Appunti Di Metodi Numerici Per La Grafica

Scuola

Scienze

Corso di studio

Scienze e tecnologie informatiche (8013)

Sede didattica

Cesena

A.A.

2013/2014

Insegnamento

Metodi numerici per la grafica (13209)

Titolare

Prof.ssa Damiana Lazzaro

([email protected])

Appunti di Nicola Gentili

[email protected]

ultimo aggiornamento: 26/03/2014 02:00

mailto:[email protected]

Metodi numerici per la grafica (13209) A.A. 2013/2014

Prof.ssa Damiana Lazzaro – [email protected] Pag. 1/83

Appunti di Nicola Gentili – [email protected] Ultimo aggiornamento: 26/03/2014 02:00

Introduzione

Computer Graphics (CS)

La Computer Graphics si occupa di sintesi (generazione e manipolazione) di immagini per mezzo del

computer, delle tecniche di produzione di scene rappresentanti oggetti del mondo reale o contenuti

astratti. La Computer Graphics studia le tecniche e gli algoritmi per la visualizzazione di informazioni

numeriche prodotte da un elaboratore1

.

Alcune tecniche di Computer Graphics:

Fotoritocco

effetti speciali e trasformazioni applicati

all’immagine di partenza

Image warping

trasformazione di strutture presenti in

un’immagine a fini ludici o di correzione di

deformazioni introdotte dai dispositivi di

acquisizione.

Image Processing (IP)

Image Processing è la disciplina che si occupa di analisi di immagini.

Immagini o video fornite come input, vengono analizzati tramite tecniche di Image Processing, con gli

obiettivi di ottenere:

immagini rielaborate Image Processing

misurazioni (contenuti informativi) Image Analysis

informazioni di alto livello (contenuti informativi) Image Understanding

Alcune tecniche di Image Processing sono:

Image enhancement: si occupa aumentare la nitidezza, evidenziare bordi, migliorare il

contrasto, ridurre il rumore, applicare filtri, applicare interpolazioni,

ingrandimenti o riduzioni e pseudo colorazioni. Tramite questa tecnica non

si aumenta il contenuto informativo dell’immagine.

Image restoration: si occupa di minimizzare l’effetto di degradazione dell’immagine

osservata, l’efficacia del ripristino dell’immagine dipende dalla misura e

dalla precisione della conoscenza del degrado: non ha l’obiettivo di

migliorare l’immagine.

Image compression: si occupa di minimizzare il numero di bit necessari a memorizzare

un’immagine (utilizzata in TV broadcast, telerilevamento satellitare,

comunicazioni, acquisizione immagini, …).

Computer Vision

Si occupa di riprodurre i processi percettivi propri della visione basandosi su sistemi artificiali di

acquisizione ed elaborazione dei dati.

Pattern Recognition

Si occupa di individuare la presenza di strutture più o meno complesse al fine di svolgere compiti di

riconoscimento, sorveglianza, ispezione di manufatti, individuazione di guasti, …

1

R. Scateni, P. Cignoni, C. Montani, R. Scopigno.Fondamenti di Grafica Tridimensionale Interattiva, 2005, McGraw Hill, ISBN 88-386-6215-0

Computer Graphics

Rappresentazione del mondo reale

Rendering

foto realistico

Rendering

non foto realistico

Rappresentazione

di contenuti

astratti

http://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/8838662150




Schema di un’applicazione grafica

Lo schema di massima per la realizzazione di un’applicazione grafica può essere sintetizzato in cinque

fasi:

1. Il mondo che si vuole rappresentare deve essere descritto

La descrizione comprende, in genere, tre elementi:

1.1. Gli oggetti che popolano il mondo (oggetti reali, punti nello spazio, …

gli oggetti hanno proprietà posizionali e di apparenza

1.2. L’illuminazione: le luci che sono presenti nel mondo hanno proprietà

posizionali

1.3. L’osservatore possiede proprietà posizionali, descrive gli algoritmi

necessari a generare un’immagine 2D dalla descrizione 3D del mondo

2. La produzione della descrizione ottenuta è detta modellazione

Esistono tre metodi per ottenere la modellazione:

2.1. Manuale: gli elementi sono disegnati tramite un opportuno strumento

grafico (ad esempio si disegna un cerchio con il mouse partendo da un

punto centrale e trascinando per ottenere il raggio desiderato)

2.2. Automatico: gli elementi sono acquisiti tramite strumenti appositi

(image based modeling)

2.3. Procedurale: gli elementi sono generati tramite opportune procedure (ad

esempio un cerchio è ottenuto specificando posizione del centro e

raggio)

3. La fase di rendering realizza un’immagine bidimensionale

Essa è composta dalle fasi di:

3.1. Proiezione: si deve proiettare geometricamente la scena dallo spazio 3D

alla spazio 2D dello schermo (telecamera virtuale)

3.2. Shading: si deve determinare il colore di ogni punto dell’immagine, in

funzione del colore della superficie dell’oggetto, della sua orientazione,

della posizione delle luci, dei riflessi indiretti della luce da altre superfici,

…

3.3. Rimozione delle superfici nascoste: devono essere eliminate le

superfici di elementi più lontani dalla telecamera virtuale se coperti da

altri elementi

3.4. Rasterizzazione: consiste nella mappatura dei colori di ogni punto

dell’immagine sui pixel

4. Le procedure e gli algoritmi che implementano il rendering prende il

nome di pipeline grafica

5. L’immagine viene infine visualizzata sullo schermo o salvata su file

Ciclo di vita pixar

Descrizione

Modellazione

Rendering

Pipeline grafica

Visualizzazione




Realtà aumentata

La realtà aumentata (augmented reality) è un sistema di grafica interattiva che permette di intervenire su

un flusso di immagini video live, modificando la realtà con l’aggiunta, in tempo reale, di contenuti ed

animazioni virtuali.

Si ottiene pertanto un’integrazione delle immagini reali con immagini o informazioni virtuali (derivanti dalla

realtà riconosciuta dal sistema).

Realtà Acquisizione immagine Elaborazione Realtà aumentata

Interattività vs Non interattività

La grafica generata con un calcolatore può essere più o meno interattiva ovvero può permettere ad un

operatore di interagire in tempo reale con uno o più parametri qualsiasi della rappresentazione grafica.

Nel caso di interattività si ha necessità di hardware particolari (schede grafiche e processori potenti,

memoria) e di modelli semplificati di resa grafica (le applicazioni interattive non sono, in genere,

fotorealistiche).

Viceversa, la grafica non interattiva può raggiungere elevati qualità dell’immagine richiedendo tempo di

elaborazione.

Il video controller

Il video controller è il componente hardware responsabile di trasformare le informazioni grafiche (digitali)

in impulsi elettrici (analogici).

Tecnologia vettoriale

I primi dispositivi di output grafico basati sull’uso di monitor CRT (Cathode Ray

Tube, tubo a raggi catodici), utilizzavano tecnologia vettoriale: in questi dispositivi il

fascio di elettroni si muove liberamente da una posizione ad un’altra, guidato dal

computer, secondo l’ordine dei comandi di display; durante lo spostamento il fascio

può essere attivo o meno per cui, rispettivamente, viene modificata o meno

l’immagine sullo schermo. La tecnologia vettoriale utilizza questa tecnica detta

random scan (scansione casuale).

Tecnologia raster

Il termine raster è sinonimo di matrice: nella grafica raster ogni immagine viene

rappresentata tramite una matrice di elementi (pixel) ognuno dei quali corrisponde

ad una precisa posizione dell’immagine. L’elaborazione dell’immagine è basata su

matrici di pixel memorizzate in un’apposita area di memoria (frame buffer) della

CPU o in un’altra memoria separata. Il contenuto del frame buffer è chiamato

pixmap (da pixel map) o bitmap. La risoluzione del frame buffer (numero di bit

memorizzabili) determina la qualità dell’immagine memorizzata.

1. Valutazione della posizione

della telecamera

2. Riconoscimento degli

elementi

3. Generazione immagine

virtuale

4. Posizionamento immagine

virtuale




L’immagine complessiva su un display di tipo raster si ottiene effettuando una scansione sistematica

(raster scan) della matrice di pixel attraverso il fascio di elettroni scorrendo sequenzialmente linee di

scansione orizzontali composte da righe di pixel e regolando l’intensità del fascio in modo da riflettere

l’intensità di ciascun pixel. Ogni volta che un fascio completa un ciclo di scansione, il CRT è refreshed.

I vantaggi della tecnologia raster rispetto a quella vettoriale consistono in costi inferiori, possibilità di

visualizzare aree piene di colore e disegni, tuttavia la natura intrinsecamente discreta della

rappresentazione tramite matrici di pixel richiede una conversione delle primitive grafiche in matrici di

pixel che meglio le rappresentano (scan conversion), inoltre le linee curve possono apparire frastagliate.

Monitor CRT

La struttura del tubo catodico deriva direttamente dal diodo a catodo

freddo, a sua volta derivato dal tubo di Crookes, a cui è aggiunto uno

schermo rivestito di materiale fluorescente, anche chiamato tubo di

Braun.

Il catodo è un piccolo elemento metallico riscaldato all'incandescenza

che emette elettroni per effetto termoionico. All'interno del tubo

catodico, in cui è stato praticato un vuoto spinto, questi elettroni

vengono diretti in un fascio (raggi catodici) per mezzo di una elevata

differenza di potenziale elettrico tra catodo e anodo, con l'aiuto di

altri campi elettrici o magnetici opportunamente disposti per

focalizzare accuratamente il fascio. Il raggio (detto anche pennello

elettronico) viene deflesso dall'azione di campi magnetici (Forza di

Lorentz, deflessione magnetica) o campi elettrici (deflessione

elettrostatica) in modo da arrivare a colpire un punto qualunque sulla

superficie interna dello schermo, l'anodo. Questa superficie è rivestita

di materiale fluorescente (detti fosfori, in genere metalli di transizione oppure terre rare) che eccitato

dall'energia degli elettroni emette luce.

Monitor LCD

L'LCD è basato sulle proprietà ottiche di particolari sostanze

denominate cristalli liquidi. Tale liquido è intrappolato fra due

superfici vetrose provviste di numerosissimi contatti elettrici con i

quali poter applicare un campo elettrico al liquido contenuto. Ogni

contatto elettrico comanda una piccola porzione del pannello

identificabile come un pixel (o subpixel per gli schermi a colori), pur

non essendo questi ultimi fisicamente separati da quelli adiacenti

come avviene invece in uno schermo al plasma. Sulle facce esterne

dei pannelli vetrosi sono poi posti due filtri polarizzatori disposti su

assi perpendicolari tra loro. I cristalli liquidi torcono di 90° la

polarizzazione della luce che arriva da uno dei polarizzatori,

permettendole di passare attraverso l'altro.

Prima che il campo elettrico sia applicato, la luce può passare

attraverso l'intera struttura, e, a parte la porzione di luce assorbita

dai polarizzatori, l'apparecchio risulta trasparente. Quando il campo elettrico viene attivato le molecole del

liquido si allineano parallelamente al campo elettrico, limitando la rotazione della luce entrante. Se i

cristalli sono completamente allineati col campo, la luce che vi passa attraverso è polarizzata

perpendicolarmente al secondo polarizzatore, e viene quindi bloccata del tutto facendo apparire il pixel

non illuminato. Controllando la torsione dei cristalli liquidi in ogni pixel, si può dunque regolare quanta

luce far passare. Si noti però che in questo modo un pixel guasto apparirà sempre illuminato. In realtà

Sezione schematica di un tubo a raggi

catodici monocromatico

1) Controllo della griglia

2) Anodo

3) Bobina deflettrice

4) Riscaldatore

5) Catodo

6) Fascio di elettroni

7) Bobina di messa a fuoco

8) Schermo fluorescente

Componenti di un LCD twisted nematic

riflettivo

1) Polarizzatore verticale

2) Schermo di vetro con maschera delle

zone scure

3) Strato con i cristalli liquidi

4) Strato di vetro con elettrodi

5) Polarizzatore orizzontale

6) Superficie riflettente




alcune tipologie di pannelli funzionano all'opposto, cioè sono trasparenti quando accesi ed opachi quando

spenti per cui un pixel guasto resta sempre opaco.

Monitor LED

OLED è l'acronimo di Organic Light Emitting Diode ovvero diodo organico a emissione di luce.

Tecnologia che permette di realizzare display a colori con la capacità di emettere luce propria: a differenza

dei display a cristalli liquidi, i display OLED non richiedono componenti aggiuntivi per essere illuminati (i

display a cristalli liquidi vengono illuminati da una fonte di luce esterna), ma producono luce propria;

questo permette di realizzare display molto più sottili e addirittura pieghevoli e arrotolabili, e che

richiedono minori quantità di energia per funzionare.

A causa della natura monopolare degli strati di materiale organico, i display OLED conducono corrente solo

in una direzione, comportandosi quindi in modo analogo a un diodo; di qui il nome di O-LED, per

similitudine con i LED.

I monitor LED presentano una migliore qualità dei colori rispetto ai monitor LCD e hanno durata superiore,

inoltre rendono possibile la realizzazione di schermi sottilissimi.

Pipeline di rendering

La pipeline di rendering descrive come viene effettuato il passaggio di rendering dalla rappresentazione

interna dell’universo virtuale 3D all’immagine masterizzata da visualizzare sul dispositivo bidimensionale.

I video controller si sono evoluti:

prima degli anni ’90, i controller VGA (Video and Graphics Array controller) utilizzavano una

memoria DRAM chiamata frame buffer e un generatore di segnali (RAMDAC) collegato direttamente

al video, erano basati su grafica vettoriale

tra il 1990 e il 1997 si sono aggiunte funzioni ai controller VGA: gestione triangoli, rasterizzazione

triangoli, shading

verso il 2000 si è realizzato un chip integrato che incorpora tutti gli elementi di una pipeline di

rendering: nasce la Graphics Processing Unit (GPU)

dopo il 2005, la GPU si è evoluta implementando aritmetica in virgola fissa e mobile e si sono

realizzate GPU programmabili tramite API di alto livello (OpenGL, Direct3D)

dopo il 2008 i processori sono paralleli e multithread: Streaming Processors (SP) a flusso continuo,

organizzati in Streaming Multiprocessors;

o la memoria è condivisa su due livelli: dentro gli Streaming Multiprocessors tra Streming

Processors e tramite una rete di interconnessione tra gli Streaming Multiprocessors.

Architettura di una GPU unificata

Architettura TESLA

Nvidia GeForce 8800

112 Streaming Processors

14 Streaming Multiprocessors

96 thread per ogni SM

DRAM a 64 bit




Programmazione grafica

La programmazione grafica è realizzata su tre livelli:

1. API grafiche: OpenGL, Direct3d

Si tratta di API di alto livello che definiscono logicamente le pipeline di rendering: l’applicazione si

sviluppa definendo i vari stadi con primitive di alto livello e i dettagli sono nascosti agli sviluppatori

e gestiti dalle API

2. Linguaggi di shading: GLSL, HLSL, Ch

Gestiscono tre tipi di shader:

o Shader dei vertici: mappano la posizione dei vertici dei triangoli nello

schermo, modificano posizione, colore e orientamento

o Schader delle geometrie: lavorano sulla base di primitive geometriche definite

come insiemi di vertici, le modificano e ne aggiungono

di nuove

o Shadere dei pixel (o dei frammenti): dipingono i pixel sullo schermo e gestiscono artefatti

visivi

Gli shader sono “programmati a flusso continuo” cioè su sequenze ininterrotte di dati, le strutture

dati su cui operano consentono un elevato parallelismo e quindi possono essere lanciati più thread

dello stesso shader.

3. API di programmazione diretta dei core SP: CUDA, OpenCL

Si tratta di API di programmazione general purpose su GPU (GPGPU), tramite il loro utilizzo il

problema viene parallelizzato sull’architettura: il programmatore CUDA, ad esempio, scrive una

procedura detta kernel che istanzia tante esecuzioni di thread paralleli, i thread sono organizzati

gerarchicamente in blocchi mono, bi o tridimensionali organizzati in griglie anch’esse mono, bi o

tridimensionali; il mapping dipende dai core SP disponibili ed è scelto dal programmatore.




Model and view

transformations

Lighting

Projection

Clipping

Screen mapping

Fragment

generation

Texture mapping

and shading

Z-Buffer

Blending

La pipeline di rendering

La pipeline di rendering si suddivide in due parti:

1. Sottosistema geometrico: porta la geometria del modello nelle coordinate dello schermo

2. Sottosistema raster: accende i pixel dello schermo con il giusto colore in funzione della geometrica,

dell’illuminazione e delle texture.

Queste due parti sono affidate, nei sistemi programmabili, a due shader:

1. Vertex shaker: calcola le trasformate geometriche per ogni vertice del modello

2. Pixel (Fragment) shader: calcola il colore per ogni pixel.

Sottosistema geometrico

Model and view transformation

Agli oggetti, definiti nel loro sistema di coordinate (object space)

vengono applicate le trasformazioni di modellazione che portano il

modello nel sistema comune del mondo da rappresentare (world space),

successivamente vengono applicate le trasformazioni per ottenere le coordinate

degli oggetti dal punto di vista dell’osservatore.

Lighiting

Projecton

Tutto ciò che si trova all’interno del volume di vista (view frustum) viene proiettato; il view frustum viene

così trasformato in un cubo di lato unitario (normalized device coordinates).

Clipping

Le primitive geometriche al di fuori del cubo ordinario (fuori dal volume di vista)

sono scartate e non proseguono l’elaborazione; quelle che intersecano il cubo sono

modificate secondo l’intersezione.

Screen mapping

La scena viene infine mappata sulle coordinate dello schermo (screen space).

Applicazione

grafica (CPU)

Sottositema

geometrico

Sottosistema

raster Frame buffer Frame buffer Display

Pipeline di rendering




Spazi di coordinate

È necessario considerare, in un’applicazione grafica:

uno spazio di coordinate del modello (modeling coordinates)

si tratta dello spazio rispetto al quale ogni singolo oggetto viene modellato

uno spazio di coordinate del mondo (world coordinates system)

descrive in modo unificato l’intero universo dell’applicazione

uno spazio di coordinate del dispositivo (device coordinates system)

è definito dalla periferica utilizzata.

