Apostila matematica basica

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    01-Jul-2015
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  • 1. Matemtica Bsica agosto de 10

2. ndicePgina1. Fraes1.1. Fraes Equivalentes4 1.2. Adio e Subtrao de Fraes 4 1.3. Multiplicao de Fraes5 1.4. Diviso de Fraes62. Reviso de Potncia2.1. Potncia7 2.2. Propriedades da Potncia7 2.3. Potncia de Expoente Inteiro Negativo 7 2.4. Raz N-sima Aritmtica 8 2.5. Propriedades da Raz N-sima8 2.6. Potncia de Expoente Racional 9 2.7. Propriedades de Expoente Racional 93. Razo104. Proporo115. Porcentagem136. Operaes Comerciais 177. Funo Linear7.1. Zero ou raiz da funo 19 7.2. Grfico19 7.3. Crescimento e Decrescimento19 7.4. Estudo do Sinal208. Funo Quadrtica239. Funo Exponencial9.1. Definio24 9.2. Propriedades 2410. Logaritmos10.1.Definio25 10.2.Condio de existncia dos Logaritmos25 2Matemtica Bsica Gracioli 3. 10.3.Conseqncias da definio26 10.4.Propriedades Operacionais dos Logaritmos2611. Sucesso ou Seqncia11.1.Definio 27 11.2.Determinao de uma seqncia 2712. Progresso Aritmtica12.1.Definio 28 12.2.Representao matemtica de uma P. A. 28 12.3.Frmula Geral da P. A.28 12.4.Frmula da Soma da P.A. Finita2813. Progresso Geomtrica13.1.Definio 30 13.2.Representao matemtica de uma P. G. 30 13.3.Frmula Geral da P.G. 30 13.4.Formula da Soma da P.G. Finita3114. Matrizes14.1.Definio 32 14.2.Representao Algbrica 32 14.3.Matriz Quadrada 33 14.4.Matriz Unidade ou Identidade33 14.5.Matriz Transposta 34 14.6.Operao com Matrizes 14.6.1. Adio e Subtrao3414.6.2. Multiplicao 3414.7.Matriz Oposta 35 14.8.Propriedades35 14.9.Matriz Inversa36 14.10. Determinantes 14.10.1.Determinante de uma matriz quadrada de 2 Ordem 3614.10.2.Determinante de uma matriz quadrada de 3 Ordem 37 3 Matemtica Bsica Gracioli 4. 1. Fraes a O smbolo significa a : b, sendo a e b nmeros naturais e b 0. b Chamamos: a : numerador b : denominador a a frao b Exemplo:2frao prpria onde o deno min ador maior que o numerador. 5 8frao imprpria onde o deno min ador menor ou igual que o numerador. 3 12frao aparente : onde o nmerador multiplo do deno min ador.61.1 Fraes Equivalentes So fraes que representam a mesma parte do todo. 1 2 4 22 1 Exemplo : = =so equivalentes, pois simplificando= . Assim2 4 842 2 sendo, dividir ou multiplicar o numerador e o denominador simultaneamente no altera a frao. Quando encontramos um fator comum que podemos dividir ao mesmo tempo numerador e denominador ento reduziremos a frao e damos o nome de Simplificao de Frao.1.2 Adio e Subtrao de Fraes Quando os denominadores so iguais, conserva-se o denominador e soma- se os numeradores. No caso da subtrao faz-se normalmente respeitando claro, o sinal do maior valor do numerador. Quando os denominadores forem diferentes, retira-se o m.m.c entre os denominadores e divide-se o m.m.c. por cada antigo denominador e multiplica-se pelo seu numerador. As regras dos sinais da adio ou subtrao continuam valendoExemplos: 4Matemtica Bsica Gracioli 5. 1 6 7 1)+ =2 2 21 6 5 2) =2 2 21 3 5.1 + 2.3 5 + 6 11 3)+ = = =2 5 10 1010Exerccios 1 4 4 1)+ =3 5 32 4 2) =3 93 4 8 1 3) + =4 3 2 22 1 4) =6 33 4 5) 4+ =7 74 3 5 6) 9 + =5 3 31.3 Multiplicao de Fraes A multiplicao dever ser feita numerador pelo numerador(es) e denominador por denominador (es). O sinal segue as regras da matemtica para a multiplicao.Exemplos:1 4 1 4 4 22 1) == 2 =2 5 2 5 105 2 4 2 ( 4) 8 2 4 2) == 2 = 5 6 5 6 3015 3 5 15 3) == 1 5 3 15 3 8 2.