Oscilador Harmonico Amortecido

Drausio de CastroItalo Jose Juliano

Millerlandy Cruz Gomez

Maio de 2015

1. Introducao

Quando trata-se de um sistema de massa-mola-amortecedor e necessario mo-delar, para que possa achar os valores procurados, alem de distinguir qual tipode amortecimento possui. Soeiro (2008) explica que a modelagem matematicae feita a partir de um conjunto de equacoes diferenciais que constituem umsistema mecanico. Para isso se utiliza a 2a Lei de Newton (Eq.1), Princıpio deD’Alembert (Eq.2), Conservacao de Energia (Eq.3) e as Equacao de Lagrange-Euler (Eq.4). ∑

i

Fi = mx (1)

∑i

(Fi −mx) δri = 0 (2)

4 Emec = 4 U +4 K = 0 (3)

S(q) =

∫ b

a

L(t, qt, q′t) = 0 (4)

Em geral estas equacoes sao diferenciais ordinarias lineares de 2a ordem e estaoacopladas entre si, ou seja, as variaveis dependentes e suas derivadas aparecemem mais de uma equacao. Sendo, para solucionar tal problema, sao utilizados ometodo numerico, Transformada de Laplace e o Classico. Em sistemas mecanicospodem aparecer molas em paralelo ou em serie, sendo assim, sera definido o quedevera ser feito em cada circunstancia.

2. Molas

2.1. Molas em paralelo

O sistema da Fig.1, tem molas em paralelo as quais sao fixadas a um blocode massa m. A meta e definir qual a rigidez equivalente desta combinacao demolas visando modelar o sistema com uma unica mola.

Utilizando a segunda lei de Newton:

F = k1x+ k2 + ......+ knx (5)

1

Figura 1: . Molas paralelas.

2

Figura 2: . Molas em serie.

Colocando x em evidencia:

F = x(k1 + k2 + .......+ kn) (6)

Analisando a Equacao observa-se que a rigidez equivalente para um sistema commolas em paralelo e dada por:

keq =n∑i=1

ki (7)

2.2. Molas em serie

Ja o sistema da Figura 2. tem molas em serie que sao fixadas a um blocode massa m. Novamente a meta e definir qual a rigidez equivalente desta com-binacao de molas. Novamente utilizando a 2a Lei de Newton e tendo em contaque o deslocamento em cada mola e o mesmo, tem-se:

x = x1 + x2 + x3 + ......+ xn =F

k1=F

k2=

F

kn(8)

Resolvendo a Equacao (8), isolando F , chega-se em:

F =x∑ni=1

1ki

(9)

Assim, pode-se concluir que para um sistema com molas em serie a rigidezequivalente e descrita por:

keq =1∑ni=1

1ki

(10)

3. Sistema Amortecido

De acordo com Halliday (2006) o amortecimento representa a capacidadedo sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de amortecimentose apresenta o amortecimento viscoso, assim por representar a forca dissipativaproporcionada por um fluido viscoso. Esta forca tem como caracterıstica prin-cipal ser proporcional a velocidade relativa entre as superfıcies em movimentoquando existe um fluido separando-as. Esta proporcionalidade garante que aequacao diferencial do movimento seja uma DCL.A Figura 3 (a) mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade comamortecimento. Se a forca de amortecimento for de natureza viscosa, o diagrama

3

Figura 3: Sistema amortecido de 1GDL (amortecimento viscoso).

de corpo livre da Figura 3 (b), ao se aplicar a 2a Lei de Newton, permite queescreva a equacao:

meqx+ ceqx+ keqx = Fexterna (11)

A frequencia natural (ωn) do sistema e dada por:

ωn =

√keqmeq

(12)

A constante da amortecimento crıtico (cc) e definida como o valor de ceq quefaz con que o discriminante ∆ se anule, este que estara apresentado na equacaoabaixo:

∆ =( cc

2meq)2 − (

keqmeq

) = 0 (13)

Isolando a constante de amortecimento crıtico e substituindo a equacao (12),tem-se que:

cc = 2meqωn (14)

Conforme Abreu (2007), a constante de amortecimento cc da uma indicacao darelacao entre a forca de amortecimento e a velocidade relativa entre as partes domovimento. Ela, porem nao proporciona uma visao da quantidade de amorteci-mento que atua sobre o sistema real, uma vez que uma forca de amortecimentopode ser grande para um sistema e pequena para outro, dependendo, funda-mentalmente das massas envolvidas e da rigidez.Define-se entao que factor de amortecimento e uma quantidade adimensional enao depende da ordem de grandeza do parametro do sistema, indicando expres-samente o quanto o sistema esta sendo amortecido.0 factor de amortecimento e definido como a relacao entre a constante de amor-tecimento do sistema e a constante de amortecimento crıtica:

ξ =c

cc(15)

De acordo com o valor de ξ, se tem tres possibilidade de tipo de amortecimento:

4

Figura 4: Sistema sub-amortecido.

