ANÁLISE DA QUALIDADE DE SISTEMAS LINEARES: UM … · Secretaria da Educação. Caderno do aluno 68...
Transcript of ANÁLISE DA QUALIDADE DE SISTEMAS LINEARES: UM … · Secretaria da Educação. Caderno do aluno 68...
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO JEFERSON DA SILVA GONÇALVES
ANÁLISE DA QUALIDADE DE SISTEMAS LINEARES: UM ESTUDO SOBRE CONVERSÕES DE REGISTROS COM AUXÍLIO DO
SOFTWARE WINPLOT
SÃO PAULO 2012
JEFERSON DA SILVA GONÇALVES MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
ANÁLISE DA QUALIDADE DE SISTEMAS LINEARES: UM ESTUDO SOBRE CONVERSÕES DE REGISTROS COM AUXÍLIO DO
SOFTWARE WINPLOT
Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Monica Karrer.
SÃO PAULO 2012
G626a Gonçalves, Jeferson da Silva Análise da qualidade de sistemas lineares. ./ Jeferson da Silva Gonçalves. -
São Paulo, 2012. 296 f.: il.; 30 cm. Dissertação (Mestrado - Área de concentração; Educação Matemática) – Universidade Bandeirantes de São Paulo. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. “Orientação: Professora Drª. Mônica Karrer”
1. Sistemas lineares. 2. Registros de representações semióticas. 3. Design experiment. 4. Winplot. I. Título.
CDD: 512.5
Dedico este trabalho à José Gonçalves de
Oliveira, meu pai e à Eva da Silva
Gonçalves, minha mãe, que com muita
dedicação e amor, me deram a educação
sem a qual eu não teria chegado a lugar
algum. À Ester Regina Francesquini
Gonçalves, minha esposa, pela
imensurável paciência e companheirismo,
sempre presente com incondicional apoio.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, pela saúde, fé e perseverança que tem me dado, permitindo
que eu chegasse até aqui.
À Professora Doutora Monica Karrer pelo trabalho de orientação desenvolvido com
muita competência, paciência, dedicação e amizade.
Ao Professor Doutor Paulo Henrique Trentin, que aceitou participar da Banca
Examinadora, fornecendo valiosas contribuições e participando de mais uma
importante etapa de minha vida.
À Professora Doutora Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes pelo companheirismo e
incentivo durante as aulas de Atividade de Pesquisa e, que gentilmente aceitou
participar da Banca Examinadora.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante, por todo o incentivo e contribuição durante o curso.
À Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima, que com muita atenção e carinho
me apoio durante o início do curso.
À minha amiga Patricia Felipe que me convidou para participar do processo seletivo
do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade
Bandeirante.
Aos integrantes do Grupo de Pesquisa Tecnologias Digitais e Educação Matemática,
pelas contribuições providas das discussões em grupo.
À professora Ma. Ivete Mendes e Freitas que não mediu esforços para me fornecer
um exemplar de sua dissertação.
Aos estudantes voluntários que se dispuseram a participar desta pesquisa,
demonstrando interesse em todo o processo, pois sem eles o experimento não teria
sido feito.
À minha esposa pela participação em minha vida, que pacientemente gastou horas
preparando um cafezinho e, que me incentivou em todos os momentos para a
concretização deste trabalho.
À minha família, em especial aos meus pais, às minhas irmãs Gislene e Gisele e aos
meus cunhados, que sempre estiveram presentes e, souberam compreender minha
ausência, sempre colaborando e me impulsionando nos momentos difíceis.
À minha “filhinha” Jully que acompanhou pacientemente sentada ao meu lado à
digitação deste trabalho.
Aos amigos Alessandra, Fábio e Ronaldo, pelo companheirismo e dedicação nos
momentos de estudo.
À Secretaria Estadual de Educação de São Paulo pela bolsa de Estudos fornecida.
À todos que contribuíram direta ou indiretamente para a concretização deste
trabalho.
Ao Divino Espírito Santo pelo amparo nos momentos difíceis.
“[...] Tu tens a fé, e eu tenho
obras! Mostra-me a tua fé sem
as obras, que eu te mostrarei a
minha fé a partir de minhas
obras!”
Tiago 2, 18
RESUMO
Este trabalho apresenta um estudo sobre sistemas lineares, que teve por objetivo
investigar as produções de estudantes diante de um experimento de ensino
diferenciado sobre esse conteúdo, elaborado de forma a explorar conversões entre
registros, integrando a ferramenta Winplot. Especificamente, teve-se a intenção de
estudar a qualidade de um sistema linear de duas equações e duas incógnitas por
meio da investigação das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade,
tendo por base a teoria dos registros de representações semióticas de Duval.
Dificuldades dos estudantes no estabelecimento de conversões envolvendo
representações do registro gráfico do objeto matemático sistemas lineares e a
reduzida exploração de conversões com gráficos nos livros didáticos foram
evidenciadas na revisão de literatura. Partindo dessa problemática, integramos no
experimento os diversos registros, com foco no gráfico, o qual foi aplicado, em sua
totalidade, a duas duplas de estudantes com idades entre treze e quatorze anos,
que cursavam o nono ano do Ensino Fundamental de uma escola pública. Para a
elaboração e condução do experimento foi utilizada a metodologia de Design
Experiment, sendo a seleção do software Winplot dada em função de o mesmo
permitir um trabalho de integração entre vários registros, apontando compatibilidade
com os pressupostos da teoria adotada. A análise das produções dos alunos revelou
avanços na avaliação da qualidade de sistemas lineares, apesar da constatação de
dificuldades principalmente em tratamentos no registro algébrico e em
conhecimentos considerados pré-requisitos para o estudo deste objeto matemático.
Palavras chave: Sistemas Lineares. Registros de Representações Semióticas.
Design Experiment. Winplot.
ABSTRACT
This work presents a study of linear systems. It intends to investigate the production
of students on a different teaching experiment about the mentioned subject,
developed in order to explore conversions between registers, incorporating the
Winplot tool. The main intention was to study the quality of systems of two linear
equations and two unknowns through the investigation of graphic and algebraic
consequences of proportionality, based on Duval’s theory of Semiotic
Representations Registers. Students' difficulties in establishing conversions involving
graphic representations of the mathematical object linear systems and the reduced
conversions operating graphics in didactical books were found in the literature
review. Starting from these findings, various registers were added in the experiment,
focusing the graphic representations, which were applied on two pairs of students
that were thirteen to fourteen years old, attending the ninth grade of Elementary
School in the public system of education. In order to formulate and conduct the
experiment, the methodology of Design Experiment was used, and the software
Winplot was selected because it permits the integration of multiple registers,
indicating compatibility with the theory adopted. The students' productions were
analyzed and revealed progress in the evaluation of the quality of linear systems,
although difficulties were noticed mainly in treatment in the algebraic registers and in
skills considered pre-requirements for the study of this mathematical object.
Keywords: Linear Systems. Semiotic Representations Registers. Design
Experiment. Winplot.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Exemplo de registro monofuncional não-discursivo ........................
33
Fonte: Acervo pessoal
Figura 2 – Representação no Registro simbólico-algébrico de um sistema linear 4X4 .........................................................................................
43
Fonte: PANTOJA, 2008, p. 86
Figura 3 – Resolução apresentada por um grupo de alunos ............................ 44
Fonte: PANTOJA, 2008, p. 90
Figura 4 – Distribuição das resoluções por categorias ..................................... 52 Fonte: CURY e BISOGNIN (2009), p. 13
Figura 5 – Conteúdos referentes ao terceiro bimestre dos quatro anos finais do Ensino Fundamental ...................................................................
67 Fonte: SÃO PAULO, Conteúdos de Matemática por série e bimestre do Ensino Fundamental – Ciclo II (Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática /Coord. Maria Inês Fini. – São Paulo : SEE, 2008. p. 54)
Figura 6 – Problema apresentado no registro da língua natural .......................
68
Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 30
Figura 7 – Representação de uma equação no registro figural ........................ ..
70
Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 34
Figura 8 – Representação de uma equação no registro figural ........................
70
Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 35
Figura 9 – Problema apresentado no registro da língua natural .......................
70
Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 36
Figura 10 – Representação de uma equação no registro figural ........................
71
Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 40
Figura 11 – Conversão de registro na língua natural para o registro numérico-tabular ..............................................................................................
71 Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 40
Figura 12 – Conversão de registro na língua natural para o registro numérico-tabular .............................................................................................. .
72 Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 41
Figura 13 – Representação no registro gráfico de um sistema linear e sua classificação ....................................................................................
73 Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 46
Figura 14 – Problemas na língua natural apresentados no Livro-2 ....................
80
Fonte: (GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. 2009, p. 172).
Figura 15 – Média do SARESP 2011 relacionada à escola onde foi realizado o experimento .....................................................................................
92 Fonte: site <http://saresp.fde.sp.gov.br/2011/ConsultaRedeEstadual.aspx?opc=1>
Figura 16 – Distribuição percentual dos alunos nos níveis de proficiência, relacionada à escola onde foi realizado o experimento ..................
93 Fonte: site <http://saresp.fde.sp.gov.br/2011/ConsultaRedeEstadual.aspx?opc=1>
Figura 17 – Resolução esperada – Tarefa 8a ....................................................
107
Fonte: Acervo pessoal
Figura 18 – Resolução esperada - Tarefa 8b .....................................................
107 Fonte: Acervo pessoal
Figura 19 – Resolução esperada – Tarefa 8c ....................................................
108
Fonte: Acervo pessoal
Figura 20 – Laboratório de Informática utilizado para a realização do experimento .....................................................................................
123 Fonte: Acervo pessoal
Figura 21 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno F ............
126
Fonte: Acervo pessoal
Figura 22 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno A ............
128
Fonte: Acervo pessoal
Figura 23 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno C ...........
129
Fonte: Acervo pessoal
Figura 24 – Questionário Preliminar – Tarefa 3 – Produção do Aluno D ........... 131 Fonte: Acervo pessoal
Figura 25 – Questionário Preliminar – Tarefa 4 – Produção do Aluno E ............ 134 Fonte: Acervo pessoal
Figura 26 – Questionário Preliminar – Tarefa 4 – Produção do Aluno A ............
135
Fonte: Acervo pessoal
Figura 27 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno A ............
137
Fonte: Acervo pessoal
Figura 28 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno C ...........
138
Fonte: Acervo pessoal
Figura 29 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno C ...........
140 Fonte: Acervo pessoal
Figura 30 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno F ............
141
Fonte: Acervo pessoal
Figura 31 – Tarefa 1 da Atividade do redesign ...................................................
143
Fonte: Acervo pessoal
Figura 32 – Tarefa 2 da Atividade do redesign ...................................................
144
Fonte: Acervo pessoal
Figura 33 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a - Redesign .............................................
145 Fonte: Acervo pessoal
Figura 34 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a - Redesign .............................................
146 Fonte: Acervo pessoal
Figura 35 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - Tarefa 2a - Redesign ............................................
147 Fonte: Acervo pessoal
Figura 36 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - Tarefa 2a - Redesign ............................................
147 Fonte: Acervo pessoal
Figura 37 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2b - Redesign ............................................. 148
Fonte: Acervo pessoal Figura 38 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto
com os alunos- Tarefa 2b - Redesign .............................................
149 Fonte: Acervo pessoal
Figura 39 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2b - Redesign .............................................
149 Fonte: Acervo pessoal
Figura 40 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2c - Redesign ..............................................
150 Fonte: Acervo pessoal
Figura 41 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos -Tarefa 2c - Redesign ..............................................
150 Fonte: Acervo pessoal
Figura 42 – Construção do gráfico elaborado pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a (gráfico) - Redesign .................
151 Fonte: Acervo pessoal
Figura 43 – Resolução das equações elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a (gráfico) - Redesign ...........
152 Fonte: Acervo pessoal
Figura 44 – Tabelas elaboradas pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - - Tarefa 2a - Redesign ..................................................
153 Fonte: Acervo pessoal
Figura 45 – Representação no registro gráfico no plano cartesiano elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - Tarefa 2a (gráfico) - Redesign ....................................................................
153 Fonte: Acervo pessoal
Figura 46 – Atividade 1 – Tarefa 1 do Design ....................................................
156
Fonte: Acervo pessoal
Figura 47 – Atividade 1 – Tarefa 1 do Design no software Winplot ....................
156
Fonte: Acervo pessoal
Figura 48 – Atividade 1 – Tarefa 1 do Design no software Winplot ....................
157
Fonte: Acervo pessoal
Figura 49 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 1.................................
158
Fonte: Acervo pessoal
Figura 50 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 1.................................
158
Fonte: Acervo pessoal
Figura 51 – Atividade 1 – Tarefa 2 do Design ....................................................
159
Fonte: Acervo pessoal
Figura 52 – Produção apresentada pela Dupla 2 - Atividade 1 – Tarefa 2 do Design .............................................................................................
160 Fonte: Acervo pessoal
Figura 53 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 2 ................................
161
Fonte: Acervo pessoal
Figura 54 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 2 ................................
161
Fonte: Acervo pessoal
Figura 55 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4 do Design ............................................
162
Fonte: Acervo pessoal
Figura 56 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4 ........................
163
Fonte: Acervo pessoal
Figura 57 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4 ........................
164
Fonte: Acervo pessoal
Figura 58 – Atividade 2 – Tarefa 1 do Design no software Winplot ....................
165
Fonte: Acervo pessoal
Figura 59 – Atividade 2 – Tarefa 1 do Design ....................................................
166
Fonte: Acervo pessoal
Figura 60 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 1 ................................
167
Fonte: Acervo pessoal
Figura 61 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 1 ................................
168
Fonte: Acervo pessoal
Figura 62 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 1 ................................
169
Fonte: Acervo pessoal
Figura 63 – Exemplo de uma tela do software Winplot - Atividade 2 – Tarefa 1.
170
Fonte: Acervo pessoal
Figura 64 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 1 ................................
170
Fonte: Acervo pessoal
Figura 65 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 2 ................................
171
Fonte: Acervo pessoal
Figura 66 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 2 ................................
172
Fonte: Acervo pessoal
Figura 67 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefas 3 e 4 ........................
173
Fonte: Acervo pessoal
Figura 68 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefas 3 e 4 ........................
174
Fonte: Acervo pessoal
Figura 69 – Atividade 2 – Tarefa 5 do Design ....................................................
174
Fonte: Acervo pessoal
Figura 70 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 5 ................................
175
Fonte: Acervo pessoal
Figura 71 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 5 ................................
175
Fonte: Acervo pessoal
Figura 72 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 5 ................................
176
Fonte: Acervo pessoal
Figura 73 – Atividade 2 – Tarefa 6 do Design ....................................................
177
Fonte: Acervo pessoal
Figura 74 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 6 ................................
178
Fonte: Acervo pessoal
Figura 75 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 6 ................................
179
Fonte: Acervo pessoal
Figura 76 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 7 ................................
180
Fonte: Acervo pessoal
Figura 77 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 7 ................................
181
Fonte: Acervo pessoal
Figura 78 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 8 ................................
182
Fonte: Acervo pessoal
Figura 79 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 8 ................................
182
Fonte: Acervo pessoal
Figura 80 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 9 ................................
183
Fonte: Acervo pessoal
Figura 81 – Atividade 1 – Tarefa 1 do redesign ..................................................
184
Fonte: Acervo pessoal
Figura 82 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 1 ................................
185
Fonte: Acervo pessoal
Figura 83 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 1 ................................
186
Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 1.
Figura 84 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 2 ................................
187
Fonte: Acervo pessoal
Figura 85 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 2 ................................
188
Fonte: Acervo pessoal
Figura 86 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4 ........................
189
Fonte: Acervo pessoal
Figura 87 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4 ........................
189
Fonte: Acervo pessoal
Figura 88 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 1a .........................................................................................
190 Fonte: Acervo pessoal
Figura 89 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 2a .........................................................................................
191 Fonte: Acervo pessoal
Figura 90 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 2b .........................................................................................
191 Fonte: Acervo pessoal
Figura 91 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 3 ................................
192
Fonte: Acervo pessoal
Figura 92 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 5 ...........................................................................................
192 Fonte: Acervo pessoal
Figura 93 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 6 ................................
193
Fonte: Acervo pessoal
Figura 94 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 6 ................................
193
Fonte: Acervo pessoal
Figura 95 – Atividade 2 – Tarefa 7 .....................................................................
194
Fonte: Acervo pessoal
Figura 96 – Atividade Adicional – Tarefa 1 .........................................................
196
Fonte: Acervo pessoal Figura 97 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade
Adicional – Tarefa 1 .........................................................................
197 Fonte: Acervo pessoal
Figura 98 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional – Tarefa 4 .........................................................................
198 Fonte: Acervo pessoal
Figura 99 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional – Tarefa 5 .........................................................................
198 Fonte: Acervo pessoal
Figura 100 – Atividade do redesign – Atividade 2 – Tarefa 7 ...............................
199
Fonte: Acervo pessoal
Figura 101 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 8 ................................
200
Fonte: Acervo pessoal
Figura 102 – Atividade 3 – Tarefa 1 do redesign ..................................................
201
Fonte: Acervo pessoal
Figura 103 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 1a ...............
203
Fonte: Acervo pessoal
Figura 104 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 1a ..............................
203
Fonte: Acervo pessoal
Figura 105 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 1b ...............
204
Fonte: Acervo pessoal
Figura 106 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 1b ..............................
204
Fonte: Acervo pessoal
Figura 107 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 3 .................
206
Fonte: Acervo pessoal
Figura 108 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 3 .................
206
Fonte: Acervo pessoal
Figura 109 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 3 ................................
207
Fonte: Acervo pessoal
Figura 110 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 3 ................................
208
Fonte: Acervo pessoal
Figura 111 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 5 .................
209
Fonte: Acervo pessoal
Figura 112 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 5 ................................
210
Fonte: Acervo pessoal Figura 113 – Atividade do redesign – Atividade 3 – Tarefa 8 ...............................
211
Fonte: Acervo pessoal
Figura 114 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 6 ................................
211
Fonte: Acervo pessoal
Figura 115 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 4 ..................................
213
Fonte: Acervo pessoal
Figura 116 – Produção da Dupla 2 – Atividade 4 .................................................
213
Fonte: Acervo pessoal
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Exemplos de tratamentos no registro simbólico-algébrico ..............
29
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 2 – Exemplo de conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico ..............................................................................................
30 Fonte: Acervo pessoal
Quadro 3 – Exemplo de conversão do registro da língua natural para o simbólico-algébrico ..........................................................................
30 Fonte: Acervo pessoal
Quadro 4 – Exemplo de conversão congruente ................................................. 31
Fonte: DUVAL, 2000, p. 63
Quadro 5 – Exemplo de conversão não congruente .......................................... 31
Fonte: DUVAL, 2000, p. 63
Quadro 6 – Exemplo de “Fenômeno da Heterogeneidade da Congruência”...... 32
Fonte: DUVAL, 2009, p. 74
Quadro 7 – Questionário Preliminar – Tarefa 1 ..................................................
95
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 8 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 ..................................................
96
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 9 – Questionário Preliminar – Tarefa 3 ..................................................
96
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 10 – Questionário Preliminar – Tarefa 4 ..................................................
99
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 11 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 ..................................................
101
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 12 – Questionário Preliminar – Tarefa 6 ..................................................
103
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 13 – Questionário Preliminar – Tarefa 7 ..................................................
104
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 14 – Questionário Preliminar – Tarefa 8 ..................................................
106
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 15 – Questionário Preliminar – Tarefa 9 ..................................................
109
Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2011, p.36
Quadro 16 – Questionário Preliminar – Tarefa 9 ..................................................
109
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 17 – Apresentação da Atividade 1 do Design .........................................
111
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 18 – Apresentação da Atividade 2 do Design .........................................
112
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 19 – Apresentação da Atividade 3 do Design ......................................... 116
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 20 – Apresentação da Atividade 4 do Design .........................................
120
Fonte: Acervo pessoal
Quadro 21 – Questionário Preliminar – Tarefa 1 – Produção de todos os alunos
124
Fonte: Acervo pessoal
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Relação de livros didáticos analisados ............................................
47
Fonte: Adaptado de FREITAS (1999)
Tabela 2 – Designação dos livros analisados ...................................................
77
Fonte: Acervo pessoal.
Tabela 3 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Primeira parte ..................................................................................
77 Fonte: Acervo pessoal.
Tabela 4 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Segunda parte .................................................................................
78 Fonte: Acervo pessoal.
Tabela 5 – Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-1 ..............................................................................................
79 Fonte: Acervo pessoal.
Tabela 6 – Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro-2.
81
Fonte: Acervo pessoal.
Tabela 7 – Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-2 ..............................................................................................
82 Fonte: Acervo pessoal.
Tabela 8 – Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro-3.
83
Fonte: Acervo pessoal.
Tabela 9 – Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-3 ..............................................................................................
83 Fonte: Acervo pessoal.
Tabela 10 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios do Livro-4.
85
Fonte: Acervo pessoal.
Tabela 11 – Tipo de registro presente nos exercícios do Livro-4 ........................
86
Fonte: Acervo pessoal.
Tabela 12 – Tabela elaborada para a construção do gráfico de y=x+1 no plano cartesiano ........................................................................................
144 Fonte: Acervo pessoal.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 23
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............... 28
2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................... 28
2.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................... 34
3 ANÁLISE DO CADERNO DO ALUNO E DOS LIVROS DIDÁTICOS .... 65
3.1 ANÁLISE DO CADERNO DO ALUNO ..................................................... 65
3.1.1 Contexto histótico ..................................................................................... 65
3.1.2 Sobre o caderno do aluno 7ª série/8º ano – volume 3 do Ensino
Fundamental ............................................................................................ 68
3.2 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS ......................................................... 74
4 METODOLOGIA DE PESQUISA ............................................................ 87
4.1 SUJEITOS ................................................................................................ 91
4.2 MATERIAL E AMBIENTE DE TRABALHO .............................................. 91
4.3 METODOLOGIA DE APLICAÇÃO ........................................................... 93
5 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES ........ 95
5.1 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DO QUESTIONÁRIO
INICIAL (FASE 1) ..................................................................................... 95
5.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES DO
DESIGN (FASE 2) .................................................................................... 110
6 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO ................................... 121
6.1 DESCRIÇÃO DA FASE 1 ........................................................................ 121
6.2 DESCRIÇÃO DA FASE 2 ........................................................................ 154
6.2.1 Análise do caso SPI – Atividades 1 e 2 ................................................... 155
6.2.1.1 Redesign do caso SPI – primeira atividade adicional .............................. 184
6.2.1.2 Redesign do caso SPI – segunda atividade adicional ............................. 196
6.2.2 Análise do caso SI ................................................................................... 200
6.2.2.1 Redesign do caso SI ................................................................................ 200
6.2.2.2 Análise da Atividade 3 .............................................................................. 202
6.2.3 Análise do caso SPD ............................................................................... 212
7 CONCLUSÃO .......................................................................................... 215
7.1 SÍNTESE DAS ETAPAS DE PESQUISA ................................................. 215
7.2 VERIFICAÇÃO DAS HIPÓTESES INICIALMENTE ESTABELECIDAS .. 217
7.3 ANÁLISE DAS QUESTÕES DE PESQUISA ........................................... 220
7.4 PAPEIS DESEMPENHADOS PELOS SUJEITOS ................................... 221
7.5 O PAPEL DO RECURSO COMPUTACIONAL WINPLOT NO
DESENVOLVIMENTO DO EXPERIMENTO ............................................ 222
7.6 PERSPECTIVAS PARA NOVAS INVESTIGAÇÕES ............................... 222
REFERÊNCIAS .................................................................................................... 224
APÊNDICES......................................................................................................... 228
23
1 INTRODUÇÃO
Este estudo objetivou elaborar, aplicar e avaliar um experimento de ensino
sobre sistemas lineares, construído de forma a explorar conversões entre os
registros gráfico, algébrico, numérico-tabular e da língua natural, nos ambientes
papel e lápis e computacional Winplot. Teve-se a intenção de estudar a qualidade de
um sistema de duas equações e duas incógnitas, avaliando as consequências
gráficas e algébricas da proporcionalidade dos coeficientes. Procurou-se, com esta
construção, fornecer um cenário diferenciado sobre esse tema, a fim de constituir
um material de apoio aos docentes, elaborado a partir das novas tendências no
ensino de Matemática.
Como motivação pessoal para a construção deste estudo, cito de forma
reduzida a minha trajetória como docente. Por ser professor de escolas estaduais há
treze anos, lecionando Matemática e Física para alunos do Ensino Médio, sempre
tive a possibilidade de observar as dificuldades dos estudantes na compreensão de
certos conteúdos matemáticos, dentre eles, o conteúdo de sistemas lineares. Este
tópico é desenvolvido pela primeira vez no sétimo ano do Ensino Fundamental,
englobando os sistemas de duas equações e duas incógnitas. No Ensino Médio ele
é retomado, abrangendo, também, os sistemas com três equações e três incógnitas.
Em minha prática, pude observar a dificuldade dos estudantes principalmente em
situações que requeriam a representação gráfica de sistemas lineares e, pela minha
formação em Licenciatura em Matemática, muitas vezes sou questionado a respeito
de como tratar e compreender essas dificuldades.
Com o objetivo de refletir sobre questões relacionadas ao objeto matemático
sistemas lineares e aprimorar a minha formação, ingressei no curso de mestrado do
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade
Bandeirante de São Paulo.
Diante das leituras realizadas e das discussões com professores do
programa, com minha orientadora e com colegas do curso, tive contato com a teoria
dos registros de representação semiótica de Duval (1995, 2000, 2006). Tal fato me
levou a refletir sobre a importância de tratar um conteúdo matemático explorando
suas várias representações, desencadeando, assim, a necessidade da elaboração
de um estudo científico envolvendo essa teoria.
24
Essa vertente de pesquisa em Educação Matemática defende um trabalho de
integração entre diversas representações semióticas, provenientes de diferentes
registros, no ensino de conteúdos matemáticos. Como exemplos de registros,
podem ser citados o gráfico, o algébrico, o da língua natural, dentre outros.
Segundo Duval (1995), deve-se procurar entender as dificuldades dos alunos
em Matemática avaliando o que há de específico no ensino dessa ciência, que
consiste no fato de o acesso a qualquer objeto matemático requerer,
necessariamente, de registros de representações semióticas. A teoria dos registros
de representações semióticas de Duval (2006) é largamente utilizada em pesquisas
na área de Educação Matemática e será detalhada no capítulo 2 do presente
estudo.
No contexto das pesquisas sobre ferramentas computacionais no ensino de
Matemática, destacam-se os estudos de Borba (2005) e de Noss e Hoyles (1996),
os quais apontaram a necessidade de pesquisas integrando recursos
computacionais, construídas de forma a visar ganhos pedagógicos.
Borba (2005) destacou que nos ambientes computacionais são utilizadas
diferentes estratégias para o ensino e para a aprendizagem de um determinado
objeto matemático, servindo de complemento ao uso do lápis e papel em sala de
aula. Para o pesquisador, os softwares educacionais têm o objetivo, dentre outros,
de destacar o aspecto visual da Matemática, sendo o seu uso de direito do aluno,
que está voltado para o letramento tecnológico, lidando com a leitura e o tratamento
nesta mídia.
Noss e Hoyles (1996) recomendam a utilização de recursos computacionais,
destacando que tais ferramentas podem favorecer o desenvolvimento do
pensamento matemático. Para os pesquisadores, um software computacional de
Matemática deve constituir um ambiente favorável para que os estudantes possam
utilizar as suas potencialidades, transformando-as em novas aprendizagens.
Buscamos, então, na literatura acadêmica, como o objeto matemático
Sistemas Lineares, que representa um conteúdo desenvolvido inicialmente no
Ensino Fundamental e retomado no Ensino Médio, era explorado em termos de
registros de representações semióticas e de integração de recursos tecnológicos.
Dentre os trabalhos avaliados, destacamos os de Freitas (1999) e Battaglioli (2008),
que revelaram problemas no processo de ensino e aprendizagem desse objeto
matemático. Freitas (1999) apontou dificuldades por parte dos estudantes no
25
estabelecimento de conversões entre representações do registro gráfico e algébrico
e Battaglioli (2008) revelou que os livros didáticos analisados pouco exploram a
atividade de conversão entre registros, privilegiando apenas o registro algébrico.
Essa última pesquisadora também recomendou intensificar a exploração do registro
gráfico, pois ele facilita tanto a compreensão do conjunto solução de um sistema
linear como também em questões de discussão e classificação de sistemas. Ela
também forneceu como sugestão, o uso do software Winplot para auxiliar na
visualização de um sistema linear, permitindo, assim, a discussão dos sistemas
lineares com os alunos em um registro não usual no ensino deste conteúdo. Estudos
sobre o uso de recursos computacionais no ensino e sobre o processo de ensino e
aprendizagem de sistemas lineares serão detalhados no capítulo 2 do presente
estudo.
No capítulo 3, apresentaremos as análises do Caderno do Aluno do Estado
de São Paulo e de três livros didáticos. Neste contexto, foi avaliado o trabalho com
os registros semióticos, a existência ou não da avaliação da proporcionalidade dos
coeficientes de um sistema linear e o uso de recurso computacional. No Caderno do
Aluno, notamos uma preocupação na diversificação dos registros semióticos, fato
não observado nos livros didáticos avaliados. Nessas obras, notamos que a
conversão mais explorada é a do sentido da língua natural para o algébrico, sendo o
registro gráfico explorado apenas em uma das obras analisadas. Constatamos a
inexistência de análise da proporcionalidade de coeficientes e de uso de software
matemático, tanto no Caderno do Aluno como nos livros didáticos.
Tendo em vista a problemática exposta anteriormente detectada na revisão
de literatura, na análise dos livros e no Caderno do Aluno e, considerando que o
conteúdo matemático Sistemas Lineares faz parte do currículo da Proposta
Curricular da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, foi elaborado um
experimento visando preencher tal lacuna. Com isso, procurou-se integrar os
diversos registros, principalmente o algébrico e o gráfico, tendo o software Winplot
como ferramenta de apoio, e explorar a análise das classificações de sistemas
lineares pela investigação da existência ou não de proporcionalidade. Para a
construção e condução do experimento, foi utilizada a metodologia de Design
Experiment de Cobb et al. (2003), que fornece diretrizes para a elaboração de novas
abordagens de um conteúdo específico. A descrição dessa metodologia e a
26
apresentação dos sujeitos, do ambiente de estudo, do material de coleta e do papel
do professor-pesquisador serão expostos no capítulo 4.
Com o presente estudo, teve-se a intenção de responder às seguintes
questões de pesquisa:
Em que aspectos a abordagem proposta, que envolve a análise das
consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos coeficientes das
equações, influencia os estudantes na compreensão da qualidade de sistemas
lineares de duas equações e duas incógnitas?
Como o software adotado, ao viabilizar a análise dinâmica das relações entre
representações dos registros algébrico e gráfico, contribui para a compreensão da
análise da qualidade de sistemas lineares?
Teve-se por hipóteses que o experimento proposto permitiria avaliar as
unidades significativas dos registros gráfico e algébrico de sistemas lineares, a
relação entre os diversos registros desse objeto matemático e a análise da
qualidade de um sistema de duas equações e duas incógnitas, por meio da
investigação das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade de seus
coeficientes. Ainda, dado que o software permite uma análise dinâmica dessas
consequências, esperava-se que o mesmo representasse uma ferramenta
facilitadora da investigação anteriormente citada.
A escolha do software Winplot se deu pelo fato de o mesmo ser livre e por
permitir um trabalho de integração entre os registros algébrico, gráfico e numérico,
mostrando compatibilidade com a teoria adotada. Ele é de fácil manuseio, traduzido
para a língua portuguesa e, por ocupar pouca memória, sua utilização não necessita
de computadores de última geração. Salienta-se que tais aspectos favorecem sua
utilização em instituições dotadas de laboratório de informática, sendo possível
utilizá-lo em qualquer escola que tenha laboratório de informática, sem a
necessidade de computadores potentes.
No capítulo 5, apresentaremos as atividades elaboradas, acompanhadas de
uma análise preliminar baseada no referencial teórico e nos resultados obtidos pela
revisão de literatura. O capítulo 6 foi destinado à análise dos dados e o capítulo 7 à
27
conclusão do presente estudo. Por fim, são apresentadas as referências
bibliográficas.
28
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo, são descritos aspectos da teoria que fundamentou o nosso
estudo, além das pesquisas que compuseram a revisão de literatura.
2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Este trabalho será amparado pela teoria dos registros de representação
semiótica de Raymond Duval (1995, 2000, 2003, 2006), a qual defende a
importância das representações semióticas no ensino e na aprendizagem
matemática, informando que não há aquisição de conhecimento de um objeto
matemático sem recorrer aos registros de representação semiótica.
O pesquisador Raymond Duval é filósofo e psicólogo e desenvolveu
pesquisas envolvendo a psicologia cognitiva e suas relações com o processo de
ensino e aprendizagem de matemática.
Ele trabalhou no período de 1970 a 1995 no Instituto de Pesquisa em
Educação Matemática (IREM) na França e atualmente é professor emérito da
Université Du Litoral Cote d’Opale na França.
Duval (2006) questiona qual tipo de formação matemática deve ser dada a
todos os alunos, para que eles possam interagir em um mundo onde há um avanço
tecnológico cada vez mais crescente e complexo.
O objetivo do ensino da Matemática para o pesquisador não é formar futuros
matemáticos ou simplesmente dar subsídios para os alunos usarem no futuro. O
objetivo do ensino da Matemática é o de desenvolver as habilidades de pensamento
dos alunos, habilidades que serão exigidas na sua vida social e profissional.
Segundo Duval, deve-se procurar entender as dificuldades dos alunos em
Matemática, avaliando o que há de específico no ensino dessa ciência, para assim
conseguir um aprendizado significativo. Duval ressalta que:
“A principal característica de uma abordagem cognitiva não é olhar para as dificuldades dos alunos com o objetivo de determinar a maneira pela qual a compreensão é possível, e sim determinar a origem de sua incompreensão.” (DUVAL, 2006, p.1).
29
Os estudos desse pesquisador visam analisar as reais causas das
dificuldades encontradas por estudantes para a compreensão da Matemática e, para
isso, ele procura estabelecer quais sistemas cognitivos são necessários para os
estudantes terem acesso aos objetos matemáticos, considerando que tal acesso
requer necessariamente a utilização de registros de representação semiótica.
Dentre suas obras, destaca-se Sémiosis et pensée humaine (1995), na qual
ele apresenta à comunidade acadêmica os seus pressupostos teóricos.
O termo Registro de Representação Semiótica é utilizado por Raymond Duval
(1995) para referir-se aos diferentes signos em matemática, tais como figuras,
gráficos, escritas simbólicas, língua natural, os quais devem permitir o cumprimento
de três atividades cognitivas: formação, tratamento e conversão.
A formação de um registro de representação semiótica deve respeitar as
regras próprias do sistema utilizado. Ao realizar uma transformação de uma
representação para outra, pode-se ter um tratamento ou uma conversão.
O tratamento de um registro de representação semiótica é uma atividade na
qual se faz uma transformação de uma representação para outra, no interior de um
mesmo registro.
Como exemplo, apresenta-se uma transformação de escalonamento em um
sistema linear:
Quadro 1 – Exemplos de tratamentos no registro simbólico-algébrico Fonte: Acervo pessoal
Pode-se observar que ocorreram transformações de representações sem
mudança de registro. A primeira equação foi multiplicada por -2 e o resultado foi
somado à segunda equação, dando origem a uma nova equação permanecendo no
registro simbólico- algébrico.
A conversão é uma atividade que transforma uma representação em outra
representação, em um registro diferente do qual se partiu, como o exemplo a seguir:
30
Representação no Registro
Simbólico-algébrico
Representação no Registro
Gráfico
422
27
xy
xy
Quadro 2 – Exemplo de conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico Fonte: Acervo pessoal
Um segundo exemplo para o conteúdo de sistemas lineares que se pode citar
é a conversão do registro da língua natural para o registro simbólico-algébrico,
conforme ilustrado no quadro seguinte.
Representação no Registro Língua
natural
Representação no Registro
Simbólico- algébrico
Determine dois números reais, cuja
soma é 26 e a diferença entre o
maior e o menor é igual a 12.
12
26
yx
yx
Quadro 3 – Exemplo de conversão do registro da língua natural para o simbólico-algébrico Fonte: Acervo pessoal
Para Duval há dois tipos de conversões: as congruentes e as não
congruentes. A conversão congruente é a passagem de uma representação para
outra de uma maneira espontânea, ou seja, a transformação está mais próxima de
uma situação de simples codificação. A seguir, apresenta-se um exemplo desse tipo
de conversão.
31
TIPO DE CONVERSÃO SISTEMA OU REGISTRO DA
ESCRITA NATURAL
SISTEMA
SIMBÓLICO-ALGÉBRICO
Conversão congruente Conjunto de pontos com ordenada
maior que abscissa. y>x
Quadro 4 – Exemplo de conversão congruente Fonte: DUVAL, 2000, p. 63
1
De acordo com Duval (2009, p. 18), para que exista congruência na
conversão, três condições devem ser satisfeitas: correspondência semântica entre
as unidades significantes que as constituem, uma mesma ordem possível de
apreensão das unidades das duas representações e conversão de uma unidade
significante de representação de partida para uma unidade significante
correspondente no registro de chegada.
Já na conversão não congruente, esta passagem não ocorre de maneira
espontânea, ou seja, pelo menos uma das condições citadas anteriormente não é
satisfeita. O exemplo seguinte ilustra essa situação.
TIPO DE
CONVERSÃO
SISTEMA OU REGISTRO DA
ESCRITA NATURAL
SISTEMA
SIMBÓLICO-ALGÉBRICO
Conversão
não congruente
Conjunto de pontos cujas ordenadas e
abscissas têm o mesmo sinal. x.y>0
Quadro 5 – Exemplo de conversão não congruente Fonte: DUVAL, 2000, p. 63
2
Ainda, o autor afirma que pode ocorrer o “fenômeno da heterogeneidade da
congruência”, em que há uma conversão congruente em um sentido de conversão e
não congruente no outro, gerando desempenhos distintos dos estudantes quando
uma mesma situação é proposta nos dois sentidos. O exemplo seguinte, extraído de
Duval (2009) mostra a diferença de desempenho dos estudantes nos dois sentidos
de conversão. Quando a conversão ocorreu do registro da língua natural para o
simbólico, a taxa de acerto foi de 41% e no sentido contrário foi de 81%. Essa
discrepância é explicada pelo autor pelo fenômeno da heterogeneidade da
congruência.
1 Traduzido do original em Inglês.
2 Traduzido do original em Inglês.
32
I II III III
A reunião das intersecções de
um conjunto com dois outros
conjuntos
)()( CABA 41% 81%
Quadro 6 – Exemplo de “Fenômeno da Heterogeneidade da Congruência” Fonte: DUVAL, 2009, p. 74
Duval ainda destaca a especificidade da Matemática em relação às outras
ciências, dada a sua natureza não real, tendo em vista a necessidade das
representações semióticas para o acesso a objetos matemáticos.
Segundo o autor, a impossibilidade de acesso ocorre devido ao caráter
abstrato dos objetos matemáticos. Como exemplo, pode-se citar o número, cujo
acesso não se dá por instrumentos e sim por meio de suas representações. Ainda, o
número pode ser representado em diferentes sistemas. Por exemplo, o número trinta
e quatro é representado no sistema numérico indo-arábico por 34 e no sistema de
numeração romano por XXXIV.
Com isso, há necessidade de um modelo específico para a Matemática
centrado na importância das representações semióticas, fato que a difere das outras
ciências, tais como Física e Biologia, que permitem o contato com seus objetos por
meios perceptivos ou instrumentais.
Duval (2006) apresenta a classificação de quatro tipos diferentes de registros
de representações semióticas: registro multifuncional discursivo; registro
multifuncional não-discursivo; registro monofuncional discursivo e registro
monofuncional não-discursivo.
O registro de representação monofuncional é o tipo de sistema no qual as
transformações podem ser algoritmizáveis. Por exemplo, na representação algébrica
baxy , temos y isolado no primeiro membro.
Para se isolar x, há uma sequência definida de etapas, a qual consiste em
primeiro subtrair b em ambos os membros, da seguinte forma:
axby
bbaxby
Em seguida, dividem-se ambos os membros por a, obtendo:
33
xa
by
a
ax
a
by
No caso anterior, o registro algébrico é classificado como monofuncional
discursivo. Há também os registros monofuncionais não-discursivos, representados
pelos gráficos cartesianos. Nestes, também existe um processo definido de
construção, como por exemplo, as direções indicadas pelas setas do plano
cartesiano e a forma de representação de pontos.
x
y
Figura 1 – Exemplo de registro monofuncional não-discursivo Fonte: Acervo pessoal
O registro de representação multifuncional é o tipo de sistema no qual as
transformações não são algoritmizáveis. No caso dos multifuncionais discursivos,
tem-se como exemplo a língua natural utilizada na produção de um texto, que pode
ser realizado pelo método de produção oral ou pelo método de produção escrita.
Já o registro de representação multifuncional não-discursivo é aquele que
conserva as características internas do objeto a ser representado. Por exemplo, para
a construção de um quadrado, há a necessidade de auxílio de instrumentos para
manter as suas características internas, isto é, ter os quatro lados iguais com
ângulos internos de 90º.
Duval (2003) considera que o ensino da Matemática não leva em conta as
conversões, privilegiando os tratamentos de um objeto matemático em um
determinado registro.
Na visão do autor, isso ocorre devido à formação do matemático, que
normalmente privilegia a transformação de tratamento, principalmente no registro
monofuncional discursivo. Isto porque é nesse tipo de registro que há a facilidade de
34
justificação e tal fato leva o professor de matemática a não observar a importância
de estabelecer conversões entre registros do objeto matemático tratado em sala de
aula.
Desta forma, a análise das atividades de um determinado conteúdo
matemático a serem realizadas pelos alunos é desenvolvida do ponto de vista
puramente matemático e não pedagógico.
Apresentaremos, a seguir, os aspectos evidenciados na revisão de literatura
de pesquisas que tratam do objeto matemático sistemas lineares e, em seguida, a
utilização de recursos computacionais no ensino de Matemática.
