BAKI DÖVLƏT UNİVERSİTETİNİN MEXANİKA –

RİYAZİYYAT FAKULTƏSİ

“CƏBR VƏ ƏDƏDLƏR NƏZƏRİYYƏSİ” kafedrası

I kurs 432-№ li qrup tələbəsi

Zeynallı Gülnisə Akif qızının

“Ardıcıllıqlar üzərində cəbri strukturlar”

mövzusundan

KURS İŞİ

Elmi rəhbər: dos. V.Ə. Qasımov Kafedra müdiri: dos. V.Ə.Qasımov

BAKI 2008

PLAN

0

1. Giriş.

2. Ədədi ardıcılıqlar və onların xasələri.

3. Cəbri əməl,cəbri strukturlar (qruppoid, yarımqrup, monoid,

qrup, halqa, cisim, meydan, xətti fəza, cəbr ,

homomorfizmlər)

4. Ardıcıllıqlar və cəbri strukturlar. Ardıcıllıqlar

fəzası,ardıcıllıqlar cəbri. Finit ardıcıllıqlar.Bürünmə.

5. Nəticə.

6. Ədəbiyyat siyahısı.

GİRİŞ

1

Bildiyimiz kimi ardıcıllıqlar müxtəlif cəbri strukturlar təşkil edir. Hədləri hər

hansı cəbri strukturdan olan ardıcıllıqlar çoxluğunda isə, həmin cəbri

struktur özü yeni cəbr doğurur. Ardıcıllıqlarla müxtəlif strukturlar arasıda

olan əlaqələrin və onların riyaziyyata olan əlaqələrinin və onların

riyaziyyatda tutduqları yerin əhəmiyyətini gostərmək üçün David Hilbertin

məşhur 2 fəzasını misal gətirmək kifayətdir.

Ardıcıllıqlar mövzusu Analiz kursunun təməlini təşkil edən bəhslərdən

biridir. Bu kursda əsasən hədləri həqiqi ədədlər meydanında yerləşən

ardıcıllıqlar və onların xassələri öyrənilir. Bu məqsədə nail olmaq üçün isə,

ardıcıllıqlar fəzasının cəbri struktur təbiəti ilə daha yaxından tanış olmalı və

ardıcıllıqlar üzərində hədbəhəd təyin olunan toplama, vurma və ədədə

vurma əməllərinın ardıcıllıqların müxtəlif sinifləri üzərində doğurduğu cəbri

və xətti strukturları və onlar arasındakı əlaqələri öyrənməliyik.

CƏBRİ STRUKTURLAR

Aşağıdakı işarələmələri qəbul edək:

2

N – natural ədədlər çoxluğu

Z – tam ədədlər çoxluğu

Q – rasional ədədlər çoxluğu

R – həqiqi ədədlər çoxluğu

C – kompleks ədədlər çoxluğu

Cəbri əməl.

Tutaq ki, M boş olmayan çoxluqdur. İstənilən birqiymətli MMM :

inikası M çoxluğunda cəbri əməl adlanır. Bir çox hallarda cəbri əməl

müxtəlif simvollar vasitəsi ilə işarə olunur. Məsələn, ,, və sairə. Bu

zaman verilmiş MMba ),( çütü üçün ),( ba əvəzinə ba yazırlar. M

çoxluğunda n ,...,, 21 cəbri əməlləri verilmişsə MMM : heyəti cəbri

struktur adlanır. Qeyd edək ki, biz əsasən bir və ya iki əməl verilən cəbri

strukturlarla işləyəcəyik. Cəbri strukturların ən sadə növlərini təyin edək.

Qruppoid.

M çoxluğunda hər hansı cəbri əməli verilmişsə );( M çütünə

qruppoid deyilir.

Misal. (N;+) , (Z;+), (Q; +) və (R;+) qruppoiddirlər. Əgər Z çoxluğunda

çıxma əməlini götürsək görərik ki, (Z;-) qruppoiddir. Ümumiyyətlə, (Q;-) və

(R;-) – qruppoiddirlər (N;-) isə, qruppoid deyil.

