BÖ LÜ M I I I

' ■ K A R A R ,AR T EO R İS İ:

Karar teorisinin (Decişion Theory) bu kısımda, kısa olarak ana-hatlarıyla be­lirtilmesine çalışılacaktır» .

■■ Î ı \arar Teorisi: ■ . , . ■ ■

■ Karar teorisinin kısa olarak anlatımına: Auguste-...Detoeuf ün bir .'cümlesiyle başlayacağız "Dünyadaki kesin-olan tek şey geçmiştir; fakat •üzerinde-.çalışmak

■ zorunda olduğumuz herşey g e l e c e k t i r * . . ■ -

Karar'teorisi,‘bir matematiksel yaklaşım olduğu kadar-belli teknikleri kapsa­yan bir yığındır. Belli bilgi ve tekniklerden yararlanarak geleceğe ilişki o belirli bi­linmezlikler altında en sıhhatli yada-eniyi (optimal) karar, verine.ile slgilî sorunlarla uğraşır. Bu nedenle, risk ve belirsizlikler dünyasında yöneticiye:'"yanî Jcar'ar Veri­ciye"-rehberlik- yapar. Yol göstericiliği; problemin .yapısınrortaya koy-mayı,-;beîir- sizlikİer ve .olasılı sonuçların' değerlendirilmesini' ve en ■ uygun stratejiyi içerir. Böyiece, seçenekler..arasından "en iyisini” ortaya çıkarır.' Buna karşın seçilesi en iyi.davranış biçiminin, uygulamada-en iyi olacağs'gibi'kesîrtbir garantisi .yoktur■ (Kaynak, 1979). ' ' ■ , ‘ . '' '■ ' ' ' ; ; •

- - Herhangi bir konuda "karar” kelimesinin kullanımı olasılı, iki ya da-daha faz­la davranış...biçimi, arasından birinin seçimidir; Eğer .tek davranış biçimi varsa, se­çim yoktur. Karar a Inia işlemi sözkonusu olamaz. '■ .; - ■

3.1.1. Karar Almanın Yapısı: .. ■ ■ ■ '. - ' ' ■

Karar aİrna (veya verme) bir amaca ulaşabilmek için var o lan olanak ve koşul­lara göre olağan olabilecek çeşitli, hareket 'biçimlerinden en -uyguiı.olanını seçmek» tir. "■ - ' , . '■ ... ' * - .

. Genel olarak bir karar .'probleminin yapısını.oluşturan öğeler şunlardır (Ham­burg, 1970): . - .. . : ' ' ' ■ . -. . . " ; -■ -

■— Karar verici (karar afıcıjr SoruiTsfuiuğu taşıyan kîşl veya tüzel kişidir.

.' , — Strateji biçimlen: Karar alınacak iki veya daha'faz la strateji vardır. Seçilen •strateji, ulaşılmak istenilen amacı/en iyi yerine getirebilecek olandır..

■— Olay kır (veya koşul - ıaca-ulaşmayı etkileyen ol' 7 Karar veri­cinin kontrolü dışında olup, hangi o lay ir? gerçekleşeceği ke k -bilinmez. Gelecekte yalnız bir olay gerçekleşir.

— Sonuçlar: Herhangi bir stratejinin veya belli bir-o fayın meydana getirdiği sonuçlardır..' ■ ■ ' . ■

— -öd en ti Tablosu veya ödenti Matrisi (Payoff matrix): Ödentileri gösteren tablo, ya da seçilen‘-stratejilerle gerçekleşen olayların sonuçlarını gösteren tablo­dur* ; ; . .. ■ ' ■ ' ' ■ • ■ ' ■ ' • - .

Bir ödenti tablosu aşağıda gösterildiği gibidir. . . . -

■ - ■ ■ . Ö denti T ab lo su , . ■

■Koşullar, (olaylar)Stratejiler . N ı - . N2 .................. Nn

S ı X i ı ' . " ' ■ ■ '

. S2- ■ ' " X 2 2 . ; . . . . . . . . . . . . . . . X 2 n

S m; ' • X r t i i ' /• X n i 2 . . . . . . . . . .i . i .v .. -Xnin

' ■.'ödenti tablosunu oluşturan elemanlar şunlardır: . . ■ ■ ‘

... S ı $2 , Sm stratejileri- gösterir. Her bir strateji ve: olaydan meydana gelen kombinasyonlar Xij notasyonu .ile- gösterilmiştir (i = kul lamları strateji; j = olayı .ifade eder).-Örneğin; S ı stratejisinin seçiminden ve Nı olayının meydana gelme» .sinden, sağlanan sonuç yani , net-ödenti X ı ı oiaraik-belirtilmiştir. Benzer biçimde;S2 stratejinin seçilmesi ve Nı olayının oluşu Xaı net ödentisini verir. '

Karar alinırken#;İzlenen aşamalar genel olarak-şöyledir; ■

— Karar vericinin amaç ve hedefleri saptanır.

— Stratejilerle ilgili bilgiler sağlanır. Bunlar, geçmiş deneyler, yayımlanan is­tatistikler ve diğer bilgiler veya karar vericinin bizzat kendisinin yaptığı araştır­malardır.

— Karar almak için hazırlanan verilerden iki türlüyararlanılır:

ızırlanan verliere dayanarak her bir strateji İle karşılaşılabilecek’sonuç­lar ve bunların gerçekleşme olasılıklarının saptanması.

r sonuca verilecek değerlerin {parasal ya da fayda-veya diğer birim değerler) oİuşturulması-(Bro$s, 1965). - " ; ■ .

Kararla ilgili her durum ve stratejinin ne -sonuç vereceğini gösterir bir pla­nın hazırlanması* Böylece her bir sonucun karşılaştırmalı değerlendirilmesi yapılırve hangi sonuç ya^da sonuçların kabul edilebileceği saptanır»

— -En son,; karar alıcı seçtiği karar alma yönteminin aksak yönlerinin bilin­cinde olmalıdır. . . : .

Karar alma teorisinin uygulandığı bâzı yerler'aşağıda verilmiştir (Moore,1976).■ ' . • . • '■ '

.a-- Yeni bir ürünün piyasaya sürümü, ■b- Petrol bul ma -araştırmaları,'' . ■ - '

. c - 'Fabrika; modernizasyonu, . .. - . ’d - Kalite - kontrolü araştırmaları, ' ' •e - Kalkınma - Araştırma çalışmalarıyla ilgili hükümet yatırımları,

• f - Turizm. : ' ' : ;; , . : ' .'

3.2, Karar Ölçütleri. (Kıstasları): . ■ •

Genel olarak, en uygun stratejiyi' veren "'ölçütün, seçimi pek kolay değildir. Çünkü, stratejinin seçiminde kullanılan ve eniyi sonucu veren tek bir ölçüt yoktur.. Bunun nedeni enîyîoin, karar vericinin, politikası, -gelenek" ve ■davranışıyla yakın­dan ılgılı<>lmaklaberaber, çevre'koşull^ıriın da etkisi-altında oimasıdın- ■

İşletmenin karşılaştığı problem, 'karar alma'sürecinin aşamalarını İzlemekle çözümlenecekse ilk olarak; ' ' - - .

Var oîan.problemler ile, • . ■ ;

— Çok sayıda çözüm yolları geliştirmek amacıyla stratejiler saptanır?

— Stratejiler arasından en uygun olanını seçmek amacıyla belirli bir ölçüt uygulanır.

. Stratejiler arasından en uygun olanını seçerken değişik nitelikte karar ölçüt­lerini uygulayabiliriz* . ' . - ;

Bu ölçütleri • . " • ' '

— Belirlilik ortamında karar verme, ■■~~ Risk altında karar verme» • . • '

; Belirsizlik artamında karar vermedir. •.

■ ■ - 3 2 A* Belirlfik Ortamında Karar Verme ve Karar Ölçütleri:_ ’ . ■

Belirlilik ortamında karar vermede, stratejilerin hangi koşullar altında gerçek- leşeceğî kesin olarak bilinmektedir. Bu tip bîr karar alma problemi determinist tik bîr .yapıya sahiptir (Coyle, 1972).: Deierministik yapıya sahip karar alma prob­lemlerine örnek..olarak doğrusal programlama verilebilir' (Thierauf, Klekamp,19 75 ). . ‘ ■ ■ . ' ■ ■ . ; ' ’

■ Bu ortamda, amaç fonksiyonunun enbüyükleme j(maksimizâsyon) ve., enkil- çükleme (minimizasyon) olduğu gozönıine alınarak,, stratejilerden bîri seçilir.

örnek (3,1): Tek koşul, varsayımı altında bir karar matris(nin-;şoyle olduğunu varsayalım. ' . ■ ■ "" ; ■' ' " /

Stratejiler 'Koşullar (Mi) .

5000: . .■ ; ... .3000' - ' ■ '2000''4000 ■ , ,. '

. Amaç fonksiyonu kâr enbüyüklemesi (maksimizasyonu) İse:, . ' ■ " . .-

. Yönetici S| stratejisini seçere ' ' ■ .

. Amaiç fonksiyonu enküçükleme (minimizasyon) ise:... .. ^

■ ' Yönetici S3 -stratejisini seçer. . " -

3.2.2. Msk Örtaîiımda-Karar Verme ve Karâr Ölçütleri:

Risk ortamında karar vermede alınacak belirli bîr karara ilişkin değişik sayı- ■ da koşullar sözkonusudur. Her stratejinin her koşul altında elde edilebileceği so­nuçlar belirli bir olasılık çerçevesinde oluşur. Diğer bir ifadeyle, bu gibi durumlar­

Sı525354

da stratejilerin ne gibi sonuçlar doğuracağı önceden1 bilinmez. Sonuçların gerçek“ İeşmesî b'elirli olasılıklara dayanmaktadır. Olasılıklar göz önünde tutularak yapılan strateji seçimine risk ortamında karar verme denilir. •

karar alma problemlerine aynı, zamanda Stokastik;.Karar Problem leri denir i, 1972). istatistiksel karar alma teorisi, s.tokastîk karar problemleriyle uğ-

Bir-örnekle açıklamaya çalışalım/ : . ■ . ■. . . _ . ■ Koşullar .

■Stratejiler . ' Nı Nz ■' .. - Ns . . Na-

16 . ■ ■ ■ 18 ■ : . 14 ' ' ' 1315' ■ • -■ ' 17 ■ ;■ ■ 13 _ 1921 ■ , . : .'16 V . : 13 . ■ 12

Olasılıklar . ' ' ’ y ,0 .1 0 ' ; ' \0.20r" . 0,50 ' 0.20

Örneğimizdeki karar, matrisindeki verileri gözönüne: alarak, her stratejiye Hiş-. kin beklenen parasal değerleri hesaplayabiliriz. - • '■ •'

S ı : 16(0.10) +'18(0.20) + 14(0.50 j + T3(Ö.'20) ='İ4.8 .■ S2 :15(0.10) +"17(0.20) + 13(0.50) + 19(0.20)'= 15.2. .

- . S3 : 21(0.10) + 16(0.20) + 13(0.50) +-12(0.20).= 14.2. . ■ ...

Beklenen en yüksek-parasal'değer, S2 stratejisini seçmek koşuluyla elde edilir.

3.2.3.; BeÛrşi'zlik';Ortamında Karar Verme ve Karar'Ö lçütleri:?.

Yöneticiler genellikle belirsizlik ortamında karar verirler. Yöneticiler belir­sizliği ortadan kaldırmak için; ya kişisel yargıfarıyla karar verirler veya karar mat­risi yardımıyla bir takım karar ölçüleri saptar ve kararlarını buna göre verirler.

Belirsizlik ortamında-karar vermede çok sayıda karar ölçütleri geliştirilmiş4-tir. Bu ölçütlerin en önemlilerini ele alacağız. - ; . . /

• 3.2;3..1';.;Laplâ'ce .ölçütü: .

Doğa koşullarının olasılık dağılımına ilişkin hiçbir bilgi sahibi olunmadığı durumlarda Laplace ölçütü kullanılır. Lapîace ölçütünde, koşullara ilişkin olası­lıkların eşit olduğu varsayılın

Sı$2S 3

Laplaçe ölçütünde, her satırın aritmetik ortalaması hesaplanır ve hesaplanan ortalamalar arasından enbiiyük ortalama değer seçilir.

Laplace ölçütünü bir örnekle açıklayalım:

Nl N2 Na N4---- ---------;------ .15 + 16+14+19

: = - - - - - "5

. 13+.18+15+14S , 1 3 1 8 , 5 K = - :-------.----------------------- ------- -

S, 16 17 18 14 =

. ■ , 12+15+14+17 . .S4 12 15 14 17 = ------------ --- — =14.5 ..: ■ . ■ . 4 : ■ - . . ; ■ .■ ■ , A .. • ;

Örneğimizdeki■ tarâr matrisine göre eh. uyg^ V

, 3.2.3.2İ, Minimaks* (EtıkEnb) Ö lçütü : .

Karamsar karakterlI bıV yöneticinin kııIIanaWIeceğI\bIr .öIçüttilr.’ : ; ■' , ...