2.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Battaglioli (2008) realizou um estudo sobre sistemas lineares, o qual consistiu
em analisar os principais livros indicados pelo PNLEM-20073, evidenciando como
estes lidam com os registros de representações semióticas e com o uso de recursos
computacionais.
A pesquisadora afirma que os livros tratam do conteúdo matemático Sistemas
Lineares de forma mecânica, ou seja, ao aluno é apresentado um algoritmo para a
resolução de um determinado conteúdo matemático e este é aplicado em diversos
exercícios, constituindo em uma reprodução totalmente mecânica, não dando a
oportunidade ao aluno de discutir, conjecturar e analisar os resultados obtidos.
Com isso Battaglioli (2008) sugere que os livros didáticos deveriam tratar os
conteúdos matemáticos com diferentes tipos de representações, envolvendo
também os aspectos epistemológicos, dando ao aluno a oportunidade de
acompanhar o desenvolvimento do homem e a construção da Matemática. Com
essa abordagem, o aluno formularia hipóteses, discutiria e tentaria generalizar o
3 O Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM) é um programa do Governo
Federal que foi implantado em 2004 e que tem por objetivo a distribuição gratuita de livros didáticos
aos alunos do Ensino Médio público de todo pais. É mantido pelo Fundo Nacional de
Desenvolvimento da Educação (FNDE) com recursos financeiros do Orçamento Geral da União.
Fonte: portal do MEC:
<http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12371:pnlem-
apresentacao&catid=311:pnlem&Itemid=582>
35
conteúdo matemático, assumindo assim um papel mais participativo e interessado
para a aquisição do conhecimento.
Acreditando que os livros didáticos representam o maior suporte dos
professores de Matemática, a pesquisadora fez uma análise neste material
procurando responder a seguinte questão:
“Em quais registros de representação semiótica estão sendo abordados os sistemas lineares nos livros didáticos do Ensino Médio e quais as conversão de registros apresentadas nos exercícios resolvidos propostos destes livros?” (BATTAGLIOLI, 2008, p. 9).
Essa pesquisa, de caráter documental, foi realizada de forma qualitativa.
Foram escolhidos para esta pesquisa três dentre os oito livros didáticos
recomendados pelo PNLEM-2007, por ela acreditar que, sendo esses livros
distribuídos gratuitamente pelo Ministério da Educação (MEC), são possivelmente os
mais utilizados pelos professores das escolas públicas. São eles: DANTE, L.R.
MATEMÁTICA, Contexto e aplicações – vol. 2 – EM – Ática, 2007, designado como
Livro-1; SMOLE K. C. S., DINIZ M. I. MATEMÁTICA – Ensino Médio – vol.2 –
Saraiva – 2003, designado como Livro-2 e GIOVANNI J. R., BONJORNO J. R. e
GIOVANNI JR. J. R. MATEMÁTICA COMPLETA – Volume Único – FTD – 2002 com
designação Livro-3.
A pesquisa de Batttaglioli (2008) foi fundamentada na teoria dos Registros de
Representação Semiótica de Raymond Duval (2003) e na teoria de Aprendizagem
Significativa de David Ausubel (1988). A análise realizada nos livros didáticos teve
como foco os seguintes registros de representação semiótica: a língua natural, o
registro algébrico e a representação gráfica. Como estratégia, a pesquisadora
analisou os tipos de conversões aplicadas nos exercícios resolvidos e nos exercícios
propostos.
A pesquisadora considera importante que o professor trabalhe, com os
alunos, as definições de um sistema linear e também a reflexão a respeito do
conjunto solução, ou seja, verificando que o conjunto solução deve satisfazer cada
uma das equações propostas no sistema, com isso, dando sentido aos alunos do
motivo da resolução do sistema.
Em seu trabalho, é apresentada a verificação matemática da Regra de
Cramer para um caso particular de resolução de sistemas lineares com três
36
equações e três incógnitas que foi adaptado pela autora de Paiva (1995, p. 130-
131). Esta regra, segundo a pesquisadora, não é muito indicada para aplicação em
sala de aula pelos pesquisadores em Educação Matemática, pelo motivo de
envolver cálculos matemáticos muito longos e por sua aplicação ser limitada ao caso
de sistemas com solução única e que têm o mesmo número de equações e
incógnitas.
Os documentos oficiais também sugerem não utilizar a Regra de Cramer para
a resolução de sistemas lineares com três equações e três incógnitas:
“[...] Quanto à resolução de sistemas de equações 3X3, a regra de Cramer deve ser abandonada, pois é um procedimento custoso (no geral, apresentado sem demonstração, e, portanto de pouco significado para o aluno), que só permite resolver os sistemas quadrados com solução única.” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 38).
Em seguida, a autora descreve outro algoritmo indicado para a resolução de
sistemas lineares, o Método de Gauss ou Método do Escalonamento. Esse algoritmo
é recomendado pelos documentos oficiais:
“[...] A resolução de sistemas 2X3 ou 3X3 também deve ser feita via operações elementares (o processo de escalonamento), com discussão das diferentes situações (sistemas com uma única solução, com infinitas soluções e sem solução).” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 26).
Dentre os livros analisados, a pesquisadora destaca o Livro-2 como sendo um
livro que trata o conteúdo matemático de forma inovadora, uma vez que sua
proposta consiste na retomada do conteúdo matemático em diferentes abordagens.
Analisando o conteúdo Sistemas Lineares, o livro faz uma retomada dos
sistemas de duas equações e duas incógnitas, conteúdo já estudado no Ensino
Fundamental, apresentando a seguir a resolução de um sistema linear de três
equações e três incógnitas, e retoma a resolução dos sistemas lineares no estudo
das matrizes e dos determinantes.
Essa abordagem diferenciada vai ao encontro ao que é proposto nos
documentos oficiais, como por exemplo, os Parâmetros Curriculares Nacionais do
Ensino Fundamental - PCN (BRASIL, 1998).
Em seu estudo, a pesquisadora ressaltou que as conversões entre os
registros simbólico-algébrico e gráfico também são destacadas em documentos
oficiais, como nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio:
37
“No estudo de sistemas de equações, além de trabalhar a técnica de resolução de sistemas, é recomendável colocar a álgebra sob o olhar da geometria.” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 37).
Com relação à retomada de conteúdos proposta pelos PCN do Ensino
Fundamental, o Livro-1 e o Livro-2 abrangem esse quesito, revisando a resolução de
sistemas de duas equações e duas incógnitas. Já o Livro-3, segundo a
pesquisadora, começa apresentando o sistema com três equações e três incógnitas
sem fazer a retomada do conteúdo já apresentado no Ensino Fundamental.
Acreditando que os livros didáticos devam apresentar a História da
Matemática, Battaglioli (2008) destaca que documentos oficiais defendem tal
abordagem:
“Compreender a construção do conhecimento matemático como um processo histórico, em estreita relação com as condições sociais, políticas e econômicas de uma determinada época, de modo a permitir a aquisição de uma visão crítica da ciência em constante construção, sem dogmatismos ou certezas definitivas.” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 42).
Os três livros analisados apresentam referências históricas dos sistemas
lineares, mas a pesquisadora destaca que são muito superficiais, deixando de
contribuir para a aquisição de conhecimento deste tema.
Battaglioli (2008) destaca a importância do uso da informática em sala de
aula, seguindo as recomendações dos documentos oficiais:
“Um outro elemento tecnológico de importância inegável é o computador. Num livro didático podem ser propostas atividades que empreguem o computador como meio auxiliar na aprendizagem de conceitos e procedimentos matemáticos, bem como atividades que auxiliem a formação do aluno para o mundo do trabalho.” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 44).
Apesar disso, a pesquisadora observou que nenhum dos três livros
analisados sugeria o estudo de sistemas lineares relacionando-o com o uso do
computador. Pode-se concluir que, neste quesito em particular, esses livros
didáticos não seguem as recomendações dadas pelos documentos oficiais.
Com relação aos tipos de registros de representação semiótica abordados
pelos livros analisados, a pesquisadora é amparada pelos documentos oficiais, que
38
afirmam a necessidade de trabalhar os diferentes tipos de registros relacionados aos
conteúdos matemáticos.
“Podem ser utilizadas diferentes linguagens para representar os conteúdos: símbolos matemáticos, língua natural, desenhos, gráficos, ícones, etc. Esse tratamento diversificado é apontado, atualmente, como um fator muito importante para a compreensão dos conceitos e dos procedimentos matemáticos.” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 52).
Segundo a autora, os três livros analisados apresentam poucas conversões
de registros. As conversões que aparecem são apresentadas de forma muito tímida
e limitam-se às transformações do registro da língua natural para o registro
algébrico.
Quanto à classificação dos sistemas lineares, a pesquisadora alerta sobre os
erros que podem ocorrer com o uso do Método de Cramer. Por exemplo, o Livro-3
classifica os sistemas lineares utilizando somente esse método e, apresenta,
equivocadamente, que quando um sistema possui os determinantes da Regra de
Cramer iguais a zero (D=0, Dx=0, Dy=0, Dz=0), tal fato implica que ele com certeza é
um sistema como possível e indeterminado. Com isso, pode-se induzir o aluno a
classificar os sistemas lineares de forma incorreta, tendo em vista que quando todos
os determinantes são iguais a zero, pode-se afirmar, apenas, que o sistema não é
determinado.
As conclusões da pesquisadora revelam que as conversões tratadas nos
livros didáticos são, na sua maioria, da língua natural para a representação
algébrica. Ela detectou que apenas um exercício do Livro-1 apresentou uma
situação em que o registro de partida era o registro algébrico e o registro de
chegada era o da língua natural.
Outra investigação feita por Battaglioli (2008) tratou da análise das
consequências gráficas que ocorrem durante a realização de tratamentos no registro
algébrico, em particular na resolução de sistemas lineares com três equações e três
incógnitas, para os casos determinado, indeterminado e impossível.
Ela forneceu uma proposta de trabalho utilizando o software Winplot e, em
cada caso, foi feito o devido tratamento do sistema pelo método do escalonamento,
comparando as etapas realizadas com as modificações ocorridas no registro gráfico.
Battaglioli (2008) recomenda explorar mais o registro gráfico, pois ele facilitará
tanto compreender o conjunto solução de um sistema linear com também classificá-
39
lo e discuti-lo quando necessário, utilizando como ferramenta de apoio o software
Winplot.
Partindo das evidências levantadas por Battaglioli (2008) e das indicações
dos PCN, pretendemos fazer uma integração entre os diversos registros do
conteúdo matemático “Sistemas Lineares”. Para essa integração, desejamos
elaborar um experimento de ensino sobre essa temática, explorando as conversões
entre representações dos registros gráfico, algébrico, numérico-tabular e da língua
natural, nos ambientes papel e lápis e computacional, representado pelo software
Winplot. Ainda, pretendemos fornecer situações que propiciem a investigação da
relação entre o registro gráfico um sistema linear de duas equações e duas
incógnitas e a análise da proporcionalidade dos coeficientes de suas equações.
Pantoja (2008) realizou um estudo sobre Sistemas Lineares, com o objetivo
de elaborar uma sequência didática, relacionando a resolução de sistemas lineares
pelo Método da Substituição com o Método do Escalonamento.
A pesquisadora afirmou que, na maioria das vezes, o ensino da Matemática
provoca antipatia nos alunos, causada pelo fato de os objetos matemáticos tratados
em sala de aula serem apresentados de forma fragmentada, não proporcionando ao
estudante um relacionamento com os objetos aprendidos.
Com relação a esta forma fragmentada de ensino, a pesquisadora destaca os
documentos oficiais:
“... se os conceitos são apresentados de forma fragmentada, mesmo que de forma completa e profunda, nada garante que o aluno estabeleça alguma significação para as idéias isoladas e desconectadas umas das outras. Acredita-se que o aluno sozinho seja capaz de construir as múltiplas relações entre os conceitos e formas de raciocínio envolvidas nos diversos conteúdos; no entanto, o fracasso escolar e as dificuldades frente à matemática mostram claramente que isso não é verdade.” (BRASIL, apud PANTOJA, p. 11).
Acreditando que os objetos matemáticos sejam tratados de forma
desconectada, a pesquisadora ainda cita que, na maioria das vezes, não há uma
relação entre o mesmo objeto matemático quando este é apresentado ao aluno
primeiramente no Ensino Fundamental e depois com maior profundidade no Ensino
Médio, destacando, neste contexto, o objeto matemático sistemas lineares.
Em sua pesquisa, Pantoja (2008) destaca que alguns livros didáticos tratam
os conteúdos matemáticos de forma isolada, sem trazer relações entre os diversos
40
tópicos. Nesse contexto, a pesquisadora cita o livro de Gelson Iezzi et al. (2004),
intitulado “Matemática, ciência e aplicação”, embora tal obra ainda apresente de
forma contextualizada os conteúdos matemáticos por meio de situações problemas.
Tratando da importância entre as conexões que devem existir entre os objetos
matemáticos, a pesquisadora destaca Pais (2006) que diz: “quanto mais intensas
forem a interatividade e a articulação, mais significativa será a aprendizagem” (PAIS,
apud PANTOJA, 2008, p. 12).
Em sua pesquisa, Pantoja (2008) busca:
“Construir e avaliar uma sequência de ensino que promova as articulações e integrações de saberes matemáticos em busca de verificar se tais conexões podem promover a aprendizagem de um objeto matemático.” (PANTOJA, 2008, p. 13).
A elaboração e o desenvolvimento dessa sequência didática buscou
relacionar o Método da Substituição apresentado ao aluno no Ensino Fundamental
com o Método do Escalonamento que é apresentado no Ensino Médio. Além disso,
a autora procurou avaliar se essa relação favoreceria a conversão entre o registro
simbólico-algébrico do Método da Substituição com o registro numérico do Método
do Escalonamento, dado na forma matricial.
A pesquisa de Pantoja (2008) foi fundamentada na teoria dos Registros de
Representação Semiótica de Raymond Duval (1999), e apresentou dois tipos de
representação de um Sistema de Equações Algébricas Lineares, o algébrico e o
geométrico.
Utilizando a metodologia da Engenharia Didática, Pantoja (2008) elaborou
uma sequência de ensino sobre Sistemas Lineares, aplicando-a em uma turma de
alunos do Ensino Médio de uma escola pública de Belém. A pesquisadora destacou
que o diferencial de sua pesquisa estava no ponto que: “trabalhamos a conexão
entre a aplicação do Método da Substituição de representação algébrica, e o Método
do Escalonamento, de representação matricial e aritmética” (p. 19-20). Ela procurou
investigar se os alunos realizariam a conversão do registro algébrico presente no
primeiro método para o registro aritmético presente no segundo.
Para Pantoja (2008) a resolução de um Sistema de Equações Lineares pode
ser encontrada de quatro formas distintas, pelo método da substituição, pela regra
de Cramer, por escalonamento e pelo processo gráfico.
41
A sequência didática elaborada por Pantoja (2008) foi aplicada a vinte e
quatro alunos do Ensino Médio da Educação de Jovens e Adultos (EJA) durante três
meses.
Para dar início à pesquisa, foi apresentada aos alunos uma lista de problemas
do 1º grau, que envolvia de uma até duas incógnitas para a sua resolução. Essa lista
de problemas foi desenvolvida pelos alunos em grupos de quatro ou cinco sujeitos,
com o objetivo de que houvesse uma colaboração entre eles na resolução dos
problemas propostos.
Mesmo em grupos, alguns alunos apresentaram algumas dificuldades na
resolução dos problemas propostos. A pesquisadora destaca que essas dificuldades
na resolução podem estar relacionadas a:
“1 – Dificuldade de comunicação em matemática; 2 – Dificuldade com a leitura e interpretação dos problemas matemáticos apresentados; 3– Não domínio das quatro operações; 4 – Alguns alunos não lembravam como se resolvia sistema aplicando o Método da Substituição; 5 – Medo de errar, possível efeito da relação de poder existente em sala de aula; etc.” (PANTOJA, 2008, p. 56).
As dificuldades encontradas pelos alunos foram trabalhadas durante a
realização da sequência didática, dando condições ao aprendizado do objeto
matemático apresentado.
As resoluções dos problemas propostos foram todas realizadas pelo Método
da Substituição, com o objetivo de fornecer condições para que a partir desse
método o aluno tivesse condições prévias para o estudo do Método do
Escalonamento.
Em sua pesquisa, Pantoja (2008) apresenta o Método da Substituição
utilizando um Sistema Linear de três equações e três incógnitas, sendo esse sistema
possível e determinado.
Na sequência de sua pesquisa, é apresentado o Método do Escalonamento
para a resolução do mesmo sistema utilizado para apresentar o Método da
Substituição. Nesta situação, a pesquisadora apontou que o insucesso dos alunos
aplicando o Método do Escalonamento estava no fato de os mesmos não
dominarem as operações elementares para a manipulação das linhas do sistema
apresentado. Esse fato foi observado na sala de aula da pesquisadora.
42
Segundo a autora, a resolução de sistemas pelo Método do Escalonamento
na forma matricial perde o sentido para o aluno. Como o objetivo do estudante era
encontrar o valor das incógnitas do sistema apresentado, essas não eram utilizadas
na resolução do sistema pelo Método do Escalonamento na forma matricial e sim
apenas os coeficientes dessas incógnitas, tornando a resolução do sistema por esse
método sem significado para o aluno.
A sequência didática elaborada pela pesquisadora envolvia problemas de
aplicação do cotidiano apresentados no registro da língua natural, que deveriam ser
resolvidos aplicando o Método da Substituição com a manipulação de seus
coeficientes, a fim de fazer uma relação com o Método do Escalonamento.
Após a pesquisadora analisar as resoluções dos alunos e discutir com eles
sobre as dificuldades encontradas em relação à conversão da língua natural para a
representação algébrica dos problemas propostos, foi notada uma melhora no
aprendizado por parte dos alunos, pois ao final de cada resolução dos problemas
propostos, havia uma discussão sobre os valores encontrados. Tal fato permitiu a
análise dos significados dados às respostas encontradas pelos grupos após
resolverem os sistemas.
A pesquisadora propôs vários problemas aos grupos, que mostraram
habilidade na conversão da língua natural para a representação algébrica. Conforme
a teoria de Duval, para a aprendizagem de um objeto matemático, é necessário
efetuar com sucesso a coordenação de pelo menos dois registros distintos.
A pesquisadora propõe aos alunos expressarem as relações existentes entre
os coeficientes de um sistema linear genérico, mas inicialmente os alunos
encontraram dificuldades para expressar as relações existentes entre os coeficientes
de um sistema linear algébrico, devido ao fato de os cálculos envolverem apenas
“letras”. Com a intervenção do professor em sala de aula, os alunos determinaram
as relações existentes entre os coeficientes de um sistema linear.
A seguir, a pesquisadora elaborou com os alunos uma relação entre os
coeficientes de um sistema genérico 4x4 que temos a seguir:
43
Figura 2 – Representação no Registro simbólico-algébrico de um sistema linear 4X4 Fonte: PANTOJA, 2008, p. 86
Na sequência, foi proposta aos alunos, a elaboração, sem o auxílio do
professor, das relações existentes entre os coeficientes dos sistemas genéricos 2x2
e 3x3. Após a elaboração dessas relações, os alunos aplicaram-nas na resolução de
um problema proposto pela pesquisadora.
Após a análise das resoluções apresentadas pelos alunos, ficou evidente para
a pesquisadora que os mesmos conseguiam resolver o problema proposto usando
as relações existentes entre os coeficientes dos sistemas.
Após a resolução de outros sistemas lineares utilizando apenas os seus
coeficientes, foi dito aos alunos que esse método de resolução, utilizando apenas os
coeficientes do sistema, é conhecido como Método do Escalonamento.
Com isso, foi possível fazer uma relação entre os dois métodos apresentados,
dando um significado ao Método do Escalonamento que utiliza um tratamento
aritmético partindo do Método da Substituição, o qual utiliza um tratamento
algébrico.
Pantoja (2008) destaca que: “[...] o uso das relações sem a devida atenção de
que estas se originam no Método da Substituição, podem gerar dificuldades [...]”
(p.90).
Uma das dificuldades citadas pela pesquisadora foi verificada quando propôs
aos alunos o sistema
3
2
1
cb
ba
ca
que, pela ausência de algumas incógnitas nas
equações, induziu os alunos ao erro, como vemos a seguir:
44
Figura 3 – Resolução apresentada por um grupo de alunos Fonte: PANTOJA, 2008, p. 90
Mais uma vez foi necessária a intervenção do professor, que discutiu com os
sujeitos sobre a ausência dessas incógnitas, afirmando que, nesses casos, o valor
de seus coeficientes é zero. Reiniciando novamente a resolução do sistema anterior,
os alunos obtiveram a solução desejada.
A pesquisadora destaca que os alunos não tiveram dificuldades em aplicar o
Método do Escalonamento para a resolução do sistema anterior, ao contrário, eles
aplicaram o método de forma correta, mas utilizaram os coeficientes de forma
incorreta.
Pantoja (2008) afirma que a resolução de sistemas lineares por meio do
cálculo do determinante não possui nenhum significado para o aluno, sendo este
procedimento realizado de forma mecânica.
A sequência didática de Pantoja (2008) demonstrou aos alunos uma conexão
entre o Método do Escalonamento, que é apresentado aos alunos no Ensino Médio,
com o Método da Substituição, que é apresentado aos alunos no Ensino
Fundamental, dando significado a esse novo método.
Pantoja (2008) também apontou que em alguns momentos da pesquisa os
alunos apresentaram dificuldades nas conversões entre registros. Segundo a
pesquisadora, tais dificuldades foram decorrentes da insegurança dos alunos em
realizar algumas manipulações com os sistemas e, nestes momentos de bloqueio,
era realizada uma intervenção do professor. Mediante as evidências apontadas por
Pantoja (2008), pretendemos elaborar um experimento de ensino sobre “Sistemas
45
Lineares”, estabelecendo conexões entre os diferentes registros empregados nesse
objeto matemático, com o auxílio de um recurso computacional.
Freitas (1999) realizou uma pesquisa sobre o objeto matemático sistemas
lineares parametrizados, com o objetivo de diagnosticar como os alunos ao final do
Ensino Médio relacionavam as soluções desse tipo de sistema com a sua
representação gráfica.
A pesquisadora destacou os trabalhos de Machado (1996), que em suas
conclusões afirmou que os alunos têm dificuldades em realizar conversões em duplo
sentido entre os registros gráfico e algébrico, o que dificulta o entendimento da
resolução dos sistemas lineares. Ela também utilizou como base o trabalho de
Bianchini (1995), que apontou os erros mais frequentes apresentados pelos alunos
para a resolução de sistemas lineares, sendo eles:
“ ● o aluno encontra a solução algébrica, mas não faz a verificação; ● procura a solução algébrica, quando só se pede a gráfica (o que decorre, sem dúvida, do fato do ensino usual ser voltado principalmente para o quadro algébrico); ● confunde parâmetro e incógnita: este parece ser um ponto crucial na resolução de sistemas, já que o índice de acerto, na questão que exigia esse conceito, foi de apenas 3%; ● outros tipos de erros aparecem, tais como: de cálculo aritmético e algébrico, de método, gráfico, etc...”. (BIANCHINI, apud FREITAS, 1999, p. 09).
A pesquisadora também recordou que os sistemas lineares são tratados na 6ª
série do Ensino Fundamental, momento em que os alunos obtêm um primeiro
contato com o registro gráfico de retas. Esse conteúdo é retomado na 7ª série,
sendo que na 8ª série e no 1° ano do Ensino Médio o tratamento com gráficos é
embasado no conceito de funções do primeiro grau.
A pesquisadora afirmou que os métodos aplicados para a resolução de
sistemas lineares não representam fontes de dificuldades para os alunos, desde que
eles tenham familiaridade com os mesmos. Mas nos sistemas lineares
parametrizados, apenas com a aplicação de um método de resolução, o aluno não
obtém direto o conjunto solução, com isso, há a necessidade da discussão do
conjunto em função de um parâmetro, o que necessita de algum tipo de
interpretação. A autora classifica um parâmetro como implícito, quando utilizado
para a representação de infinitas soluções de um sistema possível e indeterminado
e como explícito, se aparecer como um coeficiente desconhecido de uma das
incógnitas do sistema, implicando na modificação do tipo de solução.
46
Freitas (1999) elaborou sua pesquisa embasada em teorias da Didática da
Matemática Francesa e em outras pesquisas que abordaram o tema, presentes em
sua revisão bibliográfica. Para a elaboração do questionário que foi respondido pelos
alunos, e para fundamentar seu trabalho, ela utilizou a teoria de registros de
representação semiótica de Raymond Duval.
Freitas (1999) também utilizou a noção de quadro proposta por Régine
Douady, que é apresentada em sua teoria como um elemento facilitador para a
compreensão de um objeto matemático.
Douady (1984) faz a seguinte definição de quadro:
“... constituído de objetos de um ramo da matemática, das relações entre os objetos, de suas formulações eventualmente diferentes e das imagens mentais associadas a esses objetos e suas relações. Essas imagens desempenham um papel essencial como ferramenta dos objetos do quadro. Dois quadros podem comportar os mesmo objetos e diferir pelas imagens mentais e pela problemática desenvolvida.” (DOUADY, apud FREITAS, 1999, p. 15-16).
Como exemplo de quadros, Freitas (1999) cita os dos sistemas lineares e o
da geometria analítica. A metodologia de pesquisa adotada por Freitas (1999) foi
constituída pelos princípios da Engenharia Didática. Inicialmente a pesquisadora
realizou um estudo epistemológico do conceito de sistemas lineares e analisou três
livros didáticos do 2° grau (atualmente Ensino Médio) para observar como o assunto
era tratado. Em seguida ela aplicou, em sua sala de aula, uma atividade sobre
sistemas lineares a uma amostra de quarenta e cinco alunos de uma escola
particular, com o objetivo de mapear as possíveis dificuldades encontradas por estes
estudantes. Por fim, ela elaborou cinco questões e as aplicou para um grupo de
vinte e oito alunos do ensino público.
Apresentando de forma resumida, em seu estudo epistemológico a autora
concluiu que, apenas no final do século XIX, foi possível estabelecer a resolução de
todos os sistemas lineares, o que pode representar uma fonte de análise das
dificuldades atuais dos estudantes.
Como segunda etapa, Freitas (1999) analisou os seguintes livros didáticos:
47
Designação Título / Série / Autor / Editora / Ano
Livro-1
Exercícios de Matemática: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares– vol. 5
Álvaro Zimmermann Aranha e Manoel Benedito Rodrigues
Policarpo – 1993
Livro-2
Os elos da matemática – vol.2, 2ª edição
Rokusaburo Kiyukawa, Carlos Tadaschi Shigekiyo e Kazuhito Yamamoto
Ática – 1992
Livro-3
Matemática na escola do 2° grau
Antonio da Silva Machado
Atual – 1996
Tabela 1 – Relação de livros didáticos analisados Fonte: Adaptado de FREITAS (1999)
A autora observou que o Livro-1 trata o objeto matemático sistemas lineares
estabelecendo apenas regras, e são apresentados vários conceitos como termo
independente e incógnita sem a preocupação de explicá-los. Nos exercícios também
é proposta a análise de parâmetros, sem existir qualquer explicação do seu
significado. Nesta obra, não foi encontrada a exploração de representação gráfica ou
conversão envolvendo esse registro. Por fim, ela concluiu que essa obra não
apresenta articulação dos sistemas lineares com outras áreas do conhecimento,
privilegiando apenas a memorização e a aplicação de regras de resolução.
O Livro-2 tem o cuidado de retomar temas estudados pelo aluno nas séries
anteriores, enfatizando os conceitos que serão necessários para acompanhar o
assunto a ser abordado. É realizada uma revisão de equação linear e em seguida é
apresentada uma definição formal dos sistemas lineares, caracterizando as
incógnitas, termos independentes e coeficientes de um sistema linear. Na parte
teórica, não existe um aprofundamento da aplicação dos sistemas lineares em
outras áreas do conhecimento, apresenta-se, de maneira superficial, apenas uma
aplicação à Física. Ainda, a classificação dos sistemas lineares é realizada apenas
algebricamente. Nos exercícios propostos, Freitas (1999) destaca que sempre existe
uma tarefa que procura ligar a matemática com o cotidiano do aluno.
48
O Livro-3 introduz o conteúdo de sistemas lineares definindo equações
lineares e, na sequência, fornece explicações sobre coeficientes, incógnitas e termo
independente. É apresentada a solução genérica para uma equação indeterminada.
Nesta obra, Freitas (1999) observou que se procura explorar uma abordagem na
língua natural, evitando o simbolismo matemático, e a classificação de um sistema
linear é apresentada através de exemplos resolvidos. Há uma associação dos
sistemas lineares com as matrizes e determinantes e, após essa associação, todos
os sistemas apresentados são quadrados. O Livro-3 possui uma seção que
apresenta a discussão de um sistema linear em função de um parâmetro k. No
entanto, não menciona em nenhum momento o registro gráfico, limitando-se apenas
ao tratamento algébrico.
Freitas (1999) concluiu que nenhum dos três livros analisados faz qualquer
relação dos sistemas lineares de ordem dois ou três com o registro gráfico, e que de
acordo com a pesquisadora, isso pode prejudicar a aprendizagem do aluno, visto
que: “... o fato de se desenvolver esse assunto somente no quadro algébrico faz com
que os alunos “decorem” técnicas sem compreender o significado de suas
respostas”. (FREITAS, 1999, p. 43).
Como terceira fase, a pesquisadora propôs a uma turma de quarenta e cinco
alunos de uma escola privada, durante uma aula de cinquenta minutos, duas
questões, sendo uma sobre um sistema possível e indeterminado de três equações
e três incógnitas, e outra envolvendo a análise de um sistema de duas equações e
duas incógnitas, por meio de um parâmetro real. Essa turma já havia estudado a
resolução dos sistemas lineares pelo método do escalonamento, bem como a
discussão dos sistemas lineares parametrizados na forma algébrica durante um
bimestre.
Da análise dessa aplicação, a pesquisadora observou que os alunos não
tiveram dificuldades em aplicar o método do escalonamento, mas constatou que, na
discussão dos sistemas, os alunos obtiveram um baixo índice de acerto (15,5%).
Segundo Freitas (1999), a utilização de abreviações SPD, SPI e SI, comumente
usadas para a classificação dos sistemas lineares, pode ter dificultado a discussão
de um sistema linear.
Para Freitas (1999) a conversão do registro algébrico para o registro gráfico
daria sentido à solução encontrada pelos alunos.
49
Na análise da segunda questão, Freitas (1999) concluiu que a idéia de
parâmetro é compreendida pelos alunos de forma errônea, ocorrendo, inclusive,
confusão entre parâmetro e incógnita.
Foi constatado por Freitas (1999) que a introdução de um parâmetro num
sistema linear proporciona grande dificuldade na sua resolução e discussão, isso
pode ocorrer pelo fato de este tipo de tarefa ser pouco explorado se comparado com
exercícios de sistemas lineares sem análise de parâmetros.
Por fim, a pesquisadora aplicou um questionário em um tempo de cinquenta
minutos a vinte e oito alunos de uma turma do terceiro ano do colegial (atual terceiro
ano do Ensino Médio) de uma escola pública, sendo uma das finalidades a análise
do desempenho dos alunos no estabelecimento de relações entre o registro
simbólico e gráfico.
Freitas (1999) concluiu que os seus sujeitos apresentaram dificuldades na
representação gráfica de uma reta, em estabelecer uma identificação entre as
representações algébrica e gráfica de uma reta, em identificar a classificação de um
sistema linear a partir de sua representação gráfica e em analisar sistemas que
envolvem parâmetros.
Desse estudo, a autora concluiu que as dificuldades apresentadas pelos
alunos para interpretar os resultados de um sistema linear podem ocorrer pelo fato
de os livros didáticos privilegiarem algoritmos e, como sugestão para futuras
pesquisas, ela indica a elaboração de experimentos de ensino que envolva o registro
gráfico e o uso de software.
Cury e Bisognin (2009) apresentaram uma pesquisa que investigou os erros
apresentados por estudantes iniciantes de disciplinas matemáticas no ensino
superior, analisando uma questão que envolvia o objeto matemático sistemas
lineares.
As pesquisadoras relataram que avaliações de nível estadual ou federal,
como por exemplo, o Sistema Nacional de Avaliação de Educação Básica (SAEB), o
Programa de Avaliação do Rendimento Escolar do Rio Grande do Sul (SAERS),
dentre outros, avaliam as habilidades de estudantes em resolver problemas que têm
relação com o objeto matemático sistemas lineares.
Em suas investigações, as pesquisadoras tiveram como objetivos:
50
“a) analisar e classificar erros cometidos por alunos ingressantes em disciplinas matemáticas de cursos superiores; b) elaborar e desenvolver atividades de sala de aula, para explorar as dificuldades detectadas; c) avaliar os resultados da experiência e a possibilidade de re-aplicação em diferentes IES”. (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 3-4).
Foi elaborada uma prova contendo doze questões que apresentavam
conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental e Ensino Médio, na qual os alunos
foram solicitados a apresentar o desenvolvimento das resoluções para as questões
propostas. Partindo disso, foi realizada uma análise quantitativa e um estudo das
produções oferecidas pelos estudantes.
Dentre as doze questões que formavam o teste elaborado pelas
pesquisadoras, foi escolhida para a análise nesse artigo a questão com maior
quantidade de acertos, e que envolvia em sua resolução o objeto matemático
sistemas lineares, a qual apresentaremos a seguir:
“O valor de dois carros de mesmo preço, adicionado ao de uma moto, soma R$ 41.000,00. No entanto, o valor de duas dessas motos, adicionado ao de um carro do mesmo tipo, é de R$ 28.000,00. A diferença entre o valor do carro e o da moto, em reais, é: a) 5.000 b) 13.000 c) 18.000 d) 23.000 e) 41.000” (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 4).
Foram analisadas as 138 resoluções apresentadas pelos estudantes na
questão apresentada anteriormente.
Para embasar a pesquisa desenvolvida, as autoras analisaram quatro livros
que tratavam do objeto matemático sistemas lineares, para avaliar de que maneira
ele era abordado nos diferentes níveis. Do ensino fundamental foram selecionadas
as obras de Dante (2002) e de Bigode (2002) e do ensino superior as obras Anton e
Busby (2006) e Lay (1999).
A escolha dos livros do ensino fundamental se deu por serem os mais
utilizados em sala de aula pelos estudantes do curso de licenciatura da UNIFRA4,
onde as pesquisadoras lecionavam. A seleção dos livros do ensino superior também
ocorreu pelo fato de eles serem os mais utilizados na instituição em que as
pesquisadoras atuavam nas aulas de Álgebra Linear.
4 (UNIFRA) Centro Universitário Franciscano, com sede na cidade de Santa Maria, no estado do Rio
Grande do Sul. Fonte: < http://www.unifra.br/Instituicao/Institucional.asp>. Acesso em 13 out. 2011.
51
As pesquisadoras constataram que a diferença da abordagem do objeto
matemático sistemas lineares apresentado nos livros do Ensino Fundamental e no
Ensino Superior está na linguagem e na profundidade na qual o tema é abordado.
Com isso, elas analisaram as habilidades que os estudantes já deveriam ter
desenvolvido no Ensino Fundamental.
Cury e Bisognin (2009) também trataram da conceitualização dos termos
“sentido de símbolo” e “estrutura” apresentados pelos pesquisadores Fey (1990) e
Arcavi (2005), e Dreyfus e Hoch (2004) respectivamente, apresentados no PME5.
Essa conceitualização segundo as pesquisadoras, foram necessárias para a análise
das produções apresentadas pelos alunos, para avalizar:
“Se o aluno se dá conta da estrutura interna do sistema, ou seja, se “vê” qual método é mais indicado para cada caso (substituição, adição ou, ainda, o uso dos princípios aditivo e multiplicativo para obter equações equivalentes que podem ser solucionadas pelos métodos anteriores), a resolução vai trazer menos dificuldades e gerar menos erros.” (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 10).
Na pesquisa realizada por Cury e Bisognin (2009) prevaleceu um enfoque
qualitativo ao analisar as resoluções apresentadas pelos estudantes, seguindo os
processos de Bardin (1979). Essa análise foi desenvolvida em três etapas,
denominadas “pré-análise, exploração do material e tratamento dos resultados”.
A questão sobre sistemas lineares que destacamos anteriormente obteve o
maior índice de acerto, sendo de sessenta e quatro por cento. As respostas
apresentadas pelos alunos foram classificadas em quatro grupos denominados por
A, B, C e D.
No grupo A, os estudantes conseguiram observar que o problema poderia ser
resolvido por um sistema de equações, conseguindo expressar e resolver o sistema
encontrado de maneira correta, obtendo a resposta certa. O grupo B foi composto
por estudantes que conseguiram notar que o problema poderia ser resolvido por um
sistema de equações lineares, expressando de forma correta, mas não
apresentando a resposta correta. Neste caso, eles tentaram resolver o sistema, mas
cometeram algum erro durante a resolução.
5 (PME) “International Group for the Psychology of Mathematics Education”. Fonte:
<http://pme34.lcc.ufmg.br/>. Acesso em 13 out. 2011.
52
Já no grupo C estavam às produções dos estudantes que observaram que se
tratava de um problema que envolvia sistema de equações, expressando de forma
correta o sistema, mas sem apresentar o conhecimento necessário para resolvê-lo.
E finalmente o grupo D foi formado pelas produções dos alunos que não
conseguiram modelar o problema.
Após a análise das produções dos alunos, as pesquisadoras apresentaram a
seguinte tabela:
Figura 4 – Distribuição das resoluções por categorias Fonte: CURY e BISOGNIN (2009), p. 13
Dentre as 138 resoluções analisadas por Cury e Bisognin (2009), foi realizada
uma nova análise, classificando os erros apresentados pelos estudantes que
formavam o grupo C. Essa classificação foi composta por seis tipos de erros que os
estudantes apresentaram na resolução do sistema de equações. Vale lembrar que
nesse grupo, os estudantes conseguiam modelar o problema proposto em um
sistema de equações, mas não conseguiam resolvê-lo.
As pesquisadoras destacaram que uma das dificuldades apresentadas pelos
estudantes estava relacionada ao controle e uso de símbolos. Segundo Cury e
Bisognin (2009):
“Essa habilidade de transformar uma situação dada em linguagem discursiva em um sistema de equações lineares é um passo anterior a qualquer manipulação algébrica que venha a ser feita na resolução e, pelas nossas experiências com problemas de Cálculo Diferencial (por exemplo, taxas relacionadas ou otimização), temos notado que essa é a primeira dificuldade que o calouro apresenta na sua resolução.” (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 17).
53
Cury e Bisognin (2009) ressaltam que os estudantes deveriam demonstrar
facilidade para a resolução do problema proposto, que conforme a análise dos livros
do Ensino Fundamental, essa habilidade é ampliada desde a 6ª série.
As autoras observaram que os estudantes não possuíam o sentido de
símbolo e de estrutura, pois não conseguiam distinguir os métodos necessários para
a resolução do problema nem suas operações admissíveis. Segundo as
pesquisadoras, tal dificuldade pode se tornar uma barreira aos estudantes
ingressantes no Ensino Superior que cursarão disciplinas matemáticas, conforme
relatam a seguir.
“consideramos como evidências claras de falta de sentido da estrutura aquelas produções em que os estudantes têm dificuldades em utilizar o princípio multiplicativo para determinar equações equivalentes que, somadas, permitem cancelar termos semelhantes e isolar uma das incógnitas.” (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 18).
Com isso, Cury e Bisognin (2009) consideraram não ser satisfatório apenas
assinalar os erros cometidos pelos estudantes em sistemas de avaliações estaduais
ou federais, sem realizar um debate das possíveis causas que levaram os
estudantes a esses erros.
Com a possibilidade de realizar novas pesquisas, as autoras conjecturaram
que:
“[...] talvez possamos estabelecer relações entre a forma de ensinar um determinado conteúdo (como equações e sistemas de equações lineares) e as produções dos estudantes ao resolver problemas sobre tal conteúdo. É com esse objetivo que procuramos, neste texto, trazer os conceitos de “sentido do símbolo” e “sentido da estrutura” e aproximá-los às resoluções de um sistema de equações, apresentadas por alunos ingressantes em cursos universitários que já deveriam ter domínio desse conteúdo e das habilidades necessárias para a resolução do problema.” (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 19).
Apresentaremos, a seguir, pesquisas que trataram do ensino de Matemática
envolvendo recursos computacionais.
Borba e Penteado (2005) discutem os problemas levantados pelos docentes
com a introdução da informática no ensino da Matemática. Um dos problemas
apresentados pelos pesquisadores é que o uso do computador em sala de aula
tornaria o aluno um ser dependente da máquina, que o aluno apenas realizaria os
comandos solicitados pelo computador e, com isso, deixaria de desenvolver o
54
raciocínio matemático. Para Borba e Penteado (2005), essa visão ocorre porque, na
maioria das vezes, o uso do computador não é apresentado de forma clara para a
resolução de um problema.
Nesse ponto de vista, Borba e Penteado (2005) acreditam ser necessário e de
direito do aluno o acesso à informática. Os pesquisadores justificam a iniciação da
informática na educação a partir de duas necessidades. A primeira trata da
“alfabetização tecnológica” (p.17), que se refere à maneira de acesso a essa nova
mídia e como introduzi-la em atividades fundamentais como, por exemplo, para
aprender a contar, entender gráficos, ler, dentre outros aspectos. Com isso, Borba e
Penteado (2005) ressaltam que: “... a informática na escola passa a ser parte da
resposta a questões ligadas à cidadania.” (p.17). A segunda justificativa refere-se ao
fato de possibilitar a todos o ingresso ao uso do computador, que segundo os
pesquisadores:
“[...] o acesso à informática na educação deve ser visto não apenas como um direito, mas como parte de um projeto coletivo que prevê a democratização de acesso a tecnologias desenvolvidas por essa mesma sociedade.” (BORBA e PENTEADO, 2005, p. 17).
Os pesquisadores também revelam que a grande maioria dos livros didáticos
apresenta o estudo de funções privilegiando o registro algébrico. Para Borba e
Penteado (2005), o realce deste tipo de registro está ligado à dificuldade encontrada
para gerar diversos gráficos em um ambiente onde se encontra o uso predominante
do lápis e do papel.
