BAB IV Relasi Kabureprints.unm.ac.id/10398/7/BAB IV.pdf · 2018-08-21 · elemen dari dua atau...

Relasi Kabur

83

BAB IV

Relasi Kabur

4.1 Relasi Biasa ke Relasi Kabur

Suatu relasi biasa pada suatu himpunan merepresentasikan adanya atau tidak adanya asosiasi, interaksi atau keterhubungan di antara elemen-

elemen dari dua atau lebih himpunan. Relasi antara himpunan U dan V,

yaitu (U, V) merupakan himpunan bagian dari hasil kali kartesian U V, yaitu :

(U, V) UV = {(x, y) | xU, yV},

sehingga UV merupakan himpunan semesta dari relasi (U,V).

Hasil kali kartesian dapat diperluas pada suatu keluarga himpunan-

himpunan {Ui | in}, yang dinyatakan dengan U1U2…Un. Suatu relasi di

antara himpunan-himpunan U1, U2,…, Un , yaitu (U1, U2,…,Un) merupakan

himpunan bagian dari U1U2…Un. Karena relasi sendiri merupakan suatu himpunan, maka operasi-operasi dasar himpunan, seperti ketermuatan,

gabungan, irisan dan komplemen dapat diberlakukan pada relasi .

Suatu relasi dapat didefinisikan dengan menggunakan fungsi

keanggotaan nol-satu , yaitu suatu fungsi yang memetakan himpunan

U1U2…Un ke himpunan {0, 1}, yaitu

: U1U2…Un {0, 1}, (4.1)

sedemikian sehingga

(u1, u2,…, un) = 1

0

1 2 1 1; ( , , , ) ...,

yang lain

nu u u , u U , u Un n

Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 84

Nilai dari (u1, u2,…, un) disebut derajat keanggotaan. Apabila nilai derajat

keanggotaan sama dengan satu berarti elemen u1, u2, …, un berelasi, dan apabila nilai derajat keanggotaan sama dengan nol berarti elemen u1, u2, …,

un tidak berelasi sama sekali. Jadi relasi biasa hanya mempunyai dua kemungkinan, yaitu berelasi atau tidak berelasi sama sekali, tidak ada kemungkinan lain.

Suatu relasi biasa di antara dua himpunan disebut relasi biner. Jika terdapat tiga, empat atau lima himpunan yang dilibatkan maka relasinya berturut-turut biasa disebut relasi ternary, relasi quaternary dan relasi quinary. Secara umum, jika didefinisikan pada n himpunan, maka disebut sebagai relasi n-ary atau n-dimensional.

Contoh 4.1 (relasi biner)

Misalkan U={1, 2, 3} dan V={2, 3, 4} maka hasil kali kartesian UV={ (1, 2),

(1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}. Misalkan relasi (U, V) didefinisikan sebagai “elemen pertama lebih besar atau sama dengan elemen

kedua,” maka (U, V) = {(2, 2), (3, 2), (3, 3)}; atau dapat dinyatakan dengan matriks relasional berikut:

V

2 3 4

1 0 0 0

U 2 1 0 0

3 1 1 0

Entri-entri dalam matriks relasional di atas merupakan nilai dari derajat

keanggotaan (u, v). (2, 2)=1 berarti 2 berelasi dengan 2, yaitu “ 2

lebih besar atau sama dengan 2”; (2, 3) = 0 berarti 2 tidak berelasi

dengan 3, yaitu “ 2 tidak lebih besar atau tidak sama dengan 3” ; dan seterusnya.

Contoh 4.2 (relasi ternary)

Misalkan relasi di antara himpunan U1 = {bahasa Inggris, bahasa Perancis}, U2 = {Dollar, Pound, Euro}, dan U3 = {AS, Perancis, Inggris, Canada, Belanda } menyatakan hubungan suatu negara dengan mata uang

dan bahasa yang digunakan. Maka relasi (U1, U2, U3 ) = {(Bahasa Inggris,

Relasi Kabur

85

Dollar, AS), (Bahasa Perancis, Euro, Perancis), (Bahasa Inggris, Pound, Inggris)}. Relasi ini dapat juga dinyatakan dengan matriks relasional berikut:

U3

AS Perancis Inggris Canada Belanda

Dollar 1 0 0 1 0

U2 Pound 0 0 1 0 0

Euro 0 0 0 0 0

Bahasa Inggris

U3

AS Perancis Inggris Canada Belanda

Dollar 0 0 0 0 0

U2 Pound 0 0 0 0 0

Euro 0 1 0 0 0

Bahasa Perancis

Fungsi keanggotaan nol-satu pada relasi biasa dapat diperluas dengan mengubah kodomain dari himpunan {0, 1} menjadi interval [0, 1] yaitu:

: U1U2…Un [0, 1]

Hal ini mengakibatkan bahwa satu relasi dapat berelasi secara sempurna jika derajat keanggotaanya sama dengan satu, tidak berelasi sama sekali jika derajat keanggotaannya sama dengan nol, dan “agak berelasi” atau “sangat berelasi” atau “kurang berelasi” dan sebagainya, jika derajat keanggotaannya terletak antara nol dan satu. Relasi semacam ini biasa disebut relasi kabur,

yang disimbolkan dengan R . Secara formal, relasi kabur didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 4.1

Suatu relasi kabur R adalah suatu himpunan kabur yang didefinisikan pada hasil kali kartesian himpunan-himpunan U1, U2,..., Un, yaitu:

R ={((x1,x2,…,xn), Rμ 1 2( , ,..., )nx x x )|(x1,…,xn)(U1U2…Un)} (4.2)

di mana R

μ 1 2( , ,..., )nx x x adalah derajat keanggotaan dari relasi kabur

R .


Suatu kasus khusus, jika n = 2 maka relasi R disebut relasi kabur biner. Relasi kabur biner pada hasil kali kartesian yang anggota himpunannya berhingga biasanya direpresentasikan dengan matriks relasional, yaitu matriks yang elemen-elemennya merupakan derajat keanggotaan pasangan-pasangan dari relasi yang bersesuaian (seperti dalam Contoh 4.1 dan 4.2, untuk relasi biasa)

