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Méthodes numériques pour les EDP instationnaires : DifférencesFinies et Volumes Finis

Notes pour le cours de base M2-Mathématiques de la modélisation(2014)

B. Després

15 juillet 2014

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Table des matières

1 Introduction 5

2 Cadre fonctionnel et modèles 72.1 Cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Espaces de Lebesgue L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Fonctions à variation bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Quelques modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.4 Systèmes de Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.5 Termes sources ou de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Quelques principes de construction 173.1 Approximation numérique en dimension d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Equation du transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Approximation numérique en dimension d ≥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1 Méthodes de Différences Finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2 Méthode de Volumes Finis pour l’́equation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.3 Méthode de Volumes Finis pour l’́equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.4 Méthodes de Volumes Finis pour les systèmes de Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Analyse numérique des méthodes de Différences nies 374.1 Consistance, stabilit́e et th́eorème de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1 Consistance pour le cas stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.2 Cas instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.3 Schéma de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.4 Schéma semi-discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.5 Un principe de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.6 Caract́erisation spectrale de la stabili t́e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.7 Schéma de splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.1 Schéma décentŕe en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.2 Donnée moins ŕegulìere et ordre de convergence fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.3 Maillage non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.4 Schémas de différences nis explicites et ` a un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.5 Construction des schémas semi-lagrangiens/schémas de Strang . . . . . . . . . . . . . . . 57

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4 TABLE DES MATI ÈRES

5 Analyse numérique des méthodes de Volumes nis 67

5.1 Equation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1.1 Analyse de la condition de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1.2 Consistence des schémas de Volumes Finis pour l’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2 Convergence dans L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.1 Première étape : estimation en temps dans L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.2 Deuxième étape : estimation en espace dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3 Convergence dans L 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.1 Cas des fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3.2 Données générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.4 Convergence du schéma de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.5 Quelques résultats d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Schémas non linéaires 85

6.1 La méthode Muscl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2 La méthode par intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.3 Convergence pour des données BV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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Chapitre 2

Cadre fonctionnel et modèles

Pour toute méthode de discrétisation numérique d’une équation aux dérivées partielles, une question fonda-mentale est de montrer la convergence de la solution numérique vers la solution exacte, et mieux d’obtenir desestimations quantitatives optimales pour l’erreur. Pour cela, nous aurons besoin d’un cadre fonctionnel.Ce chapitre peut être laissé de cˆ oté en première lecture.

2.1 Cadre fonctionnelOn renvoie à [6].

Dénition 1 (Espace de Banach). Un espace de Banach réel V est un espace vectoriel réel, muni d’une norme u →u dénie pour tout u∈V , et complet pour cette norme. Les propriétés de la norme sont

— u ≥0 pour tout u∈V ,— u = 0 si et seulement si u = 0 ,— λu = |λ | u pour tout λ∈R ,— u + v ≤u + v pour tous u, v ∈V .L’espace V est appelé un espace de Hilbert dans le cas où la norme est associée `a un produit scalaire

u = (u, u )avec (u, v )∈

R étant le produit scalaire de u et v. Pour mémoire, les propriétés d’un produit scalaire réel sont— le produit scalaire est une forme bilinéaire,— (u, u ) ≥0 pour tout u∈V ,— (u, u ) = 0 si et seulement si u = 0,— (u, v ) = ( v, u ) pour tous u, v

∈V .

2.1.1 Espaces de Lebesgue L p

Soit Ω un ouvert régulier de R d , borné ou non.

Dénition 2 (Espaces de Lebesgue) . Soit p∈[1, ∞].— Pour 1 ≤ p < ∞, l’espace L p(Ω) est constitúe des fonctions mesurables telles que Ω |u(x)| p dx < ∞.La norme dans L p(Ω) est u L p (Ω) = Ω |u(x)| p dx

1p

.

— Pour p = ∞, l’espace L ∞ (Ω) est constitué des fonctions mesurables et bornées. La norme dans L ∞ (Ω)est u L ∞ (Ω) = sup {λ ; mes (|u(x)| > λ ) = 0}< ∞.

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8 CHAPITRE 2. CADRE FONCTIONNEL ET MOD ÈLES

— Les espaces de Lebesgue sont des espaces de Banach.

Les dérivées partielles d’une fonction sont notées

u (k 1 , ··· ,k d ) = ∂ k 1 + ··· + k d

∂ k 1x 1 . . . ∂ k dx d

u, avec 0 ≤ki pour tout i = 1 , . . . , d .

On renvoie à [6] pour une dénition rigoureuse de la dérivation au sens des distributions d’une fonction mesu-rable.

Dénition 3. L’ensemble des fonctions mesurables de L p(Ω) dont toutes les dérivées sont également dans L p(Ω) jusqu’à un ordre de dérivation totale de q ∈ N est not́e W q,p (Ω). Pour 1 ≤ p ≤ ∞ une norme dans W q,p (Ω) est

u W q,p (Ω) =k 1 + ··· + k d ≤ q

||u (k 1 , ··· ,k d ) ||L p (Ω) .

2.1.2 InégalitésSoient deux nombres positifs p ∈ [1, ∞] et q ∈ [1, ∞] (l’inni est autorisé) tels que

1 p

+ 1q

= 1 .

Nous dirons que p et q sont conjugués .

Lemme 1 (Inégalité de H¨ older) . Soient u ∈ L p (Ω) et v ∈ L q (Ω) où p et q sont des nombres conjugués. Alors

Ω u (x )v(x )dx ≤ u L p (Ω) × v L q (Ω) .Dans le cas p = q = 2, l’inégalit́e de H¨ older est identique ` a l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Le cas p = ∞ et q = 1 est immédiat.

2.1.3 Fonctions à variation bornéeLe cadre des fonctions ` a variation bornée permet de manipuler des fonctions discontinues, ce qui est très utile pour l’analysenumérique des équations de transport. On renvoie ` a [18, 19].Pour un vecteur ϕ = ( ϕ1 , · · · , ϕd ) on notera

|ϕ| = ϕ21 + · · ·ϕ2d .L’espace des fonctions ` a d́erivée bor ńee, ` a valeur vectorielle, ` a support compact, et bornées par 1, sera noté

W 1 ,∞b, 0 (R d )d = ϕ ∈W 1 ,∞0 (R d )

d, |ϕ(x )| ≤ 1 ∀x

Dénition 4 (Variation totale) . Soit u ∈ L 1 (R d ). Le nombre éventuel lement inni

|u |BV( R d ) = supϕ∈W

1 , ∞b, 0 (R

d ) d− R d u (x )∇ ·ϕ(x )dx

sera appelé la variation totale de u .

La dénition est encore valable en rempla¸ cant L1 (R d ) par L1loc (Rd ).

Exemple 1 (En dimension un d’espace) . Soit u ∈ W 1 , 1 (R ). Alors

|u |BV = u ′ L 1 ( R ) = R |u ′(x )|dx.Cela vient de la formule d’intégration par parties

− R u (x )ϕ′(x )dx = R u ′(x )ϕ(x )dx.Le supremum sur tous les ϕ tels que |ϕ| ≤ 1 montre que

sup|ϕ |≤1

R

u ′(x )ϕ(x )dx =

R

u ′(x ) dx =

u ′ L 1 ( R ) .

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La fonction ( t, x) →u (t, x) est l’inconnue : t est la variable de temps, et x = ( x1 , · · · , xd )∈R d est la variabled’espace. L’opérateur gradient est déni par

∇u = ∂ ∂x 1

u, · · · , ∂ ∂x d

u .

Le champ x → c(x) ∈ R d est donné. Il est appelé champ de vitesse pour des raisons qui paraitront évidentesdans la suite.Dimension d = 1

On considère tout d’abord le cas en dimension d = 1 pour une vitesse constante que l’on note a ∈ R . Il s’agitde l’équation d’advection∂ t u + a∂ x u = 0 , t > 0, x∈

R . (2.2)

On supposera que a > 0. L’autre cas a < 0 est symétrique et se déduit du cas a > 0. On munit l’équation d’unecondition initiale `a t = 0u(0, x ) = u0(x ). (2.3)

Lemme 3. L’unique solution de (2.2) avec la condition initiale (2.3) est

u (t, x ) = u0(x −at ). (2.4)Démonstration. Cette propriété peut se démontrer dans tout type d’espace fonctionnel. Par souci de simplicitéon considère une donnée initiale régulière u0 ∈ C 1(R ). Prenons la fonction dénie par (2.4). On a ∂ t u =−au ′0(x −at ) et ∂ x u = u′0(x −at ). Donc ∂ t u + a∂ x u = −au ′0 + au ′0 = 0 ce qui montre que (2.4) est bien unesolution.

tx = X 2 + at

xX 1 X 2

x = X 1 + at

Figure 2.1 – La solution de l’équation d’advection est constant le long des droites caractéristiques x = X + at .

Montrons à présent l’unicité. Soient u1 et u2 deux solutions de classe C 1(R ) éventuellement différentes, avec lamême donnée initiale

u 1(0, x ) = u2(0, x ) = u0(x).

Soit x → ϕ0(x) une fonction dérivable, positive ou nulle, ` a support compact : ϕ0(x) = 0 for |x| ≥ A. On noteϕ(t, x ) = ϕ0(x −at ) qui est solution de l’équation d’advection. Posons v = ( u1 −u 2)2ϕ ≥0. On commence parvérier que v est aussi solution de l’équation d’advection

∂ t v + a∂ x v = 2 ( u1 −u2) ϕ (∂ t (u1 −u 2) + a∂ x (u1 −u2)) + ( u1 −u 2)2 (∂ tϕ + a∂ xϕ) = 0 .Par construction v est à support compact ce qui n’était pas nécessairement le cas de u 1 ni de u 2 . Donc

0 = R (∂ t v + a∂ x v) dx = R ∂

t vdx + a A + at

− A + at ∂ x vdx = ddt R vdx.

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2.2. QUELQUES MOD ÈLES 11

Or v(0, x ) = 0. Donc

R v(T, x )dx = 0 pour tout T > 0. Comme v ≥ 0, il s’ensuit que v ≡ 0. Le support de v

pouvant être aussi grand que souhaitée, cela montre que u1 = u1 .

Soit un champ de vitesse de transport x →c(x)∈R et u une solution de l’équation du transport∂ t u + c(x)∂ x u = 0 , u(x, 0) = u0(x).

Nous construisons les courbes caractéristiques

y′ (t ; X ) = c(y(t ; X )) ,y(0; X ) = X.

On utilise souvent des notations simpliées. Par exemple en notant les courbes caractéristiques x(t) à la placede x = y(t ; X ).

