Apostila de Matematica Basica Uem 2011

MATEMÁTICA

FÁCIL

Prof° Me. Valdinei Cezar Cardoso

Professor Valdinei Cardoso ([email protected])

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Sumário

Operações com números inteiros........................................................................... 02

Divisores de um número........................................................................................ 07

Máximo divisor comum......................................................................................... 09

Mínimo múltiplo comum .......................................................................................10

Operações com frações ..........................................................................................10

Potenciação e radiciação ........................................................................................11

Expressões numéricas ............................................................................................16

Sistemas de medidas ...............................................................................................19

Médias ....................................................................................................................29

Regra de três simples e composta ..........................................................................32

Perímetros, áreas e volumes ...................................................................................46

Função do primeiro grau ........................................................................................51

Relações métricas no triângulo retângulo ..............................................................53

Comprimento da circunferência em radianos ........................................................55

Trigonometria em um triângulo qualquer .............................................................63

Porcentagem ..........................................................................................................65

Juros simples e compostos .....................................................................................64

Funções do primeiro grau e representação gráfica ................................................66

Coleta de dados, interpretação de gráficos e tabelas e o uso de MS-Excel ...........77

Operações com números inteiros

A multiplicação de números inteiros não é muito diferente da multiplicação que estamos acostumados a fazer. A diferença é que agora teremos que utilizar algumas regras no “jogo dos sinais”.


3

Vejamos um exemplo:

Catarino e Fauno estavam sem dinheiro, mas cada um ganhou R$ 50,00 por um dia de trabalho e mais R$ 10,00 para o almoço. Catarino guardou a quantia ganha. Fauno resolveu comprar uma bicicleta usada e, como precisava de mais dinheiro, pediu R$ 50,00 emprestados a seu amigo Catarino. A bicicleta custou exatamente R$ 100. Qual a situação financeira atual de Fauno?

Foto: http://www.mundohitech.com/wp-content/uploads/2008/01/lme.jpg

Os números negativos são também usados em cálculos de contabilidade, que são necessários no comércio, na indústria e nos bancos. Nesses cálculos os números negativos indicam gastos, despesas ou dívidas e os números positivos indicam recebimentos ou receitas. Somando uns a outros, teremos o saldo, que pode ser negativo, positivo ou nulo. Quando é nulo, as despesas e receitas se compensam.

� Produto de dois números inteiros com sinais diferentes. Quando fazemos a multiplicação 4 . 6 é o mesmo que 6+6+6+6. Então para multiplicarmos dois números inteiros com sinais diferentes iremos utilizar a mesma idéia.

Exemplos:

a) (+5) . (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = Escrevendo uma adição de parcelas iguais. -2 -2 -2 -2 -2 = - 10 Simplificando a escrita e calculando o resultado. (+5) . (-2) = -10

b)

c)

O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais diferentes é um número inteiro de valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores.


4

� Produto de dois números inteiros com sinais iguais.

Nesse caso a duas possibilidades: dos dois fatores serem positivos e dos dois fatores serem negativos. O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores.

A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos, o sinal fica conforme a regra:

A divisão dos números inteiros também segue a mesma idéia quanto aos sinais desses números:

Problemas e aplicações

01. O dia de Pedro:

� 7 h. É hora de levantar. Pedro lavou o rosto e escovou os dentes. Ele adora calcular, o tempo todo. Veja as expressões que calculou logo cedo. Calcule-as você também:

a) 2 – (-1 – 5 + 8) + (7 – 3) – 4 b) -81 + 14 – (-52 + 31 + 18) + (103 – 50)

� 7 h 30 min. Pedro tomou café, pois sabe que é importante alimentar-se bem pela manhã. Depois, calculou as expressões abaixo. Repita as operações:

c) 45 + [-15 – (30 – 18) + 10] d) -16 – [4 + (8 – 1) – (14 – 5)] + 1

� 8 h. Pedro calculou mais duas expressões, depois de cuidar do jardim: e) 23 – (-18 + 3) + [9 – (20 – 7) + 12] f) [4 – (1 – 5) + 3] – [-8 + (2 – 7) + 10]

� 10 h. Depois de brincar um pouquinho, Pedro calculou:

g) 13 + 8 – [1 – (-15 + 3 – 12) + 8] – (12 – 8) h) -10 – {8 – [6 – (4 – 2)]}

� 11 h. É hora do banho. Pedro terminou a lição, calculando:


5

i) 36 – {14 + [-57 – (-33 – 49 + 50)]} j) 18 – (-8 + 31) + {-7 – [-4 + (8 – 1) – (16 – 3 + 7) + 2] – 4}

• Resolva todas as expressões e responda a pergunta.

� A que horas Pedro calculou a expressão que dá o resultado maior? E o menor?

02. Em janeiro, uma empresa teve um prejuízo de 5 200 reais, mas, em fevereiro, recuperou-se e teve

um lucro de 12 560 reais. a) Escolha, usando números inteiros, uma expressão que represente a situação da empresa ao final

de fevereiro. b) Qual foi o lucro dessa empresa nesse bimestre? 03. Em relação ao nível do mar, a altitude de um avião é +2 500 metros e a de um submarino é -400

metros. Qual é a diferença entre as atitudes do avião e do submarino? 04. Um avião partiu de um aeroporto situado 600 metros acima do nível do mar, com te bom e

temperatura de 28 °C. Ao atingir a altitude máxima, de 3 300 metros acima do nível do mar, o piloto avisou que a temperatura externa era de -40 °C.

Da decolagem até o momento em que foi atingida a altitude máxima, calcule quanto variou: a) a altitude do avião; b) a temperatura externa. 05. Em um jogo de perguntas e respostas cada participante ganha 3 pontos por acerto, perde 2 pontos

por erro e perde 1 ponto se não responder. Veja o desempenho dos cinco participantes em cada jogo com 20 perguntas para cada um. Christian: 9 acertos, 8 erros e 3 sem responder. Ana Clara: 6 acertos, 5 erros e 9 sem responder. Gustavo: 7 acertos, 8 erros e 5 sem responder. Larissa: 8 acertos, 3 erros e 9 sem responder. João Pedro: 7 acertos, 10 erros e 3 sem responder. Determine a pontuação de cada um e escreva a classificação final de acordo com a ordem decrescente de pontos. 06. As expressões numéricas, a seguir, representam os números inteiros A e B A �� 1 – [4 + (4 – 2 – 5) – (-7 + 3)] B �� 2 – [7 – (-1 – 3 + 6) – 8] Determine o valor de:


6

a) A + B b) A – B c) B – A 07. Sejam os números a, b e c, representados pelas expressões: a = -3 –[1 –(5 + 2) + 4] b = 48 + {52 – [14 + (-17 + 82)] – 18} c = -20 – [4 + 3 – (12 – 19) – (35 – 15) + 2] + 16 Represente os números a, b e c na reta numérica inteira. 08. Coloque os números inteiros a seguir em ordem crescente na reta indicada abaixo, utilize sua

régua, utilize meio centímetro para indicar a distância de um número inteiro até outro: a) 3;4;10;1;6;1;0;3;2;4 −−−−−− 09. Diga se é verdadeiro (V) ou falso (F) cada igualdade, justificando sua resposta com os

cálculos:

a) ( ) –52 = (-5)2

b) ( ) (-5)2 = 52

c) ( ) –23 = (-2)3

10. O gráfico mostra os lucros de um supermercado no primeiro semestre de 2006. Você nota que, em alguns meses, ocorreram prejuízos. Podemos considerar que os prejuízos como lucros negativos.


7

a) Em que mês o lucro foi de –30 milhões de reais? b) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro?

11. Zé da Feira, tinha saldo negativo no banco: - 500 reais. Mesmo assim, deu um cheque de

200 reais. Efetue os cálculos para descobrir seu novo saldo.

Divisores de um número

� Determinação do número de divisores de um número:

o Decompomos o número em um produto de fatores primos. o Somamos 1 a cada expoente dos fatores primos e multiplicamos os

resultados. Exemplos:

1. Quantos são os divisores do número 120? 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1

120 = 23.3.5 = (3+1).(1+1).(1+1) = 4.2.2 = 16 divisores 2. Quantos são os divisores dos números 22.3.53.7?

(2+1).(1+1).(3+1).(1+1) = 3.2.4.2 = 48 divisores.