Contoh 4.3

Misalkan U1 = {Banda Aceh, Jakarta, Surabaya}

U2 = { Makassar, Surabaya, Jayapura }

Jika didefinisikan relasi “sangat berjauhan” di antara dua himpunan ibu kota provinsi tersebut, yaitu U1 dan U2, maka relasi biasa tidak cocok untuk digunakan karena relasi “sangat berjauhan” tidak terdefinisi dengan jelas dalam kerangka himpunan dan relasi biasa. Akan tetapi, kita dapat memberikan suatu nilai pada relasi “sangat berjauhan” di antara anggota himpunan U1 dan anggota himpunan U2. Nilai satu akan diberikan pada relasi “sangat jauh” di antara dua ibu kota provinsi pada himpunan U1 dan U2 jika kedua ibu kota tersebut dianggap paling berjauhan, dan nilai nol akan diberikan pada relasi “sangat berjauhan” jika kedua ibu kota provinsi tersebut dianggap paling berdekatan (jarak keduanya mungkin nol kilometer). Sedangkan nilai di antara nol dan satu diberikan kepada pasangan-pasangan ibu kota provinsi yang dianggap agak berjauhan, cukup berjauhan, sangat berjauhan dan sebagainya. Nilai-nilai yang diberikan tersebut adalah derajat

keanggotaan dari relasi kabur R , yang biasa diinterpretasikan sebagai “kekuatan hubungan” yang ada di antara elemen-elemen dari himpunan U1 dan himpunan U2. Seperti pada himpunan kabur, pemberian derajat

keanggotaan untuk relasi kabur R juga bersifat subjektif, namun pemberian derajat keanggotaan tersebut tidak dapat ditentukan secara bebas. Penentuannya harus merefleksikan konteks persoalan dari relasi yang diberikan.

Misalkan derajat keanggotaan relasi “sangat berjauhan” di antara himpunan U1 dan himpunan U2 dinyatakan dengan matriks relasional berikut:

Relasi Kabur

87

U2

R Surabaya Makassar Jayapura

Banda Aceh 0,62 0,72 1

U1 Jakarta 0,4 0,65 0,8

Surabaya 0 0,6 0,7

maka relasi kabur ”sangat berjauhan” R adalah sebagai berikut:

R ={((Banda Aceh, Surabaya), 0.62), ((Banda Aceh, Makassar), 0.72),

((Banda Aceh, Jayapura),1), ((Jakarta, Surabaya), 0.4),

((Jakarta, Makassar), 0.65), ((Jakarta, Jayapura), 0.8),

((Surabaya, Surabaya), 0), ((Surabaya, Makassar), 0.6),

((Surabaya, Jayapura), 0.7)}

Contoh 4.4.

Misalkan U1 = U2 = , relasi kabur R di antara U1 dan U2 didefinisikan

sebagai “x jauh lebih besar dari y”, di mana x U1 dan yU2. Relasi kabur R

merupakan himpunan kabur pada U1U2 dengan fungsi keanggotaan didefinisikan sebagai:

R

μ x y( , ) =-

x y

y

x y

y x y

x y

10

0 ;

; 11

1 ; 11

; (x, y)

atau dapat didefinisikan sebagai:

R

μ x y( , ) =11

-y-x x y

x y

2( ( ) ) ;

0 ;; (x, y)

4.2 Operasi-operasi Dasar antar Relasi Kabur

Seperti pada himpunan kabur, maka pada relasi kabur dapat juga diberlakukan operasi-operasi dasar, seperti komplemen, irisan dan gabungan.

Komplemen

Misalkan R adalah relasi kabur pada U1U2, maka komplemen dari

relasi kabur R adalah cR dengan derajat keanggotaan:


cRμ x y( , ) = 1-

Rμ x y( , ) , (x, y) U1U2

Contoh 4.5

Diketahui relasi kabur R pada ++, di mana R menyatakan relasi “x dan

y sangat berdekatan.“ Fungsi keanggotaan R didefinisikan sebagai :

R

μ x y( , )= - x - ye2( ) , (x, y) ++,

sehingga grafik dari fungsi keanggotaan R adalah seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.1.

Komplemen dari relasi kabur R mempunyai fungsi keanggotaan

cRμ x y( , ) = 1 -

Rμ x y( , )

= 1 - - x - ye2( ) , (x, y) ++,

seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.2.

Gambar 4.1 Grafik fungsi keanggotaan relasi kabur R (Contoh 4.5)

Relasi Kabur

89

Gabungan dan Irisan

Misalkan R1 dan R2 masing-masing adalah relasi kabur pada U1U2,

maka gabungan dari R1 dan R2 adalah R1R2 dengan fungsi

keanggotaan R R

μ x, y1 2

( ) = max[R

μ x y1( , ) ,

Rμ x y

2( , ) ], (x, y)

U1U2, kemudian irisan dari R1 dan R2 adalah R1R2 dengan fungsi

keanggotaan 1 2R R

μ x, y( ) = min[R

μ x y1( , ) ,

Rμ x y

2( , ) ] (x, y) U1U2.

Contoh 4.6

Misalkan R1 dan R2 masing-masing adalah relasi kabur pada ++, di

mana R1 menyatakan relasi “x dan y hampir sama“ dan R2 menyatakan

relasi “x dan y sangat berbeda”. Grafik dari fungsi keanggotaan R1 dan R2

adalah seperti pada Gambar 4.3.

Gambar 4.2 Grafik fungsi keanggotaan relasi kabur cR (Contoh 4.5)


Fungsi keanggotaan gabungan antara 1R dan R2 dapat diperoleh sebagai

berikut:

Misalkan =|x0 – y0| sedemikian hingga R

μ x y1

0 0( , ) = R

μ x y2

0 0( , ) ,

maka R R

μ x, y1 2

( ) =

R

R

μ x, y ; |x - y|

μ x, y ; |x -y|

1

2

( ) 0

( )

Sedangkan fungsi keanggotaan irisan antara R1 dan R2 adalah :

1 2R R

μ x, y( ) =

R

R

μ x, y |x - y|

μ x, y |x - y|

2

1

( ) ; 0

( ) ;

Gambar 4.4 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan R1R2 dan

R1R2 .

Gambar 4.3 Grafik fungsi keanggotaan R1 dan R2 (Contoh 4.6)

Relasi Kabur

91

Contoh 4.7.

Diketahui relasi kabur R1 dan R2 masing-masing pada U1U2 dalam bentuk

matriks relasional berikut

R1 y1 y2 y3 y4

x1 0,3 0,2 1 0

x2 0,8 1 0 0,2

x3 0,5 0 0,4 0,2

R2 y1 y2 y3 y4

x1 0,3 0 0.7 0

x2 0,6 0.8 1 1

x3 0,6 0.9 0,3 0,2

maka R1R2 dan R1R2 dalam bentuk matriks relasional adalah

sebagai berikut:

Gambar 4.4 Grafik fungsi keanggotaan R1R2 dan R1R2

(Contoh 4.6)


R1R2 y1 y2 y3 y4

x1 0,3 0.2 1 0

x2 0,8 1 1 1

x3 0,6 0.9 0,4 0,2

R1R2 y1 y2 y3 y4

x1 0,3 0 0.7 0

x2 0,1 0.8 0 0.2

x3 0,5 0 0,3 0,2

4.3 Proyeksi dan Perluasan Cylindric Relasi Kabur

Misalkan suatu himpunan A={(x, y)2|(x-2)2 + (y-2)2 4, xU1 = ,

yU2 = } yang merupakan suatu relasi dalam U1U2 =2. Proyeksi A pada

U1 yang dinyatakan oleh A(1), adalah A(1)= [0, 4]U1, dan proyeksi A pada U2

yang dinyatakan oleh A(2) adalah A(2) = [0, 4]U2. Perluasan cylindric dari A(1)

ke U1U2 yang dinyatakan oleh 1LA( ) adalah 1

LA( ) =[0, 4]U2 U1U2 = 2,

dan perluasan cylindric dari A(2) ke U1U2 yang dinyatakan oleh 2LA( ) adalah

2LA( )=[0, 4]U2 U1U2 = 2, seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.5.

