Análisis Sismico SDOF

8/16/2019 Análisis Sismico SDOF

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Diná mica Estructuralde Sistemas Elasticos de Un Solo Grado

de Libertad (SDOF)

En este grupo de presentaciones se cubren los conceptos fundamentales de ladinámica estructural de estructuras lineales elásticas de un solo grado de libertad(single degree of freedom, SDOF). En otro tópico posterior se cubrirá el análisisde sistemas linales elásticos de múltiples grados de libertad (multiple degree offreedom, MODF). Y en otro tópico también se abordará el comportamientoinelástico de estructuras. La habilidad de la ingeniería sísmica requiere unexhaustivo entendimiento de cada uno de estos tópicos.

Comunidad para la Ingeniería Civil

Diplomado La Ingeniería Sísmica - Edificios Sistemas Elásticos Lineales SDOF

Dinámica Estructural 1



Diná mica Estructural

• Ecuaciones del movimiento para Estructuras SDOF

• Frecuencia y Periodo de Vibració n Estructural

• Comportamiento bajo cargas diná micas

• Magnificació n diná mica y resonancia

• Efecto del amortiguamiento en el comportamiento

• Espectro de Respuesta lineal elá stico






Estructura SDOF Idealizada

Mass

Stiffness

Damping

F t u t ( ), ( )

t

F(t)

t

u(t)

El pórtico simple es idealizado como un modelo SDOF masa-resorte-amortiguadorcon una carga aplicada que varía con el tiempo. La función u(t) define la respuestade desplazamiento del sistema bajo la carga F(t). Las propiedades de laestructura pueden ser definidas completamente por la masa, amortiguamiento, yrigidez como se muestra.

La idealización asume que toda la masa de la estructura puede ser agrupada enun solo punto y que toda la deformación en el pórtico ocurre en las columnas conla viga manteniéndose rígida. Representar el amortiguamiento como unamortiguador simple viscoso común permite un análisis dnámico lineal. Otrostipos de modelos de amortiguamiento (por ejemplo, amortigudamiento de fricción)son más realistas pero requieren análisis no lineal.






F t ( ) f t I ( )

f t D ( )0 5. ( ) f t S 0 5. ( ) f t S

F t f t f t f t I D S ( ) ( ) ( ) ( )− − − = 0

f t f t f t F t I D S ( ) ( ) ( ) ( )+ + =

Ecuació n de Equilibr io Diná mico

Aquí las ecuaciones de movimiento son mostradas como un balance de fuerzas.En cualquier punto en el tiempo, las fuerzas inerciales, de amortiguamiento yelásticas resistentes no necesariamente actúan en la misma dirección. Sinembargo, en cada punto en el tiempo, el equilibrio dinámico debe de mantenerse.






-40

0

40

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

-0.50

0.00

0.50

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

-15.00

0.00

15.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

-400.00

0.00

400.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Acc elerat ion , in/s ec2

Velocity, in/sec

Displacement, i n

App lied Force, ki ps

Respuesta Observada del SDOF Lineal

Time, sec

En la figura se muestra una serie de historias de respuesta para un sistemaSDOF sometido a una carga tipo diente de sierra. Como resultado de la carga,la masa experimentará desplazamiento, velocidad, y aceleración. Cada una deestas cantidades son medidas con respecto a la base fija de la estructura.

Notar que aunque la carga es discontinua, la respuesta es relativamente suave.También, las líneas verticales muestran que la velocidad es cero cuando eldesplazamiento es máximo y la aceleración es cero cuando la velocidad es

máxima.






Respuesta Observada del SDOF Lineal(Desarrollo de la Ecuació n de Equilibrio)

-30.00

-15.00

0.00

15.00

30.00

-0.60 -0.30 0.00 0.30 0.60

Displacement, inches

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

-20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00

Velocity, In/sec

-50.00

-25.00

0.00

25.00

50.00

-500 -250 0 250 500

Accelerati on, in/sec2

Spring Force, kips Damping Force, Kips Inertial Force, kips

Slope = k

= 50 kip/inSlope = c

= 0.254 kip-sec/inSlope = m

= 0.130 kip -sec2/in

f t k u t S

( ) ( )= f t c u t D ( ) &( )= f t m u t I ( ) &&( )=

Estas curvas X-Y son tomadas del mismo análisis que produjo las historias derespuesta del gráfico anterior. Para un sistema lineal, las fuerzas resistentesson proporcionales al movimiento. La pendiente de la curva de lafuerza-inercial vs la aceleración es igual a la masa. Relaciones similares existenpara la fuerza de amortiguamiento vs la velocidad (pendiente = amortiguamiento)y la fuerza elástica vs el desplazamiento (la pendiente = rigidez)






F t ( ) f t I ( )

f t D ( )0 5. ( ) f t S 0 5. ( ) f t S

m u t c u t k u t F t &&( ) & ( ) ( ) ( )+ + =

Ecuació n de Equil ibrio Diná mico

f t f t f t F t I D S ( ) ( ) ( ) ( )+ + =

Aquí las ecuaciones de movimiento son mostradas en términos del desplazamiento,la velocidad, la aceleración, y las relaciones de la fuerza presentadas en la figuraanterior. Dada la función de la fuerza, F(t), el objetivo principal es determinar lahistoria de respuesta del sistema.






Mass

• Incluye todo el peso muerto de la estructura

• Puede incluir alguna carga viva• Tiene unidades fuerza/aceleració n

I n t e r n a l F o r c e

Accelerat ion

1.0

M

Propiedades de la Masa Estructural

La masa siempre se asume constante a lo largo de la respuesta. El ASCE 7define esta masa en términos del "peso efectivo" de la estructura. El pesoefectivo incluye el 25% de la carga viva del entrepiso en áreas usadas paraalmacenaje, 10 psf de asignación de particiones, peso operativo de todo elequipo permanente, y 20% de la carga de nieve en losas planas cuandoexcede de 30 psf.






Damping

• En ausencia de amortiguadores, es llamada amortiguamiento

• Generalmente representada por amortiguadores lineales

• Tiene unidades fuerza/velocidad

D a m

p i n g F o r c e

Velocity

1.0

C

Propiedades del Amortiguamiento Estructural

inherente

viscosos

Excepto para el caso de amortiguamiento añadido, las estructura reales notienen amortiguadores discretos como se muestra. El amortiguamiento real oinherente surge de la fircción en el material. Para estructuras de concretoagrietadas, el amortiguamiento es elevado debido al frotamiento en conjuntode las superficies áseras en cualquier lado de una grieta.

En los análisis, se usa un amortiguador viscoso equivalente principalmentedebido a la conveniencia matemática. La fuerza de amortiguamiento es

a la velocidad.






• Incluye todos los miembros estructurales

• Puede inlcuir algunos miembros "sismicamente no

• Requiere un modelamiento matemá tico cuidadoso

• Tiene unidades fuerza/desplazamiento

S p r i n g F o r c e

Displacement

1.0

K

Propiedades de la Rigidez Estructural

S t i f f n e

s s

En este tópico, se asume que la relación fuerza-desplazamiento en el resorte es

estructurales"

lineal elástico. Las estructuras reales, especialmente aquellas diseñadas deacuerdo a las disposiciones sísmicas del código actual, no se mantendránelásticas y, por tanto, la relación fuerza-deformación es no lineal. Sin embargo,el análisis lineal es a menudo (casi exclusivamente) usado en la práctica. Estacontradicción aparente se explicará cuando al discusión progrese.

El modelamiento de la estructura por rigidez tiene incertidumbres muysignificativas. El ASCE/SEI 7 proporciona akgumas directrices para el

modelamiento de la estructura por rigidez.






• Es casi siempre no lineal en la respuesta sísmica real

• La no linealidad es implícitamente manipulada por los có digos

• El modelamiento explícito de los efectos no lineales es posible

S p r i n g

F o r c e

Displacement

Propiedades de la Rigidez Estructural

S t i f f n e s s

AREA =ENERGYDISSIPATED

Esta es una respuesta idealizada de una estructura inelástica simple. El áreadentro de la curva es la energía inelástica histerética disipada por la fluencia delmaterial. A mayor energía histerética en relación a la energía del amortiguamiento,mayor el daño.

En este tópico, se asume que el material no fluye. La respeusta inelástica no lineales explícitamente incluida en otro tópico.






Vibració n Libre No Amortiguada

)cos()sin()( 00 t ut

ut u ω ω

ω +=

&

m u t k u t &&( ) ( )+ = 0Ecuació n del movimiento:

0u&Condiciones iniciales:

ω

0u A &= B u= 0Solució n: ω = k m

Asumir: u t A t B t ( ) sin( ) cos( )= +ω ω

0u

En esta unidad, se trabajará a travéz de una jerarquía de problemas cada vezmás difíciles. El problema más simple a resolver es la vibración libre noamortiguada. Generalmente, este tipo de respuesta se invoca imponiendo undesplazamiento estático y luego liberando la estructura con velocidad inicial cero.La ecuación de movimiento es una ecuación diferencial de segundo orden concoeficientes constantes. El término desplazamiento es tratado como la principalincógnita.

