TEHNICKO VELEUCILI TE U ZAGREBU GRADITELJSKI ODJEL BETONSKE KONSTRUKCIJE Skripta Zagreb, 2009. Igor Gukov

Betonske konstrukcije SADR AJ 1. UVOD ........................................................................ ................................................................7 2. FIZIKALNO-MEHANICKA SVOJSTVA MATERIJALA...................................... ...............10 2.1. Beton ..................................................................... ...........................................................11 2.1.1 Racunska cvrstoca betona ................................................. ........................................15 2.1.2 Deformacije betona ....................................................... ............................................15 2.1.3 Razred okoli a.............................................................. .............................................20 2.2. Celik za armiranje ........................................................ .....................................................21 3. OSNOVE PRORACUNA KONSTRUKCIJA................................................ ..........................24 4. DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE................................................... .................................28 4.1. Klasifikacija djelovanja................................................... ..................................................29 4.2. Vlastita te ina.............................................................. ......................................................30 4.3. Uporabna opterecenja zgrada................................................ ............................................31 4.4. Opterecenje snijegom....................................................... .................................................32 4.5. Opterecenje vjetrom ....................................................... ...................................................34

4.6. Toplinska djelovanja ...................................................... ...................................................38 4.7. Potresno djelovanje ....................................................... ....................................................40 4.7.1 Osnovni pojmovi .......................................................... .............................................40 4.7.2 Proracun seizmickih sila.................................................. ..........................................42 4.8. Kombinacije opterecenja.................................................... ...............................................47 5. DIMENZIONIRANJE PREMA GRANICNOM STANJU NOSIVOSTI............................. ...49 5.1. Uvod....................................................................... ..........................................................49 5.2. Elementi naprezani na savijanje............................................ ............................................50 5.2.1 Jednostruko armirani pravokutni presjek .................................. ...............................50 5.2.2 Dvostruko armirani pravokutni presjek..................................... ................................52 5.2.3 Dimenzioniranje T-presjeka na moment savijanja............................ ........................53 5.2.4 Minimalna armatura ....................................................... ...........................................55 5.2.5 Maksimalna armatura....................................................... .........................................55 5.3. Elementi naprezani uzdu nom silom ........................................... .....................................55 5.3.1 Centricno tlacno naprezani elementi....................................... ..................................55

5.3.2 Centricno vlacno naprezani elementi ...................................... ..................................56 5.4. Dimenzioniranje pravokutnih presjeka pomocu dijagrama interakcije.......... ...................57 5.5. Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentricni tlak ................. ............................58 5.6. Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentricni vlak ................. ...........................58 5.6.1 Vlacna sila djeluje izmedu armatura (mali ekscentricitet)................. .......................58 5.6.2 Vlacna sila djeluje izvan presjeka (veliki ekscentricitet)................ ..........................59 5.7. Lokalna tlacna naprezanja.................................................. ...............................................59 5.8. Poprecna armatura u gredama ............................................... ............................................61 5.9. Dimenzioniranje presjeka na moment torzije................................. ...................................66 5.10. Proracun ploca na proboj.................................................. .............................................69 5.11. Vitki elementi naprezani ekscentricnom tlacnom silom ..................... .......................74 5.11.1 Pribli an proracun prema EC2 .............................................. ....................................75 6. GRANICNA STANJA UPORABLJIVOSTI............................................... .............................77 6.1. Uvod....................................................................... ..........................................................77 6.2. Granicno stanje naprezanja ................................................ ...............................................77

6.3. Granicno stanje raspucavanja (kontrola pukotina)........................... .................................78 6.4. Granicno stanje deformiranja (kontrola progiba)............................ ..................................81 6.4.1 Proracun geometrijskih karakteristika pravokutnog poprecnog presjeka ..... ............86

Betonske konstrukcije 6.4.2 Proracun geometrijskih karakteristika nosaca T-presjeka................... ......................86 7. OBLIKOVANJE I KONSTRUIRANJE ................................................. ..................................88 7.1. Pravila armiranja ......................................................... ......................................................88 7.2. Za titni sloj betona ........................................................ ....................................................89 7.3. Prionljivost betona i armature ............................................ ...............................................90 7.4. Sidrenje armature ......................................................... .....................................................91 7.5. Nastavljanje armature...................................................... ..................................................93 8. TABLICE ZA PRORACUN I DIMENZIONIRANJE ....................................... ......................96 9. PRIMJER PRORACUNA STAMBENE ZGRADE............................................ ...................117 9.1. Tehnicki opis ............................................................. ......................................................117 9.2. Proracun ploce POZ 201-201................................................. .........................................120 9.2.1 Analiza opterecenja ploce POZ 201-201 .................................... ............................120 9.2.2 Staticki proracun ploce POZ 201-201....................................... ..............................121 9.2.3 Dimenzioniranje........................................................... ...........................................123 9.2.4 Plan armature ploce POZ 201-201:..........................................

...............................126 9.3. Proracun grede POZ 202-202................................................. .........................................127 9.3.1 Analiza opterecenja grede POZ 202-202 .................................... ............................127 9.3.2 Staticki proracun grede POZ 202-202....................................... ..............................128 9.3.3 Dimenzioniranje........................................................... ...........................................130 9.4. Proracun grede POZ 203..................................................... ............................................137 9.4.1 Analiza opterecenja grede POZ 203......................................... ...............................137 9.4.2 Staticki proracun grede POZ 203........................................... .................................138 9.4.3 Dimenzioniranje........................................................... ...........................................139 9.4.4 Plan armature grede POZ 203:.............................................. ..................................142 10. LITERATURA.................................................................. .................................................145 Popis slika Slika 1.1 Armiranobetonska greda u kojoj je beton naprezan na tlak, a celik na v lak. ........................................ 8 Slika 2.1 Utjecaj kolicine armature na zapreminsku te inu armiranog betona. ...... ........................................... 11 Slika 2.2 Gaussova (lognormalna) krivulja raspodjele rezultata ispitivanja tlacn e cvrstoce betona..................12 Slika 2.3 Promjena cvrstoce betona starenjem. .................................. ................................................................ 12 Slika 2.4 Idealizirani dijagram s -e za beton................................... .................................................................. 13 Slika 2.5 Radni i racunski dijagrami betona..................................... .................................................................. 13 Slika 2.6 Racunski dijagram betona oblika parabola + pravokutnik................ ..................................................15 Slika 2.7 Razvoj deformacija betona s vremenom uz konstantno opterecenje i nakon

rasterecenja.................. 15 Slika 2.8 Proracun srednjeg polumjera........................................... .................................................................... 17 Slika 2.9 Skupljanje betona iste vrste u prizmama raznih dimenzija. ............ ................................................. 19 Slika 2.10 Dijagram sc-ec pri ponavljanom opterecenju i rasterecenju............ ................................................. 20 Slika 2.11 Oblici armature...................................................... ........................................................................... 22 Slika 2.12 Radni i racunski dijagrami armature. ................................ ................................................................ 23 Slika 2.13 Racunski dijagrami armature i betona................................. .............................................................. 24 Slika 3.1 Probabilisticki pristup sigurnosti.................................... ..................................................................... 26 Slika 4.1 Promjenjivo djelovanje ima cetiri reprezentativne vrijednosti......... ................................................... 30 Slika 4.2 Koeficijenti oblika opterecenja od snijega dvostre ni krovovi .......... .............................................. 33 Slika 4.3 Tlakovi vjetra na povr ine.............................................. .................................................................... 35 Slika 4.4 Zemljovid Hrvatske s osnovnim poredbenim brzinama vjetra ............. .............................................. 35 Slika 4.5 Koeficijenti izlo enosti kao funkcija visine z iznad tla, za hrapavost t erena I do IV, kada je ct=1 .... 36

Betonske konstrukcije Slika 4.6 Koeficijenti vanjskog tlaka za vertikalne zidove zgrada s pravokutnim tlocrtom .............................. 37 Slika 4.7 Poredbena visina ze u ovisnosti od h i b.............................. ................................................................ 37 Slika 4.8 Osnovne komponente temperaturne raspodjele ........................... ....................................................... 38 Slika 4.9 Zemljovid Hrvatske s najvi im temperaturama zraka....................... ..................................................39 Slika 4.10 Zemljovid Hrvatske s najni im temperaturama zraka...................... ................................................. 40 Slika 4.11 Elasticni spektar odgovora. ......................................... ...................................................................... 42 Slika 4.12 Racunski spektar odgovora. .......................................... .................................................................... 44 Slika 4.13 Seizmicko pona anje vezano uz faktor pona anja. ......................... .................................................. 45 Slika 5.1 Dimenzioniranje na moment savijanja................................... .............................................................50 Slika 5.2 Dijagrami deformacija. ............................................... ........................................................................ 51 Slika 5.3 Funkcija ovisnosti koeficijenta neutralne osi i kraka unutarnjih sila o Sd. ........................................ 51 Slika 5.4. Dvostruko armirani presjek za negativni moment savijanja. ........... .................................................. 52 Slika 5.5 Sudjelujuca irina grede T-presjeka. ................................... ................................................................ 53 Slika 5.6 Dimenzioniranje T-presjeka na pozitivan moment savijanja.. ........... ................................................. 54 Slika 5.7 Dimenzioniranje T-presjeka na negativan moment savijanja. ............ ................................................ 54 Slika 5.8. Poprecni presjek, dijagrami deformacija i naprezanja. ............... ....................................................... 57 Slika 5.9. Presjek opterecen na ekscentricni tlak. ............................. ................................................................. 58 Slika 5.10. Element opterecen ekscentricnom vlacnom silom. ..................... ..................................................... 58 Slika 5.11. Presjek opterecen na ekscentricni vlak.............................. ............................................................... 59 Slika 5.12 Rasprostiranje tlacnih naprezanja.................................... .................................................................. 60 Slika 5.13 Dijagram naprezanja. ................................................ ........................................................................ 60 Slika 5.14 Povr ine rasprostiranja nesimetricnih tlacnih naprezanja. ............. ................................................... 61 Slika 5.15 Mrschova re etka - nosivi mehanizam s vertikalnim sponama............... ........................................62 Slika 5.16 Podrucja poprecnih sila.............................................. .......................................................................62 Slika 5.17 Reducirani dijagram poprecnih sila na primjeru grede s jednim prepust om.....................................63 Slika 5.18 Kutevi nagiba tlacnih i vlacnih dijagonala zami ljene re etke............ .............................................. 65 Slika 5.19 Poprecna vertikalna armatura grde.................................... ................................................................ 66 Slika 5.20 Primjeri kompatibilne torzije. ...................................... ..................................................................... 66 Slika 5.21 Primjeri ravnote ne torzije............................................