� Determinação dos divisores de um número. o Decompomos o número dado em um produto de fatores primos. o Colocamos um traço, à direita dos fatores primos e logo acima escrevemos o número

1, que é divisor de todos os números. o Multiplicamos os fatores primos pelos números que estão à direita do traço e acima

deles. Exemplos:

1. Quais são os divisores do número 120?

120 2 2 60 2 4 30 2 8 15 3 3, 6, 12 , 24 5 5 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120 1 1


8

2. Quais são os divisores do número 2.32.5?

1 2 2 3 3, 6 3 9, 18 5 5, 10, 15, 30, 45, 90

Exercícios:

1. Quais são os divisores do número 180? 2. Quais são os divisores do número 22.3.52?

3. Quantos são os divisores comuns dos números 48 e 60? 4. Quais são os divisores comuns dos números 54 e 90?

Máximo Divisor Comum (M.D.C.) O M.D.C. de dois ou mais números é o maior número possível que os divide exatamente.

1° Processo: Decomposição em fatores primos.

o É o produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes. Exemplos:

1) Achar o M.D.C. entre 90, 120. 90 = 2.32.5 120 = 23.3.5 M.D.C. = 2.3.5 = 30

2° Processo: Divisões sucessivas.

o Dividimos o maior número pelo menor. Depois o menor pelo resto encontrado, em seguida este resto pelo novo resto e assim, sucessivamente, até encontrarmos reto zero. O último divisor será o M.D.C.

M.D.C. 12

Obs: No caso de vários números, achamos o M.D.C. dos dois menores. Depois achamos o M.D.C. desse resultado com o terceiro número e assim, sucessivamente.

Exercícios 1. Achar o M.D.C. entre 20, 36 88.

120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1

90 2 45 3 15 3 5 5 1

Quociente 1 1 4 108 60 48 12 48 12 0 Resto


9

2. Quais os dois menores números pelos quais devem ser divididos os números 144 e 162 para que

os quocientes sejam iguais?

Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) O M.M.C. de dois números é o menor número possível divisível por esses números. 1° Processo: Quando os números já estiverem decompostos.

o É igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns, elevamos aos maiores expoentes.

Exemplo:

1. Achar o M.M.C. entre 22.3.5, 2.32.7 e 2.3.5. M.M.C. = 22.32.5.7 = 1260 2° Processo: Quando os números não estiverem decompostos.

o Decompomos simultaneamente todos os números. Exemplo:

1. Achar o M.M.C. entre 30, 45 e 75.

M.M.C. = 2.32.52 = 450

Exercícios 1. Achar o M.M.C. entre 60, 90 e 150. 2. Achar o M.M.C. entre 2.32.5, 23.3.52.7 e 3.5.11.

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Adição e subtração:

o Denominadores iguais: conservamos o denominador e somamos ou subtraímos os numeradores. o Denominadores diferentes: reduzimos ao mesmo denominador utilizando o M.M.C. e

procedemos como anteriormente.

30 45 75 2 15 45 75 3 5 15 25 3 5 5 25 5 1 1 5 5 1 1 1


10

Exemplos: 1. Efetue:

a) 60

14960

5024453065

52

43

21

=+++

=+++

Exercícios

01. Efetue as operações indicadas:

a) 1 1

2 3+ b) 1 1

3 7+ c) 2 1

3 2+ d) 3 1

2 5+ e) 1 1

2 4+ f) 4 1

3 12+ g) 1

34

+

h) 12

3+ i) 2

45

+ j) 8 3

3 2+ l) 5 6

7 7+ m) 2 4

3 9+ n) 5 3

9 2+ o) 4

27

+

p) 1 1 1

3 4 2+ + q) 1 1 1

3 7 7+ + r) 2 3 3

3 2 5+ + s) 1 1 4

2 2 3+ + t) 1 1 9

3 7 2+ + u) 2 1

23 4

+ + v) 5 44

6 3+ +


a) 5 6

7 7− b) 2 4

3 9− c) 5 3

9 2− d) 4

27

− e) 1 1

2 3− f) 1 1

3 7− g) 2 1

3 3−

h) 3 1

2 5− i) 1 1

4 3− j) 4 1

3 12− l) 1

34

− m) 12

3− n) 2

35

− o) 8 5

5 2−

p) 1 1 4

2 2 3− − q) 2 3 3

3 2 5− − r) 2 1

23 4

− − s) 5 44

6 3− − t) 1 1 1

3 4 2− − u) 1 1 1

3 7 7− − v) 1 1 9

3 7 2− −

Multiplicação e divisão:

o Na multiplicação : multiplicamos, respectivamente, os numeradores e os denominadores das frações.

o Na divisão: multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda. Observações: 1. Devemos simplificar as frações entre si antes de multiplicá-las. 2. Pelo mesmo número que dividimos em cima temos que dividir em baixo. 3. Para obter uma fração inversa basta trocar o numerador e o denominador de posição.

Exercícios 01. Efetue as operações indicadas:

a) 1 1

2 3× b) 1 1

3 7× c) 2 1

3 2× d) 3 1

2 5× e) 1 1

2 4× f) 4 1

5 12× g) 1

34

×

h) 16

3× i) 2

45

× j) 8 3

3 2× l) 5 6

7 7× m) 2 4

3 9× n) 5 14

7 15× o) 4

27

×


11

p) 1 1 1

3 4 2× × q) 1 6 7

3 7 2× × r) 2 3 3

3 2 5× × s) 3 7 5

2 4 3× × t) 2 1 9

3 7 5× × u) 2 1

23 4

× × v) 4 44

5 3× ×


a) 1 1

2 3÷ b) 1 6

3 7÷ c) 2 1

3 2÷ d) 3 1

2 5÷ e) 1 1

2 4÷ f) 4 1

3 12÷ g) 1

34

÷

h) 12

3÷ i) 2

45

÷ j) 8 3

3 2÷ l) 5 6

7 7÷ m) 2 4

3 9÷ n) 5 3

9 2÷ o) 4

27

÷

p) 1 1 1

3 4 2

÷ ÷

q) 1 1 1

3 7 7

÷ ÷

r) 2 3 3

3 2 5

÷ ÷

s) 1 1 4

2 2 3

÷ ÷

t) 1 1 1

3 6 2

÷ ÷

u) 2 1

23 4

÷ ÷

v) 5 4

46 3

÷ ÷

Potenciação e radiciação:

Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

Propriedades das Potências:

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 24 ÷ 2 = 24-1 = 23

2) 35 ÷ 32 = 35-2 = 32


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3) 46 ÷ 43 = 46-3 = 43

Temos então: Im ÷ In = Im-n , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.


1) 24 . 2 = 24+1 = 25

2) 35 . 32 = 35+2 = 37

3) 46 . 43 = 46+3 = 49

Temos então: Im . In = Im+n

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.


1) (23)4 = 212 , pois = 23 . 23 . 23 . 23

2) (32)3 = 36 , pois = 32 . 32 . 32

3) (42)5 = 410 , pois = 42 . 42 . 42 . 42 . 42

Temos então: (In)m = Inxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.


1) (b5ya3 )4 = b20y4a12

2) (c2d2e5 )2 = c4d4e10

3) (d3a4 )3 = d9a12

Temos então: (I.T)m = I m x T m


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- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.


1) 2-4 = 1/24 = 1/16

2) 3-3 = 1/33 = 1/27

3) 4-2 = 1/42 = 1/16

Temos então: (I)-m = 1/I m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)4 = a4/b4 = b#0

2) (a2 /b4)3 = a6/b12 = b#0

3) (a3 /b2)3 = a9/b6 = b#0

Temos então: (a/b)m = am/bm b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.


a) 104 = 10000

b) 106 = 1000000

c) 107 = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.


a) 10-4 = 0,0001


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b) 10-6 = 0,000001

c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.102

b) 7000 = 7.1000 = 7.103

c) 10.000 = 1.10000 = 1.104

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10-3

b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-4

c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)2 = 4 / / (-2)4 = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)3 = 27 / / (-3)3 = -27

Observação importante: -22 # (-2) 2 , pois -22 = -4 e (-2) 2 = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.


