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285 Knesis, Vol. II, n 04, Dezembro-2010, p. 285-311

A LGICA TK EM DEDUO NATURAL, CLCULO DE SEQUENTES E TABLEAUX

THE TK LOGIC IN NATURAL DEDUCTION, SEQUENT

CALCULUS AND TABLEAUX

Ana Claudia de Jesus Golzio*

Angela Pereira Rodrigues*

Resumo: (Feitosa, Grcio, Nascimento, 2007) introduziram uma nova lgica, a Lgica TK, que foi apresentada inicialmente no estilo hilbertiano. O objetivo deste trabalho apresentar a Lgica TK em sistemas de deduo natural, clculo de sequentes e tableaux assim como demonstrar a equivalncia entre esses novos sistemas e o original. Palavras-chave: Sistema hilbertiano. Deduo natural. Clculo de seqentes. Tableaux. Lgica TK. Abstract: (Feitosa, Grcio, Nascimento, 2007) introduced a new logic, the TK Logic, that was presented initially in the Hilbert style. The objective of this work is to present the TK Logic in systems of natural deduction, sequent calculus and tableaux as well as to show the equivalence between this new systems and the original one. Keywords: Hilbert system. Natural deduction. Sequent calculus. Tableaux. TK Logic.

1. Introduo

A lgica aparentemente nasceu na Grcia, com os sofistas, por volta do sculo V

a. C., entretanto foi Aristteles [384-322 a.C.], filsofo grego quem sistematizou e or-

ganizou esse conhecimento, elevando-o categoria de cincia.

Na lgica moderna, a anlise dos mtodos de inferncias feita a partir de lin-

guagens artificiais, formadas por um conjunto de smbolos que permitem encontrar ex-

presses que tm significado nico para uma teoria, isto , sem ambiguidade. A presen-

a de linguagens artificiais uma das principais caractersticas de um sistema formal.

Um sistema formal o componente sinttico de uma teoria e o estudo dos signi-

ficados que esses smbolos adquirem caracteriza o componente semntico. O Clculo

Proposicional Clssico (CPC) um exemplo de sistema formal.

* Faculdade de Filosofia e Cincias - Universidade Estadual Paulista. [email protected]. * Faculdade de Filosofia e Cincias. Universidade Estadual Paulista. [email protected].

A lgica TK em deduo natural...

Knesis, Vol. II, n 04, Dezembro-2010, p. 285-311 286

David Hilbert [1862-1943] um dos matemticos mais importantes da virada do

Sculo XIX para o Sculo XX, em 1920, apresentou a proposta de que teorias matem-

ticas deveriam ser fundadas em princpios axiomticos e mostrar que as teorias matem-

ticas eram isentas de contradio.

Atualmente relacionada Proposta de Hilbert temos a teoria da prova, que se

constitui num notrio ramo da Lgica. Seu objetivo central pesquisar mtodos de pro-

va ou de deduo. Alguns exemplos de mtodos de deduo so: sistema hilbertiano,

sistema de deduo natural, sistema de clculo de sequentes e sistema de tableaux.

Outros conceitos de fundamental importncia para este trabalho esto relaciona-

dos noo de consequncia lgica.

Tarski (2001), em seu artigo Acerca do conceito de consequncia lgica, afir-

ma que o conceito de consequncia lgica no foi introduzido arbitrariamente no campo

das investigaes estritamente formais, mas foram feitos esforos para aproxim-lo do

conceito usual de consequncia, isto , do conceito usado na linguagem do dia-a-dia.

No artigo citado acima encontramos a primeira tentativa de formular uma defi-

nio precisa do conceito apropriado de consequncia, feita por Carnap, e que pode ser

enunciada como:

A sentena X segue-se logicamente das sentenas da classe K se, e somente se,

a classe consistindo de todas as sentenas de K e da negao de X contraditria.

No artigo Sobre alguns conceitos fundamentais da metamatemtica de Tarski

(2001) existe uma primeira introduo lgica abstrata (ou universal), definindo o sig-

nificado e estabelecendo as propriedades elementares de alguns conceitos importantes

pertencentes s cincias dedutivas, a partir da definio de um sistema lgico constitu-

do somente por sentenas e pelo operador de consequncia. O operador de consequncia

de Tarski indica, dado um conjunto de sentenas, qual a consequncia do conjunto

dado.

Ainda de acordo com o artigo citado acima, o campo de pesquisa da metamate-

mtica formado pelas disciplinas dedutivas formalizadas, e estas disciplinas so con-

sideradas como conjuntos de sentenas, tambm chamadas de sentenas significativas,

nos quais, a partir das sentenas de qualquer conjunto X, outras sentenas podem ser

obtidas por meio de operaes denominadas regras de inferncia. Essas sentenas so

chamadas de consequncias do conjunto de sentenas X. O conjunto de todas as senten-

as denotado por S e o conjunto de todas as consequncias de X denotado pelo sm-

bolo Cn(X).