Esses autores fazem referência a outros pesquisadores que ressaltam a
importância de apresentar e relacionar as diferentes representações algébrica,
gráfica e tabular de uma mesma função para facilitar ao aluno o conhecimento de
funções.
E para a organização desse diferentes tipos de representações, Borba e
Penteado (2005) ressaltam que: “Essa nova abordagem só ganha força com
ambientes computacionais que geram gráficos vinculados a tabelas e expressões
algébricas.” (p. 32).
Os pesquisadores enfatizam que o uso de tecnologias em sala de aula
permite uma discussão entre as conjecturas dos alunos que podem ser sustentadas
55
ou rejeitadas com a troca de ideias entre os alunos e o professor, fortalecendo assim
o aprendizado.
Após essa troca de opiniões o professor poderá também refletir sobre o
desenvolvimento da atividade em sala de aula e observar quais foram os pontos
positivos mais relevantes durante a atividade e se adequações são necessárias para
que a mesma possa ser colocada em sua prática nos anos seguintes. A inserção da
tecnologia em sala de aula também contribui na mudança do ensino tradicional, que
normalmente parte da teoria para depois chegar a um ponto de investigação. Com a
tecnologia é possível inverter essa estratégia, ou seja, partir de uma situação de
investigação para depois chegar à teorização de um objeto matemático.
Borba e Penteado (2005) destacam que o uso de novas mídias não acabará
com as já utilizadas, isto é, a utilização do computador em sala de aula não vai
exterminar o uso do quadro negro e do giz, os pesquisadores conjecturam que
haverá uma reorganização na utilização dessas mídias, mas não o seu fim. Com
isso, o papel dos educadores é contribuir para o ligamento dessas novas tecnologias
no ensino da Matemática, e transformar o usual ensino tradicional em um ensino
inovador com a utilização de novas mídias.
Diante deste cenário, há a necessidade de realizar inovações na prática
docente para a utilização do computador em sala de aula, uma vez que tais
inovações contribuem para a ampliação do conhecimento tanto do professor quanto
do aluno, que segundo Borba e Penteado (2005):
“[...] ao caminhar em direção à zona de risco, o professor pode usufruir o potencial que a tecnologia informática tem a oferecer para aperfeiçoar sua prática profissional. Aspectos como incerteza e imprevisibilidade, geradas num ambiente informatizado, podem ser vistos como possibilidades para desenvolvimento: desenvolvimento do aluno, desenvolvimento do professor, desenvolvimento das situações de ensino e aprendizagem.” (BORBA e PENTEADO, 2005, p. 66).
Os pesquisadores alertam que apenas a utilização do computador não
acabará com o problema existente no processo ensino e aprendizagem, ressaltando
que: “[...] a entrada da mídia informática na escola não é a salvação dos problemas
pedagógicos, e também sua chegada não paralisa o debate sobre propostas
pedagógicas.” (p. 88). Apesar disso, os pesquisadores conjecturam que um trabalho
envolvendo professor e aluno dispostos a inovarem a prática docente e a prática
discente, respectivamente, possa contribuir no processo de ensino e aprendizagem
56
com a utilização de novas mídias, proporcionando um crescimento cognitivo para
todos os envolvidos.
Segundo Boeri e Silva (2011), um tópico muito pesquisado na atualidade
relacionado ao processo de ensino-aprendizagem em sala de aula e que ainda
origina grande perturbação entre os educadores é o uso do computador em sala de
aula.
A utilização dos recursos computacionais no ensino de Matemática, segundo
estes pesquisadores, possibilita formar um aluno ativo e participativo na construção
do conhecimento, trazendo influências significativas para a sua aprendizagem.
“A utilização do computador nas aulas de Matemática contribui para que o educando perceba esta disciplina de forma mais abrangente e integral, mediando e contribuindo para o seu desenvolvimento lógico e cognitivo.” (BOERI; SILVA, 2011, p. 2).
O objetivo da pesquisa de Boeri e Silva (2011) consistiu em apontar quais as
contribuições significativas que ocorrem no processo ensino-aprendizagem com a
utilização da informática em sala de aula para o ensino da Matemática.
Segundo os pesquisadores, a escola deve acompanhar os avanços
tecnológicos que ocorrem na sociedade, e os professores devem introduzir em sua
prática em sala de aula o uso do computador, uma vez que diversos alunos já estão
familiarizados com a sua utilização por possuírem acesso facilitado a este recurso.
Para os pesquisadores, há duas abordagens vinculadas à utilização da
informática em sala de aula. Uma delas é a abordagem construcionista de Papert
(1991), apoiada nas teorias de Piaget, na qual o professor desempenha o papel de
mediador, auxiliando os alunos nos momentos que julgar necessário. Nessa
abordagem a informática é tratada como um recurso para a formação de alunos
críticos, que buscam refletir e analisar as suas falhas, compartilhando a construção
do conhecimento com a utilização de ferramentas computacionais.
A segunda abordagem é a instrucionista, na qual o papel principal no
processo de ensino-aprendizagem pertence ao computador. O papel do professor
nesta abordagem é conduzir os alunos a pensar sobre os conceitos que estão sendo
apresentados no computador. O aluno é um elemento passivo, que desenvolve
atividades de maneira mecânica, com ênfase apenas na memorização de atividades,
aplicando o computador como um acessório no ensino habitual.
57
Segundo os pesquisadores, devem-se deixar nítidos os objetivos reais que se
pretende alcançar com o uso do computador em sala de aula, para não tornar a sua
utilização um modismo ou algo automatizado.
Boeri e Silva (2011) evidenciam profissionais entusiasmados com o uso de
ferramentas computacionais no ensino de Matemática, mas, por outro lado, há
aqueles que possuem uma visão descrente quanto a essa utilização. Segundo os
pesquisadores, esses últimos são cativos ao ensino tradicional, onde o professor
possui um papel autoritário e o aluno um papel passivo no processo ensino-
aprendizagem, ou têm insegurança na utilização dos computadores ou ainda estão
acomodados, acreditando não haver necessidade de aperfeiçoamento tanto no seu
conhecimento pessoal quanto na renovação de metodologia em sala de aula.
Eles ressaltam que diversos objetivos podem ser atingidos com o uso do
computador nas aulas de Matemática, dentre eles, o desenvolvimento do
pensamento lógico e a possibilidade de propor aos alunos uma reflexão diante dos
seus erros, permitindo que o mesmo seja um sujeito ativo no processo ensino-
aprendizagem.
“Hoje, mais do que nunca, é preciso desenvolver no educando a competência de obter e utilizar informações por meio do computador, contribuindo para a sua formação consciente e capacitando-o a entender e atuar melhor na sociedade em que vive.” (BOERI; SILVA, 2011, p. 7).
Dentre as contribuições do uso da informática no processo de ensino e
aprendizagem de Matemática, segundo Boeri e Silva (2011), destacam-se a
possibilidade de o aluno assumir um papel mais ativo durante a aprendizagem e o
favorecimento da visualização de um objeto matemático de uma forma dinâmica e
precisa, colaborando assim para a confecção de traçados de imagens, como, por
exemplo, a exploração de conceitos de geometria que envolve julgamentos sobre
reflexão, lugar geométrico, translação, dentre outros.
A pesquisa realizada por Souza et al. (2011) apresenta experiências
elaboradas e realizadas pelo Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à
Docência (PIBID) instituído na Universidade Federal de Goiás, que dentre as
atividades realizadas para o ensino de Matemática, encontra-se a utilização do
software Winplot no ensino fundamental e no médio.
58
Segundo os pesquisadores, há uma grande necessidade de inovar o ensino
da Matemática, para que o aluno se torne um sujeito participativo no processo de
aprendizagem, pois, enquanto o aluno estiver passivo nesse processo, ocorrerá um
grande desinteresse para o seu aprendizado.
Para realizar essa inovação, Souza et al. (2011) sugerem a utilização de
ambientes voltados a utilização de recursos computacionais, que segundo os
pesquisadores: “Nesse ambiente é possível despertar o interesse para a
aprendizagem dos conceitos matemáticos e desenvolver as habilidades cognitivas e
intelectuais do aluno.” (SOUZA et al., 2011, p. 3).
Os ambientes informatizados sendo trabalhados de forma bem planejada
poderão favorecer o aluno no processo ensino-aprendizagem da Matemática,
motivando-o a fazer investigações e ser um sujeito crítico e participativo nesse
processo.
Além das vantagens proporcionadas ao aluno, o professor também será
compensado, uma vez que a utilização de ambientes informatizados exige do
docente uma preparação mais aprofundada tanto no conteúdo matemático a ser
tratado em sala de aula, quanto na utilização de softwares relacionados a esse
conteúdo. Desta forma, assim como o aluno, o professor também terá um maior
desenvolvimento cognitivo.
Segundo Souza et al. (2011), a escolha por um software livre, identificado
pelos autores como “aquele que pode ser usado, estudado, redistribuído e
modificado com algumas restrições” (Sousa e Silva, 2007, p. 1 apud Souza et al.,
2011, p. 4) poderá facilitar a utilização do ambiente informatizado, pois além de ser
acessível, não exige investimentos financeiros para a sua utilização. O software
Winplot está inserido no contexto de softwares livres, podendo ser utilizado tanto no
ensino básico quanto no superior.
As experiências relacionadas à utilização do software Winplot foram aplicadas
a aproximadamente oitenta alunos do nono ano do ensino fundamental e primeiro e
segundo anos do ensino médio em uma escola pública de Goiás no ano de 2010. Os
conteúdos eram tratados a princípio pela professora em sala de aula e a seguir os
alunos retomavam esses conteúdos com a utilização do software Winplot.
Os alunos realizavam a construção de gráficos e analisavam suas
características como: declividade da reta para funções do primeiro grau; zeros da
função, vértice da parábola, entre outras características para as funções do segundo
59
grau. As atividades foram realizadas em duplas, o que colaborou para a troca de
conhecimento entre os alunos.
Ao final das atividades, os alunos responderam um questionário que tinha por
objetivo analisar quais as suas impressões com o uso de novas tecnologias. Após a
análise dos dados, Souza et al. (2011) observaram que os alunos ficaram satisfeitos
com as aulas que utilizaram os recursos tecnológicos e destacaram que este tipo de
ambiente colaborou para a melhoria do ensino e aprendizagem da Matemática. Com
relação à utilização do software Winplot, os alunos o consideraram muito importante,
pois ele contribuiu para a retenção de conteúdos matemáticos e facilitou a
construção dos gráficos propostos pelos pesquisadores.
Souza et al. (2011) concluíram que o uso do computador em sala de aula
pode contribuir para o ensino da Matemática, despertando o interesse do aluno para
a aprendizagem. Os autores ressaltam a possibilidade das tecnologias contribuírem
para a aprendizagem, uma vez que estão acessíveis a maior parte dos alunos e que
são, na maioria das vezes, utilizadas por eles para diversão.
Os autores destacam que o software Winplot possibilitou aos alunos a
visualização e a conversão entre os registros gráficos e algébricos, ou seja, “a
possibilidade da “animação” dos gráficos a partir da variação dos parâmetros,
possibilita a visualização de um objeto tanto na representação algébrica quanto na
representação gráfica.” (SOUZA et al, 2011, p. 5).
Souza et al. (2011) finalizam seu trabalho ressaltando que futuros professores
ou mesmo professores formadores devem procurar novas formas para ministrar
suas aulas, sendo uma dessas formas relacionada à utilização de novas tecnologias
em sua prática, buscando despertar no aluno o interesse de ampliar o seu
conhecimento cognitivo e de ter uma participação mais íntegra na sociedade na qual
está inserido.
Mota e Laudares (2011) realizaram um estudo sobre questões que
envolveram figuras e equações relacionadas a planos, cilindros e quádricas,
destacando a necessidade de inovar o processo de ensino e aprendizagem da
Matemática. Para isso, eles sugeriram a inclusão de ferramentas informatizadas. Foi
elaborada uma sequência didática que envolvia os objetos matemáticos citados
anteriormente, com o objetivo de proporcionar aos alunos habilidades de visualizar e
representar planos, cilindros e quadráticas. Apesar de o objeto matemático desses
autores não coincidir com o de nosso estudo, optamos por analisar essa pesquisa
60
pelo fato de ela integrar os mesmos ambientes, no caso, as mídias "papel e lápis" e
Winplot, estabelecendo relações entre representações gráficas e algébricas.
A escolha do Winplot por estes autores se deu pelo fato de originar fácil
visualização dos objetos matemáticos tratados em sua pesquisa, e por proporcionar
um trabalho com várias representações. Com este estudo, Mota e Laudares (2001)
tiveram por objetivo investigar:
“• como a habilidade de visualização das figuras espaciais: planos, cilindros e quádricas contribuem para o desenvolvimento do pensamento geométrico? • como a utilização das seções transversais das superfícies podem facilitar o traçado do esboço das mesmas? • como a articulação entre as representações algébricas e geométricas pode contribuir para o desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem de plano, cilindros e quadráticas na disciplina Geometria Analítica; • de que forma a utilização das mídias “lápis e papel” e do software contribui para o desenvolvimento da habilidade de visualização de figuras tridimensionais?” (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 3).
Mota e Laudares (2011) destacam que os estudantes conferem um
significado a um determinado objeto matemático de forma progressiva, a partir do
momento em que conseguem observar suas regularidades, construindo assim uma
generalização desse objeto matemático. Para estes autores, uma das maneiras de
observar essa regularidade em objetos matemáticos que estão associados à
Geometria é proporcionar a sua visualização, conforme apontado pelos
pesquisadores:
“Destacamos que a visualização é uma aptidão que está relacionada com a habilidade de gerar uma imagem mental, promover diversas transformações com objetos e reter alterações produzidas sobre o mesmo.” (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 3).
Os pesquisadores destacam que a utilização de softwares relacionados à
geometria dinâmica muito contribuem para o aprendizado, pois facilitam a
visualização de figuras no plano e no espaço através da experimentação,
explorando as alterações das figuras com a utilização do software. A escolha pelo
software Winplot se deu justamente pelo fato de o mesmo proporcionar essa
exploração. Segundo Mota e Laudares (2011):
61
“A integração da mídia computacional com o traçado utilizando lápis e papel traz possibilidade de uma melhor compreensão das figuras nos vários espaços, possibilitando, ainda, uma melhor interpretação da equação referente à mesma.” (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 4).
A sequência elaborada pelos pesquisadores contou com elementos teóricos
de Zabala (1998). Neste caso, uma sequência didática é concebida como “uma
maneira de encadear e articular as diferentes atividades ao longo de uma unidade
didática, de forma que se tenha uma análise e possibilidade de intervenção para
execução das mesmas.” (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 4).
Essa sequência didática foi aplicada a uma turma de graduação em
Licenciatura em Matemática, na disciplina de Geometria Analítica, na qual um dos
pesquisadores era o professor dessa disciplina. Foram explorados os significados de
parâmetros e o que esses parâmetros influenciavam na representação gráfica
dessas equações.
Os pesquisadores solicitavam aos alunos para construírem a representação
no registro gráfico de uma dada função que envolvia os objetos matemáticos de sua
pesquisa com a utilização da mídia "papel e lápis". Em seguida, eles deveriam
realizar, após as devidas orientações, a mesma atividade com o auxílio do software
Winplot, comparando, em seguida, os resultados encontrados entre as duas mídias.
Após a realização de algumas atividades, os pesquisadores notaram que os
estudantes conseguiram relacionar a representação algébrica e o significado de um
parâmetro com a sua representação no registro gráfico utilizando a mídia "papel e
lápis". Os estudantes se mostraram mais seguros para realizar as representações
das figuras, uma vez que, sempre que necessário, recorriam ao uso do software
para comparar os resultados encontrados na mídia "papel e lápis".
Mota e Laudares (2011) ressaltam que, ao fazer as relações existentes entre
a representação algébrica com a representação gráfica, os alunos tiveram uma
evolução cognitiva compreendendo melhor os conceitos de Geometria Analítica,
disciplina que interage a equação com a figura, e que o tratamento da representação
figural com o auxílio do software colaborou para minimizar as dificuldades
apresentadas pelos estudantes na construção de gráficos em três dimensões.
Os pesquisadores ainda comprovaram que “a interação entre as mídias
possibilitou uma diversificação na sequência didática proposta” (MOTA E
LAUDARES, 2011, p. 11) e os resultados obtidos com a aplicação da sequência
62
didática, que tinha como objetivo integrar a utilização de ferramentas informatizadas
com a mídia "papel e lápis", apontaram para uma aprendizagem mais eficaz.
Fonseca e Júnior (2011) realizaram uma pesquisa com alunos do período
noturno do segundo ano do Ensino Médio de uma escola pública da periferia de
Uberlândia, no estado de Minas Gerais. O estudo tratou da aplicação de novas
tecnologias ao ensino utilizando Objetos de Aprendizagem, e procurou investigar as
possíveis contribuições que o uso desses recursos poderia fornecer no processo de
aprendizagem da Matemática e da inclusão digital.
Os pesquisadores ressaltaram que a maioria dos alunos convive com o uso
de novas tecnologias no trabalho ou em casa, e para a sua utilização em sala de
aula, destacam o uso de Objetos de Aprendizagem, que foram produzidos por
Universidades por meio da Rede Interativa Virtual de Educação (RIVED). Para
Fonseca e Júnior (2011), além de inserir as novas tecnologias nas escolas, faz-se
necessária uma política estável que contribua com a habilitação dos professores
para o uso desses recursos.
A equipe engajada para a realização dessa pesquisa foi formada por um
professor da área de Matemática da escola na qual foi realizada a pesquisa, por três
alunos do curso de Licenciatura em Matemática e mais dois pesquisadores. Um dos
aspectos que norteou a realização dessa pesquisa consistiu na verificação da
viabilidade de aplicação de um projeto envolvendo novas tecnologias em uma escola
de periferia, na qual são encontradas situações adversas.
Para a elaboração dos dados dessa ação foram analisados relatórios e
questionários desenvolvidos pelos pesquisadores e professores-estagiários, além de
documentos motivadores concebidos pela escola para a elaboração de um
laboratório de informática. Os pesquisadores ressaltaram que a pesquisa foi
desenvolvida de forma colaborativa entre todos os envolvidos, organizada em
projetos, com o uso do laboratório de informática, a fim de investigar se existia
familiaridade ou não por parte dos alunos para o uso de novas tecnologias. Com
isso os pesquisadores destacaram que:
63
“Quanto aos ambientes informatizados de aprendizagem na escola, temos que a sala de aula é a referência mais viva na concepção de ambientes de aprendizagem para professores e alunos. Nessa perspectiva, quando levamos o computador ou qualquer outra tecnologia para seu interior, é possível ampliar as possibilidades de uma condução interacionista do processo educativo, uma vez que o uso dessas tecnologias favorece um trabalho pedagógico centrado na aprendizagem do aluno.” (Fonseca e Júnior, 2011, p. 7).
Para os pesquisadores, é necessária a utilização de novas tecnologias em
sala de aula que possam contribuir para o ensino da Matemática como um
instrumento motivador, em especial para os alunos do período noturno. Essa
contribuição foi observada por um professor-estagiário que citou:
“... Alguns trabalhos estavam aquém do esperado, deixando muito a desejar nas duas turmas; mas o intrigante foi o resultado colhido com os alunos mais fracos das turmas. Eles tiveram nada menos que os melhores trabalhos apresentados, levando em conta também a apresentação.” (Fonseca e Júnior, 2011, p. 7).
Pereira (2011) realizou uma pesquisa com o objetivo de analisar as
contribuições fornecidas pela utilização das Tecnologias da Informação e
Comunicação (TIC) nas aulas de Matemática do Ensino Fundamental. Foi uma
pesquisa de caráter qualitativo, visando primeiramente analisar documentos e
pesquisas relacionadas ao uso das Tecnologias da Informação e Comunicação na
educação, para em seguida propor um curso para professores do ensino
fundamental.
A pesquisadora ressaltou a necessidade de agregar a utilização das
tecnologias tanto no currículo escolar quanto nas práticas educacionais, propiciando
ao aluno a participação da ação proposta para a sua aprendizagem, como também
acrescentar aos cursos voltados para a formação de professores, a inclusão de
métodos de ensino que utilizem as Tecnologias da Informação e Comunicação.
Para Pereira (2011), o uso de novas tecnologias no ensino da Matemática
faz-se necessário, pois essas ferramentas estão presentes no cotidiano do aluno,
conforme destacado pela pesquisadora:
64
“As novas linguagens dos meios de comunicação eletrônicos e das tecnologias, é algo real na vida das crianças e adolescentes. Cada vez mais se tornam parte ativa da construção das estruturas de pensamento das crianças e jovens, exigindo da escola novas práticas curriculares que consigam agregar elementos da cultura digital em seu projeto educativo, a fim de adentrar o universo do aluno e explorar esses mecanismos em prol da formação do sujeito” (PEREIRA, 2011, p. 4).
Após o levantamento de dados, a pesquisadora verificou que alguns fatores
que impossibilitavam o uso das Tecnologias de Informação e Comunicação eram a
incompatibilidade entre o número de computadores disponíveis nas escolas com o
número de alunos por turma, a ausência de uma formação de professores com
ênfase às práticas pedagógicas embasadas nas particularidades existentes em cada
escola, além da falta de um suporte técnico adequado para a manutenção desses
computadores.
Com a análise desses dados, foi elaborado um curso prático no laboratório de
informática aos professores, com o objetivo de proporcionar condições de pesquisar
maneiras inovadoras para implantar o uso de novas tecnologias em sala de aula.
Pereira (2011) apoia o uso das Tecnologias de Informação e Comunicação no
ambiente escolar, ressaltando o compromisso do ensino com a formação do aluno
para a sociedade:
“Precisamos criar condições para que o professor e a escola pensem e reflitam sobre o papel da escola e o ensino da Matemática na formação do individuo perante um contexto de uma sociedade da informação e comunicação, principalmente, levando em consideração a presença das tecnologias na vida das crianças e dos jovens.” (PEREIRA, 2011, p. 8).
No próximo capítulo apresentaremos a descrição e análise de alguns dos
materiais de apoio pedagógico utilizados na rede estadual de ensino público do
estado de São Paulo.
65
3 ANALISE DO CADERNO DO ALUNO E DOS LIVROS DIDÁTICOS
Neste capítulo, apresentamos a descrição e a análise do Caderno do Aluno
referente à 7ª série/8º ano – Volume 3 do Ensino Fundamental, seguida da análise
de três coleções de livros aprovados no PNLE-2011, referentes ao Ensino
Fundamental – Ciclo II.
3.1 O CADERNO DO ALUNO
Vamos apresentar um breve relato do contexto histórico que culminou na
criação da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Para fazer esse
relato, consultamos os documentos oficiais e as pesquisas de Pietropaolo (2005) e
Magni (2011).
3.1.1 Contexto histórico
O Estado de São Paulo vem tomando iniciativas para uma reforma curricular,
visando à melhoria do ensino. Partiremos de 1976, ano em que foram criados os
Guias Curriculares do Estado de São Paulo.
Segundo Pietropaolo (2005), em relação ao conteúdo matemático, os Guias
Curriculares basearam-se em pesquisas referentes ao Movimento da Matemática
Moderna, no qual a grande preocupação era tornar a Matemática mais acessível a
todos.
Novos trabalhos relacionados ao ensino da Matemática foram realizados ao
final da década de 70 e começo da década de 80, destacando a Geometria
Experimental e Atividades Matemáticas, este último conhecido como Ams.
“As Atividades Matemáticas marcaram época em São Paulo e foram responsáveis por muitas mudanças no ensino de Matemática nas séries iniciais. Influenciaram livros didáticos e foram objetos de pesquisas para algumas dissertações e teses” (PIETROPAOLO, apud MAGNI, 2011, p. 34).
Com a preocupação de oferecer acesso à escola a todas as crianças e
jovens, em 1988, o Governo do Estado de São Paulo lançou a Proposta Curricular
do Estado de São Paulo, sendo um de seus princípios a contraposição aos Guias
66
Curriculares, isto porque, enquanto a Proposta Curricular do Estado de São Paulo
partia da ampliação cognitiva do aluno, empregando problemas relacionados ao seu
cotidiano, nos Guias Curriculares o processo de ensino preocupava-se apenas com
“a própria Matemática como Ciência”. (MAGNI, 2011, p. 36).
Entre 1990 e 1994, o Governo do Estado de São Paulo lançou uma nova
coleção, com o objetivo de melhoria do ensino de Matemática, a qual foi intitulada
Experiências Matemáticas. Salienta-se que esta coleção ainda hoje é utilizada por
alguns professores, dando suporte às aulas de reforço.
Apesar do aumento do número de alunos matriculados no Estado de São
Paulo e no Brasil como um todo, observou-se que não houve um aumento
significativo nos índices que mediam o desempenho da educação. Com isso, foi
sancionada, em dezembro de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional (LDB, lei 9394/1996), com o objetivo de deslocar o foco do ensino para a
aprendizagem.
Mas como seria impossível propor um currículo unificado em todo o Brasil,
dadas as suas dimensões e sua diversidade cultural, no mesmo ano de 1996, foram
propostos os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), os quais continham a
proposta de um conjunto básico de competências a serem desenvolvidas pelos
alunos “para o exercício da cidadania”. (BRASIL, 1997, p. 70)6.
Maria Inês Fini, coordenadora geral do projeto São Paulo faz escola da época
da implantação da proposta, informou, em entrevista7, que a nova gestão da
Secretária de Estado da Educação de São Paulo realizou, em julho de 2007, uma
análise cuidadosa da educação no Estado, sendo o dado mais relevante dessa
análise a deficiência de desempenho dos alunos, surgindo, assim, a necessidade de
uma nova Proposta Curricular.
Em 2008, o Governo do Estado de São Paulo realizou uma nova proposta
para a educação, intitulada Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo.
Conforme o então Secretário da Educação Paulo Renato Souza citou no texto
introdutório do Caderno do Professor, a maior preocupação não era apenas oferecer
acesso à escola a todas as crianças e jovens, preocupação que existia em 1980. A
6 Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro01.pdf>
7 Disponível em:
<http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Default.aspx?alias=www.rededosaber.sp.gov.br/portais/s
pfe2009>
67
maior preocupação, segundo o secretário, deveria ser a melhoria da qualidade de
ensino para todos.
O Caderno do Aluno integra a nova Proposta Curricular do Estado de São
Paulo que foi implantada em toda rede estadual de ensino público em 2008. Este
caderno foi elaborado pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, e é
utilizado como apoio pedagógico pelos professores das escolas estaduais desse
estado.
Esses cadernos foram organizados por disciplinas e por bimestres e, a seguir,
apresentamos os conteúdos referentes ao terceiro bimestre dos quatro anos finais
do Ensino Fundamental, dado o foco de nosso estudo.
Figura 5 – Conteúdos referentes ao terceiro bimestre dos quatro anos finais do Ensino Fundamental Fonte: SÃO PAULO, Conteúdos de Matemática por série e bimestre do Ensino Fundamental – Ciclo II (Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática /Coord. Maria Inês Fini. – São Paulo : SEE, 2008. p. 54)
68
3.1.2 Análise do caderno do aluno 7ª série/8º ano – volume 3 do Ensino
Fundamental
A escolha e análise deste caderno se deram pelo fato de que o mesmo
aborda o objeto matemático sistemas lineares, o qual representa o objetivo de nossa
pesquisa.
A Situação de Aprendizagem 38 trata do objeto matemático sistemas de
equações lineares. Basicamente, no início são apresentados alguns problemas,
cujas resoluções recaem em sistemas lineares de duas equações com duas
incógnitas. A seguir são apresentados dois algoritmos para a resolução de sistemas
lineares, sendo eles o método da adição e o método da substituição. Após a
resolução de um sistema linear por algum dos métodos escolhido pelo próprio aluno,
o mesmo é direcionado através de vários questionamentos, a verificar se os
resultados encontrados satisfazem o problema proposto inicialmente. Por fim, são
trabalhadas as interpretações gráficas de sistemas lineares e suas classificações.
Apresentaremos situações que refletem a ordem como esse conceito é
conduzido, de acordo com a análise do caderno. No início, é apresentado o seguinte
problema ao aluno:
Figura 6 – Problema apresentado no registro da língua natural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 30
Neste caso, o aluno passa a conjecturar a respeito das soluções possíveis
para o problema proposto. Em seguida, solicita-se que efetue a conversão entre o
registro da língua natural presente no enunciado do problema para o registro
algébrico.
Na sequência, é solicitada ao aluno a construção de uma tabela com as
informações do problema citado anteriormente. Com isso, o aluno realiza a
conversão do registro da língua natural para o registro numérico-tabular. Analisando
8 O Caderno do Aluno que integra a nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo apresenta quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4) que almejam delinear o enfoque indicado, colaborando com a ação do professor na sala de aula.
69
a tabela, o aluno poderá verificar que o sistema é indeterminado, pois é possível
observar que existe mais de uma solução que satisfaz o problema proposto.
A seguir, complementa-se o mesmo problema com a seguinte informação:
“João é 4 anos mais velho que Maria” (São Paulo, 2009, p. 31).
Com essa nova informação, é solicitada ao aluno a elaboração de uma nova
equação incluindo a informação dada. Partindo da análise da tabela construída, o
aluno pode concluir que agora existe uma solução determinada para o problema,
isto é, há um único par de valores que satisfaz as duas equações.
Dando sequência ao problema descrito inicialmente, ao aluno são
apresentadas mais duas questões para serem acrescidas, em momentos distintos, à
informação inicial do problema, referente à soma das idades de João e Maria.
Primeiramente, acrescenta-se a informação de que a idade de João é o triplo da
idade de Maria e, a seguir, que a idade de Maria é o dobro da idade de João. No
primeiro caso, avaliando os dados da tabela, o aluno pode concluir que a solução
será 21 anos para João e 7 anos para Maria. Já no segundo caso, o aluno pode
verificar que sua tabela não contém um par de números inteiros que satisfaça a
questão proposta.
Para finalizar o estudo referente ao problema proposto, ao aluno é solicitado
encontrar o valor possível que satisfaz a última informação, referente ao fato da
idade de Maria ser o dobro da idade de João. Assim, o aluno é conduzido a resolver
o problema algebricamente, sem o auxílio da tabela, encontrando como resposta
números racionais não inteiros.
Para a introdução do método da substituição, é realizada uma analogia com
uma balança de dois pratos. O objetivo é determinar a massa de dois objetos
desconhecidos de formas diferentes que são discriminados por x e y, sendo dados
dois objetos com massas conhecidas.
É apresentada ao aluno uma sequência de duas figuras, que representam as
medidas realizadas nas balanças de dois pratos. Em uma das situações, são
apresentadas as figuras seguintes:
70
Figura 7 – Representação de uma equação no registro figural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 34
Figura 8 – Representação de uma equação no registro figural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 35
Para cada figura, é solicitada ao aluno a representação algébrica das
medições realizadas para descobrir a massa dos dois objetos x e y.
Com isso, o aluno deverá converter o problema proposto do registro figural
para o registro simbólico-algébrico, sendo informado ao aluno que a estratégia
utilizada para a resolução do problema, isto é, a troca de valores equivalentes de
uma incógnita para determinar o seu valor, é denominada método da substituição.
Ao aluno é proposto um novo problema que apresentamos a seguir.
Figura 9 – Problema apresentado no registro da língua natural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 36
Na sequência, ao aluno é proposto escrever duas equações, uma para
representar o gasto de André no consumo de um refrigerante e dois mistos, e outra
para expressar o gasto de Júlia, referente ao consumo de um misto e um
71
refrigerante. Neste caso, é proposta uma conversão da língua natural para o registro
simbólico-algébrico. A seguir, pede-se ao aluno para calcular a diferença entre estas
duas equações. Isso leva o aluno a encontrar o valor do misto que é de R$2,50 e,
posteriormente a encontrar o valor do refrigerante, que é R$1,60.
Em seguida, é apresentado ao aluno um exercício contendo quatro sistemas
lineares propostos no registro simbólico-algébrico, cuja resolução envolvia
tratamentos neste registro e conversões deste para o registro numérico. O método
indicado ao aluno para sua resolução é o da adição, mas, ao contrário do que ocorre
com o método da substituição, em nenhum momento anterior ao exercício proposto
é mencionado, no caderno do aluno, o que significa ou como é realizado esse
método. Isso ocorre apenas no caderno do professor.
A seguir, discute-se qual o melhor método de resolução, sendo solicitada ao
aluno a resolução de mais quatro sistemas lineares, deixando ao mesmo a escolha
do método que julgar mais conveniente.
Visando a construção da solução gráfica de um sistema, na atividade seguinte
é apresentado um novo problema no registro da língua natural, que temos a seguir:
Figura 10 – Representação de uma equação no registro figural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 40
Espera-se que o aluno converta o problema acima para o registro algébrico e
em seguida preencha duas tabelas relacionadas ao mesmo, as quais apresentamos
a seguir:
Tabela I
Figura 11 – Conversão de registro na língua natural para o registro numérico-tabular Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 40
72
Tabela II
Figura 12 – Conversão de registro na língua natural para o registro numérico-tabular Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 41
Depois de preenchidas, o aluno deverá procurar um par de valores para x e y
que satisfaz as equações encontradas. Prosseguindo a atividade, é apresentado ao
aluno um plano cartesiano onde deverão ser indicados os pontos que foram
encontrados nas tabelas I e II, para verificar que o ponto comum entre as duas retas,
isto é, o par ordenado (8,4), é a solução do problema. Por fim, no último item desta
atividade, o aluno é questionado se é possível ligar os pontos do plano cartesiano
por uma reta conforme as condições propostas no início da atividade. Na sequência,
é apresentada outra atividade, semelhante à mencionada anteriormente, que possui
os mesmos objetivos, estabelecendo uma relação entre os registros da língua
natural, algébrico, numérico-tabular e gráfico.
Na última atividade da Situação de Aprendizagem 3, é proposta ao aluno a
associação da classificação de sistemas lineares (possível e determinado, possível e
indeterminado e impossível), dadas as representações gráficas de duas retas
concorrentes, coincidentes ou paralelas, conforme apresentamos a seguir:
73
Figura 13 – Representação no registro gráfico de um sistema linear e sua classificação Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 46
Posteriormente são apresentadas três atividades em que o aluno deverá
resolver, relacionar e classificar os sistemas propostos conforme as soluções
encontradas, relacionando os diferentes tipos de registros algébrico, gráfico e
numérico-tabular.
Ressaltamos que, na maioria dos casos, o caderno do aluno é um material de
apoio que necessita da condução do professor, uma vez que nem todas as
definições e procedimentos são apresentados. Por exemplo, o método da adição é
explicitado apenas no caderno do professor e o mesmo ocorre com a relação entre
as representações gráficas e as classificações de um sistema linear.
74
Notamos, na abordagem do caderno, uma preocupação em tratar o objeto
matemático explorando as relações entre representações de diferentes registros.
Apesar disso, em nenhuma das atividades propostas, é solicitada ao aluno a análise
da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes para avaliar sua
classificação. Ainda, o caderno não apresenta qualquer proposta de utilização de
recursos computacionais. Salienta-se que recursos de geometria dinâmica permitem
ao estudante uma autonomia de exploração, favorecendo um trabalho de
levantamento e de validação de conjecturas e de exploração de relações entre
registros. Com isso, entendemos que nossa proposta representará um cenário
diferenciado para o processo de ensino e aprendizagem do objeto matemático
sistemas lineares de duas equações a duas incógnitas, representando um
complemento às práticas já existentes neste domínio.
3.2 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS
No capítulo 2, apresentamos o trabalho de Battaglioli (2008), a qual entende
que os livros didáticos representam um importante suporte para os professores de
Matemática. Reforçando essa afirmação, Trentin (2006) realizou uma pesquisa
qualitativa e interpretativa fundamentada nos pressupostos de Erickson (1989). Nela,
apontou que o avanço de uma pesquisa requer que o pesquisador esteja envolvido
no ambiente de observação e que possua afinidades com os cooperadores da
pesquisa.
Trentin (2006) investigou a contribuição do livro didático para a formação da
identidade de um professor de Matemática. Neste contexto, ele afirmou que o livro
didático “... representava o portador de verdades indiscutíveis tanto sobre a
matemática, enquanto uma ciência, quanto aos assuntos e serem ensinados e,
inclusive, em relação à ‘ordem’ de encadeamento dos mesmos.” (TRENTIN, 2006, p.
153).
Assim, Trentin (2006) comentou que o livro didático “... ocupa uma posição de
destaque na prática social de um professor de Matemática.” (TRENTIN, 2006, p.
150).
Por termos uma visão compatível com esses pesquisadores em relação aos
livros didáticos, procuramos investigar como três dentre as dez coleções aprovadas
75
no Programa Nacional do Livro Didático de 2011 – PNLD/2011 tratavam do
conteúdo de sistemas lineares.
Nesta análise, foram descritos os principais registros de representação
semiótica, bem como as conversões desenvolvidas nos exercícios resolvidos e nos
propostos referentes ao objeto matemático sistemas lineares, segundo a teoria dos
Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (1995, 2003, 2006).
Além disso, investigamos se as coleções também sugeriam o uso de tecnologias no
ensino desse objeto matemático.
Além de a seleção dessas obras ter ocorrido pelo fato de serem indicadas no
PNLD/2011, a escolha de uma delas ocorreu em função de ela ser utilizada na
escola onde foi aplicado o nosso experimento. Já as outras duas obras foram
escolhidas por serem utilizadas em escolas pertencentes à mesma região da
instituição na qual foi realizada a pesquisa. Com isso, poderíamos observar com
quais tipos de registros semióticos e conversões os nossos sujeitos já haviam tido
contato.
A seguir, apresentamos as coleções que foram analisadas em nossa
pesquisa, acompanhadas das resenhas segundo o Guia dos Livros Didáticos: PNLD
20119.
GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da matemática. –
Edição Renovada – São Paulo: FTD, 2009.
Segundo o Guia dos Livros Didáticos, a coleção apresenta diversos textos
relacionados à história da Matemática que contribuem com a contextualização dos
conteúdos abordados. Em alguns assuntos há a ausência de justificativas para
algumas generalizações, e existe o uso excessivo de nomenclatura. Os conteúdos
são apresentados de maneira formal, dando destaque à habilidade de cálculo, com a
aplicação de regras e algoritmos.
RIBEIRO, J. S. Projeto Radix: Matemática. São Paulo: Scipione, 2009.
(Coleção Projeto Radix).
9 Disponível em: http://www.fnde.gov.br/index.php/pnld-guia-do-livro-didatico
76
Essa coleção, segundo o Guia dos Livros Didáticos, apresenta os conteúdos
pausadamente nos dois primeiros anos, depois um trabalho exagerado dos
conteúdos nos dois últimos anos. A coleção apresenta textos que tratam de várias
situações, relacionando o assunto abordado com a realidade do aluno. A coleção
também apresenta muitas ilustrações como tabelas, fotografias entre outros, o que
beneficia o estudo dos conteúdos. Estes são apresentados primeiramente por um
texto que favorece ao aluno a formulação de conjecturas, sendo descritos na
sequência, esquemas que contribuem na compreensão dos procedimentos. Em
alguns casos são apresentadas regras de forma muito direta, em destaque na
álgebra.
SOUZA, J. R; PATARO, P. R. M. Vontade de saber matemática. São Paulo:
FTD, 2009.
Segundo o Guia dos Livros Didáticos, essa coleção apresenta
contextualizações dos conteúdos matemáticos, acompanhadas de textos
interdisciplinares. Na maioria das vezes os conteúdos matemáticos são revisados de
forma periódica, mas em alguns casos, são tratados de forma superficial, tornando a
abordagem repetitiva. Os conceitos matemáticos são apresentados com a ajuda de
atividades que envolvem contextos atuais, que contribuem para a elaboração de
conjecturas pelos alunos.
A seguir, apresentamos uma tabela com as respectivas designações dos
livros analisados, sendo uma das coleções subdividida em dois livros:
77
Designação Coleção
Livro-1
GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista
da matemática, 7º ano – Edição Renovada – São Paulo:
FTD, 2009.
Livro-2
GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista
da matemática, 8º ano – Edição Renovada – São Paulo:
FTD, 2009.
Livro-3 RIBEIRO, J. S. Projeto Radix: Matemática, 8º ano. São
Paulo: Scipione, 2009. (Coleção Projeto Radix).
Livro-4 SOUZA, J. R; PATARO, P. R. M. Vontade de saber
matemática. 8º ano. São Paulo: FTD, 2009.
Tabela 2 – Designação dos livros analisados. Fonte: Acervo pessoal.
Visando mapear os conhecimentos dos sujeitos de nossa pesquisa,
constatamos, ao questioná-los, que eles estudaram o conteúdo de sistemas lineares
utilizando, além do Caderno do Aluno do Estado de São Paulo, a obra indicada
como A conquista da matemática, dos autores José Ruy Giovanni, Benedicto
Castrucci e José Ruy Giovanni Júnior, da editora FTD.
No Currículo do Estado de São Paulo, o objeto matemático sistema linear é
um conteúdo a ser tratado na 7ªsérie/8ºano do Ensino Fundamental. Em especial, o
Livro-1, destinado à 6ªsérie/7ºano, apresenta uma unidade dividida em duas partes,
que trata do objeto matemático sistemas lineares.
Em geral, na exposição teórica desta obra, são explorados os registros
algébrico e da língua natural.
Apresentamos, na tabela 2, a tabulação do tipo de registro presente nos
enunciados dos exercícios propostos e resolvidos, referente à primeira parte que
trata do objeto matemático sistemas lineares presente no Livro-1.
Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos
Algébrico 4 8
Gráfico - -
Língua Natural - 4
Figural - 1 Tabela 3 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Primeira parte. Fonte: Acervo pessoal.
78
Os quatro exercícios resolvidos foram apresentados no registro algébrico,
com resolução envolvendo apenas tratamentos no interior do mesmo. Nos
exercícios propostos, avaliando as conversões indicadas explicitamente nos
enunciados das questões, observamos quatro exercícios propostos no registro da
língua natural com conversão para o registro algébrico e um exercício proposto no
registro figural com conversão para o registro algébrico. A resolução dos oito
exercícios propostos restantes envolvia apenas tratamentos no registro algébrico.