• fVlImmaks ölçütünde, karar /matrisinin; her satirinin (yanı. her stratejinin) ’enküçüğü bulunur ve bu enküçük değerler arasından da enbuyuk değer seçilir. :' '

; Bir önceki problemi ele alalım:. . :

• ... . ■ •' • Her Satırın- - . . , ... "Nı N2 ' Ns fsİ4 enküçüğü , • ■

S ı 15 16 14 .1.9 ; ' 14 —— ' ' "■’ / :S’2■ 'ıs . '18 ıs- ■. 14.■' 1 ° ,Ss 16'; 17. M ; .14- ' - .14 — Enb.' - ‘ - ■ V :-S4- 12 15 ■ ;14'. .17 ; .. 12 ■

. örneğimizde; her satırm enküçükleri arasında enbüyük değer 14 olduğundanyönetici Sı ve Ss stratejilerini seçer. -

3,2.33. Maksimaks* (EnbEnb) Ölçü tü:

İyimser karakterli bir yöneticinin kullanacağı bîr ölçüttür. Burada her bîr strateji için olası"en-iyi durumlar saptanır* Maksimaks ölçütünde, karar verici, •her stratejinin enbiyik "değerleri arasından gene enböyük değeri seçer. Dikkat edi­lirse, maksimaks ölçütü,, her. bir strateji için eniyl durumları gözöoüne alır, diğer durumlara karşı ilgisizdir,. '

Bir önceki örneği ele .alacak olursak:. . . .

• ■ Her Satırın . . \Nı N2 -Ns N4 ' Enbüyüğü ' ■

Şı 15 . 16 14 19 . ] 9 ——52 ' 13 18 ■ 15 14 18 , ' v . ' '53 16 17 . 18 . 14 18 ' ’ _ .. .54 12. 15 -.14 ■•■'17 ■ : : • 1.7 " ^ ‘ '

. Örneğimizde bulunan her satırın enbüyüğü arasından seçilen enböyük 'değer 19 ve buna ilişkin strateji Sı olduğundan, yönetici Sı stratejisini seçer. ■ •

‘ ■ 3«2.3.-4. Miııiıııâks-Pişmanlık ' ■, •._ ''(Minimaks Regret). Ölçütü . ' ; . ’ - ■ .

' Eğer, .gelecekte ne olacağı daha önceden bilinseydi, vermiş olduğumuz karrardan dolayı pişmanlık'derecemizi ölçebilirdik. ' ' ■ ' •

'Minimaks pişmanlık karar ölçütü, bu hususu gözönünde bulundurur.' - . ,.

Pişmanlık tablosunu meydana getirmek için şu yöntem.kullâriıhr: .

; Karar matrisinin her sütununun enbüyük değeri, bulunduğu sütundaki her ele- mandan çıkarılır ve sonra her satırın enküçüğü bulunur ve bu enküçüklerden enbü­yüğü seçilir.... . . - -

Bu işlemleri bir önceki'.Örnek üzerinde yapalım: . . .

Karar Matrisi: ' / ...

* Minimaks = EnkCiçüklerin Enbüyüğü (EnkEnb)ir«k/î.,üM«»ı». cr^ u , u t * , e r - u v

Nı 'i - N4

Sı. 15 16 14 19Sa 13 15 14S3 16 18 14S 4 12 14 17

Pişmanlık Matrisi:

Nı N2 m ' N4

S ı , .. -1 —2 —4 O • - . ' ■'S2 O' - 3 - 5 ■■ ■' .......Sa O ' - 1-. 0. ' —5*' . '. ■ ■ : ' VS4 -4 ‘ ^3 -,-4 , —2 • ' " ■■■ '.

Her satırın enküçüğii seçilir ve bunlardan da enbüyük.'değer seçilir:- -

Sı S2 . ■ ' S"3 ; ■■ S'4 .

Enkiiçük Pişmanlık —4 ■ —5 " —5 —4"

Bu sonuca göre yönetici Si ile S# stratejilerinden birisini seçmelidir»

Sağlam bir karara. Örnek:

Nı N2 N3 N4

$1 1 0 0 3S2 3 2 1 4S3 ' 1 3 2 0S'4 3 2 o 1

Laplaceölçiitiifie göre:,

, - , ■ ;: ; Aritmetik• ■ ■. . . '• ■ Ortalama

Sı • ■ ’ \ 1

, Ss 1.5; ,S4 . ; 1.5

Minimales ölçütlere göre:

Her Satırın Eriküçüğü

S ı ■ ' . O52 1

■ Sa-■■ ' S 4' . " . ■ ; O ■ ■

Maksi maks ölçütü: .

, , 'Her Satırın. . . . ■ Enbüyüğü

S ı ' ' • . . ; / 3

■■ ' ^■ S a 3

V S 4 T. '' - ; ■; 3

Minımaks Pişmanlık Karar Ölçütü:

. ' ■ ■ Pişman!ık matrisiNı N2 " Ns N4 . - Enküçiik

Sı - - ' —2 -3 . —2' “■ ■ " ■ -3 ‘ .

S2 .0' -1 ■ -1 ' 0 .. -1'

' Sa . . —2 . O O ■ —4 . ' . --4 ' '. ■' ■' S4 ‘ ,, O ■ . ■ ■ ~2- -3 , —3 ;

■ ,'3.3. Oyunlar -Teorisi: ' ’ .• . .

x Oyunlar teorisi, ilk.olarak 1921 de Fransız metamatikçisi Emil Borel tarafın­dan ortaya atılmıştır. Ancak, söz, konusu tekniğin temel -ilkelerini-ayrıntıları ile ele alarak uygulama alanına getirme onuru John Von Neumann’a aittir.

Oyunlar.teorisi, karar.teorisinin bîr değişik türü olarak kabiıl. edilebilir.ıOyun- ¡ar teorisinin karar matrisinde koşullar yerine rakip firmanın stratejileri yerleş­tirilmiştir. / • ' • /•' : \ .

Oyunlar teorisini/ ekonomik faaliyetlere ilişkin eniyi kararın verilebilmesi îçin geliştirilmiş matematiksel bîr yaklaşım olarak ifade edebiliriz, Bu faaliyetler»,.

■ de, birden fazla karar verici, kendi kazançlarını enîyî duruma getirecek biçimde karar vermek zorundadırlar. ,

B.ir probleme oyunlar teorisi tekniğinin uygulanabilmesi için, o problemin aşağıdaki altı koşulu içermesi gerekir (Houlden, 1962). * '

— Oyuna katılanlâr (oyuncular veya firmalar) sonlu sayıdadır»

~r Oyuna katılan firmaların kullanabileceği strateji sayılan da sonludur. ■: —-Her oyuncu-(veya firma) kendisi ve rakibi için, mümkün strateji!eriri neler'. olduğunu bilmekle beraber, rakibinin hangi, stratejiyi uygulayacağını bilmemekte­dir. .• \ ■ ■ ' ' .; " ,

. ~ 'Oyuncular (yani firmalar) hangi stratejiyi 'seçerlerse seçsinler her birinin ' kâr-veyâ zararı sınırlıdır.- ' ■' •/

Oyuncuların kazançları (veya zararları)'kendi verecekleri karar .kadar'rakip-.' ferinin kullanacağı stratejiye bağlıdır. ■ ' - , ■ '

' Bütün m’uh-temel'davranışlar hesap edilebilir, nitelikte olmalıdır/.-

İşte bütün bu koşulların gerçekleştiği duruma/oyun denilir - / . /

' Oyunların Sınıflandırılması: •■••...-

• . Oyunlar teorisinde, oyunlar aşağıdaki özelliklerine göre sınıflandırılırlar;(Dra: per, 1972). . V ' ‘ ‘ . ■'V - ' ‘ ‘ ' v' '

1. — Bir oyun birden fazla oyuncu (firma) tarafından oynanabilir« Oyundaki ; oyuncu sayısına göre oyunlar 2 kişilik,3 kişilik, n kişilik oyunlar, olmak üzere

sınıflandırılırlar* : ' ;

■ ■■.2— Bir oyunun sonunda, rakip (firma.) taraflardan kazananların toplanı kân , kaybedenler iri toplam zararına' eşitse bu tür oyunlara, "sıfır iopfam/ı" .oyunlar, ter­si durumun söz konusu olduğu oyunlara da. "sıfır toplamlı olmayanMf oyunlar de- : nir. Dolayısıyla oyun sonucuna göre de oyunlar iki sınıfa ayrılırlar.

3 — Bir oyunda-bulunaj Hecek-üçüncü'özellik de-oyuncuların stratejilerininsonlu ya da sonsuz sayıda olup olmadığıdır. Buna göre de oyunlar iki sınıfa ayrı*?

.. Iırlar.. •" ' ■

Biz sadece sonlu stratejili - iki kişilik - sıfır toplamlı'oyun türü üzerinde-du­racağız.. . ■ •

3.3,1, İk i K işilik Cıcır Toplar alan

. İkî kişilik sıfır toplamlı oyunlarda oyuncuların-ve rakiplerin net kazanç top­lamı sıfırdır, Yani oyununsonunda birinin kaybı diğerinin kazancına eşittir*

Oyuna katılan.her iki tarafın akıllıca .hareket edeceği' ve kazancını erıçok yap- /mağa veya oyunun kuruluşu nedeniyle, kâr etmesi.olanaksızsa*.kaybsnı enaz yap­mağa çalışacağı varsayılır. . ■' .. ...

■ . Oyuna katılan her bir.tarafa oyuncu denir. - .

. - -Her iki oyuncunun doğru stratejiler kullanmak'koşuluyla oyunun; birçok- kereler tekrarlandığını farzedersek* bunun sonucu olarak; oyunun.kuralı •gereğin-' ce taraflar birbirine bir miktar para v«b.' şeyler ödemesi gerekir. Beher oyun başı- ’ na düşen miktara'T)yun değeri” denir. - ~ . ■

- -Çözümden - sonra eğer oyuncunun tek bir stratejiyi kullandığı, saptanırsa- buna'"Salt Strateji” denir. . . J ' .. . . • ’ ;

/ Bazen en doğru karar, belli bir stratejiyi değil , de ha stratejilerin karışımını ■ kullanmayı gerektirirse bu tür stratejilere ” Karma 'Strateji” denilir.. . ~

Her-oyündan sonra oyuncunun-, biri diğerine önceden o stratejiler için katar- taştırılmış bir miktar öder. Bu ödenecek miktarları toplu olarak gösteren matrise "Oyun Matrisi"'ye ya Oy unun Kazanç Matrisin denir. ' ..

... Oyun matrisî. .. kare veya dikdörtgen matrisi biçiminde olup, , oyuna, katılan oyunculardan birirun. adı oyun matrisinin sol -tarafına,- diğeri de- üst tarafa yazılır.

Bu tür “bir oyun matrisine aksi belirtilmedikçe "A.oy uncusunun kazanç mat-n ı denilir.. Buna göre," oyun matrisi içinde pozitif değerler A oyuncusunun kazancını, negatif değerler.İse A oyuncusunun kaybını gösterin. . . "

:v • . 3.3.2, B ir Oyup.Matrisinin (Kazanç Matrisix)in);Kühılaşu:.'-;

Oyuna katılan oyunculara veya firmalara A ve B .adını verelim. • ' -

A oyuncusunun m tane; .B oyuncusunun n tane stratejisi olduğunu varsayalım.

Bu iki oyuncunun veya diğer bîr ifadeyle A oyuncusunun oyun matrisi şöyle olur: , ■ ■ .

B oyuncusu , . ' ■ ■ ■

;■ A- oyuncum

■ .Burada; mxn ...tane; mümkün oynama biçiminin'herbiri., için A#nın oyunun her adımında elde edeceği kâr veya uğrayacağı zarar miktarları yer almaktadır» Diğer bîr-deyişfe A'nın kazanç matrisindeki, âjj'değerleri  fncî stratejiyi uyguladığın­da B'nin jfncl stratejiyi uygulaması, .durumunda elde edeceği kazanç..miktarlarıdır.- Negatif aj zarar-- miktarı olacaktır*. . ' ' ■": . •. ” ’ '/

■ ' Daha iyi açıklayabilmek için pyununkazanç.mâtrisinf 3x4 lök alalım, (m “ 3 ve n ='4)- ' ./ ' v ■ ; ■ ■ ' '

> . • v " :. .'Boyuncusu

.. A Oyuncusu

Strateji I ' H ’ ııı ■ ’ - -İV ' •

t -■ ; . âıı ' a l2 . a,g' a#

II ' an ■ a a a 23- : ita-

ısı a32 ^33 a#

' Strateji ■ 1 2 3 ' ■ n

1 a ıı a 12 '' aö ■ aj

2 a21 a^2' a 23 : '■ -*2

• 3 ; a31. ■ a 32 a33 ; - - İ3

:

'.m; ■ ' .. : amı . ■ arm .. .a-m3 amn

Oyunun matrisi, A oyuncusuna göre3X4lük bir kazanç matrisidir.

Bîr oynayışta:

• , uncusu Itneî ■ , .■■■'B oyuncusu da IV. ncü ; ' ■ '

stratejileri seçerlerse:" . ■ ' . .. '

• B oyuncusu, A-oyuncusuna a^ kadar ö<

■•■ Eğer# a21 ' işaretli ise aslında ödeyecek' olan  oyuncusu kazanacak olan da B oyurv - /

. Buna göre; B. oyuncusunun  oyuncusuna ödeyeceği miktarları gösteren bir oyun matrisi veri imiş iken* A oyuncusunun B oyuncusuna ödeyeceği miktarı gös-

' teren oyun'’matrisini elde etmek için verilen oyun, matrisinin elemanlarının işare-.- tini değişi irmek yeterl'idlr. ■ .. ' .

■ ö r n ek (3,2): Bir oyunda .bizim için 'muhtemel stratejiler (A,. B, C) rakibimiz için X, Y, Z olduğunu’Varsayardaki kullanacağımız stratejiye göre bizim uğraya­cağımız kâr veya zararlar aşağıdaki oyun matrisinde gösterildiği gibi olsun..-

R akibin Stratejileri

BizimStratejim iz .

