Apuntes derivadas implicitas
-
Upload
angel-cava -
Category
Documents
-
view
2.158 -
download
0
Transcript of Apuntes derivadas implicitas
CÁLCULO D IFERENCIAL
CCuuaaddeerrnnoo ddee AAppuunntteess
AApprreennddeemm@@ss
SSoobbrree::
DDeerriivvaaddaass IImmppllíícciittaass
IInngg.. MMiigguueell AAnnggeell CCaarrrriilllloo VVaalleennzzuueellaa
CÁLCULO D IFERENCIAL
DDeerriivvaaddaass iimmppllíícciittaass
EEss aaqquuééllllaa qquuee ssee oobbttiieennee ddee uunnaa eeccuuaacciióónn qquuee nnoo ttiieennee nniinngguunnaa vvaarriiaabbllee
ddeessppeejjaaddaa..
EEjjeemmpplloo ddee uunnaa eecc.. iimmppllíícciittaa xx22 ++ yy
22 == 55yy
EEjjeemmpplloo ddee uunnaa eeccuuaacciióónn eexxppllíícciittaa yy == xx22 ++ 55xx
AA eessttaa eeccuuaacciióónn nnoo ddeessppeejjaaddaa ssee llee aapplliiccaann llaass ffóórrmmuullaass ddee llaa ddeerriivvaaddaa ttaannttoo eenn
llaa ppaarrttee iizzqquuiieerrddaa ccoommoo eenn llaa ppaarrttee ddeerreecchhaa ddee llaa eeccuuaacciióónn.. AAll tteerrmmiinnaarr ddee
aapplliiccaarr ffóórrmmuullaass ddeebbee qquueeddaarr ddyy//ddxx eenn aallggúúnn lluuggaarr ((ppuueeddee qquueeddaarr uunnoo oo vvaarriiooss
ddyy//ddxx))..
EEssttee ttéérrmmiinnoo ddyy//ddxx ssee ccaammbbiiaa ppoorr uunnaa mm ((ppeennddiieennttee)) yy ssee ddeessppeejjaa ppaarraa oobbtteenneerr
llaa ddeerriivvaaddaa ddee llaa eeccuuaacciióónn..
EEjjeemmpplloo 11 OObbtteenneerr llaa ddeerriivvaaddaa ddee sseenn((yy)) == eexx
dd((sseenn((yy)) == dd((eexx))
ddxx ddxx
FFóórrmmuullaa ddee llaa ppaarrttee iizzqquuiieerrddaa
dd((SSeenn((vv)))) == CCooss((vv)) ddvv
ddxx ddxx
FFóórrmmuullaa ddee llaa ppaarrttee ddeerreecchhaa
dd((eevv)) == ee
vvddvv
ddxx ddxx
SSuussttiittuuyyeennddoo eenn aammbbaass ppaarrtteess
ccooss((yy)) ddyy == eexx ddxx
ddxx ddxx
CCoollooccaannddoo mm eenn lluuggaarr ddee ddyy//ddxx
ccooss((yy)) mm == eexx
DDeessppeejjaannddoo mm
ddyy == mm == eexx ..
ddxx ccooss((yy))
EEjjeemmpplloo 22 OObbtteenneerr llaa ddeerriivvaaddaa ddee xxyy == eexxyy
dd((xxyy)) == dd((eexxyy
))
ddxx ddxx
dd((uuvv)) == uudd((vv)) ++ vvdd((uu)) dd((eevv)) == ee
vv dd((vv))
ddxx ddxx ddxx ddxx ddxx
uu == xx vv == xx
vv == yy
xx ddyy ++ yy ddxx == eexxyy
dd((xxyy))
ddxx ddxx ddxx
xx ddyy ++ yy ddxx == eexxyy
((xx ddyy ++ yy ddxx))
ddxx ddxx ddxx ddxx
xxmm ++ yy == eexxyy
((xxmm ++ yy))
xxmm ++ yy == eexxyy
xxmm ++ eexxyy
yy
xxmm –– eexxyy
xxmm == eexxyy
yy –– yy
mm((xx –– eexxyy
)) == eexxyy
yy -- yy
mm == eexxyy
yy –– yy
xx -- eexxyy
Ejercicios para hacer en Casa
Despejar la m de las siguientes ecuaciones
1. exy – ln(x / y2) = Sen(x2y)
2. 5x/y – Arctg(x2y) = Csc(xy2)
CÁLCULO D IFERENCIAL
RReeggllaa ddee llaa ccaaddeennaa
EEssttee eess uunn mmééttooddoo qquuee nnooss ppeerrmmiittee oobbtteenneerr uunnaa ddeerriivvaaddaa aa ppaarrttiirr ddee ddooss
eeccuuaacciioonneess..