Yarımqrup

Əgər );( M qruppoidində cəbri əməli assosiativdirsə, yəni

cbacbaMcba )()(,,

3

şərti ödənirsə, );( M cütü yarımqrup adlanır.

Monoid

Əgər );( M yarımqrupunda cəbri əməlinə nəzərən neytral ünsür

varsa, yəni,

,aeeaMaMe

şərti ödənərsə, );( M monoid adlanır.

Qrup

Əgər );( M monoidində hər bir ünsürün tərsi varsa, yəni

eabbaMbMa

şərti ödənirsə );( M qrup adlanır. Əgər qrupdakı cəbri əməl

kommutativdirsə, yəni

abbaMba ,

şərti ödənirsə, );( M qrupu kommutativ qrup və ya Abel qrupu adlanır.

Misal.(N;+) - yarımqrupdur, lakin monoid deyil. (N;-) isə monoiddir,lakin

qrup deyil, və nəhayət (Z;+), (Q;+) və (R;+) qrupdurlar.

Halqa

Əgər (M;+) Abel qrupunda ikinci (.) əməli verilmişsə, və bu əmələ nəzərən

distributivlik şərtləri

cabacba )(

cbcacba )(

4

ödənərsə, (M;+,.) üçlüyü halqa adlanır.

Misal. (Z;+,.), (Q;+,.), (R;+,.) halqalardır.

Əgər halqadakı vurma əməli asosiativdirsə halqa assosiativ,

kommutativdirsə ona uyğun olaraq kommutativ halqa deyirlər. Yuxarıdakı

halqaların hər üçü assosiativ və kommutativ halqalardır.M(n,R) – n- tərtibli

matrislər çoxluğu məlum toplama və vurma əməllərinə nəzərən halqa təşkil

edir. Bu halqa assosiativdir, lakin kommutativ deyil.Baxdığımız halqaların

hər birisində vurma əməlinə nəzərən də, neytral ünsür vardır.Halqada

vurmaya nəzərən neytral ünsürə halqanın vahidi deyilir.Belə halqalara

vahidi olan halqa deyilir.Lakin vahidi olmayan halqalar da var.Məsələn, (2Z;

+,.) – cüt ədədlər halqasının vahidi yoxdur.

Cisim və meydan

Assosiativ vahidi olan halqada sıfırdan fərqli hər bir ünsürün tərsi varsa o

cisim adlanır.Kommutativ cismə meydan deyilir. Yuxarıda baxığımız (Z;+,.),

(Q;+,.) və (R;+,.) meydandırlar. Burada (Z;+,.) –in cisim olmamasına səbəb

Z- də -1 və +1- dən başqa heç bir tam ədədin tərsinin olmamasıdır.

Misal. Bildiyimiz kimi, R3- üçölçülü həqiqi xətti fəzası vektorların toplama

əməlinə nəzərən Abel qrupu təşkil edir.Digər tərəfdən, R3 fəzasında

vektorial hasil əməli də təyin olunmuşdur. Bilirik ki, u=(x1,x2,x3) və v=(y1 , y2,

y3) vektorlarının u x v vektorial hasili aşağıdakı düsturla təyin edilir:

321

321

yyy

xxx

kji

Burada (i,j,k) üçlüyü R3 fəzasında müsbət orientasiyalanmış ortonormal

sistemdir, və u və v vektorlarının koordinatları bu bazisə nəzərən

verilmişdir. Analitik həndəsə kursunda bu əməlin bir çox xassələri ilə tanış

5

olmuşuq və bilirik ki, (R3;+,x) halqadır. Məlumdur ki, iki sətrin yerini

dəyişdikdə determinant yalnız öz işarəsini dəyişir, yəni

v x u= 321

321

yyy

xxx

kji

= -321

321

xxx

yyy

kji

= -u x v.

