & & & &< > ( '(

es decir, obtenemos cifras decimales exactas, frente a las 3 obtenidas mediante el clculo directo.'

Actividad Personal

A continuacin se proponen ejercicios tomados en certmenes anteriores y ejercicios propuestos paraser resueltos a modo de autoevaluacin.

" C B &B 'B ! && B # ($ $Evale el polinomio en Use dgitos significativos. Determine el$ #

error.

# Con qu exactitud es necesario medir el radio de una esfera para que su volumen sea conocido con unerror relativo menor de %? Cuantos decimales es necesario emplear para el valor de ?!!" 1

$ #! -7 $! -7 "La base y la altura de un tringulo son respectivamente y , medidos con una exactitud de77 . Calcular con que exactitud se conoce el rea del tringulo y estimar el error absoluto en la medida de starea.

% Calcular el valor de la aceleracin de la gravedad y la precisin con que se determina al dejar caer uncuerpo en un pozo de profundidad . La duracin de la cada es de .%*& #"! 7 ! !!& 7 "! !& = ! !" =

& La resistencia que un conductor metlico presenta al paso de la corriente elctrica, vara con la temperaturade dicho conductor. Para rangos de temperatura no muy elevados, esta variacin tiene la forma:

V V " >! !, donde es la resistencia a y es el coeficiente de variacin de la resistencia con la temperatura. LaV ! G! o !resistencia se mide a con un mismo medidor que aprecia y el termmetro usado para medir la&! G ! !!"o

temperatura aprecia . Los valores obtenidos de las mediciones fueron: ; ; ; ;! & G # %!# # %!) # %!$ # %!(o

# %!& V # !!* ". Se sabe que con un error sistemtico del % . Calcular el error de escala y sistemtico que!se presenta al medir el coeficiente de variacin de la resistencia con la temperatura.


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"% Normas vectoriales y matriciales

Definicin "$. Sea un espacio vectorial definido sobre un cuerpo . Se define una norma como una aplicacin, que denotaremos por el smbolo || ||, de en (cuerpo de los nmeros reales) que verifica las siguientes propiedades:

, siendo (definida positiva)." B ! a B B ! B ! homogeneidad).# - B - B a - a B , desigualdad triangular).$ B C B C a B C

Un espacio en el que hemos definido una norma recibe el nombre de . espacio normado

Es frecuente que en el espacio se haya definido tambin el producto de dos elementos. En este caso,si se verifica que

B C B Cse dice que la norma es . Esta propiedad es fundamental cuando trabajamos en el conjuntomultiplicativa `88

de las matrices cuadradas de orden . Sin embargo no tiene mucha importancia cuando se trabaja en el espacio8 C[ , ] de las funciones continuas en el intervalo [ , ].+ , + ,

"%" Normas vectoriales

Sea un espacio normado de dimensin y sea { , , . . . , } una de l. Cualquier vector de 8 ? ? ? B" # 8 puede ser expresado de forma nica en funcin de los vectores de la base .

B B ?"3 "

8

3 3

donde los escalares ( , , . . . , ) se conocen como del vector respecto de la base .B B B B" # 8 coordenadas

Utilizando esta notacin, son ejemplos de normas los siguientes:

(llamada ) B B ""

3 "

8

3 norma-1

(que recibe el nombre de ) B B "2 23 "

8

3 norma euclideana

(cuyo nombre es ) B B _ 3

mx norma infinito

3

Por ejemplo, en consideremos el vector tenemos que las normas respectivas seran:# "p

B " #

" +B B B B " # $" 3 " #p

"3 "

#

" B B " # &" 3p 3 "

#

2

2 2 2

B B " # #" 3p _ mx mx 3"#


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Observamos que las tres normas son distintas entre s, pero son ; concepto que no veremos.equivalentes

En cambio, para las normas respectivas dan:B ! "#p

"+B B B B ! " "" 3 " #

p

" 3 "

#

" B B ! " "" 3p 3 "#

2

2 2 2

B B ! " "" 3p _ mx mx 3"#

es decir, las normas son iguales entre s, pero recordemos que en general esto no es as.

"%# Distancia inducida por una norma

Definicin "%. Dado un espacio vectorial , se define una como una aplicacin de en distancia . cumpliendo:

" .B C ! a B C .B C ! B Csiendo

# .B C .C B a B C

$ .B C .B D .D C a B C D

Definicin "&. Si ( , || || ) es un espacio normado, la norma || || induce una distancia en que se conoce como distancia inducida por la norma || || y viene definida por:

|| ||. B C B C

Veamos que, en efecto, se trata de una distancia:

" .B C ! .B C ! B C ! B C ! B Cporque es una norma, y adems || ||

# .B C B C "C B " C B C B .C B|| || || || | | || || || ||

$ .B C B C B D D C B D D C .B D .D C || || || || || || || ||

"%$ Convergencia en espacios normados

Definicin "'. Una sucesin de vectores , , . . . , de un espacio vectorial normado ( , || ||) se dice que es@ @" #

convergente a un vector si@

lim5 _

5|| ||@ @ !

Esta definicin coincide con la idea intuitiva de que la distancia de los vectores de la sucesin al vectorlmite tiende a cero a medida que se avanza en la sucesin.@

Teorema "(. Para un espacio vectorial normado de dimensin finita, el concepto de convergencia esindependiente de la norma utilizada.


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"%% Normas matriciales

Dada una matriz y un vector , consideremos el vector transformado . El mayor de los cocientesE B EBentre dichas normas, para todos los vectores del espacio, es lo que vamos a definir como norma de la matriz E

E B E B(no es lo mismo que la propiedad multiplicativa de una norma, ya que aqu se estn utilizando dos normasdiferentes, una de matriz y otra de vector), luego

E E B B "E BBmx mx

BZ !

de tal forma que a cada norma vectorial se le asociar, de forma natural, una norma matricial.

Norma-" Si utilizamos la norma-1 de vector obtendremos

E E B B "" " "

mx

Dado que se tiene queE B C C + B3 35 55"

8

" "" E + B B " " "

3"

8 8

5"

35 5mxPor ltimo, si descargamos todo el peso sobre una coordenada, es decir, si tomamos un vector de la base

cannica, obtenemos que

E +" 34

mx"3 "

8

4

Norma-# (o norma euclideana)

Utilizando la norma-2 de vector se tendr que

E B E E B B B " 2 mx Descargando ahora el peso en los autovectores de la matriz obtenemos que

E B B B B " 2 mx mx mx 3 3 3- - 5

3 3 3

Se dice que una matriz es si verifica que = *.Q Q Qhermtica

Norma infinito

Utilizando ahora la norma infinito de vector se tiene que

" E + B B " _ _4 "8

34 4mxComo ahora se dar el mximo en un vector que tenga todas sus coordenadas iguales a , se tiene que"

"E +_

4 "

8

34mx

3

Norma de Frobenius: ! E + >


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ara los sistemas de ecuaciones lineales, de la forma , trataremos de buscar mtodos iterados, esP EB ,decir, transformando el sistema en otro equivalente de la forma , donde .B J B J B Q B R Evidentemente habr que exigir algunas condiciones a la matriz para que el mtodo sea convergente y estasQcondiciones se basan en los conceptos estudiados de normas vectoriales y matriciales.

