2 - Kinematika
-
Upload
danijela-duh -
Category
Documents
-
view
308 -
download
4
Transcript of 2 - Kinematika
1
11Jean Bernard Leon Foucault
(1819-1868)
FIZIKA I semestar 2010/11.
12 KINEMATIKA
2
MEHANIKA
KINEMATIKA STATIKA
DINAMIKA
osnovna
osnovna Složena gibanja
2
3
S obzirom na način proučavanja gibanja tijela, razlikujemo slijedeća područja ispitivanja u mehanici:
KINEMATIKA
DINAMIKA
STATIKA
MEHANIKA je dio fizike koji proučava zakone gibanja, te se primjenjuje na sisteme:
materijalne točkesustave materijalnih točakakruta tijelafluide (tekućine i plinovi)
4
KINEMATIKA: je dio fizike koji proučava gibanja, bez obzira na uzroke gibanja (sile) i svojstva tijela koja se gibaju (masa, gustoća, temperatura).
DINAMIKA: proučava uzroke gibanja tijela; utjecaj sile i mase na gibanja, te objašnjava fizikalnu bit gibanja.
STATIKA (poseban slučaj dinamike): proučava uvjete ravnoteže tijela, uz poznavanje uzroka gibanja.
KINEMATIKA…..
U ovom dijelu opisat ćemo karakteristike i najvažnije matematičke relacije (jednadžbe) osnovnih i sastavljenih gibanja.
Moramo naglasiti: tijelo koje promatramo je materijalna točka,koja je definirana kao tijelo čije se dimenzije zanemaruju tokom gibanja.
3
5
Još o materijalnoj točki u kinematici….
- zanemarujemo veličinu- zanemarujemo masu- zanemarujemo strukturu
- potrebno je poznavanje položaja u toku vremena, ilipoznavanje promjene položaja ovisne o vremenu.
položaj točkeodređujemo u odabranomkoordinatnom sustavu
točka tokom vremena opisuje krivulju (putanju)
Put…?Pomak…?
6
Gibanje:promjena međusobnog položaja dva tijela
Materijalna točka
4
7
KINEMATIKA MATERIJALNE TOČKE
• Tijelo se giba ako mijenja položaj prema nekom drugom tijelu (okolini), odnosno prema odabranom koordinatnom sustavu; referentnom sustavu. Gibanje je vremenska promjena položaja tijela u odnosu na referentni sustav.
• Svako gibanje je relativno gibanje prema određenom referentnom sustavu.
• Mirovanje je poseban oblik gibanja. Tijelo miruje ako ima nepromijenjene koordinate s obzirom na odabrani referentni sustav tokom vremena.
• U svemiru nema točke koja apsolutno miruje; gibanje je relativno.
8
Referentni sustav: Položaj tijela određen je odabranim referentnim sustavom
• x,y,z
• r r(t)
Opis gibanja materijalne točke:
VRIJEME 0 1 2 4
POLOŽAJ 5 7 9 13
t
x
x(t) = 3 t + 2Tablični
Algebarski
Grafički
5
9
Položaj tijela u koordinatnom sustavu
… u 1D koordinatnomsustavu
… u 2 D koordinatnomsustavu
