Dinamica sdof mdof

7/22/2019 Dinamica sdof mdof

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ELEMENTI DI DINAMICA DELLE COSTRUZIONI

(con riferimento alle attivit di controllo dei progetti strutturali

svolto dagli Uffici del Genio Civile della Regione Campania)

prof. ing. Giorgio SERINO

Dipartimento di Analisi e Progettazione StrutturaleUniversit degli studi di Napoli Federico II

CORSO DI AGGIORNAMENTO

SULLA NUOVA NORMATIVA SISMICA (OPCM 3274/2003 e 3431/2005)

Napoli, 16 maggio 2005 Dipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale

Regione Campania Univ. di Napoli Federico II


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2

SINTESI DELLA PRESENTAZIONE (1)

Parte I

Dinamica dei sistemi ad un solo grado di libert

I.1 Descrizione del modello ed equazione del moto

I.2 Oscillazioni libere (periodo proprio e smorzamento)

I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza)

I.4 Risposta al sisma (spettri di risposta elastici)

I.5 Comportamento non-lineare (duttilit, spettri di progetto)


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3


Parte II

Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert

I.1 Modellazione ed equazioni del moto

I.2 Oscillazioni libere (periodi e modi propri di vibrazione)


I.4 Analisi modale con spettro di risposta

I.5 Modellazione di dettaglio di edifici multipiano


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4

Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert

I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto

Sistema ad un g.d.l.: il pi semplice modello dinamico

IMPALCATO RIGIDO

COLONNESENZA MASSA


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5




IMPALCATO RIGIDO

COLONNESENZA MASSA


6/57

6




IMPALCATO RIGIDO

COLONNESENZA MASSA


7/57

7




IMPALCATO RIGIDO

COLONNESENZA MASSA


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8



Oscillazioni libere al rilascio

Nella realt le oscillazioni sono sempre smorzate (sono numerose le possibili fonti di

dissipazione di energia) ed necessario introdurre nel modello un elemento smorzatore

IMPALCATO RIGIDO

COLONNESENZA MASSA

spostamento

tempo


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9



Parametri del modello

massa m (inerzia)

rigidezza k (elasticit)

smorzamento c (dissipazione)

Il caso della forzante esterna agente

Equazione del moto

)()()()( tptftftf SDI =++

)()()()( tptkutuctum =++ &&&

massa, m

forzante

esterna,

p (t )

rigidezza

laterale, k

coefficiente dismorzamento,c

(a) modello idealizzato della costruzione

(b) equilibrio delle forze

(c) colonne (d) smorzatore


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10



Spostamento totale (rispetto ad un

sistema di riferimento inerziale):

Il caso del moto sismico alla base

)()()( tututu gt +=

Equazione del moto

0)()()( =++ tftftf SDI

0)()()]()([ =+++ tkutuctutum g &&&&&

)()()()( tumtkutuctum g&&&&& =++


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11


I.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)

0)()( =+ tkutum &&

Spostamento a t= 0:

Velocit a t= 0: )0(u&

)0(u

Equazione e condizioni iniziali del moto

0)()( 2 =+ tutu&&

propriapulsazione:cuiin ==m

k

tempo, t

spostamento,u

Configurazioni deformate della struttura corrispondenti agli istanti 1, 2, 3, 4 e 5

ampiezza


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12



)cos(cos)0(sen)0(

)( =+

= tAtutu

tu &

Soluzione

[ ] =+

= 2

2

)0()0(

uu

A &

nioscillaziodelleampiezza=

tempo, t

s

postamento,u


ampiezza


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13



sistemadelnaturale)(oproprioperiodo2

=

=T

sistemadelnaturale)(opropriafrequenza2

1 ===

Tf

tempo, t

s

postamento,u


ampiezza


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14


I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)

0)()()( =++ tkutuctum &&&

Spostamento a t= 0:

Velocit a t= 0: )0(u&

)0(u

Equazione e condizioni iniziali del moto

0)()(2)( 2 =++ tututu &&&

osmorzamentdirapporto2

:cuiin ==km

c

tempo, t

spos

tamento,u

Decadimento esponenziale STRUTTURA NON SMORZATA

STRUTTURASMORZATA


15/57

15



)cos(cos)0(sen)0()0(

)( =

++

= tCetutuu

etu Dt

DDD

t &

Soluzione (per


16/57

16



smorzatosistemadelperiodo1

22=

=

= T

TD

D

smorzatosistemadelfrequenza11 2 === fT

fD

D

tempo, t

spos

tamento,u

Decadimento esponenziale STRUTTURA NON SMORZATA

STRUTTURASMORZATA


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17



Influenza dello smorzamento sulla frequenza naturale

rapportodismorzamento,

VALORI DI ASSUNTI NEI

CASI REALI


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18



Oscillazioni libere per diversi valori dello smorzamento

1: =0% 2: =1% 3: =2% 4: =5%


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19



+

21

ei

i

u

u=

+

2log:ologaritmicdecremento1i

i

u

u=

+

2jlog ju

u

ji

i

tempo, t

spostamen

to,

u


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20



Prove di rilascio per la determinazione di T e

Procedura

1. Imporre u (0) e rilasciare la struttura

2. Registrazione della risposta al rilascio

3. Individuazione del periodo T(distanza fra due massimi successivi)

4. Misura ampiezza di due picchi: ui e ui+1

5. Calcolo diji

i

u

u

j += log

1

6. Calcolo di = 2

spostamento,u

tempo, t


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21


I.3. Risposta a forzante armonica

tptkutuctum o =++ sen)()()( &&&

Equazione del moto

( ) ( )++= tDutBtAetu stDDt sencossen)(Soluzione (per


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22



( )= tDutu st sen)(444 3444 21

o)stazionari(stato

regimeaRisposta

( ) ( )222 211

:ioneamplificazdiFattore

+=D

=21

2tanarc

:fasediAngolo

Concetto di risonanza


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23



Valutazione dello smorzamento: metodo della larghezza di banda

21

:smorzatosistemaPulsazione

=D

221

:risonanzadiPulsazione

=R


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24



Prove con vibrodina per la determinazione di T e

Procedura

1. Individuazione della frequenza propria

come frequenza di risonanza

2. Misura della larghezza di banda

3. Valutazione di 2/=


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25


I.4. Risposta al sisma

)()()()( tumtkutuctum g&&&&& =++

Equazione del moto

)()()(2)( 2 tutututu g&&&&& =++

[ ] = dteutu

t

Dt

gD

)(sen)(1)(0

)(&&

Soluzione (per


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26


I.4. Risposta al sisma (spettri di risposta)

)()()()(

:tempoalbaseallaTaglio

2 tumtkutftV

t

so ===

)()()(

:tempoalribaltanteMomento

tVhtfhtM

t

oso ==

max,max,

max,max, )(max

:sismaildurantemassimialori

oo

dso

VhM

SktukfV

V

=

===

ospostamentdellorispostadispettro)(max == tuSd


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27


I.4. Risposta al sisma (spettri di risposta)

)(max

:ospostamentdellorispostadipettro

tuS

S

d=

2

2

2max

2

1

2

1

2

1

:sismaildurantesistemanelmaxnergia

vv

d mSS

kkSE

E

=

==

ddv ST

SS

S

== 2

:velocit-pseudodellarispostadipettro

dva SSS

S

2

:oneaccelerazi-pseudodellarispostadipettro

==


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28


I.5. Comportamento non-lineare (concetti base)

Mensola in acciaio: comportamento oltre il limite elastico


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29



Oscillatore non-lineare: comportamento a spostamento controllato


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30



Oscillatore non-lineare: comportamento ciclico sotto sisma


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31


I.5. Comportamento non-lineare (duttilit)

Individuazione modello elasto-plastico perfetto equivalente


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32



yu

umax:duttilitdiFattore

=


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33



Confronto risposta al sisma oscillatore elastico ed elasto-plastico

equivalenza in spostamento equivalenza energetica


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34



Terremoto di Imperial Valley

(18 maggio 1940)

registrazione di El Centro NS

Oscillatore elasto-plastico:spettri a duttilit

controllata ( = 10%)


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35

LETTURE CONSIGLIATE

Roberto Ramasco, Dinamica delle strutture, CUEN, Napoli, 1993.