Proposition 1. Supposons c Lipschitzienne et borńee. Alors il existe une et une seule solution de l’équation des courbes caractéristiques ( x∈

R , t ≥0).Démonstration. C’est une conséquence du théorème de Cauchy-Lipshitz.

Proposition 2. Sous les mêmes hypothèses, une solution de l’équation du transport est

u(x, t ) = u0(X ), x = y(t ; X ).

Démonstration. On a u(x, t ) = u(y(t ; X ), t ). Dérivant par rapport ` a t, X étant xe, on obtient

0 = ddt

u0(X ) = ddt

u(y(t ; X ), t ) = y ′ (t ; X )∂ x u(y(t ; X ), t ) + ∂ t u(y(t ; X ), t )

= ∂ t u(y(t ; X ), t ) + c(y(t ; X ))∂ x u(y(t ; X ), t ).

Cela est vrai pour tout ( t, X ), c’est vrai pour tout x = y(t ; X ) et tout t. La preuve est terminée.

Dimension d ≥2 en domaine bornéNous nous concentrons `a présent sur les conditions au bord qu’il faut considérer en domaine borné, car celaconstituera un bon point de départ pour la construction de schémas numériques pour cette équation.Soit Ω⊂

R d un ouvert borné régulier. On note le champ de vitesse x →a(x). On supposera que a∈C 1(Ω) està divergence nulle∇.a = 0 .

De ce fait l’équation admet une formulation conservative∂ t u + ∇ ·(au) = ∂ t u + a ·∇u + (∇ ·a ) u = 0 .

Le bord de Ω est séparé en deux parties Γ = Γ − ∪Γ+ avec

Γ− = {x∈Γ, a ·n < 0}, Γ+ = {x∈Γ, a ·n ≥0}.Nous considérons le problème avec condition initiale et condition au bord

∂ t u + a ·∇u = 0 , x∈Ω, t > 0,u(0, x) = u0(x), x∈Ω,u(t, x) = u− (t, x), x∈Γ− .(2.5)

On note immédiatement qu’il n’y a pas de condition sur le bord Γ + .

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n

a

Γ−

Γ +

n

n

n

Figure 2.2 – Sur cet exemple le champ de vitesse a est orienté en diagonale : la partie Γ + du bord surlignéeen gras est constitué des parties du bord en haut et ` a droite ; la partie Γ − du bord correspond aux parties dubord en bas et `a gauche.

Lemme 4. Soient deux fonctions u1 et u2 solutions régulières de (2.5). Supposons que u1 ont u2 ont la même condition initiale, et ont la même condition sur le bord Γ− . Alors u1 = u2 .

Démonstration. La différence e = u1 −u2 est solution de∂ t e + a ·∇e = 0 , x∈Ω, t > 0,e(0, x) = 0 , x∈Ω,e(t, x) = 0 , x∈Γ

−

.

Posons E (t) = 12 e(t )22 . Alors

E ′ (t) = Ω e∂ t edx = − Ω ea·∇edx = − Ω∇· a e22 dx = − Γ − a·n e22 dσ− Γ + a·n e22 dσ = − Γ + a·n e22 dσ ≤0.Notons que l’on a utilisé que e = 0 on Γ − . Or E (0) = 0 donc E (t) = 0 pour tout temps t > 0. Cela montre queu1 = u2 .

Il est important de bien comprendre pourquoi le bord Γ + ne joue nalement aucun rˆ ole dans la preuve d’unicité.

Courbes caractéristiques ”en avant” dans un domaine borné

A présent nous construisons la solution ` a partir des courbes caractéristiques t → y (t, X ) dénies parddt

y (t, X ) = a (X ) avec la donnée initiale y (0 , x ) = X .

Ces courbes sont correctement construites dans le cadre du théorème de Cauchy-Lipschitz pour a ∈ C 1 (Ω).Soit une fonction u constante le long des caractéristiquesu (y (X ) , t ) = u 0 (X ) .

Elle vérieddt

u = ∂ t u + ddt

y (t, X ) .∇u = ∂ t u + a .∇u = 0 .

Pour un x donné et un t donné, on peut ainsi déterminer la valeur de u (t, x ) une fois que le pied de la caractéristique X a été dénien résolvant l’équation

y (t, X ) = x . (2.6)Il s’ensuit qu’il est nécessaire d’inverser l’équation (2.6) pour obtenir le point de départ X

∈ Ω

∪

Γ− de la caractéristique qui arriveen ( t, x ) ∈ R + ×Ω. Pour rendre la discussion légèrement plus simple, on peut construire les caractéristiques ”en arrière”.

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X 1 ∈Γ−

x2

∈Γ+

Figure 2.3 – La fonction u est constante le long des caractéristiques dont le point de départ est noté sous laforme de cercle noir : le point X 1 ∈Γ− est un point de départ ; le point x 2 ∈Γ+ n’est pas un point de départ.

Courbes caractéristiques ”en arrière” dans un domaine bornéLes courbes caractéristiques en arrière sont construites ` a partir de la position au temps nal

ddt

X (t, x ) = −a (X ) pour t > 0, avec X (0 , x ) = x ∈ Ω.Bien s ûr X (t, x ) est aussi le point de départ de la caractéristique en avant discutée précédemment. Nous dénissons le temps (desortie)

T (x ) = inf( t ) tel que X (t, x ) ∈ ∂ Ω.Si X (t, x ) ∈ Ω pour tout t > 0, on posera T (x ) = + ∞. Par dénition T (x ) > 0 pour tout x ∈ Ω.La construction de la solution u au point ( t, x ) s’appuie sur deux cas.Premier cas : t < T (x ) . On pose

u (t, x ) = u 0 (X (t, x )) . (2.7)

Deuxième cas : T (x ) ≤ t . Pour le temps t = T (x ) la courbe caractéristique rencontre le bord, nécessairement en Γ −. On poseu (t, x ) = u− (t −T (x ) , X (T (x ) , x )) . (2.8)

Par construction la fonction u (2.7-2.8) satisfait la condition initiale

u (0 , x ) = u 0 (x ) , ∀x ∈ Ω, (c’est à dire (2 .7) à t = 0) ,et la condition au bord

u (t, x ) = u −(t, x ) , ∀x ∈ Γ−, c’est à dire (2 .8) pour x ∈ Γ− .Il reste à vérier que u est bien solution, et en quel sens, de l’équation de transport. On a un premier résultat, qui est partielcependant car il y une restriction sur le temps.

Lemme 5. Supposons que u0 ∈ C 1 (Ω) . Soit un point de l’espace temps (t, x ) tel que t < T (x ). Alors a fonction u (2.9) est localement C 1 et est solution de ∂ t u + a .∇u = 0 ∀x ∈ Ω ∀t < T (x ) .

Démonstration. On a par construction

X (t −h, X (h, x )) = X (t, x ) pour de petits h > 0,donc

u (t −h, X (t −h X (h, x )) = u (t, x ) pour de petits h > 0. (2.9)La transformation ( t, x ) → X (t, x ) est C 1 localement autour de ( t, x ) dans le cas t < T (x ). Par dérivation de (2.9) on obtientddh u (t −h, X (t −h X (h, x )) = 0, ou encore

−∂ t u − ddh

X (t −h X (h, x ) ·∇u = 0 .Par ailleurs ddh X (t −h X (h, x ) = a (X (t −h X (h, x )), donc pour h = 0 on obtient −∂ t u −a .∇u = 0.La restriction est pour t ≥ T (x ), qui peut faire apparaitre des pertes dans le caractère régulier de la solution. Par exemple le tempsde sortie x → T (x ) peut même ne pas être continu, comme dans l’exemple d ela gure 2.4.De manière générale il est possible de considérer que la fonction dénie par formulation Lagrangienne (2.9) est une solutiongénéralisée de la formulation Euĺerienne de l’équation du transport. On pourra consulter [2].

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x 2x 1 a

X 2

X 1X 0

x 0

Ω

Figure 2.4 – La vitesse a est verticale et constante. La fonction x →X (T (x), x)) n’est pas continue au pointx1 . Le temps de sortie T (x) est également discontinu en x 1 .

2.2.2 Equation de la chaleurL’opérateur Laplacien est déni en dimension d par

∆ u = ∇ ·∇u = ∂ 2

∂x 21u + · · ·+

∂ 2

∂x 2du.

Soit le problème de la chaleur en dimension d = 2 avec une condition de Neumann

∂ t u

−∆ u = 0 , t > 0, x

∈

Ω,

∇u ·n = 0 , t > 0, x∈Γ,u(0, x) = u0(x) x∈Ω.

(2.10)

Ce problème est bien posé. Il existe une et une seule solution de la formulation variationnelle associée : voir[17, 19].On considère l’énergie quadratique E (t) = 12 u(t)

2L 2 (Ω) . On a E

′ (t) = Ω u∂ t udx = Ω u∆ udx . Une intégrationpar parties montre que E ′ (t) = − Ω∇u ·∇udx + Γ u∇u ·n dσ = − Ω |∇u|2 dx . Une intégration en tempsmontre queE (T ) + 2 T 0 Ω |∇u(t, x)|2 dxdt = E (0) .

L’unicité est alors pour les solutions régulières.

Lemme 6. Soient deux solutions u1 et u2 pour la même condition initiale u0 . Alors u1 = u2 .Démonstration. Soit u = u1 −u2 , qui est alors solution du même problème avec une condition initiale nulle.L’identité précédente montre que E (T ) ≤E (0) = 0, donc u ≡0, ce qui montre l’unicité de la solution.Les liens entre (2.10) et les problèmes variationnels stationnaires sont immédiats après utilisation d’une procédure d’Euler implicitepour la discrétisation de la dérivée en temps. Soit ∆ t > 0 un pas de temps destiné in ne ` a tendre vers 0. On approche (2.10) parune succession de problèmes stationnaires u n

u n +1 −∆ t∆ u n +1 = u n , x ∈ Ω,∇u

n +1 ·n = 0 , t > 0, x ∈ Γ ,u 0 = u 0 x ∈ Ω.(2.11)

Exercice 1. On considère que u0 ∈ L 2 (Ω) . Montrer que la formulation variationnelle de (2.11) admet une unique solution dansH 10 (Ω) pour tout n ∈ N .On renvoie `a [9] pour les aspects complémentaires.

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2.2.3 Principe du maximum

Leséquations d’advection et de diffusion satisfont le principe du maximum que nousétudions ici pour le problèmedans le plan

∂ t u + a ·∇u −k∆ u = 0 , x∈R 2 , t > 0u(0, x) = u ( x), x∈R 2 , (2.12)

pour a∈R 2 et k ≥0.Soit ϕ : R → R une fonction de classe C 2 et convexe : ϕ ′′ ≥ 0. On supposera que ϕ (0) = 0 et que u et négligeable ` a l’inni.

