INTRODUCCIN EnlaasignaturadeIngenieradeSistemasqueseimparteenel5.SemestredelaLicenciaturaen IngenieraCivil,seconsideranparasuestudiodossecciones:unaquecorrespondealosmodelos determinsticos (en el programa actual corresponde a la asignaturaIngeniera de Sistemas y se cursa en el 6.semestre)yotracorrespondientealosmodelosestocsticosoprobabilsticos(enelprogramaactual corresponde a la asignatura Teora de Decisiones y se cursa en el 7. Semestre). Estos apuntesfueron elaborados para servir de textoen la asignatura ysucontenido se orienta a modelos probabilsticos que son ms frecuentes de aplicar en sistemas reales de la ingeniera civil. En el captulo 1, llamado Sntesis de Probabilidad, se hace un resumen de las herramientas de la probabilidad y Estadstica que constituyen un apoyo para la comprensin de las tcnicas que se estudian posteriormente. El captulo 2; denominado como Anlisis de Decisin se enfoca al estudio de los criterios ms conocidos para la toma de decisiones, que incluye el anlisis bajo completa incertidumbre y el anlisis bajo riesgo.

En el captulo 3 se estudia la metodologa de Lneas de Espera que es de utilidad en el modelado de diversas situaciones que se observan con frecuencia en el mundo real y que pueden ser descritas mediante la tcnica. Finalmente,enelcaptulo4,deSimulacin,estenfocadoalosmtodosdeMontecarlo,tambinllamado muestreoaleatorio,elcualconstituyeunagranherramientaparasimularmuchosprocesosdelaingeniera cuya operacin depende del comportamiento de variables aleatorias. Seincluyealfinaldeloscaptulos,unanexoconvariastablasdeestadsticaquesirvendeapoyoenel desarrollo de los temas. 1 1 SNTESIS DE PROBABILIDAD Son varios los vocablos que se reconocen como antecedentes del trmino estadstica. Se pueden nombrar los siguientes: Statistik, que proviene de la palabra Italiana statista, que significa estadista. Status, (latn), que significa posicin, situacin o estado.Staat (alemn), que se refiere al estado como unidad poltica superior. Statera (griego), que significa balanza. Laraznquemotivalhombrearegistrardatosconpropsitosestadsticos,talvezseencuentreensu necesidad, casi instintiva,de anotar aquellos hechosque aparecen comovivencias sociales transcendentes: crecimientodepoblaciones,disposicionesdelalimento,fenmenosnaturales,etc.Coneldesarrollodelas civilizaciones,laestadsticapuedepensarsecomounaaritmticaestatalparaasistiralosgobernantesque necesitaban conocer la riqueza de sus sbditos para as recaudar impuestos o presupuestar la guerra. 1.1 DefinicionesDato Nmero o medida que se obtiene de observaciones de una variable.Variable Es toda cualidad o caracterstica que toma valores diferentes en distintos objetos. Variable aleatoriaEs aquella variable que toma valores de algn proceso al azar. Variable aleatoria continuaEs la variable aleatoria que puede tomar cualquier valor de un intervalo o dominio.Variable aleatoria discreta Es la variable que slo puede tomar valores de un conjunto numerable. Estadstica Ciencia cuyos propsitos son la extraccin de datos y su uso en la realizacinde inferencias acerca de una poblacin, de la cual dichos datos fueron extrados. Estadstica descriptivaEs la que trata con la descripcin numrica o grfica de un conjunto de datos. Estadstica inferencial Eslaquetrataconlaformulacindeconclusiones,estimacionesogeneralizacionesacercadeparmetros poblacionales, con base en la estadstica descriptiva realizada con datos muestrales. Poblacin Esungrupodedatosquesetomacomoreferenciaenunestudioestadstico,yqueconsideratodaslas caractersticas de la variable definida en el problema bajo estudio. Muestra 2 Es cualquier subconjunto de datos seleccionados de una poblacin. Diseo del experimento Estudio de los mtodos de muestreo y los problemas que con l se relacionan. Espacio de eventos Coleccin de todos los resultados posibles de un experimento. Experimento aleatorio Experimento que rene las siguientes caractersticas: una accin, un resultado y una observacin. Evento simple Es cada uno de los eventos que constituyen un espacio de eventos.Estadstica descriptiva Laestadsticadescriptivahaceusodevariasmedidasparadescribirnumricamenteunconjuntodedatos mustrales o poblacionales. Tales medidas se pueden clasificar como sigue:Medidas de posicin. Este tipo de medidas indican la distribucin que guardan los datos a lo largo de su rango (el dato mayor menos el menor). Se subclasifican en: Medidas de tendencia central.Son medidas que normalmente se localizan alrededor del centro de losdatos.Dentrodeestetipodemedidasseencuentranlamediaaritmtica,lamediana,elmodo,la media armnica, la media geomtrica y la media cuadrtica. Cuantiles. Estas medidas indican la localizacin de los datos de acuerdo con una subdivisin que se realiza del rango de los mismos. Existen tres tipos de cuantiles: cuartiles, deciles, y percentiles. Medidasdedispersin.Sonmedidasqueindicanelgradoenelcualestndispersoslosdatoscon respectoaalgunamedidadetendenciacentral.Estetipodemedidasloconformanlavariancia,la desviacin estndar, la desviacin media absoluta y el coeficiente de variacin. Medidasdedeformacin.Estetipodemedidassonrelativasalaformaquetienenlascurvasde frecuenciasytambinestnrelacionadasconladispersinquetienenlosdatos.Existedostiposde medidasdedeformacin:elcoeficientedesesgooasimetrayelcoeficientedekurtosisode apuntamiento. Rango: Se define como la diferencia entre el mayor y el menor valor de una distribucin Criterio de Sturges para establecer el nmero de intervalos a utilizar en una distribucin: k, nmero de intervalos 1.2Medidas de tendencia central Momentos con respecto al origen: k = 1 + 3.3 log n 3 Datos no ordenados Datos ordenados donde n=nmero de datos, m=nmero de intervalos, t=intervalo de clase, f=frecuencia de clase, k=orden del momento. Media. Se define como el momento de primer orden con respecto al origen: Datos no ordenados Datos ordenados donde n=nmero de datos; m=nmero de intervalos; t=intervalo de clase; f=frecuencia de clase Modo:

Mediana: 1.3Medidas de dispersin Momentos con respecto a la media: Datos no ordenadosmk = =nikixn11 mk = =mjjkjf tn11 m1=x ==niixn11 m1=x ==mjj jf tn11 x~ = c L2 111A + A A+x = cff nL11) ( 2 /+mk = kniix xn) (11= 4

Datos ordenados Variancia. Se define como el momento de orden dos con respecto a la media:

Datos ordenados Datos no ordenados Desviacin estndar:

Coeficiente de variacin:

1.4Medidas de asimetra dondeq1,q2yq3sonloscuartilesdel25%,50%quecorrespondealamedianaydel75%,Sx esla desviacin estndar. Tambin se puede calcular una medida de asimetracon el momento deorden tres con respecto a la media, con la variancia y finalmente con el parmetro b1: mk =jknjjf x tn) (11= m2 = 212) (1= =nii xx xnSm2 = jnjj xf x tnS212) (1= =Sx =2m CVx = xSx Asimetra = [(q3 q2) (q2 q1)] / Sx m3 = jmjjf x tn31) (1=b1 = 3223/ m m 5 1.5 Medidas de aplanamiento o exceso (kurtosis) si02 = , es mesokrtica 02 > , es leptokrtica 02 < , es platokrtica 1.6ProbabilidadLa teora axiomtica de probabilidades se basa en tres axiomas: 1.La probabilidad de ocurrencia de un evento A es un nmero, P(A), que se le asigna a dicho evento, cuyo valor es menor o igual que uno, o sea 0 s P(A) s 1 2. Si E es el espacio de eventos asociados a un experimento, entoncesP(E) = 1 3. La probabilidad, P(C), de la unin, C, de dos eventos mutuamente exclusivos, A y B, es igual a la suma de las probabilidades de estos, es decir P(AB) = P(C) = P(A) + P(B) Probabilidad condicional Un concepto de gran importancia prctica es el de probabilidad condicional, P(A|B), del evento A, dado que el B ha ocurrido. Si P(B) es diferente de cero, esta expresa: 1.7Teorema de Bayes Sedicequeungrupodeeventosescolectivamenteexhaustivosilaunindetodoselloseselespaciode eventos correspondientes como se muestra en la figura 1.1: ) B ( P) B A ( P) B | A ( P= b2 = 224mm 3 b2 2 = 6 Figura 1.1 Eventos colectivamente exhaustivos Con lo cual se define el llamado teorema de la probabilidad total. Considerando que

Este resultado se conoce como teorema de Bayes. A las probabilidades P(Bj) que se asignan a los eventos Bj antes de observar el evento A, se les denominaa priori; a las probabilidades P(Bj|A) que se obtiene des pues de observar el evento A, se les llama a posteriori. 1.8Variable aleatoria Unavariablealeatoriaesunafuncinqueasociaunnmeroconcadapuntoenunespaciomuestraldel experimento.ParaunespaciomuestralEdealgnexperimento,unavariablealeatoriaescualquierreglaqueasociaun nmero con cada resultado de E. Existen dos tipo de variables aleatorias, discretas y continuas; una variable discreta es aquella cuyos valores posibles forman un conjunto finito o bien se pueden listar en una sucesin infinitadondehayunprimerelemento, unsegundoelemento, etc.Unavariablealeatoriaescontinuasisu conjunto de valores posibles abarca todo un intervalo. Espacio de eventosB1B2BnBiAA Bi ) ( ) ( Bj A P A Bj P = ) () () () () | (A PBj A PA PA Bj PA Bj P==n i1 i) Bj | A ( P ) Bi ( P) Bj | A ( P ) Bj ( P) A | Bj ( P=== 7 1.9Distribuciones tericas de probabilidad Distribucin normal - < x <

donde: x = variable aleatoria e,t = constantes = media = desviacin estndar o2 = variancia Distribucin normal estndar - < z < Distribucin binomial x = 0, 1, 2,, n,Donde q = 1 - p p: probabilidad de xito. q: probabilidad de fracaso. Distribucin de Poisson x = 0,1,2,.. donde: x= variable aleatoria e = cte. = media ) /( ) x (e ) x ( f2 2221o o t = 2 /221) (ze z ft=x n x nxq p x f= ) ( ) ( ) (!) (xex fx= 8 2ANLISIS DE DECISIN Se llamar decisin al proceso de elegirun acto de entre un conjunto deformas alternativas de actuar.Lo anterior puede enunciarse en una forma algo ms precisa como sigue: a)Son posibles dos o ms formas alternativas de actuar. b)Solo se puede actuar de una de esas formas. c)El proceso de decisin elegir a una de esas actuaciones alternativas para llevarla a cabo. d)La eleccin de una actuacin debe hacerse en forma tal que cumpla algn fin designado. Observar que la condicin (b) no es restrictiva ya que toda combinacin de actuaciones puede considerarse como una sola. De esta manera las componentes bsicas de un problema de decisin son: 1.Sujeto de una decisin. Alguien o algn grupo debe identificarse como el que toma decisiones. Algunos problemas pueden tener dos o ms sujetos de decisin. 2.Objetivos.Elquetomaladecisindebetenerunoomsobjetivos.Estosobjetivospuedendefinirse comolosresultadosdeseadosparacadadecisin.Enelcasodeobjetivosmltiples,algunosdeellos puedenestarenconflicto.Losobjetivospuedensercualitativosocuantitativos.Enmuchosproblemas tcnicos el objetivo cuantitativo puede ser maximizar una ganancia o minimizar un costo. 3.Cursos alternos de accin. El que toma las decisiones debe tener la posibilidad de elegir entre dos o ms alternativasocursosdeaccin.Enmuchosproblemasdedecisinsetieneunainfinidaddecursosde accin. 4.Una medida de efectividad. El que toma las decisiones debe tener alguna medida del nivel en que cada cursodeaccinquesatisfaceasusobjetivos.Desdeluegoimplcitamentesesuponequeencasode existir esta medida para un problema dado no es necesariamente la misma para todas las alternativas. La toma de decisiones comnmente se divide por una parte de acuerdo con, que la decisin sea hecha por (a)unindividuoo(b)ungrupo,yporotradeacuerdocon,queellaserealicebajocondicionesde(a) certidumbre,(b)deriesgoo(c)deincertidumbre.Aestaltimaclasificacindebeagregarse(d)una combinacindeincertidumbreyriesgoalaluzdelaevidenciaexperimental.Esteeseldominiodela inferencia estadstica. Los problemas de decisin bajo certidumbre se presentan cuando se puede asegurar qu resultado ocurrir si se elige un curso de accin especfico. En este caso no se tienen variables aleatorias controlables o no. La segunda clase de problemas de decisin se presenta cuando cada accin conduce a uno de varios resultados posibles.Enestecasocadaresultadoposiblepuedeverificarseconunaprobabilidadconocida.Sedice entonces que es un problema de decisiones bajo riesgo. Si cada accin alternativa conduce a uno de varios resultadosposiblesloscualespuedenverificarseconprobabilidadesdesconocidas,sedicequeesun problema de decisiones bajo incertidumbre. 9 Terminologa de modelos de toma de decisiones Al igual que con cualquier tipo de modelo, los modelos de toma de decisiones tienen una terminologa propia. Esta terminologa describe las tres partes esenciales de una decisin: 1.Las decisiones alternativas de entre las cuales se debe elegir. Cuandoelquetomadecisionesenfrentaunproblemaquerequiereunadecisin,unadelasaccionesque debe emprender antes de llegar a una decisin, es determinar las alternativas sobre las cuales se basar la decisin final. 2.Losestadosdelanaturaleza,oaccionesexternasqueenfrentalapersonaencargadadetomarlas decisiones. El que toma decisiones enfrenta una situacin en la que pueden producirse resultados mltiples a partir de unaestrategiadeterminada,enfrentaestadosdelanaturalezamltiplesoaccionesexternasmltiples.Los estados de la naturaleza son las circunstancias que afectan el resultado de la decisin pero que estn fuera del control del que toma decisiones. 3.Elresultadoqueseobtieneporelusodeunaalternativacuandosepresentaciertoestadodela naturaleza. Paracadacombinacindeestrategiayestadodelanaturalezahabrunresultado.Esteresultadopuede expresarseentrminosdeutilidades,puedeexpresarseentrminosdevalorespresentes,opuede expresarseentrminosdealgunamedidanomonetaria.Paradeterminarlosresultadosesnecesario considerar todas las posibles combinaciones de decisiones y de estados de la naturaleza para determinar el resultado que se obtendra si se utiliza una alternativa dada y si ocurre un estado especfico de la naturaleza. En general, si existen k alternativas y n estados de la naturaleza, ser necesario calcular (k x n) resultados. Con bastante frecuencia los resultados tambin se denominan pagos y una tabla de resultados se denomina matriz de pagos. 2.1rbol de decisin Unaformaclaraysencilladeestructurarelprocesodetomadedecisionesespormediodeunrbolde decisin. El rbol est formado por nodos de accin, nodos de probabilidad y ramas. Los nodos de accin se denotarn con un cuadro () y representarn aquellos lugares del proceso de toma de decisiones en los que setomaunadecisin.Losnodosdeprobabilidadsedenotarnpormediodeuncrculo( )eindicarn aquellaspartesdelprocesodetomadedecisionesenlasqueocurrealgnestadodelanaturaleza.Las ramasseutilizanparadenotarlasdecisionesolosestadosdelanaturaleza.Tambinpuedenanotarse probabilidadessobrelasramasparadenotarlaprobabilidaddequeocurraunestadodeterminadodela naturaleza. Por ltimo se colocan los pagos al final de las ramas terminales del estado de la naturaleza para mostrarelresultadoqueseobtendraaltomarunadecisinparticular,yquedespusocurraunestado especfico de la naturaleza. 10 Ejemplo 2.1 Plantear el rbol de decisin Considerar el caso de una persona que est tratando de decidir si debe llevar o no un paraguas a su trabajo el da de hoy. La decisin de llevar el paraguas se muestra como un nodo de accin en la figura 2.1. Alfinaldecadaunadelasramasquepartendeunnododeaccinhabrunnododeprobabilidaduotro nodo de accin. Los posibles estados de la naturaleza comenzarn en los nodos de probabilidad. Tambin se muestran los posibles estados de la naturaleza para la decisin de esta persona. En este caso se han anotado tambinsobrelaramadeprobabilidadlasprobabilidadesdequehayalluviaoestdespejadodeacuerdo con la oficina meteorolgica. Sisecombinanlosnodosdeaccinylosnodosdeprobabilidadconlospagosparacadacombinacinse tiene un rbol de decisin. Esta persona ha determinado los diversos pagos asociados con las cuatro posibles combinacionesdedecisionesydeestadosdelanaturaleza.Estospagossecolocanalfinaldelasramas terminales de probabilidad. Ha decidido los siguientes pagos: Llevar paraguas y que no llueva-1 Llevar paraguas y que llueva+20 No llevar paraguas y que no llueva +5 No llevar paraguas y que llueva-40 Utilizando estos pagos es posible construir un rbol final de decisin, que se muestra en la figura 2.2:

