· Web viewСамбарт бүхэл тоон хэвтээ шулууныг байрлуулж соронзтой үсгээ тоон шулуун дээр нааж үсгийн
niislelmath.files.wordpress.com · b цэгийг дайран гарсан ac-тэй...
Transcript of niislelmath.files.wordpress.com · b цэгийг дайран гарсан ac-тэй...
№888. � суурьтай, суурийн өнцөг нь � байдаг адил хажуут гурвалжинд тойрог багтжээ. Түүнээс гадна гурвалжны хажуу талууд болон түүнд багтсан тойргийг шүргэгч хоёр дахь тойрог байгуулагджээ. Хоёр дахь тойргийн радиусыг ол.
ы
№889. Тойрогт a суурьтай, суурь дах өнцөг нь α байх адил хажуут гурвалжин багтжээ. Гурвалжны хажуу талууд ба эхний тойргийг шүргэсэн хоёр дахь тойргийг байгуулсан байна. Хоёр дахь тойргийн радиусыг ол.
K
Q
O
FM
C
B
A
Oцэг нь r радиустай багтсан тойргийн төв (AB BC, AB a, A B )α≠ = = =R R M ба �нь түүний
AB ба AC талыг шүргэсэн цэг Q нь хоёр дахь
тойргийн төв, x нь түүний радиус.
OMA∆ -тэгш өнцөгт гурвалжнаас
r AM=12 2
tg OAM a tg α= ⋅R
QPO∆ -оос cos POQOP OQ= R
(z x)cosr x α− = +
( )2
3
2
1 2 sin1 cos 12 2 21 cos 2 22 cos
2
a tgrx a tg
α αα α
αα
⋅ ⋅−= = = ⋅
+
Бодолт:Q -хоёр дахь тойргийн төв. P - ABCгурвалжны AC хажуу талыг шүргэсэн цэг, R -багтаасан тойргийн радиус ( ), ,AC BC AB a A B α= = = =R R
Q цэг нь эхний тойргийн CD диаметр дээр байна.
CPQ тэгш өнцөгт гурвалжнаас
cos PQC CQ cosPQ CQ α= =R ( )2 cosr R r α= −
Иймээс 2 cos ,1 cos
Rr αα
=+
02sin ACB sin(180 2 ) sin 2
AB a aRα α
= = =−R
( )cos
sin 2 1 cos 2 sin ( 1 cos )a ar αα α α α
= =+ +
№890. a суурьтай, суурь дахь өнцөг нь α -тай тэнцүү гурвалжинд тойрог багтжээ. Түүнээс гадна гурвалжны суурь, аль нэг хажуу тал, эхний тойргийг тус тус шүргэсэн бас нэг тойргийг зуржээ. Хоёр дахь тойргийн радиусыг ол.
№891.Тойрогт a суурьтай, суурь дахь өнцөг нь α байх адил хажуут гурвалжин багтжээ. Мөн эхний тойрог, гурвалжин суурийн дундаж цэгийг шүргэсэн бас нэг тойргийг байгуулжээ. Хоёр дахь тойргийн радиусыг ол.
O1
O
C
BA
A
Бодолт: Эхний тойргийн радиусыг r , хоёр
дахь тойргийн радиусыг 1r гэе. 2 2ar tg α
= .
Өгсөн хоёр тойргийн радиусууд нэг хэрчим дээр оршино.
1 1 ,OO r r= + 1 ,OH r r= − 1
1
sin2
r rr r
α−=
+
1
1 sin( 1 sin ) 2 2 221 sin 1 sin
2 2
a tgrr
α αα
α α
−− = =
+ +
Бодолт: CK -нь ABC адил хажуут гурвалжны багтаасан тойргийн диаметр. (AC BC, AB a, A B )α= = = =R R AB суурийн дундаж цэг M нь диаметр дээр байна. CM ба MK нь эсрэг байгаа тойргийн диаметрүүд. r ба x нь эдгээр тойргийн
радиус. 1 ,2
r =12
CM = , 4aAM tg tgα α⋅ = .