Entità geometriche

Punto - entità geometrica caratterizzata da un solo attributo: la posizione rispetto ad un sistema di

riferimento

Vettore - entità geometrica caratterizzata da due attributi: lunghezza e direzione

Lunghezze e angoli sono espresse mediante scalari.

Le trasformazioni geometriche sono gli strumenti che permetto di manipolare punti e vettori all’interno

del mondo dell’applicazione grafica, esse sono funzioni che mappano un’entità in un’altra entità.

La trasformazione di una primitiva geometrica si riduce alla trasformazione dei punti caratteristici (vertici)

che la identificano nel rispetto della connettività originale (trasformazioni affini).

Trasformazioni geometriche affini

Sono trasformazioni lineari:

che preservano:

- collinearità: i punti di una linea giacciono ancora su una linea dopo la trasformazione

- rapporto tra le distanze: il punto medio di un segmento rimane il punto medio di un segmento

anche dopo la trasformazione

Le trasformazioni geometriche permettono di traslare, ruotare, scalare o deformare oggetti che siano stati

modellati nel loro spazio di coordinate permettendo di istanziarli nel modello con attributi (posizione,

orientamento, fattori di scala) diversi nello spazio di coordinate del mondo (permettono il passaggio dal

sistema di coordinate locali al sistema di coordinate del mondo).

Ogni oggetto, a partire dal proprio sistema di riferimento, viene trasformato opportunamente in un sistema

di riferimento comune per entrare a far parte della scena finale.

Trasformazioni geometriche nel piano

Trasformazioni di base:

Traslazione

Traslare una primitiva geometrica nel piano significa muovere ogni suo punto P(x,y) di dx

unità lungo l’asse

x e di dy

unità lungo l’asse y fino a raggiungere una nuova posizione P(x’,y’) dove x’ = x + dx

e y’ = y + dy

In notazione matriciale:




Scalatura

Scelto un punto C (fisso) di riferimento, scalare una primitiva geometrica significa riposizionare rispetto a C

tutti i suoi punti in accordi a fattori di scala sx

(lungo l’asse x) e sy

(lungo l’asse y) scelti.

Se il punto fisso è l’origine O degli assi, la trasformazione di P in P’ si ottiene con x’ = sx

∙ x y’ = sy

∙ y

In notazione matriciale (S pre-moltiplica P in quanto P è definito come vettore colonna):

Osservazioni:

fattori di scala inferiori a 1 avvicinano l’oggetto al punto fisso di riferimento

fattori di scala superiori a 1 lo allontanano

se sx

≠ sy

le proporzioni dell’oggetto non sono mantenute e si parla di scalatura non uniforme

se sx

= sy

le proporzioni dell’oggetto sono mantenute e si parla di scalatura uniforme

Rotazione

Fissato un punto C (pivot) di riferimento ed un verso di rotazione (orario o antiorario), ruotare una primitiva

geometrica attorno a C significa muovere tutti i suoi punti nel verso assegnato in maniera che si conservi,

per ognuno di essi, la distanza da C.

Una rotazione di θ attorno all’origine O degli assi è definita come:

x’ = x ∙ cos θ – y sen θ e y’ = x ∙ cos θ + y sen θ

la relazione tra P’ e P si ricava trigonometricamente, le coordinate di P possono essere espresse in

coordinate polari: x = r ∙ cos θ y = x ∙ sin θ

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

In notazione matriciale:

Osservazioni:

gli angoli sono considerati positivi quando misurati in senso orario

per le rotazioni di angoli negativi si ricorre alle identità:

cos ( - θ ) = cos ( θ ) sin ( - θ ) = - sin ( θ )

Coordinate omogenee

Le trasformazioni geometriche possono essere applicate in sequenza di una somma di vettori (traslazione)

e di moltiplicazioni (scalatura e rotazione) rende disomogenea la concatenazione di trasformazioni:

Il punto P di coordinate ( x, y ) è rappresentato, in coordinate omogenee come ( xh

, yh

, w ), dove:

x = xh

/ w y = yh

/ w w ≠ 0

Due punti di coordinate ( x, y, w ) e ( x’, y’, w’ ) rappresentano lo stesso punto del piano se e solo se le

coordinate di uno sono multiple delle corrispondenti coordinate dell’altro.




Quanto w = 1 (forma canonica), coordinate cartesiane ed omogenee coincidono.

Con ( x, y, w ≠ 0 ) si rappresentano punti. Con ( x, y, 0 ) si rappresentano vettori.

Trasformazioni di base in coordinate omogenee

∙

∙

∙

Altre trasformazioni comuni (ma derivabili dalle precedenti):

∙

∙

∙

Deformazione (shear)

∙

∙

∙

Composizione di trasformazioni

La rappresentazione in coordinate omogenee permette la concatenazione di trasformazioni. Le

trasformazioni geometriche non sono, generalmente, commutative, per questo motivo l’ordine con cui

vengono applicate non è ininfluente.

La corretta sequenza delle trasformazioni T1

, T2

, T3

, T4

si ottiene componendo T = T4

∙ T3

∙ T2

∙ T1

L’immagine a fianco mostra un esempio di non commutatività

della composizione di trasformazioni: una traslazione e una

Dalle relazioni

x’ = x + ay e y’ = y + bx

si evince che la deformazione lungo l’asse

x è linearmente dipendente dalla

coordinata y e la deformazione in y è

strettamente correlata all’ascissa del

punto




rotazione attorno all’origine, se applicate in ordine diverso, realizzano un esito differente.

Una rotazione oraria di un angolo θ attorno ad un punto P generico è una composizione di:

una traslazione che sposta P nell’origine degli assi

una rotazione attorno all’origine

una traslazione opposta alla prima che riporta P alla sua posizione originale:

∙

∙

Una trasformazione di scalatura attorno ad un punto P generico è una composizione di:

una traslazione che sposta P nell’origine degli assi

una trasformazione di scala attorno all’origine

una traslazione opposta alla prima che riporta P alla sua posizione originale:

∙

∙




Trasformazione Window to viewport

Si tratta di una delle trasformazioni più comuni che il sistema grafico deve realizzare: quella dalle

coordinate del mondo a quelle del dispositivo di output; al termine del rendering si ottengono sempre

valori nel sistema di coordinate dello schermo (device coordinate system).

Si effettua definendo una porzione rettangolare del mondo (window) e mappandola su un rettangolo dello

schermo (viewport).

Definiti window e viewport si deve calcolare la trasformazione che effettua tale mapping tramite una

matrice definita in tre stadi:

1. la window è traslata nell’origine del sistema di coordinate

2. la dimensione della window è scalata sino ad essere uguale alla dimensione della viewport

3. la viewport è traslata nella posizione finale nel sistema di coordinate del dispositivo.

La matrice che realizza tale trasformazione è:

∙

∙




Trasformazioni 3D

Come tutte le trasformazioni nel piano possono essere rappresentate (in coordinate omogenee) da matrici

3x3, le trasformazioni nello spazio possono essere rappresentate da matrici 4x4.

Nello spazio un punto in coordinate omogenee è rappresentato da una quadrupla (x, y, z, w).

Traslazione

Scalatura

La rotazione 3D è descritta da una matrice più complessa: ogni rotazione 3D può essere ottenuta come

composizione di 3 rotazioni attorno ai 3 assi:

Rotazione intorno all’asse x

Rotazione intorno all’asse y

Rotazione intorno all’asse z

Nel caso più generale, una volta fissato l’asse di rotazione e l’angolo di rotazione, la trasformazione può

essere effettuata applicando i cinque passi seguenti:

1. l’oggetto è traslato in maniera tale che l’asse di rotazione passi per l’origine degli assi cartesiani

2. l’oggetto è ruotato in maniera tale che l’asse di rotazione coincida con uno degli assi cartesiani

3. l’oggetto è ruotato nel verso e per la quantità angolare richiesta

4. l’oggetto è ruotato in maniera inversa rispetto alla rotazione effettuata al passo 2 in modo tale che

l’asse di rotazione assuma la direzione finale

5. l’oggetto è traslato in maniera inversa rispetto alla traslazione effettuata al passo 1 in modo tale

che l’asse di rotazione sia riprtata alla sua posizione iniziale.




Il processo di vista in 3 dimensioni

Le proiezioni

Una proiezione è una trasformazione geometrica con il dominio di uno spazio di dimensione n ed il

codominio in uno spazio di dimensione n-1 (o minore).

Una proiezione di un oggetto 3D è definita da un insieme di rette

parallele (proiettori) aventi origine comune da un centro di

proiezione, che passano per tutti i punti dell’oggetto e

intersecano un piano di proiezione per formare la proiezione vera

e propria.

In queste proiezioni, dette proiezioni geometriche piane:

- i proiettori sono rette (potrebbero essere curve generiche)

- la proiezione è effettuata su un piano (potrebbe essere

una superficie generica).

Le proiezioni geometriche piano possono essere categorizzate in:

proiezioni prospettiche: la distanza tra il centro di

proiezione e il piano di proiezione è finita

parallele: la distanza tra il centro di proiezione e il piano di

proiezione è infinita

Proiezioni prospettiche

Le proiezioni prospettiche sono più realistiche in quanto

riproducono il modo con cui nella realtà sono visti gli oggetti:

oggetti più vicini appaiono più grandi e viceversa.

La proiezione di ogni insieme di linee parallele non parallele al piano di proiezione, converge in un punto

detto vanishing point (punto di convergenza). Il numero di questi punti è infinito, come il numero di

possibili direzioni di fasci di rette parallele.

Se l’insieme di linee parallele è a sua volta parallelo ad uno degli assi coordinati, il punto di convergenza si

chiama axis vanishing point. Possono esiste al massimo tre axis vanishing point.

Le proiezioni si possono classificare in base al numero di vanishing point principali (numero di assi del

sistema di coordinate che intersecano il piano di proiezione).

1 punto di fuga 2 punti di fuga 3 punti di fuga

Proiezioni prospettiche

Proiezioni parallele




Proiezioni parallele

Le proiezioni parallele, utilizzate nel disegno tecnico per poter effettuare misurazioni sul risultato della

proiezione stessa, mantengono le linee parallele del modello tridimensionale.

Queste proiezioni si classificano in base alla relazione tra la direzione di proiezione e la normale al piano di

proiezione: se la direzione di proiezione coincide con la normale si parla di proiezioni ortografiche,

altrimenti si parla di proiezioni oblique.

Proiezioni ortografiche

Proiezioni ortografiche assonometriche:

proiezioni ortografiche con l’asse di proiezione non allineata con una delle assi principali

Proiezione (assonometria) isometrica: la direzione di proiezione è identificata da una delle bisettrici degli

ottanti dello spazio cartesiano




Proiezioni oblique:

tipo più generale di proiezioni parallele, caratterizzate dal fatto che i proiettori possono formare un angolo

qualsiasi con il piano di proiezione; i più frequenti casi di proiezione obliqua sono:

la proiezione Cavaliera, in cui la direzione di proiezione forma un angolo di 45° con il piano di proiezione e

quindi le linee ortogonali al piano conservano la loro lunghezza

la proiezione Cabinet, in cui la direzione forma un angolo di arctan(2) = 63.4°, e quindi le linee

perpendicolari al piano hanno lunghezza pari alla metà di quella reale

Proiezioni planari

geometriche

Parallele

Ortografiche

Dall'alto Di fronte Laterali Assono-

metriche

Isometriche

Altre

Oblique

Cavaliere

Cabinet

Altre

Prospettiche

1 punto di fuga

2 punti di fuga

3 punti di fuga




I parametri della vista 3D

La vista in 3 dimensioni non è definita unicamente dalla proiezione ma anche dal volume di vista, cioè dalla

regione dello spazio tridimensionale che include solamente gli oggetti visibili. Proiezione e volume di vista

forniscono tutte le informazioni necessarie per clippare e proiettare.

Le entità fondamentali nella sintesi automatica di scene 3D sono gli oggetti sintetici che descrivono la

scena e un osservatore che definisce il punto di vista, la direzione di osservazione e l’angolo di vista

ovvero la porzione di scena inquadrata.

La metafora più utilizzata per la descrizione delle relazioni osservatore-scena è quella della macchina

fotografica virtuale (synthetic camera). Si tratta di un apparecchio fotografico molto semplice costituito da

un parallelepipedo con un foro di diametro infinitesimo (pinhole camera) sulla faccia anteriore tramite il

quale, sulla faccia posteriore coincidente con la pellicola

fotografica, si formano le immagini. I raggi luminosi

attraversano il foro e impressionano la pellicola

riproducendo un’immagine ruotata di 180° dell’oggetto

fotografato. Le immagini che si formano sono nitide,

senza problemi di luminosità; l’angolo θ di vista può

essere modificato variando il rapporto tra la distanza focale d

(dimensione della scatola) e la dimensione h del piano dell’immagine.

Dalla relazione di similitudine tra i due triangoli che si formano si può

ricavare che il generico punto P = ( x, y, z ) della scena avrà

coordinate

P = ( xp

, yp

, -d ) sul piano dell’immagine dove:

Per convenzione si assume l’esistenza di un piano virtuale di

identiche dimensioni del piano di proiezione posto a distanza d

dal centro di proiezione.




Definire i parametri di una vista sintetica

Mondo reale Passo Con l’utilizzo del computer

Disporre gli

oggetti da

fotografare nella

scena

1

Impostare la modelling transformation

Consiste nella definizione degli oggetti della scena in un sistema di coordinate

conveniente e nella loro trasformazione nel sistema di coordinate del mondo.

Sistemare la

macchina

fotografica

2

Impostare la viewing transformation

Consiste nel definire il volume che contiene gli oggetti visibili, ovvero il

poliedro individuabile dal rettangolo che ne costituisce la sezione e dalle

quattro rette che passano attraverso i vertici del rettangolo.

Per le proiezioni prospettiche il volume è una piramide semi-infinita con vertice

nel PRP e spigoli che passano attraverso i vertici della finestra sul piano di

vista.

Per limitare il numero di primitive proiettate il volume di vista deve essere

finito e limitato tramite un front clipping plane e un back clipping plane

paralleli al piano di vista con VPN come normale; essi sono specificati da una

front distance (F) e una back distance (B).

Scegliere una

lente o

aggiustarlo zoom

3

Impostare la projection transformation

Il piano di proiezione (o piano di vista) è definito da un punto sul piano (detto

view reference point, VRP) e dalla normale al piano in questo punto (detta view

plano normal, VPN); il piano di vista può trovarsi ovunque rispetto agli oggetti

del mondo che devono essere proiettati (davanti, dietro o tra gli oggetti).

Il centro di proiezione (COP) e la direzione di proiezione (DOP) sono definiti da

un projection reference poiint (PRP); se la proiezione è di tipo prospettiva il PRP

coincide con il centro di proiezione; se la proiezione è di tipo parallelo, la

direzione di proiezione va dal PRP al centro della finestra.




Mondo reale Passo Con l’utilizzo del computer

Scegliere la

dimensione dalla

foto 4

Impostare la viewport transformation

Si deve definire un sistema di coordinate (u, v, n) detto 3D viewing coordinate

system, VRC con origine in VRP; l’asse v è definito per proiezione del view-up

vector VUP sul piano di vista; l’asse u è ortogonale agli altri due ed è scelto in

modo da formare un sistema di coordinate right-handed; il contenuto della

finestra sul piano di vista sarà mappato sulla viewport e qualunque parte del

mondo 3D proiettata sul piano di vista, ma fuori dalla finestra, non sarà

visualizzata.

Il contenuto del volume di vista deve essere mappato sulla superficie del

dispositivo di output, per farlo deve essere trasformato da coordinate del

mondo a coordinate normalizzate di proiezione (normalized projection

coordinates, NPC): il volume di vista viene trasformato in un volume canonico

in nuove coordinate, il risultato è mappato sul 3D viewport; disegnano le

primitive ignorando la z, si ottiene l’immagine da mandare al display.

Matematica delle proiezioni

∙

∙

∙ ∙

∙

∙

∙

∙

Clipping

Fare il clipping in coordinate nel mondo (WC) è molto oneroso; pertanto si

effettua prima la normalizzazione (riduzione del volume di vista ad un volume

canonico).

Esistono due volumi canonici, si effettua la moltiplicazione per le matrici di

normalizzazione, poi si effettua il clipping, poi la proiezione ed infine si porta

alle coordinate del dispositivo.




Sottosistema raster

Il sottosistema raster si occupa di passare dalla proiezione continua in screen space ai pixel dell’immagine

visualizzata. Si parla più precisamente di frammenti poiché alcuni di essi diverranno parte dell’immagine

finale e altri no. I frammenti sono pixel potenziali.

Il sottosistema raster si occupa inoltre di rimuovere le superfici nascoste (Z-buffer) e applicare le texture.

Nei sistemi moderni la funzione di illuminazione è deferita dal sottosistema geometrico al sottosistema

raster.

La rasterizzazione è legata a tutto ciò che comporta il prendere una decisione sul colore di un pixel da

accendere sullo schermo; costituisce la parte finale della pipeline di rendering (è solitamente inserita nel

ciclo dell’algoritmo scan-line) ed è affidata al fragment (o pixel) shader che determina se le proprietà di

colore di un pixel possono essere propagate ad un intero frammento di linea di scansione in modo da

applicare gli algoritmi coinvolti in parallelo.

Algoritmi

Algoritmi per il drawning (tracciamento di primitive 2D ed eventuali proiezioni di primitive 3D)

o DDA

o Midpoint

Algoritmi per il filling (riempimento di una figura chiusa con un colore solido, sfumatura,

trama, trasparenza tra più colori, …)

Algoritmi per il clipping (troncamento di una linea rispetto ad altre linee presenti: poligoni che

si occludono, bordi esterni dell’immagine ovvero del front pane del

volume di vista mappato sullo schermo)

o Cohen-Sutherland

Antialiasing (riduzione dell’effetto di sotto-campionamento dell’immagine generata

dovuto alla risoluzione spaziale fissa data dalla dimensione dei pixel)

o Unweighted Area Sampling

o Weighted Area Sampling

Drawing

Per tracciare un segmento di retta all’interno della griglia di pixel che hanno distanza unitaria in ascissa e

ordinata, l’algoritmo di drawing deve individuare le coordinate dei pixel che giacciono sulla linea ideale o

che sono il più vicino possibile ad essa: la sequenza di pixel deve approssimare al meglio il segmento; lo

spessore minimo del segmento masterizzato risulterà uguale ad un pixel.

