1CAPITULO 6

FILTROS HARMNICOS SINTONIZADOS SHUNT

EM SISTEMAS ELTRICOS

Prof. Jos Wilson Resende

Ph.D em Sistemas de Energia Eltrica (University of Aberdeen-Esccia) Professor titular da Faculdade de Engenharia Eltrica

Universidade Federal de Uberlndia

PARTE 1: INTRODUO

A filtragem por meio de apropriados circuitos reduz as correntes harmnicas que fluem nos sistemas eltricos. O processo de filtragem, utilizando-se filtros em derivao, relativamente simples em teoria, porm, o procedimento de determinao de filtros harmnicos, visando uma adequada eficincia de filtragem, exige o cumprimento de rigorosos critrios tcnicos e econmicos no to simples de serem satisfeitos.

Filtros em derivao, com uma baixa impedncia para as frequncias harmnicas, devem absorver a maior parte das correntes geradas pelas cargas no-lineares, limitando assim as tenses harmnicas nos barramentos. No entanto, o conhecimento das caractersticas fsicas e da modelagem matemtica desses filtros essencial a fim de permitir a elaborao de um bom projeto de filtragem. Por esta razo, neste captulo sero apresentadas as principais informaes necessrias ao conhecimento do comportamento dos filtros em derivao normalmente utilizados nos sistemas eltricos.

1.2 - Filtros: conceituao e classificao

Filtros so circuitos capazes de separar sinais eltricos (correntes e tenses), alterando as caractersticas de amplitude e fase desses sinais. Este processo de separao dos sinais eltricos ou, simplesmente, filtragem, ocorre graas s diversas caractersticas das curvas de impedncia dos diferentes filtros com relao ao espectro de frequncias. Desse modo, de acordo com o tipo de filtro, a finalidade de filtragem e a caracterstica de frequncia do filtro empregado, rejeitam-se sinais de frequncias indesejveis ou, contrariamente, deixam-nos passar.Os filtros so equipamentos robustos constitudos de elementos resistivo (R), indutivo (L) e capacitivo (C), em combinaes variadas. So classificados de diversas formas, conforme o aspecto que se deseja enfocar. Topologicamente, os filtros so equipamentos de dois terminais, que so ligados em conexes trifsicas, geralmente, em estrela. Dentre os filtros de dois terminais, faz-se uma classificao quanto colocao dos mesmos nos circuitos eltricos:

2a) filtros em derivao, que so instalados em paralelo com as cargas eltricas ou com as fontes de energia; b) filtros srie, que so instalados entre pontos de uma mesma fase do

circuito. Os filtros em derivao e os filtros srie apresentam vantagens e

desvantagens, de acordo com o tipo de aplicao. Entretanto, a utilizao de filtros em derivao a mais difundida, principalmente, quando se pretende filtrar harmnicos no lado c.a. de estaes de transmisso em corrente contnua (C.C.A.T.) ou de estaes retificadoras industriais, etc. Os filtros em derivao so tambm classificados conforme suas caractersticas de impedncia com a frequncia. Assim, estes filtros podem ser agrupados em duas categorias, a saber: I) Filtros sintonizados. II) Filtros amortecidos. A Figura 1.1, ilustra os tipos de filtros RLC em derivao existentes e sua classificao quanto caracterstica de frequncia.

Os filtros sintonizados so circuitos ressonantes formados por elementos R, L e C em srie ou combinaes srie-paralela destes elementos de circuito. Nestes filtros, os elementos capacitivos e indutivos so escolhidos de modo que os circuitos apresentem uma, duas ou trs frequncias de ressonncia. Os filtros amortecidos so circuitos formados por capacitores, indutores e resistores em diversas combinaes.So circuitos capacitivos frequncia fundamental, como os filtros sintonizados, e apresentam baixa impedncia predominantemente resistiva, para frequncias superiores a uma determinada frequncia, denominada frequncia de sintonia.

3

FIGURA 1.1 - Classificao dos filtros em derivao. 1.3 - Filtros sintonizados

Os filtros sintonizados so circuitos ressonantes srie que, na frequncia de sintonia ou de ressonncia, apresentam baixa impedncia resistiva. Para frequncias menores que a frequncia de sintonia so capacitivos, e para as frequncias superiores quela frequncia so indutivos. Portanto, para a frequncia fundamental, estes filtros podem funcionar como compensadores de reativo. 1.3.1 - O circuito ressonante srie

Seja um circuito eltrico formado por um resistor, um indutor e um

capacitor, conectados em srie e alimentados por uma fonte de tenso, conforme ilustra a Figura 1.2. Ressonncia srie uma condio na qual um circuito

4contendo pelo menos um indutor e um capacitor, apresentar uma impedncia de entrada puramente resistiva.

FIGURA 1.2- Diagrama de um circuito RLC srie

Aplicando-se o conceito de ressonncia srie ao circuito srie da Figura 1.2,

cuja impedncia complexa dada pela equao (1.1), observa-se que, ajustando-se a frequncia da fonte, existir um valor de frequncia em que esta impedncia ser puramente resistiva.

Z() = R + j. . .L C

1 (1.1)

Onde, a frequncia angular da fonte de alimentao, e R, L e C so os valores dos componentes indicados na Figura 1.2.

O mdulo e a fase da impedncia srie da expresso (1.1) podem ser assim expressas:

Z() = R LC

221+

. . (1.2)

() = tg-1 . / .L CR

1 (1.3)

Onde: Z(): mdulo da impedncia complexa dada por (1.1), em funo da

frequncia ; () : ngulo da impedncia Z(), em funo de . Este ngulo difere de ,

apenas, pelo sinal oposto, tomando-se na referncia a tenso da fonte. A condio de ressonncia, conforme estabelecida acima, aplicada

equao (1.1) possibilitar a determinao da frequncia que anular a parte imaginria de Z(): . .L C

=

1 0 (1.4)

Assim, explicitando-se a frequncia na equao (1.4), obtm-se a

frequncia angular de ressonncia do circuito srie, que dada por (1.5).

o = 1 2 2L C

fTo o.

. . .= = (1.5) Onde, o a frequncia angular de ressonncia do circuito RLC.

5Observa-se na equao (1.5) que o funo, apenas, dos componentes L e

C do circuito. Portanto, esta frequncia (o) uma caracterstica do circuito RLC srie. Isto significa que, se a fonte de alimentao (de pulsao varivel) coincidir sua frequncia com a frequncia o prpria do circuito, essa fonte far o circuito entrar em ressonncia srie.

Esta condio est ilustrada na figura 1.3, onde esto ilustrados os comportamentos do mdulo (figura 1.3.a) e o ngulo de fase (figura 1.3.b) da impedncia do circuito da Figura 1.2, para um dado circuito RLC srie de resistncia R = 1, capacitncia C = 100 F e indutncia L = 10 mH, cuja frequncia angular ressonante () 1000 rad/s.

FIGURA 1.3 - Impedncia de um circuito RLC srie versus freqncia.

(a) Mdulo. (b) ngulo.

Pela observao da Figura 1.3(a) verifica-se que, na freqncia de ressonncia, a impedncia mnima. Por outro lado, da Figura 1.3(b), conclui-se que o ngulo de Z() anula-se para = o. Este fato demonstra que, na ressonncia srie, o circuito ser puramente resistivo. Observa-se tambm que, aumentando-se a freqncia alm de o, os ngulos da impedncia sero positivos e cada vez mais prximos de + 90. Isto implicar que a impedncia ser predominantemente indutiva nas altas freqncias. Inversamente, para freqncias baixas e inferiores freqncia de ressonncia, o circuito ser predominantemente capacitivo.

Uma outra forma de ilustrar a ressonncia srie consiste em analisar o mdulo da corrente eltrica que atravessa os elementos R, L e C. Considerando-se, ento, o circuito da Figura 1.2, sua corrente ser dada em funo da frequncia , para uma tenso de alimentao de amplitude constante, conforme indica a relao (1.6):

I() = VR L C

V Y( )

( . / . )( ). ( )

2 21+ = (1.6)

6Onde:

I() e V() : so, respectivamente, os mdulos da corrente e da tenso de alimentao, em funo de ; Y() : o mdulo da admitncia do circuito RLC srie, que equivale ao inverso de Z() dado em (1.2).

Desse modo, admitindo-se o mesmo circuito ressonante que originou as curvas da Figura 1.3 e uma fonte alimentao de frequncia varivel, porm, de amplitude constante igual a 1 volt eficaz, obtm-se a curva da corrente (em mdulo) versus frequncia, como ilustra a Figura 1.4.

Observa-se na Figura 1.4 que o ponto de mxima corrente corresponde frequncia de ressonncia. Isto ocorre porque, nesta frequncia, a impedncia do circuito mnima.

Outro fato interessante, que se conclui com base na equao (1.6), que a curva corrente versus frequncia (Figura 1.4) ter o mesmo aspecto geomtrico da curva de admitncia versus frequncia, ressalvando-se, apenas, o valor constante da amplitude da tenso aplicada.

FIGURA 1.4- Corrente versus frequncia para o circuito srie que originou

as curvas da Figura 1.3.

As curvas de impedncia, em mdulo e ngulo, e tambm da corrente eltrica, plotadas contra a frequncia so conhecidas como curvas de resposta. Elas servem para mostrar o comportamento fsico do circuito analisado, ao longo do espectro de frequncias. 1.3.2 - Fator de qualidade

O fator de qualidade um parmetro adimensional definido (tanto para circuitos como para componentes) atravs da relao entre a mxima energia armazenada e a energia total dissipada por perodo. Tal parmetro, em geral, expresso pelo smbolo Q.

Considerando-se o circuito ressonante srie da Figura 1.5, pode-se expressar o fator de qualidade, frequncia de ressonncia (o), em funo dos valores dos componentes, pela seguinte expresso:

7

Q = o

o

LR C R.

. .= 1 (1.7)

Na equao (1.7) nota-se o aparecimento de o.L e 1/o.C, cujas dimenses

so de impedncia, e que so iguais para um dado circuito ressonante. Estas grandezas representam a impedncia natural do circuito, e aqui ela ser designada por Zo [4-5]. Ainda sobre a impedncia natural obtm-se outra expresso til para Zo, unicamente em funo dos componentes L e C:

Zo = o.L = 1o CL

C.= (1.8)

A equao (1.8) indica que o fator de qualidade Q pode ser calculado,

simplesmente, conhecendo-se os valores dos componentes L, C e R do circuito, conforme mostra a equao (1.9):

Q = ZR

LC

Ro = (1.9)

Vale ressaltar que comum referir-se a fatores de qualidade de reatores, ou

de capacitores, como elementos isolados. Nestes casos, os fatores de qualidade so referidos frequncia fundamental e a expresso aplicvel ser do tipo da equao (1.7).

81.3.3 - Modelos, equaes e curvas Os modelos dos filtros harmnicos so, geralmente, apresentados por fase, isto , por braos de filtros, ressalvando-se que, nos sistemas eltricos, esses braos sero ligados em conexes trifsicas, em geral em delta ou estrela-isolada. Neste contexto, os filtros sintonizados a uma nica frequncia apresentam-se sob o esquema bsico ilustrado na Figura 1.5, que tambm ilustra sua curva caracterstica de impedncia versus frequncia, onde fo a frequncia de sintonia.

FIGURA 1.5 - Filtro sintonizado a uma nica frequncia.

