(769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
-
Upload
kholis-findme -
Category
Documents
-
view
230 -
download
0
Transcript of (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
1/53
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
2/53
Getaran
(Vibration)Dalam kehidupan sehari-hariterdapat
Senar gitar yang sering andamainkan,
banyak
benda
yangbergetar.Sound
system,
Garputala,
Demikian juga rumah andayang
bergetar dasyat hingga rusak ketika
terjadi gempa bumi.
Ingat juga ketikaanda
tertawaterpingkal-pingkal tubuh anda
juga
bergetar
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
3/53
Getaran(Vibration
)
Getaran adalah gerakan bolak-balik dalam suatuinterval
tertentu.
Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling
waktu
berkaitan. Baik itu gelombang air laut, gelombang gempabumi,
gelombang suara yang merambat di udara; semuanya
bersumber pada getaran. Dengan kata lain, getaranadalah penyebab
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
4/53
Getaran Bebas (Free
Vibration)Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karenabekerjanya
gaya yang ada dalam sistem itu sendiri .
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
5/53
mu + cu + ku = p(t )
u(0) = u0 , u (0) = u 0
2
u + 2ζω u + ω 2u = ωn p(t )
n n k
ω 2 = k
n m
Persamaan gerak secara umum :
Kecepatan dan perpindahan saat t=0 :
Sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
dimana
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
6/53
c = 2mω = 2k
cr n ωn
ζ = c
ccr
dan
dimana
ωn adalah frekuensi alami sudut tak
teredam
liat dan ccr adalah koesien redaman kritis.
!rad"s#, $ adalah faktor
redaman
k c
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
7/53
u(t ) = u p (t ) + uc (t )pon total :
mum daripersama hnya u(t dan
Getaran bebas system SDOF
Re
up(t ! "orced motion related p(t
uc(t ! natural motionDi dalam istilah matematika,penyelesaian u
di"erensial terdiri dari penyelesaiansesungg penyelesaiankomplemen#pelengkap uc(t.
an
u
p
u
P(t)
c
K m
I
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
8/53
mu + cu + ku = 0
u + 2ζω u + ω 2u = 0n n
u = C e st
Getaran bebas system SDOF
Untuk getaran bebas → P(t)=0:
$olusi umum, untuk menyelesaikanpersamaan
diatas%
substitusikan
&aka'.
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
9/53
( s 2 + 2ζω s + ω 2 )C e st = 0n n
s
2
+ 2ζω s + ω 2
= 0n n
Getaran bebas system SDOF
Supaya dapat valid untuk semua nilai t , maka :
Persamaan Karakteristik
(persamaan polynomial deraat n dalam besaran
2
)
2 s
syang mempunyai n bua! !arga
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
10/53
Getaran bebas
S"#$ %ak %eredam(Undamped)
system SDOF
S"#$ %eredam("amped)
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
11/53
mu + ku = 0 u + ω 2
u = 0n
s 2 + ω 2 = 0n
s1,2 = ±iωn dimana i = -1
Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adala!
atau
dan persamaan karakteristik yang sesuai adala!
akar dari persamaan diatas adalah
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
12/53
u = C 1eiωnt + C 2e−iωnt
e±iθ = cosθ ± i sinθ
u = A1 cos ωn t + A2 sin ωnt
Sehingga penyelesaian umum :
dengan memperkenalkan persamaan uler
kita dapat menulis ulang persamaan dalam bentuk !ungsi
trig"n"metri# yaitu
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
13/53
u = u cos ω t + u0 sin ω t
0 n ω n
n u = u0 cos ω nt
an bebas
u(0) = u0 = A1
u (0) = u 0 = A2ωn
dimana $% dan $&adalah k"nstanta real# ditentukan dari k"ndisi
a'al perpindahan dan kecepatan#
adi
adalah resp"n getar dariSDOF".