Per coefficienti angolari minori o uguali ad 1, la rasterizzazione presenta un pixel per ogni colonna; per

coefficienti angolari maggiori di 1, la rasterizzazione presenta un pixel per ogni riga.




Algoritmo DDA (digital differential analyzer)

Regola:

e e

e e

Algoritmo:

calcola m = ( y1 – y0 ) / ( x1 – x0 )

se |m| <= 1 allora

y := y0

ripeti per x = x0; x <= x1; x++

accendi il punto ( x, round(y) )

y += m

altrimenti

x := x0

ripeti per y = y0; y <= y1; y99

accendi il punto ( round(x), y )

x += ( 1 / m )

Algoritmo di Bresenham (midpoint)

L’algoritmo di Bresenham (algoritmo del punto di mezzo) risolve il problema dell’errore introdotto dall’uso

di aritmetica floating point nell’algoritmo DDA: fa uso unicamente di operazioni in aritmetica intera. Si

tratta di un algoritmo di tipo differenziale: fa uso delle informazioni calcolate per individuare il pixel al

passo i per individuare il pixel al passo i + 1.

L’idea di base di questo algoritmo è di individuare, passo dopo passo, il pixel più vicino all’effettivo punto

Q di intersezione tra la retta e l’ascissa x = xp

+ 1 corrispondente al successivo punto da accendere. Ad

ogni passo i candidati sono solo i due pixe E ( xp

+ 1, yp

) e NE ( xp

+ 1, yp

+ 1 ) (assumendo m > 1 per

semplicità).

Per scegliere il punto si valuta il passaggio della retta, espressa nella

forma implicita F ( x , y ) = ax + by + c = 0 nel punto medio

M ( xp

+ 1 , yp

+ ½ )

Algoritmo:

ripeti per ogni punto da accendere

se F ( M ) > 0 //la retta passa sopra M

accendi NE

altrimenti // F ( M ) <= 0, la retta passa per M

// oppure sotto M

accendi E




L’implementazione è incrementale; considerando l’equazione della retta in forma implicita:

è possibile ottenere la forma esplicita: ∙ ∙ ∙

Si definisce una variabile di decisione d:

Per d > 0 si accenderà NE, mentre per d 0 si accenderà E.

L’algoritmo consiste nel calcolare, incrementalmente, solo la variabile di decisione:

se ad un certo passo p+1 si accende il pixel E, allora il nuovo valore della variabile dnew

, noto dold

al passo

precedente p, si ottiene come:

viceversa, se ad un certo passo p+1 si accende il pixel NE, allora il nuovo valore della variabile dnew

, noto dold

al passo precedente p, si ottiene come:

Il processo si inizializza calcolando il valore di partenza: partendo da ( x0

, y0

) si calcola dstart

:

È possibile eliminare la divisione ed utilizzare solo l’aritmetica intera facendo riferimento ad una nuova

variabile di decisione 2d che deve essere confrontata con il valore 0 ad ogni passo:

Algoritmo:

dx := x1 – x0

dy := y1 – y0

dstart := 2dy – dx

deltaE := 2( dy – dx )

deltaNE := 2( dy )

x := x0

y := y0

d := start

ripeti finché x < x1

se d <= 0 allora

d += deltaE

x ++

altrimenti

d += deltaNE

x++

y++

accendi il pixel ( x , y )




Algoritmo Midpoint per circonferenze o ellissi

L’equazione implicita di una circonferenza: F ( x , y ) = x2

+ y2

– R2

= 0

fornisce 2 valori di y per un dato valore di x.

Si calcola allora il midpoint per il primo ottante x ∈ [ 0 , R / √2 ] e poi si

replica per gli altri.

Partendo dal punto di valutazione della circonferenza P = ( xp

, yp

) si

sceglie il successivo pixel da accendere sulla base del punto medio:

M ( xp

+ 1, yp

– ½ ) tra i pixel E ed SE di P.

La variabile di decisione è definita come l’equazione implicita della

circonferenza valutata in M:

se F ( M ) > 0 // M giace o è esterno alla circonferenza

accendi SE

altrimenti // F(M) < 0 cioè interno alla circonferenza

accendi E

Allo stesso modo di come si calcolano gli incrementi per le rette, si possono calcolare i due incrementi

della variabile di decisione al generico passo p + 1, noto il valore dold della variabile di decisione al passo,

nei due casi in cui venga accesso il pixel E o SE. Nel caso di accensione, al passo p, di E:

Mentre nel caso di accensione di SE:

dstart

è valutato nel punto ( 0 , R ) che è l sommità dell’ottante (per mantenere l’uso dell’aritmetica intera si

considera h = d – ¼ hstart

= 1 – R; h si confronta sempre con 0):




Algoritmo:

void MidpointCirlce (int radius, int value)

// si assume che il centro della circonferenza sia all’origine

// si utilizza solo l’aritmetica intera

{

int x = 0;

int y = radius;

int d = 1 – radius;

circlePoints(x, y, value);

while (y > x)

{

if (d < 0) /* select E */

d += 2 * x + 3;

else /* select SE */

{

d += 2 * (x – y) + 5;

y—-;

}

x++;

circlePoints(x, y, value);

}

}

Per quanto riguarda le ellissi, l’algoritmo è lo stesso a meno del valore della F ( x , y ); inoltre, per ogni

quadrante, si individuano due regioni separate dal punto in cui il vettore di gradiente F è inclinato a 45°,

esse differiscono per i punti candidati all’accensione ad ogni passo.

Filling

L’algoritmo di filling opera incrementalmente sulle scan-line: una

volta effettuato il filling del poligono su una scan-line, l’algoritmo

sfrutta le informazioni travate per aggiornare incrementalmente le

intersezioni e fare il filling sulla scan-line successiva.

Per ogni scan-line:

Devono essere individuate le intersezioni della scan-line con tutti gli spigoli del poligono

Si devono ordinare le intersezioni sulla coordinata x

Si devono selezionare tutti i pixel, tra coppie di intersezioni, che sono interni al poligono.

Per la determinazione dei pixel interni (per determinare se un pixel appartiene ad un poligono), si usa la

regola di odd-parity: si utilizza un bit (flag) di parità che può assumere valore pari o dispari; la parità è

inizialmente pari, ogni intersezione cambia il bit di parità, se il bit è dispari allora i pixel fanno parte del

poligono, viceversa se è pari.




Devono essere considerati quattro casi distinti:

1. Intersezione su un generico valore x non

intero

Effettuando lo scan-line, se si incontra

l’intersezione provenendo da dentro il

poligono (parity bit dispari), si arrotonda

all’intero inferiore; viceversa si arrotonda

ll’intero superiore

2. Intersezione su un generico valore x di coordinate intere

L’intersezione a coordinate intere all’estremo sinistro della linea di pixel

è interna al poligono, all’estremo destro è invece esterna al poligono

3. Intersezione in un vertice (sempre coordinate intere)

Nel calcolo del parity bit si considera solo il vertice con y minima e non

quello con y massima

4. Vertici che definiscono uno spigolo orizzontale

I vertici di una linea orizzontale non influiscono sul parity bit, in modo

automatico (vedi caso 3) i lati orizzontali bassi del poligono sono

disegnati, mentre quelli alti sono omessi.

Clipping

L’operazione di clipping consiste nell’individuare e rimuovere le primitive grafiche, o parti di esse, esterne

alla viewport o nascoste da altri elementi. Si tratta di un problema intrinsecamente legato al 3D, ma si

verifica anche nel 2D quando bisogna determinare l’estensione di curve proiettate sullo schermo.

Clipping di un punto

Un punto è all’interno del rettangolo di clipping se e solo se sono

soddisfatte 4 disuguaglianze:




Clipping di un segmento

Per effettuare il clipping di un segmento è necessario analizzare le posizioni dei suoi punti estremi:

se sono entrambi all’interno del rettangolo di clipping, il segmento è interno

se un estremo è interno e l’altro esterno, allora il segmento interseca il rettangolo di clipping ed è

necessario determinare l’intersezione

se entrambi gli estremi sono esterni al rettangolo si rende necessaria un’analisi ulteriore per

individuare le eventuali parti interne del segmento che può

o essere completamente esterno all’are di clipping

o attraversare l’area di clipping.

Ad esempio, nella figura sono rappresentati alcuni

segmenti:

AB: interno

CD: interseca l’area di clipping

EF e IJ: entrambi i punti estremi sono esterni all’area di

clipping e tutto il segmento è esterno

GH: entrambi i punti estremi sono esterni all’area di

clipping ma il segmento interseca l’area di clipping

Un approccio diretto alla soluzione del problema dei punti estremi esterni, consiste nel determinare le

intersezioni tra la retta su cui giace il segmento e le quattro rette su cui giacciono i lati del rettangolo di

clipping: una volta individuati i punti di intersezione occorre verificare l’effettiva appartenenza al

rettangolo di clipping.

Le intersezioni si determina mediante l’equazione parametri dei segmenti relativi:

∈

Per ogni coppia segmento-lato di rettangolo si risolve il sistema di equazioni parametriche che definiscono

il segmento in funzione di tsegm

ed il lato in funzione di tlato

. Se entrambi assumono valori nell’intervallo [0,1]

allora l’intersezione appartiene al segmento ed al rettangolo di clipping. L’eventuale parallelismo va

verificato prima di determinare l’intersezione.

Tuttavia questo tipo di algoritmo è costo e inefficiente.




Algoritmo di Cohen-Sutherland

L’idea di base di questo algoritmo consiste nel fatto che le rette che delimitano il rettangolo di clipping

suddividono il piano in nove regioni; ad ogni regione viene associato un codice numero di quattro cifre

binarie:

bit 1: sopra edge alto y > ymax

bit 2: sotto edge basso y < ymin

bit 3: a destra edge destro x > xmax

bit 4: a sinistra edge sinistro x < xmin

Il clipping di un segmento prevede la codifica dei suoi estremi sulla base delle regioni di appartenenza ed il

confronto:

1. se il codice di entrambi gli estremi è 0000 (OR logico), allora si può

assumere che il segmento è interamente interno al rettangolo di clipping

2. se l’operazione di AND logico tra i codici degli estremi restituisce un

risultato non nullo, allora il segmento è esterno all’area di clipping (gli

estremi giacciono in uno stesso semipiano)

3. se il risultato dell’AND è nullo, allora il segmento potrebbe attraversare

l’area di clipping e si procede come segue:

a. Si individua l’intersezione tra il segmento

ed il lato relativo al primo bit discordante

tra i codici (bit 1, y = ymax

)

b. L’estremo con bit a 1 viene sostituito dal

nuovo vertice

c. Si itera il procedimento

d. Ad ogni iterazione si controlla l’eventuale terminazione del processo (OR logico nullo)

L’algoritmo rimuove progressivamente le parti esterne. Risulta efficiente se molti dei segmenti da

clippare sono completamente esterni al rettangolo di clipping.




Ripeti

Valuta i codici dei due estremi

Se entrambi i codici sono nulli

La linea è totalmente visibile // caso AB

Altrimenti se l’AND bit a bit degli estremi è diverso da 0

La linea è totalmente invisibile // caso CD: si tratta di

// linee che sono tutte in una

// delle 4 regioni definite dai

// bit del codice perché gli

// estremi hanno un bit 1 nella

// stessa posizione)

Altrimenti

Si considera il primo estremo con codice diverso da 0

// caso EF e IL: se un estremo ha codice pari a 0

// allora è visibile

Si effettua l’intersezione con la retta corrispondente al

primo bit 1 del codice // punto H in EF e punto M in IL

Si considera il nuovo segmento che va dal punto

intersezione al secondo estremo e si calcola il nuovo

codice per l’intersezione

Finché non ricadi in uno dei due casi banali

Antialiasing

Le tecniche di rasterizzazione producono l’effetto indesiderato di segmenti o bordi di poligoni non

rettilinei ma con “andamento a scaletta”. Tale effetto prende il nome di aliasing e deriva dal fatto che la

frequenza di campionamento (dipendente dalla dimensione del pixel) è troppo piccola rispetto al segnale.

L’aliasing dipende dal numero finito di pixel, dalla posizione prefissata dei pixel, dalla forma e dalla

dimensione prefissate dei pixel.

Aumentando la risoluzione dello schermo (aumentando il

numero di pixel) è possibile attutire l’effetto di aliasing.

Una tecnica di antialiasing consiste nell’approccio unvweighted area sampling (UAS) per vengono accesi

cui tutti i pixel interessati anche marginalmente dal rettangolo che rappresenta analiticamente il segmento

di retta di dato spessore o, più in generale, la striscia che rappresenta la generica linea curva. Ai pixel è

data un’intensità proporzionale in base alla proporzione della loro area interessata dalla linea. Questo

metodo genera un effetto visivo che inganna l’occhio e fa percepire contorni continui e non seghettati.

Quindi:

1. L’intensità di ciascun pixel decresce al crescere della distanza tra il centro del pixel e il bordo

esterno del segmento con spessore

2. L’intensità dei pixel non intersecati dal segmento non è influenzata dalla rasterizzazione del

segmento stesso

3. Porzioni di pixel di uguale superfici danno luogo ad intensità uguali indipendentemente dalla loro

distanza dal centro del pixel stesso.

La tecnica UAS non è apprezzabile da un punto di vista percettivo perché gli estremi della primitiva

tendono a sbordare in quanto pixel molto distanti dal centro della linea, ma con una piccola

sovrapposizione con essa, risultano accesi.




Una tecnica che sopperisce ai difetti dell’UAS tenendo conto anche della distanza del centro del pixel dalla

traccia teorica della primitiva, pensata come priva di spessore, è la tecnica weighted area sampling (WAS).

Entrambe le tecniche seguono lo stesso approccio.

Sia lmax

l’intensità massima di accensione di un pixel in assenza di antialiasing.

Sia L ⊂ R2

l’insieme dei punti della primitiva.

Ogni pixel che ha intersezione non vuota con L sarà acceso con un’intensità l = lmax

* Ws

ottenuto come

filtraggio con un opportuno nucleo di convoluzione W( /, { ) centrato nel pixel p ( xp

, yp

) con una funzione

dA ( x , y ) che esprime l’area ricoperta dalla primitiva.

La modalità WAS, rispetto a quella UAS, le aree di pixel egualmente interessate dalla primitiva non sono in

generale accese con la stessa intensità: i pixel i cui centri sono più vicini al confine teorico della primitiva

sono accesi più intensamente degli altri, a parità di porzione di area interessata. Le estremità della linea,

che sono pixel parzialmente coperti, ma con il centro vicino o interno alla linea stessa, sono accese più

intensamente con WAS e forniscono una impressione visiva di terminazione netta.




OpenGL

Introduzione

Open Graphics Library è una libreria di funzioni per applicazioni che realizzano computer grafica. Si tratta

di una specifica per diverse piattaforme, derivata dall’interfaccia GL (sviluppata per le workstation Silicon

Graphics) progettata per il rendering in tempo reale ad alta velocità.

Assolve due compiti principali:

nascondere la complessità di interfacciamento con acceleratori 3D differenti, rendendo disponibile

un’unica API

nascondere le capacità offerte dai diversi acceleratori 3D, richiedendo che tutte le implementazioni

supportino completamente l’insieme di funzioni OpenGL, ricorrendo ad un’emulazione software se

necessario.

OpenGL rende disponibili primitive (punti, linee, poligoni, …) e ha il compito di convertirle in pixel

attraverso l’esecuzione della pipeline grafica.

OpenGL opera a basso livello: richiede al programmatore i passi precisi necessari per disegnare una scena

e richiedendo una buona conoscenza della pipeline grafica lasciando libertà di implementazione di

algoritmi di rendering specializzati.

Documentazione: http://www.opengl.org/sdk/docs/man/

Le funzioni OpenGL possono essere classificate in base alle loro funzionalità:

Funzioni primitive: definiscono gli oggetti di basso livello che il sistema grafico può

visualizzare: punti, segmenti, poligoni, curve, …

Funzioni attributo: governano il modo in cui le primitive appaiono sullo schermo

Funzioni di visualizzazione: descrivono la posizione e l’orientamento, permettono di fissare la

visualizzazione delle immagini

Funzioni di trasformazione: traslazioni, rotazioni e scalature

Funzioni di input: gestiscono l’interazione con le diverse forme di input che

caratterizzano i sistemi grafici moderni

Funzioni di controllo: permettono la comunicazione con i sistemi window, l’inizializzazione

dei programma, la gestione degli errori

Librerie GLU e GLUT

Connesse alle librerie OpenGL, è possibile utilizzare:

Libreria GLU (Graphics Library Utility)

Usa solo funzioni GL e contiene solo il codice per oggetti comuni (sfere, …) che l’utente preferisce non

scrivere ripetutamente.

Libreria GLUT (Graphics Library Utility Toolkit)

Si occupa della gestione delle interfacce con il sistema window, fornisce le funzionalità minime attese da

qualsiasi sistema moderno di windowing.

Programmazione window-based

I programmi window-based sono controllati dagli eventi: eseguono determinate azioni al verificarsi di

determinati eventi. Il sistema gestisce automaticamente una coda di eventi che memorizza messaggi che

comunicano gli eventi accaduti. Il sistema risponde agli eventi secondo il criterio primo avvenuto, primo

servito.

Le azioni che il sistema esegue quando si verifica un evento sono realizzate tramite callback functions:

ogni evento deve avere la sua callback function.

http://www.opengl.org/sdk/docs/man/




Alcune funzioni per la gestione della window

void glutInit(int *argcp, char **argv);

Inizializza la libreria GLUT.

void glutInitWindowSize(int width, int height);

Inizilizza la dimensione della finestra dello schermo.

void glutInitWindowPosition(int x, int y);

Inizializza la posizione della finestra nello schermo.

void glutInitDisplayMode(unsigned int mode);

Inizializza la modalità di visualizzazione.

mode può assumere i seguenti valori (combinabili in OR logico):

GLUT_RGBA Bit mask to select an RGBA mode window. This is the default if neither GLUT_RGBA

nor GLUT_INDEX are specified.

GLUT_RGB An alias for GLUT_RGBA.

GLUT_INDEX Bit mask to select a color index mode window. This overrides GLUT_RGBA if it is

also specified.

GLUT_SINGLE Bit mask to select a single buffered window. This is the default if neither

GLUT_DOUBLE or GLUT_SINGLE are specified.

GLUT_DOUBLE Bit mask to select a double buffered window. This overrides GLUT_SINGLE if it is

also specified.