Velasco (2004) apresenta algumas propriedades do operador de consequncia

presentes no texto On some fundamental concepts of metamathematics de Alfred

Tarski, em que L = (S, Cn) uma estrutura de Tarski, Cn o operador de consequncia

e S um conjunto no vazio e enumervel. importante ressaltar que a enumerabilida-

de j no exigida nas definies de (Feitosa, Grcio, Nascimento, 2007) acerca do

operador de consequncia.

Ainda segundo (Velasco, 2004) o operador Cn definido no conjunto dos sub-

conjuntos de S, isto , Cn: P(S) P(S) e deve satisfazer os axiomas:

Ax1: X Cn(X)

Ax2: Cn(Cn(X)) = Cn(X)

Ax3: Cn(X) = Cn(X), para todo X X tal que X finito e

Ax4: Existe uma sentena x tal que Cn({x}) = S.

Tarski assumiu posteriormente a condio X Y Cn(X) Cn(Y) como axi-

oma ao invs do axioma Ax3, entretanto esse novo sistema mais fraco que o primeiro,

pois o axioma Ax3 no dedutvel de um sistema que contenha a condio acima e os

axiomas Ax1, Ax2 e Ax4.

De forma similar, Feitosa, Grcio e Nascimento (2007) definem o operador de

consequncia em S como uma funo Cn: P(S) P(S) tal que, para todo X, Y S,

ocorre (1), (2) e (3):

X Cn(X) (1)

X Y Cn(X) Cn(Y) (2)

Cn(Cn(X)) Cn(X) (3).

O item (1) diz que toda sentena que pertence a certo conjunto X considerada

como consequncia desse conjunto. J o item (2) diz que se um conjunto X est contido

em um conjunto Y e se uma sentena pertence s consequncias do conjunto X, ento

esta sentena pertence s consequncias do conjunto Y. O item (3) diz que se uma sen-

tena pertence ao conjunto das consequencias das consequencias do conjunto X, ento

esta sentea pertence s consequencias do conjunto X. E dos itens (1) e (3), possvel

obter Cn(Cn(X)) = Cn(X), isto , o conjunto das consequncias das consequncias de

um conjunto X coincide com o conjunto das consequncias de X.

A partir dessa definio do operador de consequncia, vrios resultados envol-

vendo o conceito de espaos quase topolgicos so obtidos - ver (Feitosa, Grcio, Nas-

cimento, 2007).



As definies de (Feitosa, Grcio, Nascimento, 2007) e de (Velasco, 2004) fo-

ram apresentadas concomitantemente devido relevncia das primeiras para este traba-

lho. Pois usando recursos algbricos, Feitosa, Grcio e Nascimento (2007) interpretaram

uma verso simplificada do operador de consequncia de Tarski como operador de uma

estrutura algbrica. A partir da, esses autores introduziram uma nova lgica, a Lgica

TK, de cunho modal, que caracteriza as noes acima indicadas e que foi apresentada

no estilo hilbertiano, com axiomas e regras de deduo.

O objetivo central desse trabalho apresentar a Lgica TK em sistemas de

deduo natural, cculo de sequentes e tableaux e mostrar a equivalncia entre esses

novos sistemas e a verso introduzida por Feitosa, Grcio e Nascimento (2007). Mostrar

essa equivalncia significa mostrar que todas as dedues obtidas na Lgica TK

tambm podem ser obtidas atravs de cada novo sistema apresentado neste trabalho e

vice-versa.

2. O Clculo Proposicional Clssico num sistema hilbertiano

O mtodo axiomtico surgiu na Grcia antiga e podemos dizer que um grande

colaborador foi Euclides de Alexandria [330-275 a.C.], que sistematizou a geometria em

sua obra Elementos, formada por 13 livros. A partir de axiomas e postulados Euclides

demonstrou 465 proposies. Durante sculos, a geometria de Euclides foi considerada

como manifestao mxima do saber rigoroso e organizado. Atualmente, sabemos que

Euclides fazia uso, em suas dedues, de conceitos no explicados anteriormente e de

definies que apenas do uma idia intuitiva do que se queria definir, tal como o de

uma linha ser um comprimento sem largura.

Apenas no final do Sculo XIX, o mtodo axiomtico adquiriu um aspecto for-

mal cabalmente rigoroso devido a trabalhos como o do matemtico alemo David Hil-

bert. Hilbert axiomatizou a geometria euclidiana.

A verso hilbertiana para o CPC utilizada aqui baseada em (Schwichtenberg,

Troelstra, 2000) com algumas pequenas adaptaes.

Definio 2.1: Faremos uso de uma linguagem , determinada por um alfabeto (conjun-

to de smbolos), um conjunto de frmulas, axiomas (que so frmulas da lgica s quais

se atribui um status especial de verdades bsicas) e pela regra de deduo Modus

Ponens (que nos permitir inferir novas frmulas a partir de outras frmulas):



Alfabeto: os smbolos de so os seguintes: , , , , ), (, p1, p2, p3, ...