(a) Circuito eltrico. (b) Mdulo da impedncia versus frequncia. O mdulo da impedncia do circuito RLC srie, j obtido na equao (1.2), pode tambm ser expresso como Zf (), em funo das frequncias e o de sintonia, e dos parmetros Q e R. Na equao (1.2), colocando-se em evidncia a resistncia R, obtm-se (1.10):

Zf() = R. 1 12

+

.. .

LR C R

(1.10)

Multiplicando-se, na equao (1.10), o numerador e o denominador de cada parcela dentro do parnteses por o e, em seguida, introduzindo-se o fator Q dado por (1.7), obtm-se a equao (1.11) do mdulo da impedncia do filtro:

Zf() = R. 1 22

+ Q o

o. (1.11)

A equao (1.11) particularmente til por permitir a visualizao da

influncia do fator de qualidade sobre a seletividade do filtro sintonizado frequncia o. As curvas da Figura 1.6, traadas com base na equao (1.11), ilustram o efeito da mudana de Q sobre a impedncia do filtro sintonizado. Da anlise dessa figura conclui-se que, para um dado filtro e mantendo-se inalterada a resistncia R, o aumento do fator Q provocar a elevao da impedncia desse filtro para as frequncias diferentes da frequncia de sintonia. Concomitantemente, ainda baseando-se na equao (1.11), verifica-se que, na frequncia de sintonia, a impedncia do filtro ser puramente resistiva e, para este

9caso, ela ser independente do fator Q. Entretanto, importante ressaltar, que esta condio de sintonia no ser, necessariamente, observada na prtica. Isto porque o filtro sintonizado estar sujeito ao fenmeno da dessintonizao, comum nos sistemas eltricos reais.

FIGURA 1.6 - Impedncia versus frequncia, para diversos valores do fator Q.

Desse modo, o fator de qualidade dos filtros sintonizados uma medida do grau de seletividade desses circuitos, quanto s frequncias harmnicas. Quanto maior for o fator Q mais seletivo ser o filtro, ou seja, ele impedir cada vez mais a absoro das correntes harmnicas de frequncias diferentes daquela de sintonia. Os valores tpicos dos fatores de qualidade de filtros sintonizados situam-se na faixa de 30 a 60. J para os reatores isolados, os fatores de qualidade usuais situam-se entre 50 e 150 [2], [5]. 1.3.4 - Dessintonizao

Variaes de frequncia ocorrem em qualquer sistema eltrico devido s pequenas modificaes de carga e gerao. Nos sistemas eltricos reais, variaes da ordem de 0,15 Hz podem ser observadas.

Os filtros sintonizados, em especial, so sensveis a estas variaes que ocorrem na frequncia do sistema eltrico, como tambm a quaisquer outros fatores que tenham alguma influncia sobre os valores dos seus componentes. Assim, se um filtro sintonizado dimensionado para ter uma impedncia mnima para uma dada frequncia, trs fatores independentes contribuem para dessintonizar o circuito para a harmnica correspondente: a) variao da frequncia do sistema c.a; b) erro de sintonia inicial, devido ao reator do filtro (dada prpria caracterstica discreta de seus enrolamentos) e tambm devido aos erros inerentes medio; c) variao da capacitncia total, devido variao da temperatura, ou devido falha de um ou mais elementos de capacitor.

10 Os capacitores tambm tm seus valores modificados com o envelhecimento, ou seja, com o tempo de uso. Porm, as mudanas na capacitncia com a temperatura so mais importantes.

A pior hiptese de dessintonizao acontecer quando todos os fatores descritos forem cumulativos. Os valores que ocorrem na prtica situam-se, normalmente, na faixa de 1,5 a 3%.

Para quantificar a dessintonizao, designa-se a grandeza denominada desvio equivalente de frequncia (). Este desvio (), causado na frequncia de sintonia, identificado por meio de duas parcelas: I) desvio relativo frequncia nominal do sistema (devido s mudanas que ocorrem na frequncia da rede, s); II) desvio relativo aos valores nominais dos componentes do filtro (devido s variaes dos prprios componentes, c).

O desvio equivalente de frequncia ser calculado pela adio das duas parcelas, s e c, conforme indica a equao (1.12): = s + c (1.12) A parcela correspondente s variaes de frequncia do prprio sistema eltrico (s) determinada diretamente pela aplicao da equao (1.13):

s = fff

fnom=

1 [adimensional] (1.13)

Onde: f : a variao de frequncia, em hertz, ocorrida no sistema c.a.;

fnom : a frequncia nominal (ou frequncia fundamental), em hertz, do sistema c.a..

A segunda parcela do desvio equivalente de frequncia (c), dada pela equao (1.14):

c LLC

C= +

12

. (1.14)

Assim, o desvio equivalente de frequncia (equao (1.12)), com a substituio de (1.13) e (1.14), poder ser determinado por (1.15):

= ff

LL

CC1

12

+ +. (1.15)

Onde, L/L e C/C so, respectivamente, as variaes da indutncia e da

capacitncia do filtro relativamente aos seus valores nominais. 1.3.4.1 - Efeito da dessintonizao sobre a impedncia do filtro

11No projeto de filtros, este afastamento da sintonia (a qual esto sujeitos

todos os circuitos ressonantes), dever ser rigorosamente considerado, sob pena de, em condies anormais, isto , de dessintonizao, os filtros serem incapazes de atender s especificaes.

O desvio equivalente de frequncia tambm pode ser expresso por (1.16).

= o

o (1.16)

Explicitando-se em (1.16), tem-se: = o .(1 + ) (1.17)

Da impedncia complexa do circuito da Figura 1.5, por substituio de (dada em (1.17)), obtm-se (1.18):

Z f() = R + j o oL

C( ).

( )1 1

1+ +

(1.18)

Seguindo-se, substituem-se, em (1.18), os componentes L e C pelas

relaes em funo de Q, o e R, obtidas de (1.8). Estas substituies resultaro na expresso da impedncia do filtro sintonizado frequncia de sintonia, com dessintonizao (1.19):

Zf() = R. 1 21+++

j Q. . .

(1.19)

Para pequenos desvios de frequncia (

12relativamente a 1/R, em funo do produto .Q, reescreve-se (1.22) na forma dada em (1.23):

YR Q

f ( )/ ( . . )

1

1

1 4 2 2

= +

(1.23)

Atravs desta equao, obtm-se a representao grfica da admitncia normalizada (em mdulo e ngulo), em funo dos valores do produto .Q, como ilustra a Figura 1.7, extrada de [32]. Estas curvas so teis para mostrar o quanto a admitncia de um dado filtro sintonizado, na frequncia de sintonia, poder ser afetada em funo do efeito da dessintonizao, independentemente do valor da frequncia de ressonncia. Elas demons tram que, para um dado fator de qualidade e com desvios de frequncia elevados, pode-se observar um considervel afastamento da condio ideal de ressonncia, onde se teria, teoricamente, admitncia mxima e igual a 1/R.

Como exemplo, cita-se o caso de um filtro de fator de qualidade 50 sujeito a uma dessintonizao de + 1%, o qual, conforme a Figura 1.7, nesta condio (que corresponde a .Q = 0,5), ter sua admitncia reduzida para 70% de 1/R (0,7, no eixo vertical da Figura 1.7). Isto significa, em termos prticos, que a dessintonizao poder levar um filtro a oferecer relativamente baixa admitncia (bem menor do que a esperada sob condio ideal), para a correspondente corrente harmnica.

FIGURA 1.7 - Variao da admitncia (relativa a 1/R) do filtro sintonizado, em mdulo e ngulo, em funo do fator de qualidade (Q) e do desvio equivalente

de frequncia ().

13O ngulo da admitncia complexa do filtro sintonizado dado pelo oposto

do ngulo f da impedncia Zf() (equao (1.20)), o qual definido por (1.24). f = tg-1 2 1

. . Q

= tg

-1 (2..Q) (1.24) Para o desvio citado anteriormente (+ 1%), o ngulo da admitncia complexa do filtro ser de - 45o (enquanto que, na hiptese de ausncia da dessintonizao, este ngulo seria de 0o). Assim, nota-se que f tambm bastante dependente de e Q. Outra forma de representao grfica do efeito da dessintonizao sobre a caracterstica dos filtros sintonizados atravs da representao da impedncia ou da admitncia desses filtros por meio de diagramas polares no plano complexo. O diagrama polar da Figura 1.8, mostra que os pontos da impedncia do filtro, sujeito dessintonizao, estendem-se sobre um segmento de reta vertical, cujos extremos so determinados pelos valores mximo e mnimo do ngulo f : fmax e fmin. Estes ngulos limites correspondem aos valores mximo e mnimo de dessintonizao, que so representados, respectivamente, pelos valores max e min. Verifica-se tambm que, no caso ideal (em que no houvesse dessintonizao, correspondente a f = 0o), a impedncia seria dada, to somente, pelo valor R.

FIGURA 1.8 - Lugar geomtrico da impedncia do filtro ressonante, sujeito

dessintonizao.

14PARTE 2:

AS PRINCIPAIS ETAPAS DE UM PROJETO DE FILTRO HARMNICO

2.1 - Introduo

Os clculos para determinao de filtros harmnicos podem ser muito exaustivos, podendo at ser recomendvel, na prtica, a aplicao de programas computacionais especializados. No entanto, os princpios dos mtodos utilizados na determinao de filtros podem ser conhecidos a partir da anlise de casos simplificados.

De uma maneira geral, o projeto de filtros harmnicos consiste da execuo de diversas etapas, onde so determinadas o desempenho e os elementos necessrios ao dimensionamento global dos filtros.

Na primeira etapa, atravs de um programa de penetrao harmnica e/ou de medies, procede-se obteno das tenses harmnicas nos barramentos e das correntes harmnicas provenientes das fontes harmnicas.

A segunda etapa consistir da escolha dos lugares geomtricos (regies por onde se estendero as impedncias harmnicas do sistema c.a.) das impedncias harmnicas no plano complexo R-X, a ser feita com base nos valores de impedncias do sistema, obtidos em diversas condies operacionais. Tais lugares geomtricos sero utilizados nos clculos do desempenho e da capacidade nominal de filtros. Ainda nesta etapa, sero tambm abordadas as formas usuais de representaes de impedncias e as tcnicas teis para a manipulao dessas representaes geomtricas.

As duas etapas seguintes consistem dos clculos do desempenho de filtragem (que tem o objetivo de atender a um critrio pr-definido) e da capacidade nominal de filtros (cujo objetivo o dimensionamento dos componentes).

2.2 - Aspectos essenciais do projeto de filtros

O projeto de filtros harmnicos, em geral, pode requerer o cumprimento de dois requisitos essenciais:

I) promover a filtragem dos harmnicos, a nveis aceitveis; II) suprir uma parcela da potncia reativa total, frequncia fundamental, requerida pelo sistema eltrico.

Para atender ao primeiro requisito, pressupe a existncia de critrios que devem ser atendidos pela instalao de filtragem. Os critrios utilizados na determinao de filtros harmnicos so traduzidos por parmetros indicadores, definidos e recomendados por organismos internacionais. Os valores recomendados so adotados pelas empresas de energia eltrica, sendo ento exigidos na realizao dos projetos de filtros.

Com relao ao suprimento de reativo, os filtros em derivao dos sistemas eltricos apresentam, caractersticas capacitivas frequncia fundamental.