GLUT_ACCUM Bit mask to select a window with an accumulation buffer.

GLUT_ALPHA Bit mask to select a window with an alpha component to the color buffer(s).

GLUT_DEPTH Bit mask to select a window with a depth buffer.

GLUT_STENCIL Bit mask to select a window with a stencil buffer.

GLUT_MULTISAMPLE Bit mask to select a window with multisampling support. If multisampling is not

available, a non-multisampling window will automatically be chosen. Note: both

the OpenGL client-side and server-side implementations must support the

GLX_SAMPLE_SGIS extension for multisampling to be available.

GLUT_STEREO Bit mask to select a stereo window.

GLUT_LUMINANCE Bit mask to select a window with a ``luminance'' color model. This model provides

the functionality of OpenGL's RGBA color model, but the green and blue

components are not maintained in the frame buffer. Instead each pixel's red

component is converted to an index between zero and

glutGet(GLUT_WINDOW_COLORMAP_SIZE)-1 and looked up in a per-window color

map to determine the color of pixels within the window. The initial colormap of

GLUT_LUMINANCE windows is initialized to be a linear gray ramp, but can be

modified with GLUT's colormap routines.

int glutCreateWindow(char *name);

Crea una finestra principale. È possibile specificare il titolo della finestra.




int glutCreateSubWindow(int win, int x, int y, int width, int height);

Crea una finestra secondaria all’interno di una finestra principale, specificandone dimensioni e posizione.

void glutSetWindow(int win);

Imposta la finestra attiva.

int glutGetWindow(void);

Individua la finestra attiva.

void glutDestroyWindow(int win);

Elimina dall’esecuzione la finestra desiderata.

void glutPositionWindow(int x, int y);

Sposta la finestra nella posizione desiderata. Se si tratta di una finestra principale la posizione è relativa

allo schermo, se si tratta di una finestra secondaria la posizione è relativa alla finestra principale.

void glutReshapeWindow(int width, int height);

Ridimensiona la finestra e ne ridisegna il contenuto.

void glutFullScreen(void);

Ingrandisce a tutto schermo la finestra attiva.

void glutShowWindow(void);

void glutHideWindow(void);

void glutIconifyWindow(void);

Rispettivamente: visualizza la finestra attiva, nasconde la finestra attiva, riduce ad icona la finestra attiva.

void glutSetWindowTitle(char *name);

void glutSetIconTitle(char *name);

Permettono di modificare il nome e il testo dell’icona della finestra attiva.

void glutSetCursor(int cursor);

Imposta la forma per il cursore del mouse, utilizza le seguenti costanti:

GLUT_CURSOR_RIGHT_ARROW: Arrow pointing up and to the right.

GLUT_CURSOR_LEFT_ARROW: Arrow pointing up and to the left.

GLUT_CURSOR_INFO: Pointing hand.

GLUT_CURSOR_DESTROY: Skull & cross bones.

GLUT_CURSOR_HELP: Question mark.

GLUT_CURSOR_CYCLE: Arrows rotating in a circle.

GLUT_CURSOR_SPRAY: Spray can.

GLUT_CURSOR_WAIT: Wrist watch.

GLUT_CURSOR_TEXT: Insertion point cursor for text.

GLUT_CURSOR_CROSSHAIR: Simple cross-hair.

GLUT_CURSOR_UP_DOWN: Bi-directional pointing up & down.

GLUT_CURSOR_LEFT_RIGHT: Bi-directional pointing left & right.

GLUT_CURSOR_TOP_SIDE: Arrow pointing to top side.

GLUT_CURSOR_BOTTOM_SIDE: Arrow pointing to bottom side.

GLUT_CURSOR_LEFT_SIDE: Arrow pointing to left side.

GLUT_CURSOR_RIGHT_SIDE: Arrow pointing to right side.

GLUT_CURSOR_TOP_LEFT_CORNER: Arrow pointing to top-left corner.

GLUT_CURSOR_TOP_RIGHT_CORNER: Arrow pointing to top-right corner.

GLUT_CURSOR_BOTTOM_RIGHT_CORNER: Arrow pointing to bottom-left corner.

GLUT_CURSOR_BOTTOM_LEFT_CORNER: Arrow pointing to bottom-right corner.

GLUT_CURSOR_FULL_CROSSHAIR: Full-screen cross-hair cursor

GLUT_CURSOR_NONE: Invisible cursor.




GLUT_CURSOR_INHERIT: Use parent's cursor.

Alcune funzioni per la gestione degli eventi

void glutDisplayFunc(void (*func)(void));

Imposta la funzione di callback per la current window

void glutReshapeFunc(void (*func)(int width, int height));

Imposta la funzione di callback per l’evento di ridimensionamento della current window

void glutKeyboardFunc(void (*func)(unsigned char key, int x, int y));

Imposta la funzione di callback per l’evento di pressione di un tasto della tastiera.

key corrisponde al codice ASCII del carattere corrispondente tasto premuto.

x e y indicano la posizione del mouse al momento della pressione del tasto.

void glutSpecialFunc(void (*func)(int key, int x, int y));

Imposta la funzione di callback per l’evento di pressione di un tasto speciale della tastiera.

Sono definite le costanti per l’individuazione del tasto speciale premuto (GLUT_KEY_F1, …,

GLUT_KEY_HOME, …).

void glutMouseFunc(void (*func)(int button, int state, int x, int y));

Imposta la funzione di callback per l’evento di pressione di un pulsante del mouse.

button è valorizzato in base al pulsante premuto (costanti: GLUT_LEFT_BUTTON, GLUT_MIDDLE_BUTTON,

GLUT_RIGHT_BUTTON).

state indica se il pulsante è stato premuto oppure rilasciato (costanti: GLUT_UP, GLUT_DOWN).

x e y indicano la posizione del mouse al momento della pressione del pulsante.

void glutMotionFunc(void (*func)(int x, int y));

void glutPassiveMotionFunc(void (*func)(int x, int y));

Imposta la funzione di callback per l’evento di movimento del mouse, rispettivamente nel caso in cui il

mouse sia mosso con un pulsante premuto o meno.

x e y indicano la posizione del mouse durante il movimento.

void glutIdleFunc(void (*func)(void));

Imposta la funzione di callback idle globale: per effettuare attività in background.

void glutTimerFunc(unsigned int msecs, void (*func)(int value), value);

Imposta una funzione di callback che deve essere eseguita in determinati intervalli di tempo.

void glutMainLoop(void);

Attiva il ciclo degli eventi GLUT: il programma disegna l’immagine iniziale ed entra in attesa di accadimenti

di eventi.




Funzioni per la gestione dei menu

int glutCreateMenu(void (*func)(int value));

Imposta la funzione di callback per la selezione di uno dei valori (item) del menu.

void glutSetMenu(int menu);

int glutGetMenu(void)

Rispettivamente: imposta o ottiene il menu attivo.

void glutDestroyMenu(int menu);

Cancella un menu.

void glutAddMenuEntry(char *name, int value);

Aggiunge una voce di selezione alla lista degli elementi di un menu.

void glutAddSubMenu(char *name, int menu);

Aggiunge una voce di sottomenu alla lista degli elementi di un menu.

void glutChangeToMenuEntry(int entry, char *name, int value);

void glutChangeToSubMenu(int entry, char *name, int menu);

Imposta la voce o il sottomenu selezionati.

void glutRemoveMenuItem(int entry);

Rimuove un elemento del menu corrente (entry specifica il numero dell’elemento da rimuovere partendo

dal 1).

void glutAttachMenu(int button);

void glutDetachMenu(int button);

Collega la visualizzazione del menu corrente, nella finestra corrente, alla pressione di uno dei pulsanti del

mouse (utilizza le costanti: GLUT_LEFT_BUTTON, GLUT_MIDDLE_BUTTON, and GLUT_RIGHT_BUTTON)

Funzioni per il testo

void glutBitmapCharacter(void *font, int character);

Disegna un testo (character) nel font selezionato (*font) in formato bitmap.

I tipi di carattere utilizzabili sono:

GLUT_BITMAP_8_BY_13: font di larghezza fissata con ogni carattere che riempie un

rettangolo di 8x13 pixels

GLUT_BITMAP_9_BY_15: font di larghezza fissata con ogni carattere che riempie un

rettangolo di 9x15 pixels

GLUT_BITMAP_TIMES_ROMAN_10: Font times roman a 10 punti proporzionalmente spaziato.

GLUT_BITMAP_TIMES_ROMAN_24: Font times roman a 24 punti proporzionalmente spaziato.

GLUT_BITMAP_HELVETICA_10: Font Elvetica a 10 punti proporzionalmente spaziato.



int glutBitmapWidth(GLUTbitmapFont font, int character)

Restituisce la larghezza per un testo bitmap nel font selezionato.

void glutStrokeCharacter(void *font, int character);

Disegna un testo (character) nel font selezionato (*font) in formato stroke.




int glutStrokeWidth(GLUTstrokeFont font, int character)

Restituisce la larghezza per un testo stroke nel font selezionato.

I tipi di carattere utilizzabili sono:

GLUT_STROKE_ROMA

GLUT_STROKE_MONO_ROMAN

Funzioni per il colore

void glClearColor(GLfloat red, GLfloat green, GLfloat blue, GLfloat alpha);

Imposta il colore dello sfondo, alpha descrive il grado di trasparenza.

void glClear( GLbitfield mask);

Cancella il buffer e applica il colore di sfondo all’intera finestra.

mask può assumere i valori:

GL_COLOR_BUFFER_BIT: indica i buffer attualmente abilitati per la scrittura di colore

GL_DEPTH_BUFFER_BIT: indica il buffer di profondità

GL_STENCIL_BUFFER_BIT: indica il buffer di stencil.

Funzioni per la definizione di coordinate

Lo spazio delle coordinate del mondo e lo spazio della finestra devono essere correlati tramite funzioni di

traslazione e ridimensionamento) per poter disegnare gli elementi dell’immagine nella viewport.

Deve essere quindi definita una mappatura tra la finestra del mondo (window) e la finestra fisica dello

schermo (viewport). Questo approccio rende più semplice la gestione della visualizzazione di una scena.

La window è espressa in coordinate del mondo.

La viewport è una porzione della finestra sullo schermo.

Ciò che giace nella window viene traslato e ridimensionato per apparire nella viewport.

void gluOrtho2D(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top);

Definisce la window tramite le coordinate del suo angolo basso sinistro e di quello alto destro. Deve essere

preceduta alla funzione glMatrixMode.

void glMatrixMode(GLenum mode);

Definisce quale matrice di trasformazione è utilizzata per le seguenti operazioni.

mode può assumere i seguenti valori:

GL_MODELVIEW: applica alle seguenti operazioni la matrice di modellazione.

GL_PROJECTION: applica alle seguenti operazioni la matrice di proiezione.

GL_TEXTURE: applica alle seguenti operazioni la matrice delle texture.

GL_COLOR: applica alle seguenti operazioni la matrice dei colori.

void glLoadIdentity(void);

Sostituisce l’attuale matrice con la matrice identità.

void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble zNear, GLdouble zFar);

Definisce una prospettiva per la window.

fovy specifica l’angolo di visione, in gradi, nella direzione y

aspect specifica l’angolo di visione nella direzione x (ovvero il rapporto della larghezza rispetto all’altezza)




zNear specifica la distanza tra la telecamere virtuale il piano più vicino

zFar specifica la distanza tra la telecamere virtuale il piano più lontano

void glViewport(GLint x, GLint y, GLsizei width, GLsizei height);

Definisce la viewport tramite le coordinate del suo angolo basso sinistro e di quello alto destro

(specificando larghezza e altezza).

Funzioni primitive per il disegno

void glPointSize(GLfloat size);

Imposta la dimensione di un punto.

void glVertex{D}{T}(GLType red, GLType green, GLType blue[, GLType alpha]]);

Imposta il colore corrente.

D può assumere i valori:3, 4 che indicano se il colore è definito solo dalle sue componenti rossa, verde e

blu, oppure dalle tre componenti e dal grado di trasparenza.

T può assumere i valori b (byte), s (short), i (int), f (float), d (double), ub (ubyte), us (ushort), ui (uint) e

indica il tipo di variabile che deve essere utilizzata per indicare le componenti.

void glBegin(GLenum mode);

Definisce l’inizio della dichiarazione dei vertici di una certa primitiva di disegno.

glBegin deve esse seguita da una serie di istruzioni glVertex(xx) e da un’istruzione glEnd.

mode definisce la primitiva, può assumere i valori:

GL_POINTS ogni vertice indicato rappresenta un punto.

GL_LINES i vertici sono trattati a coppie e definiscono dei segmenti.

GL_LINE_STRIP disegna una polyline, ovvero traccia una serie di segmenti definiti dai vertici indicati

in modo che: i primi 2 vertici definiscono il primo segmento, i vertici successivi

definiscono un segmento che parte dal vertice terminale del segmento precedente.

GL_LINE_LOOP come GL_LINE_STRIP ma aggiunge automaticamente un segmento che connette il

vertice finale con quello iniziale.

GL_TRIANGLES disegna sequenze di triangoli definiti da tre vertici ciascuno.

GL_TRIANGLE_STRIP disegna sequenze di triangoli adiacenti: per i triangoli di indice n pari, i vertici sono

n, n+1 e n+2, per quelli con n dispari, i vertici sono n+1, n, n+2.

GL_TRIANGLE_FAN disegna sequenze di triangoli adiacenti aventi in comune il vertice iniziale.

GL_QUADS disegna sequenze di quadrilateri definiti da quattro vertici ciascuno.

GL_QUAD_STRIP come GL_TRIANGLE_STRIP, ma applicato ai quadrilateri, disegna sequenze di

quadrilateri adiacenti.

GL_POLYGON disegna poligoni convessi.

void glVertex{D}{T}(GLType x, GLType y[, GLType z[, GLType w]]);

Si tratta di una serie di funzioni (il nome completo della funzione è ottenuto sostituendo {D} e {T} con

opportuni valori) che definiscono un vertice in uno spazio.




D può assumere i valori:2, 3, 4 e rappresenta il numero di dimensioni dello spazio.

T può assumere i valori s (short), i (int), f (float), d (double) e indica il tipo di variabile che deve essere

utilizzata per indicare le coordinate.

void glBegin(GLenum mode);

Determina la fine della serie di vertici per la primitiva.

void glFlush(void);

Esegue il comando GL immediatamente (disegna la primitiva, …).

void glRect{T}(GLType x1, GLType y1, GLType x2, GLType y2);

Disegna un rettangolo allineato in base alle coordinate del suo vertice inferiore sinistro e di quello

superiore destro.

Struttura di un programma OpenGL

OpenGL utilizza dati con tipi di dati specifici definiti al suo interno. Per assicurare che le funzioni OpenFGL

ricevano dati appropriati è conveniente usare i nomi intrinseci per i tipi: GLint, GLfloat, …

Ovviamente è possibile definire strutture per le coordinate dei vertici.

typedef struct {GLint x,y;} GLintPoint2i;

Può essere utile definire una serie di funzioni.

void drawDot(GLintPoint2i point)

{

/*draw a 2d GLint point*/

glBegin(GL_POINTS);

glVertex2i(point.x,point.y);

glEnd( );

}

Suggerimenti per i poligoni regolari e cerchi

Un poligono è regolare se:

1. tutti i lati hanno la stessa lunghezza

2. i lati adiacenti formano angoli interni sempre uguali.

Un n-gono è un poligono con n lati.

Se il numero di lati di un n-gono è grande, l’n-gono in

apparenza approssima un cerchio. Si usa questo metodo per

implementare l’area di un cerchio.

I vertici di un n-gono appartengono al suo parent-circle. Essi

giacciono nelle posizioni definite da:

Per posizionare un n-gono in base al suo punto centrale

(nella posizione cx, cy), bisogna aggiungere cx e cy

rispettivamente alle coordinate x e y.

Per ruotare un n-gono di un angolo α è necessario aggiungere α all’argomento del coseno e del seno.

Inizializzazione librerie

OpenGL

Inizializzazione modalità

della finestra dello schermo

Creazione della/e finestra/e

Funzioni di impostazione

(colori, modalità, matrici, ...)

Funzioni di disegno

Attivazione loop attesa

eventi




Per scalare un n-gono di un fattore S è necessario moltiplicare il raggio R per il fattore S.

Funzione che disegna un n-gono

void ngon(int n, GLfloat cx, GLfloat cy, GLfloat raggio, Glfloat angolo)

{

GLfloat x, y;

if(n<3) return;

angolo=angolo*3.14159265/180; //trasforma l’angolo di rotazione da gradi in radianti

glBegin(GL_LINE_LOOP)

for(i=0;i<n;i++)

{

x=R*cos((2*3.14159265)*i/n+angolo)+cx;

y=R*sin((2*3.14159265)*i/n+angolo)+cy;

glVertex2f(x,y)

}

glEnd( );

}

void cerchio(int n, GLfloat cx, GLfloat cy, GLfloat raggio, Glfloat angolo)

{

Glfloat x,y;

if(n<3) return;

angolo=angolo*3.14159265/180; //trasforma l’angolo di rotazione da gradi in radianti

glBegin(GL_POLYGON)

for(i=0;i<n;i++)

{

x=R*cos((2*3.14159265)*i/n+angolo)+cx;

y=R*sin((2*3.14159265)*i/n+angolo)+cy;

glVertex2f(x,y);

}

glEnd( );

}




Varianti dell’n-gono: è possibile disegnare varianti interessanti dell’n-gono connettendo i suoi vertici in

ordine da quello standard che connette i vertici adiacenti. Ad esempio: connettendo un vertice a tutti i

vertici non adiacenti si ottengono figure tipo stella.

void stellation(int n, float cx, float cy,float radius,float angolo,float scale)

{

int i,j;

typedef struct{GLfloat x,y;} GLfloatPoint;

GLfloatPoint Punto[20];

angolo=angolo*3.14159265/180;

for (i=0;i<n;i++)

{

Punto[i].x=radius*scale*cos(2*3.14159265*i/n+angolo)+cx;

Punto[i].y=radius*scale*sin(2*3.14159265*i/n+angolo)+cy;

}

glBegin(GL_LINE_STRIP);

i=0;

for (j=i+2;j<n-1;j=j+1)

{

glVertex2f(Punto[i].x,Punto[i].y);

glVertex2f(Punto[j].x,Punto[j].y);

}

for (i=1;i<n;i++)

{

for (j=i+2;j<n;j=j+1)

{

glVertex2f(Punto[i].x,Punto[i].y);

glVertex2f(Punto[j].x,Punto[j].y);

}

}

glEnd();

glFlush();

}




Gestione del ridimensionamento della finestra

Il ridimensionamento della finestra da parte dell’utente, genera l’esecuzione dell’evento di resize.