Observaes: (i) consideramos (falso) uma constante lgica e introduziremos o co-

nectivo (negao) por definio

A =df A .

(ii) o smbolo (se, e somente se) tambm definido

AB =df (AB) (BA).

Naturalmente, =df significa que o termo da esquerda definido pelo termo da direita.

Conjunto de frmulas:

a) as variveis proposicionais so frmulas atmicas;

b) uma frmula atmica;

c) se A e B so frmulas, ento AB, AB, A B e A so frmulas;

d) todas as frmulas so dadas pelos itens (a), (b) e (c).

Axiomas:

(Ax1) A (B A)

(Ax2) (A (B C)) ((A B) (A C))

(Ax3) A AB

(Ax4) B AB

(Ax5) (A C) ((B C) (AB C))

(Ax6) AB A

(Ax7) AB B

(Ax8) A (B (AB))

(Ax9) A

(Ax10) A(A ).

Observao: o que chamamos de axiomas so na realidade esquemas de axiomas, isto

, A, B e C so frmulas quaisquer e, portanto, existem infinitas instncias destes axio-

mas.



Regra de deduo - Modus Ponens (MP):

A, A B B.

Definio 2.2: Uma demonstrao uma sequncia de frmulas A1,..., An, tal que, toda

frmula na sequncia uma instncia de um axioma ou obtida de dois membros ante-

riores da sequncia atravs da regra Modus Ponens.

Definio 2.3: Um teorema A uma frmula, tal que existe uma demonstrao A1,...,

An, em que o ltimo termo da sequncia A (ou seja, An = A).

Representamos que A um teorema por A.

Os axiomas tambm so teoremas cujas demonstraes so sequncias com ape-

nas uma frmula.

Definio 2.4: Uma deduo a partir de um conjunto de frmulas uma sequncia

A1, ..., An, 1 i n, em que vale alguma das condies seguintes:

a) Ai um axioma;

b) Ai ;

c) Ai obtida, por meio da regra Modus Ponens, de dois membros anteriores.

O ltimo membro da sequncia, An, uma consequncia de , e denotamos isto

por An.

Temos a seguir o enunciado do Teorema da Deduo. No o provaremos, mas

sua prova pode ser encontrada em (Feitosa, Paulovich, 2005).

Teorema 2.5: (Teorema da Deduo, T.D.) Seja {A, B} um conjunto de frmulas

de . Se {A} B, ento A B.



Como rvores iro desempenhar um papel importante ao longo deste trabalho,

vamos comear apresentando a sua definio.

Definio 2.6: Um rvore uma estrutura S, L, R, tal que:

S representa um conjunto de elementos {A1, A2, A3,..., An} chamados pontos.

L uma funo que associa a cada ponto A, um inteiro positivo L(A) chamado

nvel de A.

R uma relao definida em S, na qual A chamado antecessor de B e B

chamado sucessor de A. Essa relao deve obedecer as seguintes condies:

i. H um nico ponto A1 de nvel 1, chamado origem da rvore.

ii. Todos os pontos de S, menos a origem (a origem no tm antecessor), tem

um nico antecessor.

iii. Para quaisquer pontos A e B, se B um sucessor imediato de A, ento L(B)

= L(A) + 1.

3. O Clculo Proposicional Clssico dado em um sistema de deduo natural

Segundo Hilbert, os sistemas de axiomatizao no espelham a forma como as

pessoas, em geral, procedem em suas dedues. Ento, em 1935, Gerhard Gentzen, na

tentativa de criar um sistema que fosse o mais prximo do procedimento humano usual

e instigado por questes sobre a Fundamentao da Matemtica, mais especificamente,

sobre a consistncia da Aritmtica, desenvolveu o sistema de prova denominado dedu-

o natural. Porm, devido presena de uma regra no sistema de deduo natural,

chamada regra do corte, Gentzen no conseguiu demonstrar a consistncia da aritmtica

apresentada neste sistema.

O procedimento de deduo num sistema de deduo natural consiste em aplicar

um conjunto de regras de inferncias a um conjunto de premissas, gerando alguns resul-

tados. Se ainda no o resultado desejado, ento aplicam-se novamente regras at que o

resultado desejado aparea.

As regras do sistema so de dois tipos: de introduo e de eliminao, ou seja, o

sistema possui regras para introduzir conectivos e regras para elimin-los.

As regras do sistema de deduo natural so regras postuladas, ou seja, so re-

gras aceitas sem demonstrao. Entretanto, a escolha destas regras no aleatria, elas



devem preservar a principal caracterstica de uma deduo lgica: se as premissas de

uma deduo so verdadeiras, ento a concluso tem que ser verdadeira.

