COLEGIO PREUNIVERSITARIO NUESTRA SEÑORA DE MONSERRAT”

ANÁLISIS COMBINATORIO I

El análisis combinatorio es la parte de la Matemáticas que estudia el número de ordenamientos o grupos que se pueden formar con las cosas o los elementos.

FACTORIAL DE UN NÚMERO

Sea “n” un número entero positivo, el factorial de “n”, se denota por “n!” o “ n” y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n o desde n hasta la unidad inclusive.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEOEn los ejemplos siguientes, nos damos cuenta que dado un evento particular (alinear las 3 esferitas o formar una pareja), estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en que puede ocurrir. Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las técnicas de conteo, que serán de gran ayuda en estos casos.

1. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN(Teorema fundamental del análisis combinatorio)Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y para cada una de estas, otro evento “B” ocurre de “n” maneras, entonces el evento “A” seguido de “B”, ocurre de “m x n” maneras.

Observaciones: En este principio, la ocurrencia es uno a

continuación del otro, es decir, ocurre el evento “A” y luego ocurre el evento “B”.

Este principio se puede generalizar para más de dos eventos.

Ejemplos:

01. Una persona puede viajar de “A” a “B” de 3 formas y de “B” a “C” de 2 formas, ¿De cuántas maneras distintas puede ir de “A” a “C” pasando por “B” y sin retroceder?Resolución:

02. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente?Resolución:

03. Ana tiene 3 blusas diferentes y 4 faldas también diferentes, ¿De cuántas maneras se puede vestir Ana?Resolución:

04. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar una vocal y una consonante de la palabra JESICA; si el par de letras así escogidas debe tener distinto sonido?Resolución:

05. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 5, 6, 7, 8 y 9, si cada dígito puede emplearse una sola vez?Resolución:

2. PRINCIPIO DE ADICIÓN:Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y otro evento “B” ocurre de “n” maneras, entonces el evento A ó B, es decir, no simultáneamente, ocurre de “m + n” maneras.

Observaciones: En ese principio, la ocurrencia no es

simultáneamente, es decir, ocurre el evento “A” o el evento “B”; pero no ambos a la vez.

Este principio se puede generalizar para más de dos eventos.

Ejemplos:

01. Una persona puede viajar de “A” a “B” por vía aérea o por vía terrestre y tienen a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres, ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?Resolución:

02. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar un dado o una moneda?Resolución:

03. Un producto se vende en 3 mercados: en el 1ro. se tiene disponible en 6 tiendas, en el 2do. en 5 tiendas y en 3er. mercado en 4 tiendas, ¿De cuántas maneras distintas puede adquirir una persona un artículo de dicho producto?Resolución:

PERMUTACIONES

Son los diversos arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto. Recuerda que el orden en que se toman los elementos del conjunto es la característica principal de toda permutación.Las permutaciones de “n” elementos tomados de r en r se pueden calcular así:

Permutaciones Lineales:

Cuando se ordenan los distintos elementos de un conjunto en una fila. Por ejemplo, cuando se ordenan 3 estudiantes en una carpeta de tres asientos.

5º Secundaria 4to Bimestre Razonamiento Matemático 4

n! = = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n – 1) x n

COLEGIO PREUNIVERSITARIO NUESTRA SEÑORA DE MONSERRAT” El cálculo de una permutación se realiza utilizando la expresión:

Permutaciones Circulares:

Se llaman permutaciones circulares de n elementos diferentes a los distintos modos de colocar los n elementos sobre un contorno cerrado y considerando que dos de estas permutaciones son iguales, cuando cada elemento en ambas tiene un mismo elemento a su izquierda y otro mismo elemento a su derecha.

Permutaciones con Elementos Repetidos:

Son ordenamientos de “n” objetos, entre los cuales algunos son de una misma clase:

K1 de la primera clase

K2 de la segunda clase

K3 de la tercera clase

Kr de la r – ésima clase

Donde:

Donde: K1 + K2 + .... + Kr n

COMBINACIÓN

Es una selección o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos.A través de un ejemplo nos daremos cuenta que hay una estrecha relación entre las permutaciones y las combinaciones.Dado el conjunto A = , calcular el número de permutaciones y el número de combinaciones de los elementos de “A” tomados de 3 en 3.