(3).8 16 4) 2 == 5 3 5.( 3) 55 Matemtica Bsica Gracioli 6. Exerccios: 1 2 1) =4 5 4 1 2) = 15 2 2 3 6 2 5 3) = 9 5 4 3 23 6 4)=4 31.4 Diviso de Fraes Para dividirmos frao por frao, devemos conservar a primeira, inverter a segunda e ento aplicar a regra da multiplicao.Exemplos: 11 5 5 1) 2 = =3 2 3 652 7 2 4 8 2) = = 5 4 5 7 353 3 3 7 7 3) = =5 7 5 35Exerccios: 1 5 1) = 4 5 4 1 2) = 15 2 2 2 6 1 3) =8 3 4 33 5 4)=6 3 6Matemtica Bsica Gracioli 7. 2. Reviso de Potncia2.1 PotnciaDevemos multiplicarmos a base por ela mesma tantas vezes quanto for o expoente, ser representada por a b , onde a a base e b o expoente. Vejamos alguns exemplos:1) 2.2.2.2 = 24 = 16 2) (-2)4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 3) (-2)3 = (-2). (-2). (-2) = -82.2 Propriedades da Potncia 1) a m . a n = a m + n 2) a m : a n = a m n ( ) 3) a m n = a m. n 4) (a . b . c ) = a m .b m .c m mnaan 5) = n , b 0bbObservaes: a0 =1 ex. : 1000 0 = 1 (5) 0 = 1a1 = aex. : 10001 = 1000(5) 1 = 5 2.3 Potencia de Expoente Inteiro Negativo1 a m =am Exemplo :1 1 2 2 = =22 4 7Matemtica Bsica Gracioli 8. Exerccios 1) 31 = 2) 3 2 = 3) (2) 2 =3 1 4) = 4 21 5) 822 6) 5 42 7) 3 2.4 Raz N-sima Aritmtica Dados um nmero real no negativo a e um nmero natural n, n 1, chama-se raiz ensima aritmtica de a o nmero real e no negativo b tal que bn = a. nO smbolo a , chamado radical, indica a raiz ensima aritmtica de a. Nele, a chamado radicando, e n o ndice. na = b b 0 e bn = a Exemplos:9 = 3, pois 32 = 90 = 0,pois 0 2 = 0 3 8=2 pois 23 = 8 4 625 = 5pois 54 = 6252.5 Propriedades da Raz N-simaSendo a e b reais no negativos, m inteiros e n e p naturais no nulos, valem as seguintes propriedades: 8Matemtica Bsica Gracioli 9. am =n. p 1) n a m. p 2) n a .b = n a .n ba na 3) n=(b 0)b nb 4) ( a)nm= n am a =p nn. p 5) a2.6 Potncia de Expoente Racional Dados um nmero real a (positivo), um nmero inteiro p e um nmero natural q ( q 1), chamamos de potncia de base a e expoente p/q a raz q-sima aritmtica de ap.p =q q pa a 2.7 Propriedades de Expoente RacionalAs propriedades so as mesmas da potncia, s que devem ser observadas as regras de operaes bsicas com fraes, pois aqui nossos expoentes so fracionrios. 9Matemtica Bsica Gracioli 10. 3. Razo a A razo entre a e b o quociente entre esses dois nmeros. A razo ou b a : b onde a representa o primeiro termo ou antecedente e b representa o segundo termo ou o conseqente.Exemplos:1) Thiago tem 10 anos de idade e Rodrigo tem 14 anos de idade. A razo entre as 10 5 idades de Thiago e Rodrigo so : = 14 7252e 3 5 = 2 10 = 2 2 = 4 2) A razo entre5 1035 53 1 3 3 10 Exerccios:1) Numa razo igual a 2/5 o antecedente 8. Determine o seu conseqente?2) Num jogo de basquete, Andr fez 60 arremessos obtendo 50 pontos e Paulo, em 30 arremessos obteve 20 pontos. Quem tem a maior razo de acertos?3) Beatriz foi de So Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustvel. Qual a razo entre a distncia e o combustvel consumido? O que significa essa razo?4) Moacir fez o percurso Rio-So Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razo entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razo?5) O estado do Cear no ltimo censo teve uma populao avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua rea de 145.694 km2. Determine a razo entre o nmero de habitantes e a rea desse estado. O que significa essa razo? 10 Matemtica Bsica Gracioli 11. 