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ANÁLISIS DINÁMICO DE PASARELA PEATONAL EN

UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENÉ MORENO. SANTA

CRUZ DE LA SIERRA - BOLIVIA

Gutiérrez Klinsky Eduardo Ingeniero Magister en Ciencias.

Universidad Autónoma Gabriel René Moreno. UAGRM eduardogutierrezk@gmail.com

RESUMEN

El presente trabajo surge en base a la situación de desconfort por vibración excesiva, que experimentan los peatones al transitar sobre la pasarela que vincula el campus de la U.A.G.R.M. con las diferentes facultades de dicha Universidad. La estructura consiste en una sección cajón que vence dos tramos de 21.30 y 31.86 m, siendo ésta vinculada con la pila central por cuatro pares de obenques a lo largo de su longitud. Se presenta el modelo tridimensional de la estructura y el análisis dinámico de la misma en software Robot Structural para diferentes hipótesis de coeficientes de amortiguación, evidenciándose en todos los casos la existencia de resonancia. Se presenta una propuesta para reducción de la vibración con el empleo de Amortiguadores de Vibración Sintonizados TMD´s (Tuned Mass Dampers).

ABSTRACT

This work is is based on the excessive vibrations experimented by pedestrians walking across the pedestrian bridge that connects different facilities of U.A.G.R.M. University. This structure consists of a two spans concrete continuous box beam of 21.30 and 31.86 m respectively, the middle support consist in a diamond shaped pile and from its top four pairs of stays spread along the two spans. It is presented the tridimensional model and the dynamic analysis of the structure with Robot Structural, for different damping coefficients and it´s concluded that in all cases the structure is in resonance for pedestrian loads. It´s also proposed a solution for vibration reduction by introducing Tuned Mass Dampers.

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1. INTRODUCCION

Actualmente las instalaciones de la U.A.G.R.M. se encuentran divididas por la Avenida 26 de Febrero, que hace parte del Segundo Anillo, la ubicación exacta de la estructura se efectuó sobre la base de la memoria descriptiva del Plan Regulador del Proyecto de la ciudad universitaria, elaborado por el Departamento de Proyectos y Fiscalización de la U.A.G.R.M.

La estructura en estudio puede definirse como un puente en obenque constituido por dos luces principales de 21.30 y 31.86 m respectivamente, constituyendo una longitud total de 53.16 m. La finalidad de esta estructura es el de permitir la circulación de peatones que se desean desplazar cruzando la Av. 26 de Febrero.

Esta estructura se viene caracterizando por presentar vibraciones que ocasionan disconformidad en los usuarios de la misma, razón por la cual se llevaron a cabo una serie de estudios para analizar la integridad estructural y evaluar las condiciones de seguridad de uso existentes actualmente.

El presente trabajo se enfoca en la elaboración de un modelo computarizado que represente de la manera más realista posible el comportamiento estructural de la pasarela, tomando en cuenta los aspectos dinámicos para proponer posteriormente alternativas de solución al problema.

2. FUNDAMENTOS DE LA TEORIA DE VIBRACIONES EN EST RUCTURAS DE PUENTES PEATONALES

La historia muy popular de tropas marchando a un determinado paso, que acabó produciendo el colapso de un puente, puede remontarse a una estructura de hierro fundido en Broughton (1831) por el efecto resonante que generó la marcha de 60 soldados. (Tilly, Cullington, Eyre. 1984 apud Smith J.W. 1988). Hasta no hace mucho los diferentes códigos de diseño no han presentado mayores informaciones sobre los efectos de las vibraciones ocasionadas por peatones. Sobre este tema en general existen apenas ejemplos aislados de puentes peatonales que resultaron demasiado livianos al construirse y que requirieron alguna acción reparadora de manera a aumentar la amortiguación de estos (Brown,1977 apud Smith J.W. 1988).

Según Skorecki, 1966 las cargas peatonales han sido determinadas con el auxilio de máquinas ortopédicas de manera a obtener curvas de fuerza vs. Tiempo que proporcionan una componente vertical de fuerza típica de impacto producido por pies.