Relasi Kabur

93

Misalkan relasi A dinyatakan dalam bentuk matriks relasional berikut:

A ... -1 ... 0 ... 1 ... 2 ... 3 ... 4 ... 5 ...

-1 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ...

0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ... 0 ...

1 ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ... 1 ... 0 ... 0 ...

2 ... 0 ... 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... 0 ...

3 ... 0 ... 0 ... 1 ... 1 ... 1 ... 0 ... 0 ...

4 ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ... 0 ...

5 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ...

Gambar 4.5. Proyeksi dan perluasan cylindric A

2LA

1LA

2U

1U


Dengan menggunakan derajat keanggotaan pada matriks relasional di atas, maka proyeksi A pada U1 dapat diperoleh sebagai berikut:

1Aμ ( ) (-1) = max[..., Aμ (-1,-1),…, Aμ (-1,0),…, Aμ (-1,1),…, Aμ (-1, 5),…] = 0

1Aμ ( ) (0) = max[..., Aμ (0, -1),…, Aμ (0, 0),…, Aμ (0, 1),…, Aμ (0, 5),…] = 1

1Aμ ( ) (1) = max[..., Aμ (1, -1),…, Aμ (1, 0),…, Aμ (1, 1),…, A (1, 5),…] = 1

1Aμ ( ) (2) = max[..., Aμ (2, -1),…, Aμ (2, 0),…, Aμ (2, 1),…, Aμ (2, 5),…] = 1

1Aμ ( ) (3) = max[..., Aμ (3, -1),…, Aμ (3, 0),…, Aμ (3, 1),…, A (3, 5),…] = 1

1Aμ ( ) (4) = max[..., Aμ (4, -1),…, Aμ (4, 0),…, Aμ (4, 1),…, Aμ (4, 5),…] = 1

1Aμ ( ) (5) = max[..., Aμ (5, -1),…, Aμ (5, 0),…, Aμ (5, 1),…, Aμ (5, 5),…] = 0

atau secara umum dapat dinyatakan sebagai

1Aμ ( ) (x)=

Ay U

xmax μ x y

x2

1 jika [0, 4][ ( , )]

0 yang lain, xU1

Dengan cara yang serupa, proyeksi A pada U2 dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi keanggotaan nol-satu (fungsi karakteristik), yaitu:

2Aμ ( ) (y)=

1

1

x U

A

ymax μ x y

y

jika [0, 4][ ( , )]

0 yang lain, yU2

Selanjutnya, perluasan cylindric dari A(1) ke U1U2 adalah

1LA( ) = {((x, y), 1

LAμ x y( ) ( , ) )}

Relasi Kabur

95

di mana 1LA

μ x y( ) ( , ) = 1Aμ ( ) (x)=

1 4

x

x

jika [0, ]

0 yang lain, xU1, yU2.

Adapun perluasan cylindric dari A(2) ke U1U2 adalah

2LA( ) = {((x, y), 2

LAμ x y( ) ( , ))}

di mana 2LA

μ x y( ) ( , )= 2Aμ ( ) (y)=

1 4y

y

jika [0, ]

0 yang lain, xU1, yU2.

Proyeksi dan perluasan cylindric pada relasi biner biasa dapat diperluas ke relasi kabur biner, yang secara formal didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 4.2

Misalkan R ={((x, y),R

μ x y( , )) |(x, y)U1U2} adalah relasi kabur biner.

Proyeksi pertama relasi R (proyeksi R pada U1) didefinisikan sebagai

1R ( ) = {(x, 1 xR

μ ( ) ( ) ) | x U1}, (4.3)

di mana 1 xR

μ ( ) ( ) = 2

Ry Umax μ x y[ ( , )] ,

dan proyeksi kedua relasi R (proyeksi R pada U2) didefinisikan sebagai

2R ( ) = {(y, 2Rμ y( ) ( )) | y U2} (4.4)

di mana 2Rμ y( ) ( ) =

1Rx U

max μ x y[ ( , )] .

Adapun perluasan cylindric dari 1R ( ) ke U1U2 adalah himpunan kabur 1LR ( )

dalam U1U2 dengan fungsi keanggotaan

1LR

μ x y( ) ( , ) = 1 xR

μ ( ) ( ) (4.5)

dan perluasan cylindric dari 2R ( ) ke U1U2 adalah himpunan kabur 2LR ( )

dalam U1U2 dengan fungsi keanggotaan

2LR

μ x y( ) ( , ) = 2Rμ y( ) ( ) (4.6)

Contoh 4.8

Misalkan R adalah relasi kabur pada U1U2 yang dinyatakan dengan matriks relasional berikut:


R y1 y2 y3 Y4 y5 Y6

x1 0,1 0.6 0 0.8 0.9 0.9

x2 0,2 0.8 1 0.1 0.7 0

x3 1 0 0,3 1 0 0.3

x4 0.3 0.1 0.6 0 0.5 0.7

maka proyeksi pertama dari R dapat diperoleh sebagai berikut:

1 1Rμ x( ) ( ) = 1Ry

max μ x y[ ( , )] = max[0.1, 0.6, 0, 0.8, 0.9, 0.9 ] = 0.9

1 2Rμ x( ) ( ) = 2Ry

max μ x y[ ( , )] = max[0.2, 0.8, 1, 0.1, 0.7, 0] =1

1 3Rμ x( ) ( ) = 3Ry

max μ x y[ ( , )] = max[1, 0, 0.3, 1, 0, 0.3] =1

1 4Rμ x( ) ( ) = 4Ry

max μ x y[ ( , )] = max[0.3, 0.1, 0.6, 0, 0.5, 0.7] = 0.7,

sehingga

R (1) = {(x1, 0.9), (x2, 1), (x3, 1), (x4, 0.7)}

Dengan cara yang serupa, proyeksi kedua dari R diperoleh:

2R ( )= {(y1, 1), (y2, 0.8), (y3, 1), (y4, 1), (y5, 0.9), (y6, 0.9)}

Perluasan cylindric dari R (1) pada U1U2 mempunyai derajat keanggotaan sebagai berikut:

1 1 1LR

μ x y( ) ( , )= 1 1 2LR

μ x y( ) ( , )=...= 1 1 6LR

μ x y( ) ( , )= 1 1Rμ x( ) ( ) = 0.9

1 2 1LR

μ x y( ) ( , )= 1 2 2LR

μ x y( ) ( , )=...= 1 2 6LR

μ x y( ) ( , )= 1 2Rμ x( ) ( )= 1

1 3 1LR

μ x y( ) ( , )= 1 3 2LR

μ x y( ) ( , )=…= 1 3 6LR

μ x y( ) ( , )= 1 3Rμ x( ) ( ) = 1

1 4 1LR

μ x y( ) ( , )= 1 4 2LR

μ x y( ) ( , )=...= 1 4 6LR

μ x y( ) ( , )= 1 4Rμ x( ) ( )= 0.7

sehingga 1LR ( ) = {((x1, y1), 0.9), ((x1, y2), 0.9), ..., ((x1, y6), 0.9),

((x2, y1), 1), ((x2, y2), 1), ..., ((x2, y6), 1), ((x3, y1), 1),

((x3, y2), 1), ..., ((x3, y6), 1), ((x4, y1), 0.7),

((x4, y2), 0.7), ..., ((x4, y6), 0.7)}

Dengan cara yang serupa, 2LR ( ) dapat diperoleh, yaitu

2LR ( ) = {((x1, y1), 1), (x2, y1), 1), (x3, y1), 1), (x4, y1), 1), ((x1, y2), 0.8),

Relasi Kabur

97

((x2, y2), 0.8), ((x3, y2), 0.8), ((x4, y2), 0.8), ((x1, y3),1), ((x2, y3), 1),

((x3, y3), 1), ((x4, y3), 1), ((x1, y4),1), ((x2, y4),1), ((x3, y4),1), ((x4, y4),1),

((x1, y5), 0.9), ((x2, y5), 0.9), ((x3,y5), 0.9), ((x4, y5),0.9), ((x1, y6), 0.9),

((x2, y6), 0.9), ((x3, y6), 0.9), ((x4, y6), 0.9)}

Contoh 4.9

Misalkan relasi kabur R didefinisikan pada ++, di mana

Rμ x y( , )= - x-ye

2( ) , (x, y) ++. Proyeksi pertama dan proyeksi kedua

dari R dapat diperoleh sebagai berikut:

Proyeksi pertama:

Misalkan dipilih sebarang x0 + sehingga diperoleh:

1Rμ x( ) 0( ) =

Rymax μ x y0[ ( , )]

= 2x y

ymax e 0( )[ ] (4.7)

Persamaan (4.7) dapat diselesaikan dengan memaksimumkan fungsi

f(y)= 0 x ye2( ) , yaitu kita cari y sedemikian sehingga f (y) = 0, yaitu f (y) =

2(x0 - y) x ye2

0( ) = 0 jika dan hanya jika y = x0. Jadi 1Rμ x( ) 0( ) =

2x y

ymax e 0( )[ ] = 1. Karena x0 dipilih sebarang elemen dari +, maka :

R (1) = {( x0, 1) | x0 +} = +

Proyeksi kedua:

Misalkan dipilih sebarang y0 +, sehingga diperoleh :

2Rμ y( ) 0( ) =

Rxmax μ x y0[ ( , )] = x y

xmax e

20( )[ ]

Dengan cara yang serupa pada proyeksi pertama, maka diperoleh:

x y

xmax e

20( )[ ] = 1

Karena y0 dipilih sebarang elemen dalam +, maka :

2R ( )

= {( y0, 1) | y0 +} = +


Misalkan suatu ruang yang lebih umum, yaitu U1×U2×…×Un, maka

akan ada suatu relasi kabur n-ary pada U1×U2×…×Un, yaitu R (U1, U2,…,Un),

dan misalkan ada suatu proyeksi dari relasi kabur n-ary R , yaitu qR ( ) , pada

1 2

ki i i...U U U di mana {i1, i2,…, ik} adalah suatu subbarisan dari {1, 2,

…, n}. Proyeksi relasi kabur n-ary R pada 1 2

ni i i...U U U didefinisikan

sebagai berikut:

Definisi 4.3

Misalkan R adalah relasi kabur pada U1×U2×…×Un, maka proyeksi R pada

1 2

ki i i...U U U adalah suatu relasi kabur qR ( ) pada

1 2

ki i i...U U U dengan fungsi keanggotaan

1 2

qik

i iRμ u u u( ) ( , ,..., )=

1 1

1 j j j j(n-k) (n-k)

nRu u

μ u umax,...,

[ ( ,..., )]U U

(4.8)

di mana 1 2 (n-k)j j ju u u{ , ,..., } adalah komplemen dari

1 2 ki i iu u u{ , ,..., }

terhadap {u1, u2, …, un}.

Suatu relasi kabur yang berbeda dalam ruang yang sama (semestanya sama) dapat mempunyai proyeksi yang sama, akan tetapi harus ada relasi terbesar pada U1×U2×…× Un. Relasi terbesar tersebut merupakan perluasan

cylindric dari qR ( ) ke U1×U2×…× Un, yang secara formal didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 4.4

Misalkan qR ( ) adalah suatu proyeksi pada 1 2

ni i i...U U U , maka

perluasan cylindric dari qR ( ) ke U1×U2×…× Un adalah suatu relasi kabur qR ( ) pada U1×U2×…× Un, dengan fungsi keanggotaan

1 2qL

nRμ u u u( ) ( , ,..., ) =

1 2q

iki iR

μ u u u( ) ( , ,..., ) (4.9)

Sebagai kasus khusus, apabila R adalah suatu relasi kabur biner, yaitu

R (U1, U2), maka (4.8) akan menjadi himpunan kabur dan (4.9) akan menjadi perluasan cylindric seperti pada Definisi 4.2. Dari definisi tentang proyeksi dan perluasan cylindric, terlihat bahwa proyeksi akan membatasi suatu relasi kabur pada suatu subruang sedangkan perluasan cylindric akan memperluas suatu relasi kabur/himpunan kabur dari subruang ke ruang yang lebih luas.

Relasi Kabur

99

4.4 Komposisi antar Relasi Kabur

Seperti pada relasi biasa, maka pada relasi kabur dalam ruang hasil kali yang berbeda dapat dikombinasikan antara satu dengan yang lain dengan menggunakan operasi “komposisi”. Terdapat banyak versi komposisi yang diusulkan oleh para ahli yang penggunaannya sesuai dengan keperluan bidang aplikasi. Akan tetapi, terdapat dua jenis komposisi yang paling sering digunakan dan paling sering muncul dalam literatur-literatur himpunan kabur, yaitu komposisi max-min dan komposisi max-hasil kali.