X ‘ ’ Y ' - Z - -

A 2 . I_j- ; ‘-2

. B - ' i- 7 ■ o -, T

'■ C ' —2 . . .. —1 . 2

- Oyun'-matrisi hakkında daha iyi fikir edinebilmemiz için, matrisi; oluşturanelemanların' anlamlarını açıklayalım:. /

. Eğer,- biz birinci (A) stratejimizi;kullanırken rakibimiz de (X) stratejisini kul- ; lanırsa,. biz- 2 bîrim kazanç! i -olacağız dernektir»-, ' :

• Eğer, biz (C) stratejisini kullanırken'rakibimiz (Y) .stratejisini kullanırsa sû- . 'nuçtabiz-ÎMrim kaybederiz/- - . •' . ' ■

O halde, her bîr strateji için kazancımızı veya kaybımızı oyun matrisindeki rakamların işaretine göre söyleyebiliriz.

örnek (3,3): Oyunlar teorisinin temel karakteristiklerini gösterebilmek için tek mi, çift mî oyununu -ele alalım, ■ ' ■

uncusu iîe B oyuncusu iki bîiya île bu oyunu oynasınlar.-

B oyuncusu bîr veya iki bilya'yı avucunda saklar, A oyuncusu da tek veya çift dîye tahminde bulunur.- : ■ ' ,

a ^vuncı s • S c/uncusunun avucundaki bilyayı bilirse 1 birim'para alır. Bi­lemezse 1 bîrim para öder. : t : _ .

Oyunun kazanç matrisini A oyuncusu İçin kurunuz. \ '

Çözüm: - - • •

Oyuna .katılan'oyuncuların (A ve B nîn) ikişer stratejisi vardffv Bu ya tek veya ç îftdemektir, ■ / ’ ■ ■' ' v . . ..

: Oyunun kazanç matrisi A oyuncusu için:-. ' ■"

'A oyuncusununStratejileri . •

B oyuncusunun stratejileri

" - ■ Tek Çift

T ek - ■ '■ , 1 ' ' -1

Çift .. . - ; _ ı ' ; . ; i. '

örnek (3,4); .'(Karavelioğlu, 1976) - ■

. Düşman kuvvetlerinin 3 nakliye ve î avcı uçağı bulunmakta ve iki ayrı ,adâ-; dan- ikmal sağlamaktadır. Günde bîr kez, nakliye' uçaklarının Ikisî bîr arada ve •' diğeri tek. başına uçuş yapabilmekte dölayısi' ile. avcı uçağı-koruyuculuk-göre-vinî ancak bîrgrup-için yerine getirebîlmektedîn ' . \

Bizim ise düşmanın bu nakliye hareketini engelleyebilmek için 1 tane avcı uçağımız olup,, o-d-a bîr gün içinde, düşmanın nakliye hatlarından ancak birine hücum edebilmektedir. . 1 . ■ ■

Uçağımız, kendi avcı uçağı tarafından korunan düşman nakliye hattına rast­larsa aldığı emir gereği hücum etmeden üssüne dönmektedir. Ancak, kendi avcı

uçağı tarafından korunmayan nakliye grubuna rastlarsa nakliye uçağını {ya da uçaklarım) düşürmektedir, - . . ' '

Olaylar çoğu gün böylece tekrar edip gitmektedir, ' •

. Bizim kazancımızı ya- da düşüreceğimiz uçak sayısını en fazla yapmak üzere izleyeceğimiz- stratejiler kargışında 'düşmanın izlıyeceği muhtemel stratejiler sortu-oı, her..uçuşun bize sağlıyacağı muhtemel.kazanç ne olacaktır? ■ ■

. ' 'Çözüm: . ' - ;. . . , ■

Oyunun' kazanç matrisini kurabilmek için karşılaşılabilecek olasılıkları sı­rası ile gözden geçirelim: . . - V- " '. \

- Bizi, (A),, düşmanı İB)'oyuncusu olarak gösterelim*, ' ■ ■ ...- . A nın avcı uçağı, B ninavcruçağı desteğinde olmayan-* ;

‘ '. — bir nakliye,uçağına rastlarsa.kazancı + ■ ■ ' . ... ■/■■' " .

iki nakliye uçağına rastlara kazâncr+;.2.olun ' ■ - - :

- ‘. .A nın avcı uçağı*. B nihayet uçağı desteğinde olan .. • . ■ .; - bir nakliye uçağına. rastlarsa .kazancı 0, . :■ ^ iki nakliye .uçağına raflarsa kazancı 0 olun. . - ■ ' ..

■Şimdi oyunun kazanç'matrisini kuralım:B'nin Stratejileri

A rmnStratejileri

Âvcı Uçağı Tek nakliye ■

■ . , uçağım .' .: ■"korursa -

Avcı Uçağı■ Çift nakliye •

uçağım kor Us m-

. Tek nakliye uçaklı ulaş­tırma hattı na hücum

■ . 0 ' ■ +1

Çift nakliye uçaklı ulaş­tırma hattı­na hücum*

. + 2 - . • 0 -

A nın stratejileri: X ı # Xz B nin stratejileri: Y ı , Y2 olarak ifade edilirse.

Oyyniiii matrisi;

B

Y 2

■ X ı ' ■ ‘ ■' 0 ' -m -

X2 . ' . , + 2 ' , '■ . p- . ■■

olarak yazılır» . / • . ' :

Problem:’(3,5)- ' ■■ ' ? ' ■

’ .■ Mağazalar zincirine sahip.lkl-.firma, bir bölgede bulunan iç yerleşim birimine, hizmet -vermek'özere, birer yeni mağaza açmayı, pfânlâmaktadirfar. Sözkonusu böl­gede-yer alan iç yerleşînı. biriminin birbirine olan uzaklıklar, aşağıdaki şekil He gösterilmiştir v ; , ; \ ; ; . , •. ; .

■ ■ •' .. -; ■ ■ ' ; . e-,. • " v. - . ' . ' ■ "■

Bölgede.yaşayanların^ 45fî A yer)eşim-bîriniinde>'% ’30’fü B yerleşim birimin­de ve % 251.C yerleşim biriminde oturmaktadırlar. ' •

, Diğer yandan t Firmanın, .IS. Firmaya göre daha büyük ve daha örgütlü ol­duğu ve bundan dolayı aynı yerleşim birimine yeni mağaza açtıkları takdirde İşin

• (müşterinin) büyük kısmını L Firmanın kontrol altına alacağı bilinmektedir.

Her iki firma ayrı ayrı yaptıklarıj pazar,araştırınaîarıiıda aşağıdaki verilen ve. aynı olatn bilgileri tespit etmişlerdir. ■

— Eğer her iki firma yeni mağazalarını aynı yerleşim birimine veya bu yerle­şim biriminden eşit uzaklığa kurarlarsa, bu yerleşim birimindeki işin % 65 ini I. firma ve % 35 ini II. firma kontrol edecektir.

i — Eğer I. firmanın mağaza, II. firmanınkine göre bir yerleşim birimine daha yakın ise, bir yerleşim birimindeki işin % 90 mı I. firma ve geriye kalan % 10 unuİL firma kontrol edecektir.

— Eğer, I, firmanın mağazası, il, firmanınkine göre'bîr yerleşim birimine daha izafe ise, -bu yerleşim birimindeki Jşin.% 40 mı i. Firma ve geriye kalan % 60 im I, ıirma kontrol edecektir. Oyunun ödenti IVIatrisitli kurunuz,- ' ■'

3 3 3 , Oyunun Çözümü ve Eyer Noktası: : -

Bir oyunun çözülmesi;

a --Oyunun değerinin bulunması* ■ ', b — Â oyuncusu için a lt veya karma ersiyi stratejinin bulunması* •

■ c *— B oyuncu.sü için salt veya karma eni yi stratejinin bulunması demektir. -

- , 3.3.3.1. Eye r Noktası ve Oyunun.Değeri: . ' . ' . ■

■Bir oyunun eyer noktası ile oyunun'değerini bir örhekle-açıklıyarak göstere»'Tl. ■ - " . ‘ ' ' ■ ’’ ■ • . '■ ■- '''

mek (3,6): Ahmet ISe Bülent aralarında bir oyunoynuyorlar.'-.Oyunda- Ahmet'in ; stratejiye (A l, A2* A3) Bülent'in de iki stratejiye. (B1, B2) sahip olduğu bilin-' ¡ektedir.

Oyunun kuralı ise* ödemelerin kullanılan'stratejilere göre yapılmasını öngör- ektedir. Seçilen veya.kullanılan stratejilere göre.ödemeler aşağıda gösterildiği

Bu oyunda Ahmet .ve Bülent için en iyi’stratejilerime oyunun değerini bulu-

Ödeme kuralları oy uo matrisi biçiminde-düzenlenirse*'Bülent'in'Ahmet'eemesi pozitif* Ahmet'iaByfenfe ödemes« negal f olarak gösterilin

bidir.

Kullanılan Stratejiler' Ödemeler

Al, B1A1,.B2 A2* B'.T A2/B2A3, B1 Â3*,B2

Ahmet; Bülent fe 2 TL. öder. Bü!ent> Ahmet'e 2 TL. öder. Ahmet, Bülent’e 1 TL. öder. B.üîent, Ahmet'e 3 TL. öder.

' Bülent, 'Ahmet'e 1 TL: öder.. Bülent*'Ahmet'e'2-TL. öder.

İZ.

Ahmet’e göre oyunun kazanç matrisi şöyledir:

Bülent

81 .

-2 2 I

- * 3

' A3 „ - ■ i 2

Oyunun’ kazanç matrisine göre: Bülent B2 stratejisini kullanmaz-. Çünkü, bu strateji Bülent'e hep,kaybettirecektir. Bu nedenle, Bülent İçin en iyi strateji B! st­ratejisidir. Bu stratejiyi uygularsa enbüyük kaybı 1 olur.

■ Ahmet açısından ilk bakışta en iyi strateji A2 gibi görülse de, her iki oyuncu­nun aklicı ve tutarlı oyuncular olduğu varsıyıldığindao, Ahmet Bülent'in 82 stra­tejisini, kullanmıyacağını bilmektedir. Bu nedenle Ahmet için en uygun strateji A3 stratejisidir. - ' • ' : >' .

Bülent'in B1 ve Ahmet'in A3 stratejisini" uygulaması, durumunda Ahmet'in kazancı 1 T.L. olacaktır. Bu değer Ahmet'in ulaşabileceği en fazla kazanç,.Bülent'­in de uğrayabileceği en az zarar o!duğundân:.oyunun denge noktasına yada.,f%er noktası” na bu stratejilerin (81 ve A3) uygulanması, ile ulaşılır. .Eyer'noktasınınbelirlediği kazanç değerine de ”oyunun değeri”, denir, ' • ' / ’

_ 3.3.3.2. Eyer Noktasının Bulunması:. . . ■ \ ■

Bir oyunun eyer noktasını şöyle buluruz. . ; .

'Ele alınan oyun matrisinin; • ' ■ . . .■ ■' *■ . -

- Satırlarının. enküçüğü bulunur ve oyun matrisinin satırlarının yanma yazılır ve enküçükler arasından enbüyük olan bulunur. Bü bulunan sayıya enkiiçük- lerinenhüyiiğü (Enkenb) denir» • ■

.. - Sütunların enbüyiiğü bulunur ve oyun matrisînin altına yazılarak eohüyükier arasından enküçuk bulunur. Bu bulunan sayıya. enbüyükierinenküçüğü (Efıbenk) denir. '

Eğer, Enbenk = Lnkenb ise oyunun eyer noktası vardır denir. Oyunun eyer noktası aynı zamanda oyunun değeridir.

Bü söylediklerimizi bir oyun matrisinde görelim. Bunun için A oyuncusuna göre kazanç matrisi aşağıda verildiği gibi olan bir oyunu ele alalım.

B oyuncusu

A .

oyuncusu .

Str. . •1 2 ' n

' 1 aı n

a21 a?

-ij

m a a ■ ' âm ndmı

etik an

j ’ * enk a2j ■■

j ,enkenb a. •■ . ■ «ı

İ i enk aml ■ ’

' 'İ ■ ' ‘'enb mı enb ai2I ■ I:

■enbMn:

h ■

. .• ' - . ; . ■ - -enbenk aij ' ' , . , .

: 'v : ; ■■ .■ ... I- j ■ ; ■■■ ’ .Oyunun"eyer noktasının olabilmesi için: ; ■ ' .. ; . •

Enbenk a» - Enkenb z-. olmalıdır. Bu eşitliği de şöyle ifade edebiliriz. A oyuncusunun kazançlarının (satırlarının) enküçüklerİnenbüyüğü (Enkenb), B oyuncusunun kayıplarının (sütunlarının) enbüyükJerininenküçükleri (Enbenk) ne eşit ise bu oyunun bir eyer noktası vardır.

örnek (3,7): ■

Bir oyunun A oyuncusuna göre kazanç matrisi şöyle olsun:

B oyuncusu

Aoyuncusu

Strateji 1 II III IV

1 90 32 10 87 10

II 60 52 42 63 42 Enkenb

III 20 43 34 35 20

IV 50 65 25 12 12

90 65 42

Enbenk

87

Enber ıkenb eşit olduğundan oyunun eyer noktası vardır,.Oyunundeğeri g - 42 dlr. ' . ‘ .

Buna göre oyuncular için en iyi stratejiler: ■ ’ .

