Bab 2 Fungsi Analitik

8/16/2019 Bab 2 Fungsi Analitik

1/36

Bab 2 Fungsi AnalitikBab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, denganperincian sebagai berikut:(1) Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan(2) Pertemuan II: !imit Fungsi, Kekontiuan, dan "urunan

(#) Pertemuan III: $%arat &auc'% iemann(4) Pertemuan I: Fungsi Analitik dan Fungsi *armonik+i dalam bab ini akan dibicarakan ungsi analitik, suatu konsep %angmemain-kan peranan cukup penting di dalam analisis kompleks .ntuk itu, terlebi'da'ulu disampaikan ungsi /ariabel kompleks, limit ungsi, kontinuitas, danderi-/ati ungsi

21 Fungsi ariabel Kompleks+i dalam kulia' kalkulus tela' disampaikan pengertian ungsi 0isalkan AdanB 'impunan tak kosong elasi dari A ke B disebut ungsi ika untuk setiap3 2 A terdapat dengan tunggal % 2 B se'ingga % (3) +i dalam bagianini, pengertian ungsi akan diperluas untuk domain de5nisi (daera' de5nisi)dankodomain di dalam &+iberikan 'impunan A 5 & Fungsi %ang dide5nisikan pada A adala' suatuaturan %ang memasangkan setiap 6 2 A dengan 7 2 & +alam 'al ini,bilangankompleks 7 disebut nilai ungsi di titik 6, dan ditulis (6) 8adi,7 (6)

*impunan A disebut domain de5nisi (daera' de5nisi) +i dalam ungsi/ariabelkompleks, perlu dibedakan antara pengertian domain dan domain de5nisi+o-main de5nisi suatu ungsi belum tentu merupakan domain Apabila domainde5-2#nisi suatu ungsi tidak disebutkan secara eksplisit, maka disepakati ba'7ase-bagai domain de5nisi adala' 'impunan terbesar se'ingga ungsi terde5nisikan

pada 'impunan tersebut $ebagai conto', apabila (6) 161 , maka domainde5nisi adala' 6 2 & : 6 9 1g $elanutn%a, domain de5nisi ungsi dinotasikan dengan + +iberikan ungsi dan 6 2 + dengan 6 3 i% 0isalkan nilai di 6adala' 7, %aitu(6) 7Apabila 7 u i/, maka dapat dituliskan


2/36

(3 i%) u i/ "entun%a dapat dipa'ami ba'7a tern%ata bilangan real u dan / masing-masingditentukan ole' pasangan /ariabel real (3 %) Atau dengan kata lainu u(3 %) dan / /(3 %)

8adi,(6) u(3 %) i/(3 %) (21)+ari (21) dapat dili'at adan%a keterkaitan antara ungsi /ariabel kompleksdanungsi 2 /ariabel real (3 %) $ecara sama, tentun%a (6) dapat pula dikaitkandengan ungsi 2 peruba' real (r 5), %aitu(6) (r(cos 5 i sin 5)) u(r 5) i/(r 5) (22)&onto' 211 8ika (6) 6 6 i6, maka(6) 23 i;

32 %2

8adi, u(3 %) 23 dan /(3 %) p32 %2&onto' 212 "entukan u(r 5) dan /(r 5) ika diketa'ui (6) 6216 24Pen%elesaian: 8ika 6 r(cos 5 i sin 5), maka(6) (r(cos 5 i sin 5)) (r(cos 5 i sin 5))2 1r(cos 5 i sin 5) (

(r2 cos 25 1) ir2 sin 25 r(cos 5 i sin 5))(cos 5 i sin 5 cos 5 i sin 5 ) i2r sin 5 8adi, u(r 5) < dan /(r 5) 2r sin 5 2Berbeda 'aln%a dengan ungsi /ariabel real %ang bernilai tunggal, makaungsi/ariabel kompleks dapat bernilai tidak tunggal "entun%a 'al ini muda' dipa-

'ami, mengingat (6) 614 bernilai empat untuk setiap < 9 6 2 & !i'at kembaliBagian 1= 8ika n 2 > dan c


3/36

disebut ungsi suku ban%ak (polinomial) berderaat n *asil bagi dua ungsisukuban%ak disebut ungsi peca' rasional

22 Pemetaan?"ransormasi?0appings$eringkali ungsi /ariabel real dan bernilai real disaikan dengan suatu gra5k

padasuatu bidang datar *al ini tidak dapat dilakukan untuk ungsi /ariabelkompleksdengan rumus 7 (6), mengingat 7 dan 6 keduan%a berada di dalambidangdatar (bukan garis) >amun demikian, 7 (6) dapat digambarkan dengancara memasangkan setiap 6 (3 %) dengan suatu titik (6) (u /) .ntuklebi' mempermuda' pen%aian, pada umumn%a diperlukan 2 bidangkompleks,%ang pertama disebut bidang-6 dan %ang kedua dinamakan bidang-7,meskipun

untuk ungsi-ungsi %ang cukup seder'ana dapat digunakan satu bidangkomplekssaa Apabila ungsi disaikan dengan gambar, dengan cara sepertiditerangkandi atas, maka seringkali disebut sebagai pemetaan (mapping) atautransormasi&onto' 221 +iketa'ui (6) 6 56 i656 @ambarkan (!) ika2=(a) ! 6 : 6 1g(b) ! 6 : 6 2gPen%elesaian: Karena (6) 6 56 i656 23 i(32 %2), maka

