8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

1/12

Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nr albumu: . . . . . . . . . . . . . . Grupa: . . . . . . . . . . . . . .

Egzamin z Analizy Matematycznej 1

I termin   (06.02.2015) A

zadanie 1 2 3 4 5 sumapunkty

Zadanie 1.   Wyznaczyć kresy zbioru  X   =

x ∈ R : x  = 1−   2a2

, a ∈ [1, +∞)

 oraz udowodnić, żete liczby są kresami.

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

2/12

Zadanie 2.   Wykazać z definicji Cauchy’ego, że limx→∞

2x + 2

1 − 2x   = −1.

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

3/12

Zadanie 3.   (a) Podać definicję ciągu „o” małe, tj.   o(cn) oraz warunek jej równoważny w przy-padku, gdy  cn = 0.

(b) Sprawdzić czy  an =  o(cn) dla ciągów  an  = (n + 1)3n√ 

n2 − 4− n

 i  cn  =  n3n.

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

4/12

Zadanie 4.  Przyjmijmy (bez dowodu) prawdziwość   nierówności Höldera:Jeśli  p, q  ∈ (1,∞) spełniają warunek   1 p  +   1q  = 1, to

∞n=1

|anbn|  ∞n=1

|an| p1/p  ∞

n=1

|bn|q1/q

.

Wykorzystując powyższą nierówność oraz fakt, że

∞n=1

1n2

  =   π2

6  ,

wykazać, że∞n=1

n−2/5

34n/5    5

 π2

96.

Wskazówka : przyjąć w nierówności Höldera  p = 5.

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

5/12

Zadanie 5.  O ile to możliwe, dobrać wartości parametrów   a   i   b  tak, aby poniższa funkcja byłaciągła w całej dziedzinie.

f (x) =

sinx+tg(3x)x  − a   dla  x  0

.

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

6/12

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

7/12

Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nr albumu: . . . . . . . . . . . . . . Grupa: . . . . . . . . . . . . . .

Egzamin z Analizy Matematycznej 1

I termin  (06.02.2015) B

zadanie 1 2 3 4 5 sumapunkty

Zadanie 1.   Wyznaczyć kresy zbioru  X   =

x ∈ R : x  = 2−   3a2

, a ∈ [1, +∞)

 oraz udowodnić, żete liczby są kresami.

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

8/12

Zadanie 2.   Wykazać z definicji Cauchy’ego, że limx→0+

2x + 2

1− 2x   = −∞.

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

9/12

Zadanie 3.   (a) Sformułować definicję ciągu „O” duże, tj.   O(cn) oraz warunek jej równoważnyw przypadku, gdy  cn = 0.

(b) Sprawdzić czy  an =  O(cn) dla ciągów  an = (n + 1)2n i  cn =  n

2n√ 

n2 + 3n − n

.

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

10/12

Zadanie 4.  Przyjmijmy (bez dowodu) prawdziwość   nierówności Höldera:Jeśli  p, q  ∈ (1,∞) spełniają warunek   1 p  +   1q  = 1, to

∞n=1

|anbn|  ∞n=1

|an| p1/p  ∞

n=1

|bn|q1/q

.

Wykorzystując powyższą nierówność oraz fakt, że

∞n=1

1n2

  =   π2

6  ,

wykazać, że∞n=1

n−2/3

52n/3    3

 π2

96.

Wskazówka : przyjąć w nierówności Höldera  p = 3.

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

11/12

Zadanie 5.  O ile to możliwe, dobrać wartości parametrów   a   i   b  tak, aby poniższa funkcja byłaciągła w całej dziedzinie.

f (x) =

sin(2x)+tg xx

  dla  x  0

.

8/17/2019 AM1-MiNI-2015-egz1

12/12