LGEBRA LINEAR PROF. CESRIO JOS FERREIRA

Jan/2006

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NDICE CAPTULO 01 - SISTEMAS DE EQUAES LINEARES1.1- INTRODUO 03 1.2 - SISTEMA ESCALONADO 03 1.3 - RESOLVENDO UM SISTEMA ESCALONADO NO EXCEL OU STARCALC 03 1.4 - SISTEMAS EQUIVALENTES 04 1.5 - ESCALONANDO UM SISTEMA NO EXCEL OU STARCALC 05 EXERCCIOS 06 1.6 - SISTEMAS POSSVEIS E IMPOSSVEIS 06 1.7 - GRAU DE LIBERDADE 07 EXERCCIOS 07

CAPTULO 02 MATRIZES2.1 - INTRODUO 08 2.2 LEI DE FORMAO 08 EXERCCIOS 09 2.2 - ALGUNS TIPOS DE MATRIZES 09 EXERCCIOS 09 2.3 - IGUALDADE DE MATRIZES 10 2.4 - OPERAES COM MATRIZES 10 2.5 - MULTIPLICANDO MATRIZES NO STARCALC E NO EXCEL 12 EXERCCIOS 13

CAPTULO 03 DETERMINANTES3.1 PERMUTAES PARES E PERMUTAES MPARES 15 3.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 15 EXERCCIOS 17 3.3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR 17 EXERCCIOS 18 3.4 ESCALONANDO UMA MATRIZ 19

CAPTULO 04 - INVERSO DE MATRIZES4.1 DEFINIO 20 4.2 INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2 20 EXERCCIOS 20 4.3 - MATRIZ INVERSA NO STARCALC 20 4.4 - MATRIZ INVERSA NO EXCEL 21 4.5 MATRIZ ADJUNTA 22 4.6 ADJUNTA E INVERSA 23 4.7 ALGUMAS PROPRIEDADES ENVOLVENDO A MATRIZ INVERSA 24 4.8 - RESOLVENDO EQUAES MATRICIAIS 24 4.9 OUTRA FORMA DE DETERMINAR A INVERSA 25 EXERCCIOS 26 4.10 - GRAFOS - UMA APLICAO DA LGEBRA DAS MATRIZES 27

CAPTULO 05 ESPAOS VETORIAIS5.1 OPERAES E PROPRIEDADES 30 5.2 DEFINIO DE ESPAO VETORIAL 30 EXERCCIOS:- 30 5.3 - SUBESPAO VETORIAL 31 EXERCCIOS: 32 5.4 GERADORES DE UM ESPAO VETORIAL 32 EXERCCIOS 33 5.5 GERADORES DE Rn 33 EXERCCIOS 34 5.6 DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEAR 34 5.7 BASE E DIMENSO DE UM ESPAO VETORIAL 34 5.8 -PROPRIEDADES E CONSEQNCIAS DA DEFINIO 34 5.9 BASE CANNICA 35 EXERCCIOS: 35 5.10 MUDANA DE BASES 36 EXERCCIOS:- 38

CAPTULO 06 TRANSFORMAES LINEARES6.1 INTRODUO 39 EXERCCIO: 39 6.2 TRANSFORMAO LINEAR 39 EXERCCIOS: 39 EXERCCIOS 40 6.3 TRANSFORMAES LINEARES E MATRIZES 40 6.4 TRANSFORMAES LINEARES NO PLANO E SUAS REPRESENTAES GRFICAS 40 6.5 OPERAES COM TRANSFORMAES LINEARES 42 EXERCCIOS 44

CAPTULO 07 OPERADORES LINEARES7.1 INTRODUO 45 7.2 NCLEO DE UMA TRANSFORMAO LINEAR 45 EXERCCIOS: 46 7.3 - OPERADORES INVERSVEIS 46 EXERCCIOS 46 7.4 - OPERADORES ORTOGONAIS 47 7.5 - OPERADORES SIMTRICOS 47 EXERCCIOS: 47