A oyuncusu içim II . ■ ■ ■ •

B :oyuncusu için: IIInolu stratejiler olmalıdır.-

Eyer noktası olduğunda hiçbir oyuncu, kendi durumunu geliştirmek için ra­kibi nln. strateji sinden' istifade edemez. Oyunculardan birinin, stratejisini değiştir­mesi yalnızca kayıplarının artmasına yol açar.

■ . Bir oyunda eyer noktasının bulunması,-kullanılan stratejilerin salt öldüğünügösterir. Oyun birçok kereler tekrariansa' bile akıllı olan .oyuncular aynı stratejiyi kullanmakta ısrar ederler. ' ■, : . • • ■ , ■ ■ ; ' .

örnek <3,8): ' ■ ; . ; : •. - ' \ ■ .

-■ • İki. firma (A ve B)-arasında .oynanan;oyunun A'fifroasitics gom kazanç mat­risi şöyİe.olsun. ' - . • ■ . ■ - ' ' -... '

. B F irm a s ı ..; - \ ? " ‘ ' ■

\

■|

r- S ) iOyunun eyer- noktasını bulunuz, . - ' ■

■ Çözüm; ; ’ ; . • ■ .

a — Satır elemanlarının enküçüğü bulunur

1 ncı satırın enküçüğü: 0 -2 nci satırın enküçüğü: 43 ncü satırın enküçüğü: 2

• 4 ncü satırın enküçüğü: 1

f a ■

d : Y İ

■ Strateji * ■ t . : ' . f i / ; _ . î l l İ V .. v :

S- ■ 0 ■ : ■ ' ' 1 . 9 / 8 " V 3

ı ı ■ 7 6 •. 6 .

■ ■ 111 ' 8 3 2 : ' 3 ' • 4

. i v ■• ■ ■■i ■ ■ 2 ■ ■ 5". ' 2 • 6

h - Sütun elemanlarının eııbüyüğu bulunur.

1 nd sütunun enbüyî ğü: 8• 2 ncl sütunun enbüyüğü: 4

3 ncö sütynun enbüyüğü: 9■ 4 ncü sütunun enbüyüğü: 8■ 5 nci sütunun enbüyüğü: 6

Bu işlemleri .oyun matrisi üzerinde gösterelim»

B F irm a s ı

Str. I ; İl II! ■ ; îv ■. ' ■ V

: V 1 ; o ■ ■ 1 ' 9 ’ ' . . 3 - 0 ,

. 1! ■ . 7 . . 4 6 ' 6 ’ . ' , '5 4 Enkenb

111 ' . 8 ■ .3.’ • 2' : '3 ■ ■ . .4 •. 2

IV • 1 ' ■ ■ 2 , ' -■ 5 . ■ 2 *6- :P

■ S 4.' 9 ' ■ ■■»V .6.'t . ' • . "

Enbenk ' ' . ' '

Örneğimizde eyer noktası (A2.B2) dır. Buna göre oyuncular için-eır iyi stra­tejiler: ' '' ■ ■ ■; ' . • ' ' -

A Firması için en iyi strateji: II nci strateji; . ' -

B Firması; için en iy i strateji: l!/nci stratejidir. . . •;• ; .. . ■ . ■;

P ro b lem ( 3 ,9 ) ; . . '• .. .

.. a). Aşağıdaki uyun' matrisinin ;eyer noktasının olupolmadığını araştırınız? Varsa oyunun değerinin ne olduğunu gösteriniz. • . .. . . ^

B oyuncusu

Aoyuncusu

' Strateji i - il IV V VI v ı r ¥111.

1 6 - »10 ■1?, 25 0 ' 3 ' ; ~~2

"•■1.1 ' * I T - lı 1| -

—6 —7 9 'u » — —J

b) Aşağıdaki o\ uîvjh eyer nokîas.«nı bulunuz (Draper, 1976). r ,

■

- Strateji I 11 III IV V VI

i 12- -10 8 ~6 7 . ' -11

. ■ II ■ - 18 2 -3 ■-4 8: ' 10

~ .111 5 - —3 ; . ■■14 0 -10 —12- '

. . IV 3 12 16 İ ' 8 ' 2-

V •-ıs. ': 16 1; —2 9. -- -9:

c) Aşağıdaki oyunun -eyer noktasını bulunuz.

■ Strateji I - 11 . İli ;. IV ' V :

î 15'' 16 12 ' 12 -■ 11 ’ ‘-i.

■ '1 1 ' 16 15 14 16 17

' ' ili ' i l , ': 14. 13 13 ■ ' 18 ■

' . IV , 19; - . 16 11 ' 18 10' £

f i ; C. ■ . . .■ 3.3.4. Birden Fazla Eyer Noktası Olan' Oyunlar:

.. . Bazı oyunlar- birden fazla eyer noktasına sahip-, olabilir, İlk bakışta'; eyer noktasının tanımına.ııygun. düşmez görünen bu durum,■ oyunculardan bîri-tarafın-,.

■ dan. eyer noktalarının, belirlediği stratejilerin uygulanması-ile sonucun-değişmeme*?:;' sl-.demektih. ' ' : - v . ' ■, : . . , . '

Bîr örnekle bunu gösterelim:.

Örnek (3,. ' • .

Bir oyunun kazanç matrisi aşağıdaki-gibiolsun .■ ■ ' ; 'Boyuncusu

■ ,4 oyu n ­cusu .

Çözüm: Oyunun eyer noktasını bulalım:.. .

•' . - '. /B-oyuncusu'

10

tnbenk

30

Strateji I 11. ' 111

I 10 ■ ' ■ 20 ' ■; 10

II ■' . ' " 0 • • —40. ; ■■ . -1 0

; '. lif : ' 10 30 - 2 0

- ¿ t v .

2 o ;

■ Strateji ■ i • :, u ; '. ■ '.'İli

1 ıo_ ; ... 20 - ' ■' ’ ıo , ;

!i • : 0 , ' —40 . ■ ' .. -10 . ,

J I Î , m , • ' ■ 30 \ -20 :

10 Enke b

“"■40 ■

- 2 0 . ■

10 '

tEnbenk

Oyunun kazanç matrisine göre, (A1, B l) ve (A l, B3) hücrelerinde .dmak'' •üzere oyunun iki tane eyer noktası vardır. Bunun anlamı ise; .

A oyuncusu daima I. nolu stratejiyi,

B oyuncusu ise ister I. ister III. noiu stratejiyi kullansın, oyunun'değeri ' daima g = 10 olacak demektir. ; ^

Problem İ

■ Bir oyunun kazanç, matrisi aşağıda verildiği gibi olsun.

: .Boyuncusu,.

A oyu n cusu '

Strateji ' ' I IİI

. i ; ■ .20 ': ■■■■’' ■ 3 0 ■ ■ ' - jö

■■■. ‘ ■ .11 . .. 40 50 40

MI ■ ; 30 80 - 20

"O

'.Oytihun eyer-noktasinı bulunuz?

3.3.5. Strateji Vektörü:

Birbirine rakip olan A ve B firmalarına İlişkin oyun matrisi şöyle oîsun.

A fimmı ■

m

B firması ■

Strateji' • l . i l - İ l i ;

■ ■ i ; ıs >■•19 '■16.

■ ir '. ' 16 18

1.9

16' MnMnb

'"İS . . .

16 ■ • f .

Enhenk

Oyunun eyer noktası 16 olup, A l ve B3 noiu stratejilerin kesiştiği hiic redir Bu duruma göre A firması I nci stratejiyi, B firması da Ifl ncü stratejiyi kul¡anacaktır.

Bu duruma göre A firmasının "strateji vektörü" :

. p (1,0) ve oyunun değeri g= 16 olacaktır,

p (1,0), eyer noktasının bulunduğu satırı kullanabilmek için A

Benzer biçimde, B firmasınınstrateji vektörü;c| {0,0,1) ve gem oyunun dej- laçaktır.

Bu İse,, eyer noktasını İçeren kolonu .kullanmak için B firmasının'1İI ncü stratejiyi seçmesi ve'I İle II yi hiç kullanmaması anlamını taşır, ' ■

Eğer, oyunda birden fazla eyer noktası -var. ise, oyuncular .için alternatif' strateji”-saz konusu olur. Bîr örnekle bunu açıklayalım. ■ ■

örnek (3,12): ' ' . ' . :

Bir oyun matrisi şöyle olsun. _ . ' . ■■ ’

• ' : ■ . ’ ; . .' • _ . B firması ■ - • ■

; A firması

Strateji I II III IV

' î 30 50 90 30

II 20 60 80 10

30 60 90 30

30 Enken b -

ıo .■ ■

• f . . Enbenk

iE n b en k .

■ ■ ■-Oyunun kazanç'-matrisinde görüldüğü gibi, îkr-tane eyer noktası-'vardır.'. A firmasının. I noîu stratejiyi, kullanmasına, karşın B firmasının I ve IViiolustra--. tejîleri .kullanma-olanağı vardır..Bu-nedenle B firması için alternatif strateji vek­törü söz konusudur* -.. - ' ■ '■ '

■ ' ■ A. firm&mın Strateji vektörü, p ( 1 , 0 ) -B -firmasının.strateji vektörü,. q.(1,0,0, 0)' . . ' .

ve alternatif strateji vektörü ise. q (0,.0, ö,.|) olup.oyunun değeri g == 30-dur..

■ :. -3,3.6. Eyer Noktası Olmayan Oyunlar:- .' • ' . - ' ; . ; .

-Eyernoktasrol-mayan oyunları bir örnekle-açıklayalim: : - -

.■ örnek'(3,İ 3): ■ ~ . . .■ \.

; A oyûıtcusuna ilişkin kazanç matrisi şöyte'olsun:- • ■ ‘

B oyuncusu

- W ^ Enkenb

—20. -

—30

' 30 ■ . 30 20■ ..... . ■ ■ ; ’ t -.

. . _ . . - ■ . .. Enbenk

Oyunun.eyer noktası yoktur.-Diğer bir ifadeyle, oyun, matrisinde satır­ların enküçüğüyle, kolonların enbüyüklerinin çakıştığı bir hücre yoktur*

• • . Eyer noktası olmayan oyunların' çözümü için türlü yöntemler gelîştirîî- ^miştir. Yöntemleri örneklerle açıklayalım:' ■■■ " - •

■ 3.3,7. 'Eviren Stratejim:. ■

■Egemen strateji, oyunda tercihî! olarak koflanılan ve diğer . stratejilerden bazılarını devre, dışı bırakan stratejiler olarak .tanımlanabilir.' ' • ' ■;

■Kural; Bîr'oyun matrisihde/birsütünûh tüm elemanları başka bir sütunun kar- ş.ilî.kls eleıranİarıhdah'.büyük *veya eşit ise bu tür stratejiye egemen strateji denir m kendinden kuçtik olan süfuh.u devre dtşı bırakır.- ■ '

"Benzer biçimde, bir oyun matrisinde bir satırın tim elemanlar i başka-bîr sati- jm karşı lıklı elemanlarına eşit veya daha büyük İse bu tür/stratejiye egemen strateji denir ve kendinden küçük oîars satırların ilişkin olduğu stratejileri ayıklar. Ayıkla­nan bu satır ve sütun oyun matrisinden çıkarılarak oyunun çözûmi kolaylaştırılır.Egemen stratejileri bir örnekle açıklayalım: ■ / . - . " ,

: ' ' örn ek (3'14): . , ; - ‘ ‘ ■

A *oyuneysu

- Strateji 11 ' ■ ili

1 ■ ' . 10 10 .

20 —20

/ fil .. 30 30 ' ' —30.

Bir oyunun matrisi- aşağıda verîidiğl -gibi-olsun:

B Oyuncusu

AOyuncusu '

Stra ■ I. ' II İli IV V ' ■/ VI

I _ : 10 ■ 11 . -,1i" ■'12

: 14 ‘ i 2 ■ 16.

Ilı 15 14 16 ' 13 - 12

IV . : 14 14 13 ■—14"' ■ '■14 ' 14

- • ¥ ; 14 . ,12- , ■ 12 ■“ 16 —15 12

.15- ■ 1:4 , 16..' 13 ; 14 '; t . 'Enbemk

‘ 11 E nkenb

n

—14 ' '

—16-

>-11

. Oyunun '' eyer noktası '■.yoktur: 'Oyunari çözümü için egemen stratejileri sap» tayip,"oyun matrisinden çıkaralım. ■ . , . \ ' ’ ■ y. -■ . ■

■ ■ Oyun matrisinde.11 .•ncl satırın elemanları (14, 12, 15, 12, 11, 16), j'n ci sa­tırın elemanlarından i'TS 11, 10, 11, —• 11,12) büyük olduğundan I şatır İL sat«t-trrafından devre dışı birikilir - ' ,

Benzer biçimde-, V nçî satır SV mm s^tır taraftrsdan; devre dişi bırakılır^ ‘ '

Bu satırlar oyun matrisinden çıkarılırsa.'E. Oyuncusu

;■ A Oyuncusu

■ Sim, 1' ■■■; 11 ■ i l i . IV

■' SI - 14 , 12. ; ( • 15 ■ Î2 ' 11 . 16

;; .in 15 : 14" ; ■"i« :■ i a; ■ .'.12 13-

. IV -14 ,• 14 13 —M 14 14

Yeni oyun matrisimizde sütunları gözönûne aldığımızda, II nci, IV ncü,V nci sütunlar I nci sütun tarafından devre dışı bırakılın Son durumu dagözönü- ne alarak yeni oyun matrisimizi yazalım. . ,

B 'Oyuncusu

- A:Oyuncusu

Strateji : i l i ■ '■ V I

' ' ! ! ! 14 . -: . 15 ■ 16': 1 enb

' - 111 -' ' ‘ 15 : ; ■ 16 - ' 13 ı 3 ■ : ■

; I V . ' . . 14 ' .- 13 ; 14 ’ 13 ■ -; .