15Portanto, caso o sistema eltrico apresente carncia de reativo, os filtros podero ser projetados para suprir parte da potncia reativa requerida.

O atendimento dos requisitos relacionados pelo projeto de filtragem, deve ser efetivado, preferencialmente, com o menor custo global. Sendo assim, o projetista deve avaliar os resultados das diferentes alternativas que se apresentam, no sentido de alcanar-se a eficincia de filtragem exigida e atender parcela da potncia reativa demandada pelo sistema eltrico que cabe ao esquema de filtragem, com custo global minimizado. 2.2.1 - Critrios de limitao harmnica usualmente adotados em projetos de

filtros Idealmente, o critrio de adequacidade dos filtros deveria ser aquele que

implicasse na eliminao de todos os efeitos prejudiciais dos harmnicos. Este critrio ideal impraticvel dos pontos de vista tcnico e econmico. Do ponto de vista tcnico do projeto de filtros, a distribuio dos harmnicos ao longo da rede c.a. muito difcil de ser controlada. Do ponto de vista econmico, a reduo da interferncia telefnica pode, geralmente, ser obtida de forma mais econmica tomando-se algumas medidas no sistema telefnico e outras no sistema eltrico.

Em geral, o projetista de filtros procura reduzir a distoro de tenso ou a distoro de corrente, a um nvel desejado (normalmente, no possvel atender a dois nveis de exigncia- um para a tenso e outro para a corrente). Usualmente, prefere-se adotar um critrio baseado na reduo da tenso harmnica. Este critrio permitir ao projetista garantir que as magnitudes das tenses harmnicas na barra escolhida no ultrapassaro tenso limite especificada, apesar das variaes das impedncias harmnicas, vistas do ponto de conexo dos filtros.

Entretanto, se o projetista optar por reduzir a distoro harmnica de tenso para um certo valor, o filtro assim escolhido, poder ou no reduzir a distoro de corrente para um valor desejado. claro que, uma vez que o filtro atenda reduo da tenso harmnica em uma barra, de esperar que a injeo harmnica de corrente no sistema decresa (no entanto, caso o filtro esteja desintonizado, isso pode no ocorrer, conforme ser discutido posteriormente). 2.2.1.1 - Distoro harmnica individual

Para equipamentos sensveis presena de somente um harmnico, um critrio baseado na distoro harmnica individual poder ser usado: - distoro harmnica individual de tenso:

Dn = V nV

x( )( )1

100% [%] (2.1)

- distoro harmnica individual de corrente [4]:

16

Dn = I nI

x( )( )1

100% [%] (2.2)

Onde, o ndice '1' refere-se componente fundamental (ou nominal) e 'n' ordem do harmnico considerado. 2.2.1.2 - Distoro harmnica total de tenso

Define-se a distoro harmnica total (DHT) de tenso como a raiz quadrada da soma quadrtica das distores harmnicas individuais de tenso, como indica a equao (2.3), sendo 'nmax' a maior ordem harmnica considerada (por razes prticas, 'nmax' geralmente limitada a 50):

DHT = ( )Dnn

n max2

2= [%] (2.3)

Onde, D o parmetro definido em (2.1), para a frequncia de ordem 'n'.

Por outro lado, quando se quer expressar o limite mximo da distoro da onda de tenso, mas os ngulos de fase dos vrios harmnicos so desconhecidos, um critrio usado com frequncia baseia-se no mximo desvio terico de tenso. O parmetro que traduz este critrio definido como a soma aritmtica das distores harmnicas individuais de tenso:

D = Dnn

n max

=

2

[%] (2.4)

Os valores limites, usualmente especificados para D, situam-se na faixa de 3% a 4%. 2.2.2 - Compensao reativa atravs de filtros

Os filtros apresentam impedncia predominantemente capacitiva frequncia fundamental e, assim, so capazes de suprir ao menos parte da potncia reativa requerida pelo sistema eltrico.

A escolha da potncia reativa de cada filtro deve obedecer a critrios de custo e de eficincia de filtragem. O filtro de custo mnimo aquele que, a uma determinada potncia reativa fundamental, apresenta o menor custo, conforme foi ilustrado na Figura 1.17. Este filtro pode, ou no, prover filtragem adequada [5].

Por outro lado, o fator preponderante na determinao da compensao reativa, na presena de filtros, o custo da soluo adotada. Para ilustrar, tome-se a Figura 2.1, que apresenta curvas tpicas dos custos, em funo da potncia reativa frequncia fundamental, de um arranjo de filtros e de capacitor em derivao,. Supondo que um certo sistema eltrico necessite de uma potncia reativa total de valor Qreativa total, a figura 2.1 mostra que, para o arranjo de filtros

17ilustrado nesta figura, o seu custo mnimo vale Kmin. Nessas condies, ele supre apenas parte (Qreativa min) da potncia reativa total requerida pelo sistema (Qreativa total). Para atingir este valor, ser necessrio complementar com um capacitor, que gerar a potncia reativa Qreativa cap e que ter um custo de valor Kcap. Somando-se os custos deste filtro de custo mnimo (Kmin) e o do capacitor(Kcap), o resultado final ser Kmin + Kcap, que maior que o custo relativo a um nico filtro (Ktotal) capaz de suprir toda a potncia reativa requerida (Qreativa total). Ou seja, nem sempre o uso de um filtro de custo mnimo a soluo mais barata.

FIGURA 2.1 - Curvas de custos do filtro e do capacitor, como funo da potncia

reativa fundamental.

Outro aspecto bastante importante a distribuio da potncia reativa entre os braos de filtros que compem o esquema de filtragem. A escolha das propores relativas das capacitncias dos vrios filtros sintonizados e amortecidos, usualmente, consiste de um procedimento de tentativa e erro, buscando-se obter, por exemplo, a menor distoro harmnica total, para uma dada compensao reativa total, com menor custo. Por outro lado, em instalaes onde no se faz necessria a compensao reativa, esta escolha poder ser mais orientada, buscando-se apenas o atendimento dos critrios de distoro harmnica, a um custo mnimo. 2.2.3 - Escolha do esquema de filtragem

, Em um dado projeto de filtros harmnicos, a escolha do esquema de filtragem no segue uma regra geral. Entretanto, baseando-se nas informaes de inmeras instalaes de filtragem em operao (tanto nas indstrias como nas estaes de transmisso C.C.A.T.), juntamente com as informaes disponveis sobre as caractersticas das cargas eltricas especiais existentes, pode-se extrair algumas regras orientadoras da escolha do arranjo de filtros.

De acordo com a literatura pertinente, pode-se afirmar que: A maior parte das estaes conversoras de 6 pulsos tem filtros

ressonantes sintonizados para as harmnicas de ordens 5, 7, 11 e 13,

18alm de um filtro amortecido, de 2a ou 3a ordem, para as frequncias de ordens superiores;

A configurao normal para as estaes conversoras de 12 pulsos consiste de dois filtros sintonizados para as frequncias harmnicas caractersticas, de ordens 11 e 13, mais um filtro amortecido;

H estaes conversoras, cuja instalao de filtros consta de apenas filtros amortecidos, para toda a faixa de frequncias harmnicas;

algumas estaes conversoras, devido a problemas de desequilbrios e/ou de ressonncias paralelas, possuem filtros sintonizados para ordens harmnicas no-caractersticas dos conversores trifsicos, geralmente para as ordens 3, 5 ou 9.

Em relao s instalaes industriais, algumas afirmaes genricas sobre a aplicao de filtros, para cargas perturbadoras tpicas, so dadas a seguir:

Normalmente, dois filtros sintonizados para as ordens harmnicas 5a e 7a e, possivelmente, um para a 11a ordem e outro para a 13a, so necessrios para conversores de 6 pulsos;

As cargas eltricas especiais que geram espectro contnuo de harmnicas ou inter-harmnicas, como os fornos a arco, exigem normalmente filtros amortecidos para atenuarem as bandas laterais e para suprimirem as ressonncias paralelas.

Por outro lado, o conhecimento das caractersticas de gerao harmnica

das cargas especiais dos sistemas eltricos, tambm pode servir como diretriz na orientao para a escolha da configurao de filtros harmnicos.

As instalaes industriais tpicas, que necessitam de compensao reativa e que, simultaneamente, possuem equipamentos geradores de harmnicos, podem ser classificadas como indicado na Tabela 2.1.

Nas instalaes que possuem conversores estticos de 6 ou 12 pulsos, ou mesmo compensadores estticos controlados a tiristores, de 6 ou 12 pulsos, as ordens harmnicas caractersticas, na faixa de 5a 25a harmnicas, so as seguintes: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 25, para os equipamentos de 6 pulsos e, 11, 13, 23 e 25, para os de 12 pulsos. A soluo de utilizar-se um nico filtro amortecido para a eliminao de todas as harmnicas, normalmente, no vivel, em vista do valor excessivo do capacitor do filtro, com consequente elevao do custo. Por outro lado, a adoo de um filtro sintonizado para cada ordem harmnica caracterstica, implicaria na ocupao de grande espao fsico da subestao. A soluo usual consiste numa soluo mista, na qual se utilizam de dois a quatro braos de filtros sintonizados, por fase, em conjunto com um ou dois filtros amortecidos. Porm, a utilizao de um brao adicional de filtro sintonizado, por fase, para algum harmnico particular de ordem mais baixa, no-caracterstico, pode ser tambm necessria.

19 TABELA 2.1 - Classificao das instalaes industriais, que normalmente

necessitam de filtragem. Ramo industrial e finalidade Equipamentos Metalurgia/Siderurgia - fbricas de ao - fundies - laminaes

fornos a arco fornos de induo acionamentos a semicondutores

Qumica - eletrlise - outras

retificadores motores assncronos

Material de construo: - fbricas de cimento - fbricas de cal

acionamentos a semicondutores acionamentos a semicondutores

Minerao: - esteiras transportadoras - moinhos - escavadoras - espalhadoras

acionamentos a semicondutores acionamentos a semicondutores acionamentos a semicondutores acionamentos a semicondutores

Papel: -fbricas de papel

acionamentos a semicondutores

2.3 - Principais etapas da determinao de filtros harmnicos sintonizados

Fundamentalmente, a determinao de filtros harmnicos sintonizados composta de quatro etapas, as quais podem ser relacionadas a seguir:

I) obteno das correntes e das tenses harmnicas, sem filtros; II) escolha da representao das impedncias harmnicas do sistema

eltrico; III) clculo do desempenho de filtros;

I V) clculo da capacidade nominal de filtros. 2.3.1 - Obteno das correntes e das tenses harmnicas, sem filtros

Esta etapa da determinao de filtros harmnicos refere-se identificao das fontes geradoras de harmnicos do sistema eltrico, e determinao precisa das correntes e tenses harmnicas que surgem na instalao por causa dessas fontes.

As fontes harmnicas encontradas nos sistemas de potncia so bem conhecidas e, atualmente, pode-se contar com extensa bibliografia sobre essas fontes e a gerao de correntes harmnicas. Entretanto, importante ressaltar que os filtros absorvero correntes harmnicas provenientes de todas as fontes harmnicas de um sistema de potncia e no somente daquelas fontes para as quais eles foram especificamente instalados. Portanto, se h distores

20harmnicas no sistema devido a outras fontes, estas tambm devem ser consideradas.

