Betonske Konstrukcije - Prirucnik

266
1 1. OPĆENITO O BETONU 1.1. Uvod 1.2. Naponska stanja i vrste sloma 2. OSNOVE PRORAČUNA 2.1. Granična stanja i pročunske situacije 2.2. Djelovanja 2.3. Svojstva gradiva 2.4. Granična stanja nosivosti 2.5. Granična stanja uporabljivosti 2.6. Beton 2.7. Betonski čelik (armatura) 2.8. Zaštitni sloj 2.9. Proračunski rasponi greda i ploča 3. GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI 3.1. Proračun elemenat napezanih savijanjem 3.1.1. Jednostruko armirani presjek 3.1.1.1. Dimenzioniranje pravokutnog presjeka 3.1.1.2. Dimenzioniranje T-presjeka

Transcript of Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Page 1: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

1. OPĆENITO O BETONU 1.1. Uvod 1.2. Naponska stanja i vrste sloma 2. OSNOVE PRORAČUNA 2.1. Granična stanja i pročunske situacije 2.2. Djelovanja 2.3. Svojstva gradiva 2.4. Granična stanja nosivosti 2.5. Granična stanja uporabljivosti 2.6. Beton 2.7. Betonski čelik (armatura) 2.8. Zaštitni sloj 2.9. Proračunski rasponi greda i ploča 3. GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI 3.1. Proračun elemenat napezanih savijanjem 3.1.1. Jednostruko armirani presjek 3.1.1.1. Dimenzioniranje pravokutnog presjeka 3.1.1.2. Dimenzioniranje T-presjeka

Page 2: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2

3.1.2. Dvostruko armirani presjek 3.1.3. Najmanji i najveći postotak armiranja 3.2. Proračun elemenat napezanih tlačnom silom 3.2.1. Centrični tlak 3.2.2. Ekscentrični tlak 3.2.2.1. Postupak Wuczkowski 3.2.2.2. Dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije 3.2.3. Najmanji i najveći postotak armiranja 3.3. Proračun elemenata napezanih vlačnom silom 3.3.1. Centrični vlak 3.3.2. Ekscentrični vlak 3.3.2.1. Vlačna sila djeluje između obiju armatura (mali ekscenticitet) 3.3.2.2. Vlačna sila djeluje izvan presjeka (veliki ekscenticitet) 3.3.2.2.1. Postupak Wuczkowski 3.3.2.2.2. Dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije 3.4. Proračun elemenata napezanih poprečnom silom 3.4.1. Uvod 3.4.2. Postupak dimenzioniranja na poprečnu silu 3.4.3. Elementi bez proračunski potrebne poprečne armature (VSd < VRd1) 3.4.4. Elementi s proračunski potrebnom poprečnom armaturom (VRd1 <VSd < VRd2) 3.4.5. Najmanji postotak armiranja 3.5. Proračun elemenata naprezanih torzijom 3.5.1. Čista torzija 3.5.2. Kombinirani učinci više djelovanja

Page 3: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3

3.5.2.1. Torzija sa savijanjem i/ili uzdužnom silom 3.5.2.2. Torzija s poprečnom silom 3.5.3. Najmanji postotak armiranja 3.6. Proračun vitkih elemenata 3.6.1. Uvod 3.6.2. Postupci proračuna 3.6.3. Podjela konstrukcija i konstrukcijskih elemenata 3.6.3.1. Ukrućujući elementi i ukrućene konstrukcije 3.6.3.2. Pojedinačni stupovi 3.6.3.3. Vitkost pojedinačnih stupova 3.6.3.4. Posebni podaci 3.6.4. Nesavršenosti (imperfekcije) 3.6.5. Pojednostavnjeni postupak proračuna pojedinačnih stupova 3.6.5.1. Postupak za proračunski model stupa 3.6.5.2. Tlačni elementi s dvoosnom ekscentričnošću 3.6.6. Bočno izvijanje vitkih nosača 4. GRANIČNA STANJE UPORABLJIVOSTI 4.1. Granično stanje naprezanja 4.2. Granično stanje pukotina 4.2.1. Općenito 4.2.2. Najmanja armatura za ograničenje pukotina 4.2.3. Ograničenje raspucavanja bez izravnog proračuna 4.2.4. Proračun širine pukotina 4.3. Granično stanje deformiranja (progiba) 4.3.1. Općenito 4.3.2. Slučajevi za koje proračunski dokaz može izostati

Page 4: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

4

4.3.3. Proračun progiba 5. RAZREDBA POJEDINOSTI 5.1. Općenito 5.2. Betonski čelik 5.2.1. Opća pravila armiranja 5.2.1.1. Razmaci šipki 5.2.1.2. Dopustivi promjeri savijanja 5.2.2. Prianjanje 5.2.2.2. Naprezanje prianjanja u graničnom stanju nosivosti 5.2.2.3. Osnovna duljina sidrenja 5.2.3. Sidrenja 5.2.3.2. Vrste sidrenja 5.2.3.3. Poprečna armatura usporedna s površinom betona 5.2.3.4. Potrebna duljina sidrenja 5.2.3.4.1. Šipke i žice 5.2.3.4.2. Mreže od rebrastih šipki 5.2.3.4.3. Mreže od glatkih šipki 5.2.3.5. Sidrenje s pomoću mehaničkih naprava 5.2.4. Nastavci 5.2.4.1. Nastavci šipki ili žica na preklop 5.2.4.1.1. Raspored nastavaka na preklop 5.2.4.1.2. Poprečna armatura 5.2.4.1.3. Duljina preklopa 5.2.4.2. Nastavci zavarenih mreža od rebrastih šipki 5.2.4.2.1. Nastavci glavne armature 5.2.4.2.2. Nastavci poprečne armature 5.2.5. Sidrenje spona i poprečne armature 5.2.6. Dodatna pravila za rebraste šipke nazivnoga promjera većeg od 32 mm

Page 5: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

5

5.2.6.1. Oblikovanje 5.2.6.2. Prianjanje 5.2.6.3. Sidrenja i nastavci 5.2.7. Snopovi od rebrastih šipki 5.2.7.1. Općenito 5.2.7.2. Sidrenja i nastavci 5.3. Natege 5.3.1. Raspored natega 5.3.2. Zaštitni sloj 5.3.3. Horizontalni i vertikalni razmak 5.3.3.1. Prethodno napinjanje 5.3.3.2. Naknadno napinjanje 5.3.4. Sidra i spojke natega 6. KONSTRUKCIJSKI ELEMENTI 6.1. Stupovi, tlačni elementi 6.1.1. Najmanje izmjere 6.1.2. Uzdužna armatura 6.1.3. Poprečna armatura 6.2. Grede 6.2.1. Uzdužna armatura 6.2.1.1 Najmanji i najveći postotak armiranja 6.2.1.2. Daljnji podaci za razradbu pojedinosti 6.2.1.3. Duljina uzdužne vlačne armature 6.2.1.4. Sidrenje donje armature na krajnjem ležaju 6.2.1.5 Sidrenje donje armature na unutarnjim ležajevima 6.2.2. Poprečna armatura 6.2.3. Torzijska armatura 6.2.4. Potpovršinska armatura

Page 6: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

6

6.3. Pune ploče betonirane na gradilištu 6.3.1. Najmanja debljina 6.3.2. Armatura za savijanje 6.3.2.1. Općenito 6.3.2.2. Armatura ploča na osloncima 6.3.2.3. Torzijska armatura u uglovima 6.3.2.4. Armatura na slobodnim krajevima 6.3.3. Armatura za preuzimanje posmičnih naprezanja 6.4. Kratke konzole 6.5. Visokostjeni nosači 6.6. Područje sidrenja za sile pri naknadnom napinjanju 6.7. Armiranobetonski zidovi 6.7.1. Općenito 6.7.2. Vertikalna armatura 6.7.3. Horizontalna armatura 6.7.4. Poprečna armatura 6.8. Posebni skučajevi 6.8.1. Djelomično opterećene površine 6.8.2. Skretne sile 6.8.3. Neizravni oslonci

Page 7: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1. OPĆENITO O BETONU 1.1. UVOD Betonske se konstrukcije pojavljuju u drugoj polovici 19. stoljeća. Beton ima relativno veliku tlačnu čvrstoću (oko 30 MPa, mada se može postići i puno veća čvrstoća), dok mu je vlačna čvrstoća otprilike 10 puta manja. Zbog toga se betonu dodaje čelik (armatura) koja prima vlačna naprezanja, dok beton prima tlačna naprezanja.

Slika 1.1. Armiranobetonska greda Takav materijal se zove armirani beton, koji je prema toma kombinacija betona i čelika. Beton je kvazi-krti materijal, dok je čelik elasto-plastičan matrijal. Beton ima malu vlačnu čvrstoću, dok mu je tlačna čvrstoća otprilike 10 puta veća. Nakon dostizanja tlačne čvrstoće betona dolazi do omekšanja materijala i na kraju dolazi do sloma. Za razliku od betona, čelik je materijal koji se ponaša gotovo isto i u tlaku i u vlaku. Nakon što naprezanje u čeliku dođe do granice popuštanja dolazi do povećanja

1

Page 8: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2

deformacije bez prirasta naprezanja. Nakon toga ulazimo i u područje ojačanja, sve do loma. Efikasno sudjelovanje betona i čelika omogućeno je zbog: - beton pri stvrdnjavanju dobro prijanja uz čelik - beton i čelik imaju približno jednake temperturne koeficijente širenja - beton štiti čelik od korozije Betonske konstrukcije od prednapetog betona su sljedeći korak u poboljšavanju svojstava betona, kod kojeg se umjetnim putem (prednapetim kablovima) u beton uvode naprezanja suprotnog predznaka od onih u eksploataciji. Uspiješno korištenje prenapetog betona počinje početkom 20. stoljeća. Prednosti armiranog betona su: - nezapaljivost - trajnost - neznatni troškovi održavanja - mogućnost izrade najraznovrsnijh oblika - otpornost prema potresu Nedostaci armiranog betona su: - znatna vlastita težina - relativno velika provodljivost zvuka i topline - otežani radovi zimi - pukotine

Page 9: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 1.2. Dvije mogućnosti razaranja kocke

Slika 1.3. Dijagram odnosa σc/fck i deformacija ovisno o trajanju viskog tlaka

3

Page 10: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1.2. NAPONSKA STANJA I VRSTE SLOMA Promatrati ćemo gredu od armiranog betona opterećenu koncentriranom silom u sredini proste grede. Idući od ležaja prema sredini nosača vide se tri različita naponska stanja, poznata u armiranom betonu kao naponska stanja I,II i III.

Slika 1.4. Naponska stanja Za naposko stanje I naprezanja u betonu i armaturi su mala, te vrijedi linearna raspodjela naprezanja. Kraj naponskog stanja I (Ia) označuje da je vlačna čvrstoća betona betona pred iscrpljenjem, pa raspodjela napreznja u vlaku ide po krivulji, dok je raspodjela tlačnih naprezanja linearna. Naposko stanje II karakteristično je po tome što u vlačnoj zoni nastaju pukotine i vlačna se se zona isključuje iz

1

Page 11: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2

nosivosti, raspodjela tlačnih naprezanja u tlaku ide već po krivulji. Naponsko stanje III (stanje neposredno pred slom) karakteristično je po tome što raspodjela tlačnih naprezanja naprezanja ima oblik krivulje, a u vlačnoj zoni, kao i kod naponskog stanja II, nastaju pukotine još veće i dosežu neutralnu os. Tlačna zona se smajuje i neutrlana os putuje prema gore. Način sloma armiranobetonskog elementa ovisi o postotku armiranja, o djelovanju reznih sila i o mehaničkim karakteristikama betona i čeika. Slom presjeka savijanjem s uzdužnom silom i bez nje može nastati zbog: - iscrpljnja vlačne armature - iscrpljnja betona na tlak - istodobnog iscrpljnja vlačne armature i iscrpljenja betona na tlak Slom zbog iscrpljenja armature može nastati zbog dva razloga: - u prvome količina armature nije dovoljna da preuzme vlačna naprezanja pri pojavi prve pukotine na prijelazu iz naponskog stanja Ia u II, slom je trenutan, da se takav slom ne dogodi, potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom - u drugome slom se pojavljuje zbog iscrpljenosti armature, ali sloma presjeka nema nakon pojave prve pukotine već mu prethode sve veće pukotine i naglašene deformacije armature u vlačnoj zoni (duktilan slom)

Page 12: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3

Slom zbog iscrpljenosti betona (neduktilan slom) nastaje uz relativno veći postotak armiranja, pri čemu naprezanja u čeliku ne dostižu granicu popuštanja. Tu slom može biti iznenadan, bez naglašenih pukotina i većih deformacija. Treći oblik sloma, zbog istodobne iscrpljenosti vlačne armature i betona (balansirani slom) nastaje uz prethodne naglašene deformacije i pukotine. Preporučuje se dimenzioniranje uz pretpostavku istodobne iscrpljenosti armature i betona, ili još bolje, radi osiguranja duktilnosti, samo čelika.

Page 13: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

2. OSNOVE PRORAČUNA 2.1. GRANIČNA STANJA I PROČUNSKE SITUACIJE Granična stanja su krajnja stanja pri kojima konstrukcija još zadovoljava projektirane zahtjeve. Razlikuju se: - granična stanja nosivosti - granična stanja uporabljivosti Granična stanja nosivosti stanja su koja u vezi s rušenjem ili drugim oblicima otkazivanja nosivosti mogu ugroziti sigurnost ljudi. Granična stanja nosivosti sadrže: - gubitak ravnoteže konstrukcije ili jednog od njezinih dijelova promatranih kao kruta tijela - otkazivanje, zbog prekomjernog deformiranja, preko sloma ili gubitka stabilnosti konstrukcije ili jednoga njezinog dijela, uključujući ležajeve i temelje Granična stanja uporabljivosti ona su stanja kod čijih prekoračenja više nisu ispunjeni propisani uvjeti uporabljivosti. Granična stanja uporabljivosti, koja se moraju razmotriti obuhvaćaju: - deformiranja ili progibe koji utječu na izgled ili predviđenu uporabu konstrukcije (uključujući smetnje u pogonu na strojevima i uređajima) ili koja prouzrokuju štete na površini betona ili na nenosivim dijelovima - vibracije koje izazivaju nelagodu kod ljudi, štete na građevini ili njezinim uređajima ili koje ograničavaju njezinu funkcionalnost - pukotine u betonu koje mogu utjecati na izgled, trajnost ili vodonepropusnost

Page 14: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2

- oštećenja betona zbog prekomjernoga tlačnog naprezanja koja mogu dovesti do smanjenja trajnosti. Proračunske situacije dijele se na: - stalne situacije koja odgovaraju normalnim uvjetima uporabe konstrukcije - prolazne situacije, npr. za vrijeme gradnje ili popravka - izvanredne situacije.

Page 15: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

2.2. DJELOVANJA Djelovanje (F) je: - sila (opterećenje) koja djeluje na konstrukciju (izravno djelovanje) ili - prisila (neizravno djelovanje), npr. zbog djelovanja temperature ili slijeganja. Djelovanja se dijele: a) prema vremenskoj promjenljivosti: - stalna djelovanja (G), npr. vlastita težina konstrukcije, opreme; nenosivih dijelova i tehničkih uređaja - promjenljiva djelovanja (Q), npr. uporabno opterećenje, opterećenje vjetrom ili snijegom - izvanredna djelovanja (A), npr. eksplozija ili udar vozila. b) prema prostomoj promjenljivosti: - nepomična djelovanja, npr. vlastita težina - slobodna djelovanja, koja proizlaze iz različitih položaja djelovanja, npr. slobodna uporabna opterećenja, vjetar, snijeg itd. Prednapinjanje (P) je stalno djelovanje, ali se iz praktičnih razloga obrađuje odvojeno. Prisilna su djelovanja ili stalna djelovanja Gind (npr. slijeganje ležajeva) ili promjenljiva djelovanja Qind (npr. temperatura) i primjereno se obrađuju. Karakteristične vrijednosti Fk određene su: - u Eurokodu 1, za djelovanja ili u drugoj pripadnoj normi za opterećenja ili - od strane investitora ili projektanta konstrukcije u suglasnosti s investitorom. Pritom treba uzeti u obzir

Page 16: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

najmanje zahtjeve koji su određeni u pripadnim normama ili od strane mjerodavnih ustanova. Kod stalnih djelovanja s velikim koeficijentima varijacije ili kod djelovanja koja se mogu promijeniti tijekom vijeka uporabe konstrukcije (npr. kod nekih stalnih opterećenja koja se zbrajaju) razlikuju se dvije karakteristične vrijednosti, gornja vrijednost (Gk,sup) i donja vrijednost (Gk,inf). Inače je dovoljna jedna karakteristična vrijednost (Gk). Kod promjenljivih djelovanja karakteristična vrijednost (Qk) odgovara ili: - gornjoj vrijednosti koja uz zadanu vjerojatnost neće biti prekoračena ili donjoj vrijednosti koja uz zadanu vrijednost neće biti dostignuta. Na ovim graničnim vrijednostima temelji se dotično razdoblje koje je određeno predviđenim vijekom uporabe konstrukcije ili pretpostavljeno trajanje proračunske situacije ili - propisana vrijednost.

,

Kod izvanrednih djelovanja karakteristična vrijednost Ak (ako je ta vrijednost mjerodavna) općenito odgovara utvrđenoj vrijednosti. Najvažnija reprezentativna vrijednost promjenljiva djelovanja jest karakteristična vrijednost Qk. Daljnje reprezentativne vrijednosti izražavaju se s pomoću karakteristične vrijednosti Qk uz primjenu koeficijenata ψi. Te vrijednosti definirane su na ovaj način: - kombinacijska vrijednost ψ0 Qk

- učestala vrijednost ψ1 Qk

2

Page 17: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- nazovistlana vrijednost ψ2 Qk Tablica 2.1. Koeficijenti kombinacije opterećenja

Proračunska vrijednost Fd nekog djelovanja dobiva se prema izrazu Fd = γF Fk . Primjeri su: Gd = γG Gk

Qd = γQ Qk ili Qd = γQ ψi Qk

Ad = γA Ak (ako Ad nije izravno propisan) Pd = γP Pk

Gk- karakteristična vrijednost stalnog djelovanja Qk- karakteristična vrijednost promjenljivog djelovanja Ak- karakteristična vrijednost izvanrednog djelovanja Pk- karakteristična vrijednost prednaprezanja γF -parcijalni koeficijent sigurnosti za djelovanja F γG-parcijalni koeficijent sigurnosti za stalna djelovanja G γQ-parcijalni koeficijent sigurnosti za promjenljiva djelovanja Q 3

Page 18: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

4

γA-parcijalni koeficijent sigurnosti za izvanredna opterećenja A γP-parcijalni koeficijent sigurnosti za djelovanja sila prednapinjanja P

Page 19: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2.3. SVOJSTVA GRADIVA Svojstvo gradiva dano je karakterističnom vrijednošću Xk, koja općenito odgovara određenoj fraktili u pretpostavljenoj statističkoj raspodjeli promatranog svojstva. Ta se fraktila pritom određuje prema utvrđenim normama i ispituje pod utvrđenim uvjetima. U određenim se slučajevima kao karakteristična vrijednost primjenjuje nazivna vrijednost. Čvrstoća gradiva može imati dvije različite karakteristične vrijednosti, gornju i donju vrijednost. U većini slučajeva treba uzimati u obzir donju vrijednost. U određenim slučajevima preporučuje se, ovisno o obrađivanom problemu, pretpostaviti različite vrijednosti. Ako je potrebna procjena gornje vrijednosti čvrstoće (npr. za vlačnu čvrstoću betona kod naprezanja kao posljedica prisilnih sila, može biti potrebno uvesti gornju nazivnu vrijednost.

Slika 2.1. Normalna krivulja raspodjele tlačne čvrstoće betona

1

Page 20: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Proračunska vrijednost Xd za svojstvo gradiva dobiva se općenito iz:

M

kd

XXγ

=

γM -parcijalni koeficijent sigurnosti za svojstvo gradiva

2

Page 21: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2.4. GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI Ako nastupi stanje sloma ili prekomjerno deformiranje jednoga poprečnoga presjeka dijela građevine ili spoja (izuzev zamora), treba dokazati da je Sd ≤ Rd

Pritom je Sd proračunska vrijednost neke unutarnje sile ili momenta (odnosno odgovarajućeg vektora više unutarnjih sila ili momenata), a Rd pripadna proračunska vrijednost otpora (nosivosti), u koju ulaze sva svojstva konstrukcije s odgovarajućim proračunskim vrijednostima. Tablica 2.2. Proračunske vrijednosti djelovanja

Proračunske vrijednosti navedene u tablici 2.2. treba kombinirati za provjere uz primjenu ovih jednadžbi (navedenih u simboličkom obliku): - stalna i prolazna proračunska situacija, osim pri provjeri zamora i prednapinjanja (osnovna kombinacija)

1

Page 22: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

∑ ∑>

++1

,,0,1,1,,,i

ikiiQkQjkjG QQG ψγγγ

- izvanredna proračunska situacija (ako nije drugačije određeno) ∑ ∑

>

+++1

,,21,1,1,,i

ikikdjkjGA QQAG ψψγ

Gk,j - karakteristične vrijednosti stalnih djelovanja Qk,1 - karakteristična vrijednost prevladavajućega promjenljivoga djelovanja Qk,i - karakteristične vrijednosti drugih (ostalih) promjenljivih djelovanja Ad - proračunska vrijednost (utvrđena vrijednost) izvanrednoga djelovanja γG,j - parcijalni koeficijent sigurnosti za stalno djelovanje γGA,j - kao i γG,j ali za izvanredne proračunske situacije γQ,j - parcijalni koeficijenti sigurnosti za promjenljivo djelovanje ψ0, ψ1, ψ2 -koeficijenti Kombinacije izvanrednih proračunskih situacija obuhvaćaju, ili određeno izvanredno djelovanje A (npr. udar, potres) ili se odnose na stanje koje nastupa poslije izvanrednoga događaja (A=0). Ako nije drugačije navede-no, može se primijeniti γGA=1. Parcijalni koeficijenti sigurnosti sigurnosti za djelovanja na konstrukcije za stalne i prolazne proračunske situacije dani su u tablici 2.3. 2

Page 23: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Tablica 2.3.Parcijalni koeficijenti sigurnosti za djelovanja za stalne i prolazne situacije

U različitim naprijed određenim kombinacijama potrebno je uvesti ona stalna djelovanja koja pojačavaju učinak promjenljivih djelovanja (djeluju nepovoljno) s gornjim vrijednostima. Nasuprot tome, za ona djelovanja koja slabe učinak promjenljivih djelovanja (djeluju povoljno) mjerodavne su donje vrijednosti, mora se primijeniti ili gornja ili donja proračunska vrijednost (koja je nepovoljnija) za cijelu konstrukciju. Ako su rezultati provjere na različitim mjestima u konstrukciji u velikoj mjeri ovisni o oscilacijama veličine stalnog djelovanja, treba promatrati nepovoljne i povoljne udjele tih stalnih djelovanja kao samostalna djelovanja. To naročito vrijedi za dokaz statičke ravnoteže. U naprijed navedenim slučajevima potrebno je rabiti različite vrijednosti za γG. Ako se povoljni i nepovoljni udjeli stalnoga djelovanja trebaju promatrati kao samostalna djelovanja prema točki, treba povoljnom udjelu pridružiti koeficijent γG,inf=0.9 a nepovoljnom γG,inf=1.1. 3

Page 24: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Stalna i prolazna proračunska situacija (osnovna kombinacija) može se zamijeniti izrazima: - za proračunske situacije s jednim promjenljivim djelovanjem Qk,1

∑ ⋅+ 1,,, 5.1 kjkjG QGγ - za proračunske situacije s dva ili više promjenljivih djelovanja Qk,i ∑ ∑

⋅+1

,,, 35.1i

ikjkjG QGγ

Mjerodavna je nepovoljnija vrijednost, tj. ona koja daje veće naprezanje, odnosno veću armaturu. Parcijalni koeficijenti sigurnosti za gradiva dani su u tablici 2.4. Tablica 2.4. Parcijalni koeficijenti sigurnosti za svojstva gradiva

4

Page 25: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2.5. GRANIČNA STANJA UPORABLJIVOSTI Treba dokazati da je: Ed ≤ Cd gdje je: Cd - nazivna vrijednost koja se odnosi na promatrane proračunske učinke ili funkcija određenih svojstava gradiva Ed - proračunska vrijednost učinka opterećenja jedne od kombinacija koje slijede. Mjerodavna kombinacija određuje se u poglavlju u kojem se provjerava uporabljivost. Tri kombinacije djelovanja za granična stanja uporabljivosti definiraju se ovim izrazima: Rijetka kombinacija: ∑ ∑

>

+++1

,,01,, )(i

ikikjk QQPG ψ

Česta kombinacija: ∑ ∑

>

+++1

,,21,1,1, )(i

ikikjk QQPG ψψ

Nazovistalna (kvazistalna) kombinacija: ∑ ∑

++1

,,2, )(i

ikijk QPG ψ

1

Page 26: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Ako su granična stanja uporabljivosti obuhvaćena točnijim proračunima, mogu se kod zgrada primijeniti pojednostavnjeni izrazi. Rijetke kombinacije djelovanja mogu se kod zgrada pojednostaviti ovim izrazima, koji se mogu primijeniti i za česte kombinacije: - proračunske situacije sa samo jednim promjenljivim djelovanjem Qk,1 : ∑ ++ 1,, )( kjk QPG - proračunske situacije s dva ili više promjenljivih djelovanja Qk,i ∑ ∑

++1

,, 9.0)(i

ikjk QPG

Treba odabrati onu kombinaciju koja daje veću vrijednost. Ako u posebnim točkama nije drugačije određeno, vrijedi γM = 1.0.

2

Page 27: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2.6. BETON Obični je beton koji ima gustoću nakon sušenja (pri 105 °C) veću od 2000 kg/m3, ali najviše 2800 kg/m3. Za gustoću običnoga betona može se uzeti: - ρ = 2400 kg/m3 za nearmirani beton - ρ = 2500 kg/m3 za armirani i prednapeti beton s uvriježenim postotkom armiranja. Tlačna čvrstoća betona zasnovana na karakterističnoj tlačnoj čvrstoći valjka fck, definiranoj kao čvrstoća ispod koje se može očekivati 5 % svih mogućih rezultata ispitivanja čvrstoće danoga betona. Pravila dimenzioniranja temelje se isključivo na karakterističnoj tlačnoj čvrstoći valjka (promjera 15 cm i visine 30 cm), fck, starosti 28 dana. Tlačna čvrstoća kocke, fck,cube (15x15x15 cm) navodi se samo kao druga mogućnost.

Slika 2.2. Normalna krivulja raspodjele tlačne čvrstoće betona fck - karakterističnoj tlačnoj čvrstoći betonkog valjka starog 28 dana 1

Page 28: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

fck,cube - karakterističnoj tlačnoj čvrstoći betonke kocke stare 28 dana Srednja tlačna čvrstoća betonskog valjka fcm dobije se iz: fcm = fck + 8 (N/mm2) Ako nema točnih vrijednosti, može se srednju i karakteristične vrijednosti vlačne čvrstoće betona za dimenzioniranje uzeti prema formulama:

3/230.0 ckctm ff =

ctmctk ff 7.005.0, =

ctmctk ff 3.195.0, = fctm - srednja vlačna čvrstoća fctk,0.05 - donja granična karakteristična vlačna čvrstoća (5 %-tna fraktila) fctk,0.95 - gornja granična karakteristična vlačna čvrstoća (95 %-tna fraktila) Tablica 2.5. Razredi betona i čvrstoće

2

Page 29: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Beton se dijeli na razrede prema tlačnoj čvrstoći valjka fck ili kocke fck,cube. U tablici 2.5. dane su karakteristične čvrstoće fck i odgovarajuće vlačne čvrstoće za različite razrede betona. Razrede betona ispod C12/15 ili iznad C50/60 dopušteno je primjenjivati u građenju armiranim i prednapetim betonam samo onda kad je njihova primjena dostatno utemeljena. Ako nema odgovarajućih vrijednosti ili se ne zahtijeva visoka točnost, za zadani razred betona mogu se uzeti srednje vrijednosti sekantnog modula Ecm prema tablici 2.6. Vrijednosti u ovoj tablici vrijede od σc = 0 do σc = 0.4 fck (σc - tlačno naprezanje betona).

3

)

( 3/185.9 += ckcm fE (Ecm u kN/mm2 i fck u N/mm2) Tablica 2.6. Sekantni modul elastičnosti Ecm

Page 30: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 2.3. Radni dijagram betona Dopušteno je u proračunu uzeti da je Poissonov omjer (koeficijent) pri elastičnim deformacijama jednak 0.2. Ako je pri vlačnim naprezanjima u betonu dopuštena pojava pukotina, može se uzeti da je Poissonov omjer jednak nula. Kad je toplinska deformacija od malog značenja, dopušteno je u proračunu uzeti veličinu 10 x 10-6 K-1. Beton koji stvradnjava na zraku smanjuje volumen, tj. on se skuplja, a pod vodom beton povećava svoj voluen, tj.buja. Puzanje se može definirati kao povećanje deformacije pri konstantnom naprezanju.