Komposisi pada relasi biasa 1(x, y) dan 2(y, z) di mana xU1,

yU2, zU3 dapat diinterpretasikan sebagai keberadaan suatu rantai relasi di antara elemen-elemen dari U1 dan U3, sementara komposisi pada relasi kabur dapat diinterpretasikan sebagai indikasi “kekuatan” dari suatu rantai relasi di antara elemen-elemen U1 dan U3. “Kekuatan” ini direpresentasikan oleh derajat keanggotaan pasangan (x, z) dalam komposisi tersebut. Secara formal, beberapa komposisi didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 4.5

Misalkan 1 x,y( )R , (x, y)U1U2 dan 2 y, z( )R , (y, z)U2×U3 adalah relasi

kabur yang berturut-turut didefinisikan pada U1U2 dan U2×U3, maka

komposisi max-min 1R dan 2R , yaitu 1R 2R , adalah suatu himpunan

kabur dengan fungsi keanggotaan:

1 2 1 22

R R R RUμ max min μ μ ,

( , ) [ ( ( , ), ( ))]

yx z x y y z ; xU1, yU2, zU3 (4.10)

Definisi 4.6

Misalkan 1R dan 2R adalah relasi kabur yang didefinisikan seperti pada

Definisi 4.5, maka komposisi max- 1R dan 2R , yaitu 1R 2R , adalah

suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan:

1 2 1 22

R R R RUμ max μ μ ,

( , ) [( ( , ) ( )]

yx z x y y z ; x U1, y U2, z U3 (4.11)


Jika operator merupakan operasi assosiatif yang monoton tidak turun, maka

komposisi max- akan bersesuaian dengan komposisi max-min.

Definisi 4.7.


Definisi 4.5, maka komposisi max-hasil kali 1R dan 2R , yaitu 1R 2R ,

adalah suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan

1 2 1 22

R R R RUμ max μ μ ,

( , ) [( ( , ). ( )]

yx z x y y z ; x U1, y U2, z U3 (4.12)

Definisi 4.8.


Definisi 4.5, maka komposisi max-rata-rata 1R dan 2R , yaitu 1R 2R ,

adalah suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan:

1 2R Rμ ,( )x z =

1 22

1R R

max μ μ

2

[ ( , ) ( , )]y U

x y y z ; xU1, yU2, zU3 (4.13)

Contoh 4.10

Misalkan 1R x y( , ) dan 2R y z( , ) didefinisikan dengan menggunakan

matriks relasional berikut:

1R y1 y2 y3 y4

x1 0.1 0.2 0 1

x2 0.3 0.5 0 0.2

Relasi Kabur

101

2R z1 z2 z3

y1 0.9 0 0.3

y2 0.2 1 0.8

y3 0.8 0 0.7

y4 0.4 0.2 0.3

(i) Komposisi max-min 1R 2R dapat diperoleh sebagai berikut:

Kita akan menghitung 1 2

i jR Rμ x z( , ) , i = 1, 2; j = 1, 2, 3. Untuk

mendapatkannya, maka terlebih dahulu harus dihitung

1 2R Ri k k jmin μ x y μ y z[ ( , ), ( , )] , k = 1, 2, 3, 4

a) untuk i = 1, j = 1 :

k = 1, min[1R

μ (x1, y1), 2R

μ (y1, z1)] = min[0.1, 0.9] = 0.1

k = 2, min[1R

μ (x1, y2), 2R

μ (y2, z1)] = min[0.2, 0.2] = 0.2

k = 3, min[1R

μ (x1, y3), 2R

μ (y3, z1)] = min[0, 0.8] = 0

k = 4, min[1R

μ (x1, y4), 2R

μ (y4, z1)] = min[1, 0.4] = 0.4

sehingga 1 2R R

μ (x1, z1) = max[0.1, 0.2, 0, 0.4] = 0.4

b) untuk i = 1, j = 2 :

k = 1, min[1R

μ (x1, y1), 2R

μ (y1, z2)] = min[0.1, 0] = 0

k = 2, min[1R

μ (x1, y2), 2R

μ (y2, z2)] = min[0.2, 1] = 0.2


k = 3, min[1R

μ (x1, y3), 2R

μ (y3, z2)] = min[0, 0] = 0

k = 4, min[1R

μ (x1, y4), 2R

μ (y4, z2)] = min[1, 0.2] = 0.2

sehingga 1 2R R

μ (x1, z2) = max[0, 0.2, 0, 0.2] = 0.2

c) untuk i = 1, j = 3

k = 1, min [1R

μ (x1, y1), 2R

μ (y1, z3)] = min[0.1, 0.3] = 0.1

k = 2, min [1R

μ (x1, y2), 2R

μ (y2, z3)] = min[0.2, 0.8] = 0.2

k = 3, min [1R

μ (x1, y3), 2R

μ (y3, z3)] = min[0, 0.7] = 0

k = 4, min [1R

μ (x1, y4), 2R

μ (y4, z3)] = min[1, 0.3] = 0.3

sehingga 1 2R R

μ ( x1, z3) = max[0.1, 0.2, 0, 0.3] = 0.3

d) untuk i = 2, j = 1,

dengan cara yang serupa, diperoleh 1 2R R

μ (x2, z1) = 0.3

e) untuk i = 2, j = 2,


μ (x2, z2) = 0.5

f) untuk i = 2, j = 3,


μ (x2, z3) = 0.5

Jadi komposisi max-min 1R 2R dalam bentuk matriks relasional adalah

sebagai berikut :

1R 2R z1 z2 z3

x1 0.4 0.2 0.3

x2 0.3 0.5 0.5

Relasi Kabur

103

(ii) Komposisi max-hasil kali 1R 2R dapat diperoleh sebagai berikut:

Kita akan menghitung 1 2 i jR R

μ x z( , ) i = 1, 2; j = 1, 2, 3.

Untuk mendapatkannya, maka terlebih dahulu harus dihitung

1i kR

μ x y( , ) .2

k jRμ y z( , ) , k = 1, 2, 3, 4

(a) untuk i = 1, j = 1

k = 1, 1

1 1Rμ x y( , ) .

21 1R

μ y z( , ) = (0.1) (0.9) = 0.09

k = 2, 1

1 2Rμ x y( , ).

22 1R

μ y z( , ) = (0.2) (0.2) = 0.04

k = 3, 1

1 3Rμ x y( , ) .

23 1R

μ y z( , ) = (0) (0.8) = 0

k = 4, 1

1 4Rμ x y( , ).