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Propriedades da radiciação:

Expressões numéricas

Uma expressão numérica é uma seqüência de números associados por operações. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem:

o Potenciações e radiciações, se houver. o Multiplicações e divisões, se houver. o Adições e subtrações

Exemplo:

Em expressões numéricas com sinais de associação ( parênteses, colchetes e chaves) efetuam-se, primeiro as operações dentro dos parênteses, depois as que estão dentro dos colchetes e, por último, as interiores as chaves, respeitando-se ainda, a prioridade das operações. Exemplo: 36 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} = = 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} = = 36 + 2.{25 + [18 – 9]} = = 36 + 2.{25 + 9} = = 36 +2.34 = = 36 + 68 = 104


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Outros exemplos: [(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 = = [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = =[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = = [1.3 + 12] : 5 = = [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3

Exercícios 01. Efetue: a) 11 + 32 + 4.9 – 15 : 3 = Resp: 74 b) 109 – 15.4 + 26 : 13 = Resp: 51 c) 10 + 3502 : 17 – 100 : 25 = Resp: 212 d) 25 + 25 : 25 – 25.1 = Resp: 1

e) ( )=−+ 18:4.22 24

Resp: 18

f) ( )=+ 02 215:15.15:8

Resp: 4

g) (7.6 – 32 : 2) : 13 = Resp: 2

h) ( )[ ] =− )29.(2:3).2:16( 32

Resp: 9

i) ( ) ( )2

325 4:23:12510

+−

Resp: 25

j) 20 – (- 45) : (-3)2 + (-2). (-1)5

Resp: 27

k) ( ) =−−−−+−− 25:5325)1(2 3203

Resp: 0

l) ( ) ( ) =+++−−−+ 207344 2.8320221

Resp: 58

m) ( )

( )=

−+−

−−−

253

2720

32

Resp: 7

n) 32

32

:52

54

.41

+

=

Resp:57

o) =

−

+

−

2

54

1

51

43

21

1

Resp: 3

17

p) (0,5)² : 5 – 2.(0,3.1,2 - 0,72 : 2,4) = Resp: - 0,07


17

q) =−−+ )21

5,0:8,04(:19,041

Resp: 0,35

r) =

−−

+

−−

−

121

31

32

.62

Resp: 17

s) ( )0

214

61

4.21

:21

−+

−

−

=

Resp: 3

t) (- 3,5 + 2.1,45) – ( -1,2 : 5 – 3,5) = Resp: 3,14

Sistemas de medidas1

Medidas de Comprimento:

Sistema Métrico Decimal

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

Metro

A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

Múltiplos Unidade

Fundamental Submúltiplos

quilômetro Hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

1 Fonte:www.somatemática.com.br


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km Hm Dam m dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:

mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):

Ano-luz = 9,5 · 1012 km

O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistema métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé = 30,48 cm Polegada = 2,54 cm Jarda = 91,44 cm Milha terrestre = 1.609 m Milha marítima = 1.852 m

Observe que:

1 pé = 12 polegadas

1 jarda = 3 pés

Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações:

• Transforme 16,584 hm em m.

Km hm dam m dm cm mm

Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 . 10).


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16,584 . 100 = 1.658,4

Ou seja:

16,584 hm = 1.658,4 m

Medidas de capacidade

A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.

A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

1l = 1dm3

Múltiplos e submúltiplos do litro

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Relações

1l = 1dm3

1ml = 1cm3

1kl = 1m3

Leitura das medidas de capacidade

• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal

kl hl Dal l dl cl ml 2, 4 7 8

Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".

Medidas de superfície

Introdução

As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:


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• Qual a área desta sala?

• Qual a área desse apartamento?

• Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina?

• Qual a área dessa quadra de futebol de salão?

• Qual a área pintada dessa parede?

Superfície e área

Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.

Metro Quadrado

A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.

O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.

Múltiplos Unidade


quilômetros quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado

metro quadrado decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

O dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos:

1) Leia a seguinte medida: 12,56m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 12, 56

Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1 78, 30

Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”

3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0, 91 70

Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

Medidas Agrárias


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As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).

Unidade agrária

Hectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalência de valor

100a 1a 0,01a

Lembre-se:

1 ha = 1hm2 1a = 1 dam2 1ca = 1m2

Transformação de unidades

No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:

Observe as seguintes transformações:

• transformar 2,36 m2 em mm2.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).

2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

• transformar 580,2 dam2 em km2.


Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).

580,2 : 10.000 = 0,05802 km2

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)


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Medidas de volume

Introdução

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Unidade


quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico


1.000.000.000m3 1.000.000

m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001

m3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porém, três algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos:

• Leia a seguinte medida: 75,84m3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

• Leia a medida: 0,0064dm3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 0, 006 400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

Transformação de unidades

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.


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Observe a seguinte transformação:

• transformar 2,45 m3 para dm3.


Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.

2,45 x 1.000 = 2.450 dm3

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3) 2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3) 3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3) 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)

Medidas de tempo

Introdução

É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:

Qual a duração dessa partida de futebol?

Qual o tempo dessa viagem?

Qual a duração desse curso?

Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.

A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

Segundo

O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.

As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Múltiplos e Submúltiplos do Segundo


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Quadro de unidades

Múltiplos

minutos hora dia min h d 60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo:

• décimo de segundo

• centésimo de segundo

• milésimo de segundo

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.

Observe:

Outras importantes unidades de medida:

mês (comercial) = 30 dias

ano (comercial) = 360 dias

ano (normal) = 365 dias e 6 horas

ano (bissexto) = 366 dias

semana = 7 dias

quinzena = 15 dias

bimestre = 2 meses

trimestre = 3 meses

quadrimestre = 4 meses

semestre = 6 meses

biênio = 2 anos

lustro ou qüinqüênio = 5 anos

década = 10 anos

século = 100 anos


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milênio = 1.000 anos

Medidas de massa

Introdução

Observe a distinção entre os conceitos de peso e massa:

Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.

Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:

A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.

Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.

Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".

Quilograma

A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.

O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.

Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.

Múltiplos e Submúltiplos do grama

Múltiplos Unidade principal

Submúltiplos

quilograma hectograma Decagrama grama decigrama centigrama miligrama

kg hg Dag G dg cg mg 1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:

1 dag = 10 g

1 g = 10 dg

Exercícios envolvendo os sistemas de medidas


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Exercícios envolvendo medidas de área

1- Quantos metros quadrados contém um quilômetro quadrado ?

2- Quantos metros quadrados contém uma quadra de esportes com 100 m de lado ?

3- Um terreno mede 10 m de frente por 30 m de fundo. Qual sua área ?

4- Um alqueire paulista são 24.200 m2. Uma chácara retangular tem um alqueire e mede 100 m de frente. Quanto ela mede de fundo ?

5- Efetue as seguintes transformações:

a) 5 m² em dm²

b) 12 km² em dam²

c) 13,34 dam² em m²

d) 457 dm² em m²

e) 655 dam² em km²

f) 4,57 m² em dam²

g) 4,44 dm² em mm²

h) 0,054dam² em dm²

i) 3,1416m² em cm²

j) 0,081 mm² em cm²

Exercícios envolvendo massa e volume

1- Quantos miligramas contém 1 kg ? e 1 t ?

2- Quantos gramas contém, 1t ?

3- Qual é a massa de 1 m3 de água ?

4- Qual é a massa de 1 ml de água ?

5- Uma caixa de água mede 50 cm x 50 cm de base e 50 cm de altura. Qual o seu volume? Qual a massa de água que a enche completamente ?

6- Quantos litros de água cabem em um tanque cúbico de 2 m de lado ?

7- Sabendo que 1Kl tem 1000 l, quantos kl tem:

a) 37 l =

b) 3750 l =


27

c) 44185 l =

8- Transforme as medidas, escrevendo-as na tabela abaixo:

a) 0,936 kl em dl

b) 7,8 hl em l

c) 502 ml em l

d) 13 kl em dl

e)1ml em kl

f) 59 cl em dal

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

9- Dê a representação simplificada das seguintes medidas:

a) doze centímetros cúbicos.

b) três metros cúbicos e quinze decímetros cúbicos.

c) seis centímetros cúbicos e doze milímetros cúbicos.

d) quinze hectômetros cúbicos e cem metros cúbicos.

10- Efetue as seguintes transformações:

a) 6m³ em dm³

b) 50 cm³ em mm³

c) 3,632 m³ em mm³

d) 0,95 dm³ em mm³

e) 500 dam³ em m³

f) 8,132 km³ em hm³

Exercícios envolvendo Medidas de Comprimento

1) Complete a tabela fazendo as transformações:

3 km ??? m

12 m ??? dm

4 cm ??? mm


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3,5 m ??? cm

7,21m ??? cm

2) Quanto vale em metros:

a) 3,6 km + 450 m

b) 6,8 hm - 0,34 dam

c) 16 dm + 54,6 cm + 200mm

d) 2,4 km + 82 hm + 12,5 dam

e) 82,5 hm + 6 hm

Exercícios de Medidas de Tempo

a) Uma hora tem quantos segundos?

b) Um dia tem quantos segundos?

c) Uma semana tem quantas horas?

d) Quantos minutos são 3h45min?

e) Uma década tem quantos anos?

f) Quantos minutos 5h05min?

g) Quantos minutos se passaram das 9h50min até as 10h35min?

h) Quantos seguntos tem 35min?

i) Quantos segundos tem 2h53min?

j) Quantos minutos tem 12 horas?