Carlo Gavarini, Dinamica delle strutture, ESA, Roma, 1978.

Anil K. Chopra, Dynamics of structures: a primer, EERI, Berkeley, 1980.

Anil K. Chopra, Dynamics of structures: theory and applications to earthquakeengineering, 2nd edition, Prentice Hall, New York, 2001.

Ray W. Clough & Joseph Penzien, Dynamics of structures, 2nd edition,McGraw-Hill International, 1993.

Alberto Castellani ed Ezio Faccioli, Costruzioni in zona sismica: metodi dianalisi e criteri di progetto, applicazioni, aspetti normativi, Hoepli, Milano 2000

Miroru Wakabayashi, Design of earthquake-resistant buildings, McGraw-HillInternational, 1986.


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36

SISTEMA A 1 G.D.L.: EQUAZIONE DEL MOTO

CFxmxxFxcxmgR

+=++ &&&&&& ...),,(

gtRt xxxFCxxFxcxm +==+++ :essendo,...),,( &&&&

SISTEMA A 1 G D L BILANCIO ENERGETICO


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37

=+++ ttt

R

tt

t FdxCdxdxxxFdxxcdxxm 00000 ...),,( &&&&

gtgt dxdtxdxdxdx == &:cuiin

=== t

gtt

t

gt

t

tt

t

gt

t

tt

t

t dxxmtxmdxxmxdxmdxxmdtxxmdxxm 02

00000 )(21 &&&&&&&&&&&&&&

{

+=+++ tt

gt

tt

R

t

t FdxdxxmCdxdxFdxxctxm00000

2 )(2

1&&&&

[ ] )()()()()()()( tEtEtEtEtEtEtE FIS

I

C

IHEK +=++++

SISTEMA A 1 G.D.L.: BILANCIO ENERGETICO


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38

STRATEGIE DI PROGETTAZIONE

:azione)dell'terminealquietedie(condizionPer qtt

F

I

S

I

C

IH EEEEE +=++

Ridurre lenergia di ingresso FISI EE +

Incrementare lenergia viscosa dissipata E

Incrementare lenergia dissipata per isteresi HE

Incrementare lenergia dissipata dalla forza di controllo CIE


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39


Parte II

Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert

I.1 Modellazione ed equazioni del motoI.2 Oscillazioni libere (periodi e modi propri di vibrazione)


I.4 Analisi modale con spettro di risposta

I.5 Modellazione di dettaglio di edifici multipiano


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40

Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert

II.1. Modellazione ed equazioni del moto

Edificio shear type

1. Masse concentrate ai piani (m1, ..., mN)

2. Colonne prive di massa (le loro masse sono

riportate ai piani)

Ipotesi di comportamento

3. Impalcati e travi infinitamente rigidi

4. Colonne deformabili a flessione ma

rigide assialmente

5. Terreno infinitamente rigido (si trascura

linterazione suolo-struttura)


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41


II.1. Modellazione ed equazioni del moto (forze esterne)

)()()(:impalcato2

)()()(:impalcato1

222

111

tptftf

tptftf

SI

SI

=+

=+

[ ]

[ ] )()()()(

)()()()()(

212222

12121111

tptutuktum

tptutuktuktum

=+

=++

&&

&&

=

+

+

)(

)(

)(

)()(

)(

)(

0

0

2

1

2

1

22

221

2

1

2

1

tp

tp

tu

tu

kk

kkk

tu

tu

m

m

&&

&&

)()()( ttt pkuum =+&&

Edificio di due piani

P t II Di i d i i t i i di di lib t


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42


II.1. Modellazione ed equazioni del moto (forze esterne)

=

N

j

m

m

m

m

00

000

00

00

2

1

O

Om

=

)(

)(

)(

)(

)(

2

1

tu

tu

tu

tu

t

N

j

M

M

u

)()()()( tttt pkuucum =++ &&&Edificio multipiano

=

)(

)(

)(

)(

)(

2

1

tp

tp

tp

tp

t

N

j

M

M

p

+

+

+

=

NN

N

kk

k

kkkk

kkkk

kkk

0000

000

000

00)(0

000)(

0000)(

4433

3322

221

k

P t II Di i d i i t i i di di lib t


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43


II.1. Modellazione ed equazioni del moto (moto sismico)