24 1R

μ y z( , ) = (1) (0.4) = 0.4

sehingga 1 2

1R Rμ x z1( , )= max [0.09, 0.04, 0, 0.4] = 0.4

(b) untuk i = 1, j = 2,


μ x z1 2( , ) = 0.2

(c) untuk i = 1, j = 3,

dengan cara yang serupa, diperoleh 1 2

3R Rμ x z1( , )= 0.3

(d) untuk i = 2, j = 1,


2 1R Rμ x z( , )= 0.27

(e) untuk i = 2, j = 2,


2 2R Rμ x z( , )= 0.5

(f) untuk i = 2, j = 3,


2 3R Rμ x z( , )= 0.4


Jadi komposisi max-hasil kali 1R 2R dalam bentuk matriks relasional adalah

sebagai berikut :

1R 2R z1 z2 z3

x1 0.4 0.2 0.3

x2 0.27 0.5 0.4

(iii) Komposisi max-rata-rata 1R 2R dapat diperoleh sebagai berikut:

Kita akan menghitung 1 2R R

μ (xi, zj), i = 1, 2 ; j = 1, 2, 3.

Untuk mendapatkannya, maka terlebih dahulu harus dihitung

1Rμ (xi, yk) +

2Rμ (yk, zj), k = 1, 2, 3, 4

(a) untuk i = 1, j = 1.

k = 1, 1R

μ (x1, y1) + 2R

μ (y1, z1) = (0.1)+ (0.9) = 1

k = 2, 1R

μ (x1, y2) + 2R

μ (y2, z1) = (0.2)+(0.2) = 0.4

k = 3, 1R

μ (x1, y3) + 2R

μ (y3, z1) = (0)+ (0.8) = 0.8

k = 4, 1R

μ (x1, y4) + 2R

μ (y4, z1) = (1)+ (0.4) = 1.4

sehingga 1 2R R

μ (x1, z1) = 2

1max[1, 0.4, 0.8, 1.4] = 0.7

(b) untuk i = 1, j = 2,


μ (x1, z2) = 0.6

(c) untuk i = 1, j = 3,


μ (x1, z3)= 0.65

Relasi Kabur

105

(d) untuk i = 2, j = 1,


μ (x2, z1) = 0.6

(e) untuk i = 2, j = 2,


μ (x2, z2)= 0.75

(f) untuk i = 2, j = 3,


μ (x2, z3)= 0.65

Jadi komposisi max-rata-rata 1R 2R dalam bentuk matriks relasional

adalah sebagai berikut :

1R 2R z1 z2 z3

x1 0.7 0.6 0.65

x2 0.6 0.75 0.65

Ada suatu cara sederhana untuk menghitung komposisi 1R dan 2R yaitu

dengan menggunakan perkalian matriks pada matriks relasional 1R dan 2R .

Caranya adalah sebagai berikut:

untuk komposisi max-min, matriks relasional 1R dan 2R dikalikan

dengan cara perkalian matriks, tetapi operator “kali” diganti dengan operator min dan operator “jumlah” diganti dengan operator max.

untuk komposisi max-hasil kali, matriks relasional 1R dan 2R dikalikan

dengan cara perkalian matriks, tetapi operator “jumlah” diganti dengan operator max.

untuk komposisi max rata-rata, matriks relasional 1R dan 2R dikalikan

dengan cara perkalian matriks, tetapi operator “kali” diganti dengan operator “jumlah” dan operator “jumlah” diganti dengan operator max, kemudian hasilnya dikalikan dengan ½.


Kita akan mengecek hasil komposisi 1R dan 2R pada Contoh 4.10, dengan

menggunakan cara sederhana di atas.

Untuk komposisi max-min:

5.05.03.0

3.02.04.0

3.02.04.0

7.008.0

8.012.0

3.009.0

2.005.03.0

102.01.0

Untuk komposisi max-hasil kali

4.05.027.0

3.02.04.0

3.02.04.0

7.008.0

8.012.0

3.009.0

2.005.03.0

102.01.0

Untuk komposisi max-rata-rata:

0.9 0 0.3

0.1 0.2 0 1 0.2 1 0.8 1.4 1.2 1.31

0.3 0.5 0 0.2 0.8 0 0.7 1.2 1.5 1.32

0.4 0.2 0.3

0.7 0.6 0.65

0.6 0.75 0.65

hasilnya sama dengan yang diperoleh dalam Contoh 4.10.

Relasi Kabur

107

4.5 Beberapa Definisi pada Relasi Kabur dan Sifat Komposisi antar Relasi Kabur

- Kerefleksifan

Definisi 4.9.

Misalkan R adalah suatu relasi kabur pada U U, maka :

1. R disebut refleksif jika dan hanya jika R

x x( , ) =1, x U

R disebut anti-refleksif jika dan hanya jika R

x x( , ) 1, xU

R disebut irrefleksif jika dan hanya jika xU sedemikian sehingga

R

x x( , ) 1

2. R disebut -refleksif jika dan hanya jika R

x x( , ) , xU,

0< < 1.

3. R disebut refleksif lemah jika dan hanya jika

R R

R R

μ x y μ x x

μ y x μ x x

( , ) ( , )

( , ) ( , ) x, yU

- Kesimetrisan

Definisi 4.10.

Misalkan R adalah suatu relasi kabur pada U U, maka :

R disebut simetris jika dan hanya jika

R

μ x y( , ) = R

μ y x( , ) , x, y U

R disebut asimetris jika dan hanya jika

x, y U R

μ x y( , ) R

μ y x( , )


R disebut antisimetris jika dan hanya jika

R

μ x y( , ) >0 dan R

μ y x( , ) >0, maka x = y, x, y U.

- Ketransitifan (ketransitifan max-min)

Definisi 4.11

Misalkan R adalah relasi kabur pada U U, maka:

R disebut transitif jika dan hanya jika

R

μ x z( , ) y U

max [min(R

μ x y( , ) ,R

μ y z( , ))], x, y, z U

R disebut nontransitif jika dan hanya jika

x, y, zU R

μ x z( , ) < y U

max [min(R

μ x y( , ) ,R

μ y z( , ))]

R disebut anti-transitif jika dan hanya jika

R

μ x z( , ) < y U

max [min(R

μ x y( , ) ,R

μ y z( , ))], x, y, z U

Contoh 4.11

Misalkan R adalah relasi kabur yang didefinisikan pada himpunan kota-kota di dunia yang menyatakan relasi “sangat dekat”. Kita dapat mengasumsikan bahwa setiap kota sangat dekat dengan kota itu sendiri (jaraknya 0 km)

dengan derajat keanggotaan sama dengan satu. Jadi R adalah relasi refleksif. Selanjutnya, jika kota A sangat dekat dengan kota B, maka kota B juga sangat dekat dengan kota A dengan derajat keanggotaan yang sama,

jadi R adalah relasi simetris. Demikian juga, jika kota A sangat dekat

dengan kota B dengan derajat keanggotaan ,R

μ A B( ) dan kota B sangat

dekat dengan kota C dengan derajat keanggotaan ,R

μ B C( ) , maka ada

kemungkinan bahwa kota A sangat dekat dengan kota C dengan derajat

keanggotaan yang lebih kecil dari derajat keanggotaan ,R

μ A B( ) dan

,R

μ B C( ) . Oleh karena itu, relasi R yang menyatakan relasi “sangat dekat”

pada himpunan kota-kota di dunia tidak transitif (nontransitif).