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CAPTULO 01 - SISTEMAS DE EQUAES LINEARES 1.1 - INTRODUO Uma equao da forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + .... + anxn = b1 onde cada ai um nmero real e cada xi uma varivel dita equao linear de primeiro grau, com n variveis. Note que todas as variveis apresentam expoente igual a 1 e no aparece produto de variveis, por este motivo a equao do primeiro grau. O nmero real b1 chamado de termo independente. Um conjunto com n equaes na forma anterior constitui um sistema de equaes lineares. O conjunto abaixo a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a44x4 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3 constitui um sistema formado por 3 equaes lineares e 4 variveis. Nesse sistema, cada aij um coeficiente (nmero real), x1, x2, x3, x4 so as variveis e b1, b2, b3 e b4 so os termos independentes. Um conjunto de nmeros reais que satisfaa a todas as equaes uma soluo do sistema. Assim, para, o sistema de variveis x e y, x+y=7 x - y = 1, (4, 3) uma soluo (no caso, soluo nica). Portanto, resolver um sistema, encontrar um conjunto (x1, x2, ...xn), chamado n-upla ordenadas, que verifique as equaes. Exerccios: 1. Para cada um dos conjuntos (3, 2, -1), (-2, 1, 2) e (1, 1, -1), escritos na forma (x, y, z) verificar se so ou no solues do sistema: 2x + y + z = - 2; 3x - 4y + z = - 2; 6x + 3y - 2z = 11. 2. Se (1, 2, -3) soluo do sistema: x - 2ay + 3z = 19; bx - 2y + 4z = 11; 2x + 4y - 3cz = 21, calcule os valores de a, b e c. 1.2 - SISTEMA ESCALONADO Observe o sistema abaixo: 3x + 2y + 3z - w = 12 y+ z +w= 9 2z - w = 2 2w = 8 Neste sistema, em cada equao o coeficiente da primeira varivel da equao anterior nulo. Isto : a primeira varivel da primeira equao x. Seu coeficiente na segunda equao nulo. Nesta, a primeira varivel y. Na terceira equao, o coeficiente de y nulo. Isto se repete at a ltima equao. Um sistema como o acima tem forma denominada triangular ou escalonada. O sistema escalonado com n equaes e n variveis tem soluo bastante simples. Tomando a ltima equao, obtm-se w = 4. Substituindo esse valor na equao anterior, 2z 4 = 2 z = 3. Substituindo os valores de w e z na segunda equao, y + 3 + 4 = 9 y = 2 e finalmente, na primeira equao: 3x + 2.2 + 3.3 4 = 12 x = 1. Portanto, a soluo do sistema a qudrupla ordenada (1, 2, 3, 4). 1.3 - RESOLVENDO UM SISTEMA ESCALONADO NO EXCEL OU STARCALC O processo de resoluo de um sistema escalonado um processo que permite uma seqncia lgica. Desta forma possvel criar um algoritmo para a resoluo de tais sistemas. Voc pode usar qualquer linguagem de computao e criar esse algoritmo. Iremos criar um algoritmo que pode ser usado no EXCEL ou no STARCALC, para um sistema de 10 equaes e 10 variveis. O algoritmo pode ser estendido para um maior nmero de equaes bem como pode ser usado para um nmero menor de equaes. Para ampliar o algoritmo basta acrescentar novas linhas acima da primeira linha acrescentando os

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coeficientes, o termo independente e a frmula iterativa para calcular os valores das outras variveis. Para usar o algoritmo com um nmero menor de equaes, substitui-se as ltimas linhas pelos coeficientes e termos independentes. Nas equaes excedentes, preenche os coeficientes com 0 (zero) . A tabela abaixo mostra a montagem para resolver o sistema de 10 equaes e 10 variveis.

Veja as frmulas utilizadas nas clulas: O14: =M14/K14 O13: =(M13-O14*K13)/J13 O12: =(M12-O14*K12-O13*J12)/I12 O11: =(M11-O14*K11-O13*J11-O12*I11)/H11 O10: =(M10-O14*K10-O13*J10-O12*I10-O11*H10)/G10 O9: =(M9-O14*K9-O13*J9-O12*I9-O11*H9-O10*G9)/F9 O8: =(M8-O14*K8-O13*J8-O12*I8-O11*H8-O10*G8-O9*F8)/E8 O7: =(M7-O14*K7-O13*J7-O12*I7-O11*H7-O10*G7-O9*F7 - O8*E7)/D7 O6: =(M6-O14*K6-O13*J6-O12*I6-O11*H6-O10*G6-O9*F6 - O8*E6 O7*D6)/C6 O5: =(M5-O14*K5-O13*J5-O12*I5-O11*H5-O10*G5-O9*F5 - O8*E5 - O7*D5 O6*C5)/B5 Ao utilizar o dispositivo para resolver um sistema diferente, basta substituir os valores dos coeficientes e dos termos independentes, que a soluo do sistema ser automtica. Voc pode criar um dispositivo semelhante ou baixar o arquivo trian.exe (veja no ndice ao lado item 2a), descompact-lo e abrir no Excel ou StarCalc. Se voc tem instalado em seu computador o EXERCCIOS: Resolva os sistemas: 1. x - 3y = 2 e 2y = 6 2. x + y + z = 8 e 2y + z = 5 e 3. 3x + 2y + 4z - 5w + 2r - 3t = 21; y - z + 2w - r + 4t = 100; - 5z + 2w - 3r + t = 19; 7w - 2r - 3t = 91; r - t = 2; 5t = 10.

