By Irina Polansky

Deriving Mechanism Singularity Positions through the Graph Theory Duality Principle

The Iby and Aladar Fleischman Faculty of Engineering

Department of Solid Mechanics, Materials and Systems

Supervisor: Dr. Offer Shai

. הגדרה של מצב סינגולרי גיאומטרי 1במצבים שימושים וטופולוגי. .סינגולריים

דואליות בין מכניזמים למסבכים דרך תורת .2. שימוש בדואליות בין מסבכים ומכניזמים למציאת 3.הגרפים

.מצבים סינגולריים במכניזם

. שיטה כללית למציאת מצבים סינגולריים 4בפאה כוח בעזרת

win wout

win wout

Singularity position:

A

שימושים בנקודות סינגולריות

הימנעות

מסינגולריות

אם נדרשת

תנועה רציפה

הגבר מומנט

או כוח

שימוש בעובדה שבנקודה סינגולרית המכניזם ננעל

Space-Based Synthetic Aperture Radar (SAR)

1986 Ford Mustang

hatchback

Balli and Chand (2001-2003) “Synthesis of mechanism

between singularity positions”

Toggle pliers

0)]sin()sin()sin()sin([ 34412424134321 baaaaD

A

BC

1

4

a1

2

F

E

D2

1

44

33

a3 b4a4

a2

0)sin()sin()sin()sin( 24134344124 ab

Wolfson “Mechanics of machinery” 1996

היבט אנליטי על נקודות סינגולריות במכניזם

1

4

23

H.S. Yan “On the Dead-Center positions of Planar Linkage

Mechanisms” (1989)

. הגדרה של מצב סינגולרי גיאומטרי וטופולוגי. 1.במצבים סינגולריים שימושים

דואליות בין מכניזמים למסבכים דרך תורת .2. שימוש בדואליות בין מסבכים ומכניזמים למציאת 3.הגרפים

.מצבים סינגולריים במכניזם

. שיטה כללית למציאת מצבים סינגולריים 4בפאה כוח בעזרת

דואליות בין מסבכים למכניזמים

1

P

A

2

לכל מסבך תמיד ניתן לבנות מכניזם כך שהמהירויות היחסיות של החוליות במכניזם יהיו שוות לכוחות במוטות המסבך

דואליות בין מסבכים למכניזמים

1

P

A

2

PVI

I

II

1FVII

22 FV

לכל מסבך תמיד ניתן לבנות מכניזם כך שהמהירויות היחסיות של החוליות במכניזם יהיו שוות לכוחות במוטות המסבך

דואליות בין מסבכים למכניזמים

1

P

A

2

לכל פאה במסבך מתאים צומת במכניזם

I

II

דואליות בין מסבכים למכניזמים

1

P

A

2

לכל פאה במכניזם מתאים צומת במסבך

I

II

מושגים מתורת הגרפים

סכום ווקטורי של חוק הזרימות:זרימות בכל חתך שווה לאפס

סכום ווקטורי של חוק הפוטנציאלים:הפרשי הפוטנציאלים בכל מעגל שווה

לאפס

1 2

– אוסף צמתים גרףוקשתות

זרימה פוטנציאל

כוח תזוזה, מהירות

זרם חשמלי מתח חשמלי

כסף מחיר – קבוצה מינימלית של קשתות חתך

שהסרתה הופכת את הגרף ללא קשיר

– קבוצת קשתות שמהווה מסלול מעגלסגור

– לכל פאה מתאים גרף דואליצומת

כאשר מתייחסים רק לזרימות שבגרףגרף זרימות:

כאשר מתייחסים רק גרף פוטנציאלים:לפוטנציאלים שבגרף

Pi

דואליות בין מסבכים למכניזמים

1

P

A

21

2

P

1

2i1i

1 2

2iPi

1i

Pi2i

A

דואליות בין מסבכים למכניזמים

1 21

P

A

21 2

1

2P

1

2P

1i 2iPi

1iPi

2i

1iPi

2i

דואליות בין מסבכים למכניזמים

1 21

P

A

21 2

1

2P

1

2P

1iPi

2i

1i 2iPi

דואליות בין מסבכים למכניזמים

1

P

A

2

1

P

A

2

P

2

1

I

II

II

I

נייצג את המסבך הדואלי כגרף זרימות

זרימות בפאות בגרף מייצגות משתנה כוח נוסף – כוח בפאה

נייצג את המכניזם כגרף פוטנציאלים

פוטנציאלים בצמתים מייצגים את המהירויות של צמתי המכניזם

Maxwell Diagram

1

P

A

2

I0

II

I

0

II

בבואת המהירות

דיאגרמת הכוחות

Maxwell Diagram

1

P

A

2

. הגדרה של מצב סינגולרי גיאומטרי וטופולוגי. 1.במצבים סינגולריים שימושים

דואליות בין מכניזמים למסבכים דרך תורת .2. שימוש בדואליות בין מסבכים ומכניזמים 3.הגרפים

.מצבים סינגולריים במכניזם למציאת

. שיטה כללית למציאת מצבים סינגולריים 4בפאה כוח בעזרת

דואליות בין מסבכים למכניזמים

G G*(מסבך) (מכניזם)

זרימות(כוחות)

הפרשי הפוטנציאלים

(מהירויות יחסיות)

זרימות(כוחות)

הפרשי הפוטנציאלים(תזוזות יחסיות)

כוחות במסבך = מהירויות יחסיות במכניזם

?מתי יש כוחות במכניזם

:לפי כלל הדואליות

פוטנציאלים בגרף מקורי – זרימות בגרף דואליתזוזות במסבך – כוחות במכניזם

?

