APUNTES DE ANALISIS ARM ONICO Irene Drelichman y Ricardo G ... · 5. Convergencia en Lppara series...

APUNTES DE ANALISIS ARMONICO

Irene Drelichman y Ricardo G. Duran

Indice general

Capıtulo 1. Series de Fourier 11. Algunas nociones historicas 12. La ecuacion de la cuerda vibrante 13. Metodo de separacion de variables 24. Desarrollo en series de Fourier 45. La ecuacion del calor 66. La convolucion y el nucleo de Dirichlet 77. Convergencia Cesaro de series de Fourier 108. Convergencia Abel para series de Fourier 13

Capıtulo 2. Convergencia en Lp para series de Fourier 171. La transformada de Hilbert en el caso periodico 172. Convergencia en L2 para series de Fourier 193. Convergencia en L2 para la transformada de Hilbert 234. Convergencia en Lp para la transformada de Hilbert 245. Convergencia en Lp para series de Fourier 306. La transformada de Hilbert como integral singular 31

Capıtulo 3. La transformada de Fourier 351. La transformada de Fourier en R 352. La transformada de Fourier en Rn 383. La ecuacion del calor en el semiespacio Rn × R+ 414. Transformada de Fourier en L2(Rn) 425. El espacio S 436. El espacio S ′ 44

Capıtulo 4. La transformada de Hilbert en R 471. El problema de Dirichlet en el semiplano R× R+ 472. La transformada de Hilbert en R 483. Otros ejemplos de integrales singulares de convolucion 52

Capıtulo 5. Integrales singulares 551. Operadores integrales singulares 552. Integrales singulares con nucleos homogeneos 65

Capıtulo 6. B.M.O. y H1 751. El espacio B.M.O. 752. El espacio H1 atomico 80

3

4 Indice general

3. Dualidad entre H1 y B.M.O. 824. Continuidad de integrales singulares en H1(Rn) 85

Capıtulo 7. Pesos Ap 871. Condicion necesaria para el tipo debil 872. Suficiencia para el tipo debil (1, 1) 893. Suficiencia para el tipo debil (p, p), p > 1 914. Caracterizacion de pesos A1 955. Extrapolacion 976. La funcion maximal diadica 997. Acotaciones con pesos para integrales singulares 99

Capıtulo 8. Derivadas e integrales fraccionarias 1091. Derivadas e integrales fraccionarias 1092. Condicion necesaria para la continuidad de la integral fraccionaria1113. Continuidad de la integral fraccionaria 1124. Teoremas de inmersion de Sobolev 113

Capıtulo 1

Series de Fourier

1. Algunas nociones historicas

En 1807 Fourier escribe su teorıa sobre la difusion del calor y re-suelve la ecuacion utilizando los metodos de las series de funcionestrigonometricas que llevan su nombre. Usa que dada una funcion fdefinida en un intervalo, digamos por comodidad f : [−π, π]→ R (oC), la podemos pensar como una funcion periodica definida en todala recta y representar como

f(x)“ = ”∞∑n=0

(an cos(nx) + bn sin(nx)).

En la epoca de Fourier ni siquiera estaba bien definido que era unafuncion, y recien Dirichlet demostro tiempo despues que si f es unafuncion derivable entonces la serie de Fourier converge.Unos 50 anos antes de que Fourier estudiara la ecuacion del calor,Daniel Bernoulli habıa resuelto con el mismo metodo la ecuacion dela cuerda vibrante, pero sus ideas no prosperaron porque no estabaclaro que funciones podıan admitir un desarrollo en serie de Fourier.Alrededor de 1920 se probo que si f ∈ Lp para algun p tal que1 < p < ∞, entonces la serie de Fourier converge en Lp. Ya eraconocido que existen funciones continuas tales que su serie de Fourierpuede no converger en algun punto. Veremos que la convergencia enLp esta relacionada con la transformada de Hilbert, que es el primerejemplo de integral singular.Carleson probo que basta con f ∈ L2 para que la serie de Fourierconverja en casi todo punto.

2. La ecuacion de la cuerda vibrante

Supongamos que tenemos una cuerda de longitud L fija en los extremos yqueremos estudiar como vibra si uno la pulsa. Para esto, dado x ∈ [0, L],llamamos u(x, t) la posicion del punto x en tiempo t.

Podemos pensar que la cuerda esta compuesta por N masas puntuales enpuntos xn = nh, donde h = L

N . Si la cuerda es homogenea y tiene densidad

2 1. SERIES DE FOURIER

de masa constante por unidad de medida (para fijar ideas digamos que esigual a ρ), entonces la masa total es ρL y la masa puntual en cada xn esρLN = ρh. Suponemos entonces que la cuerda vibrante es un sistema de Npartıculas, y que cada una oscila unicamente en la direccion vertical, peroque ademas, por la tension de la cuerda, la fuerza que actua sobre xn dependede xn−1 y xn+1.

Llamamos yn(t) a la posicion de xn en el instante t, es decir, yn(t) = u(xn, t).Por la ley de Newton, la fuerza que actua sobre xn es Fn = ρhy′′n(t). Sisuponemos que esta fuerza es proporcional, respectivamente, a las diferenciasyn−1−yn

h y yn+1−ynh , tenemos que la fuerza (o tension) que actua por la derecha

es τh(yn+1 − yn) y la que actua por la izquierda es τ

h(yn−1 − yn), donde τ esuna constante que depende solo del material de la cuerda. Entonces

ρhy′′n(t) =τ

h(yn+1(t)− 2yn(t) + yn−1(t)))

=τ

h(u(xn+1, t)− 2u(xn, t) + u(xn−1, t))

=τ

h(u(xn + h, t)− 2u(xn, t) + u(xn − h, t)).(1.1)

Como para una funcion F dos veces derivable vale que

lımh→0

F (x+ h)− 2F (x) + F (x− h)

h2= F ′′(x),

dividiendo por h la igualdad (1.1) y pasando al lımite (notar que, cuandoh→ 0, N →∞), deducimos la ecuacion de la cuerda vibrante o ecuacion deondas en una variable espacial:

(1.2) ρ∂2u

∂t2(x, t) = τ

∂2u

∂x2(x, t).

Para poder resolverla, ademas de saber que la cuerda esta fija en los ex-tremos, es decir que u(0, t) = u(L, t) = 0, necesitamos conocer los datosiniciales de posicion y velocidad, digamos u(x, 0) = f(x) y ∂u

∂t (x, 0) = g(x).Con estos datos iniciales la ecuacion esta bien planteada y puede resolversemediante el metodo de separacion de variables, que explicamos a continua-cion.

3. Metodo de separacion de variables

Buscamos soluciones de la ecuacion (1.2) de la forma u(x, t) = ϕ(x)ψ(t). Porsimplicidad, ya que ρ, τ ≥ 0, supondremos que τ

ρ = 1. Entonces obtenemos

ψ′′(t)

ψ(t)=ϕ′′(x)

ϕ(x).

3. METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 3

Como la parte derecha de la ecuacion no depende de x y la parte izquierdano depende de t, deducimos que para algun λ ∈ C deben verificarse lasecuaciones

ϕ′′(x) = λϕ(x),

ψ′′(t) = λψ(t).

Las soluciones de la primer ecuacion son de la forma ϕ(x) = Ae√λx +

Be−√λx. Como ademas tienen que cumplir los datos de borde u(0, t) =

u(L, t) = 0, resulta que ϕ(0) = ϕ(L) = 0, de donde

e2√λL = 1

y, por lo tanto, tenemos una sucesion de posibles valores

λn = −n2π2

L2(n ∈ Z)

a la que corresponde una sucesion ϕn de soluciones linealmente indepen-dientes de la ecuacion ϕ′′(x) = λnϕ(x), que estan dadas por

ϕn(x) = sin(nπLx).

Razonando analogamente para ψ(t) (teniendo en cuenta que en este caso nointervienen las condiciones de borde), obtenemos

ψn(t) = an sin(nπLt)

+ bn cos(nπLt),

donde an y bn son constantes arbitrarias.

En conclusion, tenemos una sucesion de soluciones de la ecuacion de lacuerda vibrante (sin datos inciales) dada por

un(x, t) = ϕn(x)ψn(t) = sin(nπLx)(

an sin(nπLt)

+ bn cos(nπLt))

.

Si consideramos la solucion

u(x, t) =

∞∑n=1

sin(nπLx)(

an sin(nπLt)

+ bn cos(nπLt))

e imponemos las condiciones iniciales

u(x, 0) = f(x)

∂u

∂t(x, 0) = g(x)


necesitamos (operando formalmente con la serie) que se verifiquen las igual-dades

u(x, 0) =

∞∑n=1

bn sin(nπLx)

= f(x),

∂u

∂t(x, 0) =

∞∑n=1

annπ

Lsin(nπLx)

= g(x).

Surge por lo tanto el problema de determinar si para datos iniciales f, g existeuna escritura en serie de senos como la que necesitamos. Como veremos, larespuesta es afirmativa.

Para simplificar, supongamos que L = π. Nuestro problema es entonces,dada f : [0, π]→ R, ver si es posible encontrar valores bn tales que

f(x)“ = ”

∞∑n=1

bn sin(nx).

Si suponemos que dichos valores existen, multiplicando la serie por sin(kx), k ∈N, e integrando (operamos formalmente para intercambiar serie e integral)obtenemos

f(x) sin(kx) =

∞∑n=1

bn sin(nx) sin(kx),

∫ π

0f(x) sin(kx) dx =

∞∑n=1

bn

∫ π

0sin(nx) sin(kx) dx.

Observando que ∫ π

0sin(nx) sin(kx) dx =

π2 si n = k0 si n 6= k

podemos despejar

bk =2

π

∫ π

0f(x) sin(kx) dx.

Un razonamiento analogo permite despejar los coeficientes an.

4. Desarrollo en series de Fourier

Mas en general, dada una funcion f : [−π, π] → R, le podemos asociar unaserie de senos y cosenos dada por

f(x) ∼ a0

2+

∞∑n=1

(an cos(nx) + bn sin(nx))

4. DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER 5

y, razonando como antes,

an =1

π

∫ π

−πf(x) cos(nx) dx,

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sin(nx) dx.

Es importante observar que si f ∈ L1([−π, π]), an, bn estan bien definidos.Los llamamos coeficientes de Fourier de f .

Observacion 1.1. Notemos que si f es una funcion impar (es decir, f(x) =−f(−x)), entonces an = 0 para todo n. Analogamente, si f es una funcionpar (es decir, f(x) = f(−x)), entonces bn = 0 para todo n.

En general es mas facil trabajar con una serie de exponenciales complejasen lugar de una serie de senos y cosenos. O sea, dada f : [−π, π] → C, leasociamos la serie de Fourier

f(x) ∼∑n∈Z

cneinx.

De manera analoga al caso anterior, multiplicando por e−ikx e integrando(siempre de manera formal), deducimos que∫ π

−πf(x)e−ikx dx =

∞∑n=−∞

cn

∫ π

−πei(n−k)x dx.

Observando que ∫ π

−πei(n−k)x dx =

2π si n = k0 si n 6= k

deducimos que

ck =1

2π

∫ π

−πf(x)e−ikx dx.

Notacion 1.2. Es frecuente el uso de la notacion f(n) = cn, por lo queen lo sucesivo escribiremos la serie de Fourier asociada a f como f(x) ∼∑

n∈Z f(n)einx.

Observacion 1.3. Si f toma valores reales, podemos pasar de la formaexponencial a la trigonometrica observando que, en este caso, cn = c−n.


Entonces

f(x) ∼−1∑

n=−∞cne

inx + c0 +∞∑n=1

cneinx

=∞∑n=1

c−ne−inx + c0 +

∞∑n=1

cneinx

=

∞∑n=1

cne−inx + c0 +

∞∑n=1

cneinx

= c0 +∞∑n=1

[(cn + cn) cos(nx) + i(cn − cn) sin(nx)]

por lo que para pasar de una forma a otra basta utilizar las relacionesan = cn + cn

bn = i(cn − cn)

Observacion 1.4. Si queremos obtener la serie de Fourier de f : [−L/2, L/2]→C, basta observar que g(x) := f( L2πx) esta definida en [−π, π] y, por lo tanto,

g(x) = f

(L

2πx

)∼∑n∈Z

cneinx

con

cn =1

2π

∫ π

−πg(x)e−inx dx =

1

L

∫ L/2

−L/2f(x)e−2πi n

Lx dx.

Entoncesf(x) ∼

∑n∈Z

cne2πi n

Lx

5. La ecuacion del calor

Lo visto anteriormente se puede aplicar a la ecuacion con condiciones ini-ciales ut − uxx = 0 (x, t) ∈ (0, π)× (0, T )

u(0, t) = u(π, t) = 0 ∀t ∈ (0, T )u(x, 0) = f(x)

que modela como evoluciona la temperatura de una barra sabiendo que losextremos se mantienen a cero grados y conociendo la temperatura inicial.

Usando el metodo de separacion de variables, podemos obtener la sucesion

de soluciones de variables separadas un(x, t) = e−n2t sin(nx) y armar una

solucion general de la forma

(1.3) u(x, t) =

∞∑n=1

bne−n2t sin(nx)

6. LA CONVOLUCION Y EL NUCLEO DE DIRICHLET 7

que cumple con la condicion de borde. Para que satisfaga el dato inicialdebemos encontrar bn tales que

u(x, 0) =∞∑n=0

bn sin(nx) = f(x).

Como ya anticipamos, si f es suficientemente buena (mas adelante especifi-caremos en que sentido), los coeficientes bn existen y estan dados por

bn =1

2π

∫ π

−πf(x)e−inx dx.

Es interesante notar que este metodo para construir soluciones generalizalos resultados que conocemos en dimension finita. En efecto, supongamosque queremos encontrar y : [0, π]→ Rn que sea solucion del problema

y′ = Ay, A ∈ Rn×n.

Si A es diagonalizable, entonces sabemos que existe una base de autovectoresv1, . . . , vn tales que Avn = λnvn y que entonces v1e

λ1t, . . . , vneλnt es

una base de soluciones del sistema lineal homogeneo, por lo que la soluciongeneral es

y(t) =

n∑k=1

bkvkeλkt.

Si pensamos que reemplazamos la transformacion lineal y → Ay por ϕ(x, t)→∂2

∂x2ϕ y que ϕn = sin(nx) son los “autovectores”(autofunciones) de este ope-

rador, entonces el desarrollo de Fourier (1.3) generaliza al caso infinito laescritura de la solucion en una base de autofunciones.

6. La convolucion y el nucleo de Dirichlet

Observacion 1.5. Como vimos, dada f : [−π, π) → C, si f ∈ L1([−π, π])le podemos asociar su serie de Fourier

f(x) ∼∑n∈Z

cneinx, cn =

1

2π

∫ π

−πf(x)e−inx dx.

De ahora en mas pensaremos siempre que f esta extendida de manera pe-riodica a R o, gracias a la correspondencia x↔ eix, que f : S1 → C, dondeS1 es la circunferencia unitaria. Entonces, cuando hablamos de f continuaentendemos que la continuidad vale en S1 o, lo que es lo mismo, que laextension periodica de f es continua en todo R.


Definicion 1.6. Dadas f, g : R → C, 2π-periodicas y tales que f, g ∈L1loc(R), definimos su convolucion como

(f ∗ g)(x) =

∫ π

−πf(x− y)g(y) dy.

Observacion 1.7. Es inmediato de la definicion que f ∗ g = g ∗ f .

Nuestro objetivo es estudiar si dada una serie de Fourier asociada a unafuncion f , la misma converge y, en caso afirmativo, si converge a f . Elprimer resultado afirmativo en este sentido que demostraremos es que si f esderivable en x, entonces la serie de Fourier asociada converge puntualmentea f en x. Para esto, probaremos que las sumas parciales simetricas

SN (f)(x) :=

N∑−N

cneinx

se pueden representar como una convolucion. Para no sobrecargar la nota-cion, en adelante escribiremos SNf en lugar de SN (f).

Claramente,

SNf(x) =

N∑n=−N

cneinx

=N∑

n=−N

(1

2π

∫ π

−πf(t)e−int dt

)einx

=1

2π

∫ π

−πf(t)

(N∑

n=−Nein(x−t)

)dt,(1.4)

que es una convolucion, pero nos interesa encontrar una expresion masexplıcita dependiente de N que no involucre sumas.

Para esto, si s 6= 2mπ,m ∈ Z podemos escribir

DN (s) :=

N∑n=−N

eins

= e−iNsN∑

n=−Nei(n+N)s = e−iNs

2N∑k=0

eiks

= e−iNs(ei(2N+1)s − 1)

eis − 1=ei(N+1)s − e−iNs

eis − 1

= ei12s (ei(N+ 1

2)s − e−i(N+ 1

2)s)

eis − 1=ei(N+ 1

2)s − e−i(N+ 1

2)s

eis2 − e−i

s2

.

6. LA CONVOLUCION Y EL NUCLEO DE DIRICHLET 9

Por (1.4), vale entonces que

SNf(x) =1

2π(f ∗DN )(x)

donde DN es el nucleo de Dirichlet , dado por

DN (s) =sin((N + 1

2)s)

sin( s2).

Observacion 1.8. Una propiedad que usaremos es que

1

2π

∫ π

−πDN (t) dt = 1.

Esto se deduce facilmente si consideramos f ≡ 1, ya que por lo visto ante-riormente SNf = 1 = 1

2π

∫ π−πDN (t) dt.

Lema 1.9 (Riemann-Lebesgue). Si f ∈ L1([−π, π]) y α ∈ R, entonces

lım|α|→∞

∫ π

−πf(x) cos(αx) dx = 0

lım|α|→∞

∫ π

−πf(x) sin(αx) dx = 0

Demostracion. Supongamos primero que f ∈ C1. Entonces∫ π

−πf(x) cos(αx) dx =

∫ π

−πf(x)

sin (αx)′

αdx

= f(x)sin (αx)

α

∣∣∣π−π−∫ π

−πf ′(x)

sin (αx)

αdx

≤ C

α(‖f‖∞ + ‖f ′‖∞)→ 0 (|α| → ∞).

Para el caso general basta usar un argumento de densidad.

Corolario 1.10. Si f ∈ L1([−π, π]), sus coeficientes de Fourier tienden acero para |n| → ∞.

Ahora estamos en condiciones de probar el teorema sobre convergencia:

Teorema 1.11. Si f ∈ L1([−π, π]) y f es derivable en x, entonces SNf(x)→f(x) cuando N →∞.

Demostracion. Escribimos

SNf(x) =1

2π

∫ π

−πf(x− t)

sin((N + 12)t)

sin( t2)dt

y

f(x) = f(x)

(1

2π

∫ π

−πDN (t) dt

)=

1

2π

∫ π

−πf(x)DN (t) dt.

Entonces

SNf(x)− f(x) =

∫ π

−π

(f(x− t)− f(x))

t

t

sin( t2)sin((N +

1

2)t) dt

:=

∫ π

−πgx(t)

t

sin( t2)sin((N +

1

2)t) dt

y como tsin( t

2)

es una funcion acotada, para aplicar el lema de Riemann-

Lebesgue basta ver que gx(t) := f(x−t)−f(x)t ∈ L1([−π, π]).

Pero como f es derivable en x, existe δ > 0 tal que si |t| < δ,∣∣∣∣f(x− t)− f(x)

t

∣∣∣∣ ≤ Cy si |t| ≥ δ,∫

|t|≥δ

∣∣∣∣f(x− t)− f(t)

t

∣∣∣∣ dt ≤ 1

δ

∫|t|≥δ|f(x− t)− f(x)| dt

≤ 1

δ(‖f‖1 + 2π|f(x)|).

Observacion 1.12. Siguiendo la misma demostracion, se puede ver quealcanza con pedir que la funcion f sea Holder α. Tambien se puede probar que

si f tiene tan solo derivadas laterales en x, entonces SNf(x)→ f(x+)+f(x−)2 .

7. Convergencia Cesaro de series de Fourier

Nos interesa ahora estudiar otros tipos de convergencia para la serie deFourier.

Definicion 1.13. Dadas una serie numerica∑∞

n=0 an y su sucesion de su-mas parciales SN = a0 +· · ·+aN , diremos que la serie converge en el sentidode Cesaro si la sucesion de promedios σN := S0+···+SN

N+1 es convergente.

Observacion 1.14. Si una serie es convergente, entonces converge en elsentido de Cesaro, pero no vale la recıproca. Basta considerar, por ejemplo,an = (−1)n+1.

7. CONVERGENCIA CESARO DE SERIES DE FOURIER 11

La nocion de convergencia Cesaro se puede extender para series de Fourier.Para esto, dada f ∈ L1([−π, π]) extendida periodicamente, consideramos suserie de Fourier

f(x) ∼∑n∈Z

cneinx,

sus sumas parciales simetricas

SNf(x) =∑|n|≤N

cneinx

y definimos

σNf(x) :=S0f + · · ·+ SNf

N + 1.

Veremos que si f es continua y periodica (recordar que esto incluye f(π) =f(−π)) entonces σNf → f uniformemente.

Queremos encontrar una expresion de σNf como convolucion. Para esto,escribimos

σNf(x) =1

N + 1

N∑n=0

Snf(x)

=1

N + 1

N∑n=0

1

2π

∫ π

−πDn(x− t)f(t) dt

donde Dn es el nucleo de Dirichlet.

Usando la expresion que ya calculamos para Dn, tenemos que

N∑n=0

Dn(t) =N∑n=0

sin((n+ 12)t)

sin( t2)

=N∑n=0

sin((n+ 12)t) sin( t2)

sin2( t2)

=1

2 sin2( t2)

N∑n=0

[cos(nt)− cos((n+ 1)t)](1.5)

=1

2 sin2( t2)[1− cos((N + 1)t)]

=1

2 sin2( t2)

[1− cos2

((N + 1)t

2

)+ sin2

((N + 1)t

2

)](1.6)

=sin2( (N+1)t

2 )

sin2( t2)

donde en (1.5) usamos que 2 sin(α) sin(β) = cos(α − β) − cos(α + β) y en(1.6) usamos que cos(2α) = cos2(α)− sin2(α).

Se deduce entonces que si definimos el nucleo de Fejer como

(1.7) KN (t) :=1

N + 1

sin2((N+12 )t)

sin2( t2)

entonces vale que

(1.8) σNf(x) =1

2π(KN ∗ f)(x).

Para ver como esta expresion sirve para probar la convergencia en el sentidode Cesaro de la serie de Fourier de una funcion continua, a continuacionvamos a probar un teorema general para la convolucion con una sucesion denucleos hN .

Teorema 1.15. Sea hNN∈N una sucesion de nucleos que satisface:

1.

∫ π

−πhN (t) dt = 1 para todo N ;

2. hN (t) ≥ 0 para todo t y todo N ;

3.

∫ε<|t|<π

hN (t) dt→ 0 cuando N →∞, para todo ε > 0.

Entonces, para toda f ∈ C(R), 2π-periodica, hN ∗ f → f uniformementecuando N →∞.

Observacion 1.16. De 1 y 2 se deduce que ‖hN‖L1 = 1 para todo N .En realidad quedara claro en la demostracion que basta con pedir que lasnormas ‖hN‖L1 esten uniformemente acotadas. Este es el motivo por elcual el teorema no se aplica al nucleo de Dirichlet.

Demostracion. Consideremos

|(hN ∗ f)(x)− f(x)| =∣∣∣∣∫ π

−πhN (t)f(x− t) dt− f(x)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ π

−πhN (t)[f(x− t)− f(x)] dt

∣∣∣∣ (por 1)

≤∫ π

−πhN (t)|f(x− t)− f(x)| dt (por 2).

Como f es continua, entonces es uniformemente continua en compactos, porlo que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que |f(x− t)− f(x)| < ε si |t| < δ. Luego,

8. CONVERGENCIA ABEL PARA SERIES DE FOURIER 13

podemos escribir

|(hN ∗ f)(x)− f(x)| ≤

(∫|t|<δ

+

∫δ≤|t|≤π

)hN (t)|f(x− t)− f(x)| dt

≤ ε∫|t|<δ

hN (t) dt+ 2‖f‖∞∫δ≤|t|≤π

hN (t) dt

≤ 2ε si N es suficientemente grande (por 1 y 3).

Como caso particular, tenemos el siguiente

Teorema 1.17. Si f ∈ C(R) es una funcion 2π-periodica, entonces σNf →f uniformemente. Es decir, la serie de Fourier converge a f en el sentidode Cesaro.

Demostracion. Aplicamos el Teorema 1.15 a hN = 12πKN .

Para ver que vale la condicion 1 basta tomar f ≡ 1. En efecto, para todox ∈ [−π, π], por (1.8),

1 = σN1(x) =1

2π

∫ π

−πKN (t) dt.

La condicion 2 es evidente por la expresion (1.7).

Falta ver entonces que se cumple la condicion 3. Como KN (t) es una funcionpar, basta considerar t > 0. En ese caso, notemos que si ε < t < π, entoncessin( ε2) < sin( t2). Por lo tanto, sin−2( t2) < sin−2( ε2) y∫

ε<t<πKN (t) dt ≤ 1

(N + 1)

(π − ε)sin2( ε2)

→ 0 cuando N →∞.

Corolario 1.18. Los polinomios trigonometricos son densos en las funcio-nes periodicas y continuas. En efecto, basta observar que σNf son polino-mios trigonometricos y usar el teorema anterior. Esto ademas nos dice queel sistema ortonormal einxn∈Z es completo.

8. Convergencia Abel para series de Fourier

Definicion 1.19. Dada una serie numerica∑∞

n=1 an, diremos que convergeen el sentido de Abel si valen las siguientes condiciones:

1. para todo 0 < r < 1 la serie

∞∑n=1

anrn es convergente;

2. existe y es finito lımr→1−

∞∑n=1

anrn.

Observacion 1.20. Se puede probar que si una serie converge en el sentidode Cesaro entonces converge en el sentido de Abel, pero la recıproca no escierta. Basta considerar, por ejemplo, an = (−1)n+1 n.

Si f ∼∑n∈Z

cneinx es una funcion continua y periodica, podemos extender

esta definicion a su serie de Fourier. Para eso definimos

Ar(f)(x) :=∑n∈Z

cnr|n|einx

y analizamos si la serie converge para todo 0 < r < 1 y si Arf → f cuandor → 1−.

Afirmamos que para todo 0 < r < 1, la serie∑n∈Z

cnr|n|einx converge, mas

aun, converge absolutamente. En efecto, como f es continua, cn es unasucesion uniformente acotada y, como r < 1,

∑n∈Z

cnr|n| ≤ C

∑n∈Z

r|n| < +∞.

Como para el estudio de la convergencia en el sentido de Cesaro, queremosescribir Ar(f) como una convolucion. Para esto, basta notar que

Arf(x) =∑n∈Z

(1

2π

∫ π

−πf(t)e−int dt

)r|n|einx

=1

2π

∫ π

−π

(∑n∈Z

r|n|ein(x−t)

)f(t) dt

=1

2π

∫ π

−πPr(x− t)f(t) dt(1.9)

donde Pr es el nucleo de Poisson dado por

Pr(x) :=∑n∈Z

r|n|einx.