3z = 9

1.4 - SISTEMAS EQUIVALENTES Dois sistemas so ditos equivalentes se admitirem as mesmas solues. Por exemplo: os sistemas x+y =7 2x + 2y = 14 x- y=1 3x - 3y = 3 so equivalentes pois a soluo de ambos (4, 3). Dado um sistema, para transform-lo em outro equivalente, podemos: i) trocar a posio das equaes ii) multiplicar uma equao por um nmero real diferente de zero iii) multiplicar uma equao por um nmero real, diferente de zero, e som-la a outra equao que tambm pode estar ou no multiplicada por um nmero real.

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As transformaes acima so chamadas de transformaes lineares. Aplicando-as convenientemente possvel transformar um sistema para a forma escalonada. Vejamos um exemplo aplicando as transformaes a um sistema de modo a transform-lo em escalonado. Seja o sistema: x + 2y - z = 11 2x - 3y + 2z = 9 x -y+z=5 Eliminando o x da 2 e 3 equaes - Multiplica-se a primeira equao por (-2) e soma-se 2 e por (-1) e soma-se 3. x + 2y - z = 11 (observe que a primeira foi multiplicada apenas para somar s demais) - 7y + 4z = - 13 - 3y + 2z = - 6 Multiplicando a segunda por (-3) e somando terceira multiplicada por 7, x + 2y - z = 11 - 7y + 4z = - 13 2z = -3. Desta forma foi obtida a forma escalonada para o sistema. A soluo do mesmo : z = -3/2; y = 1 e x = 15/2. 1.5 - ESCALONANDO UM SISTEMA NO EXCEL OU STARCALC Utilizando os programas acima, pode-se criar um aplicativo para escalonar um sistemas. Damos abaixo uma seqncia de passos para inserir as frmulas nas clulas para um sistema com 8 equaes e 8 variveis. Para utilizar a seqncia de passos, deve-se preencher o conjunto de clulas B9 a I16 com os coeficientes das variveis (uma equao por linha) e as clulas K9 a k16 com os termos independentes. importante que se observe a ordem das variveis. A seqncia abaixo mostra como inserir as frmulas na coluna B.B19 B20 B21 B22 B23 B24 B25 B26 B29 B30 B42 B43 B44 B45 B46 B50 B51 B52 B53 B65 B66 B67 B70 B71 B72 B73 B74 B75 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = B9 SE($B$10=0;B10;B10-B9*($B$10/$B$9)) SE($B$11=0;B11;B11-B9*($B$11/$B$9)) SE($B$12=0;B12;B12-B9*($B$12/$B$9)) SE($B$13=0;B13;B13-B9*($B$13/$B$9)) SE($B$14=0;B14;B14-B9*($B$14/$B$9)) SE($B$15=0;B15;B15-B9*($B$15/$B$9)) SE($B$16=0;B16;B16-B9*($B$16/$B$9)) B19 B20 SE($D$32=0;B32;B32-B31*($D$32/$D$31)) SE($D$33=0;B33;B33-B31*($D$33/$D$31)) SE($D$34=0;B34;B34-B31*($D$34/$D$31)) SE($D$35=0;B35;B35-B31*($D$35/$D$31)) SE($D$36=0;B36;B36-B31*($D$36/$D$31)) B39 B40 B41 B42 SE($F$55=0;B55;B55 - B54*($F$55/$F$54)) SE($F$56=0;B56;B56 - B54*($F$56/$F$54)) SE($F$57=0;B57;B57 - B54*($F$57/$F$54)) B70 B71 B72 B73 B74 B75 B31 B32 B33 B34 B35 B36 B39 B40 B41 B54 B55 B56 B57 B60 B61 B62 B63 B64 B76 B77 B80 B81 B82 B83 B84 B85 B86 B87 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = SE($C$21=0;B21;B21-B20*($C$21/$C$20)) SE($C$22=0;B22;B22-B20*($C$22/$C$20)) SE($C$23=0;B23;B23-B20*($C$23/$C$20)) SE($C$24=0;B24;B24-B20*($C$24/$C$20)) SE($C$25=0;B25;B25-B20*($C$25/$C$20)) SE($C$26=0;B26;B26-B20*($C$26/$C$20)) B29 B30 B31 SE($E$43=0;B43;B43-B42*($E$43/$E$42)) SE($E$44=0;B44;B44-B42*($E$44/$E$42)) SE($E$45=0;B45;B45-B42*($E$45/$E$42)) SE($E$46=0;B46;B46-B42*($E$46/$E$42)) B60 B61 B62 B63 B64 SE($G$66=0;B66;B66-B65*($G$66/$G$65)) SE($G$67=0;B67;B67-B66*($G$67/$G$66)) B70 B71 B72 B73 B74 B75 B76 SE($H$77=0;B77;B77-B76*($H$77/$H$76))

