Aula 05 cinematica
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Fenômenos de Transporte I
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Fundamentos da Cinemática dos fluidos.
ASSUNTO
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O que estuda a Cinemática?
• A cinemática dos fluidos estuda o movimento dos
fluidos em termos dos deslocamentos, velocidades e acelerações, sem levar em conta às forças que o produzem;
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Escoamento
•Definição:
Processo de movimentação das moléculas de um fluido, umas em relação às outras e aos limites impostos
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Escoamentos
• Os escoamentos são descritos por:
–Parâmetros físicos
–Pelo comportamento destes parâmetros ao longo do espaço e do tempo;
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Campo de velocidade A representação dos parâmetro de um fluido escoando em função das suas coordenadas espaciais é denominada representação do campo de escoamento. Uma das variáveis mais importantes é a velocidade de um campo de escoamento, cuja forma geral é
ktzyxwjtzyxvitzyxuV
,,,,,,,,,
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Exemplo 1 - Campo de velocidade O campo de velocidade de um escoamento é dado por Onde x, y e z. São medidos em metros. Determine a velocidade do fluido na origem (x = y = z = 0) e no eixo y, (x = z = 0).
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z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
V
Dt
VDa
Em coordenadas cartesianas:
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
Dt
Dwa
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
Dt
Dva
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
Dt
Dua
z
y
x
aceleração local
aceleração convectiva
Aceleração de uma partícula fluida
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Aceleração de uma partícula fluida
O termo é chamado de aceleração local e encerra os efeitos da transitoriedade do escoamento.
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Aceleração de uma partícula fluida
A aceleração convectiva está relacionada com a variação dos parâmetros devido à convecção, ou movimento da partícula no campo de escoamento no qual há um gradiente deste parâmetro.
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Aceleração de uma partícula fluida
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Considere o campo de escoamento bidimensional, e em regime permanente, cujo campo de velocidade é dado por Determine o campo de aceleração deste escoamento.
Exemplo 2 – Aceleração de uma partícula
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Métodos para o estudo da cinemática dos fluidos
• Método de Lagrange
• Método de Euler
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Método de Lagrange
• Descreve o movimento de cada partícula acompanhando-a em sua trajetória real;
• O movimento do fluido é descrito pela especificação dos parâmetros necessários em função do tempo: – Pressão, p = p(t); – Velocidade, V = V(t); – Massa específica, ρ = ρ(t); – Posição, P = P(x,y,z,t)
• Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas;
• Para a engenharia normalmente não interessa o comportamento individual da partícula e sim o comportamento do conjunto de partículas no processo de escoamento.
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Método de Euler
• Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por este local;
• O movimento do fluido é descrito pela especificação dos parâmetros necessários em função das coordenadas espaciais: – Pressão, p = p(x,y,z,t); – Velocidade, V = V(x,y,z,t); – Massa específica, ρ = ρ(x,y,z,t).
• Informações sobre o escoamento a partir de pontos fixos em instantes diferentes.
• Método preferencial para estudar o movimento dos fluidos: praticidade.
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Medições em escoamentos: Euleriano vs. Lagrangiano
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Método de Euler • O termômetro instalado perto da abertura indicaria a temperatura
de diversas partículas em instantes diferentes. Assim, obtém-se a variação da temperatura, T, nesse ponto, em função de suas coordenadas e do tempo, t.
• Vários termômetros instalados em pontos fixos do escoamento forneceria seu campo de temperatura.
Método de Lagrange • Um termômetro seria instalado em uma partícula fluida e, assim,
registraria sua temperatura ao longo do movimento, isto é, T = T(t). • Um conjunto de dispositivos para medir a variação da temperatura
de várias partículas forneceria a história da temperatura do escoamento. Isto só seria possível se a localização de cada partícula fosse conhecida em função do tempo.
