niislelmath.files.wordpress.com · Web view4 х- 7 8 dx . ýíä t= 4 х- 7 ãýñýí...

Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул

Ñýäýâ: “Èíòåãðàë òîîëîë” Õàìðàõ õ¿ðýý: ÅÁÑ-èéí XI àíãè Õýðýãöýý øààðäëàãà: Õóâü õ¿íèé õýðýãöýý

Ìàòåìàòèê áà àìüäðàëä ìóðóéãààð õ¿ðýýëýãäñýí ä¿ðñèéí òàëáàé, áèåèéí ýçýëõ¿¿í, ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, õ¿íäèéí òºâ, ìîìåíòóóäûã îëîõ øààðäëàãà øèíæëýõ óõààí òåõíèêèéí àñóóäëûã øèéäýõýä àëõàì òóòàìä äàéðàëäàæ áàéãàà ó÷ðààñ èíòåãðàë ãýäýã óõàãäàõóóí ãàð÷ èðñýí.

Áîäèò áàéäëûã ä¿ðñëýí çàãâàð÷ëàõ, òóëãàð÷ áóé àñóóäëûã îíîâ÷òîé øèéäýõ àðãà áàðèë ýçýìøèõ

Ìàòåìàòèêò ºãºãäñºí ôóíêöèéí óëàìæëàëûã îëîõ áà ÿìàð íýã ôóíêöèéí óëàìæëàë ìýäýãäýæ áàéâàë óã ôóíêöèéí óðâóó ôóíêö îëîõ óðâóó áîäëîãî áàéãàëü òåõíèêèéí ñàëáàðò îëîíòàà õýðýãëýãäýæ áàéíà.

Ìàòåìàòèêèéí õýë, ñýòãýëãýý, àðãûã îþóí óõààí õºãæ¿¿ëýõ áàãàæ áîëãîí õýðýãëýæ òóëãàìäñàí àëèâàà àñóóäëûã îíîâ÷òîé øèéäâýðëýõ

Ìàòåìàòèêò ñóðàëöàõ ÿâöàä òºëºâøäºã ñýòãýõ¿éí åðºíõèé áîëîí òóñãàé áàðèëóóäûã õýðýãëýí øààðäëàãàòàé ìýäýýëýë áîëîâñðóóëæ àøèãëàõ

Ìàòåìàòèêèéí ò¿ãýýìýë áàðèëóóäûã õýðýãëýí øèíæëýõ óõààíû ¿íäýñòýé àæèãëàëò, òóðøèëò õèéæ ìºí ÷àíàð, ç¿é òîãòëûã òàíèí ìýäýõ.

Íèéãìèéí õýðýãöýý: Ìàòåìàòèêèéí áàãà, äóíä áîëîâñðîëûã áàéãàëü íèéãìèéí îëîí

ñàëáàð øèíæëýõ óõààíûã ñóäàëæ ýçýìøèõýä äýâñãýð ñóóðü áîëãîõ Áàéãàëèéí øèíæëýõ óõààí, òåõíèê òåõíîëîãè, íèéãýì, óëñ òºð,

ýäèéí çàñãèéí õºãæëèéí óÿëäàà õîëáîîã òàíèí ìýääýã, àñóóäàëä ø¿¿ìæëýëòòýé õàíäàæ øèéäâýð ãàðãàõàä èäýâõòýé, óõàìñàðòàé, õàðèóöëàãàòàé îðîëöäîã èðãýí òºëºâø¿¿ëýõ

Ìàòåìàòèêèéí òàíèí ìýäýõ¿éí àðãóóäûã íèéãìèéí îðøèí òîãòíîõ, õºãæèí äýâøèõèéí ç¿é òîãòëûã òàíèõ, á¿ðòãýë òîîöîî, øèíæèëãýýã áîëîâñðîíãóé áîëãîõ çýðýãò õýðýãëýõ

Õ¿íèé õºãæëèéã õàíãàõ ¿íäñýí ¿¿ðýã á¿õèé ìàòåìàòèêèéí øèíæëýõ óõààí áîëîí á¿õ íèéòèéí ìàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûã õºãæ¿¿ëýõ.

1


Çîðèëãî: Õÿëáàð òîõèîëäîëä ýõ ôóíêöèéã îëîõ ìºí õÿëáàð òîõèîëäîëä èíòåãðàë áîäîõ ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàéã îëîх, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн олохîä èíòåãðàë õýðýãëýæ ñóðàõ. Çîðèëò: 3ÌÀ2:Ê1 Èíòåãðàë óõàãäàõóóíä õ¿ðãýõ áîäëîãî áîäîõ áà ýõ ôóíêö, èíòåãðàë òîîëëûí óõàãäàõóóíûã ñóäëàõ ìýäëýã ýçýìøèõ 3ÌÀ2:Ê2 Ýõ ôóíêö áà òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëèéí òóõàé åðºíõèé îéëãîëòòîé áîëîõ òýäãýýðèéí ¿íäñýí ÷àíàð áà ýõ ôóíêö îëîõ ä¿ðì¿¿äèéã õýðýãëýõ 3ÌÀ2:Ê3 Òîäîðõîé èíòåãðàëûã òîäîðõîéëæ ò¿¿íèé ÷àíàð õîëáîãäîõ òîìú¸î òîäîðõîéëîëò, òåîðåìèéã õýðýãëýæ èíòåãðàë áîäîõ. Òîäîðõîé èíòåãðàëèéí õýðýãëýý áîëîõ õàâòãàé ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõ. Êâàäðàò ôóíêöèéí èíòåãðàëèéí ÷àíàðûã òîäîðõîéëîõ . Èíòåãðàëààð ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ. Èíòåãðàëûí ìåõàíèê áà ôèçèê äàõ õýðýãëýãýýã òîäîðõîéëîõ 3ÌÀ2:Ê4 Õýðýãëýýíèé áîäëîãî áîäîõ, õîëáîãäîõ òîìú¸î, òîäîðõîéëîëò, õóóëü ä¿ðýì, òåîðåì áîëîí èíòåãðàë òîîëëûí ýëåìåíòèéã õýðýãëýõ Àãóóëãà:

Ñóäëàãäàõóóí Óð óõààíÝõ ôóíêö áà èíòåãðàëèéí òóõàé îéëãîëò

f ( x ) ôóíêöèéí ýõ ôóíêóèéí òîäîðõîéëîõ Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë íü óëàìæëàëûí

óðâóó ¿éëäýë áîëîõ áà õÿëáàð ôóíêö¿¿äèéí óëàìæëàëûí òîìú¸îíîîñ ìºðäºí ãàðàõ èíòåãðàëèéí ¿íäñýí òîìú¸îã òîäîðõîéëîõ

Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëèéã áîäîõ àðãà÷ëàë

Èíòåãðàëèéí äîîðõ èëýðõèéëýë íèéëáýð õýëáýðòýé áàéõ

Èíòåãðàëèéí äîîðõ èëýðõèéëýë ÿëãàâàð õýëáýðòýé òîõèîëäëûí ÷àíàð

Èíòåãðàëèéí äîîðõ èëýðõèéëýë òîãòìîë òîîí ¿ðæèãäñýí òîõèîëäëûí ÷àíàð

Õóâüñàã÷èéã ñîëüæ èíòåãðàë÷ëàí îðëóóëàõ àðãà õýðýãëýõ

Õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ ä¿ðýì õýðýãëýõ

Òîäîðõîé èíòåãðàëèéí òóõàé ò¿¿íèéã áîäîõ

Ìóðóé øóãàìàí òðàïåö áà ò¿¿íèé òàëáàéã äàðààëëûí õÿçãààð àøèãëàí òîäîðõîéëîõ

Íüþòîí –Ëåéáíèöèéí òîìú¸îã òîìú¸îã òîìú¸îëæ 2


õýðýãëýõ Òîäîðõîé èíòåãðàëèéí õýðýãëýý

Èíòåãðàëààð ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ ºõ êîíóñ áà áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë.

Èíòåãðàëèéí ìåõàíèê áà ôèçèê äýõ õýðýãëýýã òîäîðõîéëîõ

Öàã òºëºâëºëò :

Äýä ñýäýâ¯éëèéí íýð

ËåêöÄàäëàã

àÁèå

äààëòÕÿíàëò

Á¿ãä öàã

Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë

Èíòåãðàëèéí òóõàé îéëãîëò + +

+

1Òîäîðõîé èíòåãðàëèéí ÷àíàð + + 2

Õóâüñàã÷ ñîëüæ èíòåãðàë÷ëàõ + + 2

Õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ ä¿ðýì + + 2

Òîäîðõîé èíòåãðàë Òîäîðõîé èíòåãðàë áîäîõ Íüþòîí –Ëåéáíèöèéí òîìú¸î + +

+2

Òîäîðõîé èíòåãðàëèéí òóñëàìæòàé ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõ

+ + 2

Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý Èíòåãðàëààð ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ¿¿í îëîõ + + + 1

3


Èíòåãðàëèéí ìåõàíèê áà ôèçèê äýõ õýðýãëýý + + 1

Íèéò öàã 3 13

Àðãà ç¿é: Ýíý õýñýãò ìàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûí ñòàíäàðòàä á¿ðýí äóíä áîëîâñðîëûí àãóóëãûí àëãåáð /3ÌÀ2/ àéí ñóðàëöàõóéí ¿íäñýí ¿éë àæèëëàãààã áàðèìæààëàí ñóðàëöàãñäààð ã¿éöýòã¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãààã òºëºâëºí áè÷ëýý.

- Èíòåãðàëûí òàëààð ìýäëýã ýçýìøèõ òîäîðõîé áà òîäîðõîéã¿é èíòåãàðëûã òîäîðõîéëîõ

- Ìýäëýãò õîëáîãäîõ òîìú¸î, òåîðåì, õóóëü ä¿ðìèéã áîäëîãî áîäîõîä õýðýãëýõ

- Ìýäëýãò õîëáîãäîõ íýð òîìú¸î, áè÷ëýãèéã çºâ õýðýãëýõ - Òóõàéí ìýäëýã, ÷àäâàðûã ïðàêòèê , àìüäðàëûí àñóóäàë

øèéäâýðëýõýä õýðýãëýõ Ìºí ìàòåìàòèê áîëîâñðîëûí àðãà ç¿éí ¿íäñýí çàð÷ìóóäûã áàðèìòëàí, ñóðãàëòûí èäýâõòýé àðãóóäûã õýðýãëýí õè÷ýýëèéã çîõèîí áàéãóóëíà. Àðãà ç¿é ¿éë àæèëëàãààíû ÷èãëýëèéã äàðààõ õ¿ñíýãòýýð ¿ç¿¿ëýâ.