Dada una aplicacin y un vector , resolver el sistema de ecuaciones es0 , 0 B , 7 8 8

buscar el conjunto de vectores de cuya imagen mediante es el vector , es decir, buscar la imagen inversa7 0 ,de mediante ., 0

Un sistema de ecuaciones se dice si verifica quelineal en su componente -sima5

0 B B B B B B 0 B B B B B 0 B B B B B " 5" 5 5 5" 7 " 5" 5 5" 7 " 5" 5 5" 7! " ! "

Diremos que un sistema es si lo es en todas sus componentes, pudindose, en este caso, escribirlinealde la forma . Centraremos nuestro estudio en los sistemas reales.EB ,

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales atendiendo a

Su tamao

Pequeos: donde representa el nmero de ecuaciones.8 $!! 8Grandes: .8 $!!

(Esta clasificacin corresponde al error de redondeo)

Su estructura

Lleno: si la matriz posee pocos elementos nulos.Disperso o : Si la matriz contiene muchos elementos nulos.Sparce

Son matrices de este tipo las siguientes para 4): 8

Las tridiagonales Las triangulares superiores Las triangulares inferiores

+ + ! ! + + + + + ! ! !+ + + ! ! + + + + + ! !

+ + + ! + + + +! ! + + ! ! ! +

"" "# "" "# "$ "% ""

#" ## #$ ## #$ #% #" ##

$# $$ $% $$ $% $" $#

%$ %% %%

0 0

+ !+ + + +

$$

%" %# %$ %%

En cuanto a los mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, podemos clasificarlos en

Mtodos directos

Aquellos mtodos que resuelven un sistema de ecuaciones lineales en un nmero finito de pasos. Seutilizan para resolver sistemas pequeos.

Mtodos iterados

Crean una sucesin de vectores que convergen a la solucin del sistema. Estos mtodos se utilizan parala resolucin de sistemas grandes, ya que al realizar un gran nmero de operaciones los errores de redondeopueden hacer inestable al proceso, es decir, pueden alterar considerablemente la solucin del sistema.


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#" Nmero de condicin

Un sistema de ecuaciones lineales se dice cuando los errores cometidos enEB , bien condicionadolos elementos de la matriz y del vector producen en la solucin un error del mismo orden, mientras queE ,diremos que el sistema est si el error que producen en la solucin del sistema es de ordenmal condicionadosuperior al de los datos. Es decir:

y

y E E , , B E E , , B & && &BB

Consideremos el sistema cuadrado con regular, es decir, un sistema .EB , E compatible determinadoEn la prctica, los elementos de y de no suelen ser exactos ya sea porque procedan de clculos anteriores, oE ,bien porque sean irracionales, racionales peridicos, etc. Es decir, debemos resolver un sistema aproximado cuyasolucin puede diferir poco o mucho de la verdadera solucin del sistema.

As, por ejemplo, en un sistema de orden dos, la solucin representa el punto de interseccin de dosrectas en el plano. Un pequeo error en la pendiente de una de ellas puede hacer que dicho punto de corte sedesplace slo un poco o una distancia considerable (vase la Figura ), lo que nos dice que el sistema est bien#"

o mal condicionado, respectivamente.

Sistema bien condicionado Sistema mal condicionado

Figura Condicionamiento de un sistema#" .

Podemos ver que el sistema est mal condicionado cuando las pendientes de las dos rectas son muysimilares y que mientras ms ortogonales sean las rectas, mejor condicionado estar el sistema.

Se puede observar entonces que si, en un sistema mal condicionado, sustituimos una de las ecuacionespor una combinacin lineal de las dos, podemos hacer que el sistema resultante est bien condicionado.

Ejemplo #" Si consideramos el sistema

, de solucin$B %C ( $B %!!!!"C ( !!!!"

B "C "

y cometemos un pequeo error en los datos, podemos obtener el sistema

, de solucin$B %C ( $B $*****C ( !!!!%

BC

( ' %

o bien este otro

, de solucin$B %C ( $B $ *****C (!!!!&&

BC

* ' & &

lo que nos dice que estamos ante un sistema mal condicionado.


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Si sustituimos la segunda ecuacin por la que resulta de sumarle la primera multiplicada por " !!!!!"' "! " #y la ecuacin resultante se multiplica por y se divide por , nos queda el sistema'

, de solucin$B %C ( %B $C "

B "C "

siendo ste un sistema bien condicionado.

El estudio del condicionamiento de un sistema se realiza a travs del denominado nmero de condicinque estudiamos a continuacin.

Definicin #". Sea una matriz cuadrada y regular. Se define el de la matriz y seE Enmero de condicindenota por comoRE

R E E E " donde la norma utilizada ha de ser una norma multiplicativa. Este nmero nos permite conocer elcondicionamiento del sistema .EB ,

Dado que en la prctica el clculo de la matriz inversa presenta grandes dificultades, lo que se haceE"

es buscar una cota del nmero de condicin es decir, siendo una cota 5R E E E 5 E "de la norma de la matriz inversa.

Si , entonces En efecto, M E " E M" M E"EE M M M E E M E M EE M E M M EE " " " " " "

E M M EE M M EE M M E E " " " " E M E E M " M E E M " " "

E M

" M E"

Debemos tener cuidado con esta acotacin ya que si tenemos una matriz casi regular , es decir, con ./>E ! M E, quiere decir que tiene un autovalor prximo a cero, por lo que la matriz tiene un autovalorprximo a y ser el mayor de todos. En este caso || || , por lo que y dara lugar a un falso" M E " 5 _condicionamiento, ya que no tiene que estar, necesariamente, mal condicionada.E

Ejemplo ## Para estudiar el condicionamiento del sistema

$B %C ($B % !!!!"C ( !!!!"

Se tiene que

E ./>+ ! !!!!$ E $ % % !!!!" %$ % !!!!" $ $

"

! !!!!$ "

Si utilizamos la norma infinito obtenemos: !E +_

4"

8

34mx

3


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E (!!!!"

E #''''() !!!!"

! !!!!$

R E ")'''(" ''( " ) "!"'

es decir, se trata de un sistema mal condicionado.

Vamos a ver, a continuacin, algunas propiedades del nmero de condicin de una matriz.

#"" Propiedades del nmero de condicin.

Como ya se ha visto anteriormente cualquiera que sea la matriz cuadrada y regular . R E " E

Si es una matriz unitaria, se verifica que . Y R E R EY R Y E# # #

Los sistemas mejor condicionados son aquellos que tienen sus filas o columnas ortogonales y

mientras mayor sea la dependencia lineal existente entres ellas peor es el condicionamiento del sistema.

