HEH, Campus Technique

Institut Supérieur Industriel de Mons

AutomatiquePartie I - Modélisation et Calcul opérationnel

Notes de cours

Ce document a été rédigé en LATEXLe 8 mars 2015

Auteur :Corky Maigre *[*]** (FPMs 173)corky.maigre@std.hecfh.be

TB3EAT3ème Bachelier ISIMs

Ir. F.Hubert

Année Académique 2014-2015

TABLE DES MATIÈRES

1 Introduction 21.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Traitement d’un problème d’automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Schéma fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Modélisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Hypothèses de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1 Etude de systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Etude de systèmes causaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.3 Etude de systèmes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.4 Etude de systèmes SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.5 Etude de systèmes déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.6 Etude de systèmes analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Concept de Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.1 Précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.2 Rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.4 Sécurité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.5 Fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Théorie des systèmes du premier ordre 82.1 Modèle différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Modèle opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Méthodes d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Méthode graphique de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Méthode graphique des pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Méthode du semi-logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Analyse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.1 Courbe de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Courbes de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.3 Courbe de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Théorie des systèmes du second ordre 163.1 Modèle différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Modèle opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Méthodes d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Modèle temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4.1 Overshoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Analyse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5.1 Courbe de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5.2 Courbes de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5.3 Courbe de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.6 Lien entre les caractéristiques temporelle et fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Formulaire 25

5 Listes des commandes Matlab 27

1

CHAPITRE 1INTRODUCTION

On parle de « calcul opérationnel » lorsqu’on utilise l’opérateur de Laplace en Automatique pour définirla notion de fonction de transfert afin de permettre de modéliser des systèmes.

(voir synthèse TB2ETS_2)

1.1 DéfinitionsL’automatique est l’étude du comportement dynamique et statique des systèmes physiques au sens

large. Ces systèmes peuvent être du domaine électrique, mécanique, thermique, hydraulique, chimique, bio-logique, ...

L’ingénieur devra contrôler certains paramètres des systèmes comme par exemple :– « Motion Control » : contrôle de la vitesse d’un moteur électrique (domaine électromécanique) ou

contrôle de la trajectoire d’un satellite.– « Batch Control » : régulation de niveau dans un réservoir.– « Cruise Control » : contrôle de la vitesse d’un véhicule (domaine électrique).– « Pressure Control » : contrôle de la pression sur la chaudière d’une centrale électrique (domainethermique).

1.2 Traitement d’un problème d’automatique1. Analyse des systèmes : étude des schémas fonctionnels.2. Modélisation : mise en équation des systèmes.3. Simulation : obtention d’une idée de l’effet du système.4. Régulation : mise au point du contrôleur (ou régulateur).

1.2.1 Schéma fonctionnel

Tout système est défini par un schéma fonctionnel (ou schéma bloc) montrant que le système est unprocédé (ou processus 1) qui transforme un signal d’entrée (sollicitation 2) en un signal de sortie (grandeurobservée et contrôlée 3).Il existe deux types d’entrées :entrées de commande : entrées « maîtrisées » (ex : débit de combustible dans un brûleur).entrées de perturbation : entrées « aléatoires » (ex : pertes de chaleur dans un système thermique).

Figure 1.1 – Schéma fonctionnel.1. « process » ou « plant » en anglais.2. « input ».3. « output ».

2

1.3. HYPOTHÈSES DE TRAVAIL

1.2.2 Modélisation mathématique

1.2.2.1 Modèle différentiel (ou temporel)

Ensemble des équations différentielles qui relie x à y en faisant intervenir des dérivations et des intégra-tions.

f

[x(t), x′(t), x′′(t),

ˆx(t) dt, y(t), y′(t), y′′(t),

ˆy(t) dt, . . .

]= 0 (1.1)

1.2.2.2 Modèle opérationnel

Modèle faisant intervenir l’opérateur de Laplace et qui consiste à définir la fonction de transfert (outransmittance) du système.

T (s) = L{y(t)}L {x(t)} = Y (s)

X(s) (1.2)

1.3 Hypothèses de travail

Nous allons travailler avec des hypothèses de travail.– Systèmes linéaires ;– Systèmes causaux ;– Systèmes stationnaires ;– Systèmes SISO ;– Systèmes déterministes ;– Systèmes analogiques ;

1.3.1 Etude de systèmes linéaires

Nous étudierons des systèmes linéaires où l’effet résultant est l’image de l’effet sollicité.

Figure 1.2 – Système linéaire.

La caractéristique entrée-sortie du système est une droite linéaire qui ne prend pas en compte la saturation(non-linéarité) ni l’hystérésis.

3

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Figure 1.3 – Caractéristique d’un système linéaire.