12
x = , 12
MK = ,
4aAM ctg AKM ctgα⋅ =R
№892.Тойрогт 1,AB = 2CD = байх ABCD трапец багтжээ. F нь диагоналуудын огтлолцлын цэг. ABF ба CDF гурвалжингуудын талбайн нийлбэрийг AFD ба BCF гурвалжингуудын талбайн нийлбэрт харьцуулсан харьцааг ол.
№893.Нэг нэгж талтай хоёр ижил ABC ба CDE зөв гурвалжингууд зөвхөн нэг ерөнхий Cгэсэн цэгтэй ба BCD өнцөг нь 060 -аас бага. K цэг AC -ийн дундаж, L цэг CE -ийн дундаж,
M цэг нь BD -гийн дундаж цэг байв. KLM гурвалжны талбай 35
бол BD -г ол.
№894. O цэгт төвтэй тойргийн гадна орших K цэгээс энэ тойрогт MK ба NK гэсэн шүргэгч татжээ. MN хөвч дээр C цэгийг (MC CN)< авчээ. C цэгийг OC хэрчимд перпендукляр бөгөөд
O
S3
S4S2
S1
F
C
BA
D
41
2 3
SSS S
= , 1 3 2 4S S S S⋅ = ⋅ , 21 3 2S S S⋅ =
2 1 3S S S= , ( ADF BCF)∆ = ∆ , AFB DFC∆ ∆:
3 14S S= , 3
1
4SS
= , 3
1
SCDAB S
= ,
1 32 4 1
1 3 1 3 1
2 4 45 5
S SS S SS S S S S
+= = =
+ +
Бодолт: CM BCD− адил хажуут гурвалжны медиан, бас өндөр нь болно. CD хэрчим M ба L цэгээс нэгж өнцгөөр харагдана. , , ,D L C Mцэгүүд CD диаметртэй тойрог дээр оршино. Иймд 060 .DML DCL= =R R 060BMK =R
MK ML= учир 060 .( MKC MLC)KML = ∆ = ∆R ,
KLM -адил талт гурвалжин болно. Түүний
талбай 35
, тал нь 25
. 2BC x= байг. BMK
гурвалжинд косинусын теоромыг хэрэглэе.
2 4 2 3 ,5 45
xx + = = 2 2 1 0205
xx − + =
2 3 1−= < , 2 3−
= = .
NK хэрчмийг B цэгт огтлох шулуун татав. Тойргийн радиус R , ,MKN MC bα= =R бол CB -ийг ол.
Бодолт: D цэг нь MN -хөвчийн KO хэрчимтэй огтлолцох цэг. D цэг нь MN -ийн дундаж,
2DNO OKN α
= =R R , cos DNO Rcos2
DN ON α= =R , 2 cos
2CN MN MC R bα
= − = −
CON гурвалжинд косинусын теором хэрэглэвэл:
2 2 2 22 cos 2 cos2 2
CO NC NO NC NO R b Rbα α= + − ⋅ ⋅ = + − , ,O C B ба N цэгүүд OB
диаметртэй тойрог дээр оршино
. 2
CBO CNO α= =R R
Иймд 2 2 2 cos2 2
CB COctg CBO ctg R b Rbα α= = + −R .
