Análisis de La Respuesta Temporal 3 Parte

7/26/2019 Anlisis de La Respuesta Temporal 3 Parte

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ANLISIS DE LA RESPUESTATEMPORAL DE SISTEMAS

CONTINUOS

Autor: Ing. Junior Figueroa Olmedo


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EFECTOS DE AADIR POLOS Y

CEROS A LAS FUNCIONES DETRANSFERENCIA


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INTRODUCCIN

En la prctica, el diseo exitoso de un sistema de control no puede depender

solamente de la seleccin de valores de los parmetros del sistema, de tal forma

que se coloquen apropiadamente las races de la ecuacin caracterstica (2 +

2 + 2).

Se mostrar que an cuando las races de la ecuacin caracterstica, que son los

polos de la funcin de transferencia (FTD) en lazo cerrado, afectan la respuesta

transitoria de sistemas de control lineales e invariantes con el tiempo,

particularmente la estabilidad, los ceros de la funcin de transferencia, si existen

algunos, son tambin importantes.

La adicin de polos y ceros y/o cancelacin de polos indeseables y ceros de la

funcin de transferencia, con frecuencia no son necesarios (adicin y/o

cancelacin) para alcanzar satisfactoriamente el desempeo en el dominio del

tiempo de los sistemas de control.

En esta seccin se muestra que la adicin de polos y ceros a las funciones de

transferencia de lazo abierto y en lazo cerrado tiene efectos variantes en la

respuesta transitoria del sistema en lazo cerrado.


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ADICIN DE UN POLO EN LAZO CERRADO

La adicin de un polo a una funcin de transferencia G(s) tiene

generalmente el efecto de incrementar el sobreimpulso mximo delsistema en lazo cerrado y tiende a que el sistema en su conjunto sea

ms lento y pierda estabilidad.


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Mientras se incrementa, el polo s = 1 se aproxima al origen en el plano s y el

sobrepaso mximo se incrementa con respecto a la respuesta original (pero no siempre).

El polo adicionado incrementa el tiempo de crecimiento de la respuesta al escaln.


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ADICIN DE UN POLO EN LAZO ABIERTO

En el anlisis temporal significar que tender a ser ms sobreamortiguado y ms

lento.

Si el tercer polo est ms

cerca del origen, estepasa a tener un efecto

dominante sobre la

respuesta del sistema.


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ADICIN DE UN CERO EN LAZO CERRADO


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ADICIN DE UN CERO EN LAZO ABIERTO


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SISTEMAS DE ORDENSUPERIOR


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SISTEMA EQUIVALENTE REDUCIDO

Los modelos de las plantas, en la prctica, suelen superar a los sistemas de segundoorden y son conocidos como sistemas de orden o grado superior.

Como sistemas de grado superior se entender como todo polinomiocaracterstico de grado mayor a 2, el cual podr estar compuesto nicamente porpolos y/o polos y ceros; esto ltimo siempre y cuando permita que la funcin detransferencia resultante sea propia, esto es, que prevalezca una mayora de poloscon respecto a ceros.

A los sistemas de grado superior tambin es posible asociarles parmetros comotiempo pico, mximo pico de sobreimpulso, tiempo de elevacin y tiempo deasentamiento. Sin embargo, en vez de desarrollar ecuaciones para determinar talescaractersticas, en la prctica se prefiere aproximarlos a polinomios de segundogrado que se comporten de manera aproximada a los polinomios de gradosuperior mediante el concepto depolos dominantes.

El polo o los polos dominantes de un sistema son los elementos que, por sucercana con el origen del plano s, ejercen mayor efecto sobre el comportamientotransitorio del sistema, de tal manera que mientras los polos restantes de laconfiguracin respectiva estn cada vez ms alejados hacia la izquierda de los polosdominantes (polos insignificantes), su efecto tendr cada vez menor influencia

sobre el comportamiento transitorio del sistema.


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Los polos que estn cercanos al eje imaginario en el semiplano izquierdo del plano

dan un crecimiento a la respuesta transitoria que decaer relativamente despacio,

mientras que los polos que estn lejos del eje (relativo a los polos dominantes)corresponden a una respuesta de decaimiento rpido. Revisar dispositivas

anteriores.


