Metodi Numerici v2.2

5/15/2018 Metodi Numerici v2.2 - slidepdf.com

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Indice

1 Generalita sui metodi numerici 3

1.1 Analisi degli errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Condizionamento di un problema numerico . . . . . . . . . . 51.3 Stabilita di un algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Criteri di convergenza e troncamento di processi iterativi . . . 12

2 Metodi numerici 162.1 Metodi di risoluzione di equazioni lineari con sorgente . . . . 16

2.1.1 Metodo di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Metodo di Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Metodo di Jacobi vs Metodo di Gauss . . . . . . . . . 242.1.4 Metodo SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.5 Shift tra metodo di Jacobi e metodo SOR . . . . . . . 282.1.6 Ordinamento dei nodi di flusso . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari . . . . . . . . . 302.2.1 Metodo di Newton per la risoluzione di sistemi non

lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Metodi per problemi agli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1 Scomposizione QR di una matrice . . . . . . . . . . . 312.3.2 metodo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.3 Metodo delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Proprieta spettrali delle matrici di interazione . . . . . . . . . 382.5 Approssimazione di dati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.1 Funzioni spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6 Integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7 Equazioni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Metodi numerici per l’ingegneria nucleare 523.1 Introduzione alla tecnologia ed alla fisica nucleare . . . . . . . 52

3.1.1 Il concetto di criticita e le sue implicazioni . . . . . . . 553.1.2 Fenomeni non stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.3 L’importanza neutronica ed i metodi per lo studio di

problemi pseudo-stazionari . . . . . . . . . . . . . . . 57

1



3.2 Il consumo del combustibile nucleare . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Differenze finite fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3.1 Diffusione monodimensionale monogruppo . . . . . . . 613.3.2 Problemi con sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.3 Non omogeneita dello spazio . . . . . . . . . . . . . . 663.3.4 Diffusione bidimensionale monogruppo . . . . . . . . . 693.3.5 Diffusione multigruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3.6 Accelerazione della convergenza delle iterazioni esterne 85

3.4 Metodi Coarse Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.4.1 Metodi Quabox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4.2 Metodi Cubbox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.5 Elementi di cinetica neutronica . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.6 Elementi di Trasporto neutronico . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6.1 Formulazione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A Aggiustamento di sezioni d’urto 106A.1 Introduzione alle basi di dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106A.2 Elementi di statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.3 Aggiornamento di dati differenziali a partire da dati integrali 112A.4 Teoria delle perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

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Capitolo 1

Generalita sui metodi

numerici

1.1 Analisi degli errori

L’analisi numerica di un problema fisico porta necessariamente alla pro-duzione di un certo numero di errori, dei quali e necessario conoscere l’entitaal fine di ridurla al minimo Esistono varie tipologie di errore:

Errori di idealizzazione : Derivano dalla decisione di trascurare deter-minati elementi del problema fisico di partenza per semplicita

Errori di matematizzazione : Derivano dalla semplificazione delle equazioniallo scopo di ottenere un modello matematico piu facile da trattare.Questa perdita di informazioni e di difficile recupero

Errori numerici : Risiedono intrinsecamente nella risoluzione numericadi un problema. Sono costituiti ad esempio dalla discretizzazionetemporale e spaziale del problema

Errori sui dati di input : Derivano come facilmente comprensibile daeventuali incertezze o imprecisioni sui dati di input

Errori di calcolo numerico : Derivano da tutte le approssimazioni ef-fettuate all’interno della risoluzione del problema numerico, come iltroncamento di processi iterativi

Errori di misura : Derivano dal fatto che nel momento in cui si vanno aconfrontare i dati numerici con quelli sperimentali questi ultimi saran-no inevitabilmente soggetti ad un errore di misura. In questa fase eopportuno ricordare che grande attenzione deve essere posta nell’uti-lizzo degli strumenti, in particolare evitando che essi vengano utilizzatial di fuori del loro range

3



Errori di arrotondamento : Derivano dal fatto che un calcolatore puo

memorizzare solo un numero finito di cifre decimali.

Viene qui approfondito il discorso legato agli errori di arrotondamen-to. L’insieme detto dei numeri di macchina e di fatto un sottoinsiemedell’insieme dei numeri reali. All’interno di un calcolatore i numeri sonoimmagazzinati in virgola mobile, ovvero sottoforma di un modulo e diuna potenza in base 10 1 che diventa virgola mobile normalizzata oveil modulo della mantissa e sempre 0.1 < |a| < 1. Definito t il numero di cifredecimali della mantissa, si avra ovviamente che le dimensioni dell’insiemedei numeri di macchina aumentano con l’aumentare di t. Si ha banalmenteche per t → ∞ =⇒ A → R, ovvero se t tende ad infinito non commetto

errori di arrotondamento2

.Vediamo meglio come e possibile definire l’errore di arrotondamento.Si definisce l’operatore somma per il calcolatore, dato da

x y = (x + y)(1 + ) con|| ≤ eps

Si ricordi pero che un calcolatore opera solo con numeri di macchina. Sidefinisce dunque che se x non appartiene a tale insieme, esistera un suo ar-rotondamento opportuno che lo portera a diventare un numero di macchina

In generale avremo che eps ∼ 10−22. Apparentemente e una quantitamolto piccola, ma se le operazioni sono associate a fattori di amplificazionedell’errore derivanti dal cattivo condizionamento del problema puo risultarerilevante la propagazione di tale errore.

Si supponga ora

y = a + b + c con y = f l((a + b) + c)

ove l’operazione “fl” indica operazione reale eseguita in virgola mobile.Chiamando η = f l(a + b) risultato in virgola mobile della somma tra

parentesi, esso varraη = (a + b)(1 + 1)

da cui

y = f l(η + c) =

= (η + c)(1 + 2) =

= (a + b + c)[1 +a + b

a + b + c1(1 + 2) + 2]

Si definisce ora y tale per cui y = (a + b + c)(1 + y)

1ad esempio il numero 439 diventa 0.439 · 1022Per maggiore completezza e necessario precisare che e necessario che anche il numero

di cifre per l’esponente di 10 deve tendere ad infinito affinche l’insieme dei numeri dimacchina tenda a quello dei numeri reali

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Si puo ragionevolmente pensare di trascurare il termine contenente la

moltiplicazione di due infinitesimi, in modo da ottenere

y =a + b

a + b + c1 + 2

Si vede dunque che i due errori sono pesati con pesi diversi. In particolare,nel caso in esame, l’errore sulla seconda operazione pesa piu di quello sullaprima.

Due algoritmi diversi accumuleranno errori di arrotondamento in mododiverso. Tuttavia questa considerazione perde di validita ove il valore di ttenda ad infinito. Questa condizione e definita di computer ideale ovveroalgoritmo indipendente.

In un computer reale invece, anche avendo in input solo numeri dimacchina, sono in genere sufficienti pochi passaggi per rendere nuovamentenecessaria una approssimazione, dando luogo ad errori di arrotondamento.La quantificazione di tali errori e data da eps = 5 · 10−t, ove tale valore e difatto il massimo errore di arrotondamento che posso avere per ogni calcolo,ed e detto sensibilita del computer.

Va ricordato che un problema numerico e disgiunto dalla strategia cheviene utilizzata per risolverlo. In sostanza il problema numerico e l’algorit-mo che verra ad esso applicato per ricavare la soluzione sono slegati l’unodall’altro.

1.2 Condizionamento di un problema numerico

Elemento importante da studiare e il condizionamento di un problemanumerico, che di fatto esprime la sua suscettibilita ad oscillazioni ed errorisui dati di input. Un problema mal condizionato non puo essere risolto acuor leggero, in quanto non si puo essere sicuri dell’affidabilita dei risultatiottenuti. Questo problema risulta di particolare interesse nei problemi nu-cleari soprattutto per via di alcune grandezze sperimentali, come le sezionid’urto e le lunghezze di diffusione, il cui valore e facilmente soggetto adincertezze anche importanti.

La maggior parte dei problemi di condizionamento e legata alla sensi-bilita del computer. Essa e definita in maniera tale per cui a + b = a seb < , ove e proprio la sensibilita del computer.

Si prenda una generica funzione:

ϕ(x) =

ϕ1(x1....xn)

...ϕn(x1....xn)

Si chiami ora x il valore approssimato, affetto da incertezza, tale che ∆x =|x − x| e definisco xi = |x−x|

xla perturbazione o incertezza relativa.

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Ovviamente nella realta il valore di tale perturbazione relativa non e noto,

in quanto x stesso non e noto. In generale tuttavia, quantomeno sui dati iningresso, si puo effettivamente quantificare tanto x quanto x

Il risultato desiderato e una quantificazione del condizionamento delproblema, vale a dire una relazione del tipo ∆y = f (∆x)

Un esempio per procedere e utilizzare uno sviluppo in serie di Taylortroncato al prim’ordine.

∆yi = |yi − yi| = ϕi(x) − ϕix =n

j=1

(x j − x j)∂ϕi

∂x j+ [...]

Il poter supporre che le entita |x− x| siano piccole permette di approssimare

la serie al prim’ordine. Evidentemente questo non e sempre vero: ove le siano dell’ordine del 30% del valore nominale, questa approssimazione none piu valida.

Il vettore ∆y dato dalle singole componenti delle perturbazioni in uscitasara dunque dato da:

∆y =

∂ϕ1∂x1

· · · ∂ϕ1∂xn

.... . .

...∂ϕm∂x1

· · · ∂ϕm

∂xn

∆x1

...∆xn

Che, in forma matriciale, diventa:

∆y = Dϕ(x) · ∆x

Ove Dϕ(x) rappresenta la jacobiana della trasformazione calcolata in x.Si ricorda a questo proposito che la jacobiana, calcolata in un punto preciso,e una matrice di numeri a tutti gli effetti, ed in questo caso costituisce ilfattore di amplificazione della perturbazione assoluta in ingressoe dipende solo dalla definizione del problema numerico, e non dall’algorit-mo scelto per la risoluzione. In particolare l’elemento ai,j rappresenta ilfattore di amplificazione con cui la componente i-esima del vettore in uscitaviene influenzata dalla perturbazione della j-sima componente del vettore diinput

Dunque, come gia detto in precedenza e qui dimostrato, il condiziona-mento di un problema e algoritmo indipendente.

Effettuando discorsi analoghi sugli errori relativi si ottiene il fattore diamplificazione delle perturbazioni relative in ingresso:

yi =ni=1

xj (∂ϕi

∂x j)

x jϕi

Il condizionamento del problema tuttavia non e uguale per tutti i valoridi input, ma potrebbe essere buono rispetto ad alcuni e meno rispetto ad

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altri. Poiche il fattore di amplificazione non e un numero ma una matrice,

utilizzando un tipo di norma piuttosto che un’altra si potranno evidenziarein modo piu o meno marcato eventuali picchi di condizionamento. Si notiche, seppure la liberta di scelta della norma da utilizzare e ampia, l’operatore“norma” di una matrice deve rispettare determinate proprieta che ne perme-ttono il confronto con vettori ed altre matrici. Un esempio classico di norma

e A =

a2i,j , ma una possibile alternativa e anche A = max(|ai,j |).

Si prenda un esempio di problema: ϕ(x, y) = x − y, da cui avremo

x−y =x

x − yx − y

x − yy

Da questo si vede che se (x

−y) tende a zero i fattori di amplificazione

aumentano enormemente.Se il problema e lineare, esso e scrivibile come

Ax = b

Lo studio del condizionamento di un problema lineare sara esprimibile dallasoluzione del problema A(x + δx) = (b + δb), ove δb dipende dalla sensibilitadello strumento.

La matrice A invece e una caratteristica del problema numerico e nonvaria con il termine sorgente. Ovviamente indipendentemente dal valoredella perturbazione, il problema e risolvibile (in questo caso, con problema

linere e non omogeneo) solo se det(A) = 0δxx ≤ AA−1 · δb

bInfatti si avra che:

Ax + Aδx = b + δb

Che, ricordando la dicitura iniziale del problema (che rimane ovviamentevalida anche in seguito alla perturbazione) diventa:

Aδx = δb → δx = A−1δb

Passando al confronto tra norme si ottiene:

δx = A−1δb ≤ A−1δbRicordando che vale anche che:

b = Ax ≤ AbSi ottiene che, dividendo ambo i membri della disequazione precedente perla norma di b, si ottiene:

deltaxAx ≤ A−1δb

b

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Dalla quale si deriva facilmente quanto si voleva dimostrare

Il valore AA−1 e definito fattore di amplificazione, e dipendeda A. Piu tale fattore e alto, peggiore sara il condizionamento del problema.Si tenga ben presente il fatto che finora non e mai stato fatto alcun cennoad algoritmi o a metodi di risoluzione del problema. Il condizionamento diun problema e infatti algoritmo indipendente, ed e invece strettamentelegato al problema fisico di partenza.

In tutti questi passaggi si noti che gli errori considerati non sono nec-essariamente quelli sui dati in ingresso. Il vettore x di input puo esserecontenuto in una qualsiasi fase del problema, e dunque l’errore ad esso as-sociato potrebbe essere, ad esempio, l’errore di arrotondamento derivantedall’approssimazione del risultato del calcolo precedente.

Questo insieme di considerazioni prende il nome di backward anal-ysis ed ha la funzione di validare problemi ed algoritmi in funzione delcondizionamento del problema. Il punto chiave del problema risiede ove uneventuale errore di calcolo porti ad ottnere comunque risultati plausibili, ilche rende difficile accorgersi della presenza di un errore dalla semplice analisidei risultati.

Prendiamo un esempio molto comune: ci si trova davanti ad un poli-nomio di grado n del quale si vogliono identificare gli zeri. Questo e unproblema spesso non lineare, il cui condizionamento raramente e buono, etanto peggiore quanto piu alto e il grado n del polinomio, anche se non tuttigli zeri sono condizionati allo stesso modo. In generale infatti avremo che

un generico zero µi di un polinomio e mal condizionato se:∂P n∂µ

µi

→ 0

In generale ove ci troviamo di fronte ad un problema mal condizionato none possibile risolverlo cosı com’e tramite algoritmi. Si rivela in questi casinecessario andare a variare cio che e stato fatto a monte, cercando ad esempiodi ridurre gli errori iniziali (idealizzazione, matematizzazione, ecc.) o ariconsiderare il problema dall’inizio. Tuttavia nessuna di queste opzionifornisce garanzie sul risultato finale.

Spesso accade dunque che un problema del tipo P n(x) = 0 venga trasfor-mato in un problema Ax = λx, ove i due non hanno niente in comune senon la soluzione.3

3Si noti come tutti i discorsi fatti fino ad ora per gli errori possano essere applicati inmaniera perfettamente analoga a delle perturbazioni “volontarie”, come potrebbe esseread esempio il voler testare come il punto di funzionamento di un sistema e influenzato dalvariare dei parametri operativi

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1.3 Stabilita di un algoritmo

Si prenda ora un passaggio qualunque del processo risolutivo di un problemanumerico. Ogni singola operazione di un algoritmo si presentera come unaspecie di micro-problema numerico, in cui in ingresso si ha il risultato ditutte le operazioni che stanno a monte che sara, evidentemente, soggetto aduna incertezza legata agli arrotondamenti precedenti. Sara dunque neces-sario anche lo studio del condizionamento di tale micro-problema, definitocondizionamento locale. In questa visione dunque un algoritmo non ealtro che una serie di micro-problemi numerici, che vanno studiati localmentedal punto di vista del condizionamento.

Un esempio banale di questo concetto e l’operazione x−y. Tale problema

e fortemente mal condizionato.Supposto che in una qualsiasi operazione x1, x2,...,xn sia il vettore

dei dati in ingresso ed y1, y2,...,ym sia il vettore di uscita, si puo definirey = ϕ(x) il problema numerico, che sara caratterizzato da:

ϕ : D → Rm D ⊆ R

n y ∈ Rm x ∈ Rn

yi = ϕi(x1,....xn)i = 1 : m

Cosa e invece l’algoritmo? Si avra che

ϕ(i)

: D(i)

→ D(i+1)

con i = 0 : r e D( j)

⊆ Rnj

ϕ = ϕ(r)ϕ(r−1) · · · ϕ(1)ϕ(0)

Dunque se il dato di ingresso e x0, si avra che il dato in uscita sara

ϕ(0)x0 = x1 −→ ϕ(1)x1 = x2... −→ ϕ(r)xr = xr+1

Per risolvere un problema numerico si possono applicare molti algoritmidiversi. Al di la delle questioni che vedremo in seguito sul costo e la velocitadi convergenza di un algoritmo, e importante a priori assicurarsi che esso siaben fatto, dall’inglese robust.

Per verificare la stabilita di un algoritmo si tengono in conto gli arroton-damenti in virgola mobile ed il condizionamento del problema che si vuoleandare a risolvere.

Si supponga di avere un algoritmo composto da r funzioni ϕ(i), ciascunadelle quali sia derivabile e continua nel suo dominio. Si definisce inoltreuna nuova funzione ψ(i) come la trasformazione residua, data dallacomposizione di tutte le ϕ( j) con i ≤ j ≤ r. Ne deriva che ψ(0) ≡ ϕ

Sapendo che vale

D(f g)x = D(f )xD(g)x

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e possibile definire le jacobiane di ϕ e ψ, ed in particolare si puo dire che:

Dϕ(x) = Dϕ(r)(x(r))Dϕ(r−1)(x(r−1)) · · · Dϕ(0)(x(0))

Dψ(i)(x(i)) = Dϕ(r)(x(r))Dϕ(r−1)(x(r−1)) · · · Dϕ(i)(x(i))

Si ricorda che, nel momento in cui si parla di un algoritmo, si parla di uncomputer reale , il che porta a dire che il numero di cifre della mantissa efinito. Si avra dunque a che fare con grandezze approssimate del tipo:

x(i+1) = f l(ϕ(i)(x(i)))

Quello che ora e necessario calcolare e il valore di ∆xi ad un i-esimo passaggiodi un algoritmo, che sara dato dal valore approssimato ottenuto meno ilvalore esatto:

∆x(i+1) = [f l(ϕ(i)x(i)) − ϕ(i)x(i)]

Sommando e sottraendo la quantita [ϕ(i)x(i)] si ottiene:

∆x(i+1) = [f l(ϕ(i)(x(i))) − ϕ(i)(x(i))] + [ϕ(i)(x(i)) − ϕ(i)(x(i))]

Il secondo termine tra parentesi quadre rappresenta il condizionamento lo-cale del problema ϕ(i), e sara dunque uguale a

[ϕ(i)(x(i)) − ϕ(i)(x(i))] = Dϕ(i)(x(i)) · ∆x(i)

Ne consegue che l’errore finale non sara semplicemente la somma degli erroridi arrotondamento, ma conterra anche il contributo del condizionamento di

ogni step dell’algoritmo considerato.Per calcolare invece il contributo dato dal primo termine tra parentesi

quadre si deve svolgere come segue. Essendo ϕ(i) una funzione a piu variabili,si potra scrivere:

ϕ(i) =

ϕ(i)1 (u)

ϕ(i)2 (u)

...

ϕ(i)n (u)

Prendendo la j-esima di queste funzioni e analizzando il suo operare su u invirgola mobile si ottiene un risultato affetto dal seguente errore:

f l(ϕ(i) j (u)) = (1 + j)(ϕ

(i) j (u)) con | j | ≤ eps

Mettendo il tutto in una equazione piu compatta si potra dunque scrivere:

f l(ϕ(i)(u)) = (I + E (i+1))(ϕ(i)(u))

Con

E (i+1) =

(i+1)1 0

. . .

0 (i+1)n

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Questa e dunque l’espressione che interessa, ricordando che al posto di u ci

sara x(i). In realta si adottera qui l’approssimazione di supporre l’errore diarrotondamento piccolo, andando cioe a confondere x(i) con x(i). Dunque indefinitiva

[f l(ϕ(i)x(i) − ϕ(i)(x(i))] E i+1ϕ(i)(x(i))

Il termine a destra dell’uguale e chiamato anche αi+1 ed e chiamato errore

assoluto di arrotondamento che nasce dal calcolo in virgola mobile diϕ

In definitiva, sommando i due fattori, si ottiene:

∆x(i+1) E i+1ϕ(i)(x(i)) + Dϕ(i)(x(i)) · ∆x(i)

Quanto varra in definitiva ∆y ? Sara legato sia al microcondizionamentoche al macrocondizionamento, nonche agli errori di arrotondamento. Chia-mando αi l’errore di arrotondamento all’i-esima iterazione si avra che:

• per i=0 ∆x(0) = ∆x

• per i=1 ∆x(1) = Dϕ(0)(x(0))∆x + α1

• per i=2 ∆x(2) = Dϕ(1)(x(1))[Dϕ(0)(x)∆x + α1] + α2

Si vede dunque che gli errori non si sommano ma si propagano. Dunqueinfine ricordando della proprieta della jacobiana di una composizione difunzioni, varra che:

∆y = Dϕ(x)∆x +r

i=0

Dψ(i)(x(i))αi + E r+1y

Si avra dunque un primo contributo, dato dal macrocondizionamento delproblema ed indipendente dall’algoritmo, piu un termine dato dalle oper-azioni interne dell’algoritmo costituito da una composizione degli errori edella jacobiana della funzione composta ψ. Questa seconda parte e quellalegata dunque alla stabilita dell’algoritmo, che sara considerato accettabileove l’incertezza legata all’algoritmo e confrontabile con quella generata apriori dal problema numerico. Si dira in questo caso che l’algoritmo e ben

fatto o robusto. Si faccia attenzione tuttavia al fatto che il concetto di ro-bustezza e stabilita di un algoritmo e indipendente da quello di convergenzadel problema, che e invece calcolata in termini ideali.

Venendo infine al termine E r+1y, si vede che esso rappresenta la coda del-l’errore, l’arrotondamento sull’ultimo step dell’algoritmo, e evidentementesempre presente ed il suo valore e maggiorato da E r+1y ≤ eps|y|. Si avra in-oltre che qualunque sia il problema o l’algoritmo, a meno che in ingresso nonsi abbiano solo numeri di macchina esistera anche un arrotondamento suidati in ingresso. Si definisce in definitiva errore inevitabile la quantita:

∆(0)y = eps(|Dϕ(x)||x| + |y|)

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Comunque sia fatto l’algoritmo, non e possibile andare al di sotto di questo

errore, ed e per questo usato come termine di paragone.Si tenga conto che, in generale, non e possibile analizzare per intero, step

per step, la stabilita di un algoritmo che abbia qualche migliaio di passaggi.Quel che si fa e, in generale, analizzare soltanto le situazioni consideratepotenzialmente critiche.

1.4 Criteri di convergenza e troncamento di pro-

cessi iterativi

Uno dei problemi principali in analisi numerica e quello di stabilire un cri-

terio per determinare la convergenza di un problema iterativo. Tale proced-imento e purtroppo effettuabile a priori solo nella risoluzione di problemilineari. Per quanto riguarda invece i problemi non lineari questo non esempre vero.

Altra questione non da poco conto e quella di stabilire un criterio per iltroncamento di un processo iterativo. Posto infatti che l’algoritmo porti aconvergenza, ci si chiede quale sia il momento per arrestare il calcolo, de-finendo cosı la soluzione che, pur non essendo quella esatta, verra consideratacome definitiva.

Bisogna fare attenzione alle caratteristiche intrinsecamente diverse didifferenti algoritmi, che potranno convergere piu o meno velocemente gli uni

rispetto agli altri. Risulta dunque in genere inopportuno arrestare un pro-cesso iterativo dopo un numero arbitrario di iterazioni, poiche la soluzionepotra essere troppo o troppo poco precisa a seconda della velocita di conver-genza dell’algoritmo utilizzato. Per questo e opportuno stabilire dei criteridi convergenza che diano informazioni su quale sia il momento migliore peril troncamento4.

Riguardo la velocita di convergenza e opportuno fare un discorso ulte-riore. In numerica ogni cosa si paga, e di conseguenza un algoritmo checonverge piu velocemente sara, in genere, piu “costoso“, ovvero presenteraall’interno di ogni iterazione calcoli piu complessi od in numero maggiore.Il numero totale delle operazioni effettuate da un algoritmo e infatti quan-

tificabile come NxM, ove N e il numero di iterazioni ed M e il numero dioperazioni per iterazione.

La scelta dell’algoritmo da utilizzare non e dunque banale e richiede accu-rate considerazioni di rapporto costi-benefici. Una strategia spesso attuatae inoltre quella di utilizzare differenti algoritmi in cascata per la risoluzionedello stesso problema.

4Esistono poi casi particolari, come si vedra in seguito a proposito della teoria delladiffusione, ove invece viene imposto un numero fissato di iterazioni. Le ragioni di questascelta saranno piu evidenti quando ne verranno chiarite le implicazioni nel relativo capitolo

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Esistono inoltre procedure di accelerazione di algoritmi lenti, che perme-

ttono di ridurre il numero di iterazioni senza incrementare eccessivamente ilnumero di operazioni per iterazione.

Importante e segnalare che le zone dell’asse delle iterazioni non sonotutte uguali, ed in particolare e possibile definirne due:

Zona delle prime iterazioni : qui si ha elevata differenza tra due soluzionisuccessive. Tale zona non e assestata, avvengono sconvolgimenti notevoli,e spesso non e possibile effettuare considerazioni sulla convergenza diun algoritmo, che e influenzata anche dal termine forzante.

Zona asintotica : qui vi sono pochi sconvolgimenti, ma la convergenza elenta e vi e differenza molto limitata tra due soluzioni successive. Dal-

l’altro lato e pero la velocita di convergenza e molto spesso stimabilea priori e dipende solo dalla matrice di iterazione dell’algoritmo.

Soffermandosi sulla zona asintotica si nota che un algoritmo molto lentopotrebbe indurre a credere di trovarsi gia prossimi alla convergenza, quandoinvece se ne e ancora ben lontani

Una soluzione a tale problema e quella di utilizzare il residuo, ovvero ladifferenza dall’eguaglianza che si ottiene andando a sostituire la soluzione ap-prossimata nell’equazione di partenza. L’entita di tale residuo dara dunque,generalmente, informazioni utili sulla qualita della soluzione ottenuta.

Si prenda ad esempio un generico problema del tipo Ax = b. Si definsice

x soluzione esatta del problema, ove invece xn ne e la soluzione approssimataall’n-esima iterazione. Ne viene che:

Ax − b = 0

Axn − b = r = 0

Calcolare il valore di r puo come detto aiutare a valutare il livello diconvergenza della soluzione.

Il problema del residuo tuttavia e che, per come esso e stato sinoradefinito, si tratta di una quantita assolulta, il che implica che la sua in-terpretazione non e immediata. Tale criterio verra in generale utilizzato inAND con altri criteri di convergenza.

Per quel che riguarda i criteri sulla soluzione in se, esistono in generaledue approcci:

Norma : Non conoscendo la soluzione si utilizza uno pseudo-errore relativo:

Φm+1 − ΦmΦm+1 ≤ N

Tramite questo metodo si perde il dettaglio sulla singola componente,concentrandosi invece sull’insieme dei valori. Esistono ovviamentenumerose norme che possono essere applicate per questo criterio

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Puntuale : In questo caso non si mescolano tra loro le componenti, ma per

ciascuna viene valutata la convergenza:

|Φm+1i − Φm

i ||Φm+1

i | ≤ P,i ∀i

Il problema e ora chiaramente spostato sul valore dell’errore massimo daimporre per il troncamento del processo iterativo, la cui scelta sara ovvia-mente data dal rapporto costo/benefici. Il criterio puntuale e, ad esempio,piu stringente e portera in generale ad ottenere una soluzione piu precisama al costo di un numero maggiore di iterazioni. La scelta verra comunqueeffettuata soprattutto in base a considerazioni fisiche. Nel caso, ad esempio,

del calcolo delle sezioni d’urto medie sull’intervallo energetico non e richi-esta la convergenza puntuale. Nel caso invece di sistemi di sicurezza ove visono vari parametri sotto controllo, sara necessario applicare un criterio diconvergenza puntuale per evitare imprecisione elevata su parametri moltodelicati. Si noti in ogni caso che e possibile anche utilizzare piu criteri diconvergenza, ad esempio puntuale su alcune elementi del vettore soluzionee in norma sulla soluzione presa interamente.

Quali sono le possibilita che si hanno nel caso di fallimento di un algo-ritmo?

• Nel caso in cui l’algoritmo diverga, ovvero non fornisca una soluzione,la causa puo avere due nature distinte:

– Natura fisica: c’e un errore nella definizione del problema fisicoche rende la soluzione non consistente

– Natura numerica: c’e un errore nell’algoritmo

• L’altro caso e quello in cui l’algoritmo fornisce comunque una soluzione,diversa tuttavia da quella esatta. Questi sono in effetti i casi piu peri-colosi, perche se in un contesto di modellizzazione di fenomeni osservatisperimentalmente e facile effettuare una verifica accorgendosi dell’er-rore5, dall’altro lato se sono in fase di progettazione non e possibilefare questo controllo diretto fino a che non e realizzato un prototipo6.

5Oggigiorno il grande sviluppo dei metodi numerici e la loro sempre maggiore affid-abilita stanno portando al verificarsi di condizioni opposte: talvolta e, in effetti, il metodonumerico che viene utilizzato per validare una determinata procedura sperimentale e nonviceversa. Altro aspetto del potenziamento dei metodi numerici e che essi hanno talvol-ta permesso di prevedere fenomeni che solo successivamente e stato possibile osservaresperimentalmente

6Anche in questo caso comunque non sempre le condizioni sono agevoli, anzi. Le situ-azioni tipiche dei reattori nucleari sono infatti particolarmente negative: non soltanto iprototipi sono particolarmente dispendiosi, ma anche una volta che questi vengono realiz-zati non e affatto facile effettuare misure di flusso neutronico per validare i calcoli numericitramite dati sperimentali. Le uniche apparecchiature che permettono di effettuare tale op-

14



erazione sono i TIP (Travelling Incore Probes), sonde che viaggiano in canali dedicati eche permettono l’ottenimento di misure discrete. Dal punto di vista sperimentale spessovengono realizzati dei sistemi di prova, poco corrispondenti alla versione industriale delprogetto, ma la cui natura semplice e ben nota permette di agevolare la validazione deimodelli numerici. Sistemi di questo tipo sono detti benchmarks

15



Capitolo 2

Metodi numerici

2.1 Metodi di risoluzione di equazioni lineari con

sorgente

2.1.1 Metodo di Jacobi

Il metodo di Jacobi e un algoritmo iterativo che converge alla soluzione diun problema lineare non omogeneo. Esso costituisce l’algoritmo base, di cuisi vedranno in seguito le evoluzioni. Viene in genere utilizzato solo nella faseturbolenta delle prime iterazioni per sgrossare la soluzione.

Supponiamo di operare con una matrice a diagonale dominante. Si vedra

nelle prossime righe come effettivamente questa condizione e garanzia dellaconvergenza dell’algoritmo.

Il metodo di Jacobi prevede di spezzare la matrice A di interazione delproblema in due matrici:

• Una matrice D, diagonale e facilmente invertibile1

• Una matrice E, tale che A = D - E

Dunque il problema diventa:

DΦ = E Φ + S

Il calcolo di D−1 e molto semplice, dunque potro scrivere per questo prob-lema:

Φ = D−1E Φ + D−1S

Ricordiamo che la moltiplicazione di una matrice o vettore qualsiasi per unamatrice diagonale mi fornisce come risultato il prodotto di ciascun elementodi ogni riga per l’elemento della diagonale corrispondente.

1si ricorda che una matrice diagonale e invertibile solo se tutti i suoi elementi sulladiagonale sono diversi da 0. Al tempo stesso e anche dimostrabile che, data una matriceinvertibile, e sempre possibile effettuare permutazioni di riga e di colonna che portinoall’ottenimento di una matrice avente solo elementi non nulli sulla diagonale

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Chiamero ora:

• B = D−1E matrice di iterazione2

• q = D−1S

Da cui risulteraΦ = BΦ + q

Si vede che, per come e costruita, la matrice B e a diagonale nulla ed i suoielementi diversi da zero sono sempre negativi ed inferiori ad 1 in modulo,essendo essi definiti come bij = −aij

aii∀ i = j

Da tutto questo segue che B∞ < 1. La norma infinito e infatti definitacome il valore massimo tra le somme degli elementi delle righe di una matrice(max(

i |aij |).