La respuesta asumida está en términos de una onda sinusoidal y una ondacoseno. Es fácil de ver que la onda coseno sería generada imponiendo undesplazamiento inicial en la estructura y luego liberándola. La onda seno seimpondría inicialmente "empujado" la estructura con una velocidad inicial. La

solución calculada es una combinación de los dos efectos.La cantidad es la frecuencia circular de vibración libre de la estructuraω(radianes/segundos). A mayor rigidez relativa a la masa, mayor la frecuencia. Amayor masa con respecto a la rigidez, menor la frecuencia.






ω = k

m f =

ω

π 2T

f = =

1 2π

ω

Periodo de Vibració n(sec/cycle)

Frecuencia Cíclica

(cycles/sec, Hertz)Frecuencia Circular

(radians/sec)

Vibració n Libre No Amort iguada

-3

-2

-1

0

1

2

3

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Time, seconds

D i s p l a c e m e n t , i n c h e s

T = 0.5 sec

u0

&u0

1.0

v = du/dt

En la figura se muestra una historia de respuesta calculada para un sistema conun desplazamiento y velocidad inicial. Notar que la pendiente de curva derespuesta inicial es igual a la velocidad inicial ( ). Si este término es cero,la respuesta de vibración libre es una onda coseno simple. Notar también que elmovimiento no amortiguado mostrado continuará por siempre sin desinhibirse.En estructuras reales, el amortiguamiento eventualmente reducirá la respuestade vibración libre a cero.

La relación entre la frecuencia circular, la frecuencia cíclica, y el periodo devibración es enfatizada. El periodo de vibración es probablemente el más fácil de

visualizar y es por lo tanto usado en el desarrollo de las disposiciones sísmicasde los códigos. A mayor masa relativa a la rigidez, mayor el periodo de vibración.A mayor rigidez relativa a la masa, menor el periodo de vibración.






Periodos de Vibració n Aproximados(ASCE 7)

x

nt a hC T =

N T a

1.0=

C t 0.028, x = 0.8, para pó rticos de acero resistentes a momento

C t =0.016, x = 0.9, para pó rticos de concreto resistentes a momento

C t =0.030, x = 0.75, para pó rticos arriostrados excentricamente

C t =0.020, x = 0.75, para todos los otros sistemas

Nota: !Esto se aplica solamente a estructuras para edificios¡

=

Para pó rticos resistentes a momento menores a 12 pisosen altura, y altura mínima de piso de 10 pies.N = nú mero de pisos.

Una de las primeras labores en cualquier proyecto de diseño sismico es estimarel periodo de vibración de la estructura. Para el diseño preliminar (y a menudopara el diseño final), un periodo empírico de vibración es usado. EL ASCE/SEI 7proporciona ecuaciones para estimar este periodo. Estas ecuaciones se listanarriba.






Datos Empíricos para la Determinació n del Periodo Aproxi-mado para los Pó rticos de Acero Resistentes a Momento

8.0028.0 na hT =

Ta está basado en la curva ajustada de datos obtenidos a partir de respuestasmedidas de edificios de California luego de sismos pequeños. Como podrá verseluego, a periodos más pequeños, mayor la fuerza sísmica para la que debe serdiseñada. Por tanto, una relación empírica de límite inferior es usada.

Ya que la fórmula del periodo empírico está basada en la respuesta medida deedificios, no deberá usarse para estimar el periodo para otros tipos deestructuras (puentes, presas, torres).






Periodos de Vibració n de

20-story moment resisting frame T = 1.9 sec

10-story moment resisting frame T = 1.1 sec1-story moment resisting frame T = 0.15 sec

20-story braced frame T = 1.3 sec



Gravity dam T = 0.2 sec

Suspension bridge T = 20 sec

Estructuras Comunes

En la figura se muestra periodos de vibración típicos para varias estructurassimples. Los ingenieros deberán desarrollar un "sentido" para que unperiodo de vibración apropiado de sea para estructuras de edificios simples.

Para estructuras de edificios, la fórmula T = 0.1 es el más simple de "verificarrealmente". El periodo para un edificio de 10 pisos deberá ser aproximadamentede 1 segundo. Si un análisis de computadora da un periodo de 0.25 segundos o3.0 segundos para un edificios de 10 pisos, algo está probablemente mal en el

análisis.






SD1 C u> 0.40g 1.4

0.30g 1.40.20g 1.5

0.15g 1.6

< 0.1g 1.7

computed ua T C T T ≤=

Factor de Ajuste en el Periodo Aproximado

Aplicable SOLO si T computed proviene de un aná lisis

apropiadamente sustanciado

CuEn algunos casos, es apropiado remover el "conservatismo" de las fórmulas delperiodo empírico. Esto se hace a travéz del uso del coeficiente . Esteconservatismo surge a partir de dos fuentes:

1. El periodo del límite inferior fue utilizado en el desarrollo de la fórmula delperiodo.

2. Este periodo en el límite inferior es alrededor de 1/1.4 veces el periodo mejorencajado.

La fórmula empírica fue desarrollada sobre la base de datos a partir de edificiosde California. Edificios en otras partes del país (por ejemplo, Chicago) donde lasfuerzas sísmicas no son tan elevadas probablemente sean más grandes que

aquellas para el mismo edificio en California.

Es importante notar que el periodo más grande no puede ser usado sin elbeneficio de un análisis "apropiadamente sustanciado", el cual probablemente sedesarrolle en una computadora






Si no se tiene un periodo mas preciso (desde un

aná lisis por computadora), se debe usar T = T a.

Si se tiene un periodo mas preciso a partir de un aná lisis

por computadora (denominado ), entonces:T c

Si T c > C uT a usar T = C uT a

Si T a < T c < T uC a usar T = T c

Si T c < T a usar T = T a

¿ Cual Periodo de Vibració n Usar enel Aná lisis por la Fuerza Lateral Equivalente?

CuTa

CuTa

En la presentación se muestra las limitaciones sobre el uso de . ElASCE/SEI 7 no permite usar un periodo mayor que con respecto deaquel que se obtiene del análisis por computadora.






Vibració n Libre Amort iguada

u t e u t u u

t t

D

D

D( ) cos( ) &

sin( )= + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−ξω ω

ξω

ω ω 0

0 0

m u t c u t k u t &&( ) &( ) ( )+ + = 0Ecuació n de Movimiento:

u u0 0&Condiciones Iniciales:

Solució n:

Asumir: : u t e st ( ) =

ξ ω

= =c

m

c

c c2 ω ω ξ D = −1 2

cc

Esta presentación muestra la ecuación de movimiento y la respuesta envibración libre amortiguada. Notar la similitud con la solución no amortiguada.En particular, notar el término de decaimiento exponencial que sirve como unmultiplicador de la respuesta total.

El amortiguamiento crítico ( ) es definido como la cantidad deamortiguamiento que no producirá ninguna oscilación. Ver la siguientepresentación.

La frecuencia circular amortiguada es calculada como se muestra. Notar queen muchos casos prácticos (x < 0.10), esta será efectivamente la misma comola frecuencia no amortiguada. La excepción es en sistemas amortiguados muy

elevados.

Notar que la relación de amortiguamiento está a menudo dada en términos del% crítico.






ξ ω

= =c

m

c

c c2

Amortiguamiento en Estructuras

cc es la constante del amort. crítico

Time, sec

Displacement, in

ξ se expresa como una relació n (0.0 < ξ < 1.0) en los cá lculos

Algunas veces ξ se expresa como un % (0 < ξ < 100%).

Respuesta del Sistema Críticamente Amortiguado ξ=1 o 100% del crít ico

El concepto del amortiguamiento crítico se define aquí. Un buen ejemplo de larespuesta críticamente amortiguada puede encontrarse en las puertas pesadasque están encajadas con amortiguadores para evitar que la puerta se cierre degolpe.






-30.00

-15.00

0.00

15.00

30.00

-0.60 -0.30 0.00 0.30 0.60

Displacement, inches

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

-20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00

Velocity, In/sec

-50.00

-25.00

0.00

25.00

50.00

-500 -250 0 250 500

Accelerati on, in/sec2

Spring Force, kips Damping Force, Kips Inertial Force, kips

El amortiguamiento en estructuras no es viscoso. Sin embargo,


para valores bajos de amortiguamiento, el amortiguamientoviscoso se permite para las ecuaciones lineales y simplifica

vastamente la solució n.

Una presentación anterior es repetida aquí para enfatizar que el amortiguamiento enestructuras reales NO es viscosa. Es friccional o histerética. El amortiguamientoviscoso es usado simplemente porque linealiza las ecuaciones de movimiento. El usodel amortiguamiento viscoso es aceptable para el modelamiento del amortiguamientoinherente pero deberá ser usado con extremo cuidado cuando represente elamortiguamiento añadido o la pérdida de energía asociada con la fluencia en elsistema estructural principal.






Vibració n Libre Amortiguada

-3

-2

-1

0

1

2

3

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Time, seconds

D i s p l a c e m e n t , i n c h e s

0% Damping

10% Damping

20% Damping

En esta presentación se muestra algunas respuestas simples de vibración libreamortiguada. Cuando el amortiguamiento es cero, la vibración sigue por siempre.Cuando el amortiguamiento es el 20% del crítico, muy pocos ciclos son requeridospara que la vibración libre ser efectivamente amortiguada. Para el 10% deamortiguamiento, el pico es aproximadamente 1/2 de la amplitud del pico previo.