Lorsqu’on a un système non-linéaire, soit on :– choisit d’étudier la zone linéaire– linéarise autour des points de fonctionnement (travailler sur la tangente).

1.3.2 Etude de systèmes causaux

Nous étudierons des systèmes causaux.

Le principe de « cause à effet » nous dit que toute cause a un effet et la même cause a toujours lemême effet. De plus, un système ne peut pas répondre avant d’avoir été sollicité. Par conséquent, s’il y a uneffet, il y a forcément une cause.

Figure 1.4 – Principe de causalité.

1.3.3 Etude de systèmes stationnaires

Nous étudierons des systèmes stationnaires 4 . Les systèmes ne vieillissent pas, si on leur donne uneréponse y(t) à x(t), ils répondront y(t− τ) à x(t− τ).

4. stationnaires, ou permanents, ou invariants, ou autonomes.

4

1.4. CONCEPT DE FEEDBACK

Figure 1.5 – Système stationnaire.

En pratique, la fonction de transfert varie en fonction du temps, on utilise alors des commandes d’adap-tation.

1.3.4 Etude de systèmes SISO

Nous étudierons des systèmes SISO 5 et non des systèmes MIMO 6 basé sur un modèle matriciel prenanten compte un système multivariable à vecteurs d’entrée et de sortie.

1.3.5 Etude de systèmes déterministes

Nous étudierons des systèmes déterministes et non probabilistes aléatoires. Ainsi, nous n’aurons be-soin que de l’algèbre linéaire et non de la théorie des statistiques et probabilités qui tiennent compte desperturbations.

1.3.6 Etude de systèmes analogiques

Nous étudierons des systèmes analogiques travaillant avec des signaux analogiques qui sont des signaux àtemps continu. Cela signifie que le signal existe pour tout t appartenant au domaine. On parle de continuumtemporel car il n’y a pas de discrétisation.

1.4 Concept de Feedback

Le feedback 7 est une « contre-réaction » , c’est une réaction négative nécessaire dans les étapes de contrôled’un système [ORA] :

1. Oservation → on observe la valeur que l’on veut contrôler en la mesurant.2. Réflexion → on établit une stratégie de contrôle.3. Action → on agit pour que les valeurs suivent au mieux les valeurs souhaitées (consigne).

Le feedback est l’étape qui ferme la boucle en reliant la dernière et la première étape et qui déstabilise lesystème qui était stable en boucle ouverte.

Pour réaliser un feedback, il faut partir du « process » et définir les entités de la partie « observation » , dela partie « réflexion » , et de la partie « action » .

Le but est de réduire le signal d’erreur ε au maximum en rapprochant la grandeur mesurée de la gran-deur souhaitée (consigne). La chaîne directe étudie la condition (partie réflexion) et effectue les actionsnécessaires. La chaîne de retour indique le changement de l’action précédente.

5. « Single Input Single Output ».6. Multiple Input Multiple Output7. littéralement « nourrir en retour ».

5

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Figure 1.6 – Réalisation d’un feedback.

1.5 Objectifs

Les objectifs de l’automaticien sont d’optimiser la précision, la rapidité, et la stabilité.

1.5.1 Précision

La précision est caractérisée par l’erreur statique de régime en mode régulation et l’erreur dynamique detrainage en mode poursuite.

– Mode régulationL’erreur est dite statique car elle est constante. C’est l’erreur de régime, c’est-à-dire la différence entrela sortie y(t) et l’entrée x(t) en régime.→ Stabilisation

– Mode poursuiteL’erreur dynamique est l’erreur de trainage, c’est à dire la différence entre la sortie y(t) et l’entrée x(t)variable. La consigne n’est plus constante.→ Asservissement

Figure 1.7 – Erreur statique et dynamique.

6

1.5. OBJECTIFS

1.5.2 Rapidité

La rapidité du système est caractérisée par le tempsde montée tm (« rise time ») qui est le temps deréaction de la boucle.

C’est le temps pour passer de 10 à 90% de lavaleur de régime.

En automatique, on essayera que la réactivité soit laplus grande possible afin que le système réponde leplus rapidement possible à une sollicitation.

Figure 1.8 – Rise time.

1.5.3 Stabilité

On travaille toujours en réponse indicielle afin de déterminer le niveau de stabilité d’un système.

Un système est stable si sa réponse indicielle est constante à l’infini (régime) sinon il est instable. Lastabilité dépend des pôles de la fonction de transfert du système en boucle fermée.

Un système stable sera caractérisé par une marge de stabilité, par exemple une réponse harmonide auraune marge de stabilité plus faible qu’une réponse d’un système du premier ordre car la rapidité pour at-teindre le niveau de stabilité est plus grand.

1.5.4 Sécurité

En automatique, il faut essayer d’augmenter la sécurité des systèmes.