O mtodo de deduo natural apresentado aqui ser determinado sobre a lingua-

gem ou alfabeto proposicional = { , , , , , ( , ) , p1, p2, p3, ...}do Clculo

Proposicional Clssico e composto das seguintes regras:

Regras de introduo (I) Regras de eliminao (E)

Conjuno

( ) BA

B

A

A

BA

B

BA

Disjuno

( ) BAA

BA

B

C

BA se A C ou B C

Condicional

( ) BA

B

A

M

B

A

BA

Bicondicional

( ) BA

AB

BA

BA

BA

AB

BA

Negao

( ) AA

A

A

Cada regra receber um nome. A regra de introduo da conjuno ser repre-

sentada por (I ) e a de eliminao por (E ), ou seja, se a regra for de introduo o seu

nome ter a letra I e o smbolo do operador que ela introduz e se a regra for de elimina-

o o seu nome ser composto pela letra E seguida do operador que ela elimina.

Definio 3.1: Sejam um conjunto qualquer de frmulas e A uma frmula. Uma de-

duo atravs do mtodo de deduo natural de A a partir de uma sequncia finita

C1, ..., Cn de frmulas, tal que Cn = A e todo Ci, 1 i n, uma frmula, de modo que

Ci ou Ci foi obtida de frmulas anteriores da sequncia, por meio da aplicao de

alguma das regras de inferncia apresentadas acima.



Definio 3.2: Sejam um conjunto qualquer de frmulas e A uma frmula. Dizemos

que deriva A por deduo natural, se existe uma deduo de A a partir de atravs do

mtodo de deduo natural. Denotamos tal fato por A.

4. O Clculo Proposicional Clssico num clculo de sequentes

Para solucionar o problema que ocorreu com a deduo natural, em 1935, Gent-

zen criou o sistema de clculo de sequentes, o qual possibilitou a demonstrao do Teo-

rema da Eliminao do Corte (ou Hauptsatz). Este teorema garante que toda prova pode

ser transformada em uma prova normal, ou seja, uma deduo sem a presena da regra

do corte. Assim, Gentzen pde provar a consistncia da aritmtica. Apenas em 1965,

Prawitz conseguiu demonstrar a consistncia da aritmtica usando um sistema de dedu-

o natural.

O sistema que ser utilizado uma adaptao do sistema encontrado em (Schwi-

chtenberg, Troelstra, 2000). Usamos tambm algumas definies dadas por Gentzen

(1969).

Nossa linguagem far uso de um alfabeto, um conjunto de frmulas, axiomas e

regras. O alfabeto e o conjunto de frmulas sero os mesmos dados no mtodo axiom-

tico, porm acrescentaremos o smbolo no alfabeto.

Definio 4.1: Multiconjuntos finitos so conjuntos finitos com possvel repetio de

elementos.

Em conjuntos {A, A, A, B} e {A, B} so conjuntos iguais, mas, quando traba-

lhamos com multiconjuntos, temos que {A, A, A, B} {A, B}.

Definio 4.2: Sequentes so expresses da forma , em que e so multicon-

juntos finitos. Chamamos de antecedente e de consequente do sequente.

Observao: No sistema hilbertiano, entendemos o sequente , com = {A 1,

A2,..., An}, = {B1, B2,, Bm} e C uma frmula qualquer, da seguinte maneira:

a) Se e no so vazios, ento: (A1 A2 ... An) (B1 B2 Bm).



b) Se vazio e no , ento: B1 B2 ... Bm.

c) Se vazio e no , ento: A1 A2 ... An C C.

d) Se e so vazios, ento: C C.

Definio 4.3: Considerando A e B frmulas arbitrrias e e multiconjuntos finitos,

os seguintes axiomas e regras regem este sistema:

Axiomas:

(Ax) A A

(L) .

Regras estruturais:

-atenuao:

(LW)

A,

(RW)

, A

-contrao:

(LC) A, A,

A,

(RC) , A, A

, A

Regras operacionais:

(L) A, B,

AB,

(R) , A; , B

, AB

(L) A, ; B,

AB,

(R) , A, B

, AB

(L) , A; B,

A B,

(R) A, , B

, A B.

Definio 4.4: Chamamos de sequentes superiores e inferiores aos sequentes que esto,

respectivamente, acima ou abaixo das linhas em que aparecem as regras consideradas.

Definio 4.5: Uma prova construda a partir de axiomas por meio de regras de infe-

rncia e tem a forma de uma rvore (invertida) , tal que:

a) Os pontos mais altos de so axiomas;



b) Cada ponto de , exceto o ltimo, o sequente superior de uma aplicao de

uma regra de inferncia cujo sequente inferior tambm ocorre em , imediata-

mente abaixo de .

Definio 4.6: Uma frmula A um teorema do clculo de sequentes se o sequente

A pode ser provado.

5. O Clculo Proposicional Clssico em um sistema de tableaux

O mtodo dos tableaux analtico um mtodo de prova baseado em refutao

que permite verificar se uma determinada frmula ou no um teorema de uma teoria.