Médias

Média aritmética simples

A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n.

Média Harmônica


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A média harmônica, do ponto de vista matemático, estabelece a média das ações de vários indivíduos, desenvolvidas quando ocorre a colaboração de uma ação com as outras.

Média geométrica

A média geométrica oferece o maior produto possível entre duas medidas dadas. É bastante usada em construções geométricas.

Média aritmética ponderada

Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.

Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.

Definição: A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x1, x2, x3, ..., xn cuja importância relativa ("peso") é respectivamente p1, p2, p3, ..., pn é calculada da seguinte maneira:

p =

Exemplo:

Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve?

p =

Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45.

Cada termo da média terá um peso p.

n

H

xxxx

nX

1...

111

321

++++

=

nnG xxxxX ..... 321=

n

nnH

ppp

xpxpxpX

+++

+++=

......

21

2211


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Para um mesmo conjunto de dados, a média aritmética terá sempre o maior valor, seguida da média geométrica e depois da harmônica.

Exercícios de Médias

1) Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos:

a) 15 ; 48 ; 36

b) 80 ; 71 ; 95 ; 100

c) 59 ; 84 ; 37 ; 62 ; 10

d) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9

e) 18 ; 25 ; 32

f) 91 ; 37 ; 84 ; 62 ; 50

2) João deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a seguir. Calcule a média ponderada de suas notas, sendo que as duas primeiras provas valem 2 pontos e as outras duas valem 3 pontos:

Inglês

1ª prova 6,5

2ª prova 7,8

3ª prova 8,0

4ª prova 7,1

Português

1ª prova 7,5

2ª prova 6,9

3ª prova 7,0

4ª prova 8,2

História

1ª prova 5,4

2ª prova 8,3

3ª prova 7,9

4ª prova 7,0

Matemática

1ª prova 8,5

2ª prova 9,2


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3ª prova 9,6

03. Calcule a média aritmética entre 13 e 15. 04. Calcule a média goemétrica entre 4 e 25.

05. Calcule a média harmômica entre 61

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e

06. Calcule a média aritmética ponderada dos números 5,7 e 11, sendo os pesos respectivamente: 2, 3 e 5.

Regra de Três Simples e Composta

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


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Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?


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Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 X 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.


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2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?


Homens Carrinhos Dias 8 20 5 4 x 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente

proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

Exercícios envolvendo regra de três simples e composta

01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?

02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?

03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?

04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?

06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?


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07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ? 08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ? 09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?

10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?

11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?

12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?

13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?

b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?

c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?

14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ? 16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?


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17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos? 18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico? 19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ? 20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ? 21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ? 22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina? 23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ? 24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ? 25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura? 26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque? 27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ? 28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ). 29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área? 30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?


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31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta? 32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ? 33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ? 34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ? 35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ? 36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda : a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ? b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando? 37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? 38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro? 39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância? 40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta? 41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ? 42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio? 43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?


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44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ? 45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ? 46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ? 47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ? 48 –Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro? 49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ? 50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ? 51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ? 52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço? 53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto? 54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ? 55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ? 56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ? 57 –Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ? 58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?


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59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ? 60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ? 61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia? 62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias? 63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia? 64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?

65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?

66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.

67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?

68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?

69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ? 70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso? 71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?


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72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia? 73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias? 74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ? 75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias? 76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? 77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ? 78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ? 79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ? 80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson. 81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ? 82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ? 83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h. Regra de Três – Questões Objetivas 84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em: a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias 85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa : a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50


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86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será: a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000 87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá: a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km 88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ? a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas 89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ? a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias 90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia? a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias

91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:

a) 2 min b) 2 min e 19 segundos c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos 92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :

a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros

93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ? a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas


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95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ? a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00 c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00 96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado : a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia. c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia. 97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam : a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00. c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00 98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ? a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5 99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão : a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias. 100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em: a) 8 dias b) 9 dias c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas. 101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ? a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos

102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários: a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos d) 5 gatos e) 6 gatos


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102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em : a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias 103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário:

a) triplicar o nº de operários b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de operários d) duplicar o nº de operários e) duplicar o nº de operários e o número de horas trabalhadas por dia

104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?

a) 7h 42 min b) 7h 44 min c) 7h 46 min d) 7h 48 min e) 7h 50 min

105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante: a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias d) 45 dias e) 180 dias 106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ? a) 30 b) 40 c) 45 d) 50


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107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :

a) 2

3

W

K

b) 3

5

K

W

c) 3

4

W

K

d) 4

3

K

W

e) 3

4

K

W

Respostas dos Exercícios de Regra de Três

01) 40 kg 02) 14 sacas 03) 42 litros 04) 60 min 05) 60 minutos = 1 hora 06) 8 máquinas 07) 702 litros 08) 77 caixas 09) 532 km 10) 15 litros 11) 33 h 20 min 12) 6 minutos 13) 9 min / 54 min / 15 dias 14) 14 cm 15) 10 cm 16) 40 m3 17) 5.250 voltas 18) 110 g 19) 18 cm 20) 55 fitas 21) 56.250 litros 22) Nota 8 23) 9 metros 24) 30 m 25) 371 cm ou 3,71 m 26) 7.840 litros 27) 43.925 cm 28) 3.600 g 29) 300 azulejos 30) 40 graus 31) 770 m2 32) 42 m/s 33) 108 km/h 34) 270 recenseadores 35) 1.034 voltas 36) a)84 min b) 1 h 24

min 37) 14 dias 38) 10 dias 39) 4 horas 40) 60 km/h 41) 20 caminhões 42) 41 m 43) 20 metros 44) 40 dias 45) 14 peças 46) 16 pessoas 47) 4 h 15 min 48) 96 horas 49) 25 operários 50) 40 latas 51) 3 minutos 52) 10 caminhões 53) 4 horas 54) 25 m 55) 20 cm 56) 16 dias e 16 horas 57) 320 páginas 58) 420 páginas 59) 80 km/h 60) 75 voltas 61) 2.170 km 62) 2 horas 63) 4 dias 64) 150 kg 65) 50 dias 66) 250 litros 67) 12 operários 68) 15 dias


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69) 16 dias 70) 4 dias 71) 216 caixas 72) 7 kw 73) 24 ovos 74) 5 min 75) 12 máquinas 76) 5 kg 77) 9 horas 78) 1.800 toneladas 79) 18 dias 80) 300 litros 81) 360 famílias 82) 480 colares 83) 5 horas 84) letra d 85) letra b 86) letra c 87) letra d 88) letra b 89) letra c 90) letra b 91) letra c 92) letra d 93) letra c 94) letra c 95) letra b 96) letra a 97) letra a 98) letra d 99) letra c 100) letra a 101) letra c 102) letra a 103) letra e 104) letra d 105) letra d 106) letra d 107) letra e

Perímetros, áreas e volumes2

a) Triângulos

Sendo R o raio da circunferência circunscrita, r o da inscrita e p = o semiperímetro, a área de um triângulo pode ser calculada das seguintes formas:

2 Fonte: www.somatematica.com.br


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b) Retângulo

c) Paralelogramo

d) Trapézio


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e) Losango

f) Quadrado

Exercícios de Geometria Plana

1) Determine a área das seguintes figuras (em cm):

a) b)


48

c) d)

e)

2) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo?

3) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio?

4) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?

5) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:

a) a = 25 e b = 12

b) a = 14 e b = 10

6) Calcule a área de um quadrado de lado a sabendo que o raio da circunferência circunscrita a esse quadrado

mede 22 cm.


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7) Sabendo que o raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular mede 3 cm, calcule a área desse hexágono.

8) Determine a área da região sombreada, sabendo que o raio de cada circunferência mede 2 cm.

9) Calcule a área total e o volume do cilindro circular da figura abaixo, sabendo que o raio da esfera inscrita mede 3 cm.

10) Calcule a área lateral, a área total e o volume de uma pirâmide de base quadrangular cujas medidas dos lados da base e das faces laterais medem 5 cm.


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Função de primeiro grau

Função polinomial do primeiro grau ou simplesmente função de primeiro grau é toda função definida de R em R por f(x) = ax + b, com a e b números reais. O gráfico de uma função de primeiro grau é sempre uma reta.

1. Escreva a lei que define a função de primeiro grau representada no gráfico:

2. Construa o gráfico da função do primeiro grau f(x) = 3x + 1, definida de R em R. Dica: atribua valores inteiros à variável x, por exemplo, de 2 a 2.

O gráfico de uma função pode ser definido por leis diferentes, em diferentes intervalos de R. Lembre-se de que quando uma reta, no plano cartesiano, é:

• paralela ao eixo Ox, a função é constante (f(x) = t); • crescente, o sinal de a é positivo; • decrescente, o sinal de a é negativo.