Deməli (R3;+,x) kommutativ deyil. (R3;+,x) halqasında digər xassələrlə tanış

olaq, İki sətri eyni olan determinant sıfır olduğundan istənilən 3Rv vektoru

üçün

v x v= 0. Deməli (R3;+,x) halqasında sıfrın bölənləri var. Asanlıqla

yoxlamaq olar ki, o həm də assosiativ deyil.

Xətti fəza

Xətti fəza anlayışı riyaziyyatın ən mühum anlayışlarından biridir.

Tutaq ki, ),;( K meydanı verilmişdir.Boş olmayan V çoxluğu aşağıdakı

şərtləri ödəyərsə, ona xətti fəza deyilir:

V çoxluğunda + əməli təyin edilmişdir və bu əmələ nəərən aşağıdakı

şərtlər ödənir;

a) x+(y+z)= (x+y)+z,

b) x+0=x,

c) x+(-x)=0,

ç) x+y=y+x, burada x,y,z V- nin ixtiyari elementləridir.

),;( K meydanının istənilən K elementi ilə V çoxluğunun istənilən Vx

elementinin Vx hasili təyin edilmişdir və bu hasil aşağıdakı şərtləri

ödəyir;

d) )()( xx ,

e) xxx )( ,

f) ykxkyxk )( ,

j) xx 1 ,

burada k,, K- nın ixtiyari elementləridir.

6

Yuxarıdakı a)- ç) şərtləri V çoxluğunun toplama əməlinə nəzərən Abel

qrupu olduğunu göstərir. Xətti fəzanın tərifini aşağıdakı kimi verə bilərik.

Tutaq ki, bizə

1. ),;( K meydanı,

2. );( V Abel qrupu

3. VVK inikası verilmişdir.

Bu inikasda (k,v) cütünün obrazını vk və ya kv ilə işarə edirlər. Buna

xarici hasil deyirlər.Əgər kvvk )( xarici hasili aşağıdakı xassələri

ödəyərsə deyirlər ki, V K meydanı üzərində xətti fəzadır.

(k+s)v = kv+sv , (ks)v = k(sv)

k(v+u) = kv + ku, 1kv = v

burada ,, Ksk Vuv , və 1k meydanın vahididir.

V xətti fəzasının elementlərinə vektor, K meydanının elementlərinə isə

uyğun olaraq skalyar deyirlər. Burada K- ya skalyarlar meydanı da deyirlər.

Homomorfizmlər

Tutaq ki, bizə );( M və );( L qruppoidləri və LMf : inikası verilmişdir.

Əgər f inikası cəbri əməli saxlayırsa , yəni

)()()(, 212121 mfmfmmfMmm

Şərti ödənərsə, o homomorfizm adlanır. Əgər );( M və );( L qrupları

verilmişsə LMf : homomorfizmi qrup homomorfizmi adlanır.

Tutaq ki, ),;( M və ),;( L halqaları və LMf : inikası verilmişdir.

Aşağıdakı şərt ödəndikdə LMf : halqa homomorfizmi adlanır:

Mmm 21, üçün )()()( 2121 mfmfmmf və )()()( 2121 mfmfmmf . Deməli,

LMf : inikasının halqa homomorfizmi olması üçün o additiv -

;;: LMf və multiplikativ - ;;: LMf homomorfizm olmalıdır.

7

Ədədi ardıcıllıqlar

Tutaq ki, boş olmayan X çoxluğu verilmişdir.

Tərif 1. Təyin oblastı natural ədədlər çoxluğu olan ixtiyari XNf : inikasına

X çoxluğunda ardıcıllıq deyirlər. f inikasının )(nf qiymətləri f ardıcıllığının

elementləri və ya hədləri adlanır.

f(n) hədlərini fn , və ya, X çoxluğu ilə əlaqəni göstərmək üçün xn ilə işarə

edirlər. xn = fn = f(n) elementinə f ardıcıllığının ümumi həddi və ya n- ci

həddi də deyirlər. Biz f ardıcıllığını bir qayda olaraq, f(n), f= nx , f= x1,

8

x2,...,xn,... ilə işarə edəcəyik. Bundan sonra biz əsasən ədədi ardıcıllıqlara

baxacayıq, daha dəqiq desək, RXNf : .