Àðãà ¯éë àæèëëàãààíû ÷èãëýëÁàãøèéí Ñóðàëöàã÷èéí

-Òàéëáàðëàí òàíèóëàõ -Æèøýýãýýð çàãâàð÷ëàõ -Õàðèóã ¿éëäëýýð øàëãàõ -Á¿ëãýýð àæèëëàõ -ªºðèéí ¿íýëãýý -

Åðºíõèé áîëîí òóñãàé àðãóóäààð ìýäëýã, ìýäýýëëèéí ãîë ñàíààã ºã÷, ñóðàëöàã÷äûí õàìòûí á¿òýýë÷ ¿éë àæèëëàãààã óäèðäàí äýìæèõ, ìýäëýã á¿òýýõ ¿éëä õºòëºõºä àæëàà ÷èãë¿¿ëýí çºâëºí òóñëàõ

Ñóðàëöàãñäûíýçýìøñýí ìýäëýã, ÷àäâàð õàíäëàãûã

Áàãøèéí æèøýýãýýð¿ç¿¿ëñíèéã ¿ëãýðëýí óðãóóëàí áîäîæ áèå äààí á¿òýýë÷ýýð ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðàà àõèóëàõ

¯éëäëèéã çàãâàð÷ëàí

òîîöîîëæ, ä¿ðýì ÷àíàðûã óõààðàõ, ìýäëýãý õýðýãëýõ, õàìòûí á¿òýýë÷ ¿éë àæèëëàãààíû çºâ õàíäëàãàä ñóðàëöàõ

Øèíý ñàíàà òàìàãëàë

4


¿íýëýõ Îíîëûí àñóóäëûã

òàéëáàðëàõ Õè÷ýýëä

õýðýãëýõ õýðýãëýãäýõ¿¿í ìàòåðèàëûã õóâèëáàðòàéãààð ñîíãîí áýëòãýõ

äýâø¿¿ëýõ Áèå äààí õèéñýí

àæèë, ñàíàëàà õàðèëöàí ñîëèëöîæ,

çºâëºí çºâøèëöºæ àñóóäàë øèéäâýðëýõ

Áàãøèéí ºãñºí äààëãàâàð áîëîí áèå äààæ ã¿éöýòãýõ àæëóóäûã öàã òóõàéä íü ã¿éöýòãýõ

¯íýëãýý: ¯íýëãýýã áîëîâñðóóëàõäàà ìàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûí ¿íýëãýýíèé ñòàíäàðòûí 3ÌÀ2:Ê1/1-3ÌÀ2:Ê4/4 õ¿ðòýëõ êîäòîé ¿íýëãýýíèé øàëãóóðóóäàä áàðèìæààëàí á¿ëýã ñýäâèéí çîðèëãî, çîðèëòîî øàëãóóð áîëãîæ íàðèéâ÷ëàí òºëºâëºëºº.

¯íýëãýýíèé øàëãóóðÊ1- Õýë õàðèëöàà 3ÌÀ2:Ê1/1-Ôóíêöèéí óëàìæëàë áîëîí äèôôåðåíöèàë÷ëàõ ¿éëäýë ýõ ôóíêöèéí íýð òîìú¸î, ¿ã õýëëýã ä¿ðñëýë, òýìäýãëýë áè÷èãëýëèéã óõààð÷ òýäãýýðèéã òºðºëõ õýëýýðýý òîâ÷ òîäîðõîé ºã¿¿ëýí õàðèëöàõ 3ÌÀ2:Ê1/2- ¯ñýãò òýìäýãëýãýýã çºâ õýðýãëýõ, ÷àíàð áà ¿íäñýí òîìú¸î ãýñýí íýð òýìäýãëýãýýíèé óòãà ñàíààã îéëãîõ, õýðýãëýõ 3ÌÀ2:Ê1/3- Èíòåãðàëûã áîäîõ òåîðåì, òîäîðõîéëîëò, òîìú¸î , ÷àíàð ¿ã õýëëýã, ä¿ðñëýë òýìäýãëýë, áè÷èãëýëèéã óõààð÷ ìàòåìàòèê õýëýýð ÿðüæ õàðèëöàõ 3ÌÀ2:Ê1/4- Àìüäðàë àõóéí àñóóëò áîäëîãûí àãóóëãûã èíòåãðàë, ýõ ôóíêöýýð çàãâàð÷ëàõòàé õîëáîãäñîí

5


Ê2-Ó÷èðëàí òàéëáàðëàõ 3ÌÀ2:Ê2/1- Ýõ ôóíêö áà èíòåãðàëûí ìºí ÷àíàð, õîëáîãäîõ íýð òîìú¸î, ¿ã õýëëýã, ä¿ðñëýë, òýìäýãëýë áè÷èãëýë õýðýãëýí ó÷èðëàí òàéëáàðëàõ 3ÌÀ2:Ê2/2- Ýõ ôóíêö, òîäîðõîé áà òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûí ¿éëäëèéí ÷àíàðûí õîëáîãäîõ íýð òîìú¸î, òýìäýãëýë, áè÷èãëýë õýðýãëýæ ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ 3ÌÀ2:Ê2/3- Ýõ ôóíêö áîëîí òîäîðõîé áà òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûí õàâñàðñàí ¿éëäýë áîëîí íýð òîìú¸î ÷àíàð, ¿ã õýëëýã, çóðàã òýìäýãëýë áè÷èãëýë õýðýãëýæ ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ 3ÌÀ2:Ê2/4- Àìüäðàë àõóéí àñóóëò áîäëîãûí àãóóëãûã èíòåãðàëûí õýëä õºðâ¿¿ëýí ìàòåìàòèê çàãâàðûã ó÷èðëàí òàéëáàðëàõ Ê3- Çàãâàð÷ëàõ 3ÌÀ2:Ê3/1- Àìüäðàë àõóéí àñóóëò áîëîí áîëîãûí ãîë ñàíàà óÿëäàà õîëáîîã àëãåáðèéí òîâ÷ áè÷èãëýë çóðàã òýìäýãëýëýýð çàãâàð÷ëàí ä¿ðñëýõ 3ÌÀ2:Ê3/2- Òîâ÷ áè÷ëýã, çóðàã òýìäýãëýëèéã àëãåáðèéí õýëä õºðâ¿¿ëæ, àñóóäëûí ìàòåìàòèê ä¿ð çóðàã ãàðãàõ 3ÌÀ2:Ê3/3- Àñóóëò áîäëîãûí ºãºãäëèéã èíòåãðàëûí ÷àíàð õýðýãëýí õóâèðãàæ óã áîäëîãûã õÿëáàð õýëáýðò íü øèëæ¿¿ëýõ 3ÌÀ2:Ê3/4-Áîäëîãûí äîòîîä ìºí ÷àíàðûã ìàòåìàòèê àðãààð òîîöîîëæ áîäëîãûã øèéäâýðëýí ¿ð ä¿íã øàëãàæ øèíæëýõ Ê4- Àñóóäàë øèéäâýðëýõ 3ÌÀ2:Ê4/1-Èíòåãðàë áîëîí ò¿¿íèé ¿éëäýëòýé õîëáîîòîé àñóóäàë, áîäëîãûí ºãºãäºë øèéäâýðëýëò áîäëîãûí òàâèëûã á¿ðýí óõààðàõ 3ÌÀ2: Ê4/2- ªìíºõ ìýäëýã òóðøëàãàà àøèãëàí àñóóëò áîäëîãûã øèéäâýðëýõ àðãà òºëºâëºãºº áîëîâñðóóëàõ 3ÌÀ2:Ê4/3- Áîëîâñðóóëñàí àðãà òºëºâëºãººãºº õýðýãæ¿¿ëýõ, õýðýãæ¿¿ëñýí àëõàì á¿ðèéí ä¿íã äîð äîð íü øàëãàæ õýâøèõ2ÌÀ2:Ê4/4- Áîäëîãî áîäñîí àðãà ä¿íãýý ýðãýí øèíæèëæ àñóóäëûã øèéäâýðëýýä ä¿íã øàëãàæ øèíæëýõ Æèøèã äààëãàâàð: 3ÌÀ2:Ýíý õýñýãò äýýðõ øàëãóóðóóäàä íèéö¿¿ëýí ¿íýëãýýíèé æèøèã äààëãàâàð áóþó á¿ëýã ñýäâèéí ÿâöûí áîëîí ýöñèéí ¿íýëãýýíèé ìàòåðèàëûã áîëîâñðóóëæ îðóóëàâ. Ñóðãàëòûí îð÷èí

6


Ìàòåðèàëëàã ¯éë àæèëëàãààíû îð÷èí

Ñýòãýë ç¿éí îð÷èí

o Á¿ëýã ñýäâèéí õºòºëáºð

o ¯ç¿¿ëýí o Òàðààõ ìàòåðèàë o Ñîðèëãûí

õóâèëáàð o Òåõíèê õýðýãñýë o Ñóðàõ áè÷èã,

ñóðãàëòûí ìàòåðèàë o Òåñò ñîðèëãûí íîìo Ýëñýëòèéí

øàëãàëòûí ìàòåðèàëóóä o Ñîíãîñîí áîäëîãóóä

o Áàãøèéí ÷èãë¿¿ëýã

o Àæèëëàõ äàñãàë

äààëãàâðûí ñàí o Áàãø

ñóðàã÷äûí õàìòûí àæèëëàãàà

o Áàãø ñóðàã÷èéí õàðèëöààíû ñàéí îð÷èí

o Ñóðàõ ñóðãàõ ýðìýëçýë

o Òåõíèêèéí á¿ðýí á¿òýí áàéäàë

o Àíãèéí ýð¿¿ë àõóéí øààðäëàãà

o Áàãøèéí ¿ëãýðòýé

áàéäàë o Íýýëòòýé

õ¿ëýýöòýé áàéäàë

Õºòºëáºðèéí ¿íýëãýý: Õºòºëáºð íü áîëîâñðóóëàõ õýðýãæ¿¿ëýõ ¿íýëýõ õºãæ¿¿ëýõ ãýñýí òàñðàëòã¿é ÿâàãäàõ ¿éë ó÷ðààñ õºòºëáºðºº áîëîâñðóóëæ õýðýãæ¿¿ëñíèé äàðàà ¿íýëæ ñóäàëæ øèíæèõ íü ÷óõàë. ªºðººð õýëáýë õºòºëáºðèéã õýðýãæ¿¿ëýõ ÿâöàä ÿìàð àëäàà ãàð÷ áàéíà öààøèä áîëîâñðóóëàõ õýðýãëýõýä þóã àíõààðàõ çýðãèéã áàéíãà àæèãëàæ ¿íýëýëò ä¿ãíýëò õèéæ áàéõ õýðýãòýé.Ìºí áàãø çààñàí õè÷ýýëèéíõýý àðãà ç¿é áîëîí á¿ð öààøèëáàë áàãøèéí àñóóõ àñóóëò, òàéëáàð æèøýý íü õ¿¿õäýä îéëãîìæòîé , ýíãèéí ºìíºõ ìýäëýã äýýð òóëãóóðëàñàí áàéõ çýðãèéã õàðãàëçàæ ¿çýæ òîîöîîëñîí áàéõ õýðýãòýé. Ñàéí òºëºâëºí áîëîâñðóóëæ õýðýãëýñýí õýðýãëýãäýõ¿¿í íü õè÷ýýë äýýð ñóðàã÷äûí ¿éë àæèëëàãàíû óäèðäàìæ áîëîõ áà òýäíèé ñîíèðõëûã òàòàõóéöààð áàéõ. Ñóðàã÷äûí òóõàéí õè÷ýýë äýýð ýçýìøñýí ìýäëýã, ÷àäâàðûã àãóóëãûí õ¿ðýýíä çîõèõ øàëãóóðûí äàãóó ìàòåðèàë áîëîâñðóóëàí ¿íýëæ ò¿¿íä ¿íäýñëýí àíàëèç õèéæ ä¿ãíýëò ãàðãàíà.