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3. No gráfico a seguir, pinte de vermelho o trecho referente a f(x) = 4; de azul, o trecho referente a f(x)= 2x+8; e de verde, o trecho referente a f(x)= 2x + 4. Escreva também os respectivos intervalos de x.

Função linear é toda função definida de R em R por f(x) = ax, com a R . A reta que representa seu

gráfico sempre passa pelo ponto (0, 0). É um caso particular da função de primeiro grau. No caso de a = 1, temos f(x) = x, chamada de função identidade. A reta que representa seu gráfico é a bissetriz dos quadrantes ímpares.

4.Desenhe, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções lineares f(x) = 2x, f(x) = 1/2 x e de f(x) = x. Compare os gráficos e escreva suas observações.

Estudo dos sinais de funções f(x) = ax + b

Para fazermos o estudo dos sinais de uma função do primeiro grau, devemos proceder da seguinte forma:

• determinamos a raiz da função (f(x) = 0); • verificamos o sinal de a (se a > 0 a função é crescente, se a < 0 a função é decrescente); • esboçamos um gráfico; • montamos uma tabela indicando os sinais da imagem da função.

5. Considere f(x) = 2x + 1 e g(x) = x +2. Encontre os intervalos de números reais que tornam o produto das funções f e g menor ou igual a zero. Organize na tabela abaixo os sinais de f(x) e de g(x) e depois considere o intervalo em que o produto é menor ou igual a zero.


52

Para determinar o domínio de uma função real que apresenta uma raiz de índice par e que contenha um produto ou quociente de funções do primeiro grau, devemos resolver uma inequação do tipo f(x) . g(x) < 0 ou

< 0, porque a condição de existência de uma raiz de índice par, no conjunto dos reais, é que o radicando seja positivo ou nulo.

8. Dê o domínio da função f(x) = .

Dica: Os valores da raiz devem ser positivos ou nulo, porém o denominador da fração não pode ser nulo.

Relações métricas no triângulo retângulo

Se ABC é um triângulo retângulo em A, traçando a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos os seguintes elementos:

· a é a hipotenusa; · b e c são catetos; · h é a altura relativa à hipotenusa; · m é a projeção de c sobre a hipotenusa; · n é a projeção de b sobre a hipotenusa

1. Observe a figura acima e complete as relações métricas para o triângulo retângulo: a2 = ________________________________________________ b2 = ________________________________________________ c2 = ________________________________________________ h2 = ________________________________________________ a · h = ______________________________________________


53

2. Use as relações métricas no triângulo retângulo para obter a medida dos elementos indicados:

a) b)

c)

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Seja α a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo:

· seno de α é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa; · cosseno deα é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa;

· tangente de α é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a ele.

3. Com base nas informações acima, complete as razões trigonométricas. sen α = __________ cosα = __________ tgα = _________ sen β = __________ cos β = __________ tg β = _________

4. Seja ABC um triângulo retângulo em B. É possível determinar as medidas dos catetos, sabendo que sen Â =

? 5. Complete a tabela para torná-la verdadeira:

30° 45° 60°


54

seno

cosseno

tangente

6. Na figura abaixo, o ponto A é observado sob ângulo de 30º e de 60º. Qual é a distância do ponto A ao ponto B? Dica: Verifique que tipo de triângulo é o ABC.

7. Um carro deve subir uma ladeira de 4 m de altura e percorrer um trecho de aproximadamente 4 m. O inclinômetro do veículo está quebrado e o motorista gostaria de saber qual é o grau de inclinação dessa ladeira. Calcule esse ângulo.

Comprimento da circunferência em radianos

A medida, em radianos, de um arco AB de uma circunferência de raio r é dada por: medida em radianos do

arco AB =

A medida, em radianos, do arco de uma volta é dada por:

rad, ou seja, o arco de uma volta, 360°, corresponde a 2π rad. Portanto, 180º equivale a π rad.


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8. Complete as sentenças de modo a torná-las verdadeiras.

a) Um arco de rad equivale a um arco de ____________________________graus. b) Um arco de 270° equivale a um arco de ____________________________radianos.

Circunferência trigonométrica

Denomina-se circunferência trigonométrica a uma circunferência de raio 1, orientada no sentido anti-horário, à qual associamos um par de eixos de coordenadas cartesianas com o ponto (0; 0) coincidente com o centro O.

9. Preencha os espaços em branco com a medida dos arcos orientados, em graus, que têm origem em A e extremidade indicada em cada quadrante, no sentido anti-horário.


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a) b)

c)

Seno e cosseno na circunferência trigonométrica

Seja α a medida de um arco de extremidade P na circunferência trigonométrica. Então, definimos como seno de α a ordenada do ponto P e como cosseno de a α abscissa do ponto P.

sen α = ordenada de P cos α = abscissa de P


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10. Lembrando que sen 30° = cos 60° = , sen 45° = cos 45° = e sen 60° = cos 30° = , observe as simetrias das extremidades dos ângulos e complete a tabela com os valores pertinentes:

a)

sen 150° = __________cos 150° = _________ sen 210° = __________cos 210° = _________ sen 330° = __________cos 330° = _________

b)

sen 135° = __________cos 135° = __________ sen 225° = __________cos 225° = __________ sen 315° = __________cos 315° = __________

c)

sen 135° = __________cos 135° = __________ sen 225° = __________cos 225° = __________ sen 315° = __________cos 315° = __________


58

11. Demonstre a relação fundamental sen2 x + cos2 x = 1, sendo a a medida de um arco de extremidade P.

12. Usando a relação fundamental, simplifique as expressões:

a)

b)

Tangente na circunferência trigonométrica

Seja P a extremidade de um arco qualquer de medida e seja T o ponto em que a reta que passa por O, centro da circunferência, e por P intercepta o eixo At, tangente à circunferência na origem dos arcos A.

Chama-se tangente de a o número associado ao ponto T no eixo At. Assim, na figura: tg α = AT

13. Observe a circunferência trigonométrica e complete os valores da tangente em cada caso:

a)


59

tg 150° = _____________ tg 210° = _____________ tg 330° = _____________

b)

tg 135° = _____________ tg 225° = _____________ tg 315° = _____________

c)

tg 120° = ____________ tg 240° = ____________ tg 300° = ____________

14. Procure explicar o porquê da não-existência de tangentes de 90° e de 270°. Dica: Identifique a posição relativa entre o eixo das tangentes e a reta que passa pelo centro O da circunferência e por um dos ângulos citados acima.


60

15. O polígono da figura é um octógono regular. Dê a expressão geral dos arcos que têm extremidades:

a) nos pontos A ou C ou E ou G; b) nos pontos B ou D ou F ou H; c) em todos os vértices do polígono.

Adição e subtração de arcos

Podemos determinar valores de seno, cosseno e tangente das somas e diferença entre eles a partir dos valores de seno, cosseno e tangente de cada um por meio das seguintes fórmulas:

sen(a + b) = sena × cosb + senb × cosa sen(a- b) = sena × cosb - senb × cosa cos(a + b) = cosa × cosb - sena × senb cos(a- b) = cosa × cosb + sena × senb

tg(a + b) =

tg(a - b) =

16. Usando as relações acima, calcule: a) sen 75° = sen(30º + 45º)=______________________________________________ b) cos 105°=___________________________________________________________ c) tg 15° = ____________________________________________________________

Função seno

Chama-se função seno a função definida de R em R por: f(x) = sen x A função f(x) = senx é uma função periódica de período igual a 2π .


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Im(f) =[-1; 1]

Função cosseno

Chama-se função cosseno a função definida de R em R por: f(x) = cos x A função f(x) = cos x é uma função periódica de período igual a 2π .

Im(f) = [-1; 1]

17. Desenhe no mesmo plano cartesiano os gráficos solicitados e escreva o conjunto-imagem e o período de cada função: a) f(x) = 2 + cosx b) g(x) = 2cosx c) h(x) = cos2x

Função tangente

Chama-se função tangente a função definida para x < + kπ , k ∈ Z por: f(x) = tg x A função f(x) = tg x é uma função periódica de período igual aπ .

Im(f) = R


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18. Desenhe, no mesmo plano cartesiano, os gráficos solicitados:

a) f(x) = tg b) g(x) = 2 + tgx

19. Escreva uma lei para a função trigonométrica representada no plano cartesiano e determine o período.

a) b)

Trigonometria em um triângulo qualquer

Lei dos senos

Para todo triângulo ABC, sendo R o raio da circunferência circunscrita, vale a relação:

= R

1. No triângulo ABC, determine o comprimento do segmento BC.

Lei dos cossenos

Para todo triângulo ABC, vale a relação: a

2 = b2 + c2- 2bccosA


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2. No paralelogramo desenhado abaixo, obtenha a medida da diagonal maior.