....................................................................67 Slika 5.22 Dijagrami posmicnih naprezanja od momenta torzije za neke poprecne pr esjeke............................67 Slika 5.23 Povr ina Ak............................................................ ........................................................................... 67 Slika 5.24 Dijagram torzije oblikom odgovara dijagramu poprecnih sila........... ............................................... 68 Slika 5.25 Uzdu na i poprecna armatura za preuzimanje momenta torzije. ........... ........................................... 69 Slika 5.26 Probojna sila jerazlika sila u stupovima............................. ..............................................................69 Slika 5.27 Korekcijski faktor . ................................................. ........................................................................ 70 Slika 5.28 Kriticni opseg....................................................... ............................................................................70 Slika 5.29 Kriticni opseg pravokutnog stupa. ................................... ................................................................. 71 Slika 5.30 Kriticni opseg....................................................... ............................................................................71 Slika 5.31 Kriticni opseg....................................................... ............................................................................71 Slika 5.32 Probojna ploha. ..................................................... ........................................................................... 72 Slika 5.33 Sustav poprecne armature protiv proboja.............................. ............................................................ 73 Slika 5.34 Vertikalna poprecna armatura protiv proboja. ........................ ......................................................... 73 Slika 5.35 Kosa poprecna armatura protiv proboja................................ ...........................................................73 Slika 5.36 Dijagram interakcije za razne vitkosti .............................. ............................................................... 74 Slika 5.37 Moguci primjeri djelovanja ekscentricne tlacne sile.................. .......................................................75 Slika 5.38 Stup-model .......................................................... ............................................................................. 76 Slika 6.1 Odredivanje djelotvorne vlacne plo tine betona. ........................ ....................................................... 80 Slika 6.2 Dijagram ovisnosti momenta savijanja i irine pukotina M-wk . .......... .............................................. 81 Slika 6.3 Progib grede. ........................................................ .............................................................................. 8 2 Slika 6.4 Granicne vitkosti elemenata kada nije potrebno provoditi kontrlou prog iba. ..................................... 82 Slika 6.5 Promjena progiba u vremenu. .......................................... ................................................................... 84 Slika 6.6 Dijagram moment-zakrivljenost......................................... ................................................................. 84 Slika 6.7 Pravokutni poprecni presjek........................................... ..................................................................... 86 Slika 6.8 Poprecni presjek nosaca T-presjeka ................................... ................................................................. 86 Slika 6.9 Primjer proste grede opterecene kontinuiranim opterecenjem............ ................................................ 88

Betonske konstrukcije Slika 6.10 Dijagram naprezanja i deformacija za GSU i GSN....................... .................................................... 88 Slika 7.1 Raspored poprecne armature za nastavljanje preklapanjem vlacna armatur a ..................................... 93 Slika 7.2 Raspored poprecne armature za nastavljanje preklapanjem tlacna armatur a......................................93 Slika 8.1 Dijagrami interakcije pri simetricnom armiranju za beton C25/30 i celi k B 500 ............................... 98 Slika 8.2 Prijenos opterecenja s ploce nosive u dva smjera na grede i zidove.... .............................................114 Slika 8.3 Dijagrami interakcije pri simetricnom armiranju s ogranicenjima uzdu ne tlacne sile prema HRN ENV 1998-1-3, te minimalna i maksimalna armatura za beton C25/30 i celik B 500 . .................................... 117 Popis tablica Tablica 1.1 Europske norme...................................................... .......................................................................9 Tablica 2.1 Razredi betona...................................................... .......................................................................12 Tablica 2.2 Vlacne cvrstoce betona.............................................. ...................................................................14 Tablica 2.3 Moduli elasticnosti betona.......................................... ..................................................................14 Tablica 2.4 Konacni koeficijent puzanja .(8, to)................................ ...........................................................18 Tablica 2.5 Vrijednost skupljanja ecs,8 (u %o).................................. ............................................................20 Tablica 2.6 Razredi izlo enosti i minimalne vrijednosti razreda betona i za titnih s lojeva............................21 Tablica 2.7 Parcijalni koeficijenti sigurnosti za svojstva gradiva. ............ ......................................................23 Tablica 3.1 Proracunski uporabni vijek.......................................... .................................................................24 Tablica 3.2 Odnos indeksa pouzdanosti i vjerojatnosti otkazivanja nosivosti pf. ........................................26 Tablica 4.1 Zapreminske te ine.................................................... ...................................................................31 Tablica 4.2 Te ine pokrova........................................................ ....................................................................31 Tablica 4.3 Razredi povr ina u zgradama. ......................................... .............................................................32 Tablica 4.4 Uporabna opterecenja u zgradama. ................................... ...........................................................32 Tablica 4.5 Karta opterecenja snijegom u Hrvatskoj ............................. .........................................................33 Tablica 4.6 Koeficijenti oblika opterecenja od snijega dvostre ni krovovi......... .........................................34 Tablica 4.7 Kategorije zemlji ta i odgovarajuci parametri......................... .....................................................36 Tablica 4.8 Koeficijenti vanjskog tlaka za vertikalne zidove zgrada s pravokutni m tlocrtom po podrucjima37 Tablica 4.9 Promjena najvi e temperature T max,50 s nadmorskom visinom ...........

.........................................39 Tablica 4.10 Promjena najni e temperature T min,50 s nadmorskom visinom .......... ........................................40 Tablica 4.11 Racunsko ubrzanje tla za razlicita seizmicka podrucja ............. .................................................42 Tablica 4.12 Seizmicki parametri za kategorije tla. ............................ ............................................................43 Tablica 4.13 Faktor pona anja q maksimalne vrijednosti. .......................... .................................................45 Tablica 4.14 Parcijalni koeficijenti sigurnosti za djelovanje za GSN. .......... ..................................................47 Tablica 4.15 Specijalni koeficijenti kombinacije. .............................. .............................................................48 Tablica 5.1 Limitirane vrijednosti ovise o razredu betona. ..................... ........................................................52 Tablica 5.2 Racunska posmicna cvrstoca betona .................................. ..........................................................62 Tablica 5.3 Minimalni koeficijent armiranja .min greda poprecnom armaturom, prem a Eurokodu 2............65 Tablica 5.4 Najveci razmaci spona u smjeru glavne armature, ovisno o velicini ra cunske poprecne sile. .....65 Tablica 5.5 Posmicno naprezanje koje mo e preuzeti beton tRd (N/mm2) ................. ...................................70 Tablica 6.1 Maksimalni promjeri ipki i njihovi maksimalni razmaci za razlicita na prezanja u armaturi......79 Tablica 6.2 Osnovni odnos raspona i debljine presjeka (l/h). ................... ......................................................79 Tablica 6.3 Granicni dozvoljeni progibi......................................... .................................................................81 Tablica 6.4 Koeficijenti k za pojednostavljeni proracun progiba................. ...................................................84 Tablica 7.1 Najmanje debljine za titnog sloja betona c za za titu od korozije i doda tna vrijednost .c, u ovisnosti o razredu agresivnog djelovanja okoli a................................. .........................................................90 Tablica 7.2 Najmanja i nazivna debljina za titnog sloja kod mostova............... .............................................90 Tablica 7.3 Proracunska vrijednost cvrstoce prionljivosti fbd [N/mm2] armature d obre prionljivosti i ds = 32 mm.............................................................................. ................................................................................ ....91 Tablica 7.4 Dopu tene vrste i nacini sidrenja armature ........................... .......................................................92 Tablica 7.5 Najmanje vrijednosti promjera trna za savijanje rebraste armature db r ........................................92

Betonske konstrukcije Tablica 7.6 Koeficijent a1 duljine preklapanja.................................. ..............................................................94 Tablica 7.7 Duljina nastavljanja preklopa ravne ipke armature za C25 i B500...... .......................................95 Tablica 8.1 Tablica za dimenzioniranje AB pravokutnih presjeka. ................ ................................................96 Tablica 8.2 Tablice za odabir armature (ploca, zid)............................. ...........................................................99 Tablica 8.3 Tablice za odabir armature ploce ili zida za uobicajene razmake 10, 12.5, 15 i 20 cm. ............100 Tablica 8.4 Tablica za odabir armature (grede).................................. ...........................................................101 Tablica 8.5 Tablice za odabir armature grede. .................................. ............................................................102 Tablica 8.6 Tablice za odabir armaturnih mre a. .................................. ........................................................103 Tablica 8.7 Tablice za proracun ploca nosivih u dva okomita smjera opterecenih r avnomjerno podijeljenim opterecenjem po cijeloj ploci .................................................. ......................................................................104 Jedinice mjera za najvi e upotrebljavane pojmove Masa ........................................................................... ........ kg Gustoca (masa u jedinici volumena) .................................. kg/m3 Zapreminska te ina ............................................................ kN /m3 Sila, te ina ..................................................................... ..... kN Momenti ........................................................................ ..... kNm Linearno kontinuirano opterecenje..................................... kN/m Povr insko kontinuirano opterecenje ................................. kN/m2 Naprezanja...................................................................... .... N/mm2 Povr ina.......................................................................... .... cm2

Betonske konstrukcije 1. UVOD Iskustva u dobivanju betona vrlo su stara. Jo su davno Azijati, Hebreji i Egipcan i, a preko njih stari Grci i Rimljani, poznavali hidraulicka svojstva mje avine pucolana, pr ene gline i v apna. Hidraulicka su veziva mije ali s pijeskom i drobljenom opekom te na taj nacin izradivali mort. Neke rimske gradevine zidane takvim mortom, kao to je rimski Koloseum ili Pont du Gard kod Ni mesa u ju noj Francuskoj, odr ale su se do danas jer je cementni mort jo uvijek jak i cvrst. U ru e vinama Pompeja neki mortovi, stari gotovo 2000 godina, cesto su bolje ocuvani od nekog kamena u zidu. Moderna znanstvena iskustva pocinju 1818. godine, kad je Vicat otkrio uzroke hidraulicki h svojstava nekih vrsta veziva. Prvi portland-cement proizveo je 1824. godine graditelj Joseph Asp din iz Leedsa, ali on nije bio dovoljno pecen, pa je tek 1845. godine Isaac Johnson, pecenjem mje avine gline i vapnenca sve do nastajanja klinkera, uspio dobiti portland-cement sa svojstvima po kojima je i danas poznat. Sam naziv nastao je prema boji tog ocvrslog cementa slicnoj boji vapnenca iz oko lice Portlanda. Armirani beton kao gradevni materijal pojavljuje se sredinom 19 stoljeca. 1850.g. Francuz Lambot izradio je camac od icane mre e oblo ene mortom. 1876.g. Francuz Monier patentirao izradu velikih betonskih lonaca. Kasnije je pa tentirao i rezervoare, cijevi monta ne ploce i svodove. 1892.g. Francuz Henebique izveo je novi tip rebrastih stropova i uveo u praksu a rmiranobetonske pilote. 1928.g. Prednapeti beton 1929.g. Monta ne konstrukcije 1932-1936.g. Metoda granicnih stanja Prednosti betona: o Nezapaljivost. Armirani beton po otpornosti prema po aru pripada povoljnijim grade vinskim materijalima. Kako je poznato, celik sam po sebi nije otporan na visoke temperat ure i jako se deformira. Beton je materijal otporan na djelovanje po ara, na to osobito utjece vr sta upotrebljenog agregata. Najbolje vrste agregata prema po aru su od bazalta, diabaz a, vapnenca i dolomita a posebno od amota i zgure iz visokih peci. Za vrijeme po ara v oda ispari iz betona, to znatno povecava njegovu termicku otpornost. o Trajnost. Trajnost armiranobetonskih konstrukcija osigurana je velikim dijelom t ime to beton titi armaturu od korozije i to mu se cvrstoca u tijeku vremena povecava. To sve vrijedi

uz uvjet da je konstrukcija nacinjena od kompaktnog betona. o Relativno mali tro kovi odr avanja. Tro kovi odr avanja armiranobetonskih konstrukcija vrlo su mali, kao uostalom i za gradevine od kamena, za razliku od tro kova odr avan ja celicnih i drvenih konstrukcija. U pogledu higijene armiranobetonske su konstruk cije u prednosti pred drvenim i celicnim zbog svoje monolitnosti, u kojoj nema upljina z a leglo parazita i skupljanje pra ine. o Mogucnost izrade najraznovrsnijih oblika. Prilagodljivost armiranog betona svim potrebnim oblicima dopu ta projektantu da zadovolji najrazlicitije zahtjeve konstr ukcijske, izvodacke ili arhitektonske prirode. o Relativno visoka tlacna cvrstoca. o Beton dobiva na kvaliteti to je stariji. Mane betona: o znatna vlastita te ina o velika provodljivost topline i zvuka o niska vlacna cvrstoca