[ ]

[ ] [ ] 0)()()()(

0)()()()()(

12222

2121111

=++

=+++

tutuktutum

tutuktuktutum

g

g

&&&&

&&&&

)()()( tutt g&&&& m1kuum =+

Edificio di due piani

)()()(

)()()(

22

11

tututu

tututu

gt

gt

+=

+=

0)()(

0)()(

22

11

=+

=+

tftf

tftf

SI

SI

[ ] )()()()(

)()()()()(

212222

12121111

tumtutuktum

tumtutuktuktum

g

g

&&&&

&&&&

=+

=++



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44


II.1. Modellazione ed equazioni del moto (moto sismico)

)()()()( tuttt g&&&&& m1kuucum =++

Edificio multipiano

Forze equivalenti al moto sismico

(forze di trascinamento)



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II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)

Oscillazioni libere al rilascio (deformata iniziale generica)



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46



Oscillazioni libere al rilascio (deformata corrispondente al 1 modo)



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47






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48






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49

p g

II.2. Frequenze e modi propri di vibrazione

Frequenze e dei modi propri di vibrazione (in assenza di smorzamento)

mk 2:autovaloridegliproblemadelisoluzione =R

21

2:smorzato)(sistemaesimomododelPeriodo

iDiDi

TTi-

=

=

21:smorzato)(sistemaesimomododelPulsazione iiDii- =

Influenza dello smorzamento



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50

p g

II.3. Risposta a forzante armonica

Una volta esaurito il transitorio iniziale:

tttt o =++ sen)()()( pkuucum &&&

Edificio multipiano

jjjstj tDutu = sen)( ,

444 3444 21

o)stazionari(stato

regimeaRisposta



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51

II.3. Risposta a forzante armonica

ist

ij

u

uD

,

max,=

Fattore di amplificazione

(piano i -esimo):



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52

II.4. Risposta al sisma (analisi modale)

Edificio multipiano

)()()()( tuttt g&&&&& m1kuucum =++

Disaccoppiamento delle equazioni del moto:

)()()(2)( 2 tuM

LtYtYtY g

n

nnnnnnn

&&&&& =++

==

==N

j

jnjn

N

j

jnjn mMmL

1

2

1

e:cuiin

[ ]

= dteuML

tYt

Dnt

gDnn

nn

nn )(sen)(1

)(0

)(&&

Soluzione (per


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53


La risposta si ottiene combinando i contributi dei singoli modi:

==

==N

n

jnn

N

n

jnj tYtutu

11

)()()(:pianiaioSpostament

=

==N

n

ttt

1

)()()(:iequivalentstaticheForze nfkuf

=

=N

n

on tVtV

1

o )()(:baseallaTaglio

=

=N

n

on tMtM

1

o )()(:ribaltanteMomento



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54




55/57

55

II.4. Risposta al sisma (utilizzo degli spettri di risposta)

I valori massimi relativi al singolo modo si ottengono con gli spettri di risposta:

),()(max:esimamodalecoordinatadellamassimoValore max, nndn

nnn S

M

LtYYn- ==

jnnndn

njnjn S

M

Ltuunj == ),()(max:)modoo(contributpianoaloSpostament max,

La somma dei massimi eccessivamente cautelativa=N

n

jnj uu1

max,max,

Una buona stima data da: (metodo SRSS)=

N

n

jnj uu

1

2max,max, )(

Se periodi differiscono < 10%: n jnjmmnmj uuu max,max,max,

2222

2/32

)1(4)1(

)1(8

mnmnmn

mnmnmn ++

+=in cui e (metodo CQC)

n

mmn

=



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II.5. Modellazione di dettaglio di edifici multipiano

Effetto della rotazione dei nodi e

della deformazione assiale delle colonne



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II.5. Modellazione di dettaglio di edifici multipiano

Modello spaziale delledificio

Necessario in presenza di:

1. significative eccentricit fra il centro dimassa ed il centro delle rigidezze degli

impalcati;

2. frequenze proprie traslazionali e

rotazionali molto prossime fra loro;

3. eccentricit accidentali (inevitabili);

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