Relasi Kabur

109

Beberapa sifat komposisi kabur (khusus max-min):

1. Komposisi max-min bersifat assosiatif yaitu

( 1R 2R ) 3R = 1R ( 2R 3R )

2. Jika 1R refleksif dan 2R sebarang relasi kabur, maka

1R 2R 2R dan 2R 1R 2R

3. Jika R refleksif maka R R R

4. Jika 1R dan 2R relasi refleksif, maka 1R 2R juga refleksif.

5. Jika 1R dan 2R simetris dan 1R 2R = 2R 1R , maka

2R 1R simetris.

6. Jika R transitif maka R R R~

7. Jika R simetris maka 2R simetris

8. Jika R simetris dan transitif, maka R R

x y x xμ μ( , ) ( , ) , x, y U

9. Jika R refleksif dan transitif, maka R R = R

10. Jika 1R dan 2R transitif dan 1R 2R = 2R 1R , maka

2R 1R transitif.

Sifat-sifat di atas hanya berlaku untuk komposisi max-min, akan tetapi ada juga beberapa sifat yang berlaku untuk komposisi max-hasil kali dan komposisi max-rata-rata. Pembaca dipersilahkan untuk memeriksa sifat yang berlaku pada komposisi max-hasil kali dan komposisi max-rata-rata sebagai latihan.

4.6 Relasi Kemiripan

Pada relasi biner biasa , kita mengenal adanya relasi kesetaraan

(ekivalensi), yaitu relasi yang bersifat refleksif, simetris dan transitif. Pada


relasi yang demikian dapat didefinisikan himpunan Ax yang memuat semua

elemen U yang dihubungkan ke x oleh relasi kesetaraan , yaitu Ax={y| (x,

y) } xU. Himpunan Ax disebut kelas kesetaraan dari . Anggota dalam masing-masing kelas kesetaraan adalah setara satu sama lain dan keluarga semua kelas kesetaraan akan membentuk suatu partisi pada U.

Contoh 4.12

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Hasil kali kartesian UU akan

memuat 100 anggota, yaitu UU={(1, 1), (1, 2), …, (10, 10)}. Misalkan adalah relasi pada U yang didefinisikan sebagai “x dan y mempunyai sisa

yang sama kalau dibagi tiga”. Dengan mudah diperlihatkan bahwa relasi adalah relasi kesetaraan. Kelas-kelas kesetaraan yang terbentuk adalah: A1=A4=A7=A10={1, 4, 7, 10}, A2=A5=A8={2, 5, 8}, dan A3=A6=A9={3, 6, 9}. Jadi 1, 4, 7 dan 10 setara satu sama lain, yaitu 1 dan 4 mempunyai sisa yang sama kalau masing-masing dibagi tiga, 1 dan 7 mempunyai sisa yang sama kalau masing-masing dibagi tiga, 1 dan 10 mempunyai sisa yang sama kalau masing-masing dibagi tiga, dan seterusnya. Demikian juga, 2, 5, 8 dan 3, 6, 9 akan setara satu sama lain.

Seperti pada relasi biner biasa di atas, maka pada relasi kabur biner

R juga dikenal adanya relasi yang memenuhi sifat refleksif, simetris dan transitif. Relasi kabur biner yang memenuhi sifat tersebut biasa disebut relasi kemiripan. Relasi transitif yang dipakai pada pambahasan relasi kemiripan dalam buku ini adalah relasi transitif bentuk max-min. Konsep relasi transitif bentuk lain dapat dipakai untuk mendefinisikan relasi kemiripan.

Relasi kemiripan dapat membentuk himpunan-himpunan yang elemen-elemennya mirip (similar) satu sama lain pada derajat keanggotaan yang dispesifikasikan. Himpunan yang terbentuk tersebut disebut kelas

kemiripan, yaitu suatu himpunan bagian M dari U sedemikian sehingga

Rμ x y( , ) , x, y M di mana adalah elemen himpunan-tingkat

(level set) dari R . Derajat keanggotaan yang dispesifikasikan tersebut dapat diinterpretasikan sebagai derajat kemiripan antara satu elemen dengan elemen yang lain dalam kelas kemiripan. Jika derajat keanggotaan sama

dengan satu (=1) maka kelas kemiripan menjadi kelas kesetaraan (elemen

yang mirip satu sama lain menjadi setara satu sama lain). Masing-masing M

untuk semua akan membentuk suatu partisi dalam U. Kelas-kelas

Relasi Kabur

111

kemiripan dari suatu relasi kemiripan yang elemennya berhingga pada derajat keanggotaan yang dispesifikasikan dapat direpresentasikan dalam bentuk diagram yang biasa disebut pohon-kemiripan yang mirip dengan suatu dendogram.

Contoh 4.13

Misalkan relasi kabur R pada himpunan U={a, b, c, d, e, f, g} dinyatakan oleh matriks relasional berikut:

R a b c d e f g

a 1 0.8 0 0.4 0 0 0

b 0.8 1 0 0.4 0 0 0

c 0 0 1 0 1 0.9 0.5

d 0.4 0.4 0 1 0 0 0

e 0 0 1 0 1 0.9 0.5

f 0 0 0.9 0 0.9 1 0.5

g 0 0 0.5 0 0.5 0.5 1

Dengan mudah dapat diperiksa bahwa relasi kabur R tersebut di atas adalah

relasi kemiripan pada U. Himpunan tingkat dari R adalah ={0, 0.4, 0.5,

0.8, 0.9, 1}, sehingga diperoleh kelas kemiripan pada derajat keanggotaan , yaitu:

M0 = U

M0.4= {a, b, d}, {c, e, f, g}

M0.5= {a, b}, {d}, {c, e, f, g}

M0.8={a, b}, {d}, {c, e, f}, {g}

M0.9={a}, {b}, {d}, {c, e, f}, {g}

M1={a}, {b}, {d}, {c, e}, {f}, {g}


Relasi kemiripan tersebut dapat direpresentasikan dalam pohon-kemiripan atau dendogram berikut:

Gambar 4.6 Pohon kemiripan untuk relasi kemiripan R

(Contoh 4.13)

Dari Contoh 4.13, terlihat bahwa c, e, f dan g adalah mirip satu sama lain dengan derajat kemiripan 0.5; c, e dan f mirip satu sama lain dengan derajat kemiripan 0.8; c dan e mirip dengan derajat kemiripan sama dengan satu; dan seterusnya.