Ardıcıllığın bəzi əsas növləri

Tərif 5. Butun hədləri eyni olan ardıcıllığa sabit ardıcıllıq deyirlər:

RcxNn n

Əgər f= nx ardıcıllığının bütün hədləri Rc sabitinə bərabərdirsə onda biz

onu f= nx = c, və ya f =c ilə işarə edəcəyik. Sabit ardıcıllıqlara stabil və ya

stasionar arardıcıllıq da deyirlər.

Tərif 6. Əgər ardıcıllıqda müəyyən nömrədən sonra gələ bütün hədlər

eynidirsə, belə ardıcıllıq final- sabit ardıcıllıq adlanır:

RcxNnNN n ,

başqa sözlə f= nx = x1, x2,...,xn,c,c,...,c,...

Deməli, final sabit ardıcıllq müəyyən həddən sonra stabilləşir, Aşkardır ki,

hər bir sabit ardıcıllıq final- sabit ardıcıllıqdır, lakin bunun əksi doğru deyil.

Tərif 7. Tutaq ki , 0M müsbət ədədi var ki, ardıcıllığın istənilən həddi

mütləq qiymətcə ondan kiçikdir. Belə ardıcıllığa məhdud ardıcıllıq deyilir:

MxNnM n

Ardıcıllıqların cəmi və hasili

Tutaq ki, R- həqiqi və N- natural ədədlər çoxluqları verilmişdir. Onda A ilə

hədləri həqiqi ədədlərdən ibarət olan bütün ardıcıllıqlar çoxluğunu işarə

edək. A= RNff : .Məlumdur ki, funksiyalar fəzasında toplama və vurma

əməlləri hədbəhəd təyin oluna bilər.

Toplama.

A çoxluğunda toplama əməlini aşağıdakı kimi təyin etmək olar:

9

(f +g)(i) = f(i) + g(i) ,burada Ni və f,g A ( )

Təklif 1. ( A ;+) Abel qrupudur.

İsbatı. Aşkardır ki, ( ) düsturu A - da komutativ cəbri əməl təyin edir. Bu

əməlin assosiativliyi

((f+g) + h)(i) = (f+g)(i) + h(i) = f(i) + g(i) + h(i) = (f +(g + h))(i)

münasibətlərindən alınır.0 = ,...0,...0,0 ardıcıllığı ( ) düsturu ilə təyin

olunan toplamaya nəzərən neytral ünsürdür, yəni A –nın sıfırıdır.Hər bir

f A ardıcıllığının əksini

f(-i) = -f(i) , Ni

düsturu ilə təyin etmək olar. Deməli, (A;+) doğurdan da Abel qrupudur.

Vurma.

A çoxluğunda vurma əməlini aşağıdakı kimi təyin etmək olar:

(f *g)(i) = f(i) * g(i) ,burada Ni və f,g A ( )

Vurma əməlini də, hədbəhəd təyin etdiyimizdən assosiativlik və

kommutativlik qanunlarının ödəndiyi aşkardır. Vurmanın toplamaya nəzərən

distributivliyi də asanlıqla yoxlanıla bilər. Eyni zamanda, görmək olar ki,

1, nn eee sabit ardıcıllığı bu halqanın vahididir.Deməli aşağıdakı təklif

doğrudur.

Təklif 3. ( A ;+ ,*) – assosiativ, kommutativ və vahidi olan halqadır.

10

Ardıcıllıqlar və cəbri strukturlar.

Yuxarıda biz, A ardıcıllıqlar çoxluğunda qrup və halqa strukturlarını təyin

etdik. İndi isə ardıcıllıqların bəzi növlərinin əmələ gətirdiyi strukturlarla tanış

olaq.

