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LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Prof. Giovanni Ianne 1/22 Prof Giovanni Ianne
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LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Prof. Giovanni Ianne
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IL PROBLEMA DELLA TANGENTE
Come si determina la retta tangente a una curva in un punto P ?
Per una circonferenza, la tangente è la retta che interseca la curva solo in P.
Ma, in generale, questa definizione non basta. Un esempio è dato nella figura a destra: la retta t è tangente alla curva nel punto P, ma la interseca anche nel punto .La tangente dipende dalle proprietà locali della curva in un intorno di P.
DEFINIZIONERetta tangente a una curvaLa retta tangente t a una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P.
1P
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IL RAPPORTO INCREMENTALE
DEFINIZIONERapporto incrementaleDati una funzione y = f (x), definita in unintervallo [a; b] , e due numeri reali c e c + hinterni all’intervallo,
si chiama rapporto incrementaledi f (relativo a c) il numero:
.
Il rapporto incrementale di f relativo a c è il coefficiente angolare dellaretta passante per A e B.
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LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
DEFINIZIONE
Derivata di una funzioneData una funzione y = f (x), definita in unintervallo [a; b],
si chiama derivata della funzione nelpunto c interno all’intervallo, e si indicacon f ' (c),
La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficienteangolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto diascissa c.
il limite, se esiste ed è finito, per h chetende a 0, del rapporto incrementale di frelativo a c:
.
x.delle asse l'con limite posizione nella qmxy
equazione di tangenteretta dalla formatoangolo l' è dove 1
tgcfm
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)()(y-y:è y, asse all' parallela ènon e esiste retta tale
),;(x punto nel f di grafico al tangenteretta dellaequazione l' f(x),y funzione la data generale,In
00
1
0
00
xxxfse
y
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Condizione di esistenza delladerivata
La derivata di f esiste in c se:- la funzione è definita in un
intorno di c;
- esiste il limite del rapportoincrementale per h tendente a 0;
- il limite è un numero finito.
Rapporto incrementale e derivata
Nel processo di limite il rapportoincrementale diventa il coefficienteangolare della retta tangente.
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DEFINIZIONE
Derivata sinistraLa derivata sinistra di una funzione in un punto c è
.
DEFINIZIONE
Derivata destraLa derivata destra di una funzione in un punto c è
.
Una funzione è derivabile in c se la derivata destra e laderivata sinistra esistono finite in c e sono uguali.
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LA CONTINUITA’ E LA DERIVABILITA’
• Il teorema afferma che la derivabilità di una funzione implica la continuità,
mentre il viceversa non vale. Pertanto, la continuità è una condizione
necessaria, ma non è sufficiente per la derivabilità, poiché una funzione
può essere continua in un punto senza che sia derivabile nello stesso punto.
• Nei punti di discontinuità una funzione non può ammettere derivata.
00
00
xpunto nel continua è )( xpunto nel derivabile è f(x) Se
Xper oneaccumulazi d' sia x, x,:
xf
XRRXf
TEOREMA
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LE DERIVATE FONDAMENTALI
Teorema
Sia .
La derivata di una funzione costante è zero.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Teorema
Sia
La derivata della variabile indipendente è uguale a 1.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Teorema
Sia
(Derivata di una potenza con esponente intero e positivo)
0Dk
1Dx
costante una èk dove ,)( kxf
.)( xxf
.0-Nncon ,)( nxxf
1 nn nxDx
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LE DERIVATE FONDAMENTALI
Teorema
Sia (Derivata di una potenza con esponente reale)
Se
(Derivata di una radice)
In particolare per n = 2 ed m = 1 risulta:
0. xe Rcon ,)( xxf
1 xDx
0ncon n
m
n mn
n mn
m
xn
mxDDx
xxD
2
1
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LE DERIVATE FONDAMENTALI
Teorema
Sia .