Porcentagem

Chamamos de porcentagem toda razão , na qual b = 100. Essas razões centesimais podem ser representadas pelo símbolo %.

1. Uma loja está oferecendo 8 % de desconto, para pagamento à vista, na compra de um automóvel que custa R$ 14 700,00. Quanto uma pessoa pagará por esse carro à vista? Você pode resolver este problema de dois modos. Veja o início e depois complete para encontrar a resposta.

1º modo: regra de três 2º modo: frações

Preço Porcentagem 92 % de 14 700

14 700 100

x 92

2. Do que recebo, 30 % são para a poupança, 20 % para o aluguel e 35 % para a alimentação, restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário?

3. Sabendo que um produto de R$ 5 000,00 foi vendido com abatimento de R$ 160,00, encontre a taxa porcentual utilizada na operação.

4. Em uma escola, 26 % dos alunos são meninas. Quantos alunos possui a escola, se elas são 182?

5. Um comerciante devia R$ 20 000,00 e pagou R$ 7 400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos?

Juros simples


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Chamamos de juros simples (J) a compensação em dinheiro pelo empréstimo de um capital financeiro (C), considerando-se uma taxa (i), previamente combinada, por um prazo determinado (n), produzida exclusivamente pelo capital inicial.

J = C . i . n

Montante (M) é a soma do capital inicial com o juro do capital produzido no prazo determinado.

M = C + J

6. Emprestei uma certa quantia a 12 % ao ano. Depois de 2 anos e 4 meses, recebi o montante de R$ 3 230,00. Quanto emprestei?

Dica: n = 2 anos e 4 meses = 28 meses = ano

7. Qual é o capital que, à taxa de 18 % a.a, produz R$ 1 485,80 de juros em 2 anos?

8. A que taxa anual um capital de R$ 8 400,00, em 1 mês e 10 dias, renderia R$ 3,00 de juros?

9. Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20 % ao ano?

10. Determine o montante de uma aplicação de R$ 5 000,00, à taxa de 2 % ao mês, durante 2 anos.

11. Qual é o valor de um capital, sabendo-se que foram empregados dele a 24 % ao ano e o restante a 32 % ao ano e que houve um ganho anual de R$ 8 640,00?

12. Um título de R$ 6 000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1 % ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) o valor do desconto comercial; b) o valor descontado. .

13. Um título no valor de R$ 1 800,00 foi descontado por fora 3 meses antes de seu vencimento e ficou reduzido a R$ 1 200,00. Qual foi a taxa mensal de desconto aplicada?

14. Um comerciante vai a um banco e desconta por fora uma nota promissória 85 dias antes de seu vencimento, à taxa de 6 % a.m. Sabendo que o líquido foi de R$ 1 992,00, calcule o valor da promissória (valor nominal).

15. Qual é o prazo para vencimento de um título de R$ 2 500,00 que teve desconto comercial a uma taxa de 6 % a.m., sendo de R$ 1 900,00 o valor descontado?


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Juros compostos

Chamamos de regime de juros compostos aquele em que o juro gerado pela aplicação será a ela incorporado em cada período, passando assim a participar da geração de juros no período seguinte. Para um capital C, aplicado a uma taxa i por período, ocorrendo capitalização no final de cada período, em um prazo de n períodos, teremos o montante calculado pela fórmula: M = C . (1 + i)n

16. Calcule o montante de um capital inicial de R$ 6 000,00, a juros compostos de 5 % a.m., durante 6 meses.

17. Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00, aplicados em regime de juro composto a 5 % ao mês, durante 2 meses.

18. Uma pessoa toma R$ 3 000,00 de empréstimo, a juro de 3 % ao mês, pelo prazo de 10 meses, sendo utilizado o juro composto. Que montante foi devolvido?

Funções do primeiro grau e representação gráfica

Funções do primeiro grau

Objetivo: Introduzir de forma simples e objetiva as noções de função linear e seus casos particulares.

Motivação Consideremos o seguinte problema:

Um motorista de taxi cobra nas suas corridas R$ 7,00 pela bandeirada mais R$ 5,00 por quilômetro rodado. Com base nestas informações determine: a) Uma expressão geral para calcular o preço de todas as corridas deste motorista b) Qual é o preço de uma corrida de 4,5 km Solução:

a)Como a cada quilômetro ele adiciona R$ 5,00 então para uma quantia x de quilômetros o valor de cada quilômetro deverá ser multiplicado por x. Assim uma corrida de x km deverá custar 5x. Mas existe a taxa da bandeirada que também deve ser adicionada ao valor. Desse modo a expressão geral para calcular o preço de uma corrida é P(x) = 5x+7. b) O preço de uma corrida de 4,5 km será P(4,5) = 5 (4.5) + 7; ou seja, R$ 29,50.


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Problemas deste tipo são próprios de aplicações das funções do primeiro grau, que definiremos a seguir.

Definição: Chamamos função de primeiro grau ou função linear a toda função que obedeça a seguinte lei: f(x) = ax + b , onde a e b são números reais.

Exemplos: 1) f(x) = 2x + 5 2) f(x) = 3x - 4

Representação gráfica O gráfico de uma função de primeiro grau no plano cartesiano é sempre uma reta.

As funções de primeiro grau podem receber denominações especiais. Veja a seguir tais denominações:

Função constante Se em f(x) = ax + b fizermos a = 0, teremos f(x) = b. Neste caso a função recebe a denominação de função constante. O gráfico de uma função constante no plano cartesiano é uma reta horizontal; ou seja, paralela ao eixo dos x.

Função identidade Se em f(x) = ax + b fizermos a = 1 e b = 0, teremos f(x) = x. Neste caso a função recebe a denominação de função identidade. O gráfico da função identidade no plano cartesiano é uma reta oblíqua aos dois eixos e faz ângulo de 45 graus com ambos.


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Função afim Se em f(x) = ax + b fizermos b = 0, teremos f(x) = ax. Neste caso a função recebe a denominação de função

afim.

O gráfico de uma função afim é uma reta passando pela origem do sistema cartesiano.

Declividade Chamamos declividade da reta à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo dos x. Na função de primeiro grau, esta tangente tem valor igual ao coeficiente a, que é denominado coeficiente angular da reta. O coeficiente b é chamado de coeficiente linear. A partir do gráfico podemos determinar o valor do coeficiente angular. Basta tomar dois pontos A e B da função; ou da reta. Para o cálculo da declividade ou coeficiente angular podemos usar a expressão abaixo: Cálculo da declividade:

Note que o triângulo ABC destacado da figura é um triângulo retângulo. Assim, temos:


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Sinal da função linear O sinal da função linear ou de primeiro grau, exceto a função constante fica determinado pelo gráfico da função a partir da intersecção com o eixo dos x, conforme as figuras abaixo:

Primeiro caso: o coeficiente angular ou declividade a é positivo; isto é, a > 0. Neste caso, o sinal da função é positivo à direita da raiz e negativo à esquerda.

Segundo caso: o coeficiente angular a ou declividade é negativo; isto é, a < 0

Neste caso, o sinal da função é negativo à direita da raiz e positivo à esquerda.

Problemas: 1) Representar graficamente no plano cartesiano a função f(x) = -3x + 6. 2) Numa certa cidade operam duas empresas de táxis. A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$ 6,00 e por quilômetro rodado R$ 3,00 enquanto que a empresa F cobra apenas por quilômetro rodado R$ 4,00. Pede-se as funções de cada empresa e o gráfico comparativo entre elas. 3) Observando os dados da questão anterior (2) responda a seguinte pergunta: Se tivesse que fazer uma corrida de 8 km e táxis das duas empresas estivessem disponíveis, qual taxi você tomaria de modo a economizar na corrida o da empresa E ou o da empresa F?


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4) Dado o gráfico abaixo, ache a uma expressão analítica para a função.

Problemas complementares:

1. A velocidade dos navios é geralmente medida em uma unidade denominada nó, cujo valor é cerca de 1,8 km/h. Qual a distância que seria percorrida por um navio, desenvolvendo uma velocidade constante de 20 nós, durante 10 horas?

2. Movendo-se com velocidade constante de 15 m/s, um trem, cujo comprimento é 100 m, deve atravessar um túnel de 200 m de comprimento. Em um certo instante, a locomotiva está entrando no túnel. Depois de quanto tempo o trem terá saído completamente desse túnel?