.' .- 15 : ' . : ' 16 ■ ' 16■ ■ ' . ■ ■ . ■ ; .. t ; ' ■ ■ ■ . - _ ■ ■ ' ■ ■ '

. , ■ ■. : Enbenk ■ ' ■ ' ' . ■ ■

■ Oyunu. ..çözmek için- karma strateji uygulamak'zorundayız.- Çünkü,-oyunun.- eyer/noktası yoktur, örneğimizde-ele aldığımız 'Â'ya göre oyun matrisimizin' e-. yer noktasının but?ınmâsı olanaksızdır. .Çünkü, asıl, kazanç-matrisinde eyer-nokta­sı buiunmuypfrv’ f’getnen .stratejiler veya âltedileri satır-ve sütunlarla -küçük bo­yutlara dönüştürülmüş: örneğimizde. öldüğü-gibi kazanç matrisinin, de eyernok-- tası bulunmaz.. Eyer noktasının 'bulunmadığı. oyunlarda oyuncuların -veya firma”- - latın eniyi-.-'stratejilerini-ve ...oyuhün: değerini şu yöntemlerle buluruz., . ,

■ - Cebîrsel'yöntemle," -Grafiksel yöntemle,. . .. :— Matrislerle,; ' .

. - İterasyonla, - .Doğrusal programlamayla:.

Biz, ’sadece-burada,, cebirsel, grafiksel, matris ve .D.fVyle çözümleri: ele ala­cağız.

3 3 . 8 . İk i Kişilik Sıfır Toplamlı'-Oyunların Genel Çöztiiriü:

Bir oyuıida,'. oyuncusunun- m, tane"B oyuncusunun da n tane stratejisi öl­düğünü düşünelim.- A oyuncusu için-:kazanç matrisinde (m x n) .eleman, vardır.

B Oyuncusunun Stratejileri

A Oyuncusunun Stratejileri

. 1 1! 111 ■

" i . a'll aİ2 -a J3 aın

21 aB a 2 0

m .; a 31 ■ ■ ^ 3* . . a 33 ■ % r t ■

- * *," .

' m a m ı am2 am.3 . - amn

Oyun, matrisi (a-) biçiminde gösterilerek" şunlar kanıtlanabilir.-' ' '.1 ' ■ / - '' ‘ ' ■ . '• . . ' ' ’ ■:

1 —Her matrisîn.'tek bir (g) değer? vardır.' ■■ ;2~~ A oyuncusu';. 1 ^ . 1 inci-.stratejilerini sırasıyla ' • , ■

' . X I,. X2..., Xm frekansları ile kullanırsa, (X l -.+ \ 2 + ... + Xm ■=■ 1) en az kazancı oyunun değerine (g) eşit olur. Bu'Afiften iyi karma stratejisidir. .' -

3 ~.B oyuncusu, I, II, ..., n inci:stratejilerini-sırasıyla- Y ı, Y2..., Yn frekans­ları ile kullanırsa, (Y ı +- Y 2 + ... + Yn = 1) en fazla .kaybı oyunun degerifie.(g)" eşit olur.:Bu da B'nîn en iyi karma stratejisidir. - .. ■ . ..

. - Bİr iki kişilik sıfır toplamlı oy un'un çözümü A'nın stratejilerinin Xı,-X2.. Xm frekanslarını, B’nin -stratejilerinin Y ı, Y2, ..(, Ym frekansların).ve oyunun de-:. gerini; (g) verir. Bu çözüme aşağıdaki denklem veya eşitsizliklerin bir-ar da ço-' dilmesi ile ulaşılır. ' ' ' / . ^

,Xı + X2 4- ... + Xm' = 1 X ı> 0 ' / •. . 'Yı + Y r + .... -f Yn ■ = 1 ‘ Y ı > 0 / . . ./ ,X ı aıj;+ X2 a2j + ..... + .Xm amj > g j = 1,2y...>h :

■ Yı aıı + ;.Y2ai2 + +. Yn- ain < g i = 1,2,...;m ^

3.3»8eL Eyer Noktasız, (2x2) Matrisi Oyenun Kısa Yolla ' ■ - -Çözümü:

Eyer, noktasız (2x2) matrisli İki kişilik .sıfır--toplamlı oyunların formüllerle .ısa bir. çözümü, vardır.

Bu formüllerin cebirsel yoldan elde edilişleri şöyiedir:

B

l(Y ı)

a b

|M V , c d

X ı + X2 = 1 Â'nın iki stratejiden birini kullanma olasılığı

Y ı + Y2 = 1 B'nin iki stratejiden birini kullanma olasılığıdır.a X ı + cX2 > g : ; :bXx + dXz> g ’ ^aYı + bYa< g cYı + dY2< g

yazılır. Bu eşitsizlikleri eşitlik halinde düşünürsek:

aXı + cX2 = ğ bXl+ dX2= g aYı + bY2 = g e.Yı + dY2 = g Xı+ X2 =1 Yı+ Y 2 = 1

(D(H)

(m )(IV )(V)

(V I)

I ve II nolu denklemlerden:

. aXı +: cX2-= g ,' * bxı + dX2= g ;

'Xı.(a,— b.) + X2.fc™ d) = 0

bulunur»

Benzer şekilde III ve 1V nolu denklemlerden:

Yi.¥ 2

d-ba — c

bulunur.

Diğer.-'taraftan ¥ ncîu denklem yardımıyla-Xı .ve X2 değerlerini;bulalım:

X ı + ' ' ' ■ ■ - ' . . ■X2 = 1 - X ı ; . ..- ■ ■. ■■ ■ , ' ■- . ■ • . ' . . .

X j. d — c X l: d ~ cX2; a - b 1- *~Xr a — b

(a — b) X ı =. (1 — X ı) (d — c) (a - b )X ı = d - c - X ı (d - c)X ı (a — b + d — c)^d-~ c

X ı -d — c d.—.c

â — b .+ d - c ; (a. + d) '—(b + c )'

X 2 = !.— X ı eşitliğinde X ıt-Icı-değeri yerine konursa

.. a + d — b — c — d +; c , •:(a + d) — '(b + c):

a — b{ a f d) — (b + c) /. : ; ; - ' . . . - . ;

X ı ve X2 değerlerini 1 notu denklemde yerine koyarak oyunun değerini- veren formül,. ' ’ . \ ' ' '■ / ■ .

g == aXı f cX2-

d ~ cg= a -+ c-

a - b

g- -

(a + d) — (b.+ c) (a + d}.~ (b.+ c)

ad — ac + ac — be-/ .{a 4- d) — (b.4-c) ■

- ad — bc. (a 4- d) —~ (b 4- c)

biçiminde bulunur.

örn ek (3,15): A oyuncusunun# kazanç matrisi şöyle olsun:

■B Oyuncusu.

A'Oyuncusu

■Yı . ‘ Y2 i

'' X ı ■ .-3

- ■ . X2 - ' - 1

-2

- 1 <~Enkenb.

* ■■ ’ . 3 . .. . ■ 4 ' . . ■ ' .• . ■ ‘ -■ :■ ,+ , . ■; ' ‘ ‘ \ •

: . ' ' , . Enbenk ■ " ~

' Enbenk # Enkenb oldüğundânoyunuıieyer noktası yoktur. Bu nedenle o-yuftun değerini ve herblr stratejinin frekanslarını hesaplsyalırti ,

A oyuncusu için X ı, X 2 stratejilerinin frekanstan: • * : ,, ■ X ı . = d - c ' ■ . " . - ;

X2

Xı"x TX ı

a — b

4+1

= t

3 — (—2) 3 + 2. 1

= 1

X2

X ı + X2 =1

hesaplanır.

X ı =

X a =

21

B oyuncusu için Y ı. Y2 stratejilerin frekansları:

Y i d - bY 2

Y i

Y z

Y i

a — c

4 - (-2 ) 3—(—1)

3Y 2 2

Y ı + Yz == 1

4+ 2 3 +1

35

2

olarak 'hesaplanır.•’ Oyunun değeri

ad — beg = {a + d) — (b + c)

z 3 > 4^M ) M İ (3 +4) _ (_ 2 — 1 )

10•T=r

10

; g = 1 ', : .■ ■ .. , '■ , ■; olarak bulunur. ' • " ■ ■ • '' .■ ■ - Xı ■ Yı(2 x 2) boyutlu oyunlar için - ve'---- - oranlarını daha kolay bulan di»■ ■ ‘ ‘ ■ - / X 2 Y-2 ; : . - ; ' '

ger .bir çözüm yolu İse şdyiedir (J. Draper, Kllngman, 1972): -

Oyun matrisi aşağıdaki gibi olsun . ' . y

'. ' ' • - .B Oyuncusu . ,

A V ' ' Oyuncusu

• Y i ' ' ' Y2

Xı a ıı ■ - " al2

Xs a2l ■ a 22

. ' A oyuncusunun strateji vektörünü: P\ B'oyuncusunun strateji vektörünü: €fj'

ile gösterelim:

A oyuncusu için: ' ■ ■

' ' ,: a22 — a^pı-=

■ P2 =

'(au + aa i- ia c+ aa )"

a i i— a 12' .

(a,u + â,2z)~~ (an ^ a2i)

C|1

i oyyncüso için: â:

(aıı + aa )- (a

1 |_ — i

\&\ I—{a|2+a2î)

Oyunun değeri*' . ■

(au xa22) - (aı2xa2i)g =

(an+ a22) - (a i2 + a2ı)

'Formüllerinden hesap edilir/{£asieni>.Yaspan, Friedman, 1,964). _ . : ;

Bulduğumuz bu formülleri nasıl kullanacağımızı göstermek'için de bîr örnek - ele alalın* ve-;bu formülleri kullanarak pi,-p2 q ı, qz ve g yi hesaplıyalıriv "•

■ Örnek (3t 16) : • . • ' . - , . ; . : -

Bîr önceki problemi ele alalım ve çözelim. ,

; . Oyunun kazanç matrisi şöyle idi: ■ : ' ' " ' . . ' '■ . B Oyuncusu , .

A Oyuncusu

' . . . Yl Y2

• Xı • 3 ■ '■ -2. :

X2 • ’ ; .; - i ■ _ k4 . '■

A oyuncusu için:.

a22(aı ı + a 22)— (aı2+ a 2ı)

4 — (—1) 5Î3 + 4) - 1-2 + i- ll ) 10

v , = ' 3 - ( .-?!____ ;_____ ____5-- . _(3 + 4) — (—2 + (—1) ) 7 + 3 10

B oyuncusu için: ■

a2'2' ~ %2

Y ı -•

fil ı+-a2 2-)~ (a12 + a2l’) .

' ' ' ■■ 6 6 (3 + 4) — (—2 + (— 1) ) ~~ 7'+3 10

: -a j i — a2ıq2 = Y 2 —

Y 2 =

(aı i + a-22Î~ (ai2 ^ a2 i)

' ; 3.r-(-l). V . .■ ■ " 4 .. 4; _ 2(3 + 4) —;(~2 + (—1) 7-+:l . V' - 'W \ . 5,

'bulunur. : ' : .

Oyunun değen:. . .... • ' ; ... . • '

( a n x a 22)— ( a n x a2 1 )g =

(a ı ı + a2 2)— (a 12 + a2 1 )

(3) (4) — (—2) (—1) 12-2(3 + 4) — (—2 + (—1) ) 7 + 3

10 = 110

Problem (3,17):

Bir nakliyat şirketi, Ankara'dan Bursa'ya hergön bir kamyonla nakliyat yap­maktadır. Nakliyat şirketi nakliyeyi Ikî yoldan'yapnnakta, ancak İkinci yol hem u- zun hem de bozuk bulunmaktadır.

Nakliyat- şirketinin .kamyonu ! nci yoldan-giderse her. seferinde şirket 200 TL,, il ııcl yoldan gider« şirket. 100 TL. kâr etmektedir,

İki yolu'kontrol eden bîr trafik "ekibi bulunmaktadır, Şirketin kamyc fîk ekibine rastlarsa, nakliyat şirketinin kamyonundaki sürücüsünün ehliyet ve ça­lışma karnesi ile kamyondaki bazı noksanlıklar için trafik ekibine 200 TL. öde­mek zorunda kalmaktadır.

' ■ * a~- Oyunun kazanç matrisini nakliyat şirketi İçin kurt-.nuz» - . . " \ -

b- Nakliyat şirketi ve trafik polisi İçin en iyi stratejileri saptayınız.

c ~ Nakliyat şirketi için oyunun değerini hesaplayınız. ,

Çözüm: ■ ■ . ■ ■. •

a -..Oyunun kazanç matrisi hakliyeşirketi için: / ■

■ Trafik Polisi ' ' ■ \

NakliyeŞirketi

1 net Yolu--. Kontrol ederse

■ Jln cIY ö lü .'* . Kontrol ederse

Kamyonu L yoî. ■ dan. gönderirse

0 ' .... .... '200.