Del ejemplo anterior, obtenemos las siguientes conclusiones: El número de combinaciones de 4

elementos tomados de 3 en 3 se denota por

Cada combinación tiene 6 permutaciones, es decir:

En general: El número de combinaciones de “n” elementos tomados de “K” en “K”, se calcula como:

;

Observaciones: Cuando se toman todos los elementos

del conjunto para agruparlos o combinarlos (es decir, K = n), se dice que es una combinación de “n” elementos y:

Ejemplos:

01. ¿Cuántos grupos de 4 personas se pueden formar con 6 personas?Resolución:

02. Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿de cuántas maneras se puede hacer esto?Resolución:

03. En una reunión hay 10 hombres y 6 mujeres, se van a formar grupos de 5 personas. ¿Cuántos grupos diferentes se formarán, si siempre deben haber 3 hombres en el grupo?Resolución:

04. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen:I. ¿De cuántas maneras puede el estudiante

escoger las 8 preguntas?II. Si las tres primeras son obligatorias, ¿de

cuántas maneras puede escoger las preguntas?

III. Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras, ¿De cuántas formas puede escoger las preguntas?

Resolución

PROBLEMAS

5º Secundaria 4to Bimestre Razonamiento Matemático

504

5046

103

107

CC

CC

5

COLEGIO PREUNIVERSITARIO NUESTRA SEÑORA DE MONSERRAT” BLOQUE I

ENUNCIADO“Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí”

01. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales?

A) 120 B) 60 C) 80 D) 12 E) 720

02. Si deseas viajar a Venezuela y dispones de 3 barcos, 5 aviones y 4 buses (todos diferentes entre sí), ¿de cuántas maneras puedes realizar dicho viaje?

A) 11 B) 60 C) 12 D) 42 E) 51

03. Del enunciado: ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul?

A) 95 B) 80 C) 120 D) 61 E) 91

04. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse?

A) 15 B) 240 C) 60 D) 120 E) 72

ENUNCIADO“De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna hay 5 caminos también diferentes”.

05. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna, pasando siempre por Ica?

A) 9 B) 20 C) 12 D) 40 E) 625

06. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida?

A) 400 B) 380 C) 240 D) 399 E) 401

07. Del siguiente tablero, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casilla negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical?

A) 24 B) 120 C) 32 D) 256 E) 64

08. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 3 fichas iguales en un recuadro como se muestra en la figura, para que en cada fila y columna haya, a lo más, una ficha?

A) 27 B) 81 C) 3 D) 6 E) 24

09. Un juego consiste en un tablero cuadriculado de 4 x 4, ¿de cuántas formas distintas pueden colocarse 2 fichas, sin que estén en la misma columna ni en la misma fila?

A) 64 B) 56 C) 132 D) 144 E) 256

10. De un grupo de 15 personas que estudian sólo 2 idiomas cada uno, se sabe que 4 de ellos estudian inglés y alemán, 5 inglés y francés y los otros sólo

alemán y francés. Si se quiere escoger 2 personas que hagan juntos la traducción de una lectura a cualquiera de los 3 idiomas mencionados, ¿de cuántas formas se puede elegir?

A) 28 B) 74 C) 92 D) 48 E) 120

BLOQUE II01. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al

final de una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el número de personas era:

A) 12 B) 18 C) 20 D) 14 E) 16

02. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera?

A) 2520 B) 12000 C) 25200D) 10! E) 15!

03. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

A) 530 B) 350 C) 305 D) 450 E) 380

04. ¿De cuántas maneras diferentes; 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se siente juntos?

A) 864 B) 1728 C) 688 D) 892 E) 1700

05. Con las frutas: Plátano, papaya, melón, piña y mamey, ¿cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer?

A) 13 B) 10 C) 25 D) 32 E) 31

06. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra “JAPANAJA”

A) 81 B) 840 C) 120 D) 8 E) 64

07. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán separados?

A) 120 B) 16 C) 48 D) 144 E) 72

08. Cinco viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hoteles, ¿de cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos debiendo estar cada uno en hoteles diferentes?

A) 60 B) 24 C) 120 D) 720 E) 30

09. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si sólo César y Sandro saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo?

A) 24 B) 60 C) 120 D) 240 E) 360

10. Con 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 30 y 70 kg. ¿cuántas pesas diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 en 3?

A) 15 B) 120 C) 20 D) 60 E) 80

5º Secundaria 4to Bimestre Razonamiento Matemático 6