As correntes e tenses harmnicas podem ser obtidas atravs de medies ou clculos. Em termos de clculos, usam-se programas de penetraao harmnica, como o HARMFLOW, derivado do conhecido HARP03, que calcula, dentre outras grandezas, as tenses harmnicas nas barras de um sistema e as correntes harmnicas nas linhas.

2.3.2 - Escolha da representao das impedncias harmnicas do sistema eltrico

As impedncias harmnicas, vistas do ponto de conexo dos filtros em derivao na direo da rede, podem ser bastante variveis com o tempo, em face s mudanas da configurao e das cargas do sistema eltrico. No obstante, essas impedncias so importantes, sobretudo porque o desempenho dos filtros e a determinao da capacidade nominal desses filtros dependem dos valores que a combinao entre as impedncias harmnicas do sistema e dos filtros podem assumir durante a operao do sistema de filtragem.

Os filtros sintonizados, quando sujeitos aos efeitos da dessintonia, no so puramente resistivos. Nessas condies, eles apresentam reatncias que, em combinao com as partes reativas das impedncias harmnicas da rede, podem conduzir ressonncia paralela entre os filtros e o sistema c.a., o que tender a amplificar as tenses e as correntes harmnicas. Consequentemente, uma vez que as impedncias harmnicas das redes podem variar muito ao longo do tempo, o conhecimento dessas impedncias um dos fatores mais importantes e delicados a serem considerados nos clculos do desempenho e dos valores nominais dos componentes dos filtros. Tal como as correntes e tenses harmnicas, as impedncias harmnicas da rede, podem ser determinadas por medies ou por clculos. 2.3.2.1 - Representaes usuais das impedncias harmnicas

Os dados de impedncias harmnicas, obtidos por meio de medies, ou por clculos baseados em modelos convenientes do sistema, devem ser conhecidos em magnitude e fase. Desse modo, as representaes grficas dessas impedncias devem associar a magnitude (ou mdulo) e a fase de cada impedncia respectiva frequncia para a qual foi obtida. Assim, as impedncias harmnicas so representadas, basicamente, de duas formas :

(1) - a representao grfica das impedncias por suas magnitudes e ngulos de fase, em funo da frequncia (Figura 2.2(a));

(2) - a representao grfica das impedncias no plano complexo, pelas partes reais e imaginrias, em funo da frequncia (Figura 2.2(b)). As duas formas de representao grfica de impedncias, para uma dada

frequncia dentro da faixa de frequncias analisada, permitem a determinao da magnitude e fase de qualquer impedncia. No primeiro caso (Figura 2.2(a)), isto obtido pela leitura direta nos grficos de magnitude e ngulo, para a frequncia desejada. Na Figura 2.2(b), a magnitude de uma determinada impedncia

21harmnica a distncia do ponto correspondente, na frequncia desejada, at a origem do sistema de eixos.

FIGURA 2.2 - Representaes grficas das impedncias harmnicas, em funo

da frequncia. (a) Impedncias por magnitude e fase. (b) Impedncias na forma polar.

Analisando-se os diagramas polares de diversos sistemas eltricos, algumas

caractersticas podero ser encontradas, tais como: alternncia de ressonncia (baixa impedncia) e anti-ressonncia (alta

impedncia) medida que a frequncia varia;

22 a mxima impedncia harmnica maior para um sistema levemente carregado

do que quando o mesmo sistema encontra-se plena carga; grandes mudanas ocorrem nas impedncias harmnicas com as sadas de

linhas de transmisso; as impedncias harmnicas no guardam relao matemtica com a potncia de

curto-circuito do sistema; as cargas eltricas contribuem com amortecimento, isto , elas tornam as

ressonncias mais moderadas. Este efeito melhor evidenciado em circuitos de baixa tenso do que nos circuitos de alta tenso;

o amortecimento, devido presena das cargas, aumenta com a frequncia; nos sistemas de transmisso por cabos, as impedncias para altas frequncias

so menores do que as impedncias dos sistemas com linhas areas. As representaes das impedncias harmnicas, sejam pelas formas

apresentadas na Figura 2.2, ou por meio de tabelas, trazem apenas a informao dessas impedncias numa dada condio de operao. Isto equivale a uma 'fotografia' das impedncias harmnicas do sistema em anlise, para o instante considerado. Portanto, no podem ser tomadas como base para o projeto de filtros harmnicos, os quais devero ser determinados para operarem, satisfatoriamente, atendendo s especificaes, sob quaisquer condies de configurao e carga.

Um sistema eltrico, durante sua operao, est sujeito s variaes de configurao e cargas. As variaes quanto configurao ocorrem, principalmente, devido s sadas e entradas de linhas de transmisso nos sistemas de energia, em decorrncia de faltas ou de controle do fluxo de carga. As mudanas de cargas ocorrem continuamente, medida que os consumidores absorvem mais ou menos energia do sistema. Estas contnuas variaes dirias, estacionais, anuais, etc., ao longo do tempo, provocam modificaes das impedncias harmnicas do sistema eltrico, vistas de um dado barramento. Estas variaes, no plano complexo, so traduzidas por mudanas nas posies dos pontos de impedncia, para cada frequncia. Desse modo, um sistema que, numa dada configurao, apresenta uma impedncia harmnica a 900 Hz indutiva, ou seja, localizada no primeiro quadrante, poder apresentar, para outra configurao, impedncia harmnica capacitiva.

Assim, devido s mudanas que ocorrem na rede eltrica, surge a necessidade de determinar-se uma representao grfica dessas impedncias que considere estas variaes. A soluo consiste da anlise de diversos diagramas polares de impedncias harmnicas, obtidos por medies nas diversas condies operativas possveis do sistema eltrico, e a determinao de uma regio do plano complexo, ou lugar geomtrico, que englobe as provveis posies das impedncias que o sistema poder apresentar. Estas regies do plano complexo, convenientemente definidas a partir dos dados de impedncias do sistema c.a., recebem diversas denominaes: 'locus' de impedncia, lugares geomtricos de impedncia [25] ou envelopes de impedncias no plano R-X [27].

232.3.3 - Clculo do desempenho de filtros

O desempenho de filtros harmnicos refere-se atuao desses filtros no sistema eltrico, executando o papel que lhes foi destinado, qual seja, a reduo de tenses e correntes harmnicas no sistema e, quando for o caso, o atendimento da compensao reativa requerida pelo sistema. O clculo do desempenho consiste da anlise das condies operativas mais desfavorveis da rede eltrica, dos filtros e da fonte harmnica, quando so computadas as distores harmnicas de tenso e corrente (individuais e totais), para que, em seguida, esses valores sejam comparados com os critrios pr-fixados.

Um diagrama bsico normalmente utilizado nos clculos de filtros harmnicos mostrado na Figura 2.7. Este diagrama apresenta os principais elementos envolvidos na anlise do desempenho de filtragem e tambm no clculo da capacidade nominal de filtros. Estes elementos so:

- a fonte harmnica, representada na figura por uma carga no-linear tpica, como um retificador, por exemplo;

- - o sistema eltrico, que ser representado por suas impedncias harmnicas vistas do ponto de conexo dos filtros;

- os filtros, cujo desempenho deseja-se analisar.

FIGURA 2.7 - Diagrama unifilar bsico para clculos de filtros harmnicos.

O circuito eltrico equivalente monofsico, correspondente ao diagrama

unifilar bsico da Figura 2.7 est ilustrado na Figura 2.8. Nesta figura, representa-se a carga no-linear por uma fonte de corrente constante para as frequncias harmnicas geradas. O sistema eltrico c.a. representado por suas impedncias harmnicas.

24

FIGURA 2.8 - Circuito eltrico equivalente de impedncias, usado nos clculos

de filtros harmnicos.

Na representao da Figura 2.8, os smbolos Zf(n) e Zs(n) so, respectivamente, as impedncias complexas dos filtros e do sistema eltrico, nas frequncias harmnicas, designadas genericamente pela ordem harmnica 'n'. A tenso harmnica no barramento de conexo do sistema eltrico simbolizada por Vs(n). Os smbolos Is(n) e If(n) so, respectivamente, as correntes harmnicas (eficazes) fasoriais que penetram o sistema e os filtros. A fonte harmnica gera as correntes harmnicas, aqui representadas por I(n).

Baseando-se no diagrama da Figura 2.8, pode-se escrever a expresso da tenso harmnica (Vs(n)) em funo de Is(n) e de Zs(n), como em (2.7).

Vs(n) = Zs(n) . Is(n) (2.7) Por outro lado, tomando-se o equivalente das impedncias dos filtros e do

sistema, as quais esto em paralelo, pode-se tambm relacionar Vs(n) com a corrente gerada (I(n)) pela fonte harmnica:

Vs(n) = Z n Z n

Z n Z nf s

f s

( ). ( )( ) ( )+

.I(n) (2.8)

Igualando-se a equao (2.7) equao (2.8) e explicitando-se Is(n), obtm-

se a equao (2.9), que expressa a corrente harmnica injetada no sistema eltrico em funo da corrente gerada pela fonte harmnica.

Is(n) = Z n I

Z n Z nI n

Z nZ n Z n

f n

f s

ff s

( ).( ) ( )

( )

( ).( ( ) ( ))+

=+1

(2.9)

A tenso harmnica fornecida pela equao (2.8) pode tambm ser expressa em funo de admitncias em vez de impedncias. Isto pode ser obtido, simplesmente, dividindo-se simultaneamente o numerador e o denominador do segundo membro daquela equao pelo produto Zf(n).Zs(n). Isto resultar na equao (2.10):

25

Is(n) = I n

Z n Z n

I nY n Y n

f s

f s

( )

( ) ( )

( )( ) ( )1 1+

= + (2.10)

Sendo Yf(n) e Ys(n) as admitncias complexas dos filtros e do sistema. Conforme j mencionado anteriormente, a anlise do desempenho de filtros

harmnicos objetiva a determinao das amplitudes das tenses harmnicas no barramento do sistema c.a., e as amplitudes das correntes harmnicas que entram neste mesmo sistema, nas condies extremas. Por este motivo, interessa-se pelos mdulos dessas grandezas, sem preocupar-se com os efeitos sobre seus ngulos de fase.

Desse modo, os mdulos da tenso harmnica e da corrente harmnica no ponto de conexo do sistema eltrico, para a frequncia de ordem 'n', obtidos das equaes (2.10) e (2.9), so dados pelas equaes (2.11) e (2.12), respectivamente.

|Vs(n)| = I nY n Y nf s( )

( ) ( )+ (2.11)

|Is(n)| = I n

Z nZ n Z n

ff s

( )

( ). ( ) ( )1 +

(2.12)

Observando-se as equaes (2.11) e (2.12), verifica-se que, sem o conhecimento da impedncia harmnica do sistema eltrico (Zs(n)), nenhuma delas permitir a determinao de um sistema de filtragem adequado.

Assim, sem dados confiveis sobre a impedncia Zs(n) no ser possvel dimensionar corretamente os filtros. 2.3.3.1 - Clculo da mxima tenso harmnica possvel

Ao projetar-se filtros harmnicos, objetiva-se a reduo da tenso harmnica no barramento do sistema eltrico c.a.. Por isso, para que se tenha a garantia do atendimento dos critrios pr-fixados, em quaisquer condies de operao da fonte harmnica e do sistema, deve-se considerar a situao mais desfavorvel no que se refere distoro harmnica. Isto , dever ser calculada a maior tenso harmnica possvel de ocorrer no barramento, aps a instalao dos filtros.