8. CONVERGENCIA ABEL PARA SERIES DE FOURIER 15

Como para los nucleos de Dirichlet y Fejer, queremos encontrar para elnucleo de Poisson una expresion mas explıcita. Para esto, notemos que

Pr(t) =

0∑n=−∞

r−neint +

∞∑n=0

rneint − 1

=∞∑n=0

rne−int +∞∑n=0

rneint − 1

=

∞∑n=0

(re−it)n +

∞∑n=0

(reit)n − 1

=1

1− re−it+

1

1− reit− 1

=2− r(eit + e−it)− (1− re−it)(1− reit)

(1− re−it)(1− reit)

=1− r2

1− r(eit + e−it) + r2

=1− r2

1− 2r cos(t) + r2.(1.10)

Ahora podemos volver al problema de estudiar lımr→1− Ar(f). Probaremos:

Teorema 1.21. Si f ∈ C(R) es una funcion 2π-periodica, entonces Arf →f uniformemente cuando r → 1−. Es decir, la serie de Fourier de f convergeuniformemente a f en el sentido de Abel.

Demostracion. Vamos a ver que Pr2π cumple las hipotesis del Teorema

1.15 cambiando el parametro N por r ∈ (0, 1).

Que1

2π

∫ π

−πPr(t) dt = 1 se puede ver considerando f ≡ 1.

Para ver que Pr(t) ≥ 0 para todo t y para todo r ∈ (0, 1), basta observarque |2r cos t| ≤ 1 + r2 y usar la expresion (1.10).

Por ultimo, nos queda por verificar la condicion 3 del Teorema 1.15. ComoPr(t) es una funcion par, basta ver que, para todo ε > 0,∫ π

εPr(t) dt→ 0 cuando r → 1−.

Para probar esto notemos primero que

1− 2r cos(t) + r2 = (1− r)2 + 2r(1− cos(t)) ≥ 2r(1− cos(t))

y que 1− cos(t) es creciente y no se anula en [ε, π]. Entonces, para r ≥ 1/2y ε < t < π,∫ π

εPr(t) dt ≤

(π − ε)1− cos(ε)

(1− r2)→ 0 cuando r → 1−.

Capıtulo 2

Convergencia en Lp para series de Fourier

1. La transformada de Hilbert en el caso periodico

Consideremos el problema de Dirichlet en el disco D = z ∈ C : |z| < 1:

(2.11)

∆u = 0 en Du = g en ∂D

donde g : ∂D = S1 → R es una funcion continua.

Para z ∈ D, notaremos z = reix con r ∈ [0, 1) y x ∈ [−π, π) (esta escrituraes unica si z ∈ D − 0).

Teorema 2.1. Si definimos f(x) := g(eix) y

u(z) = u(reix) :=1

2π(Pr ∗ f)(x) = Arf(x),

entonces u(z) es solucion del problema (2.11).

Demostracion. Sabemos que u(z) = Arf(x) → f(x) = g(eix) cuandor → 1−. Para probar que u es armonica (es decir, que ∆u = 0) vamos a verque es la parte real de una funcion analıtica.

Como estamos suponiendo que f toma valores reales, por la Observacion 1.3sabemos que sus coeficientes de Fourier cumplen c−n = cn. Entonces

Arf(x) =

∞∑n=1

rnc−ne−inx +

∞∑n=1

rncneinx + c0

=

∞∑n=1

rncneinx +

∞∑n=1

rncneinx + c0

=∞∑n=1

cn(reix)n +∞∑n=1

cn(reix)n + c0.

Luego,

u(z) = c0 +

∞∑n=1

cnzn +

∞∑n=1

cnzn.

18 2. CONVERGENCIA EN Lp PARA SERIES DE FOURIER

Ahora, como la serie es absolutamente convergente para |z| < 1, si definimos

F (z) = c0 + 2∞∑n=1

cnzn

entonces F es analıtica en D, por lo que Re(F ) es una funcion armonica.

Pero Re(F ) = F+F2 = u(z), por lo que ∆u = 0 en D, como querıamos ver.

Observacion 2.2. Si llamamos v = Im(F ) entonces tambien vale que ∆v =0 en D, y

v(z) =F − F

2i

= 2∞∑n=1

cnzn

2i− 2

∞∑n=1

cnzn

2i

=

∞∑n=1

(−i)cnzn +

∞∑n=1

icnzn

=∞∑n=1

(−i)cnrneinx +∞∑n=1

c−nrne−inx(2.12)

=∞∑n=1

(−i)cnrneinx +−1∑

n=−∞icnr

−neinx

=∑n∈Z

(−i)sg(n)cnr|n|einx(2.13)

donde en (2.12) usamos que f toma valores reales y por lo tanto cn = c−n(ver la Observacion (1.3)) y la funcion sg en (2.13) es la funcion signo,definida como

sg(n) :=

1 n > 00 n = 0−1 n < 0

Formalmente, cuando r → 1−,

v(z)→ v(eix) =∑n∈Z

(−i)sg(n)cneinx.

Entonces, dada f ∼∑cne

inx, podemos definir la transformada de Hilbertde f como

Hf(x) :=∑n∈Z

(−i)sg(n)cneinx.

2. CONVERGENCIA EN L2 PARA SERIES DE FOURIER 19

Por lo tanto, nos interesa estudiar en que espacio debe estar f ∼∑cne

inx

para que (−i)sg(n)cn sean los coeficientes de Fourier de otra funcion del mis-mo espacio. Veremos que este problema esta relacionado con la convergenciaen L2 de la serie de Fourier de f .

Observacion 2.3. Volviendo al problema de contorno, vale la pena no-tar que dada u armonica, la funcion v que construimos es una conjugadaarmonica de u (es decir, F = u + iv es holomorfa). Mas aun, como dosconjugadas armonicas difieren en una constante, v es la unica conjugadaarmonica de u con la propiedad de que su valor de borde, v(eix) tiene coefi-ciente de Fourier de orden cero igual a cero, o sea∫ π

−πv(eix) dx = 0.

Pero como v es una funcion armonica, por la propiedad del valor medio estoequivale a decir que v(0) = 0.

2. Convergencia en L2 para series de Fourier

Dada f ∈ L2([−π, π]), sabemos que sus coeficientes de Fourier, cn, estanbien definidos. Veremos que ademas

SNf(x) :=∑|n|≤N

cneinx → f (N →∞)

donde la convergencia es en L2.

Para esto, observemos primero que las funciones ϕn(x) = 1√2πeinx, n ∈ Z,

forman un conjunto de funciones ortonormal en L2([−π, π]), es decir∫ π

−πϕn(x)ϕk(x) dx =

0 k 6= n1 k = n

Si ahora definimos el subespacio de los polinomios trigonometricos de gradomenor o igual que N ,

VN := P ∈ L2([−π, π]) : P (x) =∑|n|≤N

aneinx, an ∈ C

vale la siguiente propiedad:

Proposicion 2.4. SNf es la proyeccion ortogonal de f sobre VN , es decir,SNf ∈ VN y ∫ π

−π(f − SNf)P dx = 0 para todo P ∈ VN .


Demostracion. Basta ver que vale para las funciones e−ikx para todo|k| ≤ N , ya que son una base de VN . Pero∫ π

−π

f(x)−∑|n|≤N

cneinx

e−ikx dx =

∫ π

−πf(x)e−ikx dx− 2πck

= 0.

Corolario 2.5. A partir de la proposicion anterior es inmediato ver

‖f‖22 = ‖f − SNf‖22 + ‖SNf‖22y, por lo tanto,

‖SNf‖2 ≤ ‖f‖2.

Tambien es claro que, para todo P ∈ VN , vale que

‖f − P‖22 = ‖f − SNf‖22 + ‖SNf − P‖22.

En particular, resulta que SNf es la mejor aproximacion de f en el subes-pacio VN , es decir,

‖f − SNf‖2 ≤ ‖f − P‖2para todo P ∈ VN .

Observacion 2.6. Si P ∈ VN , digamos P =∑|n|≤N ane

inx, entonces

1

2π‖P‖22 =

∑|n|≤N

|an|2.

Demostracion. En efecto,

‖P‖22 =

∫ π

−π

∑|n|≤N

aneinx

∑|k|≤N

akeikx

dx

=∑|n|≤N

∑|k|≤N

anak

∫ π

−πeinxe−ikx dx

= 2π∑|n|≤N

|an|2.

Estamos entonces en condiciones de probar el resultado que anunciamos alprincipio:

Teorema 2.7. Si f ∈ L2([−π, π]), entonces SNf → f en L2.

2. CONVERGENCIA EN L2 PARA SERIES DE FOURIER 21

Demostracion. Si f es una funcion continua, podemos aproximarlapor polinomios trigonometricos. Es decir que dado ε > 0, existen M = M(ε)y P ∈ VM tal que ‖f − P‖2 < ε. Entonces, si N ≥ M , P ∈ VN y, por laProposicion 2.4,

‖f − SNf‖2 ≤ ‖f − P‖2 < ε.

Si f no es continua, dado ε > 0 existe g continua tal que ‖f − g‖2 < ε.Por lo anterior, SNg → g en L2, o sea, si N ≥ M = M(ε), ‖g − SNg‖ < ε.Entonces, si N ≥M ,

‖f − SNf‖2 ≤ ‖f − g‖2 + ‖g − SNg‖2 + ‖SN (g − f)‖2≤ ε+ ε+ ‖g − f‖2< 3ε.

Teorema 2.8 (Parseval). Si f ∈ L2([−π, π]), f ∼∑cne

inx, entonces

1

2π‖f‖22 =

∑n∈Z|cn|2.

Demostracion. Por el Corolario 2.5 y la Observacion 2.6,

1

2π‖f‖22 =

1

2π‖f − SNf‖22 +

1

2π‖SNf‖22

=1

2π‖f − SNf‖22 +

∑|n|≤N

|cn|2.

Pero por el Teorema 2.7, ‖f − SNf‖2 → 0 cuando N → ∞. Por lo tanto,tomando lımite

1

2π‖f‖22 =

∑n∈Z|cn|2.

Corolario 2.9. Si f, g ∈ L2([−π, π]), f ∼∑cne

inx, g ∼∑dne

inx, enton-ces

1

2π

∫ π

−πf(x)g(x) dx =

∑n∈Z

cndn.

Demostracion. Por la igualdad de Parseval sabemos que

1

2π

∫ π

−π|f(x)− g(x)|2 dx =

∑n∈Z|cn − dn|2.

Por un lado,

1

2π

∫ π

−π|f(x)− g(x)|2 dx =

1

2π

∫ π

−π(f(x)− g(x))(f(x)− g(x)) dx

=1

2π‖f‖22 +

1

2π‖g‖22 −

2

2πRe

(∫ π

−πf(x)g(x) dx

)=∑n∈Z|cn|2 +

∑n∈Z|dn|2 −

1

πRe

(∫ π

−πf(x)g(x) dx

).

Por otro lado,∑n∈Z|cn − dn|2 =

∑n∈Z

(cn − dn)(cn − dn)

=∑n∈Z|cn|2 +

∑n∈Z|dn|2 − 2Re

(∑n∈Z

cndn

).

Por lo tanto,

1

2πRe

(∫ π

−πf(x)g(x) dx

)= Re

(∑n∈Z

cndn

).

Usando que, para cualquier z ∈ C, Im(z) = Re(−iz) se deduce la igualdadanaloga para la parte imaginaria y, por lo tanto, el resultado que querıamos.

Observacion 2.10. El Teorema de Parseval implica que si f ∈ L2([−π, π]),entonces sus coeficientes de Fourier estan en `2(Z), donde

`2(Z) := (an) : an ∈ C y∑n∈Z|an|2 <∞.

Es interesante notar que tambien vale la recıproca, es decir, si (an) ∈ `2(Z),

existe una unica f ∈ L2([−π, π]) tal que an = f(n) para todo n.

Demostracion. Dada (an) ∈ `2(Z), definimos PN ∈ VN como

PN (x) =∑|n|≤N

aneinx.

Afirmamos que (PN ) es una sucesion de Cauchy en L2. En efecto, dadoε > 0, como

∑|an|2 < ∞, existe N0 = N0(ε) tal que para todo k ∈ N y

N ≥ N0,

‖PN − PN+k‖22 = 2π∑

N<|n|≤N+k

|an|2 < ε.

Como L2 es un espacio completo, deducimos entonces que existe f :=lımN→∞ PN en L2.

3. CONVERGENCIA EN L2 PARA LA TRANSFORMADA DE HILBERT 23

Falta ver entonces que an = f(n). Notemos que como PN → f en L2([−π, π]),entonces PN → f en L1([−π, π]). Entonces, tenemos que∫ π

−πf(t)e−ikt dt = lım

N→∞

∫ π

−π

∑|n|≤N

aneint

e−ikt dt

= lımN→∞

∑|n|≤N

an

∫ π

−πeinte−ikt dt

= 2πak.

3. Convergencia en L2 para la transformada de Hilbert

Por lo visto en la seccion anterior, dada f ∈ L2([−π, π]), entonces (f(n)) ∈`2(Z) y como | − i sg(n)| ≤ 1, entonces (−i sg(n)f(n)) ∈ `2(Z), por lo queexiste una unica funcion Hf ∈ L2([−π, π]) tal que esos son sus coeficientesde Fourier, es decir,

Hf(n) = −i sg(n)f(n).

Por lo tanto, la transformada de Hilbert H : L2([−π, π])→ L2([−π, π]) estabien definida.

Para poder decir ademas que Hf son los valores en ∂D de la unica conjugadaarmonica v de u tal que v(0) = 0, donde

u(z) = u(reix) =1

2π(f ∗ Pr)(x)

faltarıa ver que para toda funcion g ∈ L2([−π, π]),

1

2π(g ∗ Pr)→ g en L2.

Esta propiedad es cierta pero no la probaremos en el caso periodico, la vere-mos mas adelante en R. Concluimos esta seccion con la siguiente propiedad:

Proposicion 2.11. H : L2([−π, π])→ L2([−π, π]) es un operador continuo.

Demostracion.1

2π‖Hf‖22 =

∑n∈Z| − i sg(n)f(n)|2

=∑

n∈Z−0

|f(n)|2

≤ 1

2π‖f‖22.

4. Convergencia en Lp para la transformada de Hilbert

Dada f ∈ Lp([−π, π]) nos preguntamos ahora si SNf → f en Lp. Veremosque la respuesta es afirmativa cuando 1 < p < ∞ y negativa si p = 1 o ∞,y que la respuesta a este problema esta relacionada con la transformada deHilbert. En esta seccion probaremos que la transformada de Hilbert convergeen Lp para p ∈ (1,∞).

Comenzaremos por la convergencia en Lp para p ∈ [2,∞) para la cual usa-remos el siguiente lema:

Lema 2.12.

(2.14) (Hf)2 = f2 + 2H(fHf) +1

2π

∫ π

−π[(Hf)2 − f2] dx.

Demostracion. Observemos primero que

(2.15) H(Hg) = −g +1

2π

∫ π

−πg dx

para toda g ∈ L2. En efecto, como Hg(n) = (−i) sg(n)g(n),

H2g(n) = (−i sg(n))2g(n) =

0 n = 0

−g(n) n 6= 0

y, por lo tanto,

H2g(x) = −∑

n∈Z−0

g(n)einx = −∑n∈Z

g(n)einx + g(0)

de donde (2.15) se deduce inmediatamente.

Ahora, recordemos que si u(z) = (f ∗Pr)(x) con z = reix, entonces f = u |∂Dy Hf(x) = v(eix) donde v es la unica conjugada armonica de u tal quev(0) = 0.

Sabemos que F (z) = u(z) + iv(z) es holomorfa en D. Entonces tambienF 2 = (u+ iv)2 lo es, pero F 2 = (u+ iv)2 = (u2− v2) + 2iuv y como u2− v2

es armonica, 2uv es la conjugada armonica de u2− v2 que vale cero en cero,es decir H[f2 − (Hf)2] = 2(fHf).

Si ahora aplicamos H a ambos lados y usamos (2.15), tenemos finalmenteque

−[f2 − (Hf)2] +1

2π

∫ π

−π[f2 − (Hf)2] dx = 2H(fHf),

y reordenando se obtiene el resultado del lema.

Observacion 2.13. El lema anterior solo tiene sentido si H(fHf) esta biendefinida. Esto es cierto, por ejemplo, si f ∈ C∞, ya que H : C∞ → C∞

(aunque no lo probaremos aquı).

4. CONVERGENCIA EN Lp PARA LA TRANSFORMADA DE HILBERT 25

Corolario 2.14.

(Hf)2 ≤ f2 + 2H(fHf)

Demostracion. Es inmediata a partir del lema anterior y la desigual-dad ‖Hf‖2 ≤ ‖f‖2 (ver la Proposicion 2.11).

Teorema 2.15. Si H es continuo en Lp entonces es continuo en L2p.

Demostracion. Vamos a usar que, si a, b > 0, entonces para todop ≥ 1,

(2.16) (a+ b)p ≤ 2p−1(ap + bp)

y que, si a, b > 0, entonces para todo k > 0,

(2.17) ab = (ka)

(b

k

)≤ k2a2

2+

b2

2k2.

Notemos que

‖Hf‖2p2p =

∫ π

−π|Hf |2p dx

≤∫ π

−π|f2 + 2H(fHf)|p dx

≤ 2p−1

∫ π

−π[|f |2p + 2p|H(fHf)|p] dx(2.18)

≤ Cp(‖f‖2p2p +

∫ π

−π|f |p|Hf |p dx

)(2.19)

≤ Cp(‖f‖2p2p +

k2

2‖f‖2p2p +

1

2k2‖Hf‖2p2p

)(2.20)

donde en (2.18) usamos (2.16), en (2.19) usamos la continuidad de H en Lp,y en (2.20) usamos (2.17).

Si elegimos k tal queCp2k2

= 12 , resulta entonces que

1

2‖Hf‖2p2p ≤

(Cp +

k2

2

)‖f‖2p2p.

Observacion 2.16. Para despejar en (2.20) es necesario suponer que ‖Hf‖2p2p <∞. Ademas estamos usando el corolario anterior, por lo que necesitamos queH(fHf) este bien definida. Lo que debemos hacer, en realidad, es trabajaren el subespacio de funciones de clase C∞, y luego utilizar la densidad paradeducir el resultado en L2p.

Corolario 2.17. H es un operador continuo en L2n para todo n ≥ 1.

A partir del corolario anterior y de un resultado de interpolacion que pro-baremos a continuacion, podremos deducir que la transformada de Hilbertes continua en Lp para p ∈ [2,∞).

Definicion 2.18. Si X,Y son espacios de funciones a valores en C, decimosque T : X → Y es un operador sublineal si para toda f, g ∈ X y todo λ ∈ Cvalen:

|T (λf)| = |λ||T (f)||T (f + g)| ≤ |T (f)|+ |T (g)|

Definicion 2.19. Si T es un operador lineal o sublineal y 1 ≤ p, q ≤ ∞,diremos que T es de tipo fuerte (p, q) si T : Lp → Lq es acotado, es decir,si existe A > 0 tal que ‖Tf‖q ≤ A‖f‖p.

Si 1 ≤ p, q < ∞, diremos que T es de tipo debil (p, q) si existe A > 0 talque, para todo λ > 0,

|x : |Tf(x)| > λ| ≤(A‖f‖pλ

)q.

En el caso p = q = ∞, por convencion el tipo debil se define igual que elfuerte.

Observacion 2.20. Si T es de tipo fuerte (p, q), entonces es de tipo debil(p, q), y la constante en ambas desigualdades es la misma.

Demostracion.

|x : |Tf(x)| > λ| =∫|Tf |>λ

dx ≤∫|Tf |q

λqdx ≤

(A‖f‖pλ

)q.

Definicion 2.21. La funcion de distribucion de una funcion f , df (λ) :(0,+∞)→ [0 +∞) se define por

df (λ) := |x : |f(x)| > λ|.

Proposicion 2.22. Si 1 ≤ p <∞,

‖f‖pp =

∫ ∞0

pλp−1df (λ) dλ.

Demostracion. Usando la definicion anterior y el Teorema de Fubini,tenemos que∫ ∞

0pλp−1df (λ) dλ =

∫ ∞0

pλp−1

∫Rnχx:|f(x)|>λ dx dλ

=

∫Rn

∫ |f(x)|

0pλp−1dλ dx

=

∫Rn|f(x)|p dx.

Teorema 2.23 (Marcinkiewicz). Sean 1 ≤ p0 < p1 ≤ ∞ y T un operadorsublineal definido en Lp0 + Lp1 tal que T es de tipo debil (p0, p0) y (p1, p1).Entonces T es de tipo fuerte (p, p) para todo p ∈ (p0, p1).

Demostracion. Dado λ, escribimos

f = fχx:|f(x)|>cλ︸︷︷︸:=f0

+ fχx:|f(x)|≤cλ︸︷︷︸:=f1

donde c una constante que vamos a elegir despues.

Como T es sublineal, |Tf(x)| ≤ |Tf0(x)|+ |Tf1(x)|, entonces

dTf (λ) ≤ dTf0(λ

2

)+ dTf1

(λ

2

)y por hipotesis sabemos que

(2.21) dTf0

(λ

2

)≤(

2A0‖f0‖p0λ

)p0,

y que

(2.22) dTf1

(λ

2

)≤(

2A1‖f1‖p1λ

)p1.

Separamos la demostracion en dos casos.

Caso p1 =∞: si elegimos c = 12A1

, entonces dTf1(λ2 ) = 0. En efecto,

‖Tf1‖∞ ≤ A1‖f1‖∞ ≤ A1cλ =λ

2,

y, por lo tanto, ∣∣∣∣|Tf1| >λ

2

∣∣∣∣ = 0.

Entonces,

‖Tf‖pp = p

∫ ∞0

λp−1dTf (λ) dλ

≤ p∫ ∞

0λp−1dTf0

(λ

2

)dλ

≤ p∫ ∞

0λp−1

(2A0‖f0‖p0

λ

)p0dλ

= p(2A0)p0∫ ∞

0λp−1−p0

∫|f0(x)|p0 dx dλ

= p(2A0)p0∫ ∞

0λp−1−p0

∫|f |>cλ

|f(x)|p0 dx dλ

= p(2A0)p0∫|f(x)|p0

∫ |f(x)|c

0λp−1−p0 dλ dx

=p

p− p0(2A0)p0(2A1)p−p0‖f‖pp.

Caso p1 <∞: en este caso tenemos

‖Tf‖pp = p

∫ ∞0

λp−1dTf (λ) dλ

≤ p∫ ∞

0λp−1

[dTf0

(λ

2

)+ dTf1

(λ

2

)]dλ

≤ p∫ ∞

0λp−1−p0(2A0)p0

∫|f |>cλ

|f(x)|p0 dx dλ

+ p

∫ ∞0

λp−1−p1(2A1)p1∫|f |≤cλ

|f(x)|p1 dx dλ

=

(p 2p0

p− p0

Ap00

cp−p0+

p 2p1

p1 − pAp11

cp−p1

)‖f‖pp.

Si elegimos c tal que (2A0c)p0 = (2A1c)

p1 se obtiene que

‖Tf‖p ≤ 2 p1/p

(1

p− p0+

1

p1 − p

)1/p

A1−θ0 Aθ1‖f‖p,

donde1

p=

θ

p1+

1− θp0

, 0 < θ < 1.

Corolario 2.24. H es un operador continuo de Lp en Lp para todo p ∈[2,∞).


Demostracion. Es consecuencia del Corolario 2.17 y del teorema deinterpolacion de Marcinkiewicz.

Nos falta probar que la transformada de Hilbert es acotada en Lp si p ∈(1, 2). Para eso necesitaremos con el siguiente lema:

Lema 2.25. ∫ π

−π(Hf)g = −

∫ π

−πf(Hg)

Demostracion. Usaremos que, como vimos en el Corolario 2.9, si f, g ∈L2, entonces

1

2π

∫ π

−πf(x)g(x) dx =

∞∑n=−∞

f(n)g(n).

Por lo tanto,

1

2π

∫ π

−πHf(x)g(x) dx =

∞∑n=−∞

(−i)sg(n)f(n)g(n)

= −∞∑

n=−∞f(n)(−i)sg(n)g(n)

= − 1

2π

∫ π

−πf(x)Hg(x) dx.

Corolario 2.26. Si p ∈ (1, 2), entonces ‖Hf‖p ≤ C‖f‖p.

Demostracion. Basta observar que como p′ ∈ [2,∞), la transformada

de Hilbert es continua en Lp′

por el Corolario 2.24, y entonces

‖Hf‖p = supg∈Lp′ ,‖g‖p′=1

∣∣∣∣∫ π

−πHf(x)g(x) dx

∣∣∣∣= sup

g∈Lp′ ,‖g‖p′=1

∣∣∣∣∫ π

−πf(x)Hg(x) dx

∣∣∣∣≤ sup

g∈Lp′ ,‖g‖p′=1

‖f‖p‖Hg‖p′

≤ C‖f‖p.

5. Convergencia en Lp para series de Fourier

En esta seccion relacionaremos la convergencia en Lp de la serie de Fouriercon la acotacion de la transformada de Hilbert. Ademas de los resultados yavistos, usaremos la siguiente condicion necesaria y suficiente para la conver-gencia en Lp de la serie de Fourier.

Teorema 2.27. SNf → f en Lp para toda f ∈ Lp si y solo si existe unaconstante C independiente de N y de f tal que ‖SNf‖p ≤ C‖f‖p.

Demostracion. ⇐) Primero veamos que vale si f es una funcion con-tinua. En este caso, dado ε > 0 sabemos que existen M = M(ε) y PM ∈ VMtal que ‖f − PM‖p ≤ ε. Entonces, si N ≥M , como SN (PM ) = PM

‖f − SNf‖p ≤ ‖f − PM‖p + ‖SN (PM − f)‖p≤ (1 + C)‖f − PM‖p< (1 + C)ε.

Si f no es continua, dado ε, existe g continua tal que ‖f−g‖p < ε. Entonces,si N > M(ε),

‖f − SNf‖p ≤ ‖f − g‖p + ‖g − SNg‖p + ‖SN (g − f)‖p≤ ε+ ε+ C‖g − f‖p≤ (2 + C)ε.

⇒) Si SNf → f en Lp para toda f ∈ Lp, entonces ‖SNf‖p ≤ C(f). Peroentonces, por el principio de acotacion uniforme, existe una constante Cindependiente de f y de N tal que ‖SNf‖p ≤ C‖f‖p.

Teorema 2.28. Para toda f ∈ Lp([−π, π]), SNf → f en Lp, 1 < p <∞.

Demostracion. Queremos acotar

SNf(x) =N∑

n=−Nf(n)einx =

∑n∈Z

χ[−N,N ](n)f(n)einx.

Para eso, notemos que

(2.23) χ[−N,N ](n) =1

2[sg(n+N)− sg(n−N)] +

1

2[χ−N(n) + χN(n)].

Primero observemos que si definimos PMf(x) =∑

n∈Z χM(n)f(n)einx =

f(M)eiMx (M ∈ Z), entonces ‖PMf‖p ≤ ‖f‖p. En efecto,

‖PMf‖pp =

∫ π

−π|PMf(x)|p dx =

∫ π

−π|f(M)|p dx = 2π|f(M)|p

6. LA TRANSFORMADA DE HILBERT COMO INTEGRAL SINGULAR 31

pero

|f(M)| =∣∣∣∣ 1

2π

∫ π

−πf(t)e−iMt dt

∣∣∣∣ ≤ 1

2π‖f‖p(2π)

1p′ =

1

(2π)1p

‖f‖p

y, por lo tanto,

(2.24) ‖PMf‖pp ≤ ‖f‖pp.