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FIGURA 1. CURVAS DE FUERZA VS. TIEMPO. W. HOORPAH. (2002).

En la Figura 1 es posible observar que dos picos de carga ocurren en el caminar de un peatón, si bien la mecánica del caminar es complicada, Blanchard, Bavies y Smith (1977) propusieron que la peor situación ocurre cuando un peatón camina en resonancia con la frecuencia natural del puente con una longitud de pasos de 0.9 m. La frecuencia de pasos de caminata normal yace entre 1.5 y 3.0 Hz, siendo que frecuencias arriba de los 3.0 Hz son típicas del trote y de la carrera. Es muy difícil acelerar una pasarela peatonal con frecuencias arriba de 4.0 Hz.

En la figura 2 se ilustra la carga peatonal actuando, para esta situación es posible obtener una solución simple ignorando todos los modos de vibración superiores al fundamental, de manera a que el desplazamiento en cualquier punto esté dado por:

(1)

La carga peatonal se representa por una serie de cargas puntuales aplicadas en intervalos sucesivos de tiempo equivalentes al periodo de vibración T.

De la teoría de vibraciones forzadas de vigas se tiene que:

(2)

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Adoptando n=1 y substituyendo (1) en (2) se tiene:

(3)

En donde N es el número de pasos requeridos para atravesar la estructura, la frecuencia natural, el primer modo de vibración y la masa generalizada del modo 1. Para resolver la ecuación (3) es necesario efectuar una integración numérica

FIGURA 2. SIMULACION DE CARGA EN UN PUENTE PEATONAL.

3. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LA ESTRUCTURA EN ESTUDIO

En base a los datos recolectados en campo, se elaboró el modelo de la estructura con auxilio del Software Robot Millenium.

Se consideró para ello que la estructura se encuentra empotrada al suelo a través de la pila central y apoyada en sus extremos.

La sección transversal del tablero empleada se detalla en el Anexo A, los cables fueron modelados por el elemento de cable de la biblioteca de elementos de Robot Millenium y las diagonales de la pila central por elementos finitos de cáscara.

Tanto el tablero como la pila central fueron modelados por elementos finitos de barra. En la Figura 3 se presenta la sección transversal de la viga cajón.

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FIGURA 3. MODELO COMPUTACIONAL DE LA PASARELA.

FIGURA 4. SECCION TRANSVERSAL DE LA VIGA CAJON.

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FIGURA 5. DETALLE DE LA PILA CENTRAL.

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4. ANÁLISIS DINÁMICO

En este trabajo se ha dado principal atención al comportamiento dinámico de la estructura, para lo cual se desarrolló en una primera instancia el análisis modal de la estructura.

En la Tabla 1 se presentan los diez primeros modos de vibración de la estructura obtenidos a partir del análisis modal. Observando esta tabla se considera de principal importancia los tres primeros modos de vibración. En las figuras 7, 8 y 9 se muestra la estructura desplazada según los modos 1, 2 y 3 respectivamente.

Caso Modo

Frecuencia

(Hz)

Período

(sec)

2 1 0.33 3

2 2 2.03 0.49

2 3 2.05 0.49

2 4 3.33 0.3

2 5 4.3 0.23

2 6 5.46 0.18

2 7 6.64 0.15

2 8 8.03 0.12

2 9 10.01 0.1

2 10 12.51 0.08

TABLA 1. MODOS PROPIOS DE LA ESTRUCTURA

Los modos de vibración 2 y 3 deben de estudiarse con mayor detenimiento en función de la frecuencia que presentan estos, correspondientes a 2.03 y 2.05 Hz. respectivamente, puesto que experiencias realizadas en estructuras similares han mostrado que:

- 95% de los peatones caminan a una frecuencia entre 1.6 y 2.4 Hz. Siendo que de este 95%, el 50% camina entre 1.9 y 2.1 Hz. - Personas corriendo rápido pueden presentar una frecuencia de hasta 3.3 Hz. - Estructuras con modos propios de vibración arriba de los 5Hz difícilmente serán excitadas por peatones.