Figura 2.1 Nodos de accin y de probabilidad Figura 2.2 rbol de decisin Llevar paraguasNo llevar paraguasNodo de accinnodo de probabilidadLluvia (0.6)Despejado (0.4)Llevar paraguasNo llevar paraguasLluvia (0.6)Lluvia (0.6)Despejado (0.4)Despejado (0.4)+20-1-40+5Accin probabilidad 11 2.2Anlisis de decisin bajo incertidumbreParatrabajarbajoincertidumbresehanpropuestodiversoscriteriosquelaexperienciahamostradocomo populares en la toma de decisiones. En este trabajo se considerarn cinco de ellos: el deBayes-Laplace, el maximin de Wald, el maximax de Baumol, el de Hurwicz y el minimax de Savage. a)Criterio de Bayes-Laplace Elcriterioestablecequesinosedisponeabsolutamentedeningunainformacinsobrelasprobabilidades asociadasconlosfuturosresultadosentoncessedebenasignarprobabilidadesigualesacadaunodelos posiblesresultadosyusarestasprobabilidadespara calcularelvaloresperadodecadaunodelosposibles cursos de accin.Evidentementeestecriteriotienevariosinconvenientes.Lamsseriadeestasdeficienciasesque usualmente el ejecutivo no puede considerar los diferentes resultados como igualmente posibles. De hecho, existen n posibles cursos de accin y el ejecutivo est consciente de m de ellos, entonces su decisin estar influenciada por la magnitud de m. As, si existen 20 posibles cursos de accin y slo hay conciencia de tres de ellos, asignar probabilidades de 33.3 % cuando deba asignar slo 5 %. En ocasiones este criterio es llamado el de la razn insuficiente ya que no hay razn para preferir un curso de accin sobre otro, no hay que seguir alguno de ellos; pero esto en s constituye un curso de accin (dejar todo al azar). Sin embargo, difcilmente puede considerarse sta como una posicin racional. b)Criteriomaximin de Wald Estecriteriorepresentaunenfoquemuyconservadordelprocesodetomardecisiones.Paracadaposible alternativaelejecutivodeterminaculeselpeordelosposiblesresultados,estoes,elqueleproduce mximos perjuicios o beneficios mnimos. Selecciona entonces de entre todos estos ltimos el que maximiza sus beneficios o minimiza sus prdidas. Algunos han considerado que este criterio no es sino una manifestacin tpica de cobarda. Desde luego que nopuedeconsiderarsecomoirracionalydehechoalconfrontarsituacionesconflictivasenlasquedebe esperarse una actuacin maliciosa e inteligente del oponente, es bueno y sano emplearlo. Sin embargo, en problemas en los que se toman decisiones con relacin a la naturaleza (juegos contra naturaleza) el criterio es extremadamente conservador. c)Criterio maximax de Baumol Al contrario del anterior, este criterio corresponde a los optimistas, los que siempre consideran nicamente el ladopositivodelosposiblesresultadosenlatomadedecisiones.Aquelquealapostarleauncaballoslo toma en cuenta que gan en las dos ltimas carreras, sin considerar que perdi las veinte anteriores. Puedeestablecersedelasiguientemanera:paracadacursodeaccindefnaseculeselmejorresultado (mximas ganancias o prdidas mnimas) y seleccinese de entre los anteriores el mximo de los mximos. 12 d)Criterio de Hurwicz PorsuparteHurwiczhapropuestouncriterioqueseencuentraamediocaminoentreelmaximinyel maximax. Estoes,elejecutivoharunpromedioponderadoentreelmejorresultadoquepuedaesperarse de cada curso de accin y el peor para el mismo curso. En la asignacin del coeficiente de peso para el mejor y el peor se reflejarn las caractersticas conservadoras u optimistas del ejecutivo. As, un pesimista le asignar un peso de al mejor resultado y de al peor. Por el contrario, un optimista, confrontado con la misma decisin, le asignar al mejor y al peor. Seobservaqueestecriterioposeelamismadeficienciadelosdosanteriores;estoes,tomarencuenta nicamente resultados extremos ignorando los restantes. UnaextensindelcriteriodeHurwiczconsisteenhacerunanlisisdesensibilidadgraficandotodaslas alternativasposiblesparalosvaloresdeo(probabilidaddeocurrencia).Enelejemploseobservael procedimiento. e)Criterio minimax de Savage Este criterio se ocupa del costo de oportunidad de una decisin incorrecta. A partir de la matriz de pagos se construye una nueva matriz llamada la matriz de arrepentimiento. Los elementos de esta matriz se calculan de la siguiente manera: el elemento en el rengln i y columna j de la matriz de arrepentimiento es el costo de oportunidad de elegir la i-sima alternativa cuando el resultado obtenido es el j-simo.Laideabajoesteenfoqueeslaproteccindelejecutivocontracostosdeoportunidadexcesivos.Para protegerse a s mismo, el ejecutivo aplica el criterio del minimax a la matriz de arrepentimiento.La prdida mxima en cada rengln se identifica y la alternativa cuyo rengln tiene el menor de los arrepentimientos es seleccionada por el ejecutivo. La principal deficiencia de este criterio es ignorar todos los elementos de la matriz de arrepentimiento salvo el mayor, desperdicindose gran cantidad de informacin. Ejemplo 2.2 Toma de decisin bajo incertidumbre Considerar la siguiente matriz de pagos y tomar una decisin aplicando cada uno de los criterios de decisin bajo incertidumbre: Resultados R1R2R3 Acciones A112-624 A2361248 A3-36030 13 a)Criterio de Bayes-Laplace E(A1)=1/3(12)+1/3(-6)+1/3(24)=10 E(A2)=1/3(36)+1/3(12)+1/3(48)=32 E(A3)=1/3(-3)+1/3(60)+1/3(30)=29 La alternativa seleccionada es A2 b)Criterio maximin de Wald Resultados R1R2R3 Acciones A112-6*24 A23612*48 A3-3*6030 Max {-6, 12, -3} = 12 La alternativa seleccionada es A2 c)Criterio maximax de Baumol Resultados R1R2R3 Acciones A112-624* A2361248* A3-360*30 max {24, 48, 60} = 60 La alternativa seleccionada es A3 d)Criterio de Hurwicz Resultados R1R2R3 Acciones A112-6*24* A23612*48* A3-3*60*30

14 Pesimista: A1=3/4(-6)+1/4(24)=-18/4+24/4=6/4 A2=3/4(12)+1/4(48)=36/4+48/4=84/4 A3=3/4(-3)+1/4(60)=9/4+60/4=51/4 Optimista: A1=1/4(-6)+3/4(24)=6/4+72/4=68/4 A2=1/4(12)+3/4(48)=12/4+144/4=156/4 A3=1/4(-3)+3/4(60)=-3/4+180/4=177/4 Pesimista: max{6/4, 84/4, 51/4} = 84/4 Seleccin: A2 Optimista: max{68/4, 156/4, 177/4} = 177/4 Seleccin: A3 Conestemismoejemplo,seharunaextensinalcriteriodeHurwiczparalatomadedecisiones;se selecciona el mejor y el peor resultado de cada alternativa y cada uno de ellos es multiplicado por o y por (1-o) respectivamente, obteniendo as los valores de cada alternativa para los valores de o establecidos: Esta informacin se puede representar en una grfica: Figura 2.3Anlisis de sensibilidad con el criterio de Hurwicz La interseccin de A2 con A3 se encuentra en o=0.5555, por lo que se puede establecer el siguiente criterio dedecisin:paravaloresdeode0a0.5555sedecidirporA2yparavaloresdeode0.5555a1.0se decidir por A3 (valores ms altos).R 1 R 2 R 3 0 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1A 1 1 2 - 6 2 4 2 4 - 6 - 6 1 . 5 9 1 6 . 5 2 4A 2 3 6 1 2 4 8 4 8 1 2 1 2 2 1 3 0 3 9 4 8A 3 - 3 6 0 3 0 6 0 - 3 - 3 1 2 . 8 2 8 . 5 4 4 . 3 6 0-2002040600 0.25 0.5 0.75 1ProbabilidadPagosA2A3A1 15 e) Criterio de Savage Resultados R1R2R3 Acciones A112-624 A2361248 A3-36030 Matriz de arrepentimiento: Resultados R1R2R3 Acciones A136-1260+648-24 A236-3660-1248-48 A336+360-6048-30 Resultados R1R2R3 Acciones A12466*24 A2048*0 A339*018 Min{66, 48, 39} = 39 La alternativa seleccionada es A3 2.3Anlisis de decisin bajo riesgo Enloscasosenlosquequientomalasdecisionesseenfrentaaalternativasmltiplesenlasquecada alternativa tiene a su vez resultados mltiples, es una prctica comn encontrar el pago promedio para cada estrategia y elegir despus la alternativa que tenga el mayor pago promedio. En este modelo de decisin, si existen n resultados para cada alternativa con Oij= pago para la i-sima alternativa dado el j-simo estado de la naturaleza, y Vi= pago promedio para la i-sima alternativa Entonces V ==n1 jijOn1(2.1) 16 El valor de la informacin perfecta Confrecuenciasurgelasiguientepregunta:cuntoestaradispuestaapagarunapersonaquetomalas decisionesparaobtenerinformacinadicionalsobreculessernlascircunstanciasreales?Antesde responder esta pregunta se necesita conocer el valor de la informacin misma. Si la informacin es perfecta, es decir, si la informacin dice exactamente qu es lo que va a ocurrir, resulta bastante sencillo responder la pregunta. Sisesabeconexactitudculestadodelanaturalezaocurrir,esfcildeterminarlaalternativaquedebe elegirse. Se elegir la alternativa que produce el mayor pago para cada estado de la naturaleza. Puesto que cada estado de la naturaleza ocurre slo durante una fraccin del tiempo, es posible calcular el valormonetarioesperadoparaelcasodelainformacinperfectautilizandolospagosmximosylas probabilidades para cada estado de la naturaleza. En general, se puede plantear de la siguiente manera VMEjn1 j*ij IPp O == (2.2) Donde: O*ij= la mxima utilidad para cada uno estado de la naturaleza pj= la probabilidad de cada estado de la naturaleza Para calcular el valor de la informacin perfecta, lo nico que se tiene que determinar es la diferencia entre el valor monetario esperado con informacin perfecta y ese mismo valor monetario esperado sin informacin perfecta: VPI = VMEIP - VME*(2.3) dondeVIP= valor de la informacin perfecta VMEIP= VME para la informacin perfecta VME*= VME mximo sin informacin perfecta El valor de la informacin de prueba En la seccin anterior se present el clculo del valor de la informacin perfecta. Sin embargo, en trminos prcticos,porlogenerallainformacinprovienedealgnprocedimientoimperfectodeprueba.Conesto quiere hacerse notar que la informacin de la prueba no siempre pronostica en forma correcta el estado de la naturaleza que ocurrir. Debido a esta imperfeccin en el poder predictivo de las pruebas, el clculo de la informacin de prueba es algo ms complejo que para la informacin perfecta. Para comprender el procedimiento que seutiliza para realizar estos clculos, sea P(N|R) = la probabilidad de que ocurra en realidad el evento N, dado que el resultado de la prueba fue R