Alguns textos remetem a origem do mtodo dos tableaux Gentzen, pois muitos

trabalhos que levaram ao desenvolvimento dos sistemas de tableaux foram de algum

modo, inspirados pelos trabalhos de Gentzen em relao aos sistemas de provas.

Segundo o Handbook of Tableaux Methods (1999) Beth e Hintikka, tambm

contriburam com o desenvolvimento dos tableaux. O primeiro artigo de Hintikka apa-

receu em 1955, no mesmo ano em que apareceu o artigo de Beth, entretanto as apresen-

taes dos sistemas de tableaux de Beth e de Hintikka no possuam uma notao sim-

plificada. Isso s foi possvel graas aos trabalhos de Zbigniew Lis e de Raymond

Smullyan. Lis publicou suas idias em 1960, mas devido ao grande abismo fixado entre

o ocidente e o oriente da Europa, elas permaneceram por muito tempo desconhecidas e

o trabalho e Lis s voltou a receber ateno nos ltimos anos.

Smullyan aprimorou diversos conceitos e idias relacionadas aos tableaux, cul-

minando, em 1968, com a publicao de seu livro First-Order Logic e foi com esse

completo trabalho de Smullyan que o mtodo dos tableaux se tornou bastante conheci-

do.

Uma apresentao formal desse mtodo de refutao com base em (Smullyan,

1994) feita atravs das definies abaixo:

Definio 5.1: Uma rvore ordenada uma rvore no ordenada acrescida de uma fun-

o que atribui a cada ponto de juno z uma seqncia (z) que no contm repeti-

es, e cujo conjunto de termos consiste em todos os sucessores de z.



Definio 5.2: Uma rvore didica uma rvore ordenada em que cada ponto juno

tem no mximo dois sucessores.

Definio 5.3: Um ponto chamado de ponto final quando no possui pontos sucesso-

res. Se ele tem exatamente um sucessor chamado de ponto simples e se ele possui

mais que um sucessor chamado de ponto de juno.

Definio 5.4: Um ramo qualquer sequncia finita ou infinita de pontos, comeando

pela origem, de maneira que cada termo da sequncia, exceto (se houver) o ltimo,

antecessor do prximo.

Definio 5.5: Quando um ramo tem um nmero finito de pontos, o ltimo ponto dessa

sequncia o ponto final do ramo (da rvore) e esse ramo finito. Quando um ramo

tem um nmero infinito de pontos um ramo infinito.

Definio 5.6: Os elementos bsicos do sistema de tableaux T so:

I) Um alfabeto (AlfT) formado por um conjunto enumervel de smbolos proposicionais

p1, p2, ..., pn, smbolos de pontuao ( e ), um conjunto de operadores lgicos { ,

, , };

II) Um conjunto de frmulas (ForT), tal que, suas frmulas so obtidas recursivamente

por:

i) Todo smbolo proposicional uma frmula, dita frmula atmica;

ii) Se A uma frmula, ento A uma frmula;

iii) Se A e B so frmulas, ento A B, AB, A B tambm so frmulas;

iv) O conjunto de todas as frmulas gerado apenas pelos itens acima.

III) Conjunto de regras de deduo.

Definio 5.7: A noo de subfrmula imediata dada pelas condies abaixo:

I) Variveis proposicionais no tm subfrmulas imediatas.

II) A tem apenas A como subfrmula imediata.

III) As frmulas A B, AB e AB tm apenas A e B como subfrmulas imediatas.



Definio 5.8: A noo de subfrmula implicitamente definida pelas regras:

I) Se A uma subfrmula imediata de B ou se A coincide com B, ento A uma sub-

frmula de B.

II) Se A uma subfrmula de B e B subfrmula de C, ento A uma subfrmula de

C.

Definio 5.9: As regras de expanso do tableau so as seguintes:

I) Regras do tipo conjuntivo: so regras que adicionam novas frmulas ao final do ramo.

As frmulas desse tipo so representadas pela letra e quando ocorrer no ramo alguma

frmula do tipo , ser acrescentado no mesmo ramo as frmulas 1 e 2.

Nome da regra 1 2

R (A B) A B

R (A B) A B

R A B A B

II) Regras do tipo disjuntivo: so regras que bifurcam um ramo em dois. As frmulas

desse tipo so representadas pela letra e quando ocorrer no ramo alguma frmula do

tipo , sero acrescentadas as frmulas 1 e 2, uma do lado da outra, no final do ramo e

cada uma ser a origem de um novo ramo.

Nome da regra 1 2

R A B A B

R A B A B

R (A B) A B

III) Regra especial: A regra da Dupla Negao (DN) ser considerada uma regra de tipo

especial. Ela adiciona uma nova frmula ao final do ramo. As frmulas desse tipo so

representadas pela letra e quando ocorrer no ramo alguma frmula do tipo , ser a-

crescentado no mesmo ramo a frmulas 1.