En base a estas consideraciones, las frecuencias 2 y 3 de la estructura están dentro de los rangos de frecuencia de paso de peatones. En otras palabras, dos de los modos de frecuencia natural de la estructura están muy próximos de la frecuencia de la fuente de excitación que es el paso de peatones, esto en dinámica de estructuras se denomina por resonancia. En las Figuras 6 y 7 se ilustran los modos de vibración 2 y 3 obtenidos con el modelo.

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FIGURA 6. MODO 2 DE VIBRACION. FRECUENCIA 2.03Hz.

FIGURA 7. MODO 3 DE VIBRACION. FRECUENCIA 2.05 Hz.

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4.1 Análisis Footfall

Para evaluar el efecto del paso de peatones sobre la estructura se realizó de manera posterior un análisis footfall, siendo considerando un peatón de 70 kg de masa que necesita dar un total de 50 pasos para cruzar la estructura entera y que camina en un rango de velocidades que varía de 1.2 a 4.5 Hz.

Se identificaron tres puntos de especial interés en la estructura, estos se marcaron como las posiciones A,B,C que se ilustran en la figura 10, correspondientes a los nudos 16,17 y 183 respectivamente en el modelo por elementos finitos.

FIGURA 8. LOCALIZACION DE LOS PUNTOS A, B Y C EN LA ESTRUCTURA.

Para efectuar el análisis footfall también se empleó el software Robot Millenium, el cual incorpora tres criterios de análisis:

a) Fuerzas de Excitación de acuerdo al Centro del Concreto (2006) b) Fuerzas de Excitación de acuerdo al SCI P354: Diseño de Pisos ante

vibraciones c) Fuerzas de Excitación de acuerdo a la AISC DG11

Se efectuó el análisis con el software Robot Millenium, considerando cada uno de los reglamentos considerados anteriormente. Cabe citar en este punto que un factor determinante en cualquier análisis dinámico es el coeficiente de amortiguación, el mismo es desconocido para la estructura en estudio.

Wilson(1988) establece que la mayoría de las estructuras civiles presentan por lo general coeficientes de amortiguación bastante bajos, inferiores al 5%, siendo que estructuras pretensadas pueden llegar a presentar coeficientes del orden del 1%. Dado que existe muy poca información en el medio sobre este parámetro, se

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efectuaron simulaciones considerando coeficientes de amortiguación del orden del 5%, 3% y 1% respectivamente.

GRAFICO 1. ACELERACION PARA EL NUDO 17 CUANDO EL NUDO DE

EXCITACIÓN ES EL NUDO 17. CONCRETE INSTITUTE. AMORTIGUACION 5%.

En el gráfico 1 se presenta en el eje de abscisas el rango de frecuencias que fueron analizadas para la carga de peatón, en este caso el rango empleado fue de 1.0 a 2.8 Hz.

Conforme se puede observar en el gráfico 1, la máxima aceleración para el nudo 17 fue de 13.17 cm/s2 para una frecuencia de paso de peatón de 2.08 Hz, cuando este peatón se encuentra pasando sobre el mismo nudo 17 (posición de la fuente de excitación) y considerando un coeficiente de amortiguación del orden del 5%. El valor de esta aceleración ascendió a valores del orden de 21.00 y 61.70 cm/s2 para coeficientes de amortiguación del orden del 3% y del 1%.

De manera similar se analizaron diferentes situaciones de respuesta en los nudos bajo análisis, considerando la siguiente interacción entre estos:

Nudo de Excitación Nudo de Respuesta

16 16

16 17

16 183

17 17

17 16

17 183

183 183

183 16

183 17

Las respuestas fueron obtenidas para los reglamentos del Centro del Concreto, SCI P354 y DG11 considerando coeficientes de amortiguación del orden del 5%, 3% y 1% respectivamente.

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En las Tablas 2, 3 y 4 se presentan los valores de aceleración y factores de respuesta máximos obtenidos para cada nudo.