17 Sinembargo,porlogeneralsedesconocenlosvaloresdeP(N|R)locualseleeprobabilidaddeNdadoR, puestoqueestosvaloressloseconocendespusdehaberutilizadolapruebalassuficientesvecespara recopilardatosquepermitancalcularprobabilidades.Porlogeneralseconoceloopuesto;esdecir,la probabilidad de que ocurra el resultado de la prueba dado el resultado correspondiente. Esta probabilidad es P(N|R) que necesitamos, puesto que se calcul despus de conocer el resultado. Para calcular P(N|R) se usa un resultado bien conocido de la probabilidad, denominado Teorema de Bayes. Este resultado expresa: P(N|R) = ) R ( P) N ( P ) N | R ( P (2.4) Porlogeneral,dosdelosvaloresqueaparecenenestafrmulapuedenobtenerseapartirdedatosde prueba, y el tercero puede calcularse a partir de los otros dos. Resulta fcil calcular a partir de datos previos la probabilidad de que la prueba sea exacta, dado que se conoce el resultado real, P(R|N), y la probabilidad dequeocurraunresultadoparticularsinimportarculsealaprueba,P(N).P(N)tambinpuedeseruna probabilidadsubjetivabasadaenlaexperienciaquetengaenesassituacionesquientomalasdecisiones. Esta ltima probabilidad, P(N), se conoce como probabilidad a priori puesto que se calcula antes de cualquier prueba, mientras que las otras son probabilidades condicionales. LaterceraprobabilidadqueapareceenlaFrmuladeBayes,P(R),eslaprobabilidaddequeocurrael resultado de prueba R. Esta probabilidad puede calcularse por medio del siguiente resultado de la teora de probabilidades: P(R)=P(R|N)P(N)+P(R| N )P( N ) (2.5) en dondeNsignifica no N, o negacin de N. Puesto queNincluye todos los eventos que no sean N, P( N ) y P(R| N ) pueden ser sumas de diversos valores. Los valores de P(R| N ) y P( N ) pueden calcularse al mismo tiempo que se obtienen P(R|N) y P(N). Combinando (2.4) y (2.5) se llega a una versin modificada de la ley de Bayes: P(N|R) = ) N ( P ) N | R ( P ) N ( P ) N | R ( P) N ( P ) N | R ( P+(2.6) Elresultadofinal,P(N|R),laprobabilidaddequeocurraelsucesoNdadoelresultadodepruebaR,se conoce como probabilidad a posteriori, puesto que se obtiene despus del procedimiento de prueba. Una vez que se conocen los valores de la probabilidad a posteriori, es posible emplearlos para llevar a cabo el anlisis pre-posterior con el objeto de determinar si debe llevarse a cabo una prueba o un muestreo. Ejemplo 2.3Determinacin del valor de la informacin Una compaa petrolera posee tierras que se supone contienen petrleo en el subsuelo. La compaa clasifica estas tierras en cuatro categoras, segn el nmero total de barriles que se espera obtener, esto es, un pozo de 500 000 barriles, uno de 200 000 barriles, uno de 50 000 barriles o un pozo seco. La compaa enfrenta el problemadeperforarono,oderentarlatierraincondicionalmenteaunperforistaindependienteo rentrselacondicionadaalacantidaddepetrleoqueseencuentre.Elcostodeperforacindeunpozo 18 productivo es de $100 000 y el costo de perforacin de un pozo seco es de $75 000. Si el pozo es productivo, lagananciaporbarrilesde$1.50(despusdededucirtodosloscostosdeproduccin).Sisehaceun contratoincondicional,lacompaarecibe$45000porlarentadelatierra,mientrasqueconelcontrato condicional, recibe 50 centavos por cada barril de petrleo extrado, siempre que el pozo sea de 200000 o 500 000 barriles; de otra manera no recibe nada. Esposibleobtenersondeosssmicosauncostode$12000.Estainformacinconduceacuatro clasificacionesssmicasposibles,denotadaspor1,2,3y4.Laclasificacin1indicaqueesdefinitivala existencia de una estructura geolgica cerrada en la zona (condicin muy favorable para encontrar petrleo); laclasificacin2significaquetalvezexistaunaestructuracerradaenlazona; laclasificacin3indicaque existeunaestructuranocerradaenlazona(condicinmsomenosdesfavorable)ylaclasificacin4dice quenohayunaestructuraenlazona8condicindesfavorable).Conbaseenanlisisanterioresdereas geolgicas parecidas (100 estudios de este tipo), la compaa obtiene los datos que se muestran en la tabla. Losvaloresentreparntesisencadaunadelasceldassepuedeninterpretarcomoprobabilidades condicionalesdadoelestadodelanaturaleza;porejemplo,sisetratadeunpozode200000barriles, entonces(3/16)sepuedeinterpretarcomoprobabilidadcondicionaldequelalecturassmicaquede clasificada como 2 (quiz una estructura cerrada en la zona); si se trata de un pozo seco, (25/48) se puede interpretar como la probabilidad condicionalde que la lectura ssmica se clasifique como 3 (una estructura no cerrada en la zona); y as sucesivamente. La distribucin de probabilidades a priori de la clasificacin de la tierra es 0.10, 0.15, 0.25, y 0.50 para los estados de la naturaleza correspondientes a un pozo de 500 000, 200 000, 50 000 y 0 barriles de petrleo respectivamente. Clasificacin ssmica Pozo de 500 000 barriles Pozo de 200 000 barriles Pozo de 50 000 barriles Pozo seco 17(7/12)9(9/12)11(11/24)9(9/48) 24(4/12)3(3/16)6(6/24)13(13/48) 31(1/12)2(2/16)3(3/24)15(15/48) 40(0/12)2(2/16)4(4/24)11(11/48) Crearunamatrizdepagos,obtenerelvalordelainformacinperfecta,obtenerelvalordela experimentacin, conviene contratar los servicios de informacin geolgica? 19 La matriz de pagos es: Alternativa Estados de la naturaleza E1E2E3E4 Pozo de 500 000 barriles Pozo de 200 000 barriles Pozo de 50 000 barriles Pozo seco A1 Perforacin650 000200 000-25 000-75 000 A2 Renta condicional45 00045 00045 00045 000 A3 Renta incondicional250 000100 00000 Conociendolasprobabilidadesasociadasacadaunodelosestadosdelanaturaleza,sepuedecalcularel VME (valor monetario esperado) para cada una de las alternativas y se podra tomar la decisin por aquella que maximice el VME: Lasprobabilidadesasociadasacadaestadodelanaturalezason0.10,0.15,0.25y0.50respectivamente; por lo que los clculos para determinar el VME son: VME(A1)=650 000(0.10)+200 000(0.15)-25 000(0.25)-75 000(0.50) = 51 250 VME(A2)=45 000(0.10)+45 000(0.15)+45 000(0.25)+45 000(0.50) = 45 000 VME(A3)=250 000(0.10)+100 000(0.15)+0(0.25)+0(0.50) = 40 000 La mejor alternativa desde el criterio de mayor VME es la alternativa A1 que corresponde a perforacin. Valor de la informacin perfecta Se obtiene primero, el VME con informacin perfecta: VMEIP=650 000(0.10)+200 000(0.15)+45 000(0.25)+45 000(0.50) = 128 750 VIP=VMEIP-VME* VIP=128 750 51 250 = 77 500 Puestoqueloqueseestaradispuestoapagarporunainformacinperfectaesmuchomayorqueloque cuesta la informacin en forma de sondeos ssmicos (77 500>12 000), entonces se justifica hacer el anlisis para obtener el valor de la informacin y decidir si conviene adquirirla o no. Para esto es necesario calcular las probabilidades a posteriori con la frmula de Bayes, lo cual puede efectuarse como un algoritmo tabular que se muestra: P(A|E)P(A|E) P(E) Probabilidades a posteriori P((E|A) E1E2E3E4E1E2E3E4E1E2E3E4 Clasificacin ssmica 17/129/1611/249/48 Clasificacin ssmica 1.0583.084.1146.0938.3 Clasificacin ssmica 1.166.240.327.267 24/123/166/2413/482.0333.0281.0625.1354.25932.129.108.241.522 31/122/163/2415/483.0083.0188.0313.1563.21473.039.087.146.728 40/122/164/2411/4840.0188.0417.1146.175140.107.238.655 0.100.150.250.50=1 Distribucin a priori 20 UtilizandolasprobabilidadesaposterioriobtenidasyconlamatrizdepagossecalculanlosVMEconlos pronsticos de la clasificacin ssmica: Con pronstico de clasificacin 1: VME A1 Perforacin127 700 A2 Renta condicional45 000 A3 Renta incondicional65 500 Con pronstico de clasificacin 2: VME A1 Perforacin60 275 A2 Renta condicional45 000 A3 Renta incondicional43 050 Con pronstico de clasificacin 3: VME A1 Perforacin-15 000 A2 Renta condicional45 000 A3 Renta incondicional18 450 Con pronstico de clasificacin 4: VME A1 Perforacin-33 675 A2 Renta condicional45 000 A3 Renta incondicional10 700 Enseguida se calcula el VME de la informacin con los valores de la probabilidad marginal y los mximos VME calculados: VMEINFORMACIN=0.351(127 700)+0.2593(60 275)+0.2147(45 000)+0.1751(45000) = 78 005.77 Finalmente se puede calcular el valor neto de la informacin: VNI = 78 005.77 51 250 = 26 755.77 ElvalordeVNIobtenidosecomparaconelprecioaquesevendelainformacin,observandoqueelVNI supera al costo de la informacin; por lo que se concluye que es conveniente adquirir la informacin. 21 3LNEAS DE ESPERA Considerando que las lneas de espera son tan frecuentes en la sociedad moderna, no resulta sorprendente que se haya desarrollado un campo del conocimiento a partir de su estudio. Dicho campo, que comnmente se denomina teora de lneas de espera lo inici un ingeniero dans de telfonos, A. K. Erlang, quien en 1910 realiz los primeros trabajos sobre problemas de filas. Erlang estaba interesado en los problemas que tenan las personas que llamaban a un conmutador telefnico. En este trabajo se menciona con frecuencia a un sistema de lneas de espera. Con esto se hace referencia a todosloscomponentesqueconformanunarreglodelneasdeespera:unidadesquesolicitanservicio,la lneadeesperapropiamentedicha,lasinstalacionesdeservicioylasunidadesqueseretirandespusde recibir servicio. La teora de lneas de espera abarca un grupo muy grande de modelos, en donde cada uno se refiere a un tipodiferentedesituacindelneadeespera.Sinembargo,todosestosmodelostienenalgunascosasen comn. En primer lugar, no pretenden resolver problemas de lneas de espera; ms bien describen el sistema de lneas de espera al calcular las caractersticas de operacin.Estas incluyen elementos como el nmero de unidades que esperan el servicio y el tiempo promedio que una unidadesperaparaseratendida.Paracalcularlascaractersticasdeoperacin,elusuariodebeespecificar ciertos parmetros del sistema, tales como la forma en que las unidades llegan para ser atendidas y la forma en que se maneja el servicio real. Elobjetivodelosmodelosdelneasdeesperaesmsdedescripcinquedeoptimizacin,ycualquier optimizacinquetengalugardebellevarlaacaboelusuariovariandolosparmetrosdelsistemapara obtener diferentes conjuntos de caractersticas de operacin. El conjunto de caractersticas de operacin que seajustaenformamsestrechaalasnecesidadesdelusuariodefinelamejorestructuradelsistema.Por esta razn, es comn que los modelos de lneas de espera sean descriptivos ms que normativos. Dadoquemuchosdelosparmetrosdelosmodelosdelneasdeesperanoseconocenconcertidumbre, estos modelos son ms bien estocsticos que determinsticos. Los parmetros como tasas de llegada y tasas de servicio se describen a travs de distribuciones de probabilidad; por ello, en el modelo se utilizan valores esperados o promedio. Al mismo tiempo, los modelos de lneas de espera son estticos y no lineales en vez dedinmicosylineales,debidoaquesesuponequelosparmetrosnovaranconeltiempoyquelos cambiosenlascaractersticasdeoperacinnosonproporcionalesaloscambiosenlosparmetrosdel modelo. 3.1ClasificacinCon el objeto de verificar si una situacin determinada del sistema de lneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere un mtodo para clasificar las lneas de espera. Esa clasificacin debe responder preguntas como las siguientes: 1.El sistema de lneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen puntos mltiples de servicio en secuencia? 22 2.Existe slo una instalacin de servicio o son mltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad? 3.Las unidades que requieren servicio llegan siguiendo algn patrn o llegan en forma aleatoria? 