Lemme 7 (Estimation a priori) . On a

R 2 ϕ (u (t, x )) dx ≤ R 2 ϕ (u 0 (x )) dx. (2.13)Démonstration. On a

ddt R

2 ϕ (u (t, x )) dx = R2 ∂ t u (t, x )ϕ′ (u (t, x )) dx = R

2 (k∆ u −a ·∇u ) ϕ′ (u (t, x )) dx= ∇ · k∇ R 2 ϕ (u (t, x )) −a R 2 ϕ (u (t, x )) −k R 2 |∇u (t, x )|2 ϕ′′ (u (t, x )) dx.

Comme u tend vers 0 pour |x | → ∞ et que ϕ (0) = 0, on peut intégrer dans tout le domaine car les termes ` a l’inni disparaissent.On obtientddt R 2 ϕ (u (t, x )) ≤ 0.

Cela termine la preuve après intégration en temps.

Soit u 0 ∈L∞ (R 2), et pour simplier positive et ` a support compact : 0 ≤u0 ≤ u0 L ∞ (R 2 ) .Lemme 8. On a pour tout t > 0

0 ≤u (t, x) ≤ u 0 L ∞ (R 2 ) , x∈R 2 . (2.14)Démonstration. Soit la fonction ϕ : R → R

ϕ−(v) = max( −v, 0)3 = max −v3 , 0 .Cette fonction est convexe. Sa dérivée seconde est continue et nulle en v = 0. Donc ϕ− est C

2 . De plus ϕ ≥ 0 et ϕ(v) = 0 siet seulement si v ≥ 0. Du fait de la positivité de la donńee initiale, l’estimation a priori fournit : R 2 ϕ− (u (t, x )) ≤ 0. Donc R 2 ϕ− (u (t, x )) ≤ 0 et au nal u(t ) ≥ 0.Soit à pŕesentϕ+ (v) = max 0, v − u 0 L ∞ ( R 2 )

3= max 0, v − u 0 L ∞ ( R 2 )

3,

qui est une fonction convexe et de dérivée seconde continue (et nulle en v = u 0 L ∞ ( R 2 ) ). On a alors

R 2ϕ+ (u (t, x ))

≤ R 2ϕ+ (u 0 (x )) = 0

ce qui montre in ne que u ≤ u 0 L ∞ ( R 2 ) .

2.2.4 Systèmes de FriedrichsSoient deux matrices A1 , A 2 ∈ R n ×n . On fait l’hypothèse majeure que les matrices sont symétriques

A 1 = A t1 et A2 = At2 .

On considère le système de Friedrichs ` a coefficients constants

∂ t U + A 1 ∂ x 1 U + A 2 ∂ x 2 U = 0 , t > 0, x = ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 . (2.15)La fonction inconnue est U (t, x ) ∈ R n . La condition initiale s’écrit U (0 , x ) = U 0 (x ) pour tout x ∈ R 2 , où la fonction U 0 est ladonnée initiale. Les systèmes de Friedrichs sont accompagnés d’une identité d’énergie quadratique.

Proposition 3. Les systèmes de Friedrichs conservent l’énergie quadratique : ddt U (t, ·) L 2 ( R ) n = 0 .

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Chapitre 3

Quelques principes de construction

Nous considérons plusieurs types de discrétisation numérique en distinguant suivant que la grille est cartésienneou quelconque, suivant le type d’équation (transport ou chaleur) et suivant la méthode d’approximation (Différen-ces Finies, Eléments Finis et Volumes Finis).L’indice abstrait signalant une approximation numérique sera noté h. En pratique h est souvent égal au pasd’espace ∆ x . Plus généralement h pourra désigner l’ensemble des paramètres numériques, par exemple h =(∆ x, ∆ t).

3.1 Approximation numérique en dimension d = 1Nous considérons une grille de pas d’espace uniforme ∆ x > 0 et de pas de temps t > 0. Comme sur la gure3.1, les points de grille en espace seront notés x j = j ∆ x pour j

∈Z et les points de grille en temps seront notés

tn = n∆ t pour n∈N .

3

x

t

x xx1 2 3

x x0

t 0

t2

t3

t4

t5

1t

−1

(x ,t )2

Figure 3.1 – Grille Différences Finies

L’interpolée en ( x j , t n ) de la solution exacte u est

u(x j , t n ).

La solution numérique au point ( x j , t n ) sera notée unj . A priori u nj = u(x j , t n ) En rassemblant toutes les valeurs17

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18 CHAPITRE 3. QUELQUES PRINCIPES DE CONSTRUCTION

pour un temps donné, on dénit solution interpolée au temps t n

vn = ( u(x j , t n )) j ∈Z ∈R Z .On notera la solution numérique au temps tn par

un = u nj j ∈Z ∈RZ .

Nous considérerons que la donnée initiale u0 est connue, et pour simplier que c’est une fonction continue. Aussila discrétisation sur la grille de la condition initiale est immédiate

u 0j = u0(x j ), j ∈Z . (3.1)Le principe de discrétisation consiste ` a utiliser l’opérateur aux dérivées partielles pour établir une relation derécurrence qui permette de calculer successivement la solution numérique ` a chaque pas de temps tn .

3.1.1 Equation du transportApproximation par Différences Finies

Principe 1 (Différences Finies) . Le principe de construction des méthodes de Différences Finies consiste ` a discrétiser les opérateurs différentiels ∂ t et ∂ x , en faisant toute hypothèse de régularité nécessaire pour justier les divers ordres d’approximations.

On a par exemple pour la dérivation en temps

∂ t u(x j , t n ) = u(x j , t n ) −u(x j , t n )

∆ t + O (∆ t).

Concernant la dérivation en espace on a

∂ x u(x j , t n ) = u(x j , t n ) −u(x j − 1 , t n )

∆ x + O (∆ x) (décentrement ` a gauche) ,

∂ x u(x j , t n ) = u(x j +1 , t n ) −u(x j − 1 , t n )

2∆ x + O (∆ x 2) (approximation centrée) ,

∂ x u(x j , t n ) = u(x j +1 , t n ) −u(x j , t n )

∆ x + O (∆ x) (décentrement ` a droite) .

Supposons que la vitesse est positive a > 0 dans l’équation du transport. Pour des raisons de stabili t́e , il fautprivilégier la discrétisation en espace décentrée ` a gauche

u (x j , t n +1 ) −u(x j , t n )∆ t

+ au(x j , t n ) −u (x j − 1 , t n )

∆ x = O(∆ x, ∆ t). (3.2)

En abandonnant le terre de résidu et en rempla¸ cant la valeur interpolée par l’approximation numérique, onobtient le schéma de différences nies décentré

un +1j −unj∆ t

+ au nj −unj − 1

∆ x = 0 , j ∈Z , n ≥0. (3.3)

Ce schéma prend aussi le nom de schéma upwind , car le décentrement va chercher l’information en remontantle courant, ou encore en remontant le vent. L’erreur de troncature visible dans (3.2) fait que ce schéma est ditd’ordre un (en temps et en espace).

Principe 2 (Ordre d’un schéma : ce principe sera précisé et généralisé aux dénitions 8, 7 et 9 et ` a la remarque4). Soit une équation aux dérivées partielles du premier ordre en temps et d’ordre quelconque en espace. Soit un schéma numérique donné. Supposons que l’insertion des valeurs ponctuelles de la solution exacte dans le schéma permet d’obtenir un résidu de la forme O(∆ x p + ∆ t q ). Alors on dira que le schéma est d’ ordre p enespace et q en temps .

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3.1. APPROXIMATION NUM ÉRIQUE EN DIMENSION D = 1 19

Une illustration numérique avec le schéma upwind est la suivante. Nous considérons une donnée initiale u0(x ) =

1 si 0.2 < x < 0.6 et u0(x) = 0 ailleurs, et des conditions périodiques aux bords. La solution exacte estu(x, t ) = u0(x −at ) aussiu(x, 0.3) = 1 pour 0 .5 < x < 0.8, et u(x, 0.3) = 0 ailleurs .

Nous notons que cette solution est discontinue.Nous résolvons numériquement avec 100 mailles sur un intervalle de longueur 1, soit ∆ x = 0 .01. Les résultatscalculés avec le schéma upwind sont présentés ` a la gure 3.2 pour ν = a ∆ t∆ x avec trois valeurs du paramètreν = 1 .1, ν = 0 .1 et ν = 0 .7. Pour ν = 1 .1, on observe une solution numérique violemment oscillante , on dirainstable . En revanche la solution numérique semble proche de la solution exacte pour ν = 0 .1 et ν = 0 .7.A partir de la forme explicite du schéma upwind,

un +1j

= (1

−ν )unj + νu

nj

− 1

on retrouve aisément que ν ≤1 est une condition suffisante pour éliminer les violentes oscillations numériquesdu cas ν = 1 .1. En effetν ≤1 =⇒supj u

n +1j ≤supj u

nj . (3.4)

Le phénomène de stabili t́e/instabilité sera étudié systématiquement au chapitre suivant. On démontrera aussila convergence numérique sous des conditions générales.

0.8 0.9 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

’sol0’

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

−20

’sol1’

t = 0 t = 0 .3 et ν = 1 .1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

0

’sol2’

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

0

’sol3’

t = 0 .3 et ν = 0 .1 t = 0 .3 et ν = 0 .7

Figure 3.2 – Donnée initiale en haut ` a gauche, solution numérique au temps t = 0 .3 pour trois valeurs différentesdu paramètre ν = a ∆ t∆ x . On observe une instabilité en haut ` a droite, et une solution numérique ”correcte” enbas.

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Approximation par Eléments Finis

Principe 3 (Méthode des éĺements nis) . La discrétisation numérique par méthode des éléments nis s’appuie d’une part sur l’établissement d’une formulation variationnelle des équations, et d’autre part sur le choix d’un espace d’approximation de Galerkin.

Nous présentons l’application de ce principe sur l’équation simpliée stationnaire

ddx

u = f , x ∈R . (3.5)

pour un second membre donné f . La formulation faible que nous considérons est

R ddx u(x)v(x )dx = R f (x)v(x )dx, u ∈V, ∀v ∈V. (3.6)A priori l’espace vérie V ⊂H 1(R ), ce qui fait que les intégrales sont calculables (i.e. sont convergentes). Pourune raison de symétrie qui fait partie int́egrante des approximations de Galerkin, les fonctions tests sont ` aprendre dans le même espace. Il faut faire attention cependant car la forme bilinéaire dénie dans (3.6) n’estpas coercive. Cependant cela n’empêche pas d’appliquer l’approximation de Galerkin en dimension nie pourobtenir une discrétisation numérique.

Lemme 10. L’approximation Eléments Finis de type P 1 de l’opérateur différentiel ddx est centrée.