1

2

3

4

5

6

Aps a insero das frmulas na coluna B, selecione as clulas dessa coluna e arraste para copi-las para as colunas C, D, E, ... I, J, k. A seguir preencha as clulas M80 a M87 com as frmulasM80 = (K80-M87*I80-M86*H80-M85*G80-M84*F80-M83*E80-M82*D80-M81*C80)/B80 M81 = SE(C81=0;0;(K81-M87*I81-M86*H81-M85*G81-M84*F81-M83*E81-M82*D81)/C81)

5

M82 M83 M84 M85 M86 M87

= = = = = =

SE(D82=0;0;(K82-M87*I82-M86*H82-M85*G82-M84*F82-M83*E82)/D82) SE(E83=0;0;(K83-M87*I83-M86*H83-M85*G83-M84*F83)/E83) SE(F84=0;0;(K84-M87*I84-M86*H84-M85*G84)/F84) SE(G85=0;0;(K85-M87*I85-M86*H85)/G85) SE(H86=0;0;(K86-M87*I86)/H86) SE(I87=0;0;K87/I87)

EXERCCIOS 1. Resolva os sistemas abaixo por escalonamento. a. x + y = 4 e x - y = 2 b. x + 2y + z = 3 e 3x - y - 3z = -1 e 2x + 3y + z = 4 c. x + 2y - 2z = 1 e 2x + 5y - z = 9 e x + 3y + 4z = 9. d. 3x + y - z + 2t + 4r + 3s = 16 x + 2y + 3z t + 2r 2s = -13 4x + 2y + z t + 2r s =-4 x + 2y - z + 2t - 2r + 4s = 32 5x + y + 9z + 10t - 3r + 7s = 62 6x + 6y - 5z + t + 3r + 5s = 40 2 - A figura mostra uma pesquisa de trfego em cruzamentos de uma cidade. As setas indicam os sentidos dos fluxos e os nmeros representam a quantidade de carros que passam pela rua. Determine a quantidade de carros nos trechos representados pelas letras x, y, z e w.

Para item 3 Para item 2

3 - Determine os valores das correntes i1, i2 e i3 indicadas no circuito ao abaixo. 4 - A tabela mostra as compras realizadas por 4 pessoas em um mercadinho.

Na tabela no est anotada a compra feita por Pedro lvares Cabral. Sabe-se, entretanto, que o mesmo comprou 5 mames, 12 mas, 10 peras e 5 abacaxis. Calcule ento, quanto Pedro lvares Cabral gastou em suas compras. 1.6 - SISTEMAS POSSVEIS E IMPOSSVEIS Vamos analisar os trs sistemas abaixo: S1. x + y = 10 S2. x + y = 10 x-y=2 2x + 2y = 20 S3. x + y = 10 2x + 2y = 15

No sistema S1 a nica soluo o par (6, 4). Esta soluo tambm serve para o sistema S2. Porm, em S2, outras solues so vlidas, tais como (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4,5; 5,5). Na realidade, S2 admite infinitas solues. J, no sistema S3, qualquer soluo para a primeira equao no ser vlida para a segunda pois 2x + 2y exatamente o dobro de x + y. Como x + y = 10, 2x + 2y somente poderia ser igual a 20. Definio: um sistema que admite soluo denominado sistema POSSVEL. Se a soluo nica dizemos que o mesmo um sistema POSSVEL DETERMINADO (S1). Quando o sistema admite infinitas solues ele dito POSSVEL INDETERMINADO (S2). No caso de no ser admitida