Trataremos de buscar mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales que trabajen conmatrices unitarias que no empeoren el condicionamiento del sistema como lo hace, por ejemplo, el mtodo deGauss basado en la factorizacin . Sin embargo, dado que ha sido estudiado en la asignatura de lgebraPYLineal, comenzaremos estudiando dicho mtodo aunque pueda alterarnos el condicionamiento del problema.

Empezaremos estudiando pues, como , los basados en la factorizacin y el demtodos directos PYCholesky.


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## PY . Mtodos por Factorizacin

Al aplicar el mtodo de Gauss al sistema realizamos transformaciones elementales paraEB ,conseguir triangularizar la matriz del sistema. Si este proceso puede realizarse sin intercambios de filas, la matriztriangular superior obtenida viene determinada por el producto de un nmero finito de transformaciones filaY

J J J E P J J J " # 5 5 5" ""aplicadas a la matriz . Llamando ya que el determinante de una

transformacin fila es y, por tanto, su producto es inversible) se tiene que , o lo que es lo mismo, " P E Y "

E PY P. Adems, la matriz es una triangular inferior con en la diagonal.unos

Debido a la unicidad de la factorizacin, sta puede ser calculada por un mtodo directo, es decir,haciendo

E

" ! ! ! ? ? ? ?6 " ! ! ! ? ? ?6 6 " ! ! ! ? ?

6 6 6 " ! ! ! ?

#" ## #$ #8

$" $# $$ $8

8" 8# 8$ 88

"" "# "$ "8

y calculando los valores de los elementos que aparecen entre las dos matrices.8#

Por tanto, EB , PY B ,

y si hacemos el sistema es equivalente a P ,Y B Y B D

P , D P ,D "

B Y P ,Y B P ," " "

El procedimeiento que desdobla el sistema en los dos sistemas triangulares encerrados en unEB ,rectngulo se conoce como .Mtodo de Doolittle

En cambio, si la matriz que lleva los unos en la diagonal principal es y no , el mtodo se llamarY PMtodo de Crout.

Ejemplo #$ Dada la matriz tenemos:E $ " #' $ #

$ ! )

E P Y " ! ! ? ? ? $ " #

6 " ! ! ? ? ' $ #6 6 " ! ! ? $ ! )

#" ## #$

$" $# $$

"" "# "$

? ? ? $ " #

6 ? 6 ? ? 6 ? ? ' $ #6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? ? $ ! )

"" "# "$

#" "" #" "# ## #" "$ #$

$" "" $" "# $# ## $" "$ $# #$ $$

por lo que de la primera fila obtenemos que: ? $ ? " ? #"" "# "$

de la segunda (teniendo en cuenta los valores ya obtenidos) se tiene:

$6 ' 6 #6 ? $ ? "

#6 ? # ? #

#" #"

#" ## ##

#" #$ #$

y de la tercera

$6 $ 6 "6 6 ! 6 "

#6 #6 ? ) ? %

$" $"

$" $# $#

$" $# $$ $$

es decir,


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E P Y $ " # " ! ! $ " #' $ # # " ! ! " #

$ ! ) " " " ! ! %

Definicin ##. Se denominan de una matriz , y se denotan por , a las submatricesmatrices fundamentales E E5

constituidas por los elementos de situados en las primeras filas y las primeras columnas, es decir:E 5 5

E + E E + ++ +

+ + ++ + ++ + +

" "" # $"" "#

#" ##

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

a b etc.

Teorema #$. Una matriz regular admite factorizacin si, y slo si, sus matrices fundamentalesE PY E33 "8 son todas regulares.

Comprobar si una matriz admite factorizacin estudiando si todas sus matrices fundamentales sonPYregulares es un mtodo demasiado costoso debido al nmero de determinantes que hay que calcular.

Definicin #%. Dada una matriz cuadrada , se dice que es una matriz de siE diagonal dominante

!+ + 3 " 833 355"

8

53

As, por ejemplo, la matriz es diagonal dominante.E $ " "! # "# # &

Teorema #&. Toda matriz diagonal dominante es regular.

Teorema #'. Las matrices fundamentales de una matriz de diagonal dominante, son tambin de diagonalE E5dominante.

Como consecuencia de los Teoremas , y , podemos deducir el siguiente corolario.#$ #& #'

Corolario #(. Toda matriz diagonal dominante admite factorizacin .PY

Otro tipo de matrices de las que se puede asegurar que admiten factorizacin son las hermticasPYdefinidas positivas, ya que las matrices fundamentales de stas tienen todas determinante positivo, por lo que elTeorema garantiza la existencia de las matrices y .#' P Y

##" Factorizacin de Cholesky

Una vez visto el mtodo de Gauss basado en la factorizacin vamos a estudiar otros mtodos que sePYbasan en otros tipos de descomposiciones de la matriz del sistema.

Es conocido que toda matriz hermtica y definida positiva tiene sus autovalores reales y positivos y,adems, en la factorizacin todos los pivotes son reales y positivos.PY


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Teorema #). [Factorizacin de Cholesky] Toda matriz hermtica y definida positiva puede ser descompuestaEde la forma con una matriz triangular inferior ( traspuesta de la matriz ; el hace unaE FF F F F

diferencia entre matriz compleja y real .

Nota: En la prctica pondremos con una triangular superior.E V V V

La unicidad de las matrices y implica la unicidad de la matriz y, por tanto, sta puede serP Y Fcalculada por un mtodo directo.

Ejemplo #%" Sea el sistema B #C %D ' #B "$C #$D * %B #$C ((D &&

Que escrito matricialmente es

" # % B '# "$ #$ C *% #$ (( D &&

Luego, escribimos la matriz asociada al sistema como un producto de dos matrices, una triangularinferior y la otra su traspuesta (que es una triangular superior)

, ! ! , , , " # %, , ! ! , , # "$ #$, , , ! ! , % #$ ((

"" "" #" $"

#" ## ## $#

$" $# $$ $$

, , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

" # %# "$ #$% #$ ((

#"" "" #" "" $"

#" "" #" $" ## $## ##" ##

$" "" $" #" $# ### # #$" $# $$

, " , "#"" ""

, , # , #"" #" #"

, , % , %"" $" $" , , "$ , $# ##" ## ##

, , , , #$ , " $" ## $# $#

, , , (( , '# # #$" $# $$ $$

De esta forma, el sistema nos queda

" ! ! '# $ ! *% & ' &&

" # % B! $ & C ! ! ' D

Ahora, hacemos el cual es equivalente a

" # % B +! $ & C ,

! ! ' D -

=

" ! ! '# $ ! *% & ' &&

+,-

= + ' , " - '

Por tanto,

" # % B! $ & C ! ! ' D

D C B=

' "'

" # '


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Ejemplo #%# Consideremos el sistema

% #3 % #3 B ! #3 # # #3 B !

% #3 # #3 "! B %

"

#

$

Realicemos la factorizacin de Cholesky * directamente, es decirFF

FF , ! ! % #3 % #3, , ! #3 # # #3, , , % #3 # #3 "!

