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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERAESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA

I. HALLAR EL ORDEN Y GRADO DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS:Ejercicio 1:(Resuelto por HUAMAN YARANGA Obed)

Solucin:

Como sabemos el grado es el exponente de mayor orden la cual debe estar expresada en forma entera, racional y descendente respecto a sus derivadas, entonces:

Sabemos que para resolver una expresin de grado 6, debemos conocer que: , entonces resolvemos:

Ordenamos de forma descendente:

RPTA: EDO de QUINTO ORDEN y 15 GRADO

Ejercicio n 3:(Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson

Solucin: Como sabemos el grado es el exponente de mayor orden la cual debe estar expresada en forma entera, racional y descendente respecto a sus derivadas, entonces:

RPTA: EDO de CUARTO ORDEN y 2 GRADO

Ejercicio n 4: (Resuelto por SALAZAR MALLMA Rony)

Solucin: Como sabemos el grado es el exponente de mayor orden la cual debe estar expresada en forma entera, racional y descendente respecto a sus derivadas, entonces dndole forma:

Ordenamos de forma descendente:

RPTA: EDO de TERCER ORDEN y 2 GRADO

Ejercicio n 5:

Solucin:

RPTA: LA EDO ES DE TERCER ORDEN Y 4 GRADO.

Ejercicio n 6:(Resuelto por VENTURA SULLCA Edman)

Solucin:

Entonces ordenando tenemos:

RPTA: EDO DE CUARTO ORDEN Y 1 GRADO. Ejercicio n 7:(Resuelto por HUAMAN YARANGA Obed)

Solucin:

Como sabemos el grado es el exponente de mayor orden la cual debe estar expresada en forma entera, racional y descendente respecto a sus derivadas, pero en este caso no podemos despejar el exponente que se encuentra dentro de la exponente de una constante, que a su vez est dentro de un logaritmo, entonces:

RPTA: EDO de SEGUNDO ORDEN y GRADO NO DEFINIDO

Ejercicio n 8: (Resuelto por LAURENTE HUAMAN, Bruce)

Solucin:Variable dependiente: y Variable Independiente: xLa variable dependiente de mayor orden es :RPTA: EDO DE QUINTO ORDEN Y 1 GRADO.

Ejercicio n 9:(Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson)

Solucin:

RPTA: EDO DE CUARTO ORDEN y 4 GRADO.



RPTA: EDO DE TERCER ORDEN y 1 GRADO

II. VERIFICAR QUE LA FUNCIN DADA ES O NO UNA SOLUCIN DE LA ECUACINEjercicio n 2 (Resuelto por VENTURA SULLCA Edman)

SOLUCIN:1)

Derivando la ecuacin (1) implcitamente.

(3)Reemplazando en la ecuacin diferencial (2) la ecuacin (3). RPTA:

Ejercicio 3:(Resuelto por HUAMAN YARANGA Obed)

Solucin: Para poder saber si es o no una solucin de la EDO, trabajaremos en , entonces multiplicaremos a la EDO por :

Despus de obtener la expresin vista, trabajaremos en , entonces lo derivaremos con respecto a :

Reemplazamos en la expresin

no es la solucin de la EDO , a menos que la EDO fuera:

RPTA: no es la solucin de la EDO:

Ejercicio n 4: (Resuelto por LAURENTE HUAMAN, Bruce) Solucin: Derivar la solucin tantas veces para reemplazar en la E.D.O. Ahora reemplazando en la EDOs.

;RPTA: LA FUNCIN DADA SI ES SOLUCIN DE LA EDO.