A ardıcıllıqlar çoxluğunda aşağıdakı alt çoxluqlara baxaq:

m - məhdud ardıcıllıqlar

A - yığılan ardıcıllıqlar

- sonsuz kiçik ardıcıllıqlar

F - finit ardıcıllıqlar

- sabit ardıcıllıqlar

f - final- sabit ardıcıllıqlar

Mon - monoton azalan ardıcıllıqlar

11

Mon - monoton artan ardıcıllıqlar

Mon - monoton ardıcıllıqlar

Aşağıdakı teoremi asanlıqla isbat etmək olar:

Teorem 7. Yuxarıda adları çəkilən m , A , ,F və f çoxluqları (A;+)

Abel qrupunun alt qruplarıdır. Mon - monoton artan və Mon - monoton

azalan ardıcıllıqlar çoxluqları A – da təyin olunan toplamaya nəzərən

yalnız monoid təşkil edir. Qeyd edək ki,

mAf və AAF

Teorem 8. Hədbəhəd vurma əməlinə nəzərən m , A , və f çoxluqları

monoid, ,F isə yarımqrup təşkil edirlər.

İsbatı. Doğrudan da, istənilən iki məhdud, yığılan, sabit, final- sabit

,sonsuz azalan və finit ardıcıllığın hasili uyğun olaraq məhdud, yığılan,

sabit, final- sabit ,sonsuz azalan və finitdir. Digər tərəfdən, vurmanın

assositivliyi bütün ardıcıllıqlar çoxluğunda ödənir. Deməli, adı çəkilən

çoxluqların hər biri yarımqrupdur. ...1,1,1,1e vahid ardıcıllığı bu

yarımqruplardan yalnız, A , və f - də yerləşdiyindən onlar həm də

monoiddirlər.

Ardıcıllıqlar fəzası

Tutaq ki, R həqiqi ədədi və N natural ədədlər çoxluqları verilmişdir.Onda

A ilə hədləri həqiqi ədədlərdən ibarət olan bütün ardıcıllıqlar çoxluğunu

işarə edək:

A = RNff : .

Ardıcıllıqları adətən nff ilə də işarə edirləΣr.Burada nf ilə ardıcıllığın

12

n- ci həddi işarə edilmişdir: )(nffn . Məlumdur ki, A çoxluğunda toplama

və ardıcıllıqların ədədə vurulması əməlləri aşağıdakı kimi təyin edilir:

)(),())(()()())(( ifrifrigifigf

burada NiRr , və gf , A

A ardıcıllıqlar fəzasından olan bütün yığılan ardıcıllıqlar çoxluğunu A ilə

işarə edək.Deməli,

rfRrAfA ,

Analiz kursundan bilirik ki, iki yığılan ardıcıllığın cəmi və ədədin yığılan

ardıcıllığa hasili yığılan ardıcıllığdır. Deməli A - yığılan ardıcıllıqlar çoxluğu

A ardıcıllıqlar fəzasının alt fəzasıdır. A - yığılan ardıcıllıqlar fəzasında

aşağıdakı alt çoxluqlara baxaq:

)(,

,0

RcfnfffAf

fAf

nn

Burada -nin elemetlərinə sonsuz kiçik (bəzən sonsuz kiçilən və ya sonsuz

azalan) , -in elemetlərinə isə,sabit ardıcıllıqlar deyirlər.Yenə

də,asanlıqla görmək olar ki, və alt fəzalardır.Beləliklə, biz aşağıdakı

münasibətləri yaza bilərik: AA və A

Təklif 4. Hər bir Rr , həqiqi ədədinə rrrr nn ,)( sabit ardıcıllığını qarşı

qoyan R: inikası izomorfizimdir: R: .

İsbatı. inikasının biektiv olması aşkardır.Tutaq ki, ssss nn ,)(

Onda R: inikasının tərifinə əsasən, nn srsr )( .Deməli, inikası

additivdir. Digər tərəfdən, hər bir R skalyarı üçün .)( nrr bu isə

inikasının bircins olduğunu göstərir.