3.1. Caso I: Sub-amortecido 0 < ξ < 1

Abreu afirma que neste caso o efeito do amortecimento esta presente naamplitude decrescente, representando a dissipacao de energia vibratoria. A fre-quencia de oscilacao agora nao e mais frequencia natural e sim a chamadafrequencia da vibracao livre amortecida

ωd = ωn√

1− ξ2 (16)

Havendo deslocamento,x = A.e−ξωn (17)

3.2. Caso II: Criticamente amortecido ξ = 1

A constante de amortecimento c e igual a constante de amortecimento crıticocc. Sendo assim a solucao do sistema e dada por:

xt = e−ωnt[(x0 + wxx0)t+ x0] (18)

Na figura 5 e mostrada a resposta para varios valores da condicao inicial dex0.Silva (2008) explica que um sistema amortecido criticamente quando perturba-do por certas condicoes iniciais, retorna a posicao de equilıbrio no tempo maisrapido sem oscilar. Um exemplo classico de aplicacao deste sistema e o dispo-sitivo amortecedor em portas de elevador, caso solte a porta bruscamente estanao bate violentamente, mas volta para a posicao de equilıbrio suavemente.

3.3. Caso III:Super amortecido ξ > 1

Neste caso, a constante de amortecimento c e maior que a constante deamortecimento crıtico cc implicando que as raızes da EDO sao reais e diferentes.

5

Figura 5: Sistema criticamente amortecido.

Segundo Soeiro (2008) o movimento super amortecido nao e oscilatorio. A figura6 abaixo deixa isto claro.

4. ABSORVEDOR

.Absorvedores dinamicos sao dispositivos passivos que alteram as caracterısti-cas dinamicas de um sistema mecanico, alterando as suas frequencias naturais.”(Campos) Estes que abordam sistemas massa-mola-amortecedor definidos osparametros de montagem, assim permitindo reduzir a resposta forcada de umamaquina a uma dada frequencia de excitacao.Alves complementa preferindo que os absorvedores tıpicos consistem de um dis-positivo inercial, podendo ser um oscilador massa-mola, um oscilador pendular,um fluido, uma estrutura elastica contınua ou um sistema eletromecanico. Em1902, Frahm investigou a importancia do estudo da vibracao torsional no proje-to de eixos propulsores de barcos a vapor. O absorvedor dinamico de vibracao,que envolve a adicao de um sistema massa-mola secundario para eliminar asvibracoes de um sistema principal, foi tambem proposto por Frahm em 1909.Fernandes cita que ha tempo e conhecida a teoria dos Absorvedores Dinamicosde Vibracoes (ADVs), porem e apenas recentemente, devido a globalizacao dainformatica, e que se tornou viavel a aplicacao de tecnicas de controle para suautilizacao na pratica.

6

Figura 6: Sistema super amortecido.

Pesquisas nesta area tem sido motivadas devido a crescente exigencia de baixoruıdo e de precisao dos equipamentos industriais, sobretudo no que diz respeitoas maquinas operatrizes e a nanotecnologia. Por serem ativas nos mais diversostipos de equipamentos, encontra-se nas tubulacoes um ponto chave para a re-ducao dos nıveis globais de vibracao em tais maquinas.Hartog (1956) explica que o funcionamento dos ADVs baseia-se no princıpioda antirressonancia, ou seja, dado um sistema principal que vibra sob uma ex-citacao, acoplar a ele um sistema secundario que gere uma forca de mesmaamplitude, direcao e frequencia e em oposicao de fase a excitacao. Diversos au-tores mostraram analiticamente que isto ocorre quando a frequencia natural daestrutura secundaria e igual a frequencia de excitacao. Bies (1996) recomenda osADVs quando ocorrem problemas de vibracao numa faixa estreita de vibracao.Existem tres tipos de absorvedores dinamicos de vibracoes: passivos, semi-ativosou adaptativos e os ativos. Eles se distinguem justamente pela maneira comogeram tal forca. Os passivos e os adaptativos nao utilizam fontes de energiaexterna para gera-la, se distinguem entre si pelo fato de que o adaptativo, comoo nome sugere, e capaz de se ajustar a diferentes frequencias. Diferentemente,os ativos utilizam atuadores, normalmente eletromecanicos, para isso.