Campo de velocidade: Euleriano vs. Lagrangiano
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Campo de velocidade: Euleriano vs. Lagrangiano
EULERIANO LAGRANGIANO
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Definições Importantes
• Trajetória • Linha de Corrente (Linha de fluxo) • Tubo de corrente • Linha de emissão (filetes)
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Trajetória
• Linha traçada por uma dada partícula ao longo de seu escoamento. É um conceito Lagrangeano e pode ser visualizada a partir de uma fotografia de longa exposição.
X y
z
Partícula no instante t1
Partícula no instante t2
Partícula no instante t3
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Linha de Corrente • Linha imaginaria que tangencia os vetores velocidade
de diversas partículas, umas após as outras • Duas linhas de corrente não podem se interceptar (o
ponto teria duas velocidades) e nenhuma massa atravessa as linhas de corrente
X y
z
Partícula 1 no instante t
Partícula 2 no instante t
Partícula 3 no instante t
v1
v2
v3
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Vista Lateral aerodinâmica externa do Nissan Azeal. Linhas de corrente no plano mostrando a velocidade e o caminho da circulação do ar ao longo do automóvel.
Linha de Corrente
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Tubo de Corrente
• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente definidas por suas partículas fluidas
• A superfície imaginaria constituída pelas linhas de corrente formada no interior do fluido é denominada de tubo de corrente ou veia líquida
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Linha de Emissão (filete)
• Linha definida pela sucessão de partículas que tenham passado pelo mesmo ponto;
• A pluma que se desprende de uma chaminé permite visualizar de forma grosseira uma linha de emissão;
Ponto de Referência
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• Classificação Geométrica;
• Classificação quanto à variação no tempo
• Classificação quanto ao movimento de rotação
• Classificação quanto à trajetória (direção e
variação)
Classificação do Escoamento
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Em geral, um campo de velocidade de um escoamento é tridimensional, ou seja:
• Escoamento Tridimensional: As grandezas que regem o escoamento variam nas três dimensões. •Escoamento Bidimensional: As grandezas do escoamento variam em duas dimensões ou são tridimensionais com alguma simetria. Se u >> w e v >> w, então, temos um escoamento bidimensional. •Escoamento Unidimensional: São aqueles que se verificam em função das linhas de corrente (uma dimensão). Se u >> v e u >> w, então, temos um escoamento unidimensional
Classificação Geométrica do Escoamento
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• Quanto à variação no tempo:
– Permanente: As propriedades médias estatísticas das partículas
fluidas, contidas em um volume de controle permanecem constantes, para um determinado ponto.
– Não Permanente (transitório) Quando as propriedades do fluido num
determinado ponto variam com o tempo;
Classificação do Escoamento
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Escoamento: Permanente e Não Permanente
Dependência com o Tempo
Não Permanente Permanente
0t
0
t
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Para os campos de velocidades dados a seguir, determine: a) Se o campo do escoamento é uni, bi, ou tridimensional; b) Se o escoamento é permanente ou não; (considere que a e b são constantes)
Exemplo 3 – Classificação de Escoamentos
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• Quanto ao movimento de rotação:
– Rotacional: A maioria das partículas desloca-se animada de velocidade angular em torno de seu centro de massa;
– Irrotacional: As partículas se movimentam sem exibir movimento de rotação
Classificação do Escoamento*
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• Quanto à compressibilidade:
– Compressível: as propriedades do fluido variam conforme a posição da partícula;
– Incompressível: as propriedades não mudam com a posição.
Escoamento nos quais as variações de massa especifica são desprezíveis são denominados incompressíveis; quando essas variações são consideráveis o escoamento é dito compressível. A maioria dos escoamentos de líquidos é essencialmente incompressível. Embora a maior parte dos escoamentos gasoso seja compressível, nos casos da velocidade do escoamento (V) ser pequena em relação a velocidade do som no fluido (c), ele pode ser considerado incompressível; quando o número de Mach, M= V/c for menor que 0,3.
Classificação do Escoamento*
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• Quanto à Direção da trajetória:
– Escoamento Laminar: As partículas descrevem trajetórias paralelas. O
fluido flui em camadas ou lâminas. (Re < 2000) – Escoamento turbulento: As trajetórias são caóticas. Escoamento
tridimensional das partículas de fluido. As componentes da velocidade apresentam flutuações ao redor da média (Re > 4000).