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nenhuma soluo o sistema denominado sistema IMPOSSVEL (S3). Escalonando os trs sistemas, obtemos: S1 (multiplicando a primeira equao por -1 e somando segunda) x + y = 10 -2y = -8 S2 (multiplicando a primeira equao por -2 e somando segunda) x + y = 10 0x + 0y = 0. Esta segunda equao no tem nenhuma validade para a resoluo do sistema pois verdadeira para qualquer valor de x e y . Portanto, ela pode ser eliminada do sistema. O sistema ento reduzido a uma nica equao: x + y = 10. S3 (multiplicando a primeira equao por -2 e somando segunda) x + y = 10 0x + 0y = -5. O que no possvel. A partir dos exemplos anteriores, podemos concluir que, escalonado um sistema: i) As equaes transformadas do tipo 0x + 0y + 0z + ... = 0 podem ser eliminadas. ii) Se alguma equao transformada resultar em 0x + 0y + 0z + ... = b (b diferente de zero), o sistema ser impossvel. iii) Se no ocorrer o caso (ii) e eliminadas as equaes do tipo descrito em (i), restarem n equaes e n variveis, o sistema ter soluo nica. iv) se restarem n equaes com m variveis, tais que n < m (n de equaes menor que o n de variveis), o sistema ser possvel indeterminado. Para um sistema indeterminado com n equaes e m variveis, toma-se m - n variveis como secundrias e determina-se as demais variveis (variveis principais) em funo das variveis secundrias. Para isso deixam-se apenas as variveis no primeiro membro das equaes e resolvese o sistema como se as demais fizessem parte do termo independente. 1.7 - GRAU DE LIBERDADE Em um sistema indeterminado (m equaes e n variveis), para se obter uma soluo particular pode-se atribuir valores arbitrrios a (n - m) variveis. Desta forma o sistema se reduzir a m equaes e m variveis, cuja soluo poder ser determinada. diferena n - m chamamos de grau de liberdade do sistema. Tomando, por exemplo, o sistema abaixo, que indeterminado: x + 2y - z = 3 x - y + 2z = 5, e resolvendo em funo de z, teremos: x + 2y = 3 + z x - y = 5 - 2z. Somando as duas equaes, tira-se y = 8 - z que substitudo na segunda equao fornecer x - 8 + z = 5 - 2z x = 13 - 3z. Para obter uma soluo particular, escolhendo arbitrariamente z = 1, resulta: x = 13 - 3 = 10 e y = 8 - 1 = 7. Como este sistema tem trs variveis (x, y, z) e duas equaes, o grau de liberdade 3 -2 = 1 pode-se escolher um valor arbitrrio para uma das equaes. EXERCCIOS 1 - Escalone os sistemas. Informe se os sistemas so determinados, indeterminados ou impossveis. Justifique suas respostas. Se determinado, resolva-os, se indeterminado escolha as variveis principais e resolva-os em funo das variveis secundrias. ( a ) x - 2y = 3 e 2x - y = 9 ( b ) x - 3y = 5 e -4x + 6y = 8 ( c ) x + y = 2 e 2x + 3y = 5 e 3x - 2y = 1 ( d ) x + y = 2 e 2x + 3y = 5 e 3x - 2y = 3 ( e ) x + y + z + w = 0 e 2x + 3y - z - w = 2 e 3x + 2y + z + w = 5 e 3x + 6y - z - w = 4 ( f ) -x + 2y - z = 2 e -2x + 2y - z = 4 e 3x + 2y + 2z = 5 e -3x + 8y + 5x = 17 2 - Para que valores de "a" o sistema x + 2y = z = 1 e -x + 4y + 3z = 2 e 2x - 2y + az = 3 tem: ( a ) soluo nica ( b ) infinitas solues 3 - Para que valores de "a" e "b" o sistema x + y + 3z = 2 e x + 2y + 4z = 3 e x + 3y + az = b , ( a ) tem uma infinidade de solues? ( b ) impossvel?

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CAPTULO 02 MATRIZES 2.1 - INTRODUO Suponha que uma firma tenha produzido, durante os meses de janeiro, fevereiro e maro as seguintes quantidades: arroz, 30 ton, 20 ton, 43 ton; feijo, 10 ton, 60 ton, 15 ton; soja, 10 ton, 15 ton, 12 ton e de caf, 6 ton, 14 ton e 18 ton. Uma forma de apresentar estes dados coloc-los distribudos em linhas e colunas conforme indicado abaixo:

Esta representao em forma de linhas e colunas chamada de representao matricial, onde cada horizontal uma linha e cada vertical uma coluna. Convenciona-se identificar cada linha e cada coluna por um nmero: assim, a primeira linha 30, 20, 43, a segunda, 10, 60, 15, e assim sucessivamente. As colunas so numeradas a partir da esquerda. 30, 10, 10, 6 a primeira coluna; 20, 60, 15, 14 a segunda e assim por diante. Com essa indicao, a matriz do exemplo uma matriz com 4 linhas e 3 colunas, ou seja a matriz indicada tem forma 4 x 3, onde 4 x 3 identifica sua ordem. Definio 1 - A ordem de uma matriz indicada por m x n onde m o nmero de linhas e n o nmero de colunas. Definio 2 - Indica-se A = [aij]mxn uma matriz A de ordem m x n cujos elementos so representados por aij onde i o nmero da linha e j o nmero da coluna onde o mesmo est posicionado. Tomando por exemplo os elementos 43 e 14 da matriz anterior, teremos as indicaes a13 = 43 a a42 = 14.

2.2 LEI DE FORMAO Algumas matrizes podem ter seus elementos definidos em funo da posio ocupada pelo mesmo na matriz. Esta formao da matriz, a partir da localizao dos elementos, tem importncia em programao. A lei de formao em geral dada sob forma de uma funo aij = f(i, j) onde i o nmero da linha e j o nmero da coluna. Assim, por exemplo, para construir a matriz A = [aij]3x2, tal que aij = 3i 2j teremos: a11 = 3.1 2.1 = 1; a12 = 3.1 2.2 = - 1; a21 = 3.2 2.1 = 4; a22 = 3.2 2.2 = 2; a31 = 3.3 2.1 = 7; a32 = 3.3 2.2 = 5

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EXERCCIOS 01 - Considerando a matriz do abaixo RESPONDA:

(a) Qual a ordem da matriz A? (b) Quais so os elementos da terceira linha? (c) Quais so os elementos da quarta coluna? (d) Qual o valor de 2a32 + 5a43 - 7a35? 02 - Escreva a matriz C = [cij]3x4, tal que cij = 7 + 2i - 3j , se i > j e cij = i + j se i < j. 2.2 - ALGUNS TIPOS DE MATRIZES As matrizes apresentadas na figura apresentam algumas caractersticas especiais que sero descritas a seguir.

