3 - Fungsi Analitik (1)

8/15/2019 3 - Fungsi Analitik (1)

http://slidepdf.com/reader/full/3-fungsi-analitik-1 1/12

FUNGSI ANALITIK



Definisi

◦Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau

atau monogenik) di titik z0 apabila f’(z) ada di sem

titik pada suatu lingkungan z0.



Misal D himpunan (daerah) terbuka, maka :

1. Fungsi () disebut fungsi analitik pada D bila ′() ada

setiap ∈ (atau () berlaku PCR untuk setiap ∈ ).

2. Fungsi () disebut fungsi analitik di = bila () ana

pada lingkungan dari (lingkungan dari adalah lingk

terbuka yang berpusat di dan jari-jari r).

3. Fungsi () disebut entire bila () analitik untuk setiap(atau () berlaku PCR untuk setiap ∈ ).

4. Bila () gagal analitik di = (atau () tidak berlaku

= maka disebut titik singular dari ()



Implikasi antara fungsi Entire, fungsi Anfungsi Differensiabel dan fungsi Kontin

Entire Analtik

DifferensiabelKontinyu



FUNGSI HARMONIK



Definisi

◦Fungsi (,) disebut fungsi harmonik pada suatu

domain bila pada domain tersebut berlaku persam

Laplace, yaitu , , = 0



Contoh 1

Tunjukkan bahwa fungsi , = cos merupakan fharmonik.

Jawab :

= cos = cos

= − sin = − cos

= cos − cos = 0



◦Misalkan , dan (,) harmonik pada D da

berlaku PCR, maka , disebut sekawan (conju

harmonik dari (,) atau sebaliknya.



Contoh 2

Carilah sekawan harmonik dari fungsi , = cos

Jawab :

Mula-mula harus diperiksa bahwa H adalah fungsi harmonikcontoh soal 1 sudah ditunjukkan bahwa H adalah fungsi har

Misal G(x,y) adalah sekawan harmonik dari H(x,y).



Maka harus berlaku PCR, yaitu :

, = (,) dan , = −(,)

= cos = − sin

Dengan menggunakan PCR diperoleh :

, = (,) = cos

Maka :

, =

cos = sin ()



Selanjutnya dicari dengan menggunakan persamaan laiPCR, yaitu , = −(,) .

Mula –

mula dicari turunan parsial H terhadap x, yaitu : , = sin () maka , = sin ′()

Sedangkan , = cos

Maka , = − sin

Jadi − sin = − sin ′() maka = 0 =

Sekawan harmonik dari , adalah , = sin



Latihan

1. Diketahui , = − 2 . Tentukan :

a. Nilai agar , merupakan fungsi harmonik

b. Fungsi , = , (, ) merupakan fungsi ana

2. Carilah fungsi analitik = , , bila ,

3. Tunjukkan bahwa , harmonik dan tentukan sekawa , bila :

a. , = −

b. , =

+

3 - Fungsi Analitik (1)

Documents

Transcript of 3 - Fungsi Analitik (1)