4

Page 31: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 2.4. Razvoj deformacije betona s vremenom Puzanje i skupljanje betona ovise uglavnom o vlažnosti okoliša, dimenzija konstrukcijskog elementa i sastava betona. Na puzanje utječe još i stupanj zrelosti betona (starost betona) kod prvog nanošenja opterećenja kao i trajanje i veličina opterećenja. Kod procjene koeficijenta puzanja φ(t, t0) i osnovne deformacije od skupljanja εcs treba te utjecaje uzeti u obzir. Ako se ne traži posebna točnost, mogu se rabiti vrijednosti za konačnu vrijednost koeficijenta puzanja φ(∞, t0) i za konačnu vrijednost deformacije od skupljanja εcs∞ za obični beton navedene u tablicama 2.7. odnosno 2.8. Vrijednosti su primjenljive za tlačna naprezanja ne veća od 0.45fck kod starosti t0 na početku opterećenja. Konačna vrijednost koeficijenta puzanja φ(∞, t0) iz tablice 2.7. odnosi se na Ecm iz tablice 2.6. Vrijednosti navedene u tablici 2.7. i 2.8. vrijede za srednju temperaturu betona između 10 °C i 20 °C. Stoga su dopuštene oscilacije temperature ovisne o godišnjim dobima između -20 °C i +40 °C. Istodobno su dopuštena 5

Page 32: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

odstupanja od relativnih vlažnosti zraka iz tablica 2.7. i 2.8. između RH = 20 % i RH = 100 %. Tablica 2.7. Konačne vrijednosti koeficijenta puzanja Φ(∝,t0)

Tablica 2.8.Konačne vrijednosti deformacije od skupljanja εcs∝

Pri dimenzioniranju presjeka prednost se daje idealiziranom dijagramu naprezanje-deformacija u obliku parabola-pravac prikazanom na slici 2.5. U tom dijagramu uzeto je εcu=-0.0035 kao najveća deformacija (apsolutna vrijednost). Tlačna naprezanja i tlačne deformacije uvrštavaju se s negativnim predznakom.

6

Page 33: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 2.5. Računski dijagram betona (parabola-pravac) Proračunska čvrstoća betona fcd dobije se iz:

c

ckcd

ffγ

=

I drugi idealizirani dijagrami naprezanje-deformacija mogu se rabiti ako su istovrijedni dijagramu parabola-pravac u odnosu na oblik tlačnoga područja presjeka (npr. bilinearni dijagram prema slici 2.6.).

7

Page 34: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 2.6. Računski dijagram betona (bilinearni) Proračunski dijagram dobiven je iz idealiziranoga tako što je ordinata naprezanja idealiziranoga dijagrama pomnožena faktorom α/γcgdje je: - γc - parcijalni koeficijent sigurnosti za beton - α - koeficijent manji od jedinice kojim se uzima u obzir učinak dugotrajnih djelovanja na tlačnu čvrstoću i druga nepovoljna djelovanja koja proizlaze iz načina nanošenja opterećenja. Za koeficijent a pri tlačnom naprezanju može se uzeti vrijednost 0.85.

Smije se rabiti i dijagram s pravakutnam raspodjelom naprezanja (kao na slici 2.7.). Vrijednost za koeficijent α=0.85 ne vrijedi ako se širina tlačnoga područja smanjuje približavanjem rubnam vlaknu s najvećom tlačnom deformacijom. Tada za α treba uzeti 0.80.

8

Page 35: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 2.7. Pravokutnik naprezanja

Slika 2.8. Računski dijagram betona (parabola-pravac)

9

Page 36: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2.7. BETONSKI ČELIK (ARMATURA) Vlačna čvrstoća (ft), granica popuštanja (fy), omjer vlačne čvrstoće i granice popuštanja (ft/fy), deformacija pri najvećoj sili (εu) i svedena ploština rebara (fR) moraju biti navedeni u odgovarajućim normama i moraju se dokazati normiranim ispitnim postupcima. Za čelike prema ovoj normi treba granicu popuštanja, vlačnu čvrstoću, omjer vlačne čvrstoće i granice popuštanja, deformaciju pri najvećoj sili i svedenu ploštinu rebara navesti kao karakteristične vrijednosti; te se veličine označavaju s fyk, ftk, (ft / fy)k, εuk, fRk.

Slika 2.9. Radni dijagram armature Definiraju se dva razreda duktilnosti: - visoka (razred H) - normalna (razred N) 1

Page 37: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Prema prionjivosti čelici se dijela na: - rebrasti čelik visoke prionljivosti - glatki čelik umjerene prionljivosti.

Slika 2.10. Radni dijagram armature Dopušteno je računati s ovim srednjim vrijednosti: - gustoća 7850 kg/m3 - toplinski koeficijent: 10 x10-6 K-1

Za dimenzioniranje dopušteno je uzeti primjerenu sposobnost deformacije, kad proizvodi ispunjavaju ove zahtjeve duktilnosti: - visoka duktilnost: εuk > 5 % (ft / fy)k > 1.08 - normalna duktilnost: εuk > 2.5 % (ft, / fy)k > 1.05 Tu εuk označava karakterističnu deformaciju pri najvećoj sili.

2

Page 38: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Dopušteno je uzeti srednju vrijednost modula elastičnosti od 200 kN/mm2. Za proračun unutarnjih sila može se rabiti idealizirani bilinearni dijagram prema slici 2.11. Ovaj dijagram vrijedi za temperature od -20 °C do 200 °C.

Slika 2.11. Računski dijagram armature Slika 2.11. može se preinačiti, npr. položenijom ili horizontalnom gornjom crtom za lokalne (mjesne) dokaze i za dimenzioniranje presjeka.

3

Page 39: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 2.12. Računski dijagram armature B-500 Proračunske vrijednosti dobivene su iz idealiziranoga karakterističnoga dijagrama tako što su podijeljene s parcijalnim koeficijentom sigurnosti γs za betonski čelik.

s

ykyd

ff

γ=

fyd - proračunska granica popuštanja armature fyk - karakteristična granica popuštanja armature γs - parcijalnim koeficijentom sigurnosti γs za armaturu Za dimenzioniranje presjeka može se rabiti jedna od ove dvije pretpostavke: - horizontalna gornja crta dijagrama iz slike 2.11., tj. naprezanje armature ograničuje se na fyk/γs a deformacija se čelika εs ne ograničuje iako u nekim slučajevima može biti svrhovito da se ona ograniči na 0.020 (20 promila)

4

Page 40: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- nagnuta gornja crta s ograničenom deformacijom čelika od 0.01 (10 promila).

Slika 2.13. Razne vrste armature

5

Page 41: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2.8. ZAŠTITNI SLOJ Prema EC2 ovisno o uvetima okoliša definirani su razredi izloženosti. Tablica 2.9. Razredi izloženosti

Zaštitni se sloj proteže između vanjske plohe armature (uključujući i spone) i najbliže vanjske betonske plohe. Najmanja debljina zaštitnog sloja treba biti takva da se osigura: - siguran prijenos sila prionjivošću - da ne dođe do odlamanja betona - propisana zaštita od požara 1

Page 42: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- zaštita čelika od korozije

Slika 2.14. Zaštitni sloj Prvo se mora odrediti najmanja debljina zaštitnog sloja (cmin) zbog zaštite armature od korozije. Ona se treba povećati za određenu veličinu (∆h), koja ovisi o veličini i vrsti elementa, o vrsti konstrukcije, o izvedbi i provjeri kakvoće, kao i o razradbi pojedinosti. Rezultat je nazivna veličina zaštitnog sloja (cnom), koja mora biti dana u nacrtima armature.

hccnom ∆+= min Najmanja debljina zaštitnog sloja do spona (cmin) ne treba za mjerodavne razrede izloženosti prema tablici 2.9. biti manja od odgovarajućih vrijednosti danih u tablici 2.10. Za predgotovljene elemente dodatak debljine zaštitnog sloja iznosi općenito [0 mm < ∆h < 5 mm], ako se te vrijednosti mogu jamčiti u okviru provjere pri izradbi i ako je to potvrđeno u okviru provjere kakvoće. Za izvedbu na mjestu dodatak iznosi [5 mm < ∆h <10 mm].

2

Page 43: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Tablica 2.10. Zahtjevi za najmanjom debljinom zaštitnog sloja

Za beton koji se ugrađuje na neravnu podlogu najmanju debljinu zaštitnog sloja danu u tablici 2.10. treba općenito povećati. Npr. za beton lijevan izravno na zemlju, najmanja debljina zaštitnog sloja treba biti veća od c > 75 mm. Za beton koji se lijeva na uređenu površinu zemlje (uključujući i betonsku podlogu) najmanja debljina zaštitnog sloja treba biti veća od c > 40 mm. Osim provjere nazivne debljine zaštitnog sloja (cnom) zbog zaštite armature od korozije, potrebno je dovoljan zaštitni sloj betona za siguran prijenos sila prionjivošću s armature na beton. Za siguran prijenos sila prionjivošću te za osiguranje propisane zbijenosti betona debljina zaštitnog sloja promatranih šipki ili natega ne smije biti manja od: - φ ili φn kada je dg<32 mm - ili (φ + 5 mm) ili (φn + 5 mm) kada je dg> 32 mm 3

Page 44: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

gdje je: - φ - promjer betonskog čelika, natega ili cijevi (naknadno napinjanje) - φn - usporedni promjer snopa šipki - dg - nazivna vrijednost najvećeg zrna agregata.

nn ⋅= φφ - n - broj šipki u snopu Za prethodno napete elemente najmanja debljina zaštitnog sloja ne smije biti manja od 2φ, gdje je φ nazivni promjer natege. Kada se rabe rebraste žice, najmanja debljina zaštitnog sloja ne smije biti manja od c≥ 3φ. Za naknadno napete elemente najmanja debljina zaštitnog sloja ne treba biti manja od vanjskoga promjera cijevi. Za pravokutne cijevi zaštitni sloj ne smije biti manji od manje stranice ili polovice veće stranice cijevi.

4

Page 45: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2.9. PRORAČUNSKI RASPONI GREDA I PLOČA Proračunski raspon (leff) elementa računa se kako slijedi: leff = ln + al + a2pri čemu je ln svijetli otvor između ležajeva. Vrijednosti a1 i a2 na svakom kraju polja određuju se iz pripadajućih vrijednosti ai prema slici 2.15.

Slika 2.15. Proračunski raspon leff

1

Page 46: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

3. GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI 3.1. PRORAČUN ELEMENAT NAPEZANIH SAVIJANJEM 3.1.1. Jednostruko armirani presjek 3.1.1.1. Dimenzioniranje pravokutnog presjeka Kod određivanja granične nosivosti presjeka, rabe se ove pretpostavke: - ravni presjeci ostaju ravni - deformacije armature spregnute s betonom u vlačnom i tlačnom području betonskoga presjeka jednake su deformaciji betonskog vlakna koje se nalazi u istoj razini - vlačna čvrstoća betona se zanemaruje - raspodjela tlačnih naprezanja betona odgovara proračunskom dijagramu naprezanje - deformacija - naprezanja u betonskom čeliku ili čeliku za prednapinjanje izvode se iz proračunskog dijagrama naprezanje - deformacija - treba uzeti u obzir prethodne deformacije kod utvrđivanja naprezanja u nategama u graničnom stanju nosivosti - za presjeke naprezane samo uzdužnom silom tlačna deformacija betona ograničava se na -0.002 - za presjeke koji nisu po cijeloj visini naprezani na tlak tlačna deformacija betona ograničava se na -0.0035. Za prijelazno područje uzima se takav dijagram raspodjele deformacija da se tlačna deformacija od -0.002 nalazi na udaljenosti 3/7 visine presjeka od vanjskoga tlačnog ruba.

Page 47: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.1. Dijagram deformacija u graničnom stanju nosivosti

Slika 3.2. Dijagram deformacija u graničnom stanju nosivosti Za dimenzioniranjem presjeka koristiti ćemo uvjet ravnoteže:

RdSd MM = MSd - računski moment savijanja MRd - računski moment nosivosti presjeka

2

Page 48: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

zFM cRd ⋅= zFM sRd ⋅= 1

Slika 3.3. Jednostruko armirani pravokutni presjek b - širina presjeka h - visina presjeka d - statička visina As1 - površina vlačne armature Iz sume horizontalnih sila izlazi:

1sc FF = bxfF vcdc ⋅⋅⋅⋅= α85.0 - računska tlačna sila u betonu

111 sss AF σ⋅= - računska vlačna sila u armaturi ydsss fE ≤⋅= 11 εσ - naprezanje u armaturi

Koeficijent punoće (αv) i koeficijent položaja tlačne sile (ka) za računski dijagram parabola+pravac dobije se: -za 0< 2cε <0.002

( ))10006(4

1000810006

121000

2

22

2

c

cac

cv ki

εε

εε

α−−

=−=

3

Page 49: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

-za 0.0002< 2cε <0.0035

)23000(20002)43000(1000

300023000

22

22

2

2

−+−⋅

=−

=cc

cca

c

cv ki

εεεε

εε

α

-za 2cε =0.0035 4160.08095.0 == av kiα

Položaj neutralne osi (x) dobije se iz linearnog odnosa deformacija:

ddxsc

c ⋅=−

= ξεε

ε

12

2 - visina neutralne osi

Krak unutarnjih sila (z) dobije se kao:

ddkdkdxkdz aaa ⋅=⋅⋅−=⋅⋅−=⋅−= ζξξ )1()( Iz sume statičkih momenata s obzirom na težište vlačne sile u armaturi dobije se:

cdcdRdcdv

vcdcRdSd

fdbfdbfdb

dbdfzFMM

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅==222 /))(85.0(

))(85.0(

µζξα

ζξα

Rdcd

SdSd fdb

M µµ =⋅⋅

= 2

cd

SdSd fdb

M⋅⋅

= 2µ – bezdimenzionalna vrijednost momenta

savijanja za djelovanje ζξαµ ⋅⋅⋅= vRd 85.0 –bezdimenzionalna vrijednost momenta

savijanja za nosivost

4

Page 50: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

I sume statičkih momenata s obzirom na težište tlačne sile u betonu dobije se potrebna površina armature:

))(( 111 dAzFMM sssRdSd ⋅⋅=⋅== ζσ

yd

Sds fd

MA⋅⋅

=ζ1

ili iz jednadžbe:

1sc FF = 111 /85.0 sssvcd Abdf σσξα ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

bdfbdfAs

cd

s

cdvs ⋅=⋅⋅⋅= )()85.0(

11

11 σ

ωσ

ξα

ξαω ⋅⋅= v85.01 - mehanički koeficijent armiranja

=1ρ1

1s

cdfσ

ω - koeficijent armiranja vlačne armature

bdAs ⋅⋅= 11 ρ Kako koeficijenti ξ, ζ, ω1, µRd ovise o deformacijama εc i εs1 mogu se napraviti tablice 3.1. za dimenzioniranje. Prema EC2 za kontinuirane nosače kod kojih je omjer raspona susjednih polja manji od 2, za grede horizontalno nepomičnih okvira i za elemente naprezane pretežno na savijanje, za koje se ne predviđa preraspodjela (linearna teorija elastičnosti) valja zadovoljiti kriterij za omjer x/d u kritičnim presjecima, ako se ne poduzmu odgovarajuće konstruktivne mjere (npr. ovijanje armaturom): -x/d = 0.45 za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45

5

Page 51: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

6

-x/d = 0.35 za betone razreda čvrstoće od C 40/50 i više Prema tome, limitirajuće vrijednosti za jednostruko armiranje su: - za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45 ξlim= x/d = 0.45 , µRd,lim=0.252 i ζlim=z/d=0.813 - za betone razreda čvrstoće od C40/50 i više ξlim= x/d = 0.35 , µRd,lim=0.206 i ζlim=z/d=0.854 Kod dimenzioniranja presjeka naprezanih savijanjem i malom uzdužnom silom, zanemaruje se učinak zbog proračunske vrijednosti uzdužne sile, ako ta sila ne premašuje umnožak vrijednosti 0.08 fck i ploštine poprečnoga presjeka.

Page 52: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

7

Tablica 3.1.

Page 53: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

8

Page 54: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

9

Page 55: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

10

Page 56: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

.1.1.2. Dimenzioniranje T-presjeka

zgradarstvu uobičajeno je da je greda ispod ploče, pa se

3 Uprema tome greda može računti kao greda T-presjeka samo za pozitivan moment savijanja (polje), dok se za negativne momente savijanja (ležaj) greda ne može računati kao greda T-presjeka jer je ploča u vlaku.

11

Page 57: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.4. Prikaz nastajanja T-presjeka Proračunska (sudjelujuća) širina ploče uz unutarnje rebro uzima se: beff = bw + 0.20 l0 < b a za rubno rebro (jednostrana ploča s rebrom): beff = bw + 0.10 l0 < bw+b1

Slika 3.5. Proračunska širina ploče beff Razmak l0 između nultočaka momenata može se uzeti iz slike 3.6. uz uvjet: duljina prepusta mora biti manja od polovine duljine susjednoga polja i omjer raspona susjednih polja mora biti između 1 i 1.5.

12

Page 58: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.6. Približni razmaci nul točaka momenata l0Pri dimenzioniranju razlikuju se dvije mogućnosti: 1.) Neutralna os prolazi kroz ploču ili njenim donjim rubom (x<hf).

Slika 3.7. Jednostruko armirani T-presjek Postupak dimenzioniranja je isti kao za pravokutni presjek dimenzija beff/h.

cdeff

SdSd fdb

M⋅⋅

= 2µ

Potrebna će površina armature biti:

yd

Sds fd

MA⋅⋅

=ζ1

2.) Neutralna os prolazi kroz rebro (x>hf).

13

2.a.) Za vitke T-presjeke koji ispunjavaju uvjet beff/ bw>5 i da je hf<0.330d za GA, hf<0.286d za RA, hf<0.264d za B 500, može se zanemariti dio rebra ispod ploče, odnosno

Page 59: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

pretpostavljamo da silu tlaka prenosi samo ploča (εc>|0.002|). z=d-hf/2 Potrebna će površina armature biti:

yd

Sds f

MA⋅

=/2)h-(d f

1

Srednje tlačno naprezanje u ploči treba zadovoljiti uvjet:

cdfeff

Sdcd f

hbM

⋅≤⋅⋅

= 85.0/2)h-(d f

σ

2.b.) Dimenzioniranje T-presjeke za beff/bw<5 provodi se tako da se tlačni dio T-presjeka zamijeni pravokutnikom širine bi kojemu neutralna os prolazi donjim rubom. Širina će zamjenjujućeg T-presjeka biti:

effbi bb ⋅= λ

Slika 3.8. Zamjenjujući T-presjek

14

Page 60: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Koeficijent λb pronaći će se ovisno o odnosima hf/d i beff/bw te o koeficijentu ξ= x/d. Koeficijent ξ=x/d treba u 1. iteraciji pretpostaviti. Tablica 3.2.

Nakon pronalaženja zamjenjujuće širine bi zamjenjujućeg T-presjeka provodi se dimenzioniranje kao za pravokutni presjek bi/h.

cdi

SdSd fdb

M⋅⋅

= 2µ

Nakon toga se iz tablice 3.1. očita proračunati ξ. Proračun se ponavlja u iteracijama sve dok pretpostavljeni i proračunati ξ ne budu probližno isti. Potrebna će površina armature biti:

yd

Sds fd

MA⋅⋅

=ζ1

15

Page 61: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3.1.2. Dvostruko armirani presjek Kada je proračunski momenat savijanja MSd veći od limitiranog momenat savijanja MRd,lim , trebalo bi presjek povećati. Ako to nije moguće presjek se dvostruko armira.

cdRdRdSd fdbMM ⋅⋅⋅=≥ 2lim,lim, µ

Slika 3.9. Dvostruko armirani pravokutni presjek Limitirajuće vrijednosti za jednostruko armiranje su: - za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45 ξlim= x/d = 0.45 , µRd,lim=0.252 i ζlim=z/d=0.813 - za betone razreda čvrstoće od C40/50 i više ξlim= x/d = 0.35 , µRd,lim=0.206 i ζlim=z/d=0.854 Armatura u vlačnoj zoni (As1) sastoji se od one za prihvaćanje limitiranog momenta savijanja i armature za prihvaćanje razlike proračunskog i limitiranog momenta savijanja:

yd

RdSd

yd

Rds fdd

MMfd

MA

⋅−−

+⋅⋅

=)( 2

lim,

lim

lim,1 ζ

16

Page 62: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Tlačna armatura (As2) proračunava se samo za razliku momenata savijanja:

22

lim,2 )( s

RdSds dd

MMA

σ⋅−−

=

gdje je:

ydsss fE ≤⋅= 22 εσ - naprezanje u tlačnoj armaturi

lim

2lim2

/0035.0ξ

ξε dds

−−= - deformacija u tlačnoj armaturi

3.1.3. Najmanji i najveći postotak armiranja Budući da su ploče i grede elementi napezani pretežno na savijanje, dati ćemo najmanji i najveći postotak armiranja uzdužnom armaturom za ploče i grede. Djelotvorna ploština presjeka vlačne armature ne bi smjela biti manja od ploštine presjeka potrebne za ograničavanje širine pukotina (prema točki 4.4.2 EC2), ali niti manja od:

)/6.0(0015.0/6.0 2mmNuifdbfdb yktykt ≥

pri čemu bt označava srednju širinu vlačnoga područja. Kod greda presjeka T treba u proračun za bt staviti samo širinu rebra. Presjeke s manjom armaturom od one koja je navedena u gornoj jednadžbi, treba uzeti kao nearmirana.

17

Page 63: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

18

Ploštine presjeka vlačne ili tlačne armature u pravilu ne smiju biti veće od 0.04Ac uz iznimku područja nastavaka.

Page 64: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3.2. PRORAČUN ELEMENAT NAPEZANIH TLAČNOM SILOM

3.2.1. Centrični tlak Kratki elementi, odnosno oni kojima je vitkost λ=l0/i manja od 25, i ako se zanemare imperfekcije, dimenzioniraju se na centrični tlak. l0 – duljina izvijanja i – polumjer inercije Uvjet nosivosti glasi:

RdSd NN = NSd - računska uzdužna sila

ssccRd AAN σσ ⋅+⋅= - računska nosivost na uzdužnu silu Ac - površina betona σc - naprezanje u betonu As - površina armature σs - naprezanje u armaturi

ssccSd AAN σσ ⋅+⋅= Za punu iskorištenost betona εc=0.002 i armarure εs>fyd/Esdobiva se:

ydscdcSd fAfAN ⋅+⋅⋅= 85.0 Ako nam je poznata povšina betona, površina armature se dobije: 1

Page 65: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

yd

cdcSds f

fANA ⋅⋅−=

85.0

3.2.2. Ekscentrični tlak 3.2.2.1. Postupak Wuczkowski Armiranobetonski elementi, kao što su stupovi, izloženi su složenom naprezanju koje nastaje istodobnim djelovanjem momenta savijanja i uzdužne sile.

Slika 3.10. Ekcentrični tlak-Postupak Wuczkowski Računski moment savijanja s obzirom na težište vlačne armature biti će:

1sSdSdSds zNMM ⋅+= U težištu vlačne armature djelovati će i tlačna sila NSd.

cd

SdsSds fdb

M⋅⋅

= 2µ

2

Page 66: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Limitirajuće vrijednosti za jednostruko armiranje su: - za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45 ξlim= x/d = 0.45 , µRd,lim=0.252 i ζlim=z/d=0.813 - za betone razreda čvrstoće od C40/50 i više ξlim= x/d = 0.35 , µRd,lim=0.206 i ζlim=z/d=0.854 Javljaju se dva slučaja: 1.) Kada je µSds<µRd,lim presjek je jednostruko armiran, dovoljna je samo vlačna armatura (As1).

yd

Sd

yd

Sdss f

Nfd

MA −⋅⋅

=ζ1

2.) Kada je µSds>µRd,lim presjek se dvostruko armira, osim vlačne armature (As1) potrebna je i tlačna armatura (As2).

yd

Sd

yd

RdSds

yd

Rds f

Nfdd

MMfd

MA −

⋅−−

+⋅⋅

=)( 2

lim,

lim

lim,1 ζ

22

lim,2 )( s

RdSdss dd

MMA

σ⋅−−

=

gdje je: ydsss fE ≤⋅= 22 εσ - naprezanje u tlačnoj armaturi

3

Page 67: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

lim

2lim2

/0035.0ξ

ξε dds

−−= - deformacija u tlačnoj armaturi

3.2.2.2. Dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije Dijagrami interakcije dani su za pravokutni presjek. Za dimenzioniranjem presjeka koristiti ćemo uvjet ravnoteže:

RdSd NN = RdSd MM =

Slika 3.11. Ekscentrični tlak-dijagram interakcije

cdssssvcdSd fhbAAbdfN ⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅⋅⋅= :/)(85.0 1122 σσξα

cdssss

avcdSd

fhbdhAdhA

xkhbdfM

⋅⋅−⋅+−⋅+

+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=2

111222 :/)2/()2/(

)2/()(85.0

σσ

ξα

1

2

1

2

ρρβ ==

s

s

AA - odnos površine tlačne i vlačne armature

hbAs

⋅= 1

1ρ - koeficijent armiranja vlačne armature

4

Page 68: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

hbAs

⋅= 2

2ρ - koeficijent armiranja tlačne armature

ωρω ==cd

yd

ff

11 - mehanički koeficijent armiranja vlačne

armature

ωβρω ⋅==cd

yd

ff

22 - mehanički koeficijent tlačne armature

Prema tome gornji izrazi postaju:

)/()/()/(85.0 1122 ydsydsvcd

SdSd ffhd

fhbN σωσωξαν ⋅−⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅

=

)5.0)(/()5.0)(/(

)5.0(85.0

111

222

2

hdf

hdf

khd

hd

fhbM

ydsyds

avcd

SdSd

−⋅−−⋅+

+⋅−⋅⋅=⋅⋅

=

σωσω

ξξαµ

νSd - bezdimenzionalna vrijednost uzdužne sile za djelovanje µSd - bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja za djelovanje Dijagrami interakcije napravljeni su za pravokutni presjek, RA 400/500 i za koeficijent β=As2/ As1= (0.5, 0.6, 0.8, 1.0) te za omjer d1/h=0.1, d1/h=0.1. Postupak proračuna: Najprije se izračuna:

cd

SdSd fhb

N⋅⋅

cd

SdSd fhb

M⋅⋅

= 2µ

5

Page 69: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Iz odgovarajućeg dijagrama interakcije se interpolira (procijeni) mehanički koeficijent armiranja vlačne armature(ω). Površina vlačne armature izračunava se:

hbffA

yd

cds ⋅= ω1

Površina tlačne armature izračunava se: 22 ss AA ⋅= β Dijagrami interakcije mogu se koristiti i za centrični tlak: MSd=0 , NSd , kao i za čisto savijanje: MSd , NSd=0 .

6

Page 70: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.12. Dijagram interakcije – ekscentirčni tlak i vlak (β=1.0) 7

Page 71: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.13. Dijagram interakcije – ekscentirčni tlak i vlak (β=0.8) 8

Page 72: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

9

Page 73: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.14. Dijagram interakcije – ekscentirčni tlak i vlak (β=0.6)

10

Page 74: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.15. Dijagram interakcije – ekscentirčni tlak i vlak (β=0.5) 3.2.3. Najmanji i najveći postotak armiranja Budući da su stupovi elementi napezani pretežno na centrični ili ekscentrični tlak, dati ćemo najmanji i najveći postotak armiranja uzdužnom armaturom za stupove. Promjer armaturnih šipki ne treba biti manji od 12 mm. Najmanja ploština presjeka ukupne uzdužne armature As,min izračunava se iz jednadžbe:

cyd

Sds A

fNA 003.015.0

min, ≥=

gdje je: - fyd - proračunska granica popuštanja betonskog čelika - NSd - proračunska uzdužna sila - Ac - ukupna ploština presjeka betona. Ni u području nastavaka na preklop presjek armature ne treba premašiti gornju graničnu vrijednost 0.08Ac. Uzdužne šipke treba raspodijeliti po opsegu presjeka. U stupovima poligonalnoga presjeka mora u svakom kutu biti najmanje jedna šipka. U stupovima kružnoga presjeka treba postaviti najmanje 6 šipki.

11

Page 75: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3.3. PRORAČUN ELEMENATA NAPEZANIH VLAČNOM SILOM 3.3.1. Centrični vlak Kod centričnog vlaka razlikujemo dva slučaja: 1.) Monolitnost betona nije važna i u njemu mogu nastati pukotine. Pri tome sve sile vlaka preuzima armatura. Uvjet nosivosti glasi:

RdSd NN = NSd - računska uzdužna sila

ssRd AN σ⋅= - računska nosivost na uzdužnu silu As - površina armature σs - naprezanje u armaturi

ssSd AN σ⋅= Pretpostavljamo da je deformacija armarure εs>fyd/Es, dakle σs=fyd. Potrebna površina vlačne armature je:

yd

Sds f

NA =

2.) Monolitnost betona je važna i u njemu nesmiju nastati pukotine. Pri tome sve sile vlaka preuzima beton i armatura. Ovdje se mora raditi dvostruka analiza: 1

Page 76: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

a) pretpostavlaja se da je beton ipak pukao. Potrebna površina vlačne armature je:

yd

Sds f

NA =

b) traži se površina betona iz uvjeta da ne dođe do pojave pukotina u betonu.