№895. R радиустай O -төвтэй тойрогт ABCD трапец багтжээ. BC AD< ба O цэг трапецийн дотор оршино. Трапецийн паралель AB ба CD талууд нь R -тай тэнцүү. K цэг OA - радиусын дундаж цэг, L цэг OD радиусын дундаж, M нь BC талын дундаж цэг болно. Трапецийн
N
B
C
O
M
K
талбайг KLM гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцаа 4-тэй тэнцүү ба MC -г ол. Бодолт:
ABCDS S= ; 4KLM
SS∆
=
** ;2 2KLM
AD BC KL MHS h S∆+
= =
; sin2
ADKL h R α= =
№896. L оройтой өнцгийн биссектрис дээр A цэг авчээ. K ба M цэгүүд A цэгээс өнцгийн талууд дээр буулгасан перпендикулярын сууриуд. KM хэрчим дээр ( )P KP PM< цэгийг авч
түүнийг дайруулан KL шулууныг Q цэгт огтолсон. ( K цэг нь Q ба L -ийн хооронд), MLшулууныг S цэгт огтолсон. AP хэрчимд перпендикуляр шулуун татав. KLM α=R , KM a= , QS в= бол KQ -г ол.
Бодолт: 90AKQ APQ °= =R R ; , ,P K Q ба A цэгүүд AQ диаметрт тойрог дээр байна.
2AQS AKM ALK α
= = =R R R
2ASQ α
=R . Иймд QAS - адил хажуут
60°
O
LK
M
D
CB
A
2cos cos
2 2
вQPAQ α α= =
AKMV -адил хажуут гурвалжнаас
12 2cos cos
2 2
aKMAK α α= =
AKQV тэгш өнцөгт гурвалжингаас
2 22 2
2 cos2
в аKQ AQ AK α−
= − =
№897 , ,a вI I ба CI цэгүүд нь ABC гурвалжны ,BC AC ба AB талуудыг шүргэсэн гадаад багтсан тойргийн төвүүд, I -нь энэ гурвалжинд багтсан тойргийн төв. ABC гурвалжныг багтаасан тойрог a в cI I I гурвалжны талуудын дундажийг дайрдаг ; ;a в cII II II хэрчмийн дундажийг дайрна гэж батал.
Бодолт: , ,A B C цэгүүд , ,a вI I CI гурвалжны өндрүүдийн сууриуд. Иймд ABC гурвалжны
багтаасан тойрог , ,a вI I CI гурвалжны олон цэгийн тойрог юм. Энэ тойрог , ,a вI I вI гурвалжны
талуудын дундаж цэгүүдийг дайрна. , , , ,Ia в cI A I B нь ; ;a в aI I I гурвалжны өндрүүд, I цэг нь
энэ гурвалжны орто төв. Иймд ABC гурвалжны багтаасан тойрог нь ; ;a в cII II II хэрчмийн дундаж цэгүүдийг дайрна.
B
CA
I
IB
IAIB
B
№898. 030 -ийн хурц өнцөгтэй ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд тэгш өнцгийн орой C -ээс CD өндөр буулгажээ. ACD ба BCD гурвалжинд багтсан тойргийн төвүүдийн хоорондох зайг ол. ABC гурвалжны бага катет нь 1-тэй тэнцүү.
Бодолт: 030A =R гэе. 1O ба 2O нь ADC ба BDC гурвалжинд багтсан тойргийн төвүүд 1r ба
2r түүний радиусууд M ба N нь AB шулууныг шүргэсэн
1
3 3 3 3 32 22 2 4
CD AD ACr+ −+ − −
= = =
2
1 3 1 3 12 22 2 4
BD CD BCr+ −+ − −
= = =
1 2O DO тэгш өнцөгт гурвалжингаас
( ) ( )2 2
2 22 2
1 2 1 2 1 23 3 3 12 2 * 2 * 2
4 4O O DO DO r r
− −= + = + = +
( )2 3 116 8 3 4 2 3 3 12 2
−= − = − = ⋅ − =
№899. ABC тэгш өнцөгт гурвалжны C тэгш өнцөгтийн оройгоос CD өндөр буулгажээ. Гурвалжны катетууд 3 ба 4. ACD ба BCD гурвалжинд багтсан тойргийн төвүүдийн хоорондох зайг ол.