Démonstration. L’approximation de Galerkin discrète la plus simple de type P 1 s’appuie sur V h = Vect( ϕj )j ∈Z ⊂V avec ϕj (x) = 0 pour x ≤( j −1)∆ x ou x ≥( j + 1)∆ x,ϕj (x) = x −( j −1)∆ x∆ x pour ( j −1)∆ x ≤x ≤ j ∆ x,ϕj (x) = ( j + 1)∆ x −x∆ x pour j ∆ x ≤x ≤( j + 1)∆ x.

(3.7)

x j +1x

ϕj +1 (x)ϕj − 1(x)

ϕj (x)

x j − 1 xj

Figure 3.3 – Fonction chapeau ϕj et les deux fonctions voisines ϕj − 1 et ϕj +1

La formulation discrète est

R ddx uh (x)vh (x)dx = R f (x)v(x )dx, u h ∈V h , ∀vh ∈V h , (3.8)ou encore R ddx uh (x )ϕj (x)dx = R f (x)ϕj (x )dx, ∀ j. (3.9)L’approximation numérique est uh

uh

=i∈Z

uiϕ

i.

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Les coefficients sont

bi,j = R ϕi (x)ϕj (x)dx =23 for i = j,

16

for i = j ±1,0 for i = j −1, j , j + 1 .

On obtient nalement le schéma16 u

n +1j − 1 +

23 u

n +1j +

16 u

n +1j +1 − 16 un − 1j − 1 − 23 un − 1j − 16 un − 1j +1

∆ t (3.11)

+ a16 u

n − 1j +1 +

23 u

nj +1 +

16 u

n +1j +1 − 16 un − 1j − 1 − 23 unj − 1 − 16 un +1j − 1

∆ t = 0 .

On remarque que ce schéma est centré en temps et en espace. Il est aussi implicite car on ne peut pas calculerdirectement un +1 .Une autre possibilité consiste ` a utiliser une approximation d’éléments nis pour la partie en espace, et ` a secontenter d’une discrétisation explicite pour la dérivée en temps. On obtient

un +1j −unj∆ t

+ aunj +1 −u nj − 1

2∆ x = 0 . (3.12)

Dans les trois cas (3.10), (3.11) et (3.12), l’approximation de ddx par éĺements nis est centŕee.

Approximation par Volumes Finis

Principe 4. La discrétisation numérique par méthodes de volumes nies s’appuie : a) sur une écriture sous

forme divergente des équations ; b) sur une intégration des équations dans un volume de contrˆ ole s’appuyant sur un maillage : c) sur la construction de ux numériques pour clore la construction.

Une forme divergente des équations signale que les différents termes sont rangés ”` a l’intérieur” des opérateursdifférentiels. Pour l’advection c’est le cas car on peut écrire ∂ t (u ) + ∂ x (au ) = 0.L’étape b) peut se réaliser en intégrant dans un volume espace-temps ou uniquement espace, avec le mêmerésultat. Par souci de simplicité, nous intégrons dans un volume de type espace.Le volume (ou maille, ou cellule) d’indice j est situé entre les bords de volume xj − 12 = j − 12 ∆ x et xj + 12 = j + 12 ∆ x . La longueur (volume en 3D) de la maille est ∆ x j = x j + 12 −x j − 12 : on remarque que les longueursde mailles peuvent être variables ce qui autorise plus de souplesse pour la mise en oeuvre.

L’intégration dans la maille fournit

x j + 12

x j − 12

(∂ t u + a∂ x u) dx =

x j + 12

x j − 12

∂ t udx +

x j + 12

x j − 12

a∂ x udx = 0 . (3.13)

La première intégrale est aussi x j + 12x j − 12 ∂ t udx = ddt x j + 12x j − 12 u(t, x )dx . La quantité x j + 12x j − 12 u(t, x )dx représente lamasse de l’inconnue u dans la maille. Puis nous dénissons la valeur moyenne de de cette même quantité autemps tn

vnj = x j + 12x j − 12 u(x, t n )dx∆ x j .On peut remarquer qu’aucune approximation n’a pour l’instant été réalisée. Une approximation de type DifférencesFinies de l’opérateur ddt permet d’obtenir

d

dt x j + 12

x j − 12

u(t, x )dx = ∆ x jvn +1j −vnj

∆ t + O(∆ t) (3.14)

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Exercice 3. Montrer que le schéma de Lax-Wendroff est d’ordre deux en temps et en espace.

un +1j = (1 −ν 2)unj + ν + ν 2

2 unj − 1 +

ν 2 −ν 2

unj +1 . (3.17)

Exercice 4. Montrer que le schéma de Beam-Warming est d’ordre deux en temps et en espace.

un +1j = 1 − 32

ν + 12

ν 2 unj + (2 ν −ν 2)unj − 1 + ν 2 −ν

2 unj − 2 . (3.18)

3.1.2 Equation de la chaleurNous appliquons `a présent les principes de construction de Différences Finies, d’Elements Finis et de Volumesà l’équation de la chaleur sur la droite réelle

∂ t u −∂ xx u = 0 , x∈R , t > 0.Les notations discrètes de points et de mailles sont conservées. Le pas de temps est noté ∆ t > 0, et ∆ x > 0 estle pas d’espace.

Approximation par Différences Finies

Le schéma explicite de Différences Finis prend la forme

un +1j −u nj∆ t −

unj +1 −2unj + u nj − 1∆ x2

= 0 , ∀ j ∈Z . (3.19)

Exercice 5. Montrer que ce schéma est d’ordre un en temps et deux en espace.Une illustration numérique calculée avec le schéma (3.19) est la suivante. Soit une donnée initiale u0(x ) =cos(2πx ) et des conditions périodiques aux bords. La solution exacte est

u(x, t ) = cos(2 πx )e− 4π2 t .

Pour un temps de T = log 24π 2 ≈0.0175581, on obtient u(x, T ) = 12 u 0(x).Nous résolvons ce problème avec 100 mailles sur un intervalle de longueur 1, soit ∆ x = 0 .01. Les résultatscalculés avec le schéma (3.19) pour un paramètre ν = 2 ∆ t∆ x 2 sont présent́es ` a la gure 3.5, pour trois valeurs duparamètre ν = 0 .55, ν = 0 .1 et ν = 0 .45.A partir de la forme explicite du schéma upwind,

un +1j = (1 −2ν )u

nj + νu

nj − 1 + νu

nj +1

on retrouve aisément que ν ≤ 12 est une condition suffisante pour éliminer les violentes oscillations numériquesdu cas ν = 0 .55. En effetν ≤1 =⇒supj u

n +1j ≤supj u

nj .

Approximation par Eléments Finis

La méthode des Eléments Finis s’appuie sur une formulation variationnelle que nous développons tout d’abordpour l’équation stationnaire −u ′′ (x) = f avec f ∈L 2(R ) pour xer les idées. On a

R u′(x)v

′(x)dx = f (x)v(x)dx, pour tout v dans un espace bien choisi de type H

1(R ).

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3.1. APPROXIMATION NUM ÉRIQUE EN DIMENSION D = 1 25

−0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

−1

’soldifini’

−6e+08

−4e+08

−2e+08

0

2e+08

4e+08

6e+08

8e+08

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

−8e+08

’soldifCFL=.55’

t = 0 t = T et ν = 1 .1

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

−0.5

’soldifCFL=.45’

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

u

x

−0.6

’soldifCFL=.1’

t = T et ν = 0 .45 t = T et ν = 0 .1

Figure 3.5 – Donnée initiale en haut ` a gauche, solution numérique au temps T = log 24π 2 . On observe uneinstabilité en haut ` a droite, et une solution numérique ”correcte” en bas. Les amplitudes de l’instabilité sontsans commune mesure avec l’amplitude de la solution exacte.

Soit une fonction test P 1 dénie dans (3.7). La formulation discrète est

R u ′hϕ′j dx = fϕ j dx.Considérons comme auparavant que uh = i u iϕi . On obtient

i R ϕ′i (x)ϕ′j (x)dx u i = fϕ j dx, ∀ j.Posons ci,j =

Rϕ

′

i(x)ϕ′

j(x)dx d’où l’on obtient

ci,j = 0 i ≤ j −2,ci,j = 0 i ≥ j + 2 ,cj +1 ,j = (j +1)∆ xj ∆ x 1∆ x × −1∆ x dx = − 1∆ x ,cj − 1,j = j ∆ x( j − 1)∆ x −1∆ x × 1∆ x dx = − 1∆ x ,cj,j = (j +1)∆ x( j − 1)∆ x 1∆ x2 dx = 2∆ x .

Nous posons par commodité f j = 1∆ x

R fϕ j . On obtient alors le schéma

−u

j +1 −2u

j + u

j − 1∆ x = ∆ xf j , ∀ j.

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Une discrétisation de type Différences Finies explicite du terme ∂ t u permet d’obtenir le schéma

∆ xun +1j −unj

∆ t − uj +1 −2u j + u j − 1

∆ x = 0 , n∈

N , j ∈Z , (3.20)dans lequel on retrouve le schéma aux Différences Finies (3.19).

Approximation par Volumes Finis

Considérons `a présent une discrétisation par la méthode des Volumes Finis pour la forme divergente

∂ t u −∂ x f = 0 , f = ∂ x u.Nous intégrons en espace entre x j − 12 et xj + 12

ddt

xj +

12

x j − 12

u(t, x )dx − x

j +12

x j − 12

∂ xx u(t, x )dx = 0 .

D’oùddt x j + 12x j − 12 u(t, x )dx −∂ x u(t, x j + 12 ) + ∂ x u(t, x j − 12 ) = 0 . (3.21)

Le centre des mailles est noté xj avec

x j =x j − 12 + x j + 12

2 .

Comme auparavant la valeur moyenne de u dans la maille est notée

vnj = x j + 12

x j − 12u (n∆ t, x )dx

∆ x j= u(n ∆ t, x j ) + O (∆ x2j ), (3.22)

et la dérivation en temps est approchée par la différence nie explicite (3.14). Une discrétisation naturelle duux ∂ x u(t, x j + 12 ) est

∂ x u (n∆ t, x j + 12 ) = u(n∆ t, x j +1 ) −u(n∆ t, x j )

x j +1 −x j+ O (x j +1 −x j ). (3.23)

u j +1

u j

u j +

12

x j + 12

G j +1 −x j + 12 x j + 12 −G jFigure 3.6 – Interpolation en x j + 12 de la dérivée en espace.On peut remarquer que si le maillage est uniforme

x j +1 −x j + 12 = x j + 12 −x j ⇐⇒x j + 32 −x j + 12 = x j + 12 −x j − 12 ,

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3.2. APPROXIMATION NUM ÉRIQUE EN DIMENSION D ≥2 27

alors l’erreur d’interpolation est du second ordre

∂ x u(n∆ t, x j + 12 ) = u(n∆ t, x j +1 ) −u(n ∆ t, x j )

x j +1 −x j+ O (x j +1 −x j )2

et donc a priori plus précis que (3.23). En rempla¸ cant la valeur ponctuelle par la valeur moyenne (3.22), nousobtenons

∂ x u (n∆ t, x j + 12 ) =vnj +1 −vnjx j +1 −x j

+ O (max(∆ x j +1 , ∆ x j ))

D’où à partir de (3.21)

∆ x jvn +1j −vnj

∆ t −vnj +1 −vnjx j +1 −x j

+vnj −vnj − 1x j −x j − 1

= O (max (∆ x j +1 , ∆ x j , ∆ t)) .

