Kinematika 1

Zadatak: Kojom brzinom se giba pješak ako 4 km prije�e za 35 min.

min 35 tkm 4s

==

v = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje: s = v . t � (m/s) 9,16035

104ts

v3

=⋅

⋅==

Zadatak: Kolika je obodna brzina to�ka A koja se giba po kružnici promjera 240 cm s 60 okreta u

minuti?

d = 240 cm � r = d/2 = 120 cm = 1,20 m

n = 60 o/min � (1/s) 260

60260

n2 π=⋅π=⋅π=ω

vA = ?

(m/s) 54,7220,1rvrv

A =π⋅=ω⋅=ω⋅=

Zadatak: Po kružnici promjera 12 m giba se to�ka M obodnom brzinom 6 m/s. Koliko iznosi broj

okreta to�ke u minuti?

d = 12 m � r = d/2 = 6 m v = 6 m/s n = ?

okret/min. 6,92

160

260

n

(1/s) 166

rv

rv

260

n 60

n2

=π⋅=

πω⋅=

===ω�ω⋅=

πω⋅=�

⋅π=ω

Kinematika 2

Zadatak: Satelit se giba oko Zemlje jednoliko konstantnom brzinom od 8 km/s. Vrijeme jednog obilaska oko Zemlje iznosi 1h i 36 min. Uz pretpostavku da je putanja satelita kružnica i polumjer Zemlje 6370 km odredite visinu iznad površine Zemlje po kojoj se giba satelit.

km 968 h 6370-7338r - R h

km 7338 257608

2tv

R

tvR2stvs :gibanje kružno Jednoliko

r - R h hrR?h

km 6370rs 5760603636001min 36 ih 1t

s/km 8v

===

=π

⋅=π⋅=

⋅=π=⋅=

=�+===

=⋅+⋅===

Zadatak: Satelit se giba oko Zemlje jednoliko konstantnom brzinom od 8 km/s. Vrijeme jednog

obilaska oko Zemlje iznosi 1h i 36 min. Pretpostavljamo da je putanja satelita kružnica i polumjer Zemlje 6370 km. Koliko je puta kutna brzina satelit ve�a od kutne brzine Zemlje pri njenom okretanju oko vlastite osi.

15:5760

8640086400

2:

57602

:

s 000072685,086400

2601440

12

60n2

: Zemljebrzina Kutna

min.okr

1440

1n min 14406024h 42 :osi vlastitekoo emljaZ

s 00109,057602

60961

2

60n2

:satelita brzina Kutna

60n2

tt :gibanje kružno (Jednoliko

min.okr

961

nmin 9636601min 36 i h 1 :obilazakjedan Satelit

Zs

Zs

1-ZZ

Z

1-ss

s

=ωω

=ππ=ωω

=π=⋅π

=⋅π=ω

=�=⋅=

=π=⋅π

=⋅π

=ω

⋅π=ϕ=ω�⋅ω=ϕ

=�=+⋅=

Kinematika 3

Zadatak: Satelit se giba oko Zemlje na visini od 968 km jednoliko konstantnom brzinom od 8 km/s. Vrijeme jednog obilaska oko Zemlje iznosi 1h i 36 min. Uz pretpostavku da je putanja satelita kružnica i polumjer Zemlje 6370 km odredite ubrzanje satelita.

2222

n

t

2n

2t

m/s 72,8km/s 00872,073388

Rv

a

0a :gibanje kružno Jednoliko

aaa

?akm 73389686370hrR

km/s 8v

====

=+=

==+=+=

=

Ili preko kutne brzine:

22

32n

t

2n

2t

1-ss

s

m/s 72,857602

107338Ra

0a :gibanje kružno Jednoliko

aaa

s 00109,057602

60961

2

60n2

:satelita brzina Kutna

min.okr

961

nmin 9636601min 36 i h 1

=��

���

� π⋅⋅=ω⋅=

=+=

=π=⋅π

=⋅π

=ω

=�=+⋅=

Zadatak: Na slici je zadan s-t dijagram. Nacrtajte

v-t i a-t dijagrame i ozna�ite o kakvim se gibanjima radi.