4.Eltiempoqueserequiereparaelserviciosedaenalgnpatrnoasumeduracionesaleatoriasde tiempo? Para responder a las preguntas 1 y 2, en primer lugar debe decidirse si una unidad ha de pasar a travs de un solo punto de servicio o a travs de varios. Si se trata del primer caso, entonces se tiene slo una entrada al punto de servicio y una salida del punto de servicio. Esto se denomina sistema de etapa nica. Si la salida del primer punto de servicio se convierte en la entrada aun segundo punto de servicio, y as sucesivamente, se tiene un sistema de lneas de espera de etapas mltiples, que es mucho ms complejo y difcil de analizar que los sistemas de etapa nica. En la figura 3.1 se muestran ambas estructuras de lneas de espera. Figura 3.1 Sistemas de etapa nica y de etapas mltiples Considerando solo el anlisis de sistemas de etapa nica, entonces este trabajo solo se ocupardel nmero y disposicin de las lneas de espera en una sola etapa. En la figura 3.2 se muestran tres casos importantes de este tipo de sistemas. El primer caso (a) es una instalacin de servicio nico, o canal como con frecuencia sedenomina,conunasolalneadeespera.Elsegundocaso(b)tieneinstalacionesdeservicioocanales mltiplesytambinlneasdeesperamltiples.Estassonenesencialassimplesenparaleloypueden analizarsecomotales.Eltercercaso(c)esunasolalneadeesperaatendidaporinstalacionesdeservicio mltiple.Enamboscasos(byc),sesuponeengeneralquetodaslasinstalacionesdeserviciotienenuna eficiencia equivalente. Entrada Servicio SalidaEntrada Servicio 1 Servicio 2 SalidaSistema de etapa nicaSistema de etapas mltiples 23 Figura 3.2 Ejemplos de sistemas de etapa nica 3.2Notacin de Kendall Por lo general, las tasas de llegada y de servicio no se conocen con certidumbre sino que son de naturaleza estocsticaoprobabilstica.Esdecir,lostiemposdellegadaydeserviciodebendescribirseatravsde distribuciones de probabilidad, y las distribuciones de probabilidad que se elijan deben describir la forma en que se comportan los tiempos de llegada o de servicio. En teora de lneas de espera se utilizan tres distribuciones de probabilidad bastante comunes: 1.De Markov 2.Determinstica 3.General Una distribucin de Markov (en honor de A. A. Markov, matemtico que identific los eventos sin memoria) seutilizaparadescribirocurrenciasaleatorias,esdecir,aquellasdelasquepuededecirsecarecende memoria acerca de eventos pasados. Una distribucin determinstica es aquella en la que los sucesos ocurren enformaconstanteysincambios.Porltimo,unadistribucingeneralseracualquierotradistribucinde probabilidad.Esposibledescribirelpatrndellegadaspormediodeunadistribucindeprobabilidadyel patrn de servicio a travs de otra. Parapermitiralosinvestigadoresyestudiantesdelateoradelneasdeesperacomunicarseentrescon facilidadacercadediversossistemasdelneasdeespera,Kendall,matemticobritnico,elaboruna notacin abreviada para describir en forma sencilla los parmetros de un sistema de este tipo. En la notacin de Kendall un sistema de lneas de espera se designa como A/B/C Donde:A se sustituye por una letra que denote la distribucin de llegada B se sustituye por una letra que denote la distribucin de servicio Entrada Servicio SalidaEntrada Servicio SalidaEntrada Servicio Salida(a)(b)(c) 24 C se sustituye por un entero positivo que denote el nmero de canales de servicio La notacin de Kendall utiliza tambin M = Markoviano, D = Determinstica y G = General. Por ejemplo, un sistemadelneasdeesperaconllegadasaleatorias,serviciodeterminsticoy3canalesdeserviciose identificara en notacin de Kendall como: M/D/3 En todos los casos, se supone que existe slo una lnea de entrada. 3.3Consideraciones en el anlisis Esevidentequeexistenotrosatributosapartedelosqueseanalizaronantesyquedebentomarseen consideracin cuando se analiza un sistema de lneas de espera, Estos incluyen: a)El tamao de la poblacin de la que provienen los elementos que ingresan al sistema de lneas de espera (poblacin que llega). b)La forma en que las unidades llegan para ingresar al sistema de lneas de espera; por ejemplo, una por una o en grupos. c)La disciplina de la lnea de espera, o el orden en que se atienden las unidades (se atienden las unidades en el orden en que llegan, es decir, el primero en llegar es el primero que se atiende, o existe algn otro sistema de prioridad para el servicio?). d)Si las unidades rechazan o no debido a la longitud de la lnea de espera y no ingresan al sistema. e)Si las unidades se arrepienten y abandonan el sistema despus de haber aguardado un tiempo en la fila. f)Si existe o no espacio suficiente para que todas las unidades que llegan aguarden en la fila. Las diversas respuestas a preguntas de este tipo, junto con las diferentes disposiciones de probabilidad y los diferentesnmerosdecanalesdeservicio,sirvenparagenerarunagranvariedaddetiposdesistemasde lneas de espera que deben analizarse. En este anlisis se supondrn los casos ms simples; en particular se supondr: 1.Una poblacin infinita que llega. 2.Las llegadas son en forma individual. 3.Las unidades que llegan se atienden en el orden en que llegan. 4.Las llegadas no se rechazan ni abandonan por la longitud de la lnea de espera. 5.Siempre hay suficiente espacio para que se forme la lnea de espera. Condiciones de estado estacionario En muchas situaciones de sistemas de lneas de espera, existe un periodo inicial, que es cuando comienza el periodoqueseestudia.Esteperiodoinicialtienemuchascaractersticastransitoriasquenosonsimilaresa losvalorespromedioalargoplazoqueseencuentrancuandoseestabilizaelsistemadelneasdeespera. Esteperiodonointeresa.Sedeseaninvestigarlascaractersticaspromedioalargoplazoquesepresentan 25 cuandoelsistemahaalcanzadoelestadoestacionariooestable.Estassonlascondicionesdeestado estacionario que se calcularn para las lneas de espera M/M/1 y M/M/S. Se analizan estos valores de estado estacionario porque no dependen de la duracin del tiempo que el sistema ha estado operando. Aunque es ciertoquealgunossistemasnoalcanzannuncaelestadoestacionario,muchosdeellosseaproximanlo suficiente para que las caractersticas de este estado estacionario resulten tiles para describir el sistema. Recopilacin de datos y distribuciones de probabilidad Conobjetodeemplearunmodelodeterminadodelneasdeespera,enprimerlugarsedebevalidarel modelo;esdecir,sedebeprobarquelasituacinrealdelneadeesperaseajustaaesemodelo. Eneste caso, y para utilizar el modelo M/M/1, interesa probar que las llegadas son aleatorias y que los tiempos de servicio tienen duracin aleatoria. Para hacerlo, se necesita probar que la tasa real de llegadas se ajusta a la distribucindePoissonyquelatasarealdeservicioseajustaaladistribucinexponencialnegativa.En primer lugar, se deben recopilar datos sobre los tiempos de llegada y de servicio. Despus, puede utilizarse unatcnicaestadsticabienconocidaquesedenominapruebadebondaddeajustejicuadrada(2_ ) para determinar si los datos se ajustan en realidad a las distribuciones mencionadas. Para ajustar un modelo particular, por ejemplo el M/M/1, se necesita recopilar datos sobre la tasa promedio dellegadas ,yeltiempopromediodeservicio1/ .Paraencontrarlatasapromediodellegadasse mantiene un registro del nmero de llegadas por unidad de tiempo: hora, da, o el que sea. Despus resulta sencillo calcular el promedio para todos los periodos para los que se recopilaron datos. Por supuesto, se debe tener cuidado de asegurarse que la tasa de llegadas no flucta tanto, que haga que el uso de un solo valor deresulte poco realista. Medir los tiempos de servicio es un poco ms difcil puesto que no es posible contar simplemente el nmero de casos de servicio que ocurrieron durante un periodo. Es evidente que a largo plazo este nmero siempre ser igual a la tasas de llegadas y por ello no serauna medida vlida del tiempo promedio de servicio. Es necesariomedirenformaindividuallostiemposdelosservicios.Despus,puedenutilizarseestostiempos para calcular un tiempo promedio de servicio, 1/ . 3.4Modelo M/M/1 ConelobjetodeutilizarlaslneasdeesperaM/M/1,setienenquesuponerllegadascondistribucinde Poisson y distribucin de servicio exponencial negativa. Para obtener las caractersticas de operacin de este tipo de lnea de espera, se deben hacer otras consideraciones. En primer lugar, debe haber un solo canal de servicio al cual ingresan las unidades que entran una por una. En segundo lugar, se considera que existe una poblacin infinita de entre la cual se originan las llegadas. Tambin se supone que existe un espacio infinito para dar cabida a las llegadas que esperan en la fila. Por ltimo, se supone que las unidades que llegan se atiendensobrelabaseprimeroquellega,primeroqueseatiende(quetambinseconocecomoPEPS, 26 primero que entra, primero que sale). La siguiente lista incluye todas las consideraciones para las lneas de espera M/M/1: 1.Llegadas aleatorias nicas (distribucin de Poisson). 2.Tiempos de servicio aleatorios (distribucin exponencial negativa). 3.Existe una situacin de estado estacionario. 4.Un solo canal de servicio. 5.Poblacin que llega infinita. 6.Espacio de espera infinito. 7.Disciplina de servicio de primero que llega primero que se atiende. 8.No hay rechazo. 9.No hay abandono. Ya se han analizado con detalle las tres primeras consideraciones. La cuarta de ellas, la de un solo canal de servicio, se explica por s misma. Las dos consideraciones siguientes, poblacin que llega infinita y espacio de espera infinito, simplemente significan que siempre estarn llegando clientes y que existe espacio adecuado paraqueesasunidadesquelleganesperen.Estasconsideracionesaseguranquelasituacindelneade espera no se complique porque exista dependencia entre las llegadas o porque stas abandonen el sistema por falta de espacio para esperar. La consideracin de que el primero que llega es el primero que se atiende aseguraquelasunidadesquelleganposteriormentenosonatendidasantesquelasquellegaroncon anterioridad. Caractersticas de operacin de un sistema M/M/1 ParacalcularlascaractersticasdeoperacindeunacolaM/M/1,primerosedebeobservarquesi =tasa promedio de llegadas y =tasa promedio de servicio, entoncesdebe ser menor que . Si no fuera as, el promediodellegadasserasuperioralnmeropromediodeunidadesqueseatienden,yelnmerode unidades que estn esperando se volvera infinitamente grande. Si se hace que = /puede denominarse a factordeutilizacin.Estevalor,, / = eslafraccinpromediodetiempoqueelsistemaest ocupado(ocupadosedefinecomounaomsunidadesesperandoy/osiendoatendidas).Observarque tambinpuedeconsiderarseque eselnmeropromediodeunidadesqueestnsiendoatendidasen cualquier momento. En trminos de probabilidad: PW = probabilidad de que el sistema est ocupado P = = /W (3.1) Entonces, la probabilidad de que el sistema no est trabajando, o est vaco, P0, puede obtenerse por medio de P = = = 1 / 1 P 1W 0(3.2) A partir de esto se puede obtener la probabilidad de que haya n unidades en el sistema, Pn, mediante 27 Pn0n0 nP ) / )( P ( = =(3.3) en donde n es cualquier entero no negativo. Este importante resultado permite calcular las caractersticas de operacin de las lneas de espera. Laprimeracaractersticadeoperacinquesecalculareselnmeropromediodeunidadesquese encuentran en el sistema, ya sea esperando o siendo atendidas. Se denominar a este nmero promedio de unidades, L. Recordar que el valor promedio o valor esperado para una distribucin discreta de probabilidad est dado por E(X) = =0 X) X ( XPPor ello, el nmero esperado de unidades en el sistema est dado por L= nmero esperado de unidades en el sistema L = == =0 n 0 nn0 nnP nPo L= = 1(3.4) AhorasepuedeutilizarL,nmeroesperadodeunidadesenelsistema,paracalculartodaslasotras caractersticasquesedesean.Enprimerlugarsepuedeconocerelnmeropromediodeunidadesque esperan ser atendidas o Lq. Dado que L es el nmeropromedio de unidades que estn esperando o estn siendoatendidas,y eselnmeropromediodeunidadesqueestnsiendoatendidasenalgnmomento dado, entonces L= Lq+ . A partir de esto es fcil observar que Lq = L -o L) ( 12 2q = =(3.5) Examinando ahora el tiempo de espera y utilizando W para representar eltiempo promedio o esperado que una unidad se encuentra en el sistema, se observa que si L es el nmero esperado de unidades en el sistema y eselnmeropromediodeunidadesquelleganparaseratendidasporperiodo,entonceseltiempo promedio que cualquier unidad que llega debe estar en el sistema est dado por W = tiempo esperado de una unidad en el sistema W= =1 L (3.6) De manera similar, el tiempo esperado o promedio que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida, wq, est dado por 28 W) (Lqq ==(3.7) ObsrvesequeW=Wq+1/ .Estoindicaqueeltotaldetiempoinvertidoenelsistema,W;esigualal tiempo de espera (Wq) ms el tiempo de servicio (1/ ). 3.5Modelo M/M/S Elmodoquesuponellegadasytiemposdeservicioaleatoriosparacanalesdeserviciosmltiplestienelas mismasconsideracionesqueelmodelodecanalnicodeservicio(M/M/1),exceptoqueahoraexisteuna sola fila de entrada que alimenta los canales mltiples de servicio con iguales tasas de servicio. Caractersticas de operacin EnelmodeloM/M/S,si eslatasapromediodeservicioparacadaunodelosScanalesdeservicio, entonces ya no se requiere que > , pero Sdebe ser mayor quepara evitar una acumulacin infinita de lneas de espera. En el caso de M/M/S, la caracterstica clave que se utiliza para hacer los dems clculos es la probabilidad de que el sistema est ocupado. En otras palabras, la probabilidad es de que haya S o ms unidades en el sistema. En este caso, todos los canales de servicio se estarn utilizando y por ellos se dice que el sistema est ocupado. Esto se escribe como P(sistema ocupado) = P(n ) S >(3.8) Y puede calcularse utilizando la frmula P(sistema ocupado) = 0SP) S ( ! S) S ( (3.9) donde P0 = ==||.|