Per gestire tale evento si deve impostare la sua funzione di callback tramite la funzione, nel main(),

glutReshapeFunc(myReshape), dove myReshape è la funzione di callback.

La funzione myReshape ha la seguente signature:

void myReshape(Glsizei W, Glsizei H);

Il sistema passa alla funzione myReshape la nuova larghezza e la nuova altezza della finestra.

È necessario pertanto definire nuovamente il viewport in modo che si adatti alla finestra dello schermo e

mantenga le stesse proporzioni della finestra sul mondo (aspect ratio = larghezza / altezza) in modo da

prevenire distorsioni dell’immagine.

Pertanto, se R è l’aspect ratio della window sul mondo e la finestra dello schermo ha larghezza W e altezza

H, si possono verificare due situazioni distinte:

1. la finestra sul mondo ha un aspect ratio più grande della finestra sullo schermo R > W/H

in questo caso la finestra sul mondo è bassa e larga rispetto alla finestra sullo schermo, allora la

viewport dovrà avere larghezza W e altezza W/R

2. la finestra sul mondo ha un aspect ratio più piccolo della finestra sullo schermo R < W/H

in questo caso la finestra sul mondo è alta e stretta rispetto alla finestra sullo schermo, allora la

viewport dovrà avere altezza H e larghezza H*R.

void myReshape(Glsizei W, Glsixei H)

{

glMatrixMode(GL_PROJECTION);

glLoadIdentity();

gluOrtho2D(left, right, bottom, top);

R = (float)(right-left)/(float)(top-bottom);

if (R > W/H)

set Viewport(0, (Glsizei)W, 0, (Glsizei)W/R);

else

set Viewport(0, (Glsizei)H*R, 0, (Glsizei)H);

end

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

}

Tiling della finestra con un motivo

“Fare tiling” significa ricoprire l’intera finestra sullo schermo lato per lato, con un certo numero di copie di

una stessa immagine. L’immagine utilizzata è il motivo. È possibile fare tiling utilizzando una differente

viewport per ogni copia del motivo.

Trasformazioni di modellazione

Per istanziare un oggetto nella scena è necessario:

1. effettuare una scalatura per portare l’oggetto alle proporzioni desiderate

2. effettuare una rotazione per orientare l’oggetto

3. effettuare una traslazione per posizionarlo..




Tutte le trasformazioni geometriche necessarie ad OpenGL sono mantenute in tre matrici che fanno parte

dello stato:

a. ModelView (usata dal transformer)

b. Project (usata dal projector)

c. Texture (usata dal rasterizer se si fa texture mapping)

Il comando per selezionare la matrice corrente è glMatrixMode(<matrix>) in cui <matrix> può assumere i

valori GL_MODELVIEW, GL_PROJECT, GL_TEXTURE.

La matrice ModelView permette di definire le trasformazioni affini necessarie per posizionare l’oggetto nel

sistema del mondo e per orientare la macchina fotografica virtuale, ovvero passare al sistema dell’occhio.

La funzione glLoadIdentity() rimpiazza la matrice corrente con la matrice identità, le funzioni di

traslazione, rotazione e scalatura sono:

glRotate(angle, ax, ay, az): rotazione attorno ad un asse passante per l’origine

glTranslate(dx, dy, dz): traslazione

glScale(sx, sy, sz): scalatura attorno all’origine

glMultiMatrix(matrix): per effettuare una moltiplicazione generica con la matrice corrente

Questi comandi postmoltiplicano la matrice corrente per quella specificata: si imposta inizialmente la

matrice identità e si specificano le moltiplicazioni da eseguire; l’ultima operazione indicata è la prima ad

essere eseguita.

Per posizionare oggetti diversi è necessario utilizzare combinazioni di matrici diverse che non siano

reciprocamente influenzate; per fare questo sono disponibili i comandi per salvare la matrice corrente in

uno stack e riutilizzarla successivamente:

glPushMatrix() salva la matrice corrente nello stack

glPopMatrix() ripristina la matrice corrente con quella in cima allo stack.

Si imposta allora la matrice da utilizzare per un gruppo di oggetti e, per ogni oggetto, si impostano le

specifiche trasformazioni dopo aver salvato la matrice corrente nello stack, al termine del disegno

dell’oggetto si ripristina la matrice dallo stack.

Librerie GLUI per l’interfaccia grafica

È possibile utilizzare le librerie GLUI per creare pannelli di interazione contenenti pulsanti, caselle di testo,

selezioni, …; di seguito sono riportate le descrizioni di alcune funzioni utili.

Definizioni

È necessario includere la libreria GLUI: <gl/glui.h> e linkare la libreria glui32.lib.

Nel programma è poi necessario definire le variabili globali per i tipi di controlli che si voglio utilizzare e

per identificare le finestre.

int main_window; //memorizza l’identificativo della finestra creata

GLUI_Spinner *spinner;

GLUI_EditText *text;

GLUI_RadioGroup *radio;

Funzioni

Quando si crea la finestra è necessario memorizzarne l’identificativo per i successivi usi.

main_window = glutCreateWindow(“Nome finestra”);




Si deve poi creare l’interfaccia grafica per gestire l’interazione con la finestra grafica creata.

GLUI *glui = GLUI_Master.create_glui(“Opzioni”);

All’interfaccia appena creata è possibile aggiungere un pannello:

pannello = glui->add_panel(“Nome pannello”,GLUI_PANEL_EMBOSSED);

Al pannello possono essere aggiunti i controlli (ad esempio uno spinner):

spinner = glui->add_spinner_to_panel(pannello,”etichetta spinner”,GLUI_SPINNER_FLOAT,

&variabile, value, controlli);

I parametri rappresentano rispettivamente: il pannello cui va aggiunto il controllo, l’etichetta visualizzata, il

tipo di dati trattato, la variabile nella quale viene aggiornato il valore dello spinner, il parametro di input

passato alla funzione chiamata quando si utilizza il controllo, il nome della funzione chiamata.

Il range di validità dello spinner è definito come segue:

spinner->set_float_limits(min, max);

Per aggiungere una casella di testo editabile si usa, ad esempio:

text = glui->add_edittext_to_panel(pannello,” etichetta casella”,GLUI_EDITTEXT_FLOAT,

&variabile);

la casella di testo aggiorna la variabile indicata come quarto parametro.

Un radio-group costituito da radio-button per effettuare una scelta esclusiva, può essere costruito con:

radio = glui->add_radiogroup(&variabile, 0, funzione);

glui->add_radiobutton_to_group(radio, “valore 1”);

glui->add_radiobutton_to_group(radio, “valore 2”);

glui->add_radiobutton_to_group(radio, “...”);

Il valore assegnato alla variabile corrisponde alla scelta fatta (varia da 0 a n-1 per n scelte possibili). La

funzione (terzo parametro di add_radiogroup) dovrà gestire le possibili scelte, ad esempio:

void funzione(int value)

{

switch(variabile)

{

case 0:

//codice per la scelta 0;

break;

case 1:

//codice per la scelta 1;

break;

...

}

}

È possibile aggiungere un pulsante:

glui->add_button(“Etichetta”,0,funzione);




L’interfaccia definita con le funzioni sopra indicate, deve essere poi collegata alla finestra grafica tramite

l’istruzione:

glui->set_main_gfx_window(main_window);

glutMainLoop();

Le variabili utilizzate dovranno essere variabili globali che potranno essere utilizzate nella funzione display.




Rappresentazione di curve mediante spline polinomiali di ordine m a

nodi semplici

Spesso è necessario modellare oggetti non facilmente ottenibili da figure geometriche: oggetti con

contorni dolci o arrotondati alternati a parti lisce o spigoli vivi. La modellazione geometrica è quella parte

della Computer graphics che si occupa di creare i modelli geometrici di curve, superfici e oggetti 3D.

Curve 2D

Per memorizzare e rappresentare una funzione tramite un calcolatore è necessario discretizzarla in un

numero finito di punti (possibilmente non troppo elevato) e considerare una sua approssimazione ottenuta

un criterio di interpolazione o di approssimazione.

Una curva non matematicamente descrivibile tramite una funzione y = f(x) perché in corrispondenza di un

certo valore di x possono esistere diversi valori di y.

L’equazione implicita di una curva f(x,y) = 0 può essere utile in certi casi, tuttavia presenta svantaggi in

altri (ad esempio l’equazione implicita di una circonferenza con centro all’origine e raggio R: x2

+ y2

= R2

).

Inoltre non è semplice ottenere la forma implicita di una qualsiasi curva.

La forma più semplice, invece, per rappresentare una curva, è la forma parametrica: x = x(t) y = y(t) che

descrive tutti i punti della curva al variare del parametro t in [ tmin

, tmax

].

Esempi di curve in forma parametrica

∈

∙ ∙

∈

∙

∙ ∈

Rappresentazione nel calcolatore

Per rappresentare nel calcolatore una curva è necessario considerarne una discretizzazione, si considerano

cioè i punti sulla curva:

e si costruiscono le due funzioni parametriche , che interpola le coppie , ed , che

interpola le coppie .

È necessario allora risolvere due problemi di interpolazione.

A partire dalle posizioni dei punti P0

, P1

, …, PN+1

, si ottengono diverse possibili curve, la cui forma dipenderà

sia dalla posizione dei punti, sia dalle funzioni base utilizzate per risolvere i due problemi di interpolazione

per le due componenti parametriche.




Funzioni spline polinomiali a nodi semplici

Definizione 1.1: spline polinomiale a nodi semplici

Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato dell’asse reale e sia ∆ una partizione di [a,b] con:

∆

che genera k+1 sottointervalli così definiti:

Fissato un intero positivo m, con m < k, si definisce spline polinomiale di ordine m (grando m-1), una

funzione s(x) che:

a) in ciascun intervallo coincide con un polinomio di ordine m

b) nei punti detti nodi semplici della spline, soddisfa le seguenti condizioni di raccordo:

Tali condizioni garantiscono che ∈

ovvero che è continua in [a,b] insieme alle sue derivate

fino a quella di ordine m-2.

Lo spazio delle spline di ordine m con nodi semplici

viene indicato con ∆ o .

Teorema: la dimensione dello spazio delle spline ∆ è m+k

Dimostrazione intuitiva: costruire una spline significa definire (k+1) intervalli nei quali calcolare un

polinomio di ordine m, a questi si devono togliere le (m-1) condizioni applicati nei k punti di raccordo,

ottenendo –

Nota: la base migliore per poter calcolare in modo stabile ed efficiente una funzione spline, sia per

complessità che per stabilità, è costituita dalla base delle B-spline.

Definizione 1.2: Funzione base B-spline

Assegnata una successione di nodi , si definisce B-spline normalizzata di ordine m relativa

al nodo con ∈ , una funzione che gode delle seguenti proprietà:

a)

b)

c) In ciascun intervallo coincide con un polinomio di ordine m che si raccorda

opportunamente con i vicini, in modo tale che ∈

.

Formule di Cox per la valutazione di una B-spline

Per calcolare le funzioni base si utilizzano le formule di Cox, che consentono di calcolare mediante

combinazione di due funzioni base di ordine m-1, più precisamente definita come:

per h = 2, …, m si ha:

Le funzioni B-spline così ottenute vengono utilizzate per costruire una base per lo spazio delle spline ∆

Poiché ∆ ha dimensione m+k, è necessario costruire m+k funzioni base B-spline. Essendo k i nodi reali

è necessario inserire 2m nodi fittizi di cui m sono inseriti prima di e m sono inseriti dopo .




La partizione nodale così costituita prende il nome di partizione nodale estesa ∆*.

Partizione nodale estesa

Si definisce l’insieme ∆

partizione nodale estesa associata a ∆ nel seguente modo:

Mediante questa partizione diventa possibile definire le m+k B-spline normalizzate di ordine m:

≠

in cui i casi 0 / 0 devono essere interpretati come 0 (in quanto è possibile scegliere nodi aggiuntivi

coincidenti).

Risultato importante

L’insieme costituisce una base per lo spazio ∆ , quindi, per ogni x ∈ [a,b] è

possibile esprimere ∈ ∆ come:

Osservazione: la base delle funzioni B-spline è una base molto buona sia dal punto di vista della stabilità

che dal punto di vista della complessità computazionale, poiché le funzioni B-spline godono di molte

proprietà.

Proprietà delle B-spline

1. Non negatività:

2. Supporto locale:

3. In un punto ∈ , vi sono m funzioni base diverse da 0 se il punto non coincide con un nodo,

se il punto coincide con un nodo le funzioni base diverse da 0 sono m-1

4. Le funzioni B-spline rappresentano una partizione dell’unità: la somma delle valutazioni di tutte le

B-spline in un punto ∈ vale 1:

Proprietà delle spline valutate mediante B-spline

Le proprietà della base delle B-spline garantiscono che le funzioni spline valutate utilizzando tale base

godano a loro volta di importanti proprietà.

1. Per la proprietà di supporto locale delle B-spline, per ogni ∈ risulta che sul punto x, le

uniche B-spline diverse da 0 siano: , per cui:

2. Per le proprietà di non negatività e partizione dell’unità di cui godono le B-spline, ogni espressa

nella base delle B-spline normalizzate, risulta una combinazione convessa dei coefficienti .

Dalle proprietà di una combinazione convessa si ha che (dalla sommatoria precedente) il valore

assunto dalla funzione spline in un punto ∈ è sempre compreso tra il valore minimo e

massimo dei coefficienti della sua rappresentazione:




Inoltre, se ∈ allora:

Proprietà di variation diminishing di una spline espressa s(x) nella base delle B-spline normalizzate

Il numero di variazioni di segno della (indicato con ) è sempre minore o uguale al numero di

variazioni di segno della successione dei suoi coefficienti .

Interpolazione mediante funzioni spline polinomiali a nodi semplici

Come già detto, per poter rappresentare una curva sul piano mediante funzioni spline è necessario

discretizzarla e considerarne la rappresentazione parametrica. Per ottenere una rappresentazione continua

delle due componenti parametriche, si devono risolvere due problemi di interpolazione con funzioni spline.

Si deve pertanto affrontare il problema generale dell’interpolazione con funzioni spline polinomiali a nodi

semplici di un insieme di dati .

Poiché la funzione spline ∈ ∆ dipende fortemente dalla posizione e dal numero dei nodi che la

caratterizzano, è necessario per prima cosa studiare come posizionare i nodi veri dell’insieme

∆ .

Il problema consiste nel cercare la funzione ∈ ∆ tale che

Se ∆ ha N+2 gradi libertà, cioè N+2-m = N-2 nodi, il sistema lineare che si ottiene è:

Tale sistema è quadrato e potrebbe essere risolubile, ma certe configurazioni dei noi potrebbero generare

colonne nulle, pertanto non è possibile definirne rango e risolubilità.

Teorema di Schoemberg Whitney

Il Teorema di Schoemberg Whitney fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema

lineare, che si deve risolvere per calcolare i coefficienti della spline interpolante, abbia rango massimo e

quindi un’unica soluzione.

Sia assegnata una successione crescente di nodi e la successione crescente di punti di

osservazione e sia definita la successione delle B-spline

Il problema di interpolazione di funzioni spline dei dati si esprime come il seguente

sistema lineare:

La matrice A ha rango massimo se e solo se ; cioè se per ciascuna funzione B-spline

esiste almeno un punto di interpolazione nel suo supporto.

Pertanto, è necessario legare la scelta dei nodi ai punti di interpolazione: la scelta dei nodi (individuata da

Schoemberg), garantisce che la matrice delle funzioni

base sia a rango massimo.




Un’altra possibilità per costruire una spline

che interpoli le coppie consiste nello scegliere il numero dei nodi veri e

scegliere .

Imponendo si ottengono equazioni ognuna delle quali ha incognite.

Nel caso si hanno condizioni in incognite: per avere un sistema quadrato a rango

massimo è necessario aggiungere 2 condizioni. Le altre 2 condizioni vengono applicate agli estremi

dell’intervallo e prendono il nome di condizioni ai bordi.

Condizione di spline cubica naturale

Tra tutte le funzioni interpolanti di classe C2

, la spline cubica naturale è quella che minimizza il funzionale

che rappresenta la curvatura globale della spline interpolante.

La curvatura di una funzione derivabile e continua si definisce come:

Pertanto, se , la curvatura ovvero: la derivata seconda di una funzione è

un’approssimazione della curvatura globale. Poiché una spline naturale minimizza il funzionale

, si può affermare che la spline naturale che ha curvatura minima è quella che oscilla meno.

Condizione sulla derivata prima

Condizione sulla derivata seconda

Condizione di periodicità

Se si vuole costruire una funzione che nel punto ha un valore uguale al valore in

si possono imporre le seguenti condizioni di periodicità:

Tali condizioni sono particolarmente utili nella rappresentazione di curve chiuse, per le quali si ha che:




Nota

La stima della derivata prima può essere calcolata facendo uso del rapporto incrementale fra i valori della

funzione data agli estremi, ovvero:

oppure facendo uso della stima di Bessel, che approssima la derivata prima della funzione nel primo punto

di interpolazione come la derivata prima del polinomio quadratico che interpola i primi 3 punti di

interpolazione, e la derivata prima della funzione nell’ultimo punto come la derivata prima del polinomio

quadratico che interpola gli ultimi 3 punti di interpolazione.

La scelta delle condizioni ai bordi per le due curve parametriche e influenza notevolmente la

forma della curva che interpola i dati.

Proprietà di convergenza delle funzioni spline di interpolazione

Teorema

Sia ∈ per ∈ ;

sia ∆ una successione di decomposizioni dell’intervallo con passo (o, se il passo non è costante

tali che

sia limitato);

sia ∆ la funzione spline che interpola la funzione in tutti i punti della decomposizione ∆ , ovvero:

∆ ∈ ∆

che soddisfi le condizioni ai bordi

∆

∆

allora: esistono delle costanti , indipendenti da ∆ , tali che ∈ :

∆

∙ ∙

Curve spline interpolanti

Dati i punti

, la curva spline interpolante si esprime nel seguente modo:

dove , sono la soluzione del sistema lineare che nasce dall’imposizione delle condizioni

di interpolazione e delle opportune condizioni ai bordi;

e , sono la soluzione del sistema lineare che nasce dall’imposizione delle condizioni di

interpolazione e delle opportune condizioni ai bordi.