METODO DEL CONCRETE INSTITUTE

Nudo de Respuesta Nudo de Excitación Frecuencia Max. Acel.Coef. Respuesta Frecuencia Max. Acel. Coef. Respuesta Frecuencia Max. Acel. Coef. Respuesta

16 17 2.10 9.48 9.20 2.08 15.10 15.54 2.08 43.40 44.48

17 17 2.10 13.10 12.70 2.08 21.00 21.53 2.08 60.20 61.70

183 183 2.20 3.70 5.32 2.20 6.20 8.70 2.08 17.60 24.75

Aceleracion en cm/s2

Amortiguación = 5% Amortiguación = 3% Amortiguación = 1%

TABLA 2. VALORES MAXIMOS DE ACELERACION Y COEFICIENTE DE

RESPUESTA SEGÚN EL CONCRETE INSTITUTE.

METODO DEL SCI P354

Nudo de Respuesta Nudo de Excitación Frecuencia Max. Acel.Coef. Respuesta Frecuencia Max. Acel. Coef. Respuesta Frecuencia Max. Acel. Coef. Respuesta

16 17 2.09 10.80 21.66 2.08 18.10 36.21 2.08 52.30 104.53

17 17 2.09 15.50 30.99 2.08 25.60 51.13 2.08 72.90 145.82

183 183 4.40 31.00 62.06 4.39 51.30 102.63 4.39 146.30 292.69

Amortiguación = 5% Amortiguación = 3% Amortiguación = 1%

TABLA 3. VALORES MAXIMOS DE ACELERACION Y COEFICIENTE DE

RESPUESTA SEGÚN EL SCI P354.

METODO DEL DG11

Nudo de Respuesta Nudo de Excitación Frecuencia Max. Acel.Coef. Respuesta Frecuencia Max. Acel. Coef. Respuesta Frecuencia Max. Acel. Coef. Respuesta

16 17 2.08 4.90 0.00 2.08 8.20 0.01 2.08 24.40 0.02

17 17 2.08 6.80 0.01 2.08 11.30 0.01 2.08 33.80 0.03

183 183 2.20 4.00 0.00 2.20 6.60 0.01 2.20 19.60 0.02

Aceleracion en cm/s2

Amortiguación = 5% Amortiguación = 3% Amortiguación = 1%

TABLA 4. VALORES MAXIMOS DE ACELERACION Y COEFICIENTE DE

RESPUESTA SEGÚN EL DG11.

En los gráficos 2 a 4 se presentan estos resultados y se efectúa una comparación de los valores de aceleración obtenidos por los tres métodos anteriormente citados.

GRAFICO 2. ACELERACIONES cm/s2 PARA EL NUDO 16.

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GRAFICO 3. ACELERACIONES cm/s2 PARA EL NUDO 17.

GRAFICO 4. ACELERACIONES cm/s2 PARA EL NUDO 183.

En el gráfico 2 se presentan las aceleraciones experimentadas por el nudo 16, estas han sido determinadas para los tres métodos descritos y para coeficientes de amortiguación de 5%, 3% y 1%. Es posible observar que el valor de la aceleración se incrementa considerablemente cuando el valor de la amortiguación es inferior al 3%. También existe una mayor divergencia entre los valores obtenidos a través de cada método para una amortiguación inferior al 3%.

En el gráfico 3, correspondiente a las aceleraciones experimentadas por el nudo 17, pueden evidenciarse las mismas observaciones que las realizadas para el gráfico 3.

En el gráfico 4 existe la particularidad de que el método SCI P354 establece un rango de frecuencias de análisis comprendido entre 1.20 y 4.50 Hz. En base a esto se observa que la aceleración máxima es alcanzada con la aplicación de carga a una frecuencia de 4.40 Hz.

Si bien la mayor aceleración observada fue para el nudo 183 a una frecuencia de aplicación de carga de 4.40 Hz, es muy difícil que un peatón camine, salte o corra a esta frecuencia, razón por la cual el presente estudio se centrará apenas en las

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aceleraciones obtenidas para frecuencias inferiores a 3.5 Hz.

De manera general, las máximas aceleraciones que experimenta la estructura en los nudos 16,17 y 183 se dan para frecuencias entre 2.08 y 2.12 Hz, frecuencias que se encuentran dentro del rango de frecuencias de paso de peatones, lo cual denota una situación típica de resonancia de la estructura por el caminar de personas. En el punto 5 se desarrolla una propuesta de solución para la reducción de vibraciones mediante la introducción de amortiguadores sintonizados de masa.