Nel momento in cui si trasforma quanto detto in un processo iterativoopero un’assegnazione, che mi porta ad una scrittura di questo tipo:

Φ(m+1) = BΦ(m) + q

Dunque si utilizza ogni volta il flusso dell’iterazione m-esima per calcolarequello dell’iterazione successiva. E’ stato dunque dato il via ad un processoiterativo.

Si puo dimostrare che tale metodo porterebbe, dopo un numero infinitodi iterazioni, alla soluzione esatta.

Si prenda l’equazione di iterazione e si sottragga ad entrambi i membrila soluzione esatta. Ne verra:

Φ(m+1) − Φ = BΦ(m) + q − Φ

Ma essendo Φ = BΦ + q, si avra

Φ(m+1) − Φ = BΦ(m) + q − BΦ − q = B(Φ(m) − Φ)

Lo scopo e chiaramente quello che sia

Φ(m+1)

−Φ

<

Φ(m)

−Φ

Partendo ora con Φ(0) = 0, Ne seguira che:

Φ(1) = q

Φ(2) = BΦ(1) + q...

Φ(n+1) = BΦn + q

2da non confondere con la matrice di interazione, la matrice del problema orginiario,che nel nostro caso e A

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Per come sono definite, le iterazioni possono anche essere scritte come:

Φ(1) = q

Φ(2) = Bq + q...

Φ(n+1) = q + Bq + B2q + · · · + Bnq

Si vede dunque che il flusso neutronico all’n-esima iterazione dipende soloda B e da q. Da qui si vede che si ha di fatto una specie di serie geometricamatriciale, che nella pratica converge solo se B < 1.

Dunque la soluzione di partenza e proprio il termine forzante, mentreogni iterazione andra ad affinare la soluzione aggiungendo ulteriori termini.

Attenzione pero: il fatto che B sia cosı importante non e necessariamenteuna buona notizia. La matrice B e infatti strettamente dipendente da A,la quale e legata a sua volta alla fisica del problema. Dunque se B nonconverge, ci sara poco da fare: sara necessario trovare una soluzione a montedell’impostazione del problema fisico.

Si puo ora notare un altro dettaglio. Andando infatti a prendere l’ultimotermine di ogni iterazione e li mettiamo a vettore, ho di fatto costruito ilmetodo delle potenze (vedi paragrafo 2.3.3 a pagina 33), che mi permette dicalcolare gli autovalori di una matrice. Dunque l’ultimo termine dell’ultimaiterazione tendera, per numero infinito di iterazioni, a divenire parallelo all’ϕ0 autosoluzione fondamentale del problema

Bϕ = µϕ

Ove µ e l’autovalore di modulo massimo e ϕ l’autovettore corrispondente.Questo discorso, per ora apparentemente di scarsa utilita, verra utilizzatoquando si parlera del metodo SOR che costituisce, di fatto, un upgrade delmetodo di Jacobi.

Si dimostra ora un teorema di fondamentale importanza per questi prob-lemi:

Teorema 1 Condizione necessaria e sufficiente affinche il metodo di Jacobi converga e che ρ(B) < 1

Da qui deriva il fatto della convergenza del problema se la sua matrice di in-terazione e a diagonale dominante: si ha infatti una serie di consequenzialitaa cascata che ci dicono che:

• Se la matrice A e a diagonale dominante, allora vale che B∞ < 1

• Se B∞ < 1 allora ρ(B) < 13

• Se ρ(B) < 1 allora il metodo di Jacobi converge, tanto piu velocementequanto piu il valore del raggio spettrale e piccolo

3Questo vale in realta per ogni norma di matrice compatibile con una di vettore

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Si vuole ora dimostrare il concetto fondamentale che sta alla base degli

studi di convergenza del metodo di Jacobi: che la convergenza di tale metodoe associata al raggio spettrale della matrice di iterazione

Per farlo e necessario definire ed enunciare le proprieta di una categoriadi matrici, dette matrici irriducibili

Definizione 1 Una matrice quadrata e irriducibile se per ogni coppia di i,j distinti esiste almeno una successione finita di interi, compresi tra 1 ed n (dove n e la dimensione della matrice) che va da i a j del tipo

i = m0 → m1 → m2 → · · · → mq = j

tale che:am0,m1 , am1,m2, · · · , am(q−1),m1

sono tutti diversi da 0

Non e facile dimostrare che una matrice e irriducibile, mentre molto piufacile e dimostrare che una matrice non lo e. Di fatto comunque, a livellologico, l’irriducibilita di una matrice indica il fatto che tutti i nodi sonoin qualche modo collegati tra loro. Ecco dunque perche irriducibile: se unproblema fisico e rappresentato da una matrice riducibile, esso puo esserespacchettato (e dunque, ridotto) in piu problemi di ordine inferiore.

Teoricamente sarebbe necessario dimostrare che per ogni coppia di el-

ementi della discretizzazione esite un percorso fatto di linee verticali odorizzontali che collegano tali elementi passando solo attraverso elementi nonnulli. Il problema e che dimostrarlo per tutte le coppie possibili non e affattofacile.

Quale potrebbe essere un problema riducibile? Si tratta ad esempio delcaso, sempre in ambito nucleare, di due zone di materiali diversi separateda una barriera di un materiale assorbitore perfetto. La matrice legata atale problema sara dunque riducibile in quanto cio che accade ai neutroninella zona 1 non influenza in alcun modo cio che invece avviene nella zona2. 4.

Teorema 2 Se una matrice e riducibile e sempre possibile, permutandoopportunamente righe e colonne, portarla ad una forma di tipo diagonale a blocchi:

A1 0

0 A2

Viene ora mostrata una prima applicazione della proprieta di irriducibilitadi una matrice:

4Un esempio pratico di sistemi caratterizzati da matrici di riducibili sono i cosiddettirubbiatroni, ove si opera in modo da creare delle specie di “gabbie stagne” per i neutroniper determinate energie

19



Teorema 3 Se una matrice A e irriducibile, allora affinche valga che

B

∞ <

1 e sufficiente che la dominanza stretta della diagonale della matrice Asia valida per uno dei suoi elementi, mentre gli altri basta che soddisfinol’uguaglianza

Dunque la convergenza di un problema avente come matrice di interazioneuna matrice irriducibile e assicurata anche se non e a diagonale dominante

Si procede ora alla dimostrazione vera e propria della convergenza delmetodo di Jacobi

Noto che:

(m) = Φ − Φ(m) → (m+1) = B(m) = · · · = Bm(1)

Se B e una matrice simmetrica, esiste una n-upla di assi ortogonali rispettoai quali essa assume forma diagonale. Essa e dunque diagonalizzabile5, ovegli elementi di tale diagonale risultano essere gli autovalori del problema as-sociato alla matrice stessa mentre i versori degli assi della n-upla ortogonalesaranno gli autovettori, che formeranno un sistema completo ortonormale(vedi teorema 4 a pagina 32).

Si prenda ora il vettore (1). Poiche se la matrice e reale e simmetricagli autovettori del problema agli autovalori Bϕ = λϕ formano una baseortonormale (vedi capitolo 2.4 a pagina 38) sara sempre possibile scrivere ilvettore errore assoluto come combinazione lineare di tali autovettori:

(1) =

nh=1

c(1)h ϕh

Dunque

(m+1) = Bmn

h=1

c(1)h ϕh =

=n

h=1

c(1)h Bmϕh =

=n

h=1

c(1)

hλmϕ

h

ove la j-esima componente di sara dunque

(m+1) j =

nh=1

c(1)h λm

h ϕh,j

Ma se ρ(B) < 1, allora qualunque autovalore λ ha modulo inferiore ad 1.Ne deriva evidentemente che, per m → ∞, il valore di (m) tendera a 0,

5tali autovalori saranno ripetuti ove essi abbiano molteplicita > 1

20



e dunque la soluzione tendera alla soluzione esatta. Attenzione che dalla

stessa equazione si evince anche che non tutti gli elementi del vettore deglierrori andranno a 0 con la stessa velocita, che dipende infatti dall’autovalorecorrispondente (piu il modulo e elevato, piu lenta e la convergenza).

Dimostrato che la condizione di ρ(B) < 1 e necessaria, di dimostra orache essa e sufficiente. Si prenda un termine forzante q tale per cui l’errorealla prima iterazione sia tale che

(1) ϕ1

Ma se effettivamente questo e vero, allora si puo scrivere:

(m+1)

j = c

(1)

1 λ

m

1 ϕ1,j

Che ovvimante tende a 0 per m che tende ad infinito se e solo |λ1| < 1 6.Si puo fare questo ragionamento per ogni ϕi il che porta a poter dire che

tale condizione e necessaria.7

Dopo aver dimostrato che la condizione di ρ(B) < 1 e, in generale,necessaria e sufficiente per la convergenza del metodo di Jacobi, accerti-amoci ora che il raggio spettrale della matrice di iterazione mi da ancheuna quantificazione della velocita di convergenza del metodo (nella zonaasintotica).

Si supponga ora che λ1 sia l’autovalore di modulo massimo. Questoimplichera dunque che

|λ

1|= ρ(B) e che

|λ j |

< ρ(B)∀ j

= 1. Si puo

dunque scrivere, come fatto in precedenza ma esplicitando il termine relativo

6Cosa accade se la matrice di partenza A e reale e simmetrica? Questo implica chegli autovalori del problema Aϕ = λϕ sono a coppie in modulo uguale e segno opposto.Avremo cosı dunque che, per la convergenza, dovro considerare sempre due autovaloriinvece di uno. Al posto della equazione appena scritta avremo che il calcolo dell’erroresara effettuato sulla norma, e potremo scrivere che:

(m+1) ∼ Cρ(B)m

7Si noti che questo discorso e stato effettuato per dei termini forzanti specifici, ovverotali per cui l’errore risulti parallelo ad un autovettore. Questo p er potersi porre nel casopiu sfortunato, e di conseguenza definire una regola generale. Esisteranno dunque deivalori di q per cui tale condizione non sara, invece, necessaria. Basti pensare al caso incui, per assurdo, λ1 > 1 ma (1) ⊥ ϕ1. In questo caso il valore dell’errore all’m-esimaiterazione sara dato da:

(m+1)j =

nh=2

c(1)h λ

mh ϕh,j

Ma dunque l’unico autovalore maggiore di 1 non interverra nella sommatoria e di con-seguenza avro convergenza pur essendo la condizione di ρ(B) < 1 non rispettata. Tuttavianel mondo reale bisogna ricordarsi che non solo che il calcolatore commette errori di ar-rotondamento e non conosce la quantita “0”, e di conseguenza il concetto di ortogonalitae mantenuto solo per poche iterazioni

21



all’autovalore di modulo massimo, che :

(m+1) j = λm

1 [c(1)1 ϕ1,j +

nh=2

c(1)h (

λh

λ1)mϕh,j ]

Si vede chiaramente che, per m → ∞, sara

m+1 j λm

1 c(1)1 ϕ1,j

In quanto il termine λhλ1

mtende a 0. Maggiore sara il valore dell’h-esimo

autovalore, maggiore sara la resistenza al contributo corrispondente a calarecon le iterazioni. A questo proposito si definisce rapporto di dominanza

il modulo del rapporto tra il secondo autovalore di modulo maggiore e l’au-tovalore di modulo massimo ( |λ2|

|λ1|). Tanto piu tale rapporto di dominanza

e elevato tanto piu e necessario aspettare affinche l’errore alla m-esima it-erazione sia parallelelizzato al contributo dell’autovalore fondamentale.Anche il rapporto di dominanza, come il raggio spettrale, e definito dallafisica del problema (oltre che dalla scelta dell’algoritmo). Il punto e che, infisica della diffusione, i due autovalori di modulo maggiore sono molto vicinitra loro.

Si definisce velocita di convergenza asintotica il valore8:

R∞ = − ln ρ(B)

Si suppunga a questo punto di trovarsi in zona asintotica, ad una iterazionem0. Com’e possibile capire quante altre iterazioni bisogna fare per ridurrel’errore di un fattore 100? Questo sara come dire che

ρ(B)m < 0.01

da cui si otterra che dovra essere:

m >4, 76

− ln ρ(B)

Il metodo di Jacobi e dunque cosı esplicitato: molto semplice e lineare.Si vuole ora pero analizzarne i punti deboli, in modo tale da poter capireove si possa lavorare per cercare di migliorarlo.

Il suo handicap fondamentale e legato alla sua scarsa ottimizzazione

nell’utilizzo delle informazioni disponibili. Si prenda infatti una generica m-esima iterazione. Arrivati al calcolo di Φ

(m+1)i si avra a disposizione gia una

serie di informazioni “di qualita”, vale a dire tutti i flussi della m+1-esima

iterazione fino al Φ(m+1)i−1 .

Il metodo di Jacobi e dunque detto “delle iterazioni successive” poicheper ogni iterazione uso solo informazioni “vecchie”. Il punto di novita delmetodo di Gauss-Seidel e proprio quello di utilizzare, per il calcolo del flussoaggiornato, anche le informazioni nuove.

8Si noti che questa non costituisce un calcolo della velocit a di convergenza ma solo unasua stima, utile per confrontare tra loro differenti algoritmi

22



2.1.2 Metodo di Gauss-Seidel

Come e dunque possibile effettuare un upgrading del metodo di Jacobi,con poco sforzo e grande risultato? In un generico nodo (prendiamo adesempio l’11, supponendo che i nodi adiacenti nelle direzioni N S W E sianorispettivamente 15, 7, 10, 12) sara funzione del flusso nei 4 nodi adiacenti,ovvero

1510 11 12

14

Φ11 = f (Φ7, Φ10, Φ12, Φ15)

Trasportato nella riga corrispondente all’interno delle iterazioni del metodo

di Jacobi avremo:

Φ(m+1)11 = f (Φ

(m)7 , Φ

(m)10 , Φ

(m)12 , Φ

(m)15 )

Tuttavia, poiche all’interno di ogni iterazione i flussi sono calcolati in modoordinato dal primo all’ultimo, al momento di calcolare il flusso in 11 avremogia noti i valori all’m+1-esima iterazione del flusso in 7 e 10. Si puo dunquesostituire a tali valori il valore del flusso m+1-esimo

La matrice B del metodo di Jacobi e del tipo:

B = T + T ∗ = 0 T ∗

. . .T 0

Ove le matrici T e T ∗ sono evidentemente rispettivamente triangolare infe-riore e superiore.

Con il sistema originario dato da:

Φ = BΦ + q

Che puo essere riscritto come:

Φ = (T + T ∗)Φ + q

Sfruttando quanto detto riguardo il metodo di Gauss Seidel, ovvero che peril calcolo della i-esima componente sono gia state calcolate le i-1 componentiprecedenti, il processo iterativo relativo al metodo di Gauss-Seidel diverra,a seguito del processo di assegnazione, della forma:

(I − T )Φ(m+1) = T ∗Φ(m) + q

Da cuiΦ(m+1) = (I − T )−1T ∗Φ(m) + (I − T )−1q

23



Risultera dunque, sottraendo membro a membro l’espressione iterativa e

l’espressione esatta:(m+1) = (I − T )−1T ∗(m)

Ove (I − T )−1T ∗ e la matrice di iterazione del metodo di Gauss-Seidel.Si vedano ora le equazioni per componenti: per il metodo di Jacobi si

aveva:

Φ(m+1)i = −

n j=1

aijaii

Φ(m) j + qi

Con Gauss-Seidel bisogna invece spezzare le sommatorie, poiche una sarariferita al “nuovo” ed un’altra al “vecchio”:

Φ(m+1)i = −

i−

1 j=1

aijaii

Φ(m+1) j −

n j=i+1

aijaii

Φ(m) j + qi

Il metodo di Gauss-Seidel risulta dunque, asintoticamente, piu efficace.Si dimostra infatti che la sua velocita di convergenza e pari a ρ(B)2

Si noti che l’utilizzo del metodo di Gauss-Seidel non incrementa lo sforzocomputazionale: il numero di operazioni per iterazione e lo stesso del metododi Jacobi.

2.1.3 Metodo di Jacobi vs Metodo di Gauss

Dunque il metodo di Gauss-Seidel converge piu velocemente di quello diJacobi, e lo fa a costo zero. La domanda che sorge legittima e la seguente:perche si parla ancora di metodo di Jacobi? Un motivo esiste: il metodo diGauss-Seidel introduce una asimmetria nel sistema, in quanto il flusso in ogninodo verra calcolato utilizzando informazioni di qualita diversa a secondadella direzione. Questo e un difetto che risulta pienamente accettabile nellazona asintotica, ma non in quella delle prime iterazioni ove si andra invece ingenerale ad utilizzare il metodo di Jacobi. In un caso particolarmente feliceove il valore di ρ(B) fosse particolarmente ridotto, ci si potrebbe addiritturaritrovare nella condizione di convergenza talmente veloce da rendere inutilese non dannosa l’applicazione del metodo di Gauss-Seidel.

Esistono pero altre condzioni in cui si utilizza Jacobi piuttosto che Gauss-Seidel, e sono quelle in cui vi sono due catene di iterazioni una dentro l’al-tra. In questo caso e possibile che il processo iterativo interno sia tale darichiedere un’unica iterazione per ogni iterazione esterna9. In questo caso siandra ovviamente ad applicare Jacobi, sempre per la stessa ragione: nellefasi iniziali di applicazione di un algoritmo la convergenza non e garantitaed e necessario evitare di introdurre asimmetrie nella risoluzione. L’appli-cazione del metodo di Gauss-Seidel in questo frangente potrebbe portareall’ottenimento di soluzioni non fisiche.

9Si tratta come vedermo del caso della teoria della diffusione

24



Altra situazione caratteristica e quella dell’applicazione dei due metodi

a scacchiera. In questo modo, calcolando il flusso tramite Jacobi solo suinodi “neri” ci si ritrova che tutti i nodi “bianchi” sono circondati solo dainformazioni nuove che possono cosı essere utilizzate per calcolarvi il flus-so. Questo metodo di fatto e migliore di quello di Jacobi anche alle primeiterazioni. Si vede inoltre che la velocita di convergenza del metodo “a scac-chiera” nella zona asintotica e esattamente la stessa di quella del metodo diGauss-Seidel standard.

2.1.4 Metodo SOR

Il metodo SOR lavora tramite estrapolazione, ovvero un processo di

creazione di informazioni sulla base di altre di cui si e gia in possesso. Questopassaggio, a differenza di quello che portava dal metodo di Jacobi a quello diGauss-Seidel, include un costo. Ne segue che tale metodo, dotato di velocitadi convergenza superiori, e adatto ad un uso nelle fasi finali di affinamentodella soluzione, dopo aver sgrossato il problema tramite l’uso dei metodivisti in precedenza.

Il metodo SOR e anche detto di sovrarilassamento, e si basa sul forzarel’upgrade della soluzione da un passaggio all’altro. Riscrivendo infatti l’evoluzionedell’errore relativo tramite metodo di Gauss-Seidel:

[Φ(m+1) − Φ(m)]GS = T Φ(m+1) + T ∗Φ(m) + q − Φ(m)

Partendo da questo presupposto, l’upgrade della soluzione tramite metodoSOR diventa:

[Φ(m+1) − Φ(m)]SOR = ω[Φ(m+1) − Φ(m)]GS

Ove ovviamente il caso di ω = 1 porta al riottenimento al metodo di Gauss-Seidel. ω e detto parametro di forzamento

Espandendo quanto scritto si ottiene:

Φ(m+1) = ωT Φ(m+1) + [(1 − ω)I + ωT ∗]Φ(m) + ωq

Da cui, in forma esplicita:

Φ(m+1) =

matrice di iterazione (I − ωT )−1[(1 − ω)I + ωT ∗] Φ(m) + (I − ωT )−1ωq

Si puo dimostrare che il valore ottimale per ω e dato da:

ωopt =2

1 +

1 − ρ(B)2

E visto che si puo fare, facciamolo.

25



L’obbiettivo e trovare un’espressione per il raggio spettrale della matrice

di iterazione del metodo SOR. Una volta fatto questo, il passaggio successivosara evidentemente quello di minimizzare tale valore, che come sappiamorappresenta la velocita con cui l’algoritmo tende a convergenza. Il problemasara del tipo

J ωψ = γψ

ove cio che ci si prefigge di calcolare e il γ di modulo massimo. Richiamandola definizione della matrice di iterazione:

J ω = (I − ωT )−1[(1 − ω)I + ωT ∗]

Se ne puo ricavare una ulteriore equazione agli autovalori. Infatti vale

J ωψ = γψ

(I − ωT )−1[(1 − ω)I + ωT ∗]ψ = γψ

[(1 − ω)I + ωT ∗]ψ = (I − ωT )γψ

ψ − ωψ + ωT ∗ψ = γψ − ωT ψ

(γT + T ∗)ψ =γ − 1 + ω

ωψ

Si puo ora riscriverla componente per componente, tramite il doppioindice, ove con i simboli dei punti cardinali si indicheranno gli elementi dellematrici posizionati adiacenti all’elemento di interesse. Dunque

γW i,jψi−1,j + γS i,jψi,j−1 + E i,jψi+1,j + N i,jψi,j+1 =ω − 1 + γ

ωψi,j

Viene ora sfruttata l’arbitrarieta degli autovettori per scrivere un legametra ψ e Φ, al fine di ottenere una espressione simile a quella scritta per ilmetodo di Jacobi e poter dunque confrontare i due algoritmi. Si usera in

particolare che ψij = Φijγ −i+j2

per Jacobi W i,jΦi−1,j + N i,jΦi,j+1 + E i,jΦi+1,j + S i,jΦi,j−1 = λΦi,j

per SOR W i,jΦi−1,j + N i,jΦi,j+1 + E i,jΦi+1,j + S i,jΦi,j−1 = ω−1+γ ω√ γ

Φi,j

Confrontando i due ottengo:

λ =ω − 1 + γ

ω√

γ

Risolvendo per γ , diventa

λω√

γ = ω − 1 + γ

λ2ω2γ = ω2 + 1 + γ 2 + 2ωγ − 2ω − 2γ

γ 2 − (2 + λ2ω2 − 2ω) + (ω − 1)2 = 0

26



da cui si avranno due soluzioni:

γ 1,2 = (1 − ω − λ2ω2

2 ) ± (1 − ω − λ2ω2

2 )2 − (1 − ω)2 =

= (1 − ω − λ2ω2

2 ) ±

λ4ω4

4 + λ2ω2 − ωλ2ω2 =

= (1 − ω − λ2ω2

2 ) ± λω

λ2ω2

4 + 1 − ω

Ponendosi nel caso tipico di matrice simmetrica gli autovalori di B sarannotutti reali. Essendo inoltre che, per ipotesi, λ2 < 1 (altrimenti la conver-genza del metodo di Jacobi non e assicurata) e ω > 1 (altrimenti il metodoSOR rallenterebbe la convergenza invece di accelerarla10), e cosı definitol’intervallo di variazione di ω

Si studino ora i tre casi separatamente, avendo chiamato ω0 il valore di

ω che annulla il discriminante dell’equazione:

ω0 =2

1 +√

1 − λ2

si ottengono 3 casi possibili:

• Per ω = ω0 avremo che:

γ = 1 − ω0 +λ2ω2

0

2

che, sostituendo il valore di ω0, diviene

γ = ω0 − 1

• Per ω0 < ω < 2 si ha ∆ < 0, il che porta ad ottenere per γ due radicicomplesse coniugate. Attraverso gli opportuni passaggi si ottiene che

|γ 1| = |γ 2| = ω − 1

che, essendo per ipotesi ω > ω0, dara luogo ad un valore di γ maggioreche nel caso precedente

• Per 1 < ω < ω0 si ottengono due soluzioni reali distinte, delle qualiquella di modulo maggiore sara legata al discriminante preso come

positivo, che ci permette di ottenere:

γ 1 = (1 − ω +1

2λ2ω2) + λω

1 − ω +

λ2ω2

4

Si vede che questo genera un andamento il cui minimo risulta esseresituato proprio in ω = ω0

10Attenzione, questo non e sempre vero. A volte infatti gli algoritmi vengono rallentatiinvece che accelerati, in particolare in quei casi ove ho fenomeni che si svolgono su scaletemporali distinte, ed il rischio e che le “qualita” dei risultati non risultino coerenti. Unesempio tipico e l’accoppiamento di fenomeni elettro-magnetici, estremamente veloci, edi fenomeni termo-fluidodinamici, piu lenti

27



Dunque e stato dimostrato come il valore ottimale per ω sia dato da:

ωopt = ω0 =2

1 +√

1 − λ2

Ecco dunque identificato il costo aggiuntivo del metodo SOR: se fino ad ora siera parlato del raggio spettrale della matrice B come qualcosa che identifica-va la velocita di convergenza dell’algoritmo, senza pero mai aver manifestatola necessita di calcolarlo, ecco che qui e invece necessario conoscerne il valoreal fine di applicare il metodo SOR in maniera ottimale assicurandosi cosı lamigliore velocita di convergenza possibile.

Bisogna in questa fase ricordare le ipotesi fatte per ottenere questorisultato:

• Griglia strutturata

• Matrice simmetrica

Si puo dimostrare, ma non verra fatto in questa sede, che il valore dellavelocita di convergenza del metodo SOR dipende dalla numerazione scelta,ed in particolare quella che garantisce i risultati migliori e la numerazionenaturale.

2.1.5 Shift tra metodo di Jacobi e metodo SOR

Ci si pone nella condizione tipica in cui si utilizza il metodo di Jacobi nellafase iniziale, per lo sgrossamento della soluzione, per poi passare al meto-do SOR per l’affinamento finale. Sorgera dunque la questione su quandoabbandonare il primo metodo per passare al secondo.

Si vede che in base al problema da risolvere11 variera la velocita di con-vergenza del metodo di Jacobi. Piu tale velocita e elevata, minore sara ilnumero di iterazioni necessario per il passaggio al metodo SOR.

Esiste tuttavia un altro elemento. Ricordiamo infatti quanto detto in mo-do molto innocente all’inizio della descrizione del metodo di Jacobi, ovveroche gli ultimi elementi di ogni iterazione successiva costituiscono di fattol’applicazione del metodo delle potenze sulla matrice B che porta al calcolo

degli autovalori della stessa. Appare ora evidente che dunque, nell’appli-care Jacobi, si opera involontariamente il calcolo iterativo di Bnq, il chepermette di calcolare un valore approssimato di ρ(B) che si potra dunqueutilizzare per il calcolo di ωopt. Questa riflessione dice dunque che al fine dideterminare il momento per lo shift da metodo di Jacobi e metodo SOR nonci si concentrera soltanto sulla convergenza del metodo di Jacobi in se, maanche su quella del metodo delle potenze per il calcolo di ρ(B), il cui valoree fondamentale per la corretta applicazione del metodo SOR

11e dunque in base alla matrice A → la matrice B → ρ(B)

28



2.1.6 Ordinamento dei nodi di flusso

Si accennera nelle pagine successive alla necessita, una volta che si passa aduna logica multidimensionale, della scelta di una numerazione per i nodi diflusso in modo da passare da una forma del tipo Φi, j ad una Φl, che mipermette l’utilizzo standard di vettori e matrici.

A questo proposito sono mostrate di seguito le tre tipologie piu utiliz-zate, a ciascuna delle quali e associata la corrispondente forma della matricerisultante:

Numerazione naturale

3 41 2

→ 0 X X 0

X 0 0 X X 0 0 X 0 X X 0

Numerazione a scacchiera

4 21 3

→

0 0 X X 0 0 X X

X X 0 0X X 0 0

Numerazione ciclica4 31 2

→

0 X 0 X X 0 X 00 X 0 X

X 0 X 0

Tutte e tre le matrici avranno gli stessi autovalori (0 con molteplicita 2e ±2X con molteplicita 1. Per l’applicazione del metodo di Jacobi le trestrategie sono equivalenti, nel senso che portano alla stessa identica velocitaa convergenza. Per quanto riguarda invece il metodo di Gauss-Seidel avremoche, per ρ(B) = 0.5, sara:

• J GS = 0.25 con numerazione naturale (come da considerazioni prece-denti pari a ρ(B)2)

• J GS = 0.25 con numerazione a scacchiera (come da considerazioniprecedenti pari a ρ(B)2)

• J GS = 0.28 con numerazione ciclica

29



2.2 Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari

I processi non lineari vengono trattati, in analisi numerica, tramite unalinearizzazione iterativa. L’idea e dunque quella di, partendo da una f (x) =0 con f (x) non lineare, andare a risolvere una f (x) = 0, con f (x) ovviamenteparente stretta di f (x).

Questo procedimento comporta ovviamente una complicazione della risoluzione,che aumenta con l’aumentare del numero delle equazioni.

2.2.1 Metodo di Newton per la risoluzione di sistemi non

lineari

Si supponga di avere un generico sistema di equazioni non lineare.

f (x) =

f 1(x1, x2, · · · , xn)f 2(x1, x2, · · · , xn)...f n(x1, x2, · · · , xn)

= 0

La prima cosa che viene in mente di fronte ad un sistema non lineare equella di linearizzarlo tramite uno sviluppo in serie di Taylor troncato alprim’ordine.

Si chiami ξ la soluzione esatta e x(i) la soluzione approssimata alla i-esima iterazione. Si avra ovviamente che f (ξ) = 0 ed invece f (x(i))

= 0 .

Essendo dunque x(i) una approssimazione di ξ, sara lecito supporre che idue vettori siano molto “vicini” tra loro, di modo da poter calcolare tramitelinearizzazione in serie di Taylor la funzione nell’intorno di x(i). Vale infattiche, trascurando i termini di grado superiore al primo, si ottiene un sistemadel tipo:

f 1(x(i)) + (ξ1 − x(i)1 )( ∂f 1

∂x1)x=x(i) + · · · + (ξn − x

(i)n )( ∂f 1

∂xn)x=x(i) 0

f 2(x(i)) + (ξ1 − x(i)1 )( ∂f 2

∂x1)x=x(i) + · · · + (ξn − x

(i)n )( ∂f 2

∂xn)x=x(i) 0

...

f n(x(i)) + (ξ1

−x

(i)1 )(∂f n

∂x1

)x=x(i) +

· · ·+ (ξn

−x

(i)n )( ∂f n

∂xn

)x=x(i)

0

Se in questo sistema operiamo una assegnazione potremo innescare un pro-cedimento iterativo. In particolare otterremo questo scrivendo:

f 1(x(i)) + h(i)1 ( ∂f 1

∂x1)x=x(i) + · · · + h

(i)n ( ∂f 1

∂xn)x=x(i) 0

f 2(x(i)) + h(i)1 ( ∂f 2

∂x1)x=x(i) + · · · + h

(i)n ( ∂f 2

∂xn)x=x(i) 0

...

f n(x(i)) + h(i)1 (∂f n

∂x1)x=x(i) + · · · + h

(i)n ( ∂f n

∂xn)x=x(i) 0

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Di questo sistema l’unica incognita e proprio h(i), ove si e definito h(i) j =

(x(i+1) j − x(i)

j ) Definendo il passaggio da una iterazione all’altra in modo che

x(i+1) = x(i) + h(i) e possibile innescare un processo iterativo, i cui passaggisaranno:

1. Calcolo dello Jacobiano nel punto x(i)

2. Calcolo delle f (x(i))

3. Calcolo di h tramite soluzione del sistema

4. Aggiornamento di x(i+1)

Un problema di tale procedimento e che, ove il numero delle incognite siaelevato, J puo diventare molto grande. Se le sue dimensioni sono ridottesara possibile scriverlo in forma analitica (di fatto manualmente), mentreove le dimensioni aumentino si passera in genere ad una scrittura in formanumerica:

(∂f j∂xk

)x=x(i) = B(i) j,k =

f j(x(i) + ekh jk) − f j(x(i))

ekh jk

Importante e la valutazione dell’intervallo di discretizzazione. Se questoe troppo grande, si perde ovviamente in precisione, mentre ove questo siatroppo piccolo si corre il rischio di cancellazione numerica. Come sempre lascelta risultera dal compromesso giudicato migliore.

Di fatto la scrittura dello Jacobiano e la risoluzione del problema associ-ato sono le fasi piu critiche del processo iterativo. Per questo una possibilitae quella di non aggiornarlo ad ogni iterazione. La risoluzione del problemaavente lo Jacobiano come matrice di iterazione dipende dallo Jacobiano stes-so: se si tratta di una matrice si usano metodi diretti, in caso contrario siprivilegiano invece metodi iterativi. Tuttavia, qualunque sia il metodo scel-to ed il caso specifico, questo metodo di risoluzione converge con estremadifficolta.