Para proceder a esta anlise, considerando-se que a impedncia harmnica do sistema um ponto qualquer de um lugar geomtrico especificado do plano complexo (obtido com base nos dados de medies ou clculos), considera-se as condies extremas da combinao das impedncias dos filtros e do sistema eltrico c.a., presumindo-se o conhecimento preciso da regio geomtrica do plano complexo sobre a qual se encontram as impedncias do sistema.

A mxima distoro de tenso possvel de ocorrer, aps a instalao dos filtros, poder ser dada (2.11), aqui reescrita como (2.13):

26

|Vs(n)|max = I nY n Y nf s min( )

( ) ( )+ (2.13) Onde:

|Vs(n)|max : mxima tenso harmnica de ordem 'n', que pode ocorrer no barramento do sistema eltrico c.a., em mdulo; |Yf(n) + Ys(n)|min: mdulo mnimo da admitncia equivalente, resultante da combinao das admitn cias dos filtros e do sistema eltrico, na frequncia de ordem 'n'; |I(n)|: mdulo da corrente harmnica de ordem 'n', gerada pela fonte harmnica na condio de operao mais desfavorvel de gerao harmnica.

A condio imposta admitncia equivalente dos filtros e do sistema c.a.,

retratada na equao (2.13), corresponde ressonncia paralela entre os filtros e o sistema. Esta condio extrema poder ocorrer na prtica, tendo em vista o efeito da dessintonizao a que esto sujeitos todos os filtros sintonizados e, tambm devido variao da impedncia do sistema c.a.. Compete, portanto, anlise do desempenho de filtros verificar se a ocorrncia de uma situao extrema, como aquela imposta equao (2.13), implicar na ultrapassagem dos limites tolerveis de distoro harmnica de tenso e corrente, previamente fixados.

27PARTE 3:

MTODO SIMPLIFICADO NA DETERMINAO DE FILTROS HARMNICOS:

3.1 - Introduo

A determinao precisa de filtros harmnicos envolve um grande nmero de dados, variveis e parmetros, os quais devem ser corretamente processados de modo a se conseguir o desempenho de filtragem requerido. Um mtodo geral de determinao de filtros, dever contemplar os seguintes aspectos fundamentais:

- o equacionamento deste mtodo dever ser genrico, de forma a possibilitar a aplicao de um procedimento sistemtico de clculo das condies extremas da combinao filtros-sistema; - os procedimentos deste mtodo devero considerar os clculos do desempenho e da capacidade nominal, alm das perdas e dos custos, para o arranjo como um todo e tambm para todas as frequncias do espectro. Esses procedimentos implicam, por exemplo, na obteno de equivalentes

dos filtros para um arranjo preliminar, para cada frequncia harmnica do espectro. No entanto, buscando-se alcanar o desempenho de filtragem especificado, diversas outros arranjos podem ser testados.

Assim, os mtodos manuais normalmente adotados para a determinao de filtros, por serem simplificados, impossibilitam a anlise dos filtros harmnicos de forma plena. Conforme ser destacado ao longo deste captulo, Inquestionavelmente, um programa digital facilitaria bastante o trabalho do projetista de filtros.

No obstante, os projetistas de filtros harmnicos, deveriam conhecer essa metodologia simplificada, pois a mesmo proporciona um conhecimento geral do problema. Dentro deste contexto, a metodologia geral simplificada apresentada neste captulo.

Nessa anlise, o sistema c.a. ser considerado em trs diferentes lugares

geomtricos: (1) - impedncias harmnicas infinitas; (2) - sistema puramente reativo; (3) - sistema com impedncias harmnicas de ngulos de fase limitados. Uma grande parte deste captulo aborda os filtros sintonizados, porque

esses filtros normalmente esto sujeitos dessintonizao e so projetados para frequncias especficas. Assim, quando nas condies mais crticas de combinao com o sistema c.a., eles podero conduzir a distores harmnicas elevadas, ao contrrio dos filtros amortecidos. Desse modo, os filtros sintonizados exigem maior cuidado no que se refere ao desempenho harmnico, o que vem, obviamente, justificar a nfase dada neste captulo.

283.2 - Anlise do desempenho de filtro sintonizado

A anlise do desempenho de um filtro sintonizado dedica-se, prioritariamente, aos clculos das mximas tenses e correntes harmnicas possveis no sistema eltrico, aps a instalao desse filtro. Por outro lado, a definio do filtro sintonizado (que proporciona o desempenho calculado) poder tambm incluir a escolha da potncia reativa frequncia fundamental e a escolha da seletividade do filtro, denotada pelo seu fator de qualidade.

O desempenho dos filtros sintonizados , normalmente, mais crtico do que aquele dos filtros amortecidos porque os filtros sintonizados esto sujeitos dessintonizao. Por conseguinte, eles podem, eventualmente, em combinao com a rede eltrica, conduzir a amplificaes de correntes harmnicas no sistema, causando, assim, elevadas distores harmnicas.

Geralmente, o arranjo de filtros harmnicos composto de um ou mais braos de filtros sintonizados e um brao de filtro amortecido para as frequncias altas. No entanto, considerando-se que a presente anlise trata de um clculo manual, simplificado, nos estudos que se seguem, tomar-se- o circuito equivalente ilustrado na Figura 3.1, onde apenas um brao de filtro sintonizado est representado. Outra simplificao do mtodo simplificado est na anlise da performance do filtro, a qual ser realizada apenas para sua frequncia de sintonia (que aqui ser genericamente indicada pela ordem harmnica 'n'). Ficaria extremamente trabalhoso proceder anlise manual de um filtro sintonizado para todas as harmnicas presentes (isso, no entanto, poder, obviamente, ser feito em clculos via computador). Tais simplificaes, no entanto, no invalidam a presente anlise, pois a mesma proporciona um conhecimento geral do problema.

FIGURA 3.1 - Circuito eltrico para clculo do desempenho individual de filtro

sintonizado.

Na Figura 3.1 Is(n) e If(n) so as correntes harmnicas fasoriais de ordem 'n', que penetram respectivamente o sistema c.a. e o filtro. O smbolo I(n) representa a corrente harmnica de ordem 'n' gerada pela fonte harmnica. Vs(n) a tenso harmnica de ordem 'n', no ponto de acoplamento comum. As impedncias harmnicas do sistema c.a. so simbolizadas por Zs(n). O brao de filtro sintonizado representado por seus componentes nominais C, L e R.

Admitindo-se que o brao de filtro seja sintonizado frequncia de ordem 'n' e que o mesmo esteja sujeito mxima dessintonizao, representada pelo

29desvio mximo equivalente de frequncia (max), a impedncia desse brao sintonizado ento dada pela equao (1.20). Com base nessa equao) e em (1.24) e, admitindo-se a condio de mxima dessintonizao, a impedncia complexa do filtro sintonizado pode ser expressa em funo do ngulo mximo dessa impedncia, designado por fmax e da resistncia efetiva (R) do brao de filtro, como indica a equao (3.1). Zf(n) = R.(1 + j.tgfmax) (3.1)

Para a mxima dessintonizao, a equao (1.24) se torna:

tgfmax = 2.max.Q (3.2)

Objetivando-se calcular filtros harmnicos em termos dos ngulos mximos das impedncias do filtro (definido em (3.2)) e do sistema c.a., procurar-se- expressar a admitncia complexa (Yf(n)) dada em (1.21) em funo do ngulo fmax, caracterstico da dessintonizao. Isto pode ser feito, simplesmente, substituindo-se a equao (3.2) na equao de Yf(n). Aps serem aplicadas as identidades trigonomtricas, chega-se equao (3.3):

Yf(n) = 1R

.(cos2fmax - j.senfmax.cosfmax) (3.3)

A anlise do desempenho de filtragem ser feita atravs do clculo das mximas tenses e correntes harmnicas possveis no ponto de acoplamento do sistema c.a., considerando-se as condies mais crticas da combinao filtro-sistema. Este clculo ter o objetivo de determinar o filtro harmnico, de modo que se possa garantir, sob quaisquer condies, que a distoro harmnica de tenso no ultrapassar o limite mximo pr-fixado. 3.2.1 - Anlise do desempenho de filtro sintonizado com o sistema c.a. em condies especiais

O desempenho do filtro sintonizado pode ser avaliado a partir das mximas tenso e corrente harmnicas possveis de ocorrer no sistema c.a., na frequncia de sintonia (a mxima tenso harmnica expressa de acordo com a equao (2.13) e a mxima corrente harmnica possvel, injetada no mesmo sistema, expressa pela equao (2.20)).

Os valores dessas grandezas dependem basicamente da mxima dessintonizao especificada, do fator de qualidade selecionado para o filtro, de sua potncia reativa fundamental e da impedncia harmnica apresentada pelo sistema eltrico.

Dependendo dos valores assumidos por essas variveis, pode-se ter distores harmnicas (de tenso ou corrente) em maior ou menor grau, bem como o aumento ou a reduo das perdas eltricas no filtro. No que se refere representao do sistema eltrico, h duas situaes extremas entre as representaes possveis das impedncias harmnicas. Essas situaes extremas

30sero denotadas, neste trabalho, por condies especiais do sistema eltrico c.a., a saber: - sistema c.a. com impedncia infinita; - sistema c.a. puramente reativo. 3.2.1.1 - Sistema eltrico c.a. com impedncia infinita

Impedncia harmnica infinita para todas as frequncias, uma hiptese apenas terica e que implica em correspondente admitncia nula.

Esta condio no permitir que ocorra ressonncia entre o filtro dessintonizado e o sistema c.a.. A suposio de impedncia harmnica infinita implicar, tambm, em uma considerao otimista no que se refere injeo de corrente harmnica no sistema c.a.: as correntes harmnicas que entram na rede sero nulas!

Desse modo, a mxima tenso harmnica possvel (originalmente dada por (2.13)), de mesma ordem harmnica de sintonia do filtro sintonizado, reduz-se expresso (3.4):

|Vs(n)|max = I nY nf( )( )

(3.4)

Onde: |Vs(n)|max: a mxima tenso harmnica possvel no barramento do sistema c.a., de mesma ordem harmnica de sintonia do filtro, em mdulo, na condio em que a admitncia do sistema nula; |I(n)|: o mdulo da corrente de ordem 'n', gerada pe la fonte harmnica; |Yf(n)|: o mdulo da admitncia do filtro sintoniza do sujeito mxima dessintonizao, na frequncia de sintonia.