Pó rticos soldados de acero ξ = 0.010

Pó rticos atornillados de acero ξ = 0.020

Concreto pretensado no agrietado ξ = 0.015

Concreto reforzado no agrietado ξ = 0.020

Concreto reforzado agrietado ξ = 0.035

Muros de corte contrachapados pegados ξ = 0.100

Muros de corte contrachapados clavados ξ = 0.150

Estructuras de acero dañ adas ξ = 0.050

Estructuras de concreto dañ adas ξ = 0.075

Estructuras con amortiguamiento añ adido ξ = 0.250

Algunos valores reales del amortiguamiento son listados para estructurascomprendiendo diferentes materiales. Los valores para acero y concreto no dañado(valores no agrietados de la tabla) pueden considerarse como valores trabajablesde esfuerzo.






Amortiguamiento Inherente

Amortiguamiento Añ adido

ξ es una propiedad estructural (material)

independiente de la masa y de la rigidez

del crítico%0.7al5.0= Inherent ξ

ξ es una propiedad estructural dependiente de

la masa y rigidez y de la constante

de amortiguamiento C del dispositivo

del crítico%30al10= Added ξ


C

La distinción entre el amortiguamiento inherente y el amortiguamiento añadidodeberá ser claramente entendido.






ln u

u

1

22

2

1=

−

πξ

ξ

ξ

π

≅ −u u

u

1 2

22

Para todos los

valores de amortig.

Para valores delamortig. muy bajos

Medició n de Amortiguamiento a parti r de

-1

-0.5

0

0.5

1

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Time, Seconds

A m p l i t u d e

u e t

0

−ξω

u1

u2 u3

Pruebas de Vibració n Libre

Uno de los métodos más simples para medir el amortiguamiento es una prueba devibración libre. La estructura es sometida a un desplazamiento inicial y esrepentinamente liberada. El amortiguamiento es determinado a partir de lasfórmulas dadas. La segunda fórmula deberá usarse sólo cuando el amortiguamientoesperado sea menor que alrededor del 10% del crítico.






Carga Armó nica No Amortiguada

)sin()()( 0 t pt uk t um ω =+&&Ecuació n del Movimiento:

-150

-100

-50

0

50

100

150

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

Time, Seconds

F o r c e ,

K i p s

po=100 kips= 0.25 sec

frecuencia de la funció n de la fuerza

ω

π 2=T

ω

T

La siguiente serie de presentaciones cubre la respuesta de sistemas SDOF noamortiguados a cargas armónicas simples. Notar que la frecuencia de la carga

=

está dada por el término omega con la barra superior. El periodo de la cargadiseña en una forma similar.






Solució n:

Solució n particular:

Solució n complementaria:

u t C t ( ) s in ( )= ω

u t A t B t ( ) sin( ) cos( )= +ω ω

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−= )sin()sin()/(1

1

)( 2

0

t t k

p

t u ω ω

ω

ω ω ω


m u t k u t p t &&

( ) ( ) s in ( )+ = 0 ω Ecuació n del Movimiento:Se asume que el sistema inicialmente está en reposo:

Esta presentación establece la ecuación de movimiento para la cargaarmónica no amortiguada y da la solución. Se tiene que asumir que elsistema está inicialmente en reposo.






Se define β ω

ω =

( )u t p

k t t ( ) sin( ) sin( )=

− −0

2

1

1 β ω β ω

Desplazamiento está ticoRespuesta en estado

estacionario(a la frecuencia de la carga))

Respuesta transitoria(a la frecuencia de la estructura)

Frecuencia de la carga

Frecuencia natural de la estructura

Magnificador diná mico

po/k

β

β


Aquí se rompe la respuesta en la respuesta en estado estacionario (a lafrecuencia de la carga) y la respuesta transitoria (a la frecuencia naturalpropia de la estructura). Notar que el término es el desplazamiento"estático". El maginificador dinámico muestra cómo los efectos dinámicospueden incrementarse (o disminuir) la respuesta. Ese magnificador es unafunción de la relación de frecuencia . Notar que el magnificador se vuelveinfinito si la relación de frecuencia es 1.0. Esto define la condiciónresonante.

En otras palabras, la respuesta es igual a la respuesta estática, veces un

multiplicador, veces la suma de dos ondas seno, uno en fase con la cargay la otra en fase con la frecuencia natural no amortiguada de la estructura.






-10

-5

0

5

10

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

-10

-5

0

5

10

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

-10

-5

0

5

10

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

Time, seconds

-200

-100

0

100

200

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

ω π = 2 rad / sω π = 4 rad / s uS = 5 0. . plg. β = 0 5.

Carga (klb)

Respuesta en estado

estacionario (plg)

Respuesta

transitoria (plg)

Respuesta total

(plg)

β

Esta es una repsuesta historia del tiempo de una estructura con una frecuencianatural de 4 rad/s (f=2 Hz, T=0.5 s), y una frecuencia de carga de 2 rad/s (f=1 Hz,T=1 s), dando una relación de frecuencia de 0.5. La amplitud de carga armónicaes 100 klb. El desplazamiento estático es 5.0 plg. Notar cómo la respuesta en elestado estacionario está en la frecuencia de carga, está en fase con la carga, ytiene una amplitud más grande que el desplazamiento estático. La respuestatransitoria está en la frecuencia propia de la estructura. En estructura reales, elamortiguamiento causaría que este componente desaparezca luego de unos

pocos ciclos de vibración.






ω π = 4 rad / sω π ≈ 4 rad / s uS = 5 0. . plg β = 0 9 9.

-500

-250

0

25 0

50 0

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

-150

-100

-5 0

0

50

10 0

15 0

0 .00 0 .25 0 .50 0 .75 1.00 1 .25 1 .50 1 .75 2 .00

-500

-250

0

250

500

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

-80

-40

0

40

80

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

Time, seconds

ϖ π

Carga (klb)

Respuesta en estado

estacionario (plg)

Respuesta

transitoria (plg)

Respuesta total

(plg)

En esta presentación, ha sido incrementado hasta 4 rad/s, y la estructura está

casi en resonancia. La respuesta en estado estacionario está aún en fase con lacarga, pero notar la magnificación enorme en la respuesta. La respuesta transitoriaestá practicamente igual a y opuesta al la respuesta en estado estacionario.

Si uno casualmente observa en las curvas de la respuesta en estado transitorio y enestado transitorio, parece que ellas podrían cancelarse. Notar, sin embargo, que lasdos respuestas no están exactamente en fase debido a la ligera diferencia en lacarga y en las frecuencias naturales. Esto puede verse más claramente en el tiempo1.75 s en la respuesta. La respuesta del estado estacionario cruza el eje horizontala la derecha de la vertical de la línea de 1.75 s mientras que la respuesta transitoriacruza exactamente en 1.75 s.

En estructuras reales, la amplitud incrementada observada podría ocurrir sólo paraalgún límite y luego la fluencia ocurriría. Esta fluencia introduciría disipaciónhisterética de energía (amortiguamiento aparente), causando que la respuestatransitoria desaparezca y conduzca a una respuesta en estado estacionarioconstante y amortiguada.






-80

-40

0

40

80

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

Tiempo, segundos

D e s p l a z a m i e n t o , p l g

2π uS

Curva de Respuesta Resonante

Linear envelope

π

No Amortiguada

Esta es una vista alargada de la curva de respuesta total a partir de laspresentaciones previas. notar que la respuesta está limitada dentro de unaenvolvente lineal incrementada con el incremento en el desplazamiento porciclo siendo 2 veces el desplazamiento estático.






ω π = 4 rad / sπ ≈ 4 rad / s uS = 5 0. . plg β = 1 01.

-150

-100

-5 0

0

50

10 0

15 0

0 .00 0 .25 0 .50 0 .75 1.00 1 .25 1 .50 1.75 2 .00

-500

-250

0

25 0

50 0

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

-500

-250

0

25 0

50 0

0 .00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.2 5 1.50 1 .75 2.0 0

-80

-40

0

40

80

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

T im e , s e c o n d s

Carga (klb)

Respuesta en estado

estacionario (plg)

Respuesta

transitoria (plg)

Respuesta total

(plg)

En esta presentación, la frecuencia de la carga ha sido incrementada ligeramente,pero la estructura aún está cercana a la resonancia. Notar, sin embargo, que larespuesta del estado estacionario está 180 grados fuera de fase con la carga y larespuesta transitoria está en fase. El desplazamiento total resultante esefectivamente idéntico a aquel mostrado dos páginas atrás.






ω π =8 rad / sω π = 4 rad / s uS = 5 0. . plg β = 2 0.

-150

-100

-50

0

50

10 0

15 0

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

-6

-3

0

3

6

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

-6

-3

0

3

6

0 .00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

-6

-3

0

3

6

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

T i m e , s e c o n d s

Carga (klb)

Respuesta en estado

estacionario (plg)

Respuesta

transitoria (plg)

Respuesta total(plg)

La frecuencia de la carga está ahora duplicando la frecuencia de la estructura.Aquí el punto importante es que la amplitud de la respuesta en estadoestacionario es ahora menor que el desplazamiento estático.