7

1.ªíººäðèéí õè÷ýýëèéí òóõàé ñýòãýãäëýý äàðààõ çóðãèéí àëü òîõèðîõîîð èëýðõèéëýýðýé. /Áè÷ñýí ¿ãèéí äîîãóóð çóðíà óó./

ãî¸ äóíä çýðýã îíöã¿é

2.ªíººäðèéí õè÷ýýëýýñ ñóðñàí, îéëãîñîí ãîë ç¿éë þó âý? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .. . …. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.Áàãøèä õýëýõ ñàíàë.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ..


Áàãø ººðèéí áàãøëàõ ¿éë àæèëëàãààíû ÷àíàðûã ¿íýëýõ õóâèëáàð: Áàãøèéí õè÷ýýëèéí ¿ð ä¿íã ¿íýëýõ ãîë õýìæ¿¿ð íü ñóðàã÷äûí ñýòãýë õàíàìæèéí áàéäàë, òýäíèé ¿íýëãýý þì. Èéìýýñ õè÷ýýë á¿ðèéí äàðàà ñóðàã÷äûí ñàíàë ñýòãýãäëèéã ñóäëàõ çîðèëãîòîé äàðààõ ñàíàë àñóóëãûí õóóäñûã áîëîâñðóóëàí òàðààæ íºõºí áè÷¿¿ëýýä ä¿ãíýëò õèéíý. Ýíý íü áàãøèéí õè÷ýýë äýýð ÿâóóëñàí ¿éë àæèëëàãàà áóþó òóõàéí õè÷ýýëèéí ¿ð ä¿í ¿íýëýõ ãîë õýìæ¿¿ð íü ñóðàëöàã÷èéí ñýòãýë õàíàìæ áàéäàãòàé õîëáîîòîé.

Õè÷ýýë á¿ðèéí äàðàà ä¿ãíýëò õèéõ íü ìàø ÷óõàë ó÷ðààñ õè÷ýýëä õýðõýí àíàëèç õèéõ ÿìàð øàëãóóðààð ¿íýëæ áîëîõûã äàðààõ õ¿ñíýãòýýð õàðóóëàâ. Ä¿ãíýëòèéã îíîâ÷òîé õèéõ íü ñóðàã÷äûí òóõàéí õè÷ýýë äýýð ýçýìøñýí ìýäëýã ÷àäâàð îéëãîëòûí áàéäëûã àíçààð÷ ñóðàã÷äûí õýðýãöýý ñîíèðõëûã ìýäýõ íü äàðààãèéí õè÷ýýëèéí àðãà ç¿éã òºëºâëºõºä õýðýãòýé ãýæ ¿çýæ áàéíà.

8

Õ¿¿õäèéí ñýòãýë õàíàìæèéí ñóäàëãàà íü õ¿¿õä¿¿ä õè÷ýýë äýýð þó îéëãîñíîî áè÷èõýýñ ãàäíà áàãøèéí õàðüöàà öààøäûí ¿éë àæèëëàãààíû òàëààð þó áîäîæ ÿâäãèéã àæèãëàæ ìýäýæ áîëíî.


ÍÎÌ Ç¯É

1. Ìàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûí ñòàíäàðò ÓÁ. 2005 îí 2. Ìàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûí ñòàíäàðòûí çºâëºìæ ÓÁ. 2003 îí 3. Ìàòåìàòèê -11 ñóðàõ áè÷èã 2007 îí 4. Àëãåáð áà àíàëèçûí ýõëýë -10 5. “Ñóðàõ ¿éëèéí áàðèìæààãààð ñóðàëöàõóéã äýìæèõ àðãà

ç¿é ” ÇªÂËªÌÆ/ìàòåìàòèê/-II 20086. “Àñóóäàë øèéäâýðëýõ çàìààð ìýäýýëëèéã ìýäëýã áîëãîí

õóâèðãàõ àðãà ç¿é” ÇªÂËªÌÆ/ìýäýýëýë ç¿é /-II 7. Ìàòåìàòèêèéí øàëãàëòàíä áýòãýõýä çîðèóëñàí ãàðûí

àâëàãà

9


ÕÈ×ÝÝË - 1Ñýäýâ: Ýõ ôóíêö Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги

Çîðèëãî: Ôóíêöèéí ýõ ôóíêöèéã îëæ ñóðàõ Çîðèëò:

“Èíòåãðàë” óõàãäàõóóíû õýðýãöýýíèé òóõàé òîâ÷ ìýäýýëýë õèéõ Ôóíêö áîëîí ôóíêöèéí óëàìæëàëûã îëîõ äèôôåðåíöèàë÷ëàõ

¿éëäëèéã ñýðãýýí ñàíàõ Ýõ ôóíêöèéí òóõàé åðºíõèé îéëãîëòòîé áîëîõ Øèíý ìýäëýãèéã áîäëîãî äàñãàëààð áàòàòãàõ

Àãóóëãà: ªìíº ñóäàëñàí àãóóëãà Öààøèä ñóäëàõ àãóóëãà

ªìíºõ àíãèä ¿çñýí Ôóíêöèéí òóõàé åðºíõèé

îéëãîëò áîëîí ò¿¿íèé àíãèëàë Ôóíêöèéí óëàìæëàë îëîõ

ä¿ðì¿¿äèéã õýðýãëýõ

Òîäîðõîé áóñ èíòåãðàëûã òîäîðõîéëîõ

Èíòåãðàë îëîõ ä¿ðýì, ÷àíàð Òîäîðõîé áóñ èíòåãðàë áîäîõ

Àðãà ç¿é: Õè÷ýýëä òàéëáàð ÿðèàíû áîëîí õàðèëöàí ÿðèàíû àðãûã õýðýãëýõ.

Õè÷ýýëèéí ÿâö:Õè÷ýýëè

éí ýëåìåíò

/õóãàöàà/

Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà

A. Áàãøèéí òàâèõ àñóóëò

Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà

B. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò õàðèóëò

Àíõààðàõ ¿íýëýõ ç¿éë

Ãýðèéí äààëãàâ

àð øàëãàõ/5 ìèí/

-ªìíºõ íü ¿çñýí “óëàìæëàë îëîõ” áîäëîãóóäûã áèå äààëòààð ºãñºí áàéíà. - Ýíý áîäëîãóóäûã áîäîõîä ÿìàð áýðõøýýë áàéñàí áîäîæ ÷àäààã¿é áîäëîãîä òàéëáàð õèéõ - Ñóðàã÷äûí áîäîëò õèéñýí ýñýõèéã åðºíõèéä íü áàãø ñóðàã÷äûí äóíäóóð ÿâæ øàëãàíà. Òýäíèé áèå äààæ äààëãàâàð àëü çýðýã ã¿éöýòãýæ áàéãààä ä¿ãíýëò õèéíý

10


-Àëäàà ãàðãàñàí áîäëîãûã ñîíãîæ áîäîëò õèéíý

Áîäîëòûã ñàéí îéëãîõ, áàãøààñ àñóóæ ëàâëàõ

Äààëãàâðûí áèåëýëò

ºìíºõèéã

ñýðãýýí ñàíàõ

/10 ìèí /

Áîäñîí áîäëîãî äýýðýý òóëãóóðëàí óëàìæëàë îëîõ ä¿ðýì ñýðãýýõ

Ä¿ðì¿¿äýý õýðõýí àøèãëàñíàà èëýðõèéëýõ

Óëàìæëàë îëîõ íü øèíý ìýäëýãèéí ãîë òóëãóóð óõàãäàõóóí áîëîõ ó÷èð ãîë÷ëîí àíõààð÷ ñàéí ñýðãýýõ

Äèôôåðåíöèàë÷ëàõ ¿éëäëèéí òóõàé ñýðãýýí ñàíàõ

Ôóíêöèéí óëàìæëàë îëîõ ¿éëäëèéã äèôôåðåíöèàë÷ëàõ ¿éëäýë ãýäãèéã ñàíàõ

Óëàìæëàëûí ä¿ðýì òóñ á¿ð äýýð õÿëáàð æèøýý ñîíãîõ

y=2 óëàìæëàë îëy=x3−2 x2+1 óëàìæëàë îë

y=1−sinx2+sinx

y=2 xsinx−( x2−4 ) cosx

Ìýäëýã á¿òýýõ/15 ìèí/

A. Áèä ôóíêöèéí óëàìæëàë îëæ äèôôåðåíöèàë÷ëàõ ¿éëäëèéã ã¿éöýòãýæ áàéãàà áîë ýíý ¿éëäëèéí óðâóó ¿éëäýë ãýæ áàéæ áîëîõ óó? Õýðýâ áîëíî ãýæ ¿çâýë òà íàð þó ãýæ ¿çýæ áàéíà âý?

B.Áàéæ áîëîõ òàëòàé B. Ýíý íü (∎ )¿=2 x òýíöýòãýë áèåëýõ ôóíêöèéã ▀ -èéí îðîíë íºõºæ áè÷. Ãýñýí áîäëîãîòîé èæèë óòãàòàé

Ñóðàã÷äûí æèøýýí äýýð òóëãóóðëàí ò¿¿íòýé óÿëäóóëàí òîäîðõîéëîëò ãàðãàõ

Мөн x2 ýíý ôóíêöèéí óëàìæëàë íü 2õ áèø ãýäãèéã õàðàõ

( x2 )¿=2 x ( x2+2 )¿=2 x

( x2−7 )¿=2 x ýíäýýñ ( x2+C )¿=2 x ãýäãèéã òîäîðõîéëîõ

А. x2+C íü 2õ ôóíêöèéí ýõ ôóíêö áîëäîã áîë ýõ ôóíêöèéã þó ãýæ

Æèøýýíèé áè÷èãëýëèéã

ñàéí àíõààðàõ

11


òîäîðõîéëæ áîëîõ âý? Ýõ ôóíêöèéã

òîäîðõîéëîõîä ÷èãë¿¿ëýõ äºõ¿¿ëýõ

( x2+C )¿=2 x òýíöýòãýë áèø áèåëýõ ( x2+C )❑ ôóíêöèéã ºãºãäñºí 2õ ôóíêöèéí ýõ ôóíêö ãýíý. Ñ. F¿ ( x )=f ( x ) òýíöýòãýë áèåëýõ F ( x ) ôóíêöèéã ºãºãäñºí f ( x ) ôóíêöèéí ýõ ôóíêö ãýíý.