Na segunda parte, são apresentados dois métodos para a resolução de um
sistema de duas equações, o primeiro é o método da substituição e o segundo o
método da comparação. Nessa exposição teórica, os registros presentes são o
algébrico e a língua natural.
A tabela, a seguir, apresenta a tabulação dos registros presentes na segunda
seção:
Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos
Algébrico 4 5
Gráfico - -
Língua Natural 1 8
Figural - - Tabela 4 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Segunda parte. Fonte: Acervo pessoal.
Todos os exercícios resolvidos apresentados no registro algébrico envolveram
tratamentos no interior desse registro, e o exercício resolvido proposto na língua
natural envolveu a conversão para o algébrico.
Dos exercícios propostos, oito indicavam a conversão da língua natural para o
algébrico. Os cinco exercícios propostos no registro algébrico envolviam tratamentos
no interior deste registro.
No final da unidade que trata de sistemas lineares de duas equações e duas
incógnitas, é apresentada uma seção com o título “Retomando o que aprendeu”, a
qual, segundo o Guia dos Livros Didáticos, é uma composição de todos os
conteúdos da unidade. A seção apresenta treze exercícios de múltipla escolha,
sendo oito propostos no registro da língua natural, quatro no registro algébrico e um
no registro figural. Dos trezes exercícios apresentados nessa seção, oito indicavam
a conversão da língua natural para o registro algébrico, os cinco no registro
79
algébrico envolveram tratamentos no interior desse registro e um indicava a
conversão do registro figural para o registro algébrico.
Considerando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-1 sobre o
objeto matemático sistema linear, obteve-se a seguinte tabulação:
Registro Quantidade de exercícios resolvidos e propostos
Algébrico 27
Gráfico -
Língua Natural 21
Figural - Tabela 5 – Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-1. Fonte: Acervo pessoal.
Pode-se notar que o Livro-1 privilegia os registros algébrico e da língua
natural, não inserindo em sua abordagem registros do tipo monofuncional não
discursivo. Tal fato também foi apontado por Battaglioli (2008) em sua análise do
conteúdo de sistemas lineares em obras de ensino médio, a qual apontou que as
conversões tratadas eram, na sua maioria, da língua natural para a representação
algébrica, privilegiando principalmente o registro algébrico.
Observamos que o Livro-1 não indica o uso de recurso computacional para
apoiar a construção do conhecimento do objeto matemático sistemas lineares.
O capítulo sete do Livro-2 tem como título “sistema de equações do primeiro
grau com duas incógnitas” (p. 172). No início desse capítulo são apresentados três
problemas na língua natural. No primeiro problema, é proposta a conversão da
língua natural para o registro figural, conforme se pode observar na figura a seguir:
80
Figura 14 – Problemas na língua natural apresentados no Livro-2. Fonte: (GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. 2009, p. 172).
Os autores mostram que o trabalho com o registro figural não traz economia
de tratamento e, com isso, propõem outra forma de resolução, buscando o registro
algébrico.
Em geral, na exposição teórica do livro 2, os registros mais presentes são o
da língua natural e o algébrico.
Na seção de exercícios sobre sistema de equações, o Livro-2 apresenta nove
exercícios resolvidos, os seis primeiros solicitam que se verifique se um dado par
ordenado (x,y) satisfaz cada uma das equações. Para os três seguintes, é
apresentado um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, relacionado
com o primeiro problema da figura 2, no qual se verifica que, desses três exercícios
com pares ordenados (x,y) apresentados, apenas um é solução do sistema.
A seguir, o Livro-2 apresenta seis exercícios propostos, sendo que o primeiro
solicita, de forma explícita, a conversão do registro da língua natural para o registro
algébrico. Nos cinco exercícios seguintes são apresentados sistemas lineares no
registro algébrico, acompanhados de um par ordenado (x,y), para que se verifique
se ele satisfaz o sistema.
81
Para a resolução de um sistema de duas equações e duas incógnitas, o Livro-
2 apresenta inicialmente o método da substituição. São descritos dois problemas
resolvidos no registro algébrico, e um exercício proposto com oito itens, todos no
registro algébrico. Em seguida é apresentado o método da adição com três
exercícios resolvidos e seis exercícios propostos, todos envolvendo tratamentos no
registro algébrico.
Há no Livro-2 uma seção com o título “Resolvendo problemas” (p. 186), onde
são apresentados, na língua natural, dois exercícios resolvidos, seguidos de treze
exercícios propostos, todos no registro da língua natural, sendo esperado que a
resolução se dê envolvendo conversões da língua natural para o registro algébrico.
Na próxima seção do Livro-2, são apresentados, no registro algébrico, dois
exercícios resolvidos de sistema de equações com coeficientes fracionários,
seguidos de quatro exercícios propostos, sendo dois no registro algébrico,
envolvendo tratamentos no interior desse registro, e dois no registro da língua
natural, envolvendo conversões para o registro algébrico.
Na seção “Retomando o que aprendeu”, encontram-se oito exercícios
propostos de múltipla escolha, sendo cinco no registro da língua natural, envolvendo
a conversão para o registro algébrico, e três no registro algébrico, com resoluções
envolvendo tratamentos neste registro.
Na seção do Livro-2, que trata da resolução de sistemas lineares de duas
equações e duas incógnitas, apresentamos a seguinte tabulação:
Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos
Algébrico 16 19
Gráfico - -
Língua Natural 3 21
Figural - - Tabela 6 – Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro-2. Fonte: Acervo pessoal.
Considerando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-2 sobre o
objeto matemático sistema linear, obteve-se a seguinte tabulação:
82
Registro Quantidade de exercícios resolvidos e propostos
Algébrico 35
Gráfico -
Língua Natural 24
Figural - Tabela 7 – Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-2. Fonte: Acervo pessoal.
No Livro-2, nota-se a predominância do registro algébrico, seguido do da
língua natural. Conjecturamos que o fato de não existir exploração dos registros
gráfico e figural poderá causar prejuízos para o ensino do objeto matemático
sistemas lineares, como foi observado por Pantoja (2008). Em sua pesquisa, os
alunos apresentaram dificuldades em realizar conversões entre registros quando um
deles era não-discursivo.
Com relação ao uso de recursos computacionais, notamos que no Livro-2,
não há menção de uso de software.
O Livro-3 inicia o estudo de equações do primeiro grau com duas incógnitas,
apresentando um exercício resolvido dado na língua natural, envolvendo uma
conversão para o registro algébrico. Nesta situação, encontra-se o sistema linear
2
8
yx
yx. A seguir, ele apresenta uma tabela com os possíveis valores para cada
uma das equações, destacando que apenas para os valores de x igual a cinco e y
igual a três, as duas equações são satisfeitas. Logo em seguida são apresentados
quatro exercícios propostos, sendo o primeiro no registro algébrico, dois na língua
natural e um no registro figural. A proposta é que todos esses exercícios sejam
resolvidos por tentativas com o auxílio de uma tabela.
Dando continuidade ao estudo do objeto matemático sistemas lineares, o
Livro-3 apresenta um exercício resolvido, dado na língua natural, e na sequência o
seguinte sistema linear relacionado a este problema
26
2202
yx
yx, utilizando o
método da substituição para resolvê-lo.
Após o exercício resolvido, o Livro-3 apresenta doze exercícios propostos,
sendo o primeiro no registro algébrico, formado por seis itens, envolvendo apenas
tratamentos no interior desse registro, e onze no registro da língua natural. Desses
onze exercícios, três são de múltipla escolha, e um pede para relacionar quatro itens
83
no registro da língua natural com quatro sistemas no registro algébrico. Os demais
exercícios propostos na língua natural, envolveram conversões desta para o registro
algébrico.
A seguir, o Livro-3 apresenta três exercícios resolvidos, sendo um envolvendo
a conversão do registro da língua natural para o algébrico e os outros dois
envolvendo tratamentos no registro algébrico, e para resolver esses exercícios
indica-se o método da adição. Na sequência são apresentados nove exercícios
propostos, sendo dois no registro algébrico totalizando quatorze itens, todos
envolvendo tratamento no interior desse registro. Há um exercício no registro figural
que envolve a conversão para o registro algébrico, e seis exercícios apresentados
no registro da língua natural, sendo dois de múltipla escolha, onde se espera que a
resolução seja dada por conversão para o registro algébrico.
A partir de nossa análise, obtivemos a seguinte tabulação:
Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos
Algébrico 2 4
Gráfico - -
Língua Natural 3 19
Figural - 2 Tabela 8 – Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro-3. Fonte: Acervo pessoal.
Analisando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-3, sobre o
objeto matemático sistema linear, obteve-se a seguinte tabulação:
Registro Quantidade de exercícios resolvidos e propostos
Algébrico 6
Gráfico -
Língua Natural 22
Figural 2 Tabela 9 – Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-3. Fonte: Acervo pessoal.
Pode-se observar que a quantidade de exercícios no registro da língua natural
é superior à quantidade de exercícios no registro algébrico, mas vale destacar que
no total foram vinte e seis itens representados no registro algébrico. Neste caso,
concluiu-se que esse livro privilegia o registro do tipo multifuncional discursivo e
84
propõe conversões da língua natural para o algébrico. Nota-se que este livro pouco
explora registros não discursivos, uma vez que de um total de trinta exercícios,
apenas dois são propostos no registro figural e nenhum no registro gráfico.
O Livro-3 não indica o uso de recurso computacional como ferramenta de
apoio na construção do conhecimento do objeto matemático sistemas lineares.
O Livro-4 apresenta um exercício resolvido envolvendo quatro tipos de
registros. Primeiro apresenta o enunciado na língua natural e, em seguida, faz a
conversão para o registro algébrico, apresentando o seguinte sistema
32
12
yx
yx.
Em seguida, ele sugere que se façam tentativas para resolver o sistema, com isso
apresentando um registro numérico-tabular, determinando, assim, como solução do
sistema, o par ordenado (9,3). Por fim, é apresentado o registro gráfico do sistema
anterior, destacando o ponto de intersecção entre as duas retas como solução do
sistema proposto, apresentando a seguinte afirmação:
“Quando as retas que representam graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas são concorrentes, dizemos que esse sistema tem uma única solução, que corresponde às coordenadas do ponto em que as retas se cruzam” (SOUZA e PATARO, 2009, p. 142).
Dando continuidade ao estudo de sistemas lineares, o Livro-4 apresenta mais
dois exercícios resolvidos no registro algébrico, sendo o primeiro sistema dado por
2
3
yx
yx . Na sequência é apresentada uma tabela com alguns valores para as
incógnitas x e y, seguida da afirmação de que não é possível determinar valores
para x e y que satisfaçam as duas equações. É apresentado no registro gráfico o
sistema linear anterior formado por duas retas paralelas, acompanhado da seguinte
afirmação:
“Quando as retas que representam graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas são paralelas, dizemos que esse sistema não tem solução.” (SOUZA e PATARO, 2009, p. 142).
O segundo exercício resolvido, apresenta o seguinte sistema linear
422
2
yx
yxe, seguindo as etapas do exemplo anterior, é apresentada a seguinte
afirmação:
85
“Quando as retas que representam graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas são coincidentes, dizemos que esse sistema tem infinitas soluções, que correspondem às coordenadas de cada ponto dessas retas” (SOUZA e PATARO, 2009, p. 142).
Nesta abordagem, nota-se a preocupação de tratar o objeto matemático nos
registros algébrico, numérico-tabular e gráfico, seguindo esta ordem de conversão.
Após os exercícios resolvidos mencionados anteriormente, são apresentados
treze exercícios propostos, sendo três no registro algébrico, um relacionando o
registro da língua natural com o registro algébrico, cinco no registro da língua
natural, dois relacionando o registro algébrico com o registro gráfico, um pedindo a
representação no registro gráfico de sistemas apresentados no registro algébrico, e
outro relacionando a representação no registro gráfico de duas retas concorrentes
com a solução do sistema.
O Livro-4 apresenta na sequência um exercício resolvido na língua natural e
exibe o método da substituição para resolvê-lo. A seguir são apresentados três
sistemas lineares no registro algébrico para expor o método da adição, sendo dois
acompanhados do registro gráfico.
No final da seção do Livro-4, que trata do objeto matemático sistemas
lineares, tem-se quinze exercícios propostos, sendo dois no registro algébrico com
quatro itens cada um, nove na língua natural, dois com a conversão explicita do
enunciado do registro algébrico para o registro gráfico, um no registro figural, e o
último requisitando a elaboração de um problema no registro da língua natural.
A partir de nossa análise, obtivemos a seguinte tabulação:
Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos
Algébrico 3 5
Algébrico e Gráfico 2 6
Língua Natural 2 14
Língua Natural e Algébrico - 2
Figural - 1 Tabela 10 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios do Livro-4. Fonte: Acervo pessoal.
Analisando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-4 sobre o
objeto matemático sistema linear, obtivemos a seguinte tabulação:
86
Registro Quantidade de exercícios resolvidos e propostos
Algébrico 8
Algébrico e Gráfico 8
Língua Natural 16
Língua Natural e Algébrico 2
Figural 1 Tabela 11 – Tipo de registro presente nos exercícios do Livro-4. Fonte: Acervo pessoal.
Desta forma, conclui-se que o Livro-4 aborda o objeto matemático sistema
linear com a preocupação de diversificar os registros e, consequentemente, as
conversões entre eles.
No Livro-4 não há menção de uso de recurso computacional.
Por esta análise, concluímos que os Livros 1 e 2 tratam do conteúdo de
sistemas lineares privilegiando os registros algébrico e da língua natural, com ênfase
no algébrico. O Livro-3 também envolve estes mesmos registros, porém, enfatiza o
registro da língua natural. As conversões presentes nessas três obras normalmente
se dão no sentido da língua natural para o algébrico. A única obra que mostra a
preocupação de explorar registros não discursivos e outros tipos de conversão além
da que parte da língua natural para o registro algébrico é o Livro-4.
Pode-se observar que em nenhuma das obras analisadas em nossa
pesquisa, foi recomendada a utilização de recursos computacionais.
No próximo capítulo apresentaremos a metodologia utilizada para a
elaboração e análise do experimento.
87
4 METODOLOGIA DE PESQUISA
Para a elaboração e análise do experimento, utilizamos a metodologia de
Design Experiment de Cobb et al. (2003), a qual prevê a construção de abordagens
inovadoras sobre determinado domínio, sendo dotada de caráter cíclico, iterativo e
flexível.
Conforme Cobb et al. (2003), Design Experiments é uma metodologia que
visa observar as formas distintivas de aprendizagem e os procedimentos para
ampará-las, não ficando limitada a uma lista de atividades pré-definidas. A aplicação
dessa metodologia está inserida em pesquisas que objetivam analisar as formas de
aprendizagem de um determinado grupo, permitindo a reconstrução e adaptação
durante a aplicação do experimento.
Estão absorvidos nesta metodologia múltiplos aspectos, como a elaboração e
as questões de avaliação do experimento, a sua aplicação, a necessidade de
analisar os dados de forma metódica e a precisão de ser claro em questão das
induções necessárias na aplicação da atividade.
Um dos objetivos do Design Experiment é ampliar conjecturas, e não apenas
melhorar métodos de ensino que já funcionam. Assim, o Design Experiment engloba
a análise e reflexão das tarefas propostas aos alunos, a forma de discurso que eles
apresentam, os arranjos materiais e as ferramentas utilizados na pesquisa e as
formas necessárias para a organização desses elementos.
Essa metodologia pode ser aplicada em diversos tipos de grupos. Como
exemplo, a sua aplicação pode envolver um pesquisador e um grupo pequeno de
alunos, tendo assim o objetivo de criar, em uma menor escala, uma ecologia de
aprendizagem, para que se possa estudar o processo com profundidade e detalhe.
É essa a modalidade selecionada para a presente pesquisa. Outro modo de
manifestação consiste na aplicação de um experimento em um grupo maior, como
uma escola recompondo experiências nas quais os pesquisadores colaboram com
professores, escola, administradores e outros titulares, para dar suporte à mudança
organizacional.
Também é possível aplicar essa metodologia em sala de aula envolvendo
todos os alunos. Neste caso, os pesquisadores colaboram com um professor que
poderá ser um dos integrantes da equipe de pesquisa, para assumir a
responsabilidade pelo direcionamento do experimento. Outro exemplo de
88
manifestação consiste na elaboração e no desenvolvimento de experimentos
envolvendo pretendentes a professores, onde a equipe de pesquisadores auxilia na
organização e analisa a instrução de futuros professores. Por fim, o Design
Experiment pode ser aplicado para o desenvolvimento de estudos com professores
em atividade. Nestes, os pesquisadores colaboram com os professores para dar
suporte a mudanças em uma comunidade profissional.
Independente do modo de manifestação, Cobb et al. (2003) identificaram
cinco pontos presentes em todos os tipos de design. De início, essa metodologia
tem o objetivo de ampliar uma classe de teorias envolvendo o processo de
aprendizagem e os seus significados para os alunos ou grupos maiores, analisando
tanto o enriquecimento de uma ideia matemática, sempre com a meta de dar suporte
à aprendizagem, como também questões relacionadas à prática de ensino. Assim há
a necessidade de uma organização envolvendo vários níveis de análise.
O segundo ponto presente no design é a sua natureza intervencionista, tendo
em vista que tem por objetivo procurar novas formas para uma melhoria
educacional, partindo de concepções iniciais que foram desenvolvidas em pesquisas
anteriores e que são utilizadas para justificar e também para especificar a condição
central e as condições secundárias do experimento, com isso auxiliando o
desenvolvimento de futuras inovações na prática educacional.
O terceiro ponto contido em um design, segundo Cobb et al. (2003), consiste
em dois aspectos, o prospectivo e o reflexivo. Os aspectos prospectivos estão
relacionados à implementação de hipóteses que servirão de amparo para um
processo de aprendizagem que será testado, surgindo assim outras possíveis
maneiras de aprendizagem e o seu desenvolvimento. Nos aspectos reflexivos, são
avaliadas conjecturas que serão analisadas em vários níveis. O experimento inicial é
formado por conjecturas que apoiam uma específica forma de aprendizagem que
será testada. Com a aplicação do experimento, poderão surgir novas conjecturas, as
quais possivelmente fornecerão informações que alterarão o projeto inicial, sempre
visando uma melhoria na aprendizagem.
O quarto ponto característico de um design é a sua forma iterativa e cíclica.
No decorrer do experimento, com o surgimento de novas informações, poderão ser
desenvolvidas novas hipóteses. Essas novas hipóteses serão submetidas ao
experimento, alterando assim a sua forma inicial. Assim, o efeito será um processo
89
iterativo, com novos ciclos e reestruturações durante toda a aplicação do
experimento.
Nessa metodologia, o aluno deixa de ser um sujeito passivo no processo de
aprendizagem, pois o processo não consiste em apenas fornecer informações pré-
determinadas. Durante o design, há uma interação entre o aluno e o pesquisador,
tornando-os sujeitos ativos e participativos do experimento. Sendo assim, haverá a
necessidade de adaptações e de feedbacks constantes para o próximo ciclo de
ensino do experimento.
O último ponto característico de um design é o pragmatismo próprio dessa
metodologia. Algumas teorias são ampliadas durante o experimento, mas essas
teorias são modestas, tanto no que diz respeito à preocupação de um domínio
específico do processo de aprendizagem como também quanto ao valor real de sua
contribuição durante o design.
Para a elaboração de um experimento utilizando a metodologia do Design
Experiment, também é necessário um levantamento bibliográfico das pesquisas
existentes, para que seja possível demarcar os elementos iniciais de construção do
experimento, com o intuito de se elaborar a conjectura inicial do estudo. Ainda,
devem-se levar em consideração as particularidades dos estudantes, tanto no
aspecto intelectual como no aspecto social. Portanto, o design se diferencia da
maioria das metodologias pelo contato direto com os problemas que o aluno pode
deparar durante o percurso do experimento.
Segundo Cobb et al. (2003), é importante esclarecer qual é o objetivo do
estudo a ser realizado e destacar as ideias principais do experimento que
consequentemente formarão os próximos objetivos da pesquisa que serão
destinados à aprendizagem do aluno. Devem-se explicar as particularidades de
novos recursos, como por exemplo, o uso de softwares que podem apoiar a forma
concebida de aprendizagem.
Após especificar as conjecturas e o sentido do objeto de estudo, a nova
empreitada é a elaboração de um experimento que agrupe as conjecturas iniciais
que deverão fazer uma transformação expressiva no raciocínio do aluno e os
métodos particulares de apoio a essa transformação.
De acordo com Cobb et al. (2003), o objetivo principal do design é o
aprimoramento do experimento inicial, revisando e avaliando novas conjecturas que
surgem das notificações dos alunos junto com o espaço de aprendizagem.
90
Uma das particularidades peculiares dessa metodologia é a necessidade de
registros planejados do processo de entrosamento em curso, para realizar uma
análise retrospectiva do experimento. Com isso, podem-se utilizar diversos tipos de
coleta de dados, tais como os registros de áudio, as produções escritas, a captura
de imagens, dentre outras formas de registros.
A análise retrospectiva é um diferencial dessa metodologia, que permite que
os resultados da aprendizagem estejam atrelados ao meio pelo qual esses foram
motivados. Com isso, existem sempre condições para criar conjecturas testáveis
para a melhoria do experimento.
O erro é considerado um elemento primordial para a análise dos dados.
Segundo Karrer (2006):
“A análise dos “erros” dos estudantes deve constituir um fator primordial, uma vez que o professor-pesquisador entenderá melhor o que os estudantes podem fazer se for capaz de analisar o que eles não foram capazes de resolver” (Karrer, 2006, p. 201).
Nessa metodologia, existem dois tipos de interações entre o aluno e o
professor-pesquisador. O primeiro tipo é a interação receptiva, na qual o professor-
pesquisador não estabelece distinção entre o seu conhecimento e o conhecimento
do aluno. Nesse tipo de interação, o professor-pesquisador poderá encontrar
situações não esperadas na condução do experimento.
O segundo tipo de interação é a analítica e, nesse tipo de interação, o
professor-pesquisador, ao observar entendimentos por parte dos alunos que podem
dar suporte a futuras interações, vai direcionando a passagem pela qual o estudante
deverá percorrer para identificar o que deve ser aprendido e o que ocasiona essa
aprendizagem.
Podemos concluir que essa metodologia tem por foco investigar o
entendimento oferecido pelo aluno, e segundo Karrer (2006), o papel do professor é:
“... criar meios de interação que possam encorajar os estudantes a modificar seus pensamentos atuais. Para isso, os alunos devem ser entendidos como seres humanos capazes de oferecer contribuições independentes.” (Karrer, 2006, p. 202).
91
4.1 SUJEITOS
Além do professor-pesquisador, o estudo contou inicialmente com seis
sujeitos, estudantes do nono ano do Ensino Fundamental de uma escola pública, na
faixa etária entre treze e quatorze anos, porém, somente quatro alunos participaram
de todo o processo. No momento da aplicação do experimento, eles já haviam tido
contato com o conteúdo de sistemas lineares por meio de uma abordagem que
privilegiou o registro algébrico e não utilizou recurso computacional. Ainda, eles não
haviam tido contato com abordagens que trataram da análise da proporcionalidade
entre os coeficientes das equações e sua relação com o registro gráfico.
Dado que os sujeitos precisavam ter noções de certos comandos do Winplot,
foi realizada uma atividade de familiarização com esse software, a qual está
presente no apêndice A.
Durante a familiarização, foi utilizado um projetor multimídia em conjunto com
um notebook, para que o professor-pesquisador pudesse trabalhar, em conjunto
com os estudantes, com os principais comandos do software Winplot.
Durante o processo, o professor-pesquisador assumiu o papel de orientador,
interferindo principalmente nos momentos de bloqueio. Ele conduziu o experimento
de forma a propor novos questionamentos e outras situações, para evidenciar os
possíveis avanços dos sujeitos. Estas intervenções foram detalhadas no capítulo 6,
referente à análise da aplicação do experimento.
4.2 MATERIAL E AMBIENTE DE TRABALHO
O experimento foi realizado em um laboratório de informática de uma escola
estadual em horário extraclasse. Foram utilizados três computadores com o software
Winplot instalado. Além dessa ferramenta computacional, foram distribuídas fichas
de atividades aos alunos, as quais foram elaboradas explorando as relações entre
as diversas representações semióticas, tanto no ambiente papel e lápis como no
ambiente computacional utilizando o software Winplot. Para a captura das telas foi
utilizado o software Camtásia.
Com vistas a caracterizar o ambiente de aplicação do experimento,
apresenta-se um panorama da Unidade Escolar (U.E.) na qual foi realizada a nossa
pesquisa. Ela está localizada na região do ABC Paulista, em um bairro situado na
92
região sul da cidade de São Bernardo do Campo, no estado de São Paulo. São
oferecidos os cursos de Ensino Fundamental no período diurno, e de Ensino Médio
nos períodos diurno e noturno.
Essa U.E., se comparada com as demais localizadas no mesmo município, é
considerada nova, com menos de vinte anos de atividade educacional. Um dos
fatores10 primordiais desta U.E. é a preocupação em integrar a comunidade, dado
que sempre procura desenvolver projetos que fortalecem a ligação entre a escola,
os alunos e os membros da comunidade.
Não há grande rotatividade entre os alunos dessa escola, uma vez que a
grande maioria dos que iniciam o sexto ano do Ensino Fundamental, concluem o
último ano do Ensino Médio nessa mesma U.E. O bairro no qual a U.E. se situa é
constituído por um grande número de edifícios residenciais e é muito populoso.
Apresentamos, a seguir, o rendimento dessa U.E. na disciplina de
Matemática, com base nos resultados do SARESP11 2011:
Figura 15 – Média do SARESP 2011 relacionada à escola onde foi realizado o experimento. Fonte: site <http://saresp.fde.sp.gov.br/2011/ConsultaRedeEstadual.aspx?opc=1>
Observamos que essa escola apresenta um resultado referente à disciplina
de Matemática acima da média de outras instâncias da rede estadual de ensino do
estado de São Paulo.
Pode-se notar, na figura a seguir, que grande parte dos alunos está
classificada como “suficiente”, isto é, eles possuem a propriedade ínfima dos
10
Fonte: Plano de Gestão 2010/2013.
11 SARESP: Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.
93
conteúdos, competências e habilidades almejada para a série/ano escolar em que
se encontram.
Figura 16 – Distribuição percentual dos alunos nos níveis de proficiência, relacionada à escola onde foi realizado o experimento. Fonte: site <http://saresp.fde.sp.gov.br/2011/ConsultaRedeEstadual.aspx?opc=1>
4.3 METODOLOGIA DE APLICAÇÃO
Como primeira etapa, foi aplicado um questionário inicial com o intuito de
investigar as concepções prévias dos sujeitos, uma vez que eles já haviam tido
contato com o objeto matemático em questão. Em seguida, foi realizada uma
familiarização com o software Winplot. A partir daí, foram aplicadas as atividades
elaboradas, com o intuito de verificar em que aspectos uma abordagem diferenciada
sobre sistemas lineares favorece a construção desse conhecimento. Foram
avaliadas as compreensões dos sujeitos durante a aplicação do experimento, sendo
que o mesmo foi remodelado e complementado de acordo com as necessidades
apresentadas pelos sujeitos, conforme descrito no capítulo 6.
Teve-se a intenção de investigar em que aspectos essa nova abordagem
influenciaria na compreensão da qualidade de sistemas lineares por meio da análise
das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos coeficientes das
equações.
Durante esta fase de aplicação, foram coletadas as produções orais e escritas
dos sujeitos, bem como as telas das construções com o software. Como apoio para
a coleta de dados, foi utilizado o software Camtasia, que captura as produções orais
e as telas do Winplot durante a execução do experimento. O Camtasia Studio é um
software de captura de tela e edição de vídeos que possibilita criar tutoriais e
apresentações a partir do ambiente de trabalho do Windows.
94
Estavam previstos seis encontros de duas horas cada, porém, com a
necessidade das reformulações, foram necessários mais seis encontros. Estes
ocorreram em horário extraclasse, em um laboratório de informática, com o software
Winplot e o software Camtasia instalados em dois computadores.
No próximo capítulo apresentaremos as etapas que constituíram o
experimento seguido da análise preliminar das atividades.
95
5 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES
Neste capítulo, serão apresentadas as fases do experimento. Na primeira
fase (Fase 1), foi aplicado um questionário preliminar12 com o intuito de mapear os
conhecimentos prévios dos estudantes a respeito de sistemas lineares. Em seguida,
foi realizada uma familiarização com o software Winplot mencionando os comandos
básicos para a realização das atividades do design. Na segunda fase (Fase 2),
foram apresentadas as atividades do design, que integraram o software Winplot.
5.1 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DO QUESTIONÁRIO INICIAL
(FASE 1)
Tarefa 1. O que é:
a) um sistema possível e determinado (SPD): _____________________________
b) um sistema possível e indeterminado (SPI): ____________________________
c) um sistema impossível (SI): ________________________________________
Quadro 7 – Questionário Preliminar – Tarefa 1 Fonte: Acervo pessoal
A tarefa 1 tem por objetivo avaliar o conhecimento do estudante com relação
à classificação de um sistema linear. A resolução envolve o registro da língua
natural. É provável que o estudante encontre certa dificuldade para definir os tipos
de sistemas lineares, uma vez que Freitas (1999) relatou que o uso frequente das
abreviações SPD, SPI e SI pode dificultar a compreensão das classificações de um
sistema linear.
12
O questionário preliminar na estrutura apresentada aos alunos consta no Apêndice B.
96
Tarefa 2. Resolver os sistemas (por substituição ou por adição)
a)
1
52
yx
yx
b)
2334
423
yx
yx
c)
1062
35217
yx
yx
d)
3
233
yx
yx
Quadro 8 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 Fonte: Acervo pessoal
A tarefa 2 tem por objetivo avaliar se o estudante domina algum método de
resolução (substituição ou adição) de sistemas lineares com duas equações e duas
incógnitas. Nos itens a e b, o estudante encontrará uma única solução para cada
sistema. No item c, o estudante encontrará infinitas soluções e, no item d, o sistema
não admite solução. A resolução da tarefa envolve tratamentos no registro
simbólico-algébrico. De acordo com a Proposta Curricular do Estado de São Paulo,
o objeto matemático sistemas lineares deve ser tratado no oitavo ano (antiga sétima
série) do Ensino Fundamental. Como os sujeitos de pesquisa estão no nono ano e
tendo em vista que este tipo de tarefa é usual no ensino de sistemas lineares, é
provável que eles não encontrem dificuldades para a realização da tarefa 2, desde
que já tenham se familiarizado com algum tipo de método para a resolução de
sistemas lineares.
Tarefa 3. Considere, no plano cartesiano, a reta r (na cor azul) e a reta s (na cor
rosa). Cada situação apresenta a representação gráfica de um sistema com duas
equações e duas incógnitas. Associe cada caso com a classificação do sistema e
justifique.
97
( I )
( II )
( III )
98
( ) sistema impossível
Justifique: _________________________________________________________
__________________________________________________________________
( ) sistema possível e determinado
Justifique: _________________________________________________________
__________________________________________________________________
( ) sistema possível e indeterminado
Justifique: _________________________________________________________
__________________________________________________________________
Quadro 9 – Questionário Preliminar – Tarefa 3 Fonte: Acervo pessoal
A tarefa 3 tem por objetivo avaliar se o estudante classifica um sistema linear
com duas equações e duas incógnitas por meio da representação desses sistemas
no registro gráfico. No item I o estudante encontrará a representação gráfica de um
sistema linear possível e determinado, pois as retas r e s são concorrentes,
resultando em uma única solução. No item II o estudante encontrará a
representação de um sistema linear possível e indeterminado, pois há a
representação de duas retas coincidentes, gerando infinitas soluções e, no item III
são representadas duas retas paralelas, sendo assim a representação gráfica de um
sistema linear impossível, uma vez que a solução é vazia. Apesar de o Caderno do
Aluno de Matemática da 7ª série / 8º ano apresentar uma atividade semelhante a
esta, é provável que os estudantes apresentem dificuldades na execução dessa
tarefa, dado que entendemos que apenas uma atividade com este tipo de
exploração não seja suficiente para que ele lide com a relação entre o registro
gráfico e a classificação de um sistema linear.
99
Tarefa 4. Sem resolver os sistemas lineares, associe cada situação gráfica com o
possível sistema correspondente:
( I )
( II )
( III )
100
A ( )
4
1644
yx
yx
Justifique:__________________________________________________________
B ( )
3
1
yx
yx
Justifique:__________________________________________________________
C ( )
12
4
yx
yx
Justifique:__________________________________________________________
Quadro 10 – Questionário Preliminar – Tarefa 4 Fonte: Acervo pessoal
A tarefa 4 tem por objetivo avaliar se o estudante faz uma relação entre os
registros gráfico e algébrico de sistemas lineares de duas equações e duas
incógnitas, sem efetuar a resolução do sistema. No item I o estudante encontrará a
representação gráfica de um sistema impossível. Espera-se que ele associe essa
representação com a representação simbólico-algébrica do item B, por meio da
análise dos coeficientes, uma vez que no enunciado é solicitada a análise sem que
se resolva o sistema proposto. No item II o estudante terá duas retas concorrentes,
isto é, a representação gráfica de um sistema linear possível e determinado, cuja
solução é o ponto de intersecção entre as duas retas. Espera-se que o aluno
relacione essa representação no registro gráfico com a representação algébrica do
item C, analisando os coeficientes das duas equações que formam o sistema,
observando que não há proporcionalidade entre eles. No item III o estudante
encontrará duas retas coincidentes, sendo assim, a representação gráfica de um
sistema linear possível e indeterminado, pois admite infinitas soluções. Espera-se
que o aluno observe a proporção existente entre os coeficientes das duas equações
no item A, que representam a mesma reta no plano cartesiano. É possível que o
estudante apresente dificuldade para realizar essa tarefa, uma vez que este tipo de
relação entre os registros gráfico e simbólico não é usual no ensino de sistemas
lineares, conforme constatamos em nossa revisão de literatura. De fato, Battaglioli
101
(2008) apontou deficiências de exploração do registro gráfico nos livros didáticos, a
nossa análise do Caderno do Aluno e dos livros didáticos apontou a inexistência
deste tipo de exploração e Freitas (1999) relatou que seus sujeitos de pesquisa não
associavam as características dos gráficos com os conceitos relacionados aos
coeficientes que compunham o sistema. Segundo a pesquisadora:
“O que se observou na pesquisa é que o aluno não recorre aos conceitos de coeficiente angular e linear, isto é, não observa as características dos gráficos: crescente ou decrescente, passa ou não pela origem. O aluno não discrimina essa variáveis pertinentes e não percebe as variações correspondentes na escrita algébrica: coeficiente angular positivo (a da reta
baxy ) implica em reta crescente e coeficiente angular negativo
implica em reta decrescente, ou ainda, 0b passa pela origem e
0b não passa”. (FREITAS, 1999, p. 73).
Freitas (1999), concluiu em sua pesquisa que: “... o aluno, em geral, não é
capaz de identificar retas (representadas pelos respectivos gráficos), dadas as suas
equações.” p. 65.
Tarefa 5. Dado o sistema
105
422
yax
yx, (com 0, aa ). Se a for igual a 5, sem
resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por
( I )
102
( ) Justifique: _____________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Quadro 11 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 Fonte: Acervo pessoal
A tarefa 5 tem por objetivo avaliar se o estudante investiga a existência ou
não de proporcionalidade entre os coeficientes e entre os termos independentes das
equações que compõem o sistema linear, estabelecendo relações entre os registros
algébrico e gráfico. É apresentado um sistema linear no qual se tem um parâmetro a
acompanhando a incógnita x na segunda equação, e é sugerido o valor cinco para
este parâmetro. Espera-se que o aluno compare as duas equações e note a
proporcionalidade existente entre elas, verificando que as duas geram a mesma
( II )
( III )
103
reta. Com isso, a representação gráfica (I), que possui um par de retas coincidentes,
é a alternativa correta.
Tarefa 6. Dado o sistema
105
422
yax
yx, (com 0, aa ). Se a for diferente de 5,
sem resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por:
( ) Justifique: _____________________________________________________
Quadro 12 – Questionário Preliminar – Tarefa 6 Fonte: Acervo pessoal
( I )
( II )
( III )
104
A tarefa 6 tem por objetivo avaliar se o estudante investiga a existência ou
não de proporcionalidade entre os coeficientes e entre os termos independentes das
equações que compõem o sistema linear, relacionando os registros algébrico e
gráfico. É apresentado o mesmo sistema linear da tarefa anterior, mas nessa
situação é sugerido para o parâmetro a um valor diferente de cinco. Espera-se que o
aluno compare as duas equações e note que, para qualquer valor diferente de cinco
atribuído ao parâmetro a, não haverá proporcionalidade entre os coeficientes das
equações do sistema. Com isso o aluno poderá verificar que esse sistema de
equações tem solução única e é representado por duas retas concorrentes, sendo
esta situação apresentada no item (III).
Tarefa 7. Dado o sistema
byx
yx
55
422, (com 0, bb ). Se b for igual a 7, sem
resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por:
( I )
( II )
105
( ) Justifique: _____________________________________________________
__________________________________________________________________
Quadro 13 – Questionário Preliminar – Tarefa 7 Fonte: Acervo pessoal
A tarefa 7 tem por objetivo propor o mesmo tipo de análise, porém neste caso
é apresentado um sistema linear no qual se tem um parâmetro b no termo
independente da segunda equação, sendo sugerido o valor sete para este
parâmetro. Espera-se que o aluno compare as duas equações e note a
proporcionalidade existente entre os coeficientes das incógnitas x e y, observando
que isso não ocorre entre seus termos independentes. Com isso o aluno poderá
concluir que se trata de um sistema impossível, sendo assim, tais retas são
paralelas, o que pode ser associado à representação do sistema do item (II).
É provável que o estudante demonstre dificuldade para realizar as tarefas 5, 6
e 7, conforme constatado na pesquisa de Freitas (1999). Segundo a pesquisadora é
possível que os alunos tenham tido contato com sistemas lineares com parâmetros
explícitos de forma escassa, dificultando assim a sua compreensão. Nas questões
que exigiam a associação entre uma reta e uma equação, a pesquisadora observou
que os alunos buscaram resolver essas questões atribuindo valores às variáveis.
Esse procedimento, segundo a pesquisadora, não trouxe benefícios, uma vez que,
após a análise a posteriori, foi constatado que o índice de acertos foi
significativamente baixo.
Freitas (1999) também destacou em sua pesquisa que os alunos não
compreendiam o objetivo de um parâmetro tanto nas soluções quanto nos
enunciados de sistemas lineares. Com isso Freitas (1999) adverte que: “Isso mostra
( III )
106
a pouca importância que o ensino dá à mudança de quadros e à compreensão dos
resultados obtidos, já que isso é feito via técnica decorada.” (p. 69).
Tarefa 8. Determine a representação gráfica de cada sistema linear
a)
20129
543
yx
yx
b)
22
7
yx
yx
c)
242010
12105
yx
yx
Quadro 14 – Questionário Preliminar – Tarefa 8 Fonte: Acervo pessoal
A tarefa 8 tem por objetivo verificar se o estudante realiza a resolução
algébrica de três sistemas lineares, sendo cada um composto por duas equações e
duas incógnitas e represente cada situação graficamente. Para isso, espera-se que
ele aplique qualquer um dos métodos de resolução, estabelecendo a conversão do
registro algébrico para o gráfico. No primeiro item, o estudante encontrará um
sistema impossível, pois há a proporcionalidade entre os coeficientes do primeiro
membro das equações, mas essa proporcionalidade não existe entre os termos
independentes. Com isso espera-se que o estudante, após aplicar algum método de
resolução já estudado nas séries anteriores, encontre uma sentença falsa como, por
exemplo, 10 , e assim apresente uma construção gráfica semelhante à exposta a
seguir:
107
Figura 17 – Resolução esperada – Tarefa 8a Fonte: Acervo pessoal
No segundo item é apresentado ao estudante um sistema linear possível e
determinado. Espera-se que o aluno aplique qualquer método para a sua resolução
e encontre como conjunto solução 4,3S , sendo este par o ponto de intersecção
entre as duas retas que compõem o sistema. A representação gráfica esperada é
apresentada a seguir.
Figura 18 – Resolução esperada - Tarefa 8b Fonte: Acervo pessoal
108
No terceiro item o estudante encontrará um sistema linear possível e
indeterminado, uma vez que os coeficientes das incógnitas x e y e os termos
independentes das duas equações que compõem o sistema são proporcionais.
Espera-se que o aluno construa uma representação gráfica semelhante à
apresentada a seguir.
Figura 19 – Resolução esperada – Tarefa 8c Fonte: Acervo pessoal
É presumível que o estudante se depare com problemas para a construção
gráfica solicitada. Isto porque, segundo Freitas (1999), grande parte de seus sujeitos
resolveram os sistemas lineares, mas não conseguiram relacioná-los com suas
respectivas representações gráficas. Segundo a pesquisadora, isso pode ter
ocorrido devido à predominância que o registro algébrico tem no ensino do objeto
matemático sistemas lineares e pelo fato de os livros didáticos analisados em sua
pesquisa darem um enfoque muito superficial ao registro gráfico. De fato, Duval
(1995) relata que normalmente os registros monofuncionais discursivos são os
privilegiados, acarretando nos estudantes dificuldades em reconhecer o objeto
matemático em outros registros.
109
Tarefa 9. Resolva o seguinte problema:
André e Júlia foram a uma lanchonete. André comeu dois mistos, tomou um
refrigerante e gastou R$6,60. Júlia comeu um misto e também tomou um
refrigerante, gastando R$4,10. Qual o preço do misto e do refrigerante nessa
lanchonete?
Quadro 15 – Questionário Preliminar – Tarefa 9 Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2011, p.36
A tarefa 9 contém um problema do Caderno do Aluno da 7ª série / 8º ano do
Ensino Fundamental desenvolvido pela Secretaria da Educação do Estado de São
Paulo e tem por objetivo avaliar se o estudante realiza a conversão do registro da
língua natural para o simbólico-algébrico, obtendo o seguinte sistema linear:
10,411
60,612
RM
RM, sendo M o preço do misto e R o preço do refrigerante. Espera-se
que o estudante resolva o sistema linear pelo método que julgar mais conveniente,
que verifique que o mesmo é um sistema possível e determinado e encontre que os
preços do misto e do refrigerante são, respectivamente, R$2,50 e R$1,60.