EEjjeemmpplloo
11.. OObbtteenneerr llaa ddeerriivvaaddaa ddyy // ddxx ssii tteenneemmooss ccoommoo eeccuuaacciioonneess yy == uu22 uu== SSeenn((xx))
DDeebbiiddoo aa qquuee llaa ddeerriivvaaddaa qquuee ssee ppiiddee eess ddyy//ddxx yy uunnaa vvaarriiaabbllee ((yy)) ddee eellllaass eessttáá eenn
uunnaa eeccuuaacciióónn yy llaa oottrraa vvaarriiaabbllee ((xx)) eessttáá eenn oottrraa eeccuuaacciióónn,, tteenneemmooss qquuee uussaarr llaa
rreeggllaa ddee llaa ccaaddeennaa ppaarraa oobbtteenneerr eell rreessuullttaaddoo..
PPrriimmeerraammeennttee ssee ddeerriivvaa uunnaa eeccuuaacciióónn ppaarraa oobbtteenneerr ddyy // dduu
ddyy == dd((uu22)) == ddyy == 22uu
dduu dduu dduu
TTaammbbiiéénn ssee ddeerriivvaa llaa oottrraa eeccuuaacciióónn
dduu == dd((SSeenn((xx)))) == dduu == CCooss((xx))
ddxx ddxx ddxx
PPaarraa oobbtteenneerr ddyy // ddxx ssee mmuullttiipplliiccaann llaass ddooss ddeerriivvaaddaass aanntteerriioorreess yy ssee iigguuaallaann aa llaa
mmuullttiipplliiccaacciióónn ddee ssuuss rreessuullttaaddooss..
ddyy .. dduu == 22uu CCooss((xx))
dduu ddxx
SSee eelliimmiinnaann llooss dduu yy ssoolloo qquueeddaa ddyy//ddxx ==22uu CCooss((xx))
CCoommoo ssee ssaabbee qquuee uu == SSeenn((xx))
SSee ssuussttiittuuyyee ppaarraa oobbtteenneerr eell rreessuullttaaddoo ffiinnaall
ddyy//ddxx == 22 SSeenn((xx)) CCooss((xx))
Ejercicios para hacer en Casa
Obtener dy/dx y dx/dy de las siguientes problemas
1. y = esen(u) u = Arctg(3 / x2 )
2. x = 3ln(u) u = Ctg(3y2 )
3. y = elog(2u) u = ln( 3 /Sen(x2 ) )
CÁLCULO D IFERENCIAL
DDeerriivvaaddaass SSuucceessiivvaass
SSee llllaammaa ddeerriivvaaddaass ssuucceessiivvaass aa aaqquuééllllaass qquuee ssee ggeenneerraann aa ppaarrttiirr ddee uunnaa
eexxpprreessiióónn ddiiffeerreenncciiaall,, eess ddeecciirr ddeerriivvaarr lloo qquuee yyaa eessttáá ddeerriivvaaddoo..
EEjjeemmpplloo
11.. OObbtteenneerr llaa sseegguunnddaa ddeerriivvaaddaa ddee yy == xx33
PPrriimmeerraa ddeerriivvaaddaa
ddyy //ddxx == dd ((xx33)) // ddxx eemmpplleeaannddoo llaa ffóórrmmuullaa dd((vv
nn)) == nnvv
nn--11ddvv
ssee oobbttiieennee qquuee ddyy // ddxx == 33xx22
SSeegguunnddaa ddeerriivvaaddaa
AAhhoorraa llaa eexxpprreessiióónn eess 33xx22
yy ssoobbrree ééssttaa ssee aapplliiccaann ffóórrmmuullaass ddee ddeerriivvaacciióónn
ddyy22 // dd22xx == 33 dd ((xx22)) // ddxx ddyy22 // dd22xx == 66xx
AAssíí ssoonn llaass ddeerriivvaaddaass ssuucceessiivvaass,, nnooss ppeerrmmiitteenn oobbtteenneerr uunn nnuueevvoo rreessuullttaaddoo
ddeerriivvaannddoo eell rreessuullttaaddoo ddee llaa ddeerriivvaaddaa aanntteerriioorr
Ejercicios para hacer en Casa
Obtener la tercera derivada de los siguientes problemas
1. y = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 3x – 6
2. y = Sen4 (x) – x3
3. y = e2x – ln(x3)
4. y = 3x + 3x5
CÁLCULO D IFERENCIAL