4.1. Absorvedores Dinamicos sem amortecimento aplica-dos a sistemas de um grau de liberdade

Os desenvolvimentos analıticos apresentados a seguir, sao baseados nos tra-balhos de Den Hartog (1956), Dimaragonas (1996) e Cunha Jr. (1999). A Figura7 ilustra um sistema vibratorio de dois graus de liberdade, sem amortecimento.Deseja-se atenuar as vibracoes do subsistema primario (m1, k1) acoplando a estesistema o absorvedor dinamico de vibracoes, que e o subsistema (m2, k2).Introduz-se uma excitacao harmonica de amplitude F0 e frequencia fixa Ω, apli-

7

Figura 7: Modelo de uma estrutura primaria com absorvedor dinamico naoamortecido.

cada a massa m1, representada pela seguinte expressao:

F(t) = F0eiΩt (19)

As equacoes do movimento do sistema acoplado, representado na figura 7, sao:

m1x1(t) + (k1 + k2)x1(t) − k2x2(t) = F(t) (20)

m2x2 + k2[x2(t) − x1(t)] = 0 (21)

Em regime permanente, as respostas harmonicas sao expressas segundo:

x1(t) = X1eiΩt (22)

x2(t) = X2eiΩt (23)

Fazendo as devidas diferenciacoes e substituindo as equacoes (20 e 22) naequacao (19), obtem-se as seguintes equacoes algebricas:

X1(−m1Ω2 + k1 + k2)− k2X2 = F0 (24)

k2X1 +X2(−m2Ω2 + k2) = 0 (25)

Deste modo conclui-se que:

X1

F0k−11

=[1− ( Ω

ωa)2]

[1 + k2k1− ( Ω

ωa)2][1− ( Ω

ωa)2]− k2

k1

(26)

Na equacao (26), quando o numerador [1−( Ωωa

)2] e zero, a amplitude da respos-ta X1 do sistema primario anula-se. Para isso, deve-se ter a condicao Ω = ωA.Isto explica o princıpio basico do funcionamento do ADV, que consiste no fato

que, escolhendo os valores dos parametros (m2, k2) de modo que Ω =√

k2m2

, a

8

Figura 8: FRF pontual na massa primaria m1, para m2/m1= 0,2.

resposta da massa primaria m1, tera amplitude nula para esta frequencia deexcitacao.A Figura 8 mostra graficamente um exemplo da funcao representada na equacao(26). Nota-se a funcao resposta em frequencia tıpica de um sistema de dois grausde liberdade, com dois picos de ressonancia referente as suas duas frequenciasnaturais. Ao introduzir-se o ADV, aparece uma antirressonancia na FRF pon-tual da massa m1, a frequencia Ω = ωA.Assim nota-se que o sistema absorvedor exerce sobre o sistema primario umaforca igual, porem oposta a forca de excitacao, equilibrando, entao, este ulti-mo sistema. Os ADVs sao mais frequentemente utilizados para atuar de formaa reduzir os nıveis de vibracoes do sistema primario quando este se encontraoperando com frequencia de excitacao igual ou muito proxima a sua frequencianatural. Sendo assim, a frequencia natural do sistema absorvedor deve coincidircom frequencia natural do sistema primario, de modo a satisfazer:

k2

m2=

k1

m1−→ ωn = ωa (27)

Partindo das Equacoes 24 e 25, e reescrevendo-as em termos de parametrosadimensionais, as FRFs do sistema primario e do ADV, se tem:

X1

F0k−11

=[1− g2]

[1 + µ− g2][1− g2]− µ(28)

X2

F0k−11

=[1− g2]

[1 + µ− g2][1− g2]− µ(29)

onde g = Ωωn

; µ = m2

m1; ω2

n = k1m1

= k2m2

Igualando o denominador a zero, este

se torna uma equacao quadratica em g2 com duas raızes distintas. Existem,entao, dois valores de Ω que anulam o denominador da equacao (28), fazendocom que as amplitudes X1 e X2 tendem ao infinito. Esse dois valores de as duas

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Figura 9: Variacao das frequencias naturais do sistema acoplado em funcao deµ, conforme a equacao 30

frequencias naturais do sistema acoplado, dadas pela reacao:

g2 = 1 +µ

2±√

(µ+µ2

4) (30)