I. t0 = 0 s0 =0

t1 = 4 s s1 =100 m Jednoliko gibanje: s = v . t

m/s 254

100ts

ttss

v01

01.sr I ==

∆∆=

−−

=

II. t1 = 4 s s1 =100 m t2 = 10 s s2 =100 m

stajanje m/s 060

ts

ttss

v12

12.sr II ==

∆∆=

−−

=

II. t2 = 10 s s2 = 100 m

t3 = 15 s s3 = 0

smjeru suprotnomu gibanje jednoliko

m/s 2051000

ts

ttss

v23

23.sr III −=−=

∆∆=

−−

=

Brzine su konstante što zna�i da nema ubrzanja (a = 0) Na

Kinematika 4

Zadatak: Dva automobila gibaju se jednoliko po

pravcu brzinama od 80 km/h i 50 km/h. Oba automobila po�inju se gibati istovremeno s tim da razmak izme�u prvog i drugog automobila iznosi 2 km. Odredite vrijeme T kada �e prvi automobil susti�i drugi.

v1 = 80 km/h v2 = 50 km/h � s0 = 2 km T = ? Jednoliko pravocrtno gibanje:

( )

( ) ( ) [ ]

s 2403600151

T

h 151

5080

2vv

st

stvv

tvstv tvss

ss tvs

21

0

021

201202

2111

=⋅=

=−

=−

=

=⋅−

⋅+=⋅⋅+==⋅=

Zadatak: �ovjek baci željeznu kuglicu A u bunar. Nakon 1 s baci i drugu kuglicu B ali ovaj pata s po�etnom brzinom od 15 m/s prema dole. a) Koliko �e vremena trebati drugoj kuglici (ra�unaju�i od

trenutka kada je ba�ena) da sustigne prvu? b) Na kojoj �e se udaljenosti od polazne to�ke to dogoditi

(pravac gibanja orijentirati prema dole)?

Kuglica B

( ) ( )( )

( ) m 43,1894,1g21

s1tg21

ss isto

m 43,1894,09,494.015t9,4t15ss b)

s 94,0 t m/s 9,8g

4,9t 5,2 :pad Slobodni1t2t9,4t9,4t15 ? s )b

1t2t8,921

1tg21

s :A Kuglica ?t )a

t9,4t15tg21

tvs :B Kuglica m/s) 15vv

ss a) s 1tt

2A

2A

22B

2

22

22A

220B)B(00

AB)B(

=⋅==+⋅==

=⋅+⋅=⋅+⋅==

==

=⋅++⋅=⋅+⋅=

++⋅=+⋅==

⋅+⋅=⋅+⋅===

===

1 2

Kinematika 5

Zadatak: Olovna kuglica slobodno pada i projuri pokraj prvog promatra�a koji se nalazi na tornju na visini od 300 m iznad tla. Nakon dvije sekunde projuri pokraj drugog promatra�a koji se nalazi na visini od 200 m iznad tla vertikalno ispod prvog promatra�a. Otpor zraka zanemarujemo. Odredite: a) s koje je visine kuglica po�ela padati b) kada �e pasti na tlo c) kojom �e brzinom kuglica udariti na tlo (g = 9,8 m/s2).

