Calcolo differenziale: Derivata di una Funzione (M.S ...docenti.unicam.it/tmp/5893.pdf · Calcolo...

Calcolo differenziale:

Derivata di una Funzione

(M.S.Bernabei & H. Thaler)

Applicazioni del calcolo differenziale.

1. La retta tangente

2. Velocità ed accelerazione

3. Minimo e massimo di una funzione

Problema della retta tangente

𝑐, 𝑓 𝑐

retta secante

𝒚 = 𝒇 𝒄 +∆𝒇

∆𝒙(𝒙 − 𝒄)

𝑐, 𝑓 𝑐 é il punto di tangenza e

un secondo punto del grafico di f.

x

Δ𝑦 = 𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑐)

(𝑐 + Δ𝑥, 𝑓 𝑐 + Δ𝑥 )

(𝑐 + Δ𝑥, 𝑓 𝑐 + Δ𝑥 )

Il rapporto incrementale é la pendenza della retta

secante passante per questi due punti

cxc

cfxcf

x

fm

)()(sec

x

cfxcf

)()(

Definizione: La derivata della funzione 𝑓 nel punto 𝑐 è data

dal seguente limite (purché tale limite esista finito)

)(')()(

lim0

cfx

cfxcf

x

Notiamo che 𝑓′ 𝑐 corrisponde al coefficiente

angolare

della retta tangente alla curva nel punto 𝑐.

𝑓′ 𝑐 = limΔ𝑥→0

𝑚𝑠𝑒𝑐 = limΔ𝑥→0

Δ𝑓

Δ𝑥

Definizione alternativa di derivata

La derivata di f nel punto 𝑥 = 𝑐 é data da

cx

cfxfcf

cx

)()(lim)('

𝑐, 𝑓 𝑐 )()( cfxf

cxx

c x

𝑥, 𝑓 𝑥

Funzione derivata

• La derivata di una funzione 𝑓 che dipende

dalla variabile 𝑥 è la funzione

𝑓′ ∶ 𝐷 𝑓′ → ℝ

𝑥 ↦ 𝑓′(𝑥)

Il dominio comprende quelle 𝑥 per quali 𝑓′ 𝑥 è

un valore finito.

Notazioni di derivata

• Notazione di Leibniz 𝑑𝑓

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑓 =

𝑑𝑦

𝑑𝑥

• Notazione di Lagrange 𝑓′ = 𝑦′

• Per indicare il valore della derivata in un dato

punto 𝑥 = 𝑎, scriveremo

𝑓′ 𝑎 = 𝑦′(𝑎) =𝑑𝑓

𝑑𝑥 𝑥=𝑎

=𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑥=𝑎

Derivata di una funzione algebrica

• La funzione costante 𝑓 𝑥 = 𝑎, dove a é un

numero reale

limΔ𝑥→0

𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑐

Δ𝑥= lim

Δ𝑥→0

𝑎 − 𝑎

Δ𝑥

= limΔ𝑥→0

0

Δ𝑥= 0.

• Quindi se 𝑓 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 0 per ogni

𝑥.

Funzioni Lineari

)('lim

)(lim

)()(lim

0

00

cfmx

xm

x

qmcqxcm

x

cfxcf

x

xx

• Data la funzione lineare 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞, la sua

derivata é costante. Infatti:

Derivata destra e sinistra.

cx

cfxf

cx

)()(lim

cx

cfxf

cx

)()(lim

La derivata potrebbe anche non esistere in un dato punto,

perché il limite del rapporto incrementale non esiste,

in particolare quando il limite destro e diverso da quello

sinistro.