Por otro lado,

∞∑n=−∞

sg(n+N)f(n)einx =∞∑

m=−∞sg(m)f(m−N)e−iNxeimx

=∞∑

m=−∞sg(m)f eiNt(m)eimxe−iNx

= ie−iNx∞∑

m=−∞(−i)sg(m)f eiNt(m)eimx

= ie−iNxH(feiNt)(x).

Analogamente, se puede ver que

∞∑n=−∞

sg(n−N)f(n)einx = ieiNxH(fe−iNt)(x).

Entonces,

SNf(x) =i

2e−iNxH(feiNt)(x)− i

2eiNxH(fe−iNt)(x)+

1

2(P−Nf(x)+PNf(x))

de donde, usando la continuidad en Lp para la transformada de Hilbert y(2.24), se deduce el teorema.

6. La transformada de Hilbert como integral singular

Dada una sucesion Λ = (λn), n ∈ Z, le podemos asociar (en principio for-malmente) un operador

TΛf(x) =∞∑

n=−∞λnf(n)einx.


Queremos escribir este operador como una convolucion. Formalmente,

TΛf(x) =∞∑

n=−∞λn

(1

2π

∫ π

−πf(t)e−int dt

)einx

=

∫ π

−πf(t)

(1

2π

∞∑n=−∞

λnein(x−t)

)dt

= (f ∗K)(x)

donde

(2.25) K(t) :=1

2π

∞∑n=−∞

λneint,

por lo que si (λn) ∈ `2, entonces K ∈ L1([−π, π]) y, por la desigualdad deYoung, para todo 1 ≤ p ≤ ∞,

‖TΛf‖p = ‖f ∗K‖p ≤ ‖K‖1‖f‖p.

Nos interesa ahora estudiar un caso mas general, para poder incluir porejemplo a λn = (−i)sg(n), y darle sentido a TΛ = H.

Para esto vamos a ver que si definimos K(t) como en (2.25) con λn =(−i)sg(n), entonces converge en el sentido de Abel. En efecto,

Kr(t) =1

2π

∞∑n=−∞

(−i)sg(n)r|n|eint

=1

2π

−1∑n=−∞

ir−neint − 1

2π

∞∑n=1

irneint

=i

2π

∞∑n=1

(re−it)n − i

2π

∞∑n=1

(reit)n

=i

2π

(re−it

1− re−it− reit

1− reit

)=

1

π

r sin t

1− 2r cos t+ r2

y, por lo tanto, cuando r → 1−

Kr(t)→1

2π

sin t

(1− cos t)=

1

2π

2 sin( t2) cos( t2)

(1− cos2( t2) + sin2( t2))=

1

2π

cos( t2)

sin( t2).

Entonces, si llamamos

K(t) :=1

πcot

(t

2

),

6. LA TRANSFORMADA DE HILBERT COMO INTEGRAL SINGULAR 33

obtenemos formalmente que

(2.26) Hf(x) = (K ∗ f)(x) =1

π

∫ π

−πf(x− t) cot

(t

2

)dt.

Notemos que cuando t→ 0, cot( t2) ∼ 1t y, por lo tanto, la expresion (2.26) no

resulta integrable ni siquiera para f ≡ 1. Sin embargo, si f ∈ C1, la expresionsı tiene sentido como valor principal o integral singular, definiendo

(2.27) v.p.

∫ π

−πf(x− t) cot

(t

2

)dt := lım

ε→0

∫ε<|t|≤π

f(x− t) cot

(t

2

)dt.

En efecto, como cot( t2) es una funcion impar,∫ε<|t|≤π

cot

(t

2

)dt = 0,

de donde se sigue que∣∣∣∣∣∫ε<|t|≤π

f(x− t) cot

(t

2

)dt

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ε<|t|≤π

[f(x− t)− f(x)] cot

(t

2

)dt

∣∣∣∣∣≤ ‖f ′‖∞

∫ε<|t|≤π

∣∣∣∣t cot

(t

2

)∣∣∣∣ dty por lo tanto existe el lımite (2.27).

Observacion 2.29. Si definimos

(2.28) Hf(x) =1

πlımε→0

∫ε<|x−y|<π

f(y)

x− ydy,

entonces vale que H es continuo en Lp si y solo si H es continuo en Lp,pues (H − H)(f)(x) = (K ∗ f)(x) con K ∈ L1([−π, π]), ya que cerca delorigen cot( t2) = 2

t +O(t).

Capıtulo 3

La transformada de Fourier

1. La transformada de Fourier en R

Si f : R → R es una funcion continua de soporte compacto, digamossop(f) ⊆ [−M,M ], y L es tal que L/2 > M , podemos extender periodi-camente a f con perıodo L y hacer su desarrollo de Fourier. Formalmente,tenemos entonces que

f(x) =∑n∈Z

cn(L)e2πi nLx

con

cn(L) =1

L

∫ L/2

−L/2f(t)e−2πi n

Lt dt.

Entonces, para todo x ∈ [−M,M ],

f(x) =∑n∈Z

1

L

∫ L/2

−L/2f(t)e−2πi n

Lt dt e2πi n

Lx

=∑n∈Z

1

L

∫ ∞−∞

f(t)e−2πi nLt dt e2πi n

Lx

ya que f ≡ 0 en R− [−M,M ].

Entonces, si definimos

f(nL

):=

∫ ∞−∞

f(t)e−2πi nLt dt

y pensamos que es una funcion suficientemente “buena”, tomando lımitepara L→∞ tenemos que∑

n∈Z

1

Lf(nL

)e2πi n

Lx →

∫ ∞−∞

f(ξ)e2πiξx dξ.

Por lo tanto, al menos formalmente, tendrıamos que

(3.29) f(x) =

∫ ∞−∞

f(ξ)e2πiξx dξ,

36 3. LA TRANSFORMADA DE FOURIER

donde

f(ξ) =

∫ ∞−∞

f(x)e−2πiξx dx.

Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion 3.1. Dada f ∈ L1(R), definimos su transformada de Fouriercomo

(3.30) f(ξ) :=

∫ ∞−∞

f(x)e−2πixξ dx.

Notacion 3.2. Tambien usaremos para la transformada de Fourier la no-tacion F(f) := f .

Proposicion 3.3. Dada f ∈ L1(R), valen las siguientes propiedades:

1. f(ξ)→ 0 (|ξ| → ∞).

2. f ∈ L∞ y ‖f‖∞ ≤ ‖f‖1.

3. f es continua en R.

Demostracion. La demostracion de 1 la dejamos como ejercicio, mien-tras que la propiedad 2 es inmediata de la definicion. Para ver que vale 3,notemos que

f(ξ + h)− f(ξ) =

∫ ∞−∞

f(x)(e−2πix(ξ+h) − e−2πixξ) dx

=

∫ ∞−∞

f(x) e−2πiξx(e−2πixh − 1) dx

y, por lo tanto, por convergencia mayorada

|f(ξ + h)− f(ξ)| ≤∫ ∞−∞|f(x)||e−2πixh − 1| dx→ 0.

Otras propiedades que usaremos y cuya demostracion dejamos como ejercicioson las siguientes:

Proposicion 3.4. Dada f ∈ L1(R):

1. Si f ′ ∈ L1(R), entonces f ′(ξ) = 2πiξf(ξ).

2. (xf)(ξ) = − 12πi(f)′(ξ).

Nuestro problema ahora es ver cuando vale la igualdad (3.29). Veremos que,

por ejemplo, vale si f ∈ L1 y f ∈ L1. Pero en general no es cierto que dadaf ∈ L1 su transformada tambien este en L1. Por ejemplo, si f = χ[−1,1],

entonces f(ξ) ∼ sin(πξ)πξ 6∈ L1.

1. LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN R 37

La idea es entonces intentar hacer algo analogo a la sumabilidad Abel queestudiamos para series de Fourier. Podrıamos preguntarnos, por ejemplo, sidada f ∈ L1 vale que

f(x) = lımt→0+

∫ ∞−∞

f(ξ)e−t|ξ|2e2πixξ dξ

o, mas en general, si dada g ∈ L1 (notemos que esto implica que g(tξ)f(ξ) ∈L1 para todo t > 0) sea continua en el origen y tal que g(0) = 1 vale que

f(x) = lımt→0+

∫ ∞−∞

f(ξ)g(tξ)e2πixξ dξ.

Antes de responder esta pregunta, comencemos con un lema.

Lema 3.5. Si f, g ∈ L1(R), entonces∫ ∞−∞

f(ξ)g(ξ) dξ =

∫ ∞−∞

f(ξ)g(ξ) dξ.

Demostracion.∫ ∞−∞

f(ξ)g(ξ) dξ =

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

f(x)e−2πixξ dx

)g(ξ) dξ

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−2πixξg(ξ) dξf(x) dx

=

∫ ∞−∞

f(x)g(x) dx.

Definicion 3.6. Dada g ∈ L1(R), continua en el origen y tal que g(0) = 1,definimos, para todo t > 0,

(3.31) Ag,tf(x) =

∫ ∞−∞

f(ξ)g(tξ)e2πixξ dξ.

Observemos que, por el lema anterior,

Ag,tf(x) =

∫ ∞−∞

f(y)F(g(tξ)e2πixξ)(y) dy

y

F(g(tξ)e2πixξ)(y) =

∫ ∞−∞

g(tξ)e2πixξe−2πiyξ dξ

=

∫ ∞−∞

g(tξ)e−2πiξ(y−x) dξ

=

∫ ∞−∞

g(η)e−2πiη( y−xt

) 1

tdη

=1

tg

(y − xt

).


Por lo tanto, si definimos ϕ(x) = g(−x), y ϕt(x) = 1tϕ(xt ), entonces

Ag,tf(x) =

∫ ∞−∞

f(y)1

tϕ

(x− yt

)dy = (f ∗ ϕt)(x).

Supongamos que g ∈ L1(R) y que∫∞−∞ g(ξ) dξ = 1 (veremos que esto equi-

vale a pedir g(0) = 1). Entonces,∫ϕ = 1 y

∫ϕt = 1 para todo t > 0.

Como ademas ϕ es continua, veremos que esto implica que Ag,tf(x)→ f(x)cuando t→ 0+ tanto en Lp como en casi todo punto.

2. La transformada de Fourier en Rn

Definicion 3.7. La transformada de Fourier en Rn se construye de maneraanaloga, es decir, si f ∈ L1(Rn), entonces

(3.32) f(ξ) :=

∫Rnf(x)e−2πix·ξ dx

y valen las mismas propiedades que enunciamos para la transformada def ∈ L1(R).

Observacion 3.8. Del mismo modo, valen las cuentas para Ag,tf , es decir,

Ag,t(x) =

∫Rnf(ξ)g(tξ)e2πix·ξ dξ = (f ∗ ϕt)(x)

con ϕ(x) = g(−x) y ϕt(x) = 1tnϕ(xt ).

Lema 3.9. Sea ϕ ∈ L1(Rn) tal que∫ϕ = 1 y sea ϕt(x) = 1

tnϕ(xt ). Entonces

1. Si f ∈ L∞(Rn) y es continua en x, (f ∗ϕt)(x)→ f(x) cuando t→ 0.2. Si f ∈ Lp(Rn) para algun p ∈ [1,∞), (f ∗ ϕt)→ f en Lp.

Demostracion. 1. Primero observemos que, como∫ϕ = 1, entonces∫

ϕt = 1. Entonces

(f ∗ ϕt)(x)− f(x) =

∫Rnf(x− y)ϕt(y) dy − f(x)

=

∫Rn

[f(x− y)− f(x)]ϕt(y) dy

2. LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN Rn 39

Ahora, dado ε > 0, sabemos que existe δ > 0 tal que |f(x− y)− f(x)| < εsi |y| < δ. Entonces

|f ∗ ϕt(x)− f(x)| ≤∫Rn|f(x− y)− f(x)||ϕt(y)| dy

=

∫|y|<δ

|f(x− y)− f(x)||ϕt(y)| dy +

∫|y|≥δ

|f(x− y)− f(x)||ϕt(y)| dy

≤ ε‖ϕ‖1 + 2‖f‖∞∫|y|≥δ

|ϕt(y)| dy︸︷︷︸(∗)

,

< Cε

ya que

(∗) =

∫|y|≥δ

1

tn

∣∣∣ϕ(yt

)∣∣∣ dy=

∫|z|> δ

t

ϕ(z) dz

y esta ultima integral claramente tiende a cero cuando t→ 0.

2. Por la desigualdad integral de Minkowski,

‖f ∗ ϕt − f‖p ≤∫Rn‖f(· − y)− f(·)‖p|ϕt(y)| dy

=

∫Rnωp(y)|ϕt(y)| dy,

donde ωp(z) := ‖f(·−z)−f(·)‖p. Pero ωp(tz)→ 0 cuando t→ 0 y podemosaplicar convergencia mayorada pues ‖ωp‖∞ ≤ 2‖f‖p y ϕ ∈ L1(Rn).

Teorema 3.10. Si f ∈ Lp(Rn)∩L1(Rn) y g ∈ L1(Rn) es tal que∫Rn g = 1,

entonces Ag,tf → f cuando t → 0 en Lp para todo 1 ≤ p < ∞. Ademas, sip =∞ y f es continua en x, entonces Ag,tf(x)→ f(x).

Demostracion. Ya vimos que Ag,tf = f ∗ ϕt, donde g(−x) = ϕ(x) y,por lo tanto, el resultado se deduce del Lema 3.9.

Ejemplo 3.11 (Gauss-Weierstrass). Consideremos g(x) = e−π|x|2, g ∈ L1(Rn).

Entonces, g(tξ) = e−πt2|ξ|2, y llamando s = t2 tenemos

Ag,sf(x) =

∫Rnf(ξ)e−πs|ξ|

2e2πix·ξ dξ.

Observemos que basta calcular g(ξ) en una dimension ya que es de variables

separadas, o sea que consideramos g(x) = e−πx2

con x ∈ R.

Notemos ademas que g ∈ C1, pues xe−πx2 ∈ L1(R), g′(ξ) = F(−2πixe−πx

2)(ξ)

y F(xe−πx2) es continua, por lo que g′ es continua.

Por otro lado, g′(x) = 2πxe−πx2

y g′(ξ) = ig′(ξ) = i(2πiξg(ξ)) = −2πξg(ξ).

Entonces, (eπξ2g(ξ))′ = g′(ξ)+2πξg(ξ) = 0, de donde se sigue que eπξ

2g(ξ) =

C = g(0) =∫∞−∞ e

−πx2 dx = 1.

En definitiva, g(ξ) = e−πξ2

= g(ξ). Aplicando el Teorema 3.10 a esta fun-cion, obtenemos el siguiente teorema:

Teorema 3.12. 1. Si 1 ≤ p <∞ y f ∈ L1 ∩ Lp, entonces

f(x) = lımt→0

∫Rnf(ξ)e−πt|ξ|

2e2πix·ξ dξ en Lp.

2. Si p =∞ y f es continua en x, entonces

f(x) = lımt→0

∫Rnf(ξ)e−πt|ξ|

2e2πix·ξ dξ puntualmente.

En consecuencia, volviendo al caso general, si g es continua en el origen,

g(0) = lımt→0

∫Rng(ξ)e−πt|ξ|

2dξ

y si g ∈ L1(R) podemos aplicar convergencia mayorada y resulta

g(0) =

∫Rng(ξ) dξ.

Corolario 3.13. En el Teorema 3.10 se puede reemplazar la hipotesis∫Rn g = 1 por g(0) = 1.

Tambien deducimos el siguiente resultado:

Teorema 3.14 (Teorema de Inversion). Si f ∈ L1(Rn) y f ∈ L1(Rn),entonces

(3.33) f(x) =

∫Rnf(ξ)e2πix·ξ dξ.

Demostracion. Sale aplicando convergencia mayorada en g(x) en lu-gar de en g(0).

Definicion 3.15. Definimos la antitransformada de Fourier como

(3.34) f(x) = F(x) =

∫Rnf(ξ)e2πix·ξ dξ.

3. LA ECUACION DEL CALOR EN EL SEMIESPACIO Rn × R+ 41

3. La ecuacion del calor en el semiespacio Rn × R+

Buscamos u(x, t) solucion deut −∆u = 0 en Rn × R+

u(x, 0) = f(x)

donde la condicion inicial hay que interpretarla como lımite cuando t→ 0+.

Si transformamos Fourier en x (para cada t), tenemos que

u(ξ, t) =

∫Rnu(x, t)e−2πix·ξ dx

y, derivando dentro de la integral, obtenemos que ut = ut. Por lo tanto, la

ecuacion transformada resulta ser ut − ∆u = 0. Pero

∆u =

n∑j=1

∂2u

∂x2j

=n∑j=1

(−2πiξj)2u(ξ, t) = −4π2|ξ|2u(ξ, t).

Por lo tanto, la ecuacion que debemos resolver es ut + 4π2|ξ|2u = 0. Para x

fijo resolvemos en t y obtenemos que u(ξ, t) = f(ξ)e−4π2t|ξ|2 . Entonces

u(x, t) = (f(ξ)e−4π2t|ξ|2)ˇ(x)

= [f ∗ (e−4π2t|ξ|2)ˇ](x),

pero sabemos que (e−π|ξ|2)(x) = e−π|x|

2, entonces

(e−4π2t|ξ|2)ˇ(x) =

∫Rne−4π2t|ξ|2e2πix·ξ dξ

=1

(2√πt)n

∫Rne−π|η|

2e

2πix· η

2√πt dη

=1

(2√πt)n

[e−π|η|2]ˇ(

x

2√πt

)=

1

(2√πt)n

e−|x|24t .

En definitiva,

u(x, t) =1

(2√πt)n

∫Rnf(x− y)e−

|y|24t dy.

Observemos ademas que u(x, t) = (f ∗ ϕ√t)(x) con ϕ√t(x) = 1(√t)nϕ( x√

t) y

ϕ(x) = 1(2√π)n

e−(|x|2

)2 , por lo que podemos aplicar la teorıa que vimos para

concluir que el dato inicial se alcanza en Lp si f ∈ L1 ∩ Lp y puntualmentesi f es continua y acotada.

4. Transformada de Fourier en L2(Rn)

Teorema 3.16. Si f ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn), entonces f ∈ L2(Rn) y ‖f‖2 =‖f‖2.

Demostracion. Sea g(x) = f(−x). Entonces g =¯f y f ∗ g = f g =

f¯f = |f |2. Si llamamos h = f ∗g, tenemos entonces que h ∈ L1(Rn) (por ser

convolucion de dos funciones de L1(Rn)) y que ademas es acotada y continua(por ser convolucion de dos funciones de L2(Rn)).

Ademas, como h ∈ L1(Rn) y es continua en el origen, sabemos por el lema

de Fatou (notar que h = |f |2 ≥ 0) que

h(0) = lımt→0

∫Rnh(ξ)e−t|ξ|

2dξ ≥

∫Rn

lımt→0

h(ξ)e−t|ξ|2dξ =

∫Rnh(ξ) dξ

y, por lo tanto, h ∈ L1(Rn).

En consecuencia,

h(0) =

∫Rnh(ξ) dξ =

∫Rn|f(ξ)|2 dξ

y, por otro lado,

h(0) = (f ∗ g)(0) =

∫Rnf(y)g(−y) dy =

∫Rnf(y)f(y) dy =

∫Rn|f(y)|2 dy.

Luego, ‖f‖2 = ‖f‖2 y f ∈ L2(Rn).

Como L1∩L2(Rn) es denso en L2(Rn), la transformada de Fourier se puedeextender de manera unica a todo L2(Rn). En efecto, si f ∈ L2(Rn), f |B(0,R) ∈L1(B(0, R)) para todo R > 0 y como ademas f |B(0,R) → f en L2, entonces

f(ξ) = lımR→∞

∫|x|<R

f(x)e−2πix·ξ dx

(el lımite anterior debe ser interpretado en L2).

Ademas como F es un operador lineal y continuo de L1 en L∞ y de L2 enL2, podemos extenderlo a Lp para todo 1 < p < 2. En efecto, basta escribirf = f1 + f2 con f1 ∈ L1 y f2 ∈ L2 y definir f = f1 + f2.

Por supuesto habrıa que verificar que f ası definida esta bien definida (inde-pendientemente de la descomposicion), pero no vamos a usar este enfoque,nuestro objetivo es definir la transformada sobre un espacio mas general.

5. EL ESPACIO S 43

5. El espacio S

Notacion 3.17. Dado α = (α1, . . . , αn), con αj ∈ N0 para 1 ≤ j ≤ n,notamos |α| := α1 + · · ·+ αn, y definimos

xα := xα11 . . . xαnn

y

Dαϕ :=∂|α|

∂xα11 . . . ∂xαnn

.

Definicion 3.18. Definimos el espacio S(Rn) como el espacio de las fun-ciones en C∞(Rn) tales que ellas y todas sus derivadas son rapidamentedecrecientes. Mas precisamente,

S(Rn) = ϕ ∈ C∞(Rn) : |xαDβϕ(x)| ≤ Cα,β para todos α, β ∈ (N0)n

Ejemplos 3.19. Las siguientes funciones estan en S(Rn):

1. ϕ(x) = e−t|x|2

para todo t > 0.2. ϕ ∈ C∞0 (Rn), es decir ϕ ∈ C∞ y sop(ϕ) ⊂ K, con K un compacto.

En la teorıa de distribuciones, el espacio C∞0 (Rn) se suele llamarD(Rn).

Proposicion 3.20. Valen las siguientes propiedades:

1. S(Rn) ⊂ Lp(Rn) para todo 1 ≤ p ≤ ∞.2. Si ϕ ∈ S, entonces Dαϕ ∈ Lp(Rn) para todo 1 ≤ p ≤ ∞ y todo

multiındice α.3. S es denso en Lp(Rn) para todo 1 ≤ p < ∞, y es denso en C0 (es

decir, el espacio de funciones continuas que tienden a cero en ∞)en norma ‖ · ‖∞.

Demostracion. 1. Como (1 + |x|2)k|ϕ(x)| ≤ Ck, entonces |ϕ(x)| ≤Ck

(1+|x|2)ky, por lo tanto, esta en Lp si consideramos k > n/2.

2. Es analoga a la demostracion anterior.

3. Ya sabemos que si ϕ ∈ C∞0 (Rn) y∫ϕ = 1, entonces f ∗ ϕt → f en Lp

si f ∈ Lp. Ademas f ∗ ϕt ∈ C∞, pero no sabemos que este en S. Parasolucionar este problema basta considerar una sucesion ψj ∈ C∞, tal queψj = 1 en |x| < j y ψj = 0 en |x| > j + 1, y tomar ψj(f ∗ ϕtj ). Dejamos losdetalles como ejercicio.

Teorema 3.21. Si f ∈ S, entonces f ∈ S.

Demostracion. Primero veamos que f ∈ C∞. Recordemos que por la

Proposicion 3.4 si xjf ∈ L1 y f ∈ L1, entonces ∂f∂xj

es continua. Iterando,


obtenemos que para todo α, si xαf ∈ L1, entonces f es derivable hasta orden|α|. Como f ∈ S, xαf ∈ L1 para todo α y se sigue que f ∈ C∞.

Falta ver entonces que ξαDβ f ∈ L∞ para todo α, β, pero esto se deduce

inmediatamente de la igualdad ξαDβ f = Dα(xβf).

Observacion 3.22. S no es un espacio normado, pero sı es numerablementenormado. En efecto, para cada α, β podemos definir ‖ϕ‖α,β = ‖xαDβϕ‖∞ ydecimos que ϕj → ϕ en S si ‖ϕ−ϕj‖α,β → 0 cuando j →∞ para todo α, β.

Por ser numerablemente normado, S resulta ser un espacio metrico. Enefecto, dada una numeracion de las normas ‖ · ‖k podemos definir

d(ϕ,ψ) =∑k

1

2k‖ϕ− ψ‖k

(1 + ‖ϕ− ψ‖k),

y vale que ϕj → ϕ en S si y solo si d(ϕ,ϕj)→ 0.

6. El espacio S ′

Definicion 3.23. Llamamos espacio de distribuciones temperadas al espacio

S ′(Rn) := T : S(Rn)→ C lineales y continuas

donde por continua entendemos que si ϕj → ϕ en S, entonces 〈T, ϕj〉 →〈T, ϕ〉.

Ejemplo 3.24. Si f ∈ Lp(Rn), le podemos asociar Tf ∈ S ′(Rn) definida por

〈Tf , ϕ〉 =

∫Rnfϕ (para toda ϕ ∈ S).

Mas en general, si f ∈ L1loc(Rn) y |f(x)| ≤ C(1 + |x|m) para algun m ∈ N,

entonces Tf esta bien definida y Tf ∈ S ′(Rn). Como f → Tf es una apli-cacion inyectiva, podemos pensar que se trata de una inclusion de espacios,por lo que escribiremos f en lugar de Tf .

Ejemplo 3.25 (Derivada en S ′). Queremos dar una definicion de derivadaen S ′. Si T ∈ S ′ fuese una funcion y 〈 , 〉 la integral, podrıamos integrarpor partes y observar que los terminos de borde se anulan. Esto motiva lasiguiente definicion:

〈 ∂T∂xj

, ϕ〉 := −〈T, ∂ϕ∂xj〉.

Mas en general, podemos definir Dα : S ′ → S ′ como

〈DαT, ϕ〉 := (−1)|α|〈T,Dαϕ〉.

Observemos que esta definicion implica, en particular, que si T ∈ S ′, enton-

ces ∂2T∂xj∂xi

= ∂2T∂xi∂xj

.

6. EL ESPACIO S′ 45

Usando un razonamiento analogo al que empleamos para extender la nocionde derivada a S ′, obtenemos la siguiente definicion:

Definicion 3.26. Dada T ∈ S ′(Rn), su transformada de Fourier se definecomo

(3.35) 〈T , ϕ〉 := 〈T, ϕ〉.

Observacion 3.27. Es importante notar que si T ∈ S ′, entonces T ∈ S ′.Que es lineal es claro, y para ver que es continua basta recordar que siϕj → ϕ en S entonces ϕj → ϕ en S y entonces

〈T , ϕj〉 = 〈T, ϕj〉 → 〈T, ϕ〉 = 〈T , ϕ〉.

Definicion 3.28. En general no se puede definir el producto de dos distribu-ciones temperadas, pero sı podemos definir el producto entre ϕ ∈ S y T ∈ S ′.Usando el mismo razonamiento con el que extendimos las otras operaciones,definimos ϕT ∈ S ′ por 〈ϕT, ψ〉 := 〈T, ϕψ〉 para toda ψ ∈ S.

Mas aun, esta definicion tiene sentido siempre que ϕψ ∈ S, por ejemplo siϕ es un polinomio.

Con la definicion anterior tienen sentido las siguientes propiedades, cuyademostracion dejamos como ejercicio.

Proposicion 3.29. Si T ∈ S ′(Rn)

1. [(−2πixα)T ] = Dα(T ).