La derivata della funzione seno.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Teorema
Sia
La derivata della funzione coseno.
xDsenx cos
radianti.in espressocon x senx,)( xf
radianti.in espressocon x cosx,)( xf
senxxD cos
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LE DERIVATE FONDAMENTALI
Teorema
Sia
(Derivata della funzione esponenziale)
In particolare, quando a = e, risulta:
R. xe 1a e 0acon ,)( xaxf
aaDa xx ln
xx eDe
1ln e
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LE DERIVATE FONDAMENTALI
Teorema
Sia
(Derivata della funzione logaritmica)
In particolare, quando a = e, risulta:
0. xe 1a e 0acon x,log)( axf
ex
xD aa log1
log
xxD
1ln
1log ee
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I TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE
Teorema (La derivata del prodotto di una costante per una funzione)
La derivata del prodotto di una costante per una funzione derivabile èuguale al prodotto della costante per la derivata della funzione:
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Teorema (La derivata della somma di funzioni)
La derivata della somma algebrica di due o più funzioni derivabili è uguale
alla somma delle derivate delle funzioni stesse:
)()( 1 xfkxfkD
)()()()( 11 xgxfxgxfD
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I TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE
Teorema (La derivata del prodotto di funzioni)
La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale alla sommadella derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda nonderivata e della derivata della seconda funzione moltiplicata per la primanon derivata:
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Teorema (La derivata del reciproco di una funzione)
La derivata del reciproco di una funzione derivabile non nulla è uguale a una frazione in cui:
• il numeratore è l’ opposto della derivata della funzione;
• il denominatore è il quadrato della funzione.
)()()()()()( 11 xgxfxgxfxgxfD
0.f(x)con ,)(
)(
)(
12
1
xf
xf
xfD
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I TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE
Teorema (La derivata del quoziente di due funzioni)
La derivata del quoziente di due funzioni derivabili (con funzione divisore non nulla) è uguale a una frazione che ha:
• per numeratore la differenza fra la derivata del dividendo moltiplicata per
il divisore non derivato e il dividendo non derivato moltiplicato per la
derivata del divisore;
• per denominatore il quadrato del divisore.
Casi particolari:
0.g(x)con ,)(
)()()()(
)(
)(2
11
xg
xgxfxgxf
xg
xfD
xx
Dtgx 2
2tg1Dtgx oppure
cos
1
)tg1(Dcotgx oppure 1 2
2xco
xsenD cotgx 16/22Prof Giovanni Ianne
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA
Teorema
Se la funzione f è derivabile nel punto x e la funzione g è derivabile nelpunto z = f(x), allora la funzione composta y = g(f(x)) è derivabile in x e lasua derivata è il prodotto delle derivate di g rispetto a z e di f rispetto a x:
)())(())(( 11 xfxfgxfgD
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LE DERIVATE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
La derivata della funzione potenza composta:
La derivata della funzione radice composta:
La derivata della funzione seno composta:
)()()( 11xfxfxfD
n mn
n m
xfn
xfmxfD
)(
)()(
1
)(f(x) cosf(x) 1 xfsenD
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LE DERIVATE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
La derivata della funzione coseno composta:
La derivata della funzione tangente composta:
La derivata della funzione cotangente composta:
)(f(x) f(x) cos 1 xfsenD
)()(1)(cos
)(f(x) 12
2
1
xfxftgxf
xftgD
)(f(x) cot1)(
)(f(x) cotg 12
2
1
xfgxfsen
xfD
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LE DERIVATE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
La derivata della funzione esponenziale composta:
In particolare, quando a = e, risulta:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
La derivata della funzione logaritmica composta:
In particolare, quando a = e, risulta:
axfaDa xfxf ln)(1)()(
1ln e
)(1)()( xfeDe xfxf
exf
xfxfD aa log
)(
)()(log
1
1log ee
)(
)()(ln
1
xf
xfxfD
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TEOREMA SULLE FUNZIONI DERIVABILI
TEOREMA DI DE L’HOSPITAL
Siano f(x) e g(x) due funzioni definite nell’ intervallo e sia un
punto dell’ intervallo.
Supponiamo che siano verificate le seguenti condizioni:
1) f(x) e g(x) siano derivabili in escluso al più il punto
2) le funzioni si annullino entrambe nel punto , cioè
3) in un intorno di ,
4) le derivate di f(x) e di g(x) siano continue
5)
allora esiste anche il limite del rapporto delle due funzioni ed è:
ba; 0x
ba; 0x
0x 0)()( 00 xgxf
0x 0)(g e 0)( 1 xxg
x x )(
)(f lim il
0
1
1
xg
xesista
00
1
1
x x x x)(
)( lim
)(
)(f lim
xg
xf
xg
x
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REGOLA DI DE L’ HOSPITAL PER IL CALCOLO DI ALCUNI LIMITI
Dal teorema di De L’ Hospital scende la regola di De L’ Hospital:
Il limite del rapporto di due funzioni che si presenta sotto la forma indeterminata
del tipo
è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, nell’ ipotesi che le due funzioni
soddisfino alle proprietà precedentemente esposte.
oppure
0
0
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