QG NNN += - ukupna vlačna sila NG - vlačna sila od stalnog opterćenja NQ - vlačna sila od promjenjivog opterćenja

QQGGSd NNN γγ ⋅+⋅= - računska vlačna sila γG - koeficijent sigurnosti za stalno opterćenje γQ - koeficijent sigurnosti za promjenjivo opterćenje

QG

QQGGF NN

NN+

⋅+⋅=

γγγ - srednji koeficijent sigurnosti

Uvjet nosivosti preko armature glasi:

FydsF fAN γγ :/⋅=⋅

F

yds fAN

γ⋅

=

Uvjet nosivosti preko betona glasi:

1,1 /γσγ ssmctc AfAN ⋅+⋅=⋅

2

Page 77: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

,

γσ ssmctc AfA

N⋅+⋅

=

γ1 - koeficijent sigurnosti od pojave pukotina (kreće se od 1.2 do 1.5) fct,m - srednja čvrstoća betona na vlak Stvarno naprezanja u armaturi σs dobije se iz uvjeta jednakosti deformacija u betonu i armaturi (εc=εs) prije pojave pukotine. Opasnost od pojave pukotine nastupa otprilike pri deformaciji u betonu εc =0.0001.

MPaE sss 200001.0200000 =⋅=⋅= εσ Iz gornjih jednadžbi dobiva se potrebna površina betona (Ac):

1

,

γσ

γssmctc

F

yds AfAfA ⋅+⋅=

MPaufiff

fAA mctyd

F

yd

mct

sc ,

1,

1 )20(γγ

γ−

⋅=

3.3.2. Ekscentrični vlak 3.3.2.1. Vlačna sila djeluje između obiju armatura (mali ekscenticitet)

3

Page 78: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Cijeli presjek naprezan je na vlak, vlačne sile u svakoj armaturi dobiju se iz uvjeta ravnoteže.

Slika 3.16. Ekscentrični vlak – mali ekscentricitet Potrebna armatura je:

21

11 ee

efNA

yd

Sds += - gornja armatura

21

22 ee

efNA

yd

Sds += - donja armatura

3.3.2.2. Vlačna sila djeluje izvan presjeka (veliki ekscenticitet) 3.3.2.2.1. Postupak Wuczkowski Armiranobetonski elementi izloženi su složenom naprezanju koje nastaje istodobnim djelovanjem momenta savijanja i uzdužne vlačne sile. Računski moment savijanja s obzirom na težište vlačne armature biti će:

41sSdSdSds zNMM ⋅−=

Page 79: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

U težištu vlačne armature djelovati će i vlačna sila NSd.

cd

SdsSds fdb

M⋅⋅

= 2µ

Limitirajuće vrijednosti za jednostruko armiranje su: - za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45 ξlim= x/d = 0.45 , µRd,lim=0.252 i ζlim=z/d=0.813 - za betone razreda čvrstoće od C40/50 i više ξlim= x/d = 0.35 , µRd,lim=0.206 i ζlim=z/d=0.854

Slika 3.17. Ekcentrični vlak – Postupak Wuczkowski Javljaju se dva slučaja: 1.) Kada je µSds<µRd,lim presjek je jednostruko armiran, dovoljna je samo vlačna armatura (As1).

yd

Sd

yd

Sdss f

Nfd

MA +⋅⋅

=ζ1

2.) Kada je µSds>µRd,lim presjek se dvostruko armira, osim vlačne armature (As1) potrebna je i tlačna armatura (As2). 5

Page 80: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

yd

Sd

yd

RdSds

yd

Rds f

Nfdd

MMfd

MA +

⋅−−

+⋅⋅

=)( 2

lim,

lim

lim,1 ζ

22

lim,2 )( s

RdSdss dd

MMA

σ⋅−−

=

gdje je: ydsss fE ≤⋅= 22 εσ - naprezanje u tlačnoj armaturi

lim

2lim2

/0035.0ξ

ξε dds

−−= - deformacija u tlačnoj armaturi

3.3.2.2.2. Dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije Dijagrami interakcije dani su za pravokutni presjek, i vrijdi sve što je rečeno za dijagrame interakcije kod ekscentričnog tlaka. Dijagrami interakcije napravljeni su za pravokutni presjek, RA 400/500 i za koeficijent β=As2/ As1= (0.5, 0.6, 0.8, 1.0) te za omjer d1/h=0.1, d1/h=0.1. Postupak proračuna: Najprije se izračuna:

cd

SdSd fhb

N⋅⋅

cd

SdSd fhb

M⋅⋅

= 2µ

6

Page 81: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Iz odgovarajućeg dijagrama interakcije se interpolira (procijeni) mehanički koeficijent armiranja vlačne armature(ω). Površina vlačne armature izračunava se:

hbffA

yd

cds ⋅= ω1

Površina tlačne armature izračunava se: 22 ss AA ⋅= β Dijagrami interakcije mogu se koristiti i za centrični vlak: MSd=0 , NSd , kao i za čisto savijanje: MSd , NSd=0 .

7

Page 82: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3.4. PRORAČUN ELEMENATA NAPEZANIH POPREČNOM SILOM 3.4.1. Uvod

Slika 3.18. Tipovi sloma armiranobetonskih greda U pravilu valja uvijek predvidjeti najmanju poprečnu armaturu, čak i onda kad proračun pokaže da ona nije potrebna. Ta najmanja armatura smije se izostaviti kod ploča (pune, rebraste, šuplje) koje imaju zadovoljavajuću poprečnu raspodjelu opterećenja i nisu izložene velikim vlačnim naprezanjima. Dopušteno je izostaviti najmanju 1

Page 83: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

poprečnu armaturu u elementima od podređene važnosti (nadvoj raspona manjeg od 2 m) koji značajnije ne pridonose ukupnoj nosivosti i stabilnosti konstrukcije. 3.4.2. Postupak dimenzioniranja na poprečnu silu

Slika 3.19. Rešetkasti model Postupak dimenzioniranja na poprečnu silu zasniva se na tri proračunske vrijednosti nosivosti poprečne sile: - VRd1 - proračunska nosivost na poprečnu silu elementa bez poprečne armature - VRd1 - najveća proračunska nosivost na poprečnu silu koja se može preuzeti bez otkazivanja tlačnih štapova - VRd3 - proračunska nosivost na poprečnu silu elementa s poprečnom armaturom 2

Page 84: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Svaki presjek u kojem je proračunska poprečna sila VSd < VRd1 ne traži proračun poprečne armature. Tada valja predvidjeti najmanju poprečnu armaturu. U presjeku gdje VSd premašuje vrijednost VRd1 treba predvidjeti poprečnu armaturu tako da bude VSd < VRd3. Veličina poprečne armature ne smije biti manja od najmanje poprečne armature.

Slika 3.20. Područje poprečnih sila Ako se ne provodi točniji dokaz, ne smije niti u jednom presjeku elementa proračunska poprečna sila premašiti vrijednost VRd2. Kad je element naprezan uzdužnom silom, treba VRd2 umanjiti prema jednadžbi:

2,2,2 )/1(67.1 RdcdeffcpRdredRd VfVV ≤−⋅= σ gdje je: - VRd2,red - umanjena vrijednost VRd2 zbog utjecaja uzdužne sile - σcp,eff - djelotvorno srednje naprezanje betona od uzdužne sile σcp,eff = (NSd − fyk As2/σs) / Ac

3

Page 85: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

4

gdje je: - Nsd - proračunska uzdužna sila - As2 - ploština presjeka tlačne armature dobivena proračunom graničnog stanja nosivosti - fyk - karakteristična granica popuštanja tlačne armaturu (ne treba prijeći vrijednost 400 N/mm2) - Ac - ukupna ploština betonskoga presjeka. Za slučaj da je VSd >VRd1 u nastavku dana su dva postupka dimenzioniranja: - normirani postupak - postupak sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova Postupak sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova dopušta veću slobodu rasporeda armature od normiranoga postupka. To očito vodi do bitno racionalnijeg razmještaja poprečne armature, ali može dovesti do povećanja uzdužne vlačne armature. Taj postupak valja rabiti kad je element istodobno naprezan kombinacijom poprečne sile i torzije. Zbog povećanja nosivosti na poprečne sile zbog izravnog uvođenja dijela opterećenja u ležaj nalazimo se općenito na strani sigurnosti kada se VSd za grede i ploče opterećene jednolično rasprostrtim teretom proračunava na udaljenosti d od ruba ležaja. Kad se povećanje nosivosti na poprečne sile u blizini ležaja uzima u obzir prema stavci, valja zadovoljiti ove zahtjeve: - opterećenje i ležaj ne reakcije trebaju omogućiti stvaranje kosih tlačnih štapova u elementu (izravno uvođenje)

Page 86: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- na krajnjim ležajevima treba potrebnu vlačnu armaturu unutar razmaka 2.5d od ležaja u cijelosti usidriti preko ležaja - na srednjim ležajevima valja vlačnu armaturu, potrebnu iznad ruba ležaja, provesti najmanje za duljinu 2.5d + lb,net u susjedno polje.

Slika 3.21. Definicija za Asl 3.4.3. Elementi bez proračunski potrebne poprečne armature (VSd < VRd1) Najprije se mora dokazati da je:

1RdSd VV ≤ Proračunska nosivost na poprečne sile VRd1 dobiva se iz:

dbkV wcpRdRd ⋅⋅+⋅+⋅= )15.0)402.1(( 11 σρτ gdje je: -τRd =(0.25 fctk0,05) / γc osnovna vrijednost za proračunsku posmičnu čvrstoću - γc - treba uzeti 1.5. Vrijednost za τRd dana je u tablici 3.3. - k =1 elemente kod kojih je više od 50 % armature u polju prekinuto, inače je: - k = 1.6- d >1 (d u m) 5

Page 87: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- ρ1= db

A

w

s1 ≤ 0.02 - koeficijent armiranja uzdužne armature

koja je usidrena od promatranog presjeka za najmanje d+lb,net- As1 - ploština vlačne armature koja se sidri za najmanje d+lb,net iza promatranoga presjeka (vidi sliku 3.21.) - lb,net - proračunska duljina sidrenja - bw - najmanja širina poprečnoga presjeka unutar proračunske (statičke) visine σcp= NSd / Ac - NSd - uzdužna sila u presjeku od opterećenja i prednapinjanja (pozitivna ako je tlačna) Tablica 3.3. Vrijednosti za τRd (MPa)

Osim provjere (VSd < VRd1) treba provjetiti proračunsku nosivost na poprečnu silu koja se može preuzeti bez otkazivanja tlačnih štapova (VRd2):

2RdSd VV ≤ U presjecima bez proračunski potrebne poprečne armature nosivost na poprečne sile VRd2 dobiva se prema jednadžbi:

dbfV wcdRd 9.05.02 ν= 6

Page 88: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

gdje je:

5.0200

7,0 ≥−= ckfν (fck u N/mm2)

Kad je element naprezan uzdužnom silom, treba VRd2 umanjiti prema jednadžbi:

2,2,2 )/1(67.1 RdcdeffcpRdredRd VfVV ≤−⋅= σ

3.4.4. Elementi s proračunski potrebnom poprečnom armaturom (VRd1 <VSd < VRd2) U gredama je dopušteno rabiti povinute šipke kao poprečna armatura zajedno sa sponama. Najmanje 50 % poprečne sile VSd mora se prihvatiti sponama. Kad se rabe kose šipke, kut između povinute šipke i osi grede ne treba biti manji od 450. Kod dimenzioniranja na poprečne sile pretpostavlja se da element ima tlačni i vlačni pojas kojima je razmak težišta jednak kraku unutarnjih sila z. Područje posmika ima tada visinu z i širinu bw. Krak unutarnjih sila uzima se okomito na uzdužnu armaturu, pri čemu se utjecaj kosih šipki ne uzima u obzir.

7

Page 89: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.22. Oznake za element naprezan poprečnim silama Primijenjene oznake dane na slici 3.22.: - α - kut između poprečne armature i osi elementa - θ - kut između tlačnih štapova i osi elementa - Fs - vlačna sila u uzdužnoj armaturi - Fc - tlačna sila u betonu u smjeru osi elementa - bw -najmanja širina hrpta - z - krak unutarnjih sila za elemente stalne visine za presjek s najvećim momentom savijanja. Kod proračuna na poprečne sile može se rabiti približna vrijednost z = 0.9d. Naprezanje u tlačnim štapovima treba ograničiti na σc ≤ ν fcd, gdje je ν faktor djelotvornosti koji se proračuna prema :

5.0200

7.0 ≥−= ckfν (fck u N/mm2)

8

Page 90: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Za slučaj da je VSd >VRd1 u nastavku dana su dva postupka dimenzioniranja: - normirani postupak - postupak sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova a) Normirani postupak Kod ovog postupka α=900 za spone, α=450 za kosu armaturu i θ=450. Nosivost na poprečne sile presjeka s poprečnom armaturom dana je jednadžbom: VRd3 = Vcd + Vwd gdje je: - Vcd - doprinos betona nosivosti na poprečne sile koji je jednak nosivosti VRd1 , dakle Vcd =VRd1- Vwd - doprinos poprečne armature nosivosti na poprečne sile Doprinos poprečne armature okomite na os nosača (spone) proračunava se prema jednadžbi:

ywdsw

wd fds

AV 9.0=

gdje je: - Asw - ploština presjeka poprečne armature - s - razmak spona - fywd - proračunska granica popuštanja poprečne armature 9

Page 91: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Doprinos nagnute (kose) poprečne armature dobije se prema jednadžbi:

αα sin)cot1(9.0 += ywdsw

wd fds

AV

- s - razmak armature mjeren uzduž osi elementa (vidi sliku 3.22.). Za dokaz nosivosti tlačnih štapova izračunava se VRd2 prema jednadžbi:

2RdSd VV ≤

)cot1(9.05.02 αν += dbfV wcdRd

Za okomite spone ili kombinaciju okomitih spona i kosih šipki uzima se ctgα=0 (α=900). Sile u uzdužnoj armaturi grede računaju se prema jednadžbi:

)cot(cot21 αθ −+= Sd

Sdd V

zM

T

s tim da se uzima ctgθ=1.0 (α=900), gdje je približno z=0.9d. b) Postupak sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova

10

Page 92: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Primijenjene oznake dane su na slici 3.22. Odabir kuta θ između tlačnih štapova i uzdužne osi ograničen je na: - 0.4 < ctgθ < 2.5 (21.800<θ<68.200 ) za grede s konstantnom uzdužnom armaturom i - 0.5 < ctgθ < 2.0 (26.600<θ<63.400 ) za grede u kojima je uzdužna armatura stupnjevito smanjivana Kod elemenata s okomitom poprečnom armaturom (spone) nosivost na poprečne sile dobiva se prema jednadžbama:

θθν

tancot2 += cdw

Rdfzb

V

θcot3 ywdsw

Rd fzs

AV = ; uz uvjet cd

w

ywdsw fsb

fAν

21

Faktor djelotvornosti ν dobije se iz jednadžbe:

5.0200

7.0 ≥−= ckfν (fck u N/mm2)

Krak unutarnjih sila z uzima se, u pravilu, 0.9d. Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom nosivost na poprečne sile proračunava se prema jednadžbama:

θαθν

22 cot1)cot(cot

++

= cdwRd

fzbV

ααθ sin)cot(cot3 += ywdsw

Rd fzs

AV

11

Page 93: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

uz uvjet α

ανcos1

sin)2/1(−

≤ cd

w

ywdsw fsb

fA

gdje je obično z = 0.9 d. Da bi se ustanovila najmanja količina poprečne armature za mala i srednja posmična naprezanja, gornje granice za ctgθ bit će u običnom slučaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za veća posmična naprezanja najveću vrijednost za ctgθ (što odgovara najmanjoj količini poprečne armature) može se naći izjednačivanjem vrijednosti proračunskih poprečnih sila VSd i VRd2. Poprečna armatura izračuna se tada izjednačivanjem proračunskih poprečnih sila VSd i VRd3. Vrijednost za ctgθ može se dobiti približno postupnim približavanjem kako bi se optimalno dimenzioniralo tj. da ukupna količina armature bude najmanja. Vlačna sila u uzdužnoj armaturi može se izračunati iz ove jednadžbe:

)cot(cot21 αθ −+= Sd

Sdd V

zM

T

gdje je z = 0.9 d Kao alternativa gornoj jednadžbi dopušteno je krivulju za Td ustanoviti pomicanjem krivulje MSd/z za vrijednost

)cot(cot9.02/)cot(cot αθαθ −=− dz u takvom smjeru da se MSd/z uvijek poveća.

12

Page 94: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Kod ne izravnog oslanjanja, uzdužna armatura treba uvijek biti tolika da prihvati silu Td. Drugi član u jednadžbi Td povećava vlačnu silu preko vrijednosti koja se dobije kada se uzme u obzir samo moment savijanja. 3.4.5. Najmanji postotak armiranja Poprečna armatura treba s osi elementa tvoriti kut od 450 do 900. Dopušteno je da se poprečna armatura sastoji iz kombinacije ovih armatura: - spona koje obuhvaćaju uzdužnu vlačnu armaturu i tlačno područje - povinutih šipki - dodataka za preuzimanje poprečne sile u obliku koševa, ljestava itd. od rebrastih šipki, koje su položene bez obuhvaćanja uzdužne armature, ali trebaju biti dovoljno usidrene u tlačnom i vlačnom području. Najmanje 50 % potrebne poprečne armature mora se sastojati od spona. Koeficijent armiranja za preuzimanje poprečne sile dobiva se iz jednadžbe:

)sin/( αρ ⋅⋅= wsww bsA - ρw - koeficijent armiranja poprečnom armaturom 13

Page 95: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- Asw - ploština presjeka poprečne armature na duljini s - s - razmak poprečne armature (u uzdužnom smjeru elementa) - bw - širina hrpta - α - kut između poprečne i glavne armature ( za vertikalne sponeα= 900, a sinα = 1) Najmanje vrijednosti za ρw navedene su u tablici 6.1. Tablica 6.1. Najmanje vrijednosti ρwU tablici brišu se stupci 2 i 3 koji se odnose na čelik s oznakom S220 i S400. Umjesto oznake S500 stavlja se oznaka B500 (NAD).

Promjer poprečne armature od glatkih okruglih šipki ne treba premašiti 12 mm. Najveći uzdužni razmak spona smax ili druge poprečne armature određen je ovim uvjetima: - kad je 25/1 RdSd VV ≤ smax = 0.8 d≤ 300 mm; - kad je 22 3/25/1 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.6 d ≤ 300 mm; - kad je 22 0.13/2 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.3 d ≤ 200 mm. Uzdužni razmak povijenih šipki ne smije premašiti ovu vrijednost: 14

Page 96: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

smax = 0.6 d(1 + cotα ) Poprečni razmak vertikalnih krakova spona ne smije premašiti ovu vrijednost: - kada je treba primijeniti manju vrijednost 25/1 RdSd VV ≤ od smax = d ili 800 mm - kad je 22 3/25/1 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.6 d ≤ 300 mm; - kad je 22 0.13/2 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.3 d ≤ 200 mm. Odredbe za ograničavanje raspucavanja od djelovanja poprečne sile navedene su u točki 4.4.2.3 (5) EC2.

15

Page 97: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3.5. PRORAČUN ELEMENATA NAPREZANIH TORZIJOM 3.5.1. Čista torzija Kad statička ravnoteža konstrukcije ovisi o nosivosti njezinih pojedinih elemenata na torziju (ravnotežna torzija), potreban je potpun proračun na torziju, koji obuhvaća i granično stanje nosivosti i granično stanje uporabljivosti.

Slika 3.23. Primjeri ravnotežne torzije Ako kod statički neodređenih konstrukcija torzija nastaje zbog krute veze elemenata (kompatibilna torzija) i kad stabilnost konstrukcije ne ovisi o torzijskoj nosivosti njezinih elemenata, tada se, općenito, za granično stanje nosivosti torzija ne uzima u obzir. Kad torziju za granično stanje nosivosti nije potrebno uzimati u obzir, valja predvidjeti najmanju armaturu u obliku spona i uzdužne armature da bi se spriječilo prekomjerno raspucavanje betona.

1

Page 98: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.24. Primjeri kompatibilne torzije Torzijska nosivost presjeka proračunava se uz pretpostavku tankostjenoga zatvorenoga presjeka. Puni presjeci zamjenjuju se istovrijednim šupljim tankostjenim presjecima. Složeni presjeci, kao na primjer presjeci T, dijele se na poddijelove, pa se dalje svaki posebno promatra kao tankostjeni presjek. Ukupna nosivost na torziju bit će tada jednaka zbroju nosivosti pojedinih poddijelova. Moment torzije kojeg prihvaćaju pojedini dijelovi presjeka ne bi trebao previše odstupati od vrijednosti koja se dobije na osnovi elastičnoga proračuna za neraspucani presjek. Kod šupljih presjeka zamjenjujuća debljina ne bi smjela premašiti njegovu stvarnu debljinu. Moment torzije dobiven uporabom teorije elastičnosti za pojedine dijelove dopušteno je također utvrditi na osnovi St. Venantove torzijske krutosti. St. Venantova torzijska krutost za presjeke koji nisu pravokutni, može se dobiti razlaganjem presjeka na više pravokutnih poddijelova te zbrajanjem parcijalnih krutosti. Podjelu presjeka treba načiniti tako da se dobije najveća proračunska krutost.

2

Page 99: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Torzijska armatura mora se sastojati od zatvorenih spona i uzdužne armature raspoređene po opsegu presjeka. U svakom kutu presjeka mora se predvidjeti barem jedna uzdužna šipka.

Slika 3.25. Oznake i pojmovi kod torzije

3

Page 100: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.26. Rešetkasti model Proračunski moment torzije treba zadovoljiti ove uvjete:

1RdSd TT ≤

2RdSd TT ≤ gdje je: - TRd1 - proračunska nosivost presjeka na torzijski moment s obzirom na betonske tlačne štapove - TRd2 - proračunska nosivost presjeka na torzijski moment kojeg preuzima armatura. Moment nosivosti na torziju TRd1 dobije se iz jednadžbe: 4

Page 101: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

θθν

tancot2

1 += kcd

RdAtf

T

gdje je: - t≤ A/u ≤ od predviđene debljine stijenke. U slučaju punoga presjeka oznaka je t debljina zamjenjujućega presjeka. Debljina t≤ A/u može se rabiti u gornjoj jednadžbi samo ako je TSd≤TRd1 gdje se TRd1 određuje prema gornoj jednadžbi. Debljina manja od dvostruke debljine zaštitnog sloja c uzdužne armature nije dopuštena - u - vanjski opseg - A - ukupna ploština unutar vanjskog opsega (uključujući ploštinu unutarnje šupljine) - Ak - ploština obuhvaćena srednjom linijom tankostjenoga šupljega presjeka (uključujući ploštinu unutarnje šupljine)

35.0200

7.07.0 ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ckfν (fck u N/mm2)

Vrijednost za ν rabi se kad se spone nalaze samo na vanjskom opsegu presjeka. Kad su zatvorene spone predviđene na obje strane graničnih ploha zamišljenoga šupljega poprečnoga presjeka ili na svakoj stijenki sandučastog presjeka, smije se uzeti vrijednost ν=0.7 − fck/200 ≥ 0.5. - θ - kut između betonskih tlačnih štapova i uzdužne osi nosača koji mora zadovoljiti uvjet 0.4< cot θ<2.5

5Moment nosivosti na torziju TRd2 dobije se iz jednadžbe:

Page 102: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

θcot22 sA

fAT swywdkRd =

Dodatna ploština presjeka uzdužne armature za prihvat torzije izračuna se iz jednadžbe:

θcot2

211

k

kRddys A

uTfA =

gdje je: - uk - opseg plohe s ploštinom Ak- s - razmak spona - fywd - proračunska granica popuštanja spona - fy1d -proračunska granica popuštanja uzdužne armature As1- Asw - ploština presjeka spona unutar debljine t - As1 - dodatna potrebna ploština presjeka uzdužne armature za prihvat torzije Ako je armatura poznata, kut θ i nosivost TRd2 određuju se iz sljedećih jednadžbi:

dys

kywdsw

fAuf

sA

11

2tan⋅

⋅=θ

dyk

sywd

swkRd f

uAf

sAAT 1

12 2=

Kad izračunana vrijednost za kut θ izlazi iz granica danih jednadžbom (0.4< cot θ<2.5 ), valja uzeti bližu graničnu vrijednost.

6

Page 103: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Pretpostavlja se da rezultanta vlačnih sila Fs1=As1fy1d djeluje u težištu zamjenjujućega tankostjenoga presjeka. Jedan dio potrebne uzdužne armature (ili natege) dopušteno je razmjestiti uzduž osi poddijelova presjeka. Međutim, da bi se osiguralo da će se kosa sila tlačnih štapova prenijeti u spone, valja u svakom kutu predviđenoga presjeka predvidjeti barem jednu uzdužnu šipku. 3.5.2. Kombinirani učinci više djelovanja Naprezanja u betonu koja su rezultat istodobnoga djelovanja poprečne sile i momenta torzije u pojedinim dijelovima tankostjenoga zamjenjujućega presjeka ne smiju premašiti vrijednost σc=νfcd, gdje je ν dan jednadžbom:

35.0200

7.07.0 ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ckfν (fck u N/mm2)

Kod sandučastih presjeka s armaturom na unutarnjim i vanjskim stranama uzima se za stijenke izložene posmičnim naprezanjima od djelovanja poprečne sile i torzije ν=0.7 − fck/200 ≥ 0.5. 3.5.2.1. Torzija sa savijanjem i/ili uzdužnom silom Potrebnu uzdužnu armaturu za savijanje i torziju treba odvojeno odrediti, pri čemu valja primjenjivati ova pravila: - u vlačnom području od savijanja treba torzijsku uzdužnu armaturu dodati uzdužnoj armaturi potrebnoj za preuzimanje naprezanja od savijanja i uzdužne sile;

7

Page 104: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- u tlačnom području od savijanja uzdužna armatura za prihvat torzije nije potrebna ako su vlačna naprezanja od torzije manja od tlačnih naprezanja izazvanih savijanjem. Kad moment torzije istodobno djeluje s velikim momentom savijanja to može, osobito kod sandučastih presjeka, biti uzrokom kritičnih glavnih naprezanja u tlačnoj zoni. U takvim slučajevima glavna tlačna naprezanja ne smiju premašiti vrijednost αfcd. To je naprezanje izvedeno iz srednjega uzdužnoga tlaka od savijanja i posmičnih naprezanja od torzije prema formuli:

tAT

k

SdSd 2

=τ - računsko posmično naprezanje od torzije

xbzM Sd

Sd ⋅⋅=σ - računsko normalno tlačno (predznak

minus) naprezanje od savijanja

cdSdSdSd f⋅≤+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 85.0

222

2

2 τσσσ - drugo glavno

tlačno naprezanje 3.5.2.2. Torzija s poprečnom silom Proračunski moment torzije TSd i odgovarajuća proračunska poprečna sila VSd trebaju zadovoljiti ovaj uvjet:

12

2

2

1

≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

Rd

Sd

Rd

Sd

VV

TT

8

Page 105: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

gdje je: - TRd1 - proračunska nosivost presjeka na torzijski moment prema jednadžbi - VRd2 - proračunska nosivost na poprečnu silu koju preuzimaju kosi tlačni štapovi pod kutom θ Proračun spona provodi se odvojeno za prihvaćanje torzije i za poprečnu silu. Kut nagiba θ tlačnih betonskih štapova uzima se isti za torziju i poprečnu silu. Za puni, približno pravokutni presjek, neće biti potrebna armatura za prihvaćanje torzije i poprečne sile, osim najmanje armature, ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

5.4wSd

SdbVT ≤

15.41 RdwSd

SdSd V

bVTV ≤⎥

⎤⎢⎣

⎡+

3.5.3. Najmanji postotak armiranja Torzijske spone trebaju biti zatvorene i sidrene na preklop ili prema slici 5.7.a); one trebaju tvoriti kut od 90° s osi elementa. Spone trebaju biti djelotvorno usidrene. Nastavci na preklop na vanjskoj strani hrpta dopušteni su samo kod primjene rebrastih šipki.