одолт: 1, 2 ?r r =
25;AB BC AB BD= = ⋅ 2 93 5 ;5
BD BD= ⋅ =9 1655 5
AD = − =
O2O1
MN D
C
B A
1
12 9 213 3 6 35 5 52 2 10 5
r+ − −
= = = = 2
12 16 84 45 9 52 2 5
r+ −
= = =
CD AB BC AC⋅ = ⋅3 4 12 ;
5 5CD ⋅
= =
1 23 2 4 2;
5 5O D O D= =
2 2
2 2 21 2 1 2
3 2 4 2 18 32 56 25 5 25 25
O O O D O D +
= + = + = = =
1 2 2O O =
№900. C орой дахь өнцөг нь тэгш байх ABC тэгш өнцөгт гурвалжин өгчээ. CAB өнцөг нь α .ABC өнцгийн биссектрис AC катетын K цэгт огтолно. BC талаар диаметр хийсэн тойрог AB гепотенузыг M цэгт огтолно. AMK өнцгийг ол.
Бодолт:OMB өнцөг өгсөн тойрогт багтах ба түүний диаметр дээр байна. Иймээс CMB тэгш өнцөгт. K цэгээс KF ба KP перпендикулярын AB баCM шулуун дээр харгалзуулан татья.
1 1cos cos
KF KCtg AMKFM KP CKP α
= = = =RR
( KF KC= ба FM KP= )
O2O1
MN D
C
B A
№901. ABCD трапец өгөв. 10AD = , 2BC = , 5AB CD= = . BAD өнцгийн биссектрис BC -талыг K цэгт огтолно. ABK гурвалжны ABK өнцгийн биссектриссийг ол.
Бодолт: BAD α=R гэе. BKA BAK=R R гэдгээс ABKV -адил хажуут. 5BK AB= = . Түүний
BK биссектрис өндөр болно. sin 5 sin2
BK AB BAF α= =R .
B цэгийн AD тал дээрх проекц P байг. Тэгвэл
42
AD BCAP −= =
4cos cos5
APBADAB
α = = =R .
Иймээс 1 cos 1sin2 2 10α α−
= = ,
5 105 sin2 210
BF α= = =
№902. ABC гурвалжны 4AB = , 2AC = , 3BC = байв. BAC өнцгийн биссектрис BC талыг K цэгт огтолно. B цэгийг дайран гарсан AC -тэй параллель шулуун AK биссектрисийн үргэлжлэлийг M цэгт огтолно. KM -ийг ол.
Бодолт: ABCV -д косинусын теором хэрэглэвэл 2 2 2 4 9 16 1cos2 2 2 3 4
AC BC ABCAC BC
+ − + −= = = −
⋅ ⋅ ⋅R
Гурвалжны биссектрисын чанар ёсоор: 4 22
BK ABKC AC
= = =
Иймээс 2BK =
ABC CAM MAB= =R R R учир
ABCV -адил хажуут
4BM AB= = KBM KCA C= =R R R
AMB CAM KCA C= = =R R R R
2 2 2 12 cos 4 16 2 2 4 244
KM BK BM BK BM KBM = + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ − =
R
2 6KM =
№903. BAD -өнцэг нь тэгш байх ABCD трапец өгчээ. AB тал дээр диаметртэй тойрог BD диогналийг M цэгт огтолжээ. 3, 4,AB AD= = 1BC = бол CAM -өнцгийг ол.
Бодолт: AMB багтсан өнцөг AB диаметр дээр байх ба 090AMB =R . AM BD AB AD⋅ = ⋅ бол 3 4 12
5 5AB ADAM
BD⋅ ⋅
= = = ;
K цэг трапецийн диогналуудын огтлолцлын цэг. 4,AK ADKC BC
= =
ймээс 4 4 105 5
AK AC= = AMK∆ − нь тэгш өнцөгт гурвалжин
1235cos KAM
4 10 105
= =R ,
1sin CAM sin KAM10
= =R R1arcsin10
CAM =R .
