FIZIKAI PARADOXONOK

2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok 1


FIZIKAIFIZIKAI

PARADOXONOPARADOXONOKK

Escher

Escher paradoxiális rajza


Mottó:Mottó:

„„A legszebb, amit megérthetünk A legszebb, amit megérthetünk az élet titkának keresése. Ez az az élet titkának keresése. Ez az alapérzés, amely az igazi alapérzés, amely az igazi művészet és tudomány bölcsőjénél művészet és tudomány bölcsőjénél jelen van. Aki ezt nem ismerijelen van. Aki ezt nem ismeri, , aki aki nem tud csodálkozni, elámulni az nem tud csodálkozni, elámulni az - hogy úgy mondjam – halott, és - hogy úgy mondjam – halott, és szeme kialudtszeme kialudt.”.”

Albert Einstein: Hogyan látom a

világot?Gladiátor Kiadó, Budapest, 1994.

16.old.


• A legtöbb tudomány története (a A legtöbb tudomány története (a matematikáé is) matematikáé is) PARADOXONOKPARADOXONOK története története

• A legnagyobb felfedezések általában a A legnagyobb felfedezések általában a legnagyobb legnagyobb PARADOXONOKPARADOXONOKAT oldják megAT oldják meg

• SzókratészSzókratész tanítási módszere, amely tanítási módszere, amely paradoxonokon keresztül vezetett új paradoxonokon keresztül vezetett új igazságok felismeréséhez, éppen ezért a igazságok felismeréséhez, éppen ezért a legmélyebben gyökerező tanítási módszer, legmélyebben gyökerező tanítási módszer, mert magának a megismerésnek az útja is mert magának a megismerésnek az útja is paradoxonokra épülparadoxonokra épül


• Példa: Pythagoreusok - Példa: Pythagoreusok - összemérhetetlenségi paradoxon összemérhetetlenségi paradoxon (inkommenzurábilitás, a négyzet (inkommenzurábilitás, a négyzet átlója és oldala)átlója és oldala)

• „„A tudományos igazságok mindig A tudományos igazságok mindig paradoxiálisak, ha okoskodásunk a paradoxiálisak, ha okoskodásunk a köznapi tapasztalatokra támaszkodik, köznapi tapasztalatokra támaszkodik, amely a dolgoknak csupán csalóka amely a dolgoknak csupán csalóka látszatát ragadja meg.” látszatát ragadja meg.” (K. Marx)(K. Marx)


Mi lenne a jó cím???Mi lenne a jó cím???• Fizikai paradoxonok Fizikai paradoxonok

• Paradoxonok a fizikában (????)Paradoxonok a fizikában (????)

EllentmondásmentessEllentmondásmentesség!ég!


Paradoxon: A Paradoxon: A gondolkodásunkban gondolkodásunkban

meglévő ellentmondás (?)meglévő ellentmondás (?)


A „Fizikai paradoxonok” A „Fizikai paradoxonok” című kurzus tematikájacímű kurzus tematikája

BEVEZETÉSBEVEZETÉS

meglepő jelenségek, paradox meglepő jelenségek, paradox viselkedésekviselkedések

a)a) FFurfangos urfangos fforgó (keltai kő)orgó (keltai kő)

b)b) IIngatag ngatag iinganga

c)c) GGügye ügye ggolyókolyók

d)d) Kettős szivornyaKettős szivornya

e)e) Elektromos gyertyaElektromos gyertya


A PARADOXON FOGALMA ÉS VELE A PARADOXON FOGALMA ÉS VELE ROKON FOGALMAKROKON FOGALMAK

a)a)ParadoxonParadoxon

b)b)EllentmondásEllentmondás

c)c)AntinómiaAntinómia

d)d)ApóriaApória

e)e)FalláciaFallácia


LOGIKAI, SZEMANTIKAI ÉS MÁS LOGIKAI, SZEMANTIKAI ÉS MÁS PARADOXONOKPARADOXONOK

a)a) Epimenidész, a krétai mondta: Epimenidész, a krétai mondta: „Minden krétai hazudik.”„Minden krétai hazudik.”

b)b) „ „Én most hazudok.”Én most hazudok.”c)c) Prótagórasz és tanítványaPrótagórasz és tanítványad)d) Sancho Panza és a hídSancho Panza és a híde)e) A falu fodrászaA falu fodrászaf)f) A polgármesterek városának A polgármesterek városának

polgármesterepolgármestereg)g) A Russel-féle antinómia (az összes A Russel-féle antinómia (az összes

rendes halmazok halmaza)rendes halmazok halmaza)


ÚTON A FIZIKAI PARADOXONOK FELÉÚTON A FIZIKAI PARADOXONOK FELÉ

a)a) Halom paradoxon („Szoritész”)Halom paradoxon („Szoritész”)

b)b) Kopasz paradoxon („Calvus”)Kopasz paradoxon („Calvus”)