Esempio: modulo di una funzione

La derivata non esiste! Non si può definire la retta

tangente in 0.

limΔ𝑥→0+

𝑓 0 + Δ𝑥 − 𝑓 0

Δ𝑥= +1

limΔ𝑥→0−

𝑓 0 + Δ𝑥 − 𝑓 0

Δ𝑥= −1

𝑥 = 𝑥 𝑥 ≥ 0

−𝑥 𝑥 < 0

Regola della Somma

• Date due funzioni f e g differenziabili nel punto x, allora

𝑓 + 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)

𝑓 − 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥)

Infatti:

𝑓 + 𝑔 ′ 𝑐

= limΔ𝑥→0

𝑓 𝑐 + Δ𝑥 + 𝑔 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑐 − 𝑔(𝑐)

Δ𝑥

= limΔ𝑥→0

𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑐) + 𝑔 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑔(𝑐)

Δ𝑥

= limΔ𝑥→0

𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑐)

Δ𝑥+ lim

Δ𝑥→0

𝑔 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑔(𝑐)

Δ𝑥

= 𝑓′ 𝑐 + 𝑔′ 𝑐 .

x

xfxxf

x

)()(lim

0

x

axxxa

x

22

0

)(lim

x

xxxxxa

x

)2(lim

222

0

x

xxxa

x

)2(lim

0ax2

Quindi la pendenza

della retta tangente

in ogni punto (𝑥, 𝑓 𝑥 )

è data da m = 2ax

Derivata della funzione 𝑦 = 𝑎𝑥2dove 𝑎

é reale

Derivata della funzione quadratica

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

• Applicando la regola della somma si ottiene:

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑥2 +

𝑑

𝑑𝑥𝑏𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥𝑐 =

= 2𝑎𝑥 + 𝑏

Trovare la pendenza del grafico di 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 nel

punto (−1,2). Quindi, troviamo l’ equazione della

retta tangente

(-1,2)

y = -2x y = x2 +1

Quindi, la pendenza

in ogni punto (𝑥, 𝑓 𝑥 )

è data da m = 2x

L’ equazione della retta tangente é

𝑦 − 2 = −2 𝑥 + 1 ⇒

𝑦 = −2𝑥.

Analogamente si può

provare che:

Derivata della funzione potenza 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 con n

esponente naturale

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑥𝑛 = 𝑎𝑛𝑥𝑛−1

Derivata di un polinomio

𝑦 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

• Applicando le proprietà della derivata viste finora

si ottiene:

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 =

𝑑

𝑑𝑥(𝑎𝑛𝑥𝑛) +

𝑑

𝑑𝑥(𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1) + ⋯

+𝑑

𝑑𝑥(𝑎1𝑥) +

𝑑

𝑑𝑥(𝑎0)

=

𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 + (𝑛 − 1)𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1

Regola di Leibnitz: derivata di un

prodotto

• Date due funzioni f e g che ammettono

derivata, allora la derivata del prodotto è:

𝑓𝑔 ′ = 𝑓′𝑔 + 𝑓𝑔′

In particolare:

𝑐𝑔 ′ = 𝑐𝑔′

dove c è una costante reale.

Esempio

𝑑

𝑑𝑥𝑥 − 2 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 =

𝑑

𝑑𝑥𝑥 − 2 2𝑥2 − 3𝑥 + 1

+ 𝑥 − 2𝑑

𝑑𝑥2𝑥2 − 3𝑥 + 1 =

= 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 𝑥 − 2 4𝑥 − 3 =

= 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 4𝑥2 − 3𝑥 − 8𝑥 + 6 =

= 6𝑥2 − 14𝑥 + 7

Derivata della funzione potenza

𝑦 = 𝑥𝑎, 𝑥 > 0 e a reale

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑎 = 𝑎𝑥𝑎−1

• Esempio: trovare la derivata della funzione

𝑦 = 𝑥 e usare il risultato ottenuto per

trovare la pendenza del grafico nel punto

(1,1) e (4,2). Cosa succede nel punto (0,0)? 𝑑

𝑑𝑥𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑥

12 =

1

2𝑥−

12 =

1

2 𝑥

xmxf

2

1)('

Quindi, nel punto (1,1), la

pendenza é 1/2, e nel punto (4,2),

La pendenza é 1/4.