1.5.5 Fatigue

En automatique, il essayer de diminuer la fatigue du cerveau de réflexion.

7

CHAPITRE 2THÉORIE DES SYSTÈMES DU PREMIER ORDRE

2.1 Modèle différentiel

Soient x(t), le signal d’entrée et y(t), le signal de sortie, la forme généralisée d’un SO1 est donnée par :

a1 ·dy(t)dt

+ a0 · y(t) = b0 · x(t) (2.1)

où les coefficients a0, a1, et b0 sont constants car le système est permanent 1 par hypothèse.

En isolant la dérivée première, on obtient :

y′(t) = dy(t)dt

= b0a1· x(t)− a0

a1· y(t) (2.2)

Figure 2.1 – Schéma fonctionnel du SO1 généralisé.

2.2 Modèle opérationnel

Afin d’obtenir le modèle opérationnel, on applique la transformée de Laplace avec des conditions initialesnulles.

a1 · p · Y (p) + a0 · Y (p) = b0 ·X(p) (2.3)

La fonction de transfert d’un système de premier ordre est donnée par :

TSO1(p) = Y (p)X(p) = b0

a1 p+ a0=

b0a0

1 + p · a1a0

(2.4)

En définissant le gain statique K comme le rapport entre l’entrée et la sortie en régime et la constante detemps T , la transmittance générale d’un SO1 est donnée par :

TSO1(p) = K

1 + p · Tavec

{K = b0

a0, gain statique

T = a1a0, constante de temps (2.5)

1. ne vieillit pas dans le temps.

8

2.3. MÉTHODES D’IDENTIFICATION

2.3 Méthodes d’identificationIdentifier un système consiste à déterminer les deux inconnues K et T par un essai de réponse indicielle

(step en entrée). La fonction de transfert d’un SO1 est donné par

TSO1(p) = K

1 + p · T(2.6)

Si on applique un signal step x(t) en entrée donné par :

x(t) = A · u(t) (2.7)

La transformée de Laplace nous donne :X(p) = A

p(2.8)

On enregistre le signal de sortie dans le domaine de Laplace :

Y (p) = K

1 + p T· Ap

= A ·K(p+ 1

T

)· T · p

= A ·Kp

+ −A ·Kp+ 1

T

(2.9)

On peut donc constater que le pôle d’un SO1 est −1T .

En repassant dans le modèle temporel, nous trouvons un signal de sortie où intervient les deux inconnuesK et T :

y(t) = A ·K ·(1− e−t/T

)(2.10)

Figure 2.2 – Réponse indicielle.

La dérivée de la réponse est donnée par :

y′(t) = (−AK) ·(−1T

)· e−

tT (2.11)

En analysant cette dérivée en 0, on obtient la pente de la tangente du graphe à l’origine qui est de AKT .

On peut remarquer sur le graphe, qu’en l’infini, la réponse tend vers une valeur constante AK de ré-gime du signal.

9

CHAPITRE 2. THÉORIE DES SYSTÈMES DU PREMIER ORDRE

On peut ainsi identifier le gain statique K :

K = AK

A= y(∞)

x(∞) (2.12)

Il existe trois méthodes pour identifier la constante de temps T d’un système du premier ordre.– Méthode graphique de la tangente– Méthode graphique des pourcentages– Méthode du semi-logarithme

2.3.1 Méthode graphique de la tangente

1. tracer la tangente de la courbe indicielle en zéro2. repérer l’intersection de cette tangente avec l’horizontal de régime3. obtention de l’abscisse T .

2.3.2 Méthode graphique des pourcentages

Il faut trouver le point du graphe ayant une ordonnée de 63% de la valeur en régime. L’abscisse de cepoint nous donne la constante de temps T .

2.3.3 Méthode du semi-logarithme

Cette méthode est plus précise que les deux précédentes et consiste à linéariser l’écart variable ε de lacourbe.

ε = AK − y(t) = AK −(AK −AK · e−t/T

)= AK · e−t/T (2.13)

On constate donc que lorsque t tend vers l’infini, l’écart ε tend vers zéro.On linéarise en passant aux logarithmes népériens :

ln ε = ln(AK · e−t/T

)= ln (AK) + ln

(e−t/T

)= ln (AK) − t

T(2.14)

On trouve donc la constante de temps T grâce à la pente de la droite.

Figure 2.3 – Linéarisation semi-logarithmétique.

10

2.4. ANALYSE FRÉQUENTIELLE

2.4 Analyse fréquentielleL’analyse fréquentielle étudie le comportement du système du premier ordre en fonction de la fréquence

qui varie de 0 (continu) à l’infini (hautes fréquences).