, , ,

! , ,

! ! ,

*

""

#" ##

$" $# $$

"" #" $"

## $#

$$

, , , , , ,

, , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

% #3 % #3

#3 # # #3% #3 # #3 "!

"" "" "" #" "" $"

#" "" #" ## #" $" ## $##" ##

$" "" $" #" $# ## $" $# $$$" $# $$

Igualando trmino a trmino se obtiene: | | . Utilizando este resultado tenemos que, % "" # , #""#, #3 #, % #3#" $", por lo que y que por lo que ., 3 , # 3#" $"

Por otro lado, | | + | | , por lo que | | y, por tanto, ., , # , "#" ## ### # # , "##

Como tenemos que , es decir y, por tanto,, , , , # #3 " #3 , # #3 , "#" $" ## $# $# $#, "$# .

Por ltimo, | | + | | + | | , por lo que | | , es decir | | y, por , , , "! & " , "! , %$" $# $$ $$ $$# # # # #

tanto, . As pues, el sistema nos queda de la forma, #$$

# ! ! # 3 # 3 B ! 3 " ! ! " " B !

# 3 " # ! ! # B "

"

#

$

Haciendo ahora se obtiene y de aqu, que

# ! ! C ! C ! 3 " ! C ! C !

# 3 " # C " C #

" "

# #

$ $

# 3 # 3 B !! " " B !! ! # B #

"

#

$

de donde la solucin del sistema es

B " B " B "" # $

Hemos visto que toda matriz hermtica y definida positiva admite factorizacin de Cholesky, peropodemos llegar ms lejos y enunciar el siguiente teorema.

Teorema #*. Una matriz hermtica y regular es definida positiva si, y slo si, admite factorizacin deECholesky.

#$ Mtodos iterados

Un mtodo iterado de resolucin del sistema es aquel que genera, a partir de un vector inicialEB ,B B B B ! " # 8, una sucesin de vectores , , . . . ,

Definicin #"!. Un mtodo iterado se dir que es con el sistema , si el lmite de laconsistente EB , Bsucesin ( ), en caso de existir, es solucin del sistema. Se dir que el mtodo es si la sucesinB8 convergentegenerada por cualquier vector inicial es convergente a la solucin del sistema.B!


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Es evidente que si un mtodo es convergente es consistente, sin embargo, el recproco no es cierto comoprueba el siguiente ejemplo.

Ejemplo #& El mtodo es consistente con el sistema pero no es convergente. EnB #B E , EB ,8" 8 "

efecto: B B #B E , B8" 8 "

#B #B E , B8 "

y como , se tiene que #B B E , B E , B8 " "

B B #B B8" 8

Si existe tendremos quelim8_

8B B

* ( * )B B # B B* B B !* , es decir, el lmite es solucin del sistema , B B EB ,

por lo que el mtodo es consistente.

Sin embargo, de obtenemos queB B #B B8" 8

|| || || || , es decir, el vectorB B # B B B8" 8 8"

dista de el doble de lo que distaba , por lo que el mtodo no puede ser convergente.B B8

Los mtodos iterados que trataremos son de la forma en los que ser la queB OB - O 8" 8denominemos y que depender de y de y en el que es un vector que vendr dado enmatriz del mtodo E , -funcin de , y .E O ,

Teorema #"". Un mtodo iterado, de la forma , es consistente con el sistema si, y sloB OB - EB ,8" 8si, el vector es de la forma y la matriz es invertible.- - M OE , M O "

Teorema #"#. Un mtodo iterado de la forma y consistente con el sistema esB OB - EB ,8" 8convergente si, y slo si, .lim

8_

8O !

Teorema #"$. Si || || , el mtodo ( ) converge a la solucin de la ecuacinO " B OB - a B 8" 8 ! 8B OB - , que existe y es nica (cualquiera sea la norma matricial empleada).

Es evidente que, en la prctica, no podremos nunca llegar al valor de (ya que habra que realizarBinfinitas iteraciones), por lo que ser necesario detenernos en una determinada iteracin y tomar el valor de B8como una aproximacin de la solucin .B

El error cometido se mide calculando la distancia entre ambos vectores, es decir, la norma del vector

error || ||, pero como no conocemos el vector lo que se hace es medir la distancia entre susB B B8transformados, es decir

|| || = || || .I EB ,8


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#$" Mtodos de descomposicin

Los mtodos que vamos a estudiar, a continuacin, consisten en descomponer la matriz invertible delEsistema de la forma de manera que la matriz sea fcilmente invertible, por lo queEB , E Q R Q reciben el nombre genrico de . El sistema queda entonces de la formamtodos de descomposicin

( )Q R B , QB RB , B Q R B Q ," "

, es decir, expresamos el sistema de la forma con y .B OB - O Q R - Q ," "

Dado que

( ) ( )( ) ( ) ( )M O E , M Q R Q R , Q Q R Q R , Q , -" " " " " "

y la matriz ( ) ( ) es invertible, estamos en las condiciones delM O M Q R Q Q R Q E" " "

Teorema por lo que el mtodo es consistente con el sistema . Es decir, si el#"' B OB - EB ,8" 8proceso converge, lo hace a la solucin del sistema.

Sabemos tambin, por el Teorema , que el proceso ser convergente si se verifica que#"$

|| || para alguna norma matricial.Q R ""

Para el estudio de los mtodos que trataremos a continuacin, vamos a descomponer la matriz de laEforma siendoE H I J

H I J

+ ! ! ! ! ! ! ! ! + + +! + ! ! + ! ! !! ! + ! + + ! ! ! ! ! + + + + !

"" "# "$ "

## #"

$$ $" $#

88 8" 8# 8$

- -

8

#$ #8

$8

! ! + +! ! ! + ! ! ! !

Mtodo de Jacobi

Consiste en realizar la descomposicin . El sistema queda de laE Q R H I J EB ,forma , o lo que es lo mismo, . Es decir:HB I J B , B H I J B H ," "

B N B -

con yN H I J - H ," "

La matriz se denomina .N H I J H H E M H E" " " matriz de Jacobi

Teorema #"%. Si es una matriz diagonal dominante, el mtodo de Jacobi es convergente.E


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Ejemplo #'" Sea el sistema , donde

# " ! B "! % $ C "" " & D %

E HIJ # " ! # ! ! ! ! ! ! " !! % $ ! % ! ! ! ! ! ! $

" " & ! ! & " " ! ! ! !

es decir, yH I J

# ! ! ! ! ! ! " !! % ! ! ! ! ! ! $! ! & " " ! ! ! !

Luego,

N M H E " ! ! # " !! " ! ! % $! ! " " " &

! ! ! !

! ! ! !

! ! !

"

" "# #

" $% %

" " "& & &

y - H ,

"

"#"

% %&

Por tanto, de se tiene, considerando el vector inicial :B N B - 8" 8 B "!"

!

B ! !

! !

!

"!"