2. DαT = (2πiξ)αT (ξ).

Queremos ahora darle sentido a la convolucion entre T ∈ S ′(Rn) y ϕ ∈S(Rn). Para esto, observemos que si tuvieramos f, g ∈ L1(Rn), entonces

(f ∗ g)(x) =

∫Rnf(y)g(x− y) dy =

∫Rnfτxg(y)

donde g(x) = g(−x) y τyh(x) = h(x−y). Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion 3.30. Si ϕ ∈ S(Rn) y T ∈ S ′(Rn), su convolucion se define por

(T ∗ ϕ)(x) := 〈T, τxϕ〉.

Se puede ver que valen propiedades analogas a las de la convolucion en Lp,por ejemplo, que 〈T, τxϕ〉 = 〈τxT , ϕ〉. Para esto es necesario extender ladefinicion de τx a distribuciones, lo dejamos como ejercicio.

Capıtulo 4

La transformada de Hilbert en R

1. El problema de Dirichlet en el semiplano R× R+

Dada f , buscamos u(x, t) armonica en R × R+ tal que u(x, 0) = f(x). Esinmediato ver que no hay unicidad para este problema. Basta considerar, porejemplo u1(x, t) = t y u2(x, t) = 0, entonces ambas funciones son armonicasy cumplen u1(x, 0) = u2(x, 0) = 0.

Si suponemos u ∈ S ′ para cada t fijo y transformamos Fourier en x, obtene-mos

(utt + uxx)(ξ, t) = utt(ξ, t) + (2πiξ)2u(ξ, t) = 0.

Para ξ fijo, esta es una ecuacion ordinaria con solucion general

u(ξ, t) = A(ξ)e−2π|ξ|t +B(ξ)e2π|ξ|t.

Como estamos buscando una solucion particular, y queremos que u ∈ S ′,consideramos B = 0. Entonces buscamos

u(ξ, t) = A(ξ)e−2π|ξ|t

u(ξ, 0) = f(ξ)

Es decir que A(ξ) = f(ξ) y, por lo tanto, u(x, t) = (Pt ∗ f)(x) con

Pt(x) = (e−2π|ξ|t)ˇ(x)

=

∫ ∞−∞

e−2π|ξ|te2πiξx dξ

=

∫ 0

−∞e2πξte2πiξx dξ +

∫ ∞0

e−2πξte2πiξx dξ

=

∫ 0

−∞e2πξ(t+ix) dξ +

∫ ∞0

e2πξ(ix−t) dξ

=1

2π(t+ ix)− 1

2π(ix− t)

=1

π

t

(x2 + t2)

48 4. LA TRANSFORMADA DE HILBERT EN R

Si t = 1, P (x) = 1π

1(1+x2)

se llama nucleo de Poisson, y verifica P ∈ L1(R),∫∞−∞ P = 1 y Pt = t−1P (xt ). Entonces, u(x, t) = (Pt ∗ f)(x) y u(x, t)→ f(x)

en Lp(R) si f ∈ Lp(R).

2. La transformada de Hilbert en R

Ahora buscamos una conjugada armonica de u(x, t) = (f ∗Pt)(x) con P (x) =1π

1(1+x2)

y Pt(x) = t−1P (xt ). Para esto, observemos que, si z = x+it, entonces

z−1 es analıtica en el semiplano t > 0 y vale que

i

π

1

z=i

π

z

|z|2=

1

π

(t+ ix)

(x2 + t2),

por lo que

Pt(x) = Re

(i

π

1

z

)=

1

π

t

(x2 + t2)

y, si llamamos Q(x) = 1π

x(x2+1)

,

Qt(x) = Im

(i

π

1

z

)=

1

π

x

(x2 + t2),

entonces Pt(x), Qt(x) son funciones armonicas en R × R+ (pensadas comofunciones de (x, t)). Entonces, u(x, t) = (f ∗ Pt)(x) y v(x, t) = (f ∗ Qt)(x)tambien son armonicas y v(x, t) es una conjugada armonica de u(x, t).

Si pudieramos tomar lımite para t→ 0, tendrıamos ademas que

v(x, t)→ 1

π

∫ ∞−∞

f(y)

x− ydy

pero en principio esta integral no tiene sentido porque es una convolucion con1x 6∈ L

1(R). Sin embargo, veremos que sı tiene sentido como valor principal,lo que nos permite definir la transformada de Hilbert de f como

(4.36) Hf(x) := lımε→0

1

π

∫|x−y|>ε

f(y)

x− ydy.

Veamos que si f ∈ S, el lımite (4.36) existe. Para esto escribimos∫|y|>ε

f(x− y)

ydy =

∫ε<|y|<1

f(x− y)

ydy︸︷︷︸

(i)

+

∫|y|>1

f(x− y)

ydy︸︷︷︸

(ii)

y, por un lado, tenemos que, como f ∈ S,

|(ii)| ≤∫|y|>1

|f(x− y)| dy < +∞

2. LA TRANSFORMADA DE HILBERT EN R 49

y, por el otro, como∫ε<|y|<1

1y dy = 0,

|(i)| =

∣∣∣∣∣∫ε<|y|<1

f(x− y)

ydy

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∫ε<|y|<1

f(x− y)− f(x)

ydy

∣∣∣∣∣

y existe el lımite cuando ε→ 0 porque el integrando es una funcion acotada(por ‖∇f‖∞), de donde concluımos que Hf esta bien definida.

Si bien la transformada de Hilbert no es una convolucion con una funcionintegrable, la podemos pensar como una convolucion de f ∈ S con un nucleoK ∈ S ′. O sea, si definimos v.p. 1x ∈ S

′ por

〈v.p.1x, ϕ〉 = lım

ε→0

∫|y|>ε

ϕ(y)

ydy

para toda ϕ ∈ S (dejamos como ejercicio verificar que efectivamente v.p. 1x ∈S ′), entonces vale que

Hf(x) =1

π

(v.p.

1

x∗ f)

para toda f ∈ S.

Si ahora transformamos Fourier, tenemos que

Hf(ξ) =1

π

(v.p.

1

x

)(ξ)f(ξ)

por lo que nos interesa conocer la transformada de v.p. 1x . Por definicion, siϕ ∈ S,

〈(v.p.

1

x

), ϕ〉 = 〈v.p.1

x, ϕ〉

= lımε→0

∫|ξ|>ε

ϕ(ξ)

ξdξ

= lımε→0,M→∞

∫ε<|ξ|<M

ϕ(ξ)

ξdξ


∫ε<|ξ|<M

∫ ∞−∞

ϕ(x)e−2πixξ

ξdx dξ


∫ ∞−∞

ϕ(x)

∫ε<|ξ|<M

e−2πixξ

ξdξ dx


∫ ∞−∞

ϕ(x)

∫ε<|ξ|<M

(−i) sin(2πxξ)

ξdξ dx

= −i∫ ∞−∞

ϕ(x) lımM→∞

∫|ξ|<M

sin(2πxξ)

ξdξ dx

ya que podemos usar convergencia mayorada porque∣∣∣∣ϕ(x) sin(2πxξ)

ξ

∣∣∣∣ ≤ |ϕ(x)2πx|.

Entonces solo nos falta calcular

lımM→∞

∫ M

−M

sin(2πxξ)

ξdξ = lım

M→∞

∫ 2πxM

−2πxM

sin(y)

ydy

=

π x > 0−π x < 0

donde, en la ultima igualdad, usamos que∫∞−∞

sin yy dy = π (ver el lema 4.4

mas adelante). En definitiva, probamos que

〈(v.p.

1

x

), ϕ〉 =

∫ ∞−∞−iπsg(x)ϕ(x) dx

de donde concluimos que(v.p.

1

x

)(ξ) = −πisg(ξ)

(estamos usando el abuso de notacion que consiste en identificar a la distri-bucion dada por una funcion con la misma funcion) y, por lo tanto,

Hf(ξ) = −isg(ξ)f(ξ).

Corolario 4.1. Usando la igualdad de Plancherel es inmediato ver que‖Hf‖2 = ‖f‖2.

2. LA TRANSFORMADA DE HILBERT EN R 51

Observacion 4.2. H(Hf) = −f .

Demostracion. Basta observar que

[H(Hf)]ˆ = −isg(ξ)Hf(ξ) = (−isgξ)2f = −fy antitransformar.

Observacion 4.3. Usando la observacion anterior, se puede ver que ‖Hf‖p ≤C‖f‖p si 1 < p <∞, con una demostracion analoga a la que hicimos en elcaso del disco.

Para la demostracion anterior nos faltaba probar el siguiente lema:

Lema 4.4.

(4.37)

∫ ∞−∞

sinx

xdx = π

Demostracion. Probemos primero que

(4.38)

∫ ∞−∞

sinx

xdx =

∫ ∞−∞

sin2 x

x2dx.

En efecto, integrando por partes,∫ M

−M

sinx

xdx =

∫ M

−M

(1− cosx)′

xdx

=1− cosx

x

∣∣∣∣M−M

+

∫ M

−M

1− cosx

x2dx

y tomando lımite para M →∞,∫ ∞−∞

sinx

xdx =

∫ ∞−∞

1− cosx

x2dx

=

∫ ∞−∞

2 sin2(x2 )

x2dx

=

∫ ∞−∞

sin2 y

y2dy,

como querıamos ver. Si ahora recordamos que

χ[− 12π, 12π

](ξ) =1

π

sin ξ

ξ,

por Plancherel resulta que

(4.39)1

π=

∫ ∞−∞

∣∣∣χ[− 12π, 12π

](x)∣∣∣2 dx =

1

π2

∫ ∞−∞

sin2 ξ

ξ2dξ

y, combinando (4.38) y (4.39), obtenemos la igualdad del enunciado.


3. Otros ejemplos de integrales singulares de convolucion

Nuestro objetivo sera analizar la continuidad en Lp(Rn) de operadores in-tegrales singulares de Calderon-Zygmund de la forma Tf = K ∗ f , dondeK ∈ S ′ verifica K ∼ |x|−n y ciertas propiedades que puntualizaremos masadelante, ya que la transformada de Hilbert es un ejemplo de un operadorde este tipo.

Finalizamos este capıtulo listando otros ejemplos importantes.

Ejemplo 4.5. Dada f ∈ C∞0 (Rn), una solucion de la ecuacion ∆u = f estadada por u = G ∗ f , donde G es una solucion fundamental del Laplaciano,es decir que verifica ∆G = δ en sentido distribucional. En efecto, en esecaso tenemos que

∆u = ∆(G ∗ f) = ∆G ∗ f = δ ∗ f = f.

En el caso del Laplaciano, G(x) = Cn|x|2−n si n ≥ 3 y G(x) = C2 log |x| sin = 2. Supongamos que n ≥ 3, entonces

u(x) = Cn

∫Rn

f(y)

|x− y|n−2dy

y

∂u

∂xi= C

∫Rn

(∂

∂xi

1

|x− y|n−2

)f(y) dy

= C

∫Rn

(xi − yi)|x− y|n

f(y) dy,

ya que xi|x|n ∈ L

1loc(Rn), y podemos usar convergencia mayorada para derivar

dentro de la integral.

Consideremos ahora, para j 6= i

∂2u

∂xj∂xi= C

∂

∂xj

∫Rn


f(y) dy.

3. OTROS EJEMPLOS DE INTEGRALES SINGULARES DE CONVOLUCION 53

Como en este caso no podemos usar convergencia mayorada, podemos con-siderar, en sentido distribucional

〈 ∂2u

∂xj∂xi, ϕ〉 = −〈 ∂u

∂xi,∂ϕ

∂xj〉

= −C∫Rn

∫Rn


f(y)∂ϕ

∂xj(x) dy dx

= −C∫Rn

lımε→0

∫|x−y|>ε


∂ϕ

∂xj(x) dx f(y) dy

= −C∫Rn

lımε→0

[ ∫|x−y|>ε

ki,j(x− y)ϕ(x) dx

+

∫|x−y|=ε


νjϕ(x) dS]f(y) dy

donde

ki,j(x− y) =∂

∂xj


=c(xi − yi)(xj − yj)|x− y|n+2

∼ 1

|x− y|n

y

νj =xj − yj|x− y|

es la direccion j-esima de la normal unitaria.

En las cuentas que siguen, como dijimos no contamos con la posibilidadde aplicar el teorema de convergencia mayorada para intercambiar lımite eintegral. La justificacion de ese paso sera consecuencia de la continuidad enLp de las integrales singulares, que probaremos mas adelante.

Consideremos por separado

(1) =

∫Rn

lımε→0

∫|x−y|>ε

ki,j(x− y)ϕ(x) dx f(y) dy

=

∫Rn

lımε→0

∫|x−y|>ε

ki,j(x− y)f(y) dy ϕ(x) dx


y

(2) = lımε→0

∫Rn

∫|x−y|=ε

(xi − yi)(xj − yj)|x− y|n+1

ϕ(x) dS f(y) dy

= lımε→0

∫Rn

∫|x−y|=ε


(ϕ(x)− ϕ(y) + ϕ(y)) dS f(y) dy

= lımε→0

∫Rn

∫|x−y|=ε


(ϕ(x)− ϕ(y)) dS f(y) dy︸︷︷︸(i)

+ lımε→0

∫Rnϕ(y)

∫|x−y|=ε


dSf(y) dy︸︷︷︸(ii)

.

Para (i), tomando modulo dentro de la integral tenemos que

(i) ≤ Cεn

εn−1→ 0,

mientras que para acotar (ii), si llamamos z = x− y, recordando que i 6= j,por simetrıa la integral mas interna es

1

εn+1

∫|z|=ε

zizj dS = 0,

y, por lo tanto, (ii) = 0. En definitiva, u = G ∗ f satisface que ∆u = f y, sii 6= j

∂2u

∂xi∂xj= C lım

ε→0

∫|x−y|>ε

ki,j(x− y)f(y) dy︸︷︷︸=Tf(x)

,

donde Tf es un operador integral singular. Dejamos como ejercicio compro-bar que si i = j, vale que

(ii) = C

∫Rnf(y)ϕ(y) dy.

y, entonces,

∂2u

∂x2i

= C lımε→0

∫|x−y|>ε

ki,j(x− y)f(y) dy︸︷︷︸=Tf(x)

+Cf(x).

En ambos casos, si vemos que T es continuo en Lp resultara entonces queademas vale la estimacion ‖D2u‖p ≤ C‖f‖p.

Ejemplo 4.6. Otro ejemplo de operador integral singular son las transfor-madas de Riesz en Rn, definidas por

Rjf(x) = lımε→0

∫|x−y|>ε

xj − yj|x− y|n+1

f(y) dy.

Capıtulo 5

Integrales singulares

1. Operadores integrales singulares

Al final del capıtulo anterior presentamos varias integrales singulares deconvolucion, de la forma

Tf(x) = lımε→0

∫|x−y|>ε

K(x− y)f(y) dy︸︷︷︸=Tεf(x)

,

donde f ∈ S y el nucleo K esta en algun espacio donde la convolucion estabien definida (por ejemplo, K ∈ S ′) y es singular para x = y.

Mas en general, nos podemos plantear estudiar integrales singulares connucleos que no sean de convolucion, es decir de la forma

Tf(x) = lımε→0

∫|x−y|>ε

K(x, y)f(y) dy︸︷︷︸=Tεf(x)

,

suponiendo que el nucleo K es tal que Tε esta bien definido para f en undenso de Lp (por ejemplo, para f ∈ S). Si suponemos que x 6∈ sop(f),entonces podemos escribir directamente

(5.40) Tf(x) =

∫RnK(x, y)f(y) dy.

Nuestro objetivo es imponer condiciones sobreK que impliquen que ‖Tf‖p ≤C‖f‖p para 1 0, existe una descomposicion de Rn tal que

1. Rn = F ∪ Ω, F ∩ Ω = ∅2. f(x) ≤ λ para casi todo x ∈ F ;

56 5. INTEGRALES SINGULARES

3. Ω = ∪jQj, donde Qj son cubos de Rn con interiores disjuntos y talesque, para todo j,

λ <1

|Qj |

∫Qj

f dx ≤ 2nλ.

Observacion 5.2. En particular resulta que

|Ω| =∑j

|Qj | <1

λ

∫Ωf(x) dx ≤ 1

λ‖f‖1.

Demostracion. Como f ∈ L1(Rn), dado un cubo Q vale que

1

|Q|

∫Qf dx ≤ 1

|Q|

∫Rnf dx→ 0 cuando |Q| → ∞.

O sea que, dado λ > 0, podemos cubrir Rn con cubos Q suficientementegrandes tales que

1

|Q|

∫Qf dx ≤ λ.

Sea Q uno de estos cubos, lo dividimos uniformente en 2n cubos Q′. Enton-ces, Q′ cumple que, o bien

λ <1

|Q′|

∫Q′f dx, o bien

1

|Q′|

∫Q′f dx ≤ λ.

En el primer caso, seleccionamos a Q′ como uno de los cubos Qj ; veamosque se cumple lo que queremos. En efecto, como 2n|Q′| = |Q|, entonces

1

|Q′|

∫Q′f dx =

2n

|Q|

∫Q′f dx ≤ 2n

|Q|

∫Qf dx ≤ 2nλ.

Si en cambio Q′ cumple la segunda condicion, entonces lo volvemos a sub-dividir en 2n cubos Q′′ como antes y repetimos el procedimiento.

De esta manera, obtenemos una familia numerable de cubosQj con interioresdisjuntos y tales que, para todo j,

λ <1

|Qj |

∫Qj

f dx ≤ 2nλ.

Llamamos Ω = ∪jQj y F = Ωc. Ya sabemos que Ω cumple lo que necesi-tamos, falta ver que F tambien. Para esto, notemos que si x ∈ F , entoncesexiste una sucesion de cubos Qk tales que |Qk| → 0 y x ∈ Qk para todo k.Ademas,

1

|Qk|

∫Qk

f dx ≤ λ.

Entonces, por el teorema de Lebesgue, f(x) ≤ λ si x es un punto de Lebes-gue.

1. OPERADORES INTEGRALES SINGULARES 57

Observacion 5.3. De la demostracion del lema de Calderon-Zygmund esinmediato que la descomposicion se puede hacer en un unico cubo Q ⊂ Rnsiempre que λ > 0 este elegido de forma tal que

1

|Q|

∫Qf dx < λ.

Teorema 5.4. Sea T un operador integral singular de la forma (5.40). Su-pongamos que existe una constante B tal que:

1. ‖Tf‖2 ≤ B‖f‖22. vale la condicion de Hormander

(5.41)

∫|x−y|≥2|y−y′|

|K(x, y)−K(x, y′)| dx ≤ B.

Entonces, ‖Tf‖p ≤ C‖f‖p para todo p ∈ (1, 2], donde C depende solo de By de p.

Demostracion. Veamos primero que T es de tipo debil (1, 1), es decir,que dado λ > 0 vale

|x : Tf(x) > λ| ≤ C ‖f‖1λ

donde C depende solamente de B y de n.

Fijado λ, aplicamos la descomposicion de Calderon-Zygmund para |f | paraobtener Rn = Ω ∪ F con Ω = ∪jQj y

λ <1

|Qj |

∫Qj

|f | dx ≤ 2nλ.

Descomponemos f = g + b con

g(x) =

f(x) si x ∈ FfQj si x ∈ Qj

donde notamos con fQj = 1|Qj |

∫Qjf , y

b(x) =∑j

bj(x),

donde bj(x) = [f(x)−fQj ]χQj (x) son funciones soportadas en Qj y verifican∫bj dx = 0.

Veamos que |g(x)| ≤ 2nλ en casi todo punto. En efecto, si x ∈ F , entonces|g(x)| = |f(x)| ≤ λ, mientras que si x 6∈ F , entonces x ∈ Qj para algun j y,por definicion, g(x) = 1

|Qj |∫Qjf dx, de donde se sigue que

|g(x)| ≤ 1

|Qj |

∫Qj

|f | dx ≤ 2nλ.


Observemos ahora que

|x : |Tf(x)| > λ| ≤∣∣∣∣x : |Tg(x)| > λ

2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣x : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣ .Por un lado, tenemos entonces que∣∣∣∣x : |Tg(x)| > λ

2

∣∣∣∣ ≤ ∫Rn

(2|Tg(x)|

λ

)2

dx

≤ 4

λ2

∫Rn|Tg(x)|2 dx

≤ 4

λ2B2

∫Rn|g(x)|2 dx

≤ 4

λ2B2

∫Rn

(2nλ)|g(x)| dx

=C(n,B)

λ

∫Rn|g(x)| dx.

Pero ∫Rn|g(x)| dx =

∫F|g(x)| dx+

∫Ω|g(x)| dx

=

∫F|f(x)| dx+

∑j

∫Qj

|fQj | dx

=

∫F|f(x)| dx+

∑j

|Qj ||fQj | dx

≤∫F|f(x)| dx+

∑j

∫Qj

|f(x)| dx

= ‖f‖1.

Nos falta ver entonces que∣∣∣∣x : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣ ≤ C

λ‖f‖1

con C = C(n,B). Para esto, para cada Qj definimos Q∗j como el cuboexpandido que tiene el mismo centro que Qj y lados de longitud igual aun multiplo de la longitud del lado de Qj (que elegiremos mas adelante), ydefinimos

Ω∗ = ∪jQ∗j , F ∗ = (Ω∗)c.

Observemos que

|Ω∗| ≤∑j

|Q∗j | ≤ C∑j

|Qj | = C|Ω| ≤ C ‖f‖1λ

y que, por lo tanto,∣∣∣∣x : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣x ∈ Ω∗ : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣x ∈ F ∗ : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣≤ |Ω∗|+

∣∣∣∣x ∈ F ∗ : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣≤ C

λ‖f‖1 +

∣∣∣∣x ∈ F ∗ : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣ ,es decir que basta acotar |x ∈ F ∗ : |Tb(x)| > λ

2|.

Para esto, observando que x 6∈ sop(bj) y recordando que∫Qjbj = 0, podemos

escribir

Tb(x) =∑j

Tbj(x) =∑j

∫Qj

[K(x, y)−K(x, yj)]bj(y) dy

donde yj es el centro de Qj . Entonces, recordando que F ∗ ⊆ (Q∗j )c,∫

F ∗|Tb(x)| dx ≤

∑j

∫F ∗

∫Qj

|K(x, y)−K(x, yj)||bj(y)| dy dx

≤∑j

∫(Q∗j )c

∫Qj

|K(x, y)−K(x, yj)||bj(y)| dy dx

=∑j

∫Qj

∫(Q∗j )c

|K(x, y)−K(x, yj)| dx |bj(y)| dy

Para poder decir que esta es la condicion de Hormander, necesitamos ver quesi y ∈ Qj y x ∈ (Q∗j )

c, entonces |x− y| ≥ 2|y − yj |, pero esto efectivamentees ası si elegimos el factor de expansion de Q∗j adecuadamente. Concluimosentonces que∫

F ∗|Tb(x)| dx ≤ B

∑j

∫Qj

|bj(y)| dy ≤ 2B∑j

∫Qj

|f(y)| dy ≤ 2B‖f‖1

y podemos deducir que el operador T es de tipo debil (1,1).

Como ademas estamos suponiendo que T es continuo en L2(Rn), por elteorema de interpolacion de Marcinkiewicz resulta que ‖Tf‖p ≤ C‖f‖p paratodo 1 < p ≤ 2, con C = C(B, p).

Observacion 5.5. Si T es continuo en L2 (cosa que probaremos mas ade-lante), entonces el adjunto de T tambien resulta ser continuo en L2 y estadado por

T g(x) =

∫RnK(y, x)g(y) dy

para x 6∈ sop(g).

Teorema 5.6. Si en el Teorema 5.4 reemplazamos la condicion de Horman-der (5.41) por

(5.42)

∫|x−y|≥2|x−x′|

|K(x, y)−K(x′, y)| dy ≤ B,

se obtiene que ‖Tf‖p ≤ C‖f‖p para todo p ∈ [2,∞), donde C depende solode B y de p.

Demostracion. Usamos el siguiente argumento de “dualidad”: si f ∈S, ∫

RnTf(x)g(x) dx =

∫Rn

∫RnK(x, y)f(y)g(x) dy dx

=

∫Rn

∫RnK(x, y)g(x) dx f(y) dy

=

∫RnT g(y)f(y) dy

donde T g(x) =∫Rn K(x, y)g(y) dy y K(x, y) = K(y, x). Entonces, como

1 < p′ < 2, podemos escribir

sup‖g‖p′=1

∫RnTf(x)g(x) dx = sup

‖g‖p′=1

∫RnT g(x)f(x) dx

≤ sup‖g‖p′=1

‖T g‖p′‖f‖p

≤ sup‖g‖p′=1

C‖g‖p′‖f‖p

= C‖f‖p,

donde usamos que ‖T g‖2 ≤ C‖g‖2 por la observacion anterior, y que Kcumple la condicion de Hormander (5.41), que se puede verificar facilmenteque es equivalente a que K cumpla la condicion de Hormander (5.42).

Observacion 5.7. En el caso de nucleos de convolucion, las condicionesde Hormander (5.41) y (5.42) son ambas equivalentes, mediante cambios devariables, a

(5.43)

∫|x|≥2|y|

|K(x− y)−K(x)| dx ≤ B.

Observacion 5.8. En el caso de nucleos de convolucion, es frecuente utilizarla condicion

(5.44) |∇K(x)| ≤ B′

|x|n+1

para x 6= 0, que implica la condicion (5.43) (para B = C(n)B′) y es masfacil de verificar en muchos ejemplos.

Demostracion. Por el teorema de valor medio y la hipotesis (5.44),

|K(x− y)−K(x)| = |∇K(z) · y| ≤ B′|y||z|n+1

para algun z entre x y x− y. Pero en la region de integracion que queremosconsiderar, |x| ≥ 2|y|, ası que

|x| ≤ |x− z|+ |z| ≤ |y|+ |z| ≤ |x|2

+ |z|

y, por lo tanto,∫|x|≥2|y|

|K(x− y)−K(x)| dx ≤∫|x|≥2|y|

2n+1 B′|y|

|x|n+1dx

≤ CB′|y|∫ ∞

2|y|

rn−1

rn+1dr

≤ B.

Hasta ahora, los teoremas que probamos tienen como hipotesis la continui-dad en L2 de las integrales singulares, por lo que el problema se reduce aencontrar condiciones sobre K para garantizar dicha continuidad. Para esto,nos vamos a restringir al caso de nucleos de convolucion, donde la continui-dad en L2 se puede demostrar utilizando la transformada de Fourier.

Teorema 5.9. Supongamos que K cumple las siguientes condiciones:

1. para todo x 6= 0

(5.45) |K(x)| ≤ B

|x|n;

2. para todo 0 < a < b,

(5.46)

∫a<|x| 0

Tεf(x) =

∫|y|>ε

K(y)f(x− y) dy = (Kε ∗ f)(x)

donde

Kε(x) =

K(x) si |x| > ε

0 si |x| ≤ ε

entonces, para todo 1 ε)

y, por lo tanto, la convolucion con Kε esta bien definida para f ∈ S. Tenemosque ver que si K cumple la condicion (5.43), entonces Kε tambien la cumple,con una constante independiente de ε, es decir que debemos probar que∫

|x|>2|y||Kε(x− y)−Kε(x)| dx ≤ C(B).