\| ||.|

\|+||.|

\|1 S n0 nS nSS! S1! n11 (3.10) EncontrarP(sistemaocupado)utilizandolafrmula(3.9)noesdifcilsisetieneelvalordeP0,peroel clculodeP0utilizandolaecuacin(3.10)estedioso.Enlatabla3.1seproporcionaelvalordeP0para diversos valores de(es decir,) / y S. Ahorasepuedeutilizarestapeculiaridaddelsistemaparacalcularsusdemscaractersticas.Enelmodelo M/M/S,aligualqueenelM/M/1,setienequeL=L +q,peroseusaelvalordeP(sistemaocupado)para calcular Lq Lq=P(sistema ocupado) * S (3.11) Y despus se calcula L: 29 L = P(sistema ocupado) * + S(3.12) En el caso M/M/S, al igual que en el M/M/1, W=L/ y Wq=L /q, por ello, se tiene: W = ((

+ S* ) pado sistemaocu ( P1 (3.13) Wq = ((

S* ) pado sistemaocu ( P1 (3.14) 30 S1 2 3 4 5 6 70.100 0.9000 0.9048 0.9048 0.9048 0.9048 0.9048 0.90480.200 0.8000 0.8182 0.8187 0.8187 0.8187 0.8187 0.81870.300 0.7000 0.7391 0.7407 0.7408 0.7408 0.7408 0.74080.400 0.6000 0.6667 0.6701 0.6703 0.6703 0.6703 0.67030.500 0.5000 0.6000 0.6061 0.6065 0.6065 0.6065 0.60650.600 0.4000 0.5385 0.5479 0.5487 0.5488 0.5488 0.54880.700 0.3000 0.4815 0.4952 0.4955 0.4966 0.4966 0.49660.800 0.2000 0.4286 0.4472 0.4491 0.4493 0.4493 0.44930.900 0.1000 0.3793 0.4035 0.4062 0.4065 0.4066 0.40661.000 0.3333 0.3636 0.3673 0.3678 0.3679 0.36791.100 0.2903 0.3273 0.3321 0.3328 0.3329 0.33291.200 0.2500 0.2941 0.3002 0.3011 0.3012 0.30121.300 0.2121 0.2638 0.2712 0.2723 0.2725 0.27251.400 0.1765 0.2360 0.2449 0.2463 0.2466 0.24661.500 0.1429 0.2105 0.2210 0.2228 0.2231 0.22311.600 0.1120 0.1881 0.2003 0.2024 0.2018 0.20181.700 0.0811 0.1657 0.1796 0.1821 0.1826 0.18271.800 0.0526 0.1460 0.1616 0.1646 0.1652 0.16531.900 0.0256 0.1278 0.1453 0.1487 0.1494 0.14952.000 0.1111 0.1304 0.1343 0.1351 0.13532.100 0.0957 0.1169 0.1213 0.1222 0.12242.200 0.0815 0.1046 0.1094 0.1105 0.11072.300 0.0683 0.0933 0.0987 0.0999 0.10022.400 0.0562 0.0831 0.0889 0.0903 0.09062.500 0.0449 0.0757 0.0801 0.0816 0.08202.600 0.0345 0.0651 0.0721 0.0737 0.07422.700 0.0249 0.0573 0.0648 0.0666 0.06712.800 0.0160 0.0502 0.0581 0.0601 0.06062.900 0.0077 0.0437 0.0521 0.0543 0.05483.000 0.0377 0.0466 0.0470 0.04963.100 0.0323 0.0417 0.0444 0.04483.200 0.0273 0.0372 0.0398 0.04053.300 0.0227 0.0330 0.0358 0.03663.400 0.0186 0.0293 0.0322 0.03313.500 0.0148 0.0259 0.0290 0.02983.600 0.0113 0.0228 0.0260 0.02693.700 0.0081 0.0200 0.0233 0.02433.800 0.0051 0.0174 0.0209 0.02193.900 0.0025 0.0151 0.0187 0.01984.000 0.0130 0.0167 0.01784.100 0.0120 0.0149 0.01604.200 0.0093 0.0132 0.01444.300 0.0077 0.0117 0.01304.400 0.0063 0.0104 0.01174.500 0.0050 0.0091 0.01054.600 0.0038 0.0080 0.00944.700 0.0027 0.0070 0.00844.800 0.0017 0.0061 0.00754.900 0.0008 0.0053 0.00675.000 0.0045 0.0060Tabla 3.1Valores de P0 31 3.6Modelo M/G/1 EnestecasolasllegadassedistribuyendeacuerdoconladistribucindePoisson,perolostiemposde serviciononecesariamentesedistribuyendeacuerdoconladistribucinexponencialnegativa.Sise considera el caso en que existe un solo canal, se est considerando el modelo M/G/1, es decir, llegadas tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio. Observar que este caso incluye tambin el modelo M/D/1. Al igual que con el caso M/M/S, no es posible calcular en forma directa L, nmero esperado de unidades en elsistema.Msbien,debecalcularseLq,nmerodeunidadesqueesperanseratendidas,yutilizarel resultadodequeL=L +qparaencontrarelvalordeL.ParacalcularLq,sedebeconocerelvalordela desviacin estndar de la distribucin que describe los tiempos de servicio,o . Si no se conoce la distribucin delostiemposdeservicionoesposibledeterminarlascaractersticasdeoperacin.Sinembargo,sise conoce la desviacin estndar y la media de la distribucin de los tiempos de servicio, puede obtenerse Lq, a partir de la ecuacin (3.15): L) / 1 ( 2) / (2 2 2q + o = (3.15) Utilizando Lq, se puede ahora determinar el valor de L a travs de L=L +q (3.16) AligualqueconlascaractersticasdeoperacindeloscasosM/M/1yM/M/S,sepuededeterminarW, tiempoesperadoenelsistemadelneasdeespera,yWq,tiempodeesperaqueseinvierteantesdeser atendido, dividiendo L y Lq entre el valor de , es decir, W=L/ (3.17) y Wq=L /q(3.18) 3.7Modelo M/D/1 El caso en el que los tiempos de servicio son determinsticos es el M/D/1, que es caso especial de la situacin M/G/1queseanalizantesyenelqueladesviacinestndaresigualacero.Enestecaso, seobtieneel valor de Lq de la siguiente manera L) / 1 ( 2) / (2q = (3.19) Y todas las dems caractersticas de operacin pueden determinarse a partir de este valor. 32 Ejemplo 3.1Aplicacin de metodologa de lneas de espera Lagerenciadeunaempresadeferrocarrilconsideranecesariopintarsusvagonesunavezalao.La alternativa1cuesta$150000alao,yconsisteenoperardostalleresdepinturadondesepintar manualmente. El tiempo requerido para pintar cada vagn tiene una distribucin exponencial con promedio de 6 horas. La alternativa 2 consiste en operar un taller donde utilizar aire comprimido; el costo anual ser de $200 000. En este caso, el tiempo para pintar cada vagn tambin sigue una distribucin exponencial con promedio de 3horas. En ambos casos, losvagones llegaran al taller siguiendo una distribucin de Poisson con promedio de un vagn por cada 8 horas. Si no se utiliza un vagn el costo es de $30 por hora,y se supone que los talleres estaran operando todas las 8760 horas del ao. Cul de las dos alternativas es la mejor? Solucin Paralaalternativa1,latasapromediodellegadas, =3vagonespordaylatasapromediodeservicio, =4 vagones por da y se trata de un sistema M/M/2. Paralaalternativa2,latasapromediodellegadas, =3vagonespordaylatasapromediodeservicio, =8 vagones por da y se trata de un sistema M/M/1. El clculo se har en una hoja de clculo deExcel, en la que se efectan las operaciones introduciendo las frmulas indicadas para cada modelo de lneas de espera. Con el criterio de decisin del menor costo total, la alternativa a seleccionar es la alternativa 2 que consiste en operar un solo taller. En el captulo4 (ejemplo 4.2) se simulan los dos sistemas y aparece como menor costo la alternativa 1; en trminos generales, puede afirmarse que se podra obtener un resultado acertado si sesimularaunnmeroconsiderabledeveceslallegadadelosvagonesyquedichoresultadocoincidira finalmente con los valores esperados que se calcularon con criterio de lnea de espera. ALTERNATIVA 1 ALTERNATIVA 2M/M/2 M/M/12 13 34 80.75 0.375Po 0.455 0.625Pso 0.20475L 0.87285 0.6Lq 0.12285 0.225W 0.29095 0.2Wq 0.04095 0.075Costo de taller 410.9589041 547.9452055Costo espera 628.452 432COSTO TOTAL 1039.410904 979.9452055 33 Ejemplo 3.2Aplicacin de metodologas de lneas de espera Unacompaasiderrgicaqueoperasupropiaflotadebarcosparaimportarmineraldehierro,est considerando la construccin de facilidades portuarias para sostener una nueva planta. Se debe decidir tanto el nmero de lugares de descarga como el tipo de instalacin en cada uno, con la idea de hacer mnimos los costos totales de descarga. Sepuedeconstruirunmximodetreslugaresdedescarga;yserequierequecadaunodedichoslugares que se construya tenga el mismo tipo de instalacin entre el tipo A, el B y el C, para los cuales se dispone de la siguiente informacin: Tipo de instalacin Costo fijo por da Costo de operacin por da Capacidad: tonelaje medio descargado por da de operacin A8408403 600 B1 3501 3505 800 C1 5001 6006 400 Los costos fijos incluyen elementos tales como la amortizacin del costo original de la instalacin a lo largo de su vida esperada, mantenimiento general, etc.; se aplican estos costos a todos los das, bien sea que se useonoelequipo.Seincurreenloscostosdeoperacinnicamentedurantelosintervalosdetiempoen que el equipo de descarga est realmente en uso.Cadaunodelosbarcosquevaadescargarsetrae8000toneladasdemineral,yseconsideraquellegan segnunadistribucindePoissondurantetodoelaoconunatasamediadellegadade5barcospor semana.Lostiemposdeservicioparauntipodeinstalacinseconsideraquesonexponenciales,contasa media de servicio que corresponde a la columna de capacidad media en la tabla. Si eltiempoinvertidoenelsistemadedescarga(tiempodeesperamstiempodedescarga)seconsidera quelecuestaalacompaa$2000porbarcoyporda,qutipodeinstalacindedescargadebe seleccionarse, y qu tantos lugares deben construirse? Solucin Existen nueve polticas posibles, y cada una comprende la seleccin entre los tipos de instalacin (A, B, o C) y el nmero de lugares (1, 2, o 3). La combinacin (A, 1) se puede descartar inmediatamente, puesto que la tasamediadellegadas es5/7=0.714barcosporda,mientrasquelatasamediadeservicio conla combinacin(A1)es3600/8000=0.45barcosporda.Elcocientede / ,enestecaso, tratndosedeun sistemaM/M/1esmayorqueunoporloqueseeliminacomoalternativayaquelalneadeespera aumentara en forma infinita. Las alternativas posibles se pueden representar: 34 Tipo de instalacin Lugares 123 A(A1)(A2)(A3) B(B1)(B2)(B3) C(C1)(C2)(C3) Porejemplo,laalternativaB3esunsistemaM/M/3delneasdeespera,treslugaresconinstalacinBen cada uno de ellos: La tasa de llegadaspara cada una de las ocho alternativas permanece constante en 0.7144 barcos por da. La tasa de servicio para un solo lugar depende solamente del tipo de instalacin de descarga, es decir: A = 0.450 barcos por da B = 0.725 barcos por da C = 0.800 barcos por da El criterio de decisin ser seleccionar aquella alternativa con el menor costo total esperado por da, el cual estar integrado por la suma de tres componentes: 1.El costo fijo de las instalaciones 2.El costo de operacin de las instalaciones 3.El costo del tiempo de espera de los barcosDeacenadelantesecalcularelcostototalquese leasignaacadaunadelasalternativas,enlaforma tabular que se presenta: La mejor alternativa (la de menor costo diario) es la alternativa de dos lugares de descarga con instalacin B en cada uno de ellos. Instalacin BInstalacin BInstalacin B 35 Lugares1 2 30.714285714 0.714285714 0.7142857140.45 0.45 0.451.587301587 1.587301587 1.587301587P o 0.112 0.1881P so 0.683760684 0.266248822L 4.217150371 1.886457567A Lq 2.629848784 0.299155979W 5.904010519 2.641040593Wq 3.681788297 0.418818371C. Fijo 1680 2520C. Oper. 1333.333333 1333.333333C. Espera 8434.300742 3772.915133C. Total 11447.63408 7626.248467Lugares1 2 30.714285714 0.714285714 0.7142857140.725 0.725 0.7250.985221675 0.985221675 0.985221675P o 0.3333 0.3636P so 0.318810082 0.086291592L 66.66666667 1.294746026 1.027418053B Lq 65.68144499 0.309524351 0.042196378W 93.33333333 1.812644437 1.438385274Wq 91.95402299 0.433334092 0.059074929C. Fijo 1350 2700 4050C. Oper. 1330.049261 1330.049261 1330.049261C. Espera 133333.3333 2589.492052 2054.836105C. Total 136013.3826 6619.541313 7434.885366Lugares1 2 30.714285714 0.714285714 0.7142857140.8 0.8 0.80.892857143 0.892857143 0.892857143P o 0.3793 0.4035P so 0.273113479 0.068149943L 8.333333333 1.113109949 0.921734237C Lq 7.44047619 0.220252806 0.028877094W 11.66666667 1.558353928 1.290427932Wq 10.41666667 0.308353928 0.040427932C. Fijo 1500 3000 4500C. Oper. 1428.571429 1428.571429 1428.571429C. Espera 16666.66667 2226.219897 1843.468474C. Total 19595.2381 6654.791326 7772.039903 36 4SIMULACIN Y MTODOS DE MONTECARLO Lasimulacinesunatcnicamuypoderosayampliamenteusadaenparaanalizaryestudiarsistemas complejos. Se puede definir a la simulacin como la tcnica que imita el funcionamiento de un sistema del mundo real cuando evoluciona en el tiempo. Esto se hace, por lo general, al crear un modelo de simulacin. Unmodelo desimulacincomnmente,tomalaformadeunconjuntodehiptesisacercadelfuncionamientodel sistema, expresado como relaciones matemticas o lgicas entre los objetos de inters del sistema.Se debe hacer notar que la simulacin no es una tcnica de optimizacin. Se emplea con ms frecuencia para analizarpreguntastipoqusucedes..?.esposibleoptimizarconlasimulacin,pero,engeneral,esun procesotardado.Tambin,lasimulacinpuedesercostosa.Sinembargo,conlacreacindelenguajes especialesparasimulacin,costosdecrecientesdecmputoyavancesenmetodologadesimulacin,el problema del costo se hace cada vez menos importante. Terminologa bsica Enlamayorpartedelosestudiosdesimulacin,setratadesimularunsistema.Porloquesedefinirn varios trminos relacionados con los sistemas: Sistema Un sistema es un conjunto de entidades que actan e interactan para la realizacin de un fin lgico. Estado El estado de un sistema es el conjunto de variables necesarias para describir la condicin del sistema en un momento determinado. Sistema discreto Es aquel en el cual las variables de estado cambian slo en puntos discretos o contables en el tiempo. Sistema continuo Unsistemacontinuoesaquelenelquelasvariablesdeestadocambianenformacontinuaatravsdel tiempo. Modelo esttico de simulacin Es una representacin de un sistema en determinado punto en el tiempo. Simulacin dinmica Es una representacin de cmo evoluciona un sistema a travs del tiempo. 4.1Nmeros aleatorios Alatcnicadeutilizacindeunadistribucindeprobabilidadparagenerarmuestrasaleatoriasdeun proceso, se le conoce como tcnica de Montecarlo y al proceso para generar las observaciones muestrales de una distribucin especfica de probabilidad se le denomina generador de proceso. 37 Generacin de nmeros aleatorios Encualquierexperimentodesimulacinodemuestreo,existelanecesidaddeunmecanismoque proporcionenmerosaleatorios.Laformadeobtenerestosnmerospuedesermuyvariadayentrelos primeros mecanismos empleados se tenan las ruletas, dados, cartas, etc. Lascaractersticasquedefinenalosnmerosaleatoriosesquecualquieradeellostienelamisma probabilidaddeaparecerycadanmeroesestadsticamenteindependientedelosdemsnmerosdela secuencia. Serequieredeunprocedimientomatemticoparagenerarnmerosaleatoriosyatravsdelahistoriase han ido perfeccionando, entre los ms conocidos se pueden citar: J. Von Neumann Se parte de un nmero dado de n cifras que se eleva al cuadrado y del resultado obtenido, que en general es unnmerode2ncifras,setomanlasncifrasdelapartecentral,queasuvezsevuelvenaelevaral cuadrado,yas,sucesivamente.Unadesventajadeestemtodoesquetiendeadegenerarrpidamente dependiendo del nmero inicial que se escoja. Ejemplo Suponerquesequierengenerarnmerosentre0y999yseescogecomonmeroinicial302,elcual produce la siguiente secuencia: (302)2=091204