Betonske konstrukcije o te ko naknadno provjeravanje armature o potrebna je strucna radna snaga o ote ani radovi kod niskih i visokih temperatura. Ne bi trebalo betonirati kada je temperatura ni a od +5C. Kod visokih temperatura (>30C) voda naglo hlapi iz betona. o ote ana naknadna adaptacija ili pojacanje gotove konstrukcije o korozija armature u betonu o dimenzionalna nestabilnost izazvana puzanjem i skupljanjem betona o poroznost o osjetljivost na mraz o mogucnost pojave pukotina koje ne naru avaju sigurnost i trajnost kada su ogranice ne irine, ali ipak kvare vanjski izgled. o beton izlo en du e vrijeme visokim temperaturama (>250C) naglo gubi cvrstocu i prionljivost s celikom, a osobito ako se prilikom ga enja po ara polijeva vodom, kad zbog naglog hladenja jo vi e raspucava. Iako je lista mana betona veca od liste prednosti, prednosti su ipak vece pa je beton danas jedan od najra irenijih gradiva. Armirani beton je kombinacija dvaju po mehanickim karakteristikama razlicitih ma terijala, betona i celika, koji zajednicki sudjeluju u no enju kao jedna monolitna cjelina. Beton kao i svaki kamen, ima znatno manju vlacnu nego tlacnu cvrstocu. Ako se promatra prosta greda od betona naprezana savijanjem, iznad neutralne osi vlada tlak, a ispod nje vlak. Dimenzije poprecnog presjeka grede moraju se odredivati iz nosivosti b etona na vlak, dok ce tlacna cvrstoca biti neiskori tena. Greda je zbog toga te ka i neekonomicna. Da b i joj se smanjile dimenzije poprecnog presjeka, u vlacnu zonu presjeka treba ugraditi takav materi jal koji dobro prenosi vlacna naprezanja. A takvo svojstvo ima upravo celik. Kod racunanja nosi vosti grede naprezane savijanjem uvijek se pretpostavlja da je beton pukao do neutralne osi i da ne sudjeluje u prijenosu vlacnih naprezanja. Kombinacijom betona i celika u obliku armiranog be tona posti e se dobro iskori tavanje oba materijala, pri cemu beton u prvom redu prima tlacna, a c elik vlacna naprezanja. M DIJAGRAM

L Slika 1.1 Armiranobetonska greda u kojoj je beton naprezan na tlak, a celik na v lak. Efikasno sudjelovanje tih dvaju razlicitih gradiva omoguceno je iz slijedecih ra zloga: o beton ima svojstvo da u tijeku svog stvrdnjavanja cvrsto prianja uz celik, tako da pri djelovanju vanjskih sila oba materijala nose zajednicki, tj. susjedne cestice be tona i celika imaju jednake deformacije. Pri tome celik, kao materijal s vecim modulom elastic nosti, prima

Betonske konstrukcije na jedinicu povr ine presjeka veci dio sile nego beton. Prianjanje betona i celika glavni je faktor njihova zajednickog sudjelovanja u no enju; o beton i celik imaju pribli no jednake temperaturne koeficijente; betonu, ovisno o agregatu, temperaturni je koeficijent a T,c = 1,4 * 10-5 0,7 * 10-5, a celiku a T,s = 1,2 * 10-5, zbog cega u kombiniranom gradivu dolazi do neznatnog unutra njeg naprezanja pri temperaturni m promjenama o beton titi celik od korozije, ako je dovoljno kompaktan, zbog bazicnog karaktera kemijskih reakcija i obilnog lucenja Ca (OH)2. Europske norme Eurocode svrstane su u slijedece knjige: EC Europske EC0 EN 1990 EC1 EN 1991 EC2 EN 1992 EC3 EN 1993 EC4 EN 1994 EC5 EN 1995 EC6 EN 1996 EC7 EN 1997 EC8 EN 1998 EC9 EN 1999 norme Hrvatske prednorme Opis HRN ENV 1991-1 Osnove proracuna HRN ENV 1991 Opterecenja (djelovanja) HRN ENV 1992 Betonske konstrukcije HRN ENV 1993 Celicne konstrukcije HRN ENV 1994 Spregnute konstrukcije HRN ENV 1995 Drvene konstrukcije HRN ENV 1996 Zidane konstrukcije HRN ENV 1997 Geomehanika HRN ENV 1998 Seizmika HRN ENV 1999 Aluminijske konstrukcije

Tablica 1.1 Europske norme. Oznake prema EC2: Q Promjenljivo djelovanje G Stalno djelovanje d Staticka visina presjeka h Ukupna visina presjeka ft Vlacna cvrstoca celika fy Granica popu tanja celika Ec Modul elasticnosti betona Es Modul elasticnosti celika fck Karakteristicna cvrstoca betona (valjak) fck,cube Karakteristicna cvrstoca betona (kocka) fpk Karakteristicna cvrstoca celika za prednapinjanje fp0.1,k Karakteristicna granica naprezanja celika za prednapinjanje fcd Racunska cvrstoca betona fyd Racunska cvrstoca celika . Koeficijent polo aja neutralne osi . Koeficijent kraka unutra njih sila As1 Povr ina vlacne armature As2 Povr ina tlacne armature av Koeficijent punoce ka Koeficijent polo aja tlacne sile Sd Racunska vrijednost utjecaja

Rd Racunska nosivost presjeka MSd Racunski moment savijanja MRd Racunski moment nosivosti Fc Tlacna sila u betonu Fs1 Vlacna sila u armaturi

Betonske konstrukcije Fs2 Tlacna sila u armaturi NSd Racunska uzdu na sila NRd Racunska uzdu na sila nosivosti ec Deformacija betona es Deformacija celika ep Deformacija celika za prednapinjanje sw Razmak spona Ak Povr ina unutar srednje konture (torzija) uk Opseg srednje konture (torzija) As1 Povr ina svih uzdu nih ipki (torzija) sc Naprezanje u betonu ss Naprezanje u armaturi bw irina hrpta I i T presjeka beff Sudjelujuca irina grede hf Debljina ploce T presjeka sd Bezdimenzijska velicina za moment .sd Bezdimenzijska velicina za uzdu nu silu . Koeficijent armiranja . Mehanicki koeficijent armiranja Vsd Racunska poprecna sila VRd Racunska nosivost na poprecne sile tRd Racunska cvrstoca na djelovanje glavnih kosih naprezanja Tsd Racunski moment torzije TRd Racunska nosivost na torziju wk Racunska irina pukotina VRd1 Nosivost neraspucalog elementa na poprecne sile Asw Povr ina poprecne armature (spona) .w Koeficijent armiranja poprecnom armaturom srm Srednji razmak pukotina spo Naprezanje u prednapetoj armaturi prije gubitaka i padova spm,o Naprezanje u prednapetoj armaturi poslije gubitaka sp Naprezanje u prednapetoj armaturi c Za titni sloj betona lb Du ina sidrenja lb,net Iskori tena du ina sidrenja fbd Racunska cvrstoca prionljivosti ls Du ina nastavka d1 Udaljenost te i ta vlacne armature od vlacnog ruba d2 Udaljenost te i ta tlacne armature od tlacnog ruba ln Svijetli raspon 2. FIZIKALNO-MEHANICKA SVOJSTVA MATERIJALA Svojstva materijala koriste se za odredivanje otpornosti (nosivosti) elemenata i konstrukcija. Odreduju se ispitivanjem u skladu s EC2, odnosno ENV 206 (Europische Vornorm).

Betonske konstrukcije 2.1. Beton Beton je gradevinski materijal izraden mije anjem veziva (cement), vode i agregata (pijesak, ljunak drobljenac). Osim tih obaveznih komponenti u sastav betona mogu ulaziti i dodaci (aditivi) koji mu daju posebna svojstva (zaptivaci, aeranti, plastifikatori, regulatori vezivanja, sredstva protiv mraza...) U skladu sa ENV 206, beton koji se predvida za sustave od betona, armiranog i pr ednapetog betona, treba biti nacinjen od agregata, cementa, vode i dodataka u omjeru koji ce osigu rati dobru obradivost i svojstva koja ne smiju biti ispod vrijednosti danih tim propisima. Za gustocu nearmiranog betona uzima se . = 2400 kg/m3, a armiranog . = 2500 kg/m 3. 24.00 24.50 25.00 25.50 26.00 26.50 Armatura (kg/m3) Zapreminsa te ina AB (kN/m3) 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 Slika 2.1 Utjecaj kolicine armature na zapreminsku te inu armiranog betona. Zapreminska te ina armiranog betona ovisi o kolicini armature. Neki elementi mogu imati veliki postotak armiranja uzdu nom i poprecnom armaturom, a time i vecu zapreminsku te inu. Ako pretpostavimo zapreminsku te inu nearmiranog betona 24.0 kN/m3 mo e se koristiti sli jedeci izraz za izracun zapreminske te ine armiranog betona: Zapreminska te ina AB=24+As,uk*0.007 U gornji izraz potrebno je upisati As,uk u kg/m3 da bi dobili zapreminsku te inu u kN/m3. Npr. za 143 kg/m3 proizlazi zapreminska te ina AB od 25.0 kN/m3. Npr. za 286 kg/m3 proizlazi zapreminska te ina AB od 26.0 kN/m3. Glavne mehanicke karakteristike betona jesu njegove cvrstoce (tlacna, vlacna i p osmicna) i deformabilnost. Deformabilnost materijala je njegovo svojstvo da se elasticno i plasticno deformira do trenutka razaranja. Na ova mehanicka svojstva betona utjece veliki broj cimbe nika, od kojih su najva niji: kakvoca cementa, kakvoca i granulometrijski sastav ispune, vodocementni faktor, konstrukcija smjese betona, prirodne primjese u ispuni i vodi, te posebni dodaci cementu ili betonskoj smjes

i da bi se postigla posebna svojstva, nacin pripreme i ugradnje betona u konstrukciju i njega betona. Karakteristicna tlacna cvrstoca (klasa betona) odreduje se na osnovi racuna vjer ojatnosti i statistike kori tenjem rezultata ispitivanja probnih uzoraka u obliku valjka dimenzija 150/30 0 mm, starih 28

Betonske konstrukcije dana. Zahtijeva se da najmanje 95% svih rezultata poka e cvrstocu vecu ili jednaku propisanoj klasi betona, odnosno da najvi e 5% rezultata mo e biti manje cvrstoce od odredene klase b etona (5% fraktil). Pretpostavka je da ce statisticka raspodjela rezultata ispitivanja tla cne cvrstoce slijediti lognormalnu (Gaussovu) krivulju (Slika 2.2). Ucestalostscmf sfck p=5% s1.64 fcCvrstoca Slika 2.2 Gaussova (lognormalna) krivulja raspodjele rezultata ispitivanja tlacn e cvrstoce betona. Sva pravila i formule za konstruiranje i dimenzioniranje, prema Eurokodu 2, osni vaju se na karakteristicnoj cvrstoci dobivenoj preko valjaka fck,cyl ili skraceno fck. Medu tim, kako neke zemlje odreduju karakteristicnu cvrstocu betona preko rezultata dobivenih ispitivanjem kocki stranice 200 mm fck,cube , to se daje tablica za pretvorbu ovih cvrstoca. Ako je potrebno poz navati srednju tlacnu cvrstocu betona, ona se mo e pribli no odrediti po izrazu: fcm = fck + 8 (N/mm2) (2.1) Razredi betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 fck (N/mm2) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 fck,cube 15 20 25 30 37 45 50 55 60 fcm 20 24 28 33 38 43 48 53 58 Tablica 2.1 Razredi betona. Cvrstoca betona starosti do 1000 dana u odnosu na konacnu fc8 mo e se pribli no odre diti kori tenjem dijagrama. Slika 2.3 Promjena cvrstoce betona starenjem. Idealizirani radni dijagram naprezanje-deformacija za beton, predlo en Eurokodom 2 za analizu armiranobetonskih i prednapetih sustava po nelinearnoj teoriji, teoriji plasticn osti ili za proracun po teoriji drugog reda za kratkotrajno opterecenje prikazan je na slici 2.4.