Ejercicio n 5:(Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson) Solucin:

Dividiendo

Reemplazando en la ecuacin diferencial

RPTA: NO ES UNA SOLUCIN DE LA E.D.O



Remplazando en :

RPTA: LA FUNCIN NO TIENE SOLUCIN DE LA EDOEjercicio n 7:(Resuelto por ROMERO LAURENTE, Liz Erika)

Solucin:

Reemplazando en la ecuacin:

Ejercicio n 8:(Resuelto por VENTURA SULLCA Edman)

Solucin:

Derivando (1) Respecto a "x":

Reemplazando en (2):

RPTA:

III. HALLESE UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA CORRESPONDIENTE A CADA UNA DE LAS RELACIONES, CON LAS CONSTANTES ARBITRARIAS.Ejercicio n 1: (Resuelto por LAURENTE HUAMAN, Bruce)

Solucin: Derivamos tantas veces como constantes arbitrarias tenga:Si tenemos 3 constantes arbitrarias necesitamos:

Ahora: Despejamos c: Derivando Ahora Reemplazamos c en 5: Rpta:

Ejercicio n 2: (Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson) Solucin:

sumando

sumando

derivando respecto a ^t^

RPTA:


Solucin: Dando forma la ecuacin:

Derivando la ecuacin:

RPTA:

Ejercicio n 4:(Resuelto por ROMERO LAURENTE, Liz Erika)

Solucin:

Sumando (1) y (2):

Reemplazando (5) en (4):

Reemplazando (5) y (6) en (3):

Ejercicio n 5(Resuelto por VENTURA SULLCA Edman)

Solucin:

Derivando (1) Respecto a "x"




RPTA:

Ejercicio n 6:(Resuelto por HUAMAN YARANGA Obed)

Solucin: Trabajaremos en la primera ecuacin:

Derivaremos:

Continuamos derivando:

Seguimos derivando:

RPTA:

Trabajaremos en la primera ecuacin:

Derivaremos:

Continuamos derivando:

Seguimos derivando:

RPTA:

Ejercicio n 7: (Resuelto por LAURENTE HUAMAN, Bruce) Solucin: Derivamos tantas veces como constantes arbitrarias tenga:Si tenemos 4 constantes arbitrarias necesitamos:

Utilizamos 1 +2: +

Derivando 3:

Ahora: Derivando : Derivando : Ahora:: Rpta: Ejercicio n 8: (Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson) Solucin:

La ecuacin I multiplicamos por

Ejercicio n 9: (Resuelto por SALAZAR MALLMA Rony) ;Solucin: Derivando respecto a t:

Restando 2(I)-(II) :

Derivando respecto a t:

Restando 2(III)-(IV):

Sumando (I)+(V):


Sumando (VI)+(VII):


Restando (VI)-2(VII):


Restando (1)+(2):

Restando (VIII)-3(IX):

Restando 5(IX)-(3):

Restando (4)con (3):

RPTA:

Ejercicio n 10:(Resuelto por ROMERO LAURENTE, Liz Erika)

Solucin:

Restamos (2) (1):

Sumamos (3) y (4):

Restamos (6) (5):

Sumamos (8) + 3(7)

Ejercicio n 11(Resuelto por VENTURA SULLCA Edman)

Sea ;

Derivamos (1) Respecto a "x"




La solucion de la EDO es:


Solucin:

Para poder saber despejar las constantes a fin de que en la respuesta no haya ni una sola constantes, derivaremos:

Trabajaremos en las ecuaciones y, entonces hacemos lo siguiente:

Luego operamos en las ecuaciones y

RPTA:

IV. HALLESE UNA ECUACIN DIFERENCIAL PARA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FAMILIAS DE CURVAS EN EL PLANO XY:Ejercicio n 1: (Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson)Todas las rectas con pendiente igual a 1Solucin: La ecuacin general de la recta con pendiente 1

RPTA: Ejercicio n 2: (Resuelto por SALAZAR MALLMA Rony)Todas las rectas con pendiente igual a mSolucin: La ecuacin general de la recata con pendiente m

RPTA:

Ejercicio n 3:(Resuelto por ROMERO LAURENTE, Liz Erika)Rectas con la pendiente y la interseccin con el eje y iguales.Solucin:

(4)

Reemplazamos en (5).