120 (120)2=014400440 (440)2=193600360 (360)2=129600960 (960)2=921600160 (160)2=025600560 (560)2=313600360 a partir de este ltimo resultado se empieza a repetir un ciclo formado por los nmeros 960, 160, 560, 360, con lo cual degenera la secuencia. Productos centrales Consiste en efectuar el producto entre dos nmeros seguidos de la sucesin de nmeros pseudoaleatorios y delresultado,tomarlosdgitosdeenmedioparaobtenerelsiguientenmerodelasucesin.Sepuede expresar de la manera siguiente U1 i i 1 iU * U + = (4.1) 38 Ejemplo: Generacin de nmeros aleatorios Si se escoge arbitrariamente U0=1521 y U1=1815 se obtiene la siguiente secuencia U2=1815*1521=02760615=7606 U3=7606*1815=13804890=8048 U4=8048*7606=61213088=2130 U5=2130*8048=01714224=7142 Lehmer En 1951 sugiri que una secuencia de nmeros pseudoaleatorios podra generarse mediante la relacin xi=axi-1 (mdulo m)(4.2) Greenberger Se parte de una expresin general de la forma siguiente Ui+1= aUi+c (mdulo m)(4.3) estarelacinseleediciendoqueUi+1escongruenteconaUi+cmdulomysignificaqueaUi+csedivide entre m y que el residuo que se obtenga es el valor de Ui+1. Ejemplo: Si se escoge U0=5, a=2, c=3 y m=15 se tiene la siguiente secuencia U1=(2*5+3) md 15=13 U2=(2*13+3) md 15=14 U3=(2*14+3) md 15= 1 U4=(2*1+3) md 15= 5 U5=(2*5+3) md 15= 1 Que como se observa tiene un periodo de n=4. Alosnmerosgeneradosporalgnprocedimientocomolosanterioresselesdenomincomo pseudoaleatorios, por considerar que no fueron generados estrictamente en forma aleatoria. En Excel de Microsoftse pueden generar el nmero suficiente de nmeros aleatorios. 4.2Mtodos de Montecarlo Para extraer al azar un elemento de una poblacin descrita por la densidad de probabilidad, f(x), se procede como sigue: a)Se dibuja la distribucin de probabilidad acumulada: y = F(x) = } xdx ) x ( f (4.4) b)Por medio de algn artificio se elige un decimal aleatorio (con tantas cifras como se desee). 39 p(x) 1/(b-a)a bxc)Se traza una recta horizontal por el punto del eje y correspondiente al decimal aleatorio obtenido en el inciso (b) hasta interceptar a la curva y=F(x). d)Se obtiene el valor correspondiente al punto de interseccin. Este valor se toma como un elemento de la muestra de valores x. Se ilustra el procedimiento en la figura 4.1: Figura 4.1 Muestreo aleatorio. Mtodo de Montecarlo El proceso antes mencionado no siempre es necesario llevarlo al detalle, ya que mediante los generadores de procesodealgunasdistribucionesconocidas,esposibleobtenermuestrasaleatoriasmediantealguna funcin. 4.3Generador de proceso uniforme Paraungeneradordeprocesouniformeseutilizanlafuncindensidadylafuncindedistribucindela variable aleatoria de que se trate. La funcin densidadpara la distribucin uniforme se define como sigue P(x) = a b1para a s x s b (4.5) Grficamente, esto tendra la forma que se muestra en la figura 4.2. Observar que todos los valores que se encuentran entre a y b tienen densidades iguales de 1/(b-a): Figura 4.2 Distribucin de probabilidad uniforme para el intervalo (a, b) y1.0Decimal aleatorioy=F(x)Elemento de la muestrax 40 El procedimiento implica integrar la funcin densidad para el intervalo de valores; el procedimiento es como sigue: P(x) = }xadx ) x ( pSustituyendo p(x) = 1/(b-a), entonces P(x) = }xadxa b1