c)c) Elmosódott határú kijelentésekElmosódott határú kijelentések

d)d) Az éleai Zénon apóriáiAz éleai Zénon apóriái

I.I. Sokságellenes apóriaSokságellenes apória

II.II. Mozgásellenes apóriáiMozgásellenes apóriáii.i. DichotomiaDichotomia

ii.ii. Akhilleusz és a teknősAkhilleusz és a teknős

iii.iii. A repülő nyílA repülő nyíl

iv.iv. SztadionSztadion


FIZIKAI PARADOXONOKFIZIKAI PARADOXONOK

a)a) Labda a labdánLabda a labdán

b)b) Vizuális paradoxonVizuális paradoxon

c)c) Zenei paradoxonZenei paradoxon

d)d) Égi mechanikai paradoxonÉgi mechanikai paradoxon

e)e) Pascal-féle paradoxonPascal-féle paradoxon

f)f) Hidrosztatikai paradoxonHidrosztatikai paradoxon

g)g) Zsukovszkij-féle paradoxonZsukovszkij-féle paradoxon


h)h) Aerodinamikai paradoxonAerodinamikai paradoxoni)i) Hidrodinamikai paradoxonHidrodinamikai paradoxonj)j) Bánki-féle paradoxonBánki-féle paradoxonk)k) Két-buborék paradoxonKét-buborék paradoxonl)l) Iker paradoxonIker paradoxonm)m) A földi elektrosztatikus tér A földi elektrosztatikus tér

paradoxonaparadoxonan)n) A soros kapcsolás paradoxonaA soros kapcsolás paradoxonao)o) Boucherot-féle paradoxonBoucherot-féle paradoxonp)p) Olbers-féle paradoxonOlbers-féle paradoxon


q)q) Energia-lejtő paradoxonEnergia-lejtő paradoxon

r)r) Feynmann-féle paradoxonFeynmann-féle paradoxon

s)s) A Brown-mozgás (a bolyongás) A Brown-mozgás (a bolyongás) paradoxonjaparadoxonja

t)t) Gibbs-féle paradoxonGibbs-féle paradoxon

u)u) D’Alembert-féle paradoxonD’Alembert-féle paradoxon

v)v) Einstein-Podolsky-Rosen-féle (EPR) Einstein-Podolsky-Rosen-féle (EPR) paradoxonparadoxon

w)w) Schrödinger macskája Schrödinger macskája

x)x) A polarizációlátás UV-paradoxonaA polarizációlátás UV-paradoxona


BEVEZETÉSBEVEZETÉS néhány motiváló jelenség néhány motiváló jelenség

a)a)IIngatag ngatag iingangab)b)FFurfangos urfangos fforgó (keltai orgó (keltai

kő)kő)c)c)GGügye ügye ggolyókolyókd)d)KKettős szivornyaettős szivornyae)e)EElektromos gyertyalektromos gyertya


FFurfangosurfangos fforgóorgó

Más elnevezés: keltai kő


A szivornyaA szivornya

Szifon (szivornya)HÉRON

(Alexandria, Kr.u. I. század)

Működési elv:

HORROR VACUIA természet irtózik az

űrtől

szívás


A kettős szivornyaA kettős szivornya

Más elnevezés:automatikus

szivattyú


BD 139 tranzisztor

- +

K

izzó

BC

E

Az elektromos gyertya kapcsolása

fotodióda

megvilágító

fény

4,5 V

B: bázisC: kollektorE: emitter


LOGIKAI, SZEMANTIKAI LOGIKAI, SZEMANTIKAI

ÉS MÁS ÉS MÁS

PARADOXONOKPARADOXONOK


A hazug (a hazudós) A hazug (a hazudós) paradoxonparadoxon

Epimenidész, Epimenidész,

a krétai azt mondta:a krétai azt mondta:

„ „Minden krétai Minden krétai hazudik.”hazudik.”


A hazug (hazudós) paradoxon egy újabb A hazug (hazudós) paradoxon egy újabb keletű megfogalmazását Pál apostol keletű megfogalmazását Pál apostol

Títushoz írt levelében olvashatjuk (Tít. Títushoz írt levelében olvashatjuk (Tít. 1, 12-13.):1, 12-13.):

12. Azt mondta valaki közülök, az 12. Azt mondta valaki közülök, az ő saját prófétájok: ő saját prófétájok: A krétaiak A krétaiak mindig hazugokmindig hazugok, gonosz vadak, , gonosz vadak, rest hasak.rest hasak.

13. E bizonyság igaz: annakokáért 13. E bizonyság igaz: annakokáért fedd őket kímélés nélkül, hogy a fedd őket kímélés nélkül, hogy a hitben épek legyenek.hitben épek legyenek.


A hazug (a hazudós) A hazug (a hazudós) paradoxonparadoxon

Epimenidész, a krétai azt mondta:Epimenidész, a krétai azt mondta:

„„Minden krétai hazudik.”Minden krétai hazudik.”

Mivel Mivel EpimenidészEpimenidész krétai, így ő is hazudik, tehát krétai, így ő is hazudik, tehát minden kijelentése, így a fentebbi is hamis. minden kijelentése, így a fentebbi is hamis. Ha hamis, akkor az azt jelenti, hogy minden Ha hamis, akkor az azt jelenti, hogy minden (?)(?) krétai igazat mond. De ha minden krétai krétai igazat mond. De ha minden krétai igazat mond, akkor igazat mond, akkor EpimenidészEpimenidész minden minden kijelentése, így a fentebbi is igaz, tehát kijelentése, így a fentebbi is igaz, tehát minden krétai hazudik. De ha minden krétai minden krétai hazudik. De ha minden krétai hazudik, akkor hazudik, akkor EpimenidészEpimenidész is hazudik, tehát is hazudik, tehát minden kijelentése, így a fentebbi is hamis, minden kijelentése, így a fentebbi is hamis, azaz igazat mond …azaz igazat mond …


A hazudós paradoxon A hazudós paradoxon „erősebb” „erősebb”

megfogalmazásai:megfogalmazásai:

„„Én most hazudok!”Én most hazudok!”