Ejercicio n 4:(Resuelto por VENTURA SULLCA, Edman)Rectas con la pendiente y la interseccin con el eje X igualesSolucin: Sea la Familia de rectas Esta expresin debe ser igual a la pendiente A:

Luego: Aplicando Logaritmos a ambos miembros:

Derivando Respecto a "x" Tenemos:

Por lo tanto la solucin de las familias de curvas es:

Ejercicio n 5:(Resuelto por HUAMAN YARANGA, Obed Heber)Rectas con suma algebraica de las intersecciones iguales a Solucin: Como sabemos la ecuacin de una recta es: La derivaremos: Entonces: Ahora hallaremos sus intersecciones para lo cual:Cuando Cuando Y sabemos por dato que la suma de las intersecciones es igual a :

Reemplazamos y en: :

RPTA:

Ejercicio n 6:(Resuelto por LAURENTE HUAMAN, Bruce)Circunferencias con el centro en el origen y radio arbitrario Solucin: La ecuacin general de la circunferencia es:

Derivando respecto a x:

Derivando Nuevamente: Ahora Multiplicamos por a ambos miembros en : De tenemos:

Pero:

Luego en :

En :

Rpta:

Ejercicio n 7:(Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson)Circunferencias con el centro en cualquier punto del plano xy y radio arbitrarioSolucin: La ecuacin cannica de la circunferencia

Donde :

centro de la circunferencia radio de la circunferencia Derivando a la ecuacin I respecto a x

RPTA: Ejercicio n 8: (Resuelto por SALAZAR MALLMA Rony)

Circunferencias sobre el eje y radio arbitrario.

Solucin: Planteando la ecuacin de la circunferencia sobre el eje X:

Derivando la ecuacin:

De donde :

RPTA: Ejercicio n 9:(Resuelto por ROMERO LAURENTE, Liz Erika)Circunferencias con centro sobre la recta y que pasen por el origen.SOLUCIN: ; Donde el centro de la circunferencia C (h, k).

(1)

Ejercicio n 10:(Resuelto por VENTURA SULLCA, Edman)Circunferencias con centro en el punto arbitrario P(C,D) y radio igual a r (r es Arbitrario).Solucin: Reemplazando el punto P(C,D) en la ecuacin de las circunferencia:

Primera derivada respecto a x:

Segunda derivada respecto a x:

Tercera derivada respecto a x:

Despejando de la Segunda derivada y reemplazando en la Tercera derivada:

Ejercicio n 11:(Resuelto por HUAMANI YARANGA, Obed Heber)Parbolas con el eje y y con la distancia del vrtice al foco igual a A.Solucin: Ecuacin de la parbola

Derivamos Nuestra intencin es desaparecery , entonces seguiremos derivando

RPTA: Ejercicio n 12:(Resuelto por LAURENTE HUAMAN, Bruce)Parbolas con el eje y el foco sobre el eje x Solucin: La ecuacin general de la parbola es:Si: Derivando con respecto a x:Reemplazando en la ecuacin de la parbola

Rpta:

Ejercicio n 13: (Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson)Parbolas con el eje paralelo al eje xSolucin: Ecuacin cannica de la parbola con eje paralela al eje x

vrtice de la parbola Donde p es parmetro de la parbola

Derivando respecto a

RPTA: Ejercicio n 14:(Resuelto por SALAZAR MALLMA Rony)

Hiprbolas equilteras con centro en .

Solucin: Planteando la ecuacin de Hiprbolas equilteras con centro en Q(M,N) :

donde :

RPTA: Ejercicio n 15:(Resuelto por)Circunferencias tangentes al eje XSolucin:

Ejercicio n 17:(Resuelto por HUAMAN YARANGA, Obed Heber)Tangentes a la parbola: Solucin: Derivamos con respecto a : Entonces resolviendo obtenemos que:

Despejamos y obtenemos que:

RPTA:

V. DETERMINAR PARA QUE VALORES DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS TIENE SOLUCIONES DE LA FORMA :

Ejercicio n 1: (Resuelto por LAURENTE HUAMAN, Bruce) Solucin: Si la EDO tiene como solucin Ahora reemplazando en la EDO:

RPTA :

Ejercicio n 2: (Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson)

Solucin:

Reemplazando en la ecuacin

Calculando el valor de

RPTA:

Ejercicio n 3: (Resuelto por SALAZAR MALLMA Rony) Solucin:

Reemplazando en la ecuacin

Calculando el valor de

RPTA:

VI. RESUELVASE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLES SEPARABLES: Ejercicio n2 (Resuelto por VENTURA SULLCA Edman)