Æèøýýã áîäîõîä òàéëáàð õèéõ

f ( x )=x3 ôóíêöèéí¿−∞ ;∞¿ çàâñàð äýýðõ ýõ ôóíêöèéã îë.

¿0 ;∞ ¿ çàâñàð äýýð òîäîðõîéëîãäñîí F ( x )=√x+x+4 ôóíêö ÿìàð ôóíêöèéí ýõ ôóíêö âý?

Ìýäëýãýý

õýðýãëýõ

/15ìèí /

Áîäëîãî äàñãàëäñîíãîëò õèéæ áîäëîãî áîäîõîä òàéëáàð õèéõ

Ýõ ôóíêöèéã îëîõ äàðààõ õýëáýðèéí ôóíêö¿¿äèéã áîäîõ

f ( x )=√x+2 3√x F ( x )=2 x2+ x−1 íü f ( x )=4 x+1 áîëîõûã øàëãà f ( x )=x+sin 2 x f ( x )=sinx+2cosx f ( x )=x4−3 x2+2 x+10

Áîäëîãûí óòãà áîäîõ àðãàä çºâ ñîíãîëò õèéõ Áèå äààí àæèëëàõ ÷àäâàð, èäýâõ

Ãýðèéí äààëãàâàð ºãºõ

БИТПРЕСС Математик-11 Ñóðàх бичгийн ¹1-5 õ¿ðòýëõ áîäëîãóóäèéã áîäîõ

12


ÕÈ×ÝÝË – 2

Ñýäýâ: Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëын чанарууд Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги

Çîðèëãî: Òîäîðõîé áóñ èíòåãðàëûã áîäîæ ñóðàõ Çîðèëò:

Ýõ ôóíêö îëîõ ä¿ðìèéã äàâòàõ Èíòåãðàëûã òîäîðõîéëîõ, áè÷èæ òýìäýãëýæ, óíøèõ Õÿëáàð ôóíêö¿¿äèéí óëàìæëàëûí òîìú¸îíîîñ èíòåãðàëûí ¿íäñýí òîìú¸îã

òîäîðõîéëîõ Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëèéí ÷àíàð òîäîðõîéëîõ Òîìú¸î áîëîí ÷àíàð õýðýãëýõ


Ýõ ôóíêö îëîõ Ýõ ôóíêö áîëîõûã áàòëàí

õàðóóëàõ

Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëын чанарууд

Тодорхойгүй интеграл áîäîõîä õóâüñàã÷èéã ñîëüæ îðëóóëàõ àðãà õýðýãëýõ

Àðãà ç¿é: Асуудал дэвшүүлэн шийдвэрлэх àðãà õýðýãëýíý. Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ¯ç¿¿ëýí-2.1, 2.2 2.3 /èíòåãðàëèéí ÷àíàð èëýðõèéëñýí ñëàéäóóä / Ñëàéä-2.4 2.5 2.6 2.7 / Èíòåãðàëèéí ¿íäñýí òîìú¸îã àãóóëñàí ñëàéä / Êîìïüþòåð, ïðîåêòîð Õè÷ýýëèéí ÿâö:Õè÷ýýëè

éí ýëåìåíò



Àíõààðàõ ¿íýëýõ

13


/õóãàöàà/

Á. Áàãøèéí òàâèõ àñóóëò

Ñ. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò õàðèóëò

ç¿éë


àð øàëãàõ/10 ìèí/

Äààëãàâàðò ºãñºí

áîäëîãóóäààñ 5 áîäëîãî ñîíãîæ õàìòàð÷ áîäîõ áà ãàðãàñàí àëäààíä ä¿ãíýëò õèéæ ÿðèëöàõ

Äàðààõ áîäëîãóóäûã áîäîõ 1г, 2Д,3В, 3Е,5

Èíòåãðàë áîäîõîä ýõ ôóíêö îëîõ ìýäëýã òóëãóóð áîëæ ºãºõ ó÷ðààñ øèíý ìýäëýãèéã á¿òýýõýä òóñ äºõºì áîëîõ

Ìýäëýã á¿òýýëã

ýõ/15 ìèí/

Èíòåãðàëûí òîäîðõîéëîëòûã øóóä ìýäýýëýë ºãºõ ∫ f ( x )dx

áè÷èãëýëèéã òàéëáàðëàí óíøèæ ºãºõ

Èíòåãðàëûí òîäîðõîéëîëòûã

áè÷èæ òýìäýãëýæ àâàõ /Хуу-117/

Òîäîðõîéëîëòûã ñàéí îéëãîæ òýìäýãëýæ àâàõ, ó÷ðûã îëîõ

Òîìú¸î áà ÷àíàðûã ÿëãàæ õýðýãëýõ

Òîäîðõîéëîëòûã õýðõýí îéëãîñîí ýñýõ

ªìíºõ õè÷ýýëèéí æèøýý áîëîõ( x2 )¿=2 x áàéäàã áîë ýíý õýëáýðèéã èíòåãðàë õýëáýðò ÿàæ øèëæ¿¿ëæ áè÷èõ âý?

∫2 xdx=x2+C ãýäãèéã òîäîðõîéëîëòîîñ ¿íäýñëýí ººðñäºº áè÷èõ

( x )¿=1 ãýäãèéã èíòåãðàëä øèëæ¿¿ëæ áè÷èõ ∫1 dx=¿∫ dx=x+C ¿

Ү ð ä¿í: Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë íü óëàìæëàëûí óðâóó ¿éëäýë þì ãýñýí ä¿ãíýëò õèéõ Èíòåãðàëûí ¿íäñýí

òîìú¸îíóóäûã ñëàéäààð ¿ç¿¿ëæ òàéëáàðëàõ Òîäîðõîéã¿é

èíòåãðàëûí ÷àíàðûã ñëàéäààð ¿ç¿¿ëýõ

Èíòåãðàëûí ¿íäñýí òîìú¸îíóóäûã áè÷èæ òýìäýãëýæ àâàõ

÷àíàðûã òýìäýãëýõ, ó÷ðûã îëîõ

Ýõ ôóíêöèéã èíòåãðàëä øèëæ¿¿ëæ áè÷èõ

Ìýäëýãý Ìýäëýãýý Äàðààõ õýëáýðèéí Òóõàéí

14


ý õýðýãëý

õ/15

ìèíóò/

õýðýãëýõ áîäëîãî äàñãàë ñîíãîõ ×àíàð áîëîí ¿íäñýí

òîìú¸îíóóäûã õýðõýí õýðýãëýõ òàëààð çºâëºãºº áîëîí òàéëáàð ºãºõ Ñóðàã÷äûí

áîäîëòîíä õÿíàëò òàâüæ àëäààíä ä¿ãíýëò õèéõ А. ∫7 dx èíòåãðàë áîä ∫7 xdx èíòåãðàë áîä . . . . А. Äàñãàë ¹7 àæèëëàõàä äýìæëýã ¿ç¿¿ëýõ

áîäëîãóóäûã áîäîõ Áîäëîãî áîäîõîä ÷àíàð

áîëîí ¿íäñýí òîìú¸íóóäûã çºâ õýðýãëýõ Б. ∫7 dx=7∫ dx=7 x+c

∫7 xdx=7∫ xdx=5∙ x1+1

1+1+c=7

2x2+c

. . . Б. Äàñãàë¹ 7 áîäîõ

áîäëîãîä ÿìàð ÷àíàð õýðýãëýõ âý ãýäãèéã ñàéí çºâ ñîíãîõ õýðýãòýé

Áèå äààí àæèëëàõ ÷àäâàð èäýâõè

Äààëãàâàð ºãºõ

Á. Äàñãàë 10-ûã áîäîõîä ÷àíàð 4-ûã ÿàæ àøèãëàõ òàëààð òàéëáàð ºãºõ

Äàñãàë¹ 8, 9 10 Áîäëîãûã çºâ áîäîõ

ÕÈ×ÝÝË – 3 Ñýäýâ: Áàòàòãàë õè÷ýýë Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги

Çîðèëãî: Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûí ÷àíàð áà ¿íäñýí òîìú¸îíóóäûã õýðýãëýõ, áîäëîãî ÷àäâàð íýìýãä¿¿ëýõ, áèå äààæ àæèëëàõ èäýâõ ñàéæðóóëàõ Çîðèëò:

Õÿëáàð áîäëîãî áîäîõ Èíòåãðàëûí ÷àíàðûã òîãòîîõ, ашиглаж сурах Орлуулагын аргыг ашиглаж сурах

15


Èíòåãðàëûí ÿíç á¿ðèéí õýëáýðèéí áîäëîãî áîäîõ Èíòåãðàëûí õÿëáàð òîìú¸îã òîãòîîõ õýðýãëýõ Áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðàà íýìýãä¿¿ëýõ

Àðãà: Äàñãàëûí àðãà, Áèå äààæ àñóóäàë øèéäâýðëýõ

Õýðýãëýãäýõ¿¿í: Ном, Сурах бичиг, Томъёоны дэвтэр

Õè÷ýýëèéí ÿâö:

Õè÷ýýëèéí

ýëåìåíò/

õóãàöàà/


А. Áàãøèéí òàâèõ àñóóëò


Б. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò õàðèóëò


ç¿éë

Á¿òýýë÷ ¿éë

/40 ìèí/

Ñóðàã÷äûí áîäîëòîíä õÿíàëò òàâèõ

Ãàðãàñàí àëäààíä

òàéëáàð õèéõ

Ñóðàã÷äûí áîäîõ

èäýâõèéã ºðí¿¿ëýõ

Ñóðàã÷äûã ¿íýëæ

ä¿ãíýõ

Сурах бичгийн № 9-13

Áîäëîãûã èäýâõòýé ¿íýí çºâ áîäîõ

Ãàðãàñàí àëäààíäàà ä¿ãíýëò õèéõ

Áîäëîãî á¿ðèéí óòãûã ñàéí îëîõ.