Mi okozhatja az Mi okozhatja az ellentmondást?ellentmondást?


Találós kérdés:Találós kérdés:

Mi az, ami a Mi az, ami a majomnak elől is és majomnak elől is és

hátul is, a hátul is, a menyasszonynak menyasszonynak

csak elől, csak elől, vőlegénynek se vőlegénynek se

elől, se hátul elől, se hátul nincsennincsen??


MMajoajomm

MMenyasszoenyasszonyny

VőlegényVőlegény


A nyelv szintjei:A nyelv szintjei:lingvisztikai szint - lingvisztikai szint - ‘hó’‘hó’

konceptuális szint - konceptuális szint - ‘’hó’’‘’hó’’az objektív valóság szintje - az objektív valóság szintje -

hóhó

• Tárgynyelv: a valóságra vonatkozó Tárgynyelv: a valóságra vonatkozó kijelentésekkijelentések

• Metanyelv: a valóságra tett Metanyelv: a valóságra tett ismeretekre vonatkozó kijelentésekismeretekre vonatkozó kijelentések

A hó fehér!A hó fehér!


A hazudós paradoxon A hazudós paradoxon „erősebb” „erősebb”

megfogalmazásai:megfogalmazásai:

[Ezen a vásznon a [Ezen a vásznon a szögletes zárójelbe tett szögletes zárójelbe tett kijelentés téves!]kijelentés téves!]


A hazug paradoxon,A hazug paradoxon,

írja Tarski (neves filozófus),írja Tarski (neves filozófus),

„„meggyötört sok ókori meggyötört sok ókori logikust, és legalább egynek logikust, és legalább egynek

a halálát is okozta, a halálát is okozta, nevezetesen a kószi nevezetesen a kószi

Philétoszét” Philétoszét”


Prótagórász és Prótagórász és tanítványatanítványa


• Prótagórász jogászmesterséget is tanított. Prótagórász jogászmesterséget is tanított. Amikor tanítványa, Euathalosz befejezte Amikor tanítványa, Euathalosz befejezte tanulmányait, megállapodtak abban, hogy a tanulmányait, megállapodtak abban, hogy a tanítvány csak akkor fizeti ki a tandíjat, tanítvány csak akkor fizeti ki a tandíjat, miután miután megnyerte élete első perét, de megnyerte élete első perét, de akkor feltétlenül.akkor feltétlenül.

• Telt-múlt az idő, de a tanítvány csak nem Telt-múlt az idő, de a tanítvány csak nem fizetett, már csak azért sem, mert nem fizetett, már csak azért sem, mert nem folytatott jogászi tevékenységet. folytatott jogászi tevékenységet. Megelégelte mindezt a mester, és Megelégelte mindezt a mester, és elhatározta, hogy beperli a tanítványt, bízva elhatározta, hogy beperli a tanítványt, bízva abban, hogy akkor a pénzéhez juthat.abban, hogy akkor a pénzéhez juthat.


Hogyan dönt a bíróság??Hogyan dönt a bíróság??• Ha a bíróság Prótagórász mellett teszi Ha a bíróság Prótagórász mellett teszi

le voksát, akkor a tanítványnak le voksát, akkor a tanítványnak fizetnie fizetnie kellkell. Ám ekkor a tanítvány elvesztette . Ám ekkor a tanítvány elvesztette élete első perét, tehát a köztük meglevő élete első perét, tehát a köztük meglevő egyezség alapján egyezség alapján nem kellnem kell fizetniefizetnie..

• Ha a tanítványnak adnak a bírák igazat, Ha a tanítványnak adnak a bírák igazat, akkor a döntés alapján akkor a döntés alapján nem kell nem kell fizetniefizetnie a tanítványnak, de így meg a a tanítványnak, de így meg a megállapodás alapján megállapodás alapján kell fizetniekell fizetnie, , hiszen megnyerte élete első perét. hiszen megnyerte élete első perét.


Sancho Panza és a híd


• Sancho Panza kormányzó lesz egy Sancho Panza kormányzó lesz egy szigeten. A szigetlakók vizsgáztatják szigeten. A szigetlakók vizsgáztatják Sanchot. Sanchot.

• A szigeten van egy híd, amin az A szigeten van egy híd, amin az áthaladni szándékozó csak akkor áthaladni szándékozó csak akkor mehet át, ha arra a kérdésre, hogy mehet át, ha arra a kérdésre, hogy miért jött, az igazat mondja. miért jött, az igazat mondja. Ellenkező esetben a hídfőben álló Ellenkező esetben a hídfőben álló akasztófára felakasztják.akasztófára felakasztják.


• Egy alkalommal vándor érkezik, aki a Egy alkalommal vándor érkezik, aki a feltett kérdésre így válaszol: Azért feltett kérdésre így válaszol: Azért jöttem, hogy erre az akasztófára jöttem, hogy erre az akasztófára felakasszanak. felakasszanak.

• Mi történjék a vándorral?Mi történjék a vándorral?• Ha felakasztják, akkor igazat mondott, Ha felakasztják, akkor igazat mondott,

tehát át kell őt engedni a hídon.tehát át kell őt engedni a hídon.• Ha átmehet a hídon, akkor nem Ha átmehet a hídon, akkor nem

mondott igazat, tehát a rendelkezés mondott igazat, tehát a rendelkezés értelmében fel kell őt akasztani. értelmében fel kell őt akasztani.


Hogyan döntött Sancho Hogyan döntött Sancho Panza???Panza???