9

Page 106: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Najmanje 50 % potrebne poprečne armature mora se sastojati od spona. Koeficijent armiranja za preuzimanje poprečne sile dobiva se iz jednadžbe:

)sin/( αρ ⋅⋅= wsww bsA - ρw - koeficijent armiranja poprečnom armaturom ploština - Asw - presjeka poprečne armature na duljini s - s - razmak poprečne armature (u uzdužnom smjeru elementa) - bw - širina hrpta - α - kut između poprečne i glavne armature ( za vertikalne sponeα= 900, a sinα = 1) Najmanje vrijednosti za ρw navedene su u tablici 6.1. Promjer poprečne armature od glatkih okruglih šipki ne treba premašiti 12 mm. Uzdužni razmak torzijskih spona ne smije premašiti uk/8 . Osim toga, uzdužni razmak torzijskih spona ne smije premašiti: - kad je 25/1 RdSd VV ≤ smax = 0.8 d 300 mm; ≤

- kad je 22 3/25/1 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.6 d ≤ 300 mm; - kad je 22 0.13/2 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.3 d ≤ 200 mm. Uzdužne šipke treba tako postaviti da u svakom kutu postoji jedna šipka, a druge treba raspodijeliti jednolično po unutarnjem opsegu spona s razmakom od najviše 350 mm. 10

Page 107: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

11

Page 108: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

3.6. PRORAČUN VITKIH ELEMENATA 3.6.1. Uvod Ova poglavlje odnosi se na vitke konstrukcije ili vitke elemente pretežno naprezane na tlak, kojima nosivost znatno ovisi o njihovoj deformabilnosti (učinci teorije II. reda). Načela dana ovdje vrijede za armiranobetonske i prednapete štapne elemente naprezane tlačnom uzdužnom silom sa savijanjem ili bez njega kod kojih se učinci torzijskih naprezanja mogu zanemariti. Ova načela mogu se također rabiti i za druge vrste konstrukcijskih elemenata, npr. za zidove, ljuske, vitke grede kod kojih može doći do bočnog izvijanja tlačnoga područja, kao i za visokostjene nosače i druge neuobičajene konstrukcije i elemente, u kojima mogu nastupiti značajna lokalna deformiranja. Utjecaj učinaka dobivenih prema teoriji II. reda treba kod tlačnih elemenata uzeti u obzir kad povećanje momenta savijanja dobivenog prema teoriji I. reda iznosi više od 10 %. 3.6.2. Postupci proračuna Dopuštena je primjena ili točnijeg opće prihvaćenog postupka ili prikladnijeg pojednostavnjenog postupka. Ti postupci mogu se razvrstati ovako:

Page 109: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2

- općeprihvaćeni postupci: nelinearni proračun uz uporabu prikladnih proračunskih modela konstrukcije - pojednostavnjeni postupci koji mogu biti ili: a) približni nelinearni proračuni prema teoriji II. reda, pojednostavnjeni uz pretpostavku o raspodjeli unutarnjih sila i momenata i/ili o obliku deformiranja konstrukcije ili b) dimenzioniranje presjeka po graničnom stanju nosivosti na savijanje i uzdužnu silu povećanjem unutamjih sila i momenata dobivenih prema teoriji I. reda, NSd i MSd1, množenjem koeficijentima koji pokrivaju prirast MSd1 zbog deformiranja štapa. Dopušteno je da se pojednostavnjeni postupci zasnivaju na stvarnoj konstrukciji (npr. na visini stupova između točaka upetosti) ili na fiktivnom proračunskom predlošku (npr. na zamjenjujućem štapu). Dokaz stabilnosti konstrukcije, kojim se uzimaju u obzir učinci prema teoriji II. reda, mora osigurati da za najnepovoljniju kombinaciju djelovanja, u graničnom stanju nosivosti, ne nastupi gubitak statičke ravnoteže (lokalno ili za cijelu konstrukciju) ni gubitak nosivosti pojedinih presjeka naprezanih savijanjem i uzdužnim silama. Ponašanje se mora ispitati za svaki smjer u kojem može doći do otkazivanja nosivosti zbog učinaka prema teoriji II. reda.

Page 110: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3

Za uobičajene građevine postupak dokaza dan u idućim stavci ma sadrži tri koraka: a) Konstrukcija ili elementi razvrstavaju se na - ukrućene ili neukrućene i - pomične ili nepomične b) Za razredbu konstrukcija odlučno je uzimaju li se u obzir učinci prema teoriji II. reda usporedbom vitkosti s graničnim vrijednostima. To vrijedi: - za konstrukciju kao cjelinu ako je pomična - za pojedinačni tlačni element koji se promatra izdvojen iz konstrukcije c) Uspoređivanjem vitkosti λ elementa ili konstrukcije s vrijednostima kritične vitkosti λcrit nakon čijeg prekoračenja treba uzeti u obzir efekte teorije II. reda i to: - ukoliko je vitkost manja od kritične, tada nije potreban dokaz sa uvođenjem efekata teorije II. reda - ukoliko je vitkost veća od kritične, dokaz granične nosivosti se mora provesti uzimajući u obzir efekte teorije II. reda 3.6.3. Podjela konstrukcija i konstrukcijskih elemenata Za potrebe proračuna konstrukcije ili njihovi elementi dijele se na ukrućene i neukrućene, ovisno o tome jesu li predviđeni ukrućujući elementi, ili se konstrukcije promatraju kao horizontalno pomične ili nepomične, ovisno o njihovoj osjetljivosti na učinke dobivene prema teoriji II. reda zbog horizontalnih pomaka

Page 111: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Na isti način, pojedinačni tlačni elementi dijele se na vitke i one koji to nisu. 3.6.3.1. Ukrućujući elementi i ukrućene konstrukcije Ukrućujući je element onaj element konstrukcije koji ima veliku krutost na savijanje i/ili posmik i koji je potpuno ili djelomično upet u temelj. Ukrućujući element ili sustav ukrućujućih elemenata treba imati dostatnu krutost da prihvati sva horizontalna opterećenja koja djeluju na konstrukciju i prenese ih na temelje te da osigura stabilnost ukrućenih elemenata konstrukcije. Radi izbjegavanja horizontalnih sila u pridržanim elementima (npr. stupovima) valja ukrućujuće elemente tako dimenzionirati da oni prihvate cjelokupno horizontalno opterećenje koje djeluje na konstrukciju (tj. 100 %). Općenito se proračun ukrućujućih elemenata smije provesti prema teoriji I. reda. Međutim, proračun prema teoriji II. reda može biti potreban kad su ukrućujući elementi relativno savitljivi. Konstrukcije s ukrućujućim elementima smatraju se ukrućenima. Pod pretpostavkom da su ukrućujući elementi približno simetrično raspoređeni u građevini, mogu se ukrućeni okviri smatrati nepomičnima ako krutost na savijanje ukrućujućih elemenata zadovoljava ovaj kriterij: za ( ) nIEFhn ccmVtot 1.02.0/:3 +≤⋅≤ 4

Page 112: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

za ( ) 6.0/:4 ≤⋅≥ ccmVtot IEFhn gdje je: - n - broj katova - htot - ukupna visina konstrukcije u m, mjereno od gornjeg ruba temelja ili nedeformabilne referentne ravnine - EcmIc - zbroj nazivnih krutosti na savijanje svih vertikalnih ukrućujućih elemenata koji djeluju u promatranom smjeru. U ukrućujućim elementima ne treba vlačno naprezanje u betonu izazvano mjerodavnom kombinacijom opterećenja u uporabi premašiti vrijednost fctk,0,05. Kad je krutost ukrućujućih elemenata promjenljiva po visini, valja uvesti zamjenjujuću krutost. - Fv - zbroj svih vertikalnih sila za opterećenje u stanju uporabe (tj. ono koje djeluje na ukrućujuće i ukrućene elemente) (za γF= 1). Treba naglasiti da gornje jednadžbe u nekim slučajevima daju rezultate koji su znatno na strani sigurnosti. Kad gornje jednadžbe nisu zadovoljene, konstrukcija se razvrstava kao pomična i treba se kao takva proračunati. Okviri koji nemaju ukrućujuće elemente smatraju se nepomičnim ako svaki vertikalni element okvira ima vitkost manju ili jednaku veću od sljedeće dvije vrijednosti: 25 ili

uν/15 i ako preuzima više od 70 % srednje uzdužne sile NSd=γFFv/n, (n označuje broj vertikalnih tlačnih elemenata u jednom katu, vidi sliku 3.27.)

5

Page 113: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

cdc

Sdu fA

N⋅

=ν - bezdimenzionalna vrijednost uzdužne sile

Slika 3.27. Granice vitkosti okvira 3.6.3.2. Pojedinačni stupovi To mogu biti: - pojedinačni tlačni elementi (vidi sliku 3.28. a) i b)) - tlačni elementi kao dijelovi cjelovite konstrukcije promatrani izdvojeno samo za potrebe proračuna. Vidi sliku 3.28. c) i d). Cilj klasifikacije konstrukcija na horizontalno pomične i horizontalno nepomične je da se izdvoje oni slučajevi pojedinačnih stupova koji se mogu analizirati bez razmatranja ponašanja cijele konstrukcije, tj. da se stupovi izdvoje iz konstrukcije kao cjeline. 6

Page 114: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.28. Vrste pojedinačnih stupova 3.6.3.3. Vitkost pojedinačnih stupova U konstrukcijama visokogradnje može se proračunska duljina izvijanja stupa

colll ⋅= β0 odrediti prema slici 3.29., gdje koeficijenti kA i kB označavaju krutost (stupanj) upetosti krajeva stupova:

∑∑

⋅⋅⋅

=effbcm

colcolcmBA lIE

lIEkilik

//

)(α

gdje je: - Ecm - modul elastičnosti betona - Icol - moment tromosti presjeka tlačnog elementa (stupa) - Ib -moment tromosti presjeka grede - lcol - duljina stupa između čvorova upetosti - leff -proračunski raspon grede

7

Page 115: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- α - koeficijent kojim se uzima u obzir upetost suprotnoga kraja grede α =1.0 suprotni kraj je elastično ili kruto upet α=0.5 suprotni kraj zglobno oslonjen α=0.0 za prepust grede Npr. za potpuno upeti čvor A kA=0, dok je za konzolni vrh A kA=∝.

Slika 3.29. Nomogram za određivanje duljine izvijanja Pojedinačni tlačni element smatra se vitkim kad je njegova vitkost veća od 25 ili uν/15 . gdje je: -

cdc

Sdu fA

N⋅

=ν - bezdimenzionalna vrijednost uzdužne sile

- il0=λ - vitkost

- l0 - duljina izvijanja vertikalnog elementa. Vrijednostza l0 redovito se dobiva uporabom teorije elastičnoga izvijanja.

8

Page 116: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Za okvirne konstrukcije mora se duljina izvijanja l0 odrediti primjereno točnim postupkom - i - polumjer tromosti 3.6.3.4. Posebni podaci Kod proračuna vitkih pojedinačnih tlačnih elemenata moraju se uzeti u obzir utjecaji teorije II. reda, uključivši geometrijske nesavršenosti i deformiranja od puzanja ako oni znatno utječu na stabilnost konstrukcije. Pojedinačni tlačni elementi (stupovi) u nepomičnim konstrukcijama, čak i kada su razvrstani kao vitki, ne ispituju se na utjecaje teorije II. reda ako je njihova vitkost λ manja ili jednaka vrijednosti iz donje jednadžbe: λcrit = 25 ⋅ (2 – e01 /e02) gdje su e01 , e02 ekscentričnosti uzdužne sile na krajevima stupa, a uzima se da je | e02| ≥ | e01|. Gornja jednadžba smije se rabiti samo onda kada stup nije između svojih krajeva poprečno opterećen. Kriterij prema gornjoj jednadžbi grafički je prikazan na slici 3.30. U tom slučaju valja krajeve stupova dimenzionirati na unutarnje sile prema jednadžbama:

SdRd NN =

20/hNM SdRd ⋅=

9

Page 117: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Tu su NRd i MRd proračunske nosivosti na uzdužnu silu i moment savijanja. Za stup pretežito opterećen na savijanja oko jedne glavne osi valja također ispitati moguće otkazivanje oko druge glavne osi zbog djelovanja učinaka prema teoriji II. reda.

Slika 3.30. Granične vitkosti za pojedinačne tlačne elemente u nepomičnim konstrukcijama 3.6.4. Nesavršenosti (imperfekcije) Kod dimenzioniranja valja uzeti u obzir nepouzdanosti pri pretkazivanju učinaka teorije II. reda, osobito zbog netočnosti izmjera i nepouzdanosti položaja i smjera uzdužnih sila. Ako se ne propisuju neke druge mjere, rabe se geometrijske zamjenjujuće nesavršenosti. Za okvirne konstrukcije utvrđuje se nagnuti položaj v prema vertikali cjelokupne konstrukcije (ukrućujući i ukrućeni elementi). 10

Page 118: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

mjeri oj lučučnu - 100

1l

Tu l znači ukupnu visinu konstrukcije u metrima. U slučajevima u kojima su učinci prema teoriji II. reda zanemarivi, treba za v uvrstiti najmanje 1/400, a kad učinci II. reda nisu zanemarivi, treba v uzeti s najmanje 1/200.

Slika 3.31. Primjena geometrijskih zamjenjujućih nesavršenosti Za pojedinačne tlačne elemente smiju se geometrijske zamjenjujuće nesavršenosti uvesti povećanjem ekscentričnosti uzdužne sile za dodatnu ekscentričnost ea koja djeluje u najnepovoljnijem smjeru: 11

Page 119: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2/0lea ν=

gdje je: - l0 - duljina izvijanja pojedinačnog tlačnog elementa - v - kut nagiba konstrukcije prema vertikali

4001

2001

1001 ili

l≥=ν

3.6.5. Pojednostavnjeni postupak proračuna pojedinačnih stupova Za konstrukcije visokogradnje smije se rabiti postupak proračuna u kojem se promatra stup kao pojedinačni tlačni element i koji pretpostavlja pojednostavnjeni oblik deformiranja. Dodatna ekscentričnost tada se proračunava ovisno o vitkosti. Ukupna ekseentričnost, za tlačne elemente sa stalnim poprečnim presjekom (beton i armatura, pri čemu se područje nastavaka armature zanemaruje) u kritičnom presjeku iznosi: a) ekscentričnost prema teoriji I. reda na oba kraja stupa jednaka (vidi sliku 3.32. a): etot = e0 + ea + e2 gdje je: - e0 - ekscentričnost prema teoriji I. reda (e0= MSd/ Nsd) - MSd1 - proračunski moment savijanja prema teoriji I.reda 12

Page 120: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

13

- NSd1 - proračunska uzdužna sila - ea - dodatna ekscentričnost - e2 - ekscentričnost prema teoriji II. reda dobivena uporabom približnoga postupka, uključujući učinke puzanja b) ekscentričnosti prvog reda različite na oba kraja (vidi sliku 3.32. b) i c). Za tlačne elemente sa stalnim poprečnim presjekom (beton i armatura, pri čemu se područje nastavaka armature zanemaruje) naprezane momentima koji se linearno mijenjaju uzduž elementa i za koje ekseentričnosti na njihovim krajevima imaju različite vrijednosti i/ili predznak treba u kritičnom presjeku u jednadžbi (etot = e0 + ea + e2) umjesto e0 uzeti zamjenjujuću ekseentričnost ee. Za zamjenjujuću ekseentričnost uzima se veća vrijednost dobivena prema jednadžbama: ee =0.6 e02 + 0.4 e01 ee =0.4 e02 gdje su e01 i e02 ekseentričnosti uzdužne sile dobivene prema teoriji I. reda na oba kraja stupa pri čemu je: |e02| ≥ |e01|

Page 121: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.32. Proračunski model za određivanje ukupne ekscentričnosti 3.6.5.1. Postupak za proračunski model stupa U nastavku opisani postupak proračuna rabi se za proračun tlačnih elemenata s vitkošću λ<140 pravokutnoga ili kružnoga presjeka kod kojih ekscentričnost dobivena prema teoriji I. reda zadovoljava uvjet e0 ≥ 0.1h (h je ukupna visina presjeka upromatranoj ravnini). Za druge oblike presjeka i za ekscentričnosti e0 < 0.1h dopuštena su druga odgovarajuća približenja. Proračunski model stupa konzolni je stup koji je: - na donjem kraju upet, a na gornjem slobodno pomičan (slika 3.33.), - pod djelovanjem uzdužnih sila i momenata izobličen u jednostavno zakrivljeni deformirani oblik, pri čemu se na mjestu upetosti stupa javlja najveći moment.

14

Page 122: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 3.33. Proračunski model stupa Najveći otklon koji odgovara ekscentričnosti prema teoriji II. reda e2 uzima se da je:

( )rl

Ke /110

20

12 ⋅⋅=

gdje je: - l0 - duljina izvijanja - K1 = λ/20 – 0.75 za 15 ≤ λ ≤ 35 - K1 = 1 za λ > 35

- d

Kr yd

9.02

/1 2 ε= - zakrivljenost

- εyd= fyd/ES - proračunska deformacija armature na granici popuštanja - d - proračunska (statička) visina presjeka u očekivanom smjeru otkazivanja stabilnosti. Dokaz stabilnosti provodi se u kritičnom presjeku na podnožju stupa na osnovi zakrivljenosti 1/r. Ta 15

Page 123: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

zakrivijenost izvodi se iz ravnoteže unutarnjih i vanjskih sila. Koeficijentom K2 uzima se u obzir smanjenje zakrivljenosti 1/r kod istodobnoga povećanja uzdužne sile, a on se dobiva iz jednadžbe:

12 ≤−−

=balud

Sdud

NNNN

K

gdje je: - Nud = α fcd Ac + fydAS - proračunska granična nosivost presjeka naprezanog samo centričkim tlakom - NSd - proračunska uzdužna sila - Nbal - uzdužna tlačna sila koja odgovara najvećem graničnom momentu savijanja. Za simetrično armirani pravokutni presjek uzima se Nbal = 0.4 fcd AcUzme li se K2 = 1, bit će to na strani sigurnosti. 3.6.5.2. Tlačni elementi s dvoosnom ekscentričnošću Za tlačne elemente pravokutnoga presjeka dopuštaju se odvojeni dokazi u smjerovima glavnih osi y i z (vidi sliku 3.34.) kad omjeri odgovarajućih ekscentričnosti ey/b i ez/h zadovoljavaju jedan od uvjeta:

2.0//

≤behe

y

z ili

16

Page 124: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2.0//

≤hebe

z

y

(To znači, točka djelovanja sile NSd leži unutar ocrtkanoga područja na slici 3.34.). Ekscentričnosti ey i ez odnose se na smjerove stranica presjeka b odnosno h. Kod toga ea ne treba uzimati u obzir. Točniji dokaz će biti potreban kad gore opisani uvjeti nisu zadovoljeni.

Slika 3.34. Pretpostavka za odvojene postupke u smjeru obiju glavnih osi Za slučaj da je ez > 0.2 h (vidi sliku 3.35.) odvojeni dokazi dopušteni su samo onda kad se dokaz na savijanje provodi oko osi manje krutosti presjeka (z na slici 3.34.) na osnovi umanjene visine h' prikazane na slici 3.35. Vrijednost za h', pod pretpostavkom linearne raspodjele naprezanja, računa se prema jednadžbi: 17

Page 125: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

0)(

=+

−c

azzSd

c

Sd

ZeeN

AN

gdje je: - NSd - proračunska uzdužna sila (za tlak - negativni predznak) - Zc - moment otpora betonskoga presjeka (stanje I.) - eaz - dodatna ekscentričnost u smjeru osi z prema jednadžbi: 2/0lea ν= Kada kriterij

2.0//

≤behe

y

z ili 2.0//

≤hebe

z

y

nije zadovoljen, potreban je točniji dokaz.

18

Page 126: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

19

Slika 3.35. Odvojeni postupak u smjeru osi y kada je ez > 0.2 h 3.6.6. Bočno izvijanje vitkih nosača Kad postoji sumnja u pogledu bočnog izvijanja nosača, mora se to dokazati odgovarajućim postupkom. Sigurnost na bočno izvijanje armiranobetonskih i prednapetih nosača smatra se dostatnom kad su ispunjeni zahtjevi prema jednadžbi: lot < | 50 | b i h < | 2.5 | b U protivnom, treba provesti točniji dokaz. gdje je: - b - širina tlačnoga pojasa - h - ukupna visina nosača - l0t - duljina tlačnoga pojasa između bočnih pridržanja.

Page 127: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

4. GRANIČNA STANJE UPORABLJIVOSTI 4.1. GRANIČNO STANJE NAPREZANJA Velika tlačna naprezanja u betonu pri djelovanju uporabnog opterećenja mogu dovesti do stvaranja uzdužnih pukotina ili do stvaranja mikropukotina u betonu ili deformiranja zbog puzanja većih od prethodno proračunatih. Ako se predviđa da će uporabljivost nekog elementa biti narušena, moraju se provesti mjere ograničenja tih naprezanja na prihvatljivu veličinu. Uzdužne pukotine mogu se pojaviti ako naprezanja za rijetke kombinacije opterećenja premaše neku kritičnu vrijednost. Takvo raspucavanje može dovesti do smanjenja trajnosti. U nedostatku drugih mjera, kao što su npr. povećanje zaštitnog sloja u tlačnom području ili ovijanje tlačnoga područja poprečnom armaturom, može biti potrebno da se tlačna naprezanja ograniče u područjima koja se nalaze u razredima izloženosti 3 ili 4, na 0.6fck. Naprezanje u betonu za rijetku kombinaciju opterećenja treba biti:

ckc f6.0≤σ Deformiranje zbog puzanja može prijeći veličinu prema točki 2.5.5 (EC 2) ako naprezanje u betonu pod nazovistalnim opterećenjem prijeđe veličinu od 0.45fck. Ako puzanje znatno utječe na uporabljivost promatranog elementa, valja naprezanje ograničiti na gore navedenu vrijednost. Za elemente od armiranoga betona opterećene 1

Page 128: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

na savijanje taj dokaz treba provesti ako je omjer raspona i proračunske (statička) visine veći od 85 % vrijednosti dane u točki 4.4.3.2. (EC2). Taj dokaz može biti potreban i kod dokaza uvođenja sile u prednapete elemente. Naprezanje u betonu za nazovistalnu kombinaciju opterećenja treba biti:

ckc f45.0≤σ Naprezanja u čeliku koja bi mogla u uporabi dovesti do neelastičnog deformiranja čelika treba izbjegavati ako to uzrokuje velike i stalno otvorene pukotine. Taj zahtjev bit će ispunjen pod pretpostavkom da pri rijetkoj kombinaciji opterećenja vlačno naprezanje u armaturi ne bude veće od 0.8fyk.

yks f8.0≤σ Ako se radi o naprezanju u armaturi uzrokovanom samo od prisilnih deformacija, može se prihvatiti i naprezanje veličine fyk.

yks f≤σ Nakon svih gubitaka sile prednapinjanja naprezanje u nategama ne treba biti veće od 0.75fyk.

pkp f75.0≤σ

2

Page 129: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3

Gore dana ograničenja naprezanja mogu se općenito uzeti kao zadovoljavajuća bez daljnjih dokaza ako je: - dimenzioniranje na granična stanja nosivosti provedeno prema točki 4.3 (EC 2) - zadovoljena odredba o najmanjoj armaturi za ograničenje raspucanja prema točki 4.4.2.2 (EC 2) - razradba pojedinosti provedena u skladu s poglavljem 5 (EC 2) - manje od 30 % unutarnjih sila preraspodijeljeno u graničnom stanju nosivosti.

Dugotrajni utjecaji mogu se zanemariti, osim ako više od 50 % naprezanja nastaje od nazovistalnih utjecaja. Tada se uzima omjer modula elastičnosti 15 (αe=Es/Ecm=15). Naprezanja se računaju za neraspucani ili raspucani presjek, ovisno o unutarnjim silama. Općenito, tamo gdje najveće vlačno naprezanje u betonu, proračunano na osnovi neraspucanoga presjeka pri rijetkoj kombinaciji opterećenja, prelazi vrijednost fctm, treba pretpostaviti raspucano stanje. U neraspucanom stanju pretpostavlja se da cijeli presjek sudjeluje u nošenju te da se i beton i čelik ponašaju elastično pri vlačnim i tlačnim naprezanjima. Kod raspucanog stanja pretpostavlja se da se beton u tlaku ponaša elastično, ali da nije u stanju da preuzme vlačna naprezanja. (Kod primjene tih pravila zanemaruje se pri

Page 130: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

4

ograničenju naprezanja sudjelovanje betona na vlak između pukotina.)

Page 131: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

4.2. GRANIČNO STANJE PUKOTINA 4.2.1. Općenito Raspucavanje treba tako ograničiti da ne bude ugrožena redovita uporaba konstrukcije i njezin izgled zbog pukotina. Ipak, pukotine su gotovo neizbježne u betonskim konstrukcijama izloženim savijanju, poprečnoj sili, torziji ili vlaku pri djelovanju izravnih opterećenja ili prisilnih deformacija. Pukotine se mogu pojaviti i iz drugih razloga, npr. zbog plastičnog slijeganja ili ekspanzijskih kemijskih reakcija u očvrsnutom betonu. Takve pukotine mogu biti neprihvatljivo velike, ali ograničavanje njihove širine nije ovdje obrađeno. U nedostatku posebnih zahtjeva (npr. za vodonepropusnost) može se uzeti da za razrede izloženosti 2-4 zadovoljava ograničenje najveće širine pukotine od oko 0.3 mm za nazovistalnu kombinaciju opterećenja u armiranobetonskim zgradama i sa stajališta vanjskog izgleda i sa stajališta trajnosti. Za razred izloženosti 1 širina pukotina nema utjecaja na trajnost i ograničenje može biti manje strogo ako je to prihvatljivo i iz drugih razloga. Trajnost prednapetih elemenata može biti bitno okrnjena pukotinama za elemente razreda izloženosti 2-4. U nedostatku točnijih zahtjeva, ograničenja dana u tablici 4.1. općenito su zadovoljavajuća. Pridržavanje graničnog stanja rastlačenja znači da za čestu kombinaciju opterećenja svi

Page 132: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

dijelovi natega leže najmanje 25 mm unutar tlačnoga područja betona. Tablica 4.1. Kriteriji za prednapete elemente

Posebne mjere za ograničenje raspucavanja mogu biti nužne za elemente koji se nalaze u razredu izloženosti 5. Odabir primjerenih mjera ovisi o prirodi škodljivih kemijskih tvari. Ograničenje širine pukotina na dopuštenu veličinu postiže se: - tako da se u svim presjecima koji mogu biti znatno vlačno naprezani zbog prisilne deformacije predvidi najmanja armatura dobre prionljivosti kako bi se spriječilo popuštanje (prekomjerno istezanje) armature za opterećenje iznad onog koje je uzrokovalo raspucavanje. To vrijedi i u slučaju kad prisilna deformacija djeluje istodobno s vanjskim opterećenjem; - tako da se razmaci i promjer šipki armature ograniči s obzirom na ograničenje širine pukotina. To se također odnosi i na dijelove prednapetih elemenata gdje se u betonu može pojaviti vlak.

2

Page 133: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

4.2.2. Najmanja armatura za ograničenje pukotina Pri procjeni najmanje armature potrebne radi ograničenja pukotina u elementima ili područjima elemenata naprezanih prisilnim deformacijama razlikuju se dva moguća mehanizma koja uzrokuju ta naprezanja: - prisilnu deformaciju uzrokuje sam element, pri čemu naprezanja nastaju zbog spriječenoga deformiranja elementa izloženoga prisilnoj deformaciji (npr. naprezanja uzrokovana spriječenom deformacijom od skupljanja) - prisilnu deformaciju uzrokuju izvana nametnuta deformiranja, pri čemu naprezanja nastaju zbog spriječenoga deformiranja (npr. naprezanja elementa zbog slijeganja ležajeva). Valja razlikovati dvije vrste raspodjele naprezanja u elementu kod raspucavanja: - savijanje, gdje je raspodjela vlačnih naprezanja po poprečnom presjeku linearna (tj. neka područja presjeka ostaju tlačno naprezana) - vlak, gdje je cijeli presjek izložen vlačnim naprezanjima. Ako točniji proračun ne pokaže da zadovoljava manji presjek armature, može se potrebni najmanji presjek armature izračunati prema ovoj jednadžbi:

s

cteffctcs

AfkkA

σ,=

gdje je: - As - ploština presjeka vlačne armature 3

Page 134: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

4

- Act - ploština presjeka betona u vlačnom području. Vlačno je područje onaj dio presjeka u kojem su postojala proračunska vlačna naprezanja neposredno prije prvog raspucavanja - σs - naprezanje u vlačnoj armaturi proračunanoj na temelju raspucanoga presjeka. Može se uzeti da je to 100 % naprezanja na granici popuštanja (fyk). Međutim, niža vrijednost može biti potrebna za ograničenje širine pukotina. - fct,eff - djelotvorna vlačna čvrstoća betona u trenutku prvog raspucavanja. U mnogim slučajevima, kao npr. kad je mjerodavna prisilna deformacija zbog gubitka hidratacijske topline, to se može dogoditi za 3-5 dana od trenutka ugradbe betona ovisno o uvjetima okoliša, oblika elementa i vrsti oplate. Vrijednost fct,eff može se uzeti uzimajući za razred betona onu čvrstoću koja se očekuje pri pojavi pukotina. Ako se trenutak raspucavanja ne može sa sigurnošću odrediti unutar prvih 28 dana, predlaže se da se uzme za najmanju vlačnu čvrstoću 3 N/mm2. - kc -koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj raspodjele naprezanja u presjeku kod početka raspucavanja. Mjerodavna je ona raspodjela naprezanja koja proizlazi iz kombinacije opterećenja i prisilne deformacije. kc= 1.0 za čisti vlak kc = 0.4 za čisto savijanje - k - koeficijent kojim se uzima u obzir nelineamost raspodjele vlastitih naprezanja Vrijednosti k za različite situacije dane su dolje: - vlačna naprezanja zbog prisilnih deformacija u samom elementu, općenito k=0.8

Page 135: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

5

za pravokutne presjeke za h ≤30 cm k=0.8 za h ≥ 80 cm k=0.5 - vlačna naprezanja zbog prisilnih deformacija uzrokovanih izvan elementa k=1.0 Može se smatrati da su dijelovi presjeka udaljeni od glavne vlačne armature, kao što su istaknuti dijelovi presjeka ili hrptovi visokostijenih nosača, podvrgnuti prisilnoj deformaciji od vlačnog pojasa elementa. U takvim slučajevima prihvatljiva je vrijednost 0.5 < k < 1.0. Najmanja armatura može se smanjiti ili potpuno otpasti ako je prisilna deformacija dovoljno malena da ne uzrokuje pukotine. U takvim slučajevima najmanja armatura raspoređuje se samo ondje gdje je to potrebno radi veličine prisilne deformacije. U prednapetim elementima i elementima od armiranoga betona podvrgnutim uzdužnim tlačnim naprezanjima može se najmanji presjek armature smanjiti ispod potrebne vrijednosti za armirani beton zbog: - porasta krutosti na savijanje tlačnoga područja - doprinosa natega . U prednapetim elementima najmanja armatura za ograničenje pukotina nije potrebna u područjima gdje beton ostaje tlačno naprezan pri rijetkim kombinacijama opterećenja i mjerodavnim karakterističnim vrijednostima sile prednapinjanja ili uzdužne sile.