!

""

"#

$%

" " % %& & & &

" "# #" "% %

$%"&

"#

"#

B ! !

! !

!

" !

"

#

"#

$%

" " % %& & & &

" " $# % %

" $# %

" "# #" "% %

%&

B ! !

! !

!

"

!

$

"#

$%

" " % ( %& & & #! &

$%

% #$& #!

" " "# # #

" $ "% & %

"(#!

B % B ! " ""' w

B ! " ""( w

la solucin del sistema es B ! C " D "

Mtodo de Gauss-Seidel

Este mtodo es el resultado de realizar la descomposicin . El sistemaE Q R H I JEB , H IB J B , B H I J B H I ,queda de la forma , o bien . Es decir:" "

B P B - "

con yP H I J - H I ," " "

La matriz P H I J E J E J E M E J E M H I E" " " " "

recibe el nombre de .matriz de Gauss-Seidel

Teorema ##!. Si es una matriz diagonal dominante, el mtodo de Gauss-Seidel es convergente.E


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Ejemplo #'# Resolvamos el ejemplo anterior por este mtodo

Aqu,

P" H I J "

# ! ! ! " ! ! " !! % ! ! ! $ ! ! $" " & ! ! ! ! ! !

! ! ! !

! ! ! !

!

" " "# #

" $% %

" " " " $"! #! & "! #!

y - H I , " " "# #

" "% %

" " " "*"! #! & #!

! !

! !

""

%

Por tanto, de se tiene, considerando el vector inicial :B P B - 8" " 8 B !!!

!

B

! !

! !

!

! !! !! !

"

" " " "# # # #

$ " " "% % % %

" $ "* "* "*"! #! #! #! #!

B

! !

! !

!

! "#&!("#&

!""(&

#

" " " "# # # #

$ " " " ((% % % % )!

" $ "* "* "*"! #! #! #! #!

$)

%#(%!!

B

! !

! !

!

"!&!'$ "!"$

$

" " "# # #

$ (( " "#)" "% )! % "'!! %

" $ "* "*"! #! #! #!

$)

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$"'!

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B

! !

! !

!

! !")(& ! &$"& ! !#&$"&" !&!'$ ! ('!%"

" !"$)) ! !%(!"*%

" " "# # #

$ " "% % %

" $ "* "*"! #! #! #!

"!"!%" ! **(!"*

B ! !! !

!

! !#&$"& ! &!!& ! !" !"!%" ! (%(('%

! **(!"* ! !%)&""*&

" " "# # #$ " "% % %

" $ "* "*"! #! #! #!

!!&

! **(('% !**)&"#

B

! !

! !

!

! !!!& ! %*)))# ! !! **(('% ! (%)))%

! **)&"# ! !&!!!!%'

" " "# # #

$ " "% % %

" $ "* "*"! #! #! #!

!""")! **)))%

"

B

! !

! !

!

! !!""") ! %**%%# ! !!!&&)! **)))% ! (& "

" ! !&!"""' " !!!(

" " "# # #

$ " "% % %

" $ "* "*"! #! #! #!

""

B

! !

! !

!

! !!!&&) ! & !" ! (&!!)$ " !!!!)

" !!!"" ! !&!!"'& " !!!!#)

" " "# # #

$ " "% % %

" $ "* "*"! #! #! #!

la solucin del sistema es B ! C " D "


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Mtodos de relajacin SOR (Succesive Over-Relaxation)

Este mtodo realiza la descomposicin

E H H I J H I H J Q R " " " "

= = = =

= ==

El sistema se transforma entonces enEB ,

" " H IB H J B , H IB " H J B ,

= == = = = =

= a b B H I " H J B H I ,= = = = =" "a b

Es decir:

B P B - =

con yP H I " H J - H I ,= = = = = =" "a bLa matriz del mtodo recibe el nombre de matriz de relajacin.P H I " H J = = = ="a b

Si la matriz se reduce a , es decir, se trata del mtodo de Gauss Seidel. "=Si se dice que se trata de un mtodo de . "= sobre-relajacinSi se dice que se trata de un mtodo de . "= sub-relajacin

Teorema #"&. Una condicin necesaria para que converjan los mtodos de relajacin es que ( ).= ! #

Teorema #"'. Si la matriz del sistema es diagonal dominante, los mtodos de relajacin son convergentesEcualquiera que sea ( ].= ! "

Teorema #"(. Si la matriz del sistema es simtrica y definida positiva, los mtodos de relajacin convergen si,Ey slo si, ( ).= ! #


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#% Ejercicios

Ejercicio #" E\ , " " B #" " !" C # !"

Considere el sistema lineal dado por a) Calcule su solucin exacta.

b) altere la segunda fila del sistema obteniendo ; y, calcule su solucin exacta. " " B #" " !"" C # !"c) Es la matriz mal condicionada?

Solucin:a) Despejando la primera ecuacin y reemplazando en la segunda obtenemos

B C # B # C

y# C " !"C # !" ! !"C ! !" C " B "

b) Anlogamente, # C " !""C # !" ! !""C ! !" C ! *! "!""

c) Discucin en grupo.

Ejercicio #" E + ,

+ ,Estudiar el nmero de condicin de Frobenius de la matriz &

Solucin: A efectos de norma, en todo el ejercicio trataremos a la matriz como un vector de .%

El determinante de es .E ./>E +, ,+ ,& &

Si tanto como son distintos de cero, el determinante de la matriz es no nulo y, por tanto, A es, E&invertible, siendo su inversa:

E "

,

, , + +

"

& &

El nmero de condicin de Frobenius viene dado por .R E E EJ J J"

E + , + , #+ #, #+ ##

# # # # # # #& & &

E , , + + #+ #, #+ , ,

" #

#

# # # # # # #

# # # #

& & &

& &

Por lo que:

R E R E #+ #, #+ #+ #, #+

, ,##

# # # # # # #

# # #

& & & &

& & Obsrvese que cuando tiende a cero, el nmero de condicin de Frobenius lo hace a infinito,& R EJ

por lo que la matriz est mal condicionada.E

Por ejemplo: para y se tiene que+ "! , "

R E #! #!# #! #!#

#

#& &

& &&

Si el nmero de condicin de Frobenius resulta ser .& "! R E # "!) "!J


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Ejercicio ## B C #

#B C $

Dado el sistema

1.Calcular su nmero de condicin de Frobenius.2.Calcular para que el nmero de condicin del sistema resultante de sumarle a la segunda ecuacin la primera+multiplicada por dicha constante , sea mnimo.+

Solucin:

1.La matriz del sistema es , por lo queE E " " " "# " # " "

E (E ( R E ( R E (#

J" #

J

# #J J

2.El sistema resultante sera : cuya matriz esB C #+ #B + "C #+ $

F F " " + " "

+ # + " + # " "

y, por tanto,

F #+ '+ (F #+ '+ ( R F #+ '+ ( R F #+ '+ (#

J#

" ##

J

# # #J J

Para hallar el mnimo de con ( ) derivamos y obtenemos , que seR F + _ _ R %+ 'J wJanula para .+ $#

Dado que ( ) se trata, efectivamente, de un mnimo.R F % !wwJ

El sistema resultante es, en ese caso: B C #" "

# #B C !

y su nmero de condicin de Frobenius es .R F # &&

#J

Ejercicio #$ $B %C (

$B &C )

Dado el sistema Sustituir la segunda ecuacin por una combinacin lineal de

ambas, de forma que el nmero de condicin sea mnimo.