La transmittance isomorphe est donnée par :

T (p) = K

1 + p T(2.15)

Sachant que la variable de Laplace en harmonique est donnée par :

p = σ︸︷︷︸0

+ j ω = j ω (2.16)

La transmittance isochrone 2 est alors donnée par :

T (j ω) = K

1 + j ω T(2.17)

Si on applique une harmonique de la forme A · cos(ω t), la fréquence ne va pas changer et la réponse enrégime sera donnée par :

B · cos (ω t+ ϕ) (2.18)

où le comportement en amplitude est exprimé par :

B = A · |T (jω)|︸ ︷︷ ︸gain

= A ·∣∣∣∣ K

1 + j ω T

∣∣∣∣ = A · |K||1 + j ω T |

= A · K√1 + ω2 T 2

(2.19)

et où le comportement en phase est exprimé par :

ϕ(ω) = arg [T (j ω)] = arg(

K

1 + j ω T

)= − arg (1 + j ω T ) = − arctan (ω T ) (2.20)

2.4.1 Courbe de Nyquist

La courbe de Nyquist 3 est le lieu de la réponse isochrone qui est un complexe donné par :

z = T (j ω) = K

1 + j ω T= ~OP (2.21)

C’est donc le lieu de l’extrémité du vecteur −−→OP de ce nombre complexe lorsque la pulsation ω varie de 0 àl’infini.

Nous pouvons faire intervenir les parties réelle et imaginaire.

z = K

1 + j ω T· 1− j ω T

1− j ω T

= K · (1− j ω T )1 + ω2 T 2

= K

1 + ω2 T 2︸ ︷︷ ︸x

− j K ω T

1 + ω2 T 2︸ ︷︷ ︸y

= Re{z} − j · Im{z}

2. réponse fréquentielle du SO1.3. [Matlab] nyquist().

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CHAPITRE 2. THÉORIE DES SYSTÈMES DU PREMIER ORDRE

On trouve l’équation de la courbe de Nyquist comme ceci :

x2 + y2 = K2

(1 + ω2 T 2)2 + K2 ω2 T 2

(1 + ω2 T 2)2

= K2 ·(1 + ω2 T 2)

(1 + ω2 T 2)2

= K · K

1 + ω2 T 2︸ ︷︷ ︸x

= K · x

La courbe de Nyquist est donc un cercle d’équation :

x2 + y2 = K · x ou(x− K

2

)2+ y2 = K2

4 avec{C(K2 ; 0

)r = K

2(2.22)

Figure 2.4 – Courbe de Nyquist.

Lorsque la pulsation et la fréquence sont nulles, la réponse isochrone donne K et lorqu’elles valent l’infini,la réponse est nulle.

Un point particulier est celui où ω T = 1, ainsi :

z = K

1 + j= K√

2 b−π4

= K√2b−π/4 (2.23)

La partie supérieur du cercle correspond aux fréquences négatives, c’est pourquoi on rencontrera souvent undemi-cercle en pratique.

Le gain du système est donné par le module du nombre complexe :

| ~OP | = |z| = K√1 + ω2 T 2

(2.24)

La phase du système est donné par l’argument du nombre complexe :

b ~OP = arg(z) = − K ω T

1 + ω2 T 2 (2.25)

12

2.4. ANALYSE FRÉQUENTIELLE

2.4.2 Courbes de Bode

Il existe deux courbes de Bode :– courbe de Bode en amplitude– courbe de Bode en phase

2.4.2.1 Courbe de Bode en amplitude

La courbe de Bode en amplitude représente le gain du système exprimé en [dB] :∣∣∣∣ K

1 + j ω T

∣∣∣∣dB

(2.26)

par rapport à la fréquence sur une échelle logarithmétique en base 10.

Le gain en dB est donné par :

GdB = 20 · log10

∣∣∣∣ K

1 + j ω T

∣∣∣∣ = 20 · log10|K|

|1 + j ω T |= 20 · log10

K√1 + ω2 T 2

(2.27)

Si K = 1, le gain vaut :

G = 20 · log101√

1 + ω2 T 2= 20 ·

(log10 1− log10

√1 + ω2 T 2

)= −10 · log10

(1 + ω2 T 2

)(2.28)

– Pour de basses fréquences, le gain se réduit à :

G = 0 [dB] (2.29)

– Pour de hautes fréquences, le gain vaut :

G = −10 · log10

(ω2 T 2

)= −20 · log10(ω T ) (2.30)

On peut alors étudier les diférents cas suivants :– ω = 1

T → 0 dB– ω = 10

T → −20 dB– ω = 100

T → −40 dBSur une décade, la fréquence est multipliée par dix et la pente de l’asymptote oblique est -20 dB pardécade.

Lorsque ω = 1T , le gain vaut G = −10 log 2 = −3 dB. On peut alors remarquer qu’il s’agit d’un filtre

passe-bas. Si K > 1, on aura une translation vers le haut et si K < 1, une translation vers le bas.