Parametrizzazione

Il modo in cui viene calcolato il parametro delle coppie ( è

detto parametrizzazione. Tale scelta è di particolare importanza nel calcolo della curva spline che

interpola un insieme di punti nel piano in quanto influenza la scelta dei nodi della spline

interpolante.

Parametrizzazione uniforme

La scelta più semplice, per la quale i valori di sono equidistanti nell’intervallo di variabilità del parametro

, è detta parametrizzazione uniforme ed è quella algoritmicamente più veloce:

Generalmente si utilizza . La parametrizzazione uniforme, tuttavia, non tiene conto della distanza

reale fra i punti da interpolare.

Parametrizzazione mediante corda

La parametrizzazione mediante corda, invece, tiene conto della distanza reale tra i punti: l’intervallo tra

due valori successivi del parametro è proporzionale alla lunghezza del segmento corrispondente.

Per determinare i valori del parametro t si può procedere come segue:

Tale metodo porta a risultati migliori rispetto alla parametrizzazione uniforme.

Parametrizzazione di “Foley”

Questa tecnica è un’evoluzione della parametrizzazione mediante corda in quanto, oltre a considerare le

distanze tra i punti da interpolare, valuta anche gli angoli formati dai segmenti con uniscono segmenti

successivi.

∆ ∙ ∙

∙ ∙

Parametrizzazione centripeta

La parametrizzazione centripeta definisce una distanza specifica per il calcolo di ∆ .

∆

∆

La scelta del valore

permette di definire un modello che definisce le curve in modo da minimizzare

l’accelerazione centripeta di un oggetto che si muove lungo un percorso.

Uniforme Mediante corda Foley Centripeta




Non è possibile definire in generale quale sia la parametrizzazione migliore, tuttavia deve essere

considerata un’importante proprietà: l’invanrianza per le trasformazioni affini. Tra le parametrizzazioni

elencate, solo la parametrizzazione uniforme gode di tale proprietà, le altre dipendono dalla lunghezza dei

segmenti che non sono invarianti per le trasformazioni affini.

La scelta della parametrizzazione influenza anche la scelta dei nodi delle due spline parametriche

interpolanti e :

con la parametrizzazione uniforme possono essere scelti nodi coincidenti con i punti del

parametro, in questo caso la matrice dei coefficienti del sistema lineare da risolvere è quasi

tridiagonale e ben condizionata

con la parametrizzazione mediante corda è importante ottenere che i nodi siano distribuiti nel

modo più uniforme possibile, rispettando la condizione che nel supporto di ciascuna funzione base

ci sia almeno un punto di interpolazione.

Regolarità della curva

La derivata di è il vettore tangente alla curva, le cui componenti sono le derivate delle corrispondenti

componenti parametriche:

Una curva composta da due segmenti di curva può vere, nel punto di giunzione, diversi tipi di regolarità. In

particolare si considerano la continuità geometrica ( ) o la continuità parametrica (

).

Tipo di continuità Condizioni

Continuità

geometrica

I due segmenti di curva sono coincidenti in un estremo

Continuità

geometrica


Le direzioni dei vettori tangenti ai due segmenti di curva sono uguali nel punto di

giunzione (è necessario che i due vettori tangenti siano uno multiplo dell’altro)

Continuità

parametrica


Le direzioni dei vettori tangenti ai due segmenti di curva sono uguali nel punto di

giunzione

Il modulo dei vettori tangenti ai due segmenti di curva sono uguali nel punto di

giunzione

Continuità

parametrica


Le direzioni e il modulo dei vettori

sono uguali nel punto di

giunzione

In generale, viste le condizioni, la continuità parametrica implica la continuità geometrica

; tuttavia

esiste un’eccezione: quando i vettori tangenti ai due segmenti di curva hanno entrambi componenti nulle

nel punto di giunzione non si può dire nulla sulla direzione, pertanto può non esserci continuità

geometrica.

Le curve spline polinomiali di ordine m in cui i nodi interni sono tutti nodi semplici, sono curve che hanno

continuità parametrica .




Interpolazione di classe C1

Interpolare utilizzando curve spline cubiche di classe C2

è troppo restrittivo in quanto queste lasciano

libera solo la derivata terza: costruire pezzi di polinomi cubici che si raccordano solo sul valore della

derivata prima, lasciando libera anche la derivata seconda, permette una ricostruzione più flessibile.

Interpolare utilizzando curve spline cubiche di classe C1

, significa utilizzare pezzi di polinomi cubici per

ogni intervallo internodale e garantire che i nodi coincidano in valore e derivata prima.

Funzioni base di Hermite

Assegnati agli estremi dell’intervallo i valori e della funzione e e della derivata prima, il

poligono cubico che interpola i dati

è dato da:

∙ ∙ ∙ ∙

dove

∙ ∙

∙

∙ ∙

Polinomio interpolatore di Hermite

Assegnati i valori il polinomio interpolatore di Hermite , tale che

e si esprime come:

∙ ∙ ∙ ∙

Poiché sono definite nell’intervallo , è necessario applicare una

trasformazione lineare affine che mappi il punto ∈ in ∈ :

∈

Si ha che:

e sono invarianti per trasformazioni affini: e

e non sono invarianti per trasformazioni affini e vale che:

o ∙

o ∙

Si può verificare che il polinomio di Hermite in ogni sottointervallo coincide con un polinomio cubico

che soddisfa le seguenti proprietà:

pertanto, globalmente, si tratta di una funzione spline cubica interpolante di classe .




Avendo a disposizione solo i valori della funzione, è necessario trovare un criterio per determinare i valori

delle derivate.

Esistono due classi di metodi:

Metodi numerici per il calcolo delle derivate

Metodi di minimizzazione

o Minimizzazione di un funzionale che tiene conto della curvatura globale

o Minimizzazione di un funzionale che tiene conto della lunghezza della funzione interpolante

o Minimizzazione di un funzionale combinazione lineare dei due precedenti.

Metodi numerici per il calcolo delle derivate

La derivata può essere calcolata:

come rapporto incrementale

come media di due rapporti incrementali successivi

come media pesata di due rapporti incrementali successivi

Shape preserving

Le interpolazioni di tipo shape preserving “mantengono l’andamento dei dati”.

Se i dati hanno andamento monotono crescente, ovvero se ∆

allora l’interpolante shape

preserving è tale che .

Se i dati hanno andamento monotono decrescente, ovvero se ∆

allora l’interpolante shape


Se i dati hanno andamento monotono convesso, ovvero se ∆ ∆ , la funzione interpolante shape


Se i dati hanno andamento monotono concavo, ovvero se ∆ ∆ , la funzione interpolante shape


L’interpolazione di Hermite è un tipo di funzione per cui è

facile richiedere tale caratteristica: si tratta di determinare le

derivate agli estremi in modo tale che si abbia monotonia e

convessità (o concavità). Gli studi fatti hanno portato ad

individuare delle regioni del piano che garantiscono che se i

valori delle derivate si trovano in esse, si ha rispettivamente

monotonia e convessità (o concavità). Tali regioni dipendono

dall’intervallo i-esimo e dai valori del rapporto incrementale ∆

dei dati.

Mi = regione di monotonia

Ti = regione di convessità

Vi = regione di concavità




Curve interpolanti di Hermite

Dati i punti:

la curva interpolante di Hermite si esprime come:

Dati i punti:

la curva interpolante di Hermite si esprime come:

∙

∙

Le curve interpolanti di Hermite definiscono segmenti di curva quali combinazioni lineare di quattro valori:

P1

, P2

, D1

, D2

, dei quali i primi due assegnano il valore della curva, i secondi ne modellano la forma. I

coefficienti della combinazione lineare assegnati a P1

, P2

, D1

, D2

, sono i valori che le quattro funzioni base

assumono per i diversi valori del parametro nell’intervallo considerato.

Curve di Bezier

L’idea alla base delle curve di Bezier consiste nella sostituzione dei valori D1

e D2

delle curve di Hermite

(che in esse vengono interpolati) con altri due valori puntuali che non vengono interpolati ma solo

approssimati, le cui posizioni influenzano la forma della curva.

I dati di un segmento di curva cubica di Bezier sono quattro valori P0

,

P1

, P2

, P3

, dei quali P0

e P3

vengono interpolati mentre P1

e P2

sono solo

approssimati: la loro posizione determina il vettore tangente

all’inizio e alla fine del segmento di curva.

Bezier ha dimostrato che i pesi (ovvero le funzioni di t) da attribuire a

questi quattro valori, affinché avvenga quanto descritto, sono i

polinomi di Bernstein (di grado 3), essere sono le funzioni base che

permettono di ottenere il segmento di curva cubica di Bezier come

combinazione lineare dei quattro valori P0

, P1

, P2

, P3

:

Il segmento di curva cubica di Bezier è dato da:

∈




Nel caso più generale di curve di Bezier di grado n, si utilizzano N+1 punti di controllo:

il primo e l’ultimo punto di controllo vengono interpolati

il secondo e il penultimo punto di controllo definiscono la direzione della derivata negli estremi

gli altri punti di controllo vengono approssimati e hanno lo scopo di modellare la forma della curva.

I polinomi di base di Bernstein di grado n nell’intervallo [0, 1] sono definiti da:

Una curva di Bezier di grado n è data da:

Un vantaggio dell’utilizzo della forma di Bezier rispetto a quella di Hermite

è che, lavorando interattivamente, si ottiene una modellazione della curva

in modo molto più intuitivo: la curva che si ottiene approssima quella del

poligono che formato dai segmenti di retta che congiungono i punti di

controllo; tale poligono è detto poligono di controllo.

Le curve di Bezier presentano proprietà interessanti ed utili per la computer graphics, essere sono collegate

alle proprietà delle funzioni base utilizzate.

I polinomi di Bernstein sono, infatti, adatti a rappresentare un polinomio definito in un intervallo [a, b] in

quanto sono definiti relativamente a quell’intervallo.

In generale, un polinomio di grado n sull’intervallo [a,b] può essere rappresentato come:

∈

in cui sono i polinomi di Bernstein di grado n definiti su [a,b] dalla relazione:

e sono i coefficienti che identificano il polinomio espresso nella base di Bernstein.

Tale rappresentazione si contrappone alla rappresentazione mediante la base monomiale :

Nelle applicazioni è comodo utilizzare l’intervallo [0, 1], tuttavia questo non comporta differenze in quanto

qualsiasi intervallo generico può essere ricondotto all’intervallo [0, 1] senza alterare i coefficienti

utilizzando la trasformazione:




Allora, nell’intervallo [0, 1] si ha:

∈

Si osserva che questi polinomi sono tutti dello stesso grado, in contrapposizione alla base monomiale che

utilizza monomi di grado diverso.

Esempio: polinomi di base di Bernstein di grado n = 2

Esempio: polinomi di base di Bernstein di grado n = 3

Nota: il concetto di curve di Bezier e lo studio delle proprietà di queste curve sono stati sviluppati

indipendentemente da P. De Casteljau nel 1959 (per la Renault) e da P. Bezier nel 1962 (per la Citroen) per

essere utilizzati nei rispettivi sistemi CAD.

Proprietà dei polinomi di Bernstein di grado n

I polinomi di Bernstein godono di molte proprietà che li rendono una base molto valida dal punto di vista

dei calcoli.

Ricorsività

I polinomi di Bernstein di grado n definiti in [a, b] sono legati ai polinomi di Bernstein di grado n-1 definiti

su [a, b] dalla seguente formula:

Nel caso di [a, b] = [0, 1] si ha:

∈

Tali formule sono numericamente stabili in quanto utilizzano solo quantità positive.




Non negatività

Dalla formula ricorrente segue che: ∈

I polinomi di Bernstein formano una partizioni dell’unità

Infatti, utilizzando la formula di Newton:

ponendo e si dimostra che:

Combinazione lineare convessa

Dalle due precedenti proprietà si ha che

è una combinazione lineare convessa dei valori dei suoi coefficienti, quindi:

Il numero di variazioni di segno di un polinomio espresso nella base di Bernstein è minore o uguale

al numero di variazioni di segno dei suoi coefficienti

Questa proprietà permette di avere un limite superiore per il numero degli zeri semplici per il polinomio in

[a, b].

Approssimazione uniforme di un polinomio ad una funzione

Si consideri una partizione uniforme dell’intervallo [a, b], cioè

e si consideri

l’espressione dell’approssimazione di Bernstein di grado n definita come:

È possibile dimostrare che ; infatti è una combinazione lineare convessa dei

valori di nei punti dell’intervallo, pertanto i suoi valori sono compresi tra il più piccolo dei valori di ed il

più grande dei valori di .

Interpretazione geometrica dei coefficienti di un polinomio nella base di

Bernstein

Sia dato un polinomio espresso nella base di Bernstein:

Si considerino le coppie con

. La spezzata che passa per i punti prende il

nome di poligono di controllo.




I valori di possono essere considerati come la valutazione di una funzioni lineare spezzata nei punti :

Dalla proprietà di approssimazione segue che il polinomio

Espresso nella base di Bernstein approssima il poligono di controllo.

Inviluppo convesso

Definizione

Assegnati i punti si definisce inviluppo convesso dell’insieme dei punti l’intersezione di tutti

gli insiemi convessi contenenti i

Il grafico del poligono espresso nella base di Bernstein è contenuto nell’inviluppo convesso dell’insieme dei

vertici del suo poligono di controllo.

Proprietà dell’approssimazione di forma

Il numero di intersezioni di una qualsiasi retta con il poligono di

controllo è maggiore del numero di intersezioni della stessa retta con il

polinomio.

Queste proprietà geometriche sono di fondamentale importanza per gli

algoritmi che utilizzano le curve nella forma di Bezier in cui le

componenti parametriche sono espresse nella base di Bernstein.

Dati i vertici di controllo:

la curva di Bezier di grado n si esprime come:

Valutazione di un polinomio nella base di Bernstein e algoritmo di De Casteljau

La valutazione, in un punto , di un polinomio di grado n espresso nella base monomiale, può essere

effettuata in modo efficiente facendo uso dello schema di Horner, che ha complessità computazionale

dell’ordine di O(n) ed è numericamente stabile.

L’algoritmo di De Casteljau rappresenta l’analogo per un polinomio espresso nella base di Bernstein:

consiste nell’applicare ripetutamente le formule ricorsive viste per i polinomi della base di Bernstein.

La valutazione in un punto t consiste nella valutazione:




Dalle proprietà dei polinomi di base di Bernstein, ogni polinomio è esprimibile come combinazione

lineare convessa di due polinomi di base di Bernstein di grado n-1:

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

considerando che si ha

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

ponendo

∙

∙

si ha

Ora, applicando n-1 volte la formula ricorrente si calcolano successivamente i coefficienti:

∙

∙

Si osservi che ogni volta che viene applicata la formula ricorsiva si perde un elemento della base,

diminuisce il grado ma anche il numero degli elementi.

Al passo j-esimo si ha:

∙

∙

Quando j=n si ottiene:

∙

∙

L’algoritmo di De Casteljau non fa uso delle funzioni base: ad ogni passo calcola una combinazione

convessa dei coefficienti al passo precedente. È computazionalmente valido sia perché elimina il problema

di passare attraverso le funzioni base, sia perché permette di calcolare ciascuna nuova grandezza come

combinazione convessa di due grandezze precedenti, mantenendo stabile l’algoritmo. Può essere

schematizzato come segue:

…

…

… … … …




La valutazione di un polinomio nella base di Bernstein con questo algoritmo ha un costo computazionale di

somme e moltiplicazioni.

La maggiore complessità computazionale O(n2

/2) rispetto a quella dello schema di Horner pari a O(n) è

compensata da una maggiore stabilità numerica ovvero ad una minore sensibilità ad eventuali

perturbazioni sui coefficienti rispetto agli algoritmi che utilizzano la base delle potenze.

Interpretazione geometrica dell’algoritmo di De Casteljaue per curve di Bezier

al primo passo, i punti

si trovano rispettivamente sul

primo, secondo, n-esimo lato del poligono di controllo, infatti la formula

∙

∙

mostra che

si trova sul segmento che unisce

e

in una posizione che dipende dai dati. La stessa cose vale ad

ogni passo.

Proprietà dell’algoritmo di De Casteljau

L’algoritmo di De Casteljau:

1. è numericamente stabile: si eseguono solo somme e

moltiplicazioni per coefficienti positivi.

2. è invariante per trasformazioni affini, pertanto invece di valutare una curva e poi applicare una

trasformazione, si può applicare la trasformazione affine ai punti di controllo e poi

applicare l’algoritmo

3. fornisce un metodo semplice per suddividere curve di Bezier: infatti il punto in cui si valuta la

curva, rappresenta un punto di suddivisione della curva in dur curve di Bezier: una per ∈ e

una per ∈ . I punti di controllo delle due nuove curve si trovano rispettivamente nella prima

colonna e sulla diagonale della tabella dell’algoritmo di De Casteljau:

Punti di controllo del

secondo segmento di

curva di Bezier

←

↖ Punti di controllo del primo segmento di

curva di Bezier

Le due curve che si raccordano in fino alla derivata n-esima sono espresse da:

∈

∈

Se il procedimento di suddivisione è iterato, cioè se ogni segmento di curva viene suddiviso a sua

volta, si ottiene che la successione dei poligoni di controllo dei vari segmenti di curva ottenuti

converge velocemente alla curva originale di Bezier, all’addensarsi dei punti di suddivisione

all’interno dell’intervallo parametrico.

Il metodo delle suddivisioni ripetute è spesso utilizzato per rendere la curva graficamente,

sostituendo la curva teorica con l’insieme dei punti di controllo dei vari segmenti.




Elevamento di grado di un polinomio nella base di Bernstein (Degree Elevation)

Esistono situazioni nelle quali è necessario esprimere un polinomio di grado n come un polinomio di grado

n+1, per esempio nel caso in cui si debbano sommare due polinomi di grado diverso. Nel caso in cui il

polinomio è espresso nella base monomiale, tale operazione risulta essere semplice, viceversa utilizzando

la base di Bernstein, tale passaggio non risulta essere immediato.