Che cosa succede nel punto (0,0)?

La pendenza è indefinita, poichè si ottiene la divisione

per 0.

2

1m

4

1m

1 2 3 4

Trovare la derivata rispetto a t della funzione

.2

ty

2111 2)1(222

tttdt

d

tdt

d

2

2

t

Regola del quoziente

• Se 𝑓 e 𝑔 sono due funzioni differenziabili in

𝑥 tali che 𝑔(𝑥) ≠ 0, allora il loro rapporto é

differenziabile e

𝑓

𝑔

′

=𝑓′𝑔 − 𝑓𝑔′

𝑔2

Esempio

• Se la velocità di un corpo ha la seguente

espressione 𝑣 𝑡 =3𝑡2+1

2(𝑡−1)

• Calcolare la sua derivata, l’accelerazione a,

all’interno del suo dominio (𝑡 ≠ 1):

• 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

3𝑡2+1

2(𝑡−1)=

6𝑡 2𝑡−2 −2 3𝑡2+1

4 𝑡−1 2 =

•12𝑡2−12𝑡−6𝑡2−2

4 𝑡−1 2 =6𝑡2−12𝑡−2

4 𝑡−1 2 =3𝑡2−6𝑡−1

2 𝑡−1 2

Derivata della funzione reciproca 1

𝑓

Sia 𝑓 una funzione differenziabile in 𝑥 tale che

𝑓(𝑥) ≠ 0, allora anche la funzione reciproca è

differenziabile e si ha

1

𝑓

′

= −𝑓′

𝑓2

Infatti, applicando la regola del rapporto nel caso

particolare in cui il numeratore è 1

1

𝑓

′

𝑥 = −𝑓′(𝑥)

𝑓2(𝑥)

Regola della catena

Siano 𝑦 = 𝑓(𝑥) una funzione differenziabile nel

punto 𝑥, e 𝑧 = 𝑔(𝑦) una funzione differenziabile nel

punto 𝑦 = 𝑓(𝑥), allora esiste la derivata della

funzione composta ed è della forma

𝑔 ∘ 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥)

oppure 𝑑𝑧

𝑑𝑥=

𝑑𝑧

𝑑𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥

Applicazione: Derivata della funzione

potenza.

• Applicando la regola della funzione

composta, si ottiene

• 𝑓𝑛 ′ = 𝑛𝑓′𝑓𝑛−1

Derivata della funzione inversa

• Se la funzione f è invertibile e derivabile nel

punto x, tale che 𝑓′(𝑥) ≠ 0, anche la

funzione inversa è derivabile nel punto

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑓−1 ′ 𝑦 =1

𝑓′ 𝑥=

1

𝑓′ 𝑓−1(𝑦)

Derivata delle funzioni logaritmiche

Derivata delle funzioni esponenziali

•𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

•𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑥 = (ln 𝑎) 𝑎𝑥

•𝑑

𝑑𝑥(𝑓𝑔) = 𝑔𝑓′𝑓𝑔−1 + 𝑔′ ln 𝑓 𝑓𝑔

Derivata delle funzioni trigonometriche

Esempi

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Michel Rolle (1652-1718)

Teoremi sulle derivate:

Teorema di Rolle

• Ipotesi:

1. 𝑓 continua in [𝑎, 𝑏]

2. 𝑓 derivabile in (𝑎, 𝑏)

3. 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏)

• Tesi:

Esiste almeno un punto 𝑐 in (𝑎, 𝑏) tale

che 𝑓′ 𝑐 = 0.

a b

tangente

curva

Punto a

tangente

orizzontale

TEOREMA DI ROLLE


TEOREMA DI LAGRANGE

Giuseppe Luigi Lagrange (1736-1813)

Il Teorema di Lagrange o del valor

medio

Ipotesi:

1. 𝑓continua in [𝑎, 𝑏] 2. f derivabile in (𝑎, 𝑏)