Betonske konstrukcije csec a=arctgE1cm fc 0.4fc ec1 cue Slika 2.4 Idealizirani dijagram s -e za beton. Funkcija dijagrama na slici 2.4. u intervalu 0 =ec =ecu dana je u obliku: c ( ..2) fk -s= (2.2) c 1(k -2) +. fc - tlacna cvrstoca betona za koju se uzima da je jednaka racunskoj cvrstoci (f c = fcd = fck/.c) . = ec/ec1 - odnos deformacije betona prema ec1 ec1 - odgovarajuca deformacija maksimalnoj vrijednosti naprezanja fc, obicno se uzima ec1 = 0.0022 (ec < 0 ako je naprezanje tlacno) k = 1.1 Ec ec1 /fc (2.3) Ecm - sekantni ili staticki modul elasticnosti betona 1 Ecm = 9500( fck +8)3 (2.4) Na slici 2.5 vrijednost fck predstavlja karakteristicnu tlacnu cvrstocu betona d obivenu ispitivanjem valjka, a fcd=fck/.c predstavlja racunsku cvrstocu betona. Koeficijentom a=0.85 uzima se u obzir nepovoljno djelovanje dugotrajnog opterecenja te drugih nepovoljnih cimbenika na cvrstocu betona. Eurocode 2 predla e dva racunska dijagrama betona. Prvi je oblika pravokutnik plus parabola i drugi oblika pravokutnika. Oba dijagrama imaju granicnu deformaciju ecu=-3.5 . Kod centr ickog tlaka granicna deformacija ne smije prelaziti -2.0 . Slika 2.5 Radni i racunski dijagrami betona. Vlacna cvrstoca betona definirana je prema obliku uzorka i metodi ispitivanja na vlak. Tako se razlikuje: fct,ax - vlacna cvrstoca dobivena ispitivanjem uzorka na sredi nji vlak -3,5 -2 ces fcd c

-0,7 sc e -3,5 c aa=0,85a=0,95*0,85afcd0.4fck c1e=arctgEa1cm cuefck csce f =fcd ck /.c Radni dijagram Racunski dijagram Racunski dijagram

Betonske konstrukcije fct,sp - vlacna cvrstoca dobivena cijepanjem fct,fl - vlacna cvrstoca dobivena savijanjem uzorka. Kako se za proracun koristi fct,ax, to su izrazi za pretvorbu: fct,ax = 0.9 fct,sp fct,ax = 0.5 fct,fl. Buduci da vlacna cvrstoca u pravilu jako varira za neku klasu betona, a mo e biti znacajna u analizi sigurnosti i trajnosti, uvodi se srednja vrijednost za vlacnu cvrstocu izmedu do nje granice za karakteristicnu vlacnu cvrstocu fctk,0.05 i gornje granice fctk,0.95, odnosno on e s 5%-tnim i druge s 95%-tnim fraktilom. Ovisno o klasi betona, vlacne cvrstoce su dane u tablici 2.2 u N/mm2. Klasa fct,m fctk, fctk, betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 0,05 1.1 1.3 1.5 1.8 2.0 2.2 2.5 2.7 2.9 0,95 2.0 2.5 2.9 3.3 3.8 4.2 4.6 4.9 5.3

Tablica 2.2 Vlacne cvrstoce betona. Takoder daju se pribli ni izrazi za procjenu srednje vlacne cvrstoce te karakteris ticnih: fct,m = 0.30 fck2/3 (2.5) fctk, 0.05 = 0.70 fct,m (2.6) fctk, 0.95 = 1.3 fct,m (2.7) Donja granicna vrijednost za vlacnu cvrstocu fctk,0.05 predstavlja velicinu koju ce imati ili cak prema iti 95% rezultata ispitivanja, a samo ce 5% biti ispod nje. Gornja granicna vrijednost za vlacnu cvrstocu fctk,0.95, predstavlja velicinu ko ju ce prema iti samo 5% rezultata, a 95% ce dati vrijednost jednaku ili manju od nje. Kada se odreduje deformacija betona pod opterecenjem, koristi se sekantni modul elasticnosti izmedu naprezanja sc = 0 i sc = 0.4 fck, a oznacuje se za beton normalne gustoce kao Ec m. Ako nema tocnijeg podatka za sekantni modul elasticnosti betona, dopu ta se pribli n i izraz za njegovo prognoziranje: E = 95003 f + 8 (N/mm2). (2.8)

cm ck Vrijednosti dobivene pomocu izraza zaokru ene su i svrstane u tablicu. Razred betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 Ecm(N/mm2) 26000 27500 29000 30500 32000 33500 35000 36000 37000 Tablica 2.3 Moduli elasticnosti betona. Koeficijent poprecne deformacije bira se izmedu 0 i 0.2. Kada je utjecaj poprecn e deformacije znatan, uzima se c = 0.2. Za naponsko stanje II. (pojava pukotina u vlacnoj zoni) mo e se uzeti c = 0. Za temperaturni koeficijent predla e se vrijednost aT,c = 10-5 K-1.

Betonske konstrukcije 2.1.1 Racunska cvrstoca betona Za dimenzioniranje prema granicnim stanjima nosivosti potrebno je poznavati racu nsku cvrstocu betona. Prema Eurocodeu 2 racunska cvrstoca se dobije tako da se tlacna cvrstoca dobivena ispitivanjem valjaka podijeli s koeficijentom sigurnosti za materijale .M=.c=1.5 , koja se jo reducira koeficijentom a = 0.85 ili a = 0.80 zbog nepovoljnih ucinaka dugotrajnog opterec enja i dinamickog djelovanja te zbog razlike izmedu cvrstoce betona u konstrukciji i one probnih t ijela. Racunska tlacna cvrstoca betona iznosi: afcd=afck/.c=0.85fck/1.5 (2.9) Slika 2.6 Racunski dijagram betona oblika parabola + pravokutnik. a fcd Parabola: s= (4 -ee za 0 =e = 2 ) c ccc 4 Pravac: sc =fcd za 2 =ec = 3.5 a 2.1.2 Deformacije betona Za potrebe proracuna konstrukcije u stadiju eksploatacije i u stadiju granicne r avnote e, potrebno je poznavati dvije najva nije karakteristike betona kao materijala za konstrukcije. P rva je naprijed opisana cvrstoca betona, a druga je njegova sposobnost deformiranja. Deformacije betona mogu se podijeliti u dvije vrste: 1. Volumenske deformacije - tj. one koje nisu vezane s djelovanjem vanjskog opterec enja vec su uvjetovane bitnim svojstvima betona da mijenja svoj volumen zbog promjene tem perature okoli a ili pod utjecajem skupljanja, odnosno bujanja betona. 2.

Deformacije od djelovanja vanjskog opterecenja. Ovisno o karakteru djelovanja op terecenja te deformacije mogu biti: deformacije pod kratkotrajnim opterecenjem, deformacij e pod dugotrajnim opterecenjem (vremenske deformacije), deformacije pod ponavljanim opterecenjem. Slika 2.7 Razvoj deformacija betona s vremenom uz konstantno opterecenje i nakon rasterecenja.

Betonske konstrukcije Za proracun viskoznih deformacija koristi se koeficijent puzanja .(t,to) i vrije dnost skupljanja ecs. Puzanje betona je dugotrajna deformacija koja ovisi o opterecenju a skupljanje b etona je dugotrajna deformacija neovisna o opterecenju. 2.1.2.1 Deformacije betona zbog promjene temperature Beton kao i svaki drugi materijali dobiva volumenske deformacije prilikom promje ne temperature okoli a. Deformacija betona od promjene temperature: e= .L/L=at.t; .L=at.tL (2.10) Koeficijent linearnog rastezanja za sve vrste betona (at,c) iznosi: at,c = 1.0x10-5 K-1 Koeficijent linearnog rastezanja celika (at,s) za 0 5.0%), B500N -celik kome je granica popu tanja 500 N/mm2 i koji ima normalan duktilitet ((ft/fy)k = 1.05, euk > 2.5%). =arctgE fy a s ey eu sessft yk =arctgE eyk a euk s es tkff ssydfftd eyd =10,0% ydeydfsss sa=arctgE 20,0% e Radni dijagram Racunski dijagram Racunski dijagram Vrsta kombinacije Beton .c Armatura i prednapeti celik .s Osnovne kombinacije 1.5 1.15 Izvanredne kombinacije (osim potresa) 1.3 1.0 Tablica 2.7 Parcijalni koeficijenti sigurnosti za svojstva gradiva.

Usporedba racunskih dijagrama betona i armature prikazana su na slici 2.13. Za p rimjer su uzeti materijali: f 25.0Beton: C25/30 0.85 f = 0.85 ck = 0.85 = 14.17 N/mm 2 (racunska cvrstoca beto na) cd . c 1.5 fyk 500 2 Armatura: B500 fyd == = 434.78 N / mm (racunska cvrstoca armature) . s 1.15

Betonske konstrukcije Odnos racunskih cvrstoca armature i betona u ovom primjeru iznosi: f yd 434.78 == 30.7 0.85 fcd 14.17 Slika 2.13 Racunski dijagrami armature i betona. 3. OSNOVE PRORACUNA KONSTRUKCIJA Konstrukcija mora biti planirana, projektirana i izvedena na nacin da tijekom pr edvidenog vijeka trajanja uz zadovoljavajuci stupanj pouzdanosti i na ekonomican nacin: ostane uporabiva za predvidenu namjenu bude u stanju podnijeti sva predvidiva djelovanja i ucinke tijekom izvedbe i upo rabe Proracun i izvedba konstrukcije moraju biti takvi da se ona ne mo e o tetiti zbog po a ra, eksplozije, udara ili ljudske gre ke nerazmjerno uzroku (mora se ostvarivati razmjernost uzrok a i posljedice). Proracunske situacije opisuju okolnosti u kojima konstrukcija ispunjava svoju ul ogu a moraju biti dovoljno zahtjevne i tako varirane da obuhvate sve uvjete koji se mogu ocekivati tijekom izvedbe i uporabe konstrukcije. Proracunske situacije dijele se na: Stalne situacije Prolazne situacije Izvanredne situacije svi uvjeti uobicajene uporabe povremeni uvjeti, npr. tijekom izvedbe ili popravka iznimni uvjeti ili po ar, eksplozija, udar

Seizmicke situacije potres Proracunski uporabni vijek je pretpostavljeno razdoblje kori tenja konstrukcije uz odr avanje, ali bez velikih popravaka. Podjela prema proracunskom uporabnom vijeku: yd s-20 efcdaf beton C25/30 armatura B500 -3.5 (% ) -2 Klasa Uporabni vijek Primjer 1 10 g Privremene konstrukcije

2 3 4 5

10-25 g Zamjenjivi dijelovi konstrukcije 15-30 g Poljoprivredne i slicne konstrukcije 50 g Konstrukcije zgrada 100 g Spomenicke konstrukcije, in enjerske konstrukcije, mostovi

Tablica 3.1 Proracunski uporabni vijek. Trajnost konstrukcije je njena sposobnost da tijekom svog proracunskoga uporabno g vijeka ostane sposobna za uporabu uz odgovarajuce odr avanje. Treba biti projektirana ili za ticen a tako da se u periodu izmedu uzastopnih pregleda znacajno ne pogor a njena uporabljivost. U pror acunu treba predvidjeti pristup kriticnim dijelovima za pregled izbjegavajuci zahtjevna rask lapanja ili onesposobljavanja konstrukcije.