Äààëãàâàð òóñ á¿ðèéí ÿëãàà, óòãûã ñàéí îëîõ

Äààëãàâàð

Бодоогүй үлдсэн бодлогоо бодох

ÕÈ×ÝÝË-4Ñýäýâ: Õóâüñàã÷èéã ñîëüæ èíòåãðàë÷ëàõ

16


Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги

Çîðèëãî: äàâõàð ôóíêöèéí èíòåãðàëûã øèíý õóâüñàã÷ õýðýãëýí áîäîæ ñóðàõ Çîðèëò:

Äàâõàð ôóíêö áà äàâõàð ôóíêöýýñ óëàìæëàë ìýäëýãèéã ñýðãýýõ Õóâüñàã÷èéã ñîëüæ èíòåãðàë÷ëàõ áà îðëóóëàõ àðãûã

òîäîðõîéëîõ Õóâüñàã÷èéã ñîëüæ èíòåãðàë÷ëàõ àðãûã õýðýãëýæ àñóóäàë

øèéäýõ Àãóóëãà :

ªìíº ñóäàëñàí àãóóëãà Öààøèä ñóäëàõ àãóóëãà Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûí

÷àíàðûã àñóóäàë øèéäâýðëýõ

Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëèéí ¿íäñýí òîìú¸îíóóäûã õýðýãëýõ

Орлуулагын арга Õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ

àðãûã õýðýãëýõ

Ñóäëàãäàõóóí Óð óõààí

Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë áîäîõ õóâüñàã÷èéã ñîëèõ áà îðëóóëàõ àðãà

Äàâõàð ôóíêöèéã òîìú¸îãîîð èëýðõèéëýõ

Èíòåãðàëûí äîîðõ äàâõàð ôóíêöèéã òîìú¸îãîîð ä¿ðñëýõ

ßìàð îðëóóëãà õèéõèéã òîäîðõîéëîõ ºõ îðëóóëãûã îíîâ÷òîé õèéõ

Õè÷ýýëèéí ÿâö: ¯å øàò Áàãøèéí ¿éë

àæèëëàãààÑóðàã÷èéí ¿éë

àæèëëàãààÀíõààðàõ

ç¿éë, ¿íýëãýý

ºìíºõèéã ñýðãýýí ñàíàõ

/10 ìèí/

Äàâõàð ôóíêö ãýæ

ÿìàð ôóíêöèéã õýëýõ ò¿¿íèéã òîìú¸îãîîð èëýðõèéë. Æèøýý ãàðãàõ Äàâõàð ôóíêöèéí

óëàìæëàë ÿìàð ä¿ðìýýð îëîõ âý?

y=f (u ) ,u=g ( x ) ãýñýí õî¸ð ôóíêö ºãºãäñºí óãñàð÷ ãàðàõ y=f ( g ( x )) -ã äàâõàð ôóíêö ãýíý

y= (x−3 )3 íü y=x−3 äýýð y=x3- ã óãñðàõàä ¿¿ññýí.

F (u ( x ) )¿=F¿ (u ( x ) ) ∙u¿ ( x )

Äàâõàð ôóíêöýýñ èíòåðàë àâàõàä õýðýãëýãäýõ ó÷èð ÿìàð ÿìàð ôóíêö¿¿äýýñ á¿òñýíèéã

17


f ( x )= (4 x+5 )10-ûí óëàìæëàë îë.f ¿ ( x )=10 ∙ ( 4 x+5 )9 ∙ 4=40 (4 x+5 )9

ñàéí òîãòîîõ

Àñóóäàë äýâø¿¿ë

æ øèéäâýð

ëýõ/5 ìèí/

Æèøýý ñîíãîõ Æèøýýã áîäîæ

òàéëáàð õèéõ А. ∫ x2 sinx3dx=1

3∫ sinx3 ( x3 )¿dx ýíä ÿìàð îðëóóëãà õèéæ áîëìîîð áàéíà âý? èæèë àðãóìåíò áàéíà óó? А. îðëóóëãûã õèéñíèé äàðàà èíòåãðàë ÿìàð õýëáýðò øèëæèõ âý?А. Èíòåãðàëûã ã¿éöýýæ áîäñîíû äàðàà ãàðñàí õàðèóíä áóöàæ îðëóóëãà õèéõ çýðãýýð òàéëáàð õèéõ

∫ x2 sinx3dx èíòåãðàëûã áîä

( x3 )¿=3 x2 ãýäãèéã ñàéí àíõààð÷ èíòåãðàë áè÷âýë ∫ x2 sinx3dx=1

3∫ sinx3 ( x3 )¿ dx

x3 èæèë áàéãàà àæèãëàõ

x3=t îðëóóëãà õèéæ áîëîõûã õàðàõ

∫ x2 sinx3dx=13∫ sintdt=−1

3cost+C=−1

3cos x3+C

Èíòåãðàëûã õÿëáàð ¿íäñýí òîìú¸îãîîð áîäîõ õýëáýðò øèëæ¿¿ëýõ


ýõ/10 ìèí/

Òîìú¸îã òîäîðõîéëîõîä ÷èãë¿¿ëýõ ºìíºõ æèøýýòýé õàðüöóóëàí óÿëäóóëàí õîëáîõ

Æèøýý ñîíãîõ õàìòàð÷ òàéëáàð õèéæ áîäîõ

∫ f ( x )dx=F ( x)+C áîë äóðûí u=u (x ) ôóíêöèéí õóâüä ∫ f (u ( x ) ) ∙ u¿ ( x ) dx=F (u ( x ) )+C áîëíî ãýäãèéã õàðèëöàí ÿðèà òàéëáàð ÿðèà áîëîí àæèãëàëòûí ¿íäñýí äýýð ãàðãàõ

∫ xdx1+x4

èíòåãðàëûã áîäîõ

Îðëóóëãà çºâ õèéæ ò¿¿íèé ýõ ôóíêöèéã îëîõ Èíòåãðàëä øèëæ¿¿ëýí áè÷èõ Áóöààæ îðëóóëñàíàà áóöààæ îðëóóëàõ

Ñóðàã÷äûí áèå

Ñóðàã÷äûí áîäîëòîíä õÿíàëò

Ñóðàõ áè÷ãèéí äàñãàë ¹14-èéí à-è

Ñóðàã÷äûí õèéæ

18


äààñàí ¿éë

àæèëëàãàà /15

ìèí/

òàâèõ Àëäààíä

òàéëáàð õèéõ

áîäîõ áàéãàà ¿éëäýëä õÿíàëò òàâèõ

Äààëãàâàð

Ñóðàõ áè÷ãèéí äàñãàë¹ 15à-ç

ÕÈ×ÝÝË-5Ñýäýâ: Õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ ä¿ðýì Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги

Çîðèëãî: Èíòåãðàëûí ÷àíàð áîëîõ õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ ä¿ðìèéã õýðýãëýõ Çîðèëò:

¯ðæâýðèéí óëàìæëàëûí òîìú¸îíîîñ õýñýã÷ëýí èíòåãàðë÷ëàõ ä¿ðìèéí ñàíààã ãàðãàõ

Äýýðõ ñàíààíààñ ä¿ðìýý òîäîðõîéëîõ Ä¿ðìèéã õýðýãëýõ ÷àäâàð òºëºâø¿¿ëýõ

Àãóóëãà:ªìíº ñóäàëñàí àãóóëãà Öààøèä ñóäëàõ àãóóëãà

¯ðæâýðèéí óëàìæëàë îëîõ ä¿ðýì

Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë áîäîõ

Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë áîäîõ á¿õ àðãóóäààñ òîõèðîõûã íü ñîíãîõ õýðýãëýõ

Àðãà ç¿é: Àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðë¿¿ëýõ, àæèãëàëòààñ ä¿ãíýëòýíä õ¿ðýõ Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ÒªÌ-5.1 ñóðàõ áè÷èã, áîäëîãûí õóðààìæ Õè÷ýýëèéí ÿâö:¯å øàò Áàãøèéí ¿éë

àæèëëàãààÑóðàã÷èéí ¿éë

àæèëëàãààÀíõààðàõ ç¿éë, ¿íýëãýý

ºìíºõèéã ñýðãýýõ/10ìèí/

Õóâüñàã÷ ñîëüæ

èíòåãðàë÷ëàõ àðãààð áîäîãäîõ äàðààõ áîäëîãóóäûã

∫ ( 4 х−7 )8dx ýíä t=4 х−7 ãýñýí îðëóóëãà õèéæ ∫ t 8 1

4dt õÿëáàð

èíòåãðàëä øèëæèíý

Àðãûã îíîâ÷òîé

çºâ

19


ñîíãîíî.∫ ( 4 х−7 )8dx

∫ dx(5 x+1 )4

Ñóðàã÷äûí áîäîëòîíä õÿíàëò òàâèõ ÿðèëöàõ, òàéëáàðëàõ

∫ dx(5 x+1 )4

ýíä 5 x+1=t

îðëóóëãà õèéæ 15∫ t−4 dt

èíòåãðàëä øèëæèæ −115t 3 +C

èëýðõèéëýëä áóöàæ îðëóóëàãà õèéíý.

õýðýãëýõ

Ñýäýëæ¿¿ëýõ

àñóóäàë øèéäâýðëýõ /5ìèí /

А.∫ ex x2 dx áîä. ßìàð àðãà õýðýãëýõ âý? . .Õýðýâ áîäîõîä áýðõøýýëòýé áàéâàë äàðààõ äàðààëëûí áàðèìòëàíà óó?

Ñóðàã÷äûã õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ ä¿ðýì òîäîðõîéëîõîä ÷èãë¿¿ëýõ, äýìæèõ, òóñëàõ

Б. Èíòåãðàë ÿìàð ÿìàð ôóíêöýýñ òîãòñîí áàéãààã àæèãëàæ òóñ òóñàä íü áè÷èõ Б. u=u (x ) v=v ( x ) íü õ-ýýñ õàìààðñàí òàñðàëòã¿é óëàìæëàëòàé ôóíêö áàéã. Òýãâýë ¿ðæâýðèéí óëàìæëàëûí òîìú¸î áè÷. Б. Òîìú¸îíîîñ u ∙ v¿ èëýðõèéëëèéã îëíî. ∫u ∙ dv=¿¿ . . . . èëýðõèéëýë þóòàé òýíö¿¿ áîëîõûã òîäîðõîéëæ íýðëýõ.

ºìíºõ ¿çñýíýý ñýðãýí ñàíàõ õýðýãëýõ èëýðõèéëýë õóâèðãàõ

Ãàðàõ ¿ð ä¿í: Õýñýã÷ëýí èíòåãàðë÷ëàõ ÷àíàðûã òîäîðõîéëîõ óã òîìú¸îíû ãàðãàëãàà õèéõ.

Ìýäëýã á¿òýýõ/10 ìèí /

Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëò, ñýäâèéã õàìòàð÷ òîäîðõîéëîõ

∫ ex x2 dx æèøýýã

õàìòàð÷ áîäîõ øèíý òîäîðõîéëñîí ä¿ðìýý ÿàæ õýðýãëýæ áàéãààã òàéëáàðëàõ

Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëò ñýäâýý òîäîðõîéëîõ

ªìíº íü äýâø¿¿ëñýí æèøýý áîäëîãîîð øèíý ìýäëýãýý áàòàòãàõ.

∫ xsinxdx áèå äààæ áîäîõ

20


∫ xsinxdx æèøýýã ñîíãîõ

Ñóðàã÷äûí áèå äààñàí

¿éë àæèëëàã

àà /15ìèí/

Ñóðàã÷äûí áîäîëòîíä õÿíàëò òàâèõ

Àëäààíä òàéëáàð

õèéõ

ªãºãäñºí äààëãàâðûã áèå

äààí áîäíî Áîäîëòîíäîî ä¿ãíýëò

õèéí áèå äààñàí ¿éë àæèëëàãààãàà ñàéæðóóëàõ

Äààëãàâàð

Ñóðàõ áè÷ãèéí äààëãàâàð ¹16-19

Дараагийн хичээл сэдвийн шалгалт-1 авна шалгалтын материал хавсаргав.