Classificação do Escoamento
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Experimento de Reynolds
• Consiste na injeção de um corante líquido na posição central de um escoamento de água interno a um tubo circular de vidro transparente
• O comportamento do filete do corante ao longo do escoamento no tubo define três características distintas
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Experimento de Reynolds
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Experimento de Reynolds
1. Regime Laminar: – O corante não se mistura com o fluido, permanecendo
na forma de um filete no centro do tubo; – O escoamento processa-se sem provocar mistura
transversal entre escoamento e o filete, observável de forma macroscópica;
– Como “não há mistura”, o escoamento aparenta ocorrer como se lâminas de fluido deslizassem umas sobre as outras;
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Experimento de Reynolds
2. Regime de transição:
– O filete apresenta alguma mistura com o fluido, deixando de ser retilíneo sofrendo ondulações;
– Essa situação ocorre para uma pequena gama de velocidades e liga o regime laminar a outra forma mais caótica de escoamento;
– Foi considerado um estágio intermediário entre o regime laminar e o turbulento;
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Experimento de Reynolds
3. Regime turbulento: – O filete apresenta uma mistura transversal intensa, com
dissipação rápida;
– São perceptíveis movimentos aleatórios no interior da massa fluida que provocam o deslocamento de moléculas entre as diferentes camadas do fluido (perceptíveis macroscopicamente);
– Há mistura intensa e movimentação desordenada;
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Experimento de Reynolds
![Page 39: Aula 05 cinematica](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052601/558a632cd8b42abe208b45f7/html5/thumbnails/39.jpg)
Classificação de Escoamento
O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluídos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações industriais e asas de aviões. O seu nome vem de Osborne Reynolds, um físico e engenheiro irlandês. O seu significado físico é um quociente entre as forças de inércia e as forças de viscosidade.
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Classificação de Escoamento
VLVL
idadevisdeforças
inerciadeforças
cos
Re
V - velocidade média do fluído
L - longitude característica do escoamento, o diâmetro
para o escoamento no tubo
μ - viscosidade cinemática do fluído
ν- viscosidade cinemática do fluído
ρ – massa específica
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Classificação de Escoamento
Re < 2000 Escoamento Laminar 2000 < Re < 4000 (2400) Transição Re > 4000 (2400) Escoamento Turbulento
![Page 42: Aula 05 cinematica](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052601/558a632cd8b42abe208b45f7/html5/thumbnails/42.jpg)
Tabelas de Viscosidade Cinemática
![Page 43: Aula 05 cinematica](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052601/558a632cd8b42abe208b45f7/html5/thumbnails/43.jpg)
Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é laminar ou turbulento sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa água com uma velocidade de 0,05m/s.
Exemplo 4 – Número de Reynolds
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Determine o número de Reynolds para uma aeronave em escala reduzida sabendo-se que a velocidade de deslocamento é v = 16 m/s para um vôo realizado em condições de atmosfera padrão ao nível do mar (ρ = 1,225 kg/m³). Considere a dimensão característica c = 0,35 m e μ = 1,7894 x 10-5 kg/ms.
Exemplo 5 – Número de Reynolds
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Em hidráulica ou em mecânica dos fluidos, define-se vazão como a relação entre o volume e o tempo.
A vazão pode ser determinada a partir do escoamento de um fluido através de determinada seção transversal de um conduto livre (canal, rio ou tubulação aberta) ou de um conduto forçado (tubulação com pressão positiva ou negativa). Isto significa que a vazão representa a rapidez com a qual um volume escoa.
As unidades de medida adotadas são geralmente o m³/s, m³/h, l/h ou o l/s.
Vazão Volumétrica
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• A forma mais simples para se calcular a vazão volumétrica é apresentada a seguir na equação mostrada.