. Kamyonu II. yol­dan gönderirse, . 100- , —100 '

Oyunun eyer noktası yoktur. Nakliye "Şirketince uygulanacak'stratejilerin'frekanslarını (X ı, X2.) île gösterirsek:, . ' . ' . . . _ '

Xı . X2

X ı%2

d — c'.formülünden'

'a-'b;

-ıoo-ıoa,.'-xı’ -200

0-200 x 2 -200= 1

: V ; ' i- ■ 1 .■ .X ı + X2 — 1 olduğundan X ı - —— ve Xz - — — olarak bulunur. Buna

■ ■ ■ / 2 . . 2 . ■.göre nakliye şirketi her iki yoldan 1/2 frekansla yararlanmalıdır

Polisin uygulayacağı stratejilerin frekanslarını da (Y i, Y 2] ile gösterirsek:

. Y İ d ~ b^Y2' ~ ■

formülünden, • ’ ■ .■ . ■ '

Y İ - -!TO^2§e' -300 • ■ ' .— = - — = 3 -veV? . ■ .0-100 -100 ’

Y l 4- Y 2 =r 1 olduğundan: . . . • . . \ / . ^

; ■. ' 3 " : 1 " ’ 7 ' ■■Y ı ■==—— — ve Y.2 = olarak4 , 4 ■ ■ . .

.bulunur.'Buna göre;polis l.-nci yolu 3/4,11 nci yolu da 1/4 frekansla kontrol etmelidir* '

. Oyunun değeri ise: .

. ad — bc 8== ■ (a + dTT(b + c)

0 — 20000 -20000 g~ (0 -100)- (100 + 200) ~ -400

g = 50 TL. dir.

.. Oyunun değerine göre, bu stratejilerin kullanılmasıyla nakliye şirketi sefer ba­şına 50 lira kâr sağlamaktadır. \ .

■Pröklem(3,18)rÂlî ve Bülent aşağıdaki koşullarla yazrtura oyunu oynamak­tadır. ' -

.Ali ve Bülent ceplerinden''çıkardıkları paranın bir yüzünü göstermektedirler. ■Gösterilen yüzlerin her ikisi de yazı olursa'Âli 1 lira kazanacak, yüzlerin her ikisi tura gelirse Ali hiçbir şey kazanmayacaktır.-. Paranın biri yazı'biri tura gelirse A li, .1/2 lira’kaybedeçektir. .-

Oyunun kazanç matrisini Ali için kurunuz.

Oyunun frekans değerlerini her îkî oyuncu için hesaplayınız.

Oyunun' değerini bulunuz,

Çözüm;

Oyunun kazanç matrisi A lIfye göre:

Bülent

- Yazı Tura

Yazı 1 -1/2

Tura . —1/2 ' ' 0

Diğer hesaplamalar'okuyucuya bırakılmıştır. _ . - . . ■

Problem (3,19): İki .rakip firma -A ve B aynı piyasada faaliyetlerini sürdür-.- mektedirler. Firmalar .-kendi mallarıriın. reklamlarını afiş, ve gazete 'yoluyla yap- maktadırlar. ’ ■■■ 1 . ' ■ ■ . ' , -

•• x ■Her İki firma gazetelere' reklam-'.verdikleri'zaman, A-firması B firmasına

nazaran 100.000 TL. daha fazla kazanç sağlamaktadır. \ . .

A firması, gazete, B firması afiş yoluyla reklam yaptîklarmda A firmasının; faz­la kazancı 0 ffs«fır,f olacaktır.. . . " : •

A firması afiş, B firması dagazete île. reklam yaptıklar s zaman A firması 100.000 TL. zarar edecektir. ; ‘ . : ' :

A firması afiş; B'firması da afiş ile reklâmlarını yaparlarsa, A firması 200.000 TL. kazanacaktır. . ’ . .

A firması için oyunun kazanç matrisini kuru-huz-'ve oyunun değerini sapta» yınız. .. ' -

Çözüm:

' Oyunun kazanç matrisi A oyuncusuna göre .değerler 1000 TL. cinsinden alı­nırsa :• .. •.

B firması

 firması

G azete ■ A fiş

G azete ' 100 ■ . § '

. A fiş - 100 . 00 '

olur. Diğer hesaplar okuyucuya bırakılmıştır. . . . - ■ •' ' '

33.8.2. Bir Oyunun Matrislerle Çözümü:

Bu yöntemin en basit uygulaması olan, eyer noktası olmıyan ve A oyuncusu na göre kazanç matrisi.

. ' . ' ■ ■ ' B

' 'Y İ ' " . Y2 -;;

aj ı - '.*12 ■ ■

• X 2 ■ ," 21 • . . . %2

olan, oyunun çözümünü bir örnekle gösterelim. Önce, matrislerle çözümde kulla nılan notasyonları açıklıyalım:

A ve B nin uygulayacakları stratejilerin frekansları:

I . adj A[X I, X2] =

Y İY2

I . adj A T

adj A ■ I ’I . adj A . I’

formüllerinden,

Oyunun değende

formüllerinden hesaplanın

Sembollerin anlamı:

al 1 12 a2 1 ■ a22 ' ■ ■ ' ■ .. ■ . ■ ■

A matrisinin determinantı, • ' ;A matrisinin adjoint matrisi,.1 matrisinin tranşpozu, - ' ; _Elemanları bir olan ve boyutu  matrisinin derecesine eşit olan yatay bir vektör. . ■" \

.örn ek (3}20):. ' . ; ' '■ ■ ' ' " - . : ' "• '

Eyer noktası olmayan bir-oyunun kazanç matrisi aşağıda verildiği gibi olsun. ‘

B oyuncusu

■J II- ‘ '

J ' ' 1 0 '

11 . , -1

İA| =adj A =

' T = ' . I *=

Bu oyunun stratejilerini ve oyunun değerini matris yöntemiyle hesaplayalım.

, Çözüm: ' ■.

r

L.âdjA- M, 1][Xı, Xa] I. adjA. I'

21

01

[ 1.2 + 1.1 1.0 + 1.1 ] [3 1 ]

t 1.2 + 1.1 İ.0 + 1.1] j~ ^ J [3 1]

[3 İ] [3 1]

3.1 + 1 .1

[X !,X 2] =3 1—— »---- 3 1

-» X, = .—— , x 2 = -—

YlV2

adjA Ti.a d jA . I ’ {1 1]

22

[ : g d ı

1 2 2/4"4 2 2/4

1 1Y l —---, Ya = —

Oyunun değeri:

İA I I. adjA. 1'

1-1

o2

-g =I I 1]

W 0 1 0

- = 1

olarak bulunur.

Örnek (3,21);

A oyuncusunıin kazanç matrisi (3x3) lük bir matris olsun. Buna göre matris yöntemiyle çözümünü bulalım.

n B Oy uncusu

A oyuncusu

Y, y 2 . Y 3 ; '

X, 2 0 3

•X2 ■ 2 5' • o

X. . -2 6 6

Çözümü:

A =

adjA =

2 0 2 5

-2 6

+

20

306

2 2 0 5 3 0

— I—

6 0 6 0 5— +6 3 6 3 0

-2 2 -2 2 2+ '—- -6 3 6 3 0

-2 2 -2 2 -2— +6 *' 0 6 0 5

-266

30 18 -12 18 22-12

IS6

10

I — [ 1 1]

fx l ,x 2,x 3]L adjA

I „ adJÂ. . S111 1 3[1 1 J

30 18 -156

22 -12 !iö

30 18 -15-12 18 - 6

22 -12 10

[1.30+ 1 (—12) + 1.22 1.18 + 1.18 + 1(-12) 1(—15)+ 1(-6) + 1.10][1.30 + 1 (-12)+ 1.22 1 18 + 1.18 + 1(-12) 1(-15) + 1(-6) + 1.10] 1

[40 24 1 ] [40 24 Î ][ x ltxAtx9 ) =

:lX.1>Xa>X3 ]

iki matrisin eşit olması demek, karşılıklı elemanların eşit olmasıdır. Bu nedenle;

[40 24 1] T1

[ 40(1) + 24(1) + (1) ]

[ 40 24 1]

1~40 24 1

65 65 65 65

X ı =40

X 2 =24

65 " 65

olarak bulunur. Şimdi Y ,, Y2 veY3'ü bulalım.

X365

Y,V2y 3

adj A . T

30 18 -15-12 18 6 1

î* 22 -12 10 1

l .adjA . I1 [1 1 1] 30 18 -15 1 "

-12 18 6 122 -12 10 1

i

33- 1/ - '/T)+ 6(1) 12

2 2 ('' - .s )+ 1 20

[ 40 24 1 J

-Yı 33

■65

.12 ,y 2 ~~ 65..

20 .y 3

65

65

Y ı =.3365

Y, = 1265

2065

I A !

2 0 32 5 6

-2 6 6

l.adjA.1* "■ -[1 . T ;' 1]-" ~ 30 18' '-15“ " 1 “—12 .. 18'. 6 1

_72-; —1.2 . 10_ 1

126= 1.9365

Bulunur.

Problem (3,22):

İki kumarbaz (A ve B) ceplerindeki 1 TL., 5 TL. ve10 TL. Iık markalarla ku­mar oynamaktadırlar. ■

Her ikisinin aynı anda çıkardığı niarkanın değerlerinin toplamı tek ise A, B nin çıkarmış olduğu markanın üzerindeki değer kadar B den para alacaktır.

Bu toplamın değeri çîft ise  nırı çıkardığı markanın değeri k; ayıB alacaktır» Oyun boyleee birçok kereler tekrarlanmaktadır.

' A ve' B; nln uygulayacağı en uygun stratejileri-ve oyunun değerini bulunuz, Kazanç matrisi jncusuna gire düzenleyiniz*

Çözüm: • ■

Oyunun kumarbaz A için kazanç matrisini kuralım:

Kumarbaz £

İ TL. 5 TL. 10 TL.

1 TL. - 1 - 1 + 10

5 TL. -5 -5 + 10

10 TL. - 1 + 5 - 10

Çözüm okuyucuya bırakılmıştır. ' • ..

: • 3.3.8.3. Bir -Oyunun Cebirsel Yöntemle Çözümü:?

-Cebirsel yöntemle oyunları çözebilmek için' denklem ve - eşitsizlikleri bira- -rada çözmek gerekir. Bunun için kazanç matrisi m x n boyutunda olan bir oyun düşünelim ve buna ilişkin eşitlik ve eşitsizlikleri yazalım.,

(1) X ı + X 2 + X3 + ..... + Xm = 1 Xi > 0(2) Y,- + Y 2 + Y3 + ..... + Yn = 1Y j> 0

(3) ai iX,;+a2j X 2 +„.„+amjXm>g ¡ = U , . , n^ aiı Y ı +ai2 Y 2 +-—+ain Yn <g ■ =1»2>..., ni

(3) nc lu eşitsizlik.(o) tane, (4) .notu eşitsizlikte (m) tane eşitsizliği ifade eder­ler. Biına göre, m + n; + 1 tane bilinmeyenimiz ve m + n + 2 tane de eşitlik veya .eşitsizliğimiz var demektir. Pek tabii ki, X[ ve Yy nln pozitif olma koşulunu da gozönünde. tutmamız gerekir. ^

Bir örnekle cebirsel yöntemin nasıl uygulandığını görelini:

'Örnek (3 23): ‘ .

Oyunun kazanç matrisi aşağıda verildiği gibi olsun:■ ■ " ' Boyuncusu

A oyuncusu

Y, y 2 v 3

. X, 3 3

x 2 1 -1 1

x3 —2 •2 2

—3

■ -1 •*- enkenb

—2 '

, : . . . 3 - -3 ■ 2; ■ ; . ' ■ ■ t.. . - ■

\ ■ . ■ . enbenk -

Oyunun, eyer, -noktası--yoktur.- Oyunun- değerini bulabilmek için karma stra­teji uygulamak gerekir. Biı nedenle: ' . ’ '

■ •. A oyuncusunun strateji vektörünü, XI (i — I, 2, 3) • ~ ,

:B'oyuocuşunuh strateji vektörünü, Yj.(| =-Î, 2,3) Ke gösterelim: - ■

Oyunun kazanç matrisini kullanarak Xi ve Yj arasındaki ilişkileri; .

X i ler için' ' Xi>0- İ İ- ÎA 3 J

■X, + 'X 2 + ■ x 3= 1

3Xı + X2 - 2X3> g3Xj — X 2 + -2X3> g.3X'f +• X ‘2 + 2Xı,> g

: Yjier için .. ..'Yj> 0 /■ 0 = 1,2,3]

Y j + Y 2+ Y3 = 1 3Y 1 + 3Y2— 3Y3 < g

' Y , - Y 2+ Y 3< g -2Yı + 2Y2+ 2Y3< g

eşitsizlikleri halinde yazabiliriz.

Çözümü yapabilmek için de bu eşitsizlikleri eşitlik sistemi halinde yazalım. [I ve II]. ■

1 la3Xj+ X 2 - t Ib

Ic~3Xı + X 2 + 2X3 = g İd

1 HaI IbI İ C

—2Y. + 2Y2+ 2Y3 = g lld

Iİ

Eşitsizliklerden de görüleceği üzere I ve II nolu denklem sisteminde denklemsayısı 8 bilinmeyen sayısı 7 (X 1( X2, X 3, Y ls Y 2, V 3, g) dir. O halde çözüm ya­pabiliriz.

II nolu denklem sisteminde II nolu eşitlikten Y ı değişkenini yalnız bıraka­lım: ' , 8 : :

; ■ , ■ Yl = 1 — y 2 — y 3 ; " . . '■

olur. Bu Y ı değerini diğer eşitlikte yerine koyacak olursak:

llb nolu eşitlikten

elde ederiz.