Nome da Regra 1

R A A

Definio 5.10: Um tableau analtico T para uma frmula A uma rvore ordenada

didica , cujos pontos so frmulas, e que construda como se segue. Inicia-se colo-

cando A na origem. Supe-se que j um tableau construdo para A e B um

ponto final. Ento se pode estender atravs de uma das seguintes operaes:

i) Se alguma frmula do tipo ocorre no ramo (em que B est), ento se pode adicionar

ou 1 ou 2 como nico sucessor de B;

ii) Se alguma frmula do tipo ocorre no ramo (em que B est), ento se pode simulta-

neamente adicionar 1 como sucessor da esquerda de B e 2 como sucessor da direita de

B;

iii) Se alguma frmula do tipo ocorre no ramo (em que B est), ento se pode adicio-

nar ou 1 como nico sucessor de B.

Definio 5.11: Um ramo de tableau fechado quando existem neste ramo pontos que

correspondam s frmulas A e A.

Definio 5.12: Um tableau para uma determinada frmula A fechado quando todos

os seus ramos so fechados.

Definio 5.13: Dizemos que deriva A por tableau, se existe um tableau fechado para

o conjunto {, A}. Denotamos tal fato por =|| A.

6. A Lgica TK na verso hilbertiana

Existem muitas outras lgicas alm da lgica clssica. Podemos classificar as

lgicas em: lgicas ampliadas, que estendem a lgica clssica e lgicas alternativas, que

se propem a substituir a lgica clssica.

A lgica introduzida por Feitosa, Grcio e Nascimento (2007), chamada Lgica

TK, um exemplo de lgica ampliada, pois estende a lgica clssica ao enriquecer sua

linguagem com um novo operador de carter modal, motivado pelo operador de conse-

quncia de Tarski.



Como a Lgica TK uma extenso do CPC, ento todos os resultados que valem

para o CPC, em particular o que j foi visto, so vlidos na Lgica TK. Porm, teremos

alguns resultados a mais, dados pelo novo operador lgico.

Definio 6.1: A Lgica proposicional TK, de linguagem LH(,, , , p1, p2, p3,...),

definida por meio dos seguintes axiomas e regras:

Axiomas:

Axiomas do Clculo Proposicional Clssico

AxTK1 A A

AxTK2 A A.

Regras de Deduo:

MP: A, A B B

R: A B A B.

Observao: Quando trabalhamos com o operador de consequncia, o Teorema da De-

duo no se aplica.

Proposio 6.2: (AB) A.

Demonstrao:

1. (AB) A Tautologia

2. (AB) A R em 1.

Proposio 6.3: A (AB).

Demonstrao:

1. A (AB) Tautologia

2. A (AB) R em 1.

Proposio 6.4: A frmula (A B) (A B) no vlida. Podemos encontrar

este resultado em Feitosa, Grcio e Nascimento (2007).



Proposio 6.5: A A.

Demonstrao:

1. A Premissa

2. A A AxTK1

3. A MP em 1 e 2.

7. A Lgica TK em um sistema de deduo natural

Definio 7.1: A Lgica proposicional TK em um sistema de deduo natural de lin-

guagem LDN(,, , , , p1, p2, p3,...), obtida atravs do acrscimo de novas regras

as regras do sistema de deduo natural para o CPC. Essas novas regras, especficas

para o operador , so:

R: A

A

R: A_

A

R: AB_

AB

R: A

A

Definio 7.2: As definies de demonstrao e deduo (derivabilidade) so as mes-

mas apresentadas no clculo proposicional clssico.

Agora ser estabelecida a equivalncia entre a Lgica TK na verso axiomtica

introduzido por Feitosa, Grcio e Nascimento (2007) e a lgica TK em deduo natural

apresentada neste trabalho.

A equivalncia entre um sistema de deduo natural e um sistema hilbertiano j

foi feita em Gentzen (1969) para a lgica proposicional clssica. Assim, neste trabalho a

demonstrao desta equivalncia ser estendida apenas para os casos que envolvem o

operador .



Teorema 7.3: Todas as regras da Lgica TK em deduo natural podem ser deduzidas

atravs do sistema da Lgica TK na verso axiomtica.

R: A A

1. A Premissa

2. A A Axtk1

3. A MP em 1 e 2

R: A A

1. A Premissa

2. A A Ax tk2

3. A MP em 1 e 2

R: A B A B

1. AB Premissa

2. AB R em 1

R: A A

1. A Premissa

2. A A tautologia

3. A A R em 2

4. A MP em 1 e 3.

Teorema 7.4: Todos os axiomas e regras da Lgica TK na verso axiomtica podem ser

deduzidos atravs do sistema da Lgica TK em deduo natural.

AxTK1: A A

1. A H

2. A (R) em 1

3. A A (I) de 1 a 2



AxTK2: A A

1. A H

2. A (R) em 1

3. A A (I) de 1 a 2

R: A B A B.