Se e allora non è

possibile sommare direttamente questi due polinomi, non è neppure possibile raccogliere le funzioni base

e sommare i coefficienti perché hanno grado diverso. Bisognerebbe passare alla forma nella base

monomiale e poi fare la somma. È possibile però anche elevare di grado il polinomio , ovvero

esprimerlo nella base .

L’operazione di degree elevation permette di esprimere un polinomio di grado n come un polinomio di

grado n+1, sempre nella base di Bernstein. Essa consiste nell’individuare i coefficienti del polinomio di

grado superiore conoscendo i coefficienti del polinomio da elevare di grado:

I coefficienti nella nuova base devono essere tali che:

Allora:

Estendendo la prima sommatoria per , ponendo ed esprimendo la seconda

sommatoria per , si ha:

Variando la seconda sommatoria per , ponendo , si ha:

A questo punto, ricordando che il polinomio in grado n+1 è:

Affinché si abbia deve accadere che:




ovvero:

da cui:

∙

∙

∙

∙

∙

∙

In conclusione, i nuovi coefficienti (che si trovano sul segmento che unisce e ) sono ottenuti

interpolando linearmente i vecchi coefficienti per il valore del parametro .

Si osservi che la formula che fornisce i nuovi coefficienti altro non è che una combinazione convessa dei

vecchi coefficienti. Si ha che il nuovo poligono di controllo è interno all’inviluppo convesso dei nuovi

coefficienti.

Il poligono di controllo aumentato di grado è più vicino al grafico del polinomio. Il processo di elevamento

può essere iterato ottenendo una successione di poligoni di controllo che, si dimostra, converge al

polinomio medesimo. Tale convergenza è però troppo lenta per poter essere utilizzata a scopi pratici.

Riduzione di grado di un polinomio nella base di Bernstein

Generalmente scrivere un polinomio di grado n+1 come un polinomio di grado n, non è un’operazione

esatta. Solo nel caso in cui di grado n+1 sia stato ottenuto come elevamento di grado è possibile ottenere i

coefficienti dai coefficienti :

∙

Derivata prima di un polinomio nella base di Bernstein

∈

∈

La derivata di un elemento della base di Bernstein è:

Osservando che:

Si ha:




Per definizione:

Allora:

Tale espressione evidenzia il fatto che il polinomio di Bernstein è tangente negli estremi al segmento che

unisce i primi due punto e gli ultimi due punti di controllo rispettivamente.

Se , nella prima sommatoria . Se , nella prima sommatoria . Quindi:

Infine, ponendo , si ha:

Cambiamento di base

Come già detto, l’algoritmo di De Casteljau ha una complessità maggiore rispetto allo schema di Horner

per la valutazione di un polinomio. Per questa ragione (oltre alla fatto che a volte è necessario passare

dalla base di Bernstein alla base monomiale e viceversa) si utilizza la matrice di cambiamento di base.

Tale matrice, che permette di passare dalla base dei polinomi di Bernstein di grado n alla base monomiale

di grado n, è la matrice Λ di ordine n+1, i cui elementi sono dati da:

La matrice di cambiamento di base che permette di passare dalla base monomiale di grado n alla base dei

polinomi di Bernstein di grado n è la matrice Λ-1

di ordine n+1, i cui elementi sono dati da:

Si può dimostrare che ogni monomio può essere espresso nella forma

E viceversa, ogni polinomio di Bernstein si può scrivere nella forma:




Esempio (n=2)

Λ

è la matrice che fa passare dalla base di Bernstein alla base monomiale, mentre la matrice

Λ

Fa passare dalla base monomiale alla base di Bernstein.

Per quanto riguarda i coefficienti si ha:

Siccome:

Λ

Allora:

Λ e Λ

Esempio

Sia , la matrice di cambiamento di base Λ

Λ

quindi il polinomio espresso nella base di Bernstein avrà, per coefficienti:

Pertanto, si passa dai coefficienti di una rappresentazioni ai coefficienti dell’altra semplicemente

moltiplicandoli per la matrice di cambiamento di base.

Osservazione: il primo e l’ultimo coefficiente nella base di Bernstein sono esattamente il valore che

nella base monomiale assume in 0 ed in 1.




Nota: poiché la valutazione di un polinomio nella base di Bernstein è computazionalmente più costosa

rispetto alla valutazione di un polinomio nella base monomiale utilizzando lo schema di Horner, per

polinomi di grado basso di cui si devono effettuare molte valutazioni può essere conveniente effettuare una

conversione di base e procedere con lo schema di Horner. Tale procedimento è sconsigliato per polinomi di

grado maggiore o uguale a 4 per ragioni di stabilità.

Proprietà delle curve di Bezier

1. Il grado di polinomi Bernstein che parametrizzano la curva è sempre dato dal numero di punti di

controllo meno 1 (n+1 punti di controllo determinano polinomi di grado n).

Questo è uno strumento che permette flessibilità in quanto è possibile aumentare i gradi di libertà

della curva aumentando il numero dei punti di controllo; tuttavia all’aumentare dei nodi di controllo

aumenta il grado dei polinomi e, conseguentemente, la complessità computazionale O(n2

/2).

2. La curva segue la forma del poligono di controllo e si trova sempre nell’inviluppo convesso dei

punti di controllo.

3. Il primo e l’ultimo punto di controllo sono l’inizio e la fine della curva e vengono interpolati.

4. I vettori tangenti alla curva nel primo e nell’ultimo punto coincidono con il primo e l’ultimo lato del

poligono di controllo.

5. Le intersezioni della curva con una retta sono sempre in numero minore o, al massimo, uguale a

quelle che la retta ha con il poligono di controllo (variation diminishig)

6. Le curve di Bezier sono invarianti per trasformazioni affini. La curva è trasformata applicando una

qualunque trasformazione affine ai suoi punti di controllo.

Svantaggi delle curve di Bezier

Esistono alcuni difetti che rendono le curve di Bezier non del tutto adatte alla modellazione:

1. I vertici di controllo non permettono di effettuare un controllo locale della curva. Infatti, muovendo

un qualunque vertice di controllo si ottiene un effetto su tutta la curva, anche se esso è meno

evidente nelle zone lontane dal punto che si è spostato. Questo perché i polinomi di base di

Bernstein sono diversi da zero su tutto l’intervallo.

2. La relazione tra il numero dei vertici di controllo e il grado della curva è obbligata.

Per ovviare a questo problema è possibile utilizzare più segmenti di curve di Bezier di grado basso

(n=3) nel caso si abbia un elevato numero di vertici di controllo. Tuttavia deve essere considerato il

problema della continuità globale: la curva globale potrà essere G0

se solo il punto di raccordo è in

comune, se il punto precedente e quello seguente sono allineati allora la curva potrà essere G1

. Per

ottenere questo risultato si perdono però gradi di libertà.




Curve Spline polinomiali di ordine m a nodi multipli

In analisi matematica, una spline è una funzione, costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il

cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti (detti nodi della spline), in modo da essere

continua (almeno fino ad un dato ordine di derivate) in ogni punto dell'intervallo.

Le Spline polinomiali a nodi semplici sono funzioni che presentano la massima regolarità per essere

polinomiali a tratti. Tale massima regolarità di classe Cm-2

è, a volte, troppo elevata per permettere alla

funzione spline di seguire bene l’andamento di dati che presentino un comportamento in parte molto

regolare, in parte meno regolare.

È importante allora aggiungere gradi di libertà alla spline, riducendo all’occasione le condizioni di raccordo

sulle derivate, introducendo il concetto di nodi multipli.

Spline polinomiali a nodi multipli

Definizione

Sia [a, b] un intervallo chiuso e limitato sia ∆ una partizione di [a, b] così definita:

∆

che induce una partizione di [a, b] in k+1 sottointervalli:

Sia m un intero positivo e sia un vettore di interi positivi tali che .

Si definisce funzione spline polinomiale di ordine m con nodi di molteplicità , una funzione

che in ciascun sottointervallo coincide con un polinomio di ordine m, e che nei nodi

soddisfi le condizioni di continuità:

La differenza con le spline polinomiali a nodi semplici consiste nel fatto che è possibile variare il tipo di

raccordo in un nodo a seconda del valore .

In base a questo valore si può decidere sino a quale derivata effettuare il raccordo; maggiore sarà la

molteplicità, minori saranno le condizioni di raccordo sui nodi.

Nota: se si ottiene una spline a nodi semplici. Se non si ottiene alcun raccordo nel

nodo i-esimo.

Esempio

Sia , se per un certo il nodo è semplice:

Se il nodo è doppio

Se il nodo è triplo

Man mano che aumenta la molteplicità dei nodi, si riducono le condizioni di raccordo nei nodi.




Teorema

Lo spazio ∆ delle spline polinomiali di ordine m a nodi multipli con nodi di molteplicità

, ha dimensioni pari a , dove .

Dimostrazione intuitiva

Per ciascuno dei sottointervalli, il polinomio di ordine m ha m gradi di libertà, si hanno quindi

gradi di libertà; a questi si devono sottrarre le condizioni di raccordo imposte su ogni nodo

. Si ha:

Nel caso in cui e quindi: , si ricade nelle spline polinomiali a nodi semplici di

dimensione .

Funzione B-Spline normalizzate

In analogia con il caso di nodi semplici, si osserva come ogni spline polinomiale a nodi multipli

∈ ∆ possa essere espressa come:

∆

Partizione nodale estesa

Per poter costruire tutte le B-spline normalizzate che costituiscono la base per ∆ è necessario

costruire una partizione nodale estesa ∆

con . Nel caso di nodi multipli la si costruisce

nel seguente modo:

a) i nuovi nodi sono semplici, ma possono coincidere

b)

c) sono scelti in modo tale che siano coincidenti con:

d)

I punti vengono anche chiamati break points.

Una volta costruita la partizione nodale estesa, l’insieme delle B-spline normalizzate viene definito

mediante la seguente formula ricorrente:

≠




Proprietà delle funzioni B-Spline con nodi multipli normalizzate

Formano una base per lo spazio ∆

Ciascuna ∈ ∆ può essere espressa come:

∈

Per la proprietà di supporto compatto delle B-Spline, se ∈ , si ha:

Sono non negative sul loro supporto

∈

Costituiscono una partizione dell’unità

Dalle ultime due proprietà, si ha che la spline è una combinazione lineare convessa dei

coefficienti , quindi è compreso tra il minimo e il massimo coefficiente:

Inoltre si ha controllo locale: per la proprietà di supporto compatto delle B-spline, la valutazione del

polinomio in un punto ∈ si riduce a:

In quanto le uniche B-spline diverse da 0 su un punto ∈ sono

Si cha che:

Proprietà di variation diminishing

Sia ∈ ∆ e sia rappresentata nella nase delle B-spline normalizzate:

∈

Si ha che il numero di variazioni di segno della funzione spline è minore uguale al numero di variazioni di

segno dei coefficienti.




Curve B-Spline

Dati i vertici di controllo per definire una curva B-Spline è necessario:

Fissare l’ordine delle B-Spline normalizzate

Fissare l’intervallo [a, b]

Fissare il numero e la molteplicità dei break points e, conseguentemente, la partizione nodale

estesa

La dimensione dello spazio deve essere uguale al numero dei vertici ci controllo N, cioè .

La curva B-Spline si esprime come:

∈

L’utilizzo delle B-Spline normalizzate risulta essere più complesso, tuttavia è anche più flessibile rispetto

all’uso dei polinomi di Bernstein: infatti se per definire una curva di Bezier, una volta fissati i vertici di

controllo rimane fissato anche il grado dei polinomi di base di Bernstein, nel caso delle curve spline ci sono

maggiori gradi di libertà.

Valutazione di una funzione spline

Si è visto che, assegnata la partizione nodale estesa ∆ , una ∈ ∆ può essere espressa come:

Se ∈ , allora si ha:

Esistono due algoritmi per valutare in un punto.

Il primo algoritmo calcola le funzioni base diverse da zero sul punto ∈ :

… ..

…

Un buon algoritmo per valutare tutte le funzioni base B-Spline normalizzate di ordine m diverse da zero in

un punto, ha complessità:




Il secondo algoritmo, proposto da De Boor, è l’analogo, per le funzioni B-Spline, dell’algoritmo di De

Casteljau per i polinomi in forma di Bernstein: si ottiene sostituendo, di volta in volta, alle B-Spline di

ordine m la combinazione di due B-Spline di ordine inferiore, come stabilito dalle formule ricorrenti.

Osservando che le funzioni di base di ordine diverse da 0 sull’intervallo ∈ sono quelle che

hanno indice che va da fino a , si può estendere la prima sommatoria a partire da

fino a . Inoltre si può estendere la seconda sommatoria da fino a sostituendo alle

occorrenze di e tenendo conto che per la funzione base nulla:

Ora, ponendo

Si ha:

La B-Spline ottenute è di ordine ; iterando il procedimento volte si ottiene il valore della B-Spline in

un punto in termini di una funzione base di ordine 1, cioè in termini di un solo coefficiente:

Si è ottenuto pertanto che il valore della B-Spline calcolato in è quello di una B-Spline di ordine uno per un

opportuno coefficiente. Lo schema che si ottiene è il seguente:

…

…

… …




Ovvero:

La complessità computazionale è

È possibile, come con l’algoritmo di De Casteljau, valutare la curva in un punto mediante una

combinazione dei coefficienti.

Diversamente dall’algoritmo per le curve di Bezier, che lavorano su tutti i coefficienti, il corrispettivo

algoritmo per le B-Spline lavora solo con i coefficienti definiti nel supporto grazie alle proprietà delle

funzioni base, che sono a supporto compatto, e permettendo di superare il grande problema delle curve di

Bezier per cui non sono consentite modifiche a livello locale.

Algoritmo di inserimento di un nuovo nodo in una partizione nodale già

esistente (Knot Insertion)

Considerando, ad esempio, due curve B-Spline cubiche:

∆

∆

non risulta possibile sommarle direttamente, pur essendo entrambe cubiche.

Si vuole allora esprimere come una B-Spline che abbia gli stessi nodi dello spazio cui appartiene .

Per farlo si inserisce un nodo nella rappresentazione di in corrispondenza della posizione 2/4; in

questo modo i due spazi hanno lo stesso grado di libertà e diventa possibile sommare le due curve.

Una volta inserito il nodo cambiano:

Le funzioni base di che diventano uguali a quelle di

I coefficienti di .

In linea generale, considerando una partizione nodale estesa ∆

, si vuole individuare il tipo di

relazione che intercorre tra essa e quella che si ottiene aggiungendo il nodo ∈ .

La nuova partizione nodale ∆

è definita come:

∆

È possibile inserire il nuovo nodo dove si vuole, anche in corrispondenza di un altro nodo già esistente (in

tal caso si aumenta la molteplicità di quel nodo).

Si vuole allora studiare la relazione tra le funzioni base del nuovo spazio, e le

funzioni base , dello spazio iniziale.




Per la caratteristica di localizzazione delle funzioni base si ha che non cambiano tutte: tra esse esiste la

seguente relazione:

Si vogliono ora individuare i coefficienti tali che sia:

Utilizzando la relazione tra le funzioni base si ha:

I valori sono tutti compresi tra 0 e 1, quindi i sono una combinazione convessa dei e il loro calcolo

risulta stabile.

L’algoritmo di Knot Insertion per B-Spline è l’analogo dell’algoritmo di degree elevation per cuver di Bezier;

la differenza è la localizzazione in quanto solo i coefficienti dai fino a sono modificati per

l’inserimento di un nodo nell’intervallo .

L’algoritmo di Knot Insertion può essere utilizzato ripetutamente per ottenere la valutazione di una

funzione spline in un punto: infatti se un nodo ha molteplicità , solo una funzione base è diversa da 0

e quel nodo vale 1, quindi il coefficiente unico dà anche il valore della B-Spline in quel punto. Si parte allora

dall’inserimento di un nodo nel punto dove si vuole valutare la B-Spline, ottenendo:

Si procede inserendo un secondo nodo in , e si ottiene:

E si procede fino ad inserimenti:

Ora, tenendo conto che man mano che aumenta la molteplicità di un nodo diminuisce il numero di funzioni

base diverse da zero in quel punto, si ottiene la riduzione:




La valutazione di una B-Spline in un punto mediante l’inserimento di un nodo, coincidente con di

molteplicità , coincide con l’algoritmo di valutazione di De Boor.

Questo algoritmo può essere utilizzato anche per la suddivisione di funzione B-Spline in due funzioni: una

definita su e l’altra definita su :

∈

∈

L’unica differenza è che deve avere molteplicità .

Osservazioni:

Inserendo un nodo nella partizione nodale, vengono modificate le funzioni base e viene quindi

modificata la base dello spazio vettoriale, tuttavia la curva non cambia; in altri termini: modificando

la partizione nodale con l’inserimento, la modellazione non cambia.

L’inserimento dei nodi è la procedura base dell’algoritmo geometrico di De Boor per il disegno di

una curva B-Spline. Per ottenere un punto sulla curva è necessario inserire un noto un numero di

volte pari al grado delle funzioni base.

Algoritmo di Knot-Insertion (caso curve B-Spline)

Sia

la curva spline di ordine definita sulla partizione nodale estesa ∆

.

Si inserisce un nodo ∈ ottenendo una nuova partizione nodale estesa: ∆

.

La curva, rispetto a questa nuova partizione nodale estesa diventa:

Inserendo un nodo nella partizione nodale estesa, quindi, vengono modificate le funzioni base dello spazio

vettoriale, la curva non cambia: modificano la partizione nodale estesa con l’inserimento non cambia la

modellazione; cambia però il poligono di controllo.

I coefficienti rappresentano i vertici del nuovo poligono di controllo; la modifica è solo locale: il poligono

cambia solo in parte. I punti di controllo che cambiano dipendono dal sottointervallo della partizione

nodale estesa in cui viene inserito il nuovo nodo:

I valori di dipendono dal nodo che si vuole inserire e dall’ampiezza della partizione nodale; non

dipendono dal sottointervallo .




Esempio 1

Esempio 2

Data una partizione nodale estesa ed un insieme di vertici di controllo

dando molteplicità 4 a ciascuno dei noti interni

si ottiene la suddivisione della curva in 4 curve di Bezier: la curva non cambia, cambiano solo la poligonale.

In questo modo è possibile applicare l’algoritmo di De Casteljau per valutare ogni pezzo della curva.