10
Pomak i put
21
211
2 xxxxxl
−=
−+=Δ
1D:
2D:
Slika: promjena položaja lopte je manja u odnosu na pređeni put
6
11
Udaljenost može biti (ne nužno) jednaka veličini pomaka, te se odnos može prikazati relacijom:
Put, razlika puta, udaljenost; Δl, skalar
Pomak, razlika položaja, vektor,
Pomak i put…nastavak
xrΔ
xrΔΔl ≥
12
x
x2
x1
tt1 t2 vrijeme
polo
žaj
Δx
A
B
Δt
0
Položaj A određen u odnosu na “0”
Pređeni put, Δs, Δ l,od A→B (crvena linija)
pomak; promjena položaja (x2-x1)
Putanja; crvena linija
Važno: promjena položaja je vektor:
Važno: pređeni put je skalar:
Uz
defin
icije
:po
loža
ja, p
uta
i pom
aka
xrΔ
lΔ
7
13
Veličine koje opisuju gibanje
• PUTANJA– PRAVAC, KRIVULJA, KRUŽNICA
• BRZINA– KONSTANTNA, PROMJENLJIVA
• AKCELERACIJA– KONSTANTNA, PROMJENLJIVA
14
PUTANJA je skup položaja kojima prolazi materijalna točka
r(t)
r(t+Δt
)
Δr
Vektor pomaka:
Δr = r(t+Δt) - r(t)
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
8
15
BRZINA I AKCELERACIJASREDNJA BRZINA, promjena položaja u nekom vremenskom intervalu; vektor)…engl. velocity
PRAVA BRZINA - BRZINA
AKCELERACIJA - UBRZANJE
trtvΔΔ
=r
r )(
tltv
ΔΔ
=)(SREDNJA BRZINA, promjena pređenog puta u nekom vremenskom intervalu; skalar…engl. speed
dtrdtvr
r=)(
dtvdtar
r=)(
16
Da bismo definirali potpuno određena gibanja,
OSNOVNA GIBANJAiSLOŽENA GIBANJA
moramo ponoviti nastavni sadržaj o promjenama fizikalnih veličina (funkcija) ovisnih o vremenu koji nam je potreban za razumijevanje procesa u kinematici.
9
17
OPĆI PRIKAZ PROMJENE neke funkcije
na pr:
put = f (vremena) gustoća = f (visine) volumen = f (temperature)…ili općenito X = f (t), X (t)
t
x(t)
t0 tk
x(t0)
x(tk)
ΔtΔx
Δt = tk-t0
Promjena nezavisne varijable
Promjena zavisne varijable
Δx(t) = x(tk) – x(t0)
Promatramo promjenu funkcije X(t) u vremenskom razmaku Δt, od vremena t0 do tk
18
PROMJENE…nastavak
t0 → tk , ΔX(t) = ?
ΔX(t) = X(tk) – X(t0) = a tk – a t0
= a (tk – t0)
ΔX(t) = a Δt
X(t) = a tkonstanta
Ako je funkcija X(t) linearna s vremenom, kakva je promjena te funkcije, ΔX(t) ?
promjenu možemo naći:
t
x(t)
t0 tk
x(t0)
x(tk)
ΔtΔx
→ promjena funkcije je proporcionalnapromjeni nezavisne varijable; faktor proporcionalnosti je konstanta a
10
19
PROMJENE…nastavak
t0 → tk , ΔX(t) = ?
ΔX(t) = X(tk) – X(t0) = K(tk2 –t0
2) = K[(t0+Δt)2 – t0
2]=K [t02+2t0Δt+ Δt2-t0
2 ]= K[2t0 Δt+ Δt2 ]
X(t) = K t2konstanta
Ako funkcija X(t) raste s kvadratom vremena, kakva je promjena te funkcije, ΔX(t) ?