É provável que o estudante não encontre dificuldades para a realização da
atividade, pois o mesmo já teve contato com esse tipo de tarefa no ano anterior,
segundo análise do Caderno do Aluno. Ainda, de acordo com Battaglioli (2008), no
conteúdo de sistemas lineares, a maior parte dos livros didáticos trata da conversão
do registro da língua natural para o registro algébrico e, conforme Freitas (1999), o
estudante normalmente não apresenta dificuldades para a aplicação de algum
método de resolução de um sistema linear, desde que já tenha tido contato com
esse tópico. Ressalta-se também que Pantoja (2008) constatou que seus sujeitos
conseguiam realizar a conversão da língua natural para o registro algébrico sem
grandes dificuldades.
Tarefa 10. Dado o sistema linear
3
662
yx
yx, crie um problema na língua natural
relacionado a esse sistema.
Quadro 16 – Questionário Preliminar – Tarefa 9 Fonte: Acervo pessoal
110
A tarefa 10 tem por objetivo avaliar se o estudante elabora um problema na
língua natural que satisfaça as condições impostas pelo sistema apresentado,
realizando uma conversão do registro algébrico para o da língua natural. De acordo
com a pesquisa de Battaglioli (2008), é provável que o estudante demonstre
dificuldade para a realização desta tarefa, uma vez que ela identificou que os livros
didáticos avaliados tratavam de conversões da língua natural para o registro
algébrico, mas não da conversão contrária. Em sua pesquisa, que incluiu a análise
de três livros didáticos, foi detectado que apenas um realizava a conversão do
algébrico para a língua natural. Ainda, segundo Duval (2009) pode ocorrer o
“fenômeno da heterogeneidade da congruência”, fato que leva o estudante a não ter
o mesmo tipo de desempenho nos dois sentidos de conversão.
Após a realização deste questionário inicial, os alunos participaram de uma
familiarização com o software Winplot. O roteiro dessa familiarização é apresentado
no apêndice A.
5.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES DO DESIGN
(FASE 2)
As atividades13 seguintes representam o desenho inicial do experimento,
planejado de acordo com as evidências da literatura e com o desempenho esperado
dos estudantes a partir de seus conhecimentos prévios. Dada a característica da
metodologia adotada, estas atividades foram remodeladas ou complementadas, uma
vez que o objetivo maior foi flexibilizar o estudo de acordo com as produções dos
estudantes. Essas alterações serão expostas no capítulo 6, quando do relato da
aplicação do experimento. As tarefas foram concebidas em dois ambientes, no
software Winplot e no papel e lápis, sendo que no ambiente computacional
normalmente eram estabelecidas as investigações experimentais. Desta forma, as
representações semióticas foram exploradas em dois sistemas de produção. São
apresentadas, a seguir, as tarefas da primeira atividade.
13
As atividades, na estrutura apresentada aos estudantes, constam nos apêndices C, D, E e F.
111
ATIVIDADE 1 – ANÁLISE DO CASO SPI – PARTE 1
Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
ayx
yx 3. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 1 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas
respectivas equações. Vá em “animação” (anim) e selecione “parâmetros A-W”.
Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? ______________________
Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
byx
yx 7 para que se
obtenham duas retas coincidentes? _____________________________________
Agora resolva o exercício no Winplot e compare com sua resposta. O que
observou? _______________________________________
Tarefa 2. Agora construa no papel a representação gráfica do sistema linear
4
4
yx
yx. Faça o mesmo no Winplot e compare as duas resoluções. Em seguida,
justifique porque as retas obtidas são coincidentes.
Tarefa 3. Complete as tabelas com valores de x e y que satisfazem cada equação.
Equação 1: 4 yx
x -3 0 1
y
1 0
Equação 2: 4 yx
x 4 3
y 7 4 3
Tarefa 4. Nos casos vistos nas tarefas anteriores, o sistema possui quantas
soluções? Neste caso, qual a classificação desse sistema?
Quadro 17 – Apresentação da Atividade 1 do Design Fonte: Acervo pessoal
112
A tarefa 1 tem por objetivo que o estudante observe, experimentalmente no
software, que um sistema de duas equações com duas incógnitas resulta
graficamente em duas retas coincidentes se as equações forem iguais. Para a
resolução desta tarefa, é necessário estabelecer relações entre os registros
algébrico e gráfico.
Na tarefa 2, pretende-se observar se o estudante constrói a representação
gráfica do sistema linear proposto no ambiente papel e lápis, e se justifica o
resultado gráfico encontrado.
Nas tarefas 3 e 4, pretende-se que o estudante relacione a classificação do
sistema linear com os resultados obtidos nas representações algébrica e gráfica.
Espera-se que ele associe essa situação com a classificação "Sistema Possível e
Indeterminado".
ATIVIDADE 2 – ANÁLISE DO CASO SPI – PARTE 2
Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
422
66
yx
ayx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 2 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? _____________________
Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
933
1515
yx
byx para
que se obtenham duas retas coincidentes?________________________________
Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que
observou? __________________________________________________________
Tarefa 2. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
ayx
yx
64
632. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 3 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? _____________________
113
Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
byx
yx
159
153 para que
se obtenham duas retas coincidentes? ______________________________
Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que
observou?_________________________________________________________
Tarefa 3. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
24126
84
yx
yax. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 4 do Winplot. Na tela são dadas duas retas concorrentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? ______________________
Tarefa 4. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
2420
625
ayx
yx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 5 do Winplot. Na tela são dadas duas retas concorrentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? ____________________
Tarefa 5. Sem usar o Winplot, construa, no plano, a representação gráfica do
sistema linear
2488
622
yx
yx. Agora faça a mesma construção no Winplot e compare
os resultados. O que observou? ________________________________________
Tarefa 6. Resolva no papel o sistema linear da tarefa 5:
2488
622
yx
yx. Como você
justificaria que este sistema possui infinitas soluções? Como você classificaria esse
sistema? ___________________________________________________________
Desta forma, podemos afirmar que a representação gráfica de um sistema linear
com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema possível e
indeterminado, será ______________________________________________.
Um sistema possível e indeterminado, tem ________________________ soluções.
114
Tarefa 7. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine o valor de “a”
para que ele admita infinitas soluções, ou seja, para que ele seja um sistema
possível e indeterminado.
a)
633 yx
ayx b)
ayx
yx
104
852 c)
301515
105
yx
yax d)
643
126
yx
ayx
e)
4221
1477
yax
yx f)
93
1856
ayx
yx g)
357
1032
ayx
yx h)
306
1042
ayx
yx
__________________________________________________________________
Se você construísse a representação gráfica de cada sistema para o valor de "a"
indicado, o que você encontraria?_______________________________________
Tarefa 8. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que
o gráfico da solução do sistema linear
feydx
cbyax (com a,b,c,d,e e f não nulos)
seja representado por duas retas coincidentes, ou seja, para que ele admita
infinitas soluções.__________________________________________
Tarefa 9. Abra o arquivo 6 do Winplot. É dada a representação gráfica de um
sistema do tipo
033 yx
ayx. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”.
Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? _____________________
Quadro 18 – Apresentação da Atividade 2 do Design Fonte: Acervo pessoal
As tarefas que compõem a atividade 2 têm por objetivo geral explorar as
condições necessárias para que duas retas sejam coincidentes, solicitando do aluno
a comparação do registro algébrico com o registro gráfico dos sistemas envolvidos.
Espera-se que o estudante relacione os coeficientes e os termos independentes de
um sistema de duas equações e duas incógnitas, verificando experimentalmente,
com o auxílio do software Winplot, que para obter retas coincidentes é necessário
existir uma proporcionalidade entre os coeficientes e os termos independentes das
equações que formam o sistema linear. Espera-se ainda que o estudante relacione a
115
representação gráfica de duas retas coincidentes com a obtenção de infinitas
soluções e que classifique estes casos como sistemas possíveis e indeterminados.
Na tarefa 1 o aluno observará um sistema com duas equações e duas
incógnitas, no qual os coeficientes das incógnitas x e y são iguais. A primeira
equação é igualada a 4 e a segunda tem como valor independente o parâmetro "a".
Após a análise com o software, espera-se que o aluno verifique que a proporção
existente entre os coeficientes das equações também deve existir entre os termos
independentes para que as retas se tornem coincidentes. Com isso o aluno poderá
conjecturar que o mesmo deverá ocorrer na segunda parte da tarefa 1, onde é
apresentado um novo sistema de equações com as mesmas características do
primeiro sistema.
Na tarefa 2, apesar de semelhante à tarefa 1, pretende-se que o aluno lide
com um sistema em que, em cada equação, os coeficientes de x e y são diferentes.
Com o auxílio do software, espera-se que o aluno observe que, para duas retas
serem coincidentes, deve existir proporção entre os coeficientes de x e y e entre os
termos independentes das duas equações. Nessas condições, espera-se que o
aluno conjecture que para a resolução da segunda parte da tarefa 2, as condições
observadas na primeira parte da tarefa se mantêm.
Nas tarefas 3 e 4, são apresentados sistemas com duas equações e duas
incógnitas, sendo que o parâmetro "a" passa a ser o coeficiente da incógnita x ou de
y. Com assistência do software, espera-se que o aluno observe que neste caso
também é necessária a manutenção da proporcionalidade observada nas tarefas
anteriores para obter duas retas coincidentes.
Na resolução da tarefa 5, solicita-se ao aluno que determine, no ambiente
papel e lápis, a representação gráfica do sistema linear dado no registro algébrico.
Espera-se que ele construa duas retas e observe que elas são coincidentes. Na
tarefa 6, pede-se para que o estudante resolva o sistema e que justifique a
existência de infinitas soluções. Espera-se também que ele associe este caso à
classificação de "Sistema Possível e Indeterminado".
Após a realização dessa atividade, espera-se que o aluno conclua que,
havendo a proporcionalidade entre os coeficientes e os termos independentes de
duas equações que formam um sistema linear, a sua representação no registro
116
gráfico é um par de retas coincidentes. Após a realização das tarefas anteriores,
pretende-se verificar se estas foram suficientes para atingir esse objetivo.
Desta forma, na tarefa 7, solicita-se a determinação do valor do parâmetro "a"
presente em todos os sistemas lineares apresentados no registro algébrico, para a
obtenção de um sistema possível e indeterminado. Ainda, pretende-se observar se o
estudante concluiu que, para estes casos, haverá a proporcionalidade entre os
coeficientes e os termos independentes. Esta tarefa será realizada somente no
ambiente papel e lápis.
Na tarefa 8, pretende-se observar se o aluno estabelece uma generalização
da situação estudada, afirmando que, para que o gráfico de
feydx
cbyax (com
a,b,c,d,e e f não nulos) seja representado por duas retas coincidentes,deve-se ter
f
c
e
b
d
a .
Com o auxílio do software Winplot, espera-se que na tarefa 9, o aluno
observe que, havendo proporcionalidade entre os coeficientes de x e entre os
coeficientes de y, quando o termo independente de uma das equação é nulo, é
necessário que o valor do parâmetro "a" também seja nulo para obter duas retas
coincidentes.
ATIVIDADE 3 – ANÁLISE DO CASO SI
Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
433
66
yx
ayx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem paralelas distintas.
Que valores de “a” satisfazem essa situação? ____________________
Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
byx
yx 1244 para que
se obtenham duas retas paralelas distintas?_______________________________
Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que
observou? ________________________________________
117
Tarefa 2. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
16128
32
yx
ayx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros”. Altere o valor
de “a” de modo que as retas fiquem paralelas distintas.
Que valores de “a” satisfazem essa situação? _____________________________
Tarefa 3. Agora construa no papel a representação gráfica do sistema linear
888
622
yx
yx. Faça o mesmo no Winplot e compare as duas construções. O que
observou? _________________________________________________________
Tarefa 4. Complete as tabelas com valores de x e y que satisfazem cada equação.
Equação 1: 622 yx
x -3 0 1
y 1 0
Equação 2: 888 yx
x 2
3
y
6
3
2
Tarefa 5. Resolva o sistema da tarefa anterior. O que você observou? Qual é a
solução desse sistema? Como ele é classificado?___________________________
Desta forma, podemos afirmar que a representação gráfica de um sistema linear
com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema impossível, será
_________________________________________.
A quantidade de soluções de um sistema impossível é _____________________.
118
Isto porque retas paralelas não possuem ponto comum.
Tarefa 6. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine para que
valores de “a” ele será um sistema impossível.
a)
633 yx
ayx b)
ayx
yx
104
852 c)
ayx
yx
126
1042
Qual seria a representação gráfica desses sistemas?________________________
Tarefa 7. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que
o gráfico da solução do sistema linear
feydx
cbyax (com a,b,c,d,e e f não nulos)
seja representado por duas retas paralelas distintas, ou seja, para que o sistema
seja impossível.
Tarefa 8. Dado o sistema
055 yx
ayx, construa as retas de cada equação no
Winplot e determine para que valores de “a” obteremos um sistema impossível.
__________________________________________________________________
Quadro 19 – Apresentação da Atividade 3 do Design Fonte: Acervo pessoal
A atividade 3 é composta por tarefas que possuem como objetivo geral
fornecer um ambiente favorável para detectar as condições necessárias para que a
representação no registro gráfico de um sistema linear, composto por duas
equações e duas incógnitas e apresentado no registro algébrico, seja a
representação de duas retas paralelas. Ainda, pretende-se que esta atividade
forneça ao estudante o estabelecimento da relação entre a obtenção de retas
paralelas e a inexistência de solução, classificando estes casos como "Sistemas
Impossíveis". Para isso, espera-se que o aluno, com o auxílio do software Winplot,
verifique que, para obter duas retas paralelas, é necessário que exista uma
proporção entre os coeficientes das incógnitas x e y presentes no primeiro membro
da equação, mas não entre os termos independentes das respectivas equações.
Na primeira parte da tarefa 1, é apresentado o sistema
ayx
yx
66
433, para que
o estudante explore no Winplot os possíveis valores do parâmetro "a". Espera-se
119
que ele observe que para qualquer valor de a ≠ 8, as retas serão paralelas distintas.
Após a realização da primeira parte da tarefa 1, espera-se que o aluno conjecture
que o mesmo deverá ocorrer na segunda parte da tarefa, pois é apresentado um
segundo sistema de equações com as mesmas características do primeiro sistema.
A tarefa 2 possui o mesmo objetivo proposto na tarefa apresentada
anteriormente. Elas diferenciam-se apenas pelo fato de o parâmetro a estar no
termo independente da primeira equação e pelos coeficientes de x e y serem
diferentes numa mesma equação. Sendo assim, espera-se que o aluno perceba que
a relação verificada na tarefa 1 também é válida na tarefa 2, ou seja, deve existir
uma proporcionalidade entre os coeficientes das incógnitas, mas não entre os
termos independentes.
A tarefa 3 deverá ser realizada no ambiente papel e lápis. Espera-se que o
aluno apresente a representação no registro gráfico do sistema linear
888
622
yx
yx,
observando que ele gera duas retas paralelas. Ainda, espera-se que ele justifique tal
fato avaliando a proporcionalidade entre os coeficientes e a não existência da
proporcionalidade entre os termos independentes.
Na tarefa 4, pretende-se que o aluno resolva este sistema no ambiente papel
e lápis e estabeleça a relação entre o resultado obtido e a representação gráfica.
Pretende-se também que ele identifique tal caso como um sistema impossível e que
observe que seu conjunto solução é vazio.
Na tarefa 5, é proposto ao aluno determinar o valor do parâmetro a nos
sistemas lineares apresentados no registro algébrico, para que se obtenha um
sistema impossível. Nesta situação, pretende-se que o aluno associe a análise do
parâmetro "a" com a classificação do sistema e com a representação gráfica de
retas paralelas. Para realizar essa tarefa, o aluno irá utilizar o ambiente papel e
lápis.
Espera-se na tarefa 6, que o aluno realize uma generalização. Pretende-se
observar se ele estabelece que, para que o gráfico do sistema linear
feydx
cbyax
(com a,b,c,d,e e f não nulos) seja representado por duas retas paralelas, deve-se ter
que f
c
e
b
d
a .
120
Com o auxílio do software Winplot, espera-se que o aluno experimentalmente
realize a tarefa 7. Após observar a proporcionalidade existente entre os coeficientes
no primeiro membro das equações que formam o sistema, e que o termo
independente de uma das equações é nulo, o aluno deverá concluir que é
necessário que o valor do parâmetro "a" seja diferente de zero para obter um
sistema impossível.
ATIVIDADE 4 – ANÁLISE DO CASO SPD
Abra o software Winplot e construa um sistema linear de duas equações e duas
incógnitas que gere duas retas concorrentes. Explique como pensou para fazer
esta construção.
Neste caso, quantas soluções tem este sistema? Qual é a sua classificação?
__________________________________________________________________
Quadro 20 – Apresentação da Atividade 4 do Design Fonte: Acervo pessoal
Nesta atividade, espera-se que o estudante construa duas retas utilizando um
pensamento de exclusão, ou seja, que observe que o sistema
feydx
cbyax (com
a,b,c,d,e e f não nulos) gerará duas retas concorrentes quando e
b
d
a . Além disso,
espera-se que o aluno observe a existência de apenas uma solução, classificando
tal sistema em "Sistema Possível e Determinado".
Passaremos agora para o capítulo 6, onde apresentaremos os resultados
obtidos durante a aplicação do experimento.
121
6 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO
Este capítulo contém a descrição dos resultados da aplicação do
experimento. Primeiramente apresentamos as produções dos estudantes na Fase 1,
relativa ao questionário preliminar. Esta fase apontou para a necessidade de uma
revisão dos tópicos considerados como pré-requisitos para o desenvolvimento do
experimento. Em seguida, descrevemos a Fase 2, detalhando as análises das
atividades do experimento e as reformulações que se mostraram necessárias
durante o processo.
6.1 DESCRIÇÃO DA FASE 1
Nesta seção, são apresentadas e analisadas as produções dos estudantes no
questionário preliminar. Ainda, é descrito o primeiro redesign realizado em função
das dificuldades evidenciadas.
Os sujeitos participantes desse estudo pertenciam a uma escola estadual da
rede pública de ensino da cidade de São Bernardo do Campo, no estado de São
Paulo. A escolha desta escola ocorreu pelo fato de o professor-pesquisador lecionar
as disciplinas de Matemática e Física aos alunos do Ensino Médio da mesma,
facilitando assim o contato com os sujeitos que participaram da pesquisa.
Foi solicitada a colaboração do professor de Matemática das turmas do nono
ano (antiga oitava série) do Ensino Fundamental para divulgar o presente estudo.
Este professor possuía quatro turmas de nono ano com aproximadamente quarenta
alunos em cada e, destes, dez manifestaram interesse em participar do experimento.
Aos alunos que manifestaram interesse, foi apresentada a necessidade de
disponibilidade para comparecer no contraturno das suas aulas regulares,
estabelecendo os dias e horários de realização do experimento. Com isso, naquele
momento, seis estudantes se comprometeram com a pesquisa e,
consequentemente, foi possível formar três duplas para o desenvolvimento do
experimento.
Partindo disso, o professor-pesquisador recorreu novamente ao professor da
turma com o intuito de obter informações sobre seus sujeitos. Segundo o professor
colaborador, havia um aluno que demonstrava facilidades no componente curricular
Matemática, dois alunos medianos que apresentavam algumas dificuldades
122
relacionadas à organização de ideias, mas com rendimentos satisfatórios e, por fim,
três alunos que demonstravam muita dificuldade, sendo que dois deles já estavam
cursando o nono ano do Ensino Fundamental pela segunda vez. Apesar do
rendimento insatisfatório, o professor colaborador destacou que esses alunos
demonstravam interesse em sala de aula. Com isso, os sujeitos voluntários
possuíam diferentes habilidades, o que possibilitou um estudo com características
próximas da realidade encontrada em sala de aula.
Dado que os alunos eram menores de idade, o professor-pesquisador entrou
em contato com seus responsáveis para marcar uma reunião para esclarecer
possíveis dúvidas. Nessa reunião, o professor-pesquisador informou sobre a
importância da participação dos sujeitos no experimento, esclarecendo o diferencial
do mesmo em relação a uma aula tradicional, uma vez que haveria a utilização de
recursos computacionais para o ensino do objeto matemático sistemas lineares.
Durante a reunião também foi apresentado o “Termo de Consentimento Livre e
Esclarecido”, autorizando os sujeitos a participarem como voluntários desta
pesquisa. O modelo do “Termo de Consentimento Livre e Esclarecido” é
apresentado no apêndice G.
Os encontros para a realização do experimento ocorreram duas vezes por
semana no laboratório de informática, com duração de duas horas cada, na unidade
escolar em que os sujeitos eram alunos regulares. Além de a escola dispor do
ambiente físico necessário para o desenvolvimento do experimento, os estudantes
residiam próximo à unidade escolar, facilitando assim sua locomoção.
O laboratório de informática possuía vinte e sete computadores com a
configuração necessária para a utilização do software Winplot e do software
Camtásia, além de contar com um aluno monitor que participava do Programa
Acessa Escola14, que colaborou com o professor-pesquisador na instalação e na
realização dos testes necessários nos computadores e nos softwares mencionados
anteriormente.
14
O Programa Acessa Escola é um programa desenvolvido pela Secretaria de Estado da Educação do Estado de São Paulo, coordenado pela Fundação para o Desenvolvimento da Educação (FDE). Fonte: <http://acessaescola.fde.sp.gov.br/Public/Conteudo.aspx?idmenu=11>. Acesso em 09/03/2012
123
Figura 20 – Laboratório de Informática utilizado para a realização do experimento. Fonte: Acervo pessoal
No primeiro encontro, o professor-pesquisador agradeceu a presença de
todos os sujeitos, destacando a importância da participação de cada um no
experimento. Este primeiro encontro foi realizado em uma sala de aula que estava
vaga no período da tarde, e neste momento foi aplicado um Questionário
Preliminar15. O professor-pesquisador esclareceu aos sujeitos envolvidos na
pesquisa, que esse questionário tinha por objetivo investigar as concepções prévias
que eles possuíam relacionadas ao objeto matemático sistemas lineares e solicitou a
inclusão de justificativas escritas nas questões.
O questionário preliminar, que foi aplicado de forma individual, possuía nove
fichas contendo as dez tarefas que compunham esse instrumento. Ao término de
cada ficha, esta era recolhida pelo professor-pesquisador. Só assim o aluno recebia
a ficha seguinte. Adotamos esse procedimento para a entrega das fichas,
acreditando que, se apresentássemos todas elas de uma única vez, isso poderia
trazer interferências nas resoluções dos sujeitos.
15
O Questionário Preliminar consta no apêndice B.
124
Apresentamos a seguir alguns resultados provenientes da análise do
Questionário Preliminar.
Essa aplicação ocorreu individualmente e sem consulta e, com o intuito de
facilitar a leitura, classificamos os sujeitos participantes como Aluno A, Aluno B,
Aluno C, Aluno D, Aluno E e Aluno F.
Todos os alunos demonstraram dificuldades em definir as classificações de
um sistema linear, conforme pode ser observado na análise das produções escritas
dos estudantes apresentadas no quadro seguinte.
Aluno SPD SPI SI
A
"SPD é a equação onde se é possivel (sic) obter resultados e com x e y já definidos"
“SPI é a equação onde se é possivel (sic) obter resultados e com x e y indefinidos”
“SI é a equação onde se é impossivel (sic) obter resultado equivalente”
B
“É um sistema possivel (sic) defazer (sic) qualquer coisa, seja qual for o problema ele pode ser feito ele é capacitado para poder projetar ou fazer alguma coisa”
“Ele pode ser feito de uma maneira, mais (sic) não ter (sic) tanta certeza de que ele possa realizar, depende”
“que não pode ser realizado de forma alguma, mesmo que tente não consegue porque é impossivel (sic) realizalo (sic) não há solução. para produzilo (sic)”
C
“é um sistema que é mais facio (sic) determinar se as duas letrinhas estiver (sic) com o número”
“é um jeito mais complicado de fazer se não montar a conta”
“é um sistema que não tiver a letra x e y com o resoltado (sic), para montar a conta”
D
“É um sistema possivel (sic) de ser resolvido e com uma determinada conta”
“Não sei” “Um sistema impossivel (sic), é um sistema que é impossivel (sic) de ser resolvido”
E
“É um sistema que você possa fazer com que de um resultado perto ou um resultado exato”
“Um sistema que não vem com tudo no óbvio, ele só mostra algumas coisas”
“É um sistema que você nunca vai resolver só o criador do sistema consegue resolvelo (sic) ou utiliza-lo (sic)”
F
“e quando um problema pode ser resolvido e seu resultado é exato”
“é quando um problema pode ser resolvido mas não tem um total exato”
“é quando um problema não pode ser resolvido e em sequencia (sic) não tem resultado (não é certeza)”
Quadro 21 – Questionário Preliminar – Tarefa 1 – Produção de todos os alunos Fonte: Acervo pessoal
125
A seguir, apresentamos as análises dessas produções e os questionamentos
realizados pelo professor-pesquisador.
Com relação ao Aluno A, quando o professor-pesquisador o questionou a
respeito da produção fornecida, ele relatou: “eu não sabia o que era” e informou que
não havia visto o objeto matemático sistemas lineares no ano anterior, sendo assim,
segundo este aluno, a sua produção, descrita no quadro anterior, foi fornecida para
não deixar o questionamento sem resposta.
O professor-pesquisador realizou uma entrevista com o Aluno B que forneceu
para investigar sua compreensão a respeito da classificação de sistemas. Ele
relatou: “eu não sabia de nada, apenas respondi para não deixar em branco”. A
seguir, o professor-pesquisador pediu para que o mesmo aluno relatasse sobre
sistema possível e determinado, sistema possível e indeterminado e sistema
impossível. O Aluno B respondeu: “um sistema possível e determinado é quando
pode ser feito, quando uma coisa é possível de fazer, uma peça por exemplo. Um
sistema possível e indeterminado pode ser feito, mas não dá para terminar a peça e
o sistema impossível não dá para ser feito, impossível de fazer a peça”. Tal fato
revelou que o Aluno B entendia a palavra sistema como uma “máquina”, isto é, um
instrumento utilizado para a realização de alguma tarefa. Ao ser questionado,
constatou-se que ele acompanhava um tio que trabalhava na confecção/gráfica de
roupas, fato que provavelmente o influenciou nesta compreensão.
Com relação à produção do Aluno C, pode-se observar que ele associou a
expressão “possível e determinado” com a facilidade de resolver uma equação. Da
mesma forma, associou a expressão “possível e indeterminado” com uma equação
que necessita de uma resolução mais elaborada. Quanto ao caso SI, o aluno disse:
“não dá para resolver”.
Avaliando a produção do Aluno D, observamos que ele associou as palavras
“possível” e “impossível”, respectivamente com a possibilidade ou a não de resolver
um sistema. Quando o professor-pesquisador solicitou que o aluno explicasse a sua
produção, ele respondeu: “eu não sabia o que escrever, então chutei”.
Do mesmo modo podemos observar que o Aluno E apresentou dificuldades
em definir as classificações de um sistema linear. Quando entrevistado, ele
classificou os sistemas da seguinte forma: “o sistema possível e determinado é uma
conta que você olhando para ela, já sabe que o resultado é exato. O sistema
possível e indeterminado a conta não tem todos os complementos que a pessoa
126
precisa. O sistema impossível é uma conta que você bate o olho, ou ela é muito
grande ou você já vê que não vai dar em lugar algum, só o criador da conta
consegue resolver ou utilizar”.
Essa produção revela a associação do termo impossível com a dificuldade de
realizar um cálculo, fato que conduz o aluno a classificar os sistemas lineares de
forma incorreta.
Analisando a produção do Aluno F, notamos, como nos casos anteriores, que
ele associou os termos “possível e determinado”, “possível e indeterminado” e
“impossível” com a possibilidade de resolver um problema e determinar ou não um
valor. Quando o professor-pesquisador questionou o aluno a respeito de que tipo de
problema ele estava se referindo, ele disse: “qualquer problema que precisa de
conta”.
Conforme relatado na análise preliminar das atividades, essa dificuldade
apresentada pelos sujeitos de nossa pesquisa também foi constatada por Freitas
(1999), tendo em vista que, em seu estudo, o índice de acerto de uma questão que
tratava da discussão e classificação dos sistemas propostos foi de 15,5%.
Na Tarefa 2, os sujeitos apresentaram dificuldades no reconhecimento e na
resolução de um sistema linear. Apresentamos a seguir, algumas das respostas
dadas pelos sujeitos para essa tarefa.
Figura 21 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno F Fonte: Acervo pessoal
127
Observamos que o Aluno F não reconheceu um sistema de equações. Ele
multiplicou as variáveis x das duas equações do sistema, encontrando x2. A seguir,
aplicou a regra de sinais da multiplicação na variável y, e somou os seus
coeficientes. Por fim, realizou a adição dos termos independentes, encontrando na
sua forma de pensar uma equação do segundo grau. Ao ser entrevistado, o aluno
disse que o objeto matemático equação do segundo grau estava sendo tratado pelo
professor da turma regular, por isso ele fez essa associação entre a situação
proposta e equação do segundo grau. Isso mostra a existência de uma mecanização
no ensino, uma vez que o aluno não encontrou qualquer significado para o objeto
matemático apresentado, realizando os cálculos de forma mecânica.
Apesar de ter realizado uma associação de forma errônea entre esses dois
objetos matemáticos distintos, podemos observar que o aluno resolveu a equação
0432 yx , que em sua maneira de pensar era uma equação do segundo grau,
de forma correta. Notamos que o aluno acreditava estar resolvendo a seguinte
equação do segundo grau: 0432 xx , sendo assim, ele destacou os coeficientes
e o termo independente de forma correta. Continuando em seus cálculos,
determinou o discriminante e determinou as raízes da equação obtendo 4' x e
1'' x .
Na sequência, apresentamos a resposta do Aluno A na Tarefa 2. Este
estudante foi classificado inicialmente pelo professor colaborador como sendo um
aluno acima da média em relação aos demais das turmas de nono ano em que
lecionava.
128
Figura 22 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno A Fonte: Acervo pessoal
Após a entrevista, o Aluno A justificou que, para resolver os sistemas, era
necessário atribuir valores às variáveis x e y para obter os resultados no segundo
membro da equação. Nota-se que o aluno considerou cada uma das equações que
formavam o sistema de forma isolada, isto é, resolveu cada uma das equações sem
considerar que os valores encontrados para a primeira equação deveriam ser os
mesmos para a segunda.
Analisando a resolução das equações do ponto de vista que o aluno utilizou,
notamos que, na primeira equação do item b, o aluno atribuiu para x o valor zero e
encontrou para y o valor dois. Salienta-se que os cálculos foram realizados de forma
correta e, com isso, o aluno apresentou um par ordenado para a equação. Já na
129
segunda equação o aluno atribuiu o valor sete para x e, por um engano em seu
cálculo, encontrou para y o valor menos três. Isso fez com que ele encontrasse um
par ordenado incoerente com a equação apresentada.
No sistema do item c, o aluno atribuiu o mesmo valor para x nas duas
equações, encontrando y igual a um. Apesar de esse aluno ter encontrado a solução
do sistema, sua determinação foi por tentativas e não por um processo de resolução
de sistemas. Ainda, a atribuição do mesmo valor para x nas duas equações ocorreu
de forma arbitrária, ou seja, sem a preocupação de avaliar as duas equações
simultaneamente.
No último sistema que compunha a tarefa, o aluno não conseguiu, pela
estratégia de tentativas, encontrar um valor para substituir em x para encontrar um y
inteiro. Já na segunda equação ele atribuiu para x o valor três, encontrando, de
forma correta, y igual a zero, mas não notou que o sistema era impossível.
Na entrevista, o aluno observou que na sua resolução havia errado o cálculo
de 74 , presente na segunda equação do item b, uma vez que atribuiu o resultado
32, enquanto o certo seria 28. Apesar da dificuldade na compreensão de um sistema
linear, na entrevista o aluno demonstrou possuir certas habilidades na resolução de
equações.
O Aluno C tentou resolver todos os sistemas lineares propostos, porém,
apresentou grande dificuldade em compreender o significado de um sistema de
equações no registro algébrico. Observa-se que ele tentou relacionar as duas
equações de forma equivocada. Apresentamos a seguir, sua produção para um dos
itens da Tarefa 2:
Figura 23 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno C. Fonte: Acervo pessoal
130
Podemos observar que o aluno tentou igualar as duas equações que
formavam o sistema linear, colocando a incógnita x em evidência em cada uma das
equações, o que denota dificuldades de tratamento no registro algébrico.
Quanto aos demais resultados apresentados na Tarefa 2, destacamos que os
Alunos B, D e E responderam apenas “Não sei”.
Esse tipo de dificuldade não era esperado, pois o objeto matemático sistemas
lineares é tratado com os alunos no oitavo ano do Ensino Fundamental e, como os
nossos sujeitos de pesquisa estavam cursando o nono ano deste ciclo,
acreditávamos que eles teriam domínio na resolução das situações propostas na
Tarefa 2.
Observamos, pelas produções dos alunos, que eles não possuíam uma
familiarização com o objeto matemático sistemas lineares, assim, ou deixaram de
responder as tarefas ou até se utilizaram de conteúdos tratados em sala de aula que
não apresentavam relações com sistemas lineares.
Na sequência, apresentamos a resolução da Tarefa 3, na qual os sujeitos
apresentaram dificuldades em relacionar as diferentes classificações de sistemas
lineares com as suas respectivas representações gráficas.
131
Figura 24 – Questionário Preliminar – Tarefa 3 – Produção do Aluno D Fonte: Acervo pessoal
Durante a entrevista, o Aluno D demonstrou dificuldade em expressar o seu
raciocínio, sempre que o professor-pesquisador perguntava o porquê das respostas
apresentadas nas tarefas, o aluno respondia: “não sei por que respondi assim” ou
dizia “eu acho que é assim, só isso”.
É possível notar que o aluno relacionou as classificações de um sistema com
o grau de dificuldade de visualização. Apesar de associar de forma correta o sistema
132
possível e indeterminado com a sua representação no registro gráfico, sua
justificativa revelou desconhecimento da relação entre a representação gráfica e a
classificação de um sistema linear, o que também foi comprovado na entrevista
posteriormente realizada.
O aluno F fez a associação do sistema possível e indeterminado de forma
correta, mas em sua justificativa ele forneceu a seguinte produção escrita: “a figura é
determinada mais (sic) seus pontos não”. Durante a entrevista, o Aluno F disse que
não sabia o que responder, por isso havia justificado dessa forma.
As produções dos alunos A, B, C e E na Tarefa 3 revelaram que a relação
entre a classificação de um sistema linear com a sua representação no registro
gráfico foi realizada de forma imprópria. Os alunos A, B e C apresentaram as
mesmas respostas com justificativas diferentes. Para o caso de duas retas
concorrentes, os alunos disseram que essa representação era de um sistema
possível e indeterminado. Para o caso de duas retas coincidentes, os alunos
associaram a um sistema impossível. Para o caso de duas retas paralelas distintas,
os alunos classificaram como um sistema possível e determinado.
Apesar de os Alunos A, B e C terem realizado as mesmas associações, as
suas justificativas foram diferentes, tendo em vista que o Aluno A respondeu que a
segunda representação no registro gráfico, que se tratava de duas retas
coincidentes, seria de um sistema impossível, justificando que “O sistema II é
impossível pois r e s não podem ter o mesmo valor”, o Aluno B justificou da
seguinte forma: “Porque as duas retas estão juntas”, e o Aluno C, justificou a
associação realizada por ele da seguinte maneira: “porque as retas estão na mesma
fonte de linhas paralelas”.
Na terceira representação no registro gráfico, eram apresentadas duas retas
paralelas não coincidentes, sendo assim, a representação de um sistema
impossível. Os alunos associaram essa terceira representação como sendo de um
sistema possível e determinado, sendo que o Aluno B justificou da seguinte forma:
“Porque estão alinhadas, e podem ter algum resultado”. O Aluno C justificou de uma
maneira mais obscura: “os pontos estão as contantes (sic) relações de alinhamento”
e o Aluno A apresentou a seguinte justificativa: “O sistema III é possível e
determinado pois as retas estão paralelas e não existe ligação entre eles (sic)”.
Na primeira representação no registro gráfico, referente a duas retas
concorrentes, sendo assim, a representação gráfica de um sistema possível e
133
determinado, os alunos a classificaram como um sistema possível e indeterminado.
O Aluno C apresentou a seguinte justificativa: “por que as retas não estão de forma x
e y positivo” e durante a entrevista este aluno não conseguiu explicar o que
pretendeu dizer em sua justificativa, ficando até em dúvida com a sua resposta. O
Aluno B justificou que “pela função das retas, é possível achar e pode haver um
resultado possivel (sic)”. Neste caso, o aluno relacionou a inclinação das retas como
sendo “função das retas”. O Aluno A apresentou a seguinte justificativa: “O sistema I
é possível e indeterminado pois as retas se ligam”.
Como havíamos previsto durante a apresentação e análise preliminar das
atividades do questionário inicial, mesmo essa tarefa sendo semelhante a uma
atividade apresentada no Caderno do Aluno de Matemática da 7ª série / 8º ano, os
alunos apresentariam dificuldade. Isso porque havia apenas uma atividade que
envolvia esse tipo de exploração e, provavelmente, isso não seria suficiente para o
aluno realizar as relações existentes entre a classificação de um sistema linear e a
sua representação no registro gráfico.
Na Tarefa 4, que tratava da associação entre as representações algébrica e
gráfica de sistemas lineares, o Aluno D respondeu apenas “não sei” e não realizou
nenhuma associação.
Os Alunos B e F realizaram corretamente a associação entre os registros
gráfico e algébrico, mas responderam “não sei explicar/justificar”. Foi possível
observar, durante a entrevista, que os alunos não fizeram a análise da
proporcionalidade dos coeficientes e dos termos independentes dos sistemas para o
estabelecimento da relação entre as representações dos registros gráfico e
algébrico.
Os Alunos A e C justificaram todos os itens da Tarefa 4 de forma incorreta,
apesar de eles associarem de forma correta a segunda representação no registro
gráfico com a terceira representação do sistema linear no registro algébrico.
O Aluno E associou todas as representações no registro gráfico com o
registro algébrico de forma correta, mas com justificativas inadequadas, como
apresentamos a seguir:
134
Figura 25 – Questionário Preliminar – Tarefa 4 – Produção do Aluno E Fonte: Acervo pessoal
Podemos observar que, na justificativa do Aluno E, ele relacionou o tamanho
das retas com os termos independentes de maior valor, acreditando que o tamanho
da reta no plano cartesiano estava associado com os valores dos termos
independentes, por isso associou a terceira representação no registro gráfico com a
primeira representação no registro algébrico. Já a segunda representação no
registro gráfico, o aluno a associou com a terceira representação no registro
algébrico. Durante a entrevista, o aluno disse que fez essa associação porque a reta
azul estava “descendo” e a rosa “subindo” por isso os coeficientes de y deveriam ter
sinais opostos.
O aluno associou a segunda representação do registro algébrico com a
primeira do registro gráfico, observando que as equações do sistema possuíam
135
termos independentes negativos e, por este motivo, as duas retas deveriam
“descer”. Essa produção mostra que o aluno buscou estabelecer relações entre
representações de dois registros distintos, porém, essa tentativa de conversão não
ocorreu de maneira correta.
Apesar de realizar incorretamente duas associações, o único aluno que
durante a entrevista demonstrou ter feito alguma tentativa de relação entre os
coeficientes dos sistemas lineares com as representações no registro gráfico foi o
Aluno A. A seguir apresentamos as respostas propostas por esse aluno.
Figura 26 – Questionário Preliminar – Tarefa 4 – Produção do Aluno A Fonte: Acervo pessoal
136
Durante a entrevista, o Aluno A disse que relacionou a primeira representação
no registro gráfico com a primeira representação no registro algébrico, porque as
duas retas eram paralelas e, com isso, comparando os coeficientes de x das duas
equações, estes deveriam ter o mesmo sinal e situação semelhante deveria ocorrer
com os coeficientes de y.
Da mesma forma o aluno realizou a associação da terceira representação no
registro gráfico com a segunda representação no registro algébrico, justificando que
as retas possuíam a mesma direção, portanto, elas deveriam estar relacionadas com
equações que possuíssem coeficientes de x e de y todos com o mesmo sinal, sendo,
no caso, todos negativos.
A última representação no registro algébrico o aluno relacionou corretamente
com a segunda representação no registro gráfico. Durante a entrevista, o aluno
justificou essa associação, dizendo que uma das retas estava “subindo” e a outra
“descendo”, por isso elas deveriam ter os coeficientes com sinais opostos, fato que
ocorria com os coeficientes de y no terceiro sistema linear apresentado.
Podemos notar que o aluno, mesmo de forma equivocada, analisou os
coeficientes das equações para realizar a associação entre os registros gráfico e
algébrico, mas em nenhum momento ele mencionou ter realizado alguma análise
entre os termos independentes das equações que formavam os sistemas
apresentados na Tarefa 4.
Partindo dessa análise, pudemos observar a dificuldade dos alunos em
associar a representação de um sistema linear no registro gráfico com a sua
representação no registro algébrico. Battaglioli (2008) assinalou que os livros
didáticos pouco exploram o registro gráfico e, em nossa análise do Caderno do
Aluno, observamos a inexistência desse tipo de relação entre os registros gráfico e
algébrico pela análise de proporcionalidade entre os coeficientes.
Ainda, Freitas (1999) descreveu que os sujeitos que participaram de sua
pesquisa não realizaram uma associação entre os coeficientes que compunham um
sistema com as características dos gráficos.
Na Tarefa 5, foi apresentado aos alunos o seguinte sistema linear
105
422
yax
yx. Aos alunos foi proposto que considerassem o valor de “a” igual a
cinco, e sem resolver o sistema, pretendia-se que associassem sua representação
137
algébrica com a gráfica. A representação no registro algébrico que satisfazia a
situação apresentada acima era a primeira representação que possuía duas retas
paralelas coincidentes.