L’algoritmo di De Casteljau è più sempre dell’algoritmo di De Boor perché ogni è uguale al valore del

parametro per cui si valuta.

Osservazione: inserendo i nodi nella modellazione permette di

valutare la curva

spezzare la curva

avvicinare il poligono di controllo alla curva.




Derivata prima della curva B-Spline

Siano

∈

allora la derivata prima della curva B-Spline si esprime nella seguente forma:

dove

allora

–

–

–

nella prima sommatoria, quando si ha che

nella seconda sommatoria, quanto si ha che , allora:

–

–

Pertanto, la derivata prima di una curva B-Spline è una curva B-Spline ottenuta come combinazione lineare

delle funzioni base di ordine , i cui vertici di controllo sono dati dalla combinazione lineare dei

vecchi vertici di controllo:




Proprietà delle curve B-Spline

Le proprietà delle curve B-Spline derivano dalle proprietà delle funzioni spline che ne danno una

rappresentazione parametrica.

Il numero dei punti di controllo N, l’ordine della spline m e la somma delle molteplicità di ogni break point

K, sono legati dalla relazione:

questo permette di poter lavorare con curve di ordine basso anche a fronte di un elevato numero di punti

di controllo.

In una curva spline si possono individuare delle parti, dette spans, che corrispondono a ciascun intervallo

internodale; infatti, poiché si ha che per ∈

solo i punti di controllo influenzano la curva nel valore del parametro .

Esempio

∈

∈

∈

Pertanto: la span dipende solo dai punti di controllo ; la span dipende solo dai punti di

controllo ; la span dipende solo dai punti di controllo .

Quindi, un importante vantaggio delle B-Spline è legato a questa proprietà di controllo locale.

Allo stesso modo, se si sposta un punto di controllo, la curva sarà modificata solo relativamente nella

spans in cui risiede il nodo.




Le curve di Bezier sono un caso speciale delle curve B-Spline

Se i punti di controllo sono e si considera una spline di ordine , poiché deve valere la condizione

, significa che non si possono avere nodi interni e quindi . Ne segue quindi che la partizione

nodale estesa è data da nodi coincidenti con il primo estremo dell’intervallo e nodi coincidenti con il

secondo estremo dell’intervallo; pertanto la curva B-Spline di ordine coincide con la curva di Bezier di

grado .

Se i nodi aggiuntivi sono coincidenti con gli estremi dell’intervallo, la curva B-Spline interpola il

primo e l’ultimo punto di controllo

Invarianza per trasformazioni affini

Le curve B-Spline sono invarianti per trasformazioni affini. Pertanto se si deve traslare, ruotare o deformare

una curva, è sufficiente applicare la trasformazione solo ai punti di controllo e poi costruire la curva sui

punti trasformati. La curva subirà la trasformazione desiderata come se fosse stata applicata a tutti i suoi

punti.

Proprietà forte del guscio convesso (strong convex hull property)

Se ∈ allora

è contenuta nell’inviluppo convesso dei punti di controllo .

Da questa proprietà segue che se gli punti di controllo sono allineati, allora

la curva coincide con una retta.

Se punti sono coincidenti, allora la curva passa per il punto multiplo.

Proprietà di variation diminishing

Il numero di intersezioni di una qualsiasi retta con il poligono di controllo è

maggiore del numero di intersezioni della stessa retta con una curva B-Spline.




Il vantaggio di utilizzare Curve B-Spline

Le curve B-Spline richiedono più informazioni (grado della curva, vettore dei break points e rispettive

molteplicità) e una teoria più complessa rispetto alle curve di Bezier. I vantaggi però compensano questi

inconvenienti.

1. Una curva B-Spline può essere una curva di Bezier

2. Le curve B-Spline soddisfano tutte le proprietà importanti che hanno le curve di Bezier

3. Le curve B-Spline forniscono più flessibilità di controllo rispetto a ciò che possono fare le curve di

Bezier:

3.1. Si possono utilizzare curve di grado più basso mantenendo un grande numero di punti di controllo

3.2. Si può cambiare la posizione di un punto senza cambiare globalmente la forma dell’intera curva

3.3. Per la proprietà strong convex hull, si ha un maggiore controllo della urva

3.4. Esistono, inoltre, altre tecniche per disegnare ed editare la forma di una curva cambiando i break

points.

Va però osservato che le curve B-Spline sono curve polinomiali e pertanto non sono possono rappresentare

molte utili curve semplici come cerchi o elissi. Infine non godono dell’invarianza per trasformazioni

proiettive.

Pertanto, è richiesta una generalizzazione delle B-Spling, NURBS.




Sommario Introduzione ............................................................................................................................................................ 1

Computer Graphics (CS) ...................................................................................................................................... 1 Image Processing (IP) ........................................................................................................................................... 1 Computer Vision .................................................................................................................................................. 1 Pattern Recognition .............................................................................................................................................. 1

Schema di un’applicazione grafica......................................................................................................................... 2 Ciclo di vita pixar ................................................................................................................................................. 2 Realtà aumentata ................................................................................................................................................. 3 Interattività vs Non interattività .......................................................................................................................... 3 Il video controller ................................................................................................................................................. 3

Tecnologia vettoriale ........................................................................................................................................ 3 Tecnologia raster .............................................................................................................................................. 3 Monitor CRT ...................................................................................................................................................... 4 Monitor LCD ...................................................................................................................................................... 4 Monitor LED ...................................................................................................................................................... 5 Pipeline di rendering ........................................................................................................................................ 5

Programmazione grafica ..................................................................................................................................... 6 La pipeline di rendering .......................................................................................................................................... 7

Sottosistema geometrico ..................................................................................................................................... 7 Model and view transformation ....................................................................................................................... 7 Lighiting ............................................................................................................................................................ 7 Projecton ........................................................................................................................................................... 7 Clipping ............................................................................................................................................................. 7 Screen mapping ................................................................................................................................................ 7 Spazi di coordinate ........................................................................................................................................... 8 Entità geometriche ........................................................................................................................................... 8 Trasformazioni geometriche affini .................................................................................................................. 8 Trasformazioni geometriche nel piano ........................................................................................................... 8 Coordinate omogenee ...................................................................................................................................... 9 Trasformazioni di base in coordinate omogenee ........................................................................................ 10 Composizione di trasformazioni ................................................................................................................... 10 Trasformazione Window to viewport ............................................................................................................ 12 Trasformazioni 3D .......................................................................................................................................... 13 Il processo di vista in 3 dimensioni .............................................................................................................. 14 Le proiezioni ................................................................................................................................................... 14 I parametri della vista 3D ............................................................................................................................... 17 Definire i parametri di una vista sintetica .................................................................................................... 18

Sottosistema raster ............................................................................................................................................ 20 Algoritmi ......................................................................................................................................................... 20 Drawing ........................................................................................................................................................... 20 Algoritmo DDA (digital differential analyzer) ............................................................................................... 21 Algoritmo di Bresenham (midpoint) .............................................................................................................. 21 Algoritmo Midpoint per circonferenze o ellissi ............................................................................................ 23 Filling ............................................................................................................................................................... 24 Clipping ........................................................................................................................................................... 25 Antialiasing ..................................................................................................................................................... 28

OpenGL ................................................................................................................................................................... 30 Introduzione ....................................................................................................................................................... 30 Librerie GLU e GLUT ........................................................................................................................................... 30 Programmazione window-based ....................................................................................................................... 30 Alcune funzioni per la gestione della window ................................................................................................. 31




void glutInit(int *argcp, char **argv); ........................................................................................................... 31 void glutInitWindowSize(int width, int height); ............................................................................................ 31 void glutInitWindowPosition(int x, int y); ...................................................................................................... 31 void glutInitDisplayMode(unsigned int mode); ............................................................................................ 31 int glutCreateWindow(char *name); .............................................................................................................. 31 int glutCreateSubWindow(int win, int x, int y, int width, int height); ......................................................... 32 void glutSetWindow(int win); ......................................................................................................................... 32 int glutGetWindow(void); ............................................................................................................................... 32 void glutDestroyWindow(int win); ................................................................................................................. 32 void glutPositionWindow(int x, int y); ........................................................................................................... 32 void glutReshapeWindow(int width, int height); .......................................................................................... 32 void glutFullScreen(void); ............................................................................................................................... 32 void glutShowWindow(void); .......................................................................................................................... 32 void glutHideWindow(void); ........................................................................................................................... 32 void glutIconifyWindow(void); ....................................................................................................................... 32 void glutSetWindowTitle(char *name); .......................................................................................................... 32 void glutSetIconTitle(char *name); ................................................................................................................ 32 void glutSetCursor(int cursor); ...................................................................................................................... 32

Alcune funzioni per la gestione degli eventi ................................................................................................... 33 void glutDisplayFunc(void (*func)(void)); ...................................................................................................... 33 void glutReshapeFunc(void (*func)(int width, int height)); .......................................................................... 33 void glutKeyboardFunc(void (*func)(unsigned char key, int x, int y)); ....................................................... 33 void glutSpecialFunc(void (*func)(int key, int x, int y)); ............................................................................... 33 void glutMouseFunc(void (*func)(int button, int state, int x, int y)); .......................................................... 33 void glutMotionFunc(void (*func)(int x, int y)); ............................................................................................ 33 void glutPassiveMotionFunc(void (*func)(int x, int y)); ................................................................................ 33 void glutIdleFunc(void (*func)(void)); ............................................................................................................ 33 void glutTimerFunc(unsigned int msecs, void (*func)(int value), value); ................................................... 33 void glutMainLoop(void); ............................................................................................................................... 33

Funzioni per la gestione dei menu ................................................................................................................... 34 int glutCreateMenu(void (*func)(int value)); ................................................................................................. 34 void glutSetMenu(int menu); ......................................................................................................................... 34 int glutGetMenu(void) .................................................................................................................................... 34 void glutDestroyMenu(int menu); .................................................................................................................. 34 void glutAddMenuEntry(char *name, int value); .......................................................................................... 34 void glutAddSubMenu(char *name, int menu); ............................................................................................ 34 void glutChangeToMenuEntry(int entry, char *name, int value); ................................................................ 34 void glutChangeToSubMenu(int entry, char *name, int menu); ................................................................. 34 void glutRemoveMenuItem(int entry); ........................................................................................................... 34 void glutAttachMenu(int button); .................................................................................................................. 34 void glutDetachMenu(int button); ................................................................................................................. 34

Funzioni per il testo ........................................................................................................................................... 34 void glutBitmapCharacter(void *font, int character); ................................................................................... 34 int glutBitmapWidth(GLUTbitmapFont font, int character) .......................................................................... 34 void glutStrokeCharacter(void *font, int character); .................................................................................... 34 int glutStrokeWidth(GLUTstrokeFont font, int character) ............................................................................ 35

Funzioni per il colore ......................................................................................................................................... 35 void glClearColor(GLfloat red, GLfloat green, GLfloat blue, GLfloat alpha); .............................................. 35 void glClear( GLbitfield mask); ................................................................................................................... 35

Funzioni per la definizione di coordinate ........................................................................................................ 35 void gluOrtho2D(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top); ............................... 35 void glMatrixMode(GLenum mode); .............................................................................................................. 35 void glLoadIdentity(void); .............................................................................................................................. 35




void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble zNear, GLdouble zFar); ....................... 35 void glViewport(GLint x, GLint y, GLsizei width, GLsizei height); ............................................................... 36

Funzioni primitive per il disegno ...................................................................................................................... 36 void glPointSize(GLfloat size); ....................................................................................................................... 36 void glVertex{D}{T}(GLType red, GLType green, GLType blue[, GLType alpha]]); ...................................... 36 void glBegin(GLenum mode); ......................................................................................................................... 36 void glVertex{D}{T}(GLType x, GLType y[, GLType z[, GLType w]]); ............................................................ 36 void glBegin(GLenum mode); ....................................................................................................................... 37 void glFlush(void); .......................................................................................................................................... 37

void glRect{T}(GLType x1, GLType y1, GLType x2, GLType y2); ..................................................................... 37 Struttura di un programma OpenGL ................................................................................................................. 37 Ovviamente è possibile definire strutture per le coordinate dei vertici. ....................................................... 37 Può essere utile definire una serie di funzioni. ............................................................................................... 37 Suggerimenti per i poligoni regolari e cerchi .................................................................................................. 37 Gestione del ridimensionamento della finestra ............................................................................................... 40 Tiling della finestra con un motivo ................................................................................................................... 40 Trasformazioni di modellazione ....................................................................................................................... 40

Librerie GLUI per l’interfaccia grafica................................................................................................................... 41 Definizioni .......................................................................................................................................................... 41 Funzioni .............................................................................................................................................................. 41

Rappresentazione di curve mediante spline polinomiali di ordine m a nodi semplici .................................... 44 Curve 2D ............................................................................................................................................................. 44

Esempi di curve in forma parametrica .......................................................................................................... 44 Rappresentazione nel calcolatore ................................................................................................................. 44

Funzioni spline polinomiali a nodi semplici .................................................................................................... 45 Definizione 1.1: spline polinomiale a nodi semplici.................................................................................... 45 Teorema: la dimensione dello spazio delle spline ∆ è m+k ................................................................ 45 Definizione 1.2: Funzione base B-spline ...................................................................................................... 45 Formule di Cox per la valutazione di una B-spline ...................................................................................... 45 Partizione nodale estesa ................................................................................................................................ 46 Risultato importante ....................................................................................................................................... 46 Proprietà delle B-spline .................................................................................................................................. 46 Proprietà delle spline valutate mediante B-spline ........................................................................................ 46 Proprietà di variation diminishing di una spline espressa s(x) nella base delle B-spline normalizzate .. 47 Interpolazione mediante funzioni spline polinomiali a nodi semplici ....................................................... 47 Teorema di Schoemberg Whitney .................................................................................................................. 47 Condizione di spline cubica naturale ............................................................................................................ 48 Condizione sulla derivata prima.................................................................................................................... 48 Condizione sulla derivata seconda ............................................................................................................... 48 Condizione di periodicità ............................................................................................................................... 48 Proprietà di convergenza delle funzioni spline di interpolazione .............................................................. 49 Curve spline interpolanti ................................................................................................................................ 49

Parametrizzazione ............................................................................................................................................. 50 Parametrizzazione uniforme ......................................................................................................................... 50 Parametrizzazione mediante corda............................................................................................................... 50 Parametrizzazione di “Foley” ......................................................................................................................... 50 Parametrizzazione centripeta ........................................................................................................................ 50 Regolarità della curva ..................................................................................................................................... 51

Interpolazione di classe C1

.................................................................................................................................... 52 Funzioni base di Hermite .................................................................................................................................. 52 Polinomio interpolatore di Hermite .................................................................................................................. 52 Metodi numerici per il calcolo delle derivate ................................................................................................... 53 Shape preserving ................................................................................................................................................ 53




Curve interpolanti di Hermite............................................................................................................................ 54 Curve di Bezier ....................................................................................................................................................... 54

Proprietà dei polinomi di Bernstein di grado n ................................................................................................ 56 Ricorsività ........................................................................................................................................................ 56 Non negatività ................................................................................................................................................. 57 I polinomi di Bernstein formano una partizioni dell’unità .......................................................................... 57 Combinazione lineare convessa .................................................................................................................... 57 Il numero di variazioni di segno di un polinomio espresso nella base di Bernstein è minore o uguale al

numero di variazioni di segno dei suoi coefficienti ..................................................................................... 57 Approssimazione uniforme di un polinomio ad una funzione ................................................................... 57

Interpretazione geometrica dei coefficienti di un polinomio nella base di Bernstein .................................. 57 Inviluppo convesso ............................................................................................................................................ 58

Definizione ...................................................................................................................................................... 58 Proprietà dell’approssimazione di forma ..................................................................................................... 58 Valutazione di un polinomio nella base di Bernstein e algoritmo di De Casteljau ................................... 58 Interpretazione geometrica dell’algoritmo di De Casteljaue per curve di Bezier ...................................... 60 Proprietà dell’algoritmo di De Casteljau ....................................................................................................... 60 Elevamento di grado di un polinomio nella base di Bernstein (Degree Elevation) .................................... 61 Riduzione di grado di un polinomio nella base di Bernstein ...................................................................... 62 Derivata prima di un polinomio nella base di Bernstein ............................................................................. 62 Cambiamento di base .................................................................................................................................... 63 Esempio (n=2) ................................................................................................................................................. 64 Esempio ........................................................................................................................................................... 64

Proprietà delle curve di Bezier .......................................................................................................................... 65 Svantaggi delle curve di Bezier ......................................................................................................................... 65

Curve Spline polinomiali di ordine m a nodi multipli ......................................................................................... 66 Spline polinomiali a nodi multipli ..................................................................................................................... 66 Funzione B-Spline normalizzate ........................................................................................................................ 67

Partizione nodale estesa ................................................................................................................................ 67 Proprietà delle funzioni B-Spline con nodi multipli normalizzate .................................................................. 68

Formano una base per lo spazio ∆ ....................................................................................................... 68

Sono non negative sul loro supporto ............................................................................................................ 68 Costituiscono una partizione dell’unità ........................................................................................................ 68 Proprietà di variation diminishing ................................................................................................................ 68

Curve B-Spline..................................................................................................................................................... 69 Valutazione di una funzione spline .................................................................................................................. 69 Algoritmo di inserimento di un nuovo nodo in una partizione nodale già esistente (Knot Insertion) ........ 71

Algoritmo di Knot-Insertion (caso curve B-Spline) ....................................................................................... 73 Esempio 1 ........................................................................................................................................................ 74 Esempio 2 ........................................................................................................................................................ 74

Derivata prima della curva B-Spline .................................................................................................................. 75 Proprietà delle curve B-Spline ............................................................................................................................ 76

Esempio ........................................................................................................................................................... 76 Le curve di Bezier sono un caso speciale delle curve B-Spline .................................................................... 77 Se i nodi aggiuntivi sono coincidenti con gli estremi dell’intervallo, la curva B-Spline interpola il primo e

l’ultimo punto di controllo ............................................................................................................................. 77 Invarianza per trasformazioni affini .............................................................................................................. 77 Proprietà forte del guscio convesso (strong convex hull property)............................................................ 77 Proprietà di variation diminishing ................................................................................................................. 77

Il vantaggio di utilizzare Curve B-Spline ........................................................................................................... 78

Appunti Di Metodi Numerici Per La Grafica

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