Figure 2.5 – Courbe de Bode en amplitude.

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CHAPITRE 2. THÉORIE DES SYSTÈMES DU PREMIER ORDRE

2.4.2.2 Courbe de Bode en phase

La courbe de Bode en phase représente l’argument du système exprimé en degré [̊ ] :

arg(

K

1 + j ω T

)deg

(2.31)

par rapport à la fréquence sur une échelle logarithmétique en base 10.

La phase du système est indépendante de K et est donnée par :

ϕ(ω) = arg(

K

1 + j ω T

)= arg(K) − arg (1 + j ω T ) = 0 − arctan (ω T ) = − arctan (ω T ) (2.32)

En basse fréquence, la phase est nulle et en hautes fréquences, la phase vaut -90̊ .

Figure 2.6 – Courbe de Bode en phase.

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2.4. ANALYSE FRÉQUENTIELLE

2.4.3 Courbe de Black-Nichols

La courbe de Black-Nichols 4 représente le graphe du gain en fonction de la phase.

Le gain est donné par :|T (j ω)| =

∣∣∣∣ K

1 + j ω T

∣∣∣∣dB

(2.33)

La phase est donnée par :arg [T (j ω)] = arg

(K

1 + j ω T

)(2.34)

Figure 2.7 – Courbe de Black-Nichols (K = 1).

Si K > 1, on remarque une translation de la courbe vers le haut.Si K < 1, on remarque une translation de la courbe vers le bas.

4. [Matlab] nichols().

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CHAPITRE 3THÉORIE DES SYSTÈMES DU SECOND ORDRE

3.1 Modèle différentielSoient x(t), le signal d’entrée et y(t), le signal de sortie, la forme généralisée d’un SO2 est donnée par :

a2 ·d2y(t)dt2

+ a1 ·dy(t)dt

+ a0 · y(t) = b0 · x(t) (3.1)

où les coefficients a0, a1, a2 et b0 sont constants car le système est permanent par hypothèse.

En isolant la dérivée première, on obtient :

y′′(t) = d2y(t)dt2

= b0a2· x(t)− a1

a2· dy(t)dt− a0a2· y(t) (3.2)

Figure 3.1 – Schéma fonctionnel du SO2 généralisé.

3.2 Modèle opérationnelAfin d’obtenir le modèle opérationnel 1, on applique la transformée de Laplace avec des conditions initiales

nulles.a2 · p2 · Y (p) + a1 · p · Y (p) + a0 · Y (p) = b0 ·X(p) (3.3)

ou sous la forme : (a2 · p2 + a1 · p+ a0

)· Y (p) = b0 ·X(p) (3.4)

La fonction de transfert d’un système de second ordre est donnée par :

TSO2(p) = Y (p)X(p) = b0

a2 p2 + a1 p+ a0=

b0a0

a2a0p2 + a1

a0p+ 1 (3.5)

En définissant le gain statique K comme le rapport entre l’entrée et la sortie en régime, le coefficientd’amortissement ξ, et la constante temporelle T , la transmittance générale d’un SO2 est donnée par :

TSO2(p) = K

T 2 p2 + 2 ξ T p+ 1 avec

K = b0

a0= y(∞)

x(∞) , gain statique2 ξ T = a1

a0, ξ coefficient d’amortissement

T 2 = a2a0, T constante temporelle

(3.6)

1. forme canonique générale de la transmittance

16

3.3. MÉTHODES D’IDENTIFICATION

Ainsi, la constante temporelle est donnée par :

T =√a2a0

en [s] (3.7)

Le coefficient d’amortissement ξ caractérise l’oscillation et est donné par :

ξ = 12 ·√a0a2· a1a0

= 12 ·

√a12

a0 · a2(3.8)

3.3 Méthodes d’identification

Identifier un système de second ordre consiste à déterminer les trois paramètres K, T , et ξ par un essaide réponse indicielle (step en entrée). La fonction de transfert d’un SO2 est donné par

TSO2(p) = K

T 2 p2 + 2 ξ T p+ 1 (3.9)

Si on applique un signal step x(t) en entrée donné par :

x(t) = A · u(t) (3.10)

La transformée de Laplace nous donne :

X(p) = A

p(3.11)

On enregistre le signal de sortie dans le domaine de Laplace :

Y (p) = K

T 2 p2 + 2 ξ T p+ 1 ·A

p(3.12)

On peut donc constater que les pôles d’un SO2 sont dépendants de ξ. En effet, le discriminant ∆ dudénominateur de la fonction de transfert est donné par :

∆ = 4 ξ2 T 2 − 4T 2 = 4T 2 · (ξ − 1) (3.13)

On remarque alors trois cas de figure en fonction de la valeur du coefficient d’amortissement ξ 2.