(6) u(3 %) i/(3 %)denganu(3 %) 23 dan /(3 %) 32 %2(a) le' , titik-titik A(1


4/36

66<

(6) ! ika untuk setiap 6 %ang cukup dekat dengan 6< tetapi 6 9 6< berakibat (6)cukup dekat dengan ! +alam ba'asa matematika, lim66< (6) ! ika untuksetiap bilangan real 5 C < terdapat bilangan 5 C < se'ingga untuk setiap 6 2+ dengan < D 6 6


5/36

+engan mencermati dan mema'ami pengertian limit, maka akan segeradike-ta'ui ba'7a di dalam menunukkan lim66< (6) !, sesunggu'n%a %ang perludiper'atikan 'an%ala' titik-titik 6 %ang cukup dekat dengan 6


6/36

! K ! (3) (3) K 5 (3) ! (3) K D 5 # 5

#D 5 2G%ang artin%a ! K 2$ebagai akibat langsung "eorema 2#4, ika nilai lim66< (6) tidak tunggal,maka lim66< (6) tidak ada$eperti tela' diterangkan dalam kulia' Kalkulus, dalam 'itung limit ungsireal 'an%a ada satu limit kiri dan satu limit kanan *al ini muda' dimengerti,karena persekitaran titik 3< 'an%ala' berupa suatu penggal garis (selang)Aki-batn%a, apabila lim33< (3) tidak ada (dan bukan limit semu), maka untuk

menunukkann%a cukup muda' dan seder'ana, %aitu dengan caramenunukkanlimit kiri tidak sama dengan limit kanan, %ang artin%a nilai lim33< (3) tidaktunggal $ementara, di dalam bidang kompleks persekitaran suatu titik 6<tidaklagi berupa penggal garis, tetapi berupa suatu lingkaran Akibatn%a, konseplimit kiri dan limit kanan menadi tidak seseder'ana konsep tersebut didalamkalkulus ungsi real >amun demikian, berangkat dari konsep limit satu ara',kontraposisi "eorema 2#4 dapat diklari5kasi dengan menggunakanpengertian

limit ungsi sepanang suatu kur/a+iberikan ungsi dengan domain de5nisi + , 6< titik limit + , dan kur/a K %ang melalui 6


7/36

#<Akibat 2#9 8ika ada kur/a K 1K 2 5 + %ang melalui 6< se'inggalim66


8/36

maka apabila (2E) dipenu'i berakibat u(3 %) A D 5 dan /(3 %) B D 5 $elanutn%a, dengan mengingat de5nisi modulus, maka (2E) ekui/alendengan< D

;(3 3


9/36

(32 %2 332 %2 ) i(23% %32 %2 )

$elanutn%a, karenalim(3%)(11)

(32 %2 332 %2 ) 12 danlim(3%)(11)

(23%

%32 %2 ) #2makalim61i

(62 16)

12 i(#2): 2.ntuk mempelaari siat-siat limit lebi' lanut, terlebi' da'ulu akan dibuk-tikan lemma di ba7a' ini!emma 2#1< 8ika lim66< (6) ada, maka terdapat r C < se'ingga (6) ter-batas pada >(6


10/36

8adi, terdapat r C < se'ingga (6) D 1 !untuk setiap 6 2 >(6(6


11/36

lim66< g(6) keduan%a ada, misalkan lim66< (6) ! dan lim66< g(6) K,maka untuk setiap bilangan real 5 C < sebarang terdapat 5 1 5 2 C < se'ingga (6) ! D 5 2(0 1)

untuk setiap 6 2 + dengan < D 6 6


12/36

persekitaran titik 1 ini, selanutn%a dapat dide5nisikan pengertian limit (6)untuk 6 menuu titik tak 'ingga+e5nisi 241 lim61 (6) ! ika untuk setiap bilangan real 5 C < terdapatbilangan 0 C < se'ingga untuk setiap 6 2 + dengan 6 C 0 berakibat (6) ! D 5

#=&onto' 242 "unukkan lim611

6


13/36

6 2 + dengan 7 C 0, %ang artin%a < D 6 D 5, berakibat (7) ! (16

) ! D 5 &onto' 244 (i) lim6161

6i 1 sebablim6<1

6 11

6 i lim6<

1 6

1 i61 <1 < 1#9(ii) lim616261

#62i 1# sebablim

6


14/36

6i 1Bukti: +iberikan bilangan real 0 C berakibat (6) C0#E

$elanutn%a, para pembaca dapat menunukkan teorema di ba7a' inisebagailati'an "eorema 241< lim61 (6) 1 ika dan 'an%a ika lim6<1( 1