sistem "undamped
ika ů(0) = 0 # adi
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
14/53
u = u0 cosωnt
T = 2π
(s)
n ωn
f = 1 = ω n (Hz)
n
"apat dili!at ba!&a respon merupakan gerakan !armonikseder!ana dengan amplitudo uo, dan
natural '
periode dari 'undamped
dan sebua! rekuensi dari 'undamped natural '
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
15/53
α
u(t ) = U cos(ωnt − α ) = U cos ωn t −
u(t ) = u cos ω t + u0
sin ω t 0 n ω n
n
u(t ) = A cos ω t + B sin ω t = A2 + B2 cos(ω t ± α ), tanα = sin α = ±
B
n n ncos α A
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
16/53
ontoh
&00 lb*!t
Model Struktur :
E = 30.106 psi
I = 82,5 in4
W = 200 x 25 = 5000 l
! = 386 in"s2
F(t)
%+ !t
#ers$%$$n &er$k d$n pers$%$$n respons
!et$r$n e$sn'$ ()(t*=0* +
,-
&+ !t
.&/
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
17/53
Model S!F&00 lb*!t
F(t)F(t)
%+ !t
Model Matematis FB
y
$(t)
K
s$(t)m
m
I
,-
.&/
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
18/53
Penyelesaian
I + fs = F (t )
:
$(t
) s
m" y + k " y = F
(t )12 E (2 I ) 12 "#0 "10$ (2 "%2,&)
K = = = 101%& lb ' in(1&"12)# L#
W
g
&000
#%$ = 12"lb" s2 ' in
m = =
2πωn
k 101%&"#%$
&000ω = = = 2%"0 rad ' s T = = 0"22 sn n
m
ωn 1 101%&"#%$&000
f = = = "$ sps2π 2π
12" y +101%& y =
0
Persamaan Gerak
m
I
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
19/53
u(t ) = u cos 2%"0t + u 0 sin 2%"0t
0 2%"0
Persamaan Respons Getaran Bebas :
u0u(t ) = u cos ω t
+ sin ω t
ω 0 n n
n
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
20/53
u(t ) = u cos 2%"0t + u 0 sin 2%"0t
0
2%"0
Latihan
y(0) = 0,001*t
%ika& Simpangan
awal'ecepatan awal y (0) = 0,1*t'dtGambarkan (espons Struktur))
!*asukan nila t+ sampai t+,
dengan
waktu .#
inter/al
u0u(t ) = u cos ω t
+ sin ω
t
ω 0 n n
n
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
21/53
espon Getaran Bebas $D)* +ak
+eredam.0
u(t
.
0
.
0 1 2 3
t(time
-.
-
.0
-
.0
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
22/53
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
23/53
%uned ass "amper
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
24/53
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
25/53
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
26/53
-esarnya aktor 'damping ' ( ζ ) , dapat digunakan untukmembedakan . kasus, yaitu:
overdamped ( ζ > + )
critically damped ( ζ =+ )
underdamped (0 / ζ /+)
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
27/53
2 1
s1,2 = −ζω n ± ω n ζ − s1,2 = −ζω n
u(t ) = (C + C t )e−ζω nt
1 2
u(t ) = +u + (u + ζω u )t e−ζω
nt
Kasusritially damped ( ζ = + )
etika ! maka
persamaan
menjadi
$olusinya
menjadi%
%$k$ respon d$ri siste% red$%$nkritis $d$l$:
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
28/53
2 1
s1,2 = −ζω n ± ωn ζ
−
s1, 2 = −ζω n ± ω
ω = ω ζ 2 −1n
Kasusoverdamped ( ζ 1 + )
(
ζ> 1)
Persamaan diatas dapat ditulis
dimana
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
29/53
2 1
s1,2 = −ζω n ± ωn ζ
− s1,2 = −ζω n ± iω d
ω = ω 1− ζ 2d n
2π
T d = ω
Kasus Underdamped ( 0 / ζ / +)
( 0 <
ζ< 1)
diatas2ebi! muda! bila menulis persamaandalam bentuk
dimana ωd adala! rekuensi alami ' damped
yang diberikan ole!
circular '
yang sesuai dengan periode damped , %d, yang
diberikan ole!