Cas sous-amorti (ξ < 1)

Pour un coefficient d’amor-tissement ξ inférieur à un, lediscriminant ∆ est négatif etle polynôme du dénominateuradmet deux racines complexesconjuguées.

La réponse indicielle seraune réponse pseudo-périodique a.

a. oscillant.

Cas critique (ξ = 1)

Pour un coefficient d’amor-tissement ξ égal à un, lediscriminant ∆ est nul et lepolynôme du dénominateur ad-met deux racines réelles doubles.

La réponse indicielle sera uneréponse apériodique critique a.

a. limite avant l’oscillation.

Cas sur-amorti (ξ > 1)

Pour un coefficient d’amortis-sement ξ supérieur à un, lediscriminant ∆ est positif etle polynôme du dénominateuradmet deux racines réellessimples.

La réponse indicielle seraune réponse apériodique a.

a. non-oscillant

2. si le coefficient d’amortissement ξ est nul, alors la réponse du système n’est pas amortie.

17

CHAPITRE 3. THÉORIE DES SYSTÈMES DU SECOND ORDRE

Les pôles sont donnés par :

p = −b±√

∆2 a

= −2 ξ T ±√

4T 2 (1− ξ2)j2

2T 2

= −2 ξ T ± 2T√

1− ξ2 j

2T= − ξ

T︸︷︷︸σ

± j√

1− ξ2

T︸ ︷︷ ︸ω

Les pôles doubles sont p = −1T Les pôles sont donnés par :

p = − ξT±√ξ2 − 1T

3.4 Modèle temporelDans le cas où ξ < 1, le résultat de la réponse indicielle est donné par :

y(t)AK

= 1︸︷︷︸REGIME

− e−ξT·t√

1− ξ2 · cos(√

1− ξ2

Tt+ φ

)︸ ︷︷ ︸

TRANSITOIRE

(3.14)

avec le déphasage φ donné par :

φ = − arctan(

ξ√1− ξ2

)= − arccos

(√1− ξ2

)(3.15)

et la pseudo-pulsation ω par :

ωp =√

1− ξ2

T= 2π fp = 2π

Tp(3.16)

et donc la pseudo-période Tp et la constante temporelle T par :

Tp = 2π T√1− ξ2 ⇔ T = Tp

2π ·√

1− ξ2 (3.17)

18

3.4. MODÈLE TEMPOREL

Le terme d’amortissement e−ξTt tend vers zéro quand t tend vers l’infini et la constante de temps τ définit

la vitesse à laquelle l’oscillation disparaît et est donnée par :

τ = T

ξ(3.18)

Après cinq τ , l’oscillation a complètement disparue.

3.4.1 Overshoot

On peut définir l’overshoot comme le premier pic qui dépasse la réponse indicielle.

On fixe comme hypothèse, que l’instant où apparaît l’overshoot est défini par :

tmax = Tp2 (3.19)

Figure 3.2 – Overshoot.

En remplaçant dans l’équation temporelle, on a :

y(tmax)AK

= y(Tp/2)AK

=y

(π T√1−ξ2

)AK

= 1 − e− π ξ√

1−ξ2√1− ξ2 · cos(π + φ)︸ ︷︷ ︸

− cos(φ)

= 1 + e− π ξ√

1−ξ2√1− ξ2 · cos(φ)

= 1 + e− π ξ√

1−ξ2√1− ξ2 · cos

[− arccos

(√1− ξ2

)]

19

CHAPITRE 3. THÉORIE DES SYSTÈMES DU SECOND ORDRE

= 1 + e− π ξ√

1−ξ2√1− ξ2 ·

√1− ξ2

= 1 + e− π ξ√

1−ξ2︸ ︷︷ ︸D

Finalement, l’overshoot est donné par :

D = e−π·ξ√1−ξ2 (3.20)

Et inversément, le coefficient d’amortissement peut être exprimé en fonction de l’overshoot par :

ξ =

√√√√ (lnD)2

(lnD)2 + π2(3.21)

3.5 Analyse fréquentielle

L’analyse fréquentielle étudie le comportement du système du second ordre ayant en entrée une harmo-nique de la forme :

A · sin(ω t) (3.22)

Nous savons que la transmittance isomorphe sous sa forme canonique est donnée par :

TSO2(p) = K

T 2 p2 + 2 ξ T p+ 1 (3.23)

Sachant que la variable de Laplace en harmonique est donnée par :

p = σ︸︷︷︸0

+ j ω = j ω (3.24)

La transmittance isochrone 3 est alors donnée par :

TSO2(j ω) = K

T 2 (j ω)2 + 2 ξ T j ω + 1 = K

1− T 2ω2 + j · 2 ξ T ω (3.25)