? vc)? t b)

h300 Hs ?H )a m 100200300h

s 2ttt

1

12

==

+====−=∆

=−=∆

( )g2v v

g2tgttgv v

tgv

tg v.1

12

1212

22

11

⋅=−⋅=∆⋅=−⋅=−

⋅=⋅=

100v v

2 2

vv100

2vv

v tvsh .2

21

21

21.sr.sr

=+

⋅+=

+=∆⋅=∆=∆

m/s 57,8645,8239,82H2g v:Brzina c)

s 83,89,8

45,3822gH2

gs2

T :pada vrijeme Ukupno )b

m 45,38245,82300h 300Hs :pada visina Ukupnaa)

m/s 45,82g22,40

g2v

h hg2 v

m/s 2,40v100 v

m/s 8,59 v

6,119v2

100v v2 .ad

6,19g2v v1 .ad

1

221

111

21

2

2

21

12

=⋅⋅=⋅=

=⋅=⋅=⋅=

=+=+==

===�⋅=

=−=

==⋅

=+=⋅=−

gs2

t tg21

s

tg v:pad Slobodni

2 =�⋅=

⋅=

Kinematika 6

Zadatak: To�ka A na obodu kota�a giba se brzinom od 2 m/s, dok se to�ka B, koja je udaljena od to�ke A 20 cm, giba brzinom od 0,5 m/s. a) Koliko iznosi promjer kota�a? b) Kojom kutnom brzinom rotira kota�? vA = 2 (m/s) vB = 0,5 (m/s) AB = 20 cm � 0,20 m a) d = ? b) ω = ?

a)

( )( )

( )

m 0,54 2r d

m 27,05,02

20,02vv20,0v

r

20,0vvvr

rv20,0v rv

rv20,0rv

20,0r:rv:v

BA

A

ABA

BAA

BA

BA

==

=−⋅=

−⋅

=

⋅=−⋅⋅=⋅−⋅

⋅=−⋅−=

b) (1/s) 5,7

27,02

rv

rv

A

A

===ω

⋅ω=

Zadatak: Odredite koju je po�etnu brzinu imao automobil ako se pri jednolikom promjenljivom gibanju duž kružnice polumjera 100 m, njegova brzina smanjila na 18 km/h, a ubrzanje do 0,8 m/s2 za vrijeme od 40 sekundi.

?vs 40tm/s 0,8a

m/s 53600

1018 h/km 18v

m 100r

0

2

3

1

===

=⋅�=

=

s/m 4,35 v

s/m 4,354076,05tavv tavv v1 ad.

m/s 0,7625,08,0 aa a 2 .ad

m/s 25,01005

rv

a 3 ad.

rv

a 3.

aaa 2.

tav v1. :gibanje usporeno Jednoliko

0

t10t01

2222n

2t

222

n

2

n

2n

2t

t0

==⋅+=⋅+=�⋅−==

=−=−=

===

=

+=

⋅−=

Kinematika 7

Zadatak: Po zavoju polumjera 1000 m giba se vlak jednoliko usporeno. Njegova brzina u po�etku

gibanja po zavoju iznosila je 54 km/h. Nakon što je vlak prošao put od 500 m brzina mu se je smanjila na 36 km/h. Odredite ubrzanje vlaka: a) na po�etku gibanja b) na kraju gibanja.

?a

m/s 103600

1036v h/km 36v

m 500s

m/s 153600

1054v h/km 54v

m 1000r

3

11

3

00

=

=⋅=�=

=

=⋅=�=

=

Jednoliko usporeno gibanje: tavv .2

ta21

tvss .1

t0

2t00

⋅−=

⋅−⋅+=

3. Ukupno ubrzanje: r

va aaa

2

n2n

2t =+=

1. Tangencijalno „ubrzanje“ - retardacija:

2t

2

tt

2t

m/s 125,0405

t5

a s 40 t

500t 12,5

tt5

21

-t15500 1 .ad

t5

t1015

a ta-15 10 2 .ad

ta21

-t 150500 1 .ad

===�=

=⋅

⋅⋅=

=−=�⋅=

⋅⋅+=

Tangencijalno usporavanje – retardacija at = 0,125 m/s2 jer se radi o jednoliko usporenom gibanju je konstantno.