Page 136: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

6

Ako gornji uvjet nije ispunjen, potrebnu najmanju armaturu treba proračunati uz primjenu vrijednosti kc za sandučaste presjeke kc = 0.4 za hrptove kc = 0.8 za vlačni pojas Za pravokutne presjeke vrijednost kc smije se interpolirati između 0.4 za čisto savijanje i nule. Vrijednost nula uzima se ako je ispunjen barem jedan od ovih uvjeta: - zadovoljeni su uvjeti u prednapetim elementima gdje beton ostaje tlačno naprezan pri rijetkim kombinacijama opterećenja i mjerodavnim karakterističnim vrijednostima sile prednapinjanja ili uzdužne sile, ili - kad je pod djelovanjem mjerodavne karakteristične sile prednapinjanja visina vlačnog područja, proračunana na temelju raspucanog presjeka za opterećenje koje uzrokuje početak raspucavanja, manja od h/2 ili od 0.5 m. Natege se mogu uzeti u obzir kao najmanja armatura unutar kvadrata stranice 300 mm koji okružuje nategu, uz pretpostavku da je uzeta u obzir različita prionljivost s betonom natege inenapete armature. U nedostatku točnijih podataka može se djelotvornost natega uzeti sa 50 %. 4.2.3. Ograničenje raspucavanja bez izravnog proračuna Za armiranobetonske ili prednapete ploče u zgradama koje su naprezane savijanjem bez značajnijega uzdužnoga osnog vlaka nisu potrebne posebne mjere za ograničenje raspucavanja ako njihova ukupna debljina ne prelazi 200 mm, a primijenjene su odredbe točke 5.4.3 (EC 2).

Page 137: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Ako postoji barem najmanja armatura za ograničenje pukotina, širine se pukotina mogu ograničiti na dopuštenu vrijednost, a prekomjerno raspucavanje između široko razmaknutih šipki armature može se spriječiti ako se ogra-niče razmaci i/ili promjer armaturnih šipki. Tablice 4.2. i 4.3. proračunane su tako da širina pukotina općenito ne prelazi 0.3 mm za armirani i 0.2 mm za prednapeti beton. Treba upozoriti da se povremeno mogu pojaviti i šire pukotine, ali to ne treba smatrati štetnom pojavom. Širine pukotina općenito neće biti nedopušteno velike ako: - kod raspucavanja uzrokovanoga pretežno prisiInom deformacijom, nisu upotrijebljeni promjeri šipki veći od onih danih u tablici 4.2., pri čemu naprezanje u čeliku ima vrijednost neposredno nakon raspucavanja - su za pukotine uzrokovane pretežno opterećenjem ispunjene odredbe prema tablici 4.2. i ili tablici 4.3. Tablica 4.2. Najveći promjer ∅s

* za rebraste čelike

7

Page 138: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Tablica 4.3. Najveći razmak za rebraste čelike

Za prednapete presjeke naprezanja u armaturi trebaju se izračunati uzimajući u obzir silu prednapinjanja kao vanjsku silu bez prirasta naprezanja u nategama zbog vanjskog opterećenja. Za armirani beton najveći promjer armaturnih šipki smije se preinačiti prema izrazu:

5.2)(105.2** ctms

ctmss

fdh

hf∅≥

−∅=∅

za raspucavanje zbog prisilnih deformacija

**

)(10 sss dhh

∅≥−

∅=∅

za raspucavanje zbog opterećenja gdje je: - ∅S - preinačeni najveći promjer 8

Page 139: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

9

- ∅s* - osnovna vrijednost najvećega promjera prema tablici

4.2. - h - visina elementa - fctm - srednja vlačna čvrstoća betona (u N/mm2) U tablicama 4.2. i 4.3. naprezanja u čeliku za armirani beton treba odrediti za nazovistalno opterećenje, a za prednapeti beton za čestu kombinaciju opterećenja i za mjerodavnu karakterističnu vrijednost prednapinjanja. Grede ukupne visine 1.0 m ili više, gdje je glavna armatura smještena na malom dijelu visine, treba armirati dodatnom armaturom u hrptu radi ograničenja raspucavanja na bočnim površinama. Ta armatura treba biti raspoređena između vlačne armature i neutralne osi a treba biti smještena unutar spona. Presjek armature hrpta ne smije biti manji najmanje armature za ograničenje zaspucavanja, uzimajući k = 0.5 i (σs = fyk. Razmak i promjer armatumih šipki mogu se uzeti iz tablica 4.2. ili 4.3. pretpostavljajući čisti vlak i naprezanje u čeliku jednako polovici naprezanja glavne vlačne armature. Kose pukotine bit će ograničene na zadovoljavajući način uz pridržavanje razmaka spona iz tablice 4.4. Dokaz nije potreban u elementima kod kojih nije potrebna poprečna armatura (tj. kad je Vcd > VSd ); kada je 3 Vcd > VSd također nije potreban dokaz jer se za uporabno opterećenje u elementu ne očekuju kose pukotine. U tablici 4.4. VSd je proračunska vrijednost poprečne sile u graničnom stanju nosivosti, a Vcd može se uzeti da je jednak

Page 140: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

VRd1. Koeficijent armiranja poprečnom armaturom ρw dobiva se iz jednadžbe :

αρ

sinw

sww bs

A=

gdje je: - ρw - koeficijent armiranja poprečnom armaturom - Asw - ploština presjeka poprečne armature unutar duljine s - s - razmak poprečne armature - bw - širina hrpta ili najmanja širina elementa na proračunskoj visini - α - kut između poprečne armature i osi elementa (tj. kod okomitih spona α= 900 sinα= 1). Tablica 4.4. Razmak spona u gredama radi ograničenja kosih pukotina

4.2.4. Proračun širine pukotina 10

Page 141: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Širina pukotine može se odrediti prema formuli:

smrmk sw εβ= gdje su: - wk - proračunska vrijednost širine pukotine - srm - prosječni razmak pukotina kod završenog raspucavanja - εsm - srednja deformacija armature određena za mjerodavnu kombinaciju opterećenja kad se uzima u obzir sudjelovanje betona na vlak između pukotina, skupljanje itd. - β - omjer proračunske i srednje širine pukotine Vrijednosti koeficijenta β u jednadžbi uzimaju se: - β =1.7 - za raspucavanje zbog opterećenja i zbog prisilne deformacije u presjecima s izmjerom većom od 800 mm i - β=1.3 za raspucavanje zbog prisilne deformacije u pre-sjecima čije su izmjere (visina, širina ili debljina) jednake 300 mm ili manje. (Mjerodavna je najmanja vrijednost.) Vrijednosti za β, za veličine između 300 i 800 mm, mogu se linearno interpolirati. εsm se može izračunati iz formule:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

211s

sr

s

ssm E σ

σββ

σε

- σs - naprezanje u vlačnoj armaturi proračunanoj na te-melju raspucanoga presjeka

11

Page 142: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- σsr - naprezanje u vlačnoj armaturi proračunanoj na temelju raspucanoga presjeka za kombinaciju opterećenja koja uzrokuje prvu pukotinu - β - koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj prionljivosti na srednju deformaciju β = 1.0 za rebraste šipke β = 0.5 za glatke šipke - β2 - koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj trajanja opterećenja ili opetovanih opterećenja na srednju deformaciju β2 = 1.0 za pojedinačno kratkotrajno opterećenje β2 = 0.5 za dugotrajno opterećenje ili opetovano opterećenje Za elemente koji su podvrgnuti samo prisilnim defor-macijama uzrokovanim od samog elementa uzima se σs=σsr. Srednji razmak pukotina u elementima koji su pretežno izloženi savijanju ili vlaku može se proračunati iz jednadžbe:

rrm kks

ρ∅

+= 2125.050

gdje je: - ∅ - promjer šipke u mm. Tamo gdje u presjeku ima šipki različitih promjera, može se u proračun uzeti srednja vrijednost - k1 - koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj prionjivosti na razmak pukotina 12

Page 143: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

k1 = 0.8 za rebraste čelike, k1 = 1.6 za glatke šipke. Kod prisilnih deformacija treba zamijeniti k1 umnoškom k1x k - k2 - koeficijent kojim se uzima u obzir uljecaj raspodjele deformacija na razmak pukotina k2 = 0.5 za savijanje k2 = 1.0 za čisti vlak Za ekscentrični vlak ili za lokalne dokaze mogu se rabiti međuvrijednosti za k2 prema izrazu

1

212 2 ε

εε +=k

gdje je - ε1 - veća vrijednost od ε2 , a obje su vlačne deformacije na rubovima promatranoga poprečnoga presjeka, određene za raspucani poprečni presjek. ρr = As/Ac,eff djelotvorni koeficijent armiranja, gdje je As ploština presjeka vlačne armature unutar djelotvornoga vlačnoga područja Ac,eff Djelotvorna je vlačna ploština općenito ona ploština betona koja okružuje vlačnu armaturu u visini od 2.5-strukog razmaka između vlačnog ruba presjeka i težišta armature (vidi sliku 4.1.). Za ploče ili za prednapete elemente gdje visina vlačnoga područja može biti malena ne treba visinu djelotvorne ploštine uzeti veću od (h-x)/3. Vrijednost srm daje se u mm. 13

Page 144: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 4.1. Djelotvorne pločtine

14

Page 145: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

4.3. GRANIČNO STANJE DEFORMIRANJA (PROGIBA) 4.3.1. Općenito Deformiranja elementa ili konstrukcije ne smiju biti takva da ugroze njihovu funkciju ili vanjski izgled. Deformiranja ne smiju prijeći vrijednosti koje ne odgovaraju priključenim nenosivim elementima, kao što su pregradni zidovi, ostakljenja, vanjske zidne obloge, kućanski uređaji, ili koje ne odgovaraju izgledu vanjskih površina. U nekim slučajevima potrebna su ograničenja da bi se osiguralo pravilno funkcioniranje strojeva ili uređaja na konstrukciji ili da se spriječi ulegnuće ravnih krovova. Također se može zahtijevati ograničenje vibracija jer one mogu prouzrokovati nelagodu ili smetnje korisnika građevine i, u ekstremnim slučajevima, štete na konstrukciji. Izgled i uporabljivost konstrukcije mogu biti okrnjeni. Ako je proračunski progib grede, ploče ili konzole za nazovistalno opterećenje veći od 1/250 raspona (leff u cm), on može imati nepovoljan utjecaj na izgled i uporabu. Progib se mjeri u odnosu na spojnicu ležajeva. Nadvišenja su dopuštena za izjednačivanje jednoga dijela ili čitavoga progiba. Nadvišenje oplate ne treba općenito premašiti vrijednost 1/ 250 raspona. Proračunski progib greda kranskih staza ograničava se na 1/500 raspona (NAD).

Page 146: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

250/effg lv = Progibi mogu uzrokovati štete na lakim pregradnim zidovima, na elementima koji su na njih pričvršćeni ili naslonjeni te štetu na pričvršćenjima i završnim slojevima ako je proračunski progib nakon ugradnje tih dijelova prekomjerno velik. Prihvatljiva granična vrijednost ovisi o prirodi elementa koji se može oštetiti. Kao smjernica može se uzeti ograničenje od 1/500 raspona (leff u cm). Ovu granicu dopušteno je ublažiti u slučajevima kad su elementi tako proračunani da mogu podnijeti veće progibe ili kad se zna da su sposobni podnijeti veće progibe bez štete.

500/effg lv = 4.3.2. Slučajevi za koje proračunski dokaz može izostati Općenito nije nužno proračunavati progibe ako se mogu utvrditi jednostavna pravila, npr. ograničenje vitkosti pri savijanju (omjer raspona i proračunske visine)(leff/d), kojima se sprečavaju nedopušteni progibi u normalnim okolnostima. Točniji dokazi potrebni su za elemente koji su izvan tih granica ili gdje su potrebna druga ograničenja progiba od onih koje pretpostavlja pojednostavnjeni postupak. Ako su armiranobetonske grede ili ploče u zgradama tako proračunane da imaju dopuštenu vitkost pri savijanju, može se uzeti da njihov progib neće prijeći granice leff/250 ili leff/500. 2

Page 147: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3

Dopuštena vitkost na savijanje dobiva se kao umnožak osnovne vrijednosti prema tablici 4.5. i korekcijskoga koeficijenta koji uzima u obzir upotrijebljen u armaturu i druge utjecaje. Kod izradbe tih tablica nije obuhvaćeno nadvišenje. Vrijednosti iz tablice 4.5. trebaju se umanjiti u ovim slučajevima: - za presjek kod kojih je omjer proračunske širine pojasnice (beff) i širine hrpta (bw) veći od 3 množenjem vrijednosti u tablici 4.5. s 0.8. - za raspone veće od 7 m (ali ne za ploče bez pojačanja nad stupovima) s pregradnim zidovima množenjem osnovnih vrijednosti faktorom 7 /leff (leff u mm). - za ploče bez pojačanja nad stupovima gdje veći raspon prelazi 8.5 m vrijednosti valja množiti faktorom 8.5/leff (leff u m). Vrijednosti u tablici 4.5. izvedene su uz pretpostavku da naprezanja u čeliku pod uporabnim opterećenjem u raspucanom presjeku u sredini raspona grede ili ploče ili na mjestu upetosti konzole, iznose σs = 250 N/mm2, što približno odgovara čeliku čiji je fyk=400 N/mm2. Tamo gdje naprezanja odstupaju od navedenog, vrijednosti u tablici 4.5. trebaju biti množene faktorom 250/σs, gdje je σs (N/mm2) naprezanje u presjeku pod učestalim opterećenjem.

Page 148: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Tablica 4.5. Osnovni odnosi za dopuštenu vitkost pri savijanju armiranobetonskih elementa bez uzdužne sile

4

Page 149: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Redovito će biti na strani sigurnosti pretpostavka da je:

provsreqsyks AAf ,, /400250

gdje je: - As,prov - stvarna ploština presjeka vlačne atmature (usvojena) u presjeku elementa s kojom se postiže potrebni moment nosivosti - As,req - potrebna ploština presjeka vlačne armature u promatranom presjeku Kod primjene tablice 4.5. upozorava se na: - navedene vrijednosti nalaze se u pravilu na strani sigurnosti, a točniji proračunski dokazi daju često tanje elemente - elementi u kojima je beton malo napregnut jesu oni kod kojih je ρ< 0.5 % (ρ = As/(bd)). Obično se može uzeti da su ploče malo napregnute - ako je koeficijent armiranja poznat, vrijednosti između onih koje se daju za jako napregnute i za malo napregnute elemente mogu se dobiti interpolacijom, pretpostavljajući da vrijednostima za "nisko naprezanje" odgovara ρ = 0.5 %, a vrijednostima za "jako naprezanje" ρ = 1.5 % - za ploče koje nose u dva smjera treba dokaz provesti za kraći raspon. Za ploče bez pojačanja nad stupovima valja uzeti dulji raspon - dano ograničenje za ploče bez pojačanja nad stupovima manje je strogo od dopuštenoga progiba od leff/250, mjereno

5

Page 150: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

u odnosu na spojnicu ležajeva. Iskustvo je pokazalo da je to zadovoljavajuće. - progib ploča bez greda ograničava se na 1/250 raspona (NAD). 4.3.3. Proračun progiba Proračunom progiba potrebno je dokazati:

gtot vv ≤ gdje je: - vtot - maksimalni progib od kratkotrajnog i dugotrajnog opterećenja - vg – granični progib dan propisima (leff/250 ili leff/500) Pojednostavnjeni postupak proračuna pogodan za dimenzioniranje elemenata kao što su okviri, grede i ploče. Na deformiranje armirano betonskih i prednapetih betonskih elemenata utječu mnogi čimbenici od kojih niti jedan nije dovoljno točno istražen. Stoga izračunani rezultat ne treba uzeti kao točno predviđanje očekivanih progiba, pa se s tog razloga ne preporučuje primjena pretjerano opsežnih proračunskih postupaka. Za konstrukcije zgrada općenito zadovoljava, ako se progib proračuna za kombinacije nazovistalnih opterećenja, pretpostavljajući da ona djeluju u dugom razdoblju.

6

Page 151: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Pretpostavlja se da postoje dva krajnja uvjeta kod deformiranja betonskih presjeka: - neraspucano stanje - u tom slučaju čelik i beton djeluju zajedno i elastično u vlačnom i tlačnom području - potpuno raspucano stanje - u tom slučaju zanemaruje se nosivost betona na vlak Elementi koji nisu napregnuti iznad dopuštene vlačne čvrstoće betona bilo gdje u elementu smatraju se neraspucanim. Elementi kod kojih se očekuju pukotine ponašaju se kao da se nalaze između neraspucanog i potpuno raspucanog stanja. Za elemente opterećene pretežno na savijanje odgovarajuće ponašanje opisano je jednadžbom :

( ) lll αζαζα −+= 1 gdje je: - α - koeficijent deformiranja (može biti deformacija, progib, zakrivljenost ili zaokretanje) (pojednostavnjeno može se a uzeti kao progib). - αl i αll odgovarajuće su vrijednosti koeficijenata deformiranja za neraspucano (l) i potpuno raspucano stanje (ll) - ζ - koeficijent raspodjele dan jednadžbom:

( )221 /1 ssr σσββζ −=

7

Page 152: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- β1 - koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj prionljivosti betonskog čelika i betona β1= 1.0 za rebrasti čelik β1= 0.5 za glatki betonski čelik - β2 - koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj trajanja opterećenja ili ponovljenog opterećenja β2= 1.0 za pojedinačno kratkotrajno opterećenje β2= 0.5 za trajno opterećenje ili za opetovano opterećenje - σs - naprezanje u vlačnoj armaturi proračunanoj na temelju raspucanoga presjeka - σsr - naprezanje u vlačnoj armaturi proračunanoj na temelju raspucanoga presjeka za kombinaciju opterećenja koja uzrokuje prvu pukotinu (NAPOMENA σs /σsr može se zamijeniti s M/Mcr za savijanje ili N/Ncr za čisti vlak) - ζ=0 za neraspucane presjeke Progib se izračuna iz poznate funkcije za zakrivljenost i uz zadovoljenje rubnih uvjeta:

∫∫= dxdxr

vxtot

tot,

1

Umjesto integrala dopušta se primjena Simpsonove formule za numeričku integraciju. Za elemente konstantne visine često se rabi pojednostavljena metoda određivanja progiba. Proračuna se zakrivljenost na mjestu maksimalnog momenta po izrazu:

8

Page 153: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

tottot r

Lkv 12⋅=

gdje je: - k - koeficijent ovisan o statičkom sustavu i opterećenjeu (tablica 4.6.) - L - raspon elementa - 1/rtot – zakrivljenost u presjeku u sredini raspona Sada ćemo opisati postupak kako će se odrediti 1/rtot (zakrivljenost u presjeku u sredini raspona). Srednja vlačna čvrstoća materijala:

3/230.0 ckctm ff = Sekantni modul elastičnosti betona:

( 3/185.9 += ckcm fE ) (Ecm u kN/mm2 i fck u N/mm2) Puzanje se može uključiti primjenom proračunskog modula elastičnosti prema jednadžbi:

( )Φ+= 1/, cmeffc EE gdje je: - Φ - koeficijent puzanja Omjer modula elastičnosti čelika i betona:

9

Page 154: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

cm

se E

E=α

Prilikom proračuna zakrivljenosti poprečnog presjeka zbog opterećenja, puzanja i skupljanja rabe se momenti tromosti poprečnog presjeka, i to samo za betonski presjek (I0), za presjek u stanju naprezanja I (II) (bez pukotina) i za presjek u stanju naprezanja II (III) (s pukotinama), te statički momenti ploštine armature za stanje naprezanja I (SI) i II (SII). Srednja zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja, (1/rm), sastoji se od zakrivljenosti u stanju naprezanja I, (1/rl) i stanju naprezanja II, (1/rll), koje su pomnožene koeficijentom raspodjele zakrivljenosti ζ:

IIIm rrr11)1(1 ςς +−=

Zakrivljenost za stanje naprezanja I proračunava se prema izrazu:

Ieffc

Sd

I IEM

r ⋅=

,

1

gdje je II moment tromosti poprečnog presjeka u stanju I. Zakrivljenost za stanje naprezanja II proračunava se prema izrazu: 10

Page 155: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

IIg

sI

II ydr −=

ε1

gdje je yIIg udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba poprečnog presjeka za stanje II. Relativna deformacija armature proračunava se prema izrazu:

s

ssI E

σε =

Naprezanje u armaturi proračunava se prema izrazu: gdje je:

yks

Sds f

zAM

≤⋅

=1

σ

gdje je: - As1 - ploština vlačne armature - z - krak unutarnjih sila. Ako je riječ o nosaču pravokutnog presjeka i nosaču T-presjeka, u srednjem dijelu raspona, kada je neutralna os u ploči poprečnog presjeka, tj. yIIg≤hf, tada se krak unutarnjih sila, z, proračuna prema izrazu: z = d - yIIg /3 . Ako se radi o nosaču T-presjeka kada je neutralna os u rebru poprečnog presjeka yIIg > hf , krak unutarnjih sila proračunava se prema pojednostavnjenom izrazu: z =d – hf/2, zanemarujući relativno mali dio tlačno naprezanog betonskog presjeka T-

11

Page 156: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

nosača ispod ploče (pretpostavlja se da tlačnu silu u betonu preuzima samo ploča) što je na strani sigurnosti. Moment nastanka prve pukotine u betonu proračunava se prema izrazu:

d

mctcr y

IfM

0

0, ⋅=

gdje je I0 moment tromosti betonskog presjeka, a y0d je udaljenost težišta betonskog presjeka od donjeg ruba (u tom slučaju vlačnog ruba). Naprezanje u armaturi na mjestu i pri nastanku prve pukotine proračuna se prema izrazu:

zAM

s

crcr ⋅=

1

σ

Ako je MSd<Mcr tj. σs<σsr tada presjek ostaje u stanju naprezanja I (bez pukotina), a koeficijent raspodjele zakrivljenosti ζ=0. Ako je MSd>Mcr tj. σs>σsr , koeficijent raspodjele zakrivljenosti, ζ proračunava se prema izrazu:

( )221 /1 ssr σσββζ −=

Potrebno je jo izračunati i srednju zakrivljenost zbog skupljanja betona, (1/rcsm) koja se sastoji se od zakrivljenosti u stanju naprezanja I, (1/rcsI), i stanju naprezanja II, (1/rcsII), koje su pomnožene koeficijentima raspodjele zakrivljenosti ζ: 12

Page 157: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

csIIcsIcsm rrr11)1(1 ςς +−=

Zakrivljenost zbog skupljanja za stanje naprezanja I proračunava se prema izrazu:

I

Iecs

csI IS

r⋅⋅

= ∞ αε1

gdje je: . -εcs∝ -relativna deformacija zbog skupljanja u beskonačnosti - αe - omjer modula elastičnosti čelika i betona dan izrazima - SI - statički moment ploštine ar mature za stanje naprezanja I - II - moment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I. Zakrivljenost zbog skupljanja za stanje naprezanja II proračunava se prema izrazu:

II

IIecs

csII IS

r⋅⋅

= ∞ αε1

-SII -statički moment ploštine armature za stanje naprezanja -III -moment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja II.

13

Page 158: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Konačno dobijemo ukupna zakrivljenost zbog opterećenja, puzanja i skupljanja betona koja se proračunava prema izrazu:

csmmtot rrr111

+=

Ukupni progib armiranobetonskog nosača vtot mora biti manji od granično definiranog propisima vg:

gtot

tot vr

Lkv ≤⋅=12

500/250/ effeffg llv =

Kako je pri proračunu progiba najveći problem proračun geometrijskih karakteristika presjeka (naročito za T-presjek), u tablici 4.7. dani su izrazi za njihov proračun.

14

Page 159: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

15

Tablica 4.6. Koeficijenti k

Page 160: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Tablica 4.7. Geometrijske karakteristike 16

Page 161: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

17

Page 162: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

18

Page 163: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

5. RAZREDBA POJEDINOSTI 5.1. OPĆENITO Odredbe navedene u ovoj točki vrijede za sve šipke i mreže od betonskih čelika te za čelik za prednapinjanje kod pretežno mirnog opterećenja. One ne vrijede za: - laki beton - dinamičko opterećenje. Za laki beton vrijede dopunska pravila u ENV 1992-1-4. Za konstrukcije naprezane na zamor vidi ENV 1992-5. Moraju biti ispunjeni zahtjevi za najmanji zaštitni sloj.

Page 164: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

5.2. BETONSKI ČELIK 5.2.1. Opća pravila armiranja 5.2.1.1. Razmaci šipki Razmak šipki mora biti najmanje toliki da se beton može ugraditi i zbiti te da je osigurano dovoljno prianjanje. Promjer najvećeg zrna dg agregata treba tako odabrati da se osigura zadovoljavajuće zbijanje u području armature. Svijetli razmak (horizontalno i vertikalno) između usporednih pojedinačnih šipki ili horizontalnih slojeva usporednih šipki ne smije biti manji od promjera najveće šipke ili 20 mm. Za dg> 32 mm ovi razmaci ne smiju biti manji od dg + 5 mm. Kod rasporeda šipki u odvojenim horizontalnim slojevima šipke svakog sloja treba postaviti jednu iznad druge, a među prostor između redova šipki mora omogućiti pristup vibratoru. Dopušteno je da se šipke koje se preklapaju dodiruju na duljini preklopa. 5.2.1.2. Dopustivi promjeri savijanja Najmanji promjer trna za savijanje šipki mora se tako odrediti da se isključi cijepanje betona ili drobljenje u području savijanja te pukotine u šipki kao posljedica savijanja.

Page 165: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Najmanji promjer trna za savijanje šipki i žica ne bi trebao biti manji od vrijednosti navedenih u tablici 5.1. Tablica 5.1. Najmanji promjeri trna za savijanje U tablici briše se 4. red koji se odnosi na čelik s oznakom S220. U prvom stupcu posljednjeg retka umjesto oznaka S400 i S500 stavlja se oznaka B500 (NAD).

Za zavarenu armaturu i mreže koje se savijaju nakon zavarivanja vrijede najmanji promjeri trna za savijanje prema tablici 5.2. Tablica 5.2. Najmanji promjeri trna za savijanje zavarene armature

2

Page 166: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

5.2.2. Prianjanje Kakvoća prianjanja ovisi o strukturi površine šipke, izmjerama elementa, kao i o položaju i kutu nagiba armature za vrijeme betoniranja. Za obični beton uvjeti prianjanja smatraju se dobrim za: a) sve šipke s nagibom od 450 do 900 prema horizontali za vrijeme betoniranja (vidi sliku 5.1.a) b) sve šipke s nagibom od 00 do 450 prema horizontali za vrijeme betoniranja koje su: - ugrađene u elemente čija debljina ne premašuje 250 mm u smjeru betoniranja (slika 5.1.b) ili ugrađene u elemente debljine veće od 250 mm nakon betoniranja - u donjoj polovini elementa (vidi sliku 5.1.c) ili udaljene najmanje 300 mm od svoje gornje plohe (vidi sliku 5.1.d) Sve ostale uvjete prianjanja treba smatrati umjerenim.

3

Page 167: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 5.1. Određivanje uvjeta prijanjana 5.2.2.2. Naprezanje prianjanja u graničnom stanju nosivosti Proračunska nosivost prianjanja mora se tako odrediti da pod uporabnim opterećenjem ne nastupi bitan pomak između čelika i betona te da postoji dovoljna sigurnost prema otkazivanju prianjanja. Za dobre uvjete prianjanja u tablici 5.3. navedene su osnovne vrijednosti za proračunsku čvrstoću prianjanja fbd. Za sve ostale slučajeve moraju se vrijednosti iz tablice 5.3. množiti koeficijentom 0.7. Tablica 5.3. Proračunska čvrstoća prianjanja fbd

4

Page 168: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Te vrijednosti su dobivene iz ovih formula s γc = 1.5 :

cckbd ff γ/)36.0(= - rebraste šipke: cctkbd ff γ/)25.2( 05,0= Ako djeluje poprečni tlak p (poprečno na moguću ravninu cijepanja), mogu se vrijednosti iz tablice 5.3. povećati za 1/(1-0.04 p)<1.4; P je srednji poprečni tlak u području sidrenja (u N/mm2). 5.2.2.3 Osnovna duljina sidrenja Osnovna duljina sidrenja je ravna duljina koja je potrebna za sidrenje sile Fs = Asfyd u šipki pod pretpostavkom stalne proračunske čvrstoće prianjanja fbd. Kod određivanja osnovne duljine sidrenja moraju se uzeti u obzir vrsta čelika i svojstva prianjanja šipki. Osnovna duljina sidrenja za sidrenje šipke nazivnoga promjera ∅ jest:

bd

ydb f

fl

4∅

=

Vrijednosti za fbd navedene su u tablici 5.3.

