Método de Newton Rapson, Euler,cholebsky, gauss,gauss siedel,jacobbi

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  • 1. Universidad Nacional de Trujillo
    Mtodos Numricos Computacionales

2. Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
Solucin de Ecuaciones Algebraicas no Lineales
Objetivo:
Sea f(x) una funcin no lineal en x. Hallar el valor de x, x*, tal que se cumple f(x*)=0.

  • x* se suele denominar el cero o raz de f(x) 3. x* se puede determinar por medios analticos (solucin exacta) o por medios numricos (solucin aproximada)

La eleccin del mtodo numrico depende del problema a resolver (estructura del problema, tipo de ecuaciones, precisin requerida, rapidez del clculo,....).
Por tanto no existe un mejor mtodo universalmente aplicable
Tipos de Mtodos
Mtodos Acotados
Mtodos Abiertos
4. Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
Met. de la Biseccin
MtodosAcotados
Met. de laFalsa Posicin
La raz est situada en un intervalo (necesita dos puntos). Acaba convergiendo dentro de una tolerancia.
PuntoFijo
Met. del PuntoFijo
Newton Raphson
MtodosAbiertos
Met. Newton Raphson
Slo emplean un punto inicial (o dos puntos que no tienen por qu contener a la raz) y una frmula para encontrar la raz. No siempre convergen, pero cuando lo hacen son mucho ms rpidos que los mtodos acotados.
Secante
Met.de laSecante
5. Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
MtodosAcotados
Una funcin cambia de signo en la proximidad de una raz
Una raz est acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente al signo de f(b)
Mtodo de la Biseccin
Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero
Calcula el punto medio como nuevo punto
Comprueba si hay cambio de signo en [a,c] o en [p,c]. Comprobacin: f(a)*f(c).
Si el producto es cero, entonces p es una raz. Si no es cero volver al punto 2.
6. Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
Mtodo de la Biseccin
Ejemplo:
f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20
= 10-3
Xf(x)
El nmero de interaciones sera:
n= ( ln (2-1) ln 10-3 ) / ln 2
n=9,96
n10
0
1
2
3
-20
-7
16
46
a=1
b=2
Existe cambio de signo
a =
b =
n= ( ln c ln ) / ln 2
1 Iteracin
2 Iteracin
Valores Iniciales
a=1
b=2
y
c=(a+b)/2
c=(1+2)/2
c=1,5
f(1)= -7
f(1,5)=2,88
c=(a+b)/2
c=(1+1,5)/2
c=1,25
f(1)= -7
f(1,25)=-2,42
16
signo
= signo
2,88
Nuevos valores
a=1
b=1,5
Nuevos valores
a=1,25
b=1,5
x
1
2
1,5
-7
7. Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
Mtodo de la Biseccin(Programacin en Matlab)
Ejemplo:
f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20
0,0007 Tolerancia = 0,001
8. Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
Mtodo de la FalsaPosicin
Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero
Calcula un punto interseccin como nuevo punto
Comprueba si hay cambio de signo en [a,c] o en [c,b]. Comprobacin: f(a)*f(c).
Si el producto es cero, entonces c es una raz. Si no es cero volver al punto 2.


9. Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
Mtodo de la FalsaPosicin
Ejemplo:
f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20
= 10-3
Xf(x)
Valores Iniciales
a=1
b=2
0
1
2
3
-20
-7
16
46
a=1
b=2
Existe cambio de signo
a =
b =
1 Iteracin
2 Iteracin
y


16
= signo
= signo
1,30435
Nuevos valores
a=1,30435
b=2
Nuevos valores
a=1,35791
b=2
x
1
2
-1,33476
-7
10. Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
Mtodo de la Falsaposicin(Programacin en Matlab)
Ejemplo:
0,0002 Tolerancia = 0,001
11. Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
Comparacin entre ambos mtodos.
Similaridades:

  • Ambos mtodos necesitan DOS valores iniciales (ayb) 12. Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo. 13. Acaban convergiendo a la raz con cierta tolerancia

Diferencias:

  • El clculo del nuevo punto estimado se hace con diferentes estrategias 14. En generalel mtodo de la posicin falsa converge ms rpido que el de la biseccin.

Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
MtodosAbiertos

  • Emplean una aproximacin funcional para obtener el nuevo valor estimado de la raz (lnea recta, cuadrtica, polinomio) 15. Mtodos: 16. Punto-fijo (sustitucin sucesiva o directa) 17. Newton-Raphson (lnea recta empleando informacin del gradiente) 18. Secante (lnea recta empleando dos puntos)

Mtodos Numricos Computacionales
Universidad Nacional de Trujillo
Mtodo del PuntoFijo
Problema f(x)=0
Transformar a x=g(x)
Seleccionar un punto inicial x0
Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)
Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
y
|f(x)|