2. Normalno ubrzanje:

a) na po�etku gibanja 222

0)0(n m/s 225,0

100015

rv

a ===

b) na kraju gibanja 222

1)1(n m/s 100,0

100010

rv

a ===

a) Ukupno ubrzanje na po�etku gibanja:

2222)0(n

2t m/s 0,258225,0125,0aaa =+=+=

b) Ukupno ubrzanje na kraju gibanja: 2222)1(n

2t m/s 0,16100,0125,0aaa =+=+=

0s 0t za 0 ==−

Kinematika 8

Zadatak: Treba odrediti jednadžbu gibanja to�ke A i njezinu putanju. To�ka A nalazi se štapu BC, �iji se krajevi mogu gibati u pravcima dviju me�usobno okomitih osi x i y. Kut ϕ mijenja proporcionalno vremenu t.

t3 ⋅=ϕ

a) Zakon gibanja: x = f1(t); y = f2 (t) �? b) Putanja: y = f(x) �?

t3sinby t3cosa x

t3sinb sinBAy

t3cosacosCA x

gibanja Zakon )a

⋅=⋅=

⋅=ϕ⋅=

⋅=ϕ⋅=

b) Putanja – eliminiranje parametra t

1by

ax

/ t3sinby

/ t3cosax

t3sinby t3cosa x

2

2

2

2

2

2

=+

+=

=

⋅=⋅=

Putanja to�ke A je elipsa s poluosima a i b. Promjenom položaja to�ke A na štapu BC mijenja se i oblik elipse.

Kinematika 9

Zadatak: Gibanje to�ke zadano je jednadžbama: (m) t3sin2y(m) t3cos4x

⋅=⋅=

.

a) Nacrtajte putanju to�ke A. b) Odredite ubrzanje to�aka A1 i A2 koje se nalaze na pozitivnim odsje�cima koordinatnih osi x i y.

a) Putanja - eliminiranje parametra t

m 2b m 4a :elipse poluosi

1by

ax

: elipsa 14

y16x

t3sint3cos4

y16x

/t3sin2y

/t3cos4x

t3sin2yt3cos4x

2

2

2

222

2222

2

2

==

=+=+

+=+

+=

=

⋅=⋅=

b) Ubrzanje 2y

2x aaa +=

( )

( )

t3sin18a t3cos36a

t3sin36 ydt

yda t3osc312 x

dtxd

a

t3osc32 ydtdy

v 3tsin -34 xdtdx

v

t3sin2y t3cos4x

yx

2

2

y2

2

x

yx

−=−=

−⋅⋅===⋅⋅−===

⋅⋅===⋅⋅===

⋅=⋅=

••••

••

To�ka A1 – na pozitivnoj strani osi x

[ ]

)(m/s 36aaa 0a

)(m/s 36a

)0;4(A 4x t3cos4x 0t 0 t3sin 0y t3sin2y

22y

2x11,y

21,x

1

=+==

−=

=�⋅===�=⋅=

To�ka A2 – na pozitivnoj strani osi y

[ ]

)(m/s 18aaa )(m/s 18a

0a

)2;0(A 2y t3sin2y 2/3t 2/3t 0 t3cos 0x t3cos4x

22y

2x2

22,y

2,x

1

=+=−=

==�⋅=

π=π==�=⋅=

c) Odredite ubrzanje to�aka A3 i A4 koje se nalaze na negativnim odsje�cima koordinatnih osi x i y (doma�a

zada�a).

Kinematika 10

Zadatak: Jednadžbom: ��

���

� π+⋅=6

tsin3x zadano je gibanje materijalne to�ke. Izra�unajte amplitudu i

period osciliranja te nacrtajte dijagrame puta, brzine i ubrzanja u zavisnosti o vremenu.