Solucin: La matriz resultante de la combinacin lineal es F $ %

$+ $, %+ &, Una matriz tiene nmero de condicin euclideano mnimo (y vale ) si, y slo si, es proporcional a una matriz"

unitaria. Por tanto, debe tener las filas (o las columnas) ortogonales y de igual norma.F

a. a b $ % $+ $,%+ &, ! $$+ $, %%+ &, ! #&+ #*, !b. (cuadrado de la norma de la primera fila).a b $ % $% #&c. (cuadrado de la norma de la segunda fila).a b $+ $, %+ &, $+ $,%+ &, #&+ $%, &)+,# #

Las condiciones que tenemos son:

#&+ #*, !

#&+ $%, &)+, # # , +#*


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Sustituyendo en la segunda condicin se obtiene:

#&+ $% + &)+ + #& " + "#& #& $% #& &)

#* #* #* #*#

#

##

" + " + " + )&! * )%"

)%" )%" * # # # +

#*

$

+ #& #& #*

#* #* $ ,

#&

$

Tomando, por ejemplo, y (el otro caso es anlogo), obtenemos:+ , #* #&

$ $

F & & Y $ % ! ' ! )% $ ! ) ! '

es decir, donde es proporcional a una matriz unitaria (que posee norma uno), por lo que el sistema resultanteF$B %C ( R F "

%B $C "tiene nmero de condicin eucldeo .#

Ejercicio #% PYComprobar que la matriz admite factorizacin y realizarla.

" # ! ! !" % $ ! !! % * % !! ! * "' &! ! ! "' #&

Solucin: Dado que los menores principales (como vemos a continuacin) son todos no nulos, la matriz admitefactorizacin (vase el Teorema ).PY #'

E " " ! E % # # ! E $' ") "# ' !

" #" %

" # !" % $! % *

" # $

E " # #%! # "!) #% !

" # ! !" % $ !! % * %

! ! * "'

% $ ! " $ !% * % ! * %

! * "' ! * "'

%

E &

" # ! ! !" % $ ! !! % * % !! ! * "' &! ! ! "' #&

" #

% $ ! ! " $ ! !% * % ! ! * % !! * "' & ! * "' &! ! "' #& ! ! "' #&

% $ #* % ! % % ! * % !* "' & ! "' & * "' &! "' #& ! "' #& ! "' #&

% "*)! $ "#)! # "*)! "#! !

Ambas matrices ( y ) son bidiagonales, por lo queP Y

E PY

" # ! ! ! " ! ! ! ! ? ? ! ! !" % $ ! ! 6 " ! ! ! ! ? ? ! !! % * % ! ! 6 " ! ! ! ! ? ? !

! ! * "' & ! ! 6 " ! ! !! ! ! "' #& ! ! ! 6 "

#" ## #$

$# $$ $%

%$

&%

"" "#

! ? ?! ! ! ! ?

%% %&

&&

Es evidente que y que (basta para ello calcular la primera fila de la matriz producto e? " ? #"" "#igualarla con la primera fila de la matriz ).E

6 ? + " 6 " 6 ? ? + % ? % # ##" "" #" #" #" "# ## ## ##

? + $ 6 ? + % 6 ##$ #$ $# ## $# $#

6 ? ? + * ? $ ? + %$# #$ $$ $$ $$ $% $%

6 ? + * 6 $ 6 ? ? + "' ? %%$ $$ %$ %$ %$ $% %% %% %%


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? + & 6 ? + "' 6 %%& %& &% %% &% &%

6 ? ? + #& ? &&% %& && && &&

Por tanto,

P Y

" ! ! ! ! " # ! ! !" " ! ! ! ! # $ ! !

! # " ! ! ! ! $ % !! ! $ " ! ! ! ! % &! ! ! % " ! ! ! ! &

y

Ejercicio #& E Realizar la factorizacin de Cholesky de la matriz

" " " "" & $ $" $ "" &" $ & "*

Solucin: La matriz es hermtica por tratarse de una simtrica y real.E

Adems, dado que los menores principales son positivos, es definida positiva.

E " " ! E % !

" "

" &

" #

E $' ! E &(' !

" " "" & $" $ ""

" " " "" & $ $" $ "" &" $ & "*

$ %

Al tratarse de una matriz hermtica y definida positiva, el Teorema nos garantiza su factorizacin#""de Cholesky. En dicha factorizacin ( ), al ser una matriz real, se tiene que , por lo que:E V V E V V >

< ! ! ! < < < < " " " "< < ! ! ! < < < " & $ $< < < ! ! ! < < " $ "" &< < < < ! ! ! < " $ & "*

"" "" #" $" %"

#" ## ## $# %#

$" $# $$ $$ %$

%" %# %$ %% %%

de donde< " < " < < < < $ < "#"" "" #" $" ## $# $#

< < " < " < < < < $ < """ #" #" #" %" $# %# %#

< < " < " < < < < < < & < """ $" $" $" %" $# %# $# %$ %$

< < " < " < < < "" < $"" %" %" $$# # #$" $# $$

< < & < # < < < < "* < %# # # # # ##" ## ## %%%" %# %$ %%

y, por tanto,

E V V

" " " " " ! ! ! " " " "" & $ $ " # ! ! ! # " "" $ "" & " " $ ! ! ! $ "

" $ & "* " " " % ! ! ! %

Ejercicio #' Resolver, por el mtodo de Cholesky, el sistema

" # $ B (# & % B *$ % "% B $$

"

#

$

Solucin: Es fcil comprobar que la matriz del sistema es hermtica (por ser simtrica y real) y definida positiva(comprubese que sus tres menores principales son positivos) y que, por tanto, el Teorema nos garantiza la#""factorizacin de Cholesky.


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Al tratarse de un sistema real, la factorizacin de Cholesky es de la forma siendo unaE V V V>

matriz triangular superior.

E V V < ! ! < < < " # $< < ! ! < < # & %< < < ! ! < $ % "%

>"" "" "# "$

"# ## ## #$

"$ #$ $$ $$

< " < "< < # < #< < $ < $

< < & < "< < < < % < #

< < < "% < "

V " # $! " #! ! "

#"" ""

"" "# "#

"" "$ "$# #"# ## ##

"# "$ ## #$ #$# # #"$ #$ $$ $$

El sistema se transforma en , por lo que haciendo y loEB , V VB , VB C VC ,>

descomponemos en dos sistemas triangulares de fcil resolucin.