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Los polos ms alejados del eje imaginario poseen constantes de tiempo () menores

(sean o no reales, en el caso de races complejo-conjugadas existe una dependencia

respecto a su parte real), de manera que puede afirmarse que las exponenciales

debidas a estos polos son importantes en el inicio de la respuesta transitoria, pero quedecaen a cero mucho ms rpidamente que las exponenciales debidas a races con

constantes de tiempo mayores.

Son estas ltimas las que

caracterizan plenamentela respuesta transitoria

(exceptuando en el

origen de la respuesta) y

permiten reducir el

orden del sistema; se dice

en este caso que

dominan la respuestadel sistema,

desprecindose el efecto

de las races con parte

real mayor (en valor

absoluto).


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Por lo anterior, se supondr que si los polos restantes (polos insignificantes) que

componen un sistema de grado superior estn cuando menos de 6 a 10 vecesalejados de la parte real de un par de polos complejos dominantes del sistema, su

efecto ser insignificante en cuanto a la respuesta transitoria se refiere..


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Ejemplo: En la siguiente figura se muestra la representacin de los polos en el

plano de un sistema de grado cinco. Su comportamiento se aproxima a unsistema de segundo grado debido a la presencia de polos dominantes complejos.

La reduccin del orden del sistema simplifica tanto la fase de anlisis como la de

diseo. Desde luego no tiene sentido hablar del factor de amortiguamiento o de

la frecuencia natural no amortiguada de un sistema de tercer, cuarto o deorden superior, sin embargo, pueden emplearse estas definiciones cuando el

sistema de grado superior ha sido aproximado a uno de segundo grado.

La respuesta del sistema equivalente no es idntica, no tiene tantos matices, pero

se aproxima y hace factible aplicar reglas sencillas tanto para la prediccin de su

comportamiento como para el diseo.


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CRITERIOS DE REDUCCIN

El objetivo de los siguientes criterios (reglas) es despreciar los efectos sobre el

comportamiento del sistema de unos polos y/o ceros frente a los que se consideren

dominantes. Para ello:

Nunca despreciar (simplificar) el efecto de un polo inestable (semiplano

derecho del plano s).

Despreciar el efecto de aquellos polos y ceros que presenten una componente

real () al menos seis veces superior a la componente real de los polos

dominantes (), es decir 6 .

Despreciar el efecto de aquellos polos y ceros que cumplan que la distancia de

separacin entre ellos medida sobre el eje real (r = ) sea inferior a

1 6 del valor de la componente real del polo ms dominante (). Polos y

ceros prximos se cancelan entre s.

Ajustar la ganancia esttica del sistema reducido equivalente de manera que

tenga la misma que el sistema original.


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CRITERIOS DE REDUCCIN

Una vez reducido el grado del polinomio caracterstico se ajustar laganancia esttica para que el comportamiento en el rgimen permanente sea

idntico. Esta condicin requiere que las ganancias estticas sean idnticas,

tanto la del reducido como la del modelo de la planta:

lim0

() = lim0

()

Puntualizacin: Los criterios anteriores no siempre son vlidos (sloaplicable para el anlisis en el dominio del tiempo de sistemas estables). Se

debe comparar la respuesta del sistema original y del sistema de ordenreducido para comprobar la fiabilidad de la aproximacin.


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EJEMPLO 1


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EJEMPLO 1


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EJEMPLO 2

a)

Polos dominantes: =2.5 2 =4

Polos y ceros a cancelar: =1.75 y =2

= = 1.75 2 = 0.252.5

6 = 0.424

6 = 0.67

Una aproximacin de segundo orden no es vlida debido a que no se cumple la

condicin

6 , por lo tanto no es posible reducir a:

=8.75 2

1.75( + 2.5)( + 4)


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EJEMPLO 2

Step Response

Time (seconds)

Amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Sistema Original

Sistema Aproximado

Comparacin entre las respuestas del sistema original y el sistema

aproximado (que en este caso no es vlido).


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EJEMPLO 2

b)

Polos dominantes: =2.5 2 =4

Polos y ceros a cancelar: =1.985 y =2

= = 1.985 2 = 0.0152.5

6 = 0.424

6 = 0.67

Una aproximacin de segundo orden es vlida debido a que se cumple la condicin

6 , por lo tanto:

=

9.925 2

1.985( + 2.5)( + 4)


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EJEMPLO 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Step Response

Time (seconds)

Amplitude

Sistema Original

Sistema Aproximado

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