AZ OPTIKAI SZÁLAK ÉS A

KVANTUMTITKOSÍTÁS

FIZIKAI ALAPJAI Informatikai eszközök fizikai alapjai szeminárium

Tajkov Zoltán novidad21@gmail.com – EZL8G0

Kivonat Jelen dokumentum az optikai szálak fizikai alapjaival foglalkozik betekintő jellegűen. A jegyzet

utolsó fejezetében a kvantumtitkosítás, illetve a kvantummechanika alapjait kihasználó kommunikáció alapjaival is megismerkedhetünk.

Az optikai szálak rendkívül alkalmasak digitális információtovábbításra. Hatékonyabbak, mint a hagyományos rézvezetőjű csavart érpárral rendelkező társaik. A telekommunikációban

jóformán minden hosszú távú gerinchálózat optikai kábeleket használ.

1

Tartalom

1. Bevezetés – alapvető fizikai összefüggések ................................................................................... 2

2. Optikai szálak típusai ...................................................................................................................... 5

2.1. Szerkezet ................................................................................................................................. 5

2.2. Módusok száma ....................................................................................................................... 6

2.3. Törésmutató ............................................................................................................................ 7

2.4. Polarizáció ............................................................................................................................... 8

3. Elektrodinamikai analízis ................................................................................................................ 9

4. Optikai szálak előállítása .............................................................................................................. 12

4.1. CVD eljárás ............................................................................................................................. 12

4.2. Optikai ablak .......................................................................................................................... 13

5. Kvantumkémek az alagútban ....................................................................................................... 14

5.1. Bevezetés ............................................................................................................................... 14

5.3. Eve megjelenése .................................................................................................................... 16

HIVATKOZÁSOK ..................................................................................................................................... 18

2

1. Bevezetés – alapvető fizikai összefüggések

Fényt használunk optoelektronikában, optikai szálakban, bizonyos interferométe-

rekben, szenzorokban és még sok egyéb eszközben. A „fény” kifejezés nem minden esetben

precíz. Általában az elektromágneses spektrum azon részét nevezzük fénynek, amely az em-

beri szem számára érzékelhető – látható – tartományba esik. Ez egyéntől függ, rendszerint a

400 � 800 ��-es hullámhosszú sugárzást nevezzük látható fénynek – 1. ábra.

1. ábra: elektromágneses sugárzás spektruma

A további tárgyalásban fény alatt a távoli infravörös tartományt is értjük, amely hoz-

závetőleg 1550 ��-ig terjed, ugyanis gyakran alkalmazzák többek között optikai szálak ese-

tén is ezt a tartományt.

3

De mi is az az optikai kábel, optikai szál? Általánosan azt mondhatjuk, hogy olyan hul-

lámvezető, amelyben fény terjed. Egy szigetelő magból áll – általában üveg – amelyet körül-

vesz egy réteg borítás, amelynek a törésmutatója olyan, hogy a fény bármely szögből is ér-

kezzen a magba, „bennreked” a szálban, folyamatosan visszaverődést szenved – 2. ábra.

2. ábra: optikai szál sematikus ábrája

Ahhoz hogy ezt jelenséget megértsük, fel kell eleveníteni némi középiskolás emléket

az úgynevezett Snellius-Descartes törvényről. Ez a szabály könnyen levezethető a Fermat-

elvből, mely szerint a fénysugár egy tetszőleges optikai rendszerben mindig olyan pályát kö-

vet, melyre nézve a kezdő és végpontok közötti terjedési idő minimális. Ha ezt az elvet al-

kalmazzuk a 3. ábra-n látható elrendezésre megkapjuk a Snellius-Descartes törvényt.

3. ábra: Snellius-Descartes törvény szemléltetése

4

A 3. ábra-n látható, amint a felső tartományból, a kisebb törésmutatójú közegből ér-

kezik fény, amint eléri a nagyobb törésmutatójú közeget megtörik és más szögben halad to-

vább.

A törvény a beesési szög, a megtört szög és a közegek törésmutatója között teremt

kapcsolatot a következőképpen – a 3. ábra jelöléseivel:

���

� �� �� �� �

A szögfüggvények általános tulajdonságainak ismeretében szembetűnő, hogy abban

az esetben, ha �� � �, a törési szög nagyobb lesz a beesőnél. Ebben az esetben egy jól

megválasztott kritikus szögnél - ���- a megtört fény szöge elérheti a kilencven fokot, ami

annyit tesz, hogy a fény nem halad keresztül a két közeget elválasztó felületen.

Ha ezt az egészet most egy vezetőben képzeljük el és jól választjuk meg a törésmuta-

tókat, akkor elérhető a 2. ábra-n látható elrendezés, a sugárzás visszaverődik a borításról,

ami lehetővé teszi, hogy fényt továbbítsunk a szál egyik végéről a másikig. A fényforrás álta-

lában LED vagy lézerdióda. Egy eszköz a digitális jelet átkonvertálja fényjelekké, amelyet a

LED kibocsájt, ez a jel tovaterjed a szálban, megérkezik a detektorhoz, amely visszakonvertál-

ja digitális információvá, amelyet végül felhasználunk: 4. ábra.

4. ábra: sematikus ábrázolása egy optikai szálas rendszernek

Miért jó optikai szálakat használni? Az alábbi táblázatban összegyűjtöttük a lehetsé-

ges előnyöket és hátrányokat.

5

1. táblázat

2. Optikai szálak típusai

2.1. Szerkezet

Az optikai szálak formája, szerkezete annak megfelelően van előállítva, hogy éppen

milyen célra kívánják felhasználni. Szerkezetileg megkülönböztetünk hengeres, kettőstörő,

sík és szalag kialakítású optikai kábelt. Az 5. ábra-n az egyes alakzatok vannak feltűntetve.

5. ábra:Szerkezet. a) hengeres b)kettőstörő c) sík d) szalag

A hengeres elrendezésű optikai kábel egy szigetelő magból áll, legtöbbször üvegből,

amelyben a fény terjed. A mag körül koaxiálisan egy másik henger helyezkedik el, amelynek

kisebb a törésmutatója a magnál, ez a burkolat. Tipikusan a mag és burkolat törésmutatója

közötti különbség 0.005. A burkolat után még áll egy védelmet szolgáló szigetelés.

6

A sík hullámvezető olyan négyszögletes blokk, amelynek három rétege van. Az 5. ábra-

n alulról felfelé: bázis, a közeg, amelyben a fény terjed és végül a bevonat. A bázis és a bevo-

nat alacsonyabb törésmutatójú az optikai réteghez képest, annak megfelelően beállítva,

hogy a fény a középső részben terjedhessen.

2.2. Módusok száma

Két típusát különböztetjük meg az optikai szálaknak a bennük terjedő módusok szá-

ma szerint (erről később részletesen): többmódusú, illetve egymódusú. Kialakításban mind-

kettő hengeres, azonban a mag mérete különböző – 6. ábra. Intuitív magyarázat lehet a je-

lenségre, hogy mivel az egymódusú szálnak a magja keskeny, ezért a fény szinte csak párhu-

zamos sugarakban tud haladni, nincs helye szétterjedni, ezért fordulhat elő benne csupán

egyetlen módus. Ezt az elképzelést a későbbi részletesebb elektrodinamikai analízis is meg-

erősíti.

6. ábra: A többmódusú (baloldali) és az egymódusú (jobboldali) optikai szálak méretei

Az egymódusú szálak erőssége, hogy nem mutatnak intermodális diszperziót, a fény

az útja során alig torzul. Ennek köszönhetően egymódusú szálakkal hosszabb távon is képe-

sek vagyunk adatot továbbítani, jelenleg 80 � 140 ��-es távolságokig. Természetesen a

torzítás nem nulla, fellépnek nem-lineáris effektusok, például kromatikus diszperzió, vagy az

üveg abszorpciója a tökéletlen kialakítás miatt. Mindenesetre az effektus elég gyenge ahhoz,

hogy nagy távolságra nagy sebességgel képesek legyünk adatot továbbítani. Az egymódusú

szálak fényforrása olyan lézer, amely infravörös impulzust bocsájt ki.

A többmódusú szálak nagyobb központi maggal rendelkeznek, ennek köszönhetően a

beeső fény több különböző optikai úton is terjedhet, melynek köszönhetően a detektorba

7

érkező jel utazási ideje különböző. Ez az effektus okozza az intermodális diszperziót, amely-

nek köszönhetően nem utaztatható a fény 400 � 500 �-nél messzebbre.

2.3. Törésmutató

Mindezidáig az optikai szálak tárgyalása során nem ejtettünk szót arról, hogy a szál

mentén különböző irányokban hogy változik, vagy esetleg nem változik a törésmutató, állan-

dónak tételeztük fel. Azt az esetet, amikor a törésmutató ugrásszerűen változik a szál men-

tén a mag és a burkolat határán lépcsősen változó törésmutatójúnak nevezzük (angolul step-

index). Az intermodális diszperzió csökkentése érdekében a törésmutatót nem ugrásszerűen

szokták megváltoztatni, hanem parabolikus profilt illesztenek rá, rendszerint a következő

formulával:

� � �� � 12 ����

ahol � a henger középpvonalától mért távolság és �� � ��. Ezt a második esetet lejtősen

változó törésmutatójú szálnak nevezik (angolul gradient-index). A két különböző elrendezés

személtető ábrája látható a 7. ábra-n.

8

7. ábra: Törésmutató profilja a különböző szálakban

A lejtősen változó törésmutató esetén a törésmutató fokozatosan változik a mag kö-

zéppontjától egészen a burkolatig, középen a legnagyobb és a széleken a legkisebb. Ezt a

kialakítást a gyártás során úgy érik el, hogy a hengerek különböző rétegek egymásutánja,

minden egyes réteg kisebb törésmutatóval rendelkezik az azt megelőzőnél. Ez az elrendező-

dés minimalizálja az intermodális diszperziót. A különböző sugarak különböző pályákon ha-

ladnak ez igaz most is, azonban a törésmutató úgy változik, hogy a középen, koaxálisan hala-

dó sugárnak pont annyi időre van szüksége a beérkezéshez, mint annak, amely hosszabb utat

tesz meg, hiszen a törésmutató miatt a koaxiális sugár lassabban halad.

2.4. Polarizáció

Az optikai szálak megtarthatják, illetve nem tarthatják meg a polarizációt, kialakítás-

tól függően. Vannak olyan szituációk, például interferométerekben, amikor a polarizáció fon-

tos információt hordoz, ezért nem szereznénk, hogy elvesszen. De mi okozhatja a polarizáció

megváltozását optikai szálakban? Egy tökéletes vezetékben nincs kitüntetett optikai tengely,

9

a mag és a burkolat izotróp. A valóságban a termikus fluktuációk, a szál megtörése, nyújtása

és egyéb hatások kettőstörést okozhatnak. Ebben az esetben két merőleges komponens ha-

lad a szálban különböző sebességgel, ami fáziskülönbséget okoz és a két komponens össze-

keveredése végül megváltoztatja a polarizációt.

A polarizáció megőrzésére különböző lehetőségek vannak:

• Direkt teszünk a rendszerbe egy erős kettőstörést, amelynek ismerjük a hatá-

sát és ezzel kiküszöböljük a jóval gyengébb, random zajt.

• Teljesen tökéletes, izotróp kábelt próbálunk előállítani, minimális kettőstörő

hatással. Ehhez az kell, hogy ne érje külső hatás a kábelt, illetve jól beállított

geometria szükséges és homogén sűrűség a szál mentén.

• Polárszűrőt alkalmazunk és csak a számunkra értékes irányokat engedjük át.

3. Elektrodinamikai analízis

A jegyzet az optikai szálak fizikai alapjaival foglalkozik, nem pedig a matematikai alap-

jaival. Éppen ezért a részletes és pontos számolásokat mellőzzük, a fontosabb részletek és

formulák származtatása megtalálható a hivatkozásban.

Az optikai szálakban fény terjed, amely elektromágneses hullám. Az elektromágneses

hullámok tárgyalását minden esetben a Maxwell-féle egyenletrendszerrel kezdjük, amely a 8.

ábra-n látható.

Az egyenletrendszer megoldásához azonban némi feltételezéssel élünk, miszerint:

• A nem-lineáris effektusok elhanyagolhatóak.

• Elhanyagoljuk a képzetes részét a dielektromos állandónak, mivel ez írja le a

veszteséget a visszaverődés során és mi azzal nem számolunk.

• A törésmutató tér független, tehát lépcsősen változik.

10

8. ábra: A Maxwell-féle egyenletrendszer szokásos jelölésben

Ezekkel a közelítésekkel felírhatjuk a Helmholtz egyenletet az elektromos térerősség

Fourier-transzformáltjára:

������ � 1

���

�� � 1r�

������ � ���

��� � ������ � 0

ahol � az elektromos térerősség Fourier-transzformáltja, � a törésmutató és �� � � a

hullámszámvektor. Az egyenletet már hengerkoordináta rendszerben írtuk fel, illesztve a

geometriához. Hasonló egyenletet felírhattunk volna a mágneses térerősségre. A teljes

megoldásnak hat mennyiséget kell tartalmaznia, ebből négyet a Maxwell-féle egyenlet-

rendszer összeköt, a maradék kettőt megválasztjuk mi: Az elektromos és mágneses tér-

erősség � irányú komponense, ami a mi felírásunkban éppen a henger tengelyének irá-

nya.

Ezzel gyakorlatilag skaláregyenletet hozhatunk létre a Helmholtz-egyenletből !"-re.

11

Az, hogy a számolásban az elektromos térerősség irányát egybeejtjük a henger

tengelyével nem jelenti azt, hogy a hullám csak transzverz lehet. A fény bármilyen irányú

polarizációt mutathat. Transzverz elektromágneses (TE) módusnak nevezzük azt az ese-

tet, amikor az elektromos térerősség � komponense nulla. Transzverz mágnesesnek

(TM), ha a mágneses térerősség � komponense nulla.

Oldjuk meg a Helmholtz egyenletet! A henger-koordinátarendszer azért volt

hasznos, mert ebben az esetben szeparábilis a Laplace-operátor, azaz kereshetjük szor-

zatalakban a megoldást:

!"#�, %, �& � '#�& ( )#�& ( Φ#%&

Ilyen esetben a � irányú megoldás:

'#�& � +,-." � +�,."

ahol / � 0 � � ( 1 a szokásos konstans a szétválasztás után, +, +� pedig beállítható a

kezdőfeltételekkel. Továbbiakban feltételezzük, hogy a sugárzás csak pozitív irányban ha-

lad, azaz +� � 0.

A szögfüggő rész megoldása szintén hullámfüggvény, a sugárfüggő tag megoldásai

pedig a Bessel-függvények, amelynek paramétere a 2 � /� � �����, amelyet illeszteni

kell a határfeltételekhez, vagyis 2 � 2, ha � 3 4 és 2 � 2�, ha � � 4, ahol 4 a mag su-

gara. Ezzel a megoldás sugárirányban:

)#�& � +567#2�& � +897#2�&

ha � 3.

Ezzel a teljes az elektromos térerőssége � komponense:

!" � 67#2�&#: cos#�%& � > sin#�%&&,-."

ha � 3 4, ahol � egész.

Összefoglalva a megoldások az elektromos és mágneses tér Fourier-

transzformáltjának � komponensére:

!" � 67#2�&#: cos#�%& � > sin#�%&&,-." � 3 4

!" � A7#2��&#:� cos#�%& � >� sin#�%&&,-." � � 4

B" � 67#2�&#C cos#�%& � D sin#�%&&,-." � 3 4

12

B" � A7#2��&#C� cos#�%& � D� sin#�%&&,-." � � 4

A Maxwell-egyenletek segítségével felállítható egy összefüggés, amelyet karakterisz-

tikus egyenletnek nevezünk, ez TE esetben a következőképpen néz ki:

1E

6�F #E&6�#E& � � 1

GA�F#G&A�#G&

ahol E � 24 és G � 2�4.

Bevezetve a H � E� � G�normalizált frekvenciát a következő összefüggés adódik:

H � 2I4J�

K �� � ���

Bebizonyítható, hogy az optikai kábelben létrejövő módusok száma a normalizált

frekvenciával állnak összefüggésben. Amennyiben egy rendszerben H 3 2,405 abban az

esetben csak egyetlen módus lehet jelen. Ezt nevezzük levágási frekvenciának. E fölött az

érték fölött, növelve a normalizált frekvencia értékét egymás után lépnek be az újabb

módusok.

4. Optikai szálak előállítása

Optikai szálak gyártásánál a legfontosabb szempontok, hogy kerüljük a nem-

linearitást és jól állítsuk be a törésmutatókat. A leggyakrabban használt anyagok az üveg

(a rendes L�M�-tól a fluorid üvegekig), a műanyag és a félvezető.

Leggyakrabban tiszta L�M�-ot használnak fel a burkolathoz, míg a maghoz általá-

ban kevernek valamilyen atomot, például germániumot, ami növeli a törésmutatót.

4.1. CVD eljárás

A leggyakoribb eljárás a kémiai gőzkicsapolás. Ezzel az eljárással szokás a lejtősen

változó törésmutatójú szálakat előállítani. Gyártás során egy nagyjából 1 � hosszú és

15 �� vastag kvarc hordozót forgatnak, miközben a belsejében gáz fázisú anyagokat

áramoltatnak. A kvarc cső lesz az eljárás végén a burkolat, a cső belsejében lerakodó

anyag pedig a mag. A befújt gázfázisú anyag legtöbbször szilícium klorid és germánium

klorid. A kicsapódást magas hőmérséklettel érik el, a forgó hengert 1200 � 1400 Celsius

fokon tartják, minek következtében a kvarchenger belsejében a kloridok oxidálódnak és a

szilícium-dioxid, illetve a germánium-dioxid kicsapódik az üveg falára. Ezek után az egy-

13

méteres szálat kontrollált körülmények között húzással összezsugorítják nagyjából

10 N�-s vastagságra.

9. ábra: CVD eljárás szemléltetése

4.2. Optikai ablak

10. ábra: Optikai ablak

Az optikai kábelekre is jellemző a csillapítás. A leggyakoribb okai a csillapításnak:

• Rayleigh-szórás az anyag sűrűségfluktuációin.

14

• A 200 ��-nél kisebb hullámhosszú tartományban az üveg elektronjai ger-

jesztődnek.

• Távoli infravörös tartományban a hidrogénkötések és a szilícium-oxigén

kötések gerjesztődnek

• A törésmutató beállításához szükséges fémes ionok abszorbeálnak infra-

vörösben.

• Irregularitások a szál mentén

A 10. ábra–n látható, hogy a hullámhossz függvényében mely „ablakok vannak

nyitva” azaz mely tartományon lesz alacsony a csillapítás.

5. Kvantumkémek az alagútban

5.1. Bevezetés

Ha ma valaki fel akar törni egy jelszóval védett kommunikációs csatornát az input-

tól függően exponenciálisan sok időre lenne szüksége a mai modern számítógépekkel,

ezért egy elég sok karaktert használó jelszó feltörése idő- és energiaigényes feladat.

Azonban ezek a jelszavak és egyéb titkosítások a legtöbb esetben valamilyen bonyolult

matematikai eljárásra – például faktorizálásra – épül, amelyet a jövő kvantumszámítógé-

pei polinomiális lépésszámmal oldanak majd meg. Ezért szükségünk van olyan eljárások-

ra, amelyek elvileg is feltörhetetlenek, nem pedig csak gyakorlatilag

Bár a kvantumszámítógépek menetrendszerű használata és elterjedése még várat

magára, a titkosító algoritmusokat már kidolgozták.

A fizikai állapotok időbeli fejlődését kvantummechanikában a Schrödinger-

egyenlet írja le. Egy klasszikus rendszeren belüli klasszikus értelmezésű bit két logikai ér-

ték között nem vehet fel értéket. Ezzel ellentétben a kvantumbitek lehetnek 0 és 1 álla-

pot között is. A rendszer állapotát a |Ψ �� 0|0 � �1|1 � hullámfüggvény írja le. A

rendszeren végzett mérés a rendszet 0� valószínűséggel a 0 állapotban, 1� valószínűség-

gel pedig az 1 állapotban találja. Egy kvantumbit tehát elvileg végtelen állapotot is felve-

het.

Ilyen kvantumbiteket megvalósíthatunk fotonokkal is, azok polarizációs szögei

megfeleltethetőek a 0, 1 állapotnak. Fotonok esetében kétféleképpen állíthatjuk be a po-

15

larizációt: vízszintes/függőleges (rektilineáris), illetve erre negyvenöt fokban két irányban

(diagonális).

5.2. Működés elve

Legyen a két kommunikációs fél Alice és Bob. A kommunikáció áll egy egyszerű

kétirányú klasszikusból (telefon) és egy egyirányú kvantumcsatornából. Ezen a csatornán

Alice részecskéket küld át Bobnak. Az utazás során a részecskék megtartják kvantumálla-

potukat.

A kulcskialakítás első szakaszában Alice rektilineáris és diagonális polarizációs sé-

mát véletlenszerűen váltogatva egyesekből és nullákból álló üzenetet küld Bobnak 11. áb-

ra.

11. ábra

Bobnak a dekódoló oldalon minden egyes foton polarizációját meg kell állapíta-

nia, tehát minden egyes alkalommal el kell döntenie, hogy hogyan állítsa be a szűrőjét.

Bob azonban nem tudja milyen szűrővel küldte Alice a fotonokat, így az esetek felében

rosszul fogja azt megállapítani. Ha rektilineáris bázist alkalmaz, és diagonális foton jön, az

50-50 % eséllyel ad nullát vagy egyet. A 12. ábra-n egy példaüzenet kiértékelése látható.

Ha a csatornát nem hallgatta le senki, akkor Bob a 12. ábrán látható sorhoz juthat.

Azaz ahol Bob azonos szűrőt alkalmazott, ott biztosan azt kapta, amit Alice küldeni akart.

A következő szakaszban Alice telefonon megkeresi Bobot és közli vele, hogy mikor

milyen polarizációs sémát használt, de hogy milyen fotonokat küldött, azt nem mondja

meg. Ezek után Bob közli a helyesen dekódolt bitek sorszámait, ezek után ezekbe a foto-

nokba fogja Alice az információt kódolni.

16

12. ábra: Egy példa küldés

5.3. Eve megjelenése

Az előbbi példánál senki nem próbálta meg lehallgatni Alice és Bob beszélgetését,

így nem kaphatott Bob téves eredményt akkor, ha jól választotta meg a szűrőt. A 13. áb-

ra–n látható elrendezésben Eve rácsatlakozik a hálózatra és hallgatózik. Eve maga sem

tudja, hogy Alice milyen irányokba állította be a szűrőit. Ha helyesen állította be a szűrő-

ket, akkor nincsen semmi probléma, nem okoz elváltozást, azonban ha rosszul állítja be a

szűrőket, akkor megváltoztatja a foton polarizációját, és ha rosszul értelmezi, akkor a fo-

ton értékét is. Eve az esetek felében rosszul dönt, de ekkor még mindig olyan helyzetben

van, mint Bob. Ezt követően azonban Alice közli Bobbal, hogy melyik fotonnál melyik lett

volna a helyes detektor, így csak azok a fotonok kerülnek a kulcsfüzérbe, amelyeket Bob

jól mért be. Eve-en azonban ez nem segít, mivel ezeknek a fotonoknak a felénél nem

megfelelő detektort használt, ezért a kulcsot alkotó fotonok felének polarizációját is rosz-

szul méri be.

Ezek utána Alice és Bob néhány számjegy egyeztetésével kiszűrhetik, hogy Eve

hallgatózik-e. Ha a kém lebukik, eldobják a kulcsot és újat generálnak.

17

13. ábra: Eve megjelenése

18

HIVATKOZÁSOK

› Gyöngyisi László, Imre Sándor: A kvantumkriptográfia infokommunikációs alkalmazásai

› Fundamentals of Optical Fiber Transmission

› Richard Feynman: Hat majdnem könnyed előadás 2. második fejezet

› Mark Curran, Brian Shirk: Basics of Fiber Optics