1. A B H

2. A B (R) em 1.

Portanto, pelos Teoremas 7.3 e 7.4, est estabelecida a equivalncia entre os sistemas

da Lgica TK nas verses axiomtica e deduo natural.

8. A Lgica TK em clculo de sequentes

Estenderemos o sistema de clculo de sequentes visto neste trabalho atravs da

introduo do operador na linguagem e das seguintes regras para este operador:

(TK1) A

A

(TK2) A

A

(TK3) A B

A B.

Observao: A regra (R) no pode ser aplicada aps a regra (TK3), caso isso ocorra,

provaramos o Teorema da Deduo. Dessa forma, esta lgica teria mais teoremas do

que a Lgica TK introduzida em (Feitosa, Grcio, Nascimento, 2007).

Provaremos um resultado vlido na Lgica TK atravs do clculo de sequentes:



A A

A A (Ax)

A A (TK1).

Agora mostraremos a equivalncia entre o sistema hilbertiano da Lgica TK in-

troduzida em (Feitosa, Grcio, Nascimento, 2007) e o sistema em clculo de sequentes

introduzido neste trabalho. Para mostrarmos a equivalncia entre estes dois sistemas

estenderemos a equivalncia entre os sistemas hilbertiano e de clculo de sequentes para

o Clculo Proposicional Clssico encontrada na literatura para as regras do operador de

consequncia.

() Provaremos que as regras (TK1), (TK2) e (TK3) podem ser deduzidas dentro da

Lgica TK na verso hilbertiana.

(TK 1) A

A

1. A Premissa

2. A A AxTK1

3. A MP em 1 e 2.

(TK 2) A

A

1. A Premissa

2. A A AxTK2

3. A MP em 1 e 2.

(TK 3) A B

A B

1. A B Premissa



2. A B R.

() Provaremos, agora, que os axiomas AxTK1 e AxTK2 e a regra R correspondem a

algum sequente vlido.

A A

A A (Ax)

A A (TK1)

A A (R)

A A

A A (Ax)

A A (TK2)

A A (R)

A B A B

A B A B (Ax)

A B A B (TK3).

9. Um sistema de tableaux para a Lgica TK

Definio 9.1: A Lgica proposicional TK em um sistema tableaux de linguagem

LT(,, , , , p1, p2, p3,...), composta de regras do sistema de tableaux para o CPC

e de regras, especficas para o operador , que so:

R : A

A

R: A

A



R: )BA(

B

A

, quando =|| A B

Observaes: A regra R s deve ser aplicada no caso da frmula A B ser hip-

tese do argumento ou um teorema da Lgica TK em tableaux.

Os resultados vlidos para o CPC em um sistema de tableaux ainda so vlidas

aqui.

Abaixo ser estabelecida a equivalncia entre a Lgica TK na verso hilbertiana

introduzida por Feitosa, Grcio e Nascimento (2007) e a lgica TK no sistema de table-

aux apresentada neste trabalho.

Teorema 9.2: Os conjuntos (, A) e (, A) so T-inconsistentes o conjunto T-

inconsistente.

Demonstrao: A demonstrao desse teorema j foi feita em (Carnielli; Coni-

glio; Bianconi, 2006, p. 88) para a parte clssica de TKtab. Portanto, ser apenas esten-

dida para o operador .

() Se os conjuntos (, A) e (, A) so T-inconsistentes, ento o conjunto T-

inconsistente.

Demonstrao por induo sobre a complexidade de A:

I. J foi analisado para o caso de A ser uma frmula atmica.

II. Se a frmula A do tipo B:

(i) Por hiptese, o conjunto (, B) T-inconsistente e, pela definio 5.12, existe um

tableau fechado para (, B):

.3

B.2

.1

Como existe um tableau fechado para (, B), ento ou existe um tableau fe-

chado para ou o tableau fecha com o acrscimo da frmula B. No segundo caso,

conclui-se que B ocorre no tableau.

(ii) Por hiptese, o conjunto (, B) tambm T-inconsistente. Assim, pela definio

5.12, existe um tableau fechado para (, B):



.3

B.2

.1

Como tambm existe um tableau fechado para (, B), ento ou existe um

tableau fechado para ou o tableau fecha com o acrscimo da frmula B. Logo,

B ocorre no tableau, isto , B ocorre no tableau.

De (i) e (ii) segue que fechado, pois B B ocorre no tableau de ou h

um tableau fechado para independente destas frmulas.

Portanto, T-inconsistente.

O teorema seguinte mostra que todos os teoremas que podem ser obtidos no sis-

tema hilbertiano de TK tambm podem ser obtidos no sistema de tableaux de TK.

Teorema 9.3: Se A, ento A.