№904. ABC гурвалжны A оройгоос AM -медиан, B оройгоос BP медиан татав. APB өнцөг BMA өнцөгтэй тэнцүү. ACB өнцгийн косинус 0,8 ба 1BR = бол ABC гурвалжны талбайг ол.
Бодолт: APB BMA=R R учир , , ,A B M P цэгүүд нэг тойрог дээр байна. CB ба CA огтлогч, иймээс CM CB CP CA⋅ = ⋅ 2 22 2CM CP CM CP= ⇒ = иймээс CA CB= учир ABC адил хажуутай. , 2MC x AC x= = .Косинусын теоромоор:
2 2 2 2 cos ACBAM CM AC CM AC= + − ⋅ ⋅ R
2 2 41 4 2 25
x x x x= + − ⋅ ⋅ , 2 59
x = .
2 21 1 3 6 2sin C ( 2 x)2 2 5 5 3ABCS AC BC x∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ = =R .
№905. ABC гурвалжны A орой дахь өнцгийн биссектрис BC талыг M цэгт, B орой дахь өнцгийн биссектрис AC талыг P цэгт огтолно. ,AM BP биссектрисүүд O цэгт огтлолцоно.
BOM∆ нь AOP∆ төсөөтэй бөгөөд ( 1 3 ) OP,BO = + ⋅ 1BC = бол ABC гурвалжны талбайг ол.
Бодолт: .BOM AOP MBP MAP∆ ∆ ⇒ =: R R
2 2ABC MBP MAP BAC= ⋅ = ⋅ =R R R R гэдгээс ABC адил хажуут гурвалжин.
MP AB= биссектрисийн чанараар:.
AB BMAC MC
= 3 ,BMMC
= 3ABAC
=
O
KM
P C
B
A
3 3 3AB AC BC= = = .
ABC гурвалжны өндөр CK .
2 2 3 11 ,4 2
CK AC AK= − = − =3
4ABCS∆ =
№906. ABC гурвалжны BC тал дээр P цэг, AC тал дээр M цэг авав. AP ба BM хэрчмүүд O цэгт огтлолцоно. , ,BOP AOM BOA∆ ∆ ∆ гурвалжингууд төсөөтэй. 1,BM ABC= өнцгийн косинус 0,6. ABC гурвалжны талбайг ол.
Бодолт: , ,BOP AOM BOA гурвалжингууд төсөөтэй,
BOP BOA=R R (хамар бөгөөд 090BOP BOA= ≤R R )
PBO ABO=R R . Иймээс BM нь ABC өнцгийн биссектрис. 090 ,MAO ABO BAC= ⇒ =R R R
ABC тэгш өнцөгт гурвалжин болно.
ABC α=R гэвэл
311 cos 25; cos 1 ;2 2 2 2 5
AMB AB BMα α α ++= = = ⋅ = =R
ABC гурвалжингаас 83 5
AC AB tgα= ⋅ =1 82 15ABCS AB AC∆ = ⋅ =
90°
O
P
M C
B
A
№907. ABC гурвалжны BC тал дээр P цэг, AC тал дээр M цэг авсан ба ,4
APB BMA π= =R R
AP ба BM хэрчмүүд O цэгт огтлолцоно. BOP∆ ба AOM∆ тэнцүү талбайтай бөгөөд 21,
2BC BO= = бол ABC гурвалжны талбайг ол.
Бодолт: BOP ба AOM гурвалжнуудын хоёр өнцөг нь харгалзан тэнцүү учир төсөөтэй.
K өнцгийн коэффициент, 2BOP AOMS k S∆ ∆= ⋅
1K = учир BOP AOM∆ = ∆ .
, , ,MAO PBO AO OB OAB CBA= = =R R R R CAB CBA=R R Иймээс ABC∆ адил хажуут. MP ABP .
PO MO x= = гэвэл 22
2
MC MP MO x xAC AB OB
= = = =
2 2MC AC x x= ⋅ =
Косинусын теоромоор:
2 2 2 02 cos135BC MC MB MC MB= + − ⋅ ⋅ .