Calculando-se o mdulo de Yf(n) com base na equao (1.21), obtm-se (3.5):

|Yf(n)| = 11 4 2 2R Qmax. . .+

(3.5)

Substituindo-se (3.5) na equao (3.4) da mxima tenso harmnica

possvel para este caso, chega-se em (3.6). |Vs(n)|max = |I(n)|.R. ( . .1 4 2 2+ max Q (3.6)

Em seguida, reportando-se equao (2.18), que relaciona a impedncia natural (Zo) com o fator de qualidade e a resistncia efetiva do filtro sintonizado, pode-se eliminar R da equao (3.6) [5], como mostra (3.7) (isso feito para se expressar a mxima tenso harmnica possvel, de ordem 'n', apenas em funo dos parmetros do filtro que esto sob o controle do projetista, que so a potncia reativa fundamental, representada por Zo, e o fator Q).

|Vs(n)|max = |I(n)|.Zo. 1 42 2Q max+

. (3.7)

31Analisando-se a tenso harmnica dada pela equao (3.7), verifica-se que,

para o fator de qualidade Q de valor infinito, ela ser mnima. Isto implicar, tambm, em ausncia de perdas eltricas no filtro. Nessas condies, a mxima tenso harmnica possvel de ocorrer, ser dada pela equao (3.8). |Vs(n)max = 2.|I(n)|.Zo.max (3.8) 3.2.1.2 - Sistema eltrico c.a. puramente reativo

Supondo-se que a admitncia harmnica do sistema eltrico possa ser genericamente representada por suas componentes real e imaginria, Gs(n) e Bs(n), a equao (2.13), da mxima tenso harmnica possvel, pode ser reescrita em funo das componentes das admitncias do sistema e do filtro sintonizado, para a frequncia de ordem 'n', como em (3.9).

|Vs(n)|max = [ ]I nG n G n B n B ns f s f min( )

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))+ + +2 2 (3.9)

Onde: |Vs(n)|max: a mxima tenso harmnica possvel no barramento do sistema eltrico, de mesma ordem harmnica de sintonia do filtro, expressa em termos das componentes de admitncias; Gf(n): a condutncia do filtro sintonizado, sujeito dessintonizao, dada pela parte real da equao (3.3); Bf(n): a susceptncia do filtro sintonizado, sujeito dessintonizao, dada pela parte imaginria da equao (3.3); Gs(n) e Bs(n) : so, respectivamente, as componentes real e imaginria da admitncia harmnica do sis tema c.a., na frequncia de ordem 'n'.

Considerando-se que, nessa anlise, o sistema c.a. puramente reativo na

frequncia de sintonia do filtro, ento a correspondente condutncia do sistema, Gs(n), ser nula [8]. A equao da mxima tenso harmnica possvel de ordem 'n', reduz-se (3.10):

|Vs(n)|max = I nG n B n B nf s f min

( )

[ ( ) ( ( ) ( )) ]2 2+ + (3.10)

Considerando-se que a susceptncia do sistema c.a., Bs(n), pode assumir qualquer valor, ento o valor de Bs(n) que resultar na mxima tenso harmnica possvel aquele que representa a ressonncia paralela do sistema c.a. com o filtro: Bs(n) = -Bf(n) (3.11)

Nestas condies, a mxima tenso harmnica possvel de ordem 'n', no ponto de acoplamento comum (neste caso em que o sistema puramente reativo e est em ressonncia paralela com o filtro), dada por (3.12):

32

|Vs(n)|max = I nG nf( )( )

(3.12)

Por outro lado, a condutncia do filtro sintonizado, Gf(n), dada pela parte

real da equao (1.21), pode ser tambm expressa por (3.13):

Gf(n) = 1

1 4 2 2R Qmax.( . . )+ (3.13)

Substituindo-se (3.13) em (3.12), obtm-se outra equao, alternativa, da

mxima tenso harmnica possvel de ordem 'n', no sistema c.a.: |Vs(n)|max = |I(n)|.R(1 + 4.2max . Q2) (3.14)

A equao (3.14) idntica equao (2.15), a qual foi obtida para a condio em que admitiu-se que a impedncia harmnica do sistema podia estender-se por uma extensa regio do plano complexo, inclusive o eixo das reatncias (seo 2.3.3.1). Em outras palavras, nas condies extremas, isto , de 'maximizao' da tenso harmnica, o caso presentemente analisado se inclui no caso anteriormente estudado.

A mxima tenso |Vs(n)|max, obtida em (3.14), pode ser minimizada atravs do fator de qualidade timo, Qo. Assim, explicitando-se R em (1.9) e substituindo-o em (3.14), obtm-se (3.15) da mxima tenso harmnica possvel no sistema c.a., em funo do fator de qualidade.

|Vs(n)|max = |I(n)|.Zo. 1 4 2 2Q Qmax+

. . (3.15)

Considerando-se que a presente anlise se inclui no caso anteriormente estudado, ento a equao (3.15) igual (2.16). Tambm conforme a seo 2.3.3.1, poder ser obtida a minimizao desta tenso pelo valor do fator de qualidade timo, Qo (equao 2.18). A substituio de Q pelo valor de Qo, na equao (3.15) resultar na mxima tenso harmnica de ordem 'n', possvel de ocorrer no barramento do sistema c.a. puramente reativo, minimizada atravs do fator de qualidade timo (que igual equao (2.19), pelos motivos j expostos : |Vs(n)|max = 4.|I(n) . Zo. max (3.16)

A correspondente mxima corrente harmnica possvel de mesma frequncia da sintonia do filtro, injetada no sistema de impedncias puramente reativas, ser descrita pela equao (2.22).

Observando-se a equao (3.16) e comparando-a com a equao (3.8), verifica-se que a mxima tenso harmnica dada pela equao (3.16) o dobro da mxima tenso dada por (3.8). Isto ocorre porque, na presente anlise, inseriu-se a hiptese de ressonncia paralela. J no caso referente equao (4.8), o sistema foi suposto ter impedncia infinita. Nessas condies, no possvel a ocorrncia de ressonncia.

A utilizao da equao (3.16) no projeto de filtros d garantia absoluta do conhecimento, por parte do projetista, da mxima tenso harmnica possvel, otimizada por Qo (para qualquer impedncia harmnica do sistema c.a., com ou

33sem componentes resistivas). Isto porque a resistncia do circuito sempre far decrescer a tenso harmnica. Na prtica, sabe-se que os sistemas eltricos sempre possuem componentes resistivas para qualquer frequncia harmnica. Isto torna o valor de tenso, determinado nesta seo pela equao (3.16), indevidamente pessimista.

Conforme demonstra a anlise efetuada dessas duas condies (sistema eltrico com impedncia infinita ou puramente reativa), verifica-se que elas correspondem a situaes limites no que tange ao desempenho individual do filtro sintonizado. A primeira (impedncia infinita) mostra-se otimista no que diz respeito s mximas tenso e corrente harmnicas possveis, como tambm em relao s perdas eltricas no filtro e possibilidade de ocorrncia de ressonncia paralela. A segunda condio (impedncia reativa pura) pessimista, sendo que conduzir ao superdimensionamento dos filtros.

Pode-se, portanto, deduzir desta anlise que razovel supor-se a existncia de uma condio intermediria s duas situaes discutidas, que contemple aspectos reais comumente observados nos sistemas eltricos, tais como a resistncia eltrica e a impedncia harmnica finita. Assim, ser oportuno analisar esta condio e, com a mesma, formular uma metodologia genrica clculo de filtro. Este estudo, alm de evidenciar os procedimentos de clculo normalmente empregados, ter o papel de estabelecer conceitos importantes sobre os filtros. Por se tratar de uma anlise especfica para a frequncia de ressonncia do filtro sintonizado, a mesma ser denominada, neste texto, de mtodo analtico simplificado. 3.3 - Mtodo analtico simplificado de determinao de filtro sintonizado

Nesta anlise admitir-se-, que as impedncias harmnicas indutivas, ou seja, aquelas impedncias pertencentes ao primeiro quadrante do plano complexo, podem ter ngulos de fase de, no mximo, +sm. Por outro lado as impedncias harmnicas capacitivas (pertencentes ao quarto quadrante), podem ter ngulos de fase de, no mnimo, -sm. Esta representao geomtrica est ilustrada na Figura 3.2, a qual ser usada na presente anlise.

FIGURA 3.2 - Representao geomtrica das impedncias harmnicas, com restrio dos

ngulos de fase.

34Desse modo, os ngulos limites das impedncias harmnicas do sistema c.a.

sero dados pelas igualdades (3.17) e (3.18):

smax = +sm (3.17) smin = -sm (3.18) 3.3.1 - Clculo da mxima tenso harmnica possvel

Reportando-se equao (2.13), que fornece a mxima tenso harmnica possvel de ordem 'n' no ponto de conexo do sistema eltrico, verifica-se que o clculo dessa tenso compreende a determinao do mdulo da admitncia mnima, equivalente do paralelismo das admitncias do filtro sintonizado e do sistema c.a., frequncia de sintonia, que representa a condio mais crtica no que se refere distoro harmnica.

Para proceder ao clculo do mdulo mnimo dessa admitncia, deve-se preparar a admitncia harmnica do filtro (que correspondente obteno de (3.3)) e tambm a representao geomtrica das admitncias do sistema eltrico.

A admitncia complexa do filtro sintonizado, na condio de mxima dessintonizao, pode ser representada por suas componentes real e imaginria, conforme indicam as equaes (3.19) e (3.20).

Gf(n) = cos2 fmax

R (3.19)

Bf(n) = - sen .cos fmax fmax

R (3.20)

Onde: Gf(n) e Bf(n) : so, respectivamente, a condutncia e a susceptncia do filtro sintonizado sujeito dessintonizao, na frequncia de sintonia; fmax: o ngulo mximo da impedncia do filtro sintonizado, na condio de mxima dessintonizao; R : a resistncia efetiva do filtro sintonizado.

O ngulo fmax, denotado neste trabalho como um valor caracterstico da

mxima dessintonizao que o filtro sintonizado poder sofrer, assumir valor positivo ou negativo em conformidade com o desvio mximo equivalente de frequncia, max. Portanto, o sinal de fmax acompanhar o sinal de max, como indica a equao (3.2).

Para efeito de anlise, ser admitido que o desvio mximo equivalente de frequncia seja positivo, o que resultar em fmax tambm positivo. Isto significa que, de acordo com as propriedades das funes trigonomtricas, as componentes Gf(n) e Bf(n) da admitncia do filtro sero representadas no plano complexo de admitncias por um ponto no quarto quadrante do plano Y. Este ponto est

35ilustrado na Figura 3.3 (ponto A). Nesta figura tambm est representado o lugar geomtrico das admitncias harmnicas do sistema c.a., obtido a partir da Figura 3.2.

FIGURA 3.3 - Representao geomtrica das admitncias harmnicas, resultante

da transformao do lugar geomtrico de Zs(n). 3.3.1.1 - Procedimento para obteno do mdulo mnimo do equivalente das admitncias do filtro e do sistema c.a.

O equivalente de duas admitncias complexas de ordem 'n', em paralelo, consiste, to somente, na adio dessas admitncias, denotada por Yf(n) + Ys(n). No entanto, quando uma dessas admitncias (no caso, Ys(n)) corresponder no a um ponto, mas a um conjunto de pontos delimitados por uma regio definida (como a regio ilustrada na Figura 3.3), sero infinitas as possibilidades de combinao de Yf(n) e Ys(n), mesmo fixando-se a frequncia harmnica (de ordem 'n'). A Figura 3.4 mostra uma possibilidade, na qual a admitncia Yf(n) do filtro, na frequncia de sintonia, adicionada a uma admitncia harmnica definida pelo ponto B, genrico.

FIGURA 3.4 - Composio da admitncia do filtro com uma provvel admitncia

do sistema c.a..

36Por outro lado, quando o interesse recair na obteno do mdulo mnimo

deste equivalente, para uma dada frequncia de ordem 'n', isto : |Yf(n) + Ys(n)|min, pode-se determinar o valor deste mdulo aplicando-se a regra do paralelogramo, onde as admitncias sero tratadas como 'vetores' do plano complexo.