6 ) <&onto' 2411 lim61(62 2i) 1 sebablim


15/36

6<

11

62 2i lim6<

621 2i62 <1 < <

2= Fungsi KontinuPada pengertian limit, dapat dili'at meskipun lim66< (6) ada, namun (6


16/36

(211) 8adi, u(3 %) dan /(3 %) keduan%a kontinu di (3


17/36

32%2 , c


18/36

g kontinu di 6< asalkan g(6


19/36

56 dinotasikan d7d6 8adi, selain otasi ini dikenal dengan nama notasi !iebni6&onto' 291 +iberikan ungsi (6) 1

6 +i sebarang titik 6 2 + ,lim 56<

57 56 lim

56<1

656 16

56 lim

56<

56(6 56)656 162 8adi,


20/36

6 < 6 (21=)$edangkan, disepanang kur/a 53


21/36

$elanutn%a, dengan mengikuti langka'-langka' seperti %ang digunakan didalamkalkulus dapat diturunkan rumus-rumus turunan sebagai berikut "eorema 2E1 (i) d(c)d6 < untuk setiap c 2 &

(ii) d(6n)d6 n6n1 untuk setiap n 2 >4# "eorema 2E2 8ika dan g keduan%a mempun%ai turunan di titik 6 dan c 2 &,maka g, c, g, dan g mempun%ai turunan di 6 asalkan untuk %ang terak'irg(6) 9


22/36

)$elanutn%a, dengan menggunakan siat limit maka rumus (iii) terbukti 2Berdasarkan de5nisi turunan dan "eorema 2E2, kiran%a tidak sulit untukmenunukkand(6n)

d6 n6n1 n 2 J&onto' 2E# (a) 8ika (6) p6(62 1) maka


23/36

56 57 5u 5u

56Karena g mempun%ai turunan di 6, maka g kontinu di 6, se'inggalim

56<

g(6 56) g(6)*al ini berarti, apabila 56 < maka berakibat 5u


24/36

b (6) 6p1 62c (6) ;16

16 2 Persamaan &auc'%-iemann+i dalam "eorema 29# tela' disebutkan ba'7a apabila


25/36

diperole'e


26/36

32(1 i) 2%2(i 1)(3 2%)(3 i%).ntuk 6 < di sepanang garis %


27/36

/3(


28/36

dengan 5 1 5 2 < untuk (535%) (


29/36

u%(3 %)


30/36

/33r

/5 /335 (22#)$istem (22#) dan (224) masing-masing memberikan pen%elesaianur u3 cos 5 u% sin 5 u 5 u3r sin 5 u%r cos 5 dan (224)

/r /3 cos 5 /% sin 5 / 5 /3r sin 5 /%r cos 5 (22=)Apabila di titik (3


31/36

turunan partial tingkat pertama pada persekitaran tersebut dan masing-masingkontinu di titik (r


32/36

r2 sin 5)(cos 5 i sin 5) 1r2(cos2 5 sin2 5) i(sin 5 cos 5 cos 5 sin 5)g

1r2 (cos 25 i sin 25) 1(r(cos 5 i sin 5))2 162 : 2!ati'an=#1 "unukkan ba'7a


33/36

"itik di mana suatu ungsi analitik disebut titik analitik ungsi tersebut$edangkan titik 6< di mana ungsi tidak analitik, tetapi di suatu titik di setiappersekitaran 6< analitik, disebut titik singular +ari &onto' 21


34/36

'armonikFungsi dua peruba' *(3 %) %ang dide5nisikan pada suatu domain + 5 &dikatakan 'armonik pada + ika * mempun%ai turunan-turunan partialsampaidengan tingkat dua, masing-masing kontinu pada +, dan memenu'i

2*(3 %)32 2*(3 %)%2 < (2#


35/36

+apat dili'at ba'7a semua turunan partial tersebut kontinu pada bidang-3%danpada bidang tersebut berlaku persamaan dierensial !aplaceu33 u%% < 8adi, u 'armonik pada bidang-3% $elanutn%a, akan ditentukan ungsi / %ang

merupakan seka7an 'armonik u pada bidang-3% Karena (6) u(3 %)i/(3%)analitik di setiap titik 6 3 i%, maka di titik tersebut berlaku persamaan&auc'%-iemann/% u3 1232% 4%# 1 dan (2#2)/3 u% (43# 123%2) (2##)Apabila kedua ruas (2##) diintegralkan relati ter'adap %, maka diperole'/ 932%2 %4 % '(3) (2#4)dengan '(3) ungsi %ang 'an%a memuat /ariabel 3 saa, %aitu konstantarelati ter'adap % $elanutn%a, apabila (2#=) diturunkan relati ter'adap 3 dan

'asil-n%a disamakan dengan (2#4), maka(43# 123%2) 123%2 '


36/36

Bab 2 Fungsi Analitik

Documents

Transcript of Bab 2 Fungsi Analitik