Il reste à abandonner le résidu et ` a remplacer la solution exacte par la solution numérique pour obtenir

∆ x jun +1j −unj

∆ t −unj +1 −unjx j +1 −x j

+u nj −unj − 1x j −x j − 1

= 0 . (3.24)

Proposition 4. Soit une grille uniforme : ∆ x j = ∆ x pour tout j . Alors les schémas de Différences Finies (3.19), d’Eléments Finis (3.20) et de Volumes Finis (3.24) sont identiques.

3.2 Approximation numérique en dimension d ≥2Nous passons en revue quelques principes qui permettent d’étendre les schémas précédents en dimensionsupérieure.La présentation sera faite en dimension d = 2, cependant les principes restent les mêmes en dimension d = 3 etplus.

3.2.1 Méthodes de Différences FiniesSoit une grille cartésienne uniforme dont les points en espace sont notés

x i,j = ( i∆ x, j ∆ x) , i, j ∈Z .Les pas de temps sont toujours t n = n∆ t pour n∈

N . La solution numérique au point d’espace-temps ( x i,j , t n )sera not́ee u ni,j .

Principe 5. Une extension bidimensionnel le immédiate d’un schéma de Différences Finies mondimensionnel

consiste à additionner les discrétisations dans les diverses directions spatiales.Soit par exemple l’équation d’advection bidimensionnelle

∂ t u + a∂ x u + b∂ y u = 0 , (x, y )∈R 2 . (3.25)

En supposant a > 0 et b < 0, un schéma bidimensionnel explicite construit ` a partir de (3.3) s’écrit

un +1i,j −uni,j∆ t

+ au ni,j −uni,j − 1

∆ x + b

u ni,j +1 −uni,j∆ x

= 0 . (3.26)

Ce schéma est d’ordre un en temps et en espace.

Principe 6. Une extension bidimensionnelle par splitting directionnel d’un schéma de Différences Finies mon-dimensionnel consiste `a décomposer le schéma en deux étapes monodimensionnelles.

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Exercice 6. En notant xj le centre de masse de la maille, montrer que

vnj = u(n∆ t, x j ) + O (h2). (3.32)

Considérons `a présent la deuxième partie de (3.29), que nous intégrons directement dans la maille. En supposantque Ωj est situé strictement ` a l’intérieur du domaine, on obtient

Ωj ∇ ·f (u(n∆ t, x)) dx = ∂ Ωj f (u(n∆ t, x)) ·n j dσ = k (ljk a ·n jk ) vnjk . (3.33)Ici vnjk est la valeur moyenne de u sur l’interface Σ jk au temps tn

vnjk =

Σ jk u (n∆ t, x)dσ

ljk.

Il est temps d’appliquer l’étape c) du principe de construction 4 des sch́emas de Volumes Finis. Nous nousappuyons sur les droites caractéristiques. Pour un champ de vitesse a est orienté de Ω j vers Ωk , on considéreque vnjk ≈vnj . Cela est illustré `a la gure 3.8.

Ωj Ωk

n j

a

Ωj Ωk

n j

a

vnjk = vnk + O (h ) v

njk = v

nj + O(h)

Figure 3.8 – On recherche une approximation décentŕee suivant le signe de a · n de la valeur moyenne àl’interface entre deux mailles.La même idée est utilisée sur chaque interface. Sur le bord entrant Γ −j , on utilise la donnée au bord u−

u− ,nj = (n +1)∆ tn ∆ t Γ −j u − (s, x)dσds∆ t l−j . (3.34)Si a ·n jk = 0, alors la valeur choisie de vnjk n’a pas d’importance car elle est multipliée ljk a ·n jk = 0 in (3.33).On obtient

s jvn +1j −vnj

∆ t + O (h 2∆ t )

+k, a ·n jk > 0

ljk a ·n jk vnj + O(h) +k, a ·n jk < 0

ljk a ·n jk (vnk + O (h ))

+ l−j a ·n j v− ,nj + l+j a ·n j vnj + O (h ) = 0 .

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En abandonnant les résidus O(·) et en rempla¸cant systématiquement les moyennes de la solutions exactes parla solution numérique on obtient

s jun +1j −unj

∆ t +

k, a ·n jk > 0

ljk a ·n jk unj +k, a ·n jk < 0

ljk a ·n jk unk + l−j a ·n j u− ,nj + l+j a ·n j u nj = 0 . (3.35)

Notons que le ux numérique sur chaque bord peut se représenter par la formule symétrique

F j,k (u, v ) = |a ·n jk |+ a ·n jk2 u − |a ·n kj |+ a ·n kj

2 v. (3.36)

Ce ux numérique est une approximation numérique du ux exact, au sens o` u

F j,k (u, u ) = f (u) ·n jk . (3.37)Cette propriété est appelée la consistance du ux numérique . Une autre propriété du ux numérique est

F j,k (u, v ) + F j,k (v, u ) = 0 ∀u, v ∈R . (3.38)Avec ces notations le schéma peut se récrire

s jun +1j −unj

∆ t +

k

ljk F jk (unj , unk ) + l

−j F j,j − (u

nj , u

− ,nj ) + l

+j F j,j + (u

nj , u

+ ,nj ) = 0 (3.39)

où nous avons utilisé la même convention d’écriture pour les ux sur les bords extérieurs indicés j − et j + (leterme u+ ,nj est articiel et ne joue pas sur la valeur du ux numérique).Soit M n = j s j u

nj la masse totale dans le domaine de calcul.

Lemme 12. Le schéma (3.35) est conservatif, au sens o` u la variation de masse totale se détermine en fonction des ux sur les bords sortant et entrant

M n +1 −M n∆ t

+j

l−j a ·n j u − ,nj +j

l+j a ·n j unj = 0 .

Démonstration. Considérant (3.39), il suffit de sommer sur toutes les mailles et de montrer que la contributiondes ux internes s’annule. On a

j k

ljk F jk (unj , unk ) =

j,k

ljk F jk (unj , unk ) + lkj F kj (u

nk , u

nj ) = 0

en vertu de (3.38). La preuve est terminée.

La stabilité et la convergence de ce schéma seront établies au chapitre 5.

3.2.3 Méthode de Volumes Finis pour l’équation de la chaleurNous considérons l’équation de la chaleur en dimension d = 2 avec une condition de Neumann homogène

∂ t u + ∇ ·g(∇u) = 0 , x∈Ω,g(∇u) ·n = 0 , x∈Γpour le ux g(∇u) = −∇u .Nous utilisons les notations précédentes sur le maillage. La méthode d’intégration de Volumes Finis est similaireau cas de l’advection, cependant il apparaitra une condition de compatibilité sur le maillage. De ce point devue, cela fait apparaitre une différence fondamentale entre ces deux problèmes.

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Après intégration dans Ω j , discrétisation explicite de la dérivée temporelle et expression des ux aux bords, on

obtients j

vn +1j −vnj∆ t

+k

ljk wnjk = O(h2∆ t) (3.40)

où vnj représente la valeur moyenne (3.31) de la solution exacte dans la maille et wjk est la valeur moyenne duux exact sur l’interface

ljk wnjk = − Σ jk ∇u(n∆ t, x )dσ ·n jk = ∇u(n ∆ t, x jk ) ·n jk + O (h 2)où x jk est déni comme le milieu du bord. On a

u(n∆ t, xk ) = u(n ∆ t, x jk ) + ∇u(n∆ t, x jk ) ·(x k −x jk ) + O (h 2),et

u (n∆ t, x j ) = u(n ∆ t, x jk ) + ∇u(n∆ t, x jk ) ·(x j −x jk ) + O(h2).En soustrayant nous obtenons

u (n∆ t, x k ) −u(n ∆ t, x j ) = ∇u(n∆ t, x jk ) ·(x k −x j ) + O(h2).Posons

djk = |x k −x j | et m jk = xk −x j

djkavec |m jk | = 1 .

Pour continuer la construction, nous ajoutons des conditions sur le maillage.

Hypothèse 1 (Sur le maillage) . Nous supposons qu’il existe une constante C > 0 indépendante de h telle que

inf ( j,k )

djk ≥Ch (3.41)

où h est la longueur caractéristique (3.28). De plus nous supposons que le segment qui relie les centres de maille est orthogonal au bras

m jk = n jk , ∀ j, k. (3.42)Un contre-exemple est proposé ` a la gure 3.9.Gr âce à (3.41) et (3.42) on peut écrire après division par djk

∇u (n∆ t, x jk ) ·n jk = u(n∆ t, x k ) −u (n∆ t, x j )

djk+ O(h). (3.43)

C’est donc quewnjk =

u(n∆ t, x k ) −u(n∆ t, x j )djk

+ O(h).

Or on peut approcher ` a l’ordre deux les valeurs ponctuelles par les valeurs moyennes grˆ ace à (3.32), d’où

wnjk =vnk −vnj

djk+ O(h).

On reporte cette expression dans (3.40). Abandonnant les résidus et rempla¸ cant les moyennes de la solutionexacte par la solution numérique, on obtient le schéma numérique de Volumes Finis

s jun +1j −unj

∆ t − k ljku nk −unj

djk = 0 , ∀ j. (3.44)

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n jkCell j

Cell k

x jxk

m jk

Figure 3.9 – Exemple d’un maillage satisfaisant localement (3.41), mais ne satisfaisant pas la condition d’ali-gnement (3.42) car m jk = n jk .

On remarque que la condition au bord de Neumann est automatiquement prise en compte car la somme sur lesmailles k exclut le bord. Cette construction permet d’identier un ux numérique

G jk (u, v ) = u −v

djk, avec G jk (u, v ) + G jk (v, u ) = 0 . (3.45)

Il s’ensuit que le schéma (3.44) se récrit sous la forme générale

s ju n +1j −u nj

∆ t +

k

ljk G jk u nj

, u nk

= 0 ,

∀ j. (3.46)

Lemme 13. Le schéma (3.46) est conservatif, au sens o` u la variation de masse totale est nulle.