-12.00

-8.00

-4.00

0.00

4.00

8.00

12.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Frequency Ratio β

M a g n i f i c a t i o n F a c t o r 1 / ( 1 -

2 )

In phase

180 degrees out of phase

Resonance

Relació n de Respuesta: Estado Estacionario

(Signos Retenidos)al Está tico

Este gráfico muestra la relación de la respuesta del estado estacionario aldesplazamiento estático para la estructura cargada en diferentes frecuencias.A frecuencias de carga bajas, la relaciónes 1.0, indicando una respuesta(como se espera). En frecuencias de carga muy elevadas, la estructuraefectivamente no tiene tiempo para responder a la carga de modo que eldesplazamiento es pequeño y se aproxima a cero en frecuencias muyelevadas. El fenómeno de resonancia está mostrada muy claramente. Elcambio en el signo en la resonancia está asociado con el comportamiento

en-fase/fuera-de-fase que ocurre a travéz de la resonancia.






0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Frequency Ratio

M a g n i f i c a t i o n F a c t o r 1 / ( 1 -

2 )

Resonance

Slowly

loaded

1.00

Rapidly

loaded

Relació n de Respuesta: Estado Estacionario

(Valores Absolutos)

al Está tico

Este es el mismo como la presentación previa pero los valores absolutos sontrazados. Esto muestra claramente el fneómeno de resonancia.






Carga Armó nica Amortiguada

m u t cu t k u t p t &&( ) &( ) ( ) sin( )+ + = 0 ω

Ecuació n de Movimiento:

-150

-100

-50

0

50

100

150

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

Time, Seconds

F

o r c e , K i p s

po=100 kips

sec25.02

==ω

π T

Ahora se introduce el amortiguamiento en el comportamiento. Notar la adicióndel término apropiado en la ecuación de movimiento.






Solució n:

Asumir que el sistema inicialmente está en reposo

Solució n particular:

Solució n complementaria:

u t C t D t ( ) sin( ) cos( )= +

[ ]u t e A t B t t

D D( ) sin( ) cos( )= +− ξω ω ω


Ecuació n de movimiento:

m u t cu t k u t p t &&( ) &( ) ( ) sin( )+ + = 0 ω

ω ω ξ D = −1 2

ξ ω

= c

m2

[ ]u t e A t B t t

D D( ) sin( ) cos( )= +− ξω ω ω

+ +C t D t sin( ) cos( )ω ω

Esta presentación muestra cómo la solución a la ecuación diferencial esobtenida. La respuesta transitoria (como se indicó por los coeficientes A y B)será amortiguada y es excluida de mayores discusión.






Respuesta transitoria en frecuencia de la estructura(eventualmente amortiguada)

Respuesta en estado estacionarioen la frecuencia de carga

D p

k

o= −

− +2

1 22 2 2

ξβ

β ξβ ( ) ( )


C p

k

o= −− +

1

1 2

2

2 2 2

β

β ξβ ( ) ( )

)cos()sin( t Dt C ω ω +

+[ ]u t e A t B t t

D D( ) sin( ) cos( )= +− ξω ω ω

Esta presentación muestra los coeficientes C y D de la respuesta del estadoestacionario. Notar que hay un componente en fase con la carga (el términoseno) y un componente fuera de fase con la carga (el término coseno). Ladiferencia de la fase real entre la carga y la respuesta depende de lasrelaciones del amortiguamiento y de la frecuencia

Notar que el término del decaimiento exponencial causa que la respuestatransitoria se amortgue en el tiempo.






-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

Time, Seconds

D i s p l a c e m e n t A m p l i t u d e , I n c h e s

BETA=1 (Resonance)

Beta=0.5

Beta=2.0

Carga Armó nica Amortiguada(5% Amortiguada)

Este gráfico muestra la respuesta de una estructura en tres diferentesfrecuencias de carga. De significativo interés es la respuesta resonante, elcual está ahora limitada. (La respuesta no amortiguada se incrementaindefinidamente).






Staticδ ξ 2

1

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

Time, Seconds


Carga Armó nica Amortiguada(5% Amortiguada)

Para estructuras amortiguadas viscosamente, la amplitud de la resonanciasiempre estará limitada como se muestra.






Carga Armó nica en ResonanciaEfectos del Amor tiguamiento

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

Time, Seconds


0% Damping %5 Damping

Una comparación de las respuestas amortiguadas y no amortiguadas semuestra aquí. La respuesta no amortiguada tiene una envolvente deincremento lineal; la curva amortiguada alcanzará una respuesta de estadoestacionario constante luego de pocos ciclos.






0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Frequency Ratio, β

D y n a m i c R e s p o n s e A m

p l i f i e r

0.0% Damping

5.0 % Damping

10.0% Damping

25.0 % Damping

R D =− +

1

1 22 2 2

( ) ( ) β ξβ

Resonance

Slowlyloaded Rapidly

loaded

β

Este gráfico muestra la magnificación dinámica para varias relaciones deamortiguamiento. Para el amortiguamiento incrementado, la respuestaresonante decrece significativamente. Notar que para estructuras cargadaslentamente, la amplificación dinámica es 1.0 (efectivamente estática). Paracargas de alta frecuencia, el magnificador es cero.

Notar también que el amortiguamiento es casi efectivo en o cerca de laresonancia (0.5 < < 2.0)






Resumen Respecto al Amortiguamiento

• Para sistemas cargados en una frecuancia cerca

amplificacion dinamica.

• Un sistema no amortiguado, cargado en resonancia,

Viscoso en Sistemas Cargados Armó nicamente

de sus frecuencia naturales, la respuesta diná micaexcede la respuesta está tica. Esto es referido como

tendrá un incremento no adherido en desplazamientosobre el tiempo.

Un resumen de algunos puntos previos es proporcionado.






• El amortiguamiento es un medio efectivo de disipació n

• Un sistema amortiguado, cargado en resonancia, tendrá

ξ

• El amortiguamiento es má s efectivo para sistemas

Resumen Respecto al AmortiguamientoViscoso en Sistemas Cargados

Armó nicamente

Continuación del resumen.

de energía en el sistema. A diferencia de la energía de

deformació n, el cual es recuperable, la energía disipada

no es recuperable.

un desplazamiento limitado sobre el tiempo con el límite

siendo (1/2 ) veces el desplazamiento está tico.

cargados en o cerca de la resonancia.






CARGA FLUENCIA

DESCARGA DESCARGADO

F F

F

u

F

u

u u

Energía Almacenada

EnergíaDisipada

EnergíaRecuperada

EnergíaTotalDisipada

CONCEPTO de ENERGÍA ALMACENADAy ENERGÍA DISIPADA

1

2

1

3

2

4

3

Es muy importante que la distinción entre la energía almacenada y la energíadisipada esté clara. (Notar que algunos textos usan el término energía "absorbida"en lugar de energía almacenada).

En el primer diagrama, el sistema se mantiene elástico y toda la energía dedeformación es almacenada. Si la barra se libera, toda la energía seríarecuperada.

En el segundo diagrama, la deformación aplicada es mayor que la deformaciónestática y, por tanto, el sistema fluye. La energía mostrada en verde es almacenada,

pero la energía mostrada en rojo es disipada. Si la barra es descargada, la energíaalmacenada es recuperada, pero la energía disipada es perdida. Esto se muestra enlos Diagramas 3 y 4.






Time, T

F(t)

Carga Diná mica General

La discusión ahora procederá para la carga dinámica general. Por cargageneral, se entiende que ninguna función matemática simple define lahistoria de carga total.






Carga Diná mica GeneralTé cnicas de Solució n

• Transformada de Fourier

• Integració n de Duhamel

• Exacto a Trozos

• Té cnicas de Newmark

Todas las té cnicas se llevan a cabo numé ricamente.

Hay una variedad de formas para resolver el problema de carga general ytodos son llevados a cabo numéricamente en una computadora. Los enfoquesde la transformada de Fourier y la integral de Duhamel no son particularmenteeficientes (o fáciles de explicar) y, por tanto, no se cubren aquí. Cualquiertexto sobre dinámica estructural proporcionará los detalles requeridos.

El método exacto a trozos es usado principalmente en el análisis de sistemaslineales. El método de Newmark es útil tanto para sistemas lineales como nolineales. Sólo los principios básicos subyacentes de cada uno de estos

enfoques son presentados.






dt

( ) o

dF

F F dt τ τ = +

dF

dt

τ

Mé todo Exacto a Trozos

Fo

En el método exacto a trozos, la función de la carga se rompe en un número desegmentos lineales rectos. En un sentido, el nombre del método es un nombreequivocado ya que el método no es exacto cuando la carga real es suave (comouna onda seno) ya que los segmentos rectos de la carga lineal son sólo unaaproximación de la carga real. Cuando la carga real es suave, la exactitud delmétodo depende del nivel de discretización cuando se define la función de lacarga.

Para cargas sísmicas, la carga es casi siempre representada por unacelerograma registrado, el cual consiste de segmentos de líneas rectas.

(Habría un poco uso en intentar interpolar el movimeinto del terreno con curvassuaves). Por tanto, para el problema sísmico, el método exacto a trozos esrealmente exacto.