promjenu možemo naći:
→ promjena funkcije je kompleksnija nego za linearnu funkciju; ovaj oblik će nam koristiti za definiciju brzine promjene … u nastavku
t
x
20
BRZINA PROMJENE…je promjena funkcije, ΔX, promatrana u određenom intervalu vremena, Δt
Ovisno o veličini promatranog vremenskog intervala, Δt, u kojem pratimo promjenu funkcije, definiramo različite brzine:
1. SREDNJA BRZINA, ΔX/Δt
2. PRAVA BRZINA, ili BRZINA u nekoj točki, dx/dt
11
21
Napomena: SREDNJA BRZINA OVISI O INTERVALU Δt
1. SREDNJA BRZINA, ΔX/Δt definirana je promjenom funkcije u nekom promatranom, konačnom vremenskom intervalu Δt ok
k
ttxx
tx
−−
=ΔΔ 0
Srednje brzine iz grafa:
1-3s
3-5s 5,123
=ΔΔ
=ΔΔ
tx
tx
5,021
=ΔΔ
=ΔΔ
tx
tx
x
t0 1
x0
xk
tkt0
ali..x(t) – linearna funkcija (pravac): Δx/Δt ne ovisi o intervalu Δt
22
2. PRAVA BRZINA; trenutna brzina, brzina u jednoj točki, brzina
Brzina promjene R(t) u vrijednosti t0 funkcije X(t) jednaka je omjeru Δx/Δt kada je promjena Δt dovoljno mala (Δt →0)
Za dovoljno male promjene:
Δt → dt Δx → dx
Δt
Δx
t
x
t0
dttdx
ttxttxtR
t
)()()(lim)( 00
0=
Δ−Δ+
=→Δ
dttdxtR )()( =
Dakle, prava brzina je derivacije funkcije po vremenu:
12
23
ΔxΔt
x tp( ) x t0( )−
tp t0−:=
ΔxΔt
C C−Δt
:=
x(t) = C
Za x(t) = C dx/dt = 0
t
xx(t) = ax+b
x
t
ΔxΔt
a tp⋅ b+( ) a t0⋅ b+( )−
tp t0−:=
ΔxΔt
a Δt⋅Δt
:=ΔxΔt
a:=
Za x(t) = a x + b dx/dt = a
BRZINA PROMJENE za neke funkcije
24
x(t) = K t2
Brzina promjene u točki t0:
Δt tp t0−:= Δx K tp2⋅ K t0
2⋅−:=
tp t0 Δt+:=Δx K tp2 t0
2−( ):=
Δx K t0 Δt+( )2 t02−⎡
⎣⎤⎦:=
Δx K 2 t0⋅ Δt⋅ Δt( )2+⎡
⎣⎤⎦⋅:=
ΔxΔt
K 2t0 Δt+( )⋅:=
dxdt
t0( ) 2 K⋅ t0⋅:=
t
dx/dt
X(t) = K tn dx/dt = n K x n-1
Općenito, derivacija potencije :
13
25
OSNOVNA GIBANJA; pravocrtna: - jednoliko pravocrtno gibanje; v = konst- jednoliko ubrzano gibanje; a = konst
SLOŽENA GIBANJA; sastoje se od dva (ili više) osnovnih gibanja u određenom međusobnom odnosu, te se događaju se istovremeno:
- HICI: vertikalni, horizontalni, kosi- kružno gibanje
26
Vrste pravocrtnih gibanja
linearna funkcija od vremena –
jednoliko ubrzano gibanje
v(t) v(t)
Kod pravocrtnih gibanja često izostavljamo znak vektora budući da su sve kinematičke veličine u jednom pravcu…..
iznos brzine:
v(t) = v(t) v0(t)
smjer brzine - konstantan
promjenljiv – nejednoliko gibanje
konstantan –jednoliko gibanje
14
27
Gibanje duž pravca
v0(t) = konst PRAVOCRTNO GIBANJE
v(t) = v(t) v0(t)
iznos brzine smjer brzine
28
Osnovna gibanja
15
29
1. JEDNOLIKO GIBANJE DUŽ PRAVCA
Jednoliko gibanje duž pravca je takvo gibanje, kod kojeg je promjena puta u odabranoj jedinici vremena, pa i najmanjoj, uvijek konstantna (nepromijenjena); brzina je konstantna veličina tokom promatranog procesa gibanja, srednja i prava brzina imaju istu vrijednost.