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
30/53
−ζω nt
u(t ) = e ( A1 cos ω d t + A2 sin ω d t )
u + ζω u
u(t ) = e−ζω nt u cos ω t + 0 n 0
sin ω t )
0 d d
ωd
u(t ) = Ue−ζω nt cos(ω t − α )d
u(t ) = A cos ω t + B sin ω t = A2 + B2 cos(ω t ± α ), tanα = sin α = ± B
n n ncos α A
"engan bantuan dari ormula 3uler, penyelesaian(t), dapat ditulis dalam bentuk
umum, u
dan uga, uo dan 4o digunakan untuk mengevaluasi 5+ dan 5
, dengan !asil:
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
31/53
6ambar diatas menunukkan perbandingan antara respon*respondari sistem*sistem SDOF mempunyai level*level yang berbeda
dalam subcritical damping. "alam tiap kasus, karena uo = 0
, respon yang didapat
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
32/53
u(t ) = e−ζω nt ( A cos. ωt + A sin. ωt )1 2
u + ζω u
u(t ) = e−ζω nt u cos. ωt + 0 n 0 sin. ωt )
0
ω
Penyelesaian umum, u (t), dapat ditulis dalam bentuk
dan uga, uo dan 4o digunakan untuk mengevaluasi 5+ dan 5
, dengan !asil:
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
33/53
u + ζω u
u(t ) = e−ζω nt u cos. ωt + 0 n 0 sin. ωt )
0
ω ωn = &rad ' s
u 0 = 20in ' s
0.
3
0
0.
.4
.4 0.
3
.2 1.
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
34/53
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
35/53
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
36/53
ζ = c
ccr
3ksperimen Penentuan dari$rekuensi 5lami "asar dan
$aktor Damping darisebua! sistem S"#$
Faktor
dampin
! ζ !
e"ekti"
#m#mnya di#k#r! dan bila
dari
iininkan!
persamaan
nilai dari $ dapat dihit#n
#ndamped
ditent#kan
sistem
%&'F
rek#ensi alami
sederhana dapat
dari seb#ah
dari pen#k#ran statis
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
37/53
ontoh
ent#ka
n
"rek#ensi alami dari seb#ah sistem peas
sederhana denan men#nakan pen#k#ran statis
Penyelesaian :
Lok k
fs=kust
w
'
ust
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
38/53
ωn*
+ k,m 1
keseimbanan berat dari massa yan terant#n pada
peas dit#n-#kkan
+ ↓ ∑ F = 0ata#
W − f s = 0
pada
Lok
*
k
fs=kust
w
.
dari persamaan
pada peas
aya yan menyebabkan perpan-anan
f s = ku st /
f s = mg = ku st persamaan . dan / diab#nkan mendapat
'ust
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
39/53
-adi! dari persamaan
1
dan
g 2ω =nu st
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
40/53
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
41/53
ontoh
*rekuensi natural dari balok kantilever denganmassa lumped (terpusat bergerak dinamis.&assa bergerak dengan amplitudo / ! inkemudian dilepaskan. Gerakan yang terjadiditunjukkan gambar di bawah yangmengindikasikan bahwa redaman pada struktursangat kecil. 0itung "rekuensi natural dalamradian per detik dan hert1. Berapa periodenya2
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
42/53
Penyelesaian :
Pada titik a! beban telah bererak 12 p#taran
1"2&
put$r$n0" s
f ≈ = #"12& -n
ω n = 2π f n1
=
1
($"2%)(#"12&) = 1"$rad's
T n = = = 0"#2 s
f n#"12&
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
43/53
erdapat d#a metode yan
hampir
"a$tor!
sama #nt#k
the dampin
ζ!
enent#kan
men#nakan
denan
bebas
ekaman melemahnya etaran
sistem
%&'F
: metoda
loarithmi$
ari seb#ah
de$rement
dan
metoda setenah amplit#do
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
44/53
u = eζω nT d
u!
u
metoda
loarithmi$ de$rement
alam ! amplit#do
erakan!