Condiciones iniciales: 00, =ou 00, =ou&

Determinar la solución "exacta" para el primer paso de tiempo:

)(1 τ uu = )(1 τ uu && = )(1 τ uu &&&& =

)(1, τ uuo = )(1,0 τ uu && =Establecer nuevas condiciones iniciales:

Obtener la solució n exacta para el siguiente paso de tiempo:

)(2 τ uu = )(2 τ uu && = )(2 τ uu

&&&& =

LOOP


La idea básica del método exacto a trozos es desarrollar una solución parasegmento de carga en línea recta conociendo las condiciones iniciales.Dadas las condiciones iniciales y el segmento de carga, la solución al final delpaso de carga es determinado y esta es luego usada como la condición inicialpara el siguiente paso del análisis. El análisis luego procede paso por pasohasta que todos los segmentos de carga hayan sido procesados.






Ventajas:

• Exacto si el icnremento de carga es lineal

• Muy eficiente computacionalmente

Desventajas:

• Generalmente no es aplicable para el


comportamiento inelá stico

Debe notarse que el método exacto a trozos puede utilizarse para análisis nolineales en ciertas circunstancias. Por ejemplo, el método "rápido de análisis nolineal (fast nonlinear analysis, FNA) desarrollado por Ed Wilson y usado en elSap2000 utiliza el método exacto a trozos. En el FNA, las no linealidades son"colocadas al lado derecho", dejando sólo términos lineales al lado izquierdo delas ecuaciones de movimiento.






Té cnicas de Newmark

• Propuesto por Natham Newmark• Mé todo general que abarca una familia de diferentes

• Derivado para:

– Desarrollo de las ecuaciones de movimiento incrementales

– Asumir la respuesta de aceleració n sobre un corto paso

esquemas de integració n

de tiempo

El método de Newmark es uno de los métodos más populares para resolver elproblema de carga dinámica general. Es aplicable tanto a sistemas linealescomo no lineales. Es igualmente aplicable tanto a sistemas SDOF como MDOF.

El método de Newmark es descrito en más detalles en el tópico decomportamiento inelástico de estructuras.






Mé todo de Newmark

Ventajas:

• Trabaja para la respuesta inelá stica

Desventajas:

• Error numé rico potencial

Las ventajas y desventajas del método de Newmark son listadas. La principalventaja es que el método puede ser aplicado a sistemas inelásticos. El métodotambién puede usarse (sin desacoplamiento) para sistemas de múltiplesgrados de libertad.






-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

TIME, SECONDS

G R O U N D

A C C , g

Desarrollo de la Fuerza Efectiva Sísmica

En un terremoto, ninguna fuerza real es aplicada al edificio. En su lugar, elterreno se mueve hacia atrás y hacia adelante (y hacia arriba y hacia abajo) yeste movimiento induce fuerzas inerciales que luego deforman la estructura.Estos son los desplazamientos en la estructura, relativos al movimiento de labase, que imponen deformaciones sobre la estructura. A través de losproblemas elásticos, estas deformaciones causan fuerzas elásticas adesarrollarse en los miembros individuales y en los componentes.






Movimiento Sísmico del Terreno

Muchos movimientos del terrenoahora está n disponib les víael Internet.

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 10 20 30 40 50 60

Time (sec)

G r o u n d A c c e l e r a t i o n ( g

' s )

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50 60

Time (sec)

G r o u n d V e l o c i t y ( c m / s e c )

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 10 20 30 40 50 60

Time (sec)

G r o u n d D i s p l a c e m e n t ( c m )

1940 El Centro

Los movimientos sísmicos del terreno generalmente están impuestos a travésdel uso de registros de aceleración del terreno o acelerogramas. Algunosprogramas pueden requerir en su lugar (como el Abaqus) que los registros dedesplazamientos del terreno se usan como entrada.






m u t u t c u t k u t g r r r [&& ( ) && ( )] & ( ) ( )+ + + = 0

mu t c u t k u t mu t r r r g&& ( ) & ( ) ( ) && ( )+ + = −

Desarrollo de la Fuerza Efectiva Sísmica

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

TIME, SECONDS

G R O U N D

A C C , g

Ground Acceleration Response History

gu&& t u&&

r u&&

En esta presentación, se asume que el registro de aceleración del terreno esusado como entrada. La aceleración total en el centro de masas es igual a la

aceleración del terreno más la aceleración del centro de masas relativo almovimiento de la base. La fuerza inercial desarrollada en el centro de masas esigual a la masa veces la aceleración total.

La fuerza de amortiguamiento en el sistema es una función de la velocidad en laparte superior de la estructura relativa al movimiento de la base. De forma similar,la fuerza del resorte es una función del desplazamiento en la parte superior de laestructura relativa al movimiento de la base. La ecuación de equilibrio con el ceroen el espectro de la historia de respuesta (responde history spectrum, RHS)representa el estado del sistema en cualquier punto del tiempo. El cero en el RHSrefleja el hecho de que no hay carga aplicada.

Si la parte de la fuerza inercial total debido a la aceleración del terreno se mueve

al lado derecho (la ecuación inferior), todas las fuerzas al lado izquierdo están entérminos de la aceleración, velocidad, y el desplazamiento relativos. Esta ecuaciónes esencialmente la misma como aquella para una carga aplicada (verpresentación 8) pero la "furza sísmica efectiva" es simplemente la negativa de lamasa veces la aceleración del terreno. La ecuación es luego resulta para la historiade respuesta del desplazamiento relativo.






)()()()( t umt uk t uct um gr r r &&&&& −=++

)()()()( t ut um

k t u

m

ct u gr r r

&&&&& −=++

ξω 2=m

c 2ω =

m

k

Dividida a travez de m:

Haciendo sustituciones:

Forma " Simpl if icada" de la Ecuació n

)()()(2)( 2t ut ut ut u gr r r &&&&& −=++ ω ξω

Forma simplificada:

de Movimiento

En preparación para el desarrollo del espectro de respuesta, es convenientesimplificar la ecuación de movimiento dividiendolo a travéz de la masa.Cuando las sustituciones se hacen como se indica, puede verse que larespuesta es únicamente definida por la relación de amortiguamiento, lafrecuencia circular no amortiguada de vibración, y el registro de aceleracióndel terreno.






)()()(2)( 2t ut ut ut u gr r r

&&&&& −=++ ω ξω

Historia de aceleració n

Frecuencia estructural

Relació n de amortig.

Para un movimiento del terreno dado,u r(t)

ω

ξ

la histor ia de respuesta es funció nde la frecuencia de la estructura yde la relació n de amortiguamiento

de movimiento del terreno

Esto reafirma el punto realizado en la presentación previa. Un espectro derespuesta es creado para un movimiento particular del terreno y para unaestructura con un nivel constante de amortiguamiento. El espectro se obtieneresolviendo repetidamente las ecuaciones de equilibrio para estructurasvariando las frecuencias de vibración y luego trazando los desplazamientospico obtenidos para aquella frecuencia versus la frecuencia para el cual eldesplazamiento fue obtenido.






El cambio en el

movimiento del terreno o

de los parámetros

estructurales ξ y ω

r equiere el re-cálculo de

la respuesta estructural

Respuesta al Movimiento de Terreno

(1940 El Centro)

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 10 20 30 40 50 60

S t r u c t u r a l D i s p l a c e m e n t ( i n )

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 10 20 30 40 50 60

Time (sec)

G r o

u n d A c c e l e r a t i o n ( g ' s )

Excitación aplicada a la estructura

con ξ y ω os

desplazamiento pico

Respuesta calculada

RESOLVER

Las siguientes presentaciones tratarán el desarrollo del espectro de

respuesta amortiguado al 5% para el registro del movimiento del terreno El

Centro de 1940. El "resolver" indicado en la presentación es una rutina, tal

como el método de Newmark, que toma el registro del movimiento del

terreno, la relación de amortiguamiento, y la frecuencia del sistema como

entradas y reporta como resultado sólo el valor máximo absoluto del

desplazamiento relativo que ocurrió sobre la duración del movimiento del

terreno. Es importante notar que tomando el valor absoluto, el signo de la

respuesta pico se pierde. El momento en el cual la respuesta pico ocurriótambién se pierde (debido simplemente a que no es registrado).






0

4

8

12

16

0 2 4 6 8 10

PERIOD, Seconds

D I S P L A C E M

E N T ,

i n c h e s

El Espectro Elástico de Respuesta de

Desplazamiento

Un espectro elástico de respuesta de desplazamiento es untrazo del desplazamiento relativo pico calculado, ur , para una

estructura elástica con un amortiguamiento constante, ξ , una

frecuencia fundamental que varía ω (o periodo T = 2π/ ω), que

responde a un movimiento del terreno dado..

espectro de respuesta 5% amortiguado para la estructura

respondiendo al movimiento de terreno El Centro 1940

Esta presentación es una reexpresión del punto previo.






-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Time, Seconds

D i s p l a c e m e n t , I n c h e s

ξ = 0.05

T = 0.10 sec

Umax= 0.0543 in.

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

Period, Seconds


Cálculo del Espectro de Respuesta para el

Movimiento de Terreno El Centro

espectro elástico de respuesta

Respuesta calculada

Aquí, el primer punto en el espectro de respuesta es calculado. Para esto y

todos los pasos subsecuentes, el registro del movimiento del terreno es el

mismo y la relación de amortiguamiento se establece como el 5% del crítico.

Sólo la frecuencia de vibración, representado por el periodo T , es cambiado.