13

Beləliklə,R-ə A - yığılan ardıcıllıqlar fəzasının alt fəzası kimi də baxmaq

olar.

Ardıcıllıqlar cəbri

İndi isə, bu fəzalarda yeni strukturlar təyin edək.Yuxarıda biz A -

ardıcıllıqlar fəzasında halqa strukturu da təyin etmişik. Hər hansı Rc

həqiqi ədədi və Agf , ardıcıllıqları üçün gcfgfc )()( , şərtinin ödəndiyini

asanlıqla görmək olar. Deməli, A - ardıcıllıqlar fəzası həqiqi ədədlər

meydanı üzərində cəbrdir. Bu cəbrə ardıcıllıqlar cəbri deyəcəyik. Analoji

olaraq göstərmək olar ki, A yığılan ardıcıllıqlar fəzası da, cəbrdir.

Tutaq ki, fəzasından iki gf , sonsuz kiçik ardıcıllıqları verilişdir: 0f və

0g . Onda aşkardır ki, 0 gf . Həmçinin, istənilən Rc sabiti üçün ocf

olduğundan alırıq ki, fəzası da cəbrdir.

İndi isə, məhdud ardıcıllıqlara baxaq. m -ilə A fəzasından olan bütün

məhdud ardıcıllıqlar çoxluğunu işarə edək. Aşkardır ki, məhdud ardıcıllıqlar

alt fəza (alt cəbr) təşkil edir: Am .Digər tərəfdən, bilirik ki, hər bir yığılan

ardıcıllıq məhduddur. Deməli A yığılan ardıcıllıqlar cəbri m - in alt cəbridir.

Beləliklə, aşağıdakı diaqram alınır:

R

AmA

Qeyd edək ki, fəzasının struktur təbiəti kifayət qədər zəngindir. Tutaq ki,

n sonsuz azalan və

mhh n

məhdud ardıcıllıqları verilmişdir. Onda nnhh ardıcıllığı üçün 0 h şərti

ödənəcək, yəni h . İdealın tərifini nəzərə alsaq aşağıdakı teoremin

doğru olduğunu görərik.

14

Teorem 9. - sonsuz kiçik ardıcıllıqlar cəbri m məhdud ardıcıllıqlar

cəbrinin idealıdır.

İndi isə, ,m və A arasındakı daha bir əlaqəni göstərək.Tutaq ki, Af

yığılan ardıcıllığı verilmişdir və rf Tərifə görə,

rfNnN n0 .

Hədləri aşağıdakı qaydada rfnn ,təyin olunan ardıcıllığı n ilə işarə

edək.Onda 0 , yəni . Deməli, hər bir yığılan f ardıcıllığı müəyyən

sabit - r və sonsuz azalan - ardıcıllıqlarının cəminə ayrılır:

,rf və r . (1)

Burada r ilə nrr sabit ardıcıllığını işarə etmişik. Tutaq ki, hər hansı Af

ardıcıllığı və onun üçün (1) ayrılışını ödəyən - sonsuz azalanı və

r - sabiti (qeyd edək ki, ilə R izomorfdur) verilmişdir. Onda,

rfnn və 0

olduğunu nəzərə alsaq görərik ki,

, nn rfNnN0

Yəni rf .Deməli Af . Beləliklə aşağıdakı teorem doğrudur.

Teorem 10.Hər bir yığılan ardıcıllıq sonsuz azalan və müəyyən sabit

ardıcıllığın cəminə ayrılır.

Əslində bu teorem A fəzasının və alt fəzaların cəminə ayrildığını

göstərir:

A (2)

(1) ayrılışındakı və r ardıcıllıqları yeganə qaydada təyin

edildiyindən,(2) cəmi düz cəmdir:

A . (3)

15

Teorem 10. A yığılan ardıcıllıqlar fəzası və alt fəzalarının düz

cəminə ayrılır.