A falu fodrászaA falu fodrásza• Egy falu fodrászát megkérdezik, hogy Egy falu fodrászát megkérdezik, hogy

megy a sora?megy a sora?• Válasza: „Rendben van minden, hiszen Válasza: „Rendben van minden, hiszen

én azokat és csak azokat a falubéli én azokat és csak azokat a falubéli lakókat (férfiakat) borotválom, akik lakókat (férfiakat) borotválom, akik nem maguk borotválkoznak.”nem maguk borotválkoznak.”

• Ki borotválja a borbélyt?Ki borotválja a borbélyt?


Azok, akik maguk borotválkoznak

Azok, akik nem maguk borotválkoznak

Hova tartozik a fodrász???


A polgármesterek A polgármesterek városának polgármesterevárosának polgármestere

• Egy ország lakói városokban élnek. Az uralkodó Egy ország lakói városokban élnek. Az uralkodó kiadja az kiadja az 1. számú rendeletét1. számú rendeletét: : Minden városnak Minden városnak polgármestert kell választania.polgármestert kell választania.

• A választások megtörténnek, és lettek olyan A választások megtörténnek, és lettek olyan polgármesterek, akik nem abban a városban polgármesterek, akik nem abban a városban lettek polgármesterek, ahol laknak, azaz nem lettek polgármesterek, ahol laknak, azaz nem saját városukban. saját városukban.

• Bizonyos okok miatt az uralkodó kiadja Bizonyos okok miatt az uralkodó kiadja 2. számú 2. számú rendeletétrendeletét: Mindazok számára, akik nem : Mindazok számára, akik nem lakóhelyükön lettek polgármesterek, lakóhelyükön lettek polgármesterek, létre kell létre kell hozni a polgármesterek városát, ahol hozni a polgármesterek városát, ahol tehát tehát azok azok és csak azok lakhatnak, akik nem saját és csak azok lakhatnak, akik nem saját városukban polgármesterek.városukban polgármesterek.


• Az 1. számú rendelet szerint ennek a Az 1. számú rendelet szerint ennek a városnak is polgármestert kell városnak is polgármestert kell választania.választania.

• Hol lakjon ez a polgármester?Hol lakjon ez a polgármester?• Itt nem lakhat, mert a 2. számú rendelet Itt nem lakhat, mert a 2. számú rendelet

alapján itt csak azok a polgármesterek alapján itt csak azok a polgármesterek lakhatnak, akik nem saját városukban lakhatnak, akik nem saját városukban lettek polgármesterek.lettek polgármesterek.

• Más városban sem lakhat, ugyanis ekkor Más városban sem lakhat, ugyanis ekkor ugyancsak a 2. számú rendelet alapján ugyancsak a 2. számú rendelet alapján itt kell laknia.itt kell laknia.


Russel-féle antinómiaRussel-féle antinómia

Bertrand Russel

(1872 – 1970)

Brit matematikus és filozófus

Irodalmi Nobel-díjas (1950)


• Rendes (nem-tartalmazkodó, [az Rendes (nem-tartalmazkodó, [az elnevezés elnevezés Kalmár LászlótólKalmár Lászlótól]) ]) halmaz: elemként nem tartalmazza halmaz: elemként nem tartalmazza önmagát - Hönmagát - HHH

• Nem-rendes (tartalmazkodó) halmaz: Nem-rendes (tartalmazkodó) halmaz: elemként tartalmazza önmagát - elemként tartalmazza önmagát - HHHH

• Pl.: a kávéskanalak halmaza Pl.: a kávéskanalak halmaza rendesrendes halmaz, hiszen ez a halmaz nem-halmaz, hiszen ez a halmaz nem-kávéskanál, de a nem-kávéskanalak kávéskanál, de a nem-kávéskanalak halmaza szintén nem-kávéskanál, tehát halmaza szintén nem-kávéskanál, tehát tartalmazza önmagát, így tartalmazza önmagát, így nem-rendesnem-rendes halmazhalmaz


• Tekintsük azTekintsük az összes összes rendes halmazok N rendes halmazok N halmazát!halmazát!Kérdés: ez a halmaz rendes vagy nem-rendes?Kérdés: ez a halmaz rendes vagy nem-rendes?

Válasz: Válasz: • Indirekt bizonyítással bizonyítjuk, hogy N Indirekt bizonyítással bizonyítjuk, hogy N

rendes. rendes. Mert ha feltesszük az ellenkezőjét, azaz Mert ha feltesszük az ellenkezőjét, azaz hogy Nhogy NN, akkor, mivel N minden eleme rendes N, akkor, mivel N minden eleme rendes halmaz, kapjuk, hogy N sem nem-rendes, azaz halmaz, kapjuk, hogy N sem nem-rendes, azaz hogy Nhogy NN.N.

• Indirekt bizonyítással bizonyítjuk, hogy N Indirekt bizonyítással bizonyítjuk, hogy N nem-nem-rendes. rendes. Mert ha feltesszük az ellenkezőjét, azaz Mert ha feltesszük az ellenkezőjét, azaz hogy Nhogy NN, akkor tudván, hogy N minden rendes N, akkor tudván, hogy N minden rendes halmazt tartalmaz, önmagát is tartalmaznia kell halmazt tartalmaz, önmagát is tartalmaznia kell elemként, azaz Nelemként, azaz NN.N.