Todos os alunos realizaram a associação de forma equivocada. Os Alunos B,
C, E e F associaram o sistema linear no registro algébrico com a segunda
representação no registro gráfico, referente a um sistema linear possível e
determinado. Os Alunos A e D o associaram com a terceira representação, que se
tratava de um sistema impossível.
Nas justificativas apresentadas pelos alunos, os Alunos B e D responderam
“não sei” e os outros quatro alunos justificaram de forma incorreta. Selecionamos,
para apresentação, as respostas mais significativas apresentadas por dois alunos.
Figura 27 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno A Fonte: Acervo pessoal
138
O aluno observou que havia uma proporcionalidade entre as equações que
formavam o sistema linear proposto, mas quando foi realizar a associação com a
sua representação no registro gráfico, ele cometeu um erro, acreditando que a
representação deveria ser de duas retas paralelas.
A seguir, apresenta-se a produção do Aluno C nesta mesma tarefa.
Figura 28 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno C Fonte: Acervo pessoal
O aluno analisou apenas a segunda equação que formava o sistema, na qual
os valores dos coeficientes de x e y eram positivos. Durante a entrevista, ele
139
justificou a sua resposta, dizendo que após analisar as três representações,
observou que na segunda era apresentada a reta azul que estava na sua maior
parte, do lado direito do eixo y, acreditando que se tratava de uma "reta positiva", e
como os coeficientes que formavam a segunda equação eram todos positivos, a reta
azul representava essa equação. Novamente observa-se uma tentativa de relação
entre representações de dois registros distintos, apesar de inadequada.
Na Tarefa 6, foi proposto aos alunos o mesmo sistema linear no registro
algébrico da tarefa anterior, porém, após a análise, esperava-se que eles
concluíssem que, para qualquer valor diferente de cinco, não existiria
proporcionalidade entre os coeficientes, portanto, se tratava de um sistema linear
possível e determinado. Consequentemente, a associação deveria ser feita com a
terceira representação no registro gráfico.
Os Alunos B e D responderam “não sei” na justificativa e não fizeram qualquer
associação entre as representações no registro gráfico com o sistema linear
proposto. Os alunos E e F relacionaram com a primeira representação no registro
gráfico que era de um sistema linear impossível. O aluno A associou o sistema linear
proposto com a segunda representação no registro gráfico, a qual se tratava de um
sistema linear possível e determinado.
Apenas o Aluno C realizou de forma correta a associação do sistema
proposto com a sua representação no registro gráfico, mas a sua justificativa não
estava associada com a não existência de proporcionalidade entre os coeficientes,
como vemos a seguir:
140
Figura 29 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno C Fonte: Acervo pessoal
Com isso, pudemos concluir que os alunos não conseguiram estabelecer
relações entre representações dos registros gráfico e algébrico partindo da análise
da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes de um sistema
linear.
A Tarefa 7 apresentou o seguinte sistema linear no registro algébrico
byx
yx
55
422. Foi solicitada aos alunos a substituição de b pelo valor sete, e sem
resolver o sistema, eles deveriam associá-lo com a sua representação gráfica. Para
esta resolução, os alunos poderiam observar a existência de proporcionalidade entre
141
os coeficientes das duas equações, mas não entre os termos independentes, sendo,
portanto, um sistema impossível. Com isso, a associação ocorreria com a segunda
representação no registro gráfico.
Os alunos B e D não fizeram a associação, e na justificativa responderam
“não sei”. O aluno A associou incorretamente o sistema com a primeira
representação, que se tratava de um sistema possível e determinado. O Aluno E
associou o sistema citado anteriormente com a terceira representação, a de um
sistema possível e indeterminado. Os alunos C e F, que associaram de forma
correta o sistema proposto com a segunda representação no registro gráfico, não
conseguiram justificar a sua escolha, o que indica que a escolha foi realizada a
esmo.
Já era esperado que os alunos apresentassem dificuldades para a realização
das Tarefas 5, 6 e 7, dado que Freitas (1999) revelou que seus sujeitos também
apresentaram dificuldades em situações de análise de parâmetros para a
classificação de sistemas lineares. Além disso, a análise de livros e do caderno do
aluno apontou que este tipo de exploração não é usual.
Na Tarefa 8, que solicitava a representação gráfica de um sistema linear
partindo de sua representação algébrica, o aluno B respondeu “não sei” para os três
sistemas lineares apresentados, sem tentar fazer a conversão para o registro
gráfico. O Aluno D apenas marcou um sistema cartesiano para cada um dos
sistemas, mas não construiu qualquer reta.
O Aluno F somente destacou os valores dos coeficientes de x e de y em cada
uma das equações que formavam os sistemas lineares, como apresentamos a
seguir.
Figura 30 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno F Fonte: Acervo pessoal
142
Os alunos A, C e E realizaram a tarefa de forma incorreta. O Aluno C
construiu retas concorrentes nos três sistemas apresentados e, mesmo no caso do
sistema possível e determinado, a sua construção estava incorreta.
Era esperado que os alunos encontrassem dificuldades para a construção
gráfica requerida. Segundo Freitas (1999), os livros didáticos apresentam um
enfoque muito superficial no registro gráfico, sendo mais focalizado o registro
algébrico, quando se trata do objeto matemático sistemas lineares. E segundo Duval
(1995), os registros monofuncionais discursivos são os privilegiados no ensino e,
com isso, os estudantes podem ter dificuldades em operar com o mesmo objeto
matemático em outros registros.
A Tarefa 9, referente a uma aplicação de sistemas lineares, foi retirada do
Caderno do Aluno da 7ª série / 8º ano do Ensino Fundamental. Nenhum dos alunos
converteu o problema dado em língua natural para a linguagem algébrica. Na
entrevista, eles disseram que foram tentando encontrar os valores referentes ao
problema por tentativa e erro. Observamos que nenhum deles tentou construir um
sistema linear para resolver o problema.
Os alunos A,C e F atribuíram valores incorretos para o refrigerante e para o
misto. O Aluno D apenas apresentou os valores, mas não identificou a que produtos
estavam relacionados os dados apresentados.
Os alunos B e E encontraram os valores corretos para o problema proposto,
mas como já foi citado anteriormente, esses valores foram encontrados por
tentativas, sem recorrer aos sistemas lineares para a sua resolução. Segundo
Battaglioli (2008), os alunos não encontrariam dificuldades para realizar esta tarefa,
uma vez que a maioria dos livros didáticos inclui a conversão do registro da língua
natural para o registro algébrico no conteúdo de sistemas lineares. Apesar disso, os
sujeitos de nossa pesquisa apresentaram tal dificuldade durante a realização da
Tarefa 9.
A última tarefa do questionário inicial, na qual era solicitada a elaboração de
um problema partindo de um sistema linear na forma algébrica, cinco alunos A, B, D,
E e F não apresentaram resolução ou responderam “não sei”. Apenas o Aluno C
começou a converter a tarefa dada na representação algébrica para a língua natural,
mas acrescentou apenas: “Renan tem 2 reais e 6 centavo (sic), e ele comprou 6 p”.
Podemos notar que o aluno acreditava que o coeficiente de x correspondia ao valor
143
em reais, o coeficiente de y correspondia aos centavos e o termo independente
deveria corresponder ao valor de um produto.
Analisando os resultados desta primeira fase, constatamos que os nossos
sujeitos não reconheciam um sistema linear, não dominavam qualquer técnica de
resolução de sistemas lineares, não sabiam representar um sistema linear no
registro gráfico ou no algébrico, não tinham compreensão das classificações de um
sistema linear e não utilizavam a análise da proporcionalidade dos coeficientes para
avaliar o tipo de sistema dado. Como a nossa proposta, que visava avaliar a
qualidade de um sistema linear pela análise da proporcionalidade dos coeficientes,
contava com certos conhecimentos prévios dos estudantes, houve a necessidade de
um primeiro redesign16, que consistiu em revisar os métodos de resolução, a
representação gráfica de uma reta a partir de uma equação e as classificações de
um sistema, sem, contudo, trabalhar com os pontos previstos no experimento.
Salienta-se que o redesign constitui uma característica da metodologia de Design
Experiment adotada em nossa pesquisa. Nesta fase, optamos por um trabalho
conjunto entre professor-pesquisador e alunos.
Iniciamos as atividades17 do redesign com uma tarefa semelhante a uma
proposta aos sujeitos no Caderno do Aluno. Ela teve por objetivo a construção do
gráfico de uma função de primeiro grau no plano cartesiano, partindo da elaboração
e do preenchimento dos dados obtidos em uma tabela. Incluímos este tipo de tarefa
no redesign pelo fato de observarmos as dificuldades dos estudantes em
construções gráficas.
Apresentamos a seguir a primeira tarefa do redesign:
Figura 31 – Tarefa 1 da Atividade do redesign Fonte: Acervo pessoal
16
Redesign: Adaptação e inserção de novas conjecturas no experimento inicial, em função das
produções apresentadas pelos alunos.
17 As atividades do redesign na estrutura apresentada aos estudantes estão presentes nos Apêndices
H e I.
144
O professor-pesquisador resolveu a tarefa em conjunto com os alunos,
primeiro solicitando para isolarem o y. Nesse momento, ele notou que os alunos
demonstraram dificuldade para isolar y, em virtude do sinal de “menos” que o
antecedia.
Em seguida, o professor-pesquisador elaborou na lousa uma tabela
semelhante à apresentada a seguir:
x y=x+1 y (x,y)
-2 y=-2+1 -1 (-2, -1)
-1 y=-1+1 0 (-1, 0)
0 y=0+1 1 (0, 1)
1 y=1+1 2 (1, 2)
2 y=2+1 3 (2, 3)
3 y=3+1 4 (3, 4)
4 y=4+1 5 (4, 5)
5 y=5+1 6 (5, 6)
Tabela 12 – Tabela elaborada para a construção do gráfico de y=x+1 no plano cartesiano. Fonte: Acervo pessoal.
Com os pares ordenados encontrados, o professor-pesquisador construiu, em
conjunto com os alunos, o gráfico referente à primeira tarefa. Salienta-se que,
durante a construção, o professor-pesquisador solicitava sugestões dos alunos e
observava as possíveis dificuldades.
Dando sequência ao redesign, foi proposta aos sujeitos de pesquisa a
resolução de três sistemas lineares, dos quais o primeiro era um sistema possível e
determinado (item a); o segundo era um sistema possível e indeterminado (b) e o
último um sistema impossível (c).
1) Resolva os sistemas lineares por substituição ou por adição e classificar os
sistemas de acordo com o tipo de solução encontrada.
a)
1
52
yx
yx b)
1062
35217
yx
yx c)
3
233
yx
yx
Figura 32 – Tarefa 2 da Atividade do redesign Fonte: Acervo pessoal
145
A seguir, apresentamos a resolução realizada com a colaboração de todos os
envolvidos na pesquisa, isto é, o professor-pesquisador construiu a resolução de
cada sistema na lousa, sempre ouvindo as sugestões dos sujeitos e intervindo
quando necessário para facilitar a resolução das tarefas propostas.
Figura 33 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a – Redesign Fonte: Acervo pessoal
O método utilizado para a resolução dos sistemas lineares foi o método da
substituição, uma vez que o professor colaborador afirmou que os alunos em geral
demonstravam menos dificuldade em compreender e aplicar este método na
resolução de sistemas.
Para facilitar a aplicação do método escolhido, o professor-pesquisador foi
anotando as etapas na lousa sempre com a colaboração dos sujeitos.
Primeiramente eles foram questionados sobre o que significariam os termos “isolar”
e “incógnita” e de acordo com as respostas sugeridas pelos alunos, foram anotados
sinônimos que dariam sentido aos sujeitos.
146
O professor-pesquisador sugeriu aos estudantes a escolha de uma das
equações que eles julgassem mais simples para isolar uma das incógnitas. Após
analisarem as equações, sugeriram escolher a equação II para efetuar o primeiro
passo, obtendo assim a seguinte equação:
Figura 34 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a – Redesign Fonte: Acervo pessoal
Seguindo o método escolhido para a resolução do sistema, os alunos não
demonstraram dificuldades em substituir a incógnita, isolada no primeiro passo, na
equação I.
O professor-pesquisador observou que os sujeitos apresentavam algumas
dificuldades na resolução de uma equação. A primeira dificuldade apresentada foi
agrupar os termos semelhantes e a seguinte foi permutar os termos entre o primeiro
e o segundo membros da equação. Eles sempre usavam a expressão “troca de lado
tem que trocar o sinal”, com isso, a resolução das equações ocorreria de forma
equivocada. O professor-pesquisador realizou na lousa a resolução da equação,
sempre comentando o princípio do equilíbrio que deve existir entre os membros de
uma equação.
147
Figura 35 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a – Redesign Fonte: Acervo pessoal
Após determinar o valor de y, o professor-pesquisador questionou os alunos a
respeito da etapa necessária para determinar o valor de x.
Figura 36 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a – Redesign Fonte: Acervo pessoal
148
A partir daí, o professor-pesquisador estabeleceu a classificação do sistema
proposto aos sujeitos.
A seguir apresentamos a resolução do item b, que era um sistema linear
possível e indeterminado. Neste item, os sujeitos demonstraram mais confiança na
resolução do sistema. O professor-pesquisador foi anotando tudo o que foi sugerido
pelos sujeitos e interviu somente nos momentos de bloqueio, para favorecer o
encaminhamento da resolução do sistema.
Figura 37 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2b – Redesign Fonte: Acervo pessoal
Os alunos escolheram a equação que passaria pelo primeiro passo,
informando que possuíam números menores e com isso ficaria mais fácil para isolar
uma das incógnitas. Os sujeitos escolheram isolar o x por observarem que essa
incógnita era multiplicada "menos vezes", com isso, seria mais fácil isolá-la.
Seguindo as etapas propostas para a resolução do primeiro sistema,
apresentamos a seguir a sua resolução e classificação:
149
Figura 38 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2b – Redesign Fonte: Acervo pessoal
Figura 39 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2b – Redesign Fonte: Acervo pessoal
150
Para não interferir na aplicação do experimento, finalizamos a resolução do
sistema anterior e o classificamos em sistema possível e indeterminado, dado que o
professor colaborador relatou que esta é a forma como apresentam a classificação
deste tipo de sistema aos alunos neste nível de ensino. Sempre acolhendo as
sugestões dos sujeitos, apresentamos a seguir a resolução do sistema do item c,
que era um sistema impossível.
Figura 40 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2c – Redesign Fonte: Acervo pessoal
Figura 41 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2c – Redesign Fonte: Acervo pessoal
151
No final da resolução da equação, os sujeitos acharam estranha a resposta
final e manifestaram isso olhando um para o outro com um semblante de dúvida. Um
dos sujeitos acreditava que a resolução estava errada, pois, no final da “conta”, não
poderia aparecer nove igual a dois. O professor-pesquisador disse para a turma que
a resolução estava correta e que durante a realização da segunda parte do redesign
que tratava da representação no registro gráfico, seria discutido o resultado
encontrado com maior profundidade. O professor-pesquisador informou que foi
desta maneira que eles aprenderam no oitavo ano do Ensino Fundamental e
questionou se, na época, eles não acharam um absurdo o resultado encontrado.
Eles disseram que nunca haviam pensado nisso.
Para a representação no registro gráfico dos sistemas lineares apresentados
anteriormente, o professor-pesquisador perguntou aos sujeitos se eles recordavam a
forma de construção do gráfico de uma equação e prosseguiu com a resolução do
seguinte sistema:
Figura 42 – Construção do gráfico elaborado pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a (gráfico) – Redesign Fonte: Acervo pessoal
152
O professor-pesquisador sugeriu aos alunos que separassem cada uma das
equações que formavam o sistema linear e a seguir isolassem a “letrinha” y de cada
uma das equações. Com isso, com a colaboração dos alunos, obtiveram as
seguintes equações:
Figura 43 – Resolução das equações elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a (gráfico) – Redesign Fonte: Acervo pessoal
Como citado anteriormente, alguns alunos ficaram em dúvida em relação à
variável y ser antecedida por um sinal de “menos”, e um dos alunos sugeriu
multiplicar toda a equação por menos um, a fim de alterar o valor da variável.
Dando sequência na resolução da tarefa, o professor-pesquisador solicitou
aos alunos a construção de uma tabela para cada uma das equações encontradas,
atribuindo valores para x que achassem convenientes.
Os alunos demonstraram dificuldades para preencher a primeira tabela, pois
notaram que, para valores pares atribuídos a variável x, os valores encontrados para
y não eram números inteiros. O professor-pesquisador sugeriu aos alunos atribuírem
apenas número ímpares, com isso os resultados encontrados para a variável y
153
seriam números inteiros, facilitando assim a construção gráfica. Com isso, os alunos
conseguiram completar as duas tabelas sem dificuldades.
Figura 44 – Tabelas elaboradas pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a – Redesign Fonte: Acervo pessoal
Em seguida o professor-pesquisador construiu em conjunto com os alunos um
plano cartesiano, localizando os pares ordenados encontrados na primeira tabela.
Com isso, eles construíram a reta relacionada. O mesmo processo foi realizado para
a outra equação, obtendo o seguinte gráfico:
Figura 45 – Representação no registro gráfico no plano cartesiano elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a (gráfico) – Redesign Fonte: Acervo pessoal
O professor-pesquisador informou aos alunos que o ponto de intersecção
entre as duas retas era a solução do sistema proposto. Ressaltou, ainda, que eles já
154
haviam encontrado esta solução no processo algébrico. Nesse ponto observamos a
dificuldade dos alunos em relacionar um mesmo sistema linear representado num
primeiro momento no registro algébrico e a seguir no registro gráfico. Salienta-se
que dificuldades deste tipo também foram observadas por Freitas (1999).
Neste momento, não foram apresentadas aos alunos as representações
gráficas de sistemas possível e indeterminado e impossível. A ausência dessas
representações foi devida à preocupação de não fornecer dados que pudessem
interferir na aplicação do experimento elaborado.
A seguir, apresentamos a descrição da Fase 2 do Design, representada pelas
atividades do experimento nos ambientes papel e lápis e Winplot.
6.2 DESCRIÇÃO DA FASE 2
No início de nossa pesquisa, contávamos com seis alunos, os quais
participaram do questionário preliminar. Na fase 2 tínhamos por objetivo formar três
duplas para a aplicação do experimento, mas por motivos particulares, dois sujeitos
deixaram de participar dos encontros. Com isso, nesta seção, apresentamos
somente a análise referente à produção de duas duplas, e para facilitar a leitura,
estas foram classificadas como Dupla 1 e Dupla 2. A Dupla 1 era formada pelos
alunos A e B, e a Dupla 2 pelos alunos C e D, alunos que apresentamos
anteriormente quando da exposição do questionário inicial.
Antes da aplicação do experimento, foi realizada uma familiarização ao
software Winplot. Para isso, o professor-pesquisador utilizou um projetor multimídia
em conjunto com um notebook para um melhor acompanhamento dos alunos na
utilização do software. Cada aluno ficou em um computador, com os softwares
Winplot e Camtasia Studio18 instalados.
Foi entregue aos alunos um roteiro por nós elaborado, contendo os comandos
necessários para a utilização do software Winplot durante o desenvolvimento do
experimento. Esse roteiro é apresentado no apêndice A, intitulado Familiarização do
Software Winplot.
No início os alunos demonstraram certo nervosismo pelo fato de utilizarem
pela primeira vez uma ferramenta computacional que tinha por objetivo auxiliá-los na
18
Fonte: http://www.superdownloads.com.br/download/130/camtasia-studio/
155
construção de gráficos no plano cartesiano. O professor-pesquisador foi
apresentando os comandos do software pausadamente, sugerindo aos alunos que
construíssem duas retas concorrentes conforme indicação do roteiro. Ainda, apontou
a possibilidade de alteração de algumas configurações que eram apresentadas pelo
software, como por exemplo, a espessura de cada uma das retas e sua cor.
Ao final da familiarização os alunos demonstraram satisfação com a
conclusão do roteiro e questionaram o professor-pesquisador se poderiam “treinar
mais no computador”. Foram sugeridos mais alguns exemplos de equações para
que os alunos construíssem os respectivos gráficos com o auxílio do software. Nesta
fase, os alunos apresentaram mais confiança, necessitando de menos tempo para
concluir as tarefas. Com isso ressaltamos que neste momento o computador foi um
instrumento motivador, fato que converge com a visão de Fonseca e Júnior (2011),
quando defendem que as novas tecnologias em sala de aula despertam o interesse
dos estudantes.
Após esta etapa de familiarização, foram entregues para cada dupla, fichas
contendo cada uma das atividades que constituíam o experimento. Os arquivos que
os alunos utilizariam experimentalmente no software Winplot já estavam instalados
nos computadores, em uma pasta que o professor-pesquisador indicou para as
duplas. A seguir, apresenta-se a análise das trajetórias dos estudantes durante a
execução do experimento.
6.2.1 Análise do caso SPI – Atividades 1 e 2
A Tarefa 1 da Atividade 1 teve por objetivo que os estudantes observassem,
experimentalmente no software Winplot, que um sistema de duas equações e duas
incógnitas com equações iguais resulta graficamente em duas retas coincidentes.
Para a resolução desta tarefa, era necessário estabelecer relações entre os registros
simbólico-algébrico e gráfico. Apresentaremos a seguir a primeira tarefa,
acompanhada dos procedimentos necessários para a realização experimental no
software Winplot.
156
Figura 46 – Atividade 1 – Tarefa 1 do Design. Fonte: Acervo pessoal
Os alunos abriram o arquivo 1, encontrando a seguinte tela:
Figura 47 – Atividade 1 – Tarefa 1 do Design no software Winplot. Fonte: Acervo pessoal
157
Seguindo as orientações apresentadas na Tarefa 1, os alunos deveriam
encontrar a seguinte tela que apresenta a resposta para a primeira questão proposta
nesta atividade.
Figura 48 – Atividade 1 – Tarefa 1 do Design no software Winplot. Fonte: Acervo pessoal
Com o auxílio do software, os alunos poderiam concluir que, para a primeira
questão da Tarefa 1, o valor de “a” deveria ser igual a três para que as retas
ficassem coincidentes.
Os alunos já estavam familiarizados com os comandos do software Winplot e,
com isso, eles não solicitaram em qualquer momento a ajuda do professor-
pesquisador para a utilização dessa ferramenta.
Apresentaremos a seguir a primeira tarefa realizada pelas Duplas 1 e 2,
respectivamente:
158
Figura 49 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal
Figura 50 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal
159
Observamos que os alunos da dupla 2 apresentaram dificuldades para
responder à primeira tarefa. Eles não entendiam o significado dos parâmetros
apresentados nos sistemas lineares que formavam a primeira tarefa e, com isso,
demonstraram dificuldades em justificar suas respostas. Como foi verificado por
Freitas (1999), os alunos geralmente não compreendem o significado de um
parâmetro inserido em um sistema linear, possivelmente por não terem uma relação
maior com esse tipo de abordagem. Como haveria outros contatos com este tipo de
sistema, o professor-pesquisador optou por não interferir naquele momento.
Na tarefa 2, pretendia-se observar se o estudante estabeleceria a
representação gráfica do sistema linear proposto no ambiente papel e lápis, e se
justificaria o resultado gráfico encontrado. A seguir apresentamos a Tarefa 2:
Figura 51 – Atividade 1 – Tarefa 2 do Design
Fonte: Acervo pessoal
Mesmo após realizarmos a revisão apresentada anteriormente, pudemos
notar que os alunos apresentavam insegurança para construir a representação
gráfica do sistema linear proposto no papel e lápis. Com isso, eles perguntaram se
poderiam realizar essa primeira atividade pelo Winplot. Compreendendo a
insegurança dos alunos, o professor-pesquisador permitiu que os alunos
começassem pelo Winplot.
Com base na teoria de Duval (2003), é provável que essa insegurança com o
registro gráfico tenha ocorrido pelo fato de o ensino de Matemática privilegiar os
registros monofuncionais discursivos em detrimento dos demais.
Com o auxílio da ferramenta computacional, as duplas realizaram a Tarefa 2.
A seguir apresentamos a produção da Dupla 2:
160
Figura 52 – Produção apresentada pela Dupla 2 - Atividade 1 – Tarefa 2 do Design Fonte: Acervo pessoal
Podemos notar que, para a construção do sistema linear proposto com o
auxílio do software Winplot, os alunos não apresentaram dificuldades. Segundo
Pereira (2011) e Borba e Penteado (2005), as novas tecnologias estão cada vez
mais presentes no cotidiano do aluno e, provavelmente por este fato, observamos
grande facilidade no uso do software Winplot durante o experimento. Apesar disso,
para a construção do mesmo gráfico no ambiente papel e lápis, eles não tinham
ideia de que estratégia usar para esta construção. Apresentamos, a seguir, as
produções das duplas 1 e 2, respectivamente:
161
Figura 53– Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 2. Fonte: Acervo pessoal
Figura 54 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 2. Fonte: Acervo pessoal
162
Podemos observar que a Dupla 1 transpôs o resultado obtido no Winplot, mas
construiu a representação no registro gráfico com equívoco no valor da intersecção
entre a reta e o eixo y. Ao ser questionada pelo professor-pesquisador, ela justificou
a sua construção informando que “As 2 retas obtidas são coincidentes pois as 2
equações são iguais”.
Nota-se que, como os alunos da Dupla 2 já sabiam o resultado gráfico pelo
Winplot, eles apresentaram uma construção gráfica coerente, porém, pôde-se notar
vários problemas de tratamentos na resolução algébrica apresentada. Ainda, pela
justificativa apresentada por estes alunos, detectamos dificuldades quanto à
classificação de um sistema linear. Os alunos apresentaram a seguinte justificativa:
“Achando a solução x e y, você terá uma equação possível e determinada.” Pelo fato
de ser possível construir a reta, os alunos acreditavam que o sistema proposto era
possível e determinado, enquanto que o correto seria classificá-lo como sistema
linear possível e indeterminado.
Nas tarefas 3 e 4, esperávamos que os estudantes observassem a existência
de várias respostas comuns às duas equações, relacionando esse fato com a
classificação "Sistema Possível e Indeterminado". A seguir, apresentamos as tarefas
3 e 4:
Figura 55 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4 do Design Fonte: Acervo pessoal
163
Novamente notamos que os alunos apresentaram dificuldades para classificar
um sistema linear e observamos, também, a dificuldade apresentada pelos alunos
na resolução de uma equação do primeiro grau.
A Dupla 1 apresentou dificuldades nos cálculos quando os coeficientes de x e
y eram números negativos, completando de forma incorreta a tabela quando
inseriram tais números. Apesar disso, nota-se que essa dupla, mesmo com algumas
dificuldades em justificar sua compreensão na representação da língua natural,
conseguiu realizar a classificação do sistema linear proposto.
A Dupla 2 completou grande parte da tabela de forma incorreta, acertando
apenas dois pares ordenados que satisfaziam as duas equações. Nesta tarefa, a
dupla classificou incorretamente o sistema linear proposto como sendo um sistema
possível e determinado. A seguir, apresentamos as produções das Duplas 1 e 2,
respectivamente:
Figura 56 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4. Fonte: Acervo pessoal
164
Figura 57 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4. Fonte: Acervo pessoal
Notamos, então, que deficiências em cálculos e em equações afetaram a
resolução dessa tarefa.
A Atividade 2 teve por objetivo geral explorar as condições algébricas
necessárias para que duas retas sejam coincidentes, por meio da comparação entre
representações dos registros simbólico-algébrico e gráfico dos sistemas lineares
165
propostos. Esperávamos que os estudantes relacionassem os coeficientes e os
termos independentes de um sistema de duas equações e duas incógnitas,
verificando experimentalmente, com o auxílio do software Winplot, que para obter
retas coincidentes é necessário existir uma proporcionalidade entre os coeficientes e
os termos independentes das equações que formam o sistema linear.
Aguardávamos, ainda, que os estudantes relacionassem a representação gráfica de
duas retas coincidentes com a obtenção de infinitas soluções e que classificassem
estes casos como sistemas possíveis e indeterminados.
Na tarefa 1 os alunos observaram um sistema com duas equações e duas
incógnitas, no qual os coeficientes das incógnitas x e y eram iguais entre as duas
equações, e o termo independente de uma das equações era o parâmetro “a”.
Apresentamos, a seguir, a atividade proposta aos alunos utilizando o software
Winplot.
Figura 58 – Atividade 2 – Tarefa 1 do Design no software Winplot. Fonte: Acervo pessoal
Após analisarem a situação com o auxílio do software, esperava-se que os
alunos verificassem que a proporção existente entre os coeficientes de x e de y das
equações também deveria existir entre os termos independentes para que as retas
se tornassem coincidentes. Com isso os alunos poderiam conjecturar que o mesmo
deveria ocorrer na segunda parte da Tarefa 1, onde foi apresentado um novo
166
sistema de equações com as mesmas características do primeiro sistema.
Apresentamos a seguir a primeira tarefa da Atividade 2:
Figura 59 – Atividade 2 – Tarefa 1 do Design Fonte: Acervo pessoal
Novamente observamos que os alunos apresentaram dificuldades para
compreender o significado do parâmetro existente no segundo sistema linear
proposto nesta atividade, e desta vez, apresentaram dificuldades na utilização do
167
software Winplot. Apresentamos a seguir as produções das duplas que colaboraram
com o nosso experimento.
Figura 60 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal
168
Figura 61 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal
A Dupla 1 resolveu de forma correta a primeira parte da Tarefa 1, mas para o
segundo sistema linear proposto nessa tarefa, a dupla registrou que o valor do
parâmetro “b ” deveria ser igual a trinta e logo em seguida, afirmou que as duas
respostas encontradas, no papel e lápis e no Winplot, eram iguais. Pela análise da
169
tela capturada pelo software Camtásia, foi possível observar que os alunos haviam
realizado de forma correta a tarefa com o Winplot, encontrando o valor quarenta e
cinco para o parâmetro “b”, e que o erro ocorreu no momento de registrar o valor na
ficha de atividades. Conjecturamos que a Dupla 1 possa ter estabelecido uma
proporcionalidade entre os coeficientes, pois não havia qualquer registro dos
cálculos realizados por essa dupla por se tratar de uma valor fácil de ser
determinado mentalmente.
A Dupla 2, não conseguindo relacionar o segundo sistema linear proposto na
segunda parte da tarefa, tentou resolver o sistema utilizando o software Winplot,
mas para fazer essa atividade neste ambiente, os alunos inseriram a equação
byx 1215 e, com isso, encontraram a seguinte representação gráfica:
Figura 62 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 1 Fonte: Acervo pessoal
Notamos que os alunos não observaram a proporcionalidade existente entre
as equações que formavam o sistema linear apresentado, e não demonstraram
iniciativa em construir o gráfico da segunda equação com o software no mesmo
plano cartesiano. Diante disso, após inserirem a primeira equação no software
Winplot, encontraram uma tela semelhante à tela apresentada na figura 79,
concluindo que o valor de “b” deveria ser igual à zero.
170
Se tivessem realizado esse processo corretamente, encontrariam a seguinte
representação gráfica.
Figura 63 – Exemplo de uma tela do software Winplot - Atividade 2 – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal
Era esperado que, após a realização da construção do sistema proposto no
Winplot, os alunos verificassem que o valor do parâmetro “b” não poderia ser igual à
zero para obter duas retas coincidentes. Além de os alunos terem apresentado
dificuldade em compreender o significado de um parâmetro em um sistema linear,
dificuldade também encontrada na pesquisa de Freitas (1999), eles tentaram
resolver o sistema linear anterior no ambiente papel e lápis. Na ocasião, pudemos
identificar outras dificuldades dos alunos na resolução de equações, conforme pode
ser observado a seguir.
Figura 64 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 1 Fonte: Acervo pessoal
171
Notamos que na primeira equação à esquerda, a Dupla 2 tentou isolar a
incógnita y, mas acabou cometendo um equívoco na quinta linha, quando a incógnita
x desapareceu da equação. Com isso, determinaram que o valor da incógnita y
deveria ser igual a quatro. Ressalta-se que eles não tentaram encontrar um valor
para a incógnita x, terminando assim os seus cálculos. Para a equação à direita,
como havia um parâmetro, a dupla não continuou o desenvolvimento de sua
resolução.
A Tarefa 2 era semelhante à primeira. Nela, os alunos avaliariam um sistema
de equações com coeficientes de x e de y diferentes. Embora os alunos
apresentassem dificuldades na resolução da primeira tarefa, a segunda foi realizada
com mais facilidade, como se observa nas produções das Duplas 1 e 2,
respectivamente, apresentadas a seguir:
Figura 65 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 2. Fonte: Acervo pessoal
172
Figura 66 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 2. Fonte: Acervo pessoal
A Dupla 1, além de responder de forma correta a Tarefa 2, apresentou
avanços na justificativa em língua natural. Tal fato apontou que os estudantes dessa
dupla passaram a relacionar registros monofuncionais e multifuncionais, o que
segundo Duval (2003), permite uma compreensão mais efetiva do objeto
matemático. A dupla observou que os coeficientes e o termo independentes da
primeira equação, multiplicados por três, resultavam nos coeficientes e no termo
independente da segunda equação. Apesar de apresentar corretamente os valores
solicitados, a Dupla 2 justificou de maneira muito vaga, não apresentando uma
análise das relações existentes entre os coeficientes e os termos independentes das
duas equações.
173
Nas tarefas 3 e 4, foram apresentados sistemas com duas equações e duas
incógnitas, em que o parâmetro "a" era o coeficiente da incógnita x ou de y. Com
amparo do software, esperávamos que os alunos observassem a necessidade de
proporcionalidade entre os coeficientes para obter no registro gráfico duas retas
coincidentes. Observamos que os alunos encontraram os valores esperados,
conforme ilustrado a seguir pela produção das Duplas 1 e 2, respectivamente:
Figura 67 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefas 3 e 4. Fonte: Acervo pessoal
174
Figura 68 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefas 3 e 4. Fonte: Acervo pessoal
Na resolução da Tarefa 5, as duplas deveriam determinar no ambiente papel
e lápis, a representação no registro gráfico de um sistema linear apresentado no
registro simbólico-algébrico. A seguir, apresentamos a Tarefa 5 da Atividade 2:
Figura 69 – Atividade 2 – Tarefa 5 do Design Fonte: Acervo pessoal
Na sequência, apresentamos as produções das Duplas 1 e 2,
respectivamente.
175
Figura 70 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 5. Fonte: Acervo pessoal
Figura 71 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 5. Fonte: Acervo pessoal
Notamos que a Dupla 1 não usou um método algébrico de resolução de
sistemas. Ela atribuiu valores a uma das incógnitas para determinar o valor da outra
176
incógnita e com isso encontrar os pares ordenados para a construção do gráfico
solicitado. Ouvindo áudio-gravação, a dupla disse que “dava” o mesmo resultado
nas duas equações quando eram atribuídos os mesmos valores nas incógnitas x ou
y e, com isso, concluíram que era “a mesma reta”.
Apesar de a construção da Dupla 2 envolver imprecisões, ou seja, da reta não
interceptar os eixos exatamente nos pontos de ordenada e abscissas iguais a três,
notamos que a construção do gráfico satisfez o sistema linear proposto. Novamente
observamos a dificuldade dos alunos na realização de tratamentos inerentes à
resolução de um sistema de equações. Notamos que eles tentaram encontrar uma
única solução para o sistema, embora ele fosse indeterminado. Os alunos
realizaram tentativas para encontrar valores para as incógnitas x e y, e novamente
efetuaram os seus cálculos de forma incorreta, como apresentamos a seguir:
Figura 72 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 5. Fonte: Acervo pessoal
177
Observamos que a Dupla 2 apresentou corretamente a representação gráfica,
mesmo cometendo erros no processo algébrico. Isso ocorreu porque a dupla iniciou
a atividade pelo Winplot, mesmo o enunciado da tarefa solicitando aos alunos que
iniciassem sem a utilização do software. Quando questionados pelo professor-
pesquisador sobre o motivo de não terem seguido as orientações apresentadas na
tarefa, um dos alunos dessa dupla disse que acreditava não ter problema começar a
tarefa pelo Winplot. O professor-pesquisador orientou a dupla para que na
continuidade das tarefas seguisse as orientações propostas e, em caso de dúvida ou
bloqueio, solicitasse algum tipo de orientação para o professor-pesquisador.
Esse tipo de equívoco na resolução de equações já havia ocorrido nas tarefas
anteriores. Salienta-se que essas dificuldades foram amenizadas nas atividades
posteriores e esses avanços serão apresentados no momento da exposição da
análise da atividade adicional.
Na Tarefa 6, solicitamos aos alunos que resolvessem um sistema linear
apresentado no registro simbólico-algébrico, aplicando o método que achassem
mais conveniente. Apresentamos a seguir a Tarefa 6 do experimento:
Figura 73 – Atividade 2 – Tarefa 6 do Design Fonte: Acervo pessoal
A Dupla 1 realizou a tarefa construindo uma tabela e o registro gráfico do
sistema proposto. Apesar de não haver proporcionalidade na marcação dos pontos
nos eixos orientados para a construção do gráfico, esta dupla apresentou avanços
na justificativa escrita e na classificação de um sistema que possui infinitas soluções.
Pode-se notar que na tabela presente na Figura 91 há dois valores incorretos para y
quando foram atribuídos para x os valores menos um e zero. Conjecturamos que
esse erro possa ter ocorrido pelo fato de os coeficientes da incógnita y serem
negativos nas duas equações, o que dificultou a realização dos cálculos pelos
alunos. Segundo a áudio-gravação, os alunos atribuíram os valores nas duas
equações e cometeram os mesmos erros em ambas. Apesar disso, considerando os
178
valores dos pares ordenados encontrados na tabela, observamos que os alunos
apresentaram avanços para a construção de um gráfico.
Novamente, ficaram evidentes as dificuldades da Dupla 2 para realizar
tratamentos no registro algébrico. Essa dupla também apresentou problemas em
justificar que um sistema possível e indeterminado teria como representação gráfica
duas retas coincidentes, e que esse tipo de sistema teria infinitas soluções.
Apresentamos a seguir as produções das Duplas 1 e 2, respectivamente:
Figura 74 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 6. Fonte: Acervo pessoal
179
Figura 75 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 6. Fonte: Acervo pessoal
180
Após a realização das tarefas anteriores, foi proposta aos alunos a
determinação do valor do parâmetro “a” presente em todos os sistemas lineares
apresentados no registro simbólico-algébrico, de modo que obtivessem sistemas
lineares possíveis e indeterminados. Essa tarefa foi realizada somente no ambiente
papel e lápis. Apresentamos as produções das Duplas 1 e 2, na sequência:
Figura 76 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 7. Fonte: Acervo pessoal
181
Figura 77 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 7. Fonte: Acervo pessoal
A Dupla 1 acertou os itens b, c, e, f e h, enquanto a Dupla 2 acertou apenas
os itens c e e. Essa dificuldade em determinar o valor de um parâmetro num sistema
linear também foi constatada por Freitas (1999). Segundo essa pesquisadora, esse
tipo de dificuldades pode estar relacionada com a reduzida exploração de tarefas
envolvendo parâmetros. Ambas as duplas também apresentaram dificuldades para
expressar no registro da língua natural as suas conclusões, principalmente a Dupla
2.
A Tarefa 8 envolvia a generalização da questão de proporcionalidade para o
caso de um sistema linear possível e indeterminado do tipo
feydx
cbyax (com a, b, c,
182
d, e e f não nulos). Diante dos resultados anteriores, não se esperava que os alunos
observassem que a condição para esse tipo de classificação era f
c
e
b
d
a .
A Dupla 1 não apresentou essa generalização, apenas determinou um
sistema que julgava ser suficiente como resposta. Notamos que o sistema
apresentado não condizia com o solicitado, uma vez que não foi construído
respeitando a questão de proporcionalidade.
Figura 78 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 8. Fonte: Acervo pessoal
Os alunos da Dupla 2 não apresentaram essa generalização, mas se
utilizaram dos resultados corretos obtidos na tarefa anterior, fornecendo a seguinte
produção.
Figura 79 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 8. Fonte: Acervo pessoal
183
Tal fato aponta que estes estudantes parecem ter uma noção inicial da
relação entre sistemas possíveis e indeterminados e equações proporcionais, mas
não uma compreensão suficiente para a análise de qualquer sistema deste tipo. O
professor-pesquisador questionou os alunos da Dupla 2 sobre a escolha desses
casos e eles justificaram que fizeram mentalmente as contas e por isso achavam
que aquela escolha seria correta.
Para a realização da Tarefa 9, os estudantes contaram com o auxílio do
software Winplot. Partindo do sistema
033 yx
ayx, esperava-se que os alunos
observassem que, caso houvesse proporcionalidade entre os coeficientes de x e de
y, quando o termo independente de uma das equações fosse nulo, seria necessário
que o valor do termo independente da outra equação também fosse nulo para obter
duas retas coincidentes.
Figura 80 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 9. Fonte: Acervo pessoal
As duas duplas relataram, sem dificuldades, que "a" valeria zero. Os alunos
estavam familiarizados com o software e, com isso, conseguiram resolver a maioria
das tarefas propostas neste ambiente.
Apesar de notarmos pequenos avanços, principalmente com relação à Dupla
1, também constatamos que as tarefas propostas não foram suficientes para atingir
plenamente o nosso objetivo. Em consonância com a metodologia adotada,
realizamos um redesign, com o intuito de fornecer novos elementos para favorecer a
construção de reflexões a respeito da existência da proporcionalidade neste tipo de
sistema.
184
Apresentamos a seguir, as reformulações realizadas visando atingir os
objetivos propostos.
6.2.1.1 Redesign do caso SPI – Primeira atividade adicional
Após a análise das produções dos alunos, descritas na seção anterior,
notamos a necessidade de realizar algumas reformulações nas atividades do nosso
experimento referentes ao caso SPI. Salienta-se que o redesign constitui uma
característica da metodologia de Design Experiment. Esse redesign está presente
no apêndice J.
Na Atividade 1, a Tarefa 1 foi dividida em dois itens e acrescentamos entre
eles o sistema linear
3
3
yx
yx , acompanhado por uma tabela, que apresentamos a
seguir:
Figura 81 – Atividade 1 – Tarefa 1 do redesign. Fonte: Acervo pessoal
Os alunos deveriam relacionar o novo sistema com o sistema apresentado no
início da tarefa, caracterizando sua representação no registro gráfico e identificando
sua classificação.