Este calculo permite prever as frequencias naturais do sistema de dois graus deliberdade. A figura 9 mostra um grafico da funcao expressa pela eq. (30) paradiversos valores da razao de massas µ. Nota-se, para µ = 0, 1, o aparecimento deduas frequencias naturais do sistema acoplado em 0,85 e 1,17 vezes a frequencianatural do sistema primario, considerado isoladamente. Observa-se tambem queo afastamento entre as duas frequencias naturais aumenta com o aumento darazao das massas.De acordo com Dimaragonas (1996), a banda de frequencias na qual o ADV naoamortecido e eficiente e geralmente muito estreita. De fato, conforme pode serobservado na figura 8, pequenas variacoes na frequencia de excitacao em tornode g = 1 podem conduzir a reducoes significativas da capacidade de absorcaodo ADV.Alem disso, duas ressonancias adjacentes a Ω = ωn, apresentando am-plitudes de vibracao elevadas, continuam a existir. Assim, o projeto otimo deabsorvedores dinamicos de vibracao deve objetivar, principalmente, a maximaabsorcao em uma dada banda de frequencias a mais ampla possıvel em torno deuma frequencia nominal. Isso pode ser conseguido com a introducao, no absorve-dor, de mecanismos para a dissipacao de energia. O amortecimento desempenhaainda a importante funcao de limitar as amplitudes de vibracao do proprio ab-sorvedor, o que permite atender a restricoes de projeto e limitar as tensoes defadiga. Den Hartog (1956) complementa com a teoria dos ADVs de um graude liberdade com amortecimento viscoso, acoplados a sistemas primarios naoamortecidos.

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4.2. Absorvedores Dinamicos com Amortecimento Visco-sos aplicados a sistemas de um grau de liberdade

Considere-se o ADV com amortecimento viscoso (m2, c2, k2) acoplado aosistema primario nao amortecido (m1, k1), mostrado na figura 9, para o qual asequacoes do movimento descrevem a seguinte:

m1x1(t) + k1x1(t) + k2[x1(t) − x2(t)] + c2[x1(t) − x2(t)] = F0eiΩt (31)

m2x2(t) + k2[x2(t) − x1(t)] + c2[x2(t) − x1(t)] = 0 (32)

Expressando as equacoes em notacao complexa em regime harmonico perma-nente tem-se:

−m1Ω2X1 + k1X1 + k2(X1 −X2) + jΩc2(X1 −X2) = F0 (33)

−m2Ω2X2 + k2(X2 −X1) + jΩc2(X2 −X1) = F0 (34)

Resolvendo estas equacoes para X1 e X2, obtem-se, para sistema primario, aseguinte expressao:

X1 = F0(k1 −m2Ω2) + jΩc2

[(−m1Ω2 + k1)(−m2Ω2 + k2)] + jΩc2(−m1Ω2 + k1 −m2Ω2)(35)

Onde X1 e X2 sao quantidades complexas, as demais quantidades sao reais ej =√−1 e a unidade imaginaria. Pode-se reduzia a equacao (35) a seguinte

forma:X1 = F0(A1 + jB1 (36)

Sendo A1 e B1 funcoes reais. O significado associado a equacao (36) e o de que,na representacao vetorial, o deslocamento X1 consiste de duas componentes,uma em fase com a forca F0 e a outra com uma diferenca de fase Π

2 no planocomplexo. Adicionando geometricamente esses vetores, a magnitude de X1 podeser expressa por:

|X1| = F0

√(A2

1 +B21) (37)

Definindo os seguintes termos adimensionais:

Xest =F0

k1(38)

f =ωaωn

(39)

Assim, da equacao (33) obtem-se a seguinte expressao em termos dos parametrosadimensionais:

|X1|Xest

=

√(2µg)2 + (g2 − f2)2

(2ηg)2(g2 − 1 + µg2)2 + [µf2g2 − (g2 − 1)(g2 − f2)]2(40)

A equacao (40) representa a funcao resposta em frequencia pontual relativa aosistema primario. Ela esta mostrada graficamente na figura 10 para uma razaode massa µ = 1

20 e razao de frequencia unitaria, fazendo-se variar o fator deamortecimento η = ξ . Pode-se observar que para µ = 0, tem-se o caso sem

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Figura 10: FRFs relativas a massa m1, para diferentes valores do amortecedordo ADV

amortecimento mostrado anteriormente, para o qual as amplitudes de desloca-mento nas ressonancias tornam-se infinitas. Por outro lado, quando se utilizaum amortecimento alto (µ = 50), as duas massas ficam virtualmente ligadas en-tre si, tendo-se essencialmente um sistema de um grau de liberdade com massam1 +m2, com uma amplitude de um grau de liberdade amortecido, ora aquelasde um sistema de dois graus de liberdade amortecido, cujas amplitudes maxi-mas sao definidas pelo valor do amortecimento. Tambem observado na figura10, que a introducao do amortecimento no sistema absorvedor proporciona umadiminuicao nas amplitudes numa banda de frequencias mais larga em torno deΩωn

= 1, em comparacao com os ADVs sem amortecimento.