5. AMORTIGUADORES SINTONIZADOS DE MASA

En muchos casos, como el del presente estudio, resulta difícil evitar que las estructuras trabajen en situación de resonancia. En el caso de cargas de viento en edificios altos y esbeltos por ejemplo, la naturaleza aleatoria de la velocidad del viento indica que pueden darse velocidades elevadas en un amplio rango de frecuencias. El refuerzo de estos edificios para reducir la vibración a límites aceptables puede significar un costo económico demasiado elevado. Otra situación clásica es la del presente estudio, donde un puente peatonal muy largo posee frecuencias naturales muy próximas de las frecuencias de la acción de caminar. En el pasado por lo general, no se ha tenido la costumbre de considerar las vibraciones en el diseño de este tipo de estructura, lo cual puede llevar a la presencia de vibraciones que causen molestias a los usuarios.

Una manera económica de controlar las vibraciones resonantes es la adopción de amortiguadores sintonizados de masa. Este dispositivo fue desarrollado inicialmente por ingenieros mecánicos pero también ha sido empleado con gran suceso dentro del campo de la ingeniería civil.

El principio de absorción de vibración fue desarrollado por Frahm (1911) quien concibió la idea de un dispositivo de quiebre de frecuencia. Descubrió que la frecuencia natural de una estructura o cuerpo puede ser dividida en dos frecuencias, una superior y otra inferior mediante la incorporación de una pequeña masa con resorte sintonizada a la misma frecuencia de vibración de la estructura.

Esto resulta en un efecto de control de vibración cuando una carga periódica es aplicada a la frecuencia natural. Frahm aplicó este principio para la estabilización de barcos usando un sistema de interconexión de tanques que eran llenados con agua de manera a que la frecuencia resonante de la masa de agua coincida con la frecuencia de oscilación del barco.

El análisis teórico de la absorción de vibración fue desarrollado primero por Ormondroyd y Den Hartog (1928), quienes demostraron que si el dispositivo incluía un amortiguador, sería posible obtener un control eficiente de la vibración sobre un espectro de frecuencias considerable.

De acuerdo al método de Den Hartog se debe prestar especial atención en el movimiento del sistema principal. Para efectos prácticos, se considerarán las ecuaciones (42) y (43) en donde el sistema principal es representado por

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mientras que el amortiguador es representado por un sistema secundario y c.

Se tomará en cuenta la siguiente notación:

Con base en esta notación, el desplazamiento adimensional de la masa estará

dado por:

(4)

En el diseño de un amortiguador de vibración pueden obtenerse buenos resultados cuando la frecuencia natural del dispositivo es igual a la frecuencia natural del sistema principal, es decir . Es también aconsejable, mantener la masa del amortiguador relativamente pequeña en relación a la masa del sistema principal.

En la ecuación (44) si se considera los casos extremos donde ξ=0 y ξ= se obtiene:

(5)

Del análisis modal se obtuvo que la frecuencia natural crítica para el paso de peatones es de 2.03 Hz y de acuerdo al análisis realizado la masa que interviene en este modo de vibración es de 102951.50 kg.

Se determinará una relación de masa del orden del 1%, luego:

kg

En base a esto la sintonización óptima requiere:

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En el modelo analizado por Robot Millenium se crearon nudos compatibles, de manera a introducir en estos Amortiguadores sintonizados de masa con las siguientes características:

Masa: 250 kg

Rigidez del Resorte: 4100 N/m

Coeficiente de amortiguación c=0.40 kNs/m

Los valores arriba corresponden a cerca de un cuarto de los valores calculados anteriormente, esto debido a que se considerarán 4 TMD´s, dos en la posición B y dos en la posición C, conforme se ilustra en la figura 9.

FIGURA 9. DISPOSICIÓN DE LOS TMD´s

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En la Tabla 5. se ilustran los valores de aceleraciones máximas, obtenidos con la incorporación de TMD´s y sin estos. Los valores de aceleración de la tabla 5 se han obtenido para coeficientes de amortiguación del orden del 1%, 3% y 5% para los métodos de análisis anteriormente descritos.