ÕÈ×ÝÝË-7 Ñýäýâ: Òîäîðõîé èíòåãðàë Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги

Çîðèëãî: Íüþòîí – Ëåéáíèöèéí òîìú¸î àøèãëàí òîäîðõîé èíòåãðàëûã áîäîæ ñóðàõ Çîðèëò:

Òîäîðõîé èíòåãðàëûã òîäîðõîéëîõ, áè÷èõ, òýìäýãëýõ Òîäîðõîé èíòåãðàëûí ýõ ôóíêöèéí õîëáîî õàìààðëûã ãàðãàõ Íüþòîí –Ëåéáíèöèéí òîìú¸îã òîäîðõîéëîõ Áîäëîãî äàñãàëààð øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ

Àðãà ç¿é: Àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ, ä¿ãíýëò õèéõ, àæèãëàëò õèéõ. Òàéëáàð ÿðèà Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ¯ç¿¿ëýí 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 /õîëáîãäîõ òîìú¸î òîäîðõîéëîëò àãóóëñàí ñëàéäóóä /Õè÷ýýëèéí ÿâö: Õè÷ýý-

ëèéí ýëåìåíò

/õóãàöà

à/





Àíõààðàõ ¿íýëýõ ç¿éë

21


Ñýäýë òºð¿¿ëý

õ/5 ìèí/

Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýýíèé áîäëîãî ñîíãîõ “Ïàðàáîë ìóðóé õýëáýðòýé çàì áàéâ. Õýðýâ 100ì-èéã 1 íýãæ áîëãîí àâáàë óã ïàðàáîë íü (0;0) (2;1) (4;4) êîîðäèíàòòàé öýã¿¿äèéã äàéðíà. Óã çàì áà øóëóóí çàìóóäààð õ¿ðýýëýãäñýí öýöýðëýãèéí òàëáàéã îë. “А. Ýíý áîäëîãûã áîäîõîä ÿìàð ä¿ðìèéí òàëáàé îëîõ âý? А. Îëîõ ãýæ áàéãàà ä¿ðñèéã íýðëý. Áèäíèé ºìíº ìýääýã ä¿ðñ ìºí ¿¿ А. Èéì ä¿ðñèéí òàëáàéã îëîõîä òîäîðõîé èíòåãðàë õýðýãëýãäýíý.

Áîäëîãûí ó÷ðûã îëîõ Òîäîðõîé èíòåãðàëûí

õýðýãëýýã òîäîðõîéëíî.Б. Ýíý íü ìóðóéãààð õ¿õýýëýãäñýí õÿëáàð áèø ä¿ðñ áàéíà.

Б. Çàì èéìýðõ¿¿ õýëáýðòýé áàéõ áîëîâ óó?

Б. Èéì ä¿ðñèéí òàëáàéã ÿàæ îëîõ áîë ãýäýã íü ñîíèí áàéíà

Ñóðàã÷èä áîäëîãûí ºã¿¿ëáýðýýñ þó îëæ õàðñíûã õÿíàõ

Èéì òºðëèéí õýðýãëýý àìüäðàëä áàéãàà ýñýõèéã òîäîðõîéëîõ

Ãàðàõ ¿ð ä¿í: Àìüäðàëä èéì ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõ òîõèîëäîë çºíäºº ãàðäàã èéìýýñ òîäîðõîé èíòåãðàë þóíä õýðýãëýãäýõ âý? ãýñýí òºñººëºëòýé áîëëîî. Îäîî õàðèí òîäîðõîé èíòåãðàë ãýæ ÿã þó âý ÿàæ õýðýãëýõ âý? ãýñýí àñóóäàë ãàð÷ èðæ áàéãààã îéëãîõ

22


А. Äýýðõ ä¿ãíýëòýýñ

¿çýõýä áèä õýðýãëýõ ãýýä áàéãàà òîäîðõîé èíòåãðàë ãýæ þó ãýäãèéã òîäîðõîéëîõ õýðýãòýé áîëæ áàéíà. ¯¿íèé òóëä ýõëýýä áèäíèé îëîõ ãýýä áàéãàà ä¿ðñ ÿìàð íýðòýéã òîäîðõîéëú¸. Ìóðóé øóãàìàí

òðàïåöèéí òîäîðõîéëîëòûã ¿ç¿¿ëýíãýýð áýëäýæ ñóðàã÷äàä øóóä ìýäýýëýë ºãíº. /¿ç¿¿ëýí6.1/А. Ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàéã äàðààëëûí õÿçãààðòàé õîëáîæ òîâ÷ òàéëáàðëàõ

Òîäîðõîéëîëòûí ó÷ðûã îëîõ

ºìíºõ òºñººëºãäñºí çóðãàà êîîðäèíàòûí õàâòãàé äýýð ä¿ðñýëæ õÿçãààðòàé õîëáîæ îéëãîõ

Òîäîðõîéëîëòîíä àæèãëàëò ä¿ãíýëò õèéõ

Òàéëáàðûã ìàø îéëãîìæòîé õèéõ

Òîäîðõîé èíòåãðàëûí

òîäîðõîéëîëòûã ¿ç¿¿ëýíãýýð áýëòãýæ ìýäýýëýë ºãºõ /¿ç¿¿ëýí6.2/ Òîäîðõîéëîëò

äýýðýý òàéëáàð õèéõ

Òîäîðõîéëîëòûí ó÷ðûã îëæ òýìäýãëýë õèéõ Èíòåãðàëûí òýìäýãëýãýýã óíøèõ

А. Îäîî áèä íàðò ÿìàð àñóóäàë ãàð÷ èðýõ âý? Èíòåãðàë áîäîõ

àðãà áàéõ òàëààð ÿðèëöàõ

Б. Òîäîðõîé èíòåãðàëàà ÿàæ áîäîõ âý?

¯ç¿¿ëýí 6.3 6.4 Çóðãààñ ä¿ðìèéí 23


Ìýäëýã á¿òýýëãýõ/25 ìèí /

äýýð òàéëáàð õèéõ Ýíäýýñ ìóðóé

øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàé ÿàæ îëäîãèéã ä¿ãíýëò õèéæ ãàðãàíà. Òîäîðõîéëîëòûã

¿ç¿¿ëýí 6.5 õèéõ F(b)-F(a) ÿëãàâðûí

òîâ÷ áè÷èãëýëèéã ñàìáàðò áè÷èæ òàéëáàðëàõ

òàëáàé ÿàæ îëîõûã ìýäýõ Òîäîðõîéëîëòûã òîäîðõîéëæ òýìäýãëýõ Òîäîðõîéëîëò òîìú¸îíóóäûí ó÷ðûã ñàéí îéëãîõ áà õýðýâ îéëãîìæã¿é ç¿éë áàéâàë áàãøààñ àñóóæ ìýäýõ

Äýýðõ òîäîðõîéëîëòîîñ ¿íäýñëýí íüþòîí –ëåéáíèöèéí òîìú¸îã òîäîðõîéëîõ ¯ç¿¿ëýí 6.6 ∫

−2

1

x2dx èíòåãðàë áîä ãýñýí æèøýýã õàìòàð÷ áîäíî.

Äýýðõ òîäîðõîéëîëòîîñ ¿íäýñëýí òåîðåì òîäîðõîéëîõ Òîäîðõîéëîëòîî õýð ¿íýí õèéñíèéã áàãøèéí áýëòãýñýí ¿ç¿¿ëýíãýýñ õàðíà. Áîäëîãûã áîäîõ òîìú¸îã õýðõýí õýðýãëýæ áàéãààã ñàéí ó÷ðûã îëîõ õàðèó 3 ãàð÷ áàéíà.

Òîäîðõîé èíòåãðàëä

òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëòàé àäèë ÷àíàðûã ÷àíàðóóä òîäîðõîéëîãäîíî

ººðñäºº òîäîðõîé èíòåãðàëûí ÷àíàðûã òîäîðõîéëæ áè÷íý.

Ñóðàã÷äûí áèå

äààñàí ¿éë

/10 ìèí/

áîäëîãîíä ñîíãîëò õèéõ áîäîëòîíä õÿíàëò

òàâèõ Òàéëáàð õèéõ

Äàðààõ áîäëîãûã áîäîõ

∫−1

2

(3 x2−5 x+2 ) dx

∫−3

1

x2 dx−∫1

3

(−x )2 ÿëãàâàðûã òîîöîîë

Äàñãàë 20à, á

÷àíàðóóäûã ÿàæ àøèãëàõàä àíõààðàõ

Äààëãàâàð Äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí ¹

24


20-23

ÕÈ×ÝÝË -8Ñýäýâ: Áàòàòãàë õè÷ýýë Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги

Çîðèëãî: Íüþòîí-Ëåéáíèöèéí òîìú¸îã õýðýãëýõ ÷àäâàð òºëºâø¿¿ëýõ Çîðèëò:

Õýðýãëýãäýõ òîìú¸î, òîäîðõîéëîëòûã ñýðãýýí ñàíàõ Áîäëîãî áîäîõîä õîëáîãäîõ òåîðåì, òîìú¸îã çºâ îíîâ÷òîé õýðýãëýõ Òåîðåì õýðýãëýí áîäëîãî áîäîõ àñóóäàë øèéäâýðëýõ ÷àäâàð

òºëºâø¿¿ëýõ Àðãà: Õè÷ýýëèéã áîäëîãîîð ñýäýëæ¿¿ëýõ àðãààð çîõèîí áàéãóóëíà. Ñóðàã÷äààð ìýäëýã á¿òýýëãýõ ¿éë àæèëëàãààã äàðààõ áàéäëààð çîõèîí áàéãóóëíà. Õýðýãëýãäýõ¿¿í: Ном сурах бичигÕè÷ýýëèéí ÿâö: ¿å øàò Ñóðàã÷èéí ¿éë

àæèëëàãààÁàãøèéí äýìæëýã Àíõààð

àõ ¿íýëýõ ç¿éë


àð øàëãàõ

№20-23

Òîäîðõîé èíòåãðàëûí ÷àíàðûã òîìú¸îëæ áè÷èõ

Òîäîðõîé èíòåãðàëûí ÷àíàðóóäûã õýðõýí òîìú¸îëæ èðñíèéã

Ä¿ðýì èæèë áè÷èãë

25


/10 ìèí/ /Òîäîðõîé áóñòàé àäèë ó÷èð ººðñäºº òîäîðõîéëíî /

Õî¸ð èíòåãðàëûí õîîðîíä ÿìàð ÿëãàà áàéãààã õàðàõ

ñàìáàðò ñóðàã÷ ãàðãàí áè÷¿¿ëæ øàëãàõ

÷àíàðûí óòãûã òàéëáàðëóóëàõ

ýë ººð ººð áîëîõûã àíõààðàõ

Ñóðàã÷äûí áèå äààñàí

¿éë àæèëëàã

àà/30ìèí/

Сурах бичгийн 24-27-р äàñãàëûã àæèëëàõ

Äààëãàâàð ñóðàõ áè÷ãèéí äàñãàë¹ 24-27-ийн үлдэгдэл

ÕÈ×ÝÝË-9Ñýäýâ: Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý Çîðèëãî: Òîäîðõîé èíòåãðàëûí òóñëàìæòàé ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàé îëîõ òàëáàé îëîõ. Çîðèëò:

Ìóðóé øóãàìàí òðàïåö ä¿ðñèéí òóõàé óõàãäàõóóí Ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàéã òîõèîäîë òóñ á¿ð äýýð

òîäîðõîéëîõ Æèøýý áîäëîãî äýýð øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ


o Òîäîðõîé èíòåãðàë ò¿¿íèéã áîäîõ àðãóóä

o Ìóðóé øóãàìàí òðàïåö o Ôóíêöèéí ãðàôèê çóðàõ

o Ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ¿¿í îëîõ

26


Àðãà ç¿é: Çóðàãò ¿ç¿¿ëýí àøèãëàí òàéëáàð ÿðèàíû àðãà õýðýãëýíý.Õýðýãëýãäýõ¿¿í: Ñëàéä-10.1, 10.2, 10.3, 10.4Õè÷ýýëèéí ÿâö: Õè÷ýý-


/õóãàöà

à/






ç¿éë

ºìíºõèéã ñýðãýýí ñàíóóëà

õ/5 ìèí/

ªìíºõ õè÷ýýëä ¿çñýí

ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òóõàé ñýðãýýõ

Òîäîðõîéëîëò áà òîìú¸îã õàðèëöàí ÿðèëöàõ

Ä¿ðñýý òàíèõ


ýõ/15ìèí/

y=f ( x ) [ a ; b ] çàâñàðò òîäîðõîéëîãäñîí ýåðýã óòãàòàé ôóíêö áîë ò¿¿íä õàðãàëçàõ ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàéã ñëàéä10.1 äýýð òàéëáàðëàí òîäîðõîéëîõ

Òàëáàéí òîìú¸î áè÷èõýä òóñëàõ ÷èãë¿¿ëýõ

Ôóíêö ÿàæ òîäîðõîéëîãäîí ä¿ðñëýãäñýíèé ó÷ðûã îëîõ

Çóðàãò ¿íäýñëýãäýí òàëáàéí òîìú¸î áè÷èõ

Ä¿ðñ á¿ðèéí ÿëãààã ñàéí îëæ õàðàõ

Ñóðàã÷èä ä¿ðñýý õýðõýí òàíüæ áàéãàà ò¿¿íèé òàëáàéã õýðõýí òºñººëæ áàéãààã àíõààðàõ

Ñºðºã óòãà àâäàã

ôóíêö ò¿¿íèé ãðàôèêèéã ä¿ðñýëæ ¿ç¿¿ëýõ ñëàéä10.2

Çóðàãò ¿íäýñëýí òàëáàéí òîìú¸î áè÷èõýä ÷èãë¿¿ëýõ

ºìíºõ çóðãààñ ÿìàð ÿëãààòàé áàéãààã àæèãëàõ

ªìíºõ ä¿ðñèéí òàëáàéí òîìú¸îã èëýðõèéëñýíòýé àäèëààð ä¿ðñèéí òàëáàéã òîäîðõîéëîõ

y=f ( x ) [ a ; b ] çàâñàð äýýðýý òýìäýãýý õýä õýäýí

Çóðàã ÿìàð õýëáýðòýé ºìíºõ çóðãààñ þóãààðàà ÿëãààòàé áàéãààã

27


óäàà ººð÷èëñºí ä¿ðñ ñîíãîõ ñëàéä10.3

ßëãààã õàðàõûí òóëä ä¿ðñèéí þóã íü àæèãëàõ âý? ãýäýãò äºõ¿¿ëýõ

àæèãëàæ òîäîðõîéëîõ ºìíºõ æèøýýíèé ýåðýã

ñºðºã çàâñàð äýýðõ òàëáàéã òóñ á¿ðä íü ÿàæ òîäîðõîéëñíîî ¿íäýñëýí

S=∫a

c

f ( x )dx+|∫c

d

f ( x )dx|+∫d

c

f (x)

. . . òîìú¸îã ãàðãàõ

Ñëàéä10.4

А. Ä¿ðñ ÿìàð îíöëîãòîé âý?А. Ä¿ðñèéí òàëáàéã ÿàæ èëýðõèéëýõ âý?

Ýíý çóðàãò f 1 ( x )>f 2( x) ãýæ ºãºãäñºí áàéãààã àæèãëàõ

Ýíä ä¿ðñèéí òàëáàé ìóðóé

øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàéíóóäûí ÿëãàâàðòàé òýíöýõèéã îëæ õàðàõБ. Ä¿ðñèéí òàëáàéã

S=∫a

b

f 1 ( x ) dx−∫a

b

f 2(x)dx . .. ãýæ òîäîðõîéëíî.

28


Ìýäë

ýãèé

ã õý

ðýãë

ýõ/ 2

0 ìè

í/ Øèíý ìýäëýãèéã

áàòàòãàõ äàñãàë æèøýý ñîíãîõ

Áîäëîãûã õàìòàð÷ áîäîõ áà áîäîõîä ÷èãë¿¿ëýõ

Ñëàéä 10.6, 10.7,

10.8 ñëàéä äàõ çóðãààð áîäëîãî áîäóóëàõ

s=sinx ,x=π, x=2 π

x=0

Øóãàìóóäààð õ¿ðýýëýãäñýí ä¿ðñèéí òàëáàéã îë.

Б.

s=∫0

12

cosπxdx−∫0

13

(6 x2−5 x+1 ) dx+|∫13

12

(6 x2−5 x+1 ) dx|+|∫13

1

cosπxdx|

òîìú¸îã õàìòàð÷ ãàðãàæ àâíà. Б. Ýíý èíòåãðàëûã öààøèä ¿ðãýëæë¿¿ëýí áîäîõ

Áîäëîãûí ¿ð ä¿í óòãûã áàéíãà òîîöîõ

ÕÈ×ÝÝË-10Ñýäýâ: Áàòàòãàë õè÷ýýë Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги

Çîðèëãî: Õàâòãàé ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõ ìýäëýãýý áàòàòãàõ, ºãºãäñºí ä¿ðñýýð õàøèãäñàí ä¿ðñèéí òàëáàéã îëîõ Çîðèëò

Ñóðàã÷äàà èäýâõèòýé îðîëöîõ ñîíèðõîë òºð¿¿ëýõ ºìíºõ ìýäëýãèéã ñýðãýýõ ºãºäñºí ä¿ðñýýð õàøèãäñàí ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõ

Àðãà: Õè÷ýýëèéã ñîíèðõîëòîé áîëãîõ çîðèëãîîð ÀÕÀ çîõèîõ, òàéëáàð ÿðèà Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ñëàéä11.1, 11.2, 11.3, 11.4 11.5 /ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí ä¿ðñ¿¿ä àãóóëñàí ñëàéäóóä /Õè÷ýýëèéí ÿâö: Õè÷ýý-



А. Áàãøèéí òàâèõ


Б. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò


ç¿éë

29


/õóãàöà

à/

àñóóëò õàðèóëò

ªìíºõèéã ñýðãýýõ/10-15

ìèí/

Ñóðàã÷äûí ñýòãýë ñýðãýýõ äàñãàë áîëãîí ìàòåìàòèêèéí åðºíõèé ìýäëýãèéã õàìàðñàí õÿëáàð àñóóëòààð ÀÕÀ ÿâóóëàõ Òîãëîîìûã ÀÕÀ-èéí

çîõèîí ÿâóóëàõ ãýõäýý íýã àñóóëòàíä á¿äýðâýë òîãëîîìîîñ ãàðàõûã ñàéí òàéëáàðëàõ Àñóóëòûã

áýëòãýõ

Ààñóóëòàíä ¿íýí çºâ õàðèóëàõ

Íýã ñóðàã÷ íýã àñóóëòàíä

áóðóó õàðèóëàõ ýðõòýé Àñóóëòàíä õàðèóëàõ

áîëîí áóñäûã õàðèóëæ áàéõàä àíõààðàëòàé ñîíñîõ

Àñóóëòàíä çºâ

õàðèóëæ áàéãàà ýñýõ áîëîí

òîãëîëòûí ýìõ

çàìáàðòààé

áàéäàëä àíõààðàõ

Ñóðàã÷-äûíÁèå

äààñàí ¿éë

àæèëëàãà/25-

30ìèí /

Çóðæ áýëòãýñýí ñëàéä

äàõ ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõñëàéä 11.1, 11.2, 11,3 11.4 Áîäëîãî áîäîõîä ÷èãë¿¿ëýõ òàéëáàð õèéõ

Áîäëîãóóäûã áîäîõ Áàãøèéí çààâàð

çºâëºãººã ñàéí îéëãîæ õýðýãëýõ

Ñóðàã÷äûí õèéæ áàéãàà ¿éëäë¿¿äèéí àíõààðàõ Ñóðàã÷èä á¿ãäýýðýý îðîëöîæ áàéãàà ýñýõèéã õÿíàõ

Äààëãàâàð Ñóðàõ áè÷ãèéí ¹28-39

ÕÈ×ÝÝË-11Ñýäýâ: Èíòåãðàëûí õýðýãëýý Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги

Çîðèëãî: Èíòåãðàëààð ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ Çîðèëò:

Ýðãýëòèéí áèå áîëîõ êîíóñ, öèëèíäðèéã ñýðãýýí ñàíàõ Êîíóñ áà öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿íèé òóõàé Ýçýëõ¿¿íèéã èíòåãðàëòàé õîëáîæ òîäîðõîéëîõ

30


Áîäëîãî äàñãàëààð øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ Àãóóëãà:

ºìíº ñóäàëñàí àãóóëãà Öààøèä ñóäëàõ àãóóëãào Ýðãýëòèéí áèå áîëîõ êîíóñ,

öèëèíäð ò¿¿íèé ýëåìåíò¿¿ä o Öèëèíäð áà êîíóñûí ýçýëõ¿¿í

o Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã èíòåãðàëààð èëýðõèéëýõ

Àðãà ç¿é: òàéëáàð ÿðèà, àæèãëàëòûí àðãà Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ¿ç¿¿ëýí 1/ýðãýëòýýð öèëèíäð ¿¿ññýíèéã õàðóóëñàí çóðàã ò¿¿íèé ýçýëõ¿¿í / ¿ç¿¿ëýí 2/ýðãýëòýýð êîíóñ ¿¿ñ÷ áàéãààã õàðóóëàõ ñëàéä/Õè÷ýýëèéí ÿâö: Õè÷ýý-


/õóãàöà

à/






ç¿éë

ñýðãýýí ñàíàõ/5 ìèí/

А. Ýðãýëòèéí áèå ãýæ þó âý ãýäãèéã ñýðãýýí ñàíàöãààÿ. Öèëèíäðèéí òóõàé òîâ÷ ìýäýýëýë àâàõ ºãºõ

Б. Öèëèíäðèéí õàìãèéí ýíãèéí õÿëáàð òîäîðõîéëîëò õýëýõ áà ñàíàõ “Òîéðãèéí öýã íýã á¿ðèéã äàéðóóëñàí ºãñºí øóëóóíòàé ïàðàëëåëü øóëóóí òàòàõàä ¿¿ñýõ ä¿ðñèéã äóãóé öèëèíäð ãàäàðãóó”“öèëèíäð ãàäàðãóóã îãòîëñîí ïàðàëëåëü õî¸ð õàâòãàéãààð õàøèãäñàí áèåèéã öèëèíäð ãýíý.”