Cuando T = 0.10 s (frecuencia circular = 62.8 rad/s), el desplazamiento

relativo pico calculado fue de 0.0543 plg. La historia de respuesta a partir

del cual el pico fue obtenido se muestra en la parte superior de la

presentación. Este pico ocurrió a alrededor de 5 s en la respuesta, pero

este tiempo no está registrado. Notar que el contenido de la frecuencia

elevada de la respuesta.

El primer punto en el espectro de respuesta de desplazamiento es

simplemente el desplazamiento (0.0543 plg) trazado contra el periodo

estructural (0.1 s) para el cual el desplazamiento fue obtenido.






ξ = 0.05

T = 0.20 sec

Umax = 0.254 in.

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Time, Seconds


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

Period, Seconds


Respuesta calculada

Aquí el procedimiento completo es repetido, pero el periodo del sistema es

cambiado a 0.2 s. La historia de desplazamiento calculada se muestra en la

parte superior de la presentación, la cual muestra que el desplazamiento

pico fue de 0.254 plg. Este pico ocurrió a alrededor de 2.5 s en la

respuesta, pero, como antes, este tiempo no está registrado. Notar que la

historia de respuesta es algo más suave que aquel en la presentación

previa.

El segundo punto del espectro de respuesta es el desplazamiento pico

(0.254 plg) trazado contra el periodo del sistema, el cual fue 0.2 s.









ξ = 0.05

T = 0.30 sec

Umax

= 0.622 in.

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Time, Seconds

D i s p l a c e m e n t ,

I n c h e s

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

Period, Seconds


Respuesta calculada

El tercer punto de l espectro de respuesta es el desplazamiento pico

(0.622 plg) trazado contra el periodo del sistema, el cual fue 0.3 s.

Nuevamente, la respuesta es algo más suave que antes.









ξ = 0.05

T = 0.40 sec

Umax = 0.956 in.

-1.20

-0.90

-0.60

-0.30

0.00

0.30

0.60

0.90

1.20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Time, Seconds


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

Period, Seconds


Respuesta calculada

El cuarto punto del espectro de respuesta es el desplazamiento pico

(0.956 plg) trazado nuevamente contra el periodo del sistema, el cual fue

0.40 s.









ξ = 0.05

T = 0.50 sec

Umax = 2.02 in.

-2.40

-1.80

-1.20

-0.60

0.00

0.60

1.20

1.80

2.40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Time, Seconds


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

Period, Seconds


Respuesta calculada

El siguiente punto del espectro de respuesta es el desplazamiento pico

(2.02 plg) trazado contra el periodo del sistema, el cual fue 0.50 s).









ξ = 0.05

T = 0.60 sec

Umax= -3.00 in.

-3.20

-2.40

-1.60

-0.80

0.00

0.80

1.60

2.40

3.20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Time, Seconds


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

Period, Seconds


Respuesta calculada

El siguiente punto del espectro de respuesta es el desplazamiento pico

(3.03 plg) trazado contra el periodo del sistema, el cual fue 0.60 s. Notar

que sólo el valor absoluto del desplazamiento es registrado.

El espectro completo se obtiene repitiendo el proceso para todos los

periodos restantes en el rango desde 0.7 hasta 2.0 s. Para este espectro

de respuesta, 2/0.1 o 20 puntos individuales son calculados, requiriendo

20 análisis historia de respuesta completos. Un espectro de respuesta real

probablemente sería corrido en una resolución del periodo de alrededor de

0.01 s, requiriendo 200 análisis historia de respuesta.









0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

Espectro de Respuesta Elástico Amortiguado al 5%

Completo de Desplazamientos para el Movimiento de

Terreno El Centro

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Period, Seconds


Este es el espectro de respuesta elástico amortiguado al 5% de

desplazamiento completo para el movimiento de terreno El Centro. Notar

que el espectro fue corrido para periodos hasta 4.0 s.

Notar también que el desplazamiento es cerca de cero cuando T es cerca

de cero. Esto se espera ya que el desplazamiento relativo de una estructura

muy rígida (con T cerca de cero) deberá ser muy pequeño. El

desplazamiento entonces generalmente se incrementa con el periodo,

aunque esta tendencia no es consistente. Las reducciones en el

desplazamiento en ciertos periodos indica que el movimiento del terreno

tiene pequeña energía en estos periodos. Como se mostró antes, un sismo

diferente tendrá un espectro de respuesta totalmente diferente.

10.00

12.00






Desarrollo del Espectro de

Respuesta de Pseudovelocidad

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Period, Seconds

P s e u d o v e l o c i t y ,

i n / s e c

DT PSV ω ≡)(

5% amortig.

Notar que parece que la pseudovelocidad en periodos bajos (cerca de cero)

es también cerca de cero (pero no exactamente cero).






0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Period, Seconds

P s e u d o a c c e l e r a t i o n ,

i n / s e c

2

DT PSA 2)( ω ≡

Desarrollo del Espectro de

Respuesta de Pseudoaceleraciones

5% amortig.

El espectro de pseudoaceleraciones se obtiene a partir del espectro de

desplazamientos multiplicando por el cuadrado de las frecuencias

angulares. Notar que la aceleración en un periodo cerca de cero no es

cercano a cero (como fue el caso para la velocidad y el desplazamiento).

De hecho, la pseudoaceleración representa la aceleración total en el

sistema mientras que la pseudovelocidad y el desplazamiento son

cantidades relativas.






El espectro de respuesta de pseudoaceleración representa la

aceleración total del sistema, no la aceleración relativa. Es

cercanamente idéntica al espectro de respuesta de aceleración

Nota Acerca del Espectro de Respuesta de

Pseudoaceleración

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Period, Seconds

P s e u d o a c c e l e r a t i o n ,

i n / s e c

2

5% amortig.

aceleraciónpico del terreno

Para sistemas muy rígidos (con periodos de vibración cerca de cero), la

aceleración relativa estará cerca de cero y, por tanto, la pseudoaceleración,

la cual es la aceleración total, será igual a la aceleración pico del terreno.






m u t u t c u t k u t g r r r [&& ( ) && ( )] & ( ) ( )+ + + = 0

mu t c u t k u t mu t r r r g&& ( ) & ( ) ( ) && ( )+ + = −

PSA es la Aceleración TOTAL

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

TIME, SECONDS

G R O U N D

A C C , g

Historia de Respuesta de la

Aceleración del Terreno

gu&&

t u&&

r u&&

Esta presentación explica porqué la pseudoaceleración es igual a la

aceleración total. El desplazamiento relativo es multiplicado por omega

para obtener la pseudovelocidad. La pseudovelocidad luego es

multiplicada por omega para obtener la aceleración total.






Diferencia Entre la Pseudo-Aceleración

y la Aceleración Total(Sistema con 5% de Amortiguamiento)

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

0.1 1 10

Periodo (sec)

A c e l e r a c i ó n

( p l g / s 2 )

Aceleración TotalPseudo-

Aceleración

Esta presentación muestra la aceleración total y la pseudoaceleración para

un sistema amortiguado al 5% sometido al movimiento de terreno El centro.

notar la similitud en las dos cantidades. La diferencia en las dos cantidades

es sólo aparente en periodos bajos.

La diferencia puede ser mucho mayor cuando el amortiguamiento se

establece a 10%, 20%, o 30% del crítico, y las diferencias pueden aparecer

en un amplio rango de periodos.






Diferencia Entre la Pseudovelocidad y la

Velocidad Relativa(Sistema con 5% de Amortiguamiento)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.1 1 10

Periodo (sec)

V e l o c i d a d ( p

l g / s )

Velocidad Relativa Pseudo-Velocidad

Este gráfico muestra la velocidad relativa y la pseudovelocidad para un

sistema amortiguado al 5% sometido al movimiento de terreno El Centro.

Aquí, las diferencias son mucho más aparentes que para la

pseudoaceleración, y las mayores diferencias ocurren el periodos elevados.

Las diferencias serán mayores para sistemas con grandes cantidades de

amortiguamiento.






Espectro de Respuesta de

Desplazamiento para Diferentes Valores

de Amortiguamiento

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

0.0 1.0 4.0 5.0

Periodo, Segundos

D e s p l a z a m i e n t o , P l g

0%

5%10%

20%

Amortig.

A un amortiguamiento más elevado, más bajo el desplazamiento relativo.

En un periodo de 2 s, por ejemplo, yendo desde cero al 5% de

amortiguamiento reduce la amplitud del desplazamiento por un factor de 2.

Mientras que el amortiguamiento más elevado produce mayores

disminuciones en el desplazamiento, hay un retorno menguante. El % de

reducción en el desplazamiento yendo desde 5 hasta el 10% de

amortiguamiento es mucho menos que aquel para 0 hasta el 5% de

amortiguamiento.

2.0

3.0






Espectro de Respuesta de

Pseudoaceleración para Diferentes

Valores de Amortiguamiento

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

0.0 1.0 4.0 5.02.0 3.0

Periodo, Segundos

P s e u d o a c e l e r a c i ó n , g

0%

5%

10%

20%

Amortig.

Aceleraciónpico del terreno

El amortiguamiento tiene un efecto similar sobre la pseudoaceleración.

notar, sin embargo, que la pseudoaceleración en un periodo de cero

(cercano) es el mismo para todos los valores del amortiguamiento. Este

valor es siempre igual a la aceleración pico del terreno para el

movimiento de terreno en cuestión.