Tesi:

∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓′ 𝑐 =𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎

𝑏−𝑎


Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

Teorema di Cauchy

Ipotesi: Se 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 e 𝑔: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 sono due

funzioni continue in [𝑎, 𝑏], derivabili in (𝑎, 𝑏) con

𝑔′ 𝑥 ≠ 0 per ogni 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

Tesi: Allora esiste 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tale che

𝑓′ 𝑐

𝑔′ 𝑐=

𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)

Osservazione 1

• Data una funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 , derivabile in (𝑎, 𝑏)

• Ogni funzione del tipo 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑘, con 𝑘 una

costante è derivabile in (𝑎, 𝑏) e risulta:

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 + 𝑘 = 𝑓′ 𝑥

Osservazione 2

• Pertanto se esiste la derivata di una funzione

essa è unica

• Invece se una funzione 𝑓(𝑥) è la derivata di

un’altra 𝐹(𝑥) questa non è unica

• Infatti (𝐹 𝑥 + 𝑘)′ = 𝐹(𝑥)′, per ogni numero

reale 𝑘.

• Una funzione derivabile è anche continua.

Osservazione 3

Se una funzione è derivabile nel punto 𝑥 = 𝑎,

allora è anche continua in questo punto. In particolare

una funzione derivabile nel intervallo 𝐼 è anche

continua su 𝐼. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 =

lim𝑥→𝑎

( 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)) = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎

𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑎 =

lim𝑥→𝑎


𝑥 − 𝑎lim𝑥→𝑎

(𝑥 − 𝑎) = 𝑓′ 𝑎 ⋅ 0 = 0

Teoremi

• Se 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ è tale che 𝑓′ 𝑥 = 0 per ogni

𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), allora si ha che 𝑓 𝑥 = 𝑘 (costante),

per ogni 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

• Se 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ e 𝑔: (𝑎, 𝑏) → ℝ sono tali che

𝑓′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 per ogni 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), allora esiste

𝑐 ∈ ℝ tale che 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑐, per ogni

𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

Regola di De L’Hôpital

Forme indeterminate del tipo 0/0

• Prendiamo in considerazione dei limiti che presentano una forma del tipo 0/0. Ad esempio:

Vogliamo sviluppare un metodo generale per risolverli.

1sin

lim0

x

x

x2

1

1lim

2

1

x

x

x0

cos1lim

0

x

x

x

Regola di De L’Hôpital

Sia 𝐼 un intervallo aperto con 𝑎 ∈ 𝐼. Supponiamo che le funzioni 𝑓 e 𝑔 sono funzioni differenziabili in 𝐼, eccetto al più il punto 𝑥 = 𝑎, e che 𝑔′ 𝑥 ≠ 0 per ogni 𝑥 dell’ intervallo, escluso al più il punto 𝑎 e che

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 0, lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 = 0 e

lim𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥= 𝐿 (𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 = ±∞)

allora anche lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑥→𝑎 𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥

Nella dimostrazione sotto assumiamo che 𝑓 e 𝑔 sono funzioni

differenziabili in 𝐼.

Dimostrazione: Calcoliamo il limite 𝑥 → 𝑎+ (nello stesso

modo si tratta poi il caso 𝑥 → 𝑎−). Applichiamo il teorema

di Cauchy all’intervallo (𝑎, 𝑥) e usiamo quel 𝑐 tale che

𝑓′ 𝑐

𝑔′ 𝑐=


𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑎

Siccome

𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0, si ha

𝑓′ 𝑐

𝑔′ 𝑐=

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥

Per 𝑥 che tende ad 𝑎, 𝑐 tende ad 𝑎 perché è sempre

compreso fra 𝑎 e 𝑥. Perciò

lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑐→𝑎+ 𝑓′ 𝑐

𝑔′ 𝑐= lim

𝑥→𝑎+ 𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥 . q.e.d.

Esempio:

20

1 coslimx

x

x x

0

sinlim

1 2x

x

x

0

Se la forma non é più

indetermianta,

bisogna fermarsi!

Se proviamo ad applicare di nuovo De L’Hôpital:

0

sinlim

1 2x

x

x

0

coslim

2x

x

1

2 É sbagliato!

Esempio 1

• Trovare il seguente limite:

• Precedentemente abbiamo fattorizzato e semplificato e sostituito di nuovo il valore 2.

2

4lim

2

2

x

x

x

4)2(lim)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

x

xxx

Esempio 1

• Trovare il seguente limite

• Ora possiamo applicare la regoal di De L’Hôpital per risolvere questo limite.

2

4lim

2

2

x

x

x

4)2(21

2lim

2

4lim

2

2

2

x

x

x

xx

Esempio 2

• Trovare il seguente limite.

• Verifichiamo che si tratta di una forma indeterminata della forma 0/0.

x

x

x

sinlim

0

0

0sinlim

0

x

x

x

Esempio 2


• E’ una forma indeterminata della forma 0/0.

• Quindi applichiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il limite.

x

x

x

sinlim

0

11

1

1

coslim

sinlim

00

x

x

x

xx

Esempio 3


• Si tratta di una forma indeterminata della forma 0/0.

x

x

x cos

sin1lim

2/

0

0

0

11

cos

sin1lim

2/

x

x

x

Esempio 3

• Trovare il seguente limite.


• Quindi usiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il limite.

x

x

x cos

sin1lim

2/

01

0

sin

coslim

cos

sin1lim

2/2/

x

x

x

x

xx

Esempio 4


• E’ una forma indeterminata del tipo 0/0.

30

1lim

x

ex

x

0

0

0

111lim

30

x

ex

x

Esempio 4



• Quindi applichiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il limite

30

1lim

x

ex

x

0

1

3lim

1lim

2030 x

e

x

e x

x

x

x

Esempio 5


• E’ una forma indeterminate della forma 0/0.

20

tanlim

x

x

x

0

0tanlim

20

x

x

x

Esempio 5


• Applichiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il limite

20

tanlim

x

x

x

xxx

x

xx2

02

0 cos2

1lim

tanlim

Esempio 6



• Quindi usiamo la regola di De L’Hôpital per trovare il limite.

• Applichiamo di nuovo la regola di De L’Hôpital.

20

cos1lim

x

x

x

0

0

2

sinlim

cos1lim

020

x

x

x

x

xx

2

1

2

coslim

2

sinlim

cos1lim

0020

x

x

x

x

x

xxx

Esempio 7



• Applichiamo quindi la regola di De L’Hôpital per trovare il limite.

)/1sin(lim

3/4

x

x

x

01

0

)/1cos(

)3/4(lim

)/1cos()/1(

)3/4(lim

)/1sin(lim

3/1

2

3/73/4

x

x

xx

x

x

x

xxx

Forme indeterminate del tipo

Teorema: Sia 𝐼 un intervallo aperto con 𝑎 ∈ 𝐼. Supponiamo che le funzioni 𝑓 e 𝑔 sono funzioni differenziabili su 𝐼, eccetto al più il punto 𝑥 = 𝑎, e che

allora

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑥→𝑎 𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥

/

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = ∞, lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 = ∞ e

lim𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥= 𝐿 (𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 = ±∞)

Esempio 8


• E’ una forma indeterminata.

• Applichiamo la regola di De L’Hôpital.

xx e

x

lim

011

limlim

xxxx ee

x

Crescita esponenziale

• Come mostra il seguente grafico la funzione esponenziale ha una crescita più rapida di ogni potenza di 𝑥.