5

Page 169: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Za zavarene mreže od betonskoga čelika s dvostrukim šipkama treba se promjer ∅ u gornjoj jednadžbi zamijeniti istovrijednim promjerom 2∅=∅n . 5.2.3. Sidrenja Armaturne šipke, armaturne žice ili zavarene mreže moraju se sidriti tako da se njihove sile prenesu na beton te da se isključi stvaranje uzdužnih pukotina ili odlamanje betona u području sidrenja. Ako je to potrebno, može se predvidjeti poprečna armatura. Djelotvornost sidara mora se dokazati ispitivanjima. Naročito brižljivo mora se ispitati njihovo svojstvo prijenosa koncentriranih sila u području sidrenja. 5.2.3.2. Vrste sidrenja Najčešće upotrebljavane vrste sidrenja prikazane su na slici 5.2. Sidrenja s ravnim krajevima šipki ili s kutnim kukama (vidi sliku 5.2.a) ili c)) ne treba primjenjivati za glatke šipke nazivnoga promjera većeg od 8 mm. Kuke, kutne kuke ili petlje ne preporučuju se za tlačne šipke, uz iznimku glatkih šipki, koje u području sidrenja kod određenih slučajeva opterećenja mogu biti naprezane na vlak.

6

Page 170: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Ako se uzimaju u obzir odredbe prema tablici 5.1. i ako se izbjegava veći broj usidrenja u istom presjeku, može se izbjeći odlamanje betona ili razaranje betonske strukture.

Slika 5.2. Potrebna duljina sidrenja 5.2.3.3. Poprečna armatura usporedna s površinom betona Poprečna armatura u gredama treba biti postavljena: - kod sidrenja vlačnih šipki bez poprečnoga tlaka koji bi nastao od sila na osloncu (kao npr. u slučaju neizravnog oslanjanja) - kod svih sidrenja tlačnih šipki. Najmanja ploština presjeka poprečne armature u smjeru usporednom s ravninom u kojoj leži uzdužna armatura iznosi 25 % ploštine usidrene šipke (vidi sliku 5.3.) ∑Ast = n . Ast

7

Page 171: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

gdje je: - n- broj poprečnih šipki unutar duljine sidrenja - Ast - ploština poprečnoga presjeka šipke poprečne armature Poprečnu armaturu treba raspodijeliti ravnomjerno po duljini sidrenja. U području kuka, kutnih kuka ili petlji mora se nalaziti najmanje jedna poprečna šipka. Kod tlačnih šipki mora poprečna armatura obuhvatiti šipke, a na kraju duljine sidrenja mora se postaviti koncentrirano; poprečna armatura mora se k tome položiti u području od najmanje 4∅ preko područja nastavljanja (vidi sliku 5.5.).

Slika 5.3. Poprečna armatura u području sidrenja šipki 5.2.3.4. Potrebna duljina sidrenja 5.2.3.4.1. Šipke i žice Potrebna duljina sidrenja može se proračunati iz :

8

Page 172: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

min,,

,, b

provs

reqsbanetb l

AA

ll ≥=α

gdje je (vidi sliku 5.2.):

- bd

ydb f

fl

4∅

= - osnovna duljina sidrenja

- As,req i As,prov označavaju potrebnu, odnosno stvarnu ploštinu presjeka armature Najmanja vrijednost duljine sidrenja (lb,min) iznosi: - za sidrenje vlačnih šipki:

mmilill bb 100103.0min, ≥∅≥= - za sidrenje tlačnih šipki:

mmilill bb 100106.0min, ≥∅≥= - αa - koeficijent kojim se uzima u obzir djelotvornost sidrenja αa = 1 za ravne šipke αa = 0.7 za zakrivljene šipke naprezane na vlak (vidi sliku 5.2.), kad zaštitni sloj iznosi najmanje 3∅ okomito na ravninu zakrivljenosti u području kuke, kutne kuke ili petlje. 5.2.3.4.2. Mreže od rebrastih šipki Može se primijeniti jednadžba:

min,,

,, b

provs

reqsbanetb l

AA

ll ≥=α

9

Page 173: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

10

Ako u području sidrenja postoje poprečne šipke, dopušteno je vrijednosti iz gornje jednadžbe smanjiti množenjem faktorom 0.7. 5.2.3.4.3. Mreže od glatkih šipki Smiju se primijeniti na temelju pripadajućih normi. 5.2.3.5. Sidrenje s pomoću mehaničkih naprava Prikladnost sidara mora se dokazati potvrdom prikladnosti. 5.2.4. Nastavci Nastavljanje šipki mora se izvesti tako: - da je osiguran prijenos sila s jedne šipke na drugu - da se u području nastavaka ne pojavi odlamanje betona - da širina pukotina na kraju nastavaka značajno ne prekoračuje granične vrijednosti 5.2.4.1. Nastavci šipki ili žica na preklop 5.2.4.1.1. Raspored nastavaka na preklop Kad je moguće treba preklope: - postaviti izmaknuto; ne bi se trebali nalaziti u područjima velikih naprezanja - postaviti u svakom presjeku simetrično i paralelno prema vanjskoj površini elementa. Za nastavke na preklop vrijede i točke 5.2.3.2 .

Page 174: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Za svijetli razmak šipki u području nastavka na preklop vrijede vrijednosti prema slici 5.4.

Slika 5.4. Nastavljanja u neposrednoj blizini 5.2.4.1.2. Poprečna armatura Kad je promjer ∅ nastavljanih šipki manji od 16 mm ili ako udio nastavljanih šipki u proizvoljnom presjeku iznosi manje od 20 %, koja se tu nalazi iz drugih razloga, treba smatrati dovoljnom. Kada je ∅ veći ili jednak 16 mm, poprečna armatura treba: - imati ukupnu ploštinu (zbroj svih šipki usporednih s ravninom nastavljanih armaturnih šipki, vidi sliku 5.5.) koja nije manja od ploštine As jedne nastavljene šipke (∑Ast ≥ 1.0 As) - biti oblikovana kao spona ako je a ≤ 10 ∅ (vidi sliku 5.6.), a u suprotnom slučaju može biti ravna

11

Page 175: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- biti postavljena između uzdužne armature i površine betona. Poprečnu armaturu treba raspodijeliti ravnomjerno po duljini sidrenja. U području kuka, kutnih kuka ili petlji mora se nalaziti najmanje jedna poprečna šipka. Kod tlačnih šipki mora poprečna armatura obuhvatiti šipke, a na kraju duljine sidrenja mora se postaviti koncentrirano; poprečna armatura mora se k tome položiti u području od najmanje 4∅ preko područja nastavljanja (vidi sliku 5.5).

Slika 5.5. Poprečna armatura za nastavljanje na preklop 5.2.4.1.3. Duljina preklopa Potrebna duljina preklopa zadana je s:

min,1, snetbs lll ≥= α gdje je:

min,,

,, b

provs

reqsbanetb l

AA

ll ≥=α - potrebna duljina sidrenja

mm200153.0 1min, ≥∅≥≥ bas ll αα Za α vrijedi:

12

Page 176: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- α=1 za duljine preklopa tlačnih i vlačnih šipki ako se nastavlja manje od 30 % šipki u jednom presjeku i ako su a ≥ 10∅ , kao i b ≥ 5∅ , sve prema slici 5.6. - α =1.4 za duljine preklopa vlačnih šipki kad je: a) 30 % šipki ili više nastavljeno u jednom presjeku ili

b) ako je jedan od dva razmaka prema slici 5.6. manji od a=10∅ ili b=5∅, ali ne oba.

- α=2 za duljine preklopa vlačnih šipki kad je ispunjen uvjet a) te kad su oba u uvjetu b) navedena razmaka a i b manja od navedenih vrijednosti.

Slika 5.6. Određivanje a1 5.2.4.2. Nastavci zavarenih mreža od rebrastih šipki 5.2.4.2.1. Nastavci glavne armature Iduće odredbe odnose se samo na najčešći slučaj nastavaka na preklop u dvije ravnine. Odredbe za nastavke u jednoj ravnini nisu navedene u EC2. Nastavci se moraju nalaziti u područjima u kojima naprezanja rijetkih kombinacija opterećenja nisu veća od 80 % proračunske nosivosti presjeka.

13

Page 177: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Ako nije ispunjen gornji uvjet, tada se kod dokaza graničnog stanja nosivosti u proračun stavlja ona proračunska visina presjeka, koja odgovara udaljenosti od tlačnog ruba betona do armature najudaljenije od vlačnog ruba. Dopušteni je postotak nastavljanja glavne armature u nekom proizvoljnom presjeku u odnosu na ukupni presjek čelika: - 100 % ako omjer presjeka mreže i razmaka žica (As/s) ima vrijednost As/s ≤ 1200 mm2/m; - 60 % ako je As/s > 1200 mm2/m i ako se radi o unutarnjoj mreži (kod višeslojnog armiranja). Nastavke višeslojnih armatura treba razmaknuti za 1.3 ls

( min,,

,2 s

provs

reqsbs l

AA

ll ≥= α ) u uzdužnom smjeru.

Duljina preklopa određuje se ovako:

min,,

,2 s

provs

reqsbs l

AA

ll ≥= α

gdje je:

0,2800

/4.00.1 2 ≤+=≤sAsα

- bd

ydb f

fl

4∅

= uz primjenu fbd za rebraste šipke

- As,req i As,prov označavaju potrebnu, odnosno stvarnu

14

Page 178: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- As/s i mm2/m - tbs sll ≥≥= mm2003.0 2min, α - sl - razmak zavarenih uzdužnih šipki - st - razmak zavarenih poprečnih šipki Dodatna poprečna armatura nije potrebna u području preklopa. 5.2.4.2.2. Nastavci poprečne armature Ukupna poprečna armatura može se nastavljati na jednom mjestu. Najmanje duljine preklopa navedene su u tablici 5.4. Najmanje dvije poprečne šipke moraju se nalaziti unutar nastavaka na preklop (jedno okno). Tablica 5.4. Preporučljiva duljine preklopa u poprečnom smjeru

5.2.5. Sidrenje spona i poprečne armature

15

Page 179: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Spone i poprečna armatura moraju se općenito sidriti s pomoću kuka ili s pomoću navarene poprečne armature. Rebraste šipke ili žice mogu se također sidriti s kutnim kukama. Unutar kuke ili kutne kuke treba predvidjeti poprečnu šipku. Za dopušteni najmanji promjer trna za kuke i kutne kuke vrijede vrijednosti navedene u tablici 5.1. Sidrenje se općenito smatra zadovoljavajućim: - ako se na zakrivljeni dio kuke ili kutne kuke nastavlja ravni komad čija duljina nije manja od

- 5∅ ili 50 mm ako se priključuje na kut od 1350 ili više (vidi sliku 5.7.a)) - 10∅ ili 70 mm ako se priključuje na kut od 900 (vidi sliku 5.7.b))

- ako su blizu kraja ravne šipke položene - ili dvije navarene poprečne šipke (vidi sliku 5.7.c)) - ili jedna poprečna šipka čiji promjer nije manji od 1.4-strukog promjera spona (vidi sliku 5.7.d)).

Slika 5.7. Sidrenje spona 16

Page 180: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

17

5.2.6. Dodatna pravila za rebraste šipke nazivnoga promjera većeg od 32 mm 5.2.6.1. Oblikovanje Primjena šipki profila ∅>32 mm dopuštena je samo u elementima čija je najmanja debljina veća od 15∅. Kod primjene velikih promjera šipki treba ograničiti raspucavanje postavljanjem potpovršinske armature (vidi točku 5.4.2.4), ili treba provesti odgovarajući dokaz. Najmanji zaštitni sloj treba biti c ≥∅. Svijetli razmak (horizontalno ili vertikalno) između pojedinih paralelnih šipki ili horizontalnih slojeva usporednih šipki ne smije biti manji od najvećega promjera šipki ili dg+5 mm, pri čemu je dg nazivni promjer najvećeg zrna agregata. 5.2.6.2. Prianjanje Kod promjera šipki ∅>32 mm treba vrijednosti fbd iz tablice 5.3. množiti koeficijentom (132 - ∅)/100 (∅ u mm). 5.2.6.3. Sidrenja i nastavci

Page 181: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

18

Šipke velikih promjera moraju se sidriti kao ravne šipke ili s posebnim sidrima. Ne smiju se sidriti u vlačnim područjima. Nisu dopušteni nastavci na preklop u elementima koji su naprezani na tlak ili na vlak. Odredbe koje slijede dopunjavaju podatke iz točke 5.2.3. Kod greda i ploča u području sidrenja gdje nema poprečnoga tlaka potrebna je dodatna poprečna armatura. Kod ravnih sidrenja (za oznake vidi sliku 5.8.) ne smije dodatna poprečna armatura biti manja od navedenog: - dodatna poprečna armatura u smjeru usporedno s donjom stranom elementa Ast = n1 0.25 As - dodatna poprečna armatura u smjeru okomito na donju stranu elementa Asv = n2 0.25 As gdje je: - As - ploština presjeka usidrene šipke - n1 - broj slojeva armature koja je sidrena u istom presjeku - n2 -broj armaturnih šipki koje su sidrene u svakom sloju. Dodatna poprečna armatura treba biti raspoređena jednolično po području sidrenja na razmacima koji približno odgovaraju 5-strukom promjeru šipki uzdužne armature.

Page 182: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Za potpovršinsku armaturu vrijedi točka 5.4.2.4. Presjek potpovršinske armature ne smije ipak biti manji od 0.01 Act,ext u okomitom smjeru, te ne manji od 0.02 Act,ext usporedno sa šipkama većih promjera (oznake vidi na slici 6.6.).

Slika 5.8. Dodatna poprečna armatura u području sidrenja bez poprečnog tlaka za promjer šipki > 32 mm 5.2.7. Snopovi od rebrastih šipki 5.2.7.1. Općenito Ako nije drugačije određeno, za snopove vrijede ista pravila kao i za pojedinačne šipke. U jednom snopu moraju sve šipke imati isti promjer i ista svojstva (vrsta i razred čvrstoće). Za dimenzioniranje se snop šipki zamjenjuje istovrijednom šipkom jednake ploštine presjeka i s istim težištern. Istovrijedni se promjer ∅n dobiva iz

mm55≤∅=∅ bn n 19

Page 183: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

20

gdje je: - nb - broj armaturnih šipki jednog snopa s ovim grani čnim vrijednostima: nb ≤4 za vertikalne šipke naprezane na tlak te za šipke koje se nastavljaju na preklop nb ≤3 za sve ostale slučajeve. Promjer najvećeg zrna dg agregata treba tako odabrati da se osigura zadovoljavajuće zbija nje u području armature. Svijetli razmak računa od vanjskog obrisa snopa. Zaštitni sloj snopa šipki mora biti c > ∅n . 5.2.7.2. Sidrenja i nastavci Sidrenja i nastavci na preklop snopa šipki moraju se izvesti sidrenjem ili preklapanjem svake pojedine šipke. Dopuštena su samo ravna sidrenja šipki; moraju se postaviti izmaknuto. Za snopove s 2, 3 ili 4 šipke mora uzdužno sidrenje iznositi 1.2-, 1.3- ili 1.4- struku duljinu sidrenja pojedinačne šipke. Šipke treba pojedinačno preklapati. Ni u kojem slučaju ne smije se više od 4 šipke nalaziti u jednom presjeku. Za snopove s 2, 3 ili 4 šipke mora duljina preklopa iznositi 1.2-, 1.3- ili 1.4- struku duljinu sidrenja pojedinačne šipke.

Page 184: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

5.3. NATEGE 5.3.1. Raspored natega Kod prethodnog napinjanja natege moraju biti razmaknute. Kod naknadnog napinjanja snopovi natega općenito nisu dopušteni. Dopuštena je primjena parova natega koje su položene vertikalno jedna iznad druge ako su predviđene primjerene mjere kod napinjanja i injektiranja. Kod dvostruko zakrivljenih natega potrebna je osobita pažnja. 5.3.2. Zaštitni sloj Zaštitni sloj izmedu unutarnje površine oplate i natega, kod prethodnog napinjanja ili cijevi mora se odrediti uz uzimanje u obzir veličine natega ili cijevi. Najmanja veličina zaštitnog sloja mora odgovarati vrijednosti danim kod opisa zaštitnog sloja. 5.3.3. Horizontalni i vertikalni razmak Razmaci cijevi ili natega moraju se odrediti tako da se omogući pravilna ugradba i zbijanje betona te da se postigne dostatno prianjanje između betona i natege. 5.3.3.1. Prethodno napinjanje Horizontalni i vertikalni svijetli najmanji razmak pojedinih natega prikazan je na slici 5.9.

Page 185: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika5.9. Svijetli najmanji razmak natega pri predhodnom napinjanju 5.3.3.2. Naknadno napinjanje Uz iznimku usporedno položenih cijevi, svijetli razmak između cijevi treba iznositi: - horizontalno: dduct ili 40 mm - vertikalno: dduct ili 50 mm gdje dduct označava promjer cijevi. 5.3.4. Sidra i spojke natega Sidra koja se primjenjuju kod natega s naknadnim napinjanjem i duljine sidrenja natega s prethodnim napinjanjem moraju biti tako proračunane da se može preuzeti cjelokupna proračunska sila natege, pri čemu treba uzeti u obzir ponavljane učinke brzih promjena djelovanja. Spojke natega moraju se rasporediti uzimanjem u obzir mogućih, njima izazvanih smetnji tako da to nema utjecaja na nosivost elementa te da se mogu pravilno izvesti privremena sidrenja u fazi izgradnje. 2

Page 186: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3

Proračun lokalnih utjecaja na beton i proračun poprečne armature treba provesti u skladu s točkom 2.5.3.7.4 (EC2). Spojke se općenito moraju nalaziti podalje od unutarnjih ležajeva. Mora se izbjegavati raspored spajanja s 50% ili više spojki natega u jednom presjeku.

Page 187: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

6. KONSTRUKCIJSKI ELEMENTI 6.1. STUPOVI, TLAČNI ELEMENTI Stupovi jesu oni elementi, čiji raspon ili duljina nije manja od dvostruke visine poprečnog presjeka. Zid bi trebao imati horizontalnu duljinu od najmanje četverostruke debljine. Ako je nema, smatra se stupom. Ova točka obrađuje stupove čija veća izmjera b ne prekoračuje četverostruku manju izmjeru h (b<4h). 6.1.1. Najmanje izmjere Najmanja je dopuštena duljina stranice presjeka stupa: - 200 mm za stupove punoga presjeka, koji se betoniraju na samom mjestu (vertikalno), - 140 mm za horizontalno betonirane predgotovijene stupove. 6.1.2. Uzdužna armatura Promjer armaturnih šipki ne treba biti manji od 12 mm. Najmanja ploština presjeka ukupne uzdužne armature As,min izračunava se iz jednadžbe:

cyd

Sds A

fNA 003.015.0

min, ≥=

1

Page 188: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2

gdje je: - fyd - proračunska granica popuštanja betonskog čelika - NSd - proračunska uzdužna sila - Ac - ukupna ploština presjeka betona. Ni u području nastavaka na preklop presjek armature ne treba premašiti gornju graničnu vrijednost 0.08Ac. Uzdužne šipke treba raspodijeliti po opsegu presjeka. U stupovima poligonalnoga presjeka mora u svakom kutu biti najmanje jedna šipka. U stupovima kružnoga presjeka treba postaviti najmanje 6 šipki. 6.1.3. Poprečna armatura Promjer poprečne armature (spona, petlji ili zavojnica) treba biti najmanje 6 mm, ili četvrtina najvećega promjera uzdužne armature; mjerodavna je veća vrijednost. Promjer žica kod mreža koje se rabe kao spone treba biti najmanje 5 mm. Poprečna armatura treba biti dovoljno usidrena. Razmaci spona ne smiju premašiti ove vrijednosti: - 12-struki najmanji promjer uzdužne šipke - najmanja stranica presjeka stupa - 300 mm. Ti razmaci moraju se umanjiti faktorom 0.6: - u područjima neposredno iznad i ispod greda ili ploča na visini jednakoj većoj izmjeri presjeka stupa - kod nastavljanja na preklop kad je najveći promjer uzdužnih šipki veći od 14 mm.

Page 189: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

3

Kod promjene smjera uzdužne armature (npr. kod promjene dimenzija presjeka stupa) treba razmak poprečne armature utvrditi uzimanjem u obzir skretnih sila. Svaka uzdužna šipka (ili grupa uzdužnih šipki) mora u kutovima biti pridržana poprečnom armaturom. Najviše 5 šipki u svakom kutu ili u blizini svakoga kuta može se osigurati protiv izvijanja jednostrukom sponom.

Page 190: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

6.2. GREDE Grede jesu oni elementi, čiji raspon ili duljina nije manja od dvostruke visine poprečnog presjeka. Gredu čiji raspon iznosi manje od dvostruke visine treba promatrati kao visokostjeni nosač. 6.2.1. Uzdužna armatura 6.2.1.1 Najmanji i najveći postotak armiranja Djelotvorna ploština presjeka vlačne armature ne bi smjela biti manja od ploštine presjeka potrebne za ograničavanje širine pukotina (prema točki 4.4.2 EC2), ali niti manja od:

)/6.0(0015.0/6.0 2mmNuifdbfdb yktykt ≥

pri čemu bt označava srednju širinu vlačnoga područja. Kod greda presjeka T treba u proračun za bt staviti samo širinu rebra. Presjeke s manjom armaturom od one koja je navedena u gornoj jednadžbi, treba uzeti kao nearmirana. Ploštine presjeka vlačne ili tlačne armature u pravilu ne smiju biti veće od 0.04Ac uz iznimku područja nastavaka. 6.2.1.2. Daljnji podaci za razradbu pojedinosti U monolitno izvedenim elementima i kod pretpostavke slobodno okretljivih ležajeva presjeci na ležajevima trebaju se dimenzionirati na moment djelomične upetosti, koji iznosi najmanje 25 % od najvećeg momenta u polju. 1

Page 191: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Na međuležajevima kontinuiranih greda može se ukupna ploština presjeka vlačne armature As nosača T približno raspodijeliti na jednake dijelove na vanjskom i unutarnjem dijelu poprečnoga presjeka ploče (vidi sliku 6.1.).

Slika 6.1. Unutarnji i vanjski dijelovi nosača presjeka T 6.2.1.3. Duljina uzdužne vlačne armature Crta pokrivanja vlačne sile uzdužnom armaturom dobiva se iz horizontalnoga pomicanja dijagrama sile Fs za a1, pri čemu se Fs dobiva kao vlačna sila u uzdužnoj armaturi iz proračuna presjeka (vidi sliku 6.2.). Ako se proračun poprečne armature provodi normiranim postupkom i ako je α kut poprečne armature prema uzdužnoj osi, tada je :

02/)cot1( ≥−= αzal

2

Page 192: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Ako se proračun poprečne armature provodi sa slobodnim odabirom tlačnih štapova prema, tada je:

02/)cot(cot ≥−= αθzal

gdje je: - θ - kut između tlačnog štapa betona i osi elementa. Općenito se može pretpostaviti z = 0.9 d.

Slika 6.2. Crta pokrivanja vlačne sile i duljine sidrenja Kod armature u pojasnici postavljenoj izvan rebra treba se a1 povećati za razmak šipke od hrpta (razmak x - vidi sliku 6.1.).

3

Page 193: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Krajevi šipki trebaju se sidriti s duljinom lb,net ≥ d od točke u kojoj je šipka statički nepotrebna.

- min,,

,, b

provs

reqsbanetb l

AA

ll ≥= α - potrebna duljina sidrenja

- d - proračunska visina elementa). Dijagram pokrivanja vlačne sile mora se nalaziti izvan pomaknutog dijagrama vlačne sile (vidi sliku 6.2.). Duljine sidrenja povinutih šipki za prihvat poprečnih sila ne trebaju biti manje od 1.3lb,net u vlačnom području i 0.7lb,net u tlačnom području. 6.2.1.4. Sidrenje donje armature na krajnjem ležaju Preko ležajeva s malom upetošću ili bez upetosti mora se provući najmanje četvrtina armature iz polja. Usidrenjem armatura treba preuzeti ovu vlačnu:

SdlSds NdaVF +⋅= /

gdje je NSd proračunska uzdužna sila. Duljina sidrenja mjeri se od presjecišta donjeg ruba grede i njenog ležaja; treba je odabrati kako sljedi: - kod izravnog oslanjanja: 2/3lb,net (vidi sliku 6.3.a) - kod ne izravnog oslanjanja: lb,net+b/3 (vidi sliku 6.3.b)

4

Page 194: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 6.3. Sidrenje armature iz polja na krajnjem ležaju 6.2.1.5 Sidrenje donje armature na unutarnjim ležajevima Preko ležajeva mora se provući najmanje četvrtina armature iz polja. Duljina sidrenja treba biti najmanje 10∅ (za ravne šipke); ne smije biti manja od promjera petlje (kod kuka i kutnih kuka) (vidi sliku 6.4.a) Dodatno se preporučuje da se armatura izvodi neprekinuto kako bi mogla preuzeti pozitivne momente zbog izvanrednih djelovanja (slijeganje ležajeva, eksplozija itd. (vidi sliku 6.4.b).

5

Page 195: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 6.4. Sidrenje na unutarnjim ležajevima 6.2.2. Poprečna armatura Poprečna armatura treba s osi elementa tvoriti kut od 450 do 900. Dopušteno je da se poprečna armatura sastoji iz kombinacije ovih armatura: - spona koje obuhvaćaju uzdužnu vlačnu armaturu i tlačno područje - povinutih šipki - dodataka za preuzimanje poprečne sile u obliku koševa, ljestava itd. od rebrastih šipki, koje su položene bez obuhvaćanja uzdužne armature (vidi sliku 6.5.), ali trebaju biti dovoljno usidrene u tlačnom i vlačnom području.

Slika 6.5. Primjeri za kombinacije spona Spone trebaju biti djelotvorno usidrene. Nastavci na preklop na vanjskoj strani hrpta dopušteni su samo kod primjene rebrastih šipki.

6

Page 196: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Najmanje 50 % potrebne poprečne armature mora se sastojati od spona. Koeficijent armiranja za preuzimanje poprečne sile dobiva se iz jednadžbe:

)sin/( αρ ⋅⋅= wsww bsA - ρw - koeficijent armiranja poprečnom armaturom - Asw - ploština presjeka poprečne armature na duljini s - s - razmak poprečne armature (u uzdužnom smjeru elementa) - bw - širina hrpta - α - kut između poprečne i glavne armature ( za vertikalne sponeα= 900, a sinα = 1) Najmanje vrijednosti za ρw navedene su u tablici 6.1. Tablica 6.1. Najmanje vrijednosti ρwU tablici brišu se stupci 2 i 3 koji se odnose na čelik s oznakom S220 i S400. Umjesto oznake S500 stavlja se oznaka B500 (NAD).

Promjer poprečne armature od glatkih okruglih šipki ne treba premašiti 12 mm. 7

Page 197: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Najveći uzdužni razmak spona smax ili druge poprečne armature određen je ovim uvjetima: - kad je 25/1 RdSd VV ≤ smax = 0.8 d≤ 300 mm; - kad je 22 3/25/1 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.6 d ≤ 300 mm; - kad je 22 0.13/2 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.3 d ≤ 200 mm. Uzdužni razmak povijenih šipki ne smije premašiti ovu vrijednost: smax = 0.6 d(1 + cotα ) Poprečni razmak vertikalnih krakova spona ne smije premašiti ovu vrijednost: - kada je 25/1 RdSd VV ≤ treba primijeniti manju vrijednost od smax = d ili 800 mm - kad je 22 3/25/1 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.6 d ≤ 300 mm; - kad je 22 0.13/2 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.3 d ≤ 200 mm. Odredbe za ograničavanje raspucavanja od djelovanja poprečne sile navedene su u točki 4.4.2.3 (5) EC2. 6.2.3. Torzijska armatura Torzijske spone trebaju biti zatvorene i sidrene na preklop ili prema slici 5.7.a); one trebaju tvoriti kut od 90° s osi elementa. Spone trebaju biti djelotvorno usidrene. Nastavci na preklop na vanjskoj strani hrpta dopušteni su samo kod primjene rebrastih šipki. 8

Page 198: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Najmanje 50 % potrebne poprečne armature mora se sastojati od spona. Koeficijent armiranja za preuzimanje poprečne sile dobiva se iz jednadžbe:

)sin/( αρ ⋅⋅= wsww bsA - ρw - koeficijent armiranja poprečnom armaturom ploština - Asw - presjeka poprečne armature na duljini s - s - razmak poprečne armature (u uzdužnom smjeru elementa) - bw - širina hrpta - α - kut između poprečne i glavne armature ( za vertikalne sponeα= 900, a sinα = 1) Najmanje vrijednosti za ρw navedene su u tablici 6.1. Promjer poprečne armature od glatkih okruglih šipki ne treba premašiti 12 mm. Uzdužni razmak torzijskih spona ne smije premašiti uk/8 . Osim toga, uzdužni razmak torzijskih spona ne smije premašiti: - kad je 25/1 RdSd VV ≤ smax = 0.8 d 300 mm; ≤

- kad je 22 3/25/1 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.6 d ≤ 300 mm; - kad je 22 0.13/2 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.3 d ≤ 200 mm. Uzdužne šipke treba tako postaviti da u svakom kutu postoji jedna šipka, a druge treba raspodijeliti jednolično po unutarnjem opsegu spona s razmakom od najviše 350 mm. 9

Page 199: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

6.2.4. Potpovršinska armatura U određenim slučajevima može postavljanje potpovršinske armature biti potrebno da se izbjegne raspucavanje betona ili da se ograniče pukotine. Potpovršinska armatura za ograničavanje pukotina treba se predvidjeti kod greda viših od 1 m (vidi točku 4.4.2.3 (4) EC2). Potpovršinska armatura za izbjegavanje odlamanja, npr. zbog djelovanja požara ili kod primjene snopova šipki ili šipki promjera preko 32 mm, treba biti od zavarenih mreža ili rebrastih šipki malih promjera i treba se nalaziti izvan spona, kako je to prikazano na slici 6.6.