Inicialmente, partindo-se da Figura 3.4, procurar-se- mostrar a equivalncia entre o mdulo da resultante e a distncia geomtrica do ponto A , definido por - Yf(n), ao ponto B dado por Ys(n). Com este objetivo, transpe-se a admitncia do filtro (Yf(n) indicada na Figura 4.4) para o 2o quadrante, apenas, multiplicando-a por (-1), conforme ilustra a Figura 3.5.

Analisando-se a Figura 3.5, baseando-se em teoremas elementares da

Geometria, obtm-se as seguintes concluses: 1o) os ngulos 1 e 2 so iguais; 2o) os lados dos paralelogramos OBCA e OBCA so iguais; 3o) os paralelogramos OBCA e OBCA so semelhantes e equivalentes; 4o) as diagonais OC e A B, so equivalentes.

FIGURA 3.5 - Transposio da admitncia do filtro para mostrar a equivalncia

entre o mdulo da resultante (OC ) e a distncia A B.

Destas concluses, pode-se extrair a confirmao de que o mdulo da resultante (que o segmento OC da Figura 3.5, onde OC = |Yf(n) + Ys(n)| equivale distncia do ponto A, de coordenadas (-Gf(n), -Bf(n)), ao ponto B correspondente a Ys(n).

Em seguida, analisando-se as distncias entre o ponto A e os pontos pertencentes regio delimitada pelas semi-retas s1 e s2 , verifica-se que possvel obter-se infinitas distncias desse ponto A (fixo para uma dada frequncia) aos infinitos pontos da regio, os quais representam as admitncias harmnicas do sistema eltrico. A Figura 3.6 mostra diversas possibilidades atravs de uma sequncia de ilustraes.

37Inspecionando-se as ilustraes da Figura 3.6, conclui-se que o mdulo

mnimo do equivalente das admitncias Yf(n) e Yn(n) ser a distncia dAB indicada na Figura 3.6(f), a qual perpendicular admitncia Ys(n). A Figura 3.6(f) encontra-se ampliada na Figura 3.7.

Da observao da Figura 3.7, conclui-se que o menor mdulo do equivalente (distncia dAB na Figura 3.6), corresponde geometricamente distncia do ponto A, de coordenadas (-Gf(n), -Bf (n)) semi-reta s1.

38

FIGURA 3.6 - Representaes de diversas possibilidades de obteno do mdulo

da soma das admitncias do filtro e do sistema c.a..

39

FIGURA 3.7 - Posio do ponto A em relao ao lugar geomtrico das

admitncias harmnicas do sistema c.a., indicando o mdulo mnimo.

Observa-se ainda que, conforme a posio do ponto A, ter-se- que calcular a distncia desse ponto semi-reta s1 (como indica a Figura 3.7) ou semi-reta s2 (se o desvio mximo equivalente de frequncia max for negativo) ou, at mesmo, a distncia do ponto A origem do sistema de eixos, quando max for muito pequeno ou nulo.

Vale ressaltar que o mtodo de clculo do mdulo mnimo da soma Yf(n) + Ys(n) inteiramente vlido para qualquer tipo de representao geomtrica de admitncias, no se restringindo apenas ao lugar geomtrico dado na Figura 3.3. Este mtodo descrito tambm vlido para qualquer frequncia harmnica (inclusive para as frequncias diferentes da frequncia de sintonia do filtro). Neste contexto, pode-se resumir os procedimentos deste mtodo nas seguintes etapas:

I) Transpor o ponto A, correspondente a Yf(n), para o semi-plano esquerda do eixo vertical, multiplicando suas coordenadas pelo fator (-1), obtendo-se com isto o ponto A.

II) Determinar a menor distncia do ponto A ao lugar geomtrico considerado para Ys(n). Esta distncia, que equivale soma de |Yf(n) + Ys(n)|, pode ser obtida da teoria de geometria analtica (relativa distncia entre um ponto e uma reta). A distncia assim obtida, equivale ao mdulo mnimo procurado, para a frequncia harmnica de ordem 'n'.

Para a Figura 3.7, essa distncia, ser:

|Yf(n) + Ys(n)|min = cos .sen( ) fmax sm fmaxR + (3.21)

Finalmente, recorrendo-se equao (2.13) da mxima tenso harmnica possvel, substitui-se o resultado que consta de (3.21) naquela expresso. Isto resulta na equao (3.22):

|Vs(n)|max = I n Rfmax sm fmax

( ) .cos .sen( ) + (3.22)

40Onde:

|Vs(n)|max: a mxima tenso harmnica possvel de ocorrer no sistema c.a., na frequncia de sintonia do filtro, em funo do ngulo limite das impedncias harmnicas; sm: o ngulo mximo das impedncias harmnicas do sistema eltrico; fmax: o ngulo da impedncia do filtro sintonizado, na condio de mxima dessintonizao; R : a resistncia efetiva do filtro sintonizado. Existe um valor timo do fator de qualidade, isto , aquele valor que

resultar na mnima tenso harmnica, calculada para a pior condio da combinao filtro-sistema e para a mxima dessintonizao. 4.3.1.2 - Determinao do fator de qualidade timo do filtro sintonizado

Inicialmente, rearranja-se a equao (3.21) (que fornece o mdulo mnimo da admitncia equivalente do filtro e do sistema c.a.). O resultado disso ser a equao (3.23):

|Yf(n) + Ys(n)|min = ( )11 4

22 2R QQ

maxsm sm max.( . . )

. sen cos . . .+ + (3.23)

Em seguida, substitui-se nesta equao o valor de R (do filtro sintonizado),

por Zo/Q. Finalmente, levando-se |Yf(n) + Ys(n)|min em (2.13), obtm-se a equao da mxima tenso harmnica possvel em funo do fator de qualidade [8]:

|Vs(n)|max = I n Z QQ Q

o max

sm sm max

( ) . .[ . . ].[sen cos . . . ]

1 42

2 2++

(3.24)

A mxima tenso harmnica possvel, dada pela equao (3.24), poder assumir diferentes valores em funo do fator de qualidade, fixando-se as demais grandezas. Dentre essas mximas tenses harmnicas possveis de se obter com a variao do fator de qualidade, existe uma que a menor de todas as tenses mximas. Para determin-la, deriva-se, em (3.24), a tenso |Vs(n)|max relativamente a Q. Isso resultar na equao (3.25): d V n

dQs max( ) = |I(n)| . Zo . [ . . .sen . .cos . sen ]

.[sen cos . . . ]4 4

2

2 2

2 2

max sm max sm sm

sm sm max

Q QQ Q

+

(3.25)

Igualando-se (3.25) a zero, tem-se a equao algbrica do segundo grau em

Q, dada por (3.26). 4.2max.sensm.Q2 - 4.max.cossm - sensm = 0 (3.26)

As razes dessa equao sero obtidas aplicando-se a conhecida frmula de resoluo de equaes algbricas do segundo grau. Estas razes, em nmero de duas, designadas por Q1 e Q2, so dadas pelas relaes (3.27) e (3.28). Q1 = cos

. .sen

sm

max sm

+ 12

(3.27)

41 Q2 = cos

. .sen

sm

max sm

12

(3.28)

Das duas razes, considera-se apenas Q1. Isto se justifica pelo fato do fator

de qualidade, fisicamente, ser sempre uma quantidade no negativa. Assim, o fator de qualidade timo, designado pelo smbolo Qo, dado pela expresso (3.29) como funo de max e de sm. Qo =

12

+ cos. .sen

sm

max sm (3.29)

Assim, uma vez definidos o valor limite da distoro harmnica de tenso,

para uma dada corrente harmnica, e, a) uma vez conhecidos o ngulo mximo das impedncias harmnicas do

sistema (sm) e o desvio mximo equivalente de frequncia (max), b) pode-se obter o fator de qualidade timo (Qo) (atravs de (3.29)) e c) o angulo mximo da impedncia do filtro sintonizado (na condio de

mxima dessintonizao) (fmax). d) determinam-se a resistncia efetiva do filtro (R), com um fator de

qualidade timo (atravs de (3.22). Os demais componentes do filtro (L e C), com a menor capacidade possvel de potncia reativa fundamental, sero agora facilmente determinveis, atravs das equaes (1.5) e (1.7), aqui repetidas:

o = 1L C.

(1.5)

Q =

o

o

LR C R.

. .= 1 (1.7)

O mesmo procedimento descrito pode ser adotado para projetar-se os demais filtros sintonizados previstos para a instalao. 4.3.2 - Clculo da mxima corrente harmnica possvel injetada no sistema c.a.

A mxima corrente harmnica que penetra o sistema c.a., na hiptese mais crtica da combinao filtro-sistema e de mxima dessintonizao, ser dada pela equao (2.20). Nesta equao, para o lugar geomtrico da figura 3.2, a soma |Zf(n) + Zs(n)| min (presente no denominador), igual a: |Zf(n) + Zs(n)|min = R.(tgsm + tgfmax).cossm (3.30)

Nestas condies, a equao (2.20) se torna: |Is(n)|max = I n

tg tgfmax sm fmax sm

( )cos .( ).cos +

= I nfmax sm

( )sen( ) +

(3.31)

Onde: |Is(n)|max: a mxima corrente harmnica injetada no sistema c.a., em mdulo, na frequncia de sintonia do filtro sujeito mxima dessintonizao; |I(n)|, fmax e sm so as mesmas grandezas definidas anteriormente.

42Finalmente, de posse das equaes (3.22) e (3.31), e da relao que permite

determinar o fator de qualidade timo (equao (3.29)), pode-se proceder a anlise do desempenho do filtro sintonizado, cujas bases foram inicialmente propostas na referncia [7]. Pode-se ainda, atravs da mxima distoro harmnica permitida de tenso, determinar o filtro sintonizado a uma dada frequncia, que atenda convenientemente a este critrio de distoro, com a menor capacidade possvel de potncia reativa fundamental.

Uma caracterstica limitante deste mtodo simplificado a considerao do desempenho somente na frequncia harmnica de sintonia do filtro. Isto significa que, para as frequncias onde no existam filtros, no ser possvel prever-se os nveis de distoro que podero ocorrer.

Com a finalidade de ilustrar a aplicao deste mtodo, a seguir ser efetuado um exemplo numrico. 3.3.3 - Exemplo numrico de determinao de um filtro sintonizado

Seja um sistema eltrico de energia, de frequncia nominal 60 Hz, no qual se encontra instalado um retificador trifsico de 6 pulsos, que, na condio de mxima gerao harmnica, injetar na rede uma corrente de ordem 5, de 163 A.

Admite-se ainda que, para esta carga no-linear conectada diretamente ao barramento de 13,8 kV (onde se encontram ligados outros consumidores), a empresa concessionria de energia eltrica requer a instalao de um filtro para a 5a harmnica, de modo que o critrio de distoro harmnica individual de 1% sobre a tenso nominal do barramento seja rigorosamente obedecido.

Outras informaes complementares a serem utilizadas no projeto so: - as impedncias harmnicas do sistema, vistas do barramento de 13,8 kV, considerando-se as diversas configuraes e cargas, devero possuir o mximo ngulo (sm) de 75o; - a mxima variao da frequncia da rede, frente s mudanas de carga do sistema, e s variaes mximas possveis dos componentes do filtro, resultaro, conjuntamente, no desvio mximo equivalente de frequncia, de valor max = + 1,6% (tomado em percentagem da frequncia nominal da rede); - Adotar potncia base: Nbase = 100 MVA, tenso base: Vbase = V(1) = 13,8 kV, frequncia base: base = 1 = 2..60 = 376,991 rad/s. Para melhor compreenso dos clculos que se seguiro, a soluo ser

dividida em passos: 1o passo - Expressar todos os dados necessrios aos clculos em pu.

