03 Getaran Paksa SDOF

8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF

1/25

2/3/2016

1

KL3201, Kelas 02Semester II 2015/2016

Persamaan gerak getaran paksa merupakanersamaan diferensial non-homo en:

Solusi dari persamaan di atas berupa gabunganantara solusi pers. diferensial homogen (getaran

bebas) dengan solusi particular .

( )mu cu ku F t + + =&& &

( ) ( ) ( )h pu t u t u t = +

2


2/25


3/25

2/3/2016

3

Simpangan maksimum untuk kasus ini mencapai2 kali sim an an statik.Respons dinamik mencerminkan efek tumbukan(impact ), di mana gaya tiba-tiba bekerja padastruktur saat t = 0.

5

Persamaan gerak: mu cu ku F + + =&& &

Solusi particular :

Respons teredam akibat beban konstan:

pu k =

( )cos sint D DF

u e A t B t ζω ω ω −= + +

Untuk kondisi awal diam:

21 cos sin

1

t D D

F u e t t

k ζω ζ ω ω

ζ

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − +⎜ ⎟

⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦6


4/25

2/3/2016

4

1.8

2

ζ = 2%

ζ = 5%

0.8

1

1.2

1.4

1.6

x / x

s t

=

ζ = 20%

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

t / T

7

Suatu sistem SDOF tanparedaman diketahui memiliki

F (t ) [kN]

massa 150 kg dan kekakuan 20kN/m. Sistem tersebut dikenai

beban konstan 5 kN selama 0.5detik seperti tergambar.Sebelum dikenai beban, struktur

t [detik]

5

0.5

era a a am on s am.

Tentukan simpangan struktur pada saat t = 0.2detik dan pada saat t = 0.7 detik.

8


5/25


6/25

2/3/2016

6

0.4

0.5

0

0.1

0.2

.

P e r p

i n d a

h a n

[ m ]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2

-0.1

Waktu [detik]

11

0.4

0.5

ζ = 5%

ζ = 0

0

0.1

0.2

.

P e r p

i n d a

h a n

[ m ]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2

-0.1

Waktu [detik]

12


7/25

2/3/2016

7

Beban: ( )r

t F t F

t =

Respons tak teredam akibat beban konstan:

cos sinr

F t u A t B t

k t ω ω = + +

1sin

r r

F t u t

k t t ω

ω

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

13

2

1

1.5

e r p

i n d a

h a n ,

i n c

h

0 2 4 6 8 100

.

Waktu, detik

F =2 lbt r = 10 detik k = 1 lb/in.T = 4 detik

14


8/25

2/3/2016

8

Gambarkan respons dari struktur tanpa redamanden an arameter dinamik berikut:◦ koefisien kekakuan k = 1 lb/in.◦ perioda alami T = 4 detik akibat beban yang meningkat linier dari 0 hingga 2lb selama 10 detik, kemudian bernilai konstansebesar 2 lb. Kondisi awal diam.

F t lb

t [detik]

2

1015

Frekuensi alami:2 2

1.57 rad/detik 4T

π π ω = = =

Simpangan statik: st 2 in.F

uk

= =

Saat 0 ≤ t ≤ 10 detik, struktur mengalamigetaran paksa akibat beban meningkat linier:

( )( ) ( ) ( )12 sin 1.57 0.2 0.0636sin 1.57

10 1.57 10t

u t t t ⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )( ) ( )10 0.2 10 0.0636sin 15.7 2 in.

10 0.2 0.1cos 15.7 0.3 in./detik

u

u

= − =

= − =&

16


9/25

2/3/2016

9

Untuk t ≥ 10 detik, struktur mengalami getaranpaksa akibat beban konstan, dengan kondisiawal dari persamaan sebelumnya:

( ) ( )cos 1.57 sin 1.57 2u A t B t = + +( )

( )

10 2 0

0.310 0.3 0.191

1.57

u A

u B

= ⇒ =

= ⇒ = − = −&

0.191sin 1.57 2u t = − +

17

2

2.5

1

1.5

P e r p

i n d a h a n ,

i n c

h

0 5 10 15 200

0.5

Waktu, detik

18


10/25

2/3/2016

10

Beban: F (t ) = F sin Ωt

di mana:

2

1cos sin sin

1F

u A t B t t k

ω ω β

= + + Ω−

β ω

Ω=

( )21

sin sin1

F u t t

k β ω

β = Ω −

−

19

F (t )

T = 2π / Ω

F (t ) = F sin ΩtΩ/ ω = 0.2

x 0 = 0v0 = ω F / k.

20


11/25

2/3/2016

11

Respons terdiri atas 2 komponen getaran yangfrekuensin a berbeda:◦ Getaran transient , dengan frekuensi ω (frekuensi alami

struktur).◦ Getaran steady-state , dengan frekuensi Ω (frekuensi

beban).Getaran steady-state disebabkan oleh beban

,tergantung pada kondisi awal. Getaran transienttetap ada meskipun kondisi awal struktur diam.