Slika 6.6. Potpovršinska armatura Najmanji zaštitni sloj za potpovršinsku armaturu naveden je u točki 4.1.3.3 (6) i (7) EC2.

10

Page 200: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

11

Ploština presjeka potpovršinske armature As,surf u smjeru usporednom s vlačnom armaturom grede ne treba biti manja od 0.01 Act,ext. Act,ext određuje ploštinu presjeka betona naprezanog na vlak izvan spona prema slici 6.6. Uzdužne šipke potpovršinske armature mogu se uračunati kao uzdužna armatura za savijanje, a poprečne šipke kao poprečna armatura kad ispunjavaju pravila za raspored i sidrenje te armature.

Page 201: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

6.3. PUNE PLOČE BETONIRANE NA GRADILIŠTU Ploča je element čiji najmanji raspon nije manji od njene četverostruke ukupne debljine. Ova točka odnosi se na pune ploče nosive u jednom ili u dva smjera s b i leff ≥4 h. Ploča koja je projektirana za pretežno jednoliko rasprostrto opterećenje može se smatrati da nosi u jednom smjeru kad: - ima dva slobodna (nepoduprta), približno paralelna ruba ili - čini srednje područje pravokutne ploče poduprte sa svih strana kad je omjer duže prema kraćoj stranici veći od 2. 6.3.1. Najmanja debljina Najmanja debljina pune ploče iznosi 80 mm (NAD). Debljina pune ploče mora zadovoljiti uvjet h≥ L/35 (NAD). 6.3.2. Armatura za savijanje 6.3.2.1. Općenito Za postavljanje glavne armature vrijedi sve što je rečeno za grede u točki 6.2.1. uz a1= d. U jednoosno naprezanim pločama treba biti predviđena razdjelna armatura. Razdjelna armatura ne smije biti manja od 20 % glavne armature.

Page 202: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Najmanji postotak armiranja vlačne armature u glavnom smjeru iznosi kao i kod greda:

)/6.0(0015.0/6.0 2mmNuifdbfdb yktykt ≥ Najveći postotak armiranja vlačne armature u glavnom smjeru iznosi kao i kod greda 0.04Ac. Za najveći razmak šipki vrijedi sljedeće: - za glavnu armaturu 1.5h ≤ 350 mm gdje je h ukupna debljina ploče - za razdjelnu armaturu 2.5h ≤ 400 mm . 6.3.2.2. Armatura ploča na osloncima Kod ploča treba najmanje polovinu potrebne armature polja provući preko ležajeva i tamo usidriti. Kod djelomične upetosti uzduž jedne strane ploče, koja kod proračuna nije bila uzeta u obzir, treba postaviti gornju armaturu, koja može preuzeti najmanje četvrtinu najvećeg momenta iz polja s kojim graniči. Ta armatura se postavlja uzduž jedne strane ploče a ne smije biti kraća od 0.2-struke duljine polja mjereno od lica oslonca. 6.3.2.3.Torzijska armatura u uglovima Kad je konstrukcijskim mjerama onemogućeno odizanje ploče na uglu, treba predvidjeti odgovarajuću torzijsku armaturu. 2

Page 203: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

6.3.2.4. Armatura na slobodnim krajevima Ploča treba duž slobodnog (neoslonjenog) kraja imati uzdužnu i poprečnu armaturu prema slici 6.7. Dopušteno je, u pravilu, postojeću armaturu ploče računati kao rubnu armaturu.

Slika 6.7. Rubna armatura ploče 6.3.3. Armatura za preuzimanje posmičnih naprezanja Ploča s armaturom treba imati debljinu najmanje 200 mm. Za razradbu pojedinosti poprečne armature vrijedi točka 6.2.2. ako nije drukčije određeno u odredbama koje slijede. Potrebna poprečna armatura ne treba biti manja od 60 % vrijednosti prema tablici 5.5. za grede. U pločama s VSd ≥ (1/3)VRd2 može se posmična armatura u cjelini sastojati od povijenih šipki ili od dodatne posmične armature.

3

Page 204: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Najveći razmak spona naveden je u (5.17) do (5.19), pri čemu se mogu zanemariti granične vrijednosti (u mm). Najveći razmak razmak spona smax iznosi: - kad je 25/1 RdSd VV ≤ smax = 0.8 d - kad je 22 3/25/1 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.6 d - kad je 22 0.13/2 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.3 d Najveći je uzdužni razmak kosih šipki smax = h. Kod kosih šipki, koje se kod dimenzioniranja računaju kao poprečna armatura, ne smije razmak između njih i lica oslonca ili plohe nanošenja opterećenja premašiti vrijednost d/2. Taj razmak mjeri se u visini armature za savijanje. Kad su povinute šipke položene samo u jednom sloju, može se njihov nagib smanjiti na 300 (vidi sliku 6.8.b).

Slika 6.8. Poprečna armatura za prihvaćanje posmičnih naprezanja na ležajevima Dopušteno je pretpostaviti da povijena šipka preuzima poprečnu silu na duljini od 2 d. Kao armaturu za osiguranje od proboja dopušteno je računati samo ovu armaturu: 4

Page 205: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

5

- armaturu koja se od ruba opterećene plohe nalazi na razmaku od najviše 1.5d ili 800 mm, pri, čemu je mjerodavna manja vrijednost; ovo pravilo vrijedi za sve smjerove - povinute šipke koje prolaze preko opterećene površine (vidi sliku 6.8.b)) ili se nalaze na razmaku manjem od d/4 od ruba te površine (vidi sliku 6.8.c).

Page 206: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

6.4. KRATKE KONZOLE Armatura, koja odgovara vlačnim štapovima u štapnom modelu (vidi točku 2.5.3.7 EC2), treba biti sidrena izvan težišnice ležaj ne ploče s pomoću horizontalnih utičnih spona (oblika U) ili s pomoću sidara ako nema dovoljne duljine lb,net između spomenute linije i čela konzole. lb,net u pravilu se računa od točke u kojoj tlačna naprezanja mijenjaju svoj smjer. U konzolama s hc ≥ 300 mm kad je glavna armatura

ydcdcs ffAA /4.0≥

(Ac - ploština konzole na licu stupa), treba raspodijeliti zatvorene spone ukupne ploštine ne manje od 0.4As po proračunskoj visini d kako bi preuzele vlačne sile cijepanja u betonskim tlačnim štapovima. Dopušteno je polaganje spona horizontalno (slika 6.9.a) ili kosa (slika 6.9.b).

Slika 6.9. Armatura konzole

1

Page 207: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

6.5. VISOKOSTJENI NOSAČI Armatura, koja odgovara vlačnim štapovima prema proračunskom predlošku, treba se potpuno sidriti povijanjem šipki izvan težišnice ležaja primjenom spona U-oblika ili sidara za slučaj kad ne postoji dovoljna duljina sidrenja između čvorova i kraja nosača lb,net. Za visokostjene nosače treba na svakoj vanjskoj površini predvidjeti pravokutnu armaturnu mrežu čiji postotak armiranja u svakom smjeru iznosi najmanje 0.15 %. Kako se ugrađuju dvije armaturne mreže tj. po jedna uz svako lice visokog nosača, svaka od njih mora iznositi najmanje 0.075 % ploštine betonskog presjeka a to vrijedi kako za horizontalnu tako i za vertikalnu armaturu (NAD).

Page 208: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

6.6. PODRUČJE SIDRENJA ZA SILE PRI NAKNADNOM NAPINJANJU U područjima sidrenja treba uvijek uz sve vanjske površine predvidjeti armaturu raspoređenu u obliku pravokutnih armaturnih mreža. Kad se kod naknadnog napinjanja skupine natega one polažu na određenom razmaku jedne od drugih, trebaju na njihovu kraju biti postavljene prikladne spone za prihvat vlačnih sila cijepanja. U svakom dijelu područja sidrenja treba postotak armiranja na svakoj strani skupine natega iznositi najmanje 0.15 % u oba (poprečna) smjera. Ukupna armatura mora biti potpuno usidrena. Kad se za određivanje poprečnih vlačnih sila primjenjuje štapni predložak (model), treba se pridržavati ovih pravila za razradbu pojedinosti: - betonski čelik za prihvat vlačnih sila u zamišljenim vlačnim štapovima dobiven na osnovi proračunske nosivosti treba biti postavljen u skladu s raspodjelom vlačnih naprezanja, tj. u području koje je približno jednako najvećoj izmjeri presjeka; - za osiguranje sidrenja treba primijeniti zatvorene spone; - svaka armatura u području sidrenja treba u prvom redu biti izvedena kao prostorni pravokutni armaturni sustav.

Page 209: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2

Posebnu pozornost treba posvetiti područjima sidrenja u presjecima koji imaju oblike koji odstupaju od uobičajenih presjeka greda.

Page 210: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1

6.7. ARMIRANOBETONSKI ZIDOVI 6.7.1. Općenito Ovdje su obrađeni armiranobetonski zidovi kod kojih je horizontalna duljina najmanje jednaka četverostrukoj debljini i kod kojih je armatura uzeta u obzir za dokaz nosivosti. Veličina i svrsishodni položaj armature može se odrediti iz štapnoga predloška (vidi točku 2.5.3.6 EC2). Za zidove s pretežitim savijanjem kao u ploča vrijede pravila za ploče (vidi točku 5.4.3 EC2). 6.7.2. Vertikalna armatura Najmanja i najveća ploština vertikalne armature treba biti između 0.004Ac i 0.04Ac. Općenito treba se polovina te armature nalaziti uz lice svake plohe zida. Razmak između dvije susjedne vertikalne šipke ne smije prelaziti 2-struku debljinu zida ili 300 mm; mjerodavna je manja vrijednost. 6.7.3. Horizontalna armatura Treba predvidjeti horizontalnu armaturu usporednu s površinama zida (i slobodnim rubovima), položenu uz svaku površinu između vertikalne armature i najbliže površine. Horizontalna armatura ne smije biti manja od 50 % vertikalne armature.

Page 211: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2

Razmak između dvije susjedne horizontalne šipke ne treba biti veći od 300 mm. Promjer horizontalne armature ne treba biti manji od četvrtine promjera vertikalnih šipki. 6.7.4. Poprečna armatura Kad ploština presjeka glavne vertikalne armature premašuje 0.02Ac treba tu armaturu obuhvatiti sponama prema točki 6.1.2.2.

Page 212: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

6.8. POSEBNI SKUČAJEVI 6.8.1. Djelomično opterećene površine Kad jedna ili više koncentriranih sila djeluju na kraju nekog elementa ili u području presjecišta dvaju elemenata, treba predvidjeti lokalnu dodatnu armaturu, koja preuzima vlačne sile cijepanja. Ta dodatna armatura mora se sastojati od spona ili armature u obliku češljeva. Za djelomično (lokalno) opterećene površine na ploštini Aco (vidi sliku 6.10.) može se nosivost djelomično opterećene površine odrediti prema jednadžbi:

001 3.3/ ccdcccdcoRdu AfAAfAF ≤= uz fcd = fck / γc gdje je: - Ac0 - opterećena ploština - Ac1 - najveća ploština kod lokalnog opterećenja površine koja geometrijski odgovara ploštini Ac0 i ima isto težište kao ona. Kad se ploštine Ac i Ac0 geometrijski podudaraju i imaju isto težište. tada je Ac1= Ac0. Vrijednost FRdu treba smanjiti kad lokalna opterećenja nisu jednolično raspodijeljena po ploštini Ac0 ili ako su prisutne velike poprečne sile. 1

Page 213: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Taj postupak nije primjenljiv za sidrenja natega (vidi točku 2.5.37.4 EC2).

Slika 6.10. Određivanje ploštine Ac1 6.8.2. Skretne sile U točkama sa znatnim promjenama smjera unutarnjih sila moraju pripadne skretne sile biti prihvaćene dostatno usidrenom dodatnom armaturom ili postojeća armatura mora biti odgovarajuće oblikovana. 6.8.3. Neizravni oslonci U području križanja glavnih i sekundarnih nosača mora se predvidjeti armatura za ovjes, koju treba tako di-menzionirati da se mogu potpuno prihvatiti reakcije leža-jeva promjenljivog predznaka. Ovjesna armatura treba se u prvom redu sastojati od spona koje obuhvaćaju glavnu armaturu glavnog nosača. Neke od tih spona mogu se raspodijeliti izvan područja križanja dva nosača, kako je prikazano na slici 6.11. 2

Page 214: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika 6.11. Izmjere u području križanja kod priključaka sekundarnog nosača

3

Page 215: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

PRIMJER 1. (Poglavlje 3.1.1.1.) Dimenzionirati pravokutni presjek, naprezan momentima savijanja MG=170 kNm i MQ=250 kNm. Gradivo: C16/20, GA 240/360. Širina grede b=30 cm.

21.01cmkNMPa =

Proračunska čvrstoća betona fcd :

MPaffc

ckcd 66.10

5.116

===γ

Proračunska granica popuštanja armature fyd:

MPaf

fs

ykyd 70.208

15.1240

===γ

Računski moment savijanja: kNmMMM QQGGSd 5.6045.125035.1170 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ

a) traži se nizak presjek (dobiti ćemo nizak presjek i više armature)

1

Page 216: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Limitirajuće vrijednosti za jednostruko armiranje su: - za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45 ξlim= x/d = 0.45 , µRd,lim=0.252 i ζlim=z/d=0.813

⇒⋅⋅

=cd

SdSd fdb

M2µ Statička visina d:

cmfbMd

Sdcd

Sd 60.86252.0066.130

60450=

⋅⋅=

⋅⋅=

µ

Potrebna površina armature:

21 14.41

87.2060.860.81360450 cm

fdMA

yd

Sds =

⋅⋅=

⋅⋅=

ζ

Odabire se 10∅24 (45.24 cm2). b) traži se visok presjek (dobiti ćemo visok presjek i manje armature) Pretpostavljaju se deformacije 0035.02 −=cε i 020.01 =sε i iz tablica se očita: ξ= x/d = 0.149 , ζ=z/d=0.938 i µSd=0.096 µSd=0.096 < µRd,lim=0.252 - uvjet za jednostruko armiranje Statička visina d:

cmfbMd

Sdcd

Sd 10.140096.0066.130

60450=

⋅⋅=

⋅⋅=

µ

Potrebna površina armature:

21 06.22

87.2010.1400.93860450 cm

fdMA

yd

Sds =

⋅⋅=

⋅⋅=

ζ

2

Page 217: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Odabire se 7∅20 (21.99 cm2). PRIMJER 2. (Poglavlje 3.1.1.1.) Proračunati armaruru za pravokutni presjek b=30 cm i h=65 cm, naprezan momentima savijanja MG=40 kNm i MQ=65 kNm. Gradivo: C25/30, RA 400/500. d=61 cm

MPaffc

ckcd 6.16

5.125

===γ

MPaf

fs

ykyd 8.347

15.1400

===γ

kNmMMM QQGGSd 5.1515.16535.140 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ Limitirajuće vrijednosti za jednostruko armiranje su: - za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45 ξlim= x/d = 0.45 , µRd,lim=0.252 i ζlim=z/d=0.813

252.00817.066.16130

15150lim.22 =<=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cd

SdSd fdb

M µµ

i iz tablica se očita: εc2=-0.0031, εs1=0.020,ξ= 0.134 , ζ=0.945 i µSd=0.084

21 55.7

78.34610.94515150 cm

fdMA

yd

Sds =

⋅⋅=

⋅⋅=

ζ

Odabire se 5∅14 (7.70 cm2). 3

Page 218: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

PRIMJER 3. (Poglavlje 3.1.1.2. slučaj 1) Dimenzionirati T-presjek, naprezan momentima savijanja MG=120 kNm , MQ1=70 kNm i MQ2=60 kNm. Raspon proste grede leff=8.0 m. Gradivo: C 16/20, GA 240/360. Građevina je robna kuća (ψ0,i=0.7). d=56 cm

MPaffc

ckcd 6.10

5.116

===γ

MPaf

fs

ykyd 7.208

15.1240

===γ

Za stalnu proračunsku situaciju: ∑ ∑

>

++1

,,0,1,1,,,i

ikiiQkQjkjG QQG ψγγγ

2,2,02,1,1, QQQQGGSd MMMM γψγγ ⋅+⋅+⋅=

kNmM Sd 7.32335.17.0605.17035.1120 =⋅⋅+⋅+⋅= Razmak l0 između nul točaka momenata za prostu gredu: l0=leff=8.0 m

4

Page 219: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Proračunska (sudjelujuća) širina ploče uz unutarnje rebro uzima se: beff = bw + 0.20 l0 < b beff = 30 + 0.20 800=190 cm< b=300 cm beff =190 cm Pretpostavljamo da neutralna os pada u ploču.

252.00513.006.156190

32370lim.22 =<=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cdeff

SdSd fdb

M µµ

i iz tablica se očita: εc2=-0.0021, εs1=0.020,ξ= 0.095 , ζ=0.964 i µSd=0.053

cmhcmdx f 832.556095.0 =<=⋅=⋅= ξ Dokazano je da neutralna os pada u ploču.

21 73.28

87.20560.96432370 cm

fdMA

yd

Sds =

⋅⋅=

⋅⋅=

ζ

Odabire se 6∅25 (29.45 cm2). PRIMJER 4. (Poglavlje 3.1.1.2. slučaj 2a) Dimenzionirati T-presjek, sve je isto kao i primjer 3, samo je MSd=650 kNm. Gradivo: C 16/20, GA 240/360. d=56 cm

MPaffc

ckcd 6.10

5.116

===γ

5

Page 220: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

MPaf

fs

ykyd 7.208

15.1240

===γ

kNmM Sd 0.650= Pretpostavljamo da neutralna os pada u ploču.

252.0103.006.156190

65000lim.22 =<=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cdeff

SdSd fdb

M µµ

i iz tablica se očita: εc2=-0.0035, εs1=0.018,ξ= 0.163 , ζ=0.932 i µSd=0.105

cmhcmdx f 812.956163.0 =>=⋅=⋅= ξ Neutralna os siječe rebro, dakle gornja pretpostavka ne vrijedi. Za vitke T-presjeke koji ispunjavaju uvjet beff/ bw>5 i da je hf<0.330d za GA, može se zanemariti dio rebra ispod ploče.

533.630

190>==

w

eff

bb

cmdcmhf 48.1856330.0330.08 =⋅=⋅<= Vrijede obje pretpostavke.

cmh

dz f 522856

2=−=−=

2

f1 89.59

87.205265000

/2)h-(dcm

fMA

yd

Sds =

⋅=

⋅=

6Odabire se 10∅28 (61.58 cm2).

Page 221: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Srednje tlačno naprezanje u ploči treba zadovoljiti uvjet:

cdfeff

Sdcd f

hbM

⋅≤⋅⋅

= 85.0/2)h-(d f

σ

22 90.006.185.085.082.0819052

65000cmkNf

cmkN

cdcd =⋅=⋅≤=⋅⋅

PRIMJER 5. (Poglavlje 3.1.1.2. slučaj 2a) Dimenzionirati T-presjek, naprezan momentima savijanja MG=4000 kNm i MQ=4000 kNm. Gradivo: C 25/30, RA 400/500. d=200 cm

MPaffc

ckcd 6.16

5.125

===γ

MPaf

fs

ykyd 8.347

15.1400

===γ

kNmMMM QQGGSd 114005.1400035.14000 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ 7

Page 222: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Pretpostavljamo da neutralna os pada u ploču.

252.0086.066.1200200

1140000lim.22 =<=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cdeff

SdSd fdb

M µµ

i iz tablica se očita: εc2=-0.0032, εs1=0.020,ξ= 0.138 , ζ=0.943 i µSd=0.088

cmhcmdx f 206.27200138.0 =>=⋅=⋅= ξ Neutralna os siječe rebro, dakle gornja pretpostavka ne vrijedi. Za vitke T-presjeke koji ispunjavaju uvjet beff/ bw>5 i da je hf<0.330d za GA, može se zanemariti dio rebra ispod ploče.

55400200

>==w

eff

bb

- ne zabovoljava

cmdcmhf 57200286.0286.020 =⋅=⋅<= - zadovoljava Postupak moramo raditi po postupku kada je beff/bw<5. Za hf/d=20/200=0.1 i beff/bw=200/40=5 te ξ=x/d=0.17 (pretpostavljeni) iz tablice so očita λb=0.79. Širina će zamjenjujućeg T-presjeka biti:

cmbb effbi 15820079.0 =⋅=⋅= λ Dalje se proračun provodi kao za pravokutni presjek bi/h.

8

Page 223: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

252.0109.066.1200158

1140000lim.22 =<=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cdi

SdSd fdb

M µµ

i iz tablica se očita: εc2=-0.0035, εs1=0.017,ξ= 0.171 , ζ=0.929 i µSd=0.109 Dakle, pretpostavljeni ξ=0.17 u prvoj iteraciji je gotovo isti kao i dobiveni ξ=0.171, pa prekidamo iteracije.

21 41.176

78.34200929.01140000 cm

fdMA

yd

Sds =

⋅⋅=

⋅⋅=

ζ

PRIMJER 6. (Poglavlje 3.1.2.) Proračunati armaruru za pravokutni presjek b=25 cm i h=45 cm, naprezan momentima savijanja MG=60 kNm i MQ=80 kNm. Gradivo: C25/30, RA 400/500. d=40 cm, d2=5 cm

MPaffc

ckcd 6.16

5.125

===γ

MPaf

fs

ykyd 8.347

15.1400

===γ

kNmMMM QQGGSd 2015.18035.160 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ Limitirajuće vrijednosti za jednostruko armiranje su: - za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45 ξlim= x/d = 0.45 , µRd,lim=0.252 i ζlim=z/d=0.813

9

Page 224: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

252.0302.066.14025

20100lim.22 =>=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cd

SdSd fdb

M µµ

Presjek treba dvostruko armirati.

kNcmfdbM cdRdRd 8.1673266.14025252.0 22lim,lim, =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= µ

Armatura u vlačnoj zoni:

yd

RdSd

yd

Rds fdd

MMfd

MA

⋅−−

+⋅⋅

=)( 2

lim,

lim

lim,1 ζ

21 56.17

78.34)540(8.1673220100

78.3440813.08.16732 cmAs =

⋅−−

+⋅⋅

=

Tlačna armatura:

2

22

lim,2 77.2

78.34)540(8.1673220100

)(cm

ddMM

As

RdSds =

⋅−−

=⋅−

−=

σ

lim

2lim2

/0035.0ξ

ξε dds

−−= - deformacija u tlačnoj armaturi

lim

2lim2

/0035.0ξ

ξε dds

−−=

00296.0813.0

40/5813.00035.02 −=−

−=sε

ydsss fE ≤⋅= 22 εσ - naprezanje u tlačnoj armaturi

10

Page 225: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

MPafMPa yds 8.34759220000000296.02 =≤=⋅−=σMPas 8.3472 =σ

PRIMJER 7. (Poglavlje 3.2.1. i 3.2.2.2) Proračunati armaruru za pravokutni stup b=30 cm i h=30 cm, naprezan centričnom tlačnom silom NG=700 kNm i NQ=800 kNm. Gradivo: C25/30, RA 400/500.

MPaffc

ckcd 6.16

5.125

===γ

MPaf

fs

ykyd 8.347

15.1400

===γ

kNNNN QQGGSd 21455.180035.1700 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ a) direktno

⇒⋅+⋅⋅= ydscdcSd fAfAN 85.0 površina armature

216.2578.34

66.185.03030214585.0 cmf

fANAyd

cdcSds =

⋅⋅⋅−=

⋅⋅−=

Odabire se 4∅19+4∅22 (45.24 cm2). b) dijagram interakcije koeficijent β=As2/ As1=1 - usvajamo simetričnu armaturu

11

Page 226: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

cd

SdSd fhb

M⋅⋅

= 2µ - bezdimenzionalna vrijednost momenta

savijanja za djelovanje

cd

SdSd fhb

N⋅⋅

=ν - bezdimenzionalna vrijednost uzdužne sile

za djelovanje β=As2/ As1=1

02 =⋅⋅

=cd

SdSd fhb

⇒=⋅⋅

= 435.166.13030

2145Sdν iz dijagrama interakcije (slika

3.12.) očita se ω=0.29

21 46.123030

78.3466.129.0 cmhb

ffA

yd

cds =⋅=⋅= ω

222 46.1246.121 cmAA ss =⋅=⋅= β

Ukupna armarura:

211 92.2446.1246.12 cmAA ss =+=+

Odabire se 4∅19+4∅22 (45.24 cm2). PRIMJER 8. (Poglavlje 3.2.2.1. i 3.2.2.2) Proračunati armaruru za pravokutni stup b=30 cm i h=60 cm, naprezan tlačnom silom NG=500 kN i NQ=600 kN, te momentima savijanja MG=120 kNm i MQ=180 kNm. Gradivo: C25/30, GA 240/360. d=56 cm, d2=4 cm. 12

Page 227: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

MPaff

c

ckcd 6.16

5.125

===γ

MPaf

fs

ykyd 70.208

15.1240

===γ

kNNNN QQGGSd 15755.160035.1500 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ kNmMMM QQGGSd 4325.118035.1120 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ

a) postupak Wuczkovski Računski moment savijanja s obzirom na težište vlačne armature biti će:

kNmzNMM sSdSdSds 5.841)04.030.0(15754321 =−⋅+=⋅+=

252.0539.066.15630

84150lim.22 =>=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cd

SdsSds fdb

M µµ

Budući da je µSds>µRd,lim presjek se dvostruko armira, osim vlačne armature (As1) potrebna je i tlačna armatura (As2).

kNcmfdbM cdRdRd 5.3935566.15630252.0 22lim,lim, =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= µ

13

Page 228: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

yd

Sd

yd

RdSds

yd

Rds f

Nfdd

MMfd

MA −

⋅−−

+⋅⋅

=)( 2

lim,

lim

lim,1 ζ

2

1 23.787.20

157587.20)456(

5.393558415087.2056813.0

5.39355 cmAs =−⋅−

−+

⋅⋅=

2

22

lim,2 28.41

87.20)456(5.3935584150

)(cm

ddMM

As

RdSdss =

⋅−−

=⋅−

−=

σ

lim

2lim2

/0035.0ξ

ξε dds

−−= - deformacija u tlačnoj armaturi

lim

2lim2

/0035.0ξ

ξε dds

−−=

00319.0813.0

56/4813.00035.02 −=−

−=sε

ydsss fE ≤⋅= 22 εσ - naprezanje u tlačnoj armaturi

MPafMPa yds 70.20863820000000319.02 =≤=⋅−=σ

MPas 70.2082 =σ b) dijagram interakcije koeficijent β=As2/ As1=1 - usvajamo simetričnu armaturu

14

Page 229: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

cd

SdSd fhb

M⋅⋅

= 2µ - bezdimenzionalna vrijednost momenta

savijanja za djelovanje

cd

SdSd fhb

N⋅⋅

=ν - bezdimenzionalna vrijednost uzdužne sile

za djelovanje β=As2/ As1=1

240.066.16030

432002 =

⋅⋅=Sdµ

⇒=⋅⋅

= 527.066.16030

1575Sdν iz dijagrama interakcije (slika

3.12.) očita se ω=0.200

21 63.286030

87.2066.129.0 cmhb

ffA

yd

cds =⋅=⋅= ω

222 63.2863.281 cmAA ss =⋅=⋅= β

PRIMJER 9. (Poglavlje 3.3.1. slučaj 1) Za spremnik kružnog presjeka, naprezana vlačnom silom NQ=400 kN/m. Gradivo: C 25/30, GA 240/360.