konstvvvpr ===prava brzina srednja brzina
pk
pk
ttss
tsv
−
−=
ΔΔ
=dtds
tsv
tpr =ΔΔ
=→Δ 0
lim
Uz početne uvjete: sp = s0 i tp = 0 dobivamo kinematičke izraze za vremensku ovisnost brzine i položaja tijela (u ovom slučaju i puta):
tvstskonsttv
⋅+==
0)()(
30
Ovisnost puta o vremenu, x= f(t), i definicija brzine;uz definiciju brzine
16
31
Jednoliko gibanje duž pravca…nastavak
s(t)
t
s0
v(t)
t
v
pređeni put
Δt
Δs
tgα = v
0t1 x1
x
t2 x2
Prisjetimo se: položaj tijela je uvijek određen u odnosu na koordinatni sustav. Ako se tijelo tokom procesa gibanja kreće duž pozitivnog smjera pravca, x, tada je promjena položaja pozitivna, a apsolutna vrijednosti promjene položaja i pređenog puta su iste veličine; |Δr| =Δs
32
Jednoliko gibanje duž pravca..grafički prikaz
v – t dijagram
a – t dijagram
t
t
t
x
v
a
Vraste
x – t dijagram
s = v t
a dvdt
:= = 0
17
33
0 10 20 30 40 50 60 70 80-5
0
5
10
15
20
x(t),
m
t, s
I
II
III
I: v1 = 15/10 = 1,5 m/s
s1 = 15 m
II: v2 = 0 m/ss2 = 0 m
III: v3 = (5-15)/30 = -1/3 m/s
s3 = 5-15 =-10 m
JEDNOLIKO GIBANJE DUŽ PRAVCADijagram x(t) = f(t)…linearna funkcija od vremena, promatramo gibanje u intervalima I, II i III.
pređeni put:suk = sI+sII+sIII
= 15 +0 + |-10 | = 25m
pomak:Δr = rkonačno – rpočetno = 5 m
34
JEDNOLIKO GIBANJE DUŽ PRAVCADijagram v(t) = f(t)…konstanta tokom vremena, promatramo brzine u intervalima I, II i III.
0 10 20 30 40 50 60 70 80-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
brzi
na, v
(m/s
)
vrijeme, t(s)
v1
v2
v3
18
35
1. 12. Tijelo se giba brzinom od 50 km/h. za koje će vrijeme prevaliti put od 100 m.
R: t = 7,2 s
2. 12. Jeka od stijene se čuje za 2,5 sekundi. Koliko je stijena udaljena ako je brzina zvuka 340 m/s.
R: Vrijeme povratka jeke (zvuka) odgovara dvostrukoj udaljenosti stijene od čovjeka; zato za vrijeme uzimamo pola od zadanog vremena. Udaljenost stijene je d=425 m
ZADACI, jednoliko gibanje duž pravca
3. 12. Brzina pješaka je 100 koraka u minuti. Ako je dužina koraka 0,0007 km kolika je brzina pješaka u m/s i km /h.
R: vpj = 7/6 m/s =4,2 m/s
36
5. 12. Nacrtaj s-t i v-t dijagrame jednolikog gibanja sa brzinama 72 km/h i 10 m/s za prvih pola sata u razmaku od 10 min.
R: v1=20 m/s, v2=10 m/s; koristiti znanje o dijagramima jednolikog gibanja duž pravca. …v-t dijagrami će biti pravci paralelni sa vremenskom osi (os x), budući da je brzina konstantna
…s-t dijagrami bit će pravci određenih nagiba u odnosu na vremensku os (nagib ovisi o brzini), kojima je početna točka u ishodištu koordinatnog sustava
4. 12. Kolika je srednja brzina gibanja zemlje oko sunca. Udaljenost zemlje od sunca je RZS= 1,507 x 108 km, a jedna godina ima 365,25 dana.
v = Δs/Δt = 2Rπ/1 god = 1,08⋅105 km/h = 108.000 km/h
19
37
6. 12. Koliko vremena vlak opterećuje most dužine dm= 100m. Brzina vlaka je 72 km/h, a dužina vlaka je dv= 90 m.
sv
ddtR vm
uk 5,9: =+
=
dvlaka / zadnji dio vlaka, točka B, prelazi most
AA
B
A BB
MOST
dmosta / prednji dio vlaka, točka A, prelazi most
VLAK
duk = dm + dv
38
7. 12. Iz s-t dijagrama opisanog tablicom odredi v-t dijagram.
t(h) 0 0,3 0,5 1
s(km) 0 30 30 50
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
0
10
20
30
40
50
put,
s (km
)
vrijeme, t (h)
Uz razumijevanje s-t dijagrama izradite v-t dijagram.