2.3 Metodi per problemi agli autovalori

2.3.1 Scomposizione QR di una matrice

Si definisce trasformazione di similitudine una qualsiasi trasformazionedel tipo:

B = SAS −1

Caratteristiche peculiari di questa trasformazione sono che:

• La matrice A e la matrice B hanno gli stessi autovalori

31



•Dato x autovalore di A, y= Sx e autovettore della nuova matrice B

L’utilita di tali trasformazioni di similitudine e data anche dai seguentiteoremi:

Teorema 4 Data una matrice A reale e simmetrica, esiste una matriceortogonale V 1 tale che

D = V 1AV T 1

ove D e una matrice diagonale

Teorema 5 Data una matrice A reale, esiste una matrice ortogonale V 2tale che

H = V 2AV T

2

ove H e una matrice di Hessenberg, che diventa tridiagonale se A e simmet-rica

Si definisce a questo punto una nuova tipologia di matrice, detta riflet-

tore, nella maniera seguente:

U = I − 2uuT con√

uT u = 1

Si dimostra facilmente che tale matrice presenta le seguenti proprieta:

•e simmetrica (U T = U )

• e ortogonale (U T = U −1)

• e involutoria (U 2 = 1)

Ulteriore proprieta di tale matrice, che utilizzeremo in seguito, e enunciatadal seguente teorema:

Teorema 6 Dato un generico vettore non nullo x, esiste un riflettore ele-mentare U tale che

U x = −σe1

Dove

u = x + σe1

e1 = (1, 0, · · · , 0)T

σ = ±√

xtx

Dalle considerazioni precedenti si e visto che e possibile costruire dellematrici U tali che, moltiplicate per un vettore, ne annullano tutte le com-ponenti tranne la prima. Si puo dunque pensare di costruire una matriceU 1 tale che moltiplicata per una generica matrice A fornisca, in uscita, unamatrice con tutti gli elementi della prima colonna nulli fatta eccezione perla prima riga. Moltiplicando poi per una analoga U 2, si possono annullare

32



anche tutti gli elementi della seconda colonna ad eccezione dei primi due. Il

metodo di costruzione della generica matrice U k e il seguente:I k−1 0

0 U (n−k+1)1

Il risultato finale di tutte le moltiplicazioni sara dunque una matrice triango-lare superiore, che verra chiamata R. Moltiplicando invece tra loro tutti glin-1 riflettori otterremo una matrice QT che risultera ortogonale, in quantoprodotto di matrici ortogonali. Avro quindi che:

QT A = R −→ A = QR

Si tratta dunque di un processo che permette di ottenere un risultato analogoalla decomposizione di Gauss, avendo come unica pecca l’utilizzo di 2n3/3operazioni, il doppio esatto di quelle necessarie per la decomposizione diGauss.

2.3.2 metodo QR

Il metodo QR e di tipo iterativo. Si definisce A1 la matrice A, e calcoliamodelle nuove matrici secondo il processo seguente:

1. Decomposizione della matrice all’i-esima iterazione: Ai = QiRi

2. Calcolo della matrice per l’iterazione successiva: Ai+1 = RiQi

Tutte le matrici cosı calcolate risulteranno simili ad A, in quanto risul-teranno di fatto dalla moltiplicazione a destra per le Qi ed a sinistra per leloro trasposte:

Ai+1 = (Q1Q2 · · · Qi)T A(Q1Q2 · · · Qi)

Trattandosi di operazioni di similitudine, si conservano gli autovalori! Si puodimostrare che la matrice An tendera all’infinito a diventare una matricetriangolare superiore, i cui autovalori saranno gli elementi della diagonaleprincipale.

Il problema di questo calcolo e che e lungo e dispendioso. Il procedimentopiu generalmente utilizzato e quello di trattare preventivamente la matriceA, cercando di farla diventare tridiagonale o di Hessenberg, per poi applicareil metodo QR ad una condizione ove si ha un numero consistente di elementinulli.

2.3.3 Metodo delle potenze

Il metodo delle potenze e un algoritmo di tipo iterativo che converge adun vettore parallelo all’autovettore fondamentale della matrice di interesse.Puo essere applicato a problemi di tipo:

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•AΦ = λΦ

• AΦ = λBΦ

• D(λ)Φ = 0

Ove nel terzo caso non e garantita la linearita del problema rispetto agliautovalori.

Il metodo delle potenze e un algoritmo iterativo che, a convergenza,fornisce una stima dell’autovettore fondamentale, utile in particolareper due classi specifiche di problemi:

• Problemi agli autovalori di fusione neutronica in mezzo moltiplicante

• Utilizzo in metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni non omo-genei

Si supponga che la matrice M abbia un insieme completo di autovettori.A partire da tale ipotesi si puo dimostrare che la successione M m convergeall’autovalore di modulo massimo qualunque sia q.

Si supponga inoltre che la matrice M abbia tutti autovalori distinti: es-istera dunque uno ed un solo autovalore avente modulo superiore a tutti glialtri. Avendo inoltre imposto che la matrice M abbia un set completo diautovettori, e ragionevolmente possibile supporre di poter scrivere

q =n

h=1

chϕh

Ove i ϕh sono evidentemente gli autovettori della matrice M.12

Si avra dunque che:

M mq =n

h=1

chM mϕh =

=n

h=1

chµmh ϕh =

= µm1 [c1ϕ1 +

nh=2

µh

µ1chϕh]

Ma dunque, poiche la sommatoria tendera a 0 per indice m che tende adinfinito, il vettore M mq tendera a diventare parallelo a ϕ1. Come per quantodetto relativamente al metodo di Jacobi, si avra anche qui un termine (quel-lo legato al secondo autovalore di modulo massimo) che resistera a questa

12Tale scrittura equivale a dire che e sempre possibile scrivere un qualunque vettore qcome combinazione lineare degli autovettori della matrice M

34



convergenza piu di tutti gli altri con una “forza” quantificata dal rapporto

di dominanzaAttenzione pero. Nei passaggi precedenti e stato dimostrato che il meto-

do converge ad un vettore parallelo all’autovettore fondamentale, ma si vedeche compare nella formula risolutiva l’elemento µm

1 che moltiplica tutta l’e-quazione. Risulta dunque evidente che per µ1 > 1 la formula tendera adivergere per m grandi, mentre per µ1 < 1 essa tendera a 0. Per ot-tenere dunque una soluzione e opportuno, ricordandosi che gli autovettorisono definiti a meno di una costante moltiplicativa arbitraria, normaliz-zare la soluzione ad ogni step iterativo. Per quanto visto prima, e evidenteche affinche la soluzione converga ad un valore reale diverso da 0 e neces-sario che il termine a destra elevato all’m-esima potenza sia il piu possi-

bile vicino ad uno. Verra dunque introdotto come elemento normalizzanteper ogni iterazione l’autovalore di modulo massimo calcolato all’iterazioneprecedente.

A questo punto pero sara necessario capire come calcolare il raggio spet-trale. Si e infatti dimostrato che il vettore M mq tende a diventare paralleloall’autovettore fondamentale, ma non e ancora stato fatto il passo succes-sivo. Infatti se il problema di partenza e lineare sara possibile sfruttare ilfatto che se ϕ associato a µ e soluzione al problema agli autovalori, allora lostesso varra per cϕ, ovvero qualunque vettore e soluzione del problema agliautovalori a patto che sia parallelo ad uno dei suoi autovettori. Sulla base diqueste considerazioni si potra dunque dire che, supponendo di essere giunti

a convergenza all’m-esima iterazione:

M (M mq) µ1(M mq)

Ove il vettore M mq corrisponde al generale multiplo di autovettore cϕDall’equazione precedente si puo dunque dedurre che

µ1 (M m+1q)1

(M mq)1 (M m+1q)2

(M mq)2 · · · (M m+1q)n

(M mq)n

Si ha infatti che a convergenza i due vettori M mq ed M M mq devono essereparalleli in quanto uguali a meno di una costante moltiplicativa (l’autoval-ore). Questo fornisce dunque un efficace criterio di convergenza per il mio

metodo iterativo, che si potra basare sulla similitudine tra i vari rapportitra le componenti. Quando essi saranno sufficientemente simili tra loro sipotra finalmente considerare di essere giunto a convergenza e poter dunquetroncare il processo iterativo.

Occorre tuttavia quantificare questa vicinanza. Si ricorre in generalead una imposizione sul numero delle cifre della mantissa che devono essereuguali. Si ha in questo modo imposto una sorta di errore relativo, che infattinon dipende dal valore in se della quantita.13. Occorre tuttavia fare come

13Si tratta evidentemente in questo caso di un criterio di convergenza puntuale. Esistonoanche criteri di convergenza in norma che saranno in generale meno stringenti

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sempre grande attenzione agli algoritmi molto lenti, che portano ad avere le

soluzioni di due iterazioni successive molto vicine tra loro. In questo casosi rischia che il criterio di convergenza, per quanto stringente, non porti aselezionare una soluzione realmente vicina a quella cercata. In casi comequesto e dunque sempre opportuno andare a sostituire i risultati ottenutinell’equazione di partenza per verificarne l’effettiva veridicita.

Rimane tuttavia il dubbio legato alla scelta di quale degli n valori pos-sibili scegliere per l’autovalore, ognuno dei quali e di fatto teoricamenteequivalente (se mi trovassi di fronte alla soluzione analitica essi sarebberoinfatti tutti uguali). Una possibilita e data dall’operazione seguente:

µ1

< M m+1q, I >

< M mq, I >=

ni=1(M m+1q)ini=1(M mq)i

Tale operazione fornisce infatti una stima dell’autovalore fondamentale piuprecisa, a parita di iterazione, di qualunque stima effettuata dal semplicerapporto delle componenti.

Si nota pero che questo calcolo sta equiparando tra loro tutte le compo-nenti dell’autovettore fondamentale. Tuttavia, se per la matematica le vari-abili sono tutte uguali, cosı non e per la fisica e l’ingegneria. Esistera dunqueun modo per sfruttare cio che si conosce riguardo la fisica del problema alfine di rendere ancora piu precisa la soluzione.

Si introducono dunque i quozienti di Rayleigh, definiti in modo che:

µ1 < q (m+1), q(m) >

< q (m), q(m) >oppure µ1 < q (m+1), q(m+1) >

< q (m), q(m+1) >

avendo utilizzato quella che viene detta una pesatura alla Galerkin, cheprevede l’utilizzo della stessa classe funzionale della soluzione per la pesatuadelle componenti.

In neutronica questo corrisponde al tenere in considerazione il fatto che ineutroni, in un sistema critico, hanno importanza differente a seconda dellaposizione del reattore in cui si trovano, ed in particolare risulteranno in gen-erale piu importanti nelle zone ove essi sono piu numerosi. Sarebbe dunquein teoria piu corretto usare l’importanza come funzione peso, ma questo

richiederebbe la soluzione del problema aggiunto, aumentando cosı il cos-to computazionale in modo non giustificato dai risultati ottenuti. Solo nelcaso monodimensionale, poiche l’importanza coincide con il flusso neutron-ico, pesando secondo Galerkin si ottiene una pesatura tramite importanzaneutronica.

Veniamo all’analisi di un caso particolarmente sfortunato. Per dare il viaall’algoritmo iterativo sara necessario imporre una soluzione di tentativo,vale a dire il termine q. Cosa accade se tale termine e, sfortunatamente,perpendicolare all’autovettore fondamentale? Si avra in questo caso infatti

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che:

q =n

h=2

chϕh

che non ha componente lungo l’autovettore fondamentale e dunque non po-tra mai convergere ad esso. Il metodo delle potenze convergera in questocaso verso il secondo autovalore di modulo massimo.

Questo sara vero pero solo dal punto di vista matematico. Dal puntodi vista numerico infatti la perpendicolarita perfetta non esiste (non es-iste infatti il concetto di zero, ma al massimo delle quantit a molto piccole),ed infatti bastera una iterazione affinche gli errori di arrotondamento delcalcolatore portino ad ottenere come M q un vettore non perfettamente per-

pendicolare a ϕ1 . Si avra in questo caso tuttavia una convergenza moltolenta, caso non favorevole ma comunque migliore della convergenza ad unvalore sbagliato. Attenzione pero che il rischio esiste comunque: troncandoil processo dopo un numero insufficiente di iterazioni, il vettore soluzionesara molto piu vicino a ϕ2 che a ϕ1, con le dovute conseguenze.

Si ricorda ora pero che, all’inizio del paragrafo, si e detto che il metododelle potenze e utilizzato per risolvere ogni tipo di problema agli autovalori,mentre per quanto visto finora si e visto solo come risolvere problemi agli au-tovalori classici ma non. Per poter estendere tale metodo anche ai problemigeneralizzati e necessario essere in grado di provare l’esistenza della matriceB−1, ove B e la matrice del problema agli autovalori generalizzato:

Ax = λBx

Come risolvere a questo punto il problema? Sara necessario ricondursi alcaso precedente, andando a scrivere dunque:

B−1Ax = λx

ed applicando il metodo delle potenze nella maniera seguente:

B−1Aq(0) = q(1)

Ecco dunque che il problema si e complicato notevolmente. Si avranno duecicli di iterazioni concatenati l’uno dentro l’altro:

• Un ciclo di iterazioni esterne:

B−1Aq(0) = q(1) → B−1Aq(1) = q(2)

• Un ciclo di iterazioni interne:

Aq(0) = Bq(1)

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Ritrovandosi un processo iterativo interno, anche il valore di q(1) non e

esatto ma approssimato rispetto all’aggiornamento della soluzione.Si potrebbe a questo punto pensare di fare un’operazione di questo tipo:

calcolare all’inzio, una volta per tutte, l’inversa di B e utilizzarla per tuttele iterazioni esterne. Ci si libererebbe cosı di un processo iterativo tramiteun quantitativo di calcoli che, seppure elevato, sarebbe presumibilmenteinferiore alla somma di tutte le iterazioni interne.

Per capire perche tale procedimento spesso non e attuato bisogna andaread analizzare il contenuto fisico del problema. Se dal punto di vista matem-atico il discorso e teoricamente corretto, considerando le implicazioni fisicheci si accorge che si andrebbe a risolvere i due problemi su due piani diversi,e dunque a mischiare informazioni di qualita molto differenti. Perdendo il

parallelismo fisico, la convergenza non e piu garantita. Si vedra in seguitocome questa problematica appare in maniera molto evidente nel caso dellarisoluzione numerica delle equazioni della diffusione neutronica multigruppo.

Questo discorso si attua pero solo ove la matrice B sia sparsa, e dunquerisolvibile tramite algoritmi di tipo iterativo. Ove invece B sia una matricedensa verra utilizzato, come gia detto in precedenza, un metodo diretto, cheportera forzatamente all’ottenimento della soluzione esatta.

2.4 Proprieta spettrali delle matrici di interazione

Si definisce matrice di interazione una matrice i cui coefficienti hanno unsignificato fisico.

Si enunciano di seguito alcune proprieta e teoremi di matrici che risul-teranno utili nel seguito:

• Se la matrice M e reale e simmetrica o complessa ma Hermi-tiana, allora tutti gli autovalori di M sono reali e tutti gli autovettoricorrispondenti sono tra loro perpendicolari

• Se la matrice M e reale e simmetrica e definita positiva14, alloratutti i suoi autovalori sono positivi e reali

•Se M e reale e simmetrica e semi-definita positiva15, allora tuttii suoi autovalori saranno non negativi

Si definicono invece matrici positive (Da notare la differenza con lematrici definite positive) matrici i cui elementi sono tutti positivi. Riguardole matrici positive esiste un teorema di rilevante importanza:

Teorema 7 (di Perron) Data una matrice M positiva, anche non simmet-rica, vale che:

14una matrice e definita positiva se, ∀ Φ = 0, si ha che (< M Φ, Φ >) > 015una matrice e semi-definita positiva se, ∀ Φ = 0, si ha che (< M Φ, Φ >) ≥ 0

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1. l’autovalore fondamentale e positivo ed ha sempre molteplicita 1 (ovvero

∃λi con m(λi) = 1 tale che λ1 > |λ j | ∀ j = 1)

2. All’autovalore fondamentale λ1corrisponde, a meno di una costantemoltiplicativa arbitraria, un unico autovettore ϕ1 avente componenti tutte positive16. L’autovettore fondamentale e l’unico a godere di taleproprieta.

3. Se un qualsiasi elemento della matrice M cresce, al lora λ∗1 autovalore fondamentale della matrice M ∗ avra modulo maggiore di λ1

Possiamo allo stesso modo definire matrici ad elementi non negativi

o matrici semipositive le matrici aventi solo termini positivi o nulli. Per

esse vale invece il seguente teorema:

Teorema 8 (di Frobenius) Data una matrice semipositiva valgono le pro-prieta enunciate dal teorema 7 a patto che la matrice sia anche irriducibile.

Si faccia pero attenzione che la condizione espressa dal punto 1 del teoremadi Perron include una maggiorazione semplice e non stretta: λ1 ≥ |λ j |.

2.5 Approssimazione di dati sperimentali

Esistono numerosi modi per approssimare dei dati sperimentali. Uno dei piu

comuni e quello dell’interpolazione, ove essendo in possesso di n punti sper-imentali potremo approssimarli con un polinomio di grado n-1. Purtroppola determinazione dei coefficienti di tali polinomi costituisce un sistema diequazioni lineare e non omogeneo

Altra via per l’approssimazione dei dati e il metodo dei minimi quadrati,dal quale non si otterra una funzione interpolante. Tale sistema e general-mente utilizzato ove sia presente una quantita molto elevata di dati sper-imentali, caso in cui non e pensabile il ricorso ad una interpolazione. Sitenga conto comunque che nel caso della determinazione dei coefficienti del-la funzione approssimata tramite il metodo dei minimi quadrati il problemae tanto piu mal condizionato quanto piu grande e il numero n di punti sper-

imentali a disposizione. Useremo in questi casi i polinomi di Hermite ele funzioni spline.

2.5.1 Funzioni spline

Le funzioni spline sono dei metodi utilizzati per l’interpolazione di punti.Abbiamo infatti visto come una semplice interpolazione polinomiale spessonon e adeguata ed e dunque opportuno ricorrere ad altri metodi.

16ovviamente a meno di una costante moltiplicativa arbitraria. Questo corrisponde adire che hanno tutte lo stesso segno

39



Supponiamo dunque di avere N+1 punti, ciascuno identificato da una

coppia (xi, yi), compresi in un intervallo [a,b] tale che a ≡ x0 < x1 < · · · <xn ≡ b

In linea teorica e sempre possibile, come detto, trovare un polinomio digrado N in grado di interpolare esattamente gli N+1 punti sperimentali, icui coefficienti sono determinabili risolvendo il sistema di equazioni aventecome matrice di coefficienti una matrice di Van der Monde. In effetti pero,oltre al fatto che tale problema e spesso e volentieri mal condizionato, taletipo di approssimazione non e necessariamente la piu adatta.

Un alternativa puo essere quella di usare una serie di funzioni lineari, ilche mi fornisce di fatto una linea spezzata. La funzione interpolante sara inquesto modo del tipo:

f n(x) =(xi+1 − x)yi + (x − xi)yi+1

xi+1 − xiper xi < x <i+1

Una funzione di questo tipo e semplice da implementare, poco costosa, maha un grosso problema: la sua derivata non e continua.

Prendiamo ora un altro esempio, quello in cui la soluzione interpolantee un arco di parabola: prendero cosı i nodi a tre a tre invece che a duea due, ottenendo pero in generale una rappresentazione poco realistica econtinuando ad avere la discontinuita nella derivata, anche se questa voltaa nodi alterni.

Definiamo ora le funzioni interpolanti di tipo spline. Diremo che unafunzione S d(x), con d ≥ 1 e una funzione spline di ordine d associata aipunti xi, yisu di un intervallo [a,b] se:

• S d(x)e un polinomio di grado d in ogni intervallo [xi, xi+1]

• Ogni derivata k-esima per k ≤ d − 1 e continua

Le funzioni che vedremo in quanto in genere maggiormente usate sono lespline di ordine 3, per le quali avremo discontinuita a partire dalla derivataterza.

Nelle spline cubiche avremo che

S 3(xi) = yi per i = 0 : nS 3(x) = ai + bix + cix

2 + dix3 ∀x ∈ [xi−1, xi] per i = 1 : n

S (k)+3 (xi) = S

(k)+3 (xi) per i = 1 : n − 1, k = 0, 1, 2

Ove di fatto le prime condizioni corrispondono al passaggio della funzione peri nodi (n+1 condizioni), le seconde all’imporre che la funzione interpolantesia un polinomio di terzo grado (4n incognite) e la terza alla continuita dellafunzione e delle sue derivate prima e seconda (3n-3 condizioni). Avremodunque in totale 4n incognite e 4n-2 condizioni. Rimangono dunque due

40



condizioni da imporre a piacere, che saranno generalmente ad esempio l’im-

posizione dei valori della derivata della funzione agli estremi del dominio diintegrazione.

Si tratta ora dunque apparentemente di risolvere un sistema abbastan-za impegnativo di 4n equazioni ed incognite. In realta tramite opportunetrasformazioni e possibile ridurre tali dimensioni sensibilmente

Definiamo una nuova incognita: M i = S 3 (xi). Essendo la mia spline unpolinomio di terzo grado, il polinomio risultante da una derivata secondasara lineare. Dunque avremo che:

S 3 (x) =(xi − x)M i−1 + (x − xi−1)M i

xi − xi−1

Potro dunque scrivere la mia funzione integrando due volte ed ottenendocosı

S 3(x) =(xi − x)3M i−1 + (x − xi−1)3M i

6(xi − xi−1)+ C i(x − xi−1) + Di

Imponendo la condizione di passaggio per i punti sperimentali ottengoC i = yi−yi−1

hi− hi

M i−M i−16

Di = yi−1 − h2i6 M i−1

Da cui l’equazione diventa:

S 3(x) = (xi−x)3M i−1+(x−xi−1)3M i6hi

+

+[yi−yi−1hi

− hiM i−M i−1

6 ](x − xi−1) + yi−1 − h2i6 M i−1

Non resta altro che definire i valori degli M i, che si ottengono imponendo lacontinuita della derivata prima.

Si vede che apparentemente due condizioni non sono state utilizzate. Inrealta la continuita della derivata 0-esima (ovvero della funzione interpolantestessa) e assicurata dall’imposizione del passaggio per gli n+1 punti, mentre

la continuita della derivata seconda negli stessi nodi e assicurata dal fattoche essa stessa e stata scelta come incognita.Imponiamo dunque la continuita della derivata prima:

(xi−x)2M i−1+(x−xi−1)2M i2hi

+ [yi−yi−1hi

− hiM i−M i−1

6 ] =

= (xi+1−x)2M i+(x−xi)2M i+12hi+1

+ yi+1−yihi+1

− hiM i+1−M i

6

Semplificando si ottiene:

hiM i−1 + 2(hi + hi+1)M i + hi+1M i+1 =6

hi+1(yi+1 − yi) − 6

hi(yi − yi−1)

41



Il sistema che ne deriva e di tipo tridiagonale simmetrico e dunque sostanzial-

mente facile da risolvere tramite il metodo della doppia passata. Si noti in-oltre come la matrice del sistema sia a diagonale dominante, il che assicurala convergenza dell’algoritmo.

Vediamo ora quali sono le due condizioni aggiuntive che possiamo im-porre. In generale ci saranno 3 possibili strategia adottabili:

1. Imporre il valore della derivata prima agli estremi

2. Imporre il valore della derivata seconda agli estremi. In questo ca-so, viste le incognite che sono state scelte, questo e il sistema chepermette la risoluzione piu semplice in quanto consiste nell’imporre ivalori di due delle incognite a priori. Si parla in questo caso di spline

naturali. Tale condizione e ad esempio impostata di default nel soft-ware “Matlab”, ma si faccia attenzione che non sempre e fisicamenterappresentativa

3. Nel caso di andamento periodico si impone l’uguaglianza agli estremidelle derivate prime e seconde. In questo caso tuttavia si perde latridiagonalita della matrice

2.6 Integrazione numerica

Come si calcola un integrale in modo numerico?

Avremo

I =

ba

f (x)dx

Il modo piu semplice per tale calcolo e dato dalle formule di Newton-

Cotes, ove scelti dei nodi xi vengono calcolati dei pesi ωi tali per cui il miointegrale e approssimato da una sommatoria del tipo:

I =ni=1

f (xi)ωi

L’entita dell’errore generato dall’approssimazione dipende dal numero n di

nodi. Queste sono formule di quadratura di tipo interpolatorio polino-miale, di conseguenza un numero n di nodi corrispondera ad un polinomiointerpolante di grado n-1 che passi esattamente attraverso tutti questi punti.Se i nodi sono equidistanti, come e nel caso delle formule di Newton-Cotes,tale grado di precisione e pari a (n-1). Tale informazione corrisponde di fattoa dire che tale metodo mi consente di integrare con esattezza equazioni digrado pari o inferiore ad (n-1).

L’obbiettivo di studi avanzati nel calcolo numerico e quello di aumentaretale grado di precisione. Le formule Newton-Cotes sono infatti ormai obso-lete. L’aumento di precisione tuttavia, come sempre, non e a costo nullo.

42



Per applicare un metodo numerico e necessario di fatto sostituire la

funzione integranda con un’altra funzione piu facile da integrare. Per farequesto, e necessario scegliere tale funzione ed applicarvi le opportune con-dizioni al contorno per il calcolo dei coefficienti. In particolare nel caso delleformule Newton-Cotes tale operazione era effettuata imponendo n condizioninel calcolo dei pesi. Tali condizioni sono del tipo: b

a

xkdx =ni=1

ωixki

Questo corrisponde a pretendere che i miei pesi mi permettano di interpolareesattamente tutte le funzioni di base dello spazio vettoriale dei polinomi di

grado n-1. Ho in questo modo scritto una matrice di tipo Van der monde,ovvero del tipo:

1 1 · · · 1

x1 x2 · · · xn...

. . ....

xn−11 xn−1

2 · · · xn−1n

ω1

ω2...

ωn

=

b − ab2−a2

2...

bn−ann

Si vede dunque che il problema si riduce alla risoluzione di una matrice diVan der Monde, che sappiamo essere fortemente mal condizionata per nelevati. In particolare tale sistema e generalmente utilizzato per n ≤ 4. Tale

formula di quadratura ha dunque potenzialita limitate.Veniamo ora ad ulteriori considerazioni. Supponiamo di dover calcolare

l’integrale

I =

ba

ω(x)f (x)dx

Questa volta ho due funzioni. In realta sono funzioni create in maniera taleda avere:

• una parte (ω(x)) ove ho posto tutte le singolarita della funzione inte-granda, ma anche tutto il contenuto fisico del problema.

•una parte (f(x)) regolare

Stiamo dunque di fatto trattando del caso visto inizialmente, ove a p cor-risponde K ed a f corrisponde ϕ.

L’idea e pero quella di vedere come effettuare un upgrade delle for-mule Newton-Cotes, ovvero di ottenere un grado di precisione nell’approssi-mazione dell’integrale superiore a (n-1).

Una possibilita e quella di abbandonare l’imposizione a priori dei nodi.Questi dunque non soltanto saranno incognite di equazioni, ma non sarannopiu evidentemente equidistanti. Si tratta dunque a questo punto di imporrenon piu soltanto n condizioni per il calcolo dei pesi, ma anche ulteriori n

43



condizioni per il posizionamento dei nodi. Otterro dunque un sistema del

tipo: ba

ω(x)xkdx =ni=1

λi(µi)k per k = 0...2n − 1

Ove i λi sono i pesi ed i µi sono i nodi. Il problema, che da un lato fornirageneralmente una soluzione piu precisa, e pero diventato piu complesso:non soltanto le condizioni sono diventate 2n, e dunque e raddoppiata ladimensione del sistema da risolvere, ma e diventato non lineare. In questodiventa dunque fondamentale l’utilizzo di polinomi ortogonali, ai quali sonoassociate formule di quadratura dette gaussiane

L’obbiettivo che ci si pone, aumentando il numero dei gradi di liberta, e

quello di ottenere un gradi di precisione maggiore, in particolare passandoda n-1 a 2n-1, ovvero essere in grado di integrare in maniera esatta polinomidi grado pari o minore a 2n-1. Dunque andro ad imporre tale condizioneche, chiamati mk =

ba

ω(x)xkdx, permette di ottenere il seguente sistemadi equazioni:

λ1 + λ2 + · · · + λn = m0

λ1µ1 + λ2µ2 + · · · + λnµn = m1...

λ1µ2n−11 + λ2µ2n−1

2 + · · · + λnµ2n−1n = m2n−1

Ho cosı imposto 2n condizioni. A supporto della funzionalita di questisistemi esistono alcuni teoremi che enunceremo qui di seguito:

Teorema 9 Nell’ipotesi in cui ω(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] , ovvero sempre non negativo, e in cui tutti gli mk esistano per ogni k tra 0 e 2n-1, il sistema di equazioni non lineari che ne deriva ha una soluzione unica ed univoca,ovvero esiste uno ed un solo set di λi e µi che forniscano un polinomiointerpolante di grado di precisione 2n-1

Si noti che procedendo in questa maniera i nodi non sono piu equidistantitra loro. Questo diventa di importanza molto rilevante ove essi vadano a cor-rispondere con la discretizzazione di un dominio. Tali formule di quadratura

dovrebbero pero, quantomeno in linea teorica, attuare un processo di dis-cretizzazione “intelligente”, ovvero tale da addensare la discretizzazione ovela funzione ha variazioni piu sensibili e a renderla meno fitta ove invece lafunzione sia piu regolare.

Il problema e che ora la matrice da risolvere e ancora piu complessa e,comunque, mal condizionata. A questo proposito entra in gioco un teoremafondamentale per l’integrazione numerica:

Teorema 10 Affinche la formula di quadratura sia gaussiana, ovvero abbia grado di precisione pari a 2n-1, deve essere che L’insieme dei µi coincida

44



con l’insieme degli zeri del polinomio P n(x) ortogonale in [a, b] rispetto alla

funzione peso ω(x)

Definiamo ora meglio i polinomi ortogonali

Prendiamo un intervallo [a,b], non necessariamente finito, sul quale defini-amo una funzione peso ω(x) che sia a segno costante su tutto l’intervallo edella quale esistano i momenti, definiti come:

M k =

ba

ω(x)xkdx < ∞ per k = 1, 2...

Individuo quindi una classe di polinomi P 0(x), P 1(x)....P (x) che sara dettaortogonale su [a,b] rispetto alla funzione peso ω(x) se b

a

ω(x)P n(x)P m(x)dx =

0 n = m

cost n = m

Tale costante sara uguale per tutti gli n, ed un set di polinomi e definitoortonormale ove tale costante sia uguale ad 1. In ogni caso tale costantesara sempre positiva in quanto abbiamo supposto la non negativita del-la funzione peso p(x) su tutto l’intervallo [a,b]. La scelta dell’intervallo edella funzione peso individua inequivocabilmente una classe di polinomi or-togonali a meno di coefficienti costanti e non nulli. In generale i polinomiortogonali sono definiti in base ad una formula di ricorrenza a tre termini,

del tipo:

P −1(x) = 0P 0(x) = 1P n+1(x) = (x − an)P n(x) − bnP n−1(x)

Si vede dunque che una volta definiti l’intervallo [a,b], la funzione peso e ivalori dei coefficienti an e bn tutti i polinomi ortogonali sono determinabiliin maniera univoca. Si vede inoltre come dentro la definizione di un genericoP n+1 siano coinvolti tutti i polinomi di ordine inferiore.

L’interesse che risiede nei polinomi ortogonali e dato dalle proprieta deiloro zeri. Si ha infatti che:

• Per ogni n ≥ 1, P n(x) possiede n zeri reali e distinti tutti contenutinell’intervallo [a,b]

• Tra due zeri consecutivi di P n(x) ne e incluso uno solo di P n−1(x)

Prendiamo ora un generico polinomio Qm(x). Esso sara rappresentabile inmodo univoco tramite una combinazione lineare di polinomi ortogonali:

Qm(x) =mi=0

ckP k(x)

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Per il calcolo dei coefficienti posso semplicemente sfruttare l’ortogonalita

dei polinomi: per il calcolo di un generico ck e sufficiente moltiplicare amboi membri per il corrispondente polinomio P k(x) e per la funzione peso edintegrare da entrambe le parti su [a,b]. Se ne ottiene:

ck =

ba

ω(x)Qm(x)P k(x)dx ba

ω(x)P 2k (x)dx

Dalla proprieta di ortogonalita dei polinomi si puo anche ricavare che: ba

ω(x)P n(x)qm(x)dx = 0 ∀m < n

Questo e dovuto al fatto che io posso sempre scrivere

Qm(x) =mi=0

ckP k(x)

Ma essendo ogni volta i diverso da n, per l’ortogonalita dei polinomi l’inte-grale e sempre nullo.