Exercice 7. Le montrer.

La construction de ce sch́ema est soumise ` a la contrainte que les centres de mailles ( x j ) doivent satisfairel’hypothèse 1. Cette hypothèse est en pratique une contrainte extrêmement forte sur le maillage. Les maillagescartésiens voire cartésiens ` a pas variable tels que celui de la gure 3.10 vérie cette contrainte. Cependantil n’y a pas de raison qu’un maillage quelconque la satisfasse. Cela montre qu’il y a des liens forts entre laméthode considérée de discrétisation de l’équation de la chaleur et la géométrie du maillage sur lequel s’appuiela discrétisation.On décrit dans ce qui suit une solution élégante qui relaxe en partie cette contrainte pour les maillages en

triangles. Nous allons dénir un point xj attaché `a la maille Ωj et nous étudions quelques propriétés de lavaleur de la solution exacte interpolée en ce point

vnj = u(n∆ t, x j ).Nous dénissons par ailleurs des quantités géométriques

djk = | xk − x j | et m jk = xk − x j djk

tel que f jk = 1 . (3.47)Supposons alors qu’il existe une constante universelle C > 0 indépendante de h avec les propriétés suivantesOn a pour une solution u suffisamment ŕegulìere

s jvn +1

j −vn

j∆ t = s jwn +1

j −wn

j∆ t + O (h 3).

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∆ y1

∆ y2

∆ x1 ∆ x2

Figure 3.10 – Exemple d’un maillage en quadrangles satisfaisant les conditions de la table 3.1. Ce maillage estfortement contraint.

a) sup j |

x j −x j | ≤Ch

b) inf ( j,k )

djk ≥Ch

c) mjk = n jk pour tout ( j, k )

Table 3.1 – Contraintes sur le maillage.

Donc on peut récrire (3.40) sous la forme

s jwn +1j −wnj

∆ t −k

ljk wnjk = O(h 2∆ t) + O(h3). (3.48)

Or nous pouvons approcher wnjk par une combinaison linéaire de wnj et wnk . En effet on a

u (n∆ t,

x k )

−u(n ∆ t,

x j ) =

∇

u(n∆ t, x jk )

·(

x k

− x j ) + O(h2).

On trouve en utilisant les points a) et b) plus haut

∇u(n∆ t, x jk ) · m jk = u(n∆ t, x k ) −u(n∆ t, x j )djk + O(h).

Le reste de la construction étant similaire, on obtient en suivant les mêmes principes

s jun +1j −unj

∆ t +

k

ljk G jk unj , u

nk = 0 , ∀ j (3.49)

pour le ux numérique

Gjk (u, v ) =

u

−v

djk . (3.50)

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La convergence de la variante implicite de ce schéma sera établie au chapitre 5.

Pour un maillage donné, les conditions énoncées dans la table 3.1 sont des conditions suffisantes pour que leschéma de Volumes Finis (3.49) soit construit en accord avec le principe 4.Il est absolument remarquable qu’une solution simple ` a mettre en oeuvre existe pour un maillage en trianglesdont tous les angles sont strictement inférieurs ` a π2 .

Lemme 14. Soit un maillage constitué de triangles. Supposons que les angles des triangles soient tous stricte-ment inférieurs ` a π2 −ǫ pour un ǫ indépendant de h. Soit x j le centre du cercle circonscrit `a la maille d’indice j .Alors x j ∈Ωj pour tout j , et les autres conditions de 3.1 sont vériées.

B

DC

xk

A

x j

Figure 3.11 – Triangles et cercles circonscrits.

Exercice 8. Démontrer ce résultat en partant de la gure 3.11.

Les triangles de la gure 3.11 constituent un cas particulier de maillage de Delaunay [16]. La discŕetisationde l’équation de la chaleur en Volumes Finis se conduit aussi pour les maillages de Delaunay-Voronoi pourlesquels on renvoie à on renvoie à une référence initiale [22]. Voir aussi [15] pour une utilisation de la conditiond’orthogonalité entre les centres de mailles et les bras visible ` a la gure 3.11 dans le cadre des méthodes deVolumes Finis pour l’équation de la chaleur.

3.2.4 Méthodes de Volumes Finis pour les systèmes de FriedrichsOn reprend les notations sur le maillage introduites précédemment et on considère une solution régulière du système de Friedrichs(2.15). La valeur moyenne de la solution exacte dans la maille est notée

V nj = Ω j U (x , t )dxs j .La valeur moyenne sur un bras de la solution exacte est notée

V njk = Σ jk U (x , t )dσljk .Après intégration en temps de l’équation (2.15), discrétisation explicite de la dérivée temporelle et expression des termes de uxau bord, on obtient

s jV n +1j

−V nj

∆ t + k ljk A jk V

njk = O (h

2∆ t ) (3.51)

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où les matrices de bord sont dénies exactement par

A jk = A 1 n 1jk + A 2 n 2jk = −A kj , n jk = n 1jk , n 2jk ∈ R 2 . (3.52)Le terme de ux vient d’une utilisation de la formule de Stockes sous la forme

Ω j (∂ x 1 (A 1 U ) + ∂ x 2 (A 2 U )) dx = ∂ Ω j n 1j A 1 U + n 2j A 2 U dσ = k ljk A jk V jk .L’expression (3.51) est exacte car aucune approximation n’a été réalisée pour l’instant.Si on peut déterminer une expression des termes d’interfaces V njk en fonction des valeurs moyennes V

nj et en tenant compte de

la structure matricielle du problème, cela permet de proposer une fa¸ con de terminer la construction de la méthode. C’est ce quel’on appelle communément un solveur de Riemann . Il se trouve qu’il est beaucoup plus judicieux en pratique de chercher ` adéterminer une valeur pour le produit A jk V njk en fonction de V

nj et de V

nk . En effet les exemples usuels montrent que les matrices

A jk peuvent être non inversible (det A jk = 0).On considère dans ce qui suit un mode de construction simple qui s’appuie sur une décomposition en partie positive et partienégative de la matrice de bord sous la forme

A jk = A +jk + A−jk (3.53)

où A+jk = A+jk

t

≥ 0 est une matrice symétrique positive ou nulle et A−jk = A−jkt

≤ 0 est une matrice symétrique ńegativeou nulle , tout en conservant A +jk = A

+kj et A −jk = A −kj . Une telle décomposition est aisée ` a réaliser pour des matrice symétriques,

cependant elle n’est pas unique ce qui explique en partie la profusion de solveurs de Riemann . Pour xer les idées on part d’unediagonalisation

A jk =n

p =1λ pjk w

pjk ⊗w

pjk

où les vecteurs propres w pjk sont orthonormés. On choisit alors

A +jk =λ pjk > 0

λ pjk wpjk ⊗w

pjk et A−jk =

λ pjk < 0

λ pjk wpjk ⊗w

pjk . (3.54)

On a la formuleA jk V njk = A

+jk V

nj + A−jk V nk + O (h ) (3.55)

qui sert pour dénir le ux numérique. En effet on pose

f jk (U , V ) = A +jk U + A−jk V . (3.56)

En abandonnant les différents termes d’erreur et en rempla¸ cant la solution exacte par la solution numérique, on obtient le schémade Volumes Finis explicite

s jU n +1j −U nj

∆ t+

k

ljk f jk U nj , Unk = 0 . (3.57)

On peut faire quelques remarques.

Remarque 1. On peut se demander pourquoi ne pas prendre un ux numérique plus simple, par exemple f jk (U , V ) = A jk U + V2 .Il se trouve qu’un tel choix mène ` a un schéma instable, et c’est pour cela qu’il n’est jamais retenu.

Remarque 2. Si le problème est scalaire c’est ` a dire n = 1 , alors le système de Friedrichs est identique ` a l’équation d’advection.On peut alors vérier que le ux (3.56) est identique au schéma décentré déni par le ux (3.36).

Remarque 3. On peut remarquer que la formule (3.56) ne permet pas de dénir de valeur intermédiaire car la matrice A jk peut ne pas être inversible.

La stabilité et la convergence de ce schéma peuvent être établies avec les estimations développées au chapitre 5, ce qui justie cetteconstruction.

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Chapitre 4

Analyse numérique des méthodes deDifférences nies

L’analyse numérique des méthodes de Différences Finies se réalise ` a partir des notions fondamentales de consis-tance et de stabili t́e , ce qui permet d’évaluer et parfois de mesurer quantitativement la pŕecision numérique .Cela pose par ailleurs les bases de l’analyse numérique de la plupart des méthodes numériques instationnaires.La présentation qui suit est tout ` a fait classique [33, 27, 11, 1, 20, 14], en veillant toutefois `a permettre l’analysenumérique des méthodes de Volumes Finis avec les mêmes outils au chapitre suivant.

4.1 Consistance, stabilité et théorème de LaxLa présentation du cadre théorique sera développée ` a partir du problème linéaire modèle

∂ ∂t u = Au, t > 0,u(0) = u0 ∈V,

(4.1)

où V un espace de Banach de norme || · ||. On suppose l’existence d’un sous-espace dense dans V noté X ⊂V ∀u∈V, inf v∈X u −v = 0 .

L’opérateur linéaire est A : D (A) → V de domaine dense X ⊂ D (A) ⊂ V . Sous des conditions généralespour lesquelles on renvoie à [11, 6], ce problème est bien posé (existence et unicité de la solution). Cela dénitu(t)∈V .Dénition 7. Nous considèrerons que le semi-groupe d’opérateur etA est borné

∃ K, L ≥0 tels que ||etA || ≤Ke Lt , t∈R . (4.2)Nous dirons que etA est uniformément borné si L = 0 .Nous dirons que etA est unitairement borné si de plus K = 1 , auquel cas on a ||etA || ≤1 pour tout temps.La plupart des exemples considérées dans ces notes correspond ` a des semi-groupes uniformément voire unitai-rement bornés. On représentera la solution de (4.1) sous la forme abstraite

u(t ) = etA u0 . (4.3)Le problème modèle avec second membre s’écrit

∂ ∂t u = Au + f, t > 0,u (0) = u 0 .

(4.4)

Sa solution est donnée par la formule de Duhamel

u (t ) = e tA u 0 + t0 e ( t −s ) A f (s )ds.Cependant pour des raisons de simplicité de notations, nous ne considérerons que le problème homogène f = 0. Par ailleurs celane changerait pas fondamentalement les conclusions auxquelles nous arriveront.