ÚTON A FIZIKAI ÚTON A FIZIKAI PARADOXONOK PARADOXONOK

FELÉFELÉ


Halom paradoxon Halom paradoxon („Szoritész”)(„Szoritész”)

• Eubulidész ógörög filozófus felteszi a Eubulidész ógörög filozófus felteszi a kérdést: „Egy szem mag vajon halom-e?”kérdést: „Egy szem mag vajon halom-e?”

• „„Nem.”Nem.”• „„Hát még egy szem?”Hát még egy szem?”• „„Az sem.”Az sem.”• A kezdetben feltett kérdést sokszor A kezdetben feltett kérdést sokszor

megismétli, míg végül el kell ismerni, megismétli, míg végül el kell ismerni, hogy valamilyen újabb szem hozzáadása hogy valamilyen újabb szem hozzáadása eredményeként olyasmi jött létre, amit eredményeként olyasmi jött létre, amit kezdetben tagadtunk: vagyis egy halom kezdetben tagadtunk: vagyis egy halom gabonaszem.gabonaszem.


Kopasz („Calvus”) Kopasz („Calvus”) paradoxonparadoxon

Eubilidész egy másik eszmefuttatása:

Ha valaki kitépi egy embernek egy szál

haját, nem változtatja az

illetőt kopasszá; kérdés: mikor

változik kopasszá, ha szálanként tépdesik ki

haját?


Hegel szerint a Hegel szerint a

fentebb vizsgált fentebb vizsgált

„különös”, tréfának „különös”, tréfának

látszó kérdés látszó kérdés

mögött mögött a tárgy a tárgy

minőségi és minőségi és

mennyiségi mennyiségi

változásai kölcsönös változásai kölcsönös

kapcsolatának kapcsolatának

fontos problémájafontos problémája

rejlik.rejlik.


Elmosódott határú Elmosódott határú kijelentésekkijelentések

Minden ember magas (alacsony)Minden ember magas (alacsony)Képzeljünk el két embert, akik közül az egyik 1 Képzeljünk el két embert, akik közül az egyik 1

mm-rel magasabb, mint a másik. Ha az egyikük mm-rel magasabb, mint a másik. Ha az egyikük 195 cm, a másik pedig 1 mm-rel alacsonyabb, 195 cm, a másik pedig 1 mm-rel alacsonyabb, akkor mindketten magasak.akkor mindketten magasak.

Tekintsük a testmagasságoknak egy 195 cm-től Tekintsük a testmagasságoknak egy 195 cm-től induló csökkenő sorozatát, amelyben a induló csökkenő sorozatát, amelyben a szomszédos tagok különbsége mindig 1 mm. Egy szomszédos tagok különbsége mindig 1 mm. Egy 195 centis ember nyilvánvalóan magas. 195 centis ember nyilvánvalóan magas. Feltevésünk szerint ekkor magasnak számít a Feltevésünk szerint ekkor magasnak számít a 194,9 cm magas személy is. Ha viszont az 194,9 cm magas személy is. Ha viszont az utóbbiak magasak, akkor magasak a náluk 1 utóbbiak magasak, akkor magasak a náluk 1 mm-rel alacsonyabbak is. A gondolatmenet mm-rel alacsonyabbak is. A gondolatmenet folytatható, és hamarosan ahhoz az abszurd folytatható, és hamarosan ahhoz az abszurd állításhoz érkezünk, hogy a 155 cm-es emberek is állításhoz érkezünk, hogy a 155 cm-es emberek is magasnak nevezendők – tehát valóban, mindenki magasnak nevezendők – tehát valóban, mindenki magas.magas.


• Thészeusz hajója

• A látható fény spektruma és a színek


Az éleai Zénon apóriáiAz éleai Zénon apóriái


A görög filozófia szinterei, A görög filozófia szinterei, köztük ÉLEAköztük ÉLEA


Az éleai iskolaAz éleai iskolaAz iskola fő képviselője:Az iskola fő képviselője:

PARMENIDÉSZ (Kr.e. 540 – Kr.e. 515(?))PARMENIDÉSZ (Kr.e. 540 – Kr.e. 515(?))

A létező egy és mozdulatlanA létező egy és mozdulatlan

A létező attributumai:A létező attributumai:

EgészEgész

VégtelenVégtelen

A létező változó világként érzékeink A létező változó világként érzékeink torzítása miatt jelenik meg torzítása miatt jelenik meg változóváltozó

világkéntvilágként


A parmenidészi bölcselet védelmezője:A parmenidészi bölcselet védelmezője:

ZÉNONZÉNON

Mesterének állításait az ún. Mesterének állításait az ún. APÓRIÁAPÓRIÁkkalkkal

indirekt módon bizonyítjaindirekt módon bizonyítja

Sokságellenes Sokságellenes apóriaapória

Mozgásellenes Mozgásellenes apóriákapóriák


Mozgásellenes apóriái:Mozgásellenes apóriái:

DichotomiaDichotomia

Akhilleusz és a Akhilleusz és a teknősbékateknősbéka

SztadionSztadion

A repülő nyílA repülő nyíl


• Zénon apóriái - amelyek Arisztotelész Zénon apóriái - amelyek Arisztotelész közvetítésével maradtak fenn az közvetítésével maradtak fenn az utókorra - sok fejtörést okoztak a utókorra - sok fejtörést okoztak a filozófusoknak. Általánosan elfogadott filozófusoknak. Általánosan elfogadott megoldásuk (talán még) ma sincs.megoldásuk (talán még) ma sincs.