יש כוחות במכניזם כאשר המכניזם נמצא במצב סינגולרי

דואליות בין מסבכים למכניזמים

1

P

A

2

1

P

A

2

P

2

1

נייצג את המסבך כגרף פוטנציאלים

פוטנציאלים בצמתים מייצגים את תזוזות של צמתי המסבך

A'

A

21

דואליות בין מסבכים למכניזמים

1

P

A

2

1

P

A

2

P

2

1

נייצג את המסבך כגרף פוטנציאלים

פוטנציאלים בצמתים מייצגים את תזוזות של צמתי המסבך

A'

A

21

F1 = F2 = πA

2

1

1

2

P

P

L

A B

L

D

-PL

C

שיטת הקורה המצומדת

מכניזם תקוע

I

II

מכניזם

21

P

2

1

II

I

גרף

1

A

2

P

P

2

1

II

I

גרף דואלי

1

P

A

2

מסבך דואלי תזוזות במסבך דואלי

1

P

A

2

A'

I

II

21

תיאור השיטה

1

A

2

P

דוגמא להפעלת השיטה

A

B

C

AB

C

1 3

2

4

56

7

4

2

61

3 5

7

1

5

7

2

3 6

4

A

B

C

דוגמא להפעלת השיטה

4

2

61 3 5

7

1

5 7

2

36

4

A

B

CA

B

C

1 3

2

4

56

7

A'

B'

C'

A

B

C1

5

7

2

3 6

4

Aπ

Bπ

Cπ

Aπ

BπC

π

Aπ

דוגמא להפעלת השיטה

A'

B'

C'

Aπ

Bπ

Cπ

A

1 B

2 C

6

BA 3

AC 4

CB 5

1

5 7

2

36

4

A

B

C

Aπ

BπC

π

1 3

Aπ

Bπ

AB

C

1 3

2

4

56

7

A

1

BA 3

דוגמא להפעלת השיטה

1

5

7

2

36

4

A

B

C

1

2

3

4

56

7

A

1 B

2 C

6

BA 3

CA 4

CB 5

דוגמא להפעלת השיטה

1

5

7

2

36

4A

B

C

AB

C

1 3

2

4

56

7

A'

B'C'

1

2

3

4

56

70641

1

5 7

2

3

6

4

0641 FFF

דוגמא להפעלת השיטה

H.S. Yan “On the Dead-Center positions of Planar Linkage Mechanisms (1989)

1

2

3

4

5

6

7

AB

C

. הגדרה של מצב סינגולרי גיאומטרי וטופולוגי. 1.במצבים סינגולריים שימושים

דואליות בין מכניזמים למסבכים דרך תורת .2. שימוש בדואליות בין מסבכים ומכניזמים למציאת 3.הגרפים

.מצבים סינגולריים במכניזם

. שיטה כללית למציאת מצבים סינגולריים 4בפאה כוח בעזרת

1 3

4

5

2

6

7 Av

Bv

Cv

Dv

0v

A

B

C

1 3

2

4

56

70f

Af

Cf

Df

4

2

613 5

7

A

B

C

DBf

Another force variable – face force

1 3

4

5

2

6

70f

Bf

Df

Af C

f

בבואת המהירות

דיאגרמת הכוחות

0

AfCf

Df

f

Bf

A

B

C

1 3

2

4

5 6

7

New force variable – face force

1 3

4

5

2

6

70f

Bf

Df

Af C

f

0

AfCf

Df

f

Bf

A

B

C

1 3

2

4

5 6

7

New force variable – face force

f1

f2

f3

06

7

52

4

3

1

Face force in mechanism

0f

1f3f

4

2

6

1 3 5

7

2f

1, 2, 3

3, 4, 5

2, 5, 6

1, 4, 6

מסקנות והמשך מחקר

שתי שיטות למציאת כל המצבים הסינגולריים פותחו

על בסיס עקרון הדואליות בתורת הגרפים

זה נותן זווית ראיה חדשה לתחום

בגלל שהשיטות מבוססות על תורת הגרפים ניתן למחשב את

:המשך מחקרהשיטות

להרחיב לעוד תחומים (כמו רובוטיקה), למצוא עוד שיטות

למחשב את השיטה

תכנון של מערכות סינגולריות