CALCOLODIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 3.

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Forme quadratiche. Criteri Forme quadratiche. Criteri per i punti d’estremo liberi.per i punti d’estremo liberi.

Differenziazione di funzioni da Differenziazione di funzioni da RRmm a R a Rnn..

FORME QUADRATICHE.FORME QUADRATICHE.

Vogliamo dare condizioni sufficientiper l’esistenza di punti d’estremo (max o min) relativi.

A questo scopo definiremo e studieremo brevemente le forme quadratiche.

Una forma quadratica su RRm m è un polinomio omogeneo di grado duenelle variabili h1, h2, … , hm.

q(h1, h2, … , hm) = aijhihji,j=1

m

Con notazione vettoriale, si scrive

q(h1, h2, … , hm) = hTAh, h RRmm

È facile riconoscere che una formaquadratica si può pensare generatada una matrice simmetrica, cioè con

aij=aji

e quindi A = AT

Qualche semplice esempio...

È, come si ricorderà, la forma quadratica associata al differenziale secondo di una funzione nel punto x0. La chiameremo l’Hessiano di f in x0.

(Dijf)(x0) hihji,j=1

mhTHh =

Una forma quadratica q(h1, h2, … , hm) si dice

1. Definita positiva (negativa) se per ogni h RRmm, h≠ 0, q(h) > 0 (< 0).

2. Semidefinita positiva (negativa) se per ogni h RRmm, h≠ 0, q(h) ≥ 0 (≤ 0), ma esiste h≠ 0 tale che q(h) = 0.

3. Indefinita se esistono h1, h2 RRmm, tali che q(h1) > 0 e q(h2) < 0 .

Data la matrice A associata a una forma quadratica q(h1, h2, … , hm), diremo minori principali (di NW) i minori formati con le prime k righee k colonne di A.

M1= a11

a11 a12M2=

a21 a22

Mk=

a11 a12 a1k...a21 a2

2

a2k...... ... ...ak1 ak2

akk

......

Mm=

a11 a12 a1m...a21 a2

2

a2m...... ... ...am1am2

amm

......

= det A

Criterio(di Jacobi - Sylvester )

Sia data la forma q(h1, h2, … , hm) = hTAh.

a) hTAh è definita positiva se esolo se Mk> 0 per k = 1, 2, … , m

b) hTAh è definita negativa se e solo se (-1)kMk> 0 per k = 1, 2, … , m

Nel caso delle f.q. in due variabili,possiamo provare un criterio più completo.

q(h1,h2) = ah12 + 2bh1h2 + ch2

2 =

= a(h1 + (b/a)h2)2+ ((ac-b2)/a)h22

= (h1 h2) ( ) h1

h2( )a b

b c

A =a bb c( )

= hTA h

dove

Allora la f.q. q(h1,h2)

a) è definita positiva (negativa) se

e solo se det A > 0 e a > 0 (< 0)

b) è indefinita det A <0

c) è semidefinita positiva (negativa) se e solo se det A = 0 e a > 0 (< 0)

oppure a = 0 e c > 0 (< 0)

Teorema

Sia f : A Rm R, una funzione C2(A).

Se in x0 è f(x0)= 0 e se

i) d2fx0 è definito positivo, allorax0 è punto di minimo relativo.

ii) d2fx0 è definito negativo, allorax0 è punto di massimo relativo.

iii) d2fx0 è indefinito, allora x0 non è punto né di max né di min relativo.

iv) d2fx0 è la f.q. nulla o è semidefinito, allora nulla si può concludere in

generale.

In particolare, per funzioni di due In particolare, per funzioni di due variabili:variabili:

H(x0,y0) =

∂2f____∂x2

∂2f_____∂x∂y

∂2f_____∂x∂y

∂2f____∂x2

Se Se det H(x0,y0) > 0 ee∂2f____∂x2

> 0

allora allora (x0,y0) è punto di min rel. è punto di min rel.

Se Se det H(x0,y0) > 0 ee∂2f____∂x2

< 0

allora allora (x0,y0) è punto di max rel. è punto di max rel.

Se Se det H(x0,y0) < 0

allora allora (x0,y0) è punto di sella.è punto di sella.

Se Se det H(x0,y0) = 0

allora nulla si può in generaleallora nulla si può in generalesulla natura di sulla natura di (x0,y0)..

Calcoli ed esempi a parte..

Differenziazione diDifferenziazione difunzioni da Rfunzioni da Rmm a R a Rnn..

Una funzione f : A Rm Rn , A aperto, fa corrispondere a ognix A un solo y Rn.

y Rn ha n componenti, ciascuna funzione delle m componenti di x

Dunque y = f(x) corrisponde a nfunzioni fi : A Rm R, i = 1,.., n

f : A Rm Rn è continua in x0 A se e solo se ciascuna delle componentifi : A Rm R, i = 1,.., n è continua in x0 A.

f : A Rm Rn ha limite l Rn per x x0 se e solo se ogni componente fi : A Rm R ha limite li per x x0.

Diremo che f : A Rm Rn è differenziabile in x0 A se esisteun’applicazione lineare L : Rm Rn

tale che, se x = x0 + h (x, x0,h Rm)

f(x) = f(x0) + L h + (h) |h|

con (h) 0 se h 0

Si verifica che f : A Rm Rn è differenziabile se e solo se lo sonole sue componenti. Si trova che il differenziale di f è rappresentato dalla seguente matrice L con m colonne ed n righe

L =

D1f1(x0

) D2f1(x0)

Dmf1(x0)

D1f2(x0) D2f2(x0) Dmf2(x0)

D1fn(x0)D2fn(x0) Dmfn(x0)

..

..

..

.. .. .. ..

Nella matrice L ogni riga è il differenziale di una componente fi

di f .

Ci interesserà nel seguito la seguente formula di derivazione di funzione composta più generale di quella già dimostrata.

Teorema(Derivazione di funzione composta )

Sia f : A Rm Rp, A aperto,

differenziabile in x0, g : Rn A Rm , aperto, x0 = g(u0), esistano finite in u0

tutte le derivate ∂ui gk (u0), i=1,..,n , k = 1,..,m , allora

F(u) = f(g(u)), aperto, ha tutte le

derivate parziali ∂ui Fr. E vale

∂Fr___∂uk

(u0) = ∂fr___∂x1

∂g1___∂uk

∂fr___∂xm

∂gm___∂uk

+ +

Un accenno di calcolo a parte..

r = 1,…, p.