3. Uma rua EF é reta e tem 2,5 km de comprimento. Um carro A, com velocidade constante de módulo 20 m/s, parte da extremidade E indo para a extremidade F, e outro carro B, com velocidade constante de módulo 30 m/s, parte de F indo para E, no mesmo instante. Com relação a esse enunciado, podemos afirmar que os carros A e B se cruzam:

a) 50 s após a partida, num ponto mais próximo da extremidade E.

b) 80 s após a partida, no ponto médio da rua EF.

c) 125 s após a partida, num ponto mais próximo da extremidade E.

d) 100 s após a partida, num ponto mais próximo da extremidade F.

e) 500 s após a partida.

4. O movimento de queda de um corpo, próximo à superfície de um astro qualquer, é uniformemente variado, como acontece na Terra. Um habitante de um planeta X, desejando medir o valor da aceleração da gravidade nesse planeta, abandonou um corpo a uma altura de 64 m e verificou que ele gastou 4 s para chegar ao solo.

a) Qual o valor de g no planeta X?

b) Qual a velocidade com que o corpo chegou ao solo do planeta?


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5. Abandona-se uma pedra de uma certas altura nas proximidades da superfície da Terra, e ela cai em queda livre (resistência do ar desprezível). Durante a queda, a pedra foi fotografada em posições separadas por intervalos de tempo sucessivos e iguais. Assinale a opção que melhor representa o resultado obtido na fotografia.

6. Um automóvel está parado em um sinal luminoso de trânsito. No momento em que se acende a luz verde, o automóvel parte com uma aceleração constante de 2 m/s2. Nesse mesmo instante, um ônibus, deslocando-se com uma velocidade constante de 36 km/h, ultrapassa o automóvel.

a) Depois de quanto tempo o automóvel alcançará o ônibus?

b) A que distância do sinal isso ocorre?

7. De um balão flutuando a uma altura de 180 m, uma pessoa deixa cair um saco de areia. O balão começa a subir, então, com uma velocidade constante de 3 m/s. A que altura se encontra o balão quando o saco de areia chega ao solo?

8. A tabela a seguir fornece, em vários instantes, os valores da velocidade de um corpo que se desloca em linha reta.

t (s) 1 2 3 4 5

v (m/s) 5 8 11 14 17

a) Qual o tipo de movimento desse corpo?

b) Qual o valor de sua aceleração?

c) Qual o valor da velocidade do corpo no instante t = 0 (velocidade inicial)?

d) Qual a distância que o corpo percorre desde t = 0 até t = 4 s?


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9. O motorista de um carro que está se deslocando em uma estrada reta com velocidade de 15 m/s pisa no freio. O movimento passa a ser uniformemente retardado, fazendo o carro parar em 3 s.

a) Calcule a aceleração (valor e sinal) que os freios imprimiram ao carro.

b) Determine a velocidade do carro no instante t = 2 s após o motorista pisar no freio.

c) Calcule a distância total que o carro percorre durante a freada.

10. Analise os gráficos abaixo e diga qual é a velocidade do corpo:

a) para o caso representado no gráfico (a);

b) para o caso representado no gráfico (b).


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11. O gráfico da figura abaixo refere-se ao movimento retilíneo de um ônibus ao longo de uma avenida.

Analise se as afirmativas estão corretas ou erradas:

a) O ônibus se movimentou com uma velocidade de 15 m/s durante 10 s.

b) O ônibus permaneceu parado durante 20 s.

c) De t = 20 s a t = 30 s o ônibus percorreu uma distância de 150 m.

d) A distância total percorrida pelo ônibus, num intervalo de tempo representado, foi de 250 m.

e) A aceleração do ônibus, no instante t = 25 s, era nula.

12. As afirmativas seguintes referem-se ao movimento de um carro em uma estrada, cujo gráfico posição × tempo (em relação ao quilômetro zero da estrada) está representado na figura abaixo.


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Analise se as afirmativas estão corretas ou erradas:

a) No instante em que o movimento começou a ser observado (t = 0), o carro se encontrava no quilômetro 15.

b) Entre t = 0 e t = 0,2 h, o carro estava se aproximando do começo da estrada com uma velocidade de valor absoluto igual a 50 km/h.

c) Entre t = 0,2 h e t = 0,4 h, o carro se deslocou com velocidade constante igual a 25 km/h.

d) Entre t – 0,4 h e t = 0,6 h, o carro estava se afastando do começo da estrada com uma velocidade de 75 km/h

e) Em nenhum instante do intervalo em que o movimento foi observado o carro alcançou o quilômetro zero da estrada.

13. Qual dos gráficos abaixo representa melhor a velocidade v, em função do tempo t, de uma composição do metrô em viagem normal, parando em várias estações?


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14. Dos gráficos posição × tempo e velocidade × tempo seguintes, aqueles que representam um mesmo movimento retilíneo são:

a) 1 e 4; b) 3 e 2; c) 3 e 4; d) 1 e 3; e) 1 e 2.

15. Dois atletas, A e B, estão treinando em uma pista retilínea e o gráfico da figura abaixo apresenta dados sobre os movimentos de ambos. Sabe-se que, no instante t = 0, A e B se encontram um ao lado do outro (mesma posição na pista).

Assinale a afirmativa errada:

a) Em t = 0, A encontra-se em repouso e B passa por ele com uma velocidade de 2 m/s.

b) Os dois atletas, no intervalo representado no gráfico, se deslocam em movimento uniformemente acelerado.

c) A aceleração de A é aA = 0,4 m/s2 e a de B é aB = 0,2 m/s2.


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d) De t = 0 até t = 5 s, as distâncias percorridas por A e B são dA = 5 m e dB = 12,5 m.

e) O atleta A alcança B no instante t = 10 s.

16. Na questão 15, supondo que os atletas mantenham aqueles movimentos por um tempo suficiente, determine:

a) em que instante o atleta A alcança o atleta B;

b) a distância percorrida por ambos, de t = 0 até aquele instante.

17. Construa o gráfico posição × tempo (s × t) para o movimento descrito a seguir: um automóvel parte do quilômetro zero de uma estrada, desenvolvendo 100 km/h durante 1 h; permanece parado durante 0,5 h; retorna a 50 km/h durante 1 h; torna a parar durante 0,5 h e, finalmente, volta ao ponto de partida ainda a 50 km/h.

18. Um carro percorre uma estrada ABC da seguinte maneira: no trecho AB tem velocidade média de 60 km/h durante 2 horas; e no trecho BC tem velocidade média de 90 km/h durante 1 hora. A velocidade média do automóvel no percurso AC será:

a) 75 km/h.

b) 70 km/h.

c) 65 km/h.

d) 50 km/h.

e) 150 km/h.

19. Dentro de um vagão que se desloca horizontalmente, em linha reta, com velocidade constante de 10 m/s, um observador A lança para cima uma pequena esfera que sobe verticalmente em relação a ele. Um observador B, no solo, em repouso em relação à Terra, vê o vagão passar. Sejam vA e vB, respectivamente, os valores das velocidades da esfera em relação a cada observador no instante em que ela atinge o ponto mais alto de sua trajetória. Pode-se concluir que:

a) vA = 0 e vB = 0.

b) vA = 0 e vB = 10 m/s.

c) vA = 10 m/s e vB = 0.

d) vA = 10 m/s e vB = 10 m/s.

e) vA = 0 e vB = 20 m/s.

20. Instalado em um navio, um sonar está a uma altura de 6,8 m acima da superfície da água. Em um dado instante, ele emite um ultra-som que, refletido no fundo do mar, retorna ao aparelho 1 s após sua emissão. Sabe-se que o ultra-som se propaga com velocidade constante em um dado meio e que, no ar, essa velocidade vale 340 m/s, enquanto na água vale 1,4 × 103 m/s. Determine a profundidade local do mar.


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Coleta de Dados, Elaboração de Tabelas e Gráficos – Uso do

Excel

Como fazer gráficos no Excel

1. Abrir o Excel 2. Colocar os dados em colunas: cada variável deverá ficar numa coluna

3. Selecionar todos os dados a serem colocados no gráfico, incluindo os cabeçalhos dos dados


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4. Depois clicar no icone na barra de ferramentas; seguidamente aparece uma janela com as características iniciais do gráfico, no qual se deve escolher a Dispersão (XY):

5. Clicar em Seguinte duas vezes e no passo 3 deve-se escrever o Titulo do Gráfico, a referência dos

Eixo dos XX e do Eixo dos YY:


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6. Clicar no botão de concluir e o gráfico aparece imediatamente ao lado da tabela dos dados.