A tabela inserida nesse item tinha como objetivo colaborar para a visualização
da relação existente entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os
valores dos coeficientes da segunda equação. Utilizamos essa mesma estratégia
nas tarefas 1, 2, 3 e 4 da Atividade 2.
Com a reformulação realizada, notamos que os alunos começaram a
relacionar a proporcionalidade entre os coeficientes e termos independentes que
formavam os sistemas lineares apresentados na primeira tarefa da Atividade 1, que
tratava de sistemas possíveis e indeterminados.
185
A seguir apresentamos as produções das duplas 1 e 2, respectivamente:
Figura 82 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal
186
Figura 83 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal
187
Comparando as produções das Duplas 1 e 2 apresentadas nesta fase com as
produções anteriores da mesma atividade, notamos que houve uma melhor
compreensão tanto na análise dos coeficientes e dos termos independentes que
compunham os sistemas como também na maneira de expressar as suas respostas
no registro da língua natural. Notamos que os alunos, com o auxílio do software,
estabeleceram sem dificuldade relações entre representações do registro simbólico-
algébrico com representações do registro gráfico.
Na Tarefa 2, a Dupla 1 realizou a conversão do sistema linear proposto no
registro simbólico-algébrico para o registro gráfico. Por esta produção, foi possível
observar que a dupla notou que um sistema com duas equações iguais gera retas
coincidentes. Apresentamos a seguir a produção dessa dupla.
Figura 84 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 2. Fonte: Acervo pessoal
Apesar de os alunos da Dupla 2 não terem apresentado a justificativa escrita
referente à construção do gráfico, é notado que, com o auxílio do Winplot, a
conversão do registro algébrico para o registro gráfico do sistema linear proposto foi
realizada de maneira satisfatória.
188
Figura 85 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 2. Fonte: Acervo pessoal
Nas tarefas 3 e 4, esperávamos que os estudantes relacionassem a
classificação de um sistema linear como possível e indeterminado, quando as duas
equações do sistema fossem iguais.
As duplas 1 e 2 realizaram a Tarefa 3 de forma satisfatória. Ao contrário da
Dupla 2, a Dupla 1 completou toda tabela sem repetir valores. Com isso, a Dupla 1
apresentou na Tarefa 4 uma justificativa mais coerente para classificar o sistema
como possível e indeterminado. Salienta-se que na tarefa equivalente antes do
redesign, essa dupla já havia apresentado uma compreensão satisfatória em relação
a esse questionamento.
Já a Dupla 2 encontrou seis pares ordenados distintos, com certa dificuldade
em atribuir valores à tabela, e associou a esse número a quantidade de soluções do
sistema.
A seguir, apresentamos as produções das duplas 1 e 2, respectivamente:
189
Figura 86 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4. Fonte: Acervo pessoal
Figura 87 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4. Fonte: Acervo pessoal
190
Após a análise da produção da Dupla 2 referente às tarefas 3 e 4, o
professor-pesquisador a questionou sobre o motivo da repetição dos valores para
completar a tabela e porque informaram que o sistema proposto possuía seis
soluções. A dupla informou que acreditava que deveria utilizar os valores já inseridos
na tabela. A seguir o professor-pesquisador questionou essa dupla a respeito do que
aconteceria se fossem atribuídos outros valores na tabela, e eles responderam que
iriam encontrar valores diferentes. Dando sequência ao questionamento, o
professor-pesquisador perguntou o que aconteceria se eles atribuíssem infinitos
valores na tabela, e prontamente os alunos responderam que iriam encontrar
infinitos valores. Quando questionada em relação à representação gráfica do
sistema linear proposto na tarefa, a dupla respondeu que seria representada por
duas retas iguais, pois, as equações eram iguais. Com isso o professor-pesquisador
pôde observar avanços dessa dupla em relação a esse tipo de questionamento.
Na Atividade 2 conjecturamos que ambas as duplas começaram a observar a
existência de proporcionalidade entre os valores dos coeficientes da primeira
equação com os valores dos coeficientes da segunda equação, como podemos
observar nas suas produções apresentadas a seguir.
Figura 88 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 1a. Fonte: Acervo pessoal
Apesar disso, a concepção construída pelas duplas para esse tipo de análise
não se mostrava estável em todas as situações nas quais elas eram colocadas a
avaliar sistemas possíveis e indeterminados.
A Dupla 1 realizou a Tarefa 1b de forma satisfatória, determinando o valor do
parâmetro “b” e registrando que “Observamos mesmo com coeficientes diferentes as
191
retas tem resultados iguais.” Já a Dupla 2 não apresentou qualquer registro
relacionado ao cálculo realizado para encontrar o valor do parâmetro “b” que estava
incorreto e apresentou a seguinte observação: “Que essa equação foi a que mais
chegou perto do valor “b” que é o 55. Mais (sic) o valor de “b” no winplot deu 45,
diferente do nosso resultado”.
Na Tarefa 2, as duplas responderam as questões propostas de forma
coerente e conjecturamos que a Dupla 1 notou a proporcionalidade entre as
equações que formavam o sistema desta tarefa. Já a Dupla 2 começou a apresentar
evoluções na análise, mas esta ainda não estava focada na questão da
proporcionalidade. Podemos observar isso nas produções apresentamos a seguir.
Figura 89 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 2a. Fonte: Acervo pessoal
Figura 90 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 2b. Fonte: Acervo pessoal
Na Tarefa 3, as duplas novamente apresentaram dificuldades no registro das
relações existentes entre os coeficientes na língua natural escrita. Nessa tarefa, a
Dupla 1 realizou a análise da proporcionalidade existente entre os coeficientes de x
e de y em cada uma das equações, apresentando a seguinte relação entre os
coeficientes:
192
Figura 91 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 3 Fonte: Acervo pessoal
A Dupla 2 relatou “Que todos estão na taboada (sic) do 2”. Pode-se notar que
essa dupla sempre relaciona a proporcionalidade entre os coeficientes com alguma
tabuada. Pudemos notar avanços das duas duplas, observando que, assim como
nas tarefas anteriores, durante a realização da Tarefa 4, os alunos notaram a
existência de uma relação de proporcionalidade entre os coeficientes dos sistemas
dessa tarefa, mas não a explicitaram na forma de igualdade entre quocientes. A
Dupla 1 apresentou a seguinte produção: “os coeficientes e o termo independente
da 2ª equação são quádruplo do dos coeficientes e do termo independente da 1ª
equação”. A Dupla 2 mais uma vez, realizou a associou a relação existente entre os
coeficientes novamente com uma tabuada, apresentando a seguinte resposta: “
Todas são multiplicado por 4”.
Na Tarefa 5, as duplas realizaram a conversão do sistema linear proposto no
registro simbólico-algébrico para o registro gráfico de forma satisfatória, mas não
apresentaram nenhum cálculo. Ao serem questionadas pelo professor-pesquisador,
as duas duplas responderam que construíram primeiro no Winplot e em seguida
copiaram na ficha de respostas. A seguir a resposta das observações das duplas 1 e
2, respectivamente:
Figura 92 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 5. Fonte: Acervo pessoal
Notamos a preferência dos estudantes no uso do Winplot para a construção
gráfica de sistemas.
Na Tarefa 6, a Dupla 1 realizou a construção do gráfico apresentando alguns
cálculos. Quando questionada pelo professor-pesquisador, ela respondeu que
193
atribuiu mentalmente dois valores para a incógnita x, encontrando os valores
correspondentes para a incógnita y. Esses cálculos foram realizados mentalmente
nas duas equações, com isso a dupla concluiu que as retas deveriam ser
coincidentes.
Figura 93 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 6 Fonte: Acervo pessoal
A Dupla 1 afirmou que a representação gráfica de um sistema linear com
duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema possível e
indeterminado será “uma reta”.
Apesar da revisão realizada pelo professor-pesquisador, a Dupla 2 ainda
apresentou dificuldades em efetuar tratamentos no registro algébrico na resolução
do sistema linear proposto, como apresentamos a seguir:
Figura 94 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 6 Fonte: Acervo pessoal
194
A Dupla 2 anotou que um sistema possível e indeterminado, tem “nem uma”
solução. Ao ser questionada sobre isso, a dupla respondeu ter compreendido os
cálculos realizados, por isso apresentaram essa resposta. Constatando a dificuldade
dos alunos, o professor-pesquisador atribuiu, em conjunto com a dupla, valores para
a incógnita x nas duas equações dessa atividade, encontrando os valores
correspondentes para a incógnita y. Os alunos observaram que os pares ordenados
encontrados eram os mesmos para as duas equações e, com isso, notaram que as
retas possuíam os mesmo pontos. A seguir, o professor-pesquisador questionou a
dupla a respeito da quantidade de soluções encontrada, ao que responderam que
foram muitas. Quando o professor-pesquisador perguntou o que aconteceria se
fossem atribuídos infinitos valores para a incógnita x, os alunos responderam que
teriam infinitos valores para a incógnita y.
Apresentando a ficha com a Tarefa 6 para a dupla, o professor-pesquisador
questionou como seria a representação gráfica de um sistema classificado como
sistema possível e indeterminado. A dupla respondeu “duas retas iguais”. Em
seguida a dupla foi questionada quanto ao número de soluções e, diante desse
questionamento, responderam que encontrariam “muitas, infinitas”. Após essa
intervenção do professor-pesquisador, conjecturamos que os alunos
compreenderam melhor a relação existente entre a representação gráfica de um
sistema linear possível e indeterminado de duas equações e duas incógnitas com o
número de soluções existentes.
Na Tarefa 7, as duplas deveriam determinar o valor do parâmetro “a” para que
os sistemas propostos admitissem infinitas soluções, conforme apresentado a
seguir.
Figura 95 – Atividade 2 – Tarefa 7 Fonte: Acervo pessoal
195
A Dupla 1 acertou cinco itens, sendo eles: b, c, e, f e g. Conjecturamos que a
Dupla 1 tenha compreendido a relação existente entre o registro gráfico com o
registro simbólico-algébrico, conforme a resposta apresentada na segunda parte da
Tarefa 7 : “Uma reta unica (sic) porque todos são sistemas possiveis (sic)
indeterminados com varios (sic) valores para x e y mas sempre com o mesmo valor
de x e y entre elas”. A Dupla 2, respondeu de forma correta quatro itens, sendo os
itens b, c, d e e, mostrando avanços em relação à produção anterior ao redesign.
Pudemos notar que esta dupla só resolveu os casos em que os valores de a eram
inteiros e positivos, facilitando a sua determinação por cálculo mental. Na segunda
parte desta tarefa, pudemos observar que a Dupla 2 ainda apresentou dificuldade
em relacionar um sistema linear no registro simbólico-algébrico com a sua
correspondente representação no registro gráfico, informando que o gráfico dos
sistemas apresentados na Tarefa 7 seria: “Todo número divindo (sic) por 2 ou 3 será
o valor de “a” ”.
Na Tarefa 8, pudemos observar que a Dupla 1 não conseguiu generalizar no
registro algébrico as condições necessárias para que o gráfico de um sistema
possível e indeterminado seja representado por duas retas coincidentes, mas
apresentaram no registro da língua natural, de uma forma um pouco confusa, as
condições que consideravam necessárias para esse tipo de sistema: “Os valores de
x e y tem que ser iguais em ambas as equações e tem que ser semelhantes de
alguma forma”. A Dupla 2 também não apresentou uma generalização para que um
sistema possível e indeterminado tenha no registro gráfico retas coincidentes, mas
apresentou como resposta o seguinte caso particular: “
1266
633
yx
yx”, diferente de
todos os trabalhados no experimento. Quando a dupla foi questionada pelo
professor-pesquisador sobre essa resposta, os alunos responderam: “os números
estão na tabuada do dois”. Assim, conjecturamos que essa dupla observou um caso
particular de relação entre os coeficientes e os termos independentes de duas
equações que formam um sistema linear possível e indeterminado.
Apesar dos avanços apresentados pelas duplas, notamos que elas ainda
apresentavam compreensões limitadas e instáveis. Ora suas produções pareciam
revelar domínio na relação da proporcionalidade, ora demonstravam dúvidas nesta
compreensão. Com isso, realizamos mais um redesign para o caso SPI, com o
objetivo de fornecer aos sujeitos um ambiente favorável para que observassem a
196
questão da proporcionalidade existente em todos os sistemas possíveis e
indeterminados, independente do valor da proporção. Apresentamos, a seguir, essa
reformulação.
6.2.1.2 Redesign do caso SPI - Segunda atividade adicional
O objetivo da Segunda Atividade Adicional, presente no apêndice K, foi
propiciar aos alunos situações de comparação entre vários sistemas do tipo possível
e indeterminado, para que eles investigassem o aspecto comum entre eles, ou seja,
a proporcionalidade dos coeficientes, independente do valor existente de proporção.
Essa Atividade Adicional foi constituída por cinco tarefas. As três primeiras
apresentavam sistemas lineares com o parâmetro “a” no termo independente de
uma das equações que formava o sistema proposto, como por exemplo, o sistema
linear
ayx
yx
52
8104, que foi apresentado na primeira tarefa. As duplas utilizaram o
software Winplot para determinar o valor do parâmetro “a” e, em seguida,
identificaram os valores dos coeficientes e dos termos independentes em uma
tabela, semelhante à apresentada a seguir:
Figura 96 – Atividade Adicional – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal
Quando as duplas foram questionadas a respeito da existência de alguma
relação entre os valores dos coeficientes de x, dos coeficientes de y e dos termos
independentes das duas equações, elas forneceram as seguintes produções.
197
Figura 97 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal
A Tarefa 2 era semelhante à primeira tarefa. Nela foi apresentado aos alunos
um sistema linear acompanhado de uma tabela para ser preenchida da mesma
forma que a tarefa anterior, porém, ela também sugeriu aos alunos que
examinassem se a relação encontrada na Tarefa 1 também seria válida para a
Tarefa 2. A Dupla 1 apresentou a seguinte resposta: “Sim, o método da divisão
funciona nesse caso também porém os resultados das divisões devem ser sempre 5
para as retas serem coincidentes”. Com isso, pode-se notar que essa dupla
observou a relação existente entre as equações nessa tarefa em particular, quando
afirmou que a proporcionalidade deveria ser igual a cinco. A dupla 2 já apresentou
uma justificativa generalizada: “Sempre que dividir os termos coeficientes x e y e o
termo independentes (sic) serão iguais e as retas coincidentes.” Tal fato parece
indicar que essa dupla observou a questão da proporcionalidade independente do
valor da proporção.
Na Tarefa 3, semelhante às tarefas anteriores, as duplas deveriam investigar
se a relação encontrada anteriormente também funcionaria na Tarefa 3. A Dupla 1
respondeu: “Sim funciona, que é o método da divisão onde se divide a 1º pela 2º, e
no caso o resultado é -4”. Analisando essa produção, evidenciamos um avanço da
Dupla 1, uma vez que ela não mais se prendeu a um caso particular, ou seja, ela
apresentou a análise da relação comum entre os sistemas propostos. A Dupla 2
apresentou uma justificativa idêntica à da tarefa anterior.
A Tarefa 4 apresentou o sistema linear
32
18612
yx
yx e solicitou aos alunos,
no registro da língua natural, que relatassem como explicariam para um colega que
a representação gráfica desse sistema linear seria constituído por duas retas
198
coincidentes. Apresentamos a seguir as produções das duplas referentes a essa
tarefa:
Figura 98 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional – Tarefa 4. Fonte: Acervo pessoal
A Tarefa 5 solicitou das duplas a criação de um sistema linear que gerasse
duas retas coincidentes e diferente dos apresentados nas tarefas anteriores. Ainda,
ela solicitou que as duplas apresentassem, no registro da língua natural, como eles
haviam pensado para construir esse sistema. Cada dupla apresentou o sistema
linear solicitado na tarefa acompanhado de sua justificativa, como apresentamos a
seguir:
Figura 99 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional – Tarefa 5. Fonte: Acervo pessoal
199
Após a aplicação da Atividade Adicional, reaplicamos a Atividade 2. Nesta
fase, os alunos demonstraram domínio em avaliar as relações entre os registros
algébrico e gráfico de sistemas lineares indeterminados. A título de ilustração,
apresentamos as produções das duas duplas nas tarefas 7 e 8, que solicitavam a
determinação do valor do parâmetro a para que cada um dos sistemas apresentados
admitisse infinitas soluções e a análise generalizada do caso SPI, respectivamente.
Figura 100 – Atividade do redesign – Atividade 2 – Tarefa 7 Fonte: Acervo pessoal
Os estudantes da Dupla 1 responderam corretamente os itens a,b,c,d, e, f e g.
Somente no item h apresentaram um equívoco, esquecendo de colocar o sinal de
menos no valor encontrado. Com isso, o professor-pesquisador sugeriu que
analisassem melhor este item e, com isso, rapidamente os alunos notaram o
equívoco cometido. Quando questionados sobre como haviam encontrado os
valores de a, o Aluno A explicou apontando para os coeficientes das equações e
comentou a respeito da proporcionalidade que existia entre eles. Observamos que,
na maioria das vezes, os estudantes dessa dupla obtinham os valores solicitados
por cálculo mental.
A dupla 2 apresentou dificuldades para a realização dos cálculos. O
professor-pesquisador interviu relembrando-os de como resolver regra de três
simples. Depois dessa intervenção, a dupla conseguiu determinar todos os valores
solicitados nessa tarefa. As duas duplas também reconheceram que a
representação gráfica de cada um dos sistemas para o valor de a indicado seria de
retas coincidentes.
200
A Tarefa 8 tratava da generalização de um sistema possível e indeterminado.
A Dupla 1 conseguiu estabelecer, de forma independente, a relação solicitada nessa
tarefa, conforme apresentado a seguir.
Figura 101 – Produção da Dupla 1 – Atividade 2 – Tarefa 8 Fonte: Acervo pessoal
Já a Dupla 2 necessitou do auxílio do professor-pesquisador para a
construção da forma generalizada da proporcionalidade.
Dessa forma, concluímos que, apesar da necessidade do redesign, o objetivo
desse ciclo foi atingido.
6.2.2 Análise do caso SI
Nesta seção, serão apresentados os resultados da análise das produções dos
estudantes diante de sistemas impossíveis. A partir desta atividade, contamos com a
participação da Dupla 2 e de apenas um dos membros da Dupla 1, uma vez que o
outro componente dessa dupla relatou que, por problemas particulares, não poderia
mais participar dos encontros.
6.2.2.1 Redesign do caso SI
Dado que durante a aplicação da atividade do caso SPI foram necessárias
algumas alterações, procuramos, antes da aplicação das atividades do caso SI
propostas e apresentadas anteriormente no capítulo 4, reformulá-las sob o mesmo
aspecto.
Com isso, a Tarefa 1 da Atividade 3 foi dividida em itens e entre eles
inserimos um questionamento a respeito da classificação do sistema apresentado no
início da tarefa. Na sequência, solicitamos aos alunos que construíssem no Winplot
201
um sistema linear que gerasse duas retas paralelas distintas e completassem a
tabela a seguir:
Figura 102 – Atividade 3 – Tarefa 1 do redesign. Fonte: Acervo pessoal
Na sequência dessa tarefa, foi solicitado aos alunos que verificassem se as
relações encontradas nas atividades que tratavam de sistemas possíveis e
indeterminados eram válidas para o caso apresentado na Tarefa 1 da Atividade 3,
que tratava de sistemas impossíveis. Em seguida, foi solicitada aos alunos a
construção de um novo sistema linear que gerasse duas retas paralelas distintas,
completando uma tabela semelhante à apresentada na Figura 119.
Dando continuidade à Tarefa 1, foram investigadas as conjecturas elaboradas
pelos alunos no caso de sistemas impossíveis, ou seja, a relação entre este caso e a
representação de duas retas paralelas distintas.
Na Tarefa 2 fizemos reformulações semelhantes à tarefa anterior, e inserimos
um novo questionamento, que solicitava, no registro da língua natural, a relação
existente entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os valores dos
coeficientes da segunda equação, elementos encontrados via exploração no
Winplot. Nas demais tarefas não foram realizadas reformulações. A seguir,
apresentamos a análise das produções dos estudantes na Atividade 3. A atividade
reformulada está presente no apêndice L.
202
6.2.2.2 Análise da Atividade 3
Na Tarefa 1 foi apresentado o sistema
433
66
yx
ayx, sendo que os estudantes
deveriam determinar, com auxílio do Winplot, o valor de a de modo que a
representação no registro gráfico gerasse retas paralelas distintas.
O integrante da Dupla 1 realizou essa tarefa com sucesso, registrando na
ficha de atividade que o valor de a deveria ser “Qualquer valor diferente de 8” e que
a classificação do sistema seria dada como Impossível. A Dupla 2 realizou essa
tarefa de forma correta, indicando que o valor de a para satisfazer essa situação
seria “O infinito, menos o 8” e, a classificação desse tipo de sistema seria dada
como Impossível. Conjecturamos que o sucesso nessa atividade tenha ocorrido
graças ao fato de os estudantes terem constituído uma base sólida na tarefa
anterior, além de contarem com o auxílio do software Winplot, que, da mesma forma
que constatado por Souza et al. (2011), favoreceu aos alunos a atividade de
conversão entre os registros algébrico e gráfico, colaborando assim para a
determinação do parâmetro a.
No item 1a, os estudantes deveriam selecionar um sistema que gerasse duas
retas paralelas distintas (sistema impossível) com o auxílio do software, completando
em seguida a tabela apresentada no redesign. O aluno da Dupla 1 escolheu um
sistema semelhante ao proposto nessa atividade, atribuindo ao parâmetro a o valor
dois, apresentando o sistema
433
266
yx
yx. Em sua justificativa, ele demonstrou
compreensão na análise da relação entre os coeficientes.
203
Figura 103 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 1a. Fonte: Acervo pessoal
A Dupla 2 selecionou de forma correta um sistema que se adequava à
situação proposta e demonstrou, em sua justificativa, sucesso em analisar a relação
entre os coeficientes, apesar dos problemas observados na língua natural escrita,
conforme apresentamos a seguir:
Figura 104 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 1a Fonte: Acervo pessoal
204
Na mesma tarefa foi proposto aos estudantes que selecionassem outro
sistema que gerasse duas retas paralelas distintas, e todos realizaram essa etapa
com sucesso. No item 1b, foi apresentado o seguinte sistema
byx
yx 1244. Neste
caso, os alunos deveriam determinar o valor de b, primeiramente no ambiente papel
e lápis, para que a representação no registro gráfico fosse de duas retas paralelas
distintas.
O integrante da Dupla 1 respondeu “Qualquer valor diferente de 3” e, após
conferir o obtido com o fornecido pelo software, ele apresentou a seguinte produção:
Figura 105 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 1b Fonte: Acervo pessoal
A Dupla 2 respondeu “Infinitos números, menos o 3” e também verificou que
sua resposta era coerente com a situação presente no software, fornecendo a
seguinte produção:
Figura 106 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 1b Fonte: Acervo pessoal
Pode-se observar que as duplas notaram a relação que deveria existir entre
os coeficientes e termos independentes, para que a representação no registro
gráfico de um sistema linear fosse dada por duas retas paralelas distintas.
Interpretamos que o trabalho com as tarefas do caso anterior (SPI), após o redesign,
foi eficaz e favoreceu a continuidade das tarefas, dado que os estudantes
conseguiram analisar, sem qualquer intervenção, esta nova situação.
A tarefa 2 era semelhante à tarefa anterior. O integrante da Dupla 1 e a Dupla
2 apresentaram produções corretas e equivalentes às já apresentadas.
205
A Tarefa 3 apresentou o sistema
888
622
yx
yx, solicitando aos estudantes a
sua representação gráfica, por meio de uma conversão do registro algébrico para o
registro gráfico.
O componente da Dupla 1 iniciou a tarefa realizando tratamentos no registro
algébrico das equações que formavam o sistema e, em seguida realizou conversões
do registro algébrico para o registro numérico-tabular, com o objetivo de encontrar
os pares ordenados para a elaboração do gráfico que era proposto nessa atividade.
Após realizar o primeiro tratamento, o componente da Dupla 1 solicitou a
presença do professor-pesquisador para verificar se os valores encontrados por ele
estavam corretos, pois havia ficado intrigado em ter que adicionar apenas valores
ímpares à incógnita x para obter na incógnita y valores inteiros. O professor-
pesquisador informou ao aluno que não havia problema em atribuir apenas valores
ímpares em uma equação, quando se tem por objetivo determinar apenas valores
inteiros, mas solicitou ao aluno verificar se o tratamento realizado no registro
algébrico estava correto e, informou que o processo para a construção do gráfico era
válido. Depois de alguns instantes, o aluno percebeu o equívoco cometido e, nesse
instante, o professor-pesquisador solicitou que prosseguisse na tarefa sem apagar a
produção incorreta anterior.
206
Figura 107 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 3 Fonte: Acervo pessoal
Após encontrar os pares ordenados para as duas equações, o componente
da Dupla 1 forneceu a seguinte produção acompanhada de suas observações.
Figura 108 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 3 Fonte: Acervo pessoal
207
Pode-se observar que o aluno realizou de forma satisfatória a Tarefa 3,
apresentando avanços tanto para realizar o tratamento dentro do registro algébrico
quanto para realizar a conversão entre os registros algébrico, numérico-tabular e
gráfico.
Apesar da imprecisão na elaboração da representação gráfica, a Dupla 2
também apresentou grandes avanços nessa tarefa, tanto no tratamento no registro
algébrico quanto na conversão entre os registros numérico-tabular e gráfico, se
comparada com as produções fornecidas em atividades anteriores. Da mesma
maneira que o componente da Dupla 1, a Dupla 2 realizou um tratamento no registro
algébrico e, em seguida, confeccionou uma tabela para obter pares ordenados
referentes a cada uma das equações que formavam o sistema linear proposto,
atribuindo valores à incógnita x e determinando os valores correspondentes para a
incógnita y. Em seguida apresentaram o sistema linear proposto nessa atividade no
registro gráfico. A seguir, apresentamos a produção dessa dupla.
Figura 109 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 3 Fonte: Acervo pessoal
208
Figura 110 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 3 Fonte: Acervo pessoal
Como o trabalho com construção de gráficos no plano cartesiano estava
sendo realizado também nas aulas de Matemática e Física, é provável que este fato
influenciou no desempenho dos estudantes. Pode-se notar que os alunos
apresentaram uma compreensão mais efetiva, realizando com sucesso tratamentos
no registro algébrico e conversões entre os registro numérico-tabular e gráfico. Tal
fato vem de encontro com os pressupostos de Duval (2003), quando garante que a
habilidade de coordenar representações de diferentes registros contribui para uma
sólida construção de um objeto matemático.
Para a realização da Tarefa 4, que consistia no preenchimento de duas
tabelas, uma com valores que satisfaziam a equação 622 yx e outra com
valores que satisfaziam a equação 888 yx , o aluno da Dupla 1 realizou essa
tarefa com sucesso, completando toda a tabela. A Dupla 2 não sabia iniciar a tarefa
e, diante isso, o professor-pesquisador teve de intervir para esclarecer aos
estudantes que eles poderiam atribuir os valores que julgassem mais convenientes
para a construção da tabela. Salienta-se que a dupla ainda apresentava alguns
problemas em tratamentos no registro algébrico, apesar de observarmos a redução
dessa dificuldade, quando comparado com o que ela apresentava nas tarefas
anteriores. Notamos que não havia a necessidade de incluir esta tarefa, uma vez
que as duplas só observaram que o sistema era impossível após sua resolução,
enquanto tínhamos por objetivo que com esta tarefa elas observassem que não
havia par ordenado que satisfizesse simultaneamente as duas equações.
209
A Tarefa 5, relacionava as equações da tarefa anterior, e os estudantes
deveriam resolver o sistema
888
622
yx
yx, apontando suas observações, a solução
desse sistema e sua classificação. O aluno da Dupla 1 apresentou os seguintes
cálculos
Figura 111 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 5 Fonte: Acervo pessoal
O aluno da Dupla 1 reconheceu que se tratava de um sistema impossível “por
dar resultados distintos (24=8), algo que é impossivel (sic)” e, afirmou que a
representação gráfica de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas,
classificado como sistema impossível, era dado por “duas retas paralelas distintas” e
a quantidade de soluções de um sistema impossível era “nenhuma”.
Para a realização dessa atividade, A Dupla 2 apresentou os seguintes
cálculos:
210
Figura 112 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 5 Fonte: Acervo pessoal
Pode-se observar que a Dupla 2 realizou os cálculos dessa tarefa de forma
correta, apresentando a classificação do sistema proposto. Nessa tarefa os
estudantes ainda informaram que a representação gráfica desse sistema seria
representado por “retas paralelas”. Quando indagados a respeito da quantidade de
soluções de um sistema impossível, eles forneceram a produção “nem uma”.
A Tarefa 6 apresentou três sistemas lineares no registro algébrico. Os
estudantes deveriam determinar o valor do parâmetro a para obter um sistema
impossível, sem o auxílio do software.
211
Figura 113 – Atividade do redesign – Atividade 3 – Tarefa 8 Fonte: Acervo pessoal
O integrante da Dupla 1 realizou a tarefa com sucesso, sem a necessidade da
intervenção do professor-pesquisador, indicando a condição de a para que cada
sistema se tornasse impossível e confirmando que a representação gráfica desses
sistemas seria dada por “Duas retas paralelas distintas”.
A Dupla 2 a princípio apresentou dificuldades em resolver essa tarefa, pois os
coeficientes de maior valor estavam na segunda equação. Com a intervenção do
professor-pesquisador, questionando para qual valor de a o sistema
633 yx
ayx
admitiria no registro gráfico duas retas coincidentes, os estudantes afirmaram que
para a igual a dois. Pretendia-se fornecer um ambiente favorável para a comparação
entre o caso já visto (SPI) e o novo caso (SI). Em seguida, o professor-pesquisador
questionou a dupla a respeito do valor de a para que as retas não fossem
coincidentes. Os alunos responderam prontamente que isso ocorreria para “qualquer
valor diferente de dois”. Essa dupla conseguiu responder todos os itens dessa tarefa
de forma correta, demonstrando compreensão da relação entre a representação
gráfica e a algébrica de um sistema linear impossível.
Figura 114 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 6 Fonte: Acervo pessoal
Na tarefa 7, os estudantes deveriam apresentar a análise da relação entre os
coeficientes de forma generalizada. Assim como na Tarefa 8 da Atividade 2, o aluno
da Dupla 1 determinou de forma correta e independente a condição para que um
sistema linear no registro gráfico fosse representado por duas retas paralelas
212
distintas. A Dupla 2 questionou o professor-pesquisador se era para fazer igual à
tarefa da Atividade 2, ao que o professor-pesquisador concordou. Ela encontrou, de
forma independente, a condição para que a representação gráfica do sistema linear
feydx
cbyax fosse representado por duas retas paralelas distintas, ou seja, para que
o sistema fosse impossível.
Na Tarefa 8, foi apresentado o seguinte sistema homogêneo
055 yx
ayx,
sendo que os estudantes deveriam determinar o valor do parâmetro a para obter um
sistema impossível com o auxílio do software. O aluno da Dupla 1 respondeu
“qualquer valor diferente de 0” e os alunos da Dupla 2 responderam “Infinito (sic)
números, menos o 0”. Conjecturamos que a utilização do computador favoreceu a
realização dessa tarefa, uma vez que o aluno poderia observar, em tempo real, a
relação entre as representações algébrica e gráfica, o que também foi constatado
por Fonseca e Júnior (2011).
Diante dessas produções, concluímos que, o objetivo desse ciclo foi atingido.
6.2.3 Análise do caso SPD
Na Atividade 4, que tratava da análise do caso de um sistema possível e
determinado, os estudantes deveriam construir um sistema linear de duas equações
e duas incógnitas que gerasse duas retas concorrentes, com o auxílio do software
Winplot e explicar como haviam pensado para fazer esta construção. Dando
continuidade à Atividade 4, os estudantes deveriam informar quantas soluções esse
sistema possuía e qual a sua classificação.
Na produção do aluno da Dupla 1, pôde-se observar que ele pautou a sua
explicação referente à construção de um sistema possível e determinado com o
auxílio do software, relacionando com as análises observadas nas atividades
referentes aos casos (SPI) e (SI), informando a inexistência de proporcionalidade
entre os coeficientes e termos independentes de um sistema linear para que fossem
geradas duas retas concorrentes. Apresentamos a seguir, a produção desse aluno.
213
Figura 115 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 4 Fonte: Acervo pessoal
Salienta-se que bastava existir a diferença entre as duas primeiras razões
para que o sistema fosse classificado como possível e determinado, ou seja, a razão
existente entre os termos independentes poderia coincidir com qualquer uma das
outras duas.
Na produção da Dupla 2, observamos que os estudantes analisaram a
qualidade do sistema notando a inexistência de proporcionalidade dos coeficientes
das equações, conforme apresentado a seguir.
Figura 116 – Produção da Dupla 2 – Atividade 4 Fonte: Acervo pessoal
214
Essa dupla também indicou que as três razões deveriam ser diferentes,
enquanto que bastaria que as duas primeiras não coincidissem.
Ainda na Atividade 4, todos os estudantes responderam que um sistema
desse tipo tinha uma solução e que era classificado como sistema possível
determinado.
Conjecturamos que o trabalho gradativo de construção da avaliação da
existência ou não de proporcionalidade, integrando os registros algébrico, gráfico e
da língua natural, permitiu uma sólida construção desse conhecimento. Da mesma
forma que constatado por Boeri e Silva (2011), o uso do computador em nosso
estudo contribuiu para uma entrada experimental, para aspectos de visualização e
para a elaboração de conjecturas na análise dinâmica das relações entre as
representações gráfica e algébrica. Em consonância com o apontado por Duval
(2003), notamos que a integração entre os registros monofuncionais discursivos, não
discursivos e multifuncionais discursivos forneceu uma compreensão efetiva do
objeto matemático.
No próximo capítulo apresentaremos a conclusão de nosso estudo.
215
7 CONCLUSÃO DO ESTUDO
Neste capítulo apresentaremos a conclusão de nosso estudo, retomando, de
forma sintetizada, o objetivo de nossa pesquisa, a problemática evidenciada na
literatura, a análise do Caderno do Aluno do Estado de São Paulo e dos livros
didáticos e a elaboração da proposta, destacando as hipóteses iniciais e as
questões de pesquisa. Em seguida descreveremos os papéis desempenhados pelos
sujeitos envolvidos em nossa pesquisa (alunos e professor-pesquisador), além das
influências do software Winplot durante o processo de aplicação do design. Por fim,
apresentaremos algumas perspectivas para futuras investigações.
7.1 SÍNTESE DAS ETAPAS DE PESQUISA
Pretendíamos, em nossa pesquisa, elaborar, aplicar e avaliar um experimento
de ensino sobre sistemas lineares, construído de forma a explorar principalmente
conversões entre os registros gráfico, algébrico e da língua natural, nos ambientes
papel e lápis e computacional Winplot.
Para fundamentar o estudo utilizamos a teoria dos registros de
representações semióticas de Duval (1995, 2000, 2006). Buscamos na literatura,
pesquisas que trataram do objeto matemático sistemas lineares, as quais
basicamente apontaram dificuldades por parte dos estudantes no estabelecimento
de conversões entre representações dos registros gráfico e algébrico e a valorização
do registro algébrico com reduzida exploração da atividade de conversão nos livros
didáticos.
Também observamos na literatura, pesquisas que recomendaram intensificar
a exploração do registro gráfico, pelo fato de ele facilitar a compreensão do conjunto
solução e da classificação de um sistema linear. Com relação às pesquisas
relacionadas à inserção de recursos computacionais no ensino de Matemática,
observamos a indicação de ferramentas para favorecer o desenvolvimento do
pensamento matemático, trazendo benefícios que não seriam possíveis em outros
ambientes de ensino, garantindo ao aluno uma participação ativa na construção do
conhecimento. Pesquisas que trataram exclusivamente do uso do software Winplot
destacaram seu aspecto positivo em relação à exploração de conversões entre os
registros gráfico e algébrico.
216
Partindo dessa problemática e considerando que o conteúdo de sistemas
lineares é dado primeiramente no ensino fundamental, procuramos investigar como
o Caderno do Aluno do Estado de São Paulo e uma amostra de livros didáticos
indicados pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD) tratavam deste conteúdo
nesta fase de ensino. Com relação ao Caderno do Aluno, notamos uma
preocupação em tratar o objeto matemático explorando as relações entre
representações de diferentes registros, mas pudemos constatar que, em nenhuma
das atividades propostas, era solicitada ao aluno a análise da existência ou não de
proporcionalidade entre os coeficientes para avaliar sua classificação. Pudemos
observar, também, que este material não apresentava qualquer proposta de
utilização de recursos computacionais.
Com relação à amostra analisada de quatro livros indicados pelo PNLD,
constatamos que três privilegiavam os registros algébrico e da língua natural.
Apenas uma das obras mostrou a preocupação de explorar registros não discursivos
e conversões distintas daquelas que partiam da língua natural para o registro
algébrico. Pudemos observar, também, que em nenhuma das obras analisadas em
nossa pesquisa foi recomendada a utilização de recursos computacionais.
Diante da problemática exposta, evidenciada na revisão de literatura, na
análise dos livros e do Caderno do Aluno, elaboramos um experimento de ensino
visando preencher a lacuna detectada. Com isso, procuramos integrar os diversos
registros, principalmente o algébrico, o gráfico e o da língua natural, tendo o
software Winplot como ferramenta de apoio, e explorar a análise das classificações
de sistemas lineares pela investigação da existência ou não de proporcionalidade.
Para a construção e condução do experimento, utilizamos a metodologia de
Design Experiment de Cobb et al. (2003), que prevê a elaboração de experimentos
de domínios matemáticos específicos, com intuito de obter inovações no ensino
dessa ciência. O foco deste tipo de metodologia está no sujeito, na análise de sua
trajetória, no levantamento de suas dificuldades e de seus possíveis avanços e,
diante disso, o experimento foi constantemente remodelado em função das
produções dos estudantes.
Inicialmente participaram do experimento seis estudantes com faixa etária
entre treze e quatorze anos, porém, somente três realizaram todas as atividades. No
momento da aplicação, eles cursavam o nono ano do ensino fundamental de uma
escola pública do estado de São Paulo e já haviam estudado o conteúdo de
217
sistemas lineares segundo uma abordagem que privilegiou o registro algébrico, sem
explorações de análise da proporcionalidade entre os coeficientes das equações e
sua relação com o registro gráfico. Os alunos também não haviam utilizado qualquer
recurso computacional quando estudaram este tópico.
A aplicação foi organizada em duas fases. A Fase 1, composta por um
questionário inicial, teve a finalidade de investigar os conhecimentos prévios dos
estudantes. Nesta fase, eles apresentaram dificuldades em vários aspectos, dentre
eles, na resolução algébrica, na representação gráfica e na classificação de
sistemas. Como estes conhecimentos eram pré-requisitos para o desenvolvimento
do experimento, foi realizada uma revisão destes tópicos, o que representou a
primeira reformulação do desenho inicial. Na Fase 2, foram aplicadas as atividades
elaboradas, que trataram da análise da qualidade de sistemas lineares por avaliação
da existência ou não de proporcionalidade, integrando os registros algébrico, gráfico
e da língua natural. Esta fase incluiu o software Winplot, utilizado principalmente
como ferramenta para uma entrada experimental. Nesta fase foram realizados
redesigns do projeto original, visando adequar as atividades às produções dos
estudantes.
Para a análise dos dados, foram coletados, avaliados e comparados os
registros escritos presentes nas fichas das atividades distribuídas a cada dupla, a
áudio-gravação das falas dos estudantes e a captura das telas dos computadores.
A seguir, retomaremos as hipóteses iniciais, com a finalidade de verificar se
as mesmas foram confirmadas.
7.2 VERIFICAÇÃO DAS HIPÓTESES INICIALMENTE ESTABELECIDAS
Hipótese 1. O experimento proposto permitirá avaliar as unidades
significativas dos registros gráfico e algébrico de sistemas lineares.
Concluímos que os estudantes conseguiram evidenciar, na maioria dos casos
e para cada tipo de sistema linear, as condições específicas no registro algébrico. A
identificação das unidades significativas neste registro se deu por meio da análise da
existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes e termos
independentes.
218
Isso ocorreu com sucesso nas Atividades 1, 2, 3 e nas Atividades Adicionais.
Somente na Atividade 4, para o caso SPD, notamos que os estudantes não
observaram que bastava a diferença entre as duas primeiras razões para que o
sistema tivesse essa classificação. No registro gráfico, a identificação das unidades
significativas se deu pela análise da posição relativa entre duas retas (paralelas
distintas, coincidentes ou concorrentes) e os estudantes tiveram sucesso em todas
as atividades que trataram deste aspecto. Ressaltamos que esse sucesso não
ocorreu de imediato.
Durante a execução do experimento, evidenciamos dificuldades na
compreensão do significado de um parâmetro presente no registro algébrico de um
sistema linear. Ressaltamos que Freitas (1999) também observou este tipo de
dificuldade em seus sujeitos, atribuindo essa ocorrência à pouca exploração de
sistemas com parâmetros no ensino deste tópico. Ainda, na execução do
experimento, os estudantes frequentemente demonstraram dificuldades em
estabelecer tratamentos no registro algébrico, o que foi sendo amenizado durante o
processo. Outra dificuldade evidente nas produções dos estudantes foi a
insegurança na construção da representação gráfica de um sistema linear no
ambiente papel e lápis.
Em consonância com o afirmado por Duval (2003), é presumível que tal
dificuldade tenha ocorrido pelo fato de o ensino de Matemática privilegiar os
registros monofuncionais discursivos em detrimento dos demais. Especificamente no
ensino de sistemas lineares, tal fato foi constatado por Battaglioli (2008) e, em nossa
análise dos livros didáticos, também pudemos observar que o registro gráfico e
conversões entre ele e os demais são aspectos pouco explorados.
Apesar disso, essas dificuldades foram amenizadas durante o processo e,
comparando as produções dos estudantes fornecidas nas Fases 1 e 2 de nosso
experimento, concluímos que esta hipótese foi confirmada, com exceção da análise
das unidades significativas para a generalização do caso SPD no registro algébrico.