Para esto distinguimos en los siguientes casos:

Si |x − y| > ε y |x| > ε, la Kε(x − y) = K(x − y) y Kε(x) = K(x),ası que no hay nada que probar.Si |x| > ε y |x − y| < ε, como ademas estamos integrando en |x| >2|y|, entonces

ε > |x− y| ≥ |x| − |y| > |x| − |x|2

=|x|2,

por lo que lo que tenemos que acotar es∫|x|>2|y|

|x−y|<ε<|x|

|K(x)| dx ≤∫ε<|x|<2ε

|K(x)| dx ≤∫ε<|x|<2ε

B

|x|ndx = C

∫ 2ε

ε

rn−1

rndr = C log 2.

Si |x| < ε y |x − y| > ε, entonces usando de nuevo que |x| > 2|y|,vemos

ε < |x− y| ≤ |x|+ |y| < |x|+ |x|2< 2ε

y entonces, al igual que en el caso anterior,∫|x|>2|y|

|x−y|<ε<|x|

|K(x− y)| dx ≤∫ε<|x−y|<2ε

|K(x− y)| dx ≤ C log 2.

Nos queda por ver entonces que se cumple que ‖Tεf‖2 ≤ C‖f‖2 con C

independiente de ε. Para esto, como ‖Tεf‖2 = ‖Kε ∗ f‖2 = ‖Kεf‖2 ≤‖Kε‖∞‖f‖2, bastara probar que |Kε(ξ)| ≤ C, con una constante que nodepende de ε.

Como

Kε(ξ) = lımR→∞

∫|x|<R

Kε(x)e−2πix·ξ dx,

basta ver que la integral esta acotada independientemente de R. Para esoescribimos∫|x|<R

Kε(x)e−2πix·ξ dx =

∫ε<|x|< 1

|ξ|

Kε(x)e−2πix·ξ dx︸︷︷︸=I1

+

∫1|ξ|<|x|<R

Kε(x)e−2πix·ξ dx︸︷︷︸=I2

.

Como Kε tiene integral cero en coronas,

I1 =

∫ε<|x|< 1

|ξ|

Kε(x)(e−2πix·ξ − 1) dx

y, por lo tanto (usando que |et − 1| ≤ Ct si |t| < 1),

|I1| ≤ C∫|x|< 1

|ξ|

|Kε(x)||x||ξ| dx = CB|ξ|∫|x|< 1

|ξ|

1

|x|n−1dx = C(n,B).

Para la acotacion de I2, notemos que si definimos y = ξ2|ξ|2 , entonces e2πiy·ξ =

−1 y, cambiando variables, tenemos que

I2 =

∫1|ξ|<|x−y|<R

Kε(x− y)e−2πi(x−y)·ξ dx

= −∫

1|ξ|<|x−y|<R

Kε(x− y)e−2πix·ξ dx

= −∫

1|ξ|<|x|<R

Kε(x− y)e−2πix·ξ dx+ J

donde

J =

(∫1|ξ|<|x|<R

−∫

1|ξ|<|x−y|<R

)e−2πix·ξKε(x− y) dx.

Por lo tanto,

I2 =1

2

∫1|ξ|<|x|<R

[Kε(x)−Kε(x− y)]e−2πix·ξ dx︸︷︷︸=I3

+J

2

Ahora, observando que por como definimos y, 1|ξ| = 2|y|,

|I3| ≤∫

2|y|≤|x||Kε(x)−Kε(x− y)| dx ≤ CB.

Solo falta ver que podemos acotar J . Para esto, hacemos el cambio de va-riables z = x− y y observamos que, si definimos

E1 =

z :

1

|ξ|< |z| ≤ R

, E2 =

z :

1

|ξ|< |z + y| ≤ R

,

tenemos que

|J | =∣∣∣∣(∫

E2

−∫E1

)e−2πi(z+y)ξKε(z) dz

∣∣∣∣ ≤ ∫E24E1

|Kε(z)| dz.

Afirmamos que

E14E2 ⊆z :

1

2|ξ|≤ |z| ≤ 2

|ξ|

∪z :

R

2≤ |z| ≤ 2R

.

En efecto, supongamos por ejemplo que z ∈ E1−E2, entonces 1|ξ| < |z| ≤ R

y ademas, o bien |z+y| ≤ 1|ξ| , o bien |z+y| > R. En el primer caso, tenemos

que1

|ξ|< |z| ≤ |z + y|+ |y| ≤ 1

|ξ|+

1

2|ξ|<

2

|ξ|,

mientras que en el segundo,

R ≥ |z| ≥ |z + y| − |y| ≥ R− 1

2|ξ|> R− R

2=R

2,

donde para la ultima desigualdad usamos que 1|ξ| < R (ya que sino la integral

que queremos acotar es vacıa).

Si z ∈ E2 − E1, el razonamiento es analogo. Entonces, para terminar lademostracion bastara ver que si a > 0, entonces∫

a2<|z|≤2a

|Kε(z)| dz ≤ BC

con C independiente de a. Para esto basta observar que∫a2<|z|≤2a

|Kε(z)| dz ≤ B∫a2<|z|≤2a

1

|z|ndz = BC

∫ 2a

a2

1

rdr = BC log 4.

En definitiva, podemos aplicar los teoremas 5.4 y 5.6 a Kε, como querıamos,lo que concluye la demostracion.

Teorema 5.10. En las condiciones del teorema anterior, para toda f ∈Lp(Rn) existe en el sentido de Lp

lımε→0

Tεf =: Tf

y, en consecuencia, T resulta ser un operador continuo en Lp(Rn) para todo1 < p <∞.

2. INTEGRALES SINGULARES CON NUCLEOS HOMOGENEOS 65

Demostracion. Primero veamos que el resultado vale si f ∈ C∞ ytiene soporte compacto. Afirmamos que en este caso Tεf es de Cauchy enLp(Rn). En efecto, si η > ε > 0, usando que K tiene integral cero en coronas,tenemos que

(Tηf−Tεf)(x) =

∫ε<|y|≤η

K(y)f(x−y) dy =

∫ε<|y|≤η

K(y)(f(x−y)−f(x)) dy

y entonces

‖Tηf − Tεf‖p ≤∫ε<|y|≤η

|K(y)|‖f(· − y)− f(·)‖p dy.

Como f tiene soporte compacto y podemos pensar que |y| < 1 (porque nosinteresa η → 0), la funcion |f(· − y)− f(·)| tambien tiene soporte compacto,y ademas |f(x− y)− f(x)| ≤ ‖∇f‖∞|y|. Entonces,

‖Tηf − Tεf‖p ≤ C∫ε<|y|≤η

|y||K(y)| dy ≤ CB∫|y|≤η

1

|y|n−1dy = CBη → 0.

Por lo tanto Tεf es de Cauchy en Lp(Rn) y entonces existe lımε→0 Tεf =: Tf .

Si ahora f ∈ Lp(Rn), dado δ > 0 existe g ∈ C1 de soporte compacto tal que‖f − g‖p < δ. Entonces, si η > ε > 0,

‖Tηf − Tεf‖p ≤ ‖Tη(f − g)‖p + ‖Tηg − Tεg‖p + ‖Tε(g − f)‖p≤ C ‖f − g‖p︸︷︷︸

<δ

+ ‖Tηg − Tεg‖p︸︷︷︸→0

,

de donde deducimos que tambien en este caso Tεf es de Cauchy en Lp(Rn).Por lo tanto, existe lımε→0 Tεf =: Tf en Lp(Rn) y vale ademas que ‖Tεf‖p →‖Tf‖p, de donde deducimos que T es continuo en Lp(Rn).

2. Integrales singulares con nucleos homogeneos

En esta seccion nos proponemos estudiar la convergencia en Lp y la conver-gencia puntual de una clase particular de integrales singulares de convolu-cion, que son aquellas que conmutan con dilataciones.

Para esto, dado ε, llamamos δεf(x) := f(εx). Dado Tf = K ∗ f , queremosver que propiedades tiene que tener K para que δεT = Tδε para todo ε > 0.

Notemos que, por un lado,

δε(Tf)(x) = (Tf)(εx) =

∫RnK(y)f(εx− y) dy =

∫RnεnK(εz)f(εx− εz) dz

y, por el otro,

T (δεf)(x) =

∫RnK(z)δεf(x− z) dz =

∫RnK(z)f(εx− εz) dz

por lo tanto, para todo ε > 0 debe valer K(z) = εnK(εz), o sea que K esuna funcion homogenea de grado −n.

Observemos que si una funcion es homogenea, nos basta conocer sus valoresen la esfera unitaria. En efecto,

(5.47) K(x) = |x|−nK(x

|x|

)= |x|−nΩ

(x

|x|

)donde Ω es una funcion definida en la esfera unitaria. Empecemos entoncespor ver que propiedades tiene que cumplir Ω para que K cumpla las condi-ciones (5.45), (5.46) y (5.43), es decir, para que la integral singular este biendefinida y sea continua en Lp para 1 < p <∞.

Teorema 5.11. Si Ω es una funcion definida en la esfera unitaria tal queΩ ∈ L∞(Sn−1), ∫

Sn−1

Ω(x′) dx′ = 0

y ademas cumple una condicion de Dini, es decir que si ω(δ) = sup|x′−y′|≤δ |Ω(x′)−Ω(y′)| (x′, y′ ∈ Sn−1) entonces para algun a > 0 vale∫ a

0

ω(t)

tdt <∞,

entonces el nucleo K definido por (5.47) cumple las condiciones (5.45),(5.46) y (5.43), es decir que el operador es continuo en Lp para todo 1 <p <∞.

Demostracion. Es inmediato que si ‖Ω‖∞ = B, entonces |K(x)| ≤B|x|n .

Para ver que K tiene integral cero en coronas, escribimos∫a<|x|<b

K(x) dx =

∫Sn−1

∫ b

aK(rx′)rn−1 dr dx′

=

∫Sn−1

∫ b

ar−nΩ(x′)rn−1 dr dx′

=

∫ b

a

dr

r

∫Sn−1

Ω(x′) dx′︸︷︷︸=0

.

Nos falta probar que K cumple la condicion de Hormander (5.43). Para estoescribimos

K(x)−K(x− y) = |x|−nΩ

(x

|x|

)− |x− y|−nΩ

(x− y|x− y|

)= Ω

(x

|x|

)[1

|x|n− 1

|x− y|n

]︸︷︷︸

(i)

+ |x− y|−n[Ω

(x

|x|

)− Ω

(x− y|x− y|

)]︸︷︷︸

(ii)

Por un lado, tenemos que, por el teorema de valor medio,

1

|x|n− 1

|x− y|n≤ C|y||x− ξ|n+1

con 0 < |ξ| < |y| (ya que x− ξ esta en el segmento que une x con x− y).

Por lo tanto,

|(i)| ≤ ‖Ω‖∞[

1

|x|n− 1

|x− y|n

]≤ ‖Ω‖∞

C|y||x− ξ|n+1

.

Pero como vamos a integrar en la region |y| < |x|2 , entonces |x−ξ| ≥ |x|−|ξ| >

|x| − |x|2 = |x|2 , de donde

|(i)| ≤ ‖Ω‖∞2n+1 |y||x|n+1

e, integrando,∫|x|≥2|y|

(i) dx ≤ C|y|∫|x|≥2|y|

1

|x|n+1dx = C|y|

∫ ∞2|y|

1

r2dr = C.

Por otro lado, usando que, por el teorema de valor medio,

x− y|x− y|

− x

|x|≤ C|y||x− ξ|

,

con 0 < |ξ| < |y|, tenemos que

|(ii)| ≤ 1

|x− y|nω

(∣∣∣∣ x|x| − x− y|x− y|

∣∣∣∣) ≤ 1

|x− y|nω

(|y||x− ξ|

).

Por la cuenta anterior, si |y| ≤ |x|2 sabemos que |x − ξ| ≥ |x|

2 . Ademas,

tambien vale que en esta region |x|2 ≤ |x− y|, y entonces

|(ii)| ≤ 1

|x− y|nω

(2|y||x|

)≤ 2n

|x|nω

(2|y||x|

).

Integrando, tenemos que∫|x|≥2|y|

|(ii)| ≤∫|x|≥2|y|

2n

|x|nω

(2|y||x|

)dx

= C

∫ ∞2|y|

1

rω

(2|y|r

)dr

= C

∫ 1

0

ω(t)

tdt <∞.

Ahora nos interesa estudiar si Tεf(x) → Tf(x) en casi todo punto. Pro-baremos que este resultado efectivamente vale si 1 ≤ p < ∞. Para esto,introducimos el operador maximal asociado a K,

T ∗f(x) = supε>0|Tεf(x)| = sup

ε>0

∣∣∣∣∣∫|y|>ε

K(y)f(x− y) dy

∣∣∣∣∣y consideramos por separado los casos p = 1 y 1 < p < ∞. Antes vamos aver algunos resultados previos que necesitaremos.

Teorema 5.12. Dada ϕ ∈ L1(Rn), si ϕ esta acotada por una funcion ψ ∈L1(Rn) radial, decreciente como funcion de r = |x| y tal que ‖ψ‖1 = A <∞,entonces

supε>0|(f ∗ ϕε)(x)| ≤ AMf(x)

para toda f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞.

Demostracion. Notemos que basta ver que si f ≥ 0, (f ∗ ψ)(0) ≤AMf(0). En efecto, como ϕ ≤ ψ, entonces ϕε ≤ ψε, y ψε es una nuevafuncion radial decreciente, es decir que podemos suponer que ε = 1. Ademas,alcanza con probar la acotacion (f ∗ ψ)(0) ≤ AMf(0), ya que tomando

f(y) = f(x− y), vale que (f ∗ ψ)(0) = (f ∗ ψ)(x) y Mf(0) = Mf(x).

Supongamos ademas que Mf(0) <∞ (sino no hay nada que probar).

Ahora, como ψ es radial, por un abuso de notacion podemos escribir ψ(x) =ψ(r) y tenemos que

(f ∗ ψ)(0) =

∫Rnf(x)ψ(x) dx =

∫Sn−1

∫ ∞0

f(rx′)ψ(r)rn−1 dr dσ(x′).

Si definimos

λ(r) =

∫Sn−1

f(rx′)dσ(x′)

y

Λ(r) =

∫|x|≤r

f(x) dx =

∫ r

0λ(t)tn−1 dt,

entonces(5.48)∫

Rnf(x)ψ(x) dx =

∫ ∞0

λ(r)ψ(r)rn−1 dr = lımε→0,M→∞

∫ M

εΛ′(r)ψ(r) dr.

Notemos que

Λ(r) =

∫|x|≤r

f(x) dx = ωnrn 1

ωnrn

∫|x|≤r

f(x) dx ≤ ωnrnMf(0)

y que, ademas, Λ(M)ψ(M) − Λ(ε)ψ(ε) → 0 cuando M → ∞, ε → 0. Enefecto, como Λ(r) ≤ Crn, basta ver que rnψ(r)→ 0 cuando r → 0 o r →∞.Pero esto se deduce de

ψ(r)rn ≤ C∫r2<|x|<r

ψ(x) dx→ 0

pues ψ ∈ L1(Rn).

Por lo tanto, al hacer partes en (5.48) (notemos que ψ es de variacion acotadapor ser decreciente), como los terminos integrados tienden a cero, tenemosque

(f ∗ ψ)(0) ≤∫ ∞

0Λ(r) d(−ψ(r)) ≤ ωnMf(0)

∫ ∞0

rn d(−ψ(r))

= ωnMf(0)

∫ ∞0

(rn)′ψ(r) dr = ωnMf(0)

∫ ∞0

rn−1ψ(r) dr

= Mf(0)

∫Rnψ(x) dx = AMf(0),

como querıamos.

Lema 5.13 (Cotlar). Con las hipotesis del Teorema 5.11

T ∗f(x) ≤M(Tf)(x) + CMf(x)

y, en consecuencia, ‖T ∗f‖p ≤ C‖f‖p si 1 < p <∞.

Demostracion. Sea η ∈ C∞0 (Rn) una funcion radial no negativa, de-creciente como funcion de |x|, tal que sop(η) ⊆ |x| ≤ 1 y

∫η = 1, y sea

ϕ = Tη −K1.

Veamos primero que ϕ esta acotada por una funcion radial decreciente (enel sentido anterior) perteneciente a L1(Rn). Para esto separamos en casos.

Si |x| ≤ 1, entonces K1(x) = 0 y

ϕ(x) = Tη(x) = lımε→0

∫ε<|y|≤2

K(y)η(x− y) dy,

donde para achicar la region de integracion usamos que, por el soporte deη, |x− y| ≤ 1, y entonces |y| ≤ |x− y|+ |x| ≤ 2. Pero como K tiene integralcero en coronas y verifica |K(y)| ≤ B|y|−n, podemos escribir

ϕ(x) = lımε→0

∫ε<|y|≤2

K(y)[η(x− y)− η(x)] dy ≤ C lımε→0

∫ε<|y|≤2

|y||y|n

dy <∞.

Si 1 < |x| ≤ 2, entonces K1(x) = K(x) y

ϕ(x) = (K ∗ η)(x)−K(x)

pero K ∗ η se acota como antes y |K(x)| ≤ B|x|−n ≤ B, ası que ϕ tambienes acotada en este caso.

Si |x| > 2, nuevamente K1(x) = K(x) y como η tiene integral 1, podemosescribir

ϕ(x) =

∫RnK(x− y)η(y) dy −K(x) =

∫Rn

[K(x− y)−K(x)]η(y) dy.

Pero

|K(x− y)−K(x)| ≤∣∣∣∣Ω( x− y

|x− y|

)− Ω

(x

|x|

)∣∣∣∣ |x− y|−n︸︷︷︸(i)

+

∣∣∣∣Ω( x

|x|

)∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1

|x− y|n− 1

|x|n

∣∣∣∣︸︷︷︸(ii)

y, como estamos suponiendo que |y| ≤ 1 y |x| > 2, entonces |x| > 2|y|.

Notemos que, por la condicion de Dini,

(i) ≤ Cω(C2

|x|

)|x|−n,

que es una funcion radial decreciente y esta en L1 en la region que estamosconsiderando. En efecto,∫

|x|>2ω

(C2

|x|

)|x|−n dx = C

∫ ∞2

ω

(C2

r

)dr

r= C

∫ C2/2

0

ω(s)

sds <∞.

Por otro lado,

(ii) ≤ C |y||x− ξ|n+1

≤ C 1

|x|n+1

que tambien es una funcion radial decreciente e integrable donde |x| > 2.

Ahora, afirmamos que como ϕ = K ∗ η −K1, entonces ϕε = K ∗ ηε −Kε.En efecto,

ϕε(x) = ε−nϕ(xε

)= ε−nTη

(xε

)− ε−nK1

(xε

)= K ∗ ηε(x)−Kε(x)

donde para la ultima igualdad usamos que T conmuta con dilataciones.

Deducimos entonces que Kε = K ∗ ηε − ϕε y

Kε ∗ f = K ∗ ηε ∗ f − ϕε ∗ f = Tf ∗ ηε − ϕε ∗ f.

Usando el lema anterior, ya que tanto η como ϕ estan acotadas por funcionesradiales, decrecientes e integrable, tenemos finalmente que

T ∗f(x) = supε>0|(Kε ∗ f)(x)|

≤ supε>0|(Tf ∗ ηε)(x)|+ sup

ε>0|(ϕε ∗ f)(x)|

≤M(Tf)(x) + CMf

que es lo que querıamos probar.

Teorema 5.14. Con las hipotesis del Teorema 5.11, si 1 < p < ∞ y f ∈Lp(Rn), Tεf → f en casi todo punto.

Demostracion. Si definimos

Λf(x) =

∣∣∣∣lım supε→0

Tεf(x)− lım infε→0

Tεf(x)

∣∣∣∣ ,basta ver que Λf(x) = 0 en casi todo punto.

Si f ∈ C1 y tiene soporte compacto, entonces

Tεf(x) =

∫ε<|y|<M

K(y)f(x− y) dy =

∫ε<|y|<M

K(y) [f(x)− f(x− y)]︸︷︷︸≤C|y|

dy

y como el integrando esta en L1loc(Rn), entonces existe el lımite cuando ε→ 0

y, por lo tanto, Λf = 0.

Si ahora f ∈ Lp(Rn) cualquiera, dado δ > 0 existen f1, f2 tales que f =f1 + f2 con f1 ∈ C1 de soporte compacto y ‖f2‖p ≤ δ. Entonces,

‖Λf‖p ≤ ‖Λf1‖p + ‖Λf2‖p = ‖Λf2‖p ≤ 2‖T ∗f2‖p ≤ C‖f2‖p ≤ Cδ

y como δ es arbitrario, ‖Λf‖p = 0, de donde Λf = 0 en casi todo punto.

Teorema 5.15. T ∗ es de tipo debil (1, 1).

Demostracion. Dada f ∈ L1(Rn) y λ > 0, consideramos la descompo-sicion de Calderon-Zygmund de |f |, y obtenemos f = g + b, con |g(x)| ≤ λ,

b =∑

j bj ,∫bj = 0, sop(bj) ⊆ Qj y | ∪j Qj | ≤ ‖f‖1λ .

T ∗g se puede acotar igual que Tg, ya que solo se usa la continuidad en L2.Falta ver que

|x : T ∗b(x) > λ| ≤ C‖f‖1λ

.

Para esto introducimos Q∗j dilatados fijos de Q y definimos F ∗ = (∪jQ∗j )c.Ya sabemos que ∣∣∪jQ∗j ∣∣ ≤ C‖f‖1

λ,

entonces basta ver que

|x ∈ F ∗ : T ∗b(x) > λ| ≤ C‖f‖1λ

.

Si probamos que para x ∈ F ∗ e yj el centro de Qj

T ∗b(x) ≤∑j

∫Qj

|K(x− y)−K(x− yj)||b(y)| dy + CMb(x),

entonces la demostracion sale del tipo debil (1, 1) para M y de la mismademostracion que para T . Pero

Tεb(x) =

∫|x−y|>ε,y∈∪Qj

K(x− y)b(y) dy

=

∫∪jQj

Kε(x− y)b(y) dy

=∑j

∫Qj

Kε(x− y)b(y) dy.

Ahora, dado ε > 0, si x ∈ F ∗ para cada Qj hay 3 posibilidades:

1. |x− y| < ε para todo y ∈ Qj ,2. |x− y| > ε para todo y ∈ Qj ,3. existe y ∈ Qj tal que |x− y| = ε.

En el primer caso, Kε(x − y) = 0 para todo y ∈ Qj . En el segundo caso,Kε(x− y) = K(x− y) para todo y ∈ Qj y, por lo tanto, si yj es el centro deQj∫Qj

Kε(x−y)b(y) dy =

∫Qj

K(x−y)b(y) dy =

∫Qj

[K(x−y)−K(x−yj)]b(y) dy

y entonces∣∣∣∣∣∫Qj

Kε(x− y)b(y) dy

∣∣∣∣∣ ≤∫Qj

|K(x− y)−K(x− yj)||b(y)| dy.

Por ultimo, si existe y ∈ Qj tal que |x− y| = ε, entonces existen C1, C2, C3

tales que ε ≥ C1l(Qj), Qj ⊆ B(x,C2ε) y |x − y| ≥ C3ε para todo y ∈ Qj .Entonces ∫

Qj

|Kε(x− y)||b(y)| dy ≤ C∫Qj

1

|x− y|n|b(y)| dy

≤ C

εn

∫B(x,C2ε)

|b(y)| dy

≤ CMb(x).

Teorema 5.16. Si f ∈ L1(Rn), tambien vale que Tεf → f en casi todopunto.

Demostracion. Como T ∗ es de tipo debil (1, 1), definiendo Λ comoantes, tenemos que para todo λ > 0

|x : |Λf(x)| > λ| ≤ 2C‖f‖1λ

Escribimos f = f1 + f2, con f1 ∈ C1 de soporte compacto y ‖f2‖1 ≤ δ.Entonces Λf1 = 0 y

|x : |Λf(x)| > λ| ≤ |x : |Λf2(x)| > λ| ≤ 2C‖f2‖1λ

<2Cδ

λ.

Como δ es arbitrario,|x : Λf(x) > λ| = 0

y, por lo tanto, Λf2 = 0 en casi todo punto.

Capıtulo 6

B.M.O. y H1

1. El espacio B.M.O.

Definicion 6.1. Dada f ∈ L1loc(Rn) y un cubo Q ⊆ Rn, notamos fQ al

promedio de f sobre Q, es decir,

fQ :=1

|Q|

∫Qf

y definimos la oscilacion media de f sobre Q como

1

|Q|

∫Q|f − fQ|.

Decimos que f ∈ B.M.O. si f tiene oscilacion media acotada, es decir si

M#f(x) = supQ3x

1

|Q|

∫Q|f − fQ| < +∞

M#f se llama funcion maximal aguda y, si f ∈ B.M.O., entonces notamos‖f‖∗ := ‖M#f‖∞.

Observacion 6.2. ‖f‖∗ es una seminorma, ya que ‖f‖∗ = 0 para toda fconstante en casi todo punto. Por eso consideramos como B.M.O. al cocientede las funciones que acabamos de definir por las funciones constantes en casitodo punto. Con esta definicion y ‖ · ‖∗, B.M.O. resulta ser un espacio deBanach.

Observacion 6.3. Vale que L∞ ⊆ B.M.O., y que M#f(x) ≤ CMf(x).

Demostracion. Basta notar que, dado Q ⊆ Rn,

1

|Q|

∫Q|f − fQ| ≤

1

|Q|

∫Q|f |+ |fQ| ≤

2

|Q|

∫Q|f |

y que ademas este ultimo termino se puede acotar por 2‖f‖∞.

Proposicion 6.4.

1

2‖f‖∗ ≤ sup

Qınfa∈C

1

|Q|

∫Q|f(x)− a| dx ≤ ‖f‖∗

76 6. B.M.O. Y H1

Demostracion. La desigualdad de la derecha es inmediata. Para verque vale la de la izquierda, basta observar que∫

Q|f(x)− fQ| dx ≤

∫Q|f(x)− a| dx+ |Q||a− fQ|

=

∫Q|f(x)− a| dx+ |Q|

∣∣∣∣ 1

|Q|

∫Q

(a− f(x)) dx

∣∣∣∣≤ 2

∫Q|f(x)− a| dx.

Observacion 6.5. Usando la propiedad anterior y la desigualdad triangular,se puede ver que M#(|f |)(x) ≤ 2M#f(x), de donde se sigue que si f ∈B.M.O. entonces |f | ∈ B.M.O.

Notemos que la recıproca no es cierta. En efecto, si

g(x) =

log 1

|x| |x| < 1

0 |x| ≥ 1

y f(x) = sg(x)g(x), entonces |f | ∈ B.M.O. pero f(x) 6∈ B.M.O. Observe-mos que esta funcion tambien sirve para ver que la inclusion L∞ ⊂ B.M.O.es estricta.

Teorema 6.6. Sea T un operador integral singular dado por

Tf(x) =

∫RnK(x, y)f(y) dy

si x 6∈ sop(f), y supongamos que existe una constante B tal que:

1. ‖Tf‖2 ≤ B‖f‖22. vale la condicion de Hormander∫

|x−y|≥2|x−x′||K(x, y)−K(x′, y)| dy ≤ B.

Entonces, si f ∈ L∞(Rn) tiene soporte compacto, Tf esta en B.M.O. y‖Tf‖∗ ≤ C‖f‖∞.