Demonstrao: A demonstrao desse teorema, j foi feita em Silvestrini (2005) para a

parte clssica da Lgica TK em tableaux. Assim, a demonstrao por induo sobre o

comprimento da deduo de A, a partir de ser estendida para o operador .

Seja A um esquema de axioma da Lgica TK. Devemos verificar que existe um

tableau fechado para {A}.

Para o esquema de axioma Axtk1, tem-se, A1 B B.

Para o esquema Axtk2, tem-se, A2 B B.

,5,3.6

R,4B.5

R,2)B(.4

R,2B.3

)BB(.2

.1

,5,4.6

R,3B.5

R,2)B(.4

R,2B.3

)BB(.2

.1



Hiptese de Induo: Ai Ai, para todo i n.

Como j foi visto no caso clssico, as trs possibilidades para An+1 em um passo

n+1 da deduo de A, a partir de so:

i. An+1 uma premissa ou

ii. An+1 um esquema de axioma da Lgica TK ou

iii. An+1 deduzida a partir de alguma regra da Lgica TK.

Para (i) e (ii), a demonstrao a mesma feita anteriormente para verificar a ba-

se da induo. Para o caso (iii), preciso analisar a nica regra ainda no avaliada que

exclusiva da Lgica TK, a R.

H uma deduo em que An B C e An+1 B C. Assim B C.

Pela hiptese de induo, h um tableau fechado para B C.

Logo, preciso mostrar que o tableau B C tambm fecha. Para isso

ser construdo o tableau de { (B C)}:

Como B C, ento possvel aplicar a regra R na linha 5 do tableau acima,

entretanto, por hiptese de induo B C e, portanto, o tableau fecha.

Com esses resultados conclumos que se A, ento A.

Teorema 9.4: Se A, ento A.

Demonstrao: A demonstrao desse teorema ser estendida para o operador , pois j

foi feita em Silvestrini (2005) para a parte clssica da Lgica TK em tableaux.

R,4)CB(.5

R,2C.4

R,2B.3

)CB(.2

.1



Para cada regra da Lgica TK em tableaux ser obtida na Lgica TK uma cor-

respondente deduo usando uma reduo ao absurdo (RAA), ou seja, uma deduo

indireta.

A regra (R ) tem uma deduo vlida na Lgica TK: A A:

1. A p.

2. A p.p.

3. A A tautologia

4. A MP em 2 e 3

5. A A Axtk1

6. A MP em 4 e 5

7. A (A(AA)) tautologia

8. A(AA) MP em 1 e 7

9. AA MP em 6 e 8

10. A RAA de 2 a 9

A regra (R) tem uma deduo vlida na Lgica TK: A A:

1. A p.

2. A p.p.

3. A A Axtk2

4. A MP em 1 e 3

5. A (A(AA)) tautologia

6. A(AA) MP em 2 e 5

7. AA MP em 4 e 6

8. A RAA de 2 a 7

A regra (R) tem uma deduo vlida na Lgica TK: A, B (AB):

1. A p.

2. B p.



3. (AB) p. p.

4. (AB) (AB) tautologia

5. A B MP em 3 e 4

6. A B R em 5

7. B MP em 1 e 6

8. B (B (B B)) tautologia

9. B (B B) MP em 2 e 8

10. B B MP em 7 e 9

11. (AB) RAA de 3 a 10

Com esses resultados, temos que se A, ento A.

Portanto, pelos Teoremas 9.3 e 9.4, este trabalho apresenta a equivalncia entre a

Lgica TK na verso axiomtica e a Lgica TK em um sistema de tableaux.

10. Consideraes Finais

A Lgica TK foi inicialmente apresentada por Feitosa, Grcio e Nascimento

(2007) em um sistema hilbertiano, na qual, para verificar se uma frmula ou no um

teorema da Lgica TK, as dedues so feitas a partir de axiomas e regras de infern-

cias.

O presente trabalho apresenta a equivalncia entre a Lgica TK na verso axio-

mtica e a Lgica TK em sistemas de deduo natural, clculo de sequente e tableaux, o

que torna possvel verificar se uma frmula um teorema da Lgica TK, tambm atra-

vs de um sistema de deduo natural, ou de um sistema de clculo de sequentes ou

ainda de um sistema de tableaux. Assim todas as dedues obtidas na Lgica TK dada

no sistema hilbertiano, tambm podem ser obtidas atravs da Lgica TK nos demais

sistemas e vice-versa.

Essa equivalncia tambm permite concluir que a correo e a completude, pro-

priedades j demonstradas por Feitosa, Grcio e Nascimento (2007) para a Lgica TK

na verso hilbertiana, tambm so vlidas para os sistemas de deduo natural, de clcu-

lo de sequentes e de tableaux para a Lgica TK.

Dessa forma, em trabalhos envolvendo a Lgica TK, possvel escolher dentre



os sistemas acima o melhor para se obter os resultados pretendidos.

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Artigo recebido em: 16/08/10 Aceito em: 02/12/10

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