43Esta operao, para este exemplo particular, poderia ser dispensada por se

tratar de um exemplo bastante simples. Entretanto, em situaes onde h transformadores, ou onde seja necessrio tomar-se uma deciso sobre o ponto de conexo dos filtros, a opo de trabalhar-se no sistema pu facilitar sobremaneira os clculos.

Para este exemplo, desta etapa sero obtidos os seguintes resultados: - o valor da distoro harmnica individual tolervel de tenso, para a 5a

harmnica, encontra-se expresso em relao ao valor nominal da tenso do barramento, que, neste caso, a prpria tenso base: D5 = V

Vx D(5)

( )[%]

1100 15

(3.32)

Onde: D5: a distoro harmnica de tenso de ordem 5; V(5) : o mdulo da tenso harmnica de ordem 5; V(1) : o mdulo da tenso nominal do barramento.

Assim, para a 5a harmnica, a mxima tenso possvel, estabelecida pela concessionria, expressa em pu como indica (3.33): |Vs(5)|max = 0,01 [pu] (3.33)

- o desvio mximo equivalente de frequncia, expresso em pu, ser: max = 0,016 [pu] (3.34)

- a corrente de ordem 5, gerada pelo retificador, ter o valor dado por (3.35): |I(5)| = 0,039 [pu] (3.35)

2o passo - Calcular o fator de qualidade. Este clculo no implica necessariamente na determinao do fator de

qualidade timo do filtro sintonizado. Isto porque, geralmente, as variveis sob controle do projetista (a potncia reativa fundamental de cada filtro e o seu fator de qualidade) podem ser convenientemente modificadas, de modo que o critrio pr-estabelecido seja obedecido, nas mais crticas condies do sistema eltrico.

Alm do mais, este exemplo particular no estabelece um requisito de potncia reativa fundamental, o que implica que qualquer valor adotado de potncia reativa ir satisfazer empresa concessionria no que se refere a este aspecto. Todavia, no 6o passo deste exemplo ser mostrado o efeito que a mudana na potncia reativa fundamental do filtro exercer sobre a mxima distoro harmnica possvel (de tenso ou corrente).

Como opo inicial, o fator de qualidade timo a soluo mais coerente, porque esta escolha resultar na minimizao da tenso de 5o harmnico. O fator de qualidade timo ser ento calculado atravs da aplicao da equao (3.29.

Qo = 1 75

2 0 016 7540 7+ =cos

, sen,

o

ox x (3.29)

443o passo - Clculo do ngulo mximo da impedncia deste filtro na

frequncia de sintonia A partir do valor do fator de qualidade do filtro sintonizado, este ngulo

calculado pela aplicao de (3.2): fmax = tg-1(2x0,016x40,7) = 52,5o (3.2)

4o passo - Calcular a resistncia efetiva (R) do filtro. Substitue-se os valores j obtidos (|Vs(5)|max=0,01[pu]; |I(5)|=0,039[pu]; fmax = +52,5o; sm = +75o) em (3.23). Desta forma, obtm-se a

resistncia efetiva (R) do filtro sintonizado, capaz de atender ao critrio pr-fixado:

0,01 = 0 03952 5 75 52 5

,cos , sen( , )

xRxo o o+ = 0,039 x R x 2,071 (3.24)

R = 0,124 [pu]

5o passo- Determinar o capacitor e o reator do filtro sintonizado. Estes componentes sero calculados de modo que este filtro tenha uma

frequncia de sintonia de 300 Hz, com fator de qualidade timo. qualidade timo.

A capacitncia do filtro ser ento determinada pela aplicao da equao (1.7). Portanto, expressando-se a frequncia angular de sintonia em pu e tomando-se os valores do fator de qualidade (Qo) e da resistncia do filtro (R), dados respectivamente por (3.29) e (3.24), obtm-se a capacitncia em pu: C = 1

5 40 7 0 124x x, , = 0,040 [pu]

A indutncia do filtro sintonizado, uma vez conhecidos o e C, ser

determinada a partir da equao (1.5). Ento, substituindo-se a frequncia angular de sintonia, em pu, e a capacitncia calculada, obtm-se a indutncia do filtro em pu: L = 1

5 0 0401 0002 x ,,= [pu]

6o passo - Determinar a potncia reativa, frequncia fundamental, capaz

de ser suprida pelo filtro sintonizado agora determinado. A potncia reativa lquida capacitiva capaz de ser suprida pelo filtro

sintonizado de 5o harmnico, conectado no barramento de 13,8 kV, dada pela equao (1.57), onde todas as grandezas envolvidas so tomadas em pu, Desse modo, levando-se os valores de capacitncia (C) e frequncia de sintonia (de ordem 'no', onde no = 5) em (1.57), obtm-se a potncia reativa lquida capacitiva do filtro de 5o harmnico, frequncia fundamental: Qreativa = 5

5 10 040 0 042

2

2

=x , ,

[pu]

45 interessante ressaltar, neste ponto, a influncia da potncia reativa

do filtro sobre sua capacidade de suprimir distoro harmnica: Supondo-se que se estabelecesse o valor da potncia reativa capacitiva a ser

suprida pelo filtro sintonizado de 5o harmnico no valor de 0,080 pu ao invs de 0,042 pu, passa-se, ento, a analisar a influncia desse novo valor de potncia sobre a eficincia de filtragem, para a frequncia de sintonia:

- componentes desse novo filtro sintonizado: Considerando-se que o filtro sintonizado frequncia de ordem 5,

mantendo-se o mesmo fator de qualidade, obtm-se os seguintes novos valores de capacitncia, indutncia e resistncia: C= 5 1

50 080 0 077

2

2 =x , , [pu]

L= 15 0 077

0 5192 x ,,= [pu]

R= 15 40 7 0 077

0 064x x, ,

,= [pu]

- mxima tenso harmnica possvel de ordem 5, para esse novo filtro sintonizado:

Como o fator de qualidade foi mantido inalterado, com base na equao (3.2), verifica-se que o ngulo mximo fmax tambm no se altera (isto , fmax = 52,5o). Nestas condies, resulta que, com a nova resistncia efetiva (R = 0,064 pu), a mxima tenso harmnica possvel, para esta frequncia especfica, reduz-se consideravelmente, conforme o clculo abaixo indica: |Vs(5)|max = 0,039 x0,064 x 2,071 = 0,005 [pu]

Ou seja, para este caso particular, ao aumentar-se a potncia reativa fundamental do filtro sintonizado (neste exemplo, de 4,2 para 8,0 MVAr), a distoro harmnica de tenso mxima possvel, na frequncia de ordem 5, decresceu, de 1% para aproximadamente 0,5% !,Isto , consegue-se um melhor desempenho de filtragem no que concerne distoro harmnica de tenso.

Obviamente, esta melhora de desempenho tem um custo adicional representado pela elevao da capacidade reativa do filtro. Por outro lado, vale notar tambm que, com a nova potncia reativa, ocorreu uma reduo da resistncia efetiva. Isto implicar na diminuio das perdas de energia no filtro.

Em projetos onde h exigncias quanto compensao reativa, deve-se adotar uma soluo na qual os critrios de distoro harmnica aceitvel e a minimizao do custo global sejam satisfeitos. Alm disso, deve ser lembrado que, em geral, vrias frequncias harmnicas devero ser filtradas. Isto poder requerer a instalao de vrios filtros sintonizados e amortecidos.

7o passo - Clculo da mxima corrente harmnica possvel de ser injetada

no sistema c.a.,

46Para complementar a anlise do desempenho do filtro de 5o harmnico,

dever ser calculada a mxima corrente harmnica possvel de ser injetada no sistema c.a., na mais extrema condio da interao filtro-sistema. Isto pode ser feito atravs da aplicao da equao (3.31): |Is(5)|max = 0 039

5 750 049,

sen(52, ),o o+ =

[pu]

A mxima corrente harmnica possvel de ordem 5 que penetra o sistema c.a. determinada considerando-se o fator de qualidade timo (Qo), o qual minimiza a tenso harmnica e no a corrente.

Contudo, buscando-se reduzir a amplitude da mxima corrente harmnica possvel, pode-se, eventualmente, determinar um filtro de 5o harmnico com fator de qualidade menor que o fator Qo determinado. Porm, este procedimento implicar no inconveniente aumento da distoro harmnica de tenso, j satisfeita no 4o passo.

Com o objetivo de ilustrar a influncia da escolha do fator de qualidade e

da potncia reativa fundamental sobre a eficincia de filtragem (isto , sobre as distores de tenso e corrente), baseando-se no presente exemplo numrico, foram obtidas as Figuras 3.8 e 3.9 a partir das equaes (3.22) e (3.31).

Pela observao das Figuras 3.8(a) e 3.9(a) verifica-se que, aumentando-se a potncia reativa do filtro sintonizado e fixando-se o fator de qualidade, resulta na reduo da mxima tenso harmnica possvel, de mesma ordem harmnica da frequncia de sintonia do filtro.

Ainda com base nas Figuras 3.9(a) e 3.9(a), observa-se que, para diferentes fatores de qualidade e para uma dada potncia reativa, h mudanas significativas na tenso harmnica mxima possvel. Para o fator de qualidade timo (Qo), esta mxima tenso harmnica possvel assumir o menor valor dentre as tenses possveis de se obter com todos os fatores de qualidade.

Com relao mxima corrente harmnica possvel de ser injetada no sistema c.a., verifica-se pela anlise das Figuras 3.8(b) e 3.9(b) que esta corrente diminui medida que o fator de qualidade reduzido. Esta mxima corrente harmnica encontrar o seu mnimo valor para o menor valor fisicamente possvel do fator de qualidade. interessante ressaltar ainda que o valor mximo possvel de corrente harmnica que entra no sistema independe da potncia reativa do filtro frequncia fundamental.

Outro aspecto que se observa da anlise dessas figuras que o valor do fator de qualidade timo no depende da potncia reativa fundamental do filtro.

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FIGURA 3.8 - Mximas distores possveis de 5o harmnico em funo do fator

de qualidade, para uma potncia reativa de 0,042 pu. (a) Mxima tenso percentual. (b) Mxima corrente injetada em pu.

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FIGURA 3.9 - Mximas distores possveis de 5o harmnico em funo do fator

de qualidade, para uma potncia reativa de 0,080 pu. (a) Mxima tenso percentual. (b) Mxima corrente injetada em pu.

49Conclui-se, conforme demonstra este exemplo, que o fator de qualidade do

filtro e sua potncia reativa fundamental so elementos essenciais para a definio do projeto final de filtros harmnicos sintonizados.

A seguir, transformam-se os resultados obtidos em pu para valores expressos em unidades reais: Cbase = N

VFbase

base base2 1392 870.

, [ ] =

Lbase = VN

base

base base

25 052

., = [mH]

Zbase = VN

base

base

2= 1,904 []

A Tabela abaixo sintetiza os resultados do exemplo numrico resolvido.

Filtro sintonizado Critrio Potncia Mxima Sintonia Ordem 5 Distoro reativa do corrente de

Qo 40,7 harmnica de filtro ordem 5 no C 55,715 [F] tenso [MVAr] sistema [A] L 5,052 [mH]