4.7 Relasi Kedekatan

Pada relasi biner biasa , kita mengenal adanya relasi kecocokan,

yaitu relasi biner yang bersifat refleksif dan simetris. Suatu konsep penting yang berhubungan dengan relasi kecocokan adalah kelas kecocokan. Jika

diberikan suatu relasi kecocokan , maka kelas kecocokan merupakan suatu

himpunan bagian A dari U sedemikian sehingga (x, y) (U, U), x, y A. Suatu kelas kecocokan yang tidak termuat (sejati) dalam kelas kecocokan yang lain disebut kelas kecocokan maksimal. Keluarga yang memuat semua kelas kecocokan maksimal disebut penutup lengkap dari U.

Seperti pada relasi biner biasa, maka pada relasi kabur biner R juga dikenal adanya relasi yang memenuhi sifat refleksif dan simetris. Relasi

Relasi Kabur

113

kabur biner R yang memenuhi sifat tersebut biasa disebut sebagai relasi

kedekatan. Apabila R relasi kedekatan, maka kelas kedekatan didefinisikan

berdasarkan suatu derajat keanggotaan yang dispesifikasikan. Kelas

kedekatan- merupakan suatu himpunan bagian D dari U sedemikian

sehingga R

μ x y( , ) , x, y D di mana adalah elemen himpunan-

tingkat (level set) dari R . Kelas kedekatan- maksimal dan penutup- lengkap merupakan perluasan dari konsep kelas kecocokan maksimal dan

penutup lengkap. Kelas kendekatan- maksimal dan penutup- lengkap berturut-turut akan sama dengan kelas kecocokan dan penutup lengkap pada

=1.

Contoh 4.14

Misalkan relasi kabur R didefinisikan pada U = 9 yang dinyatakan oleh

matriks relasional berikut:

R~

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 0.8 0 0 0 0 0 0 0

2 0.8 1 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 1 1 0.8 0 0 0 0

4 0 0 1 1 0.8 0.7 0.5 0 0

5 0 0 0.8 0.8 1 0.7 0.5 0.7 0

6 0 0 0 0.7 0.7 1 0.4 0 0

7 0 0 0 0.5 0.5 0.4 1 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 1 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Karena matriks di atas simetris dan semua entri pada diagonal utama sama

dengan satu, maka relasi kabur R adalah simetris dan refleksif. Dengan


demikian R adalah suatu relasi kedekatan. Himpunan tingkat dari R adalah

= {0, 0.4, 0.5, 0.7, 0.8, 1}, sehingga diperoleh kelas kedekatan pada masing-masing tingkat:

D0 = N9

D0.4 = {1,2},{3, 4, 5}, {4, 5, 6, 7}, {5, 8}, {9}

D0.5 = {1,2},{3, 4, 5}, {4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {5, 8},{9}

D0.7 = {1,2},{3, 4, 5}, {4, 5, 6}, {7}, {5, 8}, {9}

D0.8 = {1,2},{3, 4, 5}, {6}, {7}, {8}, {9}

D1 = {1}, {2},{3, 4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}

Relasi kedekatan tersebut dapat direpresentasikan dalam pohon kedekatan seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.7. Kelas-kelas kedekatan tersebut tidak

ada yang termuat (sejati) dalam kelas kedekatan yang lain pada tingkat yang sama. Oleh karena itu, kelas-kelas kedekatan tersebut merupakan kelas

kedekatan- maksimal. Jadi {{1,2},{3, 4, 5}, {4, 5, 6, 7}, {5, 8}, {9}} adalah penutup-0.4 lengkap, {{1,2},{3, 4, 5}, {4, 5, 6},{4, 5, 7}, {5, 8}, {9}} adalah penutup-0.5 lengkap dan seterusnya.

Gambar 4.7 Pohon kedekatan untuk relasi kedekatan R (Contoh 4.14).

1 2 3 4 5 4 5 6 7 5 8 9

9

9

9 3 4 5

3 4 5

3 4 5

4 5 6

4 5 6

4 5 7 1 2

1 2

3 4

5 8

5 8 1 2

1 2 5

6

6

7

7

7 8

8

9

=0.4

=0.5

=0.7

=0.8

=1

Relasi Kabur

115

Soal-Soal Latihan

4.1 Berikan suatu contoh fungsi keanggotaan relasi kabur R :=”jauh lebih

kecil dari pada” dalam 1010 dengan menggunakan matriks relasional.

4.2 Relasi kabur R yang didefinisikan dalam U1 U2 U3 U4, di mana U1 = {a, b, c}, U2={s, t}, U3={x, y} dan U4={i, j} adalah sebagai berikut:

1 2 3 4R( , , , )U U U U = {((b, t, y, i), 0.4), ((a, s, x, i), 0.6), ((b, s, y, i), 0.9),

((b, s, y, j), 1), ((a, t, y, i), 0.6), ((c, s, y, i), 0.2)}.

a) Hitunglah proyeksi R pada U1U2U4, U1U2, dan U4

b) Hitunglah perluasan cylindric dari proyeksi dalam (a) ke

U1U2U3U4.

4.3 Misalkan suatu relasi kabur R pada A B didefinisikan dengan menggunakan matriks relasional berikut:

R y1 y2 y3 y4 y5

x1 0.5 0 1 0.9 0.9

x2 1 0.4 0.5 0.3 0.1

x3 0.7 0.8 0 0.2 0.6

x4 0.1 0.3 0.7 1 0

a) Tentukan proyeksi pertama dan proyeksi kedua dari relasi R .

b) Tentukan perluasan cylindric dari proyeksi pertama dan proyeksi

kedua relasi R .

4.4 Carilah (1)

LR dan (2)

LR dalam Contoh 4.8


4.5 Komposisikan dua relasi kabur 1R dan

2R berikut

1R y1 y2 y3 y4

x1 0.3 0 0.7 0.3

x2 0 1 0.2 0

2R z1 z2 z3

y1 1 0 1

y2 0 0.5 0.4

y3 0.7 0.9 0.6

y4 0 0 0

dengan menggunakan komposisi maksimun, komposisi max-hasil kali dan komposisi max-rata-rata.

4.6 Misalkan didefinisikan relasi kedekatan R pada 77 dengan

menggunakan matriks relasional berikut:

R 1 2 3 4 5 6 7

1 1 0 0.8 0 0.6 0.8 0

2 0 1 0 0.6 0 0.5 0

3 0.8 0 1 0.8 0 0 0

4 0 0.6 0.8 1 0 0 0.8

5 0.6 0 0 0 1 0.6 0

6 0.8 0.5 0 0 0.6 1 0

7 0 0 0 0.8 0 0 1

Relasi Kabur

117

Tentukan: a) Pohon kedekatan dari relasi R .

b) Semua penutup- lengkap dari relasi R .

BAB IV Relasi Kabureprints.unm.ac.id/10398/7/BAB IV.pdf · 2018-08-21 · elemen dari dua atau...

Documents

Transcript of BAB IV Relasi Kabureprints.unm.ac.id/10398/7/BAB IV.pdf · 2018-08-21 · elemen dari dua atau...