Demostracion. Sea Q ⊆ Rn y sea Q∗ el cubo expandido que tiene elmismo centro que Q y lados de longitud igual a un multiplo de la longituddel lado de Q (que elegiremos mas adelante). Escribimos f = f1 + f2, conf1 = fχQ∗ y f2 = fχ(Q∗)c . Por la Proposicion 6.4 basta ver que si a =Tf2(yQ) con xQ el centro del cubo Q, entonces

1

|Q|

∫Q|Tf(x)− a| dx ≤ C,

1. EL ESPACIO B.M.O. 77

donde C no depende de Q. Para esto escribimos

1

|Q|

∫Q|Tf(x)− a| dx =

1

|Q|

∫Q|T (f1 + f2)(x)− a| dx

≤ 1

|Q|

∫Q|Tf1(x)| dx︸︷︷︸(i)

+1

|Q|

∫Q|Tf2(x)− Tf2(xQ)| dx︸︷︷︸

(ii)

.

Para (i), como T es continuo en L2(Rn) y f1 = fχQ∗ , escribimos

(i) ≤ 1

|Q|

(∫Q|Tf1(x)|2 dx

) 12

|Q|12

≤ C(

1

|Q|

∫Q∗|f1(x)|2 dx

) 12

≤ C‖f‖∞(|Q∗||Q|

) 12

≤ C‖f‖∞.

Por otro lado,

(ii) =1

|Q|

∫Q

∣∣∣∣∣∫

(Q∗)c(K(x, y)−K(xQ, y))f(y) dy

∣∣∣∣∣ dx≤ ‖f‖∞|Q|

∫Q

∫(Q∗)c

|K(x, y)−K(xQ, y)| dy︸︷︷︸(∗)

dx

Para poder acotar (∗) usando la condicion de Hormander, necesitamos verque si x ∈ Q e y ∈ (Q∗)c, entonces |x − y| ≥ 2|x − xQ|, pero esto esefectivamente ası si elegimos el factor de expansion de Q∗ adecuadamente.

Por lo tanto,

(ii) ≤ B‖f‖∞y, en definitiva, tenemos que

1

|Q|

∫Q|Tf(x)− a| dx ≤ C‖f‖∞,

de donde se sigue que ‖Tf‖∗ ≤ C‖f‖∞, como querıamos.

Observacion 6.7. Como las funciones de soporte compacto no son densasen L∞, no se puede extender Tf a todo L∞ por densidad, por lo que esnecesario definir el operador de alguna manera. Para esto, sea f ∈ L∞ y

78 6. B.M.O. Y H1

sea Q ⊆ Rn un cubo centrado en cero. Escribimos f = f1 + f2 como antes,y definimos, para x ∈ Q

Tf(x) := Tf1(x) +

∫Rn

(K(x, y)−K(0, y))f2(y) dy.

Notemos que Tf1 esta bien definida en casi todo punto porque f1 tiene so-porte compacto, y que por las cuentas anteriores la integral esta acotada,ası que el operador manda L∞ en B.M.O.. Tenemos que ver entonces quesi tomamos otro dilatado Q′ de Q y definimos las respectivas f1 y f2, ambasdefiniciones coinciden. Para esto, notemos que la diferencia entre las dosdefiniciones, suponiendo que Q∗ ⊆ Q

′(ya que ambos estan centrados en

cero), es

T (f1 − f ′1)(x) +

∫(Q∗)c

(K(x, y)−K(0, y))f(y) dy

−∫

(Q′ )c(K(x, y)−K(0, y))f(y) dy

= −∫Q′\Q∗

K(x, y)f(y) dy +

∫Q′\Q∗

(K(x, y)−K(0, y))f(y) dy

= −∫Q′\Q∗

K(0, y)f(y) dy

que es una constante independiente de x. Por lo tanto, ambas definicionescoinciden como funciones de B.M.O.

Ya vimos un ejemplo de funcion no acotada en B.M.O. Nos interesa ahoraestudiar que crecimiento pueden tener estas funciones. Para esto, volvamosal ejemplo anterior.

Ejemplo 6.8. El promedio de log 1|x| en (−a, a) es 1− log a, y si λ > 1∣∣∣∣x ∈ (−a, a) :

∣∣∣∣log1

|x|− (1− log a)

∣∣∣∣ > λ

∣∣∣∣ ≤ 2ae−λ−1

El siguiente teorema nos dice que esencialmente esto es lo maximo que unafuncion en B.M.O. puede separarse de su promedio.

Teorema 6.9 (John-Nirenberg). Si f ∈ B.M.O., Q ⊆ Rn y λ > 0, entoncesexisten constantes c1, c2 que solo dependen de la dimension tales que

|x ∈ Q : |f(x)− fQ| > λ| ≤ c1e−c2λ/‖f‖∗ |Q|.

Demostracion. Notemos que reemplazando f por un multiplo en ladesigualdad que queremos probar podemos suponer que ‖f‖∗ = 1 y, por lotanto,

1

|Q|

∫Q|f(x)− fQ| ≤ 1.

1. EL ESPACIO B.M.O. 79

Consideramos la funcion |f(x)− fQ|χQ(x) y hacemos su descomposicion deCalderon-Zygmund a altura 2, para obtener una familia de cubos Q1,jtales que:

|f(x)− fQ| ≤ 2 si x 6∈ ∪jQ1,j∑j

|Q1,j | ≤1

2

∫Q|f(x)− fQ| dx ≤

1

2|Q|‖f‖∗ =

1

2|Q|

y

2 <1

|Q1,j |

∫Q1,j

|f(x)− fQ| dx ≤ 2n+1

Notemos que de esta ultima propiedad se deduce ademas que

|fQ1,j − fQ| ≤1

|Q1,j |

∫Q1,j

|f(x)− fQ| dx ≤ 2n+1.

Ahora consideramos para cadaQ1,j la descomposicion de Calderon-Zygmundde |f − fQ1,j | a altura 2 y obtenemos, para cada Q1,j , una familia de cubosQ2,k para los que vale

|f(x)− fQ1,j | ≤ 2 si x ∈ Q1,j \ ∪kQ2,k∑k

|Q2,k| ≤1

2

∫Q1,j

|f(x)− fQ1,j | dx ≤1

2|Q1,j |‖f‖∗ =

1

2|Q1,j |

y

|fQ2,k− fQ1,j | ≤

1

|Q2,k|

∫Q2,k

|f(x)− fQ1,j | dx ≤ 2n+1.

Si consideramos la familia de los cubos correspondientes a todos los Q1,j ylos renumeramos nuevamente en una sola familia que llamamos Q2,k, paraesta nueva familia vale que si x 6∈ ∪Q2,k, entonces

|f(x)− fQ| ≤ |f(x)− fQ1,j |+ |fQ1,j − fQ| ≤ 2 + 2n+1 ≤ 2,2n+1

y que ∑k

|Q2,k| ≤∑j

1

2|Q1,j | ≤

1

4|Q|

Repitiendo este proceso, conseguimos para cada N una familia QN,j decubos disjuntos tales que

|f(x)− fQ| ≤ N2n+1 si x 6∈ ∪jQN,jy ∑

j

|QN,j | ≤1

2N|Q|.

80 6. B.M.O. Y H1

Para probar la desigualdad del enunciado, si λ ≥ 2n+1, tomamos N tal queN2n+1 ≤ λ < (N + 1)2n+1 y tenemos que entonces

|x ∈ Q : |f(x)− fQ| > λ| ≤∑j

|QN,j | ≤1

2N|Q| = e−N log 2|Q| ≤ e−c2λ|Q|

tomando c2 = log 22n+2 . En efecto, la acotacion c2λ ≤ N log 2 que usamos en la

ultima desigualdad vale para este valor de c2 si y solo si λ ≤ N2n+2, y estovale por como elegimos N .

Si, en cambio, λ < 2n+1, entonces para la misma constante c2 vale quec2λ <

log 22 = log

√2 y, entonces,

|x ∈ Q : |f(x)− fQ| > λ| ≤ |Q| ≤ elog√

2−c2λ|Q| =√

2e−c2λ|Q|,

por lo que basta tomar c1 =√

2.

Corolario 6.10. Para todo 1 ≤ p <∞, existe una constante C tal que

C supQ

(1

|Q|

∫Q|f(x)− fQ|p dx

) 1p

≤ ‖f‖∗ ≤ supQ

(1

|Q|

∫Q|f(x)− fQ|p dx

) 1p

Demostracion. La desigualdad de la derecha es consecuencia de ladesigualdad de Holder. Para probar la de la izquierda, notemos que

1

|Q|

∫Q|f(x)− fQ|p dx =

p

|Q|

∫ ∞0

λp−1|x ∈ Q : |f(x)− fQ| > λ| dλ

≤ p

|Q|

∫ ∞0

λp−1c1e− c2λ‖f‖∗ |Q| dλ

= c1p(‖f‖∗c2

)pΓ(p),

de donde se sigue el resultado.

Corolario 6.11. Del corolario anterior se deduce inmediatamente que lasfunciones de B.M.O. no solo estan en L1

loc(Rn), sino en todo Lploc(Rn) con

1 ≤ p <∞.

2. El espacio H1 atomico

Definicion 6.12. Decimos que a : Rn → C es un (1, 2)-atomo si

sop(a) ⊆ Q, donde Q es un cubo

a ∈ L2(Rn) con ‖a‖2 ≤ |Q|−12∫

Qa(x) dx = 0

Llamamos A al conjunto de (1, 2)-atomos.

2. EL ESPACIO H1 ATOMICO 81

Observacion 6.13. Es facil ver que ‖a‖1 ≤ 1 para todo a ∈ A.

Definicion 6.14. Definimos el espacio H1(Rn) atomico como

f ∈ H1 ⇔ ∃(λi)i∈N ⊂ R, (ai)i∈N ⊂ A tales que∑i

|λi| <∞ y f =∑i

λiai,

donde la convergencia de la serie es en el sentido de L1(Rn) por la observa-cion anterior.

Definimos ademas

‖f‖H1 := ınf

∑i

|λi| : f =∑i

λiai

.

Observacion 6.15. Dada f ∈ H1, ‖f‖L1 ≤ ‖f‖H1, ya que∫Rn|f(x)| dx =

∫Rn

∣∣∣∑i

λiai(x)∣∣∣ dx ≤∑

i

|λi|∫Rn|ai(x)| dx ≤

∑i

|λi|.

Teorema 6.16. H1 es un espacio de Banach.

Demostracion. Dejamos como ejercicio verificar que ‖ · ‖H1 es unanorma. Para ver que el espacio es completo basta probar que, dada (fn)n∈Ntal que

∑n ‖fn‖H1 <∞, vale que

∑n fn ∈ H1.

Supongamos entonces que (fn)n∈N es tal que∑∞

n=1 ‖fn‖H1 < ∞. Por laobservacion anterior,

∑∞n=1 ‖fn‖L1 < ∞ y, como L1 es completo, existe

f :=∑∞

n=1 fn ∈ L1. Queremos ver que f ∈ H1 y que lımN→∞∑N

n=1 fn = fen el sentido de H1.

Para esto, como la norma es un ınfimo, para cada fn podemos consideraruna sucesion de (1, 2)-atomos tales que fn =

∑∞i=1 λ

ni a

ni y

∞∑i=1

|λni | ≤ ‖fn‖H1 + ε2−n.

Entonces f =∑∞

n=1 fn =∑∞

n=1

∑∞i=1 λ

ni a

ni es una descomposicion atomica

de f . En efecto, para ver que (λni ) ∈ `1(N), notemos que∞∑n=1

∞∑i=1

|λni | ≤∞∑n=1

(‖fn‖H1 + ε2−n) =∞∑n=1

‖fn‖H1 + ε <∞.

Para ver que converge en H1, notemos que f −∑N

n=1 fn =∑∞

n=N+1 fn =∑∞n=N+1

∑∞i=1 λ

ni a

ni y, por lo tanto∥∥∥∥∥f −N∑n=1

fn

∥∥∥∥∥H1

≤∞∑

n=N+1

∞∑i=1

|λni | → 0 (N →∞).

82 6. B.M.O. Y H1

3. Dualidad entre H1 y B.M.O.

Definicion 6.17. Llamaremos H10 (Rn) a todas las combinaciones lineales

finitas de (1, 2)-atomos. Es facil ver que es un subespacio denso de H1(Rn).

Teorema 6.18. El dual de H1 es B.M.O.

Demostracion. La demostracion esta dividida en dos partes:

Dada b ∈ B.M.O(Rn), la funcional lineal Lb dada por

(6.49) Lb(f) =

∫Rnb(x)f(x) dx

esta bien definida para toda f ∈ H10 y ‖Lb‖ ≤ C‖b‖∗. Por lo tanto,

por densidad, tiene una unica extension a H1.Toda L funcional lineal y continua en H1 se representa como

L(f) =

∫Rnb(x)f(x) dx

si f ∈ H10 , con b ∈ B.M.O. y ‖b‖∗ ≤ C‖L‖.

Comencemos por la primer afirmacion. Notemos que no hay problema conque b este definida salvo constante, ya que, como

∫Rn f(x) dx = 0, si cam-

biamos b por b+ c con c una constante, (6.49) no cambia.

Ademas, como f ∈ H10 (Rn), f =

∑Ni=1 λiai donde ai son (1, 2)-atomos

con soporte en Qi, y b ∈ L2loc(Rn) (por el Corolario (6.11)), entonces bf ∈

L1(Rn). Es decir que Lb(f) esta bien definida.

Falta ver que ‖Lb‖ ≤ C‖b‖∗. Probemos primero que la desigualdad∣∣∣∣∫Rnb(x)f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ C‖b‖∗‖f‖H1

vale si b ∈ L∞.

Sea f =∑

i λiai una descomposicion atomica de f tal que∑

i |λi| ≤ 2‖f‖H1 .Entonces, ∫

Rnb(x)f(x) dx =

∞∑i=1

λi

∫Rnb(x)ai(x) dx,

donde usamos que la suma converge en L1(Rn) porque b ∈ L∞(Rn) y ai ∈L1(Rn). Se sigue que

3. DUALIDAD ENTRE H1 Y B.M.O. 83

∫Rn|b(x)f(x)| dx ≤

∞∑i=1

|λi|∫Qi

ai(x)(b(x)− bQi) dx

≤∞∑i=1

|λi|‖ai‖2(∫

Qi

|b(x)− bQi |2 dx) 1

2

≤∞∑i=1

|λi|(

1

|Qi|

∫Qi

|b(x)− bQi |2 dx) 1

2

≤ 2‖f‖H1‖b‖∗

Notemos ademas que esta acotacion es independiente de ‖b‖∞.

Si ahora b ∈ B.M.O., reemplazando b por b(k) definida como

b(k)(x) =

−k si b(x) ≤ −kb(x) si − k ≤ b(x) ≤ kk si b(x) ≥ k

tenemos, por lo anterior, que∣∣∣∣∫Rnb(k)(x)f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ C‖b(k)‖∗‖f‖H1 ≤ C‖b‖∗‖f‖H1 .

Pero b(k) → b en casi todo punto y, por lo tanto, podemos pasar al lımiteusando convergencia mayorada (ya que b ∈ L2

loc(Rn) y f ∈ L2(Rn) tienesoporte compacto).

Como H10 (Rn) es un subespacio denso de H1(Rn), Lb admite una unica

extension acotada a H1(Rn). Es decir, dada f ∈ H1(Rn), sean fj ∈ H10 (Rn)

tales que fj → f en H1(Rn). Por la cuenta anterior,

|Lb(fj)− Lb(fk)| ≤ C‖b‖∗‖fj − fk‖H1

y, por lo tanto, Lb(fj) es una sucesion de Cauchy en C. Entonces, si Lb(f) :=lımj→∞ Lb(fj), Lb esta bien definida en H1(Rn), coincide con Lb en H1

0 (Rn)y satisface |Lb(f)| ≤ C‖b‖∗‖f‖H1 para toda f ∈ H1(Rn).

Para la implicacion recıproca, primero notemos que si llamamos L20(Q) al

subespacio de funciones de L2 con soporte en un cubo Q e integral cero, se

puede ver que si g ∈ L20(Q), entonces |Q|

− 12

‖g‖2 g es un (1,2)-atomo y, por lo

tanto, g ∈ H1(Rn) con ‖g‖H1 ≤ |Q|12 ‖g‖2.

Entonces, si L es una funcional lineal y acotada en H1(Rn), tambien es una

funcional lineal y acotada en L20(Q) con norma a lo sumo |Q|

12 ‖L‖. Por el

teorema de representacion de Riesz existe FQ en L20(Q) tal que, para toda

84 6. B.M.O. Y H1

g ∈ L20(Q),

L(g) =

∫QFQ(x)g(x) dx y ‖FQ‖L2(Q) ≤ |Q|

12 ‖L‖.

Notemos que si Q esta contenido en otro cubo Q′, entonces FQ′ − FQ es

constante sobre Q, ya que si definen la misma funcional sobre Q tiene quevaler, para toda g ∈ L2

0(Q),∫(FQ

′(x)− FQ(x))g(x) dx = 0.

Afirmamos que existe b ∈ L1loc(Rn) tal que para cada cubo Q existe una

constante c(Q) tal que FQ = b − c(Q) en Q. Observemos primero que siQm = [−m,m]n (m ∈ N) y l < m, como FQm − FQl es constante en Ql eigual al promedio de FQm − FQl sobre Ql, tenemos que

FQm − FQl =1

|Ql|

∫Ql

FQm(t)− FQl(t) dt

y entonces

FQm − 1

|Ql|

∫Ql

FQm(t) dt = FQl − 1

|Ql|

∫Ql

FQl(t) dt.

Por lo tanto, si x ∈ Qm, la funcion

b(x) = FQm(x)− 1

|Q1|

∫Q1

FQm(t) dt

esta bien definida. Entonces, si Q = Qm para algun m ∈ N, basta tomarc(Qm) = − 1

|Q1|∫Q1FQm(t) dt. Si Q es cualquier otro cubo de Rn, como

FQm − FQ es constante sobre Q, tambien vale FQ = b− c(Q).

Entonces, para todo cubo Q y toda g ∈ L20(Q),

L(g) =

∫Qb(x)g(x) dx.

Falta ver que b(x) ∈ B.M.O.(Rn). Pero

supQ

1

|Q|

∫Q|b(x)− c(Q)| dx = sup

Q

1

|Q|

∫Q|FQ(x)| dx

≤ supQ|Q|−

12 ‖FQ‖L2(Q)

≤ C‖L‖

y, por lo tanto, ‖b‖∗ ≤ C‖L‖.

4. CONTINUIDAD DE INTEGRALES SINGULARES EN H1(Rn) 85

Ademas, para toda f ∈ H10 (Rn), f =

∑Ni=1 λiai con ai (1, 2)-atomos, y

entonces

L(f) =N∑i=1

λiL(ai) =

∫b(x)f(x) dx.

4. Continuidad de integrales singulares en H1(Rn)

Teorema 6.19. Sea T un operador integral singular dado por

Tf(x) =

∫RnK(x, y)f(y) dy

si x 6∈ sop(f), y supongamos que existe una constante B tal que:

1. ‖Tf‖2 ≤ B‖f‖22. vale la condicion de Hormander∫

|x−y|≥2|y−y′||K(x, y)−K(x, y′)| dy ≤ B.

Entonces, para todo (1, 2)-atomo a vale que ‖Ta‖L1 ≤ C.

Demostracion. Sea Q un cubo con centro yQ tal que sop(a) ⊆ Qy sea Q∗ el cubo expandido que tiene el mismo centro que Q y lados delongitud igual a un multiplo de la longitud del lado de Q (que elegiremosmas adelante). Entonces, por un lado, usando que T es continuo en L2,∫Q∗|Ta(x)| dx ≤ |Q∗|

12

(∫Q∗|Ta(x)|2 dx

) 12

≤ |Q∗|12 ‖a‖2 ≤

(|Q∗||Q|

) 12

≤ C

y, por otro lado,∫(Q∗)c

|Ta(x)| dx =

∫(Q∗)c

∣∣∣∣∫QK(x, y)a(y) dy

∣∣∣∣ dx=

∫(Q∗)c

∣∣∣∣∫Q

(K(x, y)−K(x, yQ))a(y) dy

∣∣∣∣ dx≤∫Q

∫(Q∗)c

|K(x, y)−K(x, yQ)| dx︸︷︷︸(∗)

|a(y)| dy

Para poder acotar (∗) usando la condicion de Hormander, necesitamos verque si x ∈ (Q∗)c e y ∈ Q, entonces |x − y| ≥ 2|y − yQ|, pero esto esefectivamente ası si elegimos el factor de expansion de Q∗ adecuadamente.

86 6. B.M.O. Y H1

Se sigue que∫(Q∗)c

|Ta(x)| dx ≤ B∫Q|a(y)| dy ≤ B‖a‖2|Q|

12 ≤ B.

Corolario 6.20. Si T es como antes y f ∈ H1(Rn), entonces ‖Tf‖L1 ≤C‖f‖H1.

Demostracion. Si f =∑

i λiai con∑

i |λi| ≤ 2‖f‖H1 , entonces

‖Tf‖L1 ≤∞∑i=1

|λi|‖Tai‖L1 ≤ C∞∑i=1

|λi| = C‖f‖H1

donde para intercambiar serie e integral podemos usar convergencia mayo-rada, ya que

∑i |λiT (ai)| ∈ L1(Rn).

Capıtulo 7

Pesos Ap

Dada una funcion w(x) ≥ 0 definida en Rn y localmente integrable, nosinteresa encontrar condiciones para que valga∫

Rn|Tf(x)|pw(x) dx ≤ C

∫Rn|f(x)|pw(x) dx

cuando T es uno de los operadores que estudiamos.

Comencemos considerando el caso de la maximal de Hardy-Littlewood

Mf(x) = supQ3x

1

|Q|

∫Q|f(x)| dx.

En este caso B. Muckenhoupt encontro condiciones necesarias y suficientessobre w para que valga el tipo fuerte si 1 < p < ∞ y el tipo debil si p = 1,que veremos a continuacion. Primero introducimos la siguiente:

Notacion 7.1. Si A ⊆ Rn, notamos

w(A) =

∫Aw(x) dx

y

‖f‖Lpw =

(∫Rn|f(x)|pw(x) dx

) 1p

1. Condicion necesaria para el tipo debil

Supongamos f ≥ 0 y que para w vale la desigualdad de tipo (p, p)-debil

(7.50) w(x : Mf(x) > λ) ≤ C

λp

∫Rnfp(x)w(x) dx

Si Q ⊆ Rn es un cubo y λ es tal que

(7.51) 0 < λ <1

|Q|

∫Qf(x) dx

entonces Q ⊆ x : Mf(x) > λ y por (7.50) vale entonces que

w(Q) ≤ C

λp

∫Rnfp(x)w(x) dx

88 7. PESOS Ap

para todo λ que cumpla (7.51). Deducimos entonces que para todo Q ⊆ Rny toda f ∈ Lpw, f ≥ 0 tiene que valer

(7.52) w(Q)

(∫Q f(x) dx

|Q|

)p≤ C

∫Rnfp(x)w(x) dx

Observacion 7.2. La condicion anterior implica que w > 0 en casi todopunto, como se deduce facilmente considerando f = χS con S ⊆ Q medibley tal que |S| > 0.

Ahora, si p = 1, S ⊆ Q es un conjunto medible tal que |S| > 0 y f = χS ,por (7.52) vale que

(7.53)w(Q)

|Q|≤ Cw(S)

|S|.

Entonces, si a = ınfQw(x) (donde por ınfimo entendemos el ınfimo esencial),dado ε > 0 existe Sε ⊆ Q tal que |Sε| > 0 y w(x) ≤ a+ ε para x ∈ Sε, y por(7.53)

w(Q)

|Q|≤ Cw(Sε)

|Sε|≤ C(a+ ε).

Como ε es arbitrario, deducimos que para todo cubo Q ⊆ Rn debe valer

w(Q)

|Q|≤ C ınf

Qw(x)

y, en consecuencia, para casi todo x ∈ Rn debe valer Mw(x) ≤ Cw(x). Elınfimo de las constantes que cumplen esta condicion se suele notar [w]A1 .

Definicion 7.3. Definimos la clase de pesos A1 como los w que cumplenMw(x) ≤ Cw(x) en casi todo punto.

Pasemos ahora al caso p > 1. Si elegimos f = w− 1p−1χQ, por (7.52) debe

valer

w(Q)

(1

|Q|

∫Qw− 1p−1

)p≤ C

∫Qw− pp−1w dx

o, equivalentemente,(1

|Q|

∫Qw

)(1

|Q|

∫Qw− 1p−1

)p−1

≤ C

Definicion 7.4. Definimos la clase de pesos Ap como los w que cumplen

(7.54)

(1

|Q|

∫Qw

)(1

|Q|

∫Qw− 1p−1

)p−1

≤ C

para todo cubo Q ⊆ Rn. El ınfimo de las constantes que cumplen esta con-dicion se suele notar [w]Ap .

2. SUFICIENCIA PARA EL TIPO DEBIL (1, 1) 89

Observacion 7.5. Observemos que si v = w1p , la condicion (7.54) puede

escribirse como

‖vχQ‖p‖v−1χQ‖p′|Q|

≤ C

y que ‖f‖Lpw = ‖fv‖Lp.

Ejemplo 7.6. Se puede ver que si 1 < p < ∞, |x|α ∈ Ap(Rn) si y solo si−n < α < n(p− 1); y que |x|α ∈ A1(Rn) si y solo si −n < α ≤ 0

2. Suficiencia para el tipo debil (1, 1)

Para la siguiente demostracion necesitaremos un lema que relaciona la des-composicion de Calderon-Zygmund con el comportamiento del operador ma-ximal de Hardy-Littlewood.

Lema 7.7. Sean f ∈ L1(Rn), f ≥ 0 y λ > 0. Si Qj son los cubos dela descomposicion de Calderon-Zygmund a altura λ y Q∗j son expandidos

(por un factor fijo) de Qj, entonces existe cn ≥ 1 que solo depende de ladimension y del factor de expansion de los cubos tal que

x : Mf(x) > cnλ ⊆ ∪jQ∗j .

Demostracion. Basta ver que si x 6∈ ∪jQ∗j , entonces Mf(x) ≤ cnλ.Probaremos entonces que para todo Q tal que x ∈ Q,

1

|Q|

∫Qf ≤ cnλ.

Para esto separamos en casos:

Si Q ∩ ∪jQj = ∅, entonces Q ⊆ F y, por lo tanto, 1|Q|∫Q f ≤ λ.

Si Q∩∪jQj 6= ∅, entonces para todo j tal que Q∩Qj 6= ∅ vale que `(Qj) ≤C`(Q), donde la constante depende del factor de dilatacion de Q∗j .

Escribimos

1

|Q|

∫Qf(x) dx =

1

|Q|

∫Q∩(∪jQj)

f(x) dx︸︷︷︸(i)

+1

|Q|

∫Q\(∪jQj)

f(x) dx︸︷︷︸(ii)

.

Como Q \ (∪jQj) ⊆ F ,

(ii) ≤ λ

|Q||Q \ (∪jQj)| ≤ λ.

