AM2-funcoes_varias_variaveis_parte2 (1)

Funcoes de varias variaveis

Algumas propridades dos limites de funcoes de 2 variaveis:

Sejam R, f e g funcoes reais de duas variaveis tais que existem os limiteslim

(x,y)(a,b)f (x , y) e lim

(x,y)(a,b)g(x , y), entao:

1. lim(x,y)(a,b)

= ;

2. lim(x,y)(a,b)

x = a;

3. lim(x,y)(a,b)

y = b;

4. lim(x,y)(a,b)

(f (x , y) + g(x , y)) = lim(x,y)(a,b)

f (x , y) + lim(x,y)(a,b)

g(x , y);

5. lim(x,y)(a,b)

(f (x , y)) = lim(x,y)(a,b)

f (x , y).

6. lim(x,y)(a,b)

(f (x , y)g(x , y)) = lim(x,y)(a,b)

f (x , y) lim(x,y)(a,b)

g(x , y).

7. lim(x,y)(a,b)

f (x , y)

g(x , y)=

lim(x,y)(a,b)

f (x , y)

lim(x,y)(a,b)

g(x , y)se lim

(x,y)(a,b)g(x , y) 6= 0.

RP (DMA, UM) Analise matematica EE Marco 2015 1 / 15

Funcoes de varias variaveis - Limites e continuidade

Sejam f uma funcao real de duas variaveis reais definida numa regiao D e(a, b) D. A funcao f diz-se contnua em (a,b) se,

lim(x,y)(a,b)

f (x , y) = f (a, b) (1)



3.3 Derivadas Parciais

Consideremos a funcao f (x , y). Seja g(x) = f (x , y0) a funcao de 1 variavelobtida fazendo y = y0. Se a funcao for derivavel em x0, damos-lhe o nome dederivada parcial de f em ordem a x e escrevemos g (x0) = fx(x0, y0).

Pela definicao, dizemos que a derivada parcial de f (x , y) em ordem a x noponto(x0, y0) e dada por,

fx(x0, y0) =f

x(x0, y0) = lim

h0f (x0 + h, y0) f (x0, y0)

h(2)

Pela definicao, dizemos que a derivada parcial de f (x , y) em ordem a y noponto(x0, y0) e dada por,

fy (x0, y0) =f

y(x0, y0) = lim

h0f (x0, y0 + h) f (x0, y0)

h(3)

Exemplo: Seja f (x , y) = x2 + y3. Calcule as derivadas parciais fx (1, 1) efy (1, 1).



Interpretacao Geometrica: Sejam S a superfcie de equacao z = f (x , y) e

P0 = (x0, y0, z0) um ponto de S. Intersectanto a superfcie S com os planosde equacao y = y0 e x = x0 obtem-se as curvas C1 e C2 de equacoesz = f (x , y0) e z = f (x0, y).



As derivadas parciais de f (x , y) em ordem a x e y no ponto (x0, y0)representam os declives das rectas tangentes as curvas C1 e C2 em P0 comose pode ver nas figuras.



3.4 O vector gradiente, derivadas parciais de ordem superior a 1

O vector gradiente de f (x , y) em (x0, y0) e o seguinte vector:

f (x0, y0) = (fx

(x0, y0),f

y(x0, y0)) (4)

As derivadas parciais de f (x , y) em ordem a x e y sao ainda funcoes deduas variaveis x e y. Podemos pois mais uma vez sobre cada uma delascalcular derivadas em ordem a x e a y. A estas derivadas chamamos dederivadas parciais de f(x,y) de segunda ordem.

E possvel definir 4 derivadas parciais de f (x , y) de segunda ordem:

x (

fx ) =

2fx2 = fxx - derivo f em ordem a x e volto a derivar em ordem a x.

x (

fy ) =

2fxy = fyx - derivo f em ordem a y e com esse resultado derivo em

ordem a x.

y (

fx ) =

2fyx = fxy - derivo f em ordem a x e com esse resultado derivo em

ordem a y.



y (

fy ) =

2fy2 = fyy - derivo f em ordem a y e volto a derivar em ordem a y.

Exemplo 1: Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordens dafuncao f (x , y) = x2 + ycos(xy).

Exemplo 2: Calcule 4f

x2yz da funcao f (x , y , z) = x2yz + xy + yz . NOTA:

As solucoes encontram-se nas pgs 35 e 36 de [Breda A., Costa J.].



3.5 Diferenciabilidade, diferenciais e aplicacoes.

Sejam z = f (x , y) uma funcao real de duas variaveis,e x e y osacrescimos das variaveis independentes x e y , a que corresponde umacrescimo z da variavel dependente z , z = f (x + x , y + y) f (x , y),que mede a variacao do valor de f entre (x , y) e (x + x , y + y).

Proposicao: Se z = f (x , y) com f definida numa bola aberta B de centro em(x0, y0). Se as derivadas parciais fx e fy de f existem em B e uma delas econtnua no ponto (x0, y0)e se (x0 + x , y0 + y) B, entao, o acrescimoz pode ser expresso como,

z = fx(x0, y0)x + fy (x0, y0)y + 1x + 2y onde, 1 e 2 sao funcoesde x e y que tendem para zero quando (x ,y) (0, 0).ou, alternativamente,

z = fx(x0, y0)x + fy (x0, y0)y + , onde =

x2 + y2 e lim0

= 0.