El Amortiguamiento es Efectivo

Reduciendo la Respuesta para (Casi)

Cualquier Periodo de Vibración Dado

• Un registro sísmico puede considerarse que es la

combinación de un gran número de componentesarmónicos.

• Cualquier estructura SDOF estará cerca de la

resonancia con uno de estos componentes armónicos.

• El amortiguamiento es más efectivo en o cerca de la

resonancia.

• Por tanto, un espectro de respuesta mostrará

reducciones debido al amortiguamiento en todos los

rangos de periodo (excepto T = 0).

El amortiguamiento generalmente es efectivo en todos los periodos

(excepto en T = 0). La razón para esto es que los movimientos del terreno

consisten de un gran número de armónicos, cada uno en una frecuencia

diferente. Cuando un análisis espectro de respuesta encorrido para un

periodo particular, habrá una respuesta cerca de la resonancia en aquel

periodo. El amortiguamiento es más efectivo en resonancia y, por tanto, el

amortiguamiento será efectivo sobre el rango completo de periodos para el

cual el espectro de respuesta es generado.






TIempo (sec)

A m p l i t u d

• Ejemplo de una onda artificialmente

generada para ensamblar un acelerograma

del movimiento del terreno en tiempo real.

• Generar la onda otenida combinando cincoseñales armónicas diferentes, cada una

teniendo amplitudes iguales a 1.0.

-4.00

-2.00

0.00

4.00

2.00

0. 0 6 .0 1 2. 0 1 8. 0 2 4. 0 3 0. 0 3 6.0 4 2. 0 4 8. 0 5 4. 0 6 0. 0 6 6. 0 7 2. 0 7 8. 0 8 4. 0 9 0. 0

`

Para demostrar el punto hecho en la anterior presentación, un

movimiento de terreno "artificial" se realiza a partir de la sume de cinco

armónicos simples.

El Amortiguamiento es Efectivo

Reduciendo la Respuesta para

Cualquier Periodo de Vibración Dado






La Onda Artificial es la Suma de Cinco

Armónicos

T = 5.0 s

T = 4.0 s

T = 3.0 s

Tiempo (s)

A m p l i t u d

e

-1

-0.5

0

0.51

0 .0 6.0 1 2.0 1 8.0 2 4.0 3 0.0 36 .0 42 .0 4 8.0 54 .0 60 .0 6 6.0 7 2.0 78 .0 8 4.0 9 0.0

`

-1

-0.5

0

0.5

1

0.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0 36.0 42.0 48.0 54.0 60.0 66.0 72.0 78.0 84.0 90.0

`

-1

-0.5

0

0.5

1

0. 0 6. 0 12. 0 18. 0 24. 0 30. 0 36. 0 42.0 48. 0 54. 0 60. 0 66. 0 7 2. 0 78. 0 84 .0 90. 0

`

Cada uno de los armónicos tiene una amplitud de 1.0. Los primeros

tres de los armónicos con T = 5, 4, y 3 segundos son mostrados.






T = 2.0 s

T = 1.0 s

Tiempo (s)

A m p l i t u d

Sumatoria

-1

-0.5

0

0.5

1

0. 0 6. 0 12.0 18. 0 24. 0 30. 0 36.0 42.0 48.0 54. 0 60.0 66. 0 72. 0 78.0 84.0 90.0

`

-1

-0.5

0

0.5

1

0.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0 36.0 42.0 48.0 54.0 60.0 66.0 72.0 78.0 84.0 90.0

`

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

0 .0 6 .0 1 2.0 1 8.0 2 4.0 3 0.0 3 6. 0 4 2.0 4 8.0 5 4. 0 6 0.0 6 6.0 7 2.0 7 8.0 84 .0 9 0.0

`

La Onda Artificial es la Suma de Cinco

Armónicos

Los restantes dos armónicos (en T = 2 y 1 s) y la sumatoria son

mostrados.






curva FFT para la onda combinada

Frecuencia (Hz)

A m p l i t u d d e F o u r i e r

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Frequency Ratio, β

D y n a m i c R e s p o n s e A m p l i f i e

r

0.0% Damping

5.0 % Damping

10.0% Damping

25.0 % Damping

El Amortiguamiento Reduce la Respuesta

en Cada Frecuencia Resonante

El espectro de amplitud de Fourier del movimiento de terreno artificial es

mostrado a la izquierda. este espectro muestra los cinco armónicos

discretos que están en el movimiento artificial. Si el espectro de respuesta

se corre en intervalos de 0.2 s, habrá una respuesta resonante en cada una

de estas frecuencias. El amortiguamiento será muy efectivo en reducir la

respuesta en cada una de las frecuencias.






Respuesta

Elástico

Estructura de Ejemplo

K

= 500 k/in

W

= 2,000 k

M

= 2000/386.4 = 5.18 k-sec2/in

ω

= (K/M)0.5 =9.82 rad/sec

T

= 2π/ω = 0.64 sec

5% amortiguamiento crítico

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Periodo, Segundos

D e s p l a z a m i e n t o , p l g

A T

= 0.64 sec, desplazamiento = 3.03 plg

Este es una ejemplo simple del uso de un espectro de respuesta elástico

de desplazamiento. Si se asume que el sistema tiene un amortiguamiento

de 5% (emparejando el espectro) y el periodo del sistema es conocido, el

desplazamiento pico puede fácilmente calcularse. Notar que el signo del

desplazamiento (positivo o negativo) y el tiempo en el que el

desplazamiento ocurrió no se conoce ya que esta información fue

descartada cuando el espectro fue generado.






Uso de un Espectro de Respuesta

Elástico

Estructura de Ejemplo

K = 500 k/in

W = 2,000 k

M = 2000/386.4 = 5.18 k-sec2/in

ω = (K/M)0.5 =9.82 rad/sec

T

= 2π/ω = 0.64 sec

5% de amortiguamiento crítico

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Periodo, Segundos

P s e u d o a c e l e r a c i ó n , p l g / s e c

2

Este es un ejemplo simple del uso de un espectro de respuesta elástico de

pseudoaceleración. Si se asume que el sistema tendrá un

amortiguamiento del 5% (emparejando el espectro) y el periodo del

sistema y la masa son conocidos, la cortante en la base pico puede

fácilmente calcularse. Notar que el signo de la cortante (positiva o

negativa) y el tiempo en que la cortante ocurrió no con conocidos ya que

esta información (relacionada a la pseudoaceleración) fue descartada

cuando el espectro fue generado.

A T = 0.64 s, pseudoaceleración = 301 plg/s2

Cortante en la Base = M

x

PSA = 5.18(301) = 1559 klbs






Espectro de Respuesta, Espacio ADRS

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00

Desplazamiento, pulgadas

P s e u d o a c e l e r

a c i ó n , g

Las líneas diagonales representan

valores del periodo, T

T = 0.64s

Otro tipo de espectro trazado es el espectro de respuesta aceleración-

desplazamiento (acceleration-displacement response spectrum, ADRS), el

cual es también llamado un espectro de demanda. Aquí, el

desplazamient6o es trazado sobre el eje x y la pseudoaceleración es

trazada en el eje y. Los periodos de vibración son representados como

líneas radiales.

Estos tipos de espectro son más comúnmente usados en asociación con

"espectros de capacidad" desarrollados a partir de análisis no lineales

estáticos pushover. Un espectro de demanda es también útil para evaluar

los requerimiento de rigidez y amortiguamiento de sistemas aislados en la

base.






0.1

1

10

100

0.1 1 10 100 1000

P s e u v e l o c i d a d , p l g / s e c

1.0

D=10.0

0.01

.01

0.1

0.1 0.001

1.0

Línea del desplazamiento

incrementado

Línea de

desplazamientoconstante

Trazo del Espectro de Respuesta

Cuádruple Logarítmico

ω

PSV D =

Frecuencia circular ω

(radians/sec)

El espectro de respuesta a menudo trazado sobre un papel cuádruple

logarítmico. Este tipo de espectro es menudo llamado "espectro tripartito"

ya que el desplazamiento, la pseudovelocidad, y la pseudoaceleración

están todos mostrados en el mismo trazo.

En el trazo, la pseudovelocidad es trazada en el eje vertical. Las líneas de

desplazamiento constante y de desplazamiento incrementado son

generados como se muestra. El uso de la frecuencia circular en el eje

horizontal es raramente usado en la práctica pero es conveniente para

ilustrar el desarrollo del trazo.






0.1

1

10

100

0.1 1 10 100 1000


100

PSA=1000

10000

100

100000

10 1000

10000Línea de aceleración

incrementada

Línea de aceleraciónconstante



PSA PSV = ω

Frecuencia circular ω

(radians/sec)

Las líneas de pseudoaceleración constante y de pseudoaceleración

incrementada logarítmicamente se obtienen de una forma similar.






0.1

1

10

100

0.1 1000




1 0 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0

1 0

1 0 .1

A C C E L

E R A T I O N

, i n / s e c 2

1 0 0

1 0

1 . 0

0 . 1

0 . 0 1

0 . 0

0 1

D I S P L A C E M E N T , i n

1 10 100

Circular Frecuenciaω

radians/sec)

Este es un espectro finalizado para el sismo El Centro al 5% de

amortiguamiento con la aceleración máxima = 0.35 g.