2.2.1 - Matriz quadrada As matrizes que apresentam o nmero de colunas igual ao nmero de linhas chamada da matriz quadrada. Para uma matriz M quadrada com duas colunas e duas linhas, sua ordem pode ser indicada apenas pelo nmero de linhas ou de colunas. Isto : tal matriz uma matriz quadrada de ordem 2 que se escreve com M2. Nas matrizes quadradas os elementos aij tais que i = j (ou seja a11, a22, a33,...) constituem a diagonal principal. A outra diagonal denominada diagonal secundria. Se n a ordem de uma matriz quadrada, a diagonal secundria ser formada pelo elementos aij tais que i + j = n + 1. Todas as matrizes A, B, C e D so matrizes quadradas. 2.2.2 - Matriz identidade So matrizes quadradas cujos elementos da diagonal principal so todos iguais a 1 e os demais elementos so nulos. Indicando por In a matriz identidade de ordem n, teremos aij = 1 para i = j e aij = 0 para i j. Na figura acima, a matriz B uma matriz identidade de ordem 3. 2.2.3 - Matriz transposta Seja A = [aij]mxn uma matriz. Define-se a transposta da matriz A, que se indica AT, como sendo a matriz AT = [bij]nxm tal que bij = aji. Ou seja, a transposta de uma matriz a matriz obtida quando cada uma das linhas k so transformadas em coluna k. Observe as matrizes A e D da figura. As linhas de A so iguais s colunas de D. Deste modo AT = D e DT = A 2.2.4 - Matriz simtrica Uma matriz A dita simtrica se A = AT. Observe na figura acima a matriz C. Esta uma matriz simtrica. De acordo com a definio, os elementos abaixo da diagonal principal so simtricos ao elementos acima da diagonal principal em relao diagonal. EXERCCIOS 01 02 03 04 Escreva uma matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = 2i + j. Escreva a matriz transposta da matriz obtida no exerccio anterior. Verifique se a matriz anterior ou no simtrica. Escreva as matrizes identidades de ordem 2 e ordem 4.

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05 - Para que valores de x e y a matriz acima simtrica? 06 Considere a matriz A acima. Calcule: Determine a) AT Do item (b), que concluso se pode tirar? 2.3 - IGUALDADE DE MATRIZES

b) (AT)T .

Sejam A = [aij]mxn e B = [bij]pxq duas matrizes. Define-se: A = B se, e somente se, mxn = pxq e aij = bij, para todo i, j. Isto : duas matrizes so iguais quando tm a mesma ordem e quando os elementos de uma forem iguais aos elementos da outra, observadas suas posies.

Determinar os valores de x, y e z. De acordo com a definio da igualdade, teremos: (1) 2x = 3 x = 2/3 (2) x + y = 4 2/3 + y = 4 y = 10/3 e (3) z - 3 = 2 z = 5. Portanto: x = 2/3, y = 10/3 e z = 5. 2.4 - OPERAES COM MATRIZES Neste item iremos estudar trs operaes com matrizes: adio, multiplicao de matrizes por escalar e multiplicao de matriz por matriz. Sejam ento as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]pxq e r um escalar (n real). 2.4.1 - Adio Duas matrizes so conformes para a adio se e somente se apresentarem a mesma ordem. Nesta condio, define-se para A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, A + B = C = [cij]mxn, tal que cij = aij + bij. De acordo com a definio, ao somar duas matrizes de mesma ordem, cada elemento da matriz soma igual soma dos elementos de mesma posio das matrizes a serem somadas. Exemplo

A adio goza das propriedades: comutativa, associativa, elemento neutro e simtrico. Demonstrando a comutatividade temos: Sejam A = [aij] e B = [bij] duas matrizes de mesma ordem. Teremos: A + B = [aij + bij] = [bij + aij] (comutatividade de n reais) = B + A. Deixamos a cargo do leitor a demonstrao da associatividade. Como relao ao elemento neutro temos a matriz nula N = [nij], tal que nij = 0 para todo i, j. A matriz simtrica de A = [aij], simbolizada por -A = [a'ij] tal que a'ij = -aij 2.4.2 - Multiplicao por um escalar [raij]mxn. O produto r.A, sendo A = [aij]mxn definido como sendo a matriz rA, tal que rA =

Isto : o produto uma matriz cujos elementos so multiplicados pelo escalar.