De manera general se observa que el nudo que experimenta mayor reducción de aceleración es el nudo 17 (posición B) presentando de manera general reducciones entre 30 y 40% para las diferentes situaciones consideradas. El nudo 16 (posición A) presenta también reducciones similares a las del nudo 17, mientras que el nudo 183 (posición C) prácticamente es insensible al efecto de los TMD´s.

NORMA DEL INSTITUTO DEL CONCRETO

con TMD Sin TMD con TMD Sin TMD con TMD Sin TMD Nudo Exc.

Nudo 17 9.6 - 2.17 13.10 - 2.10 14.6 - 2.17 21.0 - 2.08 38.6 - 2.16 61.7 - 2.08 17

Nudo 16 5.2 - 2.17 6.70 - 2.10 7.08 - 2.17 11.0 - 2.08 20.8 - 2.16 31.3 - 2.08 16

Nudo 183 3.9 - 2.17 3.70 - 2.20 6.3 - 2.17 4.40 - 2.10 17.6 - 2.17 17.6 - 2.08 183

NORMA SCI P354

con TMD Sin TMD con TMD Sin TMD con TMD Sin TMD Nudo Exc.

Nudo 17 6.2 - 2.16 15.50 - 2.09 9.2 - 2.16 25.6 - 2.08 22.9 - 2.16 72.9 - 2.08 17

Nudo 16 3.5 - 2.16 8.20 - 2.08 5.1 - 2.16 13.50 - 2.08 12.4 - 2.16 38.1 - 2.08 16

Nudo 183 3.2 - 2.18 31.0 4.4 5.0 - 2.18 51.30 - 4.39 13.5 - 2.16 146 - 4.40 183

NORMA AISC DG11

con TMD Sin TMD con TMD Sin TMD con TMD Sin TMD Nudo Exc.

Nudo 17 - 6.80 - 2.08 7.30 - 2.16 11.30 - 2.08 20.4 - 2.16 33.80 - 2.08 17

Nudo 16 2.6 - 2.19 3.6 - 2.08 3.9 - 2.17 5.90 - 2.08 11.0 - 2.16 17.6 - 2.08 16

Nudo 183 4.0 -2.18 4.0 - 2.20 6.6 - 2.17 6.60 - 2.20 19.5 - 2.17 19.6 - 2.20 183

c=5% c=3% c=1%

c=5% c=3% c=1%

c=5% c=3% c=1%

TABLA 5. VALORES DE ACELERACIÓN (cm/s2) Y FRECUENCIAS (Hz) PARA LOS DIFERENTES CASOS ANALIZADOS

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En base a los resultados obtenidos para el modelo de cálculo idealizado, se verificó que la frecuencia natural de la estructura correspondiente al segundo modo de vibración, equivalente a 2.03 Hz, se encuentra dentro del espectro de frecuencias de caminata normal de peatones.

Se propone un método de dimensionamiento de amortiguadores de masa en lo que respecta a rigidez de resorte, masa y coeficiente de amortiguación. En base al valor obtenido, se verificó a través del modelo teórico que la vibración de la estructura

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puede ser reducida hasta en un 40% en los puntos críticos.

Si bien en el modelo se consideró el caso de un peatón circulando a lo largo de la estructura (análisis footfall), no se consideró el efecto de multitud en la vibración de la estructura, por lo cual se pretende efectuar a futuro mediciones experimentales de desplazamiento y vibración de la estructura de manera a verificar y comparar, los datos que sean obtenidos en campo con los valores teóricos presentados en este trabajo.

Asimismo se consideró el posicionamiento de los TMD´s en puntos específicos de la estructura, podrían analizarse otras configuraciones de posicionamiento de estos dispositivos de manera a verificar la posibilidad de una mayor eficiencia de los mismos en relación a la configuración aquí considerada.

BIBLIOGRAFIA

Murray Thomas. (2011). Floor Vibrations.

Robot Structural. Manual del Usuario

W. Hoorpah (2002). Vibrations of Footbridges Under Pedestrian Loads.