Vediamo ora alcune classi di polinomi ortogonali: I Polinomi di Leg-

endre hanno

• ω(x) = 1

• [a, b] = [−1, 1]

Il fatto che la funzione peso abbia valore unitario mi dice che tutti gli in-tervalli in cui posso suddividere la mia funzione originaria hanno la stessaimportanza. I polinomi di Legendre sono definiti dalla seguente formula diricorrenza a tre termini:

P 0(x) = 1P 1(x) = x(n + 1)P n+1(x) = (2n + 1)xP n(x) − nP n−1(x)

Sono dei polinomi particolarmente importanti perche sono molto adatti nel-

la discretizzazione di particelle libere in geometria sferica, soprattutto ovesi voglia discretizzare la variabile angolare. Un esempio e l’equazione deltrasporto, ove la velocita di un neutrone sara data in generale da v = v Ω.Gli zeri dei polinomi di Legendre corrisponderanno alle direzioni di volo delleparticelle.

I Polinomi di Jacobi sono un’altra categoria di polinomi ortogonali,aventi:

• ω(x) = (1 − x)α(1 + x)β

• [a, b] = [−1, 1]

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Si vede evidentemente che per α = β = 0 la scrittura degenera nei polinomi

di Legendre, che costituiscono dunque un caso particolare di polinomi diJacobi.

Per polinomi di Jacobi con α = β = −12 ho i Polinomi ti Tcheby-

chev di prima specie, che vedremo in seguito utilizzati come supporto perl’accelerazione della convergenza di algoritmi lenti. Per invece α = β = 1

2si hanno i polinomi di Tchebychev di seconda specie che servono adapprossimare funzioni speciali, come la E 1.

I Polinomi di Laguerre hanno invece:

• ω(x) = e−x

•[a, b] = [0, +

∞[

e sono usati in problemi di rilevazione satellitare e di fenomeni radiativi (sinoti a questo proposito la presenza del termine esponenziale)

I Polinomi di Hermite, hanno infine:

• ω = e−x2

• [a, b] =] − ∞, +∞[

Dunque cio che ci interessa e trovare gli zeri di tali polinomi. Per farloconosciamo, di base, almeno quattro modi diversi:

•Bisezione

• Regula falsi

• Secanti

• Newton

In realta non si andranno mai ad usare tali metodi, ma ne esistono di appositiper i polinomi ortogonali.

Dunque dal problema

b

a

ω(x)f (x)dx = i λif (µi) + err

sono passato prima a:

λ1 + λ2 + · · · + λn = m0

λ1µ1 + λ2µ2 + · · · + λnµn = m1...

λ1µ2n−11 + λ2µ2n−1

2 + · · · + λnµ2n−1n = m2n−1

ed infine a:P n(µi) = 0

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Ove P n e il polinomio ortogonale scelto all’inizio del problema in funzione

dell’intervallo di integrazione e della funzione peso. La risoluzione del prob-lema intermedio e dunque inutile, visto che le soluzioni sono date dagli zeridel polinomio. Dunque di fatto posso ottenere i valori dei nodi, grazie aiquali andro a calcolare i pesi.

Andiamo per esempio a vedere cosa succede utilizzando i polinomi diLegendre: otterremo una equazione nella forma: 1

−11 · f (x)dx

i

λif (µi)

Si vede che in questo caso la funzione peso e pari ad uno, e dunque di fatto

non da alcun peso differente ai vari intervalli. Si parla in questo caso diformule di Gauss-Legendre

Stesso discorso puo essere effettuato per altri sistemi, ottenendo adesempio le formule di Gauss-Laguerre: ∞

0e−xf (x)dx

i

λif (µi)

ove i nodi sono in questo caso dati dagli zeri del polinomio di Laguerre.I risultati portano a situazioni differenti. Nel caso delle formule di Gauss-

Legendre ottengo un addensamento dei nodi ai bordi del dominio, con ten-denza tanto piu marcata quanto piu n e grande (nonostante la funzione pesosia costante).

Attenzione dunque. La scelta della formula di quadratura non e casuale,ma effettuata in base al legame fisico ed alle esigenze computazionali17

Ho dunque trasformato il mio problema in un problema di ricerca dizeri di polinomi omogenei. Attenzione pero: tale problema e molto malcondizionato, soprattutto ove la derivata prima del polinomio sia piccola edove il numero di zeri n sia elevato.

Maledizione! Dunque neanche questo terzo problema numerico sara quel-lo che andremo, in definitiva, a risolvere. Dovremo di fatto ripensare il

17Ritornando a quanto detto sulla propagazione degli errori, le formule di ricorrenza a

tre termini sono esattamente uno dei punti potenzialmente problematici di un algoritmodei quali andranno dunque studiati condizionamento e stabilita. Dunque in effetti quandoandremo ad inserire una formula di ricorrenza a tre termini, non lo faremo secondo ladefinizione vista in precedenza, ma tramite l’algoritmo di Clanshaw, che trasformaquello precedente in uno piu stabile:

ym+2 = ym+1 = 0yk = (Akx + Bk)yk+1 − C kyk+2 + cky0k0 = Qm(x)

Si tratta di un algoritmo ricorsivo all’indietro, ove devono essere noti i coefficienti ricorsividel p olinomio ortogonale. Il risultato che si ottiene utilizzato questo tipo di algoritmi eaffidabile

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problema numerico dall’inizio, in modo tale da ottenere le stesse soluzioni

del problema che ci siamo posti, rendendolo pero piu facile da risolvere.La prima operazione da effettuare e una normalizzazione dei polinomi,

in modo tale che ba

ω(x)P 2m(x)dx = 1

Ottenendo cosı un insieme di polinomi ortonormali. In questo modo laformula di ricorrenza assume la forma:

P m+1(x) = (Amx + Bm)P m(x) − Am

Am−1P m−1

Che si puo riscrivere nella forma

xP m(x) =1

AmP m+1 − Bm

AmP m(x) +

1

Am−1P m−1

che, rinominando opportunamente i coefficienti come:

αm =1

Ame βm = −Bm

Am

diventaxP m(x) = αmP m+1 + βmP m(x) + αm−1P m−1

Posso dunque riscrivere il tutto in forma matriciale, del tipo:

x P (x) = T P (x) + αn−1P n(x)en con enαn−1 = 0, 0, · · · , 1

Se calcoliamo tale espressione nei nodi µi, sapendo che questi sono tali daessere zeri di P n, otteniamo la forma finale:

µi P (µi) = T P (µi)

Questo non e altro che un problema agli autovalori di tipo classico ove glizeri del polinomio P n(x) coincidono con gli autovalori del problema stesso.

Questo e dunque, in definitiva, il vero problema che andremo a risol-

vere. La matrice T e in effetti tridiagonale e simmetrica, il che come dettorende possibile ottenere la risoluzione tramite l’applicazione del metodo delladoppia passata. I pesi sono infine determinati, una volta noti gli autovaloridel problema e di conseguenza i nodi µi, dall’equazione:

λi =1n−1

j=0 [P j(µi)2]

49



2.7 Equazioni integrali

Ci si riferisce in particolare alle cosiddette equazioni di Frehdolm di

seconda specie. Non e ovviamente l’unico tipo esistente, ma ve ne sonoaltre come le equazioni integrali di Volterra. Caratteristica peculiare delleequazioni di Frehdolm e quella di basarsi su integrali definiti. Un tipicoesempio di equazione di Frehdolm di seconda specie e il seguente:

ϕ(x) = h(x) +

K (x, y)ϕ(y)dy

Con riferimento alla simbologia dell’equazione precedente, abbiamo che:

ϕ(x) e la funzione incognita

h(x) e il termine forzante

K (x, y) e il nucleo o kernel della funzione di integrazione, ove in praticae situata la fisica del problema. 18

Ove il termine forzante sia assente, l’equazione di partenza viene ricon-dotta (come visto nel paragrafo precedente) ad una equazione integraleagli autovalori, del tipo:

Ax = λx oppure Ax = λBx

tali casi si riconducono entrambi alla risoluzione di un problema del tipoD(λ)x = 0, ove D(λ) e una matrice dipendente da parametro. Il casopiu agevole, ma anche in geneale quello meno interessante, e quello ove taledipendenza sia lineare.

Quelli enunciati fino ad ora sono problemi matematici. Per passare alproblema numerico sara necessario introdurre degli errori di idealizzazione.

Partiamo dal kernel, ove come detto e nascosta la fisica del problema.Sulla base di questo dovremo procedere all’integrazione scegliendo oppor-tunamente la formula di quadratura. Una volta effettuata tale operazionela risoluzione dell’equazione integrale diventera un problema algebrico deltipo:

ϕ(x) h(x) +ni=1

ωik(x, yi)ϕ(yi)

Tuttavia e necessario abbandonare l’idea di calcolare direttamente la soluzioneesatta ϕ(x). Cio che riusciro ad ottenere sara sempre e comunque unasoluzione approssimata. Andro dunque a sostituire alla mia ϕ(x) una ϕn(x)dove l’indice n mi da informazioni sulla precisione del polinomio interpolante.

18Tale nucleo puo essere singolare nel dominio di integrazione; in questo caso larisoluzione diventa maggiormente complessa

50



La scelta di n dipende dal problema fisico e, come sempre, dal rapporto

costi-benefici.Una volta effettuato tale passaggio otterro che la mia equazione sara

divenuta della forma:

ϕn(x) h(x) +ni=1

ωik(x, yi)ϕn(yi)

Occorre a questo punto ricordare che, nel calcolo numerico, non si operaquasi mai nel continuo, ma si opera un processo di discretizzazione perarrivare ad un numero finito di nodi in cui sara calcolata la funzione. Sitrattera dunque di andare a collocare i nodi, che sono i punti in cui imporro

l’esattezza della mia equazione. Otterro cosı una forma del tipo:

ϕn(xi) = h(xi) +ni=1

ωik(xi, yi)ϕn(yi)

In questo caso il “circa uguale” e stato sostituito con un uguale in quantostiamo imponendo proprio che la nostra approssimazione sia esatta nei nodiscelti.

Sono dunque di fronte ad un problema lineare non omogeneo del tipo

i[δij + ωik(xi, yi)]ϕn(xi) = h(xi)

che assume di fatto una forma del tipo Ax=b. Trattandosi di un problemanon omogeneo esso sara risolvibile solo se det(A) = 0, e come qualsiasiproblema numerico e necessario accertarsi del buon condizionamento dellamatrice A. Una volta effettuata tale verifica, esisteranno come sempre le duestrade:

• se la matrice e sparsa, si operera iterativamente

• se la matrice e densa, si operera tramite metodi diretti

In generale sara piu probabile, nel caso di equazioni integrali, trovarsi di

fronte a matrici dense. Un esempio tipico di questo caso e la trasmissione deisegnali, ove nonostante si abbia una attenuazione esponenziale del segnale eteoricamente necessario tenere conto di ogni possibile sorgente, il che portaad avere matrici quasi interamente non nulle.

51



Capitolo 3

Metodi numerici per

l’ingegneria nucleare

3.1 Introduzione alla tecnologia ed alla fisica nu-

cleare

Un reattore nucleare e identificato da un punto di funzionamento. Possiamosupporre che esistono varie zone:

• Sicure

• di Allarme

• Incidentali

Il produttore deve tendenzialmente adattarsi alle richieste di carico dellarete. Questo dipende tuttavia anche da numerosi altri fattori: in Italia cisi aspetta che eventuali centrali nucleari di nuova costruzione opererebberoin modo tale da supportare il carico di base, lavorando quindi in condizioniteoricamente ottimali. In un contesto piu generale tuttavia anche i gestorinucleari dovranno adattarsi alle richieste di rete, il che li porter a a porsiin punti di funzionamento differenti dall’ottimale. Il punto chiave e chee necessario assicurarsi che tali variazioni del punto di funzionamento non

portino a spostarsi al di fuori della zona sicura. Si noti che pi u i miei codicidi controllo sono efficaci e precisi, piu la zona definita sicura potra essereestesa. Dunque, come e accaduto di recente in Svezia, a volte per aumentarela potenza prodotta dalle centrli e sufficiente migliorarne il controllo in mododa potersi spingere in sicurezza in zone di funzionamento prima inaccessibili.

Nelle pagine che seguono ci si concentrera sullo studio di piccoli transitorie piccole oscillazioni attorno ad un valore costante. Si noti che, nonostantetali fenomeni verranno visti in riferimento al nucleare, non sono affatto diesso esclusivi, ma anzi esistono altri casi di controllo simile1.

1Si vedano ad esempio i problemi legati al ripple di corrente

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Ammettiamo inizialmente di avere un sistema molto semplice, di cui

supporremo di conoscere con precisione la geometria (considerata invari-ante nel tempo, anche se questo e vero solo fino ad un certo punto) e la

composizione materiale (che invece varia nel tempo in modo marcato).Supponiamo inoltre che:

• Ogni neutrone uscito e perduto; non vi e dunque rientro di neutroni

• Non ci sono neutroni entranti nel sistema dall’esterno: ne, come detto,riflessi ne generati da una sorgente esterno

Queste ipotesi ci permettono di considerare un problema omogeneo

Utilizzeremo come ultieriore astrazione quella di supporre che i neutroni

siano gia presenti nel sistema, ovvero ci dimenticheremo dei transitori diavviamento. All’interno di questo sistema i neutroni interagiranno con ilmateriale nucleare (e non) presente e potranno avere determinate iterazionipiuttosto di altre a seconda della loro probabilita, quantificata dalla sezione

d’urto.Sappiamo dalla fisica nucleare che l’interazione di un neutrone con un

nucleo puo dare luogo alla scomparsa del neutrone stesso ed alla produzionedi una trasmutazione del nucleo di partenza. Delle reazioni di questo tipoquella di maggior interesse sara quella di fissione. In questo caso il neu-trone, catturato da un nucleo fissile, porta alla formazione di un nucleocomposto ed instabile che, in tempi trascurabili, si scindera in piu nuclei di

dimensioni inferiori provocando la produzione di radiazioni ed altri neutroni.Questo tipo di fenomeni ci porta a comprendere come, in effetti, il supporrecomposizione materiale costante sarebbe una approssimazione troppo forte.

Non tutti i tipi di interazione tuttavia danno luogo a questo tipo difenomeni, ed anzi quelli in generale piu frequenti saranno quelli in cui ilneutrone rimbalza contro i nuclei del materiale in cui si muove, dando cosıluogo a scattering. Lo scattering e, per natura, un fenomeno isotropiz-

zante; Tutte le sezioni d’urto che vedremo, invece, sono da considerarsi inmateriale isotropo.2

Al fine del controllo del reattore, e lo ripeteremo piu volte, sono fonda-mentali i neutroni ritardati. I fenomeni di emissione rapida sono infatti

troppo veloci per essere controllati, mentre l’incidenza dei fenomeni di emis-sione ritardata e, seppure piccola, sufficientemente elevata da consentire ilcontrollo delle reazioni.

Il nostro obbiettivo sarebbe quello di mantenere la potenza prodottacostante. Tuttavia, per quanto detto, un sistema nucleare per fare cio avra

2La differenza tra isotropo e isotropizzante e sottile ma sostanziale. Lo scattering eun fenomeno isotropizzante nel senso che la direzione di volo del neutrone in uscita haprobabilita indipendente dall’angolo solido. Un materiale e invece detto isotropo rispettoad un fenomeno ove tale fenomeno ha una probabilita di avvenire equa indipendentementedall’angolo solido di volo

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bisogno di un quantitativo elevato di sistemi di controllo e regolazione, che

comunque saranno in grado di assicurare tale costanza di produzione solo inprima approssimazione.

Esistono fondamentalmente tre tipi di sitemi di controllo:

Barre di controllo : Sono sistemi a movimentazione elettromeccanica, dicui esistono a loro volta diverse tipologie:

• Per lo spegnimento rapido (scram)

• Per la macro regolazione (abbassamento / innalzamento richiestedi rete)

• Per la micro regolazione (o regolazione fine, sempre in moto per

il controllo del k effettivo)

Controllo chimico : Si parla in questo caso del cosiddetto avvelenamen-to del refrigerante per via chimica, in generale tramite dissoluzione disali di boro

Controllo fisico-chimico Alcune pastiglie inserite all’interno degli elemen-ti di combustibile sono realizzate con dei materiali assorbitori (adesempio ossido di gadolinio)

Dei tre sistemi descritti l’ultimo e l’unico non online, ovvero che non puoessere modificato a piacimento una volta che gli elementi di combustibile

sono stati montati. Tale sistema e in generale usato per regolare la presenzadi neutroni in determinate zone del reattore ed a determinate energie.

I veleni di cui si e parlato finora sono bruciabili. Cio implica che essi siconsumano dopo l’uso. Dunque, in fase progettuale, la concentrazione degliossidi di gadolinio nelle pastiglie deve essere calcolata tenendo in conto dellaprogressiva diminuzione del loro quantitativo nel tempo. Il fenomeno percui i sistemi di controllo non online sono piu efficaci all’inizio della vita delreattore che alla fine e detto rilascio di reattivita.

Si tenga conto comunque che i metodi numerici associati alla risoluzionedell’equazione della diffusione multigruppo non permettono ne il controllodi centrale ne la progettazione. Essi sono infatti applicati a problemi meno

critici, ed in particolare alla programmazione della sostituzione delle barredi combustibile3.

3Ci si potrebbe in realta chiedere per quale ragione il consumo non puo essere pro-grammato in anticipo sfruttando i metodi piu precisi che vengono utilizzati in fase diprogettazione. Questo non accade in quanto durante la vita di un reattore, esso non operasempre in condizioni nominali, ma seguendo una serie di fasi a potenze differenti ed andraincontro ad un largo numero di transitori, piu o meno traumatici, che renderanno im-possibile la previsione a priori del consumo di combustibile. Questa dunque dovra essereprogrammata tenendo in considerazione, seppure in maniera approssimativa, la vita delreattore che precede la sostituzione. Si ricorda inoltre che transitori veloci sono moltopericolosi, in quanto possono provocare la formazione di cricche all’interno degli elemen-

54



3.1.1 Il concetto di criticita e le sue implicazioni

Come puo un sistema rimanere, da un istante all’altro, stabile? Quando ilnumero di neutroni che nascono da fissione per unita di volume e di tempo esempre uguale a quelli che muoiono (sono assorbiti od escono dal sistema),per unita di volume e di tempo diremo che il sistema e critico.4

Ci stiamo dunque preoccupando dello studio di criticita di un sistemamoltiplicante tramite le equazioni della diffusione multigruppo in 3D. Cercher-emo in questa sede di analizzare lo sforzo computazionale che questo implica.

Torniamo ora al concetto di criticita. Stiamo parlando di un sistemamoltiplicante ove dobbiamo essere in grado di mantenere le reazioni a cate-na senza che queste diminuiscano od aumentino di intensita oltre certi livelli.

Assumendo, come detto, composizione variabile, se il sistema e critico al-l’istante t non lo sara mai anche all’istante t + ∆t, a meno di non cambiarequalcosa nel sistema.

Cosa succede quando porto questi ragionamenti in una logica computazionale?Otterro come noto dei risultati rappresentativi della realta fisica, ma nonesatti, e di questo dovro ovviamente tenerne in conto poiche si parla disistemi molto sensibili agli errori, in particolare riguardo lo scostamentodalla criticita. Ogni volta che tale spostamento supera una soglia ancheapparentemente molto piccola i problemi non possono piu essere consideratistazionari, e ci si spostera in un’altra classe di problemi, detti di cinetica

neutronica. In teoria infatti ogni volta che ci troveremo in condizioni di

keff = 1 non potremo piu parlare di criticita e ci troveremo in condizionicinetiche e, dunque, non stazionarie.All’interno degli studi di criticita e importante ritornare alla realta anche

dal punto di vista geometrico. Il nostro dominio non sara piu dunque unasfera perfetta ma un sistema complesso che abbia il piu possibile le sem-bianze del reattore reale che vogliamo andare a studiare. Questo avra ancheimplicazioni di tipo energetico legate, ad esempio, alla termodinamica dellasottrazione del calore o al variare dell’effetto moderante in funzione dellafase del moderatore.

Come detto l’obbiettivo sara quello di portarsi in condizioni di potenzatermica costante. Nella realta delle cose non e tuttavia possibile raggiungere

ti di combustibile che portano alla fuoriuscita dei prodotti di fissione e la conseguentecontaminazione del circuito primario. Questo evento puo determinare la necessita dellasostituzione anticipata di un elemento di combustibile. La criticita della guaina che cir-conda le barre d’uranio al fine di contenere i prodotti di fissione e tale che le saldaturepresenti in detta guaina sono controllate ai raggi X una per una in fase di produzione

4La criticita di un reattore dipende esclusivamente dalla sua geometria e dalla suacomposizione materiale in un determinato istante, e non dal numero di neutroni che visono contenuto. Quindi, almeno a livello concettuale, un reattore puo essere critico anchein totale assenza di neutroni, la cui presenza serve solo (e non e po co) alla produzione dienergia. La presenza di neutroni, e le conseguenti iterazioni che essi hanno con il materiale,andranno istantaneamente a modificare la composizione materiale del sistema, provocandocosı la perdita di criticita dello stesso.

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tale obiettivo, e il sistema tendera di conseguenza ad oscillare continuamente

tra condizioni di lieve (si spera) sotto e sopracriticita.La criticita e dunque raggiungibile solo agendo sui sistemi di controllo,

che permettono di variare la composizione materiale del sistema a piacimen-to. Esistono invece sistemi di sicurezza intrinseca e passiva il cui com-pito sara quello di far raggiungere al sistema livelli fortemente sottocriticinel minor tempo possibile.

In generale a sistema sovracritico corrisponde una crescita di potenza,mentre ad un sistema sottocritico corrisponde un calo della stessa. Questacorrispondenza, seppur frequente, non e tuttavia univoca. Una delle ra-gioni dell’incidente di Chernobyl e stata anche una condizione di apparentesottocriticita associata tuttavia ad un aumento di popolazione neutronica.

Gli incidenti di criticita sono situazioni in cui la criticita di unsistema e raggiunta involontariamente, e sono evidentemente molto peri-colose. Sono situazioni tipiche ad esempio dei processi di ritrattamento delcombustibile, ove si puo per errore configurare un sistema (ad esempio distoccaggio intermedio) in modo tale che questo risulti avere casualmentekeff > 1. 5 6

3.1.2 Fenomeni non stazionari

La semplificazione di pseudo-stazionarieta e accettabile solo in determinaticasi, mentre in altri non e realistica. Alcuni esempi sono:

Transitorie Si tratta di fasi non-stazionarie non pericolose, generate dal-l’attivita volontaria di regolazione derivante dalla gestione del sistema.Si parla in particolare delle fasi di

• Avviamento

• Spegnimento

• Regolazione del carico

Incidentali Si tratta in questo caso delle condizioni in cui e necessariospegnere rapidamente il reattore. Tale operazione e definita scram, ede sensibilmente differente dallle operazioni di spegnimento “standard”.L’incidente piu grave che possa verificarsi in una centrale nucleare e ilLOCA (Loss Of Cooling Accident), ove si ha una perdita immediatadi praticamente tutto il liquido refrigerante.

5L’ultimo incidente di questo tipo e avvenuto in Giappone nel 1999. Questi incidentisono potenzialmente molto gravi e portano all’emissione di forti quantita di radiazioni γ

e di neutroni, con possibilita anche di innesco di reazioni esplosive6Un caso molto particolare e quello di una zona mineraria del Gabon, ove nel tempo

si sono naturalmente ripetute piu volte per piu di un milione di anni delle situazioni dicriticita naturale. Si noti che l’uranio 235 e in generale presente in natura in quantitativimolto bassi, in media con arricchimenti inferiori allo 0,7%

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Approfondiamo, per completezza, qualche cenno legato ai fenomeni tran-

sitori, ai quali sono infatti legate delle condizioni in cui il gestore di unacentrale vorra portarsi deliberatamente in condizioni sovracritiche.

Cosa succede ad esempio all’accensione? Supponiamo di aver appenaspento il reattore per la ricarica e di volerne garantire l’attivita continuativaper un quantitativo compreso tra 18 e 36 mesi. All’inizio di tale periodo ilsistema, privo di barre di controllo, sara dunque fortemente sovracritico perdue ragioni:

• Per poter garantire per il numero di mesi richiesti il mantenimentodella criticita, anche in presenza di sistemi di controllo

•Per poter accendere il sistema

Supponiamo dunque di avere, in t=0, flusso neutronico nullo. Per accen-dere il sistema dovro, in qualche modo, buttarci dentro dei neutroni. Unavolta completata questa fase dovro poi utilizzare i sistemi di controllo peraumentare la potenza passo a passo fino al valore richiesto.7

Veniamo ora invece al caso della regolazione, ovvero ad esempio delcaso in cui la rete richieda un aumento di potenza. Tale procedimento risultaessere analogo alle procedure di accensione e spegnimento, ove dunque illivello di potenza richiesto non e raggiunto tramite un unico passaggio maattraverso diversi piccoli salti.

3.1.3 L’importanza neutronica ed i metodi per lo studio diproblemi pseudo-stazionari

Immaginiamo di avere un sistema estremamente semplice, sul quale faremole seguenti supposizioni:

• sferico

• critico

• geometria e compisizione materiale ben note e costanti nel tempo

•trascuriamo i problemi prettamente tecnici, come la strategia sceltaper la sottrazione del calore e via dicendo

• poniamo tale sistema sotto al Gran Sasso, ove dunque potremo pensareche non vi siano neutroni

7teoricamente si dovrebbero avere problemi di questo tipo anche in fase di spegnimentoo calo di potenza, ma in pratica tali operazioni sono molto meno delicate in quanto uneccesso di scostamento dalla criticita provocherebbe solo uno spegnimento troppo bruscoe non una esplosione. Nonostante cio si tenga comunque in conto che per l’integrita delsistema piu i transitori sono lenti, meglio e

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Supponiamo ora di poter generare all’interno di tale sistema delle sorgenti

di neutroni puntiformi in maniera totalmente arbitraria. Chiamero tali sor-genti S 1 ed S 2 , e le posizionero in due sistemi altrimenti identici, in dueposizioni diverse (immaginiamo S 1 esattamente al centro del sistema ed S 2in prossimita del confine). La domanda che ci poniamo e la seguente: i duesistemi si comporteranno in maniera differente?

Ricordando la supposizione iniziale di criticita e geometria e compo-sizione materiale costanti, avro che i due reattori, dopo il transitorio iniziale,si porteranno a due condizioni di equilibrio differenti tra loro, con potenzeP 1 e P 2 prodotte diverse. In effetti il punto chiave sta nel fatto che i neutroniprodotti dalla seconda sorgente, essendo essa posizionata piu vicina alla fron-tiera, tenderanno con maggiore facilita ad uscire dal sistema rispetto a quelli

prodotti dalla prima sorgente. Si vede dunque che, a livello neutronico, nontutte le zone del rettore sono uguali. Definiamo dunque importanza di unneutrone come il contributo che esso puo dare all’ottenimento del-la potenza asintotica del sistema. Essa e una funzione dell’energia delneutrone, della sua direzione di volo ma anche della sua posizione, comeappena detto. A parita dunque delle prime due variabili, un neutrone piuvicino al cuore del sistema sara generalmente piu importante di uno postoin prossimita della periferia8.

Conoscere l’importanza che i neutroni hanno in una determinata zonadel reattore e fondamentale ai fini della progettazione delle barre di controlloed in generale dei sistemi di sicurezza e regolazione. Il loro intervento sara

infatti tanto piu efficace tanto maggiore e l’importanza dei neutroni che essiandranno ad assorbire. Avremo dunque, ad esempio, che le barre di controlloper lo scram sono posizionate al centro del reattore.

Torniamo al sistema sferico critico ideale. Cosa accadrebbe se andassimoa modificare la geometria o la composizione materiale? Non e difficile intuireche:

• Se andiamo ad aumentare l’arricchimento, si avra uno spostamentoverso la sovracriticita del sistema

• Se andiamo ad aumentare il raggio della sfera andremo a diminuireil rapporto superficie / volume e dunque a diminuire l’incidenza dellefughe sul bilancio neutronico, il che porta anche in questo caso ad unospostamento verso la sovracriticita

Se passiamo dunque al problema numerico corrispondente, avremo ingenerale due tipi di autovalori:

• Materiale

8In diffusione monodimensionale importanza e flusso neutronico coincidono. Questomostra come, almeno come linea generale, che le zone ad importanza maggiore sono quelleove vi sono piu neutroni

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•Geometrico

Questo mi dice che di fatto che per modificare la criticita del sistema potroandare ad operare sia sulla geometria che sulla composizione geometricadello stesso. Questa operazione non e tuttavia agevole.

Torniamo ora alla buona vecchia analisi numerica. Il fine e quello di ge-stire i programmi di ricarica del combustibile di un reattore tramite la mod-ellizzazione numerica dei fenomeni che avvengono al suo interno. Dunquevorro studiare quale sara, istante per istante, il contenuto in U 235, in P u239 eP u241, il quantitativo di veleni ancora presenti, all’interno di una panorami-ca 3D del reattore, che potremo al piu semplificare sfruttandone la geometriacircolare ed andando dunque a studiarne solo un quarto della sezione, es-

trapolando i risultati al resto del sistema. Per fare questo useremo dunquedei codici di calcolo in diffusione 3D multigruppo.Ne esistono fondamentalmente due macro-famiglie:

Differenze finite fini ove viene attuata una discretizzazione spinta del do-minio spaziale. In questo caso il passo tra due nodi adiacenti e dell’or-dine di grandezza del libero cammino medio dei neutroni. Tale sistemae molto oneroso dal punto di vista computazionale, ma effettuandoimportanti approssimazioni sul flusso neutronico (in particolare con-siderandolo lineare tra due nodi adiacenti) tale complessita e ridottaa livelli accettabili.

Coarse mesh s ove si applica una logica opposta: la discretizzazione spazialee molto grossolana, molto piu grande rispetto al libero cammino mediodei neutroni9. Per mantenere un livello di precisione accettabile sisceglie tuttavia di aumentare il contenuto della definizione locale delflusso neutronico, che sara generalmente una funzione polinomiale digrado 2 o 3. Il problema e che questo porta a problemi di tipo nonlineare, per i quali non esiste ad oggi una dimostrazione di esistenzaed unicita della soluzione. Nonostante questo tali metodi, introdottinel 1972, sono oggi molto usati nell’ambito della programmazione dellericariche del combustibile.

Parleremo sempre di condizioni di pseudo-criticita, il che ci portera arisolvere problemi agli autovalori generati dall’omogeneita del problema dipartenza. L’ipotesi di pseudo-criticita ci permettera quindi di dimenticarcidi fatto della dipendenza dal tempo.

9si ricorda che il libero cammino medio di un neutrone e funzione della sua energia,teoricamente in modo continuo, in pratica in modo discreto nel momento in cui il dominioenergetico e suddiviso in un numero finito di gruppi

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3.2 Il consumo del combustibile nucleare

Veniamo ad alcune considerazioni sul combustibile nucleare. Sappiamo beneche, purtroppo, nel momento in cui e necessario il suo ricambio, esso e benlontano dall’essere esaurito. La sostituzione degli elementi di combustibileinfatti, a differenza della maggior parte degli altri sistemi energetici, none legata all’esaurimento del combustibile ma all’incapacita di garantire lacriticita del reattore. Nei momenti immediatamente successivi alla ricaricail reattore e fortemente sovracritico, e la reattivita, inizialmente controllatadai sistemi di controllo, e rilasciata con il consumarsi del combustibile.10

La condizione ideale che si vorrebbe raggiungere all’interno di un reat-tore nucleare e quella di reattivita il piu possibile uniforme sulle varie di-

rezioni. Tuttavia questa condizione e difficile da raggiungere, sia nei PWRche, soprattutto, nei BWR11.