• Q representa a vazão volumétrica, V é o volume e t o intervalo de tempo para se encher o reservatório.
Vazão Volumétrica
![Page 47: Aula 05 cinematica](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052601/558a632cd8b42abe208b45f7/html5/thumbnails/47.jpg)
Um exemplo clássico para a medição de vazão é a realização do cálculo a partir do enchimento completo de um reservatório através da água que escoa por uma torneira aberta como mostra a figura. Considere que ao mesmo tempo em que a torneira é aberta um cronômetro é acionado. Supondo que o cronômetro foi desligado assim que o balde ficou completamente cheio marcando um tempo t, uma vez conhecido o volume V do balde e o tempo t para seu completo enchimento, a equação é facilmente aplicável resultando na vazão volumétrica desejada.
Vazão Volumétrica*
![Page 48: Aula 05 cinematica](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052601/558a632cd8b42abe208b45f7/html5/thumbnails/48.jpg)
Relação entre Área e Velocidade Uma outra forma matemática de se determinar a vazão volumétrica é através do produto entre a área da seção transversal do conduto e a velocidade do escoamento neste conduto como pode ser observado na figura a seguir.
Pela análise da figura, é possível observar que o volume do cilindro tracejado é dado por: V = d · A
Substituindo essa equação na equação de vazão volumétrica, pode-se escrever que:
A partir dos conceitos básicos de cinemática aplicados em Física, sabe-se que a relação d/t é a velocidade do escoamento, portanto, pode-se escrever a vazão volumétrica da seguinte forma: Q = v ·A
Q representa a vazão volumétrica, v é a velocidade média do escoamento e A é a área da seção transversal da tubulação.
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Vazão em massa é a quantidade em massa do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.
Lembrando a relação entre a massa e o volume : m = ρ ·V
Substituindo na equação anterior teremos que: Qm = ρ·Qv
E por tanto: Qm = ρ·v·A
Vazão em Massa
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É uma velocidade hipotética, constante ao longo de toda a seção transversal do tubo de corrente, que nos permite calcular a vazão num dado instante de tempo.
Velocidade média
![Page 51: Aula 05 cinematica](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052601/558a632cd8b42abe208b45f7/html5/thumbnails/51.jpg)
Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214 litros, sabendo-se que a velocidade de escoamento do líquido é de 0,3m/s e o diâmetro do tubo conectado ao tambor é igual a 30mm.
Exemplo 6 – Vazão
![Page 52: Aula 05 cinematica](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052601/558a632cd8b42abe208b45f7/html5/thumbnails/52.jpg)
Calcular o diâmetro de uma tubulação, sabendo-se que pela mesma, escoa água a uma velocidade de 6m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de 12000 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo totalmente
Exemplo 7 – Vazão
![Page 53: Aula 05 cinematica](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052601/558a632cd8b42abe208b45f7/html5/thumbnails/53.jpg)
• A equação da continuidade relaciona a vazão em massa na entrada e na saída de um sistema.
Qm1=Qm2 ρ1 · v1 · A1 = ρ2 · v2 · A2
• Para o caso de fluido incompressível, a massa específica é a
mesma tanto na entrada quanto na saída, portanto: v1 · A1 = v2 · A2
• A equação apresentada mostra que as velocidades são
inversamente proporcionais as áreas, ou seja, uma redução de área corresponde a um aumento de velocidade e vice-versa.
Equação da Continuidade
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Para a tubulação mostrada na figura, calcule a vazão em massa, em peso e em volume e determine a velocidade na seção (2) sabendo-se que A1 = 10cm² e A2 = 5cm². Dados: r = 1000kg/m³ e v1 = 1m/s.
Exemplo 10– Equação da Continuidade
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Um tubo despeja água em um reservatório com uma vazão de 20 l/s e um outro tubo despeja um líquido de massa específica igual a 800kg/m³ com uma vazão de 10 l/s. A mistura formada é descarregada por um tubo da área igual a 30cm². Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e calcule também qual é a velocidade de saída.
Exemplo 11 – Equação da Continuidade
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