20
39
9. 12. Automobil prevaljuje put od 200 km tako da prvih 100 km vozi brzinom 100 km/h, a drugih 100 km brzinom od 50 km/h. Odredi srednju brzinu automobila.
hkmtt
stsvR uk
uk
uk /7,663
20021
200:21
==+
=+
==
8. 12. Za koliko se sati napuni rezervoar volumena 314 m3
vodom koja utječe kroz cijev promjera 100 mm brzinom 4 m/s.
R: Čitavi volumen vode mora proteći kroz cijev oblika valjka čija baza je poznata a visinu (duljina valjka) dobijemo iz baze ivolumena. Duljina valjka se ostvaruje poznatom brzinom u nepoznatom vremenu. t = 2,78 h = 2 h 47´.
Ispravak: t = 2,20 h = 2 h 13´
40
10. 12. U vagonu, koji se giba jednolikom brzinom od 72 km/h, kreće se čovjek sa konstantnom brzinom od 2,5 m/s pod kutom od 300 u odnosu na smjer gibanja vagona. Odredi brzinu čovjeka u odnosu na zemlju.
R: U zadatku se zbrajaju vektori brzine vlaka i brzine čovjeka, koji su pod kutom 300; rezultantna brzina čovjeka u odnosu na Zemlju iznosi vč, rez = 79,9 km/h.
vč sin α
vč cos αα
vv
vč vč, rez
α
21
41
Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca je takvo gibanje, kod kojeg je promjena brzine u odabranoj jedinici vremena konstantna (nepromijenjena) veličina.
Takva fizikalna veličina naziva se akceleracija ili ubrzanje. Akceleracija je konstantna veličina tokom promatranog procesa gibanja, srednja i prava brzina imaju istu vrijednost.
2. Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca
dtdv
tva
tpr =ΔΔ
=→Δ 0
limtvv
ttvv
tva o
pk
pk −=
−
−=
ΔΔ
=
,konstaaapr ===
42
2. Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca
a = a =a > 0 ubrzano
a < 0 usporenoa = konst
av2 v1−
t2 t1−:=
Uz početne uvjete: v0 = 0 dobivamo kinematičke izraze za vremensku ovisnost brzine:
t1 0:= t2 t:=
v1 = 0 v2 = v
v = a⋅t→
22
43
v a t⋅:=v
t
s 12
v⋅ t⋅:=
s 12
a⋅ t2⋅:=
a
a konst:=t
v
t
s
2. Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca; grafički prikaz
44
t1 0:= t2 t:=
x1 0:= x2 s:=
v1 v0:= v2 v:=
v 0( ) v0 0≠:=
v v0 a t⋅+:=
s v0 t⋅ 12
a⋅ t2⋅+:=
v2 v02 2 a⋅ s⋅+:=
2. Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca; jednadžbe
Uz početne uvjete: t0 = 0, s0 = 0 i v0 ≠ 0 dobivamo kinematičke izraze za vremensku ovisnost brzine i položaja
tijela (u ovom slučaju i puta):
23
45
0 10 20 30 40 50 60 70 80-5
0
5
10
15
20
v(t),
m/s
t, s
I
II
III
JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE DUŽ PRAVCA
Dijagram v(t) = f(t)…linearna funkcija od vremena, promatramo promjene brzina u intervalima I, II i III.
I: a1 = 15/10 =1,5 m/s2
s1 = a1/2⋅t12= 75 m
II: a2 = 0 m/s2
s2 = v0,2⋅t2=300 m
III: a3 = (5-15)/30 = -1/3 m/s2
s3 = 300 m
pređeni put:Suk = 675 mpomak:Δr = 675 m
46
JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE DUŽ PRAVCADijagram a(t) = f(t)…konstanta tokom vremena, promatramo akceleracije u intervalima I, II i III.