Betonske konstrukcije Sigurnost neke nosive konstrukcije protiv otkazivanja nosivosti opcenito je uvje tovana time da njena otpornost R bude veca od ekstremnog djelovanja S, koje ce na nju djelovati u vij eku njenog trajanja. Kriterij za odredivanje sigurnosti nosive konstrukcije mo e se iskazati na sljedec i nacin: R>S (3.1) Zona sigurnosti ili velicina stanja nosivosti definirana je kao razlika izmedu o tpornosti i djelovanja na konstrukciju: Z=R-S (3.2) U pristupima sigurnosti gradevina razlikujemo dva osnovna pristupa: deterministi cko i probabilisticko poimanje sigurnosti. Deterministicko poimanje sigurnosti koristilo se u prvim metodama proracuna (met oda dopu tenih napona). Pretpostavlja sigurnu konstrukciju, kada su naprezanja od vanjskog opte recenja manja od propisanih dopu tenih naprezanja. Dopu tena naprezanja vezana su s faktorom sigurnos ti uz odredene granicne velicine (npr. granica popu tanja, cvrstoca). Medutim i velicina otpornosti (R) i velicina djelovanja na konstrukciju (S) su i same funkcije nekih drugih velicina tzv. baznih varijabli: R=R(fc,fy, E, I, W, A...) S=S(g, q, w, s...) U deterministickom postupku sve ove velicine tretiramo kao odredene (determinira ne) vrijednosti, koje su nam dane propisima, a u probabilistickom pristupu se sve velicine baznih varijabli tretiraju kao slucajne velicine. Probabilisticko poimanje sigurnosti temelji se na pretpostavci da ne postoji pot puno sigurna konstrukcija. Svaka konstrukcija odnosno element konstrukcije ima neku vjerojatn ost otkazivanja nosivosti. Za proracun je potrebno sve varijable statisticki obraditi i koristit i ih u obliku funkcija odredene raspodijele vjerojatnosti. U probabilistickom pristupu dokaz sigurnosti , obzirom na parametre kojima se ulazi u proracun, danas se mo e provesti na cetiri nivoa: dokaz sigurnosti na razini IV. Dokaz sigurnosti na ovoj razini podrazumijeva pro racun konstrukcija s odredenom funkcijom cilja, koja srednje vrijednosti tro kova svodi

na najmanju mogucu mjeru, uzimajuci u obzir i moguce tete uslijed otkazivanja nosivo sti konstrukcije. Primjena metoda proracuna na ovoj razini, danas se koristi samo ka o pomocno sredstvo u istra ivanjima. dokaz sigurnosti na razini III. To je najvi a razina u kojoj se dokaz dostatne nos ivosti zasniva na primjeni teorije vjerojatnosti i to tako da se u proracun ukljucuju stvarne f unkcije distribucije svih slucajnih velicina i zatim preko vi estruke integracije provjera va koja je vjerojatnost otkazivanja nosivosti postignuta. dokaz sigurnosti na razini II. Metoda drugog momenta i prvog reda. To je simplif icirani postupak, koji omogucava izbjegavanje vi estruke integracije. Sastoji se u tome da se od statistickih podataka slucajnih velicina, koje ulaze u jednad be granicnog stanja, izracunavaju samo srednja vrijednost i standardna devijacija (to je metoda drugog momenta). Z a samu raspodjelu usvoje se vec poznate, po mogucnosti jednostavne zakonitosti (najce ce lognormalna). Linearizacijom izraza za jednad bu granicnog stanja ( metoda I reda) izracuna se indeks sigurnosti. Indeks sigurnosti je zapravo inverzna funkcija vjerojatnos ti otkazivanja nosivosti, ali u ovoj metodi nivo-a II njega se usvaja kao mjeru za stupanj sigu rnosti. Indeks mz sigurnosti definiran je izrazom: = s z

Betonske konstrukcije dokaz sigurnosti na razini I. Semiprobabilisticki pristup. To je formalno determ inisticka metoda u postupku identicno s dosada njim dokazom nosivosti pomocu granicnih stanj a. Jedino se unaprijed determinirani parametri u jednad bama granicnog stanja utvrduj u probabilistickom i statistickom metodom. Sd e d1 .. . Kombinacija za izvanredne proracunske situacije: .. Sd = Sd .. (. G, j Gk, j )+.11 Qk,1 + . (. 2,i Qk,i )+ Ad +. p Pk . . ji>1 . .. Kombinacija za seizmicku proracunsku situaciju: .. Sd = Sd .. (Gk, j )+. I AEd + S(. 2i Qk,i )+ Pk . .

ji>1 . .. -Gk,j, Qk,i: karakteristicne velicine za stalno i promjenljivo opterecenje -Qk,1: karakteristicna velicina nepovoljnog jedinog ili prevladavajucega promjenljivog djelovanja kad istodobno djeluje vi e promjenljivih opterecenja -Pk: karakteristicna velicina prednapinjanja -.0,i: koeficijenti kombinacije za promjenljiva djelovanja Specijalnim koeficijentima . uzima se u obzir smanjena vjerojatnost istodobnog d jelovanja vi e nepovoljnih promjenljivih djelovanja ili ucestalost ili se promjenljivo svodi na stalno djelovanje. Mno enjem karakteristicnih promjenljivih velicina Qk specijalnim koeficijentima . dobiju se reprezentativne vrijednosti. Oni mogu biti: .o - koeficijent kombinacije .1 - koeficijent koji obuhvaca ucestalost promjenljivog djelovanja .2 - koeficijent koji promjenljivo opterecenje svodi na stalno. Pribli ne vrijednosti za specijalne koeficijente dane su u tablici 4.15. Koeficijenti kombinacije q (kN/m2) Kategorije Djelovanje .0 .1 .2 Korisno (stanovi, uredi, trgovine do 50 m2, predvorja , balkoni, bolnice) 0.7 0.5 0.3 2.5 A, B Korisno (prostor za skupove, gara e, zgrade za parkiranje, gimnasticke dvorane, predvorja ucionica, knji nice, arhivi) 0.7 0.6 0.6 3.0-5.0 C, D Korisno (prostor za izlo be i trgovinu, trgovacke i robne kuce) 1.0 0.9 0.8 6.0 E Vjetar 0.6 0.5 0 Snijeg 0.6 0.2 0 Sva ostala djelovanja 0.6 0.5 0 Tablica 4.15 Specijalni koeficijenti kombinacije.

Betonske konstrukcije Kombinacije za granicna stanja uporabljivosti .. Karakteristicna kombinacija: Sd = Sd .. (Gk, j )+ Qk,1 + S(. 0,i Qk,i )+ Pk . .. . ji>1 . .. Cesta kombinacija: Sd = Sd .. (Gk, j )+.11 Qk,1 + . (. 2,i Qk,i )+ Pk . .. . ji>1 . ..Kvazi-stalna kombinacija: Sd = Sd .. (Gk, j )+ . (. 2i Qk,i )+ Pk . . i .. . j Pojednostavnjena provjera konstrukcija zgrada Iz prethodnog poglavlja vidljiv je velik broj mogucih kombinacija, od kojih svak a zahtijeva odvojeno proucavanje i analizu. Na srecu, pojednostavnjeni pristup je moguc za uvjete koj i su iz prethodnog iskustva poznati kao kriticni, i ovakav pristup trebao bi biti zadovoljavajuci p ri projektiranju vecine zgrada.

HRN ENV 1991-1 ukljucuje pojednostavnjenje za konstrukcije zgrada u normalnim uv jetima. Pri tome se ukidaju koeficijenti kombinacije . i koriste modificirani parcijalni koe ficijenti sigurnosti za djelovanja. Ovi izrazi ukljucuju jedno stalno djelovanje, koje opcenito podrazum ijeva vlastitu te inu. Stalno djelovanje kombinira se s odgovarajucim promjenljivim opterecenjem, upora bnim, snijegom i vjetrom. Za jednostavne podne i krovne konstrukcije dominantno djelovanje je gra vitacijsko (vlastita te ina i uporabno opterecenje za podove, vlastita te ina i snijeg za krovove), ali z a okvirne konstrukcije mora se obavezno uzeti u obzir i dodatno opterecenje vjetrom. Tako su tipicne kombinacije opterecenja, za slucajeve gdje su sva djelovanja nepovoljna, dane za : -granicno stanje uporabljivosti: stalno + uporabno (ili snijeg): Gk + Qk stalno + uporabno (ili snijeg) + vjetar: Gk + 0,9 S Qk -granicno stanje nosivosti: stalno + uporabno (ili snijeg): 1.35 Gk + 1.5 Qk stalno + uporabno (ili snijeg) + vjetar: 1.35 Gk + 1.35 S Qk U nekim slucajevima, odredena opterecenja mogu imati povoljno djelovanje. Na pri mjer, stalno opterecenje mo e pomagati u otpornosti od prevrtanja ili vjetra, i uporabno optere cenje u srednjem rasponu kontinuirane grede mo e ubla iti savijanje u susjednim rasponima. U ovim slu cajevima ni a vrijednost (inferiorna inf) parcijalnog koeficijenta sigurnosti treba se koristi ti uz povoljno djelovanje. U praksi, za uvjete koje odgovaraju klasi B, uporabna opterecenja ko ja su povoljna jednostavno se zanemaruju (.inf = 0) dok se za stalna djelovanja otporna na ucin ke vjetra koristi parcijalni koeficijent 1.0. 5. DIMENZIONIRANJE PREMA GRANICNOM STANJU NOSIVOSTI 5.1. Uvod Uvjet nosivosti presjeka zadovoljen je ako je racunska vrijednost utjecaja (unut arnje sile) Sd manja od odgovarajuce racunske nosivosti presjeka Rd ili jednaka njoj: Sd = Rd (5.1)

Betonske konstrukcije Dimenzioniranje presjeka izvodi se tako da se iz jednad be ravnote e odrede dimenzij e presjeka i kolicina armature: Sd = Rd (5.2) 5.2. Elementi naprezani na savijanje 5.2.1 Jednostruko armirani pravokutni presjek Izrazi za dimenzioniranje dobiju se iz uvjeta ravnote e koji za savijanje glasi: Msd = MRd gdje je: Msd = S.G,i MG,i + .Q MQ,1 + .P MP - racunski moment savijanja (5.3) MRd = Fc z = 0.85 av x b fcd z = Rd b d2 fcd - racunski moment nosivosti presjeka a- koeficijent punoce vx = .d - udaljenost neutralne osi od tlacnog ruba z = .d - krak unutra njih sila Rd - bezdimenzijska vrijednost za moment nosivosti. Uvr tavanjem izraza za racunske momente u jednad bu (5.3) dolazi se do formule za be zdimenzijsku vrijednost momenta savijanja: Msd a. . (5.4) = ==0.85 sd2rd v bd fcd gdje je ec2 .= - koeficijent udaljenosti neutralne osi od tlacnog ruba (5.5) e+e s1 c2 d s1Aes1 ec Fs1 0.85f

xcFcd zh b n.os d1 Slika 5.1 Dimenzioniranje na moment savijanja. ec deformacija betona na tlacnom rubu es1 deformacija armature u te i tu vlacnih Fs1 sila u vlacnoj armaturi Fc sila u betonu ipki

Izraz za potrebnu vlacnu armaturu dobije se iz uvjeta ravnote e: == MSd Fs1 z fyd As1 z (5.6) MM Sd Sd As1 == (5.7) zfyd (.d)f yd Pet osnovnih mogucnosti naprezanja ovisit ce o deformacijama betona i celika:

Betonske konstrukcije 51 A A s1 s2 b h d d-d d2 2 d1 es1 ec1 ec2 20% 3% -2% -3,5% 0 1 2 3 4 5 Slika 5.2 Dijagrami deformacija. 1. Ekscentricni vlak s malim ekscentritetom, celik je potpuno iskori ten. 2. Savijanje ili savijanje s uzdu nom vlacnom silom, celik je potpuno iskori ten, be ton dosti e granicne deformacije. 3. Savijanje ili savijanje s uzdu nom tlacnom silom, beton i celik su potpuno isko ri teni. 4. Ekscentricni tlak, beton je potpuno iskori ten, celik dosti e granicnu deformacij u 5. Ekscentricni tlak s malim ekscentricitetom, cijeli presjek je u tlaku, deform acije u betonu ogranicuju se od -3,5 -2,0 o/oo. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Sd . . ., . Slika 5.3 Funkcija ovisnosti koeficijenta neutralne osi i kraka unutarnjih sila o Sd. Vrijednosti koeficijenta neutralne osi i kraka unutarnjih sila odredene su za ra zlicite vrijednosti deformacija na gornjem i donjem rubu presjeka (es1i ec2) prema slici 5.2, i dane u tablicnom obliku. Funkcionalna ovisnost koeficijenata . i . prikazana je na slici 5.3 i mo e se dobr o interpolirati polinomom drugog stupnja. Maksimalno odstupanje za . funkciju iznosi 1%. = 0.992 - 0.475 - 0.938 2Sd Sd . (5.8) = 0.029 1.045 2.492 2Sd Sd . + + (5.9)

Izrazi 5.8 i 5.9 mogu se upotrijebiti u probabilistickom proracunu potrebne arma ture kad je potrebno napisati izraze u zatvorenom obliku. Da bi se osigurala sposobnost rotacije presjeka (duktilnost), Eurokodom 2 propis uje se dodatni uvjet da odnos x/d ne prekoraci limitiranu vrijednost: . lim =0.45=(x/d)lim za razrede betona do C35/45 . lim =0.35=(x/d)lim za razrede betona od C40/50 i vi e . lim =0.25=(x/d)lim kod primjene teorije plasticnosti za proracun unutarnjih si la u plocama.