He nolu eşitlikten ise

1 - Y2. - Y3 - Y2 + Y3 == g-> 1 - 2 Y 2 = g

elde ederiz. Aynı biçimde

lld nolu eşitlikten ise

-1 + Y2 + Y , + Y 2 + Y4 = — -> -1 + 2Y2+ 2Y3 = —2 2

elde edilir.

Ilb ve He nolu eşitliklerden elde ettiğimiz.

2Y3 = 1- ve 2Y2 = 1- g

eşitliklerini, ■

yukarıda [Hd den elde edilen]

-1 4 2Y2+ 2Y3-= —2

eşitliğinde yerine koyarsak:

g g-1 + 1- — - + 1 - g = —r3 2

611 g = 6-> g= ----bulunur.

11

Şimdi de Yj değerlerini hesaplayalım: Bunun içinde lla, 11 , llc ve 11 eşitlik­lerinden elde edilen denklemlerde (g) nin değerini yazarak:

2Y2 = 1 — g ^ 2Y2= 1- 6/11 -+ Y 2 = 5/22,2Y3 = 1- g/3 -> 2Y3= 1- 6/33 -> Y3 = 9/22,

Yj == 1 — Y2 - Y 3 -* Y j = 1 - 9/22 - 5/22 -* Y a = 8/22

bulunur.

Xi değerlerini hesaplıyalım: Bunun için g'nin değerini eşitliklerde yerine ya­zalım.

X ı + X 2 + X3 = 1

eşitliğinden X 2 = 1 - X ı — X 3 elde ederiz. Bu X2 'nin değerini de 1 , lc, eşitlik­lerinde yerine koyarsak:

5lb eşitliğinden: 2Xı - 3X3 =—“

ic eşitliğinden: 417

eşitliklerini elde ederiz. Bu eşitliklerden X ı ve değerlerini X3 eşitliğinden de nin değerini buluruz.

Buna göre:

2 J 6

bulunur. Özetlersek:

Oyunun Çözümü:

A'nın stratejilerinin frekansları

BVtln stratejilerinin frekansları

Oyunun değeri;

- 6 ,rg- “-- dir­i l

Örnek (3 ,24);

Kazanç matrisi.B

olan bîr oyunun çözümünü cebirsel yöntemle .yapalım,

Oyunun kazanç matrisinden genel denklemleri elde edebilmek için eşitsiz­likleri yazalım:

Xj fer için Yj ter için

X t.+ X2 =1¿ * 1 - V i^ g 3Y2 - 2Y2« g

- 2 X ı + *X 2> g ™Y1 4 Y 2<g X j> 0 (i = i ,2) Yj > O (I .*? 1,2)

Eşitsizlikleri eşitlik olarak yazarsak, aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz.

-2X, + X 2=1 (1) Y, + Y2 = 1 (4)3 X , - X 2 =g (2) 3Yj -2Y2=g (5)

Xi + 4X2 = g (3) -Y, +4Y2=g (6)

■ Görüleceği üzere burada 5 bilinmeyen [ X ı , X 2, Y ı , Y 2 # g ] ve 6 tane denk­lem vardır.

(1) ve (2) nolu denklemlerden X2 ve Y2 değerlerini yalnız bırakarak (3), (4),(5) nolu denklemlerde yerlerine’koyarsak.

X 2 =1 - X ı veY2 = 1 — Yî olun .

3Xı — (1 - X ı )= g eşitliğinden 4X ı'— g = 1 -2Xı + 4(1 - X ı)= g eşitliğinden ~6Xı — g = —4

3 Y ı~ 2(1 ~ Y ı)= g eşitliğinden 5Yj - g= 2

elde edilir. Bulduğumuz bu 3 bilinmeyenli 3 denklemden X j» Yı ve g yi çözer- sek: '

bulunur. Bulunan, bu değerleri,

X 2 = 1 — Xj ve Y 2 ; = 1- Y ı

denklemlerinde yerine yazar ¥e gerekil İşlemleri yaparsak:

.X2 =1

v. -1 ' 5

bulunur*

Buna göre bulunan çizim :

Bfnin strateji vektörü (-

2

3

2

2

ve;

Oyunun değeri g = 1 • /

olarak bulunun

Çizim için bulduğumuz değerler aynı zamanda Xj ve Yj 'ferin pozitif olma koşulunu sağlamaktadır. Bu koşul, sağlanniasaydı başka beşli denklem-grubu alı- narak çözülür ve verilen koşullar sağlanıncaya kadar işlemlere devam edilir.

Problem (3,25) .

Aşağıda A oyuncusunun kazanç matrisi'verilmiştir. Cebirsel yöntemle çözü­münü yapınız.

B Oy uncusu

A Oyuncusu

Yı . y 2 y 3

X 12 0 3

X 2 2 5 0

x3 -2 6 6

Aşağım %> vuncusumın kazanç matrisi verilmiştir. Cebirsel yöntemle çözü­münü yapınız,

B Oyuncusu

Problem-(3,26) :

A OyuncusuXi

1

“ 5 10

10

3.3.8.4. Grafiksel Çözüm:Grafiksel çözüm uygulamada boyutları (m x 2) veya (n x 2) olan oyunlara

uygulanır. Bazı yazarlar, grafiksel çözümü (3 x 3) lük oyunlara uygulamakla bera­ber, üç boyutlu uzayda geometrik olarak gösterilmesi yani resmedilmesi zor ol­duğundan uygulamada pek kullanılmaz.

Bir oyunun’ grafiğinde dikey eksenler X ı (veya Y ı ), X 2 .{veya Y 2) değiş» kenlerihin katsayılarını, yatay eksende p (veya q) nin olasılık değerlerini gösterir. Yatay eksen, olasılığın özelliğinden dolayı -0 dan Ve kadar ölçekienîr» Ayrıca, oyunun değerini saptamak için dikey eksenlere parelel ve ayni ölçekli bîr doğru daha çizilir. . * . •

Aşağıdaki şekilde oyun grafiğinde yeralan eksenlerin ölçeklenmesîne bir ör­nek görülmektedir. X 1- :Y 1 g

x, ;V 26 . 6 65 ■ . 5. ' ’ •- 54 . 4 43 - 3 32 , 2 - 21 1

■ ■ û1

0- i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 u-1

' u -1

-2 -2 -2-3 -3 -3-4 ■ —4 - -4-5 » . - .-5 -5-6 . -6 —6

Bu kısımda biz daha çok 2X2 ilk oyunların çözümü için grafiksel yöntemi göstereceğiz, Aslında grafiksel çözüm, cebirsel çözümün grafikle gösteri mi n den baş­ka bir şey değildir,

örnek (3,27);

Problemimiz 2x2 Sik bîr oyun matrisi olsun.

A Oyuncusu

B Oyuncusu

Yt Y2

X x 8 S

x 2 4 6

■ Çözüm; .

Grafik çözümüne başlamadan önce, cebirsel yöntemle yapıldığı gibi île Yj ye ilişkin eşitsizlikleri yazarız:

A oyuncusu için

B oyuncusu İçin

8X j + 4X2 > g5X,+ 6X2> g

8Yı+ 5Y2< g 4Y ı + 6Y2 < g

Bu-eşitsizlikler, eşitlik halinde düşünülür:

' fA oyuncusu İçin

8X ı +' 4X2 = g 5Xj+ 6X2= g

8Y,+ 5Y2 = g 4Yi + 6Ya = g

B oyuncusu için

Böyİece dört tane doğru denklemi elde edilir:

(D00

(III)(iv)

1 nolu denklemi ele alalım:

s; 2 = g

Söz konusu katsa in) ve 4 (X 2*nin), dikey eksenlerde işaretlenirve birleştirilir, Benzer biçimde: . ...

11 nolu denklemin katsayıları ise,

5Xı + 6X2 = g .

■ 5 (X ı fîn), 6 fX 2?rıIn) katsayılarıdır. Bunlar da dîkey eksen üzerinde işaretle­nip birleştirilir.

Bu iki doğrunun kesiştiği noktadan yatay eksenle, dikey eksenlere paralel olan yandaki doğruya dikme çizilir. Dikmelerin yatay eksenle kesiştiği noktaP, yandaki eksenle kesiştiği nokta g değerini verir.

A oyuncusu için:

X g

■9876

.. 9 .- 8

9§76

54

3

54321

;■ 5,- 4 •• 3 »■2 2

11

§ o.1 . .2 3 „4 .5 ,6 J .8 .9 1

Grafikten:

P1 = <

olarak bulunur,-Bu sonuçlara göre; . ■

 oyuocusuoyn strateji vektörü;

p (0.4, o .ı) ' ■'

B oyuncusu İçin de benzer işlemler aynen yapılır® İlk önce, dîkey eksenler özerinde fterblr denklem îçln [İli ve IV nolu denklemler] gerekil işaretleme yapı­lır ve birleştirilir. Kesiştikleri noktadan çizilen dikmenin yatay ekseni ve yanda­ki doğruyu kestiği noktalar q ve g değerini verir. ' -

Yı ‘ g

y 2 . - ' ’ '

1 . 2 . 3 . 4 . 5* 6 . 7 . 8 . 9

Grafikten: ■

q* — 0.2, q2 = 0.8 ve g = 5.6 olarak- hesaplanır. Buna göre B oyuncusunun strateji vektörü q (0*2,0.8) olur. ■

Her iki; oyuncu için ayrı ayrı grafik çizmeğe gerek yoktur. Grafiği daha-da 'basitleştirmek.için, oyunun kazanç'matrisinde karşılıklı elemanları dikey eksen­ler üzerinde İşaretlenir ¥e birleştirilir. Kesiştikleri noktalardan. yatay eksene, ve yandaki 'doğruya çizilen dikmenin efe bunlarla olan kesişme noktaları aranan de­ğerleri verir. ' , - . -

'Aynı örneğimizi ele alacak olursak: ' -

X2 Y2 X i Y j

■ 98-/

_6.5'4■3 .210

-1

Sonuç:, . - ■-/, . . ,

Pı = 0.4, p2 .=. 0.6 -t p (0:4,0.6); : ■ qj = 0.2, ■’ q2 = 0.8;-*q(0.2, 0.8)

■ . g > : 5.6;olarak bulunur. ; . . ,

Örnek (3,28):

Kazanç Matrisi,

B Oyuncusu

A Oyuncusu

Yi Yi

Xı 3 —2

x2 -1 4

olan bir oyunun, oyun değerini ve stratejilerin frekanslarının değerlerini grafik­se! yöntemle hesaplayınız.

Çözüm:

' ' Bu çözümde her iki oyuncu için ayrı ayri grafik' çizmeden, tek bir grafikle çözümü yapacağız. .

Bîr önceki örnekte yaptığımız gibi oyuna ilişkin eşitsizlikleri yazacağız ve on­ları eşitlik haline getirdikten sonra denklemlerin doğrularını çizeceğiz. .

A oyuncusu için3 X l r X 2 > g

-2Xı+ 4X2> g

B oyuncusu için3Y ı — 2Y2 < g —Y 1 + 4Y2< g

Bu eşitsizlikleri eşitlik hafine dönüştürdükten sonra dik eksenler üzerindeki işa­retlemeleri yaparak p, q veg nin değerin! bulalım.

3Xı+ X2= g I.-2Xı+ 4X2 = g II.3Yl - 2Y2 = g III.-Yi + 4Y2 = g IV.

Xi : Y j

432

i 1

Pı = 0*5, - p2 = 0.5, g= 1 ,• . . q ı> 0.6, ■ q2 = 0.4,- g = . 1

olarak grafikten okunur. Bu sonuçlar, daha önce-elde ettiğimiz matris yoluyla bu­lunan değerlere eşittir. ' •

■. ■ Problem (3,29): ' . ' / . / ■ '

Kazanç.matrisi: - . " '

B Oyuncusu

A Oyuncusu

Yı y 2

' X , 1 -1/2

x 2 : “ 1/2 0

olan oyunun çözümünü grafiksel .yöntemle bulunuz.?

3*3.8. nun Doğrusal Programlamayla Çözümü:

Oyun isi problemleriyle, Doğrusal Programlama problemlerinin mate­matiksel yapılan arasında Bir fark olmadığından oyunlar teorisi problemleri, doğ­rusal programlama problemlerine çevrilip simpîeks yöntemiyle çözülebilir [Houl- den 1962; Karakoyunju, 1973]»

Çözümü - bîr örnekle göstermeye çalışacağız. Bunun içinde kazanç matrisi aşağıda gösterildiği gibi plan bir oyunu ele alalım [Karaveüoğlu, 1967].,

B Oyuncusu

A Oyuncusu

Stra. i Jf 111

i 1 ■ 1

II ' 2 / ' " ~~2 ■ ■ , '■ 2

'■ 111 , ■ 3 - ‘ 3 - 3

. Oyunun kazanç matrisinin her satırının enküçükleri arasından enbiyik değe­ri ve sonra her sütunun ehbüyükleri arasından enküçük değeri saptarız. .

' ': B ' ' • .. :• ' - .

- Stra : . . 1. ' Jl '■ . III ’

' 1 ; ' -1 ' . ı . 1. ■

1i ' ■■ ' ' 2 - ' -2 ' 2 ■

-111 3 .. ‘3- - ~3 . -

<~Enkenh.

-2 '

~3 : ■

3 ' :3. ■ • 2. . .. ’ . • f . . ■ • ... .