15

Page 230: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

MPaffc

ckcd 6.16

5.125

===γ

MPaf

fs

ykyd 70.208

15.1240

===γ

kNNNN QQGGSd 6005.140035.10 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ Monolitnost betona nije važna i u njemu mogu nastati pukotine. Pri tome sve sile vlaka preuzima armatura. Potrebna površina vlačne armature je:

275.2887.20

600 cmfNA

yd

Sds ===

Odabrana armatura stavlja se u dva sloja ∅14/10 cm (30.78 cm2). PRIMJER 10. (Poglavlje 3.3.1. slučaj 2)

16

Page 231: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Isti primjer kao i primjer 9 samo je monolitnost betona važna i u njemu nesmiju nastati pukotine. Pri tome sve sile vlaka preuzima beton i armatura.

3/230.0 ckctm ff = - srednja vlačna čvrstoća MPafctm 6.22530.0 3/2 =⋅=

γ1=1.5 - koeficijent sigurnosti od pojave pukotina

QG

QQGGF NN

NN+

⋅+⋅=

γγγ - srednji koeficijent sigurnosti

5.14000

5.140035.10=

+⋅+⋅

=Fγ

Ovdje se mora raditi dvostruka analiza: a) pretpostavlaja se da je beton ipak pukao. Potrebna površina vlačne armature je:

275.2887.20

600 cmfNA

yd

Sds ===

Odabrana armatura stavlja se u dva sloja ∅14/10 cm (30.78 cm2). b) traži se površina betona iz uvjeta da ne dođe do pojave pukotina u betonu.

MPaufiff

fAA mctyd

F

yd

mct

sc ,

1,

1 )20(γγ

γ−

⋅=

22087)

5.120

5.17.208(

6.25.175.28 cmAc =−

⋅=

17

Page 232: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

⇒⋅= 100dAc debljina zida

cmAd c 87.201002087

100===

Usvajamo d=23 cm PRIMJER 11. (Poglavlje 3.3.2.1.1.) Proračunati armaruru za pravokutni stup b=30 cm i h=50 cm, naprezan centričnom vlačnom silom NSd=800 kN, te momentom savijanja MSd=40 kNm. Gradivo: C25/30, B500.

MPaf

fs

ykyd 80.78.434

15.1500

===γ

mmNMe

Sd

Sd 2.005.080040

<=== - ekcentricitet sile

mee 15.005.02.02.01 =−=−= mee 25.005.02.02.02 =+=+=

18

Page 233: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2

21

21 50.11

251525

47.43800 cm

eee

fNA

yd

Sds =

+=

+=

2

21

12 90.6

251515

47.43800 cm

eee

fNA

yd

Sds =

+=

+=

PRIMJER 12. (Poglavlje 3.3.2.2.1. i 3.3.2.2.2.) Proračunati armaruru za pravokutni stup b=35 cm i h=50 cm, naprezan vlačnom silom NG=55 kN i NQ=50 kN, te momentima savijanja MG=120 kNm i MQ=100 kNm. Gradivo: C25/30, RA 400/500. d=45 cm, d2=5 cm.

MPaff

c

ckcd 6.16

5.125

===γ

MPaf

fs

ykyd 80.347

15.1400

===γ

kNNNN QQGGSd 3.1495.15035.155 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ kNmMMM QQGGSd 3125.110035.1120 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ

19

Page 234: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

a) postupak Wuczkovski Računski moment savijanja s obzirom na težište vlačne armature biti će:

1sSdSdSds zNMM ⋅−= kNmzNMM sSdSdSds 14.282)05.025.0(.1493121 =−⋅−=⋅−=

252.0240.066.14535

28214lim.22 =<=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cd

SdsSds fdb

M µµ

i iz tablica se očita: εc2=-0.0035, εs1=0.0045,ξ= 0.438 , ζ=0.818 i µSd=0.247 Budući da je µSds<µRd,lim presjek se jednostruko armira.

21 33.26

78.343.149

78.3445818.028214 cm

fN

fdMA

yd

Sd

yd

Sdss =+

⋅⋅=+

⋅⋅=

ζ b) dijagram interakcije koeficijent β=As2/As1=0.5 -usvajamo nesimetričnu armaturu

cd

SdSd fhb

M⋅⋅

= 2µ - bezdimenzionalna vrijednost momenta

savijanja za djelovanje

cd

SdSd fhb

N⋅⋅

=ν - bezdimenzionalna vrijednost uzdužne sile

za djelovanje β=As2/ As1=0.5

20

Page 235: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

215.066.15035

312002 =

⋅⋅=Sdµ

⇒=⋅⋅

= 051.066.15035

3.149Sdν iz dijagrama interakcije (slika

3.15.) očita se ω=0.300

21 06.255035

78.3466.130.0 cmhb

ffA

yd

cds =⋅=⋅= ω

222 53.1206.255.0 cmAA ss =⋅=⋅= β

Odabire se 7∅22 dolje (26.64 cm2) i 4∅22 gore (15.21 cm2). PRIMJER 13. (Poglavlje 3.4.) Dimenzionirati prostu gredu opterećenu jednolikim kontinuiranim opterećenjem G=50 kN/m i Q=30 kN/m. Gradivo: C30/37, B 500 (uzdužna armatura i vilice). Širina ležaja A i B je t=30 cm.

21

Page 236: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

MPaff

c

ckcd 00.20

5.130

===γ

MPaf

fs

ykyd 78.434

15.1500

===γ

- uzdužna armatura

MPaf

fs

ykyd 78.434

15.1500

===γ

- vilice

cmttll neff 7503

303

3073033

=++=++= - raspon

blbb weff <⋅+= 02.0 - sudjelujuća širina mmbeff 3.40.23.00.28.15.72.030 =++<=⋅+=

mbeff 8.1= 1.) Dimenzioniranje na savijanje

22

Page 237: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

kNmlG

M effG 56.351

85.750

8

22

=⋅

=⋅

=

kNmlQ

M effQ 94.210

85.730

8

22

=⋅

=⋅

=

kNmMMM QQGGSd 02.7915.19.21035.156.351 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ Limitirajuće vrijednosti za jednostruko armiranje su: - za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45 ξlim= x/d = 0.45 , µRd,lim=0.252 i ζlim=z/d=0.813 Pretpostavljamo da neutralna os pada u ploču.

252.0078.00.253180

79102lim.22 =<=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cdeff

SdSd fdb

M µµ

i iz tablica se očita: εc2=-0.0029, εs1=0.020,ξ= 0.127 , ζ=0.949 i µSd=0.079

cmhcmdx f 1573.653127.0 =<=⋅=⋅= ξ Dokazano je da neutralna os pada u ploču.

21 17.36

478.43530.94979102 cm

fdMA

yd

Sds =

⋅⋅=

⋅⋅=

ζ

Odabire se 10∅22 (38.01 cm2) u sredini raspona, dok se 4∅22 (15.21 cm2) vodi preko ležaja. 23

Page 238: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Provjera najmanjeg i najvećeg postotka armiranja Ploština presjeka vlačne armature ne bi smjela biti manja od:

)/6.0(0015.0/6.0 2mmNuifdbfdb yktykt ≥

pri čemu bt označava srednju širinu vlačnoga područja. Kod greda presjeka T treba u proračun za bt staviti samo širinu rebra. Ploštine presjeka vlačne ili tlačne armature u pravilu ne smiju biti veće od 0.04Ac uz iznimku područja nastavaka.

29.1500/53306.0/6.0 cmfdb ykt =⋅⋅= 24.253300015.00015.0 cmdbt =⋅⋅=

2min, 4.2 cmAs =

2max, 72603004.004.0 cmAA cs =⋅⋅=⋅=

2max,

21

2min, 7201.384.2 cmAcmAcmA sss =≤=≤=

2.) Dimenzioniranje na poprečnu silu Debljina ležaja A i B je t=30 cm. Poprečna sila nad ležajem A:

kNlG

V effG 5.187

25.750

2=

⋅=

⋅=

24

Page 239: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

kNlQ

V effQ 5.112

25.730

2=

⋅=

⋅=

kNVVV QQGGASd 87.4215.15.11235.15.187, =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ

Umanjena poprečna sila na udaljenosti (t/3+d) cm desno od ležaja A : (t/3+d)=(30/3+53)=63 cm

)3

)(5.135.1(,'

, dtQGVV ASdASd +⋅+⋅−=

kNV ASd 351)53.033.0)(5.13035.150(87.421'

, =+⋅+⋅−=

Najprije provjeravamo da li nam treba proračunski potrebna aramtura.

1RdSd VV ≤ Proračunska nosivost na poprečne sile VRd1 dobiva se iz:

dbkV wcpRdRd ⋅⋅+⋅+⋅= )15.0)402.1(( 11 σρτ gdje je: -τRd =(0.25 fctk0,05) / γc osnovna vrijednost za proračunsku posmičnu čvrstoću - γc - treba uzeti 1.5. Vrijednost za τRd dana je u tablici 3.3.

MPaRd 34.0=τ - k =1 elemente kod kojih je više od 50 % armature u polju prekinuto, inače je: - k = 1.6- d >1 (d u m) k=1

25

Page 240: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- ρ1= db

A

w

s1 ≤ 0.02 - koeficijent armiranja uzdužne armature

koja je usidrena od promatranog presjeka za najmanje d+lb,net- As1 - ploština vlačne armature koja se sidri za najmanje d+lb,net iza promatranoga presjeka (vidi sliku 3.21.) - lb,net - proračunska duljina sidrenja - bw - najmanja širina poprečnoga presjeka unutar proračunske (statičke) visine

02.01 ≤=db

A

w

slρ

02.000956.0533021.15

≤=⋅

=lρ

00956.0=lρ σcp= NSd / Ac - NSd - uzdužna sila u presjeku od opterećenja i prednapinjanja (pozitivna ako je tlačna) σcp=0

dbkV wcpRdRd ⋅⋅+⋅+⋅= )15.0)402.1(( 11 σρτ kNVRd 54.855330)015.0)00956.0402.1(0.1034.0(1 =⋅⋅+⋅+⋅=

kNVkNV ASdRd 35154.85 ',1 =<= - potrebno je proračunati

poprečnu armaturu a) Normirani postupak

26

Page 241: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Odabiremo dvorezne vilice (m=2) ∅10:

222

57.14

0.124

cmmAsw =⋅

=⋅

=ππφ

Nosivost na poprečne sile presjeka s poprečnom armaturom dana je jednadžbom: VSd =VRd3 = Vcd + Vwd gdje je: - Vcd - doprinos betona nosivosti na poprečne sile koji je jednak nosivosti VRd1 , dakle Vcd =VRd1- Vwd - doprinos poprečne armature nosivosti na poprečne sile Doprinos poprečne armature okomite na os nosača (spone) proračunava se prema jednadžbi:

ywdsw

wd fds

AV 9.0=

gdje je: - Asw - ploština presjeka poprečne armature - s - razmak spona - fywd - proračunska granica popuštanja poprečne armature

wdcdSd VVV += 1Rdcd VV =

-iz wdRdSd VVV += 1 i ywdsw

wd fds

AV 9.0= dobije se:

27

Page 242: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

⇒+= ywdsw

RdSd fds

AVV 9.01

ywdRdSd

sw fdVV

As 9.01−

= - potrebni razmak vilica

dd ⋅=⋅ ς9.0

Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/3+d) cm desno od ležaja A kNV ASd 351'

, = .

478.43)539.0(84.85351

57.19.01

',

⋅⋅−

=−

= ywdRdlSd

sw fdVV

As

cms 28.12= Za dokaz nosivosti tlačnih štapova izračunava se VRd2 prema jednadžbi:

2RdSd VV ≤

)cot1(9.05.02 αν += dbfV wcdRd

Za okomite spone ili kombinaciju okomitih spona i kosih šipki uzima se ctgα=0 (α=900).

dbfV wcdRd 9.05.02 ν= Faktor djelotvornosti (ν) se proračuna prema :

5.0200

7.0 ≥−= ckfν (fck u N/mm2)

5.055.0200307.0 ≥=−=ν - zadovoljeno je pa je

28

Page 243: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

55.0=ν

539.0300.255.05.09.05.02 ⋅⋅⋅⋅⋅== dbfV wcdRd ν

kNVkNV ASdRd 35105.787 ',2 =>= - zadovoljen je i uvjet

nosivosti tlačnih štapova. b) Postupak sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova Pretpostaviti ćemo θ=390 ctgθ=1.235. Kod elemenata s okomitom poprečnom armaturom (spone) nosivost na poprečne sile dobiva se prema jednadžbama:

θθν

tancot2 += cdw

Rdfzb

V

θcot3 ywdsw

Rd fzs

AV = ; uz uvjet cd

w

ywdsw fsb

fAν

21

⇒== θcot3 ywdsw

RdSd fzs

AVV

θcotywdSd

sw fzVAs = - potrebni razmak vilica

dz ⋅= ς

Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/3+d) cm desno od ležaja A kNV ASd 351'

, = . 29

Page 244: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

235.1478.43539.0351

57.1cot',

⋅⋅⋅== θywdASd

sw fzVAs

cms 45.11=

Potrebno je kontrolirati uvjet:

cdw

ywdsw fsb

fAν

21

5.0200

7.0 ≥−= ckfν (fck u N/mm2)

5.055.0200307.0 ≥=−=ν

22 /55.00.255.021

21/20.0

45.113047.4357.1 cmkNfcmkN cd =⋅⋅=≤=

⋅⋅ ν

- uvjet zadovoljava

kNfzbV cdwRd 10.770

809.0235.10.255.0539.030

tancot2 =+

⋅⋅⋅⋅=

+=

θθν

⇒=>= kNVkNV ASdRd 35110.770 '

,2 zadovoljen je i uvjet nosivosti tlačnih štapova. c) Provjera minimalne armature i razmaka vilica Izračunati ćemo minimalnu poprečnu armaturu (vilice) uz pretpostavljeni promjer vilica ∅10. Odabiremo dvorezne vilice (m=2) ∅10:

222

57.14

0.124

cmmAsw =⋅

=⋅

=ππφ

30

Page 245: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

)sin/( αρ ⋅⋅= wsww bsA

- ρw - koeficijent armiranja poprečnom armaturom - Asw - ploština presjeka poprečne armature na duljini s - s - razmak poprečne armature (u uzdužnom smjeru elementa) - bw - širina hrpta - α - kut između poprečne i glavne armature ( za vertikalne spone α= 900, a sinα = 1)

)sin/( αρ ⋅⋅= wwsw bAs - potrebni razmak vilica - za vilice α= 900, a sinα = 1 - ρw=0.0011 iz Tablice 6.1. i za B500 i C30/37

)sin/( αρ ⋅⋅= wwsw bAs cmbAs wwsw 57.47)300011.0/(57.1)/( =⋅=⋅= ρ

Najveći uzdužni razmak spona smax ili druge poprečne armature određen je ovim uvjetima: - kad je s25/1 RdSd VV ≤ max = 0.8 d≤ 300 mm; - kad je 22 3/25/1 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.6 d ≤ 300 mm; - kad je 22 0.13/2 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.3 d ≤ 200 mm.

⇒⋅=⇒== 2'

,2

', 44.044.0

05.787351

RdASdRd

ASd VVVV

najveći uzdužni razmak spona iznosi 31

Page 246: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

mmds 3006.0max ≤⋅= cmcmds 308.31536.06.0max ≤=⋅=⋅= - nije zadovoljen

cms 30max = usvajamo minimalni razmak vilica s=30 cm. Minimalne vilice su dvorezne vilice (m=2) ∅10/30 cm.

mVVx

xVV

ASd

Rd

RdASd

99.275.387.421

54.8575.375.375.3

75.375.3

,

1

1,

=−=−=

⇒−

=

Minimalne vilice zadovoljavaju na duljini 2.99 m do sredine raspona.

32

Page 247: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

PRIMJER 14. (Poglavlje 3.4.) Dimenzionirati prostu gredu s dva prepusta naprezanu jednolikim kontinuiranim opterećenjem momentima savijanja G=80 kN/m i Q=120 kN/m. Gradivo: C25/30, GA 240/360 (uzdužna armatura i vilice). Pokretno opterećenje postaviti u najnepovoljniji položaj. Širina ležaja A i B je t=30 cm.

33

Page 248: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

MPaffc

ckcd 6.16

5.125

===γ

MPaf

fs

ykyd 70.208

15.1240

===γ

- uzdužna armatura

MPaf

fs

ywkywd 70.208

15.1240

===γ

- vilice

34

Page 249: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika. Utjecajne linije za M u ležaju A lijevo, M u sredini raspona, V u ležaju A lijevo za V u ležaju A lijevo, V u ležaju A desno

35

Page 250: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika. G na prepustu, dijagram V,M

36

Page 251: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika. G u polju, dijagram V,M

37

Page 252: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika. Q na prepustu, dijagram V,M

38

Page 253: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika. Q u polju, dijagram V,M

39

Page 254: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Slika. Q na prepustu i u polju, dijagram V,M 1.) Dimenzioniranje na savijanje Ležaj (pravokutni presjek)

kNmMG 250−= kNmMQ 375−=

kNmMMM QQGGSd 9005.137535.1250 −=⋅−⋅−=⋅+⋅= γγ

40

Page 255: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

Limitirajuće vrijednosti za jednostruko armiranje su: - za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45 ξlim= x/d = 0.45 , µRd,lim=0.252 i ζlim=z/d=0.813

252.0150.066.19540

90000lim.22 =<=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cd

SdSd fdb

M µµ

i iz tablica se očita: εc2=-0.0035, εs1=0.0105,ξ= 0.250 , ζ=0.896 i µSd=0.154

21 49.50

87.20950.89690000 cm

fdMA

yd

Sds =

⋅⋅=

⋅⋅=

ζ

Odabire se 8∅28 (49.26 cm2). Polje (T-presjek)

kNmMG 390250640 =−= kNmMQ 960=

kNmMMM QQGGSd 5.19665.196035.1390 =⋅+⋅=⋅+⋅= γγkNmMMM QQGGSd 19195.19609.02501.1640 =⋅+⋅−⋅=⋅+⋅= γγ

- usvajamo veći moment savijanja kNmM Sd 5.1966= Pretpostavljamo da neutralna os pada u ploču.

252.0114.066.193120

196650lim.22 =<=

⋅⋅=

⋅⋅= Rd

cdeff

SdSd fdb

M µµ

i iz tablica se očita: εc2=-0.0035, εs1=0.016,ξ= 0.179 , ζ=0.926 i µSd=0.114 41

Page 256: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

cmhcmdx f 166.1693179.0 =<=⋅=⋅= ξ

Gornja jednadžba nije zadovoljena. Neutralna os pada u rebro, ali zbog male razlike (0.6 cm) uzeti ćemo kao da neutralna os pada u ploču.

21 41.109

87.20930.926196650 cm

fdMA

yd

Sds =

⋅⋅=

⋅⋅=

ζ

Odabire se 18∅28 (110.83 cm2) u sredini raspona. Provjera najmanjeg i najvećeg postotka armiranja Ploština presjeka vlačne armature ne bi smjela biti manja od:

)/6.0(0015.0/6.0 2mmNuifdbfdb yktykt ≥

pri čemu bt označava srednju širinu vlačnoga područja. Ploštine presjeka vlačne ili tlačne armature u pravilu ne smiju biti veće od 0.04Ac uz iznimku područja nastavaka.

25.9240/95406.0/6.0 cmfdb ykt =⋅⋅= 27.595400015.00015.0 cmdbt =⋅⋅=

2min, 5.9 cmAs =

2max, 1601004004.004.0 cmAA cs =⋅⋅=⋅=

2max,

21

2min, 16026.495.9 cmAcmAcmA sss =≤=≤=

2max,

21

2min, 16083.1105.9 cmAcmAcmA sss =≤=≤=

42

Page 257: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

2.) Dimenzioniranje na poprečnu silu Debljina ležaja A i B je t=30 cm. Poprečna sila lijevo od ležaja A:

kNVG 200−= kNVQ 300−=

kNVVV QQGGlSd 7205.130035.1200, =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ Umanjena poprečna sila na udaljenosti (t/2+d) cm lijevo od ležaja A : (t/2+d)=(30/2+95)=110 cm

)2

)(5.135.1(,'

, dtQGVV lSdlSd +⋅+⋅−=

kNV lSd 2.403)95.023.0)(5.112035.180(720'

, =+⋅+⋅−=

Poprečna sila desno od ležaja A:

kNVG 320= kNVQ 480=

kNVVV QQGGdSd 11525.148035.1320, =⋅+⋅=⋅+⋅= γγ Umanjena poprečna sila na udaljenosti (t/2+d) cm desno od ležaja A : (t/2+d)=(30/2+95)=110 cm

)2

)(5.135.1(,'

, dtQGVV dSddSd +⋅+⋅−=

kNV dSd 2.835)95.023.0)(5.112035.180(1152'

, =+⋅+⋅−=

Najprije provjeravamo da li nam treba proračunski potrebna aramtura. 43

Page 258: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

1RdSd VV ≤

Proračunska nosivost na poprečne sile VRd1 dobiva se iz:

dbkV wcpRdRd ⋅⋅+⋅+⋅= )15.0)402.1(( 11 σρτ gdje je: -τRd =(0.25 fctk0,05) / γc osnovna vrijednost za proračunsku posmičnu čvrstoću - γc - treba uzeti 1.5. Vrijednost za τRd dana je u tablici 3.3.

MPaRd 30.0=τ - k =1 elemente kod kojih je više od 50 % armature u polju prekinuto, inače je: - k = 1.6- d >1 (d u m)

10.650.95-1.6 d -1.6 k >=== - nije zadovloljeno prema tome: k=1

- ρ1= db

A

w

s1 ≤ 0.02 - koeficijent armiranja uzdužne armature

koja je usidrena od promatranog presjeka za najmanje d+lb,net- As1 - ploština vlačne armature koja se sidri za najmanje d+lb,net iza promatranoga presjeka (vidi sliku 3.21.) - lb,net - proračunska duljina sidrenja - bw - najmanja širina poprečnoga presjeka unutar proračunske (statičke) visine

02.01 ≤=db

A

w

slρ

44

Page 259: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

02.0013.0954026.49

≤=⋅

=lρ

013.0=lρ σcp= NSd / Ac - NSd - uzdužna sila u presjeku od opterećenja i prednapinjanja (pozitivna ako je tlačna) σcp=0

dbkV wcpRdRd ⋅⋅+⋅+⋅= )15.0)402.1(( 11 σρτ kNVRd 08.1969540)015.0)013.0402.1(0.103.0(1 =⋅⋅+⋅+⋅=

'.

'.1 08.196 dSdlSdRd ViliVkNV <= - potrebno je proračunati

poprečnu armaturu a) Normirani postupak Odabiremo četverorezne vilice (m=4) ∅8:

222

00.24

8.044

cmmAsw =⋅

=⋅

=ππφ

Nosivost na poprečne sile presjeka s poprečnom armaturom dana je jednadžbom: VSd =VRd3 = Vcd + Vwd gdje je: - Vcd - doprinos betona nosivosti na poprečne sile koji je jednak nosivosti VRd1 , dakle Vcd =VRd1

45

Page 260: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- Vwd - doprinos poprečne armature nosivosti na poprečne sile Doprinos poprečne armature okomite na os nosača (spone) proračunava se prema jednadžbi:

ywdsw

wd fds

AV 9.0=

gdje je: - Asw - ploština presjeka poprečne armature - s - razmak spona - fywd - proračunska granica popuštanja poprečne armature

wdcdSd VVV += 1Rdcd VV =

-iz wdRdSd VVV += 1 i ywdsw

wd fds

AV 9.0= dobije se:

⇒+= ywdsw

RdSd fds

AVV 9.01

ywdRdSd

sw fdVV

As 9.01−

= - potrebni razmak vilica

dd ⋅=⋅ ς9.0

Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/2+d) cm lijevo od ležaja A kNV lSd 2.403'

, = .

46

Page 261: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

87.20)95896.0(08.1962.403

0.29.01

',

⋅⋅−

=−

= ywdRdlSd

sw fdVV

As

cms 2.17=

Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/2+d) cm desno od ležaja A kNV dSd 2.835'

, = .

87.20)95896.0(08.1962.835

0.29.01

',

⋅⋅−

=−

= ywdRddSd

sw fdVV

As

cms 5.5= Za dokaz nosivosti tlačnih štapova izračunava se VRd2 prema jednadžbi:

2RdSd VV ≤

)cot1(9.05.02 αν += dbfV wcdRd

Za okomite spone ili kombinaciju okomitih spona i kosih šipki uzima se ctgα=0 (α=900).

dbfV wcdRd 9.05.02 ν= Faktor djelotvornosti (ν) se proračuna prema :

5.0200

7.0 ≥−= ckfν (fck u N/mm2)

5.0575.0200257.0 ≥=−=ν - zadovoljeno je pa je

575.0=ν 47

Page 262: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

95896.04066.1575.05.09.05.02 ⋅⋅⋅⋅⋅== dbfV wcdRd ν

kNVkNV lSdRd 2.4034.1630 '

,2 =>= ⇒=>= kNVkNV dSdRd 2.8354.1630 '

,2 zadovoljen je i uvjet nosivosti tlačnih štapova. b) Postupak sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova Pretpostaviti ćemo θ=390 ctgθ=1.235. Kod elemenata s okomitom poprečnom armaturom (spone) nosivost na poprečne sile dobiva se prema jednadžbama:

θθν

tancot2 += cdw

Rdfzb

V

θcot3 ywdsw

Rd fzs

AV = ; uz uvjet cdw

ywdsw fsb

fAν

21

⇒== θcot3 ywdsw

RdSd fzs

AVV

θcotywdSd

sw fzVAs = - potrebni razmak vilica

dz ⋅= ς

Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/2+d) cm lijevo od ležaja A kNV lSd 2.403'

, = .

48

Page 263: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

235.187.2095896.02.403

0.2cot',

⋅⋅⋅== θywdlSd

sw fzVAs

cms 0.11=

Potrebno je kontrolirati uvjet:

cdw

ywdsw fsb

fAν

21

5.0200

7.0 ≥−= ckfν (fck u N/mm2)

5.0575.0200257.0 ≥=−=ν

22 /47.066.1575.021

21/09.0

114087.200.2 cmkNfcmkN cd =⋅⋅=≤=

⋅⋅ ν

- uvjet zadovoljava Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/2+d) cm desno od ležaja A kNV dSd 2.835'

, = .

235.187.2095896.02.835

0.2cot',

⋅⋅⋅== θywddSd

sw fzVAs

cms 3.5=

Potrebno je kontrolirati uvjet:

cdw

ywdsw fsb

fAν

21

5.0200

7.0 ≥−= ckfν (fck u N/mm2)

5.0575.0200257.0 ≥=−=ν

49

Page 264: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

22 /47.066.1575.021

21/19.0

3.54087.200.2 cmkNfcmkN cd =⋅⋅=≤=

⋅⋅ ν

- uvjet zadovoljava

kNfzbV cdwRd 3.1595

809.0235.166.1575.095896.040

tancot2 =+

⋅⋅⋅⋅=

+=

θθν

kNVkNV lSdRd 2.4033.1595 '

,2 =>= ⇒=>= kNVkNV dSdRd 2.8353.1595 '

,2 zadovoljen je i uvjet nosivosti tlačnih štapova. c) Provjera minimalne armature i razmaka vilica Izračunati ćemo minimalnu poprečnu armaturu (vilice) uz pretpostavljeni promjer vilica ∅8. Odabiremo četverorezne vilice (m=4) ∅8:

222

00.24

8.044

cmmAsw =⋅

=⋅

=ππφ

)sin/( αρ ⋅⋅= wsww bsA

- ρw - koeficijent armiranja poprečnom armaturom - Asw - ploština presjeka poprečne armature na duljini s - s - razmak poprečne armature (u uzdužnom smjeru elementa) - bw - širina hrpta - α - kut između poprečne i glavne armature ( za vertikalne spone α= 900, a sinα = 1)

)sin/( αρ ⋅⋅= wwsw bAs - potrebni razmak vilica 50

Page 265: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

- za vilice α= 900, a sinα = 1 - ρw=0.0024 iz Tablice 6.1. i za S220 (GA 240/360) i C25/30

)sin/( αρ ⋅⋅= wwsw bAs cmbAs wwsw 83.20)400024.0/(0.2)/( =⋅=⋅= ρ

usvajamo razmak vilca s=20 cm. Najveći uzdužni razmak spona smax ili druge poprečne armature određen je ovim uvjetima: - kad je 25/1 RdSd VV ≤ smax = 0.8 d≤ 300 mm; - kad je 22 3/25/1 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.6 d ≤ 300 mm; - kad je 22 0.13/2 RdSdRd VVV ≤< smax = 0.3 d ≤ 200 mm.

⇒⋅=⇒== 2'

,2

', 52.052.0

3.15952.835

RddSdRd

dSd VVVV

najveći uzdužni razmak spona iznosi

mmds 3006.0max ≤⋅= cmcmds 3057956.06.0max ≤=⋅=⋅= - nije zadovoljem

cms 30max = Minimalne vilice su četverorezne vilice (m=4) ∅8/20 cm. Minimalne vilice zadovoljavaju na duljini:

mVxx

VRd

Rd 68.0720

5.208.196720

5.25.2

7201

1 ===⇒=

51

Page 266: Betonske Konstrukcije - Prirucnik

mVxx

VRd

Rd 68.01152

0.408.1961152

0.40.4

11521

1 ===⇒=

52