Betonske konstrukcije Razred betona C lim .lim .lim ec2 ( ) es1 ( ) =C35/45 0.252 0.813 0.45 -3.5 4.278 =C40/50 0.206 0.854 0.35 -3.5 6.5 armirati i u tlacnoj zoni. es1 N. OS As2 ec 0.85fcd Fs cFzxx x s1 11 bw22hdd1d-dd Tablica 5.1 Limitirane vrijednosti ovise o razredu betona. Ukoliko je proracunski moment savijanja veci od limitiranog MSd>MRd,lim potrebno je povecati visinu presjeka. Ako to nije moguce presjek se mo e dvostruko armirati. 5.2.2 Dvostruko armirani pravokutni presjek Ukoliko je MSd>MRd,lim ili ( Sd > lim ) presjek se mora dvostruko armirati. Presje k je potrebno Slika 5.4. Dvostruko armirani presjek za negativni moment savijanja. Najveci moment savijanja koji jednostruko armirani presjek mo e preuzeti je: 2 M =b d f (5.10) Rd,lim lim w cd Tlacna armatura povecava duktilnost, ali ukupna armatura mora biti manja od 4% p resjeka betona. Koeficijent armiranja cjelokupnog presjeka: A + A s1,max s2,max .max == 0,04 bw h Ukupna vlacna armatura sastoji se od dva dijela: As1=As1,lim+As2 (5.11) Vlacna i tlacna armatura dane su izrazima: MM M Rd,lim Sd Rd,lim As1 =+

-vlacna armatura (5.12) (.d)f (d -d )f lim yd 2yd M M Sd Rd,lim As2 = -tlacna armatura (5.13) (d -d )f 2 yd Kako bi osigurali tlacnu armaturu od izvijanja, u dvostruko armiranom presjeku u tjecaj tlacne armature na njegovu nosivost mo e se uzeti u obzir ako je ona povezana sponama na razmaku: sw=15f (f - promjer ipke tlacne armature) i ako je zadovoljen uvjet x = 2d2 (x udaljenost neutralne osi od tlacnog ruba presjeka, d2 -udaljenost te i ta tlacne armature od ruba presjek a). Povecanjem armature smanjujemo duktilnost presjeka. Eurokod 8 daje slijedece klase duktilnosti:

Betonske konstrukcije f . cd s2 Visoka H ..s1,max = 0,35 + 0,0015 (5.14) f . yd s1 f . cd s2 Srednja N ..s1,max = 0,65 + 0,0015 (5.15) f . yd s1 Niska L ..s1,max = 0,75.max = 0,03 (5.16) 5.2.3 Dimenzioniranje T-presjeka na moment savijanja Kod ploca s rebrima proracunska irina ploce ovisi o dimenzijama ploce i rebra, o vrsti opterecenja, rasponu, uvjetima na le ajevima i poprecnoj armaturi. Za proracun unutarnjih sila, kada se ne zahtijeva velika tocnost (npr. kontinuirani nosaci u zgradama), mo e se pretpostav iti stalna irina du citavog raspona. Slika 5.5 Sudjelujuca irina grede T-presjeka. L0 m = b; m = ii i 10 Proracunska ta: b + b + b .1w2 . beff =. irina ploce, beff, za unutarnju gredu T-presjeka uzima se iz dva uvje

L LL 0 00 + b +=+ b .ww .10 105 gdje su: b1 i b2 - polovica svijetlog razmaka rebara lijevo, odnosno desno od rebra. L0 - razmak nul-tocaka mom. dijagrama (za prvo polje L0=0.85L, za srednje L0 =0.7L , a za prostu gredu L0 =L, za konzolu L0 =2L). Proracunska irina ploce, beff, za rubnu gredu uzima se iz dva uvjeta: b + b .1w . beff =. L 0 + b .w .10 polje MSd Za pozitivni moment b=beff: sd = 2 ; Uz uvjet da neutralna os prolazi kroz plocu (x=hf) b df eff cd le aj M Za negativni moment b=bw: sd = Sd2 ; bw df cd M Potrebna armatura: As1 = Sd (d)fyd .

Betonske konstrukcije Kod pozitivnog momenta savijanja, kad neutralna os prolazi kroz plocu ili njezin im donjim rubom, presjek se racuna kao greda dimenzija beff/h. Poprecna armatura racuna se za irin u rebra bw. Slika 5.6 Dimenzioniranje T-presjeka na pozitivan moment savijanja.. Slika 5.7 Dimenzioniranje T-presjeka na negativan moment savijanja. Ukoliko kod dimenzioniranja na pozitivan moment savijanja neutralna os prolazi k roz rebro (x>hf) tada postoje dva slucaja: 1. Za beff = 5bw -mo e se zanemariti dio rebra ispod ploce, te tada cijelu tlacnu sil u preuzima ploca, tj.pojasnica T-presjeka. polje MSd Potrebna armatura: As1 = (d hf )f yd 2 Tlacna naprezanja ne smiju prema iti racunsku cvrstocu betona proracunska: polje M s = Sd = 0.85 f cd cd hf (d ) (beff hf ) 2 2. Za beff MRd,lim ili ( > ) presjek se mora dvostruko armirati. Sdlim MRds,lim MSds -MRds,lim NSd A =+ (5.35) s1 (.d)f (d -d)f f lim yd 2yd yd M -M Sds Rds,lim A = (5.36) s2 (d -d )f 2 yd 5.6. Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentricni vlak 5.6.1 Vlacna sila djeluje izmedu armatura (mali ekscentricitet) Cijeli je presjek opterecen na vlak (mali ekscentricitet). Racunska vlacna sila se u odnosu udaljenosti dijeli na sile u armaturi.

Slika 5.10. Element opterecen ekscentricnom vlacnom silom. Potrebna armatura: Nsd e1 As1 = gornja armatura (prema slici) (5.37) fe +e yd1 2

Betonske konstrukcije Ne A =sd 2 donja armatura (prema slici) (5.38)s1 fe +e yd1 2 5.6.2 Vlacna sila djeluje izvan presjeka (veliki ekscentricitet) Proracun se mo e provoditi prema postupku Wuczkowskog upotrebom tablica za dimenzi oniranje pravokutnih presjeka naprezanih na savijanje. Slika 5.11. Presjek opterecen na ekscentricni vlak. Moment savijanja s obzirom na te i te vlacne armature bit ce: M =M -z N (5.39) Sds Sd Sd s1 M Sd = 2Sds (5.40) b dfcd MN Sds Sd As1 =+ (5.41) zff yd yd Ukoliko je MSd>MRd,lim ili ( > ) presjek se mora dvostruko armirati. Sdlim MM -MN Rds,lim Sds Rds,lim Sd As1 =+ + (5.42) (.d)f (d -d)f f lim yd 2yd yd M -M Sds Rds,lim

As2 = (5.43) (d -d )f 2 yd 5.7. Lokalna tlacna naprezanja Lokalna tlacna naprezanja pojavljuju se u podrucju elementa gdje se predaje vanj ska sila u element preko smanjene povr ine. Lokalni tlacni naponi pojavljuju se u podrucju elementa gdje se predaje vanjska sila u element preko smanjene povr ine. Na primjer na mjestu uvodenja sile prednapinjanja, ili kod le aje va na mostu. Lokalni tlacna naprezanja rasprostiru se u dubinu elementa, pa je na dubini z d n jihova raspodjela pribli no konstantna po cijeloj irini elementa. Tlak se rasprostire u oba pravca.

Betonske konstrukcije Slika 5.12 Rasprostiranje tlacnih naprezanja Za vece dimenzije presjeka elementa na koje djeluje lokalno naprezanje koje mo e b iti i nesimetricno ili za djelovanje vi e lokalnih naprezanja, povr ina rasprostiranja mo e biti i manja od povr ine presjeka elementa, pa ju je za svaki konkretan slucaj djelovanja potrebno odredi ti. Nagib rasprostiranja uzima se pribli no 1:2, s tim da bude b1 = 3b0 i d1 = 3d0 Zbog otklona trajektorija tlaka sz dolazi do pojave vlacnih naprezanja sx okomit o na trajektorije tlaka. Do dubine z 0.1d1 od povr ine naprezanja sx su tlacna, a za dubine z > 0.1d1 ona su vlacna. Najveca su vlacna naprezanja na dubini z = 0.6d1. Ona se mogu dobiti prema empiri jskom izrazu: (-) Fd d 01 0 s x ..0.508 (5.44) bd 2 1 1 Ukupna vlacna sila cijepanja u elementu na visini elementa z izracunava se iz od nosa: F ddd 0 . 10 . 1 Fq : =. . : (5.45) 2 . 44 .2 Slika 5.13 Dijagram naprezanja.

Betonske konstrukcije Iz cega je: . d0 . Fq = 0.25 F0 .1-. (5.46) d . 1 . Tako dobivena sila cijepanja ne to je manja od izracunane po empirijskoj formuli k oja se preporucuje za upotrebu: . d0 . Fq = 0.3 F0 .1-. (5.47) d . 1 . Racunska sila cijepanja bit ce: Fqd =1.35FqG+1.5FqQ. a poprecna armatura u obliku spona: F Asw = f qd (5.48) yd Za drugi smjer proracun je analogan. Slika 5.14 Povr ine rasprostiranja nesimetricnih tlacnih naprezanja. 5.8. Poprecna armatura u gredama Proracun elemenata na poprecne sile provodi se prema pobolj anoj Mrsch-Ritterovoj a nalogiji s re etkom. Prema toj metodi pretpostavlja se da jedan dio poprecne sile preuzima be ton i uzdu na armatura, a preostali se dio prihvaca sponama ili kosom armaturom (Standardna me toda). Prema drugoj metodi (Metoda slobodnog odabira nagiba tlacnih tapova), nosivost be tona se ne uzima u obzir, vec se uzima bla i kut nagiba tlacnih dijagonala od 45. Time se dobi

va manja poprecna armatura ali se povecava uzdu na armatura ili dolazi do veceg pomaka dija grama vlacnih sila.

Betonske konstrukcije Slika 5.15 Mrschova re etka - nosivi mehanizam s vertikalnim sponama. Uvjet nosivosti na poprecne sile: V = V (5.49) Sd Rd VSd racunska poprecna sila V =(VG . + VQ . ) Sd GQ VRd racunska nosivost na poprecne sile a od osi le aja:

Racunska poprecna sila proracunava se na udaljenosti VSd '= VSd a(. G g +. Q )= VSd -sd (5.50) q aq blez + a= d 2 i mo e se nalaziti u slijedecim granicama: KONSTRUKTIVNA PRORACUN NEDOPU TENO POPR. ARMATURA POPR. ARMATURE PODRUCJE SdV V Rd2 Rd1 V0 Vwd VSd Slika 5.16 Podrucja poprecnih sila.

Proracunska nosivost na poprecnu silu elementa bez poprecne armature dana je izr azom: VRd1 = .. tRd k (1.2 + 40 .1 )+ 0.15 scp .. bw d (5.51) gdje je: tRd - racunska posmicna cvrstoca betona

C 12/16 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 tRd 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34 0,37 0,41 0,44 0,48 Tablica 5.2 Racunska posmicna cvrstoca betona k=1.6 -d= 1.0 korekcijski faktor kojim se povecava nosivost na poprecne sile (d je u metri ma) A .= sl = 0.02 - koeficijent armiranja uzdu ne armature sidrene za najmanje (d+lb,net) iza1b d w promatranog presjeka. scp =(1.35NG +1.5NQ)/ Ac - sredi nje tlacno naprezanje Proracunska nosivost tlacnih tapova je: V =0.5 . f b z (5.52) Rd2 cd w

Betonske konstrukcije gdje je: . - koeficijent redukcije tlacne cvrstoce betonskih tlacnih .=0.7fck , fck i 200 dani su u N/mm2, 0.5=. |e01| ili e0 = 0.4e02 Dodatni ekscentricitet zbog deformiranja elemenata pravokutnih i okruglih presje ka mo e se izracunati upotrebom metode "Stup-model". Nosivi sustav dan je na slici 5.38.