..Enberin ■

Oyunun değeri enbOyliklerinesıkıiçüğü olan 2 ile. enküçüklerinenbüyüğü olan -1 arasında olacaktır. . •

Oyunun 'değerinin pozitif olmasını sağlamak, için, oyunun kazanç matrisini, oluşturan elemanlarına negatif değerli.elemanlar arasından mutlak'değerce en bü­yük olanın bir fazlası.{örneğimizde + 4) eklenir. :

Bu değişikliği yapmak . - _ -- yuncularının kullanacakları eniyi strateji­ler değişmez. Oyunun kazanç matrisi yeni değişikliklerle şu biçime girer:

B Oyuncusu

A Oyuncusu

. Y t y 2 • • y 3

■ X, 5 ;

; x2 . ■ .. 6 2 - 6 . ■

■x3 7 ■ 7 ■ ■ ■ • 1

Yeni oyun matrisimizin oyun değerine G dersek ve orijinal halindeki oyunun değerini de g ile gösterirsek, yapmış olduğumuz değişiklik nedeniyle G = g + 4 olur.

Cebirsel çözümde oluşturduğumuz denklem ve eşitsizlikleri bu oyun matrisi içinde oluşturursak;

X ı+ X2 + X3 =■ 13Xr + 6X2+ 7Xî > G5Xı + 2X2+ 7X3 >.G5Xı + 6X%+ X3 > G

XpO i=l,2,3

II

Yj + Y 2+ Y3= 1 3Yı+ 5Y2 + 5Y3< G ÖYj -f 2Yj+ 6Y3 < G 7Yı+ 7Y2+ Y3< G

Y> 0 J=1,2,3

Genel çözüm için II nci grubu ele alalım ve yr = — İ- olsun.' . 1 G

II nolu eşitlik ve eşitsizliklerin her iki tarafını G ye bölersek aşağidaki eşitlik ve eşitsizlikler grubunu elde ederiz.

Y i Y 2Ğ + G +

1yi + y2 +Y3 ~

1

-V, y 2 y 3 gg _____ 4. 2 — — + 6 - ■ < — - 6y, + 2y2 + 6y3 < 1

Y , Y 2 Y 3 G3 ,-ğ— + 5-^— + 5-— < 3y, + 5y2 + 5y3 < .1

Ya -i ' G ■ • ■ -7 T " + 7 ^ + 7y, + 7y; + y, « 1

elde ederiz. ' ■ .■ ' \ ' 1

i oyuncuso için-oyunun asıl ama? j en küçük ya >* en buy Okyapmaktır, ' . ■ . ^

Böylece problemimiz aşağıda gösterildiği gibi, doğrusal programlama prob­leminin alışılagelen biçimine dönüştürülmüş olur: •

. Amaç fonksiyonu: ■

Fenb “ Yi + Y2 + y3 = 1/G

Kısıtlayıcılar:

3yı + 5y2 + 5y3 < 16yı + 2y2 + 6y3 < 17yı + 7y2 + y3 < 1

Pozitif kısıtlama:

Vj> 0>(j = 1,2,3) .

Şimdi simpleks yöntemiyle bu doğrusal programlama problemini çözelim:

Eşitsizlikleri eşitlik haline getirmek için artık değişkenler kullanılır:

3yı + 5y2 + 5y3 + p = 1 :6y1 + 2y2 + 6y3 + q = 17yı + 7y2 + y3 + r = 1F = yi + y2 + y3 + 0p+ 0q+ Or olur, enb ■

Sîmpieks tablosunu kuralım.

T. D. V. yı ¥2 Vb P q r zumVektörü

p 3 5 S 1 0 0 .1. q 6 2 6 ■0' 1 . 1 ■

r 7 ■ 7 1 0 0 .1

F 1 1 0 0 0

tA.K

■ Burada anahtar sütunu saptamakta bozulma durumuyla karşı karşıya kalın­dığından daha önce gösterildiği gibi her üç sütunu, da denememiz gerekecektir.

y ı ___‘ Y2 . , ■ . ya. ■- ■ ' .1/3 =0.333 ' . . 1/5 = 0.200 1/5 = 0.200

■ ; 1-/6 = 0.166;- * . 1/2 = 0.500 ' : .1/6 =0,1661/7 = 0.142 1/7=0.142 1/1 =1.000. ' ..

Enküçük değer 0.142 hem yı hemde y2 sütun elemanlarınca elde edildiğinden busefer yi ve y2 sütun elemanlarına birim matrisin ilk sütun elemanları oranlanarak enküçük değer (1/5) y2 sütunu için bulunur. Dolayısı ile anahtar sütun olarak ya kabul edilir. - ; . >• '

Anahtar satır ise r nin bulunduğu satırdır. ' ' • -y2 (r) ; ' .. V- : • ■

7/7 7/7 1/7 0/7 0/7 1/7 1/7.

• 1 1 V7 , Û 0 1/7 ' 1/7 - . ;

q P F

3— 5(1) — —2 1- 1(1) =05-5(1) = 0 1- 1(1) = 05- 5(1/7) = 30/7 .1— 1(1/7) = +6/71- 5(0) = 1 0-1 (0 ) = 0

6-2(1 ) = 4 2-2 (1 ) - 0 6- 2(1/7) = 40/7 0-2 (0 ) = 0

- ; - - o- 5 (0) = o0 — 2(1/7) = —2/7 '1- J -o ' -

oyu oluşturursak:

T.D.V. - Yi f 3 P q r ÇözümVektörü

P —2 0 30/7 1 0 -5/7 2/7

q 4 0 40/7 0 -1 -2/7 sn

V2 1 1 1/7 0 0 1/7 1/7

F 0 0 6/7 0 0 -1/7 -1/î

+A.K.

Anahtar sütun: y3 sütunu; Anahtar satır: p satırı:

y'3 İP İ - . . _

-2 0 30/7 1 0 -5/7 2/7 30/7 30/7 30/7 30/7 30/7’ 30/7 30/7

-7/15 0 . 1 7/30 0 —1/6 1/15

__________ q • : Y i.4 - 40/7 (—7/15) = 20/3 1 - 1/7 (-7/15) = 16/15 0 - 4 0 / 7 ( 0 ) = 0 1 - 1/7(0) =1

40/7 - 40/7 (1 ) = 0 1/7 - 1/7 (1 ) = 0 0 - 40/7 ( 7/30 ) =-4/3 0 - 1/7 ( 7/30 ) = -1/30

1 - 40/7 (0 ) = 1 . 0 - 1/7(0) = 0

+ > . - ,/21 1/7 - : ' : ' - < ) = 7/42^ - 1/7 — /105

F

O - 6/7 ( 0 ) = 0

o/7— 6/7 { i ) = i)0 ~ 6/ - ( ^ JC î - 0- 6/7 (0 ) = 0

-1/7- 6/7 ( -1/6 ) = 0 —1/7— 6/7 ( 1/15 )= -7/35

Değerleri tabloda yerine koyacak olursak. Yeni tablomuz şöyle olur.

T.D.V. y ı . y 2 y 3 p r ÇözümVektörü

V3 -7/15 0 1 7/30 0 -1/6 1/15

q 20/3 0 0 -4/3 1 2/3 1/3

Yl 16/15 1 0 -1/30 0 7/42 2/15

F 2/5 0 0 -1/5 0 0 -7/35

+A.K

Anahtar sütun: y ı sütunu; Anahtar satır: q satırı

yı (<ı)-'

20/3 0 0 —4/3 1 2/3 1/320/3 20/3 20/3 20/3 20/3 20/3 20/3

1 0 0 -1/5 3/20 1/10 1/20

Y3 y 2

-7/15 - (-7/15) ( 1 ) = 0 16/15 — 16/15 ( 1 ) = 0/ . > - 1 - 16/T -> ’ 1

- , .. = 1 j, . iS,j .

- -; -r. --- "oO , -v 16/T' • ''50„ - ’ • , - i; . - .0) = -4/25

-1/6 -- 5;,' ’ 0) = -18/2: /,42 - .16/.'.' ; J , '» - -s ^ -/)S - ( -/!^ \! '2ü) =9/100 H İS - Jb/S5 n/20) = 2/25

' _ _ _ _ _ _ _ F '. 2/5 - 2/5 ( i ) = 0

0 - 2/5 (0 ) = 0 0 - 2/5 (0 ) = 0

—1/5 - 2/5 (—1/5) = -3/250 - 2/5 (3/20) = -3/50 0-2/5(1/10) = —1/25

—7/35 — 2/5 (1/20) = —11/50

Yeni değerleri slm.pîeks;,tablosunda yerlerine yazarsak: , :

.t .d '.v . Y, . V 2. ' Y3 V p - q f : ÇözümVektörü

y 3 - 0 ., 0 -■■1 7/50 7 / 1 0 0 ' -18/25 9/100

yi ■i 0 ' 0 “ 1/5 - ; 3/20 • 1/10 1/20

y2 0 ■ 1 : 0 9/50 . —4/25 —1/10 2/25

’ p ■ 0 - 0 0 —3/25 -3/50 - . -1/25 —11/50

Son tabloda F satırının eleman fan negatif ve sıfır olduğundan çözüme ulaşıl­mıştır. Buna göre çözüm:

1 2 9 1 1

Şimdi, bu yardımcı değerlerden asıl değerlerimizi bulalım.

eğeri yerine konursa:- -*0/ . duğu hatırlanırsa

- - . - 6/11 bulunur. ,

Y îDiğer yandan y, — — J— olarak tanımlanmıştı, y; değerleri

G

Yj = yj G'de yerine konursa;; 1 50 5

Y ı = y, G -» Y , =

Y 2 = y2G

Y3 = y3 G ->■ Y3 =

20 11 22

2 50 " 425 11 11

9 50 ' 9100 11 22

değerlerini buluruz. Bunlar B oyuncusunun stratejilerinin frekanslarıdır:

' 5 4 9 ■ -B ( — , ---- ) '

22 11 22

Bulunan g nin değeri diğer gruptaki (yani I tıci gruptaki) yerine konarak çö­züm yapılırsa X; (i = 1,2,3) ler için şu değerler bulunur:

X ı = 6/11 , X2 = 3/11 ve X3 = 2/11

Buna göre A oyuncusunun stratejilerinin frekansları:

6 3 2A — )

11 11 n

olur.

Oyunun çözümünü toplu olarak görmek istersek:

g= 6/11 -

5 9. --- -- *' 11 ■ ‘ -22

dîr. ; ' ' . ■ .

33.8.6« İterasyoîila Çözüm ■ . . .

Oyunun..eyer noktası olmadığı zaman çözüm yollarından biri de IterasyonSa çözümdür. ,

- İterasyonla çözümde, ana prensip her oyuncunun, geçmişin geleceğe eniyi örnek olacağı görüşünden hareketle kazancını enbüyük (maksimum) ya da zara­rını enküçük (minimum) yapmağa çalışmaktır.

îterasyonla çözümde aşağıdaki yol takip edilir. .

— Oyunun kazanç matrisinden bir satır seçilir ve bu satır kazanç matrisin altına yazılır. s ■ .

— Kazanç matrisin altına yazılan bu satırdaki elemanlardan enküçük.'(mini­mum) olanı daire içine alınır ve bu elemanın .bulunduğu kolonun elemanları (Ka­zanç matrisindeki) matrisin sağ tarafına yazılır.

~ Matrisin sağ tarafına yazılan kolondaki elemanların enbüyüğü (maksimu­mu) daire içine alınır ve bulunduğu satırdaki elemanlar, kazanç matrisin altına yazmış olduğumuz satır elemanlarıyla toplanarak, tekrar kazanç matrisin altına yazılır. -

. — Toplanarak yazılan bu satırdaki elemanlardan en küçüğü tekrar daire içine alınır ve bulunduğu..kolondaki elemanlar matrisin sağ tarafına yazılan kolondaki elemanlarla toplanarak tekrar matrisin sağ tarafına yazılır.

~ Bulduğumuz yeni kolondaki elemanların enbüyüğü tekrar daire içine alınır ve kazanç matrisin altına yazılan satır elemanlarıyla toplanarak tekrar matrisin' altına yazılır, ve böyleçe devam edilir. Tabi, istenilen iterasyon sayısına kadar. -

— Kolon ve satırdaki elemanların birbirine eşitliği durumunda bir önceki sa­tır ya da sütuna (kolona) bakılır. Eşit'elemanlardan'yeniden bir önceki kolon ya

da satır seçilmesini gerektirenler atılır, geri kalan kolon elemanları arasından kura çekilir. .

- Yaklaşık stratejiler, kolonlardaki en büyük ve satırlardaki enküçiîk değer­

letin sayısı iterasyon sayısına bölünerek bulunur.unun alt ve,üst sınır değerleri en son kolondaki enbüytik eleman ile

son satırdaki enküçük-elemart tekrarlama sayısına bölünerek elde edilir, ■- Örnek: (3>30):

Oyuncunuzun kazanç matrisi aşağıda verildiği gibi olsun.' • \ . . ■ ■ ' ' B

Y t y 2 v 3

' Xı ■ 0 —3 3 .

x2 .6 5 —4

. x 3. . 3- ' ' • ' ' ' 4 -5

İterasyonfa, oyunun değerini hesaplıya!im.

0 3 .3

6 5 : .—4.

3 -4 -5:

(D

-4

—5

(6) d ) 0 3

-8 -3 . (2) -2

-10 -6 -2 -7

0

©

-3

(D o (D o

-1 © 0 (D

—8 -4 -9 -5

6 5

6 2 0

6 © 2

6 @ 5

12 1 (T )

0 0 4

6 3 ®6 (o) 3

10 Ö\

A nıayaklaşık stratejisi6- 4 0.

( : 10- .10 10

B nin yaklaşık stratejisi. ' 0 5 , ' 5

10 10

Oyunun değeri.

10

■ 2 . : : 5 vV 10 . ■ 10

olarak bulunur.