Prendiamo un generico reattore, arricchito al 2-4%. Dovro tenere in con-to, con il passare del tempo, non solo del consumo di U 235 ma anche dellaproduzione di P u239 e P u241, a loro volta fissili. Dunque il depauperamentodella quantita di materiale fissile all’interno del reattore e frutto di un bi-lancio tra consumo di uranio e produzione di plutonio12. Tale bilancio none costante durante la vita del reattore, ed anche se in generale il consumodi uranio e preponderante, esiste una fase della vita del combustibile, lacui intensita e durata variano da reattore a reattore, in cui la formazionedi plutonio prevale sul consumo di uranio. Tale fase e detta plutonium

build-up13Quando si genera plutonio all’interno di un sistema, esso vi immette

reattivita. Questo dunque corrisponde ad una sorta di lieve “estrazione”

10Si vuole qui ricordare inoltre che, in generale, alle operazioni di sostituzione del com-bustibile sono associate anche delle fasi di movimentazione delle barre non ancora esauritein modo da ottimizzarne il consumo

11nei BWR l’ebollizione dell’acqua all’interno del reattore provoca una forte diminuzionedi densita di moderatore nella parte alta del reattore, alla quale corrisponde un’altrettantomarcata diminuzione di reattivita

12I calcoli legati alla diffusione neutronica sono sempre basati sull’ipotesi che i prodotti difissione non diffondano all’interno del materiale ma restino lı dove sono. Questo, in realta,non e propriamente vero, ma il loro livello di diffusione e molto ridotto, e considerato

trascurabile rispetto invece a quello dei neutroni13Nei reattori per la produzione di energia tale plutonio viene consumato direttamenteall’interno del reattore. Esistono tuttavia dei reattori, detti plutonigeni, che sono invecepensati per massimizzare la produzione di plutonio, che viene successivamente estrattoed utilizzato per fini militari. A questo proposito esistono anche reattori pensati peril processo inverso, ovvero per essere alimentati tramite il materiale nucleare di orginemilitare. 7 dei 58 reattori francesi sono adatti anche a questo scopo, ma tale possibilitarichiede ulteriori accortezze in ambito di sicurezza e controllo, in quanto la reazione difissione del plutonio e molto meno controllabile di quella dell’uranio (β(U 235) 0.65,β(P u239) 0.22). Questo implica che in ogni caso i combustibili a base di plutonio (ocomunque contenenti parti non trascurabili di plutonio) non sono mai utilizzati da soliall’interno del reattore, ma opportunamente mischiati a combustibile tradizionale

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delle barre di controllo, il tutto legato anche alla maggiore difficolta del

controllo delle reazioni di fissione dell’uranio.Vediamo anche altri tipi di reattori. Ad esempio sappiamo che i CANDU,

per come sono pensati, sono particolarmente facili da controllare. Tuttavia,dall’altro lato, la gestione del combustibile e pessima, ovvero il combustibilee sostituito quando il suo contenuto energetico e ancora molto elevato inrelazione al suo contenuto iniziale. Questo gli e tuttavia permesso dal fattoche tali reattori sono alimentati ad uranio naturale e permettono il ricambiodel combustibile senza dover ricorrere allo spegnimento del reattore.

3.3 Differenze finite fini

Per quanto visto avremo dunque due livelli di discretizzazione:

Spaziale : nel passaggio ad un approccio numerico perdiamo come noto lacontinuita dello spazio, il che ci portera a calcolare le grandezze fisichesolo in alcuni punti

Energetica : ho come detto un numero finito G di intervalli monoenergetici

Dunque l’ordine di discretizzazione del mio problema sara N xN yN zG, ilcui valore puo facilmente essere molto elevato.

3.3.1 Diffusione monodimensionale monogruppoVeniamo ora alla scrittura del problema, preoccupandoci quantomeno in-izialmente del caso piu basilare, monodimensionale e monogruppo. Avro unproblema del tipo:

D d2Φ

dx2− ΣaΦ +

ν Σf

kΦ = 0

Φ(0) = Φ(a) = 0

Ove i differenti termini assumono il seguente significato:

D d2Φ

dx2 rappresenta il depapuperamento del bilancio dato dalle fughe. Tale

termine non e intrinsecamente negativo, ma lo sara sempre (o quasi)nei bilanci che andremo a considerare

ΣaΦ rappresenta il depauperamento dato dagli assorbimenti. Questo ter-mine e sempre negativo, in quanto risulta dal prodotto di due terminidefiniti positivi cambiato di segno

ν Σf Φ rappresenta il termine di fissione, ed e sempre positivo in quantoprodotto di tre quantita definite positive.

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Supponiamo ora di eliminare il k da tale equazione.

Tale problema sara ovviamente risolto dalla soluzione banale di flus-so neutronico nullo. Una soluzione non banale puo esistere soltanto se lacomposizione materiale e la geometria del sistema sono tali da renderlocritico.

Da qui nasce appunto la natura del k: esso corrisponde all’autovaloreche, fisicamente, non funge ad altro che a riequilibratore del fenomeno fisi-co. Dunque io prendo un problema che, inizialmente, non rappresentera unasituazione di criticita, e lo modifichero tramite un parametro in modo taleda rendere il sistema critico. Una volta fatto questo andro a determinare ilvalore di tale parametro che, per come e stato inserito, mi dira che il sis-tema e sottocritico se inferiore ad uno e sovracritico se superiore ad uno. Ho

cosı risolto magistralmente il problema della non stazionarieta, forzando ilproblema a diventare stazionario: il bilancio neutronico diffusivo e dunquesempre nullo, anche se nella realta fisica delle cose non sara cosı, ma ri-esco comunque a quantificare lo scostamento dalla criticita. Chiaramentela veridicita di tale approssimazione e garantita solo per k molto vicino aduno. Uno scostamento eccessivo provocherebbe il verificarsi di fenomenifortemente non-stazionari, il che richiederebbe lo studio del fenomeno sottoun approccio differente.

La geometria del sistema viene in questo caso considerata all’internodelle condizioni al contorno alle pareti, ove abbiamo imposto flusso nullo.14

Dal punto di vista fisico, in questo caso l’autovalore e attribuito al ter-

mine di fissione ν Σf Φ. Questa non e l’unica soluzione possibile: potrei, adesempio, inserire il k nelle condizioni al contorno, imponendo che il flussosi annulli in (0 + δx) e (a − δx) ove l’autovalore diventa, in questo caso, δxe viene chiamato autovalore geometrico. Lo scopo e sempre lo stesso:forzare la criticita del sistema, andando pero questa volta a modificarne lageometria piuttosto che la composizione materiale.15

Il problema della scelta dell’autovalore geometrico e che il sistema chene risulta e ancora piu difficile da studiare dal punto di vista numerico inquanto implica una modifica delle dimensioni del dominio e, di conseguenza,della sua discretizzazione. La dipendenza della matrice del problema da knon e piu lineare, e la risoluzione ne risente. Tale modello e utilizzato in

generale per altri scopi, come ad esempio per comprendere in che modo unsistema critico reagisce ad una variazione della geometria del sistema, adesempio in caso di incidente.

14L’approssimazione di flusso nullo alle pareti e detta di affacciamento al vuoto, ede realistica solo ove non vi sia un riflettore. In generale, pur non considerando la presenzadi un riflettore, andremo a sostituire tale condizione con l’annullamento del flusso su diun confine estrapolato

15inserire il k all’interno del termine di fissione corrisponde infatti a diminuire il ν o ilΣf , il che non corrisponde ad altro che ad una sostituzione ideale del materiale fissile conun altro avente proprieta differenti

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Ulteriore posizione che l’autovalore potrebbe assumere e l’andare a mod-

ificare la densita del materiale, in modo da variare i valori di Σa e Σf . Ilproblema in questo caso risiede nel fatto che ogni modifica della densitamateriale andrebbe ad agire in due direzioni opposte sul sistema, il checomplica nettamente la comprensione di quali siano le reali conseguenze.Inoltre si avra, anche in questo caso, l’introduzione di una non linearita delproblema. Anche in questo caso dunque si ha una maggiore complessitadella risoluzione, nonostante il suo significato fisico sia, teoricamente, piurealistico.

Se andassi a risolvere il problema analiticamente, otterrei

Φ(x) = C sinπ

a

x con k =ν Σf

Σa + D(π

a )2

Volendo invece procedere dal punto di vista numerico, andro ad introdurreuna discretizzazione spaziale, identificando cosı un certo numero di nodi oveandro a calcolare il flusso neutronico Avro dunque che esisteranno degli xi

tali che Φ(xi) = Φi. In questo modo le derivate diventeranno del tipo:

(d2Φ

dx2)xi =

(dΦdx

)xi+1

2

− (dΦdx

)xi− 1

2

h

Si parla in questo caso di differenze finite centrate. Ho pero in ques-ta forma la presenza di definizioni del flusso al di fuori dei nodi preimpo-

stati. Tale apparente incongruenza viene eliminata tramite la definizionedelle derivate prime:

(dΦ

dx)x

i+12

=Φi+1 − Φi

he (

dΦ

dx)x

i− 12

=Φi − Φi−1

h

da cui in definitiva la derivata seconda rispetto ad x calcolata in xi vale:

(d2Φ

dx2)xi =

Φi+1 − 2Φi + Φi−1

h2

Considerando D come omogeneo, possiamo definire dunque un sistema di

equazioni dato da:

D Φi+1−2Φi+Φi−1

h2− ΣaΦi +

ν Σf

kΦi = 0

Φ0 = Φn+1 = 0

Tuttavia stiamo qui come detto imponendo una condizione poco realisticadi flusso nullo al contorno. In questo punto verra in realta effettuato unupgrade del problema diffusivo tramite sontenuto fisico proveniente dallateoria del trasporto. In pratica andro a definire un contorno estrap-

olato, diverso dal contorno fisico, sul quale il flusso e nullo, basato sulla

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estrapolazione lineare dei risultati ottenuti dalla teoria del trasporto. Le

ipotesi sulle quali la teoria della diffusione e basata, infatti, non sono ver-ificate alla frontiera del dominio, ove e dunque necessario ricorrere ad altristrumenti. Una volta determinata la frontiera estrapolata, l’equazione delladiffusione verra risolta non sul dominio fisico ma sul dominio estrapolato,ove potremo finalmente in modo realistico imporre l’annullamento del flussoneutronico.

Avremo che, al contorno, le condizioni diverranno del tipo:γ 0Φ(r0) + δ0(dΦ

dr)r0 = 0

γ N Φ(rN ) + δN (dΦdr

)rN = 0

Ove δ e γ dipendono dalla geometria scelta.Scegliendo γ 0 = 1 e δ0 = −d otteniamo:

Φ(r0) − d(dΦ

dr)r0 = 0

dove chiameremo d distanza estrapolata, ed in essa risiedera il costoaggiuntivo del mio upgrading.16

Ho dunque ottenuto una equazione agli autovalori, ovvero un problemadel tipo D(λ)Φλ = 0

La diffusione rappresenta un problema fisico di tipo locale: cio che accadenel nodo i e direttamente collegato a cio che accade nei nodi (i+1) ed (i-

1). Questa considerazione, apparentemente banale, provoca in realta delleconseguenze importanti sul tipo di problema numerico che dovremo andarea risolvere. Problemi di trasporto sono infatti invece non di tipo locale:tutti i punti sono direttamente collegati agli altri punti. In fisica diffusivaandremo dunque a risolvere equazioni con formulazioni:

• a tre punti (1D) → matrici tridiagonali

• a cinque punti (2D) → matrici pentadiagonali

• a sette punti (3D) → matrici eptadiagonali17

Vediamo dunque che avremo, nel caso diffusivo, matrici sparse, che ciporteranno ad approcci di tipo iterativo per la loro risoluzione. Questa e,in generale, una buona notizia, soprattutto ove la matrice sia sparsa maordinata, come nel nostro caso.

16Purtroppo nemmeno la teoria del trasporto e esatta, e di conseguenza anche il valoredi d calcolato in questo modo costituira un’approssimazione, e il suo valore cambia aseconda di come ho applicato tale teoria e di come ne ho risolto le equazioni

17L’ottenimento di matrici multidiagonali dipende dalla numerazione scelta. Nel casomonodimensionale la numerazione e ovvia, mentre nei casi bi e tridimensionale non e cosı,e sara opportuno scegliere una numerazione adeguata per ottenere effettivamente matricimultidiagonali

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Dalle equazioni notiamo inoltre che il termine di assorbimento e quello

di fissione sono posizionati solo sulla diagonale, mentre il termine legato alladiffusivita D e posizionato sia sulla diagonale che fuori. Si vede in effettiche per questo tipo di matrici la condizione di dominanza diagonale eautomaticamente assicurata. Andando infatti a trascurare il termine difissione otteniamo che la condizione di diagonale dominante e soddisfattase:

| − 2D

h2− Σa| > | D

h2| + | D

h2|

Si vede chiaramente che questo e sempre vero, il che ci garantisce, comeconseguenza, la convergenza dei metodi iterativi utilizzati.

Questo vale per problemi:

• Monoenergetici

• Monodimensionali

• Omogenei

ove per omogenei si intende il fatto che le proprieta del sistema non varianonello spazio.

Nella realta sarebbe dunque possibile, in alcuni punti, avere Σa = 0 edunque ottenere una matrice a semi-diagonale dominante.

3.3.2 Problemi con sorgenteFacciamo ora un excursus sui problemi non omogenei, ovvero in presenzadi un termine forzante. Questo ci servira, in seguito, a trattare i problemimultigruppo, in quanto vedremo che per ogni gruppo energetico i neutronirallentati nei gruppi precedenti risulteranno, matematicamente, come unasorgente esterna.

Avremo dunque di fronte un problema del tipo (considerando problemamonodimensionale, monoenergetico e con dominio omogeneo, senza fissionema con sorgente):

−D2Φ + ΣaΦ = S

Che diventa, in seguito alla discretizzazione:

−D Φi+1−2Φi+Φi−1

h2+ ΣaΦi = S i

Φ0 = Φn+1 = 0

Dando luogo come detto ad una matrice tridiagonale.In casi come questi, ovvero di fronte ad un problema non omogeneo

e con matrice tridiagonale utilizzeremo un metodo diretto: il metododella doppia passata. Tale soluzione verra tuttavia applicata soltanto inlogica monodimensionale. Quando passeremo a 2 o a 3 dimensioni, dovendo

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operare con matrici piu ricche di elementi non nulli, si ricorrera in genere

ad algoritmi di tipo iterativo.Si rivela utile in questa fase evidenziare come deve essere effettuato l’in-

serimento delle condizioni al contorno. Si vede infatti che le equazioni dis-cretizzate si risolvono in formule a tre punti, ma nei due nodi agli estremidel dominio si avranno a disposizione solo due valori: il flusso nel puntostesso e quello nel punto piu interno del dominio.

Si andra dunque in questo caso ad imporre la condizione di annullamentosul contorno estrapolato.

Per farlo conviene integrare l’equazione della diffusione sul volume cen-trato sull’ultimo nodo ai confini del dominio (si supponga in questo caso r0

). V 0

nD d2Φdx2

dx − V 0

ΣaΦdx + V 0

Sdx = 0

Da cui si ottiene che il primo integrale diventa: V 0

nDd2Φ

dx2dx = D+

0 A+0

dΦ

dr

r 12

− D+0 A+

0

dΦ

dr

r0

= D+0 A+

0

Φ1 − Φ0

h0+ D+

0 A0γ 0δ0

Φ0

Ove si e utilizzata la condizione al contorno che recita:

γ 0Φ(r0) + δ0( dΦdr

)r0 = 0

Ne viene che l’equazione discretizzata nell’ultimo nodo risulta nella forma:

[D+0 A0

γ 0δ0V 0

− D+0 A+

0

h0V 0+ Σ+

a,0]Φ0 + D+0 A+

0

Φ1

h0V 0+ S 0

3.3.3 Non omogeneita dello spazio

Il generico reattore non sara composto interamente dallo stesso materiale.Avremo dunque che i valori di Σa, Σf e D varieranno da punto a punto,

ed anche in maniera marcata: basti pensare alle differenze che tali valoripresenteranno tra il materiale nucleare e, ad esempio, il moderatore.

Faremo in generale la supposizione che tali parametri varieranno comedelle funzioni a gradino, in modo tale che esse risultino costanti all’internodi ogni macro-intervallo.

Come fare per introdurre tale complicazione?Esistono fondamentalmente due strategie differentiUna possibilita e scegliere di posizionare alcuni nodi di flusso in

corrispondenza delle discontinuita materiali. Esisteranno ovviamentemolti altri nodi di discretizzazione, ma la caratteristica di questo metodo

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e appunto quella di imporre che alcuni di questi nodi siano posizionati ove

abbiamo il cambiamento dei valori delle costanti nucleari.Prendiamo un nodo ri centrato su di una discontinuita, e chiamiamo V i

il volume di materiale attorno a ri e racchiuso dalle superfici A+i ed A−

i

posizionate rispettivamente sulle ascisse ri+ 12

= ri+ri+12 e ri− 1

2= ri+ri−1

2 .

Prendo ora l’equazione della diffusione e la integro sul tale volumetto V i,ottenendo un bilancio integrale diffusivo.

− V i

(DΦ)dV +

V i

ΣaΦdV =

V i

SdV

Il primo integrale diventa, sfruttando il teorema della divergenza

V i

(DΦ)dV = A+i

D dΦdu

dA + A−i

D dΦdu

dA =

= D+i A+

i (dΦ

dr)r

i+12

+ D−i A−

i (dΦ

dr)r

i− 12

Se a questo punto introduciamo la linearita del flusso tra due nodi adia-centi, il che sta alla base dell’approccio diffusivo tramite differenze finitefini, possiamo ottenere delle equazioni che possono essere espresse in formamatriciale come abbiamo fatto sino ad ora, con la sola differenza che non cisara un unico valore per le costanti materiali in tutta la matrice, ma valoridifferenti.

La prima e l’ultima equazione avranno, come ovvio, soltanto due elementiinvece che tre. Questo e legato alla scelta di condizioni di annullamento delflusso al contorno: lo stesso accade in 2D, ove avremo in generale 5 elementi,tranne per i nodi di bordo ove saranno 4 e i nodi di spigolo ove infine avremo3 elementi non nulli.

Per la risoluzione del problema e a questo punto necessaria la scelta dellaformula di quadratura da utilizzare. Esse si dividono in due macro categorie:

Chiuse , ove gli estremi del dominio sono utilizzati come nodi

Aperte , ove e invece vero il contrario

Dunque nel nostro caso non e infatti scontata la scelta: se nell’approcciopuramente diffusivo era stato imposto l’annullamento del flusso neutronicoal contorno, a seguito dell’upgrading tramite teoria del trasporto questo none piu vero, e di conseguenza si potra scegliere anche di applicare formule diquadratura aperte.

L’efficacia di una discretizzazione di questo tipo dipendera evidentementeda

• regolarita della funzione

• numero di intervalli

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Da qui la scelta del libero cammino medio neutronico come ordine di grandez-

za della discretizzazione18: per poter supporre flusso lineare tra un nodo el’altro e necessario che la maglia sia molto fine.

Nel secondo caso le discontinuita non sono posizionate sui nodi di flusso,ma nei nodi “fittizi” del tipo ri+ 1

2e ri− 1

2, in modo che il volume di

materiale V i centrato in ri si ritrovi ad avere costanti materiali uniformi alsuo interno. La discontinuita dunque in questo caso non e concentrata inmezzo al volume, ma ai suoi bordi, ove avremo dunque discontinuita delladerivata. Infatti:

DiA+i (

dΦ

dr)r−

i+12

− DiA−i (

dΦ

dr)r+

i− 12

− Σa

V i

ΦdV +

V i

SdV = 0

Si vede come in questo caso compaia soltanto un valore delle costanti nucleariD e Σa, in quanto esse sono costanti all’interno del volumetto, ma come alcontempo sia necessario il lato in cui viene calcolata la derivata, che e infattidiscontinua sulle due superfici di confine.

In questo modo compaiono pero delle derivate in nodi che non esistono:esse andranno calcolate come

(dΦ

dr)r−

i+12

Φr

i+12

− Φi

hi2

e (dΦ

dr)r+

i−12

Φi − Φr

i− 12

hi2

Questa definizione e gia migliore della precedente, ma continuo ad avere il

calcolo di delle grandezze (questa volta il flusso neutronico) in nodi fittizi.Per riportarmi ad una formula a tre punti canonica utilizzero l’imposizionedella saldatura della corrente neutronica.

J = D Φ −→ Di( Φi+ 12

)+ = Di+1( Φi+ 12

)−

e, di conseguenza,

essendo Di = Di+1 −→ Φ+i+ 1

2

= Φ−i+ 1

2

In effetti un qualsiasi problema matematico deve, per essere risolto, avere

un numero di condizioni al contorno imposte pari al numero di gradi diliberta19. Avendo imposto, per ogni intervallo, la linearita del flusso, dovroimporre al suo contorno due condizioni, che mi serviranno a determinare lecostanti A e B date da:

Φ = Ar + B

18Si noti che a questo punto sara necessario il calcolo di λ, che dipendera dalla sezioned’urto di assorbimento e, di conseguenza, anche dall’energia dei neutroni

19Da qui naturalmente segue che, andando ad aumentare la precisione della modelliz-zazione e dunque il grado del polinomio interpolante, dovro andare ad imporre una nuovacondizione al contorno per ogni volume elementare

68



La prima condizione e gia stata imposta tramite l’equazione di bilancio

del flusso neutronico, la prima che abbiamo scritto. Ora imporremo la sal-datura sulle interfacce del volume. Quello che potrebbe in prima battutaapparire come un ipervincolare il problema (una condizione di continuita delflusso neutronico e due di saldatura della corrente, una per ogni superficie diconfine), si rivela ben presto essere in realta solo un’apparenza. Ogni con-dizione vale infatti per due volumi, e di conseguenza il numero finale dellecondizioni che andremo ad applicare e esattamente quello richiesto. Se neottiene il seguente sistema:

Di

Φri+1

2

−Φi

hi2

= Di+1

Φi+1−Φri+1

2hi+12

Di−1

Φri− 12 −

Φi−1

hi−12

= Di

Φi

−Φr

i− 12hi2

Tramite sostituzione e poi possibile esplicitare il valore del flusso nei nodiintermedi in funzione di quello nei nodi reali. Si tratta in effetti di un sistemaa due equazioni in due incognite.

3.3.4 Diffusione bidimensionale monogruppo

Vediamo ora cosa accade andando a muoverci in un dominio a due di-mensioni. Manterremo la maggiore complessita legata alla non uniformitadelle costanti nucleari sul dominio, in particolare riferendoci alla prima

strategia scelta per tale modellizzazione, ovvero imponendo dei nodi didiscretizzazione in corrispondenza delle discontinuita delle costanti nucleari.

L’equazione in forma analitica sara del tipo (con sorgente ma senzatermine di fissione):

−D(∂ 2Φ

∂x2+

∂ 2Φ

∂ 2y) + ΣaΦ = S

Da cui si ottiene, a seguito della discretizzazione del dominio spaziale:

−D[Φi+1,j − 2Φi,j + Φi−1,j

h2

x

+Φi,j+1 − 2Φi,j + Φi,j−1

h2

y

] + ΣaΦi,j = S i,j

Avro dunque, per un generico punto posizionato all’interno del dominio,cinque nodi di interesse: il nodo stesso piu i quattro ad esso adiacenti nelledue direzioni geometriche.

Il punto ora e trovare il modo per passare dalla matrice Φi,j al vettoreΦl, scegliendo una numerazione opportuna tale per cui la matrice finaledei coefficienti risulti il piu semplice possibile. Cerchiamo inoltre di inserireanche in questo contesto i discorsi effettuati a proposito della non uniformitadelle costanti nucleari.

69



Anche in questo caso andro a definire dei nodi intermedi, attorno ad

ri,j = xi, y j. Tali nodi saranno gli spigoli del quadrato rappresentante ilvolumetto elementare costruito attorno ad ri,j.

Supponiamo che tale nodo sia sede di una discontinuita delle costantinucleari, tale per cui il volume elementare costruito attorno ad esso abbiail massimo possibile di zone differenti, vale a dire quattro, che chiameremoI, II, III, IV secondo la stessa logica con cui sono numerati i quadrati in undiagramma cartesiano.

II I ri

III IV

Integriamo ora l’equazione della diffusione sul volume elementare V i,j .Prendiamo ad esempio la derivata seconda lungo x: V i,j

∂

∂xD

∂ Φ

∂xdxdy =

yj+1

2

yj− 1

2

dy

xi+1

2

xi− 1

2

dx(∂

∂xD

∂ Φ

∂x) =

=

yj+1

2

yj− 1

2

dy(D∂ Φ

∂x)xi+1

2xi−1

2

y

j+12

yj− 1

2

dy[Di+ 12,j

Φi+1,j − Φi,j

hxi

− Di− 12,j

Φi,j − Φi−1,j

hxi−1

=

= [1

2hyj−1Di,j

−1 +

1

2hyjDi,j ]

Φi+1,j − Φi,j

hxi

+

− [1

2hyj−1Di−1,j−1 +

1

2hyjDi−1,j ]

Φi,j − Φi−1,j

hxi−1

Ove e stata introdotta la non uniformita del coefficiente D dividendo ildominio di integrazione nei quattro settori del volume elementare V i,j inmodo tale che in ogni sotto-dominio il valore di D risulti uniforme20 . Ilrisultato e assolutamente analogo per quanto riguarda la derivata secondalungo y.

Il termine contenente la sezione d’urto di assorbimento sara invece moltopiu agevole nel calcolo, e dara una serie di quattro contributi, differenti

per ogni sotto-dominio del volume elementare. Il primo di tali contributi(mostrato a titolo di esempio, essendo gli altri perfettamente anologhi) e

20Si chiariscono di seguito i significati degli indici e delle zone:

Zona Indicedizona spigoloesterno

I (i, j) (xi+ 1

2

, yj+ 1

2

II (i − 1, j) (xi−1

2

, yj+ 1

2

II I (i − 1, j − 1) (xi−1

2

, yj− 1

2

IV (i, j − 1) (xi+ 1

2

, yj−1

2

70



dato da:

14 h, xih, y jΣai,jΦi,j

Se il volume preso in considerazione e un volume di bordo, dovro imporvile condizioni al contorno, come sempre a scelta tra:

• Annullamento sul contorno

• Annullamento sul contorno estrapolato

Prendiamo un caso test: supponiamo in questa occasione di usare unalgoritmo di risoluzione chiuso, andando pero ad utilizzare la condizioneal contorno di annullamento sul contorno estrapolato, ed utilizzando una

griglia semplificata dotata di solo 9 nodi disposti in un quadrato 3x3.Dalla scrittura delle equazioni e dalla scelta di un metodo di numerazione

naturale ( Φ11 = Φ1,Φ12 = Φ2,Φ21 = Φ4), otteniamo un sistema del tiposeguente (ove alle X corrispondono gli elementi di matrice diversi da 0)

X X 0 X 0 0 0 0 0X X X 0 X 0 0 0 00 X X 0 0 X 0 0 0

X 0 0 X X 0 X 0 00 X 0 X X X 0 X 0

0 0 X 0 X X 0 0 X

0 0 0 X 0 0 X X 00 0 0 0 X 0 X X 00 0 0 0 0 X 0 X X

Φ1

Φ2

Φ3

Φ4

Φ5

Φ6Φ7

Φ8

Φ9

=

S 1S 2S 3S 4S 5

S 6S 7S 8S 9

Ne risulta in questo modo una matrice pentadiagonale, ordinata e

simmetrica a blocchi, ove ogni blocco 3x3 e a sua volta simmetrico e tridi-agonale. Si tratta inoltre di una matrice centrosimmetrica. L’insieme diqueste caratteristiche la rendono, in generale, di agevole risoluzione.21 An-diamo ora a risolvere il problema. Supporremo per A alcune caratteristiche

particolari:• Elementi della diagonale non nulli: aii > 0 ∀ i

• Matrice simmetrica

21A tale scopo si veda il paragrafo 2.1 a pagina 16 per una trattazione approfondita deiseguenti algoritmi:

• Jacobi

• Gauss

• SOR

71



•Elementi fuori dalla diagonale negativi: ai,j < 0

∀i

= j

• Matrice a diagonale dominante: |aii| >

j |ai,j | ∀ i

Opereremo tramite metodi iterativi: ne consegue che, tra i dati in ingres-so, dovro avere anche un flusso di tentativo Φ(0). Dovro inoltre imporre unoo piu criteri di convergenza per decidere quando interrompere il processoiterativo

3.3.5 Diffusione multigruppo

Vediamo ora di passare alla fase successiva. Partendo dal caso piu standard,con discretizzazione spaziale monodimensionale ed a costanti nucleari uni-

formi su tutto il dominio, siamo passati al considerare una discretizzazionea due dimensioni e alla introduzione di costanti nucleari variabili all’internodel dominio.

Introduciamo ora un ulteriore elemento di complicazione. Sappiamobene infatti che nei reattori termici i neutroni, emessi con una energia mediadi circa 2 MeV, subiscono una serie di urti che li portano ad arrivare alleenergie termiche (pari a circa 0.025 eV), alle quali essi raggiungono una sor-ta di equilibrio fino a quando non terminano la loro vita a seguito di fughe,eventi di fissione o assorbimenti.

Finora non ci siamo preoccupati di definire l’energia dei neutroni: essanon e infatti mai comparsa esplicitamente nelle equazioni scritte, e non e

mai stato necessario fino ad ora tirarla in ballo. Questa situazione e perosolo apparente. Ogni volta che scriviamo l’equazione della diffusione, infatti,introduciamo delle grandezze, dette sezioni d’urto, il cui valore non variasoltanto a seconda del materiale considerato, ma anche a seconda dell’energiadel neutrone incidente.

Di fronte dunque ad un intervallo energetico che va dai meV ai MeV,come dobbiamo comportarci?

La soluzione risiede in una discretizzazione energetica. Essa cor-risponde a dividere lo spettro energetico in un numero finito di gruppi, aciascuno dei quali verra assegnato un valore medio dell’energia. Da quelmomento in poi, tutti i neutroni la cui energia e compresa all’interno del-

l’intervallo relativo ad un determinato gruppo saranno considerati come seavessero energia esattamente pari a quella media del gruppo stesso.

Il passaggio di discretizzazione energetica non e semplice, ed il numerodi gruppi dipendera dal tipo di reattore.22

22Preso un generico problema, la cui soluzione sara Φ(r, E ), esso verra discretizzatonel dominio spaziale lungo x,y e z tramite rispettivamente N,M ed L nodi e nello spettroenergetico in un numero G di gruppi. L’ordine del problema da risolvere sar a cosı diventatoNxMxLxG. Questo evidenzia la necessita di ridurre al minimo il numero di gruppi cheutilizziamo per la discretizzazione dello spettro energetico, nel rispetto della precisionerichiesta sui risultati ottenuti. Tale valore e in genere assegnato pari a 3 - 4 per i reattoritermici, 7 - 10 per i reattori a gas e circa 20 per i reattori veloci

72



Indicheremo in generale con 1 il gruppo avente energia piu elevata e con G

quello ad energia piu bassa23. Il gruppo G sara dunque il gruppo termico,ovvero nella condizione in cui i neutroni sono in equilibrio termodinamicocon il mezzo in cui diffondono. Questo implica che, in linea teorica, essipotrebbero trovarsi ad incrementare la propria energia in seguito ad unurto. In tutte le considerazioni che seguono in realta ignoreremo questapossibilita (che ci provocherebbe, come vedremo in seguito, l’impossibilitadi risolvere le equazioni relative ai vari gruppi in cascata), e considereremosoltanto fenomeni di down-scattering, ovvero di urti di scattering cheportano ad una diminuzione dell’energia del neutrone.24

Supponiamo ora di porci nella condizione di G = 3: avro dunque tregruppi, rappresentativi di tre “zone energetiche”:

• Zona di energia da fissione

• Zona di rallentamento

• Zona di termalizzazione25

Dunque la sorgente dei neutroni e contenuta nel gruppo 1, e per arrivarealla zona di fissione dovranno rallentare fino alle energie termiche evitandole fughe e gli assorbimenti

Definisco spettro di fissione χ(E ) la distribuzione che mi dice conquale probabilita i neutroni verranno emessi da fissione con determinate en-

ergie. Di questi neutroni ν (E ) indica il numero di quelli emessi istantanea-mente, detti neutroni pronti. Entrambi questi valori saranno influenzatinon soltanto dall’energia, ma anche (soprattutto per il numero di neutroni)dal tipo di nucleo fissile che li ha generati.