Betonske konstrukcije Slika 5.38 Stup-model Pod djelovanjem uzdu ne sile i momenta savijanja sustav se deformira. Maksimalni m oment savijanja na deformiranom stupu bit ce na dnu stupa. Prema ovome modelu dodatni ekscentricitet dobiva se po izrazu: e2 = K1 0.1 L20 (1/ r) K1 - korekcijski faktor za postupni prijelaz od granicnog stanja nosivosti (. < 25) na problem izvijanja (. > 25) l/r - zakrivljenost dobivena iterativnom metodom ili pribli nim postupkom. Korekcijski faktor se izracuna po izrazu: K1 = ./20 - 0.75 za 15 < . < 35, K1 = 1.0 za . > 35. Pribli ni izraz za odredivanje zakrivljenosti glasi: l/r = 2K2 eyd/(0.9d) gdje je: eyd = fyd/Es - racunska deformacija u celiku d - staticka visina presjeka K2 = (Nud - Nsd)/(Nud - NbaI) < 1 - faktor dobiven upotrebom pojednostavnjenog d ijagrama interakcije Nud =0.85fcdAc +fyd (As1 + As1) - nosivost na sredi nji tlak Nbal =0.4fcdAc Pribli no se mo e uzeti K2 = 1, to je na strani sigurnosti. Puzanje betona utjece na povecanje ekscentriciteta, osobito pomicnih sustava i m o e se pribli no uzeti preko dodatnog momenta savijanja: .M = 0.1. M I. F IG gdje je MIG moment od stalnog opterecenja dobiven po teoriji I. reda, a . F= 1.1 za hiperstaticke sustave i . F = l.2 za staticki odredene sisteme. Racunske rezne sile na deformiranom sustav u bit ce: IINSd = NSd

II M Sd = NSd etot +. MI.

Betonske konstrukcije 6. GRANICNA STANJA UPORABLJIVOSTI 6.1. Uvod Prema europskim normama konstrukciju i njene elemente potrebno je kontrolirati n e samo prema granicnim stanjima nosivosti vec i na granicna stanja uporabljivosti. U granicna stanja uporabljivosti spada: granicno stanje naprezanja (kontrola naprezanja), granicno stanje trajnosti (kontrola irina pukotina),

granicno stanje deformiranja (kontrola progiba) i granicno stanje vibracija Za razliku od granicnih stanja nosivosti koeficijenti sigurnosti za opterecenje i za materijal u granicnim stanjima uporabljivosti iznose ukoliko nije drugacije odredeno: =1,0 i .M =1,0 .G,j=.Q,j Treba dokazati da je: Ed=Cd (6.1) Ed - proracunska vrijednost djelovanja Cd - granicna racunska vrijednost bitnog kriterija uporabljivosti (deformacija, vibracija, naprezanje) 6.2. Granicno stanje naprezanja Granicno stanje naprezanja ogranicava naprezanja u materijalima u ovisnosti o vr sti kombinacije. Beton: Naprezanje u betonu, sc, za rijetku kombinaciju opterecenja treba biti: sc = 0,6 fck (6.2) a za nazovistalnu kombinaciju: sc = 0,45 fck (6.3) Armatura Naprezanje u armaturi, za rijetku kombinaciju opterecenja treba biti: ss = 0,8 fyk (6.4) Prednapeti Maksimalni gistrirano pre i spo) .0.80 f celik dopu teno naprezanje u prednapetom celiku za vrijeme prednapinjanja (re na ne smije prijeci:

sp0 =. pk (6.5) 0.90 f . p0.1,k Neposredno nakon uklanjanja pre e i uno enja sile u beton maksimalno dopu teno napreza nje ne smije prijeci: .0.75 f spm,0 =. pk (6.6) .0.85 fp0.1,k

Betonske konstrukcije 6.3. Granicno stanje raspucavanja (kontrola pukotina) Glavna pretpostavka armiranog betona je da je beton u vlaku raspucao i da sva vl acna naprezanja preuzima armatura. Pukotine nastaju kada vlacna naprezanja od unutarnjih sila pr ekorace vlacnu cvrstocu betona. Pukotine nisu smetnja ako im irina ne prema uju propisanu granicnu vrijednost uvjet ovanu korozijom, vanjskim izgledom ili nepropusno cu za tekucine ili plinove. Granicna ir ina krece se od wg = 0 do 0.4 mm. Prema normi HRN ENV 1992-1-1 za granicnu irinu pukotina armiranobetonskih konstru kcija za razrede okoli a "vla no" do "elementi djelomicno u morskoj vodi", te ako nema posebn ih zahtjeva (vodonepropusnost), propisuje se granicna irina pukotine wg = 0.3 mm. Za prednape te sustave wg = 0.2 mm. Za provjeru granicnog stanja trajnosti primjenjuje se nazovistalna i ces ta kombinacija opterecenja. Za suhi okoli irine pukotina nemaju utjecaja na trajnost armiranobeto nskih konstrukcija, pa se ogranicenja mogu zahtijevati iz drugih razloga (vodonepropus nost, vanjski izgled). Za gradevine koje se nalaze u vrlo agresivnom okoli u, postavljaju se pos ebni zahtjevi koji nisu dani u normi HRN ENV 1992-1-1. Ogranicenje irine pukotina u armiranobetonskim i prednapetim konstrukcijama mo e se postici: ugradivanjem armature jednake ili vece od minimalne u vlacno podrucje ogranicenjem razmaka i promjera sipki armature. Trajnost gradevine ne ovisi samo o irini pukotina vec prije svega o kvaliteti i v odonepropusnosti betona, za titi armature od korozije, kvaliteti izvedbe, prekidu betoniranja, rje en ju spojeva elemenata te o drugim manje va nim uzrocima. Armiranobetonske i prednapete elemente treba uvijek armirati u podrucju vlacnih naprezanja barem minimalnom armaturom za ogranicenje irina pukotina, osobito ako se ocekuje indire ktno djelovanje izazvano sprijeceno cu slobodnog skupljanja ili prinudnim deformacijama (popu tanje oslonaca). Minimalna armatura mo e se izracunati po izrazu: A As,min = kc kf ct (6.7) ct,eff ss

gdje je: kc koeficijent kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja po visini presjeka p ri pojavi prve pukotine (kc=1.0 za centricni vlak; kc=0.4 za savijanje) k koeficijent umanjenja kojim se uzima u obzir nelinearna raspodjela vlacnog nap rezanja po presjeku izazvanog temperaturnim promjenama i skupljanjem unutar elementa. k = 0.8 - opcenito k = 0.8 - pravokutni presjek h < 30 cm k = 0.5 - pravokutni presjek h > 80 cm izmedu gornjih vrijednosti vrijedi linearna interpolacija. fct,eff Act vlacna cvrstoca betona pri pojavi prve pukotine

vlacna povr ina neposredno prije pojave pukotine

ss naprezanje u armaturi neposredno nakon pojave pukotine Za elemente armirane minimalnom armaturom, izracunatom prema izrazu (6.7) granic no stanje irina pukotina biti ce zadovoljeno ako promjeri ipki i razmaci medu njima odgovaraju on ima danim u tablicama 6.1 i 6.2.

Betonske konstrukcije Naprezanje u armaturi (MPa) Maksimalni promjer ipke f (mm) Maksimalni razmak ipki (mm) Savijanje Vlak 160 200 240 280 320 360 32 25 20 16 12 10 300 250 200 150 100 50 200 150 125 75 Tablica 6.1 Maksimalni promjeri prezanja u armaturi. ipki i njihovi maksimalni razmaci za razlicita na

Konstrukcijski sustav Jace napregnut beton Slabije napregnut beton 1. Prosta greda; Samostojece ploce koje nose u jednom ili dva smjera (ploce koje se nastavljaju) 18 25 2. Krajnji raspon kontinuiranog nosaca ili ploce koja nosi u dva smjera a nastav lja se preko jedne stranice 23 32 3. Unutarnji raspon kontinuiranog nosaca ili ploce koja nosi u 1 smjeru ili 2 sm jera i koja se nastavlja 25 35 4. Ploce oslonjene na stupove bez greda (bazirano na duljem rasponu) 21 30 5. Konzole 7 10 Tablica 6.2 Osnovni odnos raspona i debljine presjeka (l/h). Kao bi se povecala trajnost i uporabljivost gradevine potrebno je ograniciti irin e pukotina. U kontroli pukotina potrebno je izracunati karakteristicnu irinu pukotina i uspored

iti je s granicnom irinom. Za proracun granicnih stanja pukotina upotrebljava se kvazistalna i cesta kombinacija opterecenja. Kada nisu zadovoljeni uvjeti iz tablica 6.1 i 6.2 ili kada se eli to cniji dokaz granicnog stanja pukotina, proracunava se karakteristicna vrijednost irine pukotina i uspor eduje s granicnom vrijedno cu. wk =wg (6.8) karakteristicna w = s e[mm ] (6.9) k rm sm wg=0,3 do 0,4 mm (ovisno o zagadenju okoli a, za djelomicno prednapete konstrukcij e wg = 0,2 mm) = = = = odnos racunske i srednje irine pukotina: 1,7 za presjek koji ce puknuti zbog opterecenja, 1,7 za h = 80 cm, 1,3 za h = 30 cm (vrijedi linearna interpolacija). irina pukotine racuna se prema slijedecem izrazu:

Srednji razmak pukotina: f srm =50 [ ] +0,25 k 1 2 mm k (6.10) .r k1 = koeficijent prionljivosti: k1 = 0,8 za RA i k1 = 1,6 za GA k2 = koeficijent raspodjele deformacija:

Betonske konstrukcije k2 = 0,5 za savijanje i k2 = 1,0 za cisti vlak. f = srednja vrijednost promjera ipke (mm) As .r = = djelotvorni koeficijent armiranja A c,eff As = Plo tina vlacne armature Ac,eff = djelotvorna vlacna plo tina betona Slika 6.1 Odredivanje djelotvorne vlacne plo tine betona. Srednja relativna deformacija armature uzimajuci u obzir i nosivost betona na vl ak izmedu pukotina: . 2 . .. ss ssr esm =.1-1 2 . .. (6.11) E . s. s . s . .. ss = naprezanje u vlacnoj armaturi na mjestu pukotine ssr = naprezanje u vlacnoj armaturi kod pojave prve pukotine za ss3 s faktorom: 0.8 o Za sve elemente, osim ravnih ploca, raspona preko 7 m, koji nose pregradno zide, s faktorom: 7/Leff. o Za ravne ploce, raspona preko 8.5 m, s faktorom: 8.5/Leff. o Takoder, kada je stvarno naprezanje u celiku manje od 250.0 MN/m2, vrijednosti u tablici treba korigirati s nepovoljnijim od dva faktora: 250 400

f3 = ; f3 = (6.16) s A s,req s f yk A s,prov gdje je As,prov postojeca, a As,req potrebna povr ina armature. Ukupni progib se sastoji od kratkotrajnog i dugotrajnog progiba:

Betonske konstrukcije v =+v v (6.17) tot 12 v1- kratkotrajni trenutni progib od stalnih i promjenjivih opterecenja. v2- dugotrajni progib od vremenskih efekata (uslijed reologije betona i relaksac ije celika) Kod proracuna dugotrajnog progiba potrebno je poznavati progib od stalnih djelov anja. Prema tablici 6.3 potrebno je napraviti i kontrolu dugotrajnog progiba: v2=v2g Ako se izvodi nadvi enje, ono iznosi maksimalno: v0,max=L/250. Slika 6.3 Progib grede. Kontrolu progiba nije potrebno provoditi kada vitkost elementa na savijanje (lef f/d) ne prelazi vrijednosti naznacene u tablici 6.4. Slika 6.4 Granicne vitkosti elemenata kada nije potrebno provoditi kontrlou prog iba. Kod vecih vitkosti potrebno je provesti kontrolu progiba. Opceniti izraz za vrijednost deformiranja glasi: a .aII (1 .) aI = +- (6.18) Promatraju se dvije granicne mogucnosti: 1. neraspucalo stanje - armatura i beton zajedno sudjeluju u no enju i

