Fakulteti I shkencave te AplikuaraDega: Makineri IndustrialeViti akademik 2006/07Matematika elementare

Mesimdhenesi: Faton Merovci

Literatura[1] Isak HoxhaMatematika elementare ,Prishtine 2003[2].Terry Wesner Harry NustadIntermediate Algebra with Application[3] N.Braha, A.ShabaniPermbledhje detyrash nga Matematika elementare, Prishtine 2006[4] Faton MerovciLigjerata dhe ushtrimet te publikuara ne www.fatonmerovci.com

Hyrje ne BashkesiBashkesia Kuptim ThemelorSka perkufizim

BashkesiteRadhitja e elemnteve ne bashkesi nuk eshte e rendesishmeA = {a, e, i, o, u} dhe B = {e, o, u, a, i} jane dy bashkesi te njejta.Ne bashkesi nuk preferohet te perseritet elemnetiF = {a, e, i, o, a, u} a perseritet.

Bashkesite numerikeN = Bashkesia e numrave natyral = {1, 2, 3, }Z = Bashkesia e numrave plote= {,-2, -1, 0, 1, 2, }R = Bashkesia e numrave reale Q = Bashkesia e numrave racionalC = Bashkesia e numrave kompleks

Disa shenimeLe te jete A = {a, e, i, o, u} atehereNe shenojme a eshte element I A si:a ANe shenojme b nuk eshte element I A si: b AShenim: b A (b A)

Bashkesia univerzale dhe bashkesia bosheBashkesdia univerzale shenohet me U.Bashkesia qe nuk ka asnje element quhet bashkesi boshe . Shenohet me ose {}.P.sh. {x | x2 = 4 dhe x eshte numer tek} =

Diagrami I VenitP.sh A = {a, e, i, o, u}a e i ouA

Bashkesite e BarabartaBashkesia A eshte e barabarte me bashkesine B atehere dhe vetem atehere nese te dy bashkesite i kane elementet e njejta. Nese bashkesite A and B jane te barabarta atehere shenojme: A = B. Nese bashkesite A dhe B nuk jane te barabarta shenojme A B.Me fjale te tjera mund te themi:A = B (x, xA xB)P.sh.A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 1, 2, 5}, C = {1, 3, 5, 4}D = {x : x N 0 < x < 6}, E = {1, 10/5, , 22, 5} atehere A = B = D = E dhe A C.

Numri kardinal I bashkesiseNumri I elementeve te nje bashkesie quhet numri kardinal I saj bashkesie. Le te jete A ndonje bashkesi atehere numri kardinal I saj shenohet si |A| ose cardA.P.sh. A = {a, e, i, o, u} then |A| = 5.

Nenbashkesia ( ang. Subset)Bashkesia A quhet nenbashkesi e bashkesise B atehere dhe vetem atehere kur do element i bashkesise A eshte gjithashtu element I bashkesise B. Ne mund te themi A permbahet ne B ose si B e permban A. Kjo shenohet: A B or B A.Me fjale te tjera mund te themi:(A B) (x, x A x B)

Nenbashkesia vazhdimNese A nuk eshte nenbashkesi e B atehere kete e shenojme si A B or B AP.sh. A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 3} dhe C = {2, 4, 6} atehere B A and C A135246BAC

Disa veti te bashkesivePer do bashkesi A, A UPer do bashkesiA, A AA B B C A CA = B A B B A

Nenbashkesia e vertete(ang.Proper Subsets)Nese A B atehere eshte e mundur qe A = B.Themi se A eshte nenbashkesi I vertete e bashkesise B atehere dhe vetem atehere nese A B and A B. Dhe shenojme A B or B A.Me fjale te tjera mund te themi:(A B) (x, xA xB AB)

Nese A B

BA

Bashkesia partitive (ang. Power set)Bashkesia e te gjitha nenbashkesive te bashkesise S quhet bashkesi partitive e bashkesise S. Kjo shenohet P(S) .P(S) = {x : x S}P.sh. A = {1, 2, 3} thenP(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}Shenim |P(S)| = 2|S|.P.sh |P(A)| = 2|A| = 23 = 8.

Komplementi (ang. Complement)Komplementi I bashkesise A eshte bashkesia e te gjitha elementeve qe I takojne bashkesise Univerzale dhe nuk I takojne bashkesisa A. Shenohet Ac or ose .Ac = {x : xU xA}

Diagrami I Venit per bashkesine APjesa e hijezuar eshte komplementi I AAAc

- nioniA B = {x : xA xB}P.sh A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5}A B = {3, 5, 7, 2, 3, 5} = {2, 3, 5, 7}

Paraqitja e Unionit me diagramin e VenitUnioniBAA B3572

Prerja() - ItersectionA B = {x : xA xB}P.sh. A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5}A B = {3, 5}

Paraqitja e prerjes me diagramin e VenitBAA B3572

DiferencaA B = {x : xA xB}P.sh A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5}

A B = {3, 5, 7} {2, 3, 5} = {7}

DiferencaBAA B3572

VetiteA AB dhe B AB AB A dhe AB B|AB| = |A| + |B| - |AB|AB BcAcA B = ABc Nese AB = atehere themi A dhe B jane disjunkte.

Algjebra e BashkesiveLigji I IdempotentesA A = AA A = ALigji Asociativ(A B) C = A (B C)(A B) C = A (B C)

Ligji komutativA B = B AA B = B ALigji distributivA (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

Ligjet e IdentitetitA = AA U = AA U = UA =

(Ac)c = A

Ligji I komplementitA Ac = UA Ac = Uc = c = U

Ligjet e De Morgan it(A B)c = Ac Bc(A B)c = Ac Bc

Vertetojme se(A B)c = Ac Bc

Vertetimix(AB)c xAB xA xB xAc xBc xAcBc (AB)c AcBc()

xAcBc xAc xBc xA xB xAB x(AB)c AcBc (AB)c() () () (AB)c = AcBc

Detyra lidhur me bashkesiteDetyrat per ushtrime nga bashkesite jepen ne pjesen e veqante te pergatitura ne Word.Me emrinUshtrimet nga Bashkesite