90 7. PESOS Ap

Para el otro termino tenemos que

(i) =1

|Q|∑j

∫Q∩Qj

f(x) dx

≤∑

j:Qj∩Q 6=∅

|Qj ||Q|

1

|Qj |

∫Qj

f(x) dx︸︷︷︸≤2nλ

≤ C2nλ,

donde para la ultima acotacion usamos que todos los Qj tales que Qj∩Q 6= ∅estan contenidos en un expandido fijo de Q.

Teorema 7.8 (Fefferman-Stein). Si w ≥ 0 y 1 λ) ≤ C1

λ

∫Rn|f(x)|Mw(x) dx

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer f ≥ 0.

Vamos a usar el teorema de interpolacion de Marcinkiewicz con medidas wy Mw.

Por un lado, afirmamos que

‖Mf‖L∞w ≤ ‖f‖L∞Mw.

Para ver esto, notemos que podemos suponer Mw(x) ≥ 0 para casi todox (sino w ≡ 0 y no hay nada que probar). Si consideramos a > ‖f‖L∞Mw

,entonces ∫

f>aMw(x) dx = 0,

pero esto implica |f > a| = 0. Equivalentemente, f ≤ a en casi todopunto, pero entonces Mf ≤ a en casi todo punto, para todo a ≥ ‖f‖L∞Mw

.

Luego, ‖Mf‖L∞ ≤ ‖f‖L∞Mw, de donde ‖Mf‖L∞w ≤ ‖f‖L∞Mw

.

Veamos ahora que vale el tipo debil (1, 1). Para esto, basta ver que paratodo λ > 0 ∫

Mf>cnλw(x) dx ≤ C

λ

∫Rnf(x)Mw(x) dx

3. SUFICIENCIA PARA EL TIPO DEBIL (p, p), p > 1 91

siendo cn la constante del Lema 7.7. Como sabemos que Mf > cnλ ⊆∪jQ∗j , entonces

∫Mf>cnλ

w(x) dx ≤∫∪Q∗j

w(x) dx

≤∑j

∫Q∗j

w(x) dx

≤ C∑j

|Qj |

(1

|Q∗j |

∫Q∗j

w(x) dx

)

≤ C

λ

∑j

∫Qj

f(y) dy

(1

|Q∗j |

∫Q∗j

w(x) dx

)

=C

λ

∑j

∫Qj

f(y)

(1

|Q∗j |

∫Q∗j

w(x) dx

)dy

≤ C

λ

∑j

∫Qj

f(y)Mw(y) dy

≤ C

λ

∫Rnf(y)Mw(y) dy.

Como λ es arbitrario, se sigue que

w(Mf > λ) ≤ C

λ

∫Rnf(y)Mw(y) dy

como querıamos.

Como corolario inmediato del teorema anterior tenemos el siguiente:

Teorema 7.9. Sea w ≥ 0. Entonces w ∈ A1 si y solo si existe C tal que

w(x : Mf(x) > λ) ≤ C

λ

∫Rn|f(x)|w(x) dx

3. Suficiencia para el tipo debil (p, p), p > 1

Sin perdida de generalidad, suponemos f ≥ 0.

92 7. PESOS Ap

Primero veamos que la condicion Ap implica (7.52) para alguna constanteC. En efecto, usando la desigualdad de Holder, si w ∈ Ap,(

1

|Q|

∫Qf(x) dx

)p≤ 1

|Q|p

(∫Qf(x)pw(x) dx

)(∫Qw(x)

− 1p−1 dx

)p−1

=

(1

|Q|

∫Qf(x)pw(x) dx

)(1

|Q|

∫Qw(x)

− 1p−1 dx

)p−1

≤ C(

1

|Q|

∫Qf(x)pw(x) dx

)(1

|Q|

∫Qw(x) dx

)−1

y despejando se obtiene (7.52). Ademas, esto implica, como en (7.53) que

(7.55) w(Q)

(|S||Q|

)p≤ Cw(S)

para todo S ⊆ Q medible.

Ahora, como f ≥ 0, podemos considerar su descomposicion de Calderon-Zygmund a altura λ. Notemos que f podrıa no estar en L1(Rn), pero sı valeque, como f ∈ Lpw, f ∈ L1

loc y en ese caso la demostracion a continuacionvale para fk := fχB(0,k) con constantes independientes de k (lo que permitepasar al lımite).

Por el Lema 7.7 tenemos que

w(x : Mf(x) > cnλ) ≤∑j

w(Q∗j )

≤ C∑j

w(Qj) (por (7.55))

≤ C∑j

∫Qj

f(x)pw(x) dx|Qj |p

(∫Qjf(x) dx)p

(por (7.52))

≤ C

λp

∑j

∫Qj

f(x)pw(x) dx (porque son cubos de C-Z)

≤ C

λp

∫Rnf(x)pw(x) dx,

de donde se deduce que

w(x : Mf(x) > λ) ≤ C

λp

∫Rnf(x)pw(x) dx,

como querıamos.

Proposicion 7.10. Valen las siguientes propiedades, que dejamos comoejercicio:

1. Si 1 ≤ p < q, entonces Ap ⊆ Aq.

3. SUFICIENCIA PARA EL TIPO DEBIL (p, p), p > 1 93

2. w ∈ Ap si y solo si w− 1p−1 ∈ Ap′.

3. Si w0, w1 ∈ A1, entonces w0w1−p1 ∈ Ap.

Corolario 7.11. Si w ∈ Ap, entonces para todo q > p∫Rn|Mf(x)|qw(x) dx ≤ C

∫Rn|f(x)|qw(x) dx

Demostracion. Sale usando el teorema de Marcinkiewicz para inter-polar entre Lpw y L∞w (observar que ‖Mf‖L∞w ≤ ‖f‖L∞w ).

Por lo anterior, vale que ∪p<qAp ⊆ Aq. Vamos a probar que vale ∪p<qAp =Aq o, equivalentemente, que si w ∈ Aq, entonces existe ε > 0, ε = ε(w) talque w ∈ Aq−ε. Comencemos por probar el siguiente lema:

Lema 7.12. Si w ∈ Ap, entonces para todo 0 < α < 1 existe 0 < β < 1 talque si S ⊆ Q y |S| ≤ α|Q| vale que w(S) ≤ βw(Q).

Demostracion. Cambiamos S por Q− S en (7.55), y obtenemos

w(Q)

(|Q| − |S||Q|

)p≤ C(w(Q)− w(S))

pero como |S| ≤ α|Q|, esto implica

w(Q)(1− α)p ≤ C(w(Q)− w(S))

o, equivalentemente,

w(S) ≤ C − (1− α)p

Cw(Q)

por lo que basta tomar β = C−(1−α)p

C .

Teorema 7.13 (Propiedad de Holder inversa). Si w ∈ Ap para algun p ≥ 1,entonces existe ε > 0 (que depende de w) tal que para todo cubo Q(

1

|Q|

∫Qw(x)1+ε dx

) 11+ε

≤ C(

1

|Q|

∫Qw(x) dx

).

Demostracion. Dado Q, como w ∈ L1(Q) podemos hacer la descom-posicion de Calderon-Zygmund de w en Q para una sucesion 0 < λ0 < λ1 <. . . < λk < . . . . Notemos que para hacer la descomposicion necesitamos que

1|Q|∫Qw(x) dx ≤ λ0. Elegimos λ0 para que valga la igualdad, y vamos a

elegir λk despues.

Para cada λk tenemos entonces cubos Qk,j tales que Ωk = ∪jQk,j , λk <1

|Qk,j |w(Qk,j) ≤ 2nλk, y w(x) ≤ λk para casi todo x 6∈ Ωk. Por construccion,

vale ademas que Ωk+1 ⊆ Ωk.

94 7. PESOS Ap

Fijemos un cubo Qk,j0 de nivel λk. Como Qk,j0 ∩ Ωk+1 = ∪i∈IQk+1,i paraalgun conjunto de ındices I, tenemos que

|Qk,j0 ∩ Ωk+1| =∑i∈I|Qk+1,i|

≤∑i∈I

1

λk+1

∫Qk+1,i

w(x) dx

≤ 1

λk+1

∫Qk,j0

w(x) dx

≤ 2nλkλk+1

|Qk,j0 |.

Si elegimos α = 2n λkλk+1

< 1, entonces λk = (2n

α )k+1λ0 y, por la cuenta

anterior,

|Qk,j0 ∩ Ωk+1| ≤ α|Qk,j0 |.Entonces, por el Lema 7.12 existe β < 1 que depende de α tal que

w(Qk,j0 ∩ Ωk+1) ≤ βw(Qk,j0).

Sumando sobre todos los j0 tenemos que

w(Ωk+1) ≤ βw(Ωk)

y, en general

w(Ωk) ≤ βkw(Ω0).

Entonces, observando que |Ωk| → 0,∫Qw(x)1+ε dx =

∫Q\Ω0

w(x)1+ε dx+∞∑k=0

∫Ωk\Ωk+1

w(x)1+ε dx

≤ λε0w(Q) +∞∑k=0

λεk+1w(Ωk)

= λε0w(Q) + λε0

∞∑k=0

(2n

α

)(k+1)ε

w(Ωk)

≤ λε0w(Q) + λε0

∞∑k=0

(2n

α

)(k+1)ε

βkw(Ω0)

≤ λε0w(Q) + λε0

∞∑k=0

(2n

α

)(k+1)ε

βkw(Q)

Para que la serie sea convergente necesitamos que (2n

α )εβ < 1, pero β < 1 yε lo podıamos elegir, ası que eligiendo ε suficientemente chico tenemos que∫

Qw(x)1+ε dx ≤ Cλε0

∫Qw(x) dx.

4. CARACTERIZACION DE PESOS A1 95

Como λ0 = w(Q)|Q| , entonces∫

Qw(x)1+ε dx ≤ C

|Q|ε

(∫Qw(x) dx

)1+ε

.

Dividiendo por |Q| a ambos lados y elevando a la 11+ε se obtiene la estimacion

que querıamos.

Como corolario de esta propiedad se obtiene la siguiente propiedad, quedejamos como ejercicio:

Corolario 7.14. Si w ∈ Ap, entonces existe ε > 0 (que depende de w) talque w ∈ Ap−ε. O sea, Aq = ∪p<qAp.

Tambien se obtiene como consecuencia el siguiente teorema:

Teorema 7.15. w ∈ Ap si y solo si∫Rn|Mf(x)|pw(x) dx ≤ C

∫Rn|f(x)|pw(x) dx.

4. Caracterizacion de pesos A1

Para caracterizar los pesos que estan en A1 primero probaremos el siguiente:

Lema 7.16 (Kolmogorov). Si S es un operador de tipo debil (1, 1), 0 < η < 1y E ⊆ Rn es un conjunto finitamente medible, entonces existe C = C(η) talque ∫

E|Sf(x)|η dx ≤ C|E|1−η‖f‖η1

Demostracion.∫E|Sf(x)|η dx = η

∫ ∞0

λη−1|x ∈ E : Sf(x) > λ| dλ

≤ η∫ ∞

0λη−1 mın|E|, C

λ‖f‖1 dλ

= η

∫ C‖f‖1|E|

0λη−1|E| dλ+ η

∫ ∞C‖f‖1|E|

λη−2C‖f‖1 dλ

= |E|λη∣∣∣C‖f‖1|E|

0+

η

η − 1C‖f‖1λη−1

∣∣∣∞C‖f‖1|E|

= C(η)‖f‖η1|E|1−η

96 7. PESOS Ap

Teorema 7.17. 1. Si f ∈ L1loc y 0 ≤ δ < 1, entonces w(x) = (Mf(x))δ ∈ A1

con constante A1 que depende solo de δ.

2. Si w ∈ A1, entonces existen f ∈ L1loc, 0 ≤ δ < 1 y k ∈ L∞ con k−1 ∈ L∞

tales que w(x) = k(x)(Mf(x))δ.

Demostracion. 1. Queremos ver que dado Q vale que

1

|Q|

∫Q

(Mf(y))δ dy ≤ C(Mf(x))δ

para casi todo x ∈ Q, con una constante independiente de Q y de f .

Para esto, dado Q, llamamos Q∗ al cubo de lado doble e igual centro, y escri-bimos f = f1 + f2 con f1 = fχQ∗ , f2 = f(1−χQ∗). Usando la sublinealidadde M y que 0 ≤ δ < 1, tenemos entonces que

(Mf(x))δ ≤ (Mf1(x))δ + (Mf2(x))δ

por lo que basta acotar estos terminos por separado.

Por un lado, por el lema anterior

1

|Q|

∫Q

(Mf1(y))δ dy ≤ C

|Q||Q|1−δ‖f1‖δ1 = C

(1

|Q|

∫Q∗|f(y)| dy

)δ≤ C(Mf(x))δ.

Por otro lado, si y ∈ Q y R es un cubo tal que y ∈ R y 1|R|∫R |f2(z)| dz 6= 0,

entonces tiene que ser `(R) ≥ 12`(Q). Como x ∈ Q entonces x ∈ cnR para

alguna constante que solo depende de la dimension, de donde

1

|R|

∫R|f2(z)| dz ≤ 1

|R|

∫cnR|f2(z)| dz ≤ CMf(x)

y, por lo tanto, Mf2(y) ≤ CMf(x) para todo y ∈ Q, y se deduce inmedia-tamente que

1

|Q|

∫Q

(Mf2(y))δ dy ≤ C(Mf(x))δ.

2. Como w ∈ A1, por la propiedad de Holder inversa existe ε > 0 tal que(1

|Q|

∫Qw1+ε(x) dx

) 11+ε

≤ C

|Q|

∫Qw(x) dx.

Entonces, usando ademas que w ∈ A1, vale que (Mw1+ε(x))1

1+ε ≤ CMw(x) ≤Cw(x). Por otro lado, como en casi todo punto w1+ε(x) ≤ Mw1+ε(x), re-sulta en definitiva que

w(x) ≤ (Mw1+ε(x))1

1+ε ≤ Cw(x),

por lo que definiendo f = w1+ε, δ = 11+ε y k(x) = w(x)

(Mf(x))δvale lo que

querıamos.

5. EXTRAPOLACION 97

Observacion 7.18. La parte 1. del teorema anterior vale tambien para µ

una medida de Borel localmente finita, con Mµ(x) = supx∈Qµ(Q)|Q| . Si to-

mamos como medida a la delta de Dirac, vale que Mδ(x) = cn|x|n , y por el

teorema resulta entonces que 1|x|nε ∈ A1 para todo 0 ≤ ε < 1 o, equivalente-

mente, |x|α ∈ A1 si −n < α ≤ 0. Observemos que ademas esta condicion esnecesaria, porque sino |x|α deja de ser localmente integrable (si α ≤ −n) ola maximal deja de estar acotada (si α > 0).

Recordando ademas que si w0, w1 ∈ A1 entonces w0w1−p1 ∈ Ap se deduce

ademas que |x|α ∈ Ap si −n < α < n(p − 1), y es claro que esta condiciones ademas necesaria para la integrabilidad local de los factores que aparecenen la condicion Ap.

5. Extrapolacion

Teorema 7.19. Sea 1 ≤ p0 < ∞. Si T es un operador tal que para todow ∈ Ap0 existe una constante C que solo depende de [w]Ap0 tal que∫

|Tf(x)|p0w(x) dx ≤ C∫|f(x)|p0w(x) dx,

entonces, para todo 1 < p < ∞ y para todo w ∈ Ap existe una constante Cque solo depende de [w]Ap tal que∫

|Tf(x)|pw(x) dx ≤ C∫|f(x)|pw(x) dx.

Demostracion. Sea 1 < p <∞ y sea w ∈ Ap. Como M es acotada enLpw, dada h ∈ Lpw podemos definir

Rh(x) =

∞∑k=0

Mkh(x)

2k‖M‖kLpw

,

donde M0h = |h| y, si k ≥ 1, Mk = M · · · M es iterar k veces el operadormaximal de Hardy-Littlewood.

El operador R tiene las siguientes propiedades:

para todo x, |h(x)| ≤ Rh(x);‖Rh‖Lpw ≤ 2‖h‖Lpw ;Rh ∈ A1, con [Rh]A1 ≤ 2‖M‖Lpw .

98 7. PESOS Ap

Las primeras dos propiedades son inmediatas a partir de la definicion, parala tercera, como M es sublineal tenemos que

M(Rh)(x) ≤∞∑k=0

Mk+1h(x)

2k‖M‖kLpw

≤ 2‖M‖LpwRh(x).

Ahora definimos el operador M ′f = M(fw)/w. Como w1−p′ ∈ Ap′ , M es

acotado en Lp′

w1−p′ y, por lo tanto, M ′ es acotado en Lp′w . Entonces podemos

definir

R′h(x) =

∞∑k=0

(M ′)kh(x)

2k‖M ′‖kLp′w

.

Razonando como antes, vale:

para todo x, |h(x)| ≤ R′h(x);‖R′h‖

Lp′w≤ 2‖h‖

Lp′w

;

M ′(R′h)(x) ≤ 2‖M ′‖Lp′wR′h(x), de donde se sigue que R′hw ∈ A1,

con [R′hw]A1 ≤ 2‖M ′‖Lp′w

.

Ahora, dada f ∈ Lpw, por dualidad existe h ≥ 0, h ∈ Lp′w con ‖h‖

Lp′w

= 1 talque

‖Tf‖Lpw =

∫Rn|Tf(x)|h(x)w(x) dx

≤∫Rn|Tf(x)|Rf(x)

− 1p′0Rf(x)

1p′0R′h(x)w(x) dx

donde usamos que h(x) ≤ R′h(x) y si p0 = 1 ponemos 1p′0

= 0. Como

Rf,R′hw ∈ A1, entonces (Rf)1−p0R′hw ∈ Ap0 , entonces, por la desigualdadde Holder con respecto a la medida R′hw (si p0 > 1), usando la continuidaden Lp0w de T y que |f | ≤ Rf , tenemos que

‖Tf‖Lpw ≤(∫

Rn|Tf(x)|p0Rf(x)1−p0R′h(x)w(x) dx

) 1p0

×(∫

RnRf(x)R′h(x)w(x) dx

) 1p′0

≤ C(∫

Rn|f(x)|p0Rf(x)1−p0R′h(x)w(x) dx

) 1p0

×(∫

RnRf(x)R′h(x)w(x) dx

) 1p′0

≤ C∫RnRf(x)R′h(x)w(x) dx.

7. ACOTACIONES CON PESOS PARA INTEGRALES SINGULARES 99

Usando nuevamente la desigualdad de Holder y que R y R′ son acotados en

Lpw y Lp′w , respectivamente, obtenemos finalmente

‖Tf‖Lpw ≤ C(∫

RnRf(x)pw(x) dx

) 1p(∫

RnR′h(x)p

′w(x) dx

) 1p′

≤ C(∫

Rn|f(x)|pw(x) dx

) 1p(∫

Rnh(x)p

′w(x) dx

) 1p′

= C(∫

Rn|f(x)|pw(x) dx

) 1p.

Observacion 7.20. En la demostracion no interviene ninguna propiedad deT mas que la acotacion el Lp0w para todo w ∈ Ap0, por lo que el enunciadovale no solamente para operadores sino tambien para desigualdades.

6. La funcion maximal diadica

Consideramos [0, 1]n y la grilla formada por sus trasladados enteros. Vamosa decir que un cubo Q es un cubo diadico si tiene vertices en el retıculo(2−kZ)n y lado 2−k, k ∈ Z.

Podemos considerar entonces la funcion maximal diadica,

Mdf(x) = supQ diadico, Q3x

1

|Q|

∫Q|f(y)| dy.

Observacion 7.21. Dada f ∈ L1, f ≥ 0, la descomposicion de Calderon-Zygmund se puede hacer tomando solo cubos diadicos, y vale que

Ω = ∪jQj = x : Mdf(x) > λ.Ademas, es inmediato a partir de esta igualdad que Md es de tipo debil (1,1)con constante 1.

7. Acotaciones con pesos para integrales singulares

Empezaremos por analizar la continuidad con pesos para el caso 1 0 tal que

1. ‖Tf‖p ≤ B‖f‖p para todo 1 0

100 7. PESOS Ap

3. vale la condicion de Hormander puntual

(7.56) |K(x, y)−K(x, y)| ≤ B|x− x||x− y|n+1

si |x− y| ≥ 2|x− x|

Lema 7.22. Si T esta en las condiciones anteriores y s > 1, entonces

M#(Tf)(x) ≤ C(M |f |s)1s (x).

Demostracion. Dado un cubo Q tal que x ∈ Q sea Q∗ un dilatadoconcentrico con Q por un factor de dilatacion que elegiremos mas adelante.Escribimos f = f1 + f2 con f1 = fχQ∗ y elegimos a = Tf2(x). Entonces,

1

|Q|

∫Q|Tf(y)− a| dy ≤ 1

|Q|

∫Q|Tf1(y)| dy︸︷︷︸(i)

+1

|Q|

∫Q|Tf2(y)− Tf2(x)| dy︸︷︷︸

(ii)

Por un lado, como s > 1,

(i) ≤(

1

|Q|

∫Q|Tf1(y)|s dy

) 1s

≤(

1

|Q|

∫Rn|f1(y)|s dy

) 1s

=

(1

|Q|

∫Q∗|f(y)|s dy

) 1s

≤ C(M |f |s)1s (x).

Por otro lado,

|Tf2(y)− Tf2(x)| ≤∫|K(y, z)−K(x, z)||f2(z)| dz.

Como z ∈ (Q∗)c y x, y ∈ Q, eligiendo el factor de dilatacion del cubo

adecuadamente, podemos obtener |x− z| ≥ `(Q)2 y |x− z| ≥ 2|x− y|, por lo

que

|K(y, z)−K(x, z)| ≤ B|x− y||x− z|n+1

≤ B`(Q)

|x− z|n+1.

Luego,

(ii) ≤ C

|Q|

∫Q

∫(Q∗)c

`(Q)

|x− z|n+1|f2(z)| dz dy

≤ C`(Q)

∞∑k=−1

∫2k`(Q)≤|x−z|<2k+1`(Q)

|f(z)||x− z|n+1

dz

≤ C`(Q)∞∑

k=−1

1

(2k`(Q))n+1

∫|x−z|<2k+1l(Q)

|f(z)| dz

≤ C`(Q)∞∑

k=−1

1

2k`(Q)

2n

(2k+1`(Q))n

∫|x−z|<2k+1l(Q)

|f(z)| dz

≤ CMf(x)

≤ C(M |f |s)1s (x).

Lema 7.23. Para todo γ > 0 y todo λ > 0,

|x : Mdf(x) > 2λ,M#f(x) < γλ| ≤ 2nγ|x : Mdf(x) > λ|

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos asumir f ≥ 0.Como x : Mdf(x) > λ = ∪jQj con Qj diadicos, disjuntos y maximales enel sentido de la descomposicion de Calderon-Zygmund, basta demostrar quela desigualdad vale para uno de estos cubos. O sea que si Q es algun Qj ,queremos ver que

|x ∈ Q : Mdf(x) > 2λ,M#f(x) < γλ| ≤ 2nγ|Q|.

Para esto, sea Q∗ el cubo diadico que contiene a Q y tiene lado el doblede su longitud, entonces sabemos que fQ∗ = 1

|Q∗|∫Q∗ |f(x)| dx ≤ λ (por la

maximalidad de Q).

Por otra parte, si x ∈ Q es tal queMdf(x) > 2λ, entonces tambienMd(fχQ)(x) >2λ (usando lo anterior y que la interseccion entre dos cubos diadicos, si esno vacıa, tiene que ser igual al menor de ellos). Entonces, para estos x,Md((f − f∗Q)χQ)(x) > λ pues

Md((f − f∗Q)χQ)(x) ≥Md(fχQ)(x)︸︷︷︸>2λ

− fQ∗︸︷︷︸≤λ

> λ.

102 7. PESOS Ap

Como Md es tipo debil (1, 1) con constante 1,

|y : Md((f − fQ∗)χQ)(y) > λ| ≤ 1

λ‖(f − fQ∗)χQ‖1

≤ 1

λ

∫Q|f(y)− fQ∗ | dy

≤ 2n|Q|λ

1

|Q∗|

∫Q∗|f(y)− fQ∗ | dy

≤ 2n|Q|λ

M#f(x)

≤ 2n|Q|γ

Lema 7.24. Si w ∈ Ap y 1 < p <∞, entonces∫|Mdf(x)|pw(x) dx ≤ C

∫|M#f(x)|pw(x) dx

siempre que el lado izquierdo de la desigualdad sea finito.

Demostracion. Veamos primero la demostracion en el caso sin pesos(w ≡ 1). En este caso, si el lado izquierdo es finito, escribimos

I =

∫ ∞0

pλp−1|x : Mdf(x) > λ| dλ

= 2p∫ ∞

0pλp−1|x : Mdf(x) > 2λ| dλ

≤ 2p∫ ∞

0pλp−1|x : Mdf(x) > 2λ,M#f(x) ≤ γλ| dλ+ 2p

∫ ∞0

pλp−1|x : M#f(x) > γλ| dλ

≤ 2pC1

∫ ∞0

pλp−1γ|x : Mdf(x) > λ| dλ+ 2p∫ ∞

0pλp−1|x : M#f(x) > γλ| dλ

≤ 2pC1γI + 2p∫ ∞

0p

(λ

γ

)p−1

|x : M#f(x) > λ|1γdλ

y, por lo tanto, eligiendo γ tal que 2pC1γ = 12 obtenemos ‖Mdf‖pp ≤ 2 2p

γp ‖M#f‖pp.

Para el caso con pesos, como x : Mdf(x) > λ = ∪jQj , basta ver que si Qes alguno de estos Qj , para todo γ > 0 y w ∈ Ap existe δ > 0 tal que

w(x ∈ Q : Mdf(x) > 2λ,M#f(x) ≤ γλ) ≤ Cγδw(Q).

La demostracion es analoga a la del caso anterior usando que si w ∈ Apentonces para todo S ⊆ Q medible vale que

w(S)

w(Q)≤ C

(|S||Q|

)δ

para ver esta desigualdad observemos que por la propiedad de Holder inversaexiste ε > 0 tal que(

1

|Q|

∫Qw1+ε

) 11+ε

≤ C(

1

|Q|

∫Qw

)y entonces

w(S)

|S|≤(

1

|S|

∫Sw1+ε

) 11+ε

≤ C(|Q||S|

) 11+ε(

1

|Q|

∫Qw

)con lo cual

w(S)

w(Q)≤ C

(|S||Q|

) εε+1

tomando δ = εε+1 tenemos la desigualdad que querıamos.

Teorema 7.25. Si T es un operador integral singular que cumple las condi-ciones que enunciamos al principio de esta seccion, entonces es acotado enLpw para todo w ∈ Ap.

Demostracion. Consideremos f ∈ L∞ de soporte compacto (estasfunciones son densas en Lpw). Sabemos que entonces Tf ∈ Lp para todo1 < p < ∞, y que Tf(x) ≤ Md(Tf)(x) en casi todo punto. Entonces, porlos lemas anteriores, si

∫(Md(Tf)(x))pw(x) dx < +∞ podemos escribir∫

|Tf(x)|pw(x) dx ≤∫

(Md(Tf)(x))pw(x) dx

≤ C∫

(M#(Tf))pw(x) dx

≤ C∫M(|f |s)

psw(x) dx

si s > 1. Pero sabemos que existe s (dependiendo de w) tal que 1 < s < p yw ∈ A p

s, por lo que eligiendo este s obtenemos∫

|Tf(x)|pw(x) dx ≤ C∫|f(x)|pw(x) dx.