21

Suatu struktur SDOF tanpa redaman diketahuimemiliki massa 1 0 k dan kekakuan 20 kN m.Dalam kondisi awal diam, struktur tersebutdikenai beban harmonik F = 5 sin 6 t kN.Tentukan respons perpindahan struktur tersebutdan gambarkan riwayat waktunya.

22


12/25

2/3/2016

12

Frekuensi alami: 20000 11.55 rad/detik 150

k

mω = = =

Frekuensi beban: 6 rad/detik Ω =

Respons tak teredam akibat beban harmonik,kondisi awal diam:

( )21

sin sinF

u t t β ω = Ω −

0.5211.55

β ω

= = =Rasio frekuensi:

( )( )2

5 1sin 6 0.52sin11.55

20 1 0.52

0.34sin 6 0.18sin11.55

t t

t t

−

= −−

= −

23

0.4

0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

S i m p a n g a

n ,

m

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8

-0.6

Waktu, detik

24


13/25

2/3/2016

13

0.4

0.6steady statetransienttotal

-0.4

-0.2

0

0.2

S i m p a n g a n ,

m

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8

-0.6

Waktu, detik

25

Beban: F (t ) = F sin ω t 0 0

Amplitudo respons meningkat dengan bertambahnya waktu getaran.Kondisi ini disebut resonansi.

00 cos sin cos2

v F u u t t t t

mω ω ω

ω ω = + +

26


14/25

2/3/2016

14

F

2 m ω

–F

m ω

27

Solusi umum:

cos sin cos sint u e A t B t C t D t ζω ω ω −= + + Ω + Ω

di mana

( ) ( )2 22

2

1 2

F C

k ζβ

β ζβ = −

− +

transient steady-state

( ) ( )2

2 22

1

1 2

F D

k β

β ζβ

−=− +

28


15/25

2/3/2016

15

Respons steady-state untuk kasus ini dapatdituliskan dalam bentuk:

di mana

( ) ( )( )

2 22

1sin

1 2

F u t

k φ

β ζβ = Ω −

− +

1 2ζβ − ⎛ ⎞21 β −⎝ ⎠

29

Terdapat 3 komponen pada respons steady-stateakibat beban harmonik ini:◦ simpangan statik, u st = F / k◦ suatu faktor yang merupakan fungsi dari ζ dan β ◦ komponen sinusoidal yang bernilai antara nilai –1 dan 1

Faktor tersebut dinamakan dynamic amplification factor :

( ) ( )2 22

1

1 2 D

β ζβ =

− +

30


16/25

2/3/2016

16

31

Jika hanya respons steady-state yangdi erhitun kan:

( ) ( )max st2 22

1

1 2

F u u D

k β ζβ

= =

− +

32


17/25

2/3/2016

17

Ulangi problem pada Contoh 3 jika strukturdian a memiliki rasio redaman %.Tentukan simpangan maksimum untuk masing-masing getaran transient, steady-state, dan total.

33

Parameter dinamik yang telah dihitung pada Contoh 3:

st

11.55 rad/detik, 6 rad/detik, 0.52

0.25 mF

uk

ω β = Ω = =

= =

2

Respons akibat beban harmonik:

re uens ge aran ere am: . ra e Dω ω = − =

( )cos sin cos sint D Du e A t B t C t D t ζω ω ω −= + + Ω + Ω

Kondisi awal diam: 0 0u A C = → = −

0 0 0 D

D

v A B D

A D B

ζω ω

ζω ω

= → − + + Ω =− Ω=

34


18/25

2/3/2016

18

0.2

0.3

0.4

0.5transientsteady statetotal

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

P e r p

i n d a

h a n ,

m u tr-max = 0.16 mu ss-max = 0.34 mumax = 0.42 m

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

- .

Waktu, detik

Setelah 3 detik: u ss-max = 0.34 mumax = 0.36 m 35

Respons maksimum steady-state :

( ) ( )max st2 22

1

1 2

F u u D

k β ζβ = =

− +

( )( ) ( )( )( )

( )( )

2 220.25

1 0.52 2 0.05 0.52

0.25 1.37 0.34 m

=− +

= =

36


19/25

2/3/2016

19

Impuls satuan (fungsi Dirac delta ):

( ) 0 untuk

untuk

t t

t

τ δ τ

τ

≠⎧− = ⎨∞ =⎩

( ) 1t dt δ ∞

−∞

=∫∞

( ) ( ) ( ) f t t dt f δ τ τ −∞

− =∫

37

Solusi persamaan gerak:=&& &

adalah sama dengan respons getaran bebas akibatsimpangan awal nol dan kecepatan awal 1/ m.