3
P
! pada
perm#laan dari p#taran dan
amplit#donya!
3
4
! pada
&idapat persamaan
akhir
the loarithmi$ de$rement
δ di-elaskan sebaai berik#t
:
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
45/53
T = 2π = 2π
d
ω d ω 1 − ζ 2n
δ = ζω T = 2πζ
n d
1 − ζ 2
δ = 2πζ
ζ = 1 ln U
nat#ral
damped !
imana
d
adalah periode
sebaai berik#t :
di-elaskan
-adi! kita mendapatkan
3nt#k
dampin
ke$il (
ζ < 0* ) ! perkiraannya :
dapat diterima! mem#nkinkan "aktor dampin #nt#k
didapat dari persamaan :
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
46/53
u/(t ) = Ue−ζω nt
u/ = u/
"
2
u/ ζω
= en #T d = 2
pada
metoda
rosed#r
setenah
yan sama -#a diterapkan
amplit#do!
dimana hasilnya mer#pakan
perhit#nan yan sederhana #nt#k "aktor
dampin
5etoda setenah amplit#do berdasarkan pada
en6elope $#r6e
(k#r6amplit#do dari en6elope)
pada d#a titik
dimana :
P dan R!
adalah
7
periode
damped
itik8titik terseb#t
yan
b#lat
terpisah! dimana
7
9em#dian!
tidak har#s seb#ah bilanan
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
47/53
2π # ζ
= ln(2)1 − ζ 2
%ehina diperoleh persamaan
Gra"ik h#b#nan antara
ζ dan
7
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
48/53
2π # ζ = ln(2)
ζ = 0"11
#
nilai dampin
ζ*etapi! #nt#k yan ke$il!
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
49/53
b) Pen#ranan loaritmis
(δ )
ontoh
Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegasdengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat)
sehingga teradi amplitudo pun!ak 1"0 dan 0"#$.
a) Frek#ensi nat#ral tak teredam (:n)
$) Rasio redaman(;)
d) 9oe"isien redaman($)
e) Frek#ensi nat#ral redaman (:n)
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
50/53
ωn = g #%$ in'sec 2m
secn 2π 2π10 #%$
2 0,%& y2
0,%&
2π 2π
Penyelesaian :
a) Frek#ensi nat#ral tak teredam (:n)
KK = 20 lb/in , m = W = 10 lb
ω = 20 = 2,% rad atau f = ω = 2,% = ,2 sps
b) Pen#ranan loaritmis
δ = ln y1 1 1,00
δ = ln 1,0 = 0,1$&
$) Rasio
redaman(;)
ζ = δ ζ =
0,1$# = 0,02$
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
51/53
#%$cr
ccr
= (0,02$) 210 ⋅ 20
#%$
in
$
$
d) 9oe"isien redaman($)
ζ = c c = 2 k ⋅ m = 2 10 ⋅ 20
c = ζ ⋅ ccr
= 0,0#lb ⋅ dt
e) Frek#ensi nat#ral
redaman (:&)
ω = ω 1− ζ 2 ,
ω = 2"% 1− (0"02$)2
= 2" rad'det
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
52/53
onto
h
G#nakan metode setenah amplit#do #nt#k
memperkirakan the dampin dari seb#ah sistem
yan
erakannya terekam dalam ambar berik#t!
-
8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF
53/53
ζ = 0"11
ari titik R ! dimana amplit#do dari the en6elope
<
Perkirakan -#mlah p#taran antara
P R
:
7
+
<dan
2"2&
Penyelesaian :
< Gambar sketsa dari the en6elope $#r6e
( terdapat pada ambar)
< =mbil titik P pada p#n$ak dan #k#r #P
#
P
+ 0// in
$#r6e
adalah
#
P
,* + 0** in
** p#taran
< G#nakan persamaan diba?ah ini #nt#k
memperkirakan
ζ :
ζ = 0"11 = 0"0