=| |}xaxaxa b1 =| | a xa b1 por tanto, P(x) = a ba x(4.6) La grfica de la funcin de distribucin aparece en la figura 4.3: Figura 4.3 Funcin de distribucin de la distribucin uniforme en el intervalo (a, b) EnelprocedimientodemuestreoparaelmtododeMontecarlo,seobtieneunamuestradelafuncinde distribucingenerandoundecimalaleatorio,identificandolaprobabilidadasociadaaaqulyeligiendoel valor correspondiente de la variable. En trminos numricos, se utiliza el mismo procedimiento para elaborar ungeneradordeproceso.Latcnicasedenominamtododetransformacininversa.Elprocedimiento implica igualar la variable aleatoria uniforme R (en donde R se encuentra entre cero y uno) a P(x) y despejar x: R = P(x) = a ba x R(b-a) = x-a P(x)a bx 1.0 41 Finalmente x ser: x = a + R(b-a) (4.7) Dadalaecuacin4.7queeselgeneradordeprocesoparaladistribucinuniforme,esposiblegenerar variablescondistribucinuniformeentreayb,simplementeidentificandoayb,generandoundecimal aleatorio R y sustituyendo en la ecuacin. Por ejemplo, para generar una variable aleatoria entre 10 y 20, la relacin funcional sera x = 10 + R(10) Para el nmero aleatorio 0.6134, el valor de la variable aleatoria sera 16.134. El muestreo en una distribucin uniforme es bastante simple una vez que se ha determinado el generador de proceso.Sinembargo,estebeneficionoselimitaaladistribucinuniformesinoqueseaplicaatodaslas distribuciones continuas. 4.4Generador de proceso con distribucin exponencial negativa Su funcin densidad se define como sigue p(x) = xe para 0 s x s en dondees la tasa promedio de servicio de una lnea de espera, o nmero promedio de unidades a las que se les da servicio por intervalo de tiempo. En la figura 6.9 aparece la grfica de la funcin densidad: Figura 4.4 Funcin densidad de la distribucin exponencial negativa Para obtener el generador de proceso, debe calcularse primero la funcin acumulada de densidad: P(x) = }x0dx ) x ( p= } x0xdx e=| |x0xe =| | | |0 xe e p(x) x 42 =1 ex + P(x) = -e 1x+ (4.8) Igualando la variable aleatoria uniforme R, a P(x) y despejando x se tiene: R = P(x) = 1 - ex e R 1x = ln (e ) R 1 ln( )x = - x = ln (1-R) por lo tanto x = (-1/ ) R 1 ln( ) (4.9) dadoquelavariablealeatoriaRessimtricaytieneunadistribucinuniformeentre0y1,ladistribucin probabilsticapara(1-R)equivalealadeR;portantopuedereemplazarse(1-R)porR.Entonces,un generador de proceso igualmente vlido para la distribucin exponencial negativa es: x =(-1/ R ln ) ) (4.10) Dada la tasa promedio de servicio, , y una variable aleatoria uniforme , R, ahora es posible generar valores muestrales para la longitud del tiempo de servicio, x. Ejemplo 4.1 Obtencin de una muestra aleatoria Si la tasa promedio de servicio, , para una operacin determinada es de 6 unidades por hora y se genera el valor aleatorio uniforme de 0.5, entonces el valor muestral sera: x =) 5 . 0 ln( *61 = (-1/6)(-0.693) horas = (-60/6)(-0.693) minutos = 6.93 minutos 4.5Generador de proceso binomial La funcin densidad de la distribucin binomial, se expresa como sigue p(x) =x n x) p 1 ( p)! x n ( ! x! n(4.11) en donde n = nmero de ensayos independientes (tamao de la muestra) p = probabilidad de xito en cualquier ensayo x = variable aleatoria que representa el nmero de xitos en n ensayos Dadoslosparmetrosnyp,elgeneradordeprocesobinomialsimplementeimplicamuestrearnvecesy contarelnmerodexitos,x.Encadaensayo,segeneraunvaloraleatorio,R,ysecomparaconla 43 probabilidad de xito, p. Si el valor aleatorio R es menor que p, el ensayo se denomina xito y se cuenta; si R > p, el ensayo es fracaso. Despus de n ensayos, el nmero total de xitos es el valor de la variable binomial aleatoria. 4.6Prueba de bondad de ajuste Antes de poder utilizar un generador de proceso en un estudio de simulacin, debe demostrarse primero que es posible representar los datos empricos a travs de una distribucin de probabilidad terica conocida.Es posible emplear diversas pruebas estadsticas para probar la bondad de ajuste de una distribucin terica a un conjunto determinado de datos. Una de las que se usan con ms frecuencia es la prueba de ji cuadrada (2_ ). Lapruebade 2_ pretendedeterminarsiexistediferenciasignificativaentrelasfrecuenciasesperadas(las que se basan en la distribucin terica) y las frecuencias reales (las de los datos). Los pasos que se utilizan en el proceso de prueba son los siguientes: 1.Plantear la hiptesis de prueba, H0, que seala que los datos observados se extrajeron de una poblacin que puede describirse a travs de una distribucin terica conocida. 2.Plantearlahiptesisalternativa,H1,quesealaquelosdatosobservadosnoseextrajerondela poblacin planteada en el paso 1. 3.Identificar el nivel de significancia,o , con el que se llevar a cabo la prueba. [recordar que (1- o ) es el nivel de confianza de una prueba estadstica.]. 4.Utilizando la siguiente relacin: = _e2e 0 2calf) f f ((4.12) En donde2cal_= valor calculado de 2_ f0 = frecuencias observadas fe = frecuencias tericas o esperadas Probar la 2cal_con la 2tablas_ . Si 2cal_> 2tablas_ , entonces se rechaza H0 (se acepta H1); si 2cal_s 2tablas_ , no se rechazaH0.Elvalorde 2tablas_ seencuentraenunatabladejicuadradayestdefinidoporelnmerode gradosdelibertad(g.L.).Losgradosdelibertad,paralamayoradelaspruebasdebondaddeajuste,se definen de la siguiente manera: g. l. = Nmero de categoras (clases) nmero de parmetros 1 endondeelnmerodeparmetrossedefinecomoelnmerodeestadsticos( , , o , ,etc.)quese requieren para describir una distribucin determinada. 44 Ejemplo 4.2Prueba de bondad de ajuste Suponer que los datos que aparecen en las dos primeras columnasde la tabla 4.1 corresponden al nmero de clientes que entran a un banco cada hora. Estos datos se recolectaron al azar para 204 periodos de una hora.Conbaseenestosdatos,seplantearalahiptesisH0dequelosdatospuedenrepresentarsepor mediodeunadistribucindePoisson.LahiptesisalternativaH1,esqueladistribucinnopuede representarse mediante la de Poisson. Tabla 4.1Clculos de la prueba Nmero de llegadas por hora (x) Frecuencia observada (fo) Frecuencia esperada (fe) e2e of) f f ( 07075.050.3398 18475.051.0673 23437.52.3302 31212.51.0088 4 o ms43.87 2047461 . 12cal = _ AntesdeprobarlahiptesisH0,senecesitacalcular 2cal_ .Secomienzacalculandoelnmeropromediode llegadas por hora, : 1204204fxfoo= = = Utilizando1 = ylafuncindensidaddePoissonsepuedencalcularlasprobabilidadesdequeentrenal banco diversos nmeros de clientes. Estos sern: P(x=0) = 0.36788 P(x=1) = 0.36788 P(x=2) = 0.18394 P(x=3) = 0.06131 P(x>4) = 0.01899 Dadoquen,nmerototaldeobservaciones,es204,lasfrecuenciastericasoesperadassedeterminan multiplicando las probabilidades anteriores por 204. Estos datos se muestran en la columna 3 de la tabla 4.1. Aplicandolaecuacin4.12sepuedecalcularlacolumna4delatabla.Lasumadelacolumna4produce 2cal_ . (Al calcularla, se supone que cada clase de datos tiene una fe de cuando menos 5. Dado que el valor esperado para x>4 es de slo 3.87 observaciones, se agruparon las clases 3 y 4.) El nmero de grados de libertad para esta prueba especfica es 2, puesto que existen cuatro clases de datos en el conjunto original y la distribucin de Poisson tiene un parmetro, . Si se desea probar la hiptesis H0 a un nivel de confianza del 95 %, entonceso= 0.05. Consultando la tabla de 2_ ,se encuentra que para 45 o=0.05 yg. l.=2,991 . 52tablas = _ . Dadoque 2cal_es menor que 2tablas_ , entoncesno se rechaza H0 y se concluyequelosdatospuedensimularseenformaadecuadaconungeneradordeprocesode Poisson. 4.7 Desviaciones aleatorias normales ElprocesodescritoparaunmuestreodeMontecarlo,noesnecesarioemplearloparaelcasodela distribucinnormal.Paraobtenermuestrasdeladistribucinnormalseutilizantablascondesviaciones aleatoriasnormalesobtenidasdeunapoblacinconmediaceroydesviacinestndaruno.Elelemento correspondiente de la muestra se obtiene multiplicando la desviacin aleatoria normal por xoy sumndole x . Se anexa la tabla de 2_y la tabla con desviaciones aleatorias normales. Ejemplo 4.3 Simulacin del sistema La produccin diaria de un sistema hidroelctrico en kw-h tiene la siguiente distribucin: kw-h/da10111213141516 Probabilidad 0.050.100.200.300.200.100.05 Probabilidad acumulada 0.050.150.350.650.850.951.0 El nmero diario de consumidores de la energa producida tiene la siguiente distribucin: Nmero de consumidores/da 5678910 Probabilidad0.100.150.200.400.100.05 Probabilidad acumulada0.100.250.450.850.951.0 La probabilidad de que un consumidor requiera de 1, 2, o 3 kw-h est dada por: kw-h/consumidor123 Probabilidad0.400.400.20 Probabilidad acumulada0.400.801.0 EstimarconmtodosdeMontecarlo,elnmerodekw-hnoconsumidosyelnmeromediodeKw-h requeridos por da debido a una produccin insuficiente. Suponer que la produccin de un da no puede ser utilizada en el siguiente. 46 Solucin Elprimerpasoconsisteendibujaroconceptualizarladistribucindeprobabilidadacumuladaparalas variables aleatorias en cuestin, las cuales se muestran en las figuras 4.5 a, 4.5 b y 4.5 c: Figura 4.5 Distribuciones de probabilidad acumulada Sesimularn10dasdelprocesoproduccin-consumo,desdeluegounmayornmerodedas proporcionaran resultados ms confiables. Secalcularelnmerodekw-hproducidosencadaunodelos10das,generando10nmerosaleatorios decimales y empleando la figura 4.5 a; los resultados se muestran en la tabla 4.2: Tabla 4.2 Da12345678910 Nmero aleatorio.271.914.045.462.493.983.756.744.184.627 Produccin12151013131614141213 Enseguida se calcula el nmero diario de consumidores generando 10 nmeros aleatorios y usando la figura 4.5 b; los resultados se muestran en la tabla 4.3: Tabla 4.3 Da12345678910 Nmero aleatorio.214.371.936.852.786.991.264.268.308.385 Nmero de consumidores 67998107777 Ahorasecalcularelconsumoparacadaunodelos77clientesquesemuestranenlatabla4.4.Estose logra utilizando la figura 4.5c y los resultados se muestran en la tabla 4.4. La suma por columna proporciona 1.0 0.5 101112131415165678910123 0 1.01.0 0.5 0.50.5 00 Produccin diariaNmero diario deConsumidores Consumo diario F(x)F(x)F(x) 4.5 a4.5 b4.5 c 47 la demanda del da correspondiente y la diferencia de stas con la produccin respectiva conduce al dficit o al exceso de la misma. Tabla 4.4 Da Consumidor 1 2 34 5678 910 Consumo total Produccin Dficit Exceso 1 N. A..37.08.65.08.57.22 Cons.1121218124 2 N. A..10.72.85.51.01.09.26 Cons.123211111154 3 N. A..73.55.69.84.41.49.90.72.92 Cons.222322323211011 4 N. A..05.92.40.67.89.13.37.34.52 Cons.13223111216133 5 N. A..14.04.68.20.07.95.18.58 Cons.1121131212131 6 N. A..53.90.52.82.48.30.44.25.68.53 Cons.232321212220164 7 N. A..21.99.38.34.01.63.03 Cons.131112110144 8 N. A..16.55.37.99.39.71.53 Cons.121312212142 9 N. A..49.38.02.95.43.17.56 Cons.21132121212-- 10 N. A..97.37.75.60.12.97.95 Cons.312213316133 2115 Enelperiodode10dassimuladossetieneuntotalde15Kw-hnoconsumidosyuntotalde21Kw-h requeridos y no proporcionados. Consecuentemente: Nmero medio de kw-h no consumidos = 1.5 kw-h/da Nmero medio de kw-h requeridos y no proporcionados = 2.1 kw-h/da Ejemplo 4.4 Toma de decisiones con simulacin Lagerenciadeunaempresadeferrocarrilconsideranecesariopintarsusvagonesunavezalao.La alternativa1cuesta$150000alao,yconsisteenoperardostalleresdepinturadondesepintar manualmente. El tiempo requerido para pintar cada vagn tiene una distribucin exponencial con promedio de 6 horas. La alternativa 2 consiste en operar un taller donde utilizar aire comprimido; el costo anual ser de $200 000. En este caso, el tiempo para pintar cada vagn tambin sigue una distribucin exponencial con 48 promedio de 3horas. En ambos casos, losvagones llegaran al taller siguiendo una distribucin de Poisson con promedio de un vagn por cada 8 horas. Si no se utiliza un vagn, el costo es de $30 por hora, y se supone que los talleres estaran operando todas las 8760 horas del ao. Cul de las dos alternativas es la mejor? Solucin Para generar muestras aleatorias de las llegadas y de los servicios, se utilizarn los generadores de proceso de Poisson y exponencial, respectivamente. Tiempo entre llegadas: x = -1/ (ln R) Tiempo de servicio: x = -1/ (ln R) Donde eslatasapromediodellegadasy eslatasapromediodeservicio;Rrepresentaaunnmero decimalaleatorio,elcualpuedesergeneradoenunahojadeclculodeExcel:HerramientasAnlisisde datosGeneracindenmerosaleatorios,enestaventanadedilogohayqueestablecerelNmerode variables, Cantidad de nmeros aleatorios y Distribucin, que se refiere al nmero de variables aleatorias en cuestin,alacantidaddenmerosencadaconjuntoyaltipodenmeroquesedeseagenerar, respectivamente. En este caso, se necesitan de una distribucin uniforme. La tasa promedio de llegadas en ambas alternativas es = 3 vagones por da, la tasa promedio de servicio para la alternativa 1 es de = 4 vagones por da y para la alternativa 2 es de =8 vagones por da. Elprocesodesimulacinseharenunahojadeclculoysesimularcadatiempoentrellegadasycada tiempo de servicio, con las expresiones: Tiempo entre llegadas, alternativas 1 y 2: x = -1/3 (ln R) das = -24/3 (ln R) = -8 ln R (horas) Tiempo de servicio, alternativa 1: x = -1/4 (ln R) das = -24/4 (ln R) = -6 ln R (horas) Tiempo de servicio, alternativa 2: x = -1/8 (ln R) das = -24/8 (ln R) = -3 ln R (horas) 49 H o r a d e i n i c i o : 0 h r sS I S T E M A M / M / 2 A L T E R N A T I V A 1T i e m p o H o r a e nN A e n t r e H o r a e n E s p e r a ? q u e e n t r a N A T i e m p o H o r a e n T a l l e r L L ql l e g a d a s q u e l l e g a a s e r v i c i o d e s e r v i c i o q u e s a l e0 . 3 8 2 7 . 6 9 8 6 7 4 7 . 6 9 8 6 7 4 7 . 6 9 8 6 7 4 0 . 1 0 0 6 8 1 1 3 . 7 7 4 8 2 2 1 . 4 7 3 4 9 1 1 00 . 8 8 4 6 1 0 . 9 8 0 8 7 2 8 . 6 7 9 5 4 5 8 . 6 7 9 5 4 5 0 . 9 5 8 4 6 4 0 . 2 5 4 5 3 8 8 . 9 3 4 0 8 3 2 2 00 . 8 6 3 2 4 7 1 . 1 7 6 4 3 9 9 . 8 5 5 9 8 5 9 . 8 5 5 9 8 5 0 . 1 3 8 5 8 5 1 1 . 8 5 7 6 5 2 1 . 7 1 3 6 3 2 2 00 . 0 3 2 3 8 2 7 . 4 4 1 6 8 3 7 . 2 9 7 6 7 3 7 . 2 9 7 6 7 0 . 1 6 4 1 2 9 1 0 . 8 4 2 6 3 4 8 . 1 4 0 3 1 1 00 . 2 8 5 0 4 3 1 0 . 0 4 0 9 3 4 7 . 3 3 8 5 9 4 7 . 3 3 8 5 9 0 . 3 4 3 0 8 9 6 . 4 1 8 5 9 1 5 3 . 7 5 7 1 8 2 2 00 . 3 7 1 8 3 8 7 . 9 1 4 3 8 6 5 5 . 2 5 2 9 8 5 5 . 2 5 2 9 8 0 . 3 5 5 6 0 2 6 . 2 0 3 6 6 4 6 1 . 4 5 6 6 4 1 1 00 . 4 2 6 1 6 6 . 8 2 3 5 1 5 6 2 . 0 7 6 4 9 6 2 . 0 7 6 4 9 0 . 3 0 3 9 0 3 7 . 1 4 6 2 7 4 6 9 . 2 2 2 7 7 2 1 00 . 9 9 1 2 4 1 0 . 0 7 0 3 7 9 6 2 . 1 4 6 8 7 6 2 . 1 4 6 8 7 0 . 2 5 6 2 6 4 8 . 1 6 9 2 8 4 7 0 . 3 1 6 1 5 1 2 00 . 7 0 5 0 3 9 2 . 7 9 6 0 2 2 6 4 . 9 4 2 8 9 4 . 2 7 9 8 7 3 6 9 . 2 2 2 7 7 0 . 8 1 6 5 2 3 1 . 2 1 6 2 0 3 7 0 . 4 3 8 9 7 2 3 10 . 3 0 0 2 1 1 9 . 6 2 6 1 6 9 7 4 . 5 6 9 0 6 7 4 . 5 6 9 0 6 0 . 7 5 0 2 0 6 1 . 7 2 4 4 4 5 7 6 . 2 9 3 5 1 1 1 00 . 0 7 4 3 4 3 2 0 . 7 9 2 5 2 9 5 . 3 6 1 5 8 9 5 . 3 6 1 5 8 0 . 1 9 8 4 3 1 9 . 7 0 3 8 7 3 1 0 5 . 0 6 5 5 2 1 00 . 4 8 7 0 4 5 5 . 7 5 5 1 9 2 1 0 1 . 1 1 6 8 1 0 1 . 1 1 6 8 0 . 5 1 1 2 1 6 4 . 0 2 5 7 8 4 1 0 5 . 1 4 2 6 1 2 00 . 0 4 0 7 1 2 2 5 . 6 0 9 9 2 1 2 6 . 7 2 6 7 1 2 6 . 7 2 6 7 0 . 2 3 0 7 2 8 . 7 9 9 3 0 4 1 3 5 . 5 2 6 2 1 00 . 1 0 0 3 1 4 1 8 . 3 9 5 5 7 1 4 5 . 1 2 2 3 1 4 5 . 1 2 2 3 0 . 2 5 6 6 9 1 8 . 1 5 9 2 8 9 1 5 3 . 2 8 1 6 1 1 00 . 8 0 9 1 0 7 1 . 6 9 4 5 9 6 1 4 6 . 8 1 6 9 1 4 6 . 8 1 6 9 0 . 7 2 4 3 2 6 1 . 9 3 5 0 8 1 4 8 . 7 5 1 9 2 2 00 . 7 5 6 1 5 7 2 . 2 3 6 0 4 9 1 4 9 . 0 5 2 9 1 4 9 . 0 5 2 9 0 . 6 2 6 5 1 4 2 . 8 0 5 5 1 5 1 . 8 5 8 4 2 2 00 . 5 5 2 3 2 4 4 . 7 4 8 9 6 4 1 5 3 . 8 0 1 9 1 5 3 . 8 0 1 9 0 . 7 1 1 5 0 9 2 . 0 4 2 2 0 7 1 5 5 . 8 4 4 1 2 1 00 . 9 7 0 2 7 5 0 . 2 4 1 4 0 6 1 5 4 . 0 4 3 3 1 5 4 . 0 4 3 3 0 . 6 8 6 9 4 1 2 . 2 5 3 0 4 1 5 6 . 2 9 6 3 1 2 00 . 8 0 5 6 5 8 1 . 7 2 8 7 6 6 1 5 5 . 7 7 2 0 . 0 7 2 0 3 5 1 5 5 . 8 4 4 1 0 . 2 6 2 2 1 5 8 . 0 3 1 5 4 2 1 6 3 . 8 7 5 6 2 2 00 . 1 1 4 8 4 1 1 7 . 3 1 3 6 4 1 7 3 . 0 8 5 7 1 7 3 . 0 8 5 7 0 . 0 5 9 5 1 1 1 6 . 9 2 9 5 6 1 9 0 . 0 1 5 2 1 1 04 . 3 5 1 9 0 8 1 3 2 . 2 9 3 3 3 1 1C o s t o : L = 1 . 5 5T a l l e r = 3 2 5 3 . 6 8 6 C o s t o d i a r i o a l t e r n a t i v a 1 = 9 2 8 . 7 3 0 7 L q = 0 . 0 5E s p e r a 4 0 9 9 . 3 5 5 W = 6 . 8 3 2 2 5 9 d a s7 3 5 3 . 0 4 1 W q = 0 . 2 1 7 5 9 5 d a s