Prendiamo un generico gruppo intermedio. Esso si vedra arrivare dalleenergie superiori i neutroni che hanno subito rallentamento a seguito di urtidi scattering.26 Il bilancio neutronico relativo a tale gruppo dovra tenere inconto di:

23Questa convenzione deriva dalla logica di seguire i neutroni dalla loro emissione finoal loro assorbimento: essi sono infatti emessi alle alte energie per poi essere assorbiti, nellapiu parte dei casi, ad energie inferiori

24Tale approssimazione e b en supportata in tutte le zone energetiche tranne in quellatermica. Qui i neutroni hanno mediamente la stessa energia della matrice materiale in cuisi muovono, e i gli urti di up-scattering sono dunque tendenzialmente pi u frequenti chenelle altre zone

25La zona di termalizzazione e quella dove le sezioni d’urto di fissione sono maggiori:stiamo infatti parlando di un reattore termico, progettato in modo che i neutroni venganorallentati dal moderatore al fine di raggiungere l’energia termica ove la sezione d’urtodi fissione dell’U 235 e maggiore. Esiste anche la possibilta di avere fissioni ad energiesuperiori, ma l’incidenza percentuale di tali eventi e di molto inferiore

26Si noti qui che non tutti gli urti di scattering provocano l’uscita del neutrone dalgruppo energetico. Nel caso di invarianza del gruppo energetico a seguito dell’urto siparla di fenomeni di in-scattering. Piu la discretizzazione energetica e fine, miglioresara l’approssimazione di urti a salto energetico basso

73



Perdite per leakage : Termine di pozzo. Dovro tenere in conto di un

coefficiente di diffusione Dg diverso per ogni gruppo poiche in generalela capacita di diffusione dei neutroni in un mezzo dipendera dalla loroenergia

Perdite per assorbimento :Termine di pozzo legato alla sezione d’urtodi assorbimento e che include sia la cattura che la fissione

Comparsa di neutroni : Termine di sorgente legato sia alle reazioni difissione che hanno origine nel gruppo g (si faccia riferimento alla fun-zione di distribuzione χ(E )) sia a tutti i neutroni proveniente da gruppicon indice di gruppo inferiore

Perdite per rallentamento : Termine di pozzo che porta i neutroni dalgruppo g ai gruppi di indice superiore

Messo in equazioni questo diverra:

1vg

∂ Φg

∂t=

leakage −(− Dg

Φg)

assorbimento −Σa,gΦg +

+

comparsa G

g=1

Σs,g→gΦg +G

g=1

χg(ν Σf )gΦg +

rallentamento

−Σs,gΦg +S g

g = 1 · · · G

Ove abbiamo in questo caso introdotto la notazione del tipo Φ(r, E g, t) =Φg(r, t). Si noti come per ora il termine di comparsa neutronica tengain conto, quantomeno in linea di principio, dell’up-scattering, in quanto lasommatoria e estesa su tutti i gruppi energetici.

Considerando il problema stazionario e privo di sorgenti esterne si ottiene

0 = −(− Dg Φg) − Σa,gΦg − Σs,gΦg +

Gg=1 Σs,g→gΦg+

+ χg

Gg=1(ν Σf )gΦg

g = 1 · · · G

sistema simil-diffusivo ove tutte le equazioni sono accoppiate tra loro.27

Evidentemente tale sistema ha come soluzione la soluzione banale Φ = 0.Dovro dunque risolvere un problema agli autovalori, ed esistera una soluzione

27Ovviamente il sistema sara chiuso solo a seguito dell’imposizione delle condizioni alcontorno. Si evidenzia tuttavia qui il fatto che, ove esse siano imposte sul contorno es-trapolato, si ha una ulteriore dipendenza dal gruppo energetico in quanto la distanza diestrapolazione e funzione della sezione d’urto di assorbimento la quale e a sua volta, comedetto, funzione dell’energia

74



geometrica e materiale che mi assicurera la criticita e dunque la presenza di

una soluzione diversa dal vettore nullo.Andremo dunque a risolvere il problema:

AΦ = kBΦ

Che diventera un problema del tipo

D(k)Φ = 0

lineare, ove dunque la dipendenza della matrice D dal parametro k e lineare.Andiamo ora a vedere come ottenere i valori da assegnare alle varie

costanti che dovremo utilizzare per ogni gruppo energetico. avremo che:

χg =

E g−1E g

χ(E )dE

Σs,g→g =1

Φg

E g−1E g

dE

E g−1E g

dE Σs,E →E Φ(r, E )

(ν Σf )g =1

Φg

E g−1E g

ν (E )Σf (E )Φ(r, E )dE

Φg =

E g−1E g

Φ(r, E )dE

Dg = E g−1E g D(E ) Φ(r, E )dE E g−1

E g Φ(r, E )dE

Σt,g =1

Φg

E g−1E g

Σt(E )Φ(r, E )dE

Definisco inoltre sezione d’urto di rimozione la quantita:

Σr,g = Σt,g − Σs,g→g

Che di fatto corrisponde alla sezione d’urto totale meno quella relativa all’in-scattering. Questo termine riunisce dentro di se tutti i termini di pozzo

all’interno del gruppo g, fatta eccezione per le fughe.Da queste definizioni risultano una serie di problemi:

• Le medie che devo calcolare dipendono dalle soluzioni del problemastesso

• All’interno del calcolo delle medie mantengo una dipendenza dalla po-sizione non discretizzata, che rischio mi vada a complicare ulterior-mente le cose

La soluzione a questi problemi deriva del seguente teorema:

75



Teorema 11 (di separabilita spazio-energetica)

Φ(r, E ) = ψ(r), ϕ(E )

Questo e vero solo nelle parti piu interne del reattore. Nelle zone di bor-do, tale approssimazione non e accettabile. Tramite l’applicazione di questoteorema posso cosı eliminare la dipendenza spaziale dalle medie. Infatti:

( )g =1

Φg

( )Φ(r, E ) =

1

ψϕ

E

( )ψϕdE =

=1

ϕ

E

( )ϕdE

Liberatomi dunque del problema della dipendenza spaziale, non pos-so dire lo stesso riguardo la funzione ϕ, tuttora incognita. Per trovarlaeffettuero, tramite teoria del trasporto, delle simulazioni iterative che miporteranno ad ottenere un valore accettabile per ϕ 28.

Definizione processo iterativo esterno

Date le definizioni per le differenti variabili e costanti che andremo ad uti-lizzare in funzione del gruppo energetico, si puo ripartire da una equazionedi questo tipo:

−(− Dg(r) Φg(r)) − Σr,g(r)Φg(r) + g<g Σs,g→g(r)Φg(r) + χgψ(r) = 0

Φg( R) + dg(dΦg

dr) R = 0

g = 1 · · · G

Ove e stato definito il termine ψ(r) =G

g=1(ν Σf )g(r)Φg(r) densita di

emissione da fissione.Si noti come il flusso neutronico (supponendo di dare una numerazione

unica alla discretizzazione spaziale di modo che Φi,j,k diventi semplicementeΦl) sia rappresentato da un vettore a due dimensioni: infatti per ogni Φg

corrispondente al flusso nel g-esimo gruppo avremo N × M × L componen-

ti rappresentanti i vari nodi spaziali. Dunque ognuna delle equazioni delsistema scritto sopra sara di fatto a sua volta una equazione vettoriale.

Per quanto riguarda le iterazioni esterne, esse rappresentano la risoluzionedel problema dal punto di vista della discretizzazione energetica. Si tratta diun problema agli autovalori, risolto di fatto tramite il metodo delle potenze.

Andiamo a scrivere le equazioni, viste fino ad ora solo per componenti,in forma matriciale.

Introduciamo i seguenti operatori:

28si utilizzano in questo caso criteri di convergenza in norma, in quanto non interessa ilcomportamento puntuale ma quello medio

76



•l’operatore A definisce le perdite per fughe e rimozioni

A =

(D1 − Σr,1(r))·

. . . 0. . .

0. . .

(DG − Σr,G(r))·

• l’operatore R rappresenta il rallentamento. Sara di fatto una matricetriangolare inferiore a diagonale nulla in quanto abbiamo escluso ifenomeni di in-scattering ed up-scattering

R =

0

Σs,1→2(r). . . 0

Σs,1→3(r) Σs,2→3(r). . .

.... . .

... 0

• L’operatore M e rappresenta la moltiplicazione ed e legato alle sezionid’urto di fissione

M =

χ1(ν Σf )1(r) χ1(ν Σf )2(r) · · · · · · χ1(ν Σf )g(r)χ2(ν Σf )1(r)

. . ....

. . ....

. . .

χG(ν Σf )1(r) χG(ν Σf )G(r)

• Chiamo infine L l’operatore A + R operatore di diffusione in

ambito multigruppo

Il problema e dunque riscrivibile in definitiva in forma matriciale come:

(A + R)Φ +1k

M Φ = 0

Dove, ricordando che (A + R) = L e definendo infine H = −L−1 possogiungere alla scrittura “finale”

(HM )Φ = kΦ

Giungendo dunque nuovamente ad un problema agli autovalori classico.Ovviamente tale scrittura apparentemente semplice ha un prezzo, contenutonel calcolo di L−1.

77



Si prosegue qui con il ragionamento fatto a proposito del metodo delle

potenze. Potrei investire un numero pur rilevante di operazioni per il calcolodi H, sapendo pero cosı di aver eliminato uno dei due processi iterativiconcatenati ed essendomi cosı risparmiato, in definitiva, un quantitativoconsiderevole di operazioni. Il problema dell’applicazione di questo metodo,gia descritto nell’ambito del metodo delle potenze, e qui ancora piu evidente:applicando un metodo diretto si perderebbe il parallelo fisico-numerico, ovel’indice delle iterazioni esterne corrisponde alle generazioni neutroniche.

Come risolvo dunque tale problema? Utilizzando il metodo delle potenzedovro, per quanto detto, normalizzare la soluzione all’autovalore di modulomassimo, per evitare che essa diverga. Ma poiche tale autovalore e proprioil k che stiamo cercando, potro scrivere (avendo definito C = H M):

Φ(n+1) =C

k(n)Φ(n)

Il problema si spostera dunque sull’ottenimento di una legge di riaggiorna-mento per k su base fisica.

Dimentichiamoci per un po’ che k corrisponde al keff del mio problema,e supponiamo ora che esso sia solo il parametro di normalizzazione. Suppor-remo di definirlo in modo tale che, per evitare che il problema esploda, nelpassare da un’iterazione all’altra il totale dei neutroni prodotti da fissionerimanga costante. In quest’ottica la formula di aggiornamento sara data da:

Φ(n+1)

, ν Σf k(n+1)

= Φ(n)

, ν Σf k(n)

da cui:

k(n+1) = k(n) Φ(n+1), ν Σf Φ(n), ν Σf

Ove ho definito con , il prodotto scalare sia sulla discretizzazione spazialeche su quella energetica:

Φ(n+1), ν Σf =G

g=1

N

i=1

Φ(n+1)g ( ri)(ν Σf )g( ri)

Da cui risulta che:

Φ(n+1), ν Σf =< ψ(n+1), 1 >

Da cui:29

k(n+1) = k(n) < ψ (n+1), 1 >

< ψ (n), 1 >

29Si noti che qui non stiamo dando alcun peso differente alle varie zone del reattore. Unapossibilita ulteriore sarebbe quella, come accennato parlando del metodo delle potenze, diintrodurre una pesatura, ad esempio secondo Galerkin

78



Che si puo scrivere anche come:

<ψ(n+1)

k(n+1), 1 >=<

ψ(n)

k(n), 1 >

Che corrisponde a dire che la sorgente effettiva di emissione normal-izzata e costante iterazione dopo iterazione. In questo modo k diventail rapporto tra i neutroni generati tra due iterazioni - generazioni successiva.Questo e ancora piu visibile se andiamo ad eliminare k(n) ottenendo:

k(n+1) = k(n) 1k(n)

C Φ(n), ν Σf Φ(n), ν Σf

=C Φ(n), ν Σf Φ(n), ν Σf

Potremmo anche vederla, per dare una ulteriore dimostrazione, nella manieraseguente:

k(n+1) =< ψ (n+1), 1 >

< 1k(n)

ψ(n), 1 >

Che ci dice che, di fatto, il k di una generica iterazione e dato dal rapporto trail numero di neutroni da fissione prodotti in quella iterazione (non normaliz-zati) ed il numero di neutroni provenienti dall’iterazione precedente (ovveroil numero di neutroni prodotti all’iterazione precedente, normalizzati).

Sara ora opportuno dimostrare che il k che stiamo cosı calcolando everamente il keff del mio sistema nucleare e non un semplice elemento di

normalizzazione. Dunque:

Φ(2) =1

k(1)C Φ(1)

Da cui, all’n-esima iterazione:

Φ(n) =1

k(1)k(2) · · · k(n−1)C n−1Φ(1)

Che, sostituendo il valore di Φ(1) vale

Φ(n) =1

k(1)k(2)

· · ·k(n−1)

C n−1[c1ϕ1 +

h≥2

chϕh]

Da cui otteniamo

Φ(n) =kn−1

k(1)k(2) · · · k(n−1)[c1ϕ1 +

h≥2

(λh

k)n−1chϕh]

Che, moltiplicando per la matrice C ed applicando nuovamente lo stessoprocedimento, ottengo:

C Φ(n) =kn

k(1)k(2) · · · k(n−1)[c1ϕ1 +

h≥2

(λh

k)nchϕh]

79



Dunque il rapporto che stiamo cercando e che definisce l’aggiornamento del

mio ciclo di iterazioni diventa:

k(n+1) =C Φ(n), ν Σf Φ(n), ν Σf

=

=kn

kn−1

c1ϕ1, ν Σf +

h≥2ϕh, ν Σf (λhk

)n

c1ϕ1, ν Σf +

h≥2ϕh, ν Σf (λhk

)n−1

Tale valore tendera inevitabilmente a k per infinite iterazioni in quanto itermini legati alle sommatorie, essendo moltiplicati per la potenza di unnumero inferiore ad 1 in modulo, tenderanno a zero.

Vediamo infine di dimostrare a che valore convergera Φ(n)

Ripartiamo dalla seguente scrittura:

Φ(n) =kn−1

k(1)k(2) · · · k(n−1)[c1ϕ1 +

h≥2

(λh

k)n−1chϕh]

Se moltiplico scalarmente da entrambe le parti per il vettore ν Σf

Φ(n), ν Σf =kn−1

k(1)k(2) · · · k(n−1)[c1ϕ1, ν Σf +

h≥2

(λh

k)n−1chϕh, ν Σf ]

Ricorando che Φ(n), ν Σf =< ψ (n), I > e moltiplicando ambo i membri perk

k(n) si ottiene:

k

k(n)< ψ (n), I >=

kn

k(1)k(2) · · · k(n)[c1 < ψ1, I > +

h≥2

(λh

k)n−1ch < ψh, I >]

Ricordando che, date le condizioni di normalizzazione scelte, la densita diemissione effettiva da fissione normalizzata e costante da una iterazione al-l’altra, e ricordando che il termine di sommatoria tende a zero per tendenzadel numero di iterazioni all’infinito, ottengo che:

limn→∞

k

k(n)< ψ (n), I >=

kn

k(1)k(2) · · · k(n)c1 < ψ1, I >

da cui

limn→∞

kn

k(1) · · · k(n)c1 =

< ψ (n), I >

k(n)

k

< ψ1, I >=

=< ψ (1), I >

k(1)

k

< ψ1, I >

Se supponiamo di essere giunti sufficientemente vicini alla convergenza,sappiamo che il nostro Φ(n) sara sufficientemente parallelo all’autovettorefondamentale da poter scrivere che:

C Φ(n) = kΦ(n)

80



che, sostutuito nell’equazione precedente porta alla forma

limn→∞Φ(n+1) = lim

n→∞C

k(n)Φ(n) =

= limn→∞

k

k(n)Φ(n)

= limn→∞

kn

k(1) · · · k(n)c1φ1 =

=< ψ (1), I >

k(1)

k

< ψ1, I >ϕ1

Ma sempre considerando la costanza della densita di emissione effettiva ericordando che dopo infinite iterazioni i valori n-esimi tendono al valoreesatto, ottengo:

limn→∞Φ(n) = ϕ1

autovettore fondamentale. Dunque la mia soluzione, tramite la condizione dinormalizzazione imposta, non tende ad un vettore parallelo all’autovettorefondamentale, ma esattamente ad esso.

Definizione del processo iterativo interno

Ci siamo fino ad ora preoccupati soltanto delle iterazioni esterne, e c isiamo imbattuti in un problema di importanza rilevante: la soluzione delle

equazioni per il problema agli autovalori richiede, per il calcolo della matricedi iterazione per il metodo delle potenze, l’inversione di una matrice di di-mensioni raguardevoli. Si e inoltre detto come l’inversione diretta di tale ma-trice non porti ad ottenere i risultati sperati, perche impedisce di mantenereil parallello fisico-matematico tra iterazioni e generazioni neutroniche.

La soluzione e dunque quella di risolvere un problema iterativo inter-no che dovrebbe teoricamente portare all’ottenimento della matrice di iter-azione cercata.

In questo caso tuttavia non si tratta piu di un problema agli autovalori.Il termine legato alla fissione verra infatti considerato, per ogni equazione,come un valore noto e non dipendente dal flusso neutronico. Il problema

diventera dunque non omogeneo.Vediamo nel dettaglio come procede il calcolo. Supponiamo di conoscere

la soluzione di tentativo, dunque tanto Φ(0)G quanto ψ

(0)G ed anche il k(0).

Questo mi implica la possibilita di calcolare l’equazione per il gruppo 1: D1

Φ1 − Σr,1Φ1 + 1k(0)

S (0)i = 0

S (0)1 = χ1ψ(0)(r)

Ove si e indicato con S (0)i il termine ψ(r)(0)χ0 Si tratta dunque di un prob-

lema diffusivo non omogeneo, risolto il quale avro un Φ(1)1 , valore aggiornato

81



per il flusso che verra anche utilizzato per il calcolo del termine sorgente per

il gruppo successivo.Vediamo dunque che per ogni gruppo energetico potro scrivere un sis-

tema del tipoAΦ = S

Procedo successivamente come per quanto visto per il metodo di Jacobi:divido A in due matrici delle quali una diagonale, che porto dall’altro latoinvertendola ed innescando cosı un processo iterativo del tipo

Φ(n+1) = BΦ(n) + Q

Ove la matrice B e la matrice di iterazione.

Sorge ora un dubbio importante: quante iterazioni fare per i due cicli?30

• In primo luogo, e inutile aumentare eccessivamente il numero delleiterazioni interne: andrei a migliorare sempre di piu la precisione di unproblema intrinsecamente sbagliato. Si manifesta quindi qui l’esigenzadi ridurre al minimo le iterazioni interne

• D’altro canto, trattandosi di due problemi concatenati, non ci bastaavere la certezza della convergenza dei due metodi separatamente, maci serve essere sicuri che entrambi convergano simultaneamente. Diparticolare importanza sara dunque l’influenza delle iterazioni internesulla convergenza dell’algoritmo esterno

Ci chiediamo dunque se esiste una soglia per il numero delle iterazioniinterne per ogni iterazione esterna che ci garantisca la convergenza dell’al-goritmo esterno. Si puo dimostrare che la condzione meravigliosa che carat-terizza il problema della diffusione multigruppo e che tale soglia esiste, mae fissata ad una sola iterazione. Vediamo perche.

Il problema che ci prefiggiamo di risolvere e sempre lo stesso:

−LΦ(n+1) =1

k(n)M Φ(n)

Che diventa, di fatto:

−LΦ(n+1) = Q(n)

Ricordiamo ancora una volta che, al momento della risoluzione delproblema interno, Q(n) e considerato noto pari al termine sorgente.Gli indici di iterazione che compaiono nelle equazioni precedentisono relativi alle iterazioni esterne

30Esiste una possibilita che potrebbe provocare il fallimento di ogni calcolo: quella p ercui l’errore sul termine sorgente sia tale da provocare la non convergenza del problemainterno. Questa situazione, che dipende dal condizionamento del problema, non si verifi-ca nel caso diffusivo in quanto il problema numerico legato alla risoluzione multigruppodell’equazione della diffusione e robusto

82



Ai fini della risoluzione iterativa il problema verra scomposto nella maniera

seguente31

Φ = J Φ + Y Q

Da questa forma posso ricavare tramite alcuni passaggi una espressione perY. Infatti so che:

Φ = (I − J )−1Y QΦ = −L−1Q

→ −L−1 = (I −J )−1Y → Y = −L−1(I −J )

Dunque posso riscrivere il sistema, tornando all’algoritmo iterativo, nellamaniera seguente:

Φ[m+1] = J Φ[m]

−(I

−J )L−1Q

All’iterazione successiva otterro

Φ[m+2] = J 2Φ[m] + (I + J )Y Q

Da cuiΦ[m+n] = J nΦ[m] + (I + J + J 2 + · · · + J n−1)Y Q

con

(I + J + J 2 + · · · + J n−1) =∞i=0

J i −∞i=n

J i

Ma essendo J una matrice avente proprieta particolari, ed in particolareraggio spettrale inferiore ad uno (altrimenti la convergenza non e garantita),posso supporre che la serie scritta nell’equazione precedente converga a

∞i=0

J i = (I − J )−1 e∞i=n

J i = (I − J )−1J n

Da cuiΦ[m+n] = J nΦ[m] + (I − J )−1(I − J n)Y Q

Che, sostituendo l’espressione per Y, vale:

Φ[m+n]

= J n

Φ[m]

− (I − J n

)L−1

Q

Quindi si vede che in realta non faccio n iterazioni: faccio una unica iter-azione che conta come n, a patto di saper calcolare la potenza n-esima dellamatrice J. Questo modo di operare e detto a blocchi di iterazioni.

Riprendiamo il nostro algoritmo esterno, ove vale la corrispondenza:

Q =1

k(n)M Φ(n)

31non si e qui specificato alcun particolare algoritmo risolutivo: la matrice J potrebbeessere quella caratteristica di uno qualunque tra i metodi visti sino ad ora

83



Supponiamo dunque di fermarci dopo m iterazioni interne, e di procedere

esternamente. Dunque

Φ(n+1) = [J m − (1 − J m)L−1 M

k(n)]Φ(n)

Per m → ∞, poiche abbiamo imposto che la matrice J converge, avremo che

Φ(n+1) = −L−1 M

k(n)Φ(n) → C = L−1M

Nel caso invece di m iterazioni avro che l’operatore matriciale “approssima-to” sara dato da:32

C m = [J m

−(1

−J m)L−1 M

k(n)

]

Si noti dunque come l’aver svolto m iterazioni interne corrisponde, nellapratica delle cose, ad aver svolto un calcolo iterativo della matrice C (il cuivalore e incognito) della quale avremo dunque utilizzato un valore aggiornatoall’m-esima iterazione. Tutto il problema ritorna dunque al punto: si erapartiti dall’idea di non saper calcolare la matrice C e si e visto che, tramiteuno ciclo iterativo interno, si e riusciti a procedere ad una sua stima, che saralogicamente tanto piu precisa tanto piu alto e il numero delle iterazioni33.

Perche tale espressione non provochi la perdita di fisicita del problema,deve ancora essere valido che applicando tale operatore all’autovettore fon-damentale si ottiene nuovamente l’autovettore fondamentale. Questo equiv-

ale a verificare che il problema approssimato all’m-esima iterazione sia anco-ra un problema agli autovalori avente come soluzione gli stessi autovettori delproblema esatto. In effetti, ricordando che per l’ipotesi di base del problemaϕ = −L−1 M

k∗ϕ, si ottiene

ϕ = [J m − (1 − J m)L−1 M

k∗]ϕ

ϕ = J mϕ − L−1 M

k∗ϕ + J mL−1 M

k∗ϕ

ϕ = J mϕ + ϕ − J mϕ

Dunque anche l’operatore matriciale “finito” ha come soluzione lo stesso au-

tovettore dell’operatore ottenuto dopo infinite iterazioni. Dunque qualunquenumero non nullo di iterazioni porta all’ottenimento di un opertore fisica-mente accettabile, anche se ovviamente non correto, il che mi permette, senecessario, di ridurre ad un minimo di 1 il numero di iterazioni interne.

In definitiva cio che si opera e la strategia seguente:

32Si noti come in tutte le considerazioni fatte fino ad ora compaia il termine L−1 anchenelle espressioni approssimate della risoluzione del problema. Questa e ovviamente solouna scrittura formale, in quanto se fossimo in grado di calcolre il valore di tale matriceinversa non si andrebbe ad innescare alcun processo iterativo

33Questo procedimento e l’illustrazione nel dettaglio di quanto accennato nel capitolosul metodo delle potenze riguardo la risoluzione di equazioni agli autovalori generalizzate

84



•Nella zona delle prime iterazioni si fa una sola iterazione interna per

ogni iterazione esterna, in modo da non sprecare tempo di calcolo peraffinare inutilmente una soluzione che so gia essere sbagliata

• Nella zona di congergenza asintotica dell’algoritmo posso aumentare ilnumero di iterazioni interne: da un lato perche e evidente che questoporti ad una maggiore precisione della soluzione, e dall’altro perchesaranno in questa fase presenti delle approssimazioni di k tali da poter-mi permettere di utilizzare metodi di convergenza accelearti per leiterazioni interne

Il modo di procedere in questi casi prevedera dunque di svolgere unasola iterazione interna per ogni iterazione esterna nelle fasi iniziali, per non

sprecare tempo per ottenere soluzioni di base sbagliate. Giunto in una fasepiu stabile della convergenza andro invece ad aumentare il numero delleiterazioni interne per migliorare la precisione della soluzione.

Dunque ripercorriamo le fasi risolutive:

1. Impongo una soluzione di tentativo: k(0), ψ(0)

2. Utilizzo tale soluzione di tentativo per il calcolo di Φ(1)1 , la cui equazione

risulta di fatto disgiunta dalle altre

3. Utilizzo il flusso cosı calcolato per il calcolo di Φ(1)2 , tenendo in conto

del solo down-scattering

4. Procedendo di questo passo calcolo tutte le componenti del vettoreΦ(1)

5. Aggiorno tutti i valori che mi serviranno per ripartire con le iterazioniesterne, vale a dire k e ψ

3.3.6 Accelerazione della convergenza delle iterazioni esterne

Se i sistemi sono particolarmente grandi ci troveremo in una soluzione ove ilrapporto di dominanza e molto prossimo ad 1, il che provocherebbe, se nonprendessimo alcun provvedimento, una convergenza troppo lenta.

Oltre che prestare molta attenzione ai criteri di convergenza, che potreb-bero essere fuorviati da una riduzione precoce dello pseudo-errore relativo,

Vediamo dunque alcuni sistemi per accelerare la convergenza

Metodo di Wielaudt

sSi tratta di un metodo concettualmente semplice ma di difficile appli-

cazione. Abbiamo visto fino ad ora che e opportuno normalizzare la soluzionead ogni iterazione, per evitare che, dopo un numero cospicuo di iterazioni,

85



essa tenda a divergere all’infinito o a convergere al vettore nullo. Supponi-

amo pero di interrompere questa pratica dopo un certo numero di iterazioni,e comunque in un momento in cui ci troviamo gia nella zona asintotica delmetodo iterativo.

Il metodo di Wielaudt parte dalla conoscenza di un valore k* approssi-mazione per eccesso del valore vero di k. Tale valore puo provenire sia daprecedenti iterazioni che da calcoli indipendenti.

Scriviamo dunque un nuovo problema:

k∗Φ − C Φ = k∗Φ − kΦ → (k∗I − C )Φ = (k∗ − k)Φ

Sara dunque un nuovo problema agli autovalori, ove la matrice (k∗I − C ) esempre invertibile in quanto abbiamo supposto k* maggiore dell’autovaloredi modulo massimo e dunque la matrice risultante sara sempre a diagonaledominante.

Il problema agli autovalori potra anche essere riscritto come:

(k∗I − C )−1Φ =1

k∗ − kΦ

Ove la matrice (k∗I − C )−1 ha gli stessi autovettori della matrice C, ed isuoi autovalori sono dati da 1

k∗−khFacciamo un esempio. Supponiamo:

k∗ = 1.01 k = 1.00 k2 = 0.99

tale per cui il rapporto di dominanza del problema originario vale 0.99. Lastessa quantita, applicando il metodo di Wielaudt, diventa pari a:

11.01−0.99

11.01−1.00

= 0.5

Applicando dunque il metodo delle potenze al problema modificato la ve-locita di convergenza e enormemente piu alta.

Tuttavia c’e pero un punto, piu o meno nascosto, in cui e contenuto ilmaggior costo dell’algoritmo. Si tratta in questo caso della matrice (k∗I −C )

−1 per il cui calcolo e necessario utilizzare ancora una volta il metodo

delle potenze, cosa che non sempre risulta rapido e semplice. Avro dunque,in questo caso, tre algoritmi iterativi incantenati l’uno dentro l’altro. Ilpunto sta ovviamente nell’effettuare le opportune valutazioni per verificarese l’applicazione di tale metodo sia conveniente o meno.

Metodo di Tchebychev

Il metodo di Tchebychev non si basa sull’alterazione della matrice dei co-efficienti. Supponiamo di essere arrivati ad una N-esima iterazione essendodunque in possesso di un valore k*.

86



In base a quanto detto, avremo che:

Φ(N +1) =1

k∗C Φ(N )

Da cui, continuando ad applicare il metodo delle potenze interrompendopero il processo di aggiornamento del termine normalizzante, si ottiene:

Φ(N +n) = [1

k∗C ]nΦ(N )

Supponiamo ora di sostituire al posto della potenza n-esima del rapporto[ 1k∗

C ] un generico polinonmio P n di n+1 elementi, ciascuno composto daun coefficiente e da una potenza di [ 1

k∗C ]. Il calcolo dei coefficienti sara

effettuato imponendo come condizione il fatto che P n(1) = 1, come deveessere perche sia mantenuto il significato fisico.34

Supponiamo inoltre di poter scrivere, come spesso abbiamo fatto inprecedenza, la soluzione alla N-esima iterazione come composizione linearedegli autovettori della matrice C.

Sfruttiamo ora una proprieta notevole dei problemi agli autovalori: par-tendo dal generico problema Aϕ = λϕ posso scrivere che:

f (A)ϕ = f (λ)ϕ

A patto che f sia una funzione sufficientemente regolare. 35

Nel nostro caso posso allora scrivere che

Φ(N +n) = c1P n(C

k∗)ϕ1 +

h

chP n(C

k∗)ϕh

c1P n(k

k∗)ϕ1 +

h

chP n(khk∗

)ϕh

Ma poiche sappiamo che il rapporto kk∗

1 possiamo scrivere:

Φ(N +n) = c1ϕ1 +h

chP n(khk∗

)ϕh

Le mie condizioni saranno date da h≥2 chP n(kh

k∗)ϕh = 0

P n(1) = 1

Dunque una volta trovati gli n+1 coefficienti del polinomio pn potro calco-larmi la soluzione esatta, dopo sole N iterazioni. Ma questo e teoricamenteimpossibile, dove sta l’inganno?

34Il passaggio e qui molto logico: stiamo approssimando una potenza, che dunquequalunque sia l’esponente varra 1 se la base e 1

35Abbiamo gia applicato questa regola piu volte, sempre con f (A) = Am

87



Evidentemente nell’utilizzo, come incognite, dei kh che ovviamente non

conosciamo. Non posso dunque imporre condizioni tali per cui il contributodegli autovettori di indice superiore ad 1 sia nullo. Pero posso fare in modoche esso sia il piu piccolo possibile. Si tratta dunque di cercare i coefficientiper il polinomio tali da minimizzare il massimo dei valori del polinomio,ovvero:

mina0,··· ,an+1(max(0 ≤ x ≤ σ)|P n(x)|)Si puo dimostrare che la soluzione di questo problema di ricerca di minimo(problemi minmax) porta ai polinomi di Tchebychev ortogonali:

c0(t) = 1c1(t) = t

cn+1(t) = 2tcn(t) − cn−1(t)

La velocita di convergenza del metodo di Tchebychev e oscillante in funzionedel rapporto di dominanza, ma si vede che, ad esempio, dopo 5 iterazionidi un metodo avente σ = 0.95, avremo che il metodo non accelerato vedrail termine legato al secondo autovalore di modulo massimo ridotto a σ5 =0.774, mentre il polinomio di Tchebychev corrispondentemente applicatodara luogo ad un fattore di attenuazione pari a 0.204 .

