Vicente CaerolsEstudiante Kinesiología

Ayudante Dpto Matemáticas

1

¿Qué son las derivadas? ¿Para qué sirven?

• La derivada en un punto, está asociada a la pendiente de la recta tangente en el gráfico de una función, en el punto que le corresponde a la imagen de determinado valor de “X”

• Sirve para cuantificar pequeños cambios en el comportamiento de una función

¿?

Que alguien lo explique

Primero… La recta tangente es:

Para entenderlo, un ejemplo

Para entenderlo, un ejemploCONSIDERANDO QUE LA CURVA ES PERFECTA Y LA TABLA SE AFIRMA DE UN SOLO PUNTO….

Para entenderlo, un ejemploNOS AYUDA A CALCULAR LA INCLINACION DE LA TABLA EN CADA UNO DE LOS PUNTOS DE LA MONTAÑA CUANDO LA APOYAMOS…

Para entenderlo, un ejemploNOS AYUDA A CALCULAR LA INCLINACION DE LA TABLA EN CADA UNO DE LOS PUNTOS DE LA MONTAÑA CUANDO LA APOYAMOS…

MatemáticamenteCALCULAMOS LA TANGENTE DE ESE TRIÁNGULO COMO CO/CA OSEA.. DELTA Y / DELTA X

CORTA A LA FUNCION EN DOS PUNTOS ….

Entonces, la definición de derivada es..

Demostrando la definición…

• Calcular la inclinación de la recta tangente si f(x) = 2 en la siguiente ecuación:

Demostrando la definición…• Reemplazando F(2) = 3

• Reemplazando en la definición de derivada..

Demostrando la definición…• Reemplazamos la función

• Factorizamos, eliminamos y queda demostrado:

LA RECTA TANGENTE A LA PARÁBOLA, QUE CORRESPONDE A X=2 , TIENE PENDIENTE 2

Vicente CaerolsEstudiante Kinesiología

Ayudante Dpto Matemáticas

2

¿Cuáles son las propiedades de las derivadas?

Ahora que entendemos lo que son las derivadas, vamos a aprender como empezar a calcular ejercicios con derivadas, para eso comenzaremos por mencionar las propiedades de éstas.

PROPIEDAD 1

DERIVADA DE UNA CONSTANTE

• Una función polinómica de grado 0 o función constante es aquella que no depende de ninguna variable y su derivada siempre será cero.

Si f(x) = a , tendremos que f'(x) = 0Donde a es una constante, como un ejemplo:f(x) = 7f'(x) = 0

PROPIEDAD 2

DERIVADA DE UNA POTENCIA ENTERA

• Una función potencial con exponente entero se representa por:– f(x) = xn y su derivada es f'(x) =nxn − 1

• Ejemplo: f(x) = x3

f'(x) = 3x3 − 1

Quedando finalmente:f'(x) = 3x2

PROPIEDAD 3

DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

• Al tener por ejemplo: f(x) = cxn y su derivada f'(x) =n(cx(n − 1))

• Por otro lado, si tenemos: f(x) = 7x• su derivada sería f'(x) = 7

Puesto que x0 = 1

PROPIEDAD 4

DERIVADA DE UNA SUMA

• La derivada de una suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una– (f + g)' = f' + g‘

• Ejemplo: f(x) = 3x5 + x3 f '(x) = 15x4 + 3x2

PROPIEDAD 5

• "La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función“

• Ejercicio:• h(x) = (4x + 2)(3x7 + 2)• f(x) = (4x + 2) y g(x) = (3x7 + 2)• Entonces: f'(x) = 4 y que g'(x) = 21x6 (LLEGAMOS UTILIZANDO PROPIEDADES)

• Por lo tanto:

• Simplificando y organizando nos queda: h'(x) = 84x7 + 12x7 + 42x6 + 8• Sumando términos semejantes, obtenemos : h'(x) = 96x7 + 42x6 + 8

DERIVADA DE UN PRODUCTO

PROPIEDAD 5

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir:

en donde (sin importar que dos funciones escogemos).

DERIVADA DE UN PRODUCTO

PROPIEDAD 6DERIVADA DE UN COCIENTE

Ejemplo:

Propiedad 7

• La derivada de una variable con respecto a si misma es “ 1”

• g’/g’ = 1• f’/f’ = 1

DERIVADA DE VARIABLE/VARIABLE

• Explicado con un ejemplo:

• R(x) = (5x6-7)8

R(x) = 8 (5x6-7)7 x (30x5) R(x) = 240 (5x6-7)7

R E G L A D E L A C A D E N A

DERIVADA INTERNA

• f’(g(h(y(p(q(x))))))Se desarrollaría de la sgte. manera:

¡SE VAN UTILIZANDO LAS DIFERENTES DERIVADAS INTERNAS SEGÚN CORRESPONDA!

R E G L A D E L A C A D E N A

f’(g(h(y(p(q(x)))))) x g’(h(y(p(q(x))))) x h’(y(p(q(x)))) x p’(g(x) x g’(x) x X’

• Se utiliza cuando la función está implícita en la ecuación.

• El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar Y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar Y, es inútil este método.

• Explicando con un ejemplo:

• x3-y5 +3x2-6y=1 dy/dx? y’• 3x2-5y4y’+6x-6y’ = 0• -5y4y’ -6y’ = -3x2-6x *(-1)• 5y4y’ +6y’ = 3x2+6x• y’(5y4+6) = 3x2+6x• y’= 3x2+6x / 5y4+6 dy/dx = 3x2+6x / 5y4+6

D E R I V A D A I M P L I C I T A

RECREO 15 MINUTOS

Vicente CaerolsEstudiante Kinesiología

Ayudante Dpto Matemáticas

3

Ejercitación

Objetivo : Desarrollo de 40 ejercicios para

complementar la definición, propiedades y métodos de desarrollar una derivada.

323 33

23)( xxxxxf

3

24 632

2

3

4)(

xx

xxxf

3 22

31)(

xxxxxxxf

xsenx

xsenxxf

cos

cos)(

173 264 xxy

63 24 xxy

3 2 5

1

xy

22 xay

GRACIAS