Ä¿ðñèéí ÿìàð õýñãèéã îíöîëæ ñýðãýýõýä àíõààðàõ

Ýðãýëòèéí áèå ¿¿ñýõ íºõöëèéã òàéëáàðëàõ

Öèëèíäð ¿¿ñýõ íºõöºëèéã òàéëáàðëàõ

y=f ( X) òàñðàëòã¿é ìóðóé x=a , x=b , y=0

øóãàìóóäààð õ¿ðýýëýãäñýí ìóðóé øóãàìàí òðàïåö Îõ òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä áèå ¿¿ñíý. Ýíý íü òóõàéí ¿éëäëýýð ¿¿ññýí ýðãýëòèéí

31


áèå

Ìýäëýã á¿òýýõ/20ìèí /

Á. y=R , x=0 , x=h , y=0 øóãàìààð õ¿ðýýëýãäñýí ä¿ðñ àáöèññ òýíõëýãèéã òîéð÷ öèëèíäð ¿¿ñíý ãýäýã òàéëáàð õèéõ

Áàãøèéí òàéëáàðûã îéëãîæ òýìäýãëýõ

Ìàòå

ìàòè

ê òý

ìäýã

ëýãý

ý ¿ã

õýë

ëýãè

éã ç

ºâ ò

îäîð

õîéë

æ õ

ýðýã

ëýõ

áè÷è

æ

òýìä

ýãëý

õ

Ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí Îõ òýíõëýãèéã òîéð÷ ýðãýõýä ¿¿ññýí áèåèéí ýçýëõ¿¿íèéã òîäîðõîéëîõ

Óã òîìú¸îíîîñ ¿¿ññýí ìºðäºëãºº

Õîëáîãäîõ òåîðåìûí ó÷ðûã îëîõ

Ýçýëõ¿¿íèéã òîìú¸îëæ áè÷èæ òýìäýãëýõ

Öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿íèé òîìú¸îã ¿ãýýð õýëýõ А. Öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿í ñóóðèéí äóãóéí òàëáàéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿ ãýñýí ºã¿¿ëáýðèéã òîìú¸îëîõîä ÷èãë¿¿ëýõ

Ýçýëõ¿¿íèéã ¿ãýýð èëýðõèéëñíèéã òîìú¸îëîõ

Б. ºíäºð-h, ñóóðèéí ðàäèóñ-R,Íºõöºë ¸ñîîð

V=π∫0

h

R2 dx=π R2h

Êîíóñûí ýçýëõ¿¿í òîäîðõîéëñîí ºã¿¿ëáýðèéã òîìú¸îãîîð èëýðõèéëýõýä ÷èãë¿¿ëýõ

“Ñóóðèéí ðàäèóñ íü R- òýé ºíäºð íü h – òýé òýíö¿¿ êîíóñûí ýçýëõ¿¿í ñóóðèéí òàëáàéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñíèé ãóðàâíû íýãòýé òýíö¿¿” ºã¿¿ëáýðèéã òîìú¸îãîîð èëýðõèéëýõ

Ìýäëýãýý õýðýãëýõ /10 ìèí/

Øèíý ìýäëýãèéã õýðýãëýõ áîäëîãî ñîíãîõ

Áîäëîãûã áèå äààæ áîäîõ Áàãøààñ òàéëáàð àâàõ Äàñãàë¹ 40 à,á

Äààëãàâàð Äàñãàë¹ 40-42

32


Дараагийн хичээл-13 сэдвийн шалгалт-2 авна шалгалтын материал хавсаргав.Мөн математик сонгон судлах хичээлийн цаг дээр МУИС-ийн МКС-аас гаргасан “Математикийн сорилго” номны 7-р бүлгийн А хувилбарыг бодож өгнө.Б хувилбарыг суралцагчидад бие даалтаар өгнө.

33


Сэдвийн шалгалт-1

А хувилбар 11-р анги хугацаа : 40’

1. f ( x )=5 x+2 функцийн эх функцийг ол.

A. x2+2 x B. 5 x2

2 c. x2

5+2 x D. 5 x2

2+2 x

2. F ( x )=sin 5 x функц эх функц нь болох функцийг ол.

A. cos5 x B. cos5 x+C c. cos5 x

5+C D.

−cos5 x5

+C

3. F ( x )=2 x функцийн эх функцүүдийн дотроос (2,5) цэгийг дайрахэх функцийг ол.A. x2+10 B. x2−2 c. x2+3 D. x2+1

4. ∫7 dx=?

A. 7 x+10 B. 7x−2 c. 7x+C D. x2

5. ∫ x3 dx=?

A. 3 x2+C B. x3

3+C c. x4

4+C D. x4+C

6. ∫52 x+1 dx=?

A. 52 x+1+C B. 5x2+x+C c. 52 x+1

2+C D. 52 x+1

2 ln5+C

7. ∫cos2 xdx=?

A.x2+ sin 2 x

4+C B. cos3 x+C c. cos3 x

3+C D.

x2+ sin 2 x

2+C

8. ∫ f ( x )df ( x )=8 x2 бол f ( x )=?

A. 8 x2+C B. 4 x c. 8 x2 D. x2

9. ∫ f (2 x ) dx=g(x ) бол ∫ f ( x )dx=?

A. 2 g (x )+c B. 2 g ( x2 ) c.2 g (2 x ) D. g (2 x )

10. ∫ dx1+x2=?

A. arctgx+C B.arcctgx+C c. arctgx D. arcctgx11. f ' ( x )=2 x−1 ба f (3 )=35 бол f (0 )=? бодолт хий

12. ∫ x ex dx=? бодолт хий.

13. ∫ sinx ∙ ex dx=? бодолт хий.

34


Б хувилбар 11-р анги хугацаа : 40’

1. f ( x )=3 x+4 функцийн эх функцийг ол.

A. x3+4 x B. 3 x2

2 c. x2

3+4 x D. 3 x2

2+4 x

2. F ( x )=cos5 x функц эх функц нь болох функцийг ол.

A. sin 5 x B. sin 5 x+C c. sin 5 x

5+C D.

−sin 5 x5

+C

3. F ( x )=3 x2 функцийн эх функцүүдийн дотроос (2,5) цэгийг дайрахэх функцийг ол.A. 3 x2+5 B. x3−3 c. x3+3 D. x3+C

4. ∫8 dx=?

A. 8 x+10 B. 8x−2 c. 8x+C D. x2

5. ∫ x4 dx=?

A. 4 x3+C B. x4

4+C c. x2

2+C D. x4+C

6. ∫62 x+1 dx=?

A. 62 x+1+C B. 6x2+ x+C c. 62 x +1

2+C D. 62 x+1

2 ln6+C

7. ∫sin2 xdx=?

A.x2− cos2 x

4+C B. sin3 x+C c. sin3 x

3−C D.

x2− sin 2 x

2+C

8. ∫ f ( x )df ( x )=18 x2 бол f ( x )=?

A. 6 x2+C B. 36 x c. 18 x2 D. x2

9. ∫ f (3 x ) dx=g( x) бол ∫ f ( x )dx=?

A. 3 g ( x )+c B. 3g( x3 ) c.3 g (3 x ) D. g (3 x )

10. ∫ dx1+x2=?

A. −arctgx+C B.−arcctgx+C c. −arctgx D. −arcctgx11. f ' ( x )=5 x−1 ба f (3 )=20 бол f (0 )=? бодолт хий

12. ∫ x ex dx=? бодолт хий.

13. ∫ cosx ∙ ex dx=? бодолт хий.

35


Сэдвийн шалгалт-2

А хувилбар 11-р анги хугацаа : 40’

1. ∫1

2

dx=?

A. 1 B2 c. 0 D.−1

2. ∫ f (x )dx=sin5 x бол ∫0

π10

f ( x )=?

A. 1 B. π10 c.0 D. −1

3. ∫1

5

f ( x )=10 ба ∫5

7

f ( x )=3 бол ∫1

7

f ( x )=?

A. 10 B. 13 c. 3 D. 7

4. ∫1

4

( x2+3 x−4 ) dx=?

A. 31,5 B. 24 c. 24 D. 0

5. ∫1

b

( 3 x2−2 x ) dx=20 b бол b=?

A. −4 B.4 c. 5 D. 5 ,−4

6. ∫1

2 dx√2 x+3

=?

A. √7−√5 B.√7−√53

c.√7−√52

D. 1

7. ∫1

2

73 x dx=?

A.39102ln 7 B. 39102 ∙ ln7 c.

ln 739102 D.39102

8. y=−x2+3ба y=−1 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол./ Бодолт хий/9. y=x2 ба y=2 x2−1 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол. /Бодолт хий/10. Биеийн хөдөлгөөний хурд хугацааны t агшинд v=15−3 t томъёогоор өгөгдөв. Хугацаа тоолж

эхэлснээс хойш зогсох хүртэл биеийн явах замыг ол. /Бодолт хий/

36


Б хувилбар 11-р анги хугацаа : 40’

1. ∫1

4

dx=?

B. 3 B2 c. 5 D.−1

2. ∫ f (x )dx=sin7 x бол ∫0

π21

f ( x )=?

B. 1 B. π21 c.0 D. −1

3. ∫1

5

f ( x )=15 ба ∫5

7

f ( x )=6 бол ∫1

7

f ( x )=?

B. 15 B. 21 c. 6 D. 7

4. ∫1

4

( x2+2 x+2 ) dx=?

B. 42 B. 24 c. -42 D. -24

5. ∫1

b

( 3 x2+2 x ) dx=12 b бол b=?

B. −4 B.4 c. 3 D. 3,−4

6. ∫1

2 dx√4 x+3

=?

B. √11−√7 B.√11−√74

c.√11−√72

D. 1

7. ∫1

2

33 x dx=?

B.234ln3 B. 234 ∙ ln 3 c.

ln3234 D.234

8. y=x2+3ба y=7 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол./ Бодолт хий/9. y=x2 ба y=2 x2+1 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол. /Бодолт хий10. Биеийн хөдөлгөөний хурд хугацааны t агшинд v=15−5 t томъёогоор өгөгдөв. Хугацаа тоолж

эхэлснээс хойш зогсох хүртэл биеийн явах замыг ол ./ Бодолт хий/

37

niislelmath.files.wordpress.com · Web view4 х- 7 8 dx . ýíä t= 4 х- 7 ãýñýí...

Documents

Transcript of niislelmath.files.wordpress.com · Web view4 х- 7 8 dx . ýíä t= 4 х- 7 ãýñýí...