7. Posteriormente, pode ser melhorado o aspecto do gráfico editando as preferências do gráfico.

Regras para fazer gráficos

Introdução

Nas atividades experimentais, muitas vezes, precisamos estudar como uma propriedade ou quantidade depende ou varia com relação a outra propriedade ou quantidade. Por exemplo, para medir do que um determinado carro é capaz, medimos a velocidade em função do tempo. Suponhamos que os resultados são os da seguinte Tabela:

O gráfico desses dados (Figura 1) permite visualizar imediatamente o comportamento da velocidade em relação ao tempo. Uma imagem vale mil palavras, e um gráfico é uma maneira muito eficiente de resumir e apresentar os seus dados. É importante que o gráfico se conforme a certas convenções ou regras que todo mundo conhece. Assim outras pessoas podem interpretar os seus resultados imediatamente. Em seguida vamos apresentar as regras para produzir gráficos em um formato profissional.


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Regras práticas para construção de gráficos

Conforme o exemplo da Figura acima, um gráfico contém os seguintes elementos: 1. eixos com nome da variável representada, escala e unidade, 2. os dados e, se apropriado, as barras de erroe 3. legenda e título. Vamos ver estes três elementos um por um :

1. Os eixos

Cada um dos eixos deve conter o nome (ou símbolo) da variável representada, a escala de leitura e a unidade correspondente. Escolha uma escala conveniente para a qual o gráfico represente bem o intervalo medido para cada variável. A regra prática para esta definição é dividir a faixa de variação de cada variável pelo número de divisões principais disponíveis. Toma-se então um arredondamento a valor superior e de fácil leitura. Estes valores de fácil leitura são: 1, 2 ou 5 unidades ou qualquer múltiplo ou submúltiplo de 10 delas. Por exemplo, no papel milimetrado, se a faixa de variação dos dados for de 35 unidades e o número de cm disponíveis for de 10 cm, chegamos ao valor ideal de 5 unidades para cada divisão do gráfico. No caso da Figura 1, a variável tempo varia 35 s e temos mais ou menos 10 divisões principais, o que daria 3,5 s por divisão, o que não é conveniente. Portanto escolhemos 5 s por divisão. Da mesma maneira foi escolhido 20 km/h por divisão no eixo y.

As escalas dos eixos não precisam começar na origem (zero, zero). Elas devem abranger a faixa de variação que você quer representar. É conveniente que os limites da escala correspondam a um número inteiro de divisões principais. Indique os valores correspondentes às divisões principais abaixo do eixo-x e à esquerda do eixo-y usando números grandes. As unidades devem ser escolhidas de maneira a minimizar o número de dígitos nos valores que indicam o valor da divisão principal. Uma regra prática é tentar usar no máximo três dígitos nestes valores, fazendo uso de potências de 10 na expressão das unidades para completar a informação. Ao traçar os eixos no papel milimetrado, não use a escala marcada no papel pelo fabricante. É você que define a sua escala, baseando-se nos seus dados. Também não use os eixos nas margens do papel. Desenhe os seus próprios, porque você precisará de espaço para a identificação das variáveis e para a legenda (item 3). Por fim, abaixo ou à esquerda dos números da escala, conforme o caso, escreva o nome (ou símbolo) da variável correspondente e a unidade para leitura entre parênteses (km, 105N/cm, etc.).


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2. Os dados

Assinale no gráfico a posição dos pontos experimentais: use marcas bem visíveis (em geral círculos pequenos). Nunca indique as coordenadas dos pontos graficados no eixo. Coloque barras de erros nos pontos se for o caso. Se os erros são menores que o tamanho dos pontos, indique isso na legenda. Às vezes ajuda a visualização traçar a melhor curva média dos pontos, ignorando alguns pontos que fogem demasiadamente do comportamento médio. Em outras palavras, pode-se dizer que a curva média deve ser traçada de maneira a minimizar os deslocamentos da curva em relação aos pontos experimentais ao longo do traçado. Use o seu juízo. Não é correto simplesmente ligar os pontos experimentais.

3. A legenda e o título

Todo gráfico deve ter um título, pelo qual é referido no texto (Figura 1, no nosso exemplo). Geralmente, o título do gráfico é colocado na legenda, abaixo do gráfico. A legenda deve conter também uma descrição sucinta do que é apresentado no gráfico. Note que uma legenda tipo “velocidade vs tempo” é redundante pois esta informação já está contida nos rótulos dos eixos. Na Figura 2, ilustramos os erros mais comuns, que devem ser evitados na construção de gráficos


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Exercícios envolvendo tabelas e interpretações de gráficos: 01. Faça um texto de no mínimo 10 linhas interpretando o gráfico abaixo:

02. Para cada uma das tabelas abaixo construa um gráfico no Excel, utilize a maior variedade de modelos de gráficos possível: a) Evolução da população de Maringá

1991 1996 2000 2007

240.292 266.628 288.653 325.968

b) População por sexo na cidade de Maringá.

HOMENS MULHERES

0 a 4 10.752 10.571

5 a 9 11.996 11.622

10 a 14 12.972 12.848

15 a 19 13.621 14.011

20 a 24 12.825 13.688

25 a 29 11.397 12.686

30 a 34 11.756 13.459

35 a 39 11.248 12.794

40 a 44 9.745 11.388


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45 a 49 8.275 9.692

50 a 54 6.547 7.455

55 a 59 5.560 5.869

60 a 64 4.187 4.527

65 a 69 2.901 3.494

70 a 74 2.303 2.628

75 a 79 1.504 1.748

80 a 84 537 935

85 a 89 313 462

90 a 94 64 193

95 a 99 11 42

100 ... -

d) População nos Estados Unidos ESTADOS UNIDOS População

População total – 2007 305.826.244 habitantes

Homens – 2007 150.508.013 habitantes

Mulheres – 2007 155.318.231 habitantes

População residente em área urbana - 2005 80,80%

População residente em área rural – 2005 19,20%

Densidade demográfica – 2005 31 hab/Km2

Taxa média anual do crescimento da população - 2006 1,03%

Taxa bruta de natalidade - 2005 14,10 por mil

Taxa bruta de mortalidade - 2005 8,30 por mil e) P.I.B. dos Estados Unidos ESTADOS UNIDOS


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Economia

Total do PIB – 2006 13.192.290 milhões de US$

PIB per capita – 2006 43.562 US$

População de 15 anos ou mais de idade economicamente ativa - 2007 66,00%

Mulheres de 15 anos ou mais de idade economicamente ativas - 2007 59,70%

Gastos públicos com educação - 2005 5,9 % do PIB

Investimentos em pesquisa e desenvolvimento 2002 - 2003 2,6 % do PIB

Gastos públicos com saúde - 2003 6,8 % do PIB

Entrada de turistas – 2005 49.408.000 turistas

Total da importação - 2005 1.732.350,00 milhões de US$

Total da exportação – 2005 907.158,00 milhões de US$ f) Economia Russa Rússia Economia

Total do PIB - 2006 984.927 milhões de US$

PIB per capita - 2006 6.877 US$






Entrada de turistas - 2005 22.201.000 turistas

Total da importação - 2005 137.833,00 milhões de US$


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Total da exportação - 2005 243.569,00 milhões de US$

g)Economia da China CHINA Economia





Gastos públicos com educação - 2005 sem dado



Entrada de turistas - 2005 120.292.000 turistas



i) População na China CHINA População

População total - 2007 1.328.629.911 habitantes




População residente em área rural - 2005 59,50%

Densidade demográfica - 2005 137 hab/Km2



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Taxa bruta de mortalidade - 2005 6,60 por mil j)Redes chinesas CHINA Redes

Linhas telefônicas - 2005 26,63 a cada 100 habitantes

Assinantes de telefonia celular - 2005 29,90 a cada 100 habitantes

Número de computadores pessoais - 2005 4,22 a cada 100 habitantes

Usuários com acesso a internet - 2005 8,44 a cada 100 habitantes i) RúSSIA Redes




Usuários com acesso a internet - 2005 15,19 a cada 100 habitantes j)Redes norte-americanas ESTADOS UNIDOS Redes




Usuários com acesso a internet - 2005 66,33 a cada 100 habitantes k)População brasileira BRASIL População


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População total - 2007 191.790.900 habitantes




População residente em área rural - 2005 15,80%

Densidade demográfica - 2005 22 hab/Km2



Taxa bruta de mortalidade - 2005 6,30 por mil k) Economia brasileira BRASIL Economia








Entrada de turistas – 2005 5.358.000 turistas



l)Redes brasileiras


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BRASIL Redes




Usuários com acesso a internet - 2005 21,00 a cada 100 habitantes


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Referências http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/multiplicacao.htm

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http://www.imoveisvirtuais.com.br/medidas.htm

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Apostila de Matematica Basica Uem 2011

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