Finit ardıcıllıqlar

Tutaq ki, Af ardıcıllığı elədir ki, müəyyən nömrədən sonra onun bütün

hədləri sıfırdır:

.ofNnff nn

Bu şərti ödəyən ardıcıllıqlara finit ardıcıllıq deyəcəyik. Finit ardıcıllıqlar

çoxluğunu F ilə işarə edəcəyik. F - finit ardıcıllıqlar çoxluğu R - həqiqi

ədədlər meydanı üzərındə verilmiş A - ardıcıllıqlar fəzasının alt fəzasıdır.

Qeyd edək ki, F -finit ardıcıllıqlar çoxluğunda toplama və vurma əməllərini

yuxarıda verilmiş qaydada təyin etsək ),;( F -in halqa olduğunu görərik.

Aşkardır ki, hər bir Ff üçün 0f deməli F -finit ardıcıllıqlar fəzası -

sonsuz azalan ardıcıllıqlar fəzasının alt fəzasıdır: f Beləliklə

f

Tutaq ki, Ff finit və sabit ardıcıllıqları verilmişdir:

,...,,,,...,,...,,...,,, cccfffff n 00321

Onların cəmi

...,,,,...,,

...,,,...,,,...,,,

ccccfcfcfcf

cccfffff

n

n

321

321 00olacaq. Bu yeni tip ardıcıllığın sabit

ardıcıllıqlara oxşarı çoxdur. Odur ki, bu ardıcıllıqları final- sabit ardıcıllıq

adlandırırlar. Final- sabit ardıcıllıqlar fəzasını f ilə işarə edək, onda

Ff

Qeyd edək ki, bir çox müəlliflər final- sabit ardıcıllığa sabit ardıcıllıq

deyirlər. Buna səbəb yuxarıda təyin etdiyimiz ekvivalentlik münasibətinə

16

nəzərən hər bir final- sabit ardıcıllığın müəyyən sabit ardıcıllığa ekvivalent

olmasıdır. Beləliklə diaqramını bir qədər də tamamlaya bilərik:

FfR

AmAF *

Bürünmə

Yuxarıda gördük ki, A ardıcıllıqlar çoxluğu (*) və (**) düsturları ilə təyin

olunan,hədbəhəd toplama , vurma və skalyara vurma əməllərinə nəzərən

cəbr təşkil edir.Yəni,

1. );( A - Abel qrupudur.

2. ),;( A - halqadır.

3. A - R üzərində xətti fəzadır.

4. A - R üzərində cəbrdir.

İndi biz A fəzasında vurma əməlini yeni qaydada təyin edəcəyik.

Hesablamaların daha sadə düsturla aparılması və alınan nəticələrin

çoxhədlilər nəzəriyyəsi ilə uyuşması üçün, bundan sonra biz ardıcıllıqlarda

hədlərin sıfırdan başlayaraq nömrələndiyini qəbul edəcəyik. Bunun üçün

N natural ədədlər çoxluğuna sıfırı əlavə edək: 0 NN* . Onda A ilə

aşağıdakı çoxluğu işarə edəcəyik:

.*: RNffA

Tutaq ki, Agf , ardıcıllıqları verilib:

.,...,,...,,,,...,,...,, mmnn gggggfffff 110120

Yeni vurma əməlini aşağıdakı düsturla təyin edək:

,)( igfgf Belə ki, .)( ki

i

kki gfgf

0

17

,)( igfgf ardıcıllığına f və g ardıcıllıqlarının bürünməsi deyilir.

Göstərək ki, yeni təyin edilmiş bürünmə əməli toplamaya nəzərən

distributivlik qanunlarını ödəyir:

iiki

i

okkki

i

okk

i

kkikkikki

i

ki

hghfhghf

hghfhgfhgf

)()(

)()(

00

Beləliklə, bürünmə əməlinə nəzərən də, A fəzası halqa təşkil edir. Bu

halqanı A ilə işarə edək A=( ,;A ). Deməli ardıcıllıqların yeni cəbrini

aldıq. A=( ,;A ) cəbri assosiativ, vahidi olan, kommutativ cəbrdir. Bu

cəbrin vahidi ,...,, 001e ardıcıllığıdır.