Le gain représente le comportement en amplitude etest exprimé par le module du la transmittance :

G =∣∣∣TSO2(j ω)

∣∣∣=

∣∣∣∣ K

1− T 2ω2 + j · 2 ξ T ω

∣∣∣∣= |K||1− T 2ω2 + j · 2 ξ T ω|

G = K√(1− ω2 T 2)2 + (2 ξ ω T )2

(3.26)

La phase correspond à l’impact du système et estexprimé par l’argument de la transmittance :

φ = arg (TSO2(j ω))

= arg(

K

1− T 2ω2 + j · 2 ξ T ω

)= arg(K)− arg

(1− T 2ω2 + j · 2 ξ T ω

)

φ = − arctan( 2 ξ ω T

1− ω2 T 2

)(3.27)

Finalement, la réponse fréquentielle est donné par :

y(t) = A ·G · sin (ω t+ φ) (3.28)

3. réponse en fréquence du SO2.

20

3.5. ANALYSE FRÉQUENTIELLE

3.5.1 Courbe de Nyquist

La courbe de Nyquist 4 est le lieu de la réponse isochrone qui est un complexe donné par :

z = TSO2(j ω) = K

1− T 2ω2 + j · 2 ξ T ω = ~OP (3.29)

C’est donc le lieu de l’extrémité du vecteur −−→OP de ce nombre complexe lorsque la pulsation ω varie de 0 àl’infini.

Figure 3.3 – Courbe de Nyquist.

3.5.2 Courbes de Bode

Il existe deux courbes de Bode :– courbe de Bode en amplitude– courbe de Bode en phase

3.5.2.1 Courbe de Bode en amplitude

La courbe de Bode en amplitude représente le gain du système exprimé en [dB] par rapport à la fréquencesur une échelle logarithmétique en base 10.

Le gain en [dB] est donné par :

G [dB] = 20 · log10 |TSO2(j ω)|= 20 · log10

(K√

(1−ω2 T 2)2+(2 ξ ω T )2

)= 20 ·

{log10K − log10

(√(1− ω2 T 2)2 + (2 ξ ω T )2

)}=︸︷︷︸K=1

−20 · log10

(√(1− ω2 T 2)2 + (2 ξ ω T )2

)

G [dB] = −10 · log10

[(1− ω2 T 2

)2+ (2 ξ ω T )2

](3.30)

4. [Matlab] nyquist().

21

CHAPITRE 3. THÉORIE DES SYSTÈMES DU SECOND ORDRE

– Pour de basses fréquences, le gain se réduit à :

G = 0 [dB] (asymptote horizontale) (3.31)

– Pour de hautes fréquences, le gain vaut :

G = −10 · log10

(ω4 T 4

)= −40 · log10(ω T ) (asymptote oblique) (3.32)

On peut alors étudier les diférents cas suivants :– ω = 1

T → 0 dB– ω = 10

T → −40 dB– ω = 100

T → −80 dB

Sur une décade, la fréquence est multipliée par dix et la pente de l’asymptote oblique est diminuée de40 dB par décade.

Pour des valeurs particulières K = 1, ξ = 1, et ω = 1T on a un gain de −10 · log10 4 = −6dB. Il s’agit d’un

filtre passe-bas. Si K > 1, on aura une translation vers le haut et si K < 1, une translation vers le bas.

Figure 3.4 – Courbe de Bode en amplitude.

La fréquence de résonance ωr est la fréquence où le gain est maximum, par conséquent où son dénomi-nateur est minimum. En optimisant le dénominateur nous trouvons :

[(1− ω2 T 2

)2+ 4 ξ2 ω2 T 2

]′= 0

2 ·(1− ω2 T 2

)· (−2T 2 ω) + 8 ξ2 ω T 2 = 0−1 + ω2 T 2 + 2 · ξ2 = 0

Par conséquent, la fréquence de résonance déterminant le positionnement du pic est donnée par :

ωr = 2π fr = 1T·√

1 − 2 · ξ2 (3.33)

22

3.5. ANALYSE FRÉQUENTIELLE

3.5.2.2 Courbe de Bode en phase

La courbe de Bode en phase représente l’argument du système exprimé en [̊ ] : par rapport à la fréquencesur une échelle logarithmétique en base 10.

Nous savons que la phase du système est donnée par :

φ = − arctan( 2 ξ ω T

1− ω2 T 2

)(3.34)

– En basse fréquence, la phase est nulle (asymptote horizontale).– En hautes fréquences, la phase vaut -180̊ .

Figure 3.5 – Courbe de Bode en phase..

3.5.3 Courbe de Black-Nichols

La courbe de Black-Nichols 5 représente le graphe du gain en fonction de la phase.