V C , " ! ! C ( C (# " ! C * #C C * C &

$ # " C $$ $C #C C $$ C #

>" "

# " # #

$ " # $ $

VB C

" # $ B ( B #! " # B & B #B & B "! ! " B # B #B $B ( B #

" $

# # $ #

$ " # $ "

Es decir, la solucin del sistema es , y .B $ B " B #" # $

Ejercicio #( Resolver, por el mtodo de Cholesky, el sistema

' " $3 " #3 B " #3

" $3 $ " 3 B " 3" #3 " 3 # B " #3

"

#$

Solucin: La matriz del sistema verifica que es decir, se trata de una matriz hermtica. Adems, dadoE E E

que

E ' ! E ") "! ) !' " $3 " $3 $" #

E

' " $3 " #3 " $3 $ " 3" #3 " 3 #

$

; y, adems de hermtica es definida positiva, por lo que el Teorema nos garantiza su factorizacin de#""Cholesky donde es una matriz triangular superior.E V V V

' " $3 " #3 < ! ! < < < " $3 $ " 3 < < ! ! < 0 > 0 B #0 B #0 B 8

8 8 8

8 88w w w

ww ww# #& & & &

por lo que & & &8ww

w# # " 5

0 >

# 0 B 8

8 8

donde

5 0 >

#0 B mx

ww

w8

B +,

siendo [ ] cualquier intervalo, en caso de existir, que contenga a la solucin y a todas las aproximaciones .+ , B B8

Esta ltima desigualdad podemos (no queriendo precisar tanto) modificarla para escribir

con y 05 B 0 B 0 B

# 0 B

mx

mn ww

ww

+ ,Supuesta la existencia de dicho intervalo [ ], el valor de es independiente de la iteracin que se+ , 5

realiza, por lo que

5 " 5 5 5 & & & &8 8 8 " !# % #8 "o lo que es lo mismo:

& &8 ! 5 "5 #8donde es necesario saber acotar el valor de .&

! ! B B

Es decir, si existe un intervalo [ ] que contenga a la solucin y a todas las aproximaciones se+ , B8

puede determinar a priori una cota del error, o lo que es lo mismo, se puede determinar el nmero de iteracionesnecesarias para obtener la solucin con un determinado error.

Evidentemente, el proceso converger si , es decir, si . En caso de ser convergente, 5 " "5

& &! !

la convergencia es de segundo orden.

$%" Algoritmo

Una vez realizado un estudio previo para ver que se cumplen las condiciones que requiere el mtodo,establecer el valor inicial y calcular el valor deB

!

7 mn 0 BwB +,

el algoritmo es el siguiente M8:?> +,B ! !& 0B7 S?>:?> B B B!

/ +,=0B

7

A236/ / &

B B 0B

0 Bw

/ +,=0B

7

/8.


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Ejemplo $$ En el Ejemplo calculamos la raz de 3 con 14 cifras decimales exactas en 26 iteraciones.$#Vamos a ver cmo se disminuye considerablemente el nmero de iteraciones cuando se utiliza la frmula deNewton-Raphson.

Partimos de la ecuacin ( ) , por lo que la frmula de Newton-Raphson nos dice que,0 B B $ !#

teniendo en cuenta que 0 B #Bw

B B B B B B 0 B B $ " $

0 B #B # B8 " 8 " 8 " 8 88 8

8

w8 8

#8

Dado que la raz de 3 es un nmero comprendido entre y y la funcin ( ) no se anula en" # 0 B #Bw

dicho intervalo, podemos aplicar el mtodo de Newton tomando como valor inicial B #!

B # B " (&!!!!!!!!!!!! B " ($#"%#)&("%#)' B " ($#!&!)"!!"%($ B " ($#!&!)!(&')))! " # $ %

El error a posteriori vendr dado por

por lo que& &88

8

% ))%*)"$!)$&!'))0B

0 B #

B $

mn w%

%#

B "#

es decir, la raz cuadrada de es con todas sus cifras decimales exactas.$ "($#!&!)!(&')))

Se observa que la convergencia de Newton-Raphson es mucho ms rpida que biseccin, ya que slohemos necesitado 5 iteraciones frente a las 46 de la biseccin.

De hecho, existen mtodos para determinar el valor inicial que debe tomarse para que en la segundaB!

iteracin se disponga ya de 8 cifras decimales exactas.

$%# Regla de Fourier

Supongamos que tenemos acotada, en el intervalo [ ], una nica raz de la ecuacin ( ) y que+ , B 0 B !0 B 0 B + ,w ww( ) y ( ) no se anulan en ningn punto del intervalo [ ], es decir, que ambas derivadas tienen signoconstante en dicho intervalo.

En cualquiera de los cuatro casos posibles (Figura 2.4), la funcin cambia de signo en los extremos delintervalo, es decir, dado que la segunda derivada tiene signo constante en [ ], en uno de los dos extremos la+ ,funcin tiene el mismo signo que su segunda derivada.

En estos casos, el mtodo de Newton es convergente debindose tomar como valor inicial

B + 0 + 0 + !, 0 , 0 , !! , si , si

w ww

w ww

es decir, el extremo en el que la funcin tiene el mismo signo que su derivada segunda.

0 B ! 0 B ! 0 B ! 0 B !w w w w

0 B ! 0 B ! 0 B ! 0 B !ww ww ww ww

B + B , B + B ,! ! ! !

Figura Los cuatro casos posibles$%

Gracias a que la convergencia es de segundo orden, es posible modificar el mtodo de Newton pararesolver ecuaciones que poseen races mltiples.


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$%$ Mtodo de Newton para races mltiples

Cuando el mtodo de Newton converge lentamente nos encontramos con una raz mltiple y, adiferencia de lo que ocurra con otros mtodos, podemos modificar el mtodo para acelerar la convergencia.

Sea una raz de multiplicidad de la ecuacin ( ) . En este caso, el mtodo de Newton convergeB 5 0 B !muy lentamente y con grandes irregularidades debido al mal condicionamiento del problema.

Si en vez de hacer hacemos donde representa el orden deB B B B 5 50 B 0 B

0 B 0 B 8 " 8 8 " 88 8

8 8w w

la primera derivada que no se anula (multiplicidad de la raz ), el mtodo sigue siendo de segundo orden.B

En la prctica, el problema es que no conocemos pero a ello nos ayuda la rapidez del mtodo.5

Ejemplo $% Para resolver la ecuacin comenzamos escribindola de la forma , por loB =/8 B ! B =/8Bque las soluciones sern los puntos de interseccin de la recta con la curva .C B C =/8 B

Aunque es conocido que la solucin de la ecuacin es , supondremos que slo conocemos queB !est comprendida entre y y vamos aplicar el mtodo de Newton. " "

B B B =/8 B =/8 B B -9= B

" -9= B " -9= B8 " 8

8 8 8 8 8

8 8

Figura Las funciones y$& C B C =/8 B

Comenzando con se obtiene:B "!