2
2 2 21 2 x 2 22 2
x x x
= + + + + ⋅
0.3S =
90°
O
P
M C
B
A
№908. Хурц өнцөгт ABC гурвалжны AC тал дээр D цэгийг 1AD = , 2,DC BD= -нь ABCгурвалжны өндөр байхаар авчээ. A ба D цэгийг дайрсан 2 радиустай тойрог BDC гурвалжинг багтаасан тойргийг D цэгт шүргэнэ. ABC гурвалжны талбайг ол.
Бодолт: BDC гурвалжинг багтаасан тойргийн диаметр BC нь A цэгээс хурц өнцгөөр харагдана. Иймээс A цэг тойргийн гадна байна. Өгсөн тойргууд гадаад байдлаар шүргэлцэнэ. P цэг нь A ба D цэгийг дайрсан тойргийн төв, M цэг нь BD -ийн үргэлжлэл энэ тойрогтой огтлолцсон цэг, BDC гурвалжны багтаасан тойргийн төв-O . Иймд
DAM ADR ODC BCD= = =R R R R учир ADM ба CDB гурвалжнууд төсөөтэй. 12
ADDC
= .
2 22 2 2 16 1 2 15BD DM AM AD= = − = − = .
1 3 2 15 3 152 2ABCS AC BD∆
⋅= ⋅ = = .
№909. C -орой дахь өнцөг нь тэгш байх ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд 4CA = . BC катет дээр
D цэгийг 1CD = байхаар авав. 52
-радиустай тойрог C ба D цэгийг дайран ABC гурвалжныг
багтаасан тойрогтой C цэгт шүргэлцэнэ. ABC∆ -ны талбайг ол.
Бодолт: D цэг нь ABC гурвалжин багтаасан тойргийн дотор байна. Өгсөн тойргууд дотоод шүргэлцэнэ. Хэрэв M цэг нь эхний тойргийн AC катеттай огтлолцсон цэг C -ээс ялгаатай цэг бол MD нь энэ тойргийн диаметр болно.
2 2 5 1 2MC MD CD= − = − =
Q ба O нь өгсөн тойргуудын MD ба AD диаметрүүдийн дундаж цэгүүд. Тэгвэл 1O Q ба C цэг нэг шулуун дээр орших бөгөөд MQC∆ ба AOC∆ нь адил хажуут.
,CMD ACO BAC= =R R R Иймээс MCD∆ ба ACB∆ төсөөтэй, 12
MCCA
= , 2 2,BC CD= =
1 42ABCS BC AC∆ = ⋅ = .
№910. ABC гурвалжны 0120 , 1, 7 .A AC BC= = =R CA талын үргэлжлэл дээр BM нь ABCгурвалжны өндөр байхаар M цэгийг авав. A ба M цэгийг дайрсан, MB ба C цэгүүдийг дайрсан тойрогтой M цэгт шүргэлцэх тойргийн радиусыг ол.
Бодолт: MBC гурвалжныг багтаасан тойргийн диаметр BC нь A цэгээс мохоо өнцгөөр харагдана. A цэг энэ тойргийн дотор байна. Q ба O нь их ба бага тойргийн төвүүд, K цэг нь бага тойргийн BM хэрчимтэй огтлолцсон M цэгээс ялгаатай цэг.
MAK AMQ CMO OCM BOM= = = =R R R R R
MAK∆ ба MCB∆ -төсөөтэй.
AB x= гээд ABC гурвалжинд косинусын теором хэрэглэвэл:
2 2 2 02 cos120BC AB AC AB AC= + − ⋅ ⋅ . 27 1 x x= + + , 2x = , 060MAB =R
1 12 2
xAM AB= = = , 7 12 2
AMAK BC OAMC
= ⋅ = ⋅ = ; 74
AK = ;
K