Hipótese 2. O experimento proposto permitirá avaliar a relação entre os
diversos registros desse objeto matemático.
Pautamos o presente estudo na teoria dos registros de representações
semióticas de Duval (1995), com o objetivo de fornecer aos estudantes o contato
219
com os diversos registros de representação semiótica referentes ao estudo do objeto
matemático sistemas lineares. Procuramos elaborar atividades que favorecessem o
estabelecimento de relações entre os registros gráfico, algébrico, tabular e da língua
natural.
As conexões entre representações dos registros gráfico e algébrico se deram
pela análise das relações entre os coeficientes presentes no registro algébrico e as
posições relativas entre duas retas no registro gráfico, exploradas nos ambientes
papel e lápis e computacional.
Apesar de essas relações não serem estabelecidas de imediato nas
Atividades 1 e 2, demandando a elaboração de atividades intermediárias e de
redesigns, notamos que, após as reformulações que se mostraram necessárias, os
estudantes tiveram sucesso nas Atividades 1, 2, 3 e nas Atividades Adicionais. Na
Atividade 4, conforme já exposto na descrição da hipótese anterior, os estudantes
não notaram que, para o sistema ser SPD, bastava que as duas primeiras razões
fossem diferentes.
Em consonância com Borba e Penteado (2010) e Noss e Hoyles (1996),
observamos que o trabalho no software favoreceu o desenvolvimento do
pensamento matemático, porém, os avanços nas relações iniciais entre os registros
algébrico e gráfico se deram apenas no momento em que reformulamos o desenho
original, inserindo uma representação auxiliar, no caso, a tabular, e solicitando um
trabalho de comparação entre sistemas. Tal constatação mostra a importância de se
integrar representações de diversos registros no ensino de um objeto matemático.
Na maior parte das tarefas, também foram requisitadas justificativas na língua
natural escrita e, com isso, os estudantes deveriam estabelecer relações entre o
registro algébrico, considerado monofuncional discursivo, o registro gráfico,
classificado como monofuncional não discursivo e a língua natural, considerada
como multifuncional discursivo. Pudemos constatar, durante a aplicação deste
experimento, dificuldades dos estudantes em relatar suas conclusões no registro da
língua natural.
Em diversos momentos tivemos que questioná-los para entender o que
queriam expressar. Em consonância com Duval (1995), que afirma que o ensino de
Matemática privilegia o registro monofuncional discursivo, interpretamos essas
dificuldades com o fato de termos observado a ausência de resoluções de exercícios
220
neste tipo de registro nos livros didáticos e no Caderno do Aluno do Estado de São
Paulo.
Notamos que as dificuldades anteriormente descritas foram amenizadas
durante a execução do experimento e, com isso, consideramos que a Hipótese 2 foi
parcialmente confirmada.
Hipótese 3. O experimento proposto permitirá avaliar a qualidade de um
sistema de duas equações e duas incógnitas por meio da investigação das
consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade de seus coeficientes.
Conforme já relatado, nos primeiros encontros os estudantes não haviam
observado as consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade, porém,
após a apresentação de um trabalho conjunto entre o software e a representação
tabular no ambiente papel e lápis, aliado a tarefas de comparação entre vários
sistemas lineares, eles passaram a avaliar a questão da existência de
proporcionalidade para o caso SPI.
Observamos que a inserção de um novo tipo de representação semiótica no
design representou uma nova ferramenta de análise, evidenciando aspectos
diferentes daqueles observados por meio das representações inicialmente propostas
nas tarefas. Após a avaliação do caso SPI, as investigações para os demais casos
ocorreram de forma natural, evidenciando uma sólida compreensão das
consequências gráficas e algébricas via análise da existência ou não de
proporcionalidade.
Os alunos conseguiram generalizar as condições para os casos SPI e SI e,
somente para o caso SPD, conforme já relatado anteriormente, a conclusão
genérica não foi plena. Com isso, concluímos que esta terceira hipótese só não foi
totalmente contemplada devido a este aspecto.
7.3 ANÁLISE DAS QUESTÕES DE PESQUISA
Neste momento, retomamos as nossas questões de pesquisa. A primeira
questão foi dada por: "Em que aspectos a abordagem proposta, que envolve a
análise das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos
221
coeficientes das equações, influencia os estudantes na compreensão da qualidade
de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas?"
Concluímos que a abordagem proposta influenciou positivamente os
estudantes na construção de uma sólida compreensão do aspecto qualitativo de
sistemas lineares. O trabalho integrado entre os registros algébrico, gráfico e da
língua natural permitiu uma nova forma de conceber os sistemas lineares, dado que
os estudantes puderam reconhecer sua classificação em diferentes sistemas de
representação, estabelecendo relações e comparações entre eles. Ainda, da
maneira como foi construído e conduzido, notamos que o experimento favoreceu a
autonomia para a resolução das atividades.
A segunda questão, relativa à ferramenta adotada é retomada a seguir:
"Como o software adotado, ao viabilizar a análise dinâmica das relações entre
representações dos registros algébrico e gráfico, contribui para a compreensão da
análise da qualidade de sistemas lineares?"
Concluímos que o Winplot contribuiu de forma eficaz nas investigações
experimentais, apesar de constatarmos que no início do experimento o seu uso não
garantiu a visualização da relação entre representações dos registros algébrico e
gráfico, conforme se esperava. Constatamos que essa ferramenta teve maior
influência quando foi associada a um trabalho conjunto com a representação tabular
no ambiente papel e lápis. A despeito deste aspecto, concluímos que o seu uso foi
primordial, tanto na construção do conceito como no aspecto motivacional dos
estudantes.
7.4 PAPEIS DESEMPENHADOS PELOS SUJEITOS
Durante o desenvolvimento do design, coerentemente com a metodologia
adotada, que prevê a elaboração de um experimento que seja flexível e que
favoreça o avanço dos estudantes, foram necessárias algumas remodelações nas
atividades iniciais do nosso experimento. Desta forma, o professor-pesquisador
identificou as reformulações necessárias durante a execução do experimento,
fornecendo novas atividades, para que os alunos pudessem avançar nas suas
construções. Ainda, ele apresentou novos questionamentos e sugestões nos
momentos de bloqueio, objetivando proporcionar aos estudantes condições para
analisarem suas próprias produções.
222
Os estudantes demonstraram motivação para participar dos encontros,
principalmente nos momentos de uso do recurso computacional, e procuraram
desenvolver as atividades com independência, requisitando o auxílio do professor-
pesquisador de forma pontual.
7.5 O PAPEL DO RECURSO COMPUTACIONAL WINPLOT NO
DESENVOLVIMENTO DO EXPERIMENTO
Quanto ao software adotado, da mesma forma que Souza et al. (2011) e Mota
e Laudares (2011), confirmamos que o uso deste tipo de ferramenta foi positivo em
relação à possibilidade de experimentação e na análise dinâmica e simultânea entre
os registros algébrico e gráfico. Apesar disso, conforme relatado anteriormente,
esperávamos que esse ambiente fosse suficiente para que os estudantes
observassem as relações entre os coeficientes e termos independentes do registro
algébrico com a posição relativa das retas no registro gráfico. Notamos que isso não
ocorreu de imediato, ou seja, houve a necessidade de integrar uma representação
auxiliar, -a tabular, para que os estudantes construíssem essas relações. Após essa
intervenção para o caso SPI, notamos que o software favoreceu as análises dos
casos SI e SPD.
Evidenciamos certa dependência da ferramenta por parte dos estudantes
para a construção de gráficos, uma vez que, nas atividades iniciais, quando estas
construções eram solicitadas no ambiente papel e lápis, os estudantes pediam para
utilizar a ferramenta computacional.
7.6 PERSPECTIVAS PARA NOVAS INVESTIGAÇÕES
Observando que o experimento proposto proporcionou ganhos no
aprendizado dos estudantes, sugerimos que este mesmo tipo de dinâmica seja
elaborada para sistemas lineares com três equações e três incógnitas ou mesmo
para outros objetos matemáticos, explorando as conversões entre os diferentes
registros e integrando recursos computacionais.
Considerando a importância do livro didático como elemento norteador do
processo de ensino de Matemática, sugerimos, também, a realização de
223
investigações voltadas ao mapeamento dos registros e conversões presentes na
abordagem de objetos matemáticos nos diferentes níveis de ensino.
Esperamos que este trabalho possa contribuir para a área de Educação
Matemática, representando um material adicional para a exploração de sistemas
lineares de duas equações e duas incógnitas.
224
REFERÊNCIAS BATTAGLIOLI, C. S. M. Sistemas lineares na segunda série do ensino médio: um olhar sobre os livros didáticos. 2008. 102 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) - Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP, São Paulo, 2008. BOERI, C. N.; SILVA, S. L. Novas Tecnologias no Ensino-Aprendizagem da Matemática: o uso da informática. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível em <http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/2660.pdf>. Acesso em: 17 set. 2011. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3ª Ed. 1ª Reimpressão. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. (Coleção Tendências em Educação Matemática, 2). BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998. ______. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Guia de livros didáticos: PNLD 2011. Brasília: MEC/SEF, 2010. COBB, P.; CONFREY, J.; DISESSA, A.; LEHRER, R.; SCHAUBLE, L. Design Experiments in education research. Educational Researcher, v. 32, n. 1, p. 9-13, 2003.
CURY, H. N. e BISOGNIN,E. Análise de Soluções de um Problema Representado por um Sistema de Equações. BOLEMA, Rio Claro, ano 22, n. 33, p. 1-22, 2009.
DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine. Berna: Peter Lang, 1995. ______. Basic Isseus for Research in Mathematics Education. In: CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 24, 2000, Hiroshima. Proceedings of the 24th PME. Hiroshima: Department of Mathematics Education, Hiroshima University, v.1, p. 55-69, 2000.
225
______. Registros de Representação Semiótica e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. (org.) Aprendizagem em Matemática, Registros de Representação Semiótica. Campinas: Papirus, p. 11-33, 2003. (Coleção Papirus Educação). ______. A cognitive analysys of problems of comprehension in a learnig of mathematics. Educational Studies in Mathematics, Springer, n. 61, p. 103-131, 2006. ______. Semiósis e Pensamento Humano: Registros semióticos e aprendizagens intelectuais (Fascículo I). São Paulo: Livraria da Física, 2009. FONSECA D. S. ; JÚNIOR A. J. S. Ensinando e aprendendo matemática com inclusão digital na escola pública brasileira. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível em < http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/1909.pdf>. Acesso em: 17 set. 2011. FREITAS, I. M. Resolução de sistemas lineares parametrizados e seu significado para o aluno. 1999. 96 f. Dissertação (Mestrado Ensino da Matemática) - Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP, São Paulo, 1999. GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da Matemática: Edição renovada, 7º Ano. São Paulo: FTD, 2009, p. 155-169. ______. A conquista da Matemática: Edição renovada, 8º Ano. São Paulo: FTD, 2009, p. 172-193. KARRER, M. Articulação entre álgebra linear e geometria: um estudo sobre as transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica. São Paulo, 2006. 435f. Tese (Doutorado em Educação Matemática). – Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP, São Paulo, 2006. MAGNI, R. J. M. Formação continuada de professores de matemática: mudanças de concepções sobre o processo de ensino e aprendizagem de geometria. 2011. 181f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN, São Paulo, 2011.
226
MOTA, J. F.; LAUDARES, J. B. Um estudo de planos, cilindros e quadráticas, explorando seções transversais para o desenvolvimento da visualização, com o Winplot. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível em <http://cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/856/972>. Acesso em: 25 out. 2011. NOSS, R.; HOYLES, C. Windows on Mathematical Meanings: Learning Cultures and Computers. v. 17. Mathematics Education Library, 1996. PANTOJA, L. F. L. A conversão de registros de representação semiótica no estudo de sistemas de equações algébricas lineares. 2008. 102 f. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica, Universidade Federal do Pará, Belém, 2008. PEREIRA A. N. P. Utilização de tecnologias da informação e comunicação nas práticas educativas de matemática na escola básica. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível em <http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/2435.pdf>. Acesso em: 17 set. 2011. PIETROPAOLO, R. C. (Re)significar a demonstração nos currículos da educação básica e da formação dos professores de matemática. 2005. Tese (Doutorado em Educação Matemática). – Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP, São Paulo, 2005. RIBEIRO, J. S. Projeto Radix: Matemática, 8º Ano. São Paulo: Scipione, 2010, p. 175-182. (Coleção projeto radix). SÃO PAULO (ESTADO). Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática - Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio. São Paulo: SEE, 2008. ______. Caderno do Aluno: Matemática, Ensino Fundamental – 7ª série / 8º ano, volume 3. Coordenação Geral, Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2009. ______. Caderno do Professor: Matemática, Ensino Fundamental – 7ª série / 8º ano, volume 3. Coordenação Geral, Maria Inês Fini São Paulo: SEE, 2009.
227
SOUZA, C. F. et al. A Inserção do Software Winplot no Ensino de Matemática. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível em <http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/1785.pdf>. Acesso em: 17 set. 2011. SOUZA, J. R.; PATARO, P. R. M. Vontade de saber matemática, 8º Ano. São Paulo: FTD, 2009, p. 141-149. (Coleção vontade de saber). TRENTIN, P. H. O Livro Didático na Constituição da Prática Social do Professor de Matemática. São Paulo, 2006. 174f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Programa de Pós-Graduação Stricto-Sensu em Educação, Linha de Pesquisa: Matemática, Cultura e Práticas Pedagógicas, Universidade São Francisco – USF, Itatiba – São Paulo, 2006.
228
APÊNDICE A – Familiarização do Software Winplot FAMILIARIZAÇÃO DO SOFTWARE WINPLOT
Para a utilização do software Winplot, apresentamos um breve roteiro para
facilitar o seu manuseio.
Na área de trabalho do computador encontra-se o ícone do software Winplot
. Dê um duplo "clique" neste ícone para que seja apresentada a tela inicial do
software.
Com a tela inicial, poderá aparecer uma janela com o título “você sabia
que...”. Nela são apresentadas algumas dicas e sugestões, entre elas como
construir gráficos em duas ou três dimensões, como alterar a exibição entre grade
retangular e polar, como modificar as marcar dos eixos x e y, dentre outras
modificações que poderão ser realizadas na construção dos gráficos. Clique em
“fechar”. A seguir, na barra superior da tela principal do software, aparecerão os
ícones “Janela” e “Ajuda”.
Para construir gráficos em duas dimensões, que é o objetivo de nossa
pesquisa, vamos clicar no ícone “Janela” e em seguida “2-dim” ou usar a tecla de
atalho “F2”
Neste caso, abrirá uma nova janela . Observe que nela
existe uma nova barra superior com oito abas.
229
Na barra superior "clique" em “Equação”. Com isso, será apresentada uma
nova aba vertical
A seguir, selecione a opção “Implícita”.
Será apresentada uma nova janela com o título “curva implícita”, na qual é
possível inserir equações do tipo cbyax .
230
Digite, então, a seguinte equação: 12 yx . É possível alterar os atributos de
uma reta (cor e espessura). Para alterar a cor da reta, "clique" no botão “cor”. Neste
caso será apresentada a seguinte janela.
Vamos, por exemplo, escolher a cor azul e em seguida "clicar" em fechar.
Caso deseje alterar a espessura da reta, vá em espessura da linha, altere o valor
(por exemplo para 3) e em seguida "clique" em “ok”.
231
Neste caso, aparecerá uma nova janela intitulada “inventário”, que possui
doze novos ícones e a equação que foi digitada aparece em destaque. Ainda nesta
janela, tem-se a reta solicitada representada no plano cartesiano, como vemos a
seguir:
Para inserir uma nova reta podemos seguir os passos anteriores ou clicar no
botão . Com isso, retornaremos à janela “curva implícita” e assim
poderemos inserir uma nova equação, como por exemplo, 2 yx . Para facilitar a
visualização da nova reta vamos alterar a cor para vermelha e clicar em “ok”. A
representação gráfica das equações é apresentada a seguir:
232
Pode-se observar que temos duas retas concorrentes. Para facilitar a
visualização do ponto de intersecção entre elas, "clique" em “ver” na barra superior e
em seguida em “grade”. Será apresentada uma nova janela na qual poderemos
escolher o tipo de grade para visualizar no plano cartesiano.
Pode-se escolher entre “setores polares” ou “retangular”. "Clique" em
retangular e depois em pontilhado. A seguir, "clique" em aplicar e, para concluir, em
“fechar”.
233
Agora temos uma visualização entre as duas retas com a grade retangular:
Para verificar o ponto de intersecção entre as retas com o auxílio do software,
vá à barra superior e "clique" em “Dois” e em seguida em “Interseções”.
Surgirá uma nova janela, na qual podemos visualizar as equações inseridas e
as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas.
234
Após verificar o ponto de intersecção entre as retas, "clique" em “fechar”.
Caso deseje inserir a equação algébrica no plano cartesiano, na janela “inventário”,
selecione uma das equações e "clique" no ícone “equação”. Será possível visualizar
a equação selecionada no canto superior esquerdo, apresentada na mesma cor da
reta. Faça o mesmo procedimento para a outra equação.
Para deslocar a equação de forma que fique próxima a sua representação
gráfica, "clique" em “Mouse” na barra superior da tela principal do software e em
seguida "clique" em “Texto”.
235
Agora "clique" com o botão direito do mouse na equação desejada e
mantenha o botão pressionado. Arraste a equação até a sua representação gráfica.
Se desejar alterar o tamanho e o tipo da fonte da equação apresentada,
"clique" em “Equação” na barra de ferramentas superior da tela principal do software
e, em seguida, em “Fonte”.
236
Na nova janela é possível alterar o tipo de fonte, o estilo da fonte e o seu
tamanho.
Após realizar as alterações que considerar conveniente, clicar no ícone “ok”.
Se houver a necessidade de alterar algum coeficiente ou termo independente
de uma das equações ou de ambas, basta clicar no ícone “editar” que se encontra
na janela “inventário”. Neste caso, retornaremos à janela “curva implícita”, na qual
poderão ser realizadas as alterações necessárias. Após realizar as alterações,
"clique" no ícone “ok”. Observe a nova representação gráfica com as alterações
realizadas.
Note que, alterando a segunda equação 2 yx para 1 yx , temos a
seguinte representação gráfica alterada.
237
238
APÊNDICE B - Questionário Preliminar
Nome: _________________________________________________________
QUESTIONÁRIO PRELIMINAR
Tarefa 1. O que é:
a) um sistema possível e determinado (SPD): ...........................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
b) um sistema possível e indeterminado (SPI): .........................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
c) um sistema impossível (SI): ...................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
Tarefa 2. Resolver os sistemas (por substituição ou por adição)
a)
1
52
yx
yx
239
b)
2334
423
yx
yx
c)
1062
35217
yx
yx
d)
3
233
yx
yx
240
Tarefa 3. Considere, no plano cartesiano, a reta r (na cor azul) e a reta s (na cor rosa). Cada situação apresenta a representação gráfica de um sistema com duas equações e duas incógnitas. Associe cada caso com a classificação do sistema e justifique.
( ) sistema impossível
Justifique: ...................................................................................................................
....................................................................................................................................
( ) sistema possível e determinado
Justifique: ..................................................................................................................
....................................................................................................................................
( ) sistema possível e indeterminado
Justifique: ...................................................................................................................
....................................................................................................................................
( I )
( II )
( III )
241
Tarefa 4. Sem resolver os sistemas lineares, associe cada situação gráfica com o
possível sistema correspondente:
A ( )
4
1644
yx
yx
Justifique: ..................................................................................................................
....................................................................................................................................
B ( )
3
1
yx
yx
Justifique: ..................................................................................................................
....................................................................................................................................
C ( )
12
4
yx
yx
Justifique: ...................................................................................................................
....................................................................................................................................
( I )
( II )
( III )
242
Tarefa 5. Dado o sistema
105
422
yax
yx, (com 0, aa ). Se a for igual a 5, sem
resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por
( ) Justifique: ...........................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
( I )
( II )
( III )
243
Tarefa 6. Dado o sistema
105
422
yax
yx, (com 0, aa ). Se a for diferente de 5,
sem resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por:
( ) Justifique: ...........................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
( I )
( II )
( III )
244
Tarefa 7. Dado o sistema
byx
yx
55
422, (com 0, bb ). Se b for igual a 7, sem
resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por:
( ) Justifique: ...........................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
( I )
( II )
( III )
245
Tarefa 8. Determine a representação gráfica de cada sistema linear
a)
20129
543
yx
yx
b)
22
7
yx
yx
c)
242010
12105
yx
yx
246
Tarefa 9. Resolva o seguinte problema:
André e Júlia foram a uma lanchonete. André comeu dois mistos, tomou um
refrigerante e gastou R$6,60. Júlia comeu um misto e também tomou um
refrigerante, gastando R$4,10. Qual o preço do misto e do refrigerante nessa
lanchonete?
FONTE: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2011.
Tarefa 10. Dado o sistema linear
3
662
yx
yx, crie um problema na língua natural
relacionado a esse sistema.
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
247
APÊNDICE C – Atividade 1 ATIVIDADES DO DESIGN – ATIVIDADE 1 Dupla: ...........................
ATIVIDADE 1 – ANÁLISE DO CASO SPI – PARTE 1
Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
ayx
yx 3. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 1 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas
respectivas equações. Vá em “animação” (anim) e selecione “parâmetros A-W”.
Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
byx
yx 7 para que se
obtenham duas retas coincidentes? ............................................................................
Agora resolva o exercício no Winplot e compare com sua resposta. O que
observou?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 2. Agora construa no papel a representação gráfica do sistema linear
4
4
yx
yx. Faça o mesmo no Winplot e compare as duas resoluções. Em seguida,
justifique porque as retas obtidas são coincidentes.
248
Tarefa 3. Complete as tabelas com valores de x e y que satisfazem cada equação.
Equação 1: 4 yx
x -3 0 1
y
1 0
Equação 2: 4 yx
x 4 3
y 7 4 3
Tarefa 4. Nos casos vistos nas tarefas anteriores, o sistema possui quantas
soluções? Neste caso, qual a classificação desse sistema?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
249
APÊNDICE D – Atividade 2 ATIVIDADES DO DESIGN – ATIVIDADE 2 Dupla: ...........................
ATIVIDADE 2 – ANÁLISE DO CASO SPI – PARTE 2
Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
422
66
yx
ayx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 2 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
933
1515
yx
byx para
que se obtenham duas retas coincidentes?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que
observou?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
250
Tarefa 2. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
ayx
yx
64
632. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 3 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
byx
yx
159
153 para que
se obtenham duas retas coincidentes?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que
observou?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 3. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
24126
84
yx
yax. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 4 do Winplot. Na tela são dadas duas retas concorrentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
251
Tarefa 4. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
2420
625
ayx
yx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 5 do Winplot. Na tela são dadas duas retas concorrentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 5. Sem usar o Winplot, construa, no plano, a representação gráfica do
sistema linear
2488
622
yx
yx. Agora faça a mesma construção no Winplot e compare
os resultados. O que observou?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
252
Tarefa 6. Resolva no papel o sistema linear da tarefa 5:
2488
622
yx
yx. Como você
justificaria que este sistema possui infinitas soluções? Como você classificaria esse
sistema?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Desta forma, podemos afirmar que a representação gráfica de um sistema linear
com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema possível e
indeterminado, será .....................................................................................................
Um sistema possível e indeterminado, tem ................................................ soluções.
253
Tarefa 7. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine o valor de “a”
para que ele admita infinitas soluções, ou seja, para que ele seja um sistema
possível e indeterminado.
a)
633 yx
ayx b)
ayx
yx
104
852 c)
301515
105
yx
yax d)
643
126
yx
ayx
e)
4221
1477
yax
yx f)
93
1856
ayx
yx g)
357
1032
ayx
yx h)
306
1042
ayx
yx
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Se você construísse a representação gráfica de cada sistema para o valor de "a"
indicado, o que você encontraria?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 8. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que
o gráfico da solução do sistema linear
feydx
cbyax (com a,b,c,d,e e f não nulos)
seja representado por duas retas coincidentes, ou seja, para que ele admita
infinitas soluções.
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
254
Tarefa 9. Abra o arquivo 6 do Winplot. É dada a representação gráfica de um
sistema do tipo
033 yx
ayx. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”.
Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
255
APÊNDICE E – Atividade 3 ATIVIDADES DO DESIGN – ATIVIDADE 3 Dupla: ...........................
ATIVIDADE 3 – ANÁLISE DO CASO SI
Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
433
66
yx
ayx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem paralelas distintas.
Que valores de “a” satisfazem essa situação?
.....................................................................................................................................
Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
byx
yx 1244 para que
se obtenham duas retas paralelas distintas?
.....................................................................................................................................
Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta.
________________________________________________________________
Tarefa 2. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
16128
32
yx
ayx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros”. Altere o valor
de “a” de modo que as retas fiquem paralelas distintas.
Que valores de “a” satisfazem essa situação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
256
Tarefa 3. Agora construa no papel a representação gráfica do sistema linear
888
622
yx
yx. Faça o mesmo no Winplot e compare as duas construções. O que
observou?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 4. Complete as tabelas com valores de x e y que satisfazem cada equação.
Equação 1: 622 yx
x -3 0 1
y 1 0
Equação 2: 888 yx
x 2
3
y
6
3
2
257
Tarefa 5. Resolva o sistema da tarefa anterior. O que você observou? Qual é a
solução desse sistema? Como ele é classificado?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Desta forma, podemos afirmar que a representação gráfica de um sistema linear
com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema impossível, será
................................................................................
A quantidade de soluções de um sistema impossível é ..............................................
Isto porque retas paralelas não possuem ponto comum.
Tarefa 6. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine para que
valores de “a” ele será um sistema impossível.
a)
633 yx
ayx b)
ayx
yx
104
852 c)
ayx
yx
126
1042
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Qual seria a representação gráfica desses sistemas?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
258
Tarefa 7. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que
o gráfico da solução do sistema linear
feydx
cbyax (com a,b,c,d,e e f não nulos)
seja representado por duas retas paralelas distintas, ou seja, para que o sistema
seja impossível.
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 8. Dado o sistema
055 yx
ayx, construa as retas de cada equação no
Winplot e determine para que valores de “a” obteremos um sistema impossível.
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
259
APÊNDICE F – Atividade 4 ATIVIDADES DO DESIGN – ATIVIDADE 4 Dupla: ...........................
ATIVIDADE 4 – ANÁLISE DO CASO SPD
Abra o software Winplot e construa um sistema linear de duas equações e duas
incógnitas que gere duas retas concorrentes. Explique como pensou para fazer
esta construção.
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Neste caso, quantas soluções tem este sistema? Qual é a sua classificação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
260
APÊNDICE G - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Título do Projeto: A utilização de ferramentas computacionais em experimentos de ensino que
visam integrar os diversos registros de representações semióticas.
Coordenadora do Projeto: Professora Doutora Monica Karrer
RG: 9.304.497-5
Instituição a que pertencem os pesquisadores: Universidade Bandeirante de São Paulo
Telefones para contato: (11) 2972-9008/ (11) 2972-9025
O presente estudo, intitulado Sistemas Lineares: um estudo sobre conversões de registros com
auxílio do software Winplot, tem por objetivo investigar as produções dos estudantes diante de uma
abordagem diferenciada do conteúdo de Sistemas Lineares, que prevê a inclusão de recurso
computacional e a exploração de diversos registros, visando criar um material de apoio para o ensino
deste tópico. A metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003) balizará a construção e a
condução do experimento.
Para o bom desempenho desta pesquisa, contamos com sua colaboração, no sentido de participar de
um experimento de ensino sobre este tema. Os dados serão coletados da seguinte forma: gravação
das falas, captura das telas dos computadores, coleta do material escrito e entrevistas. Os
participantes terão seus nomes trocados por pseudônimos, preservando a identidade do sujeito em
sigilo, e a escola onde o experimento foi realizado não será identificada.
Os resultados desse estudo poderão ser utilizados pelos pesquisadores em publicações em
periódicos, livros, eventos científicos, cursos e outras divulgações científicas na área de Educação
Matemática.
Desde já agradecemos sua contribuição, a qual será de extrema importância para que os objetivos
deste trabalho sejam atingidos. Ressaltamos que a qualquer participante é garantida a liberdade da
retirada de seu consentimento para participação dessa pesquisa. Não há despesas pessoais para o
participante em qualquer fase do estudo, assim como não há compensação financeira relacionada à
sua participação.
Em qualquer etapa do estudo, o sujeito participante da pesquisa terá acesso aos responsáveis para
esclarecimento de eventuais dúvidas. Isto poderá ser feito na UNIBAN – Campus Marte, sito à Av.
Braz Leme, 3.029 – São Paulo, nos telefones (11) 2972-9008 ou (11) 2972-9025.
261
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
Eu, ____________________________________________________________________, portador do
RG_____________________________, responsável legal por
___________________________________________________________________ residente na Rua
______________________________________________________________, com número de
telefone __________________ e e-mail _____________________, abaixo assinado, declaro estar
suficientemente informado a respeito das informações que li anteriormente a respeito do projeto A
utilização de ferramentas computacionais em experimentos de ensino que visam integrar os
diversos registros de representações semióticas e dou meu consentimento livre e esclarecido
para ____________________________________________ participar como voluntário da pesquisa
supracitada, sob a responsabilidade de Monica Karrer, professora do curso de Mestrado em
Educação Matemática da UNIBAN e de Jeferson da Silva Gonçalves, mestrando do mesmo curso.
Assinando este Termo de Consentimento, estou ciente de que:
a) o objetivo da pesquisa é verificar se uma nova abordagem favorece a compreensão dos conceitos.
b) a realização desta pesquisa é fundamental para o progresso na Educação Matemática no Brasil,
para que ações possam ser implementadas para a melhoria do ensino desta disciplina.
c) a minha participação no estudo limita-se ao experimento de ensino sobre Sistemas Lineares.
d) assim que a pesquisa terminar poderei ter acesso aos resultados globais do estudo.
e) estou livre para interromper, a qualquer momento, minha participação nesta pesquisa.
f) meus dados pessoais serão mantidos em sigilo e os resultados obtidos com a pesquisa serão
utilizados apenas para alcançar os objetivos do trabalho, incluindo a publicação na literatura científica
especializada e apresentação dos resultados em eventos nacionais e internacionais.
g) poderei entrar em contato com a pesquisadora responsável, Dra. Monica Karrer, pelo e-mail
[email protected] ou pelo telefone 2972-9008, sempre que julgar necessário.
h) obtive todas as informações necessárias para decidir conscientemente sobre a participação do
menor sob minha responsabilidade na referida pesquisa.
i) este Termo de Consentimento é feito em duas vias, de maneira que uma permanecerá em meu
poder e a outra com a pesquisadora responsável.
São Bernardo do Campo, _____ de ____________________ de 2011.
_________________________ __________________________ _____________________
Assinatura do sujeito de pesquisa Prof. Jeferson da Silva Gonçalves Profa. Dra. Monica Karrer
/ Representante Legal
262
APÊNDICE H – Atividade De Revisão – Primeira Parte
1) Construa uma tabela para a função 1 yx , com valores inteiros de x
variando de -2 a 5. Com base nesses dados, construa o gráfico dessa função.
2) Construa uma tabela para a função 3 yx , com valores inteiros de x
variando de -4 a 2. Com base nesses dados, construa o gráfico dessa função.
263
3) Construa a tabela e o gráfico das seguintes funções:
a) 62 yx
b) 42 yx
c) 2 yx
d) 42 yx
e) 42 yx
f) 1 yx
264
APÊNDICE I – Atividade De Revisão – Segunda Parte
1) Resolver os sistemas lineares por substituição ou por adição e classificar os
sistemas de acordo com o tipo de solução encontrada.
a)
1
52
yx
yx
b)
1062
35217
yx
yx
c)
3
233
yx
yx
265
APÊNDICE J – Redesign do caso SPI
ATIVIDADE 1 – ANÁLISE DO CASO SPI – PARTE 1
Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
ayx
yx 3. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 1 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas
respectivas equações. Vá em “animação” (anim) e selecione “parâmetros A-W”.
Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
Tarefa 1a. Considere o sistema linear
3
3
yx
yx. Pela tarefa anterior, você
observou que sua representação gráfica é dada por duas retas ................................
Então o sistema linear é classificado como ...............................................................
Complete a tabela a seguir.
Coeficiente de
x
Coeficiente de
y
Termo independente
Primeira equação 3 yx
Segunda equação 3 yx
Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os
coeficientes da segunda equação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
266
Tarefa 1b. Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
byx
yx 7
para que se obtenham duas retas coincidentes? ........................................................
Agora resolva o exercício no Winplot e compare com sua resposta. O que
observou?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
267
Tarefa 2. Agora construa no papel a representação gráfica do sistema linear
4
4
yx
yx. Faça o mesmo no Winplot e compare as duas resoluções. Em seguida,
justifique porque as retas obtidas são coincidentes.
Tarefa 3. Complete as tabelas com valores de x e y que satisfazem cada equação.
Equação 1: 4 yx
Equação 2: 4 yx
Tarefa 4. Nos casos vistos nas tarefas anteriores, o sistema possui quantas
soluções? Neste caso, qual a classificação desse sistema?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
268
ATIVIDADE 2 – ANÁLISE DO CASO SPI – PARTE 2
Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
422
66
yx
ayx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 2 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
Tarefa 1a. Dado o sistema linear
422
1266
yx
yx. Pela tarefa anterior, você observou
que sua representação gráfica é dada por duas retas ................................................
Então o sistema linear é classificado como ................................................................
Complete a tabela a seguir.
Coeficiente de
x
Coeficiente de
y Termo
independente
Primeira equação 1266 yx
Segunda equação 422 yx
Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os
coeficientes da segunda equação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 1b. Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
933
1515
yx
byx para que se obtenham duas retas coincidentes?
.....................................................................................................................................
269
Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que
observou?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 2. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
ayx
yx
64
632. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 3 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
Tarefa 2a. Dado o sistema linear
1264
632
yx
yx. Pela tarefa anterior, você observou
que sua representação gráfica é dada por duas retas ................................................
Então o sistema linear é classificado como ................................................................
Complete a tabela a seguir.
Coeficiente de
x
Coeficiente de
y
Termo independente
Primeira equação 632 yx
Segunda equação 1264 yx
Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os
coeficientes da segunda equação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
270
Tarefa 2b. Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
byx
yx
159
153 para que se obtenham duas retas coincidentes?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que
observou?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 3. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
24126
84
yx
yax. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 4 do Winplot. Na tela são dadas duas retas concorrentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
Tarefa 3a. Dado o sistema linear
24126
842
yx
yx. Pela tarefa anterior, você
observou que sua representação gráfica é dada por duas retas
................................................
Então o sistema linear é classificado como ................................................................
271
Complete a tabela a seguir.
Coeficiente de
x
Coeficiente de
y
Termo independente
Primeira equação 842 yx
Segunda equação 24126 yx
Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os
coeficientes da segunda equação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 4. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
2420
625
ayx
yx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 5 do Winplot. Na tela são dadas duas retas concorrentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
Tarefa 4a. Dado o sistema linear
24820
625
yx
yx. Pela tarefa anterior, você
observou que sua representação gráfica é dada por duas retas
................................................
Então o sistema linear é classificado como ................................................................
272
Complete a tabela a seguir.
Coeficiente de
x
Coeficiente de
y
Termo independente
Primeira equação 625 yx
Segunda equação 24820 yx
Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os
coeficientes da segunda equação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 5. Sem usar o Winplot, construa, no plano, a representação gráfica do
sistema linear
2488
622
yx
yx. Agora faça a mesma construção no Winplot e
compare os resultados. O que observou?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
273
Tarefa 6. Resolva no papel o sistema linear da tarefa 5:
2488
622
yx
yx. Como você
justificaria que este sistema possui infinitas soluções? Como você classificaria esse
sistema?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Desta forma, podemos afirmar que a representação gráfica de um sistema linear
com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema possível e
indeterminado, será .....................................................................................................
Um sistema possível e indeterminado, tem ................................................ soluções.
274
Tarefa 7. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine o valor de “a”
para que ele admita infinitas soluções, ou seja, para que ele seja um sistema
possível e indeterminado.
a)
633 yx
ayx b)
ayx
yx
104
852 c)
301515
105
yx
yax d)
643
126
yx
ayx
e)
4221
1477
yax
yx f)
93
1856
ayx
yx g)
357
1032
ayx
yx h)
306
1042
ayx
yx
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Se você construísse a representação gráfica de cada sistema para o valor de "a"
indicado, o que você encontraria?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 8. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que
o gráfico da solução do sistema linear
feydx
cbyax (com a, b,c,d,e e f não nulos)
seja representado por duas retas coincidentes, ou seja, para que ele admita
infinitas soluções.
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
275
Tarefa 9. Abra o arquivo 6 do Winplot. É dada a representação gráfica de um
sistema do tipo
033 yx
ayx. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”.
Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.
Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?
.....................................................................................................................................
276
APÊNDICE K – Redesign do caso SPI – Atividade Adicional
ATIVIDADES ADICIONAL Dupla: ...................
Tarefa 1. No Winplot, determine o valor de a no sistema para obter duas retas
coincidentes.
ayx
yx
52
8104
Qual foi o valor encontrado? .................................................................................
Anote os resultados na tabela seguinte.
Coeficiente de x Coeficiente de y Termo
independente
Primeira equação
8104 yx
Segunda equação
ayx 52
Olhando os valores dos coeficientes de x, dos coeficientes de y e dos termos
independentes das duas equações, você percebe alguma relação (uma operação
matemática) entre eles? Se sim, escreva essa relação.
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
Tarefa 2. No Winplot, determine o valor de a no sistema para obter duas retas
coincidentes.
ayx
yx
24
151020
Qual foi o valor encontrado? .................................................................................
277
Anote os resultados na tabela seguinte.
Coeficiente de x Coeficiente de y Termo
independente
Primeira equação
151020 yx
Segunda equação
ayx 24
A relação encontrada na tarefa 1 (operação matemática) também deve ser válida
na tarefa 2. Veja se a relação que você encontrou funciona neste exercício
também. Em caso negativo, procure descobrir outra que funcione para as duas
situações.
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
Tarefa 3. No Winplot, determine o valor de a no sistema para obter duas retas
coincidentes.
ayx
yx
12
1248
Qual foi o valor encontrado? .................................................................................
Anote os resultados na tabela seguinte.
Coeficiente de x Coeficiente de y Termo
independente
Primeira equação
1248 yx
Segunda equação
ayx 12
278
A relação encontrada nas tarefas anteriores também deve funcionar na tarefa 3.
Verifique se o que você descobriu nos exercícios anteriores vale nesta situação.
Em caso negativo, procure encontrar uma relação que funcione nas três
situações.
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
Tarefa 4. Sem utilizar o Winplot e sem resolver o sistema, como você explicaria
para um colega que a representação gráfica do sistema linear
312
18612
yx
yx é
constituído por duas retas coincidentes?
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
Tarefa 5. Sem utilizar o Winplot, forneça um exemplo de sistema (diferente dos
anteriores) que gere duas retas coincidentes, ou seja, que seja um sistema
possível e indeterminado. Como você pensou para construir esse sistema?
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
279
APÊNDICE L – Redesign do caso SI
ATIVIDADE 3 – ANÁLISE DO CASO SI
Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
433
66
yx
ayx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o
valor de “a” de modo que as retas fiquem paralelas distintas.
Que valores de “a” satisfazem essa situação?
.....................................................................................................................................
Qual a classificação deste tipo de sistema? Justifique ...............................................
Tarefa 1a. Selecione no Winplot, um caso que gerou duas retas paralelas distintas.
Complete a tabela:
Coeficiente de
x
Coeficiente de
y
Termo independente
Primeira equação
Segunda equação
Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os
coeficientes da segunda equação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
280
Selecione no Winplot outro caso que gerou duas retas paralelas distintas.
Complete a tabela:
Coeficiente de
x
Coeficiente de
y
Termo independente
Primeira equação
Segunda equação
Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os
coeficientes da segunda equação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 1b. Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema
byx
yx 1244 para que se obtenham duas retas paralelas distintas?
.....................................................................................................................................
Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta.
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 2. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:
16128
32
yx
ayx. Cada equação representa uma reta no plano.
Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas
respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros”. Altere o valor
de “a” de modo que as retas fiquem paralelas distintas.
Que valores de “a” satisfazem essa situação?
.....................................................................................................................................
281
Tarefa 2a. Selecione no Winplot, um caso que gerou duas retas paralelas distintas.
Complete a tabela:
Coeficiente de
x
Coeficiente de
y
Termo independente
Primeira equação
Segunda equação
Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os
coeficientes da segunda equação?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 3. Agora construa no papel a representação gráfica do sistema linear
888
622
yx
yx. Faça o mesmo no Winplot e compare as duas construções. O que
observou?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
282
Tarefa 4. Complete as tabelas com valores de x e y que satisfazem cada equação.
Equação 1: 622 yx
x -3 0 1
y 1 0
Equação 2: 888 yx
x 2
3
y
6
3
2
Tarefa 5. Resolva o sistema da tarefa anterior. O que você observou? Qual é a
solução desse sistema? Como ele é classificado?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Desta forma, podemos afirmar que a representação gráfica de um sistema linear
com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema impossível, será
................................................................................
A quantidade de soluções de um sistema impossível é ..............................................
Isto porque retas paralelas não possuem ponto comum.
283
Tarefa 6. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine para que
valores de “a” ele será um sistema impossível.
a)
633 yx
ayx b)
ayx
yx
104
852 c)
ayx
yx
126
1042
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Qual seria a representação gráfica desses sistemas?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Tarefa 7. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que
o gráfico da solução do sistema linear
feydx
cbyax (com a, b,c,d,e e f não nulos)
seja representado por duas retas paralelas distintas, ou seja, para que o sistema
seja impossível.
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
284
Tarefa 8. Dado o sistema
055 yx
ayx, construa as retas de cada equação no
Winplot e determine para que valores de “a” obteremos um sistema impossível.
.....................................................................................................................................
................................................................................................................................
285
APÊNDICE M – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno A
286
287
APÊNDICE N – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno B
288
289
APÊNDICE O – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno C
290
291
APÊNDICE P – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno D
292
293
APÊNDICE Q – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno E
294
295
APÊNDICE R – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno F
296