Uno dei problemi di tale metodo e la presenza di una formula ricorsivaa tre termini, ove in particolare le sottrazioni tra elementi possono generarerischi di esplosione dell’algoritmo.

3.4 Metodi Coarse Mesh

Fino ad ora e stato mostrato come risolvere problemi di fisica neutronicatramite la teoria della diffusione utilizzando metodi alle differenze finite fini.Questo corrispondeva, in buona sostanza, ad approssimare il flusso in ognimaglia nel modo piu semplice possibile (lineare), riguadagnando in terminidi precisione diminuendo al minimo le dimensioni delle maglie stesse.

Il principio che sta alla base dei metodi coarse mesh e esattamente l’op-posto. Le maglie sono di dimensioni molto maggiori rispetto al libero cam-mino medio, e cio su cui si punta maggiormente e una qualita migliore della

funzione interpolanteQuesto genera di per se un problema. Nel momento in cui le maglie au-

mentano di dimensioni, esse tenderanno inevitabilmente a contenere al lorointerno materiali differenti tra loro, perdendo cosı l’omogeneita del dominio.Per evitare di risolvere problemi in presenza di costanti nucleari non unifor-mi viene in generale forzata l’uniformita del sistema: i volumi elementari delmetodo coarse mesh vengono “omogeneizzati”,36 ottenendo cosı costanti nu-

36Una volta ottenuti i valori delle costanti sui volumi omogenei l’approccio utilizzatoe quello di tipo b, ovvero in cui non prendo i nodi in corrispondenza delle discontinuitamateriali ma al centro dei volumi considerati omogenei

88



cleari mediate, per il calcolo delle quali si ricorre ancora una volta alla teoria

del trasporto. Si andra poi a risolvere il tutto tramite la teoria diffusionemultigruppo.

Ipotizzeremo dunque che il flusso si comporti in modo piu complesso,come un polinomio di 2 o di terzo grado, invece che linearmente.37 Da unlato la riduzione del numero di maglie mi riduce enormemente il numero dielementi delle matrici che andro a risolvere. Dall’altro la non-linearita delflusso provoca una non-linearita anche nei problemi ad esso associati, conconseguente maggiore complicazione della risoluzione e, soprattutto, condifficolta molto maggiore di garantire a priori la convergenza del metodorisolutivo.

Partiamo ancora una volta dal caso monocinetico, in quanto l’espansione

al caso multigruppo presenta le stesse caratteristiche e problematiche visteper le differenze finite fini. Andremo dunque a scrivere, nel caso 3D, unnumero di equazioni pari al numero di volumi di controllo presi in consid-erazione, ciascuna delle quali vedra comparire al suo interno 7 incognite;si andra in seguito ad imporre le condizioni di saldatura e le condizioni alcontorno.

Esistono fondamentalmente due approcci distinti per i metodi coarsemesh, in base all’ordine dei polinomi scelti come funzioni interpolanti:

Quabox se si sceglie di utilizzare polinomi di 2 grado

Cubox se la scelta ricade invece su polinomi di 3 grado

3.4.1 Metodi Quabox

Per ragioni che saranno piu chiare in seguito andro a scrivere il flussoin funzione delle tre variabili adimensionali ξ, η, ζ definite nella manieraseguente:

ξ =x − xi

hxi

η =y − yi

hyj

ζ =z − zi

hzl

Ove ri = xi, yi, zi e la coordinata del nodo i-esimo. Di tutte le formequadratiche che potrei scrivere tramite tali variabili quella che otterro saradel tipo:

Φ(ξ , η , ζ ) = Φijl [1 + axijlξ + bxijlξ2 + ayijlη + byijlη

2 + azijlζ + bzijlζ 2]

Dovro dunque andare ad imporre 7 condizioni per i 7 parametri utilizzati:

• Una condizione di soddisfacimento del bilancio integrale sul volume dicontrollo

37Si noti che una prima conseguenza di questo fatto sara la necessita di andare adimporre un numero maggiore di condizioni al contorno

89



•Una condizione di saldatura del flusso neutronico e della corrente

neutronica per ogni interfaccia

Avrei dunque in totale, per ogni volume di controllo, 1 + (2 · 6) condizioni.Ma ricordando che ogni condizione all’interfaccia e imposta due volte, una suogni lato della faccia stessa, otteniamo esattamente le 7 condizioni necessarieper la corretta definizione del problema.

Cominciamo ad esplicitare il calcolo dei coefficienti scrivendo il valoredel flusso all’interfaccia lungo x. Si avra che:

Φi+ 1

2,j,l = Φijl [1 +

axijl2 +

bxijl4

Φi− 12,j,l = Φijl [1 − axijl

2 +bxijl

4 ]

Sommando e sottraendo membro a membro si ottengono i valori dei duecoefficienti a e b lungo x in funzione del flusso all’interfaccia.

axijl =Φi+ 1

2,j,l − Φi− 1

2,j,l

Φi,j,lbxijl =

Φi+ 12,j,l − 2Φi,j,l + Φi− 1

2,j,l

Φi,j,l

Vedremo in seguito che poiche quest’ultimo non e noto e non e presente trale incognite, si utilizzano le condizioni di saldatura sulla corrente neutronicaper riscrivere le costanti in funzione del flusso ai nodi.

Riprendiamo l’equazione della diffusione. La prima delle condizioni alcontorno impone il bilancio integrale, del quale ci apprestiamo a calcolare le

varie componenti.

• Partiamo dalla componente delle fughe. Avremo che, applicando ilteorema della divergenza:

V ijl

D ΦdV =

S ijl

(D Φ)ndS

= Dijl

∂ Φ

∂x

xi+1

2

xi−1

2

hyjhzl + [y] + [z]

Ove i termini tra parentesi quadre sono gli omologhi di quanto scrit-to lungo x nelle direzioni y e z. Potro a questo punto inserire la

dipendenza dalla variabile ξ, per cui si avra che:

∂ Φ

∂x=

∂ Φ

∂ξ

∂ξ

∂x=

=1

hxi

∂ Φ

∂ξ=

= Φijl [axhxi

+2bxξ

hxi

] =

= Φijl [axhxi

+2bx(x − xi)

h2xi

]

90



Sostituendo questa espressione nel calcolo del bilancio integrale delle

fughe si avra che tutti i coefficienti a scompaiono in quanto non dipen-denti da x. Dunque otterremo, in definitiva, che:

V ijl

D ΦdV = 2DijlV ijlΦijl [bx

h2xi

+by

h2yj

+bzh2zl

]

• Passando al termine successivo si ottiene che il bilancio integrale for-nisce: V ijl

(ν Σf

k− Σa)ΦdV = (

ν Σf

k− Σa)ijl

V ijl

ΦdV =

= (ν Σf

k −Σa)ijlΦijlV ijl V ijl(1 + bxξ2 + byη2 + bzζ 2)dξdηdζ

Ove ancora una volta i termini dispari sono stati eliminati poiche laloro integrazione porta ad un contributo nullo. Si ottiene dunque che:

V ijl

(ν Σf

k− Σa)ΦdV = (

ν Σf

k− Σa)ijlΦijl(1 +

bx + by + bz12

)V ijl

Abbiamo cosı ottenuto la prima delle 7 condizioni, quella legata all’annul-lamento del bilancio integrale, che coinvolge solo i coefficienti dei terminiquadratici.

Se andiamo ora a scrivere il bilancio integrale completo otteniamo, aven-

do sostituito le espressioni calcolate in precedenza per i coefficienti quadratici[Dijl +

h2xi

24(

ν Σf

k− Σa)ijl ]

Φi+ 12,j,l − 2Φi,j,l + Φi− 1

2,j,l

Φi,j,l

+y+z+(

ν Σf

k−Σa)ijlΦijl

Si nota che, come detto, rimane la dipendenza dalle condizioni all’inter-faccia, che dovra essere eliminata imponendo la continuita della correnteneutronica38 Dovremo dunque imporre che:

−Dijl(∂ Φ

∂x)x−

i+12

= −Di+1,j,l(∂ Φ

∂x)x+

i+1− 12

Andando a scrivere la derivata all’interfaccia nella maniera seguente:∂ Φ

∂x

x−i+1

2

= Φijl

axhxi

+2bx(x − xi)

h2xi

x−i+1

2

=

=1

hxi

(3Φi+ 12,j,l − 4Φi,j,l + Φi− 1

2,j,l)

38Si noti come la scelta degli indici provoca l’automatica verifica della condizione dicontinuita del flusso neutronico:

Φ(i)+ 1

2,j,l = Φ(i+1)− 1

2,j,l

91



Che, inserito opportunamente nella condizione di saldatura, fornisce l’espres-

sione (implicita) per il flusso neutronico all’interfaccia:

Φi+ 12,j,l =

4(1 −

Φi−1

2 ,j,l

4Φijl)

3(1 +hxiDi+1,j,l

hxi+1Dijl)

Φijl +

4(1 −

Φi+3

2 ,j,l

4Φi+1,j,l)

3(1 +hxi+1Di,j,l

hxiDi+1,j,l)

Φijl

Ho dunque in definitiva un legame decisamente complesso del tipo Φi+ 12,j,l =

f (Φijl , Φi+1,j,l). Si nota abbastanza velocemente che, se due mesh adiacentihanno stessa ampiezza e stessi valori per le costanti nucleari (in questo casoin effetti e sufficiente che sia uguale il coefficiente di diffusione, ma questodi fatto a stesso materiale) si ottiene che il flusso all’interfaccia non e altroche la media aritmetica dei flussi calcolati nei due nodi adiacenti.

Il problema principale della forma ottenuta e che i coefficienti stessidipendono, a loro volta, da flussi alle interfacce. Si ha cosı un problemanon lineare, ove dunque la matrice dei coefficienti D sara, nel problemaagli autovalori che andremo a risolvere, dipendente dagli autovalori stessi inmaniera non lineare, ed anche dalla stessa soluzione che dobbiamo ottenere.

Risolvere problemi di questo tipo e molto complesso. La sola possibilitae quella di procedere iterativamente, ove per eliminare i flussi alle interfacceper l’n-esima iterazione utilizzo i valori calcolati alla (n-1)-esima iterazione.Dunque la matrice d’iterazione variera ad ogni ciclo dell’algoritmo, con-dizione tipica degli algoritmi per la risoluzione di problemi non lineari. Sitratta di calcoli pesanti e complessi, la cui convergenza non e garantita mache, nonostante tutto questo, funzionano e vengono correntemente utilizzati.

In generale i problemi di questo tipo, in logica multigruppo, si risolver-anno con lo stesso principio applicato per le differenze finite fini: vi sarannodue processi iterativi uno dentro l’altro. Il problema non e piu complesso inlinea di principio, si operera con matrici di dimensioni inferiori ma con mag-giore complessita di risoluzione. L’unico elemento effettivamente distintivosta nel fatto che, in questo caso, non e possibile risolvere le equazioni per ivari gruppi energetici “a cascata”. Essse sono infatti accoppiate tra loro edandranno dunque risolte in modo combinato.

3.4.2 Metodi CubboxCosa accade se l’approssimazione del flusso diviene di terzo grado? Si di-mostra che, scegliendo opportunamente la forma del termine di terzo gradocome ξ(ξ2 − 1

4 ) i coefficienti lineari e quadratici rimangono gli stessi che nelcaso Quabox, e che il passo aggiuntivo consiste esclusivamente nel calcolo deicoefficienti di ordine cubico. A nostro vantaggio va il fatto che, utilizzandoquesta forma particolare, il termine di terz’ordine non aggiunge contributinel bilancio integrale.

Nonostante questa apparente inoffensivita tali termini sono tuttavia nec-essari, poiche si dimostra che spesso una semplice approsimazione al secondo

92



ordine non e sufficiente. Sappiamo in ogni caso che se vogliamo aggiungere

un grado di liberta sara necessario imporre una condizione al contorno ad-dizionale. In questo caso utilizzeremo delle funzioni peso: dovra dunqueessere vero che:

V ijl

D Φ + (

ν Σf

k− Σa)

ΦωdV = 0

ove si ritornera al semplice bilancio neutronico per ω = 1. Utilizzando invecepesi opportuni potro calcolare i tre termini aggiuntivi; si dimostra che talipesi sono del tipo ξ(ξ2 − 1

4 ), che applicati nelle tre direzioni forniscono le trecondizioni al contorno aggiuntive necessarie per la chiusura del problema.39

Otterro cosı una forma del tipo:

cx = (f xijl)Φi+ 1

2,j,l − Φi− 1

2,j,l

Φijl

Ove, come era lecito attendersi, compaiono ancora una volta le condizionialle interfacce, che andranno a complicare ulteriormente il problema.

3.5 Elementi di cinetica neutronica

Si e parlato finora di fenomeni pseudo-stazionari, ovvero dove le operazionipermettessero di distaccarsi solo in maniera marginale dalla criticita. Quan-do questa ipotesi non e verificata non e piu possibile utilizzare l’approcciovisto fino ad ora e diventa necessario l’utilizzo di equazioni differenti, di-namiche, bastate sulla cinetica neutronica. Studieremo in particolare lacinetica puntiforme

Cominciamo dalla definizione del keff , il mio “metro” di criticita di unreattore. Esso puo essere di fatto definito in due modi equivalenti basatipero su filosfie diverse:

• secondo il life cycle

• secondo il neutron balance

Il risultato e naturalmente lo stesso, ma l’approccio e diverso. Nel secondocaso mi limito infatti a fare il rapporto tra i neutroni che si generano dafissione ed i neutroni perduti in un certo lasso di tempo, operando cosıniente piu di un bilancio neutronico.

Attenzione pero. Non bisogna dimenticare che da fissione non esconosoltanto i neutroni pronti. Alcuni nuclei figli generati dalla fissione, essendoinstabili, possono dare luogo ad ulteriore emissione di neutroni dopo un

39Si parla ancora una volta di pesatura alla Galerkin. Tale imposizione non ha significatofisico ma solo matematico

93



certo lasso di tempo. Tali neutroni sono detti neutroni ritardati e sono

di primaria importanza per il controllo delle reazioni nucleari.I neutroni ritardati vengono alla luce in una situazione in cui il flusso

neutronico si e gia evoluto, ed e dunque diverso da quello che vi era al mo-mento della generazione dei loro progenitori. Si dice dunque che i neutroniritardati tendono a ricordare il flusso neutronico che li ha generati.

Come ne terremo dunque in conto ai fini del calcolo del keff ?Considereremo inizialmente due popolazioni:

• La popolazione di neutroni pronti, n

• La popolazione di progenitori di neutroni ritardati, ci

A cosa devo il pedice i? Al fatto che esistono molto tipi diversi di progenitoriche danno luogo ad emissione di neutroni, ma che lo fanno con tempi diversi.In generale essi sono divisi in 6 gruppi o famiglie, per le quali il ritardo diemissione va da un massimo di circa 80 s ad un minimo dell’ordine dei ms.

Tenendo dunque in conto anche del contributo dei neutroni ritardatiavremo che il keff diventa:

keff =n +

i ci

neutroni scomparsi

Si vede come la scelta di utilizzare l’approccio di bilancio neutronico peril calcolo del k

eff sia dettata anche dalla necessita di tenere in conto dei

neutroni ritardati. Applicando una logica del tipo “ciclo di vita” non sarebbeinvece facile distinguere da che generazione essi provengono.

Indicheremo con l o tmg il tempo medio di generazione, in generaledifferente dalla vita media dei neutroni. Tali quantita sono invece ugualisolo ove il reattore sia critico, ed avremo dunque una nuova definizione delkeff come keff = l0

l. Tali quantita potranno essere dunque confuse quando

si opera in regime di pseudocriticita. In realta avremo che l0 e una costante,mentre l varia assieme al keff .

Potremmo tuttavia ora chiederci se, dopo tutto quanto detto sino ad ora,le due definizioni di keff siano effettivamente equivalenti o meno.

Supponendo per semplicita di trovarsi all’interno di un reattore termico,suddividiamo la vita di un neutrone in tappe ben definite. Avendo poidefinito l0 come la vita media di un neutrone, sara possibile dire ancheche l0 =

percorsovelocita , ma essendo la lunghezza del cammino percorso da un

neutrone inversamente proporzionale alla sezione d’urto di assorbimento40

potremo in definitiva dire che l0 1Σav

. Si puo dunque vedere che, per

40Trascureremo in questa fase il rallentamento del neutrone, poiche i tempi caratteris-tici della sua termalizzazione sono molto piu veloci di quelli tipici dell’assorbimento: lavelocita di un neutrone termico e molto inferiore di quella di un neutrone ancora in fasedi rallentamento

94



come sono strutturati i reattori termici, in questo caso e abbastanza agevole

identificare le generazioni di neutroni distinte. Possiamo dunque supporreragionevolmente che tutti i neutroni emessi nella fase 1 saranno assorbitinella fase 2, di modo che la definizione sul ciclo di vita risulti uguale aquella sul bilancio neutronico.

La moltiplicazione del numero di neutroni che abbiamo in un tempo t edata da:

M (t) = ktl

Facciamo un esempio numerico. Se prendiamo l’acqua come moderatore,avremo, per t = 1s, l = 10−4s41 Dunque, supponendo inoltre k=1.001,otterremo (utilizzando le opportune approssimazioni):

M (t) = 1.00110000 (e0.001)10000 e10

Si vede dunque che anche per un valore di keff molto prossimo ad uno, dopoappena un secondo la cinetica del reattore ha portato alla moltiplicazionedella popolazione neutronica di un fattore e10.

Questo calcolo e stato effettuato in assenza di neutroni ritardati, in pre-senza dei quali il valore di l diventa circa 0.08, il che riduce di molto il fattoredi moltiplicazione visto prima.

Definiamo ora una serie di quantita (ove per neutroni prodotti si intendela totalita dei neutroni prodotti ad una determinata generazione):

keff =n prodotti

n persi

kex = keff − 1 =n prodotti - n persi

n persi

ρ =keff −1keff

=n prodotti - n persi

n prodotti(reattivita)

β = precursori di n ritardatin prodotti

ρ − β =n pronti - n persi

n prodotti

l0 = n esistentin persi(per unita di tempo)

l = n esistentin prodotti(per unita di tempo)

In base a queste definizioni avremo che:

dn

dt=

ρ − β

ln(t) +

i

λici(t)

41questo dipende dal fatto che l’acqua ha una sezione d’urto di assorbimento elevata.Utilizzando la grafite avremmo avuto che l = 10−3s

95



Ovvero la variazione del numero di neutroni per unita di tempo e pari alla

produzione di neutroni pronti piu la somma delle produzioni dei neutroniritardati provenienti da tutte le famiglie meno i neutroni persi.42 Il terminelegato ai neutroni ritardati contiene la popolazione all’istante t moltiplicataper l’opportuna costante di decadimento, e deriva da:

dcidt

= −λici +βi

ln(t)

Supponiamo ora di avere un gradino di reattivita nell’istante t=0, tale percui ρ = 0 per t ≤ 0 e ρ = p per t > 0

Fintanto che tale gradino e inferiore a β, sono ancora in grado di control-lare il reattore. A risposta di tale gradino ho infatti un incremento rapido perun tempo l

β, dopo il quale la popolazione neutronica continua ad aumentare

ma in modo molto regolare e in entita inferiore. Il salto iniziale e definito

prompt jump, ed e tale per cui n(t) = ββ−ρn0. La chiave di tale processo

e che se fosse invece ρ > β, la risposta della popolazione neutronica nonprevederebbe tale assestamento, ma si manterrebbe di rapido incremento.Dunque e qui che risiede il fenomeno fondamentale che permette il controllodelle reazioni a catena solo grazie alla presenza dei neutroni ritardati.

Abbiamo detto in precedenza che il tempo di risposta l passa da circa10−4 a 0.08 nel momento in cui si considerano i neutroni ritardati. Maperche?

Questo e dovuto al fatto che il valore reale di l e dato da

l = l +i

βi

λi

ove la sommatoria a secondo membro diventa di fatto preponderante. Macome si arriva a tale scrittura?

Ripartiamo dalla

dn

dt=

ρ − β

ln(t) +

i

λici(t)

supponendo per ora β, ρ e l indipendenti dal tempo, anche se per la reattivitasi tratta di una approssimazione particolarmente forte. Supponiamo inoltredi avere all’istante iniziale dci

dt= 0 e dn

dt= 0

Otterremo di conseguenza (tramite l’applicazione della trasformata diLaplace)

ρ = ls −i

sβi

s + λi

42Si tenga conto che nel momento in cui vado a studiare fenomeni dipendenti dal temposorgono problemi detti di stiffness, rigidita, legati all’accoppiamento di fenomeni aventitempi caratteristici differenti tra loro. In questo caso appare chiaro che i fenomeni legatiai neutroni pronti sono molto piu veloci di quelli legati ai neutroni ritardati, provocandoil verificarsi della situazione sopra enunciata, con conseguente grande attenzione che deveessere posta al momento della discretizzazione del dominio temporale

96



Dunque una volta fissato ρ ho tante soluzioni quanti sono i valori di λi

piu una, dunque di fatto 7. Dallo studio della funzione notiamo inoltre chetali soluzioni sono tutte reali e danno luogo ad un andamento monotono atratti. Se procediamo con l’antitrasformazione otteniamo che:

n(t) =7

j=1

A jesjt

Il problema si concentra dunque sulla soluzione s j avente valore piu grande.Se supponiamo che tale valore sia, in modulo, trascurabile rispetto a λi

otteniamo43

s1 =ρ

l + iβiλi

Si ha dunque che:

l = l +i

βi

λi=

= l(1 − β) +i

βil +i

βi

λi=

= (1 − β)l +i

βi(l +1

λi)

Dunque l e la media pesata sulle popolazioni neutroniche dei tempi medi divita dei neutroni pronti e dei neutroni ritardati.

Si vede da quanto scritto che il reattore ha una cinetica sua, e dunque none possibile variarne le condizioni operative oltre ad una certa velocita limite.Questo e molto importante soprattutto in condizioni di pericolo, ove e nec-essario provocare lo spegnimento repentino del reattore. Essa sara dunquelimitata dal valore della costante di decadimento dei neutroni ritardati dimodulo inferiore44

43Cosa accadrebbe se ρ > β? Ci troveremo all’interno della zona asintotica di s1, il cuivalore sara dunque molto elevato. Otterremo di conseguenza che nella equazione

ρ = β + ls −i

λiβi

s + λi

il grande valore di s porta il contributo della sommatoria a divenire trascurabile, in modoche otteniamo per s1:

s1 ρ − β

l

44Questo aspetto deve essere tenuto in conto in particolare quando si sceglie di ridurre ilnumero delle famiglie di progenitori per la semplificazione dei calcoli, mediando le relativecostanti di decadimento. In generale e necessario mantenere isolata la famiglia avente lacostante di modulo inferiore in quanto essa e quella avente ruolo chiave nei transitori

97



Vediamo ad esempio cosa accade scegliendo di operare con due macro-

famiglie:

1v∂ Φ(r,t)

∂t= D2Φ(r, t) − ΣaΦ(r, t) + pν Σf ε(1 − β)Φ(r, t) + p[λ1c1(r, t) + λ2c2(r, t)]

∂c1∂t

= −λ1c1(r, t) + β1 pν Σf εΦ(r, t)

∂c2∂t

= −λ2c2(r, t) + β2 pν Σf εΦ(r, t)

Con:

p fattore di sopravvivenza alle catture di risonanza

ε fattore di moltiplicazione veloce45

Se ne ottiene che:

c1 = c10(r)e−λ1t + β1ν Σf ε

t0

Φ(r, t)e−λ1(t−t)dt

Si vede dunque che i neutroni ritardati risentono del flusso calcolato all’is-tante t-t’, come mostrato dal termine di convoluzione, che rappresenta il“ricordo“ dei neutroni ritardati.

Se andiamo ad ipotizzare di poter scrivere:

Φ(r, t) = F (r)ϕ(t)ci(r, t) = F (r)C i(t)2F (r) + B2

GF (r) = 0

Gi = C iν Σf ε

45tale fattore e tenuto in conto solo per i neutroni pronti, in quanto i neutroni ritardatisono emessi con energie inferiori e la probabilita che essi diano luogo a fissioni veloce etrascurabile

98



Otteniamo che il sistema precedente puo essere scritto nella forma46

dϕdt

= 1lt

[(1 − β)keff − 1]ϕ(t) + keff lt

[λ1G1(t) + λ2G2(t)]

dG1dt

= −λ1G1(t) + β1ϕ(t)

dG2dt

= −λ1G2(t) + β2ϕ(t)

La soluzione del sistema sara data da

d

dt

ϕ(t)G1(t)G2(t)

=

1lt

[(1 − β)keff − 1] 1lt

keff λ11lt

keff λ1

β1 −λ1 0β2 0

−λ2

·

ϕ(t)G1(t)G2(t)

Che in forma matriciale e esprimibile come:

dx(t)

dt= Ax(t)

Tale sistema e risolto evidentemente da una forma di tipo esponenziale,ovvero:

x(t) =3

i=1

µT i x(0)eαitµi

Tale problema e piu facilmente risolvibile applicando alle funzioni una trasfor-

mazione secondo Laplace. In questo modo, chiamando α la nuova variabile46sono qui di seguito esplicitati i passaggi che permettono di arrivare a questa forma,

che potranno sembrare semplici ai piu ma che vengono mostrati per completezza:

1

v

∂ Φ(r, t)

∂t= D2

F (r)ϕ(t) − ΣaF (r)ϕ(t) + pν Σf ε(1 − β)F (r)ϕ(t) + p[λ1F (r)C i(t) + λ2F (r)C i(t) =

= −DB2GF (r)ϕ(t)− ΣaF (r)ϕ(t) + pν Σf ε(1 − β)F (r)ϕ(t) + p[λ1F (r)C i(t) + λ2F (r)C i(t) =

1

v

∂ϕ(r, t)

∂t= −DB

2Gϕ(t)− ΣaF (r)ϕ(t) + pν Σf ε(1 − β)ϕ(t) + p[λ1C i(t) + λ2C i(t) =

∂ϕ

t= vΣa[−(L2B2 + 1) + (1 − β)

ν Σf

Σa

εp]ϕ(t) + pvν Σf ε[λ1G1 + λ2G2] =

= vΣa(L2B2 + 1)[(1 − β)

(l2B2

+ 1)

ν Σf

Σa

εp− 1]ϕ(t) + pvν Σf ε[λ1G1 + λ2G2]L2B2 + 1

L2B2

+ 1

=

=1

lt[(1− β)keff − 1]ϕ(t) +

keff

lt[λ1G1(t) + λ2G2(t)]

Ove si e usato che:

L2 =D

Σa

1

lt= vΣa(1 + L

2B2)

keff =pεν Σf

Σa(1 + L2B2)

per la cui dimostrazione si rimanda a testi e corsi di fisica del reattore

99



delle funzioni trasformate, otterro un sistema del tipo seguente:

αix = Ax

Questo risulta essere ne piu ne meno che un problema agli autovalori, ovegli αi sono gli autovalori e i µi le autofunzioni.

Per la seconda e la terza riga del problema (quelle relative ai progenitori)si ottiene che:

β1µ(1) − (λ1 + α2)µ(2) = 0β2µ(1) − (λ2 + α3)µ(3) = 0

Da cui si ottiene che, se il primo elemento dell’autovettore e normalizzatoad 1, vale:

µT = 1, β1λ1 + α2

, β2λ2 + α3

Per determinare infine gli αk devo risolvere l’equazione determinan-

tale che assume la forma:F (α) = ltα

1+ltα+ 1

1+ltα

2i=1

αβiα+λi

F (α) =keff −1keff

Ove ho di fatto eguagliato due espressioni per la reattivita del sistema.Questo ci permette (vedi grafico su appunti) di determinare gli autoval-ori della matrice A. Dall’analisi dei risultati si possono trarre le seguenti

conclusioni47

:

• Se la reattivita e nulla, anche il primo degli autovalori avra modulo nul-lo. Il sistema evolvera quindi in termini molto meno incisivi (ma nonos-tante cio si muove: dunque nemmeno se il sistema fosse perfettamentecritico avremmo completa stazionarieta, se non asintoticamente).

• Se la reattivita e maggiore di 0, il primo degli autovalori e positivo, edil sistema tende (asintoticamente) ad esplodere

• se infine la reattivita e negativa anche il primo degli autovalori e nega-tivo, il che porta allo spegnimento del reattore. Si vede che la velocita

di tale spegnimento e proporzionale al termine piu resistente (ovveroα1), il cui valore limite (raggiungibile solo per reattivita infinitamentenegativa) e dato da λ1. Ecco dunque spiegato il limite alla velocita dispegnimento del reattore.

47Si noti come solo il primo dei 3 autovettori ha elementi sempre positivi, in quanto siaλ1 che λ2 sono maggiori dell’autovalore, il cui valore limite negativo e proprio −λ1. Talefunzione e dunque l’unica ad avere un significato fisico

100



3.6 Elementi di Trasporto neutronico

Fino a questo momento abbiamo parlato di modellizzazione della fisica neu-tronica del reattore tramite l’equazione della diffusione, facendo riferimentoalla teoria del trasporto come ad un sistema che, a costo di maggiore comp-lessita, permette di ottenere calcoli di precisione superiore. Vediamo ora dieffettuare un discorso introduttivo sul trasporto neutronico che permetta dicomprenderne i principi di base.

L’equazione del trasporto piu generica, applicabile a diversi campi dellafisica, e detta equazione di Boltzmann e non e lineare. Tale non linearitanasce in generale dal considerare le interazioni tra le particelle che fannoparte della popolazione che stiamo considerando. Caratterstica del trasporto

neutronico e quella di ignorare tali collisioni, di modo che l’equazione deltrasporto neutronico risultera essere invece lineare.

Esistono due tipi di formulazione per l’equazione del trasporto neutron-ico:

Integrale : tale formulazione permette di ottenere i valori mediati dellesezioni d’urto da utilizzare in teoria della diffusione.

Integro-Differenziale : tale formulazione e la piu usata per la proget-tazione dei sistemi nucleari48

Vediamo ora alcune differenze tipiche tra l’approccio diffusivo e quello

trasportistico:

Direzione di volo dei neutroni : Il primo elemento di maggiore preci-sione legato alla teoria del trasporto rispetto all’approccio diffusivo eil tenere in conto anche della direzione di volo dei neutroni. Avre-mo dunque a che fare con un flusso neutronico angolare Φ(r, E. Ω) alposto del consueto flusso neutronico Φ(r, E ). Questo mi permette ditenere in conto del fatto che, dopo ogni evento, un neutrone avra unadirezione di volo diversa da quella di partenza.49

Parallelismo fisico-matematico : Anche l’equazione del trasporto e gen-eralmente risolta tramite tecniche di tipo iterativo50. Caratteristica

tipica della forma integro-differenziale e quella di mantenere un par-allelismo tra iterazioni e collisioni neutroniche, ove invece in formaintegrale e molto piu difficile trovare una correlazione di questo tipo.

48Il codice attualmente in uso presso il CEA per il trasporto neutronico e l’Apollo II49L’equazione del trasporto in forma integrale prevede una integrazione sulla direzione

di volo. Il risultato dunque di tale operazione sara un flusso indipendente da tale variabile,il che crea un forte parallelo con la teoria della diffusione e permette di utilizzare i risultatiottenuti in teoria del trasporto per migliorarla

50Come soluzione di tentativo viene spesso utilizzato il risultato ottenuto con modellidiffusivi

101



Nel caso diffusivo si era invece visto come tale parallelismo era sempre

garantito

Localita del fenomeno Si e detto piu volte in precedenza che l’approcciodiffusivo e di tipo locale: tutti i punti del dominio sono collegati traloro indirettamente, ma solo i nodi tra loro adiacenti presentano unadipendenza diretta. Questo si ripercuote, a livello numerico, nell’averea che fare con matrici sparse. Nel caso della teoria del trasporto,invece, vengono tenuti in considerazione anche i fenomeni a distanza.Dunque un neutrone posto in un generico punto del reattore potrebbe,seppure con probabilita estremamente bassa, raggiungere un qualsiasialtro punto del reattore. Conseguenza di tale approccio e l’avere a che

fare con matrici dense.