50 Comparando los costos de las alternativas, se observa que es menor el costo diario asociado a la alternativa 1 (utilizar dos talleres de pintura), por lo que es preferible esta alternativa. Este problema est resuelto tambin con criterio de lnea de espera en el captulo 3, por lo que se sugiere al lectorcomparar ambos mtodos e inferir conclusiones. H o r a d e i n i c i o : 0 h r sS I S T E M A M / M / 1 A L T E R N A T I V A 2T i e m p o H o r a e nN A e n t r e H o r a e n E s p e r a ? q u e e n t r a N A T i e m p o H o r a e n L L ql l e g a d a s q u e l l e g a a s e r v i c i o d e s e r v i c i o q u e s a l e0 . 5 9 6 4 8 4 4 . 1 3 3 6 1 9 4 . 1 3 3 6 1 9 4 . 1 3 3 6 1 9 0 . 8 9 9 1 0 6 0 . 3 1 9 0 6 4 4 . 4 5 2 6 8 3 1 00 . 0 1 4 4 9 6 3 3 . 8 7 0 9 3 8 . 0 0 4 5 2 3 8 . 0 0 4 5 2 0 . 4 0 7 4 2 2 2 . 6 9 3 7 1 7 4 0 . 6 9 8 2 3 1 00 . 2 4 5 0 3 3 1 1 . 2 5 0 9 4 9 . 2 5 5 4 1 4 9 . 2 5 5 4 1 0 . 0 4 5 4 7 3 9 . 2 7 1 9 3 7 5 8 . 5 2 7 3 5 1 00 . 2 1 9 6 1 1 1 2 . 1 2 7 1 7 6 1 . 3 8 2 5 9 6 1 . 3 8 2 5 9 0 . 0 1 7 0 9 1 2 . 2 0 7 7 2 7 3 . 5 9 0 3 1 2 10 . 5 5 3 6 3 6 4 . 7 2 9 9 7 9 6 6 . 1 1 2 5 7 7 . 4 7 7 7 4 2 7 3 . 5 9 0 3 1 0 . 3 5 7 3 7 2 3 . 0 8 6 9 3 6 7 6 . 6 7 7 2 4 2 10 . 9 1 0 3 0 6 0 . 7 5 1 7 9 5 6 6 . 8 6 4 3 6 9 . 8 1 2 8 8 4 7 6 . 6 7 7 2 4 0 . 4 6 6 0 1 8 2 . 2 9 0 5 9 5 7 8 . 9 6 7 8 4 3 20 . 9 7 5 7 0 7 0 . 1 9 6 7 4 1 6 7 . 0 6 1 1 1 1 . 9 0 6 7 4 7 8 . 9 6 7 8 4 0 . 8 0 6 6 6 5 0 . 6 4 4 5 4 7 9 . 6 1 2 3 8 4 30 . 9 5 1 6 8 9 0 . 3 9 6 1 3 4 6 7 . 4 5 7 2 4 1 2 . 1 5 5 1 4 7 9 . 6 1 2 3 8 0 . 0 5 3 4 3 8 8 . 7 8 7 7 0 5 8 8 . 4 0 0 0 8 5 40 . 9 7 2 5 0 3 0 . 2 2 3 0 5 8 6 7 . 6 8 0 2 9 2 0 . 7 1 9 7 9 8 8 . 4 0 0 0 8 0 . 4 6 6 3 2 3 2 . 2 8 8 6 3 1 9 0 . 6 8 8 7 1 6 50 . 3 5 1 4 8 2 8 . 3 6 4 7 8 2 7 6 . 0 4 5 0 8 1 4 . 6 4 3 6 4 9 0 . 6 8 8 7 1 0 . 7 7 5 6 5 8 0 . 7 6 2 1 2 9 9 1 . 4 5 0 8 4 6 50 . 0 6 4 0 5 8 2 1 . 9 8 3 6 9 9 8 . 0 2 8 7 6 9 8 . 0 2 8 7 6 0 . 3 5 8 3 4 8 3 . 0 7 8 7 4 9 1 0 1 . 1 0 7 5 1 00 . 3 7 3 4 5 5 7 . 8 7 9 6 6 2 1 0 5 . 9 0 8 4 1 0 5 . 9 0 8 4 0 . 9 8 5 9 0 . 0 4 2 6 1 0 5 . 9 5 1 1 00 . 0 0 4 9 7 5 4 2 . 4 2 7 4 2 1 4 8 . 3 3 5 8 1 4 8 . 3 3 5 8 0 . 9 2 6 1 4 5 0 . 2 3 0 1 7 3 1 4 8 . 5 6 6 1 00 . 7 7 5 6 8 9 2 . 0 3 2 0 2 9 1 5 0 . 3 6 7 9 1 5 0 . 3 6 7 9 0 . 6 7 9 6 4 7 1 . 1 5 8 5 4 4 1 5 1 . 5 2 6 4 1 00 . 0 8 5 0 5 5 1 9 . 7 1 5 6 5 1 7 0 . 0 8 3 5 1 7 0 . 0 8 3 5 0 . 1 3 2 2 6 7 6 . 0 6 8 7 9 3 1 7 6 . 1 5 2 3 1 00 . 1 7 3 6 5 1 4 . 0 0 5 6 9 1 8 4 . 0 8 9 2 1 8 4 . 0 8 9 2 0 . 4 0 4 7 9 8 2 . 7 1 3 1 0 5 1 8 6 . 8 0 2 3 1 00 . 5 5 5 1 6 2 4 . 7 0 7 9 6 1 8 8 . 7 9 7 2 1 8 8 . 7 9 7 2 0 . 1 8 1 1 5 8 5 . 1 2 5 1 5 9 1 9 3 . 9 2 2 3 1 00 . 5 2 8 7 9 4 5 . 0 9 7 2 4 7 1 9 3 . 8 9 4 4 0 . 0 2 7 9 1 2 1 9 3 . 9 2 2 3 0 . 7 9 6 6 8 6 0 . 6 8 1 8 8 5 1 9 4 . 6 0 4 2 2 10 . 1 7 7 9 5 3 1 3 . 8 0 9 8 7 2 0 7 . 7 0 4 3 2 0 7 . 7 0 4 3 0 . 8 6 6 7 5 6 0 . 4 2 8 9 9 3 2 0 8 . 1 3 3 3 1 00 . 7 6 1 5 5 9 2 . 1 7 9 1 0 2 2 0 9 . 8 8 3 4 2 0 9 . 8 8 3 4 0 . 7 3 8 3 9 5 0 . 9 0 9 8 2 8 2 1 0 . 7 9 3 2 1 07 6 . 7 4 3 8 5 6 2 . 7 9 0 8 4 2 2 2C o s t o : L = 2 . 1T a l l e r = 4 8 1 2 . 6 3 1 C o s t o d i a r i o d e a l t e r n a t i v a 2 = 1 0 2 4 . 5 4 9 L q = 1 . 1E s p e r a 4 1 8 6 . 0 4 W = 6 . 9 7 6 7 3 3 d a s8 9 9 8 . 6 7 W q = 3 . 8 3 7 1 9 2 d a s 51 ANEXO: TABLAS Tabla A.1 Ordenadas de la curva normal estndar 2 / z2e21) z ( f= t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 0.3989 0.3989 0.3989 0.3988 0.3986 0.3984 0.3982 0.3980 0.3977 0.39730.1 0.3970 0.3965 0.3961 0.3956 0.3951 0.3945 0.3939 0.3932 0.3925 0.39180.2 0.3910 0.3902 0.3894 0.3885 0.3876 0.3867 0.3857 0.3847 0.3836 0.38250.3 0.3814 0.3802 0.3790 0.3778 0.3765 0.3752 0.3739 0.3725 0.3712 0.36970.4 0.3683 0.3668 0.3653 0.3637 0.3621 0.3605 0.3589 0.3572 0.3555 0.35380.5 0.3521 0.3503 0.3485 0.3467 0.3448 0.3429 0.3410 0.3391 0.3372 0.33520.6 0.3332 0.3312 0.3292 0.3271 0.3251 0.3230 0.3209 0.3187 0.3166 0.31440.7 0.3123 0.3101 0.3079 0.3056 0.3034 0.3011 0.2989 0.2966 0.2943 0.29200.8 0.2897 0.2874 0.285 0.2827 0.2803 0.278 0.2756 0.2732 0.2709 0.26850.9 0.2661 0.2637 0.2613 0.2589 0.2565 0.2541 0.2516 0.2492 0.2468 0.24441 0.2420 0.2396 0.2371 0.2347 0.2323 0.2299 0.2275 0.2251 0.2227 0.22031.1 0.2179 0.2155 0.2131 0.2107 0.2083 0.2059 0.2036 0.2012 0.1989 0.19651.2 0.1942 0.1919 0.1895 0.1872 0.1849 0.1826 0.1804 0.1781 0.1758 0.17361.3 0.1714 0.1691 0.1669 0.1647 0.1626 0.1604 0.1582 0.1561 0.1539 0.15181.4 0.1497 0.1476 0.1456 0.1435 0.1415 0.1394 0.1374 0.1354 0.1334 0.13151.5 0.1295 0.1276 0.1257 0.1238 0.1219 0.1200 0.1182 0.1163 0.1145 0.11271.6 0.1109 0.1092 0.1074 0.1057 0.1040 0.1023 0.1006 0.0989 0.0973 0.09571.7 0.0940 0.0925 0.0909 0.0893 0.0878 0.0863 0.0848 0.0833 0.0818 0.08041.8 0.0790 0.0775 0.0761 0.0748 0.0734 0.0721 0.0707 0.0694 0.0681 0.06691.9 0.0656 0.0644 0.0632 0.0620 0.0608 0.0596 0.0584 0.0573 0.0562 0.05512 0.0540 0.0529 0.0519 0.0508 0.0498 0.0488 0.0478 0.0468 0.0459 0.04492.1 0.0440 0.0431 0.0422 0.0413 0.0404 0.0396 0.0387 0.0379 0.0371 0.03632.2 0.0355 0.0347 0.0339 0.0332 0.0325 0.0317 0.0310 0.0303 0.0297 0.02902.3 0.0283 0.0277 0.0270 0.0264 0.0258 0.0252 0.0246 0.0241 0.0235 0.02292.4 0.0224 0.0219 0.0213 0.0208 0.0203 0.0198 0.0194 0.0189 0.0184 0.01802.5 0.0175 0.0171 0.0167 0.0163 0.0158 0.0154 0.0151 0.0147 0.0143 0.01392.6 0.0136 0.0132 0.0129 0.0126 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0.01072.7 0.0104 0.0101 0.0099 0.0096 0.0093