Uma funcao z = f (x , y) diz-se diferenciavel em (x0, y0) se o acrescimo de fpuder ser escrito da seguinte forma:

z = fx(x0, y0)x + fy (x0, y0)y + , onde =

x2 + y2 e lim0

= 0

Notar que e uma funcao de x e y .

Se z = f (x , y) admite derivadas parciais numa bola B centrada em (x0, y0),contnuas em (x0, y0), entao f e diferenciavel em (x0, y0). O recproco nao everdadeiro.

Exemplo: Verifique se a funcao definida como:

f (x , y) =

{x2y2

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)0 se (x , y) = (0, 0)

(5)

e diferenciavel em (0, 0).



Resolucao:

f (0 + x , 0 + y) f (0, 0) = fx(0, 0)x + fy (0, 0)y + com =

x2 + y2 e lim

0 = 0.

No nosso caso, e usando a definicao de derivadas paraciais em ordem a x e ynum ponto, podemos escrever,

fx(0, 0) = limh0

f (0 + h, 0) f (0, 0)h

= 0

fy (0, 0) = limh0

f (0, 0 + h) f (0, 0)h

= 0

pelo que podemos dizer que,

x2y2

x2+y2 = x .0 + y .0 +

x2 + y2 ou seja, a funcao e diferenciavel

em (0, 0) se, = x2y2

(x2+y2)3/2e lim

(x,y)(0,0) = 0. (ir pela definicao)


AULA 6 - Funcoes de varias variaveis

Seja z = f (x , y) diferenciavel em (x0, y0) e designemos x e yrespectivamente por dx e dy . Entao, o diferencial total (dz) em (x0, y0) davariavel dependente z e dado por:

dz = fx(x0, y0)dx + fy (x0, y0)dy . (6)

Da definicao de diferenciabilidade num ponto e da definicao de diferencialtotal vem que

z dz = (7)

com =

x2 + y2 e lim0

= 0, o que significa que

dz nos da uma boa aproximacao de z .


Funcoes de varias variaveis - Diferenciais e funcoesdiferenciaveis

EXEMPLO 1: Determine o erro maximo cometido no calculo da area de umrectangulo com 10 cm de comprimento e 5 cm de largura, sabendo que o errode medida em nao ultrapassa 0.1cm.

Resolucao:

area(x , y) = xy

d(area) = areaxdx + areaydy

areax = y ; areay = x ; dx = dy = 0.1

d(area) = 5.dx + 10.dy = 1.5cm2

Utilize diferenciais para aproximar o valor de (0.98)2 1.01ln( 1.010.98 ).Sugestao: Considere f (x , y) = x2 yln( yx ), em que (x0, y0) = (1, 1) edx = 0.02 e dy = 0.01.



Teorema de Schwarz: Seja f uma funcao de 2 variaveis, de domnio D, cujasderivadas parciais fx , fy e fxy , existem numa bola centrada no ponto(x0, y0) D, e sao contnuas em (x0, y0). Entao, existe tambem (x0, y0) etem-se

fxy (x0, y0) = fyx(x0, y0). (8)

Verifique se o teorema de Schwarz pode ser aplicado af (x , y) = x2(1 + y2 + x3)

Verifique se o teorema de Schwarz pode ser aplicado ah(x , y) = xey+3x yex+2y



Se f e uma funcao diferenciavel em (x0, y0), entao ela e contnua em(x0, y0).

O conceito de diferenciabilidade pode facilmente ser extendido a funcoesvectoriais de varias variaveis reais. Dizemos que f e diferenciavel emx0 D, se todas as suas funcoes componentes sao diferenciaveis em x0.3.6 Derivadas de funcoes compostas

Em problemas com alguma complexidade, muitas vezes, estamos a trabalharcom funcoes de varias variaveis f (x1, x2, ..., xn), as quais por sua vezdependem de outras variaveis. Por exemplo:x1 = x1(s1, s2, ...), x2 = x2(t1, t2, ...), ....



Se f (x1, x2, ..., xn), n 2 e uma funcao com derivadas parciais contnuas(logo diferenciavel), e x1(t), x2(t), ..., xn(t) sao funcoes diferenciaveis, entao afuncao y(t) = f (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) e diferenciavel e

dy

dt=

f

x1

dx1dt

+f

x2

dx2dt

+ ...+f

xn

dxndt

(9)

(LER DEMO em pg 43 Ana Breda)

Se f (x1, x2, ..., xn), n 2 e diferenciavel e existem e sao contnuas asderivadas parciais das funcoes x1(t1, t2, ...), x2(t1, t2, ...), ..., xn(t1, t2, ...) entaotambem existem as derivadas parciais da funcaoz(t1, t2, ...) = f (x1(t1, t2, ...)), x2(t1, t2, ...)), ..., xn(t1, t2, ...)) e sao dadas por:

z

ti=

f

x1

x1ti

+f

x2

x2ti

+ ...+f

xn

xnti

(10)


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