Betonske konstrukcije 2. potpuno raspucano stanje - nosivosti vlacnog podrucja betona se zanemaruje a = jedna od vrijednosti deformiranja (npr. progib) aI = odgovarajuca vrijednosti deformiranja za neraspucali element aII = odgovarajuca vrijednosti deformiranja za potpuno raspucali element .= koeficijent raspodjele naprezanja u armaturi uzdu elementa, . =0 za neraspucal i element. Koeficijent . se upotrebljava i u kontroli pukotina. .ssr .2 . 1 (6.19) =- 12 .. s .s . Za proracun progiba izraz (6.18) glasi: v .vII (1 .)I = +-v (6.20) Za elemente konstantne visine koristi se pojednostavljena metoda prema kojoj se izracuna zakrivljenost na mjestu maksimalnog momenta, a progib se tada izracuna prema izr azu: 1 21 21 vtot = L k L (6.21) = kr r 1 tot tot Koeficijent k ovisi o statickom sustavu i tipu opterecenja. Odreduje se prema ta blici 6.4. Rb Tip opterecenja Dijagram momenata savijanja Koeficijent k 1 2 3 1 0.125

2 () 34 48 1 2(/ ) (/ ) aL aL 3 0.0625 4 0125 62 . ( / /-aL) 5 5/48 6 Mq L=2 15 6/. 0.102

Betonske konstrukcije 7 5 (1 0.1 ) 48 /A B F k M M M = = + 8 0.083(1 / 4) /A B F k M M M = = + 9 2 2 34 24 L aM q L = . ... ... .... . ( )22 2 54( / )1 80 3 4( / ) aL aL Tablica 6.4 Koeficijenti k za pojednostavljeni proracun progiba. Slika 6.5 Promjena progiba u vremenu. Slika 6.6 Dijagram moment-zakrivljenost. Ukupna zakrivljenost od opterecenja, puzanja i skupljanja betona proracunava se

prema izrazu: 111 =+ (6.22) r rr tot m csm Ukupna zakrivljenost se sastoji od: zakrivljenosti zbog opterecenja i puzanja 1/rm zakrivljenosti zbog skupljanja 1/rcsm

Betonske konstrukcije Srednja zakrivljenost 1/rm od opterecenja i puzanja sastoji se od zakrivljenosti u stanju naprezanja I, i stanju naprezanja II: 1 11 =+ (1 .) . (6.23) r rr m III Zakrivljenost za naponsko stanje I: 1 MSd = (6.24) rE I I c,eff I Zakrivljenost za naponsko stanje II: 1 es1 = (6.25) rII d -yIIg Moment savijanja pri nastanku prve pukotine u betonu: f I ct,m 0 Mcr = y (6.26) 0d Za pravokutni presjek: zd=-yIIg / 3 (0.1) ss Relativna deformacija armature racuna se prema izrazu: es1 = (6.27) Es Naprezanje u vlacnoj armaturi: MSd s= (6.28) s Az

s1 Srednja zakrivljenost 1/rcsm od skupljanja: 1 11 =- + (1 .) . (6.29) r rr csm csI csII Zakrivljenost od skupljanja za naponsko stanje I: 1 S ecs8aeI = (6.30) rI csI I Zakrivljenost od skupljanja za naponsko stanje II: 1 S ecs8ae II = (6.31) rI csII II Vlacna cvrstoca betona: 2 3 fct m =0.3 f , ck Modul elasticnosti betona: E =95003 f +8 cm ck Efektivni modul elasticnosti betona: E Ec,eff = cm (6.32)

1,0 +.(t ,t) 8 0 Odnos modula elasticnosti celika i betona: a=E/ E za t=0 (6.33) e scm e =s za t=. (6.34) a E/Ec,eff ecs8= relativna deformacija od skupljanja u beskonacnosti

Betonske konstrukcije 6.4.1 Proracun geometrijskih karakteristika pravokutnog poprecnog presjeka Slika 6.7 Pravokutni poprecni presjek - polo aj te i ta za betonski presjek bez armature: y0g =h /2 ; y0d =y0g - polo aj te i ta presjeka za naponsko stanje I: y =khy =Ig xI ; Id hyIg - polo aj te i ta za naponsko stanje II: y =k h ; =IIg xII yIId hyIIg -keficijenti kxI i kxII dobiveni su prema: . .=A /(bd ) =A /(bh ) II s1 Is1 kxI =(0,5 +AI ) /(1 +BI ) kB =+ xII II 2 2II II B A+ A =a.d /(1 A d /( + )) h + A d )) IeI s 22 s1 A =a. (1 A d /( A d IIeII s22 s1 BI =a.(1 A / A ) B = (1 / A ) + eI s2 s1 a. + A IIeII s2 s1 bh3

- moment tromosti betonskog presjeka bez armature: I0 = 12 - moment tromosti presjeka za naponsko stanje I (prije pojave pukotina): b 33 22 I ( yId +yIg ) +ae 1) .As1(d yIg ) +As2 ( yIg -d2) . I = ( - .. 3 - moment tromosti za naponsko stanje II: b 32 2 II yIIg ae As1(d yIIg ) +ae 1) As 2( yIIg -d2) I = +( - 3 - staticki moment povr ine armature za naponsko stanje I: SI =As1(d -yIg ) -As2( y Ig -d2) - staticki moment povr ine armature za naponsko stanje II: SII =As1(d -yIIg ) -As 2( yIIg -d2) 6.4.2 Proracun geometrijskih karakteristika nosaca T-presjeka Slika 6.8 Poprecni presjek nosaca T-presjeka

Betonske konstrukcije - polo aj te i ta za betonski presjek bez armature: (bh2)/2 +(( bb )2 - h )/2 w eff wf y0g = ; y0d =hy0 g bhh (b -b ) + w feff w - polo aj te i ta za naponsko stanje I: yIg = xI ; yId =hyIg (1 kxI ) kh -= h -koeficijent kxI mo e se izracunati prema: .I =As1 /(bw h); kxI =(0,5 +CI )/(1 +DI ) .hf .2 .beff ..hf ..beff . 0,5 -+ 1.AI ; D . 1.BI CI = . .. I =.. -+ hb hb . ..w . ...w . -koeficijenti AI i BI se proracunavaju na isti nacin kao i kod proracuna geometr ijskih karakteristika pravokutnog presjeka. - moment tromosti betonskog presjeka bez armature: bw 3 3(beff bw )3 f 2 - h

Id 0 0 = ( y0 +yg ) ++(beff bw ) hf ( y0 g -hf / 2) 3 12 - moment tromosti za naponsko stanje I: b - h3 w 3 3(beff bw ) f 2 II = ( yId +yIg ) ++(beff bw ) hf ( y1g -hf / 2) + 3 12 + - ( 1) .Ad -y )2 +A ( y -d )2 ae .s1( Ig s 2 Ig 2 .. Kod racunanja momenta tromosti T-presjeka za naponsko stanje II nije svejedno da li se te i te presjeka nalazi u ploci ili u rebru poprecnog presjeka. Prvo se pretpostavi da s e te i te nalazi u ploci T-presjeka ( yIIg hf te i te se nalazi u rebru T-presjeka. Polo aj te i ta za naponsko stanje II mo e se u tom slucaju izracunati prema izrazima:

yIIg =kxII h ; yIId =hyIIg (1 kxII ) =h -koeficijent kxII mo e se izracunati prema izrazu, uz pretpostavku da je presjek r aspuknut od vlacnog ruba na duljini yIId. A /(b d ); k =+ C 2 +D .= C II s1 w xII II II II h ..b . h .2 .b . .f eff .f eff 1 B ; D = 12 C = -+ -+ A II ... . II II ... . II db db . ..w . ...w . - koeficijenti AII i BII se proracunavaju na isti nacin kao i kod proracuna geom etrijskih karakteristika pravokutnog presjeka. - moment tromosti za naponsko stanje II se racuna prema izrazu: b h3 . h .2 b efff fw 3 II hf beff .yIIg .+ ( yIIg -hf ) I =+

+ 12 23 .. + 22 ae As1(d yIIg ) + - (ae 1) As2( yIIg -d2) - staticki moment povr ine armature za naponsko stanje I: SI =As1(d -yIg ) -As2( y Ig -d2) - staticki moment povr ine armature za naponsko stanje II: SII =As1(d -yIIg ) -As 2( yIIg -d2)

Betonske konstrukcije Za dugotrajni progib uzimaju se slijedeca opterecenja: t=0 g + q.2 t=8 g + q Proracunski moment savijanja za kratkotrajni progib: MSd =.g Mg .q Mq =1,0 M g q (6.35) + +1,0 M Proracunsko opterecenje za kratkotrajni progib: qSd =.gg .q q (6.36) + Proracunsko opterecenje za dugotrajni progib: q =. g ..q (6.37) + Sdg q2 Koeficijent kombinacije opterecenja .2 =0,3 za stambene objekte; .2 = 0,8 za skl adi ta. Kada je sct=fct,m dolazi do otvaranja pukotine. Moment je Mcr i nastaje lom u di jagramu M-1/r. Progib je ovisan o zakrivljenosti, a zakrivljenost ovisi o momentu savijanja. Pr imjer proste grede opterecene kontinuiranim opterecenjem: Slika 6.9 Primjer proste grede opterecene kontinuiranim opterecenjem Slika 6.10 Dijagram naprezanja i deformacija za GSU i GSN 7. OBLIKOVANJE I KONSTRUIRANJE 7.1. Pravila armiranja Armatura proracunata metodom granicnih stanja nosivosti i uporabljivosti sidri s e, ili nastavlja prema tocno utvrdenim pravilima. Najvece zrno agregata dg odabire se tako da se osigur a dostatno zbijanje

Betonske konstrukcije betona oko armature. U mostogradnji je najmanji promjer nenapete armature ds = 1 2 mm, a razmak s = 20 cm. Razmak pojedinih ipki armature mora biti takav da osigurava ugradnju i zbijenost betona te da osigura dostatnu prionljivost izmedu armature i betona. Svijetli razmak (horizon talni i vertikalni) izmedu dvije paralelne ipke armature ne smije biti manji od 20 mm niti manji od p romjera najvece ipke armature. Ukoliko nisu definirani drugi uvjeti za ugradnju i zbijanje betona , razmak ovisan o najvecem zrnu agregata dg > 16 mm ne smije biti manji od dg+5 mm. Kod postavljan ja armature u vi e razina, ipke armature moraju biti postavljene jedna iznad druge s dostatnim ra zmakom za prolaz vibratora za beton. 7.2. Za titni sloj betona Radi osiguranja trajnosti elemenata konstrukcije uz ostalo je potrebna i za tita a rmature od korozije. Za za titu je potrebna dovoljna debljina i gustoca za titnog sloja betona te dobra z a tita od raspucavanja betona. Za titni sloj je udaljenost od vanjskog ruba armature (ukljucivo spone) do najbli e vanjske plohe betona. Najmanja debljina za titnog sloja potrebna je da se osigura sljedece: siguran prijenos sila prionljivo cu za tita celika od korozije neodlamanje betona propisana po arna za tita. Za tita armature od korozije ovisi o stalnoj prisutnosti alkalne okoline koja se o sigurava odgovarajucom debljinom dostatno njegovanog betona visoke kvalitete i gustoce. Najmanje velicine za titnog sloja cmin odreduju se u ovisnosti o razredu agresivno g djelovanja okoli a za koroziju armature i razredu tlacne cvrstoce betona. Nazivna velicina za titnog sloja cnom sastoji se od najmanje velicine za titnog sloja i dodatne vrijednosti .c: cnom= cmin + .c. (7.1) Debljina za titnog sloja cmin za za titu od korozije ne smije biti manja od vrijedno sti u tablici 6.1 ovisno o razredu agresivnog djelovanja okoli a. Za povr ine betona s vi e izra enih razr eda mjerodavan je najveci za titni sloj. Dodatna vrijednost .c obuhvaca netocnosti u i zvedbi, a ovisi o velicini, obliku i vrsti konstrukcijskog elementa, vrsti konstrukcije, izvedbi t e prove