E importante destacar a presenca dos pontos invariantes P e Q mostrados naultima figura, pelos quais sempre passa a FRF, independente do fator de amor-tecimento η . Den Hartog (1956) propos um procedimento de otimizacao queconsiste na determinacao de um conjunto otimo de parametros f e η que conduzos dois pontos invariantes a uma mesma amplitude, com a curva de respostapossuindo inclinacao nula em ambos os pontos.

5. Osciladores Harmonicos: Aplicacoes Praticas

1. Balancas:Representa uma aplicacao classica de osciladores harmonicoscom amortecimento crıtico. Ao efetuarmos um pesagem, espera-se quea leitura estabilize-se no menor tempo possıvel ao inves de ficar oscilandopor um longo perıodo.

2. Vibracoes Mecanicas: E o movimento de uma partıcula ou de um corpo que

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oscila em torno de uma posicao de equilıbrio. Uma vibracao mecanica surgegeralmente quando um sistema e deslocado da sua posicao de equilıbrioestavel. Em geral, quando o sistema tende voltar sob a accao de forcas derestituicao, ultrapassa esta posicao. A repeticao deste processo e chamadomovimento oscilatorio. O intervalo de tempo necessario para o sistemacompletar um ciclo de movimento chama-se perıodo de vibracao. O numerode ciclos por unidade de tempo define a frequencia, e o deslocamentomaximo do sistema medido a partir da sua posicao de equilıbrio chama-seamplitude de vibracao.

3. Fluxo de corrente em circuitos eletricos (vibracoes eletricas): A ressonanciade um circuito eletrico e que permite que um radio seja sintonizado emuma determinada esta cao.

4. Oscilador Harmonico Forcado.

Batimentos: A nomenclatura batimento vem de acustica: cada notamusical tem uma frequencia propria; quando uma nota basica e a notacorrespondente do instrumento musical sao tocadas simultaneamente,havera batimento caso suas frequencias divirjam ligeiramente. Afinaro instrumento significa ajusta-lo de modo a evitar batimentos.

Ressonancia: frequencia natural.

• Muralhas de Jerico: A suposicao de alguns estudios contem-poraneos sao as muralhas de Jerico, onde a ressonancia acusticacausou o desmoronamento delas ” Ergueu, pois, o povo o grito deguerra e fizeram ressoar as trompas. Logo que o som da trompachegou aos ouvidos da multidao, levantou-se enorme clamor e asmuralhas caıram sobre si mesmas. . . Josue 6:20 ”

• Tacas de cristal:vibracoes acusticas podem ser tao destrutivasquanto grandes oscilacoes mecanicas. Cantores de opera conse-guem quebrar um calice com o poder de suas vozes. Sons emitidospor orgaos e flautins sao capazes de quebrar janelas.

• Marchar sobre pontes suspensas (Franca – 1850):Os soldados ge-ralmente nao passam marchando sobre uma ponte. A razao dissoe simplemente evitar qualquer possibilidade de ressonancia.

• Queda de avioes comerciais (1959 – 1960): Um aviao comercialultrapassou uma velocidade crıtica provocando trepidacao exces-siva da helice e do motor; essa vibracao externa foi entao trans-ferida para a asa, que ja apresentava seu proprio movimento os-cilatorio de modo que a amplitude de movimento foi tamanhaque a asa partiu-se.

• Colapso da Ponte Tacoma (USA - 1940): O fenomeno da res-sonancia desempenha um papel importante no projeto de sis-temas mecanicos nos quas ha forcas vibratorias, pois a grandesamplitudes previstas podem ocasionar uma ruptura do sistema.A ponte Tacoma foi um exemplo deste fenomeno aqui a forca ex-terna apareceu como consequencia da ma aerodinamica da ponte.

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Referencias

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[2] Boyce, W.DiPrima: Equacoes Diferencias Elementares e Problemas de Va-lor de Contorno - LTC.

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[4] Lambrecht,Aet:Absorvedor Dinamico de Vibracoes.2006.

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[6] Rao S.S: Mechanical Vibrations.3.Ed.Massachuetts Addion-Wesley, Publis-hing Company, 1995.

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[9] Soeiro Newton S: Curso de fundamentos de vibracoes e balanceamento derotores. Belem: 2008. Faculdade de Engenharia Mecanica.

[10] Zill,D. Cullen, M:Equacoes Diferenciais Vol.1 – Pearson Makron Books,2008.

[11] Zumpano Antonio: Ressonancia, Universidade Federal de Minas Gerais:Departamento de Matematica.

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