( ) ( )1 sint D D

u t e t h t m

ζω ω ω

−= =

Respons ini disebut fungsi respons impuls(impulse response function ).

38


20/25

2/3/2016

20

Jika impuls bekerja pada waktu t = τ :

( ) ( ) ( )1

sint D D

u t e t t m

ζω τ ω τ τ ω

− −

= −

⎡ ⎤= − ≥⎣ ⎦

39

Memanfaatkan hasil respons akibat beban impulssatuan res ons akibat beban F t sembarandengan kondisi awal diam dapat dituliskansebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )0

1sin

t t

D D

u t F e t d m

ζω τ τ ω τ τ ω

− −⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫

Bentuk di atas disebut juga “integral Duhamel”.

40


21/25

2/3/2016

21

Integral Duhamel yang diturunkan dari fungsires ons im uls men ambil asumsi kondisi awaldiam.Untuk kondisi awal yang lebih umum dapatditambahkan respons getaran bebas pada integralDuhamel tersebut:

t

0

0 00

sin

cos sin

D D

t D D

D

u t F e t d m

v ue u t t

τ

ζω

τ ω τ τ ω

ζω ω ω

ω

− −

−

= −⎣ ⎦

⎛ ⎞++ +⎜ ⎟⎝ ⎠

41

Model mekanik sistem dinamik yang dikenaierakan tanah misaln a akibat em a :

Free-bod dia ram:

c

k u

m

gu&&

, ,u u u& &&

gu&&= percepatan tanah

S f ku=

D f cu= & ( ) I g f m u u= +&& &&

42


22/25

2/3/2016

22

Persamaan gerak: ( ) 0gm u u cu ku+ + + =&& && &

atau

Gaya efektif akibat percepatan tanah:

gmu cu ku mu+ + = −&& & &&

eff gF mu= − &&

43

Jika perpindahan udianggap absolut: c

k

m

Free-body diagram: ( )S g f k u u= −

= −& & I f mu= &&

uug

Persamaan gerak:

D g

g gmu cu ku cu ku+ + = +&& & &

44


23/25

2/3/2016

23

Gaya yang ditransmisikan ke pondasi adalah gayae as dan redaman:

Untuk kondisi steady-state akibat bebanharmonik:

T S D f f f ku cu= + = + &

F s n cosT D t c t k φ φ = − + −

45

Definisi: rasio antara gaya maksimum yangditransmisikan ke ondasi terhada am litudo

beban harmonik.

( )2max1

22

1 2T r f T DF ζβ = = +

⎛ ⎞

( ) ( )2 221 2 β ζβ

⎜ ⎟=⎜ ⎟− +⎝ ⎠

46


24/25

2/3/2016

24

Sebuah mesin dengan massa 1750 kg terletak di tengah bentang balok sederhana seperti tergambar.Sebuah piston yang bergerak bolak-balik di dalam mesintersebut menghasilkan gaya vertikal harmonik denganamplitudo 30 kN dan frekuensi 60 rad/detik. Abaikan massa balok, anggap rasio redaman sebesar 10%,dan tinjau hanya respons steady-state .Tentukan am litudo sim an an an dialami mesintersebut, serta besarnya gaya yang ditransmisikan ketumpuan.

E = 200 GPa I = 50 × 10 6 mm 4

3 m47

Kekakuan, frekuensi alami, dan rasio frekuensi:( )( )

( )

6 6

33

48 200 10 50 104817778 kN/m

3

17778 60100.8 rad/detik, 0.595

EI k

L

k ω β

−× ×= = =

= = = = =. .m

Amplitudo simpangan:

( )( ) ( )( ) ( )( )max 2 22

30 117778

1 0.595 2 0.1 0.595

F u D

k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎝ ⎠

. . . m . mm= = =

Gaya di tumpuan:( )( )( )( ) ( )

( )( )

2

max

1 2 0.1 0.595 1.523 1.534

30 1.534 46.02 kN

r

T

T

f

= + =

= =

48


25/25

2/3/2016

Akibat gerakan tanah harmonik:ersamaan erak men adi:

singu U t = Ω

Respons steady-state:

( ) ( )2cos sin

1 2 sin

mu cu ku cU t kU t

Uk t ζβ α

+ + = Ω Ω + Ω

= + Ω +

&& &

Transmisibilitas:

( ) ( )21 2 sinu U D t ζβ α φ = + Ω + −

( )( ) ( )

122

max2 22

1 2

1 2r

uT

U

ζβ

β ζβ

⎛ ⎞+⎜ ⎟= =⎜ ⎟− +⎝ ⎠

49

03 Getaran Paksa SDOF

Documents

Transcript of 03 Getaran Paksa SDOF