B "! . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B ! !"')##(**0 B !!!!"0 B !!"'

0 B !***)"!

"!

"!

"!

www

www

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B !!!!!"*%0 B ! !!!!!!!"0 B !!!"*

0 B !****#!

#!

#!

#!

w

ww

www

Como la convergencia es muy lenta, hace pensar que se trata de una raz mltiple. Adems, como laprimera y la segunda derivadas tienden a cero y la tercera lo hace a , parece que nos encontramos ante una raz"triple, por lo que aplicamos el mtodo generalizado de Newton.

B B $ B =/ 8 B

" -9= B8 " 88 8

8

y comenzando, al igual que antes, por se obtiene:B "!B " B ! ! $% B ! ! !!!!"$(' B ! ! !!!!!!!!!!!!*

! # $"

que se ve que converge rpidamente a la solucin .B !

Dado que la solucin es exacta. Por otra parte, podemos ver queB ! 0B B =/8 B !

0 B " -9=B 0 B !w w

0 B =/8 B 0 B !ww ww

0 B -9= B 0 B "''' '''

lo que nos indica que la raz es, en efecto, triple.


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Al aplicar el mtodo de Newton hay que tener en cuenta que a pesar de que su comportamiento es engeneral muy bueno existen casos en que se encuentran dificultades, no slo si existen races mltiples sino enmuchos casos en los que las races son simples pero presentan ciertas particularidades.

Ejemplo $& Tratemos de determinar, por el mtodo de Newton, la raz positiva de la funcin ,0 B B ""!

tomando como valor inicial . La frmula de Newton-Raphson es, en este caso:B ! &!

B B B "

"! B8 " 88

8

"!

*

Aplicando el algoritmo se obtienen los valores

B &" ' & B %' % )& B %")$'& B $( ' )& B $$ ) )(&'&" # $ % &

...B #! !"!#')#&')&!"# B '*(("%*"#$#**!' B #%$#)!"$**&%#$!

"! #! $!.... ... ...

B "!!#$"'!#%"((%" B "!!!!#$*$%#*!)% B "!!!!!!!!#&(('! B "%! %" %# %$

.

Puede observarse que la convergencia es muy lenta y slo se acelera (a partir de ) cuando estamosB%!

muy cerca de la raz buscada.

Adems de existir casos como el anterior donde la convergencia es muy lenta, la naturaleza de lafuncin puede originar otras dificultades, llegando incluso a hacer que el mtodo no converja.

Si en las proximidades de la raz existe un punto de inflexin, las iteraciones divergen progresivamente de laraz.

El mtodo de Newton oscila en los alrededores de un mximo o un mnimo local, persistiendo o llegando aencontrarse con pendientes cercanas a cero, en cuyo caso la solucin se aleja del rea de inters.

Un valor inicial cercano a una raz puede converger a otra raz muy distante de la anterior como consecuenciade encontrarse pendientes cercanas a cero. Una pendiente nula provoca una divisin por cero (geomtricamente,una tangente horizontal que jams corta al eje de abscisas).

Todo esto nos indica que aunque existen software que resuelven ecuaciones (generalmente aplicando

Newton), hay que realizar un estudio previo para tratar de detectar cualquier tipo de anomala que se presente.


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$& Ejercicios

Ejercicio $" B/ " !Dada la ecuacin , se pide:B

1.Estudiar grficamente sus races reales y acotarlas.2.Aplicar el mtodo de la biseccin y acotar el error despus de siete iteraciones.

3. Queda de resolverla por iteracin funcional.Tarea4.Aplicar el mtodo de Newton, hasta obtener tres cifras decimales exactas.

Solucin: La ecuacin puede escribirse de la forma: .1. / "

BB

Grficamente, se observa que existe una nica solucin real (interseccin de las dos curvas) y que esta espositiva. La demostracin analtica de este hecho es la siguiente:

Para es y , por lo que y, por tanto, no existen races negativas.B ! ! / ! / " "

B BB B

Para es , por lo que y existe, por tanto, un nmero imparB ! 0 B B/ "0! " !0 _ _ !

B de races positivas (al menos una).

La funcin derivada slo se anula para . Dado que, si existiese ms0 B B/ / B " / B "w B B B

de una raz positiva, el teorema de Rolle nos asegura que la funcin derivada debe anularse en algn puntointermedio y hemos visto que no se anula para ningun valor positivo de la variable podemos asegurar que0 Bw

slo existe una raz real y que esta es positiva y simple, pues .+ 0 + !w

Dado que y , podemos asegurar que la nica raz real de la ecuacin se0" / " ! 0! " !encuentra en el intervalo ( ).! "

#Mtodo de la biseccin

[ ] [ ] [ ] con+ , + , ! "0! " !0" / " !! !

0 ! & ! + , ! & " 0 ! (& ! + , ! & ! (&[ ] [ ] [ ] [ ]" " # #

0 ! '#& ! + , ! & ! '#& 0 ! &'#& ! + , ! &'#& ! '#&[ ] [ ] [ ] [ ]$ $ % %0 ! & *$(& ! + , ! & '#& ! & *$(& 0 ! & ()"#& ! + , ! & '#& ! & ()"#&[ ] [ ] [ ] [ ]& & ' '

0! &(!$"#& ! + , !&'#& !&(!$"#&[ ] [ ]( (Tomando como aproximacin de la raz el punto medio del intervalo se obtiene un errorB ! &''%!'#&

(

| | | |& &( (

#

! !!$*!'#& "!"

#)

Si redondeamos a las dos primeras cifras decimales, es decir, si tomamos , el error acumuladoB !&(verifica que

| | | |& ! &( ! &''%!'#& !!!$*!'#& ! !!(& "!#

por lo que puede asegurarse que la solucin de la ecuacin es con las dos cifras decimales exactas.!&(


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4Mtodo de Newton

La frmula de Newton-Raphson es B B 0B

0B 8 " 8

8

8

Dado que, por el apartado anterior, se conoce que la raz se encuentra en el intervalo [ ; ] y! &'#& ! &(!$"#&que , :0!&'#& ! 0!&(!$"#& !

0 B B/ " 0 ! &'#& !0 ! &(!$"#& !

B

[ ; ]0 B B "/ 0 B ! a B ! &'#& ! &(!$"#&w B w

[ ; ]0 B B #/ 0 B ! a B ! &'#& ! &(!$"#&ww B ww

la regla de Fourier nos dice que .B !&(!$"#&!

Al ser positiva la segunda derivada, es creciente, por lo que0 Bw

mn 0 B 0 ! &'#& # (%##(#*!"&!!%( w w B !&'#&!&(!$"#&[ ]

es decir, el error a posteriori vendr dado por

&n 0 B 0 B 0 B #(%8 8mn w B !&'#&!&(!$"#&[ ]

obtenindose que

conB ! &(!$"#& ! !!$#!%$()&'&!& 0B

#(%! !! &

conB ! &'("&"%*)$&*!

Calculo_numerico Metodo Gauss-newton

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