��

���

� π+⋅−===π=ωπ==ω=

��

���

� π+⋅==��

���

� π+⋅=

⋅⋅⋅

⋅

6tsin3xva 2

2T 1 3r

6tcos3xv

6tsin3x

t 0 2�/6 5�/6 8�/6 11�/6 12�/6 t+�/6 �/6 3�/6 6�/6 9�/6 12�/6 13�/6

sin(t+�/6) 1/2 1 0 -1 0 1/2 x = 3 sin(t+�/6) 3/2 3 0 -3 0 3/2

cos(t+�/6) 2/3 0 -1 0 1 2/3 v = 3 cos(t+�/6) 2/33 0 -3 0 3 2/33 a = - 3sin(t+�/6) -3/2 -3 0 3 0 -3/2

Kinematika 11

Zadatak: Bubanj promjera D = 400 mm uvodi

se u rotaciju pomo�u tereta obješenog na užetu preba�enom oko bubnja. Teret se po�inje gibati bez po�etne brzine, s ubrzanjem a = 2 m/s2. Treba odrediti:

a) Kutnu brzinu i kutno ubrzanje bubnja (ω = ?, ε = ?) b) Ukupno ubrzanje to�ke na obodu bubnja u trenutku t.

a)

I. Teret a = 2 m/s2 jednoliko ubrzano gibanje - spuštanje v0 = 0 v = v0 + a . t v = 2 . t (m/s)

II. Bubanj D = 400 mm = 0,40 m � r = D/2 = 0,20 m

ω0 = 0

(rad/s) t100,20

t2rv

rv ⋅=⋅==ω�ω⋅=

Pri jednolikom spuštanju tereta bubanj �e se gibati jednoliko ubrzano ε = konst. ; ε > 0

)(rad/s 10

tt10

t t

t

2

0

=⋅=ω=ε�⋅ε=ω

⋅ε+ω=ω

Kinematika 12

b)

( )

( )

( ) 22

22n

t

442

242

222

nt

2n

2t

t101

t10

10tg

rr

aa

tg

1t1002t101020,0a

)(rad/s 10 )(rad/s t10 ra

rr

rr

va ra

aaa

⋅=

⋅=α

ωε=

ω⋅ε⋅==α

+⋅=⋅+=

=ε⋅=ωω+ε=

��

�

�

��

�

�ω⋅=ω⋅==ε⋅=

+=

Zadatak: Kolotura se okre�e 120 okr./min. Ako

brzina užeta iznosi 30 m/s. 0dredite promjer koloture? n = 120 okr./min. v = 30 m/s d = ? � d = 2 . r

m 4,78r2d

m 39,2430v

r

(rad/s) 460

120260

n2

vr rv

=⋅=

=π

=ω

=

π=⋅π=⋅π=ω

ω=�ω⋅=

Zadatak: Izra�unajte ubrzanje materijalne to�ke koja se giba po kružnici radijusa 1000 m brzinom

od 90 km/h. v = 90 km/h = 25 m/s r = 1000 m a = ?

222

n

t

2n

2t

m/s 625,0100025

rv

a a

konst. v0a

aaa

====

==

+=

Kinematika 13

Zadatak: Materijalna to�ka giba se po kružnici radijusa r = 1000 m ubrzavaju�i se u tangencijalnom smjeru ubrzanjem od 1 m/s2. Izra�unajte ukupno ubrzanje to�ke u trenutku kada brzina iznosi 90 km/h.

r = 1000m v = 90 km/h = 25 m/s at = 1 m/s2 a = ?

2222n

2t

222

n

2n

2t

m/s 18,1625,01aaa

m/s 625,0100025

rv

a

aaa

=+=+=

===

+=

Zadatak: Koliko je vremena potrebno da brzina od 90 km/h poraste na 120 km/h iz prethodnog

zadatka. v1 = 90 km/h = 25 m/s

v2 = 120 km/h = 33,3 m/s r = 1000m at = 1 m/s2 ∆ t = ? Jednoliko ubrzano gibanje: v = a . t

s 33,81

253,33a

vva

vt tav

t

12

tt =−=

−=∆=∆�∆⋅=∆