Falta entonces ver que efectivamente Md(Tf) ∈ Lpw, ası que bastara probarque Tf ∈ Lpw. Para esto, si sop(f) ⊆ B(0, R) escribimos∫|Tf(x)|pw(x) dx =

∫|x|<2R

|Tf(x)|pw(x) dx︸︷︷︸(i)

+

∫|x|≥2R

|Tf(x)|pw(x) dx︸︷︷︸(ii)

.

Por un lado tenemos que

(i) ≤

(∫|x|<2R

(w(x))1+ε dx

) 11+ε(∫|x|<2R

|Tf(x)|p(1+ε)ε

) ε1+ε

104 7. PESOS Ap

Basta observar entonces que el primer factor es acotado para ε suficiente-mente chico por la propiedad de Holder inversa, mientras que el segundo es

acotado porque como f ∈ L∞ y tiene soporte compacto, entonces f ∈ Lp(1+ε)ε

(y luego Tf tambien).

Para acotar (ii), notemos primero que como |x| ≥ 2R y |y| ≤ R, entonces

|x− y| ≥ |x| − |y| ≥ |x|2 . Luego,

|Tf(x)| =∣∣∣∣∫ K(x, y)f(y) dy

∣∣∣∣ ≤ B ∫|y|≤R

|f(y)||x− y|n

dy ≤ 2nB

∫|y|≤R

|f(y)||x|n

dy ≤ C

|x|n

donde la constante depende de B,n y tambien de f . Entonces

(ii) ≤∫|x|≥2R

|Tf(x)|pw(x) dx

≤ C∫|x|≥2R

w(x)

|x|npdx

=

∞∑k=1

∫2kR<|x|<2k+1R

w(x)

|x|npdx

≤ C∞∑k=1

(2kR)−npw(B(0, 2k+1R))

Como w ∈ Ap, sabemos que w ∈ Ap−ε para algun ε > 0, por lo que dado un

cubo Q, w(Q)(|S||Q|

)p−ε≤ w(S) para todo S ⊆ Q medible. Aplicando esta

propiedad para bolas, tenemos entonces que w(B(0, 2k+1R)) ≤ C(2kR)n(p−ε)

y reemplazando en la cadena de acotaciones anteriores la serie resulta con-vergente.

Es importante destacar que es necesario usar que w ∈ Ap implica w ∈ Ap−ε,ya que sino el argumento anterior no servirıa para acotar la serie.

Para probar el tipo debil (1, 1) las hipotesis no son las anteriores, sino quese asemejan mas a las que ya usamos en el caso sin pesos, reemplazando lacondicion de Hormander integral por una puntual (que no es la misma queaparece en el tipo fuerte (p, p) cuando p > 1).

Teorema 7.26. Sea T un operador integral singular que se escribe como

Tf(x) =

∫K(x, y)f(y) dy

para toda f ∈ S y x 6∈ sop(f), y tal que ademas existe una constante B > 0tal que

1. |K(x, y)| ≤ B|x− y|−n si |x− y| > 0

2. ‖Tf‖2 ≤ B‖f‖23. vale la condicion de Hormander puntual

|K(x, y)−K(x, y)| ≤ B|y − y||x− y|n+1

si |x− y| ≥ 2|y − y|

Entonces, si w ∈ A1

w(x : |Tf(x)| > λ) ≤ C

λ

∫|f(x)|w(x) dx.

Demostracion. Esta demostracion es analoga a la de la acotacion sinpesos. Para cada λ hacemos la descomposicion de Calderon-Zygmund def = g+ b, y acotamos por separado w(x : |Tg(x)| > λ) y w(x : |Tb(x)| >λ).

Por un lado, usando que w ∈ A1 ⊆ A2 y que g(x) ≤ Cλ en casi todo punto,tenemos que

w(x : |Tg(x)| < λ) ≤∫|Tg(x)|2

λ2w(x) dx

≤ C∫|g(x)|2

λ2w(x) dx

≤ C∫|g(x)|λ

w(x) dx

Ahora, como

g(x) =

f(x) en (∪Qj)cfQj en Qj

tenemos que ver que∫Qj

|g(x)|λ

w(x) dx ≤∫Qj

|f(x)|λ

w(x) dx

Pero ∫Qj

|g(x)|w(x) dx ≤∫Qj

(1

|Qj |

∫Qj

|f(y)| dy

)w(x) dx

=

∫Qj

|f(y)|w(Qj)

|Qj |dy

≤ C∫Qj

|f(y)|w(y) dy

usando en la ultima desigualdad que w ∈ A1.

Por otro lado, si Q∗j = 2√nQj , tenemos que

w(∪jQ∗j ) ≤ C∑j

w(Qj) = C∑j

w(Qj)

|Qj ||Qj | ≤

C

λ

∑j

∫Qj

|f(y)|w(y) dy

106 7. PESOS Ap

donde usamos nuevamente que w ∈ A1 y las propiedades de los cubos deCalderon-Zygmund.

Entonces solo falta acotar

w(x ∈ (∪Q∗j )c : |Tb(x)| > λ) ≤ C

λ

∑j

∫(Q∗j )c

|Tbj(x)|w(x) dx

Pero usando que∫bj = 0, si llamamos cj al centro del cubo Qj ,

Tbj(x) =

∫Qj

(K(x, y)−K(x, cj))bj(y) dy,

de donde

|Tbj(x)| ≤∫Qj

|K(x, y)−K(x, cj)||bj(y)| dy

≤ C∫Qj

|y − cj ||x− cj |n+1

|bj(y)| dy

≤ C∫Qj

`(Qj)

|x− cj |n+1|bj(y)| dy

y entonces

C

λ

∑j

∫(Q∗j )c

|Tbj(x)|w(x) dx ≤ C

λ

∑j

∫(Q∗j )c

∫Qj

|bj(y)| `(Qj)

|x− cj |n+1w(x) dx dy

=C

λ

∑j

∫Qj

|bj(y)|∫

(Q∗j )c`(Qj)

w(x)

|x− cj |n+1dx︸︷︷︸

(∗)

dy

Afirmamos que (∗) ≤ CMw(y) si y ∈ Qj , de donde, como w ∈ A1,

|Tbj(x)| ≤ C

λ

∑j

∫Qj

|bj(y)|Mw(y) dy ≤ C

λ

∑j

∫Qj

|bj(y)|w(y) dy

Como bj(x) = (f(x)− fQj )χQj (x), entonces∫Qj

|bj(y)|w(y) dy ≤∫Qj

|f(y)− 1

|Qj |

∫Qj

f |w(y) dy

≤∫Qj

|f(y)|w(y) dy +1

|Qj |

∫Qj

∫Qj

|f(z)| dzw(y) dy

≤∫Qj

|f(y)|w(y) dy +

∫Qj

|f(z)|w(Qj)

|Qj |dz

≤∫Qj

|f(y)|w(y) dy +

∫Qj

|f(z)|w(z) dz

lo que concluye la demostracion si probamos nuestra afirmacion sobre (∗).Para esto, notemos que∫

(Q∗j )c

w(x)

|x− cj |n+1dx ≤

∫|x−cj |>`(Qj)

w(x)

|x− cj |n+1dx

=∞∑m=0

∫`(Qj)2m<|x−cj |≤`(Qj)2m+1

w(x)

|x− cj |n+1dx

≤ C∞∑m=0

(2m`(Qj))−(n+1)w(B(cj , `(Qj)2

m+1))

≤ C∞∑m=0

(2m`(Qj))−1w(B(cj , `(Qj)2

m+1))

|B(cj , `(Qj)2m+1)|

≤ C∞∑m=0

(2m`(Qj))−1Mw(y)

≤ C

`(Qj)Mw(y)

como querıamos.

Capıtulo 8

Derivadas e integrales fraccionarias

1. Derivadas e integrales fraccionarias

Nos proponemos estudiar los espacios de Sobolev, que se definen para unabierto Ω ⊂ Rn, 1 ≤ p ≤ ∞ y k ∈ N0 por

W k,p(Ω) = f ∈ Lp(Ω) : Dαf ∈ Lp(Ω) para todo multiındice |α| ≤ k.

Este es un espacio de Banach con la norma

‖f‖Wk,p(Ω) =

∑|α|≤k

‖Dαf‖pp

1p

.

En particular, probaremos que valen los teoremas de inmersion de Sobolev,de los que el siguiente es un caso particular:

Lema 8.1. W 1,1(R) ⊆ L∞(R).

Demostracion. Si f ∈ C1 tiene soporte compacto, llamando g(t) =f(x− t), por la regla de Barrow tenemos que

f(x) = g(0) = −∫ ∞

0g′(t) dt =

∫ ∞0

f ′(x− t) dt

de donde es inmediato que ‖f‖∞ ≤ ‖f ′‖1.

Para el caso general consideramos la sucesion fn(x) = f.ϕn(x) donde

ϕn(x) =

1n(x+ 2n) si x ∈ [−2n,−n]

1 si x ∈ [−n, n]− 1n(x− 2n) si x ∈ [n, 2n]

0 otro caso

Es inmediato de la definicion que ‖fn‖∞ → ‖f‖∞. Afirmamos ademas quefn → f en W 1,1. En efecto, para ver que fn → f en L1 podemos usarconvergencia mayorada, ya que ‖f − fn‖1 ≤ 2‖f‖1, mientras que para ver

110 8. DERIVADAS E INTEGRALES FRACCIONARIAS

que f ′n → f ′ en L1, como f ′n = f ′.ϕn + f.ϕ′n, basta ver que f.ϕ′n → 0 en L1

(el otro termino se acota por convergencia mayorada igual que antes). Pero∫R|f.ϕn(x)| dx ≤

∫|x|>0

|f(x)| dx→ 0,

como querıamos.

Por lo visto anteriormente, vale entonces que ‖fn‖∞ ≤ ‖f ′n‖1 y, pasando allımite, se obtiene la desigualdad que queremos.

Para dimension n > 1 no es cierto que W 1,1(Rn) ⊆ L∞(Rn), pero veremosque sı existe q > 1 (que depende de n) tal que esta incluıdo en Lq(Rn). Paraeso necesitamos generalizar la regla de Barrow a mas variables.

Consideremos entonces f ∈ C∞0 (Rn). Dado x ∈ Rn y σ ∈ Sn−1 definimosg(t) = f(x− tσ). Entonces

f(x) = g(0) = −∫ ∞

0g′(t) dt =

n∑j=1

∫ ∞0

∂f

∂xj(x− σt)σj dt

Integrando en Sn−1 tenemos que

f(x) =

n∑j=1

1

|Sn−1|

∫Sn−1

∫ ∞0

∂f

∂xj(x− tσ)

σjtn−1

tn−1 dt dσ

=

n∑j=1

1

|Sn−1|

∫Rn

∂f

∂xj(x− y)

yj|y|n

dy

=1

|Sn−1|

∫Rn∇f(x− y) · y

|y|ndy

Para definir una nocion de derivada (e integral) fraccionaria, recordemos que

∂f

∂xj= [2πiξj f(ξ)]ˇ

y, por lo tanto,

(−∆f) = (2π|ξ|)2f(ξ).

Esto nos permite definir, para cualquier s ∈ R, la derivada de orden s como

(−∆f)s2 = ((2π|ξ|)sf)ˇ.

La inversa de este operador es (salvo constantes) la integral fraccionaria, osea el operador

f →(cn|ξ|s

f(ξ)

)=

(cn|ξ|s

)∗ f.

Lema 8.2. Si 0 < α < n, entonces ( 1|ξ|α )(x) = cn

1|x|n−α .

2. CONDICION NECESARIA PARA LA CONTINUIDAD DE LA INTEGRAL FRACCIONARIA111

Demostracion. Sale usando que si u ∈ S ′ es radial, entonces u esradial, y que si u es homogenea de grado −α, entonces u es homogenea degrado α− n.

Definicion 8.3. Para 0 < α < n, definimos la integral fraccionaria de f enx (en principio para f ∈ S) por

Iαf(x) =

∫Rn

f(y)

|x− y|n−αdy.

Observacion 8.4. Por lo que vimos anteriormente, vale que cn(−∆)−α2 =

Iα y que |f(x)| ≤ cnI1(|∇f |)(x)

2. Condicion necesaria para la continuidad de la integralfraccionaria

Supongamos que ‖Iαf‖q ≤ C‖f‖p para toda f ∈ Lp(Rn) con C indepen-diente de f . Entonces, dada f ∈ Lp podemos considerar, para λ > 0,fλ(x) = f(λx) y tenemos que

‖fλ‖p =

(∫|f(xλ)|p dx

) 1p

=

(∫|f(y)|pλ−n dy

) 1p

= λ−np ‖f‖p.

Por otro lado,

Iαfλ(x) =

∫Rn

f(λy)

|x− y|n−αdy =

∫Rn

f(z)

|x− λ−1z|n−αλ−n dz = λ−αIαf(λx)

de donde

‖Iαf(λx)‖q = λ−α‖(Iαf)λ‖q = λ−α−n

q ‖Iαf‖q.Deducimos entonces que para todo λ > 0

λ−α−n

q ‖Iαf‖q ≤ Cλ−np ‖f‖p

de donde se sique que debe ser α+ nq = n

p o, equivalentemente, 1q = 1

p −αn .

Veremos que esta condicion es ademas suficiente salvo en los casos q =∞ op = 1. Si la acotacion valiera en el caso p = 1, tendrıamos que, en particular,

‖Iαfk(x)‖ nn−α≤ C‖fk‖1 <∞

con fk aproximaciones de la identidad, es decir, tales que fk ≥ 0,∫fk = 1

y sop(fk) = (− 1k ,

1k ). Como∫

fk(y)

|x− y|n−αdy → C

|x|n−α,

entonces resultarıa que (|x|−(n−α))n

n−α = |x|−n es integrable, que es absurdo.

3. Continuidad de la integral fraccionaria

Lema 8.5. Si 0 < α < n, entonces para todo x ∈ Rn y δ > 0∫|x−y|≤δ

|f(y)||x− y|n−α

dy ≤ CδαMf(x).

Demostracion. Escribimos∫|x−y|≤δ


dy =

∞∑n=0

∫δ2−n−1<|x−y|≤δ2−n


dy

≤ C∞∑n=0

(δ2−n)α1

(δ2−n)n

∫|x−y|≤δ2−n

|f(y)| dy

≤ CδαMf(x)

∞∑n=0

2−nα

Teorema 8.6. Sean 0 < α < n y 1 ≤ p < q < ∞ tales que 1q = 1

p −αn .

Entonces vale

Si f ∈ Lp(Rn), la integral que define Iα es absolutamente convergentepara casi todo x.Si p > 1,

‖Iαf‖q ≤ C‖f‖pSi p = 1,

|x : |Iαf(x)| > λ| ≤(C‖f‖1λ

) nn−α

Demostracion. SeaK(x) = 1|x|n−α . Escribimos entoncesK = K1+K∞

con K1 = Kχ|x|≤1.

Para ver el primer punto, basta observar que tanto∫K1(x−y)f(y) dy como∫

K∞(x − y)f(y) dy son absolutamente convergentes para casi todo x. Enefecto, por un lado, como K1 ∈ L1 y f ∈ Lp, K1 ∗ f ∈ Lp y la integrales absolutamente convergente para casi todo x. Por otro lado, afirmamosque K∞ ∈ Lp

′, de donde se sigue que |(K∞ ∗ f)(x)| ≤ ‖K∞‖p′‖f‖p. Que

K∞ ∈ Lp′

es equivalente a ver que (n − α)p′ > n, es decir p′ > nn−α . Pero

esto se sigue de la relacion 1q = 1

p −αn , ya que

1

p′= 1− α

n− 1

q=n− αn− 1

q<n− αn

.

4. TEOREMAS DE INMERSION DE SOBOLEV 113

Para probar las otras afirmaciones, sean p ≥ 1, 0 < α < n, y sean x ∈ Rn yδ > 0 arbitrarios. Observemos que∫

|x−y|>δ


dy ≤ C‖f‖p δα−np ,

de manera inmediata si p = 1, o aplicando la desigualdad de Holder si p > 1.

Entonces, por el lema anterior,

|Iαf(x)| ≤ C(δαMf(x) + δα−n

p ‖f‖p).

Para minimizar la suma elegimos δ = (Mf(x)/‖f‖p)−pn , y obtenemos

|Iαf(x)| ≤ CMf(x)1−αpn ‖f‖

αpnp ,

por lo que las desigualdades que queremos se siguen del tipo debil (1, 1) ydel tipo fuerte (p, p), si p > 1, para la maximal.

4. Teoremas de inmersion de Sobolev

Teorema 8.7. Sea f ∈W 1,p(Rn). Entonces:

Si 1 ≤ p < n, W 1,p ⊂ Lq para 1q = 1

p −1n .

Si p = n, W 1,n 6⊂ L∞, pero sı vale que W 1,n ⊂ Lrloc para todo r <∞.Si p > n, f es continua (es decir, admite un representante continuo).

Demostracion. Supongamos primero que 1 < p < n y 1q = 1

p −1n .

Como C∞0 es denso en W k,p, basta demostrar que ‖f‖Lq ≤ ‖f‖W 1,p paratoda f ∈ C∞0 . Pero

f(x) = cn

∫∇f(y) · (x− y)

|x− y|ndy,

de donde |f(x)| ≤ cnI1(|∇f |)(x) y entonces ‖f‖Lq ≤ cn‖I1(|∇f |)‖Lq ≤C‖∇f‖Lp . El caso p = 1 lo dejamos para mas adelante.

Pasemos ahora al caso p = n, y consideremos fm → f en W 1,p, fm ∈ C∞0 .Dado K compacto, consideremos R suficientemente grande para que K ⊂B(0, R) y η ∈ C∞0 (B(0, R)) de modo tal que η ≡ 1 en K. Entonces, paratodo x ∈ K y R suficientemente grande,

|ηfm(x)| ≤ cn∫|y|≤R

|∇(ηfm)(x− y)||y|n−1

dy.

Recordemos que por la desigualdad de Young, si 1r = 1

p + 1s − 1, entonces

‖h ∗ g‖r ≤ ‖h‖p‖g‖s. Entonces podemos aplicar la desigualdad tomandoh(x) = |∇(ηfm)(x)| y g(x) = 1

|x|n−1χB(0,R)(x) siempre que g ∈ Ls para el

valor de s que cumple la relacion anterior, pero esto es equivalente a que(s− 1)(n− 1) < 1, y como en este caso p = n y r <∞, entonces

1

n+

1

s− 1 > 0 ⇒ 1

s> 1− 1

n=n− 1

n,

como querıamos. Es decir,

‖ηfm‖Lr ≤ ‖∇(ηfm)‖Lp∥∥∥∥ 1

|x|n−1χB(0,R)(x)

∥∥∥∥Ls≤ C‖∇(ηfm)‖Lp .

Por lo tanto

‖fm‖Lr(K) = ‖ηfm‖Lr(K) ≤ C‖∇(ηfm)‖Lp(K) ≤ CK‖fm‖W 1,p ,

donde para la ultima desigualdad usamos la regla del producto y que tanto‖η‖∞ como ‖∇η‖∞ estan acotadas (por una constante depende de K). Perocomo fm → f en W 1,p, entonces fm es de Cauchy en W 1,p y, por lo tanto,en Lr(K), ya que

‖fm − fl‖Lr(K) ≤ C‖fm − fl‖W 1,p .

Luego fm → f en Lr(K), pero como fm → f en Lp(K) entonces f = f ,como querıamos ver.

Por ultimo, si p > n, para usar la desigualdad de Holder donde antes usamosla de Young es claro que basta ver que p′(n− 1) < n. Pero

1

p′= 1− 1

p> 1− 1

n⇔ p > n,

y por lo tanto la convolucion que tenemos es entre una funcion de Lp y otrade Lp

′, y por lo tanto resulta ser una funcion continua. Como las fm ademas

convergen uniformemente, entonces el lımite es una funcion continua.

Observacion 8.8. En realidad en el caso p = n vale un resultado mas fuerteque no probaremos, que es que W 1,n(Rn) ⊂ Lr(Rn) para todo n ≤ q <∞.

Nos faltaba probar el caso p = 1, n > p del teorema de inmersion de Sobolev.Para eso vamos a usar el siguiente lema:

Lema 8.9. Sea n ≥ 2 y sean f1, . . . , fn ∈ Ln−1(Rn−1). Si para x ∈ Rndefinimos

xi = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn),

entonces, si definimos

f(x) := f1(x1) . . . fn(xn)

resulta que f ∈ L1(Rn) y ademas

‖f‖L1(Rn) ≤n∏i=1

‖fi‖Ln−1(Rn−1).


Demostracion. Por induccion en n.

Si n = 2, f1, f2 ∈ L1(R) y f(x1, x2) = f1(x2)f2(x1). Entonces,∫R2

|f(x1, x2)| dx =

∫R2

|f1(x2)||f2(x1)| dx = ‖f1‖L1(R)‖f2‖L1(R)

Supongamos que la afirmacion vale para n, y que ahora f(x) = f1(x1) . . . fn(xn)fn+1(xn+1).Fijado xn+1 tenemos que, usando la desigualdad de Holder y la hipotesis in-ductiva,∫

Rn|f(x)| dx1 . . . dxn =

∫Rn|f1(x1) . . . fn(xn)||fn+1(xn+1)| dx1 . . . dxn

≤ ‖fn+1‖Ln(Rn)

(∫Rn|f1 . . . fn|n

′dx1 . . . dxn

) 1n′


(n∏i=1

‖|fi|n′‖Ln−1(Rn−1)

) 1n′

= ‖fn+1‖Ln(Rn)

n∏i=1

‖fi‖Ln(Rn−1)

Entonces,∫Rn+1

|f(x)| dx1 . . . dxn+1 =

∫R‖fn+1‖Ln(Rn)

n∏i=1

‖fi‖Ln(Rn−1) dxn+1

= ‖fn+1‖Ln(Rn)

∫R

n∏i=1

‖fi‖Ln(Rn−1) dxn+1


(n∏i=1

∫Rn|fi|n dx

) 1n

=n+1∏i=1

‖fi‖Ln(Rn)

donde para la ultima desigualdad usamos el Holder generalizado con expo-nentes 1 = 1

n + · · ·+ 1n .

Teorema 8.10. Si f ∈W 1,1(Rn) y n ≥ 2, entonces ‖f‖L

nn−1≤ C‖∇f‖L1 .

Demostracion. Por densidad, basta verlo para f ∈ C∞0 . Como

f(x1, . . . , xn) =

∫ x1

−∞

∂f

∂x1(t, x2, . . . , xn) dt,

entonces,

|f(x1, . . . , xn)| ≤∫ ∞−∞

∣∣∣∣ ∂f∂x1(t, x2, . . . , xn)

∣∣∣∣ dt

y, analogamente,

|f(x1, . . . , xn)| ≤∫ ∞−∞

∣∣∣∣ ∂f∂xi (x1, . . . , t︸︷︷︸i

, . . . , xn)

∣∣∣∣ dt.Si definimos fi(xi) como esta ultima integral, por el lema anterior

|f(x)|n ≤n∏i=1

fi(xi)

y entonces, elevando a la 1n−1 a ambos lados e integrando,∫

|f(x)|nn−1 dx ≤

n∏i=1

‖fi(xi)1

n−1 ‖Ln−1(Rn−1) (por el lema anterior)

=n∏i=1

‖fi(xi)‖1

n−1

L1(Rn−1)

=

n∏i=1

∥∥∥∥ ∂f∂xi∥∥∥∥ 1n−1

L1(Rn)

.

Por lo tanto,

(8.57) ‖f‖L

nn−1 (Rn)

≤n∏i=1

∥∥∥∥ ∂f∂xi∥∥∥∥ 1n

L1(Rn)

≤ ‖∇f‖L1(Rn).

Observacion 8.11. El caso 1 < p < n tambien se puede deducir del casop = 1.

Demostracion. Si t ≥ 1 aplicamos la primer desigualdad de (8.57) a|f |t−1f y tenemos que ∣∣∣∣ ∂∂xi (|f |t−1f)

∣∣∣∣ ≤ tf t−1

∣∣∣∣ ∂f∂xi∣∣∣∣ .

Entonces,

‖f‖tLt nn−1≤ t

n∏i=1

∣∣∣∣|f |t−1 ∂f

∂xi

∣∣∣∣ 1nL1

≤ tn∏i=1

‖f‖t−1n

Lp′(t−1)

∥∥∥∥ ∂f∂xi∥∥∥∥ 1n

Lp

= t‖f‖t−1

Lp′(t−1)

n∏i=1

∥∥∥∥ ∂f∂xi∥∥∥∥ 1n

Lp


y eligiendo t tal que t nn−1 = p∗ = np

n−p se obtiene (despejando) que

‖f‖Lp∗ ≤ Cn∏i=1

∥∥∥∥ ∂f∂xi∥∥∥∥ 1n

Lp≤ C‖∇f‖Lp .

Teorema 8.12. Si f ∈W 1,p(Rn) y p > n, entonces f ∈ C1,1−np , es decir

|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|1−np .

Demostracion. Sea ϕ ∈ C∞0 ,∫ϕ = 1 y ϕt(x) = 1

tnϕ(xt ). Sabemos queentonces f ∗ ϕt → f cuando t→ 0.

Si definimos F (x, t) = (f ∗ ϕt)(x), podemos escribir

f(x)−f(y) = f(x)− (f ∗ ϕt)(x)︸︷︷︸(i)

+ (f ∗ ϕt)(x)− (f ∗ ϕt)(y)︸︷︷︸(ii)

+ (f ∗ ϕt)(y)− f(y)︸︷︷︸(iii)

.

Entonces, para t fijo

(8.58) |(ii)| = |F (x, t)− F (y, t)| ≤ ‖∇xF‖∞|x− y| ≤ Ct−np ‖∇f‖Lp

donde en la ultima desigualdad usamos que∣∣∣∣ ∂F∂xj (x, t)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣( ∂f

∂xj∗ ϕt

)(x)

∣∣∣∣ ≤ ∥∥∥∥ ∂f∂xj∥∥∥∥Lp‖ϕt‖Lp′

y que

‖ϕt‖p′

Lp′=

∫|ϕt|p

′dx =

∫1

tnp′

∣∣∣ϕ(xt

)∣∣∣p′ dx =

∫tn

tnp′|ϕ(y)|p′ dy = ‖ϕ‖p

′

Lp′tn(1−p′),

de donde se sigue que ‖ϕt‖Lp′ = Ct−np .

Tomando t = |x − y|, por (8.58) tenemos entonces que |(ii)| ≤ C|x −y|1−

np ‖∇f‖Lp .

Nos falta acotar (i) y (iii) (que son claramente analogos). Para esto vamosa usar un truco que se debe a Calderon, y que consiste en observar que

∂ϕt∂t

= −n∑j=1

∂((xjϕ)t)

∂xj

y, por lo tanto,

∂F

∂t= −

n∑j=1

f ∗ ∂((xjϕ)t)

∂xj= −

n∑j=1

∂f

∂xj∗ (xjϕ)t

APUNTES DE ANALISIS ARM ONICO Irene Drelichman y Ricardo G ... · 5. Convergencia en Lppara series...

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