3.6.1 Formulazione integrale

Sotto le ipotesi di:

• Problema stazionario

• Mezzo isotropo

• Fenomeni di scattering di natura isotropizzante

• Sorgente isotropa

Si puo scrivere l’equazione del trasporto neutronico in forma integrale nelmodo seguente:

Φ(r, E ) =

V

[

∞0

Σ( r, E )Φ( r, E )f ( r, E → E ) + S ( r, E )]dE

elop( r→r,E )

4π|r − r|2dV

Ove si e dunque supposto di poter scrivere (viste le ipotesi)f ( r, E → E, Ω → Ω) = 1

4πf ( r, E → E )

S (r, E, Ω) = 14πS (r, E )

L’equazione che compare nell’espressione del flusso tra parentesi quadre euna equazione di Frehdolm di seconda specie.

La funzione f rappresenta la probabilita che un neutrone avente energiaE’ e direzione di volo Ω esca da un evento di interazione con energia E edirezione di volo Ω.51 Risultera dunque che: f (r, E → E ) e dato dallasomma dei seguenti contributi:

• Scattering:

ΣS (r, E )Σ(r, E )

f S (r, E → E )

51In realta non si parla mai di avere esattamente energia E o E’, o direzione di volo

lungo Ω o Ω, ma sempre di valori compresi in un intorno dE o dΩ del punto considerato

102



•Cattura: (Σc)52

• Fissione:

Σf (r, E )Σ(r, E )

f f (r, E → E )ν (r, E )

• Reazioni n.2n:

2

Σn,2n(r, E )Σ(r, E )

f n,2n(r, E → E )

Dovra inoltre valere chiaramente che: ∞

0f (r, E )dE = 1

Il termine esponenziale e invece legato all’attenuazione del segnale,

descrive la diminuzione di probabilita che un neutrone arrivi a distanzesempre maggiori senza subire eventi di qualunque tipo. All’interno di taletermine e contenuto il parametro “lop” lunghezza ottica del sistema,che rappresenta come neutroni aventi energie diverse vedono il sistema inmodo diverso. Risultera di fatto che:

lop( r → r, E ) = Σ(E )|r − | r|

Se introduciamo l’ipotesi di mezzo omogeneo, possiamo far scomparirela dipendenza delle sezioni d’urto dalla posizione. L’equazione si presenteradunque nella forma:

Φ(r, E ) =

V

[

∞0

Σ(E )Φ( r, E )f (E → E )dE + S ( r, E )]eΣ(E )|r−| r|

4π|r − r|2dV

Il problema sara a questo punto andare a discretizzare tale equazione alivello spaziale ed energetico. Tale operazione e tanto piu difficile quantopiu problematica e la natura del nucleo (o kernel) dell’equazione integraleche e dato, in questo caso, dal termine:

eΣ(E )|r−| r|

4π|r − r|2

Effettuando la discretizzazione della variabile energetica dovremo definiredelle sezioni d’urto mediate. Si definisce:

Σg→g =

g

dE g

dE [Σ(E → E )Φ(r, E )] g

Φ(r, E )dE

52Questo termine non compare nell’espressione precedente in quanto, evidentemente, lacattura neutronica non provoca riemissione di neutroni e di conseguenza non dara luogoad alcun contributo

103



Se supponiamo di implementare nell’equazione la discretizzazione ener-

getica, andando ad aggiungere a tutte le semplificazioni fatte sino ad ora iltrascurare le reazioni n,2n, si ottiene:

Φg(r) = V

[G

g=1 Σg→gΦg( r) +G

g=1(ν Σf )gΦg( r) + S g( r)] eΣ(E)|r−| r|

4π|r− r|2 dV

g = 1 : G

Il passo successivo, ultima operazione prima della risoluzione numerica,sara quello di discretizzare nello spazio. Per farlo si utilizzano delle for-mule di quadratura tramite polinomi (Newton Cotes) o tramite polinomiortogonali (Formule di Gauss).

Facciamo un esempio in geometria monodimensionale:

Φg(x) =

a−a

Gg=1

Σg→gΦg(x) +G

g=1

(ν Σf )gΦg(x) 1

2E 1(Σg|x − x|dV

Ove E 1 e la funzione esponenziale integrale di ordine 1, un tipo dipolinomio ortogonale appartenente alle funzioni speciali. Tali funzionihanno proprieta interessanti ma sono singolari nel dominio. Tali funzionisono definite nel modo seguente:

E n(z) =

∞1

e−zt

tndt

Nel nostro caso vale:

E 1(z) = −γ − ln z −∞i=0

(−1)nzn

n · n!

con γ costante di Eulero Mascherani che vale circa 0.57721 Taleespressione costituisce il nucleo dell’equazione. Esso e singolare (a causa dellogaritmo) in x’. Tale singolarita e detta debole in quanto e moderatamentefacile da risolvere.

Cio che si va a fare spesso e tuttavia l’utilizzare una serie di polinomiortogonali al posto della funzione esponenziale integrale. L’approssimazionee infatti lecita e ben posta, in quanto sono entrambi polinomi ortogonali,

ma si ha in piu una migliore conoscenza della funzione. Andremo dunque ascrivere che, utilizzando i polinomi di Tchebychev (modificati in modo taleda adattarne il dominio alla funzione di interesse)

E 1(z) = −γ − ln z −∞n=0

anT ∗n(z

8)

con:

T ∗0 = 1T ∗1 = 2t − 1T ∗n+1 = (4t + 2)T ∗n(t) − T ∗n−1(t)

104



Tale approssimazione diventa effettivamente tale solo nel momento in cui la

sommatoria sui polinomi viene portata ad un numero finito di termini.Non considerando piu la presenza di una sorgente avremo ottenuto un

problema agli autovalori del tipo H kΦK = 0Approfondiamo anche in questo caso la scelta dell’autovalore. Si era

accennato, a proposito della diffusione, della possibilita di posizionare l’au-tovalore in altri punti dell’equazione, attribuendogli cosı un differente signi-ficato fisico. Questo puo essere fatto anche in teoria del trasporto:

• Scegliendo come autovalore λ = k si va ad influenzare la molteplic-

ita da fissione

•Scegliendo come autovalore λ = γ si va ad agire sulla collisionalita.

• Scegliendo come autovlaore λ = δ si va infine ad agire sulla densitadel materiale. Quest’ultimo caso e particolarmente interessante permodellizzare situazioni incidentali (ove questa apparente incoerenzadiventa effettivamente realistica dal punto di vista fisico). Il problemae che le equazioni diventano, in questo caso, non lineari.

105



Appendice A

Aggiustamento di sezioni

d’urto

A.1 Introduzione alle basi di dati

La presenza di studi legati all’aggiustamento delle sezioni d’urto derivaprincipalmente dalla grande incertezza esistente su tali valori, ai quali neidatabase e sempre associato uno scostamento, il cui valore quantifica diquanto il valore reale puo allontanarsi da quello nominale. Ogni valorecontenuto all’interno di tale intervallo e considerato in accordo con i dati

sperimentali. Questo sistema ci ricorda innanzitutto dell’importanza delcondizionamento di un problema: la presenza nota di incertezze nei datiin ingresso mi porta alla necessita di assicurarmi che tale imprecisione nonmini la mia possibilita di risolvere il mio problema numerico.

Negli anni ’70 e stato effettuato un enorme lavoro di aggiustamentostatistico delle sezioni d’urto basato sui dati provenienti da decine di labora-tori diversi, in cui e stata tenuta in conto l’affidabilita di ogni dato tramiteschemi precisi, tenenti in conto ad esempio la qualita dell’attrezzatura el’affidabilita dei dati di input utilizzati e, soprattutto, delle influenze che sigenerano tra i differenti laboratori.1

Per le sperimentazioni sulle sezioni d’urto vengono spesso utilizzati reat-

tori particolari, di forma sferica, pensati per avere una ottima conoscenzadella geometria. Lo scopo e quello di rendere il sistema il piu semplice pos-sibile per eliminare ogni tipo di incertezze, in modo da portersi concentraresulla misurazione delle sezioni d’urto. In generale il risultato di tali esper-imenti (detti esperimenti integrali per via del tipo di grandezze che si

1Si faccia l’esempio di un laboratorio (Lab 1) che effettui degli esperimenti a partire daidati ottenuti da altri due (Lab 2 e Lab 3). Al fine di quantificare l’affidabilita dei risultatiottenuti dal Lab 1 sara dunque necessario anche tenere in conto di quale sia l’affidabilitadei dati dei Lab 2 e Lab 3 e la loro influenza sul processo utilizzato dal Lab 1 al finedell’ottenimento dei suoi risultati

106



vogliono misurare) vengono confrontati con simulazioni numeriche, al fine

di validare i modelli utilizzati per ottenere queste ultime.La libreria piu nota in fisica neutronica e la ENDF, mantenuta dai lab-

oratori del sito di Los Alamos. Vi sono contenuti, per ogni nucleo di inter-esse nucleare e per ogni tipo di sezione d’uro, dati per circa 50’000 puntienergetici. La libreria ENDF si divide in piu sezioni:

ENDF-A che contiene i dati grezzi provenienti dai vari laboratori. Si trattadi dati sparpagliati e disordinati

ENDF-B contiene i dati contenuti in ENDF-A opportunamente ordinati,organizzati, interpolati ed estrapolati al fine di poter essere material-mente utilizzabili. La fase di lavoro che porta dal database di tipo Aa quello di tipo B e detta evaluation

ENDF-C contiene infine i dati sulla correttezza e l’affidabilita di ogni datocontenuto in ENDF-B

Tali dati sono purtroppo ben lontani dall’essere corretti e completi. Segia incertezze sono presenti su quei nuclidi ben noti e facili da studiare, sihanno i maggiori problemi per le specie che hanno vita molto breve. Questeinfatti sono difficili da studiare, ma il loro impatto sui bilanci pu o esserecomunque rilevante ed e dunque opportuno tenerne in conto.

Attualmente i metodi numerici ed i calcolatori per attuarli hanno miglio-

rato enormemente le loro prestazioni, e sarebbe dunque un peccato spre-care un tale potenziale a causa di dati di partenza imprecisi. Se ad es-empio imponessi con successo ad un algoritmo un margine di errore dello0.001% rischierei di scoprire che tale errore e in realta dell’ordine del puntopercentuale a causa di imprecisione sui dati di input.

Il punto principale e che i parametri differenziali, quali sono ad esempiole sezioni d’urto, sono molto difficili da misurare. Molto piu agevole (quan-tomeno in relativo) e invece la misurazione dei parametri integrali, comepotrebbe essere la criticita di un sistema. In effetti uno degli esperimentitipici in questo ambito e quello di “costruirsi” dei benchmark in modo taleche questi risultino critici. Essendo nota la loro composizione sia dal punto

di vista materiale che geometrico, i dati che li riguardano sono poi utilizzatiper “testare” le librerie di sezioni d’urto, tramite le quali e possibile calco-lare un valore per il keff di tali sistemi che, nell’ipotesi che i calcoli sianocorretti, dovrebbe essere identicamente pari ad 1.

Purtroppo questo non accade quasi mai. Ed allora, posto che in unsistema cosı noto e semplificato le interferenze sulla soluzione provocate daincertezze di vario tipo sono pressoche escluse, si puo pensare di utilizzareil dato misurato per ottenere un miglioramento delle librerie.

In generale tuttavia ogni esperimento contiene, al suo interno, uno spazioad N-1 dimensioni di possibili nuove librerie che portano al perfetto soddis-

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facimento del calcolo ad esso associato (ove N e il numero di parametri con-

tenuti nella libreria). Come fare per scegliere quale di tutti queste infinitepossibilita e quella da utilizzare per aggiornare la libreria?

Nel prossimo paragrafo sono introdotte (o ricordate, a seconda delleconoscenze di chi legge) alcune nozioni basilari di statistica e probabilita,utili per la comprensione di quanto segue. Nel paragrafo successivo sarainvece affrontato in modo diretto il problema dell’aggiornamento della libre-ria.

A.2 Elementi di statistica

Supponiamo di avere due misure della stessa quantita x effettuate da duelaboratori distinti:

x = x1 ± σ1

x = x2 ± σ2

Supponiamo che entrambi i laboratori siano affidabili. Come faccio ora ascegliere che valore usare?

Dovro utilizzare una media di qualche tipo, sia per determinare il valoremedio “reale” che per la deviazione standard. Dunque, nella forma:

x = c1x1 + (1 − c1)x2

sto cercando il valore opportuno per c1. Il mio obiettivo sara quello di

minimizzare la deviazione standard. Essendo che:

σ2x = E [(x − x)2]

si avra

σ2x = E [x − c1x1 − (1 − c1)x2]2 =

= E [c1x − c1x + x − c1x1 − x2 + c1x2]2 =

= E [c1(x − x1) + (1 − c1)(x − x2)]2 =

= c21E (x − x1)2 + (1 − c1)2E (x − x2)2 + 2c1(1 − c1)E (x − x1)E (x − x2)

= c21σ2

1 + (1

−c1)2σ2

2 + 2c1(1

−c1)E (x

−x1)E (x

−x2)

Se pero i due laboratori sono indipendenti l’ultimo termine e nullo, e la var-ianza della media pesata e pari alla media delle varianze pesata sui quadratidei pesi della media.2

Andiamo dunque ad analizzare come ottenere il peso migliore in questocaso semplificato. Per farlo dovremo annullare la derivata rispetto ai pesi

2Questo ovviamente non e detto: anzi, nel caso piu generale i laboratori saranno col-legati tra loro, ed i risultati dell’uno influenzeranno in qualche modo quelli dell’altro eviceversa

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dell’espressione ottenuta, in modo tale da ottenere il valore del peso c1 che

minimizzi la varianza:

dσ2x

dc1= 2c1σ2

1 − 2(1 − c1)σ22 = 0

Da cui ottengo:

c1 =σ2

2

σ21 + σ2

2

Se invece non elmino la covarianza ottengo:

c1 =σ2

2 − σ12

σ2

1

+ σ2

2 −2σ12

Dunque se i due laboratori non sono indipendenti tra loro potrei perfinoavere un peso negativo. Questo corrisponderebbe al caso in cui siamoa conoscenza del fatto che uno dei due laboratori ha influenzato pesan-temente l’altro in una direzione specifica, e ci costringera a muoverci inquella opposta. Generalizzando per n laboratori ottengo la matrice di

correlazione:

σ21 σ12 · · · σ1n

σ21 σ22

.... . .

σn1 σ2n

Prendiamo ora un caso distinto: supponiamo di avere due misure di duegrandezze diverse:

x1 = x1 ± σ1 x2 = x2 ± σ2

Supponiamo ora che le grandezze di interesse siano invece:

y1 = x1 + x2 e y2 = x1 − x2

Supponiamo ora che le due misure di partenza siano state fatte in modo taleda dare luogo a distribuzioni di probabilita di tipo gaussiano (il teorema

del limite centrale ci dice che questo e vero sotto determinate condizioni).Dunque potro scrivere:

x1 ∼ e− (x1−x1)

2

2σ21 x2 ∼ e− (x2−x2)

2

2σ22

La funzione di distribuzione associata ad entrambe le variabili sara del tipo

f (x1, x2) ∼ e− (x1−x1)

2

2σ21

− (x2−x2)2

2σ22

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Questo pero e valido soltanto se le due variabili sono tra loro indipendenti,

come abbiamo supposto vero per le due grandezze misurate sperimental-mente. Se pero vogliamo scrivere una espressione analoga per le variabilidipendenti, vale a dire y1 e y2

x1 =y1 + y2

2x2 =

y1 − y2

2

Sostituendo tale espressione in quanto scritto prima ottengo una forma diquesto tipo:

f (y1, y2) = exp − 1

4[(

1

4σ21

+1

4σ22

)(y1 − y1)2 + (1

4σ21

+

+ 14σ2

2

)(y2 − y2)2 + ( 12σ2

1

− 12σ2

1

)(y1 − y1)(y2 − y2)

Ancora una volta esiste un termine legato alla correlazione tra le due misure.Si veda come in questo caso si abbia comunque una correlazione tra le duevariabili “dipendenti”, nonostante i dati sperimentali siano indipendenti.Questo e forzatamente generato dal fatto che tanto y1 quanto y2 dipendanodalle stesse variabili. Abbiamo dunque all’esponente una forma quadratica,in cui il termine generalmente noto come “doppio prodotto” e legato allacovarianza.

La forma quadratica scritta in precedenza e scrivibile anche in forma

matriciale (y − y)T M (y − y)

.Vogliamo ora calcolare la deviazione standard di σy1

σ2y1 = E [(y1 − y1)2] =

= E [(x1 + x2) − (x1 + x2)]2 =

= σ21 + σ2

2 + 2σ12

Ove, come al solito, se i due eventi non sono correlati, l’ultimo terminescompare.

Da calcoli analoghi si puo arrivare a scrivere che:

σ2y1 = σ2

y2

eσy1,y2 = E [(y1 − y1)(y2 − y2)] = σ2

1 − σ22

Da cui posso costruire la matrice:

C y =

σ2y1 σy1,y2

σy1,y2 σ2y2

=

σ2

1 + σ22 σ2

1 − σ22

σ21 − σ2

2 σ21 + σ2

2

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Tale matrice non e una matrice qualunque. Notiamo intanto che essa e

definita positiva e dunque sempre invertibile, e tale che C −1y = M Ho cosı ottenuto l’espressione della funzione di distribuzione di y. Potro

inoltre normalizzarla ad 1, ovvero renderla tale che f (y)dx = 1

Si dimostra che, a questo fine, devo moltiplicare per un opportuno fattore,tale per cui ottengo:

f (y) =

det(M )

(2ϕ)N 2

exp[−1

2(x − x)T M (x − x)]

Si noti che tale equazione e valida per qualunque vettore y funzione diun generico vettore x. Cio che variera con la dipendenza tra i due insiemi divariabili sara la matrice M che genera la forma quadratica nell’esponenziale.

Prendiamo ora una generica funzione r = r( p) Voglio ora trovare unmodo di esprimere quanto r sia sensibile alle incertezze su p. Scrivero dunqueche:

r(¯ p + δ p) = r + δr

Da cui:δr Sδ p

La matrice S, basata sul troncamento al prim’ordine della serie di Taylorassociata a r(p), e detta matrice di sensitivita del problema, ed e difatto costituita dalle derivate parziali delle varie componenti del vettore rsecondo le variabili contenute nel vettore p.3

Quello che mi interessa, nota la matrice S, e valutare l’entita di δr. Essasara quantificata dal parametro C r:

C r = < δrδT r >=

= < (Sδ p)(Sδ p)T >=

= < S δ pδT p S T >=

= S < δ pδT

p > S T

== SC pS T

Tale procedimento e detto sandwich rule, e definice la propagazionedelle incertezze

3Il calcolo di tale matrice, avente dimensioni I x N, sembra a prima vista un compitoarduo. In realta posso effettuare tale calcolo in modo molto rapido e semplice

111



A.3 Aggiornamento di dati differenziali a partire

da dati integrali

Supponiamo ora di avere una libreria p composta da N elementi, con Nmolto grande. Tale libreria e utilizzata per ricavare dei parametri integralir in numero I molto minore di N. Supponiamo per ora che p ed r non sianocorrelati.

Supponiamo di essere in grado di calcolare r con un modello esatto, inmodo tale dunque che l’errore sulla risposta risultera dipendere soltanto dap.

Il nostro scopo e quello di aggiornare la libreria. Come accennato inprecedenza, il discorso ora si ribalta: misuro r sperimentalmente e mi pongo

il problema di utilizzare il confrontro tra il valore numerico e quello sperimen-tale per ottenere un aggiornamento per i dati di partenza. In particolare ilmodo utilizzato per scegliere quale sia il valore opportuno per l’aggiornamen-to della libreria sara quello di minima distanza dall’orginale: supponendodunque che i dati di partenza fossero scorretti ma comunque sensati, l’ideae quella di fare in modo di soddisfare le condizioni sperimentali andandotuttavia a modificare la libreria di partenza il meno possibile. Questo mododi procedere e detto principio della massima verosimiglianza.

Definisco dunque:

p la libreria originaria

p la libreria soddisfacente la prova sperimentale

r( p) la risposta, ovvero il parametro integrale r calcolato in funzione del-l’insieme dei valori contenuti nella libreria p

S n = ∂r∂pn

l’elemento del vettore di sensibilita, che mi dice come la rispostar e influenzata dall’n-esimo parametro della libreria p

d = r( p) − r la differenza tra il valore della risposta ottenuta numericamenteutilizzando i dati della libreria non aggiornata e lo stesso valore cal-colato sperimentalmente (o tramite libreria aggiornata: i due valori in

questo primo caso coincidono)x = p − p la differenza tra la libreria “vecchia” e quella aggiornata. Queso

e il valore che ci imponiamo di minimizzare.

Supponendo che, comunque, la libreria di partenza non sia troppo im-precisa, e che dunque il risultato proveniente da essa non sia troppo lontanoda quello reale, posso linearizzare la differenza tra i due valori, scrivendoche:

r( p) r( p) +∂r

∂p( p − p)

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Che, ricorrendo alla notazione introdotta in precedenza, puo essere anche

scritta come;sx + d = 0

Il mio obbiettivo e, come detto, quello di ridurre al minimo il valore di x.Il mio problema e dunque quello di trovare un x che soddisfi l’equazionesx + d = 0 ed al tempo stesso minimizzi il valore di x2. Per farlo il metodoprincipe e quello dei moltiplicatori di Lagrange, che mi permette di passareistantaneamente da un problema di minimo condizionato ad uno di minimoincondizionato. L’espressione da minimizzare diverra dunque:

R(x) = xT x + 2λ(sx + d)

Ove il coefficiente 2 e posto per comodita e non influenza la correttezza delmetodo. Si ottiene cosı che, derivando:

∂R

∂x= 2(xT + λs) = 0

Tale espressione costituisce , insieme all’equazione di partenza, N+1 equazioniper la determinazione delle N+1 incognite: le x e il moltiplicatore λ. Siottiene dunque che:

x = −λsT

Che, sostituito nella sx + d = 0 fornisce:

−λssT + d = 0

da cui:

λ =d

ssT

ed, infine:

x = − d

ssT sT

Questo risultato puo e deve essere esteso al caso in cui non si abbia una solarisposta r, ma un vettore di I componenti integrali (in numero inferiore alleN componenti della libreria). Cio che ne risulta e assolutamente identico al

caso precedente, ove al posto del vettore s e del suo trasposto comparirannola matrice S e trasposta.

Bisogna tuttavia notare che le considerazioni effettuate sino ad ora sonorelative a dati privi di incertezze. Questo non e ovviamente il caso di unasituazione reale, ed e opportuno dunque estendere il calcolo al caso piurealistico in cui i dati presi in considerazione sono affetti da incertezze.

Partiamo da alcune considerazioni teoriche. Ci aspetteremo che, tra ivari paramtri contenuti nella libreria che vogliamo aggiornare, ve ne sarannodi piu e meno precisi, ovvero alcuni valori avranno dati di incertezza piuampi di altri. In quest’ottica appare chiaro che, al fine di un aggiustamento,

113



cercheremo di concentrare la nostra opera sui dati piu incerti, che sappiamo

essere da un lato piu “bisognosi” e dall’altro piu facilmente responsabilidell’errore.

Per questo cio che andremo ad utilizzare non sara il dato in se, ma il suorapporto con la sua stessa deviazione standard. In questo modo abbiamo daun lato adimensionalizzato i parametri in ingresso, e dall’altro siamo sicuridi aver tenuto in conto anche della incertezza su di essi. Possiamo dunquedefinire subito:

ξ1 =x1

σ1ξ2 =

x2

σ2· · ·

Da cui risulta che, in forma matriciale, x = Σξ

r( p) = r( p + x) = r( p + Σξ)

Risolvendo il problema, ed accorgendosi che la matrice Σ2 non e altro chela matrice di sensibilita C, otteniamo:

x = −CS T (SC S T )−1d

Finora si e lavorato imponendo l’esatta uguaglianza tra il risultato sper-imentale e la risposta ottenuta tramite la libreria aggiornata. Questa im-posizione e in verita poco realistica, in quanto le incertezze di calcolo miimpediranno generalmente di ottenere una eguaglianza esatta. Sara dunquenecessario supporre tali valori come differenti e cercare successivamente diminimizzare la loro differenza.

r( p) == r

Ovvero che il risultato numerico ottenuto tramite l’utilizzo della libreria ag-giornata (e supposto dunque “esatto), definito con r’, e diverso dal risultatosperimentale, definito con r. Se a questo punto riprendiamo l’equazione dipartenza:

r( p) = r( p) + S ( p − p)

e sottraiamo membro a membro il valore del risultato sperimentale:

r( p) − r = r( p) − r + S ( p − p)

Otteniamo, definiendo y = r( p) − r si ottiene:

y = Sx + d

Andiamo ora a fare come nel caso precedente. Essendovi incertezza anchesu r, dovro definire un nuovo vettore che tenga conto del fatto che le variabiliintegrali di r soggette ad incertezza maggiore dovranno di fatto contare dimeno. Ecco dunque che scrivo y = Σrη, da cui, ricorrendo ancora una voltaai moltiplicatori di Lagrange:

R = ξT ξ + ηT η + 2λT (S Σ pξ − Σrη)

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Ove ho quindi imposto la condizione di minimizzare non solo il valore di

( p − p) ma anche quello di (r( p) − r. Si arriva tramite i passaggi visti inprecedenza a scrivere che4:

x = −C pS T (C r + SC pS T )−1d y = C r(C r + SC pS T )−1d

Vediamo pero ora di vedere la cosa da un punto di vista piu formale. Def-inite delle distribuzioni gaussiane per p ed r (entrambi sono infatti soggettiad incertezza, a differenza di p’ che e la libreria ”vera“ ed r’ che e il cor-rispondente risposta ”esatta“), potremo scrivere la densita di probabilitaa due variabili per p ed r, supponendo che entrambe siano delle gaussianecentrate sui valori ”esatti” p’ ed r’ :

f ( p, r) ∼ exp−12

[( p − p)T C −1 p ( p − p)] + [(r − r)T C −1

r (r − r)]

Il problema e legato alla determinazione di p’, libreria teoricamente esattae praticamente incognita. Per procedere definisco x = p − p e y = r − r ,da cui l’esponente dell’esponenziale diventa:

Q = xT C −1 p x + ytC −1

r y

Tale valore, per la risoluzione del problema, dovra essere minimizzato. Uti-lizzeremo ancora una volta i moltiplicatori di Lagrange, definendo cosı unnuovo problema Q’

Q = xT C −1 p x + ytC −1

r y + 2λT (Sx − y)

Cerchero il minimo per x ed y, derivando lungo entrambe le direzioni, il chemi fornisce i valori:

∂Q

∂x= 2C −1

p x + 2S T λ → x = −C pS T λ∂Q

∂y= 2C −1

r y − λ → y = −C rλ

Essendo d = y − Sx ottengo che:

d = C rλ + SC pS

T

λ

In questa espressione l’unico elemento che non conosco e λ. Esplicitandol’equazione per λ e sostituendo nel valore di ottimo trovato per x ottengo

x = −C pS T (C r + SC pS T )−1d

4Si noti la differenza tra C r e C r. Il primo rappresenta la matrice di covarianza dellarisposta numerica, ottenibile di conseguenza come funzione della matrice di covarianzadella libreria C p; il secondo rappresenta invece la matrice di covarianza della misurazionesperimentale, che nulla ha a che vedere, a priori, con le librerie numeriche

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da cui, in definitiva

p = p − C pS T (C r + SC pS T )−1d

Ecco dunque trovata un’espressione per la variazione che dovro dare allevariabili p in funzione del confronto tra i dati sperimentali e i calcoli numericisui valori integrali. Questo metodo richiede l’inversione di una matrice, masi vede come le dimensioni di tal matrice siano di ordine I, quindi moltoridotto rispetto alle dimensioni N del vettore p.

La base di tale teoria e la linearita delle perturbazioni, o meglio lapossibilita di linearizzarle senza troppi sconvolgimenti.

A.4 Teoria delle perturbazioni

Ravetto parte da un problema agli autovalori, tanto per fare le cose semplici.Prendiamo cio che dicono le dispense, e partiamo da un banale problemadel tipo:

Hψ = S

ove supporremo, per dare un senso pratico ai conti, che H sia l’operatoredell’equazione del trasporto neutronico, ψ sia il flusso neutronico stesso eS sia una generica sorgente. Definiamo inoltre la variabile sperimentale r(response) che dipendera dal flusso neutronico e che e di fatto utilizzata permisurarlo. Sara dunque:

r = Dψ

Supponiamo ora che vi siano delle variazioni nell’operatore H che porterannoinevitabilmente ad una diversita nella soluzione. Dunque avremo che:

(H 0 + δH )(ψ0 + δψ) = S

che diventa, essendo S = H 0ψ0.

H 0δψ = −δH ψ0

Ove il pedice 0 indica l’operatore non perturbato. La perturbazione sul

flusso generera anche una perturbazione nella risposta, data da:

δr = r − r0 =

= (Dψ) − D(ψ0) =

= (Dδψ)

Il punto risiede ora nella valutazione del termine δψ. Per farlo ricorriamo alproblema aggiunto, definito come tale per cui

(g,Af ) = (f, AT g)

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ove g ed f sono due generiche funzioni.

Dunque se Hψ = 0 e l’equazione per il trasporto in forma omogenea,allora H T ψ∗ = 0 e l’equazione aggiunta, ove la sua soluzione sara il flussoaggiunto.

A questo punto posso supporre di risolvere anche il problema aggiunto,per il quale devo ancora imporre una sorgente, essendo infatti stato definitofino ad ora in termini omogenei. Supporro dunque che la mia ψ∗ sia soluzionedel problema aggiunto H T ψ∗ = D. Potro cosı andarlo a sostituire ottenendo:

δr = δψD = δψH T ψ∗

che, sfruttando la definizione di operatore aggiunto, diventa:

δr = ψ∗Hδψ

Ricordando quanto scritto in precedenza posso infine scrivere:

δr = −ψ∗δH ψ0 −ψ∗0δH ψ0

Da cui ineffetti posso trarre il valore cercato di δr senza passare per larisoluzione di problemi perturbati ma soltanto utilizzando le soluzioni nonperturbate del problema diretto e del problema aggiunto.

Lo stesso puo essere applicato ad un generico problema agli autovaloriA x = k B x. In questo caso andr o a risolvere il problema:

(A + δA)(x + δx) = (k + δk)(B + δB)(x + δx)

Lo scopo della mia ricerca sarebbe quello di ottenere il valore per δk senzapassare per (x + δx), ovvero senza essere costretto a risolvere il problemaperturbato.

Se facciamo il prodotto di tutti i termini, tralasciando gli infinitesimi diordine superiore al primo, otterremo:

Ax + Aδx + δAx = kBx + kBδx + kδBx + δkBx

Ricordando che il problema originario recita A x = k B x, posso scrivere:

Aδx + δAx = kBδx + kδBx + δkBx

Definisco ora ξ operatore aggiunto, definito in modo tale che, datef e g due generiche funzioni, sara:

< g,ξf >=< ξT g,f >

Vado dunque a risolvere il problema aggiunto:

AT x∗ = kBT x∗

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ove k rimane tale in quanto risulta proprieta degli operatori aggiunti quella

di mantenere gli autovalori degli operatori originari.A questo punto moltiplichiamo tutta l’equazione scalarmente per la soluzione

del problema agginto x∗, ottenendo cosı:

x∗, Aδx + x∗, δAx = kx∗, Bδx + kx∗, δBx + δkx∗.Bx

Sfruttando le proprieta degli operatori aggiunti ottengo che il primo terminea destra dell’uguale ed il primo a sinistra diventano:

x∗, Aδx = AT x∗, δx e kx∗, Bδx = kBT x∗, δx

Che sommati tra loro danno contributo nullo in quanto rappresentano l’e-

qauzione dell’operatore aggiunto:

AT x∗ − kx∗BT x∗, δx = 0

Ci siamo cosı liberati della perturbazione della soluzione δx, e possiamoscrivere che:

δk =x∗, δAx − kψ∗, δBx

x∗, Bxove ancora una volta e necessario utilizzare solo le perturbazioni note e lesoluzioni del problema di partenza e del suo aggiunto.

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Metodi Numerici v2.2

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