Solucin: Separando las variables:

Finalmente se tiene:

Ahora integrando a ambos miembros:

La integral tiene la forma:

Entonces nos resulta:

RPTA es: Ejercicio n3 (Resuelto por HUAMAN YARANGA Obed)

Solucin:

Dividimos a la ecuacin entre a fin de que el factor dependa de una sola variable, entonces:

Despus de que depende ahora de una sola variable ahora integramos, entonces:

Trabajaremos en la expresin :

Por sustitucin:

Reemplazamos:

Sabemos que:

Reemplazamos a la ecuacin:

RPTA: Ejercicio n 4 (Resuelto por LAURENTE HUAMAN, Bruce)

Solucin: Separando las variables Ahora Integrando: Rpta: Ejercicio n 5: (Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson)

Solucin:

RPTA:

Ejercicio n 7: (Resuelto por ROMERO LAURENTE, Liz Erika)

Solucin:Reemplazando:

Entonces:

Ejercicio n 8: (Resuelto por VENTURA SULLCA Edman)

Solucin:

factorizando:

Agrupando se tiene:

Ahora Integrando:

Por el mtodo de descomposicin

Por la propiedad de logaritmos

RPTA

EJERCICIO 9:(Resuelto por HUAMAN YARANGA Obed)

Solucin:

Como notamos, entonces lo resolveremos por sistemas de ecuaciones:

Reemplazamos lo que obtuvimos en la EDO:

Ahora reemplazamos con

Multiplicamos por

Ahora integraremos de manera separada , para lo cual usaremos el mtodo de integracin racional:

Entonces despejamos y :

Entonces aplicamos en la integral:

Reemplazaremos lo obtenido en la ecuacin:

Como sabemos ; y , entonces reemplazamos:

Aplicamos propiedad de logaritmo y antilogaritmo:

RPTA: EJERCICIO 10: (Resuelto por LAURENTE HUAMAN, Bruce)

Solucin: Si se observa que son rectas utilizamos cambio de variable para posteriormente separar las variables Son rectas paralelas Reemplazamos en la ecuacin diferencial ordinaria:

Dividiendo entre

Ahora integramos:

Reemplazamos:

Rpta:

EJERCICIO 11: (Resuelto por CCORA REPUELLO Nelson)

Solucin:

reemplazando:

RPTA:

VII. RESUELVASE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS MEDIANTE UN CAMBIO DE VARIABLE


Solucin: Para poder demostrar que es homognea procedemos a derivar ambos miembros:

Como notamos no es homognea puesto que ay una que impide que sea homognea, as que la eliminaremos, puesto que necesitamos que sea homognea de manera que tenemos:

Como ahora si es una EDO homognea, ahora procedemos a resolverla, empezando con la integracin de la funcin:

Ahora procedemos a derivar con respecto a :

Luego igualamos con la expresin

Ahora reemplazamos en:

RPTA:

VIII. RESUELVASE LAS SIGUIENTES ECUACIONES Ejercicio n 1: (Resuelto por SALAZAR MALLMA Rony)

Solucin: aplicando la propiedad:

La EDO es exacta

integrando (b) con respecto a y:

derivando con respecto a x:

igualando (a) con (c):

remplazando en :

RPTA:

Ejercicio 4:(Resuelto por ROMERO LAURENTE, Liz Erika)Solucin:


Solucin: Para poder demostrar que es homognea procedemos a derivar ambos miembros:

Como notamos no es homognea puesto que ay una que impide que sea homognea, as que la eliminaremos, puesto que necesitamos que sea homognea de manera que tenemos:

Como ahora si es una EDO homognea, ahora procedemos a resolverla, empezando con la integracin de la funcin:

Ahora procedemos a derivar con respecto a :

Luego igualamos con la expresin

Ahora reemplazamos en:

RPTA:

Ejercicio n 5: (Resuelto por LAURENTE HUAMAN, Bruce)

Solucin: Notamos que es una ecuacin diferencial no exacta puesto que: Condicin para ser exacta: Integrando: 699999999 Ahora derivando con respecto a x: Al final en (1) Rpta:

Anlisis Matemtico IV

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