Nəticə

A - ardıcıllıqlar çoxluğu və onun alt çoxluqları aşağıdakı cəbri strukturlar

əmələ gətirir:

Hədləri həqiqi ədədlərdən ibarət olan A= RNff : ardıcillıqlar

çoxluğu hədbəhəd təyin olunan toplama əməlinə nəzərən Abel

qrupu əmələ gətirir.

18

A = RNff : ardıcıllıqlar çoxluğu hədbəhəd vurma əməlinə

nəzərən ( A ;+ ,*) halqası əmələ gətirir.Bu halqa

assosiativ,kommutativ və vahidi olan halqadır.

m , A, ,F və f çoxluqları ( A ;+) Abel qrupunun alt

qruplarıdır.

. Mon - monoton artan və Mon - monoton azalan ardıcıllıqlar

çoxluqları A – da təyin olunan toplamaya nəzərən yalnız monoid

təşkil edir.

Hədbəhəd vurma əməlinə nəzərən ,m A , və f çoxluqları

monoid, ,F isə yarımqrup təşkil edirlər.

A - toplama və ədədə vurma əməllərinə nəzərən həqiqi ədələr

meydanı üzərində xətti fəzadır.

A - yığılan ardıcıllıqlar çoxluğu A ardıcıllıqlar fəzasının alt

fəzasıdır.

- sonsuz kiçik və - sabit ardıcıllıqlar çoxluqları da A

ardıcıllıqlar fəzasının alt fəzalarıdır.

A - ardıcıllıqlar fəzası həqiqi ədədlər meydanı üzərində cəbrdir. Bu

cəbrə ardıcıllıqlar cəbri deyilir.

A - yığılan ardıcıllıqlar fəzası da cəbrdir.

İstənilən Rc sabiti üçün ocf olduğundan alırıq ki, fəzası da

cəbrdir.

Məhdud ardıcıllıqlar alt fəza (alt cəbr) təşkil edir: Am

- sonsuz kiçik ardıcıllıqlar cəbri m məhdud ardıcıllıqlar cəbrinin

idealıdır.

F -finit ardıcıllıqlar fəzası - sonsuz azalan ardıcıllıqlar fəzasının

alt fəzasıdır.

19

Bürünmə əməlinə nəzərən də, A fəzası halqa təşkil edir. Deməli

ardıcıllıqların yeni cəbrini aldıq. A=( ,;A ) cəbri assosiativ, vahidi

olan, kommutativ cəbrdir.

Ardıcıllıqların əmələ gətirdiyi strukturlar arasındakı əlaqəni aşağıdakı

diaqramda əyani şəkildə görmək olar.

FfR

AmAF

Ədəbiyyat siyahısı

1. V.Ə.Qasımov , F.A.Abdullayev., Ardıcıllıqlar cəbri, “R.N.Novruz-

94” 2003

2. V.Ə .Qasımov ., Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsı,C1 “İsmayıl” 1998

3. M.Ə.Əkbərov ., Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi,”Nurlar” 2005

4. V.Ə .Qasımov ., Qruplar və halqalar, çoxhədlilər və

genişlənmələr,C2, “BDU”,1990

5. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального

исчисления, Том1,М., ”Наука”,1970

6. Кострыкин., Введение в алгебру, М., ” Наука”,1973

20

7. Курош А. Г., Теория групп., М., ”Наука”,1967.

8. Никольский С.М., Курс математического анализа,

Том1,М.,”Наука”,1973

9. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа,

Том1,М.,”Высшая Школа” , 1981

10. Словарь иностранных слов. Под редакцией И.В.Лёхина и

проф. Ф. Н. Петрова.

21