Le gain est donné par :

G = K√(1− ω2 T 2)2 + (2 ξ ω T )2

(3.35)

La phase est donnée par :

φ = − arctan( 2 ξ ω T

1− ω2 T 2

)(3.36)

5. [Matlab] nichols().

23

CHAPITRE 3. THÉORIE DES SYSTÈMES DU SECOND ORDRE

Figure 3.6 – Courbe de Black-Nichols..

Si K > 1, on remarque une translation de la courbe vers le haut.Si K < 1, on remarque une translation de la courbe vers le bas.

3.6 Lien entre les caractéristiques temporelle et fréquentielleIl existe un lien entre le temps de montée et la bande passante.

On peut montrer que, qu’elle que soit la nature du système, nous avons :

BP · tm ≈ 2 avec{BP , bande passante en [rad/s]tm, temps de montée en [s] (3.37)

ou encoreBP · tm ≈

1π≈ 0.32 avec

{BP , bande passante en [Hz]tm, temps de montée en [s] (3.38)

On remarque alors qu’il faut une grande bande-passante afin d’avoir un système rapide.

Figure 3.7 – Lien temporel-fréquentiel..24

CHAPITRE 4

FORMULAIRE

SO1Transmittance isomorphe

TSO1(p) = K

1 + p · T=

b0a0

1 + p · a1a0

Réponse indicielle en opérationnel

Y (p) = AK ·(

1p− 1p+ 1

T

)Réponse indicielle en temporel

y(t) = AK ·(

1− e−t/T)

Gain statique

K = AK

A= y(∞)

x(∞)

Constante de temps

T = t

ln(AK) − ln ε

Transmittance isochrone

TSO1(j ω) = K

1 + j ω T

GainG = |T (j ω)| = = K√

1 + ω2 T 2

Phase

ϕ = arg [T (j ω)] = − arctan (ω T )

Courbe de Nyquist

x2 + y2 = K · x(x− K

2

)2+ y2 = K2

4Courbe de Bode

GdB = 20 · log10

∣∣∣∣ K

1 + j ω T

∣∣∣∣

SO2Transmittance isomorphe

TSO2(p) = K

T 2 p2 + 2 ξ T p+ 1 =b0a0

a2a0p2 + a1

a0p+ 1

Réponse indicielle en opérationnel

Y (p) = K

T 2 p2 + 2 ξ T p+ 1 ·A

p

Réponse indicielle en temporel

y(t)AK

= 1 − e−ξT ·t√

1− ξ2· cos

(√1− ξ2

Tt+ φ

)

Gain statiqueK = AK

A= y(∞)

x(∞)Déphasage

φ = − arctan(

ξ√1− ξ2

)= − arccos

(√1− ξ2

)Pseudo-pulsation

ωp = 2π fp = 2πTp

=√

1− ξ2

T

Pseudo-périodeTp = 2π T√

1− ξ2

Constante temporelle

T = Tp

2π ·√

1− ξ2

Constante de tempsτ = T

ξ

Temps d’overshoottmax = Tp

2Overshoot (graphique)

D =ymax − y(∞)

y(∞)

OvershootD = e

−π·ξ√1−ξ2

25

CHAPITRE 4. FORMULAIRE

. Coefficient d’amortissement

ξ =

√(lnD)2

(lnD)2 + π2

Transmittance isochrone

TSO2(j ω) = K

T 2 (j ω)2 + 2 ξ T j ω + 1 = K

1− T 2ω2 + j · 2 ξ T ω

GainG = K√

(1− ω2 T 2)2 + (2 ξ ω T )2

Phaseφ = − arctan

(2 ξ ω T

1− ω2 T 2

)Pulsation de résonance

ωr = 2π fr = 1T·√

1 − 2 · ξ2

Lien entre temps de montée et bande passante

BP [rad/s] · tm ≈ 2

BP [Hz] · tm ≈ 1π≈ 0.32

26

CHAPITRE 5LISTES DES COMMANDES MATLAB

[ ] : vecteur._ :_ :_ : série.axis([ ] : axes.bode(_) : courbes de Bode (amplitude et phase).bodemag(_) : courbe de Bode en amplitude.feedback(_,_) : feedback.figure(_) : figure.hold off : annuler la superposition de graphes.hold on : autoriser la superposition de graphes.impulse(_) : réponse impulsionnelle.lsim(_,_,_) : réponse à une rampe.nichols(_) : courbe de Black-Nichols.nyquist(_) : courbe de Nyquist.rlocus(_) : pôles de la fonction de transfert.[R,P,K] = residu([_],[_]) : résidus.scatter(_,_) : point.step(_) : réponse indicielle.subplot(_,_,_) : graphes par zone dans une figure.tf([_],[_]) : fonction de transfert.title(’_’) : titre du graphe.zpk(_,_,_) : fonction de transfert (zero-pôle-gain).

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