0.10

1.00

10.00

100.00

0.01 10.000.10

1.00

PERIODO, Segundos

P S E U D O V E L O C I D A D , p l g / s e c

1 . 0

1 0 . 0

0 . 1

0 . 0 1

A c c e l e r a t i o n , g

0 . 0 0

1

1 0 . 0

0 . 1 0

1 . 0

0 . 0 1

0 . 0 0 1

D i s

p l a c

e m e n t ,

i n .

Trazo del Espectro de Respuesta Cuádruple

LogarítmicoTrazado vs Periodo

El espectro de respuesta generalmente es trazado versus el periodo

estructural o versus la frecuencia cíclica estructural. Este es el mismo

espectro como se mostró en la presentación previa, pero está trazado

versus el periodo.






Desarrollo de un Espectro de

Respuesta Elástico

0.10

1.00

10.00

100.00

0.01 0.10 1.00 10.00

PERIODO, Segundos

P S E U D O V E L O C I D A D , p l g / s e c

1 . 0

1 0 . 0

0 . 1

0 . 0 1

A

c c e l e r a t i o n , g

0 . 0 0

1

1 0 . 0

0 . 1 0

1 . 0

0 . 0 1

0 . 0 0 1

D i s

p l a c

e m e n t , i n

. Problemas con el Espectro Actual:

Para un sismo dado, pequeñas

variaciones en la frecuencia

estructural (periodo) puede

producir resultados

significativamente diferentes.

Este es para un solo terremoto;

otros terremotos tendrán

diferentes características.

El uso de un espectro de un solo terremoto en el diseño estructural no

es recomendado por las razones mostradas en esta presentación. El

mismo sitio experimentando diferentes terremotos (o diferentes

componentes del mismo terremoto) a menudo tendrá espectros

distintos.






0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10

Periodo, Segundos

P s e u d o V e o c i d a d , p l g / s e c

0% Amortig.

5% Amortig

10% Amortig

20% Amortig

1 . 0

1 0 . 0

0 . 1

0 . 0 1


0 . 0 0 1

1 0 . 0

0 . 1 0

1 . 0

0 . 0 1

0 . 0 0 1

D i s

p l a c

e m e n t , i n

.

Para un sismo dado, pequeñas

variaciones en la frecuencia

estructural (periodo) puede

producir resultados

significativamente diferentes.

1940 El Centro, 0.35 g, N-S

Notar que cambios significativos (para cualquier valor dado del

amortiguamiento) en el rango de periodo de 1.5 s.






0.1

1.0

10.0

0.01 0.10 1.00 10.00

Periodo, segundos

P s e u s o V e l o c i d a d , p l g / s e c

El Centro

Loma Prieta

North Ridge

San Fernando

Average

Espectros Amortiguados al 5% para Cuatro

Terremotos de California

Escalados a 0.40 g (PGA)

Diferentes Sismos tendrán

diferentes espectros

Los espectros están escalados a 0.4 g con un amortiguamiento del 5%.

Notar las diferencias.






Espectro de Respuesta Elástico Suavizado(Espectro de Respuesta Elástico de DISEÑO)

• Espectro Newmark-Hall spectrum

• Espectro ASCE/SEI 7

Ya que el espectro real del movimiento de terreno es difícil de trabajar en

na oficina de diseño, una variedad de espectros empíricos han sido

generados. Uno de estos espectros empíricos fue desarrollado por Natham

Newmark. Las siguientes presentaciones describen esto en detalle.

El espectro usado por el ASCE/SEI 7 es más simple que el espectro de

Newmark, pero la explicación del fondo del espectro del ASCE/SEI 7 es

más díficil.






0.1

1

10

100

0.01 0.1 10 100

Periodo (sec)

D e s p l a z a m i e n t o ( p l g

)

0%Amortig.

5%Amortig

10% Amortig

Espectro Elástico Newmark-Hall

Observaciones

gu&&max

gu&max

gumax

gvv &&&& max→

gvv max→

en cortos T

en largos T

0→v

0→v&&

El espectro de Newmark está basado en las siguientes observaciones:

• La pseudoaceleración en periodos muy bajos es exactamente igual a la

aceleración del terreno pico.

• El desplazamiento relativo en periodos muy largos es exactamente igual

al desplazamiento del terreno pico.

• En periodos intermedios, el desplazamiento, la pseudovelocidad, y la

pseudoaceleración son iguales a los valores del terreno veces algunas

constantes empíricas.

1






Estructura Muy Rígida (T < 0.01 sec)

Aceleración total

Cero

Aceleración del terreno

Desplazamiento relativo

Para edificios con periodos muy bajos (altas frecuencias), el

desplazamiento máximo relativo será cero. La aceleración máxima se

aproximará a la aceleración del terreno.






Estructura Muy Flexible (T > 10 sec)

Desplazamiento Relativo

Aceleración Total

Desplazamiento del Terreno

Cero

Para edificios de periodos muy elevados (baja frecuencia), el

desplazamiento máximo relativo será igual al desplazamiento del

terreno máximo. La aceleración máxima total se aproximará a cero.






0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10Periodo, Segundos

P s e u d o V e l o c i d a d , p l g / s e g

0% Amortig.

5% Amortig

10% Amortig

20* Amortig

1 . 0

1 0 . 0

0 . 1

0 . 0 1


0 . 0 0

1

1 0 . 0

0 . 1 0

1 . 0

0 . 0 1

0 . 0 0 1

D i s

p l a c

e m e n t , i n

.

1940 El Centro, 0.35 g, N-S

0.35g

12.7 plg/s

4.25 plg

Máxima del Terreno

La línea amarilla muestra el desplazamiento del terreno máximo registrado,

la velocidad, y la aceleración a partir del sismo El Centro de 1940. Estas

líneas claramente forman un límite inferior para el espectro de respuesta

elástica. Notar cómo las respuestas del edificio de desplazamientos,

velocidades, y aceleraciones son amplificaciones de los valores del terreno.

Notar también cómo las amplificaciones disminuyen con el incremento del

amortiguamiento.






Damping One Sigma (84.1%) Median (50%)

% Critical aa av ad aa av ad

.05 5.10 3.84 3.04 3.68 2.59 2.01

1 4.38 3.38 2.73 3.21 2.31 1.82

2 3.66 2.92 2.42 2.74 2.03 1.63

3 3.24 2.64 2.24 2.46 1.86 1.52

5 2.71 2.30 2.01 2.12 1.65 1.39

7 2.36 2.08 1.85 1.89 1.51 1.29

10 1.99 1.84 1.69 1.64 1.37 1.20

20 1.26 1.37 1.38 1.17 1.08 1.01

Factores de Amplificación del Espectro de

Newmark para la Respuesta Horizontal

Elástica

Newmark ha desarrollado una serie de factores de amplificación a ser

usados en el desarrollo del espectro de diseño. Estos están basados en el

promedio de docenas de espectros registrados sobre sitios de suelo firmes

para el oeste de Estados Unidos. Los valores son mostrados para la media

y la media más una desviación estándar.






Espectro Elástico Newmark-Hall

1

3

2 4

65

1) Draw the lines

corresponding to maxggg

vvv ,, &&&

2) Draw line

from Tb to Tc

T a T b T c T d T e T f

g Av&&maxα

3) Draw line

from Tc to Td

gV v&maxα

4) Draw line

from Td to Te

g Dvmaxα

5) Draw connecting line

from Ta to Tb

6) Draw connecting line

from Te to Tf

Estos son los pasos para el desarrollo del esectro de Newmark. Notar

que los valores reales no están presentados.






ASCE /SEI 7Uso de un Espectro de Aceleraciones de Diseño

Suavizado

aceleración en

"periodos largos"

TST = 1.0

Periodo, T

E s p e c t r o d e R e s p u e

s t a

d e A c e l e r a c i ó n , S

a

SDS

SD13

2

1

aceleración en

"periodos

cortos"

1

3

2

S = 0.6S

TT+ 0.4 Sa

DS

0

DS

S = Sa DS

S =S

Ta

D1

Notar las excepciones en periodos largos

TL

4 D1SLa

2

TS =

T

4

Este trazado muestra las relaciones básicas usadas para el espectro del

ASCE/SEI 7. Notar que el eje vertical es la pseudoaceleración. El espectro

está derivado a partir de una serie de mapas dando valores espectrales de

aceleración para edificios con "periodos cortos" (T = 0.2 s) o "periodos

largos" (T = 1 s). Notar que la parte del espectro a la derecha de TL (Curva

4) fue introducida en el 2003 NEHRP Recommended Provisions y en la

ASCE 7-05.

Los mapas están basados en suelos muy rígidos. Para propósitos de

diseño, el espectro de aceleraciones no es reducido a la aceleración del

terreno en periodos bajos (Línea 1 en el trazado). El amortiguamiento seasume que es el 5% del crítico.






La Respuesta Espectral del ASCE 7

es un espectro de peligro uniforme

basado en un análisis del peligro

sísmico probabilístico y determinístico.

Esta presentacion señala que el espectro del ASCE/SEI 7 es un "espectro



Análisis Sismico SDOF

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