0lim x

n

x e

x

n

x

x x

elim


• Utilizzando la regola di De L’Hôpital possiamo trasformare la forma indeterminata in 0

0

/

Esempio 9

• Valutare il seguente limite:

• Si tratta di una forma indeterminata:

• Riscrivendo la funzione come

• Applicando la regola di De L’Hôpital

)(0lnlim0

xxx

xxx

lnlim0

x

x

x /1

lnlim

0

0)(lim/1

/1lim

/1

lnlim

02

00

x

x

x

x

x

xxx


• Questa forma indeterminata può essere ricondotta alle precedenti, utilizzando qualche artificio

Esempio 10


• Genera una forma indeterminata

• Riscriviamo la funzione nella forma

• Ora la forma indeterminata é 0/0, così possiamo usare la regoal di De L’Hôpital.

xxx sin

11lim

0

xx

xx

xx xx sin

sinlim

sin

11lim

00

02

0

cos2sin

sinlim

0

0

sincos

1coslim

sin

sinlim

0

00

xxx

x

xxx

x

xx

xx

x

xx


• Limiti della forma danno luogo ad altre forme indeterminate del tipo:

• Per risolverla introduciamo una variabile dipendente

)()(lim xgxf

1,,0 00

1,,0 00

)()( xgxfy

Esempio 11

• Mostrare che

• Questa é una forma indeterminata del tipo così la risolviamo attraverso un cambiamento di variabile.

ex x

x

/1

0)1(lim

1

xxy /1)1(

xxy /1)1ln(ln

)1ln()/1(ln xxy

x

xy

)1ln(ln

Esempio 11

0

0)1ln(limlnlim

00

x

xy

xx

x

xy

)1ln(ln

11

1lim

1

)1/(1lim

)1ln(lim

000

x

x

x

x

xxx

Esempio 11

Questo implica che per .

11

1

1

)1/(1)1ln(lim

0

x

x

x

x

x

1lnlim0

yx

ey 0x

Esercizi 1. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:

a) 𝑦 = 6𝑥 + 2 [6]

b) 𝑦 = 2𝑥2 − 12𝑥 + 7 [4𝑥 − 12]

c) 𝑦 = 𝑥5 − 3𝑥3 + 12𝑥 [5𝑥4 − 9𝑥2 + 12]

d) 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑥 [1 +1

𝑥]

e) 𝑦 =10

𝑥3 [−30

𝑥4]

f) 𝑦 =𝑥3

𝑥2−1 [

𝑥4−3𝑥2

𝑥2−1 2]

g) 𝑦 =𝑥2+2𝑥+1

𝑥2−2𝑥+1 [

−4(𝑥 +1)

𝑥 −1 3 ]

2. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:

a) 𝑦 = 2𝑥 + 12

3 4

32𝑥 + 1 −

1

3

b) 𝑦 = 3𝑥4 + 3 6𝑥3

3𝑥4+3

c) 𝑦 = 𝑒4𝑥+1 4𝑒4𝑥+1

d) 𝑦 = 102𝑥2−3 4𝑥(ln 10) 102𝑥2−3

e) 𝑦 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥 4

𝑒𝑥+𝑒−𝑥 2

f) 𝑦 = ln 𝑥2 + 1 2𝑥

𝑥2+1

g) 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 ln 𝑥

3. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:

a) 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 2(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)

b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2 cos 2𝑥

c) 𝑦 =𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥

𝑥 cos 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥2

d) 𝑦 = tan 𝑥2 2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥2

e) 𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥

1+ 𝑠𝑒𝑛2𝑥

f) 𝑦 = ln cos 𝑥 − tan 𝑥

g) 𝑦 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥2+1

[2𝑥 cos 𝑥2 + 1 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥2+1 ]

h) 𝑦 = 𝑥 𝑒𝑥 [𝑒𝑥(1 + 𝑥)]

4. Calcolare i seguenti limiti applicando la regola di

De L’Hôpital:

a) .

[4]

b) .

[-1/8]

c) .

[1]

d) [1/2]

2

2

4lim

2x

x

x

20

1 12lim

x

xx

x

1lim sinx

xx

1

1 1lim

ln 1x x x

x

x

x

2sinlim

0

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