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38 CHAPITRE 4. ANALYSE NUM ÉRIQUE DES M ÉTHODES DE DIFF ÉRENCES FINIES

4.1.1 Consistance pour le cas stationnaire

Le sous espace X est typiquement constitué de fonctions régulières, par exemple de classe C 2 voire même C ∞ .Ce qu’il faut c’est que X permette au moins de dénir l’opérateur d’interpolation et de réaliser les différentesétudes de consistance nécessaires.Soit V h ⊂V un sous-espace vectoriel de V et Πh un opérateur d’interpolation ,

Πh : X →V h .Ici interpolation fait référence au fait que X = V , ce qui est le cas pour l’exemple central (4.5). Si Π h Πh = Π hon dira que plus Π h est un opérateur de projection . Dans la plupart des situations rencontŕes dans ces noteset avec quelques adaptations dans les notations, Π h est à la fois un opérateur d’interpolation et de projection 1 .Ces objets dépendent d’un paramètre h > 0 qui est destiné `a converger vers zéro. Ce paramètre représente lesparamètres numériques de la méthode. On peut identier h à la plus grande longueur du maillage telle quedénie dans (3.28).Nous considérerons que Π h est un bon opérateur d’approximation au sens o` u

∀u∈X, limh → 0 ||u −Πh u ||= 0 . (4.6)Soit A h : V h →V h . un schéma numérique qui réalise une approximation de A .Dénition 8 (Consistance, ordre d’approximation) . On dit que le schéma numérique A h est une approximation consistante de A ssi

∀u∈X, limh → 0 ||Ah Πh u −Au ||= 0 . (4.7)On dira que l’approximation est d’ordre p > 0 ssi il existe une constante C > 0 indépendante de h et u telle que

||Ah Πh u −Au || ≤Ch p||u||, u∈X. (4.8)On note que l’ordre d’approximation peut dépendre de X et Πh .

4.1.2 Cas instationnaireSoit ∆ t > 0 un pas de temps et tn = n∆ t pour n ∈ N . Avec l’ensemble de ces notations, le schéma d’Eulerexplicite pour la discrétisation de (4.1) s’écrit

un +1h −u nh∆ t

= A h unh , n ≥0,u0h = Π h u0 .

(4.9)

1. Un exemple qui permet d’illustrer ces dénitions est le suivant. On peut prendre V = L p (R 2 ) pour 1 ≤ p ≤ ∞. Un sous-espaceX qui convient naturellement est X = C 0 (R 2 ). On peut aussi prendre X = C q (Ω) pour q ∈ N assez grand ce qui se révèlera adaptépour l’étude de consistance. L’espace discret s’appuie sur un maillage c’est-` a-dire une collection de pointsx ij = ( i∆ x, j ∆ y) , (i, j ) ∈ Z 2 .

Un opérateur d’interpolation ponctuel naturel est

Πh (u ) = ( u (x ij )) i,j∈

Z (4.5)

qui est déni pour des fonctions de classe C ∞. Le pas d’espace ∆ x dans la direction x est éventuellement différent du pas ∆ y dansla direction y. On aura naturellement h = max(∆ x, ∆ y). L’espace discret V h est constitué des fonctions discrètes dont les valuessont spéciées aux points du maillage

V h = vh = ( vij ) i,j ∈Z.

On pourrait objecter que V h n’est pas un sous-espace de V . Mais ce n’est en rien une restriction pour peu que l’on identie (quel’on confonde) V h et W h qui est l’espace des fonctions constantes par morceaux sur des carrés C ij =]( i − 12 )∆ x, (i + 12 )∆ x [×]( j −12 )∆ y, ( j +

12 )∆ y[ de centre x ij

W h = {v ∈ V , v est constant sur tous C ij }.On a alors V h

≈ W h

⊂ V et la norme dans V h est la norme de V :

vh = ∆ x ∆ y ij

|vij

|p

1p . Dans ces conditions on a bien que

V h ⊂ V . Enn il est aisé de donner un sens ` a la relation Π h Πh = Π h ce qui fait que Π h est aussi un opérateur de projection .

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4.1. CONSISTANCE, STABILIT É ET TH ÉOR ÈME DE LAX 39

L’erreur de troncature de ce schéma est r nh ∈V hr nh = 1∆ t

(Πh u(t n +1 ) −Πh u (tn )) −Ah Πh u(tn ), ∀n,h. (4.10)Dénition 9. On dira que le schéma (4.9) est une approximation consistante de (4.1) ssi

∀u∈C 1([0, T ] : X ), lim

h → 0maxn ≤ T ∆ t

r nh −Πh (∂ t u −Au ) ( t n ) = 0 . (4.11)On dira que l’approximation est d’ordre p en espace et q en temps ssi il existe r∈

N assez grand tel que

∀u∈C r ([0, T ] : X ), max

n ≤ T ∆ tr nh −Πh (∂ t u −Au ) ( tn ) ≤C (h p + ∆ t q ). (4.12)

Notons qu’on a augmenté la régularité en temps dans (4.12) par rapport ` a (4.11) car sinon il y a peu de chance

d’obtenir un précision en temps ` a l’ordre q pour q assez grand.Commelim

h

1∆ t

(Πh u(tn +1 ) −Πh u(tn )) −Πh ∂ t u = 0 , pour u∈C 1([0, T ] : X ),le critère de consistance (4.11) pour le problème instationnaire se trouve être très proche du critère de consistance(4.7) pour le problème stationnaire.

Remarque 4 (Critère de consistance précisé) . Le plus souvent on se contente de vérier le critère précisé

maxn ≤ T ∆ t

r nh ≤C (h p + ∆ t q ) (4.13)pour toute solution suffisamment régulière de ∂ t u −Au = 0 .Le schéma d’Euler explicite peut se récrire sous la forme

un +1h = ( I h + ∆ tA h )unh

où I h + ∆ tA h est l’opérateur d’itération et I h est l”opérateur identité dans V h : I h vh = vh pour tout vh ∈V h .Aussi la question de la stabilité de cet opérateur d’itération est naturelle. On étend alors la dénition 7 enintroduisant une possible restriction sur le pas de temps 2 pour suivre ce que l’on a observé aux simulationsnumériques présentées dans les gures 3.2 et 3.5.

Dénition 10 (Stabilité et condition CFL de Courant-Friedrichs-Levy) . Nous supposons qu’il existe une fonc-tion τ : R + → R + et deux constantes K ′ , L ′ ≥ 0 avec la propriété suivante : pour tous h et ∆ t satisfaisant la condition CFL de restriction sur le pas de temps

∆ t ≤τ (h ), (4.14)on a (I h + ∆ tA h )n ≤K ′ eL

′ n ∆ t . (4.15)

Nous dirons alors que l’opérateur d’itération est stable pour la condition CFL (4.14).Si L′ = 0 , on dira que l’opérateur d’itération est uniformément stable pour la condition CFL (4.14).Si enn L ′ = 0 et K ′ = 1 , on se propose de dire que l’opérateur d’itération est unitairement stable pour la condition CFL (4.14).

En général pour un opérateur Ah qui discrétise un opérateur aux dérivées partielles donné A, le pas de tempsmaximal est tel que

limh → 0

τ (h) = 0 . (4.16)

Une conséquence de la condition CFL (4.16) est alors : plus le maillage est n, plus le pas detemps est petit, ce qui accroit d’autant la charge de calcul de l’ordinateur .

2. Cela fait référence au célèbre article de 1928 de Courant, Friedrichs et Levy [10].

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Proposition 5 (Stabilité du schéma d’Euler implicite) . Supposons que l’opérateur d’itération explicite I h +∆ tA h

est uniformément stable (I h + ∆ tA h )n ≤K ′ , n∈Npour un pas de temps ∆ t ≤τ (h ) restreint par une condition CFL (4.14).Alors pour tout ∆ t > 0, l’opérateur I −∆ tA h est inversible et uniformément stable avec la même constante

(I h −∆ tA h )− n ≤K ′ , n∈N .Démonstration. Il est remarquable que le schéma implicite soit stable indépendamment de toute condition CFLsur le pas de temps.On dénit T h = I h + τ (h)Ah , α = ∆ t∆ t + τ (h ) et β = 1 −α = τ (h )∆ t + τ (h ) . Alors I h −∆ tA h = 1β (I h −αT h ) ce quipermet de représenter l’inverse grˆ ace à la série de Neumann

(I h

−∆ tA h )

− 1 = β (I h

−αT h )

− 1 = β ∞

p=0

α pT ph .

Cette série est bien convergente et ∞ p=0 α pT ph ≤ ∞ p=0 α p T h p ≤ p α pK ′ = K ′β . Cela montre que lamajoration (I h −∆ tA h )− 1 ≤K ′ , et implique l’inversibilité de I h −∆ tA h .Par ailleurs on a

(I h −∆ tA h )− n = β n

∞

p=0

α pT ph

n

= β n∞

q=0 p1 + ··· + pn = q α p1 . . . α pn T qh .D’où

(I h

−∆ tA h )

− n

≤β n

∞

q=0

p1 + ··· + pn = q

α p1 . . . α pn K ′ = β n ∞

p=0

α pn

K ′ = β n 1

β n K

′ = K ′ .

Remarque 5 (Calcul effectif de u n +1h ). En pratique, c’est à dire pour des calculs sur ordinateur , l’opérateur linéaire M h = I h −∆ tA h est une matrice de dimension nie . Le calcul de un +1h s’effectue en inversant un système linéaire, ce qui doit s’opérer par des méthodes efficaces d’algèbre linéaire qui ne sont pas évoquées dans ces notes.

Proposition 6. Soit un schéma numérique d’Euler explicite uniformément stable sous condition CFL, consis-tant et donc convergent. Alors le schéma numérique d’Euler implicite associé (4.19) est également convergent.

Démonstration. La stabilit́e ayant déj` a été montŕee, il reste ` a vérier la consistance ce qui permettra d’appliquerle théorème de Lax pour montrer la convergence. On étudie l’erreur de consistance ou de troncature du schéma

implicite

rnh =

1∆ t

(Πh u(tn +1 ) −Πh u (tn )) −Ah Πh u(t n +1 ), n∈N . (4.20)On a

rnh −r n +1h =

1∆ t

(Πh u (tn +1 ) −Πh u (tn )) − 1∆ t

(Πh u (tn +2 ) −Πh u(tn +1 ))=

1∆ t

(Πh u(tn +1 ) −Πh u(tn )) −∂ t u(t n +1 ) + ∂ t u(t n +1 ) − 1∆ t

(Πh u(t n +2 ) −Πh u(t n +1 )) .Pour une fonction u∈C

1([0, T ] : X ), les deux termes entre parenthèses tendent vers 0, qui plus est uniformémentsur tout intervalle fermé. D’o` u limh → 0 max n ≤ T ∆ t r

nh −r n +1h = 0. Par inégalité triangulaire

limh → 0 maxn ≤ T ∆ t rn

h −Πh (∂ t u −Au ) ( tn ) = 0

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Or une estimation basique 3 montre que a qj ≤ min 2√ ν (1 −ν ) q , 1 pour tous j et q. On est en mesure d’estimer l’erreur (4.28) par

enh ≤ ∆ t 2 +n −1

p =2

2

ν (1 −ν ) p 2CS ≤ ∆ t 2 + 2

ν (1 −ν ) n

1

dx√ x 2CS ≤ ∆ t 2 +

2

ν (1 −ν ) 2√ n −2 2CS.