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Deixaremos como exerccio a demonstrao das propriedades abaixo que so vlidas para o produto de matrizes por escalar. (1) rA = Ar; (2) r(sA) = (rs)A (3) r(A + B) = rA + rB (4) A(r + s) = Ar + As (5) 1.A = A e -1.A = -A. 2.4.3 - Multiplicao de matrizes Consideremos as matrizes abaixo, a primeira representando o "custo para produo de trs produtos" e a segunda representando a "quantidade produzidas nos meses de janeiro a maio".

Se desejarmos calcular os gastos com matria prima no ms de janeiro teremos: 2,00x300 + 1,50x400 + 3,00x200 = 1800,00. Os gastos com manuteno no ms de maro foram: 1,50 x200 + 2,00x800 + 1,50x350 = 2.350,00. De maneira semelhante poderamos determinar o custo em cada ms com cada uma das despesas. Isto sempre feito multiplicando os elementos de uma linha da primeira matriz pelos elementos de uma coluna da segunda matriz e somando os produtos. Este procedimento corresponde multiplicao da primeira pela segunda matriz. Completando a matriz produto, que corresponde ao "custo de produo por ms" teremos:

importante observar que para ser possvel o produto condio necessria que o nmero de colunas da primeira matriz seja igual ao nmero de linhas da segunda matriz. Com base no exposta acima, definimos: Sejam A = [aij]mxn e B = [bij]pxq duas matrizes, tais que n = p. Define-se o produto A x B como sendo uma matriz C = [cij]mxq (n de linhas da 1 e n de colunas da 2) onde cada cij formado pela soma dos elementos da linha i da matriz A multiplicados pelos elementos da coluna j da matriz B, isto ,

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2.5 - MULTIPLICANDO MATRIZES NO STARCALC E NO EXCEL 2.5.1 - STARCALC Para se multiplicar matrizes no STARCALC, (1) - Selecione uma clula qualquer de modo que o produto no sobreponha s matrizes a serem multiplicadas. (2) - Clique no boto - Funo AutoPiloto. Ao abrir a janela Funo AutoPiloto, no campo Categoria, use a seta para baixo e clique na opo Matriz.

(3) - No campo funes, aplique um clique duplo na opo MATRIZ.MULT.

(4) - No campo direito, clique na seta frente do campo Matriz 1. Ao minimizar a tela, selecione aprimeira matriz e pressione a tecla ENTER. (5) - Ao exibir novamente a tela, clique na seta frente do campo Matriz 2. (6) - Ao minimizar a tela, selecione a segunda matriz. Pressione a tecla ENTER duas vezes. A matriz produto ser exibida a partir da clula selecionada no item (1). 2.5.2 - EXCEL No Excel, pode-se multiplicar elemento por elemento ou efetuar a multiplicao integral. Deve-se, inicialmente, observar que: multiplicar uma matriz A = [aij]mxn por outra B = [bij]nxp, teremos uma matriz C = [cij]mxp, onde cada cij igual soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B. Seja, por exemplo, efetuar a multiplicao A X B, tais que

sendo que A ocupa as clulas B3 a C5 e B ocupa as clulas F4 a G5. Como A tem ordem 3 x 2 e B tem ordem 2 x 2, o produto ser uma matriz C de ordem 3 x 2. Selecionando a clula C7 (pode ser qualquer outra em o produto no ir sobrepor clulas ocupadas por elementos de A ou de B), digitamos nessa clula =MATRIZ.MULT( . ( ponto no para ser digitado) A seguir arrasta o mouse com o boto esquerdo pressionado sobre as clulas ocupadas pela linha 1 da matriz A. Na clula C7 ser exibido =MATRIZ.MULT(B3:C3. frente da C3 digite ; e arraste o mouse, com o boto esquerdo pressionado, pelas clulas da

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coluna 1 de B. Ser ento exibido na clula C7 =MATRIZ.MULT(B3:C3;F4:F5. Feche o parnteses e pressione a tecla ENTER para obter a frmula = MATRIZ.MULT(B3:C3;F4:F5) e em seguida o resultado que igual a, no caso, 17. Repita o procedimento para cada um dos demais elementos do produto. O resultado final ser ento:

2.5.3 - MULTIPLICAO DIRETA NO EXCEL 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Para obter o produto direto, basta seguir os passos abaixo: Seleciona-se a rea do resultado observando a ordem da matriz produto. Usando a barra de ferramentas, vamos na tecla x. Ser exibido o quadro Colar funo. Em Categoria da funo escolhe-se Matemtica e trigonomtrica; Em Nome da funo escolhe-se MATRIZ.MULT; Clica-se no boto OK Uma janela contendo os campos Matriz 1 e Matriz 2 conforme figura abaixo ser aberta.