• A következőkben Ruzsa Imre műve A következőkben Ruzsa Imre műve alapján, matematikai elemzés alapján, matematikai elemzés segítségével olyan megoldást segítségével olyan megoldást ismertetünk, amely sokak számára ismertetünk, amely sokak számára meggyőző és elfogadható.meggyőző és elfogadható.


• A Zénon apóriák tárgya közös:A Zénon apóriák tárgya közös: a mozgás, a tér, az időa mozgás, a tér, az idő

Felfogásunk a térről és az időről:Felfogásunk a térről és az időről:a)a) A tér és az idő lehet folytonos, azaz A tér és az idő lehet folytonos, azaz

végtelenül oszthatóvégtelenül osztható (nincs legkisebb, (nincs legkisebb, már tovább nem osztható tér- és már tovább nem osztható tér- és időintervallum)időintervallum)

b)b) A tér és az idő megszakított, nem A tér és az idő megszakított, nem folytonos, azaz folytonos, azaz „atomos”„atomos” (van tehát (van tehát olyan legkisebb tér- és olyan legkisebb tér- és időintervallum, amely már tovább időintervallum, amely már tovább nem osztható, nevezzük ezeket nem osztható, nevezzük ezeket „tératomnak” és „időatomnak”.)„tératomnak” és „időatomnak”.)


1. feltevés:1. feltevés:

A tér és az idő A tér és az idő folytonos,folytonos,

azaz érvényes a azaz érvényes a

végtelen oszthatóság végtelen oszthatóság elveelve


1. Dichotomia1. Dichotomia (felezés) (felezés)

• Ha elfogadjuk a végtelen oszthatóság Ha elfogadjuk a végtelen oszthatóság elvét, akkor a mozgás lehetetlen. Mert elvét, akkor a mozgás lehetetlen. Mert tegyük föl, hogy egy tegyük föl, hogy egy dd távolságot kell távolságot kell megtennünk. Hogy megtehessük, megtennünk. Hogy megtehessük, előbbelőbb meg kell tenni a felét, a meg kell tenni a felét, a d/2d/2 távolságot, távolságot, hogy ezt bejárjuk, ahhozhogy ezt bejárjuk, ahhoz előbb előbb bebe kell kell járni ennek felét, a járni ennek felét, a d/4d/4 távolságot, de távolságot, de ennek feltétele, hogy ennek feltétele, hogy előbbelőbb a felét, a a felét, a d/8d/8 távolságot befussuk, . . . és így tovább, a távolságot befussuk, . . . és így tovább, a végtelenségig.végtelenségig.


• Meg kell tenni az AB = d távolságotMeg kell tenni az AB = d távolságot

A BFF1F2

Fi : felezőpont

d/2


• A felezést A felezést bármeddigbármeddig folytathatjuk, a folytathatjuk, a dd távolság megtételének a feltételeit is vég távolság megtételének a feltételeit is vég nélkül sorolhatjuk föl, a feltételek e nélkül sorolhatjuk föl, a feltételek e visszafelé haladó láncolatában visszafelé haladó láncolatában nincs első nincs első feltételfeltétel. Mivel nincs első feltétel, azt nem . Mivel nincs első feltétel, azt nem is lehet teljesíteni, de hát akkor egyetlen is lehet teljesíteni, de hát akkor egyetlen kikötésünk sem teljesül (hiszen kikötésünk sem teljesül (hiszen bármelyiknek előfeltétele a megelőző bármelyiknek előfeltétele a megelőző feltétel teljesülése). Így a feltétel teljesülése). Így a dd távolságot távolságot nem lehet megtenni, a mozgás nem lehet megtenni, a mozgás lehetetlen, mert lehetetlen, mert nem lehet elindulni.nem lehet elindulni.


2. Akhilleusz és a 2. Akhilleusz és a teknősbékateknősbéka

A: AkhilleuszA: Akhilleusz T: T: teknősbékateknősbéka

A A1 A2

T T1

d d1

T2

d : a teknősbéka előnye


A trójai háború hőse, a gyors lábú Akhilleusz, nem A trójai háború hőse, a gyors lábú Akhilleusz, nem képes utolérni a lomha teknőst, ha annak bármely képes utolérni a lomha teknőst, ha annak bármely csekély előnye van. Mert tegyük fel, hogy a teknős csekély előnye van. Mert tegyük fel, hogy a teknős előnye a előnye a dd távolság. Amíg Akhilleusz befutja a távolság. Amíg Akhilleusz befutja a dd távolságot, addig a teknős előrecammog távolságot, addig a teknős előrecammog valamennyit, mondjuk valamennyit, mondjuk dd11 távolságot. Amíg távolságot. Amíg Akhilleusz ezt megteszi, addig a teknős előrehalad Akhilleusz ezt megteszi, addig a teknős előrehalad dd22-t, . . . és így tovább, a végtelenségig. Bármely -t, . . . és így tovább, a végtelenségig. Bármely csekélyre zsugorodik is a teknős előnye, e csekély csekélyre zsugorodik is a teknős előnye, e csekély távolságnál is van kisebb - a végtelen oszthatóság távolságnál is van kisebb - a végtelen oszthatóság elvének elfogadásával-, tehát amíg Akhilleusz ezt elvének elfogadásával-, tehát amíg Akhilleusz ezt megteszi, addig a teknős képes egy újabb, bár megteszi, addig a teknős képes egy újabb, bár kisebb előnyre szert tenni. Tehát Akhilleusz kisebb előnyre szert tenni. Tehát Akhilleusz sohasem éri utól a teknőst, a mozgást nem képes sohasem éri utól a teknőst, a mozgást nem képes befejezni. A mozgás tehát nem létezik, hiszen ha befejezni. A mozgás tehát nem létezik, hiszen ha létezik, létezik, nem lehet megállni.nem lehet megállni.


2. feltevés:2. feltevés:

A tér és az idő atomos, A tér és az idő atomos, azaz azaz

a végtelen oszthatóság a végtelen oszthatóság elve nem érvényeselve nem érvényes


3. Sztadion3. Sztadion(A sztadion jelentése: (A sztadion jelentése:

hosszmérték, futópálya)hosszmérték, futópálya)Tegyük fel, hogy három párhuzamos sorban Tegyük fel, hogy három párhuzamos sorban

lovasok állnak, az alábbi ábrának megfelelően:lovasok állnak, az alábbi ábrának megfelelően:

Két lovas távolsága mindhárom sorban állandó, legyen ez a távolságegység. A B és C sorok egyszerre megindulnak, és egyenlő sebességgel haladnak a nyíllal megjelölt irányban, az A sor nyugalomban marad.


A mozgás az alábbi ábrának megfelelően A mozgás az alábbi ábrának megfelelően fejeződik be.fejeződik be.

A A BB sor lovasai megállapíthatják helyzetüket sor lovasai megállapíthatják helyzetüket az az AA sorral illetve a sorral illetve a CC sorral sorral

összehasonlítva. Az elmozdulás 2 illetve 4 összehasonlítva. Az elmozdulás 2 illetve 4 egység. Így egység. Így bebizonyosodott, hogybebizonyosodott, hogy

2 = 42 = 4,,

de ez ellentmondás, tehát a mozgás de ez ellentmondás, tehát a mozgás lehetetlen.lehetetlen.


4. A repülő nyíl4. A repülő nyíl


Amíg egy test önmagával Amíg egy test önmagával egyenlő helyet foglal el, nincs egyenlő helyet foglal el, nincs mozgásban. A repülő nyíl mozgásban. A repülő nyíl minden időpillanatban minden időpillanatban önmagával egyenlő helyet önmagával egyenlő helyet foglal el. Így a repülő nyíl foglal el. Így a repülő nyíl nincs mozgásban, a mozgás nincs mozgásban, a mozgás csak látszat, nem létezik.csak látszat, nem létezik.


A szinópéi filozófus, Diogenész és A szinópéi filozófus, Diogenész és tanítójának történetetanítójának története

• Diogenész, amikor tanítója elmondta neki Diogenész, amikor tanítója elmondta neki Zénon apóriáit, felkelt és ide-oda járkálni Zénon apóriáit, felkelt és ide-oda járkálni kezdett, hogy saját mozgásával cáfolja meg kezdett, hogy saját mozgásával cáfolja meg Zénon következtetéseit. Válaszul tanítója Zénon következtetéseit. Válaszul tanítója botot ragadott és verni kezdte növendékét. botot ragadott és verni kezdte növendékét. Miért? Azért, hogy ez utóbbi gondolkozzék és Miért? Azért, hogy ez utóbbi gondolkozzék és megtanulja logikusan megcáfolni más megtanulja logikusan megcáfolni más gondolkodó nézeteit. gondolkodó nézeteit.

• (A görögöknél csak észérvekre lehetett (A görögöknél csak észérvekre lehetett hivatkozni, az érzékelésünket megcsaló hivatkozni, az érzékelésünket megcsaló érzékszervekre, a tapasztalatra pedig nem.)érzékszervekre, a tapasztalatra pedig nem.)


A Zénon apóriák A Zénon apóriák elemzéseelemzése


1. Dichotomia elemzése1. Dichotomia elemzéseEsemény: egy távolság megtételeEsemény: egy távolság megtétele• D → eljutni B-be (a d távolság megtétele)D → eljutni B-be (a d távolság megtétele)• DD11 → eljutni F → eljutni F11-be (a d/2 távolság -be (a d/2 távolság

megtétele)megtétele)• DD22 → eljutni F → eljutni F22-be (a d/4 távolság -be (a d/4 távolság

megtétele)megtétele)

Leszálló eseménysorozat:Leszálló eseménysorozat:DDnn, D, Dn-1n-1, …, D, …, D22, D, D11, D, D

ha D-nek a feltétele Dha D-nek a feltétele D11, és általában D, és általában Di-1i-1--nek a föltétele Dnek a föltétele Dii (i= 2, 3, 4, . . ., n). (i= 2, 3, 4, . . ., n).

Ha DHa Dn n nem következik be, akkor D sem nem következik be, akkor D sem következhet be.következhet be.


DDn n : a sorozat kezdőtagja, D: a sorozat : a sorozat kezdőtagja, D: a sorozat zárótagjazárótagja

• Végtelen leszálló eseménysorozat:Végtelen leszálló eseménysorozat:

… … , D, Dnn, D, Dn-1n-1, …, D, …, D22, D, D11, D (nincs kezdőtag), D (nincs kezdőtag)

• Ha egy leszálló eseménysorozat Ha egy leszálló eseménysorozat kezdőtagja nem következik be, akkor kezdőtagja nem következik be, akkor zárótagja sem következhet be. A végtelen zárótagja sem következhet be. A végtelen leszálló eseménysorozatnak nincs leszálló eseménysorozatnak nincs kezdőtagja, tehát az nem is következhet kezdőtagja, tehát az nem is következhet be. Így a zárótagja sem következhet be.be. Így a zárótagja sem következhet be.


2. Akhilleusz és a teknős 2. Akhilleusz és a teknős elemzéseelemzése

• Az előnyök befutásához szükséges idők:Az előnyök befutásához szükséges idők:

t =tt =t11 + t + t22 + … + t + … + tnn + … = ∞ + … = ∞ (????)(????)

tt11=d/v=d/vAA vvAA: Akhilleusz : Akhilleusz sebességesebessége

dd11=t=t11∙v∙vTT =d∙v =d∙vTT/v/vAA vvTT: teknős sebessége: teknős sebessége

tt22=d=d11/v/vA A = (d∙v= (d∙vTT/v/vAA)/v)/vAA=(d/v=(d/vAA)∙(v)∙(vTT/v/vAA))

dd22=t=t22∙v∙vTT

tt33=d=d22/v/vAA=(d/v=(d/vAA)∙(v)∙(vTT/v/vAA))22

ttnn=(d/v=(d/vAA)∙(v)∙(vTT/v/vAA))n-1 n-1 n= 1, 2, …, n= 1, 2, …,


• t= (d/vt= (d/vAA)∙∑(v)∙∑(vTT/v/vVV))ii i=0, 1, 2, …, ∞ i=0, 1, 2, …, ∞

• Feltehető, hogy vFeltehető, hogy vAA>>vvT T vvTT/v/vAA << 1 1

• Végtelen mértani sor: Végtelen mértani sor:

∑ ∑(v(vTT/v/vVV))ii → 1/(1- v → 1/(1- vTT/v/vAA) , ha i→∞) , ha i→∞

t→ (d/vt→ (d/vAA)∙[1/(1- v)∙[1/(1- vTT/v/vAA)]= d/(v)]= d/(vAA-v-vTT)≠∞)≠∞


• Tegyük fel, hogy Tegyük fel, hogy x x távolság után befogja távolság után befogja Akhilleusz a teknőst!Akhilleusz a teknőst!

Ekkor fennáll:Ekkor fennáll:

• x=vx=vTT∙t ∙t •d+vd+vTT∙t= v∙t= vAA∙t∙t

• d+x=vd+x=vAA∙t∙t

•t=d/(vt=d/(vAA-v-vTT)≠∞)≠∞

Elfogadnák-e a görögök ezt a Elfogadnák-e a görögök ezt a cáfolatot?cáfolatot?


3. Sztadion elemzése3. Sztadion elemzése

• Az állítás: a 2 egységnyi hosszúságú út Az állítás: a 2 egységnyi hosszúságú út és a 4 egységnyi hosszúságú út és a 4 egységnyi hosszúságú út ugyanannyi pontból áll, mint ahány ugyanannyi pontból áll, mint ahány pontot tartalmaz a T időszakasz, tehát a pontot tartalmaz a T időszakasz, tehát a 2 egységnyi szakasznak ugyanannyi 2 egységnyi szakasznak ugyanannyi pontja van, mint a 4 egységinek.pontja van, mint a 4 egységinek.

• Távolság egy pontja: „tératom” Távolság egy pontja: „tératom” (távolságatom)(távolságatom)

• Időpont: „időatom”Időpont: „időatom”• Logikai ellentmondásLogikai ellentmondás


• Ebben az értelmezésben csak egyféle Ebben az értelmezésben csak egyféle sebesség lehetséges!!!sebesség lehetséges!!!

• 1 távolságatomot t idő alatt fut be a test, 1 távolságatomot t idő alatt fut be a test, akkor 1 időatom alatt 1/t távolságatomot tesz akkor 1 időatom alatt 1/t távolságatomot tesz meg. De a távolságatomnál kisebb távolság meg. De a távolságatomnál kisebb távolság nincs, azaz, ha tnincs, azaz, ha t>>1, akkor az 1/t távolság 1, akkor az 1/t távolság nem létezik. Pl. ha t=3, akkor 1 időatom alatt nem létezik. Pl. ha t=3, akkor 1 időatom alatt átugrotta a távolságatomot, 2 időatom alatt átugrotta a távolságatomot, 2 időatom alatt pedig „pihent”. pedig „pihent”.

• 1 időatom alatt d1 időatom alatt d>>1 távolságatomot fut be, 1 távolságatomot fut be, akkor 1 távolságatomot 1 időatomnál kisebb akkor 1 távolságatomot 1 időatomnál kisebb idő alatt futná be, de 1 időatomnál kisebb idő alatt futná be, de 1 időatomnál kisebb időtartam nincs. időtartam nincs.


Így ha feltesszük, hogy a mozgás során a Így ha feltesszük, hogy a mozgás során a test nem hagy ki atomokat, azaz test nem hagy ki atomokat, azaz minden egyes távolságatom minden egyes távolságatom befutásához legalább egy időatom befutásához legalább egy időatom szükséges.szükséges.

Így bármely mozgás sebessége: 1 Így bármely mozgás sebessége: 1 távolságatom osztva 1 időatmmaltávolságatom osztva 1 időatmmal


• Ha elvetjük az atomos hipotézist, Ha elvetjük az atomos hipotézist, akkor az apória értelme: bármely akkor az apória értelme: bármely szakasz pontjainak halmaza szakasz pontjainak halmaza ekvivalensekvivalens


4. A Nyíl elemzése4. A Nyíl elemzése


Ajánlott irodalomAjánlott irodalom

FIZIKAI PARADOXONOK

Documents

Transcript of FIZIKAI PARADOXONOK