On peut vérier que 2 − 4√ ν (1 −ν ) ≤ 0 pour toute valeur de ν ∈]0, 1[. Doncenh ≤ ∆ t

8n

ν (1 −ν ) CS.Par ailleurs ∆ t nν = n ∆ tτ (h ) ≤ T τ (h ) ce qui termine la preuve quitte ` a redénir la constante C .On peut utiliser ce principe pour estimer la différence entre le schéma explicite et le schéma implicite. Partons de unh solution duschéma explicite (4.24) et de v nh solution du schéma implicite

vn +1h −vnh∆ t

= A h vn +1h , n ≥ 0,v0

h = Π hu

0,

(4.29)

que l’on récrit comme un schéma explicite avec un reste

vn +1h −vnh∆ t

= A h vnh + rnh , n ≥ 0,

v0h = Π h u 0 ,(4.30)

oùr nh = A h v

n +1h −vnh = τ (h )A h s nh (4.31)

ets nh = ν A h v

n +1h , ν =

∆ tτ (h )

. (4.32)

Lemme 16. Supposons la condition CFL vériée sous la forme ν < 1. Alors il existe une constante C telle que

vnh −u nh ≤ C A h Πh u 0 T τ (h ) , n ∆ t ≤ T .Cela établit que la différence entre le schéma explicite et le schéma implicite tend vers 0 avec h . Il faut cependant s’assurer d’uneestimation naturelle annexe A h Πh u 0 ≤ C ′ qu’il faut en pratique vérier en utilisant la condition initiale et les propriétés duschéma numérique.Démonstration. On a vnh = ( I h + ∆ tA h )−n v0h d’où Ah vnh = ( I h + ∆ tA h )−n A h v0h . Le schéma implicite étant stable, on aimmédiatement A h vnh ≤ C ′′ A h v0h = C ′′ A h Πh u 0 où C ′′ est la constante de stabilité. Pour ν ≤ 1, on obtient

s nh = νA h vn +1h ≤ C ′′ A h Πh u 0 ce qui dénit S = C ′′ A h Πh u 0 .

La preuve est terminée par application du principe de comparaison (4.27).

L’extension au schéma semi-discret est immédiate.

Lemme 17. Supposons la condition CFL vériée sous la forme ν < 1. Alors il existe une constante C tel le que la différence entre le schéma semi-discret et le schéma est explicite est majorée par

vh (n ∆ t ) −u nh ≤ C A h Πh u 0 T τ (h ) , n ∆ t ≤ T .Démonstration. Posons v nh = vh (n ∆ t ) de sorte que (4.30) est satisfait avec r

nh =

vh ( t n +1 )−v h ( t n )∆ t −A h vh (t n ) = τ (h )A h s nh et

s nh = ν 1∆ t

t n +1

t n

vh (s ) −vh (t n )∆ t

ds.

Sous la condition que A h Πh u 0 est borné indépendamment de h , on obtient une estimation uniforme de la dérivée ddt vh (s ) gr âce à

la dénition (4.22) et ` a la stabilité (4.23). D’o` u v h ( s )−v h ( t n )∆ t ≤ C ′′′ A h Πh u 0 ce qui implique une majoration uniforme de snh .Cela termine la preuve.

3. Par exemple on a par un calcul en Fourier en développant anj = 12π 2π0 (1 −ν ) + νe i θ n e−i jθ dθ . Or (1 −ν ) + νe i θ 2 =1 −4ν (1 −ν )sin 2 θ2 . D’où par des majorations élémentaires

|a nj | ≤ 1π π0 1 −4ν (1 −ν )sin 2 θ2

n2

dθ ≤ 1π π0 1 −4ν (1 −ν ) θ2π 2

n2

dθ

≤ 1π π0 e−2ν (1 −ν ) n θ 2π 2 dθ ≤ 1π ∞0 e−2ν (1 −ν ) n θ 2π 2 dθ = 1

2ν (1 −ν )n ∞0 e−u 2 du.

Reconnaissant l’intégrale de Gauss ∞−∞ e−u

2

du = √ π , on trouve a nj ≤ π√ 8 1√ ν (1 −ν ) n ≤ 2√ ν (1 −ν ) n . Par ailleurs |a nj | ≤ 1.

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4.1.6 Caractérisation spectrale de la stabilité

Pour une méthode de Différences Finies l’opérateur d’interpolation est naturellement déni par les valeurs auxpoints de grille. Cela garantit également la consistance. Aussi la difficulté est souvent de montrer la stabilité.Une approche efficace quand elle peut être menée consiste ` a passer par l’étude du spectre (des valeurs propres)de l’opérateur d’itération. C’est la stabilité au sens de von Neumann , la référence initiale trouvant dans [7].Soit par exemple l’opérateur d’itération J h

J h =I h + ∆ tA h , schéma explicite ,(I h −∆ tA h )

− 1 , schéma implicite ,I h − 12 ∆ tA h

− 1 I h + 12 ∆ tA h , schéma de Cranck-Nicholson .

Le schéma s’́ecrit

un +1h = J h u

nh . (4.33)

Pour simplier on suppose que V h est de dimension nie . Les valeurs propres de l’opérateur d’itération sontnot́ees λ ph ∈C avec

J h v ph = λ

ph v

ph , v

ph = 0 , 1 ≤ p ≤dim( V h ).

Le rayon spectral de J h estρ(J h ) = max

p |λ ph |.

Lemme 18 (Condition nécessaire de stabilité en dimension nie) . Soit un opérateur d’itération J h stable. Alors il existe une constante C > 0 telle que ρ(J h ) ≤1 + C ∆ t pour tout ∆ t∈(0, 1].Si J h est uniformément stable, alors ρ(J h )

≤1.

Démonstration. On sait que ρ(J h ) ≤ J nh1n . Partant d’un opérateur stable au sens de (4.15) on a ρ(J h ) ≤

(K ′ )1n eL

′ ∆ t . D’où

ρ(J h ) ≤ lim∞ (K ′ )1n eL

′ ∆ t = eL′ ∆ t ≤1 + C ∆ t

pour une constante C > 0 bien choisie. Si l’opérateur est uniformément stable, L′ = 0 ce qui cl ôt la preuve.

La dénition en dimension nie d’un opérateur normal est qu’il commute avec son opérateur adjoint. Aussil’opérateur J h est normal ssi

J h J ∗

h = J ∗

h J h .Cette notion n’a de sens qu’au sein d’un espace de Hilbert car l’opérateur adjoint est déni grˆ ace au produitscalaire par

(J h u h , vh ) = ( u h , J ∗h vh ), uh , vh ∈V h .Pour une matrice M ∈R n × n , on dit que M est normale ssi M M t = M t M .Lemme 19 (Condition suffisante pour les opérateurs normaux en dimension nie) . Soit l’opérateur d’itération J h pour le schéma (4.33) pośe dans un espace de Hilbert. Supposons que J h est normal, et supposons que ρ(J h ) ≤1 pour tout h. Alors le schéma est unitairement stable.Démonstration. Pour un opérateur normal en dimension nie on sait que

J h = ρ(J h ). Voir [11]. D’où le

ŕesultat.

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4.1.7 Sch́ema de splitting

Les méthodes de Splitting se rencontrent lors de l’implémentation effective de méthodes numériques. Elles ont été évoquées pourla méthode de différences nies en dimension deux lors de l’énoncé du principe 6.Nous considèrerons le problème abstrait

∂ t u = Au + Bu (4.34)dont le second membre est splitté (i.e. décomposé) en la somme de deux termes.

Exemple 3 (Splitting directionnel) . Cela correspond aux situations o` u A est un opérateur aux dérivées partielles dans la direction x , et B est un opérateur aux dérivées partielles dans la direction y. Par exemple

∂ t u = a∂ x u −∂ xx u = Au+ b∂ y u −∂ y (D (x, y )∂ y u

= Bu(4.35)

où D ≥ 0 est un coefficient de diffusion a priori borné et régulier.Nous considérons tout d’abord le schéma explicite

un + 12h −u nh

∆ t= A

hu n

h,

u n +1h −un + 12h

∆ t= B h u

n + 12h .

(4.36)

Les deux étapes sont explicites par simplicité, mais peuvent être remplacées par des discrétisations implicites. La forme expliciteest

u n +1h = J h unh avec J h = ( I h + ∆ tB h )( I h + ∆ tA h ) .

Que peut-on dire en terme de stabilité ?

Lemme 20. Supposons que les opérateurs d’itération sont stables au sens o` u il existe K ′′, L ′′ tels que (I h + ∆ tA h )n ≤ K ′′eL

′′ n ∆ t et (I h + ∆ tB h )n ≤ K ′′eL′′ n ∆ t .

Alors— soit Ah et B h commutent, auquel cas l’opérateur d’itération J h est stable

J nh ≤ K ′′e2L′′ n ∆ t .

— soit A h et B h sont unitairement stables ( K ′′ = 1 et L ′′ = 0 ), auquel cas l’opérateur d’itération J h est aussi unitairement stable.Démonstration. Evident.

La situation vraiment intéressante correspond au cas unitairement stable car elle se rencontre souvent dans les applications quisont dominées par le transport et la diffusion.

Exercice 10. Proposer pour l’exemple (4.35) un splitting directionnel par schéma explicite unitairement stable.

On peut déterminer une condition CFL de stabilité unitaire pour l’opérateur non splitté I h + ∆ t (A h + B h ).

Proposition 7. Supposons que I h + ∆ tA h et I h + ∆ tB h sont chacun unitairement stable sous une condition CFL égale respecti-vement `a τ A (h ) et τ B (h ). Alors le schéma non splitté est unitairement stable sous la condition CFL

∆ t ≤ τ A + B (h ) = τ A (h )τ B (h )τ A (h ) + τ B (h )

.

Démonstration. On a la décomposition

I h + ∆ t (A h + B h ) = α I h + ∆ t

αA h + (1 −α ) I h +

∆ t1 −α

B h 0 < α < 1.

Si ∆ tα ≤ τ A (h ) et ∆ tα ≤ τ B (h ), alors I h + ∆ t (A h + B h ) ≤ 1. Cela fait apparaitre une condition de stabilité∆ t ≤ min( ατ A (h ) , (1 −α

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