0 10 20 30 40 50 60 70 80-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
akce
lera
cija
, a (m
/s2 )
vrijeme, t(s)
a1
a2
a3
24
47
JEDNOLIKO GIBANJEDUŽ PRAVCA
JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE
DUŽ PRAVCA
JEDNADŽBE OSNOVNIH GIBANJA
tvxxtxxviz
vvvdtdx
txvv
txv
konstv
pr
tprprava
⋅+=
→−
=→
==
=ΔΔ
==
ΔΔ
=
=
→Δ
0
0
0
)1(
)2(lim
)1(
200
0
0
0
2
:
)1(
)2(lim
)1(
tatvxx
putzajednadžba
tavvtvvaiz
aaadtdv
tvaa
tva
konsta
pr
tprprava
⋅+⋅+=
⋅+=
→−
=→
==
=ΔΔ
==
ΔΔ
=
=
→Δ
48
Nejednoliko pravocrtno gibanje
t1 t2
x2
x1
x
t
αv
x2 x1−
t2 t1−:=
v t( ) dx t( )dt
:= = x = tan(α)
a t( ) dv t( )dt
:= a t( )2t
x t( )d
d
2:= = x
25
49
određivanje puta iz v-t dijagrama
t
v
vi
Δti
st1
t2tv t( )
⌠⎮⌡
d:=
v ΔsΔt
:= Δsi vi Δti⋅:=
s
i
vi Δti⋅∑≈
s lim
i
vi Δti⋅∑⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:= Δti 0
t
v
50
11. 12. Prije polijetanja avion se giba jednoliko ubrzano sa akceleracijom 5m/s2 u vremenu 40 sekundi. Odredi brzinu aviona u trenutku polijetanja i put kojeg prijeđe avion prije dizanja.
R: v = a⋅t = 5⋅40 = 200 m/s,
s = x = 1/2⋅a⋅t2 =1/2⋅5⋅402 = 4 000 m = 4 km
12. 12. Nakon starta neko tijelo se giba prvih 100m jednoliko ubrzano i postigne brzinu od 200 km/h. Odredi ubrzanje i vrijeme.
R: zadano: s = 100 m, v = 200/3,6 m/s
v = a⋅t, s = 1/2⋅a⋅t2 su dvije jednadžbe s dvije nepoznanice; ako eliminiramo a, tj a=v/t, dobivamo izraz za put s=v⋅t/2 odakle slijedi→
vrijeme, t=2s/v = 3,6 s i akceleracija, a = v/t = 15,4 m/s2
ZADACI, jednoliko ubrzano gibanje duž pravca
26
51
13. 12. Kamen slobodno pada sa visine od 10m. a) za koliko vremena će kamen pasti na tlob) kolika je brzina pri udaru o tloc) nacrtaj s-t i v-t dijagrame tog gibanja
a)
c)
b) stgv ukuk 14,14414,110 =⋅=⋅=
sghttgh ukukuk 414,1
10202
21 2 ===→⋅=
tgtgvv ⋅−=⋅−= 0
Brzina ima smjer suprotan od +v osi u koordinatnom sustavu:
t
-14
-10
-5
-v
+v
0,5 1 1,4
52
13.12. nastavak…..
1,414
10
h (m)
t (s)
s-t dijagram je parabola također usmjerena prema “dolje” s pozicije položaja 10 m.
Jednadžba za položaj tijela tokom vremena u odnosu na tlo dana je izrazom, iz kojeg je vidljivo da se položaj tijela (visina) smanjuje tokom vremena ipostaje h=0 za tuk=1,414 s.2
2tgHh ⋅−=
27
53
14. 12. Iz v-t dijagrama danog tablicom
t(s) 0 2 6 9v(m/s) 0 6 6 0
a) Odredi akceleraciju na početku prve, četvrte i sedme sekunde. Nacrtaj a-t dijagram.
b) Odredi srednju brzinu tog gibanja
R: a) Nacrtati prvo v-t dijagram i iz njega izračunati akceleracije za svaki interval (I –III); dijagrami na slijedećem slide-u. tražene akceleracije se nalaze unutar pojedinih intervala kada je akceleracija konstantna;
na pr: nakon 1. sekunde a = aI = 3 m/s2 i dalje kako slijedi iz grafova.
54
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
III
II
I
v (m
/s)
t (s)
0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2
3
III
II
I
a (m
/s2 )
t (s)
aI = 3 m/s2
aIII = -2 m/s2
aII = 0 m/s2
smv
vrijednostsrednjav
tvstvstvsssss
tsv
uk
uk
uk
/3,49
39
,2
60
,,
1
333222111
321
==
+=
⋅=⋅=⋅=++=
=
28
55
15. 12. U vremenu od dvije sekunde automobilu se brzina poveća od 30km/h na 50km/h. Za koliko će se vremena brzina povećati od 50km/h na 55km/h.
R:
sttavvsmatavv
5,0/8,2
4,34,334
22,112
=→⋅+=
=→⋅+=
56
16. 12. Automobil, koji se giba jednoliko brzinom od 60km/h, zakoči i brzina mu se jednoliko smanjuje sa akceleracijom -1m/s2 .
a) Kolika je brzina deset sekundi nakon početka kočenjab) Koliki put prevali za devet sekundic) Za koje se vrijeme automobil zaustavid) Koliki put prijeđe tokom kočenja
R: a) v (10 s) = 6,7 m/sb) s (9 s) = 109,5 mc) tuk = 16,7 sd) suk = 138,9 m
29
57
SLOŽENA GIBANJA
Složena gibanja se sastoje od dva ili više osnovnih gibanja, koja se događaju:
istovremenoneovisno
To znači: tijelo se giba tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi najprije izvršilo samo jedno gibanje u nekom vremenskom intervalu, a zatim nezavisno od tog gibanja drugo gibanje u istom vremenskom intervalu
58
Vertikalni hitac
kraj gibanja (C):v(tuk)= vuk= 0
bilo koja točka gibanja (B):v(t) = v0 - g⋅ts(t) = v0 ⋅t - (g/2)⋅t2
početna točka gibanja (A):t=0, v(0) = v0
v0
gt
C - - -
B - - -
A - - -
vuk= 0t uk= v0/g
v0
30
59
17. 12. Tijelo je bačeno vertikalno i vratilo se nakon 6 sekundi. Izračunajte: a) početnu brzinu tijela, i b) domet hica.
R: a) 2tuk= 6 s→tuk = 3 s, v0 = g⋅tuk=10⋅3 = 30 m/sb) hmax = H = v0⋅tuk-(g/2)⋅tuk
2 =30⋅3 - 5⋅9=45 m
18. 12. Tijelo je bačeno vertikalno i nakon dvije sekunde postigne brzinu 30m/s. Izračunajte: a) početnu brzinu tijela i b) najveću visinu do koje će tijelo stići.
a) v(2)= 30 = v0- g⋅2= v0 - 10⋅2→v0 = 50 m/sb) tuk=v0/g= 5 s, H = v0⋅tuk-(g/2)⋅tuk
2 = 250 – 125 = 125 m
ZADACI; Vertikalni hitac
60
Horizontalni hitac
v(t)
x
gt
y
Hv0
v0
xmax = D = v0· tuk
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
gHtuk
2
( )( )220)( tgvtv ⋅+=
31
61
19.12. Tijelo je bačeno horizontalno s visine 150m početnom brzinom 45m/s. Izračunajte: a) ukupno trajanje hica, b) domet hica i c) brzinu tijela prilikom pada na tlo.
R: a) tuk = 5.5 s, b) D = 247.5 m i c) vuk = 70.9 m/s = 255 km/h
20. 12. Tijelo je bačeno s visine 120m u horizontalnom smjeru i konačna brzina koju je tijelo postiglo prilikom pada na tlo iznosi 55 m/s. Izračunajte: a) početnu brzinu kojom je tijelo izbačeno, i b) domet tijela.
R: a) v0 = 25 m/s, b) D = 122.5 m
ZADACI; horizontalni hitac