4. Proporo a igualdade entre duas razes.a c=ou(a:b= c:d ) b dl-se : a est para b, assim como c est para d . a e d so os extremos e b e c so os meiosa : b = c: d MeiosExtremosPropriedade Fundamental: O produto dos meios igual ao produto dos extremos.Exemplo:A razo entre dois nmeros 2/3 e a sua soma 35. Calcule esses nmeros:x 2 =(1) y 3 x + y = 35 ( 2)35 y 2 Isolando-se x temos : x = 35 y (3), substituindo= aplicando ay3 propriedade fundamental temos : 105 3y = 2y ento isolando y temos : 105 = 2y + 3y 105 = 5y y = 105/5 , portanto y = 21, substitui-se em 3 temos x = 35 - 21 x =14Exerccios:1) A idade de um filho est para dois assim como a idade de seu pai est para 10. Determine essas idades, sabendo-se que a soma das idades 54?3 x +1 2) Calcular o valor de x na proporo : =5 20 3) O produto de dois nmeros (positivos) 4800 e a razo entre eles 3/4. Calcule os nmeros. 4) Uma vara de 12 cm fixada verticalmente no solo produz uma sombra de 15 cm. Que comprimento deveria ter a vara para projetar uma sombra de 45 cm.? 5) A idade de um pai e a de seu filho esto na razo de 3/1. Qual a idade de cada um, sabendo que a diferena entre elas de 24 anos? 11Matemtica Bsica Gracioli 12. 6) Um pai tem 36 anos e a sua idade 4/5 da soma das idades de seus dois filhos. Quais as idades dos filhos, sabendo-se que elas esto entre si como 4 est para 5?7) Calculex ya bc = == a) 4 8b) 7 14 215 x + 3 y = 33 2a b + 2c = 128) Calcular o valor de x nas seguintes propores: x 9 a) = 4 123x + 2 16 b) =2x 1 9x 2 9) Calcular o valor de x e y na proporo y = 5 sabendo que x + y = 42. x 11 10) Calcular o valor de x e y na proporo= x y = 96. y 3 sabendo que 12 Matemtica Bsica Gracioli 13. 5. Porcentagem A razo cujo denominador 100 recebe o nome de razo centesimal. So3027,9 exemplos de razes centesimais:ou , sendo outra forma de 100100 representar: 30% ou 27,9%.Exemplos: 1) Em minha classe, 3/5 dos alunos so meninos. Qual a percentagem de meninos? 3 x 3.100 = x= = 60 60% ou 0,6 5 100 5 ou1 100x = 100 . 3/5 x = 60% ou 0,6 3/5x2) Se 25% de uma certa quantidade so R$ 150, 00, qual o valor de dessa quantia?25 150100.150 = x= = 600 R$ 600,00 100 x2525% R$ 150,00R$ 150,00 . 100% 100%x R$x== 600 25% 3) Num lote de 50 lmpadas, 13 apresentaram defeitos; a razo entre o nmero de lmpadas defeituosas e o total de lmpadas dada por:13 26 == 26% a taxa percentual de lmpadas defeituosas 50 1004) Outro modo de representar a taxa de 4% = 4/100 obtido simplesmente, efetuando a diviso de 4 por 100 = 0,045) 37% = 0,37 80% = 0,8 14,5% = 0,145 0,6% = 0,006100% = 16) De um exame de habilitao para motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovao foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados? 13Matemtica Bsica Gracioli 14. 100% 380 candidatos15% reprovados x candidatos 380 candidatos . 15% 5700 x= = = 57 candidatos 100% 100Total de Aprovados = 380 - 57 = 323 candidatos 7) A Classe de Virginia tem 40 alunos, 15% dos quais so economistas. Quantos economistas tm na sala?x = 40.15% = 600 cortam se dois zeros = 6 economistas ou 40 15 x== 6 economistas1008) Os 6% de alunos estrangeiros de uma escola somam 36. Quantos alunos tm nessa