7. Clica-se na seta em vermelho do campo Matriz 1 para minimizar a janela e seleciona-se a primeira matriz. 8. Na janela minimizada, clica-se na seta em vermelho para retornar janela anterior. 9. Repete-se o processo para a Matriz 2. 7. Aps a indicao das matrizes, seleciona-se OK. 8. Fechada a janela, Tecla-se F2; 9. A seguir, aperta-se simultaneamente Ctrl+Shift+Enter. (manter as trs teclas pressionadas) O produto ser exibido na rea selecionada. Deve-se ter o cuidado de selecionar a rea correta. EXERCCIOS 01 - Complete a multiplicao das matrizes "custo para produo de trs produtos" e "quantidade produzidas nos meses de janeiro a maio". 02 - Considere as matrizes

Determine: a) A + BT b) 3A c) (AT)T d) A x B e) (AxB)T g) Por que razo no possvel efetuar A + B e B x A? h) Que concluso se pode tirar dos resultados obtidos nos itens e e f?

f) BTxAT.

03 - Sabe-se que o produto Amxp . Bqxn possvel. Que relao existe em p e q? Qual ser a ordem da matriz A. B? 04 - Existe ou no as operaes A + B, A.B, B.A , B.AT e A.BT, onde A e B so as matrizes do item 2? Justifique suas respostas.

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05 - Uma matriz A2x3 foi multiplicada por outra matriz Bmxn, resultando numa matriz Cpx5. Qual a ordem da matriz B? Qual o valor de p? 06 - Considere as matrizes

a) Determine os valores de x, y, w e t se 2A + 3B = C b) Determine a matriz D tal que 2.(3A + D) = 3.(2B - A). c) Calcule 5.A.B.I onde I a matriz identidade de ordem 2. d) Calcule a matriz M tal que M.A = I onde I a matriz identidade de ordem 2. 07 Seja A = [aij]5x7 tal que aij = 5 + 2i 3j se i = j e aij = 2 3i + 4j se i j B = [bij]7x6 tal que aij = 3i 2j se i > j e aij = 2i 3j se i < j. a) Determine os elementos c42 da matriz C tal que C = A x B. b) Determine a soma dos elementos da terceira coluna da matriz C se C = A + B. c) Qual a ordem da matriz C se C = A x B? d) possvel o produto B x A? Justifique.

Calcule: a) A2 b) A3 c) A4 d) B2 e) AB f) BA g) 2AB h) 2BA i) (A + B)2 j) A2 + 2AB + B2 k) A2 + AB + BA + B2 Observando os itens i, j e k, que concluses voc pode tirar? 10 Usando as mesmas matrizes do exerccio anterior verifique a validade ou no das igualdades a) (AB)T = AT.BT b) (AB)T = BT.AT c) 2.(AB) = A.(2B) 11 Usando as matrizes

Verifique as propriedades: a) (A + B) + C = A + (B + C) b) A + B = B + A c) A . (B + C) = A . B + A . C d) 2.(A + B) = 2.A + 2.B e) A . B B . A f) A . B = BT . AT

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CAPTULO 03 DETERMINANTES 3.1 PERMUTAES PARES E PERMUTAES MPARES Consideremos o conjunto formado pelos elementos {A, B, C, D}. Define-se uma permutao desses elementos qualquer agrupamento formado por todos eles. Da anlise combinatria, o nmero permutaes de m elementos determinado por Pm = m! = m.(m 1).(m 2).....3.2.1. Cada troca da posio de dois elementos em relao ordem natural ABCD chamada de inverso. Tomando por exemplo o agrupamento BACD ter uma inverso que B com A. De acordo com a quantidade de inverses o agrupamento denominada permutao par se ocorrer um nmero para de inverses e denominada permutao mpar se o nmero de inverses for mpar. No agrupamento CDABE, temos 4 inverses: A com C, A com D, B com C e B com D. Assim, o agrupamento CDABE uma permutao par, enquanto que, no agrupamento BEDCA temos 7 inverses: A com B, A com C, A com D, A com E, C com D, C com E e D com E. BEDCA uma permutao mpar. Pode-se tambm contar o nmero de permutaes pelo nmero de "pulos" que cada elemento deve dar para voltar ao seu lugar original. Por exemplo: para que as letras de CADB se posicionem na ordem natural ABCD, (1) a letra A deve dar um "pulo" sobre C e teremos ACDB. (2) a letra B para retornar ao seu lugar deve "pular" C e D, ou seja, dois pulos. So ento, necessrios, 1 + 2 = 3 "pulos", o que implica em ACDB ser uma permutao mpar. Se considerarmos todas as permutaes possveis, o nmero total de permutaes pares igual ao nmero total de permutaes mpares. 3.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ A cada matriz A = [aij], quadrada de ordem n, pode-se associar um nmero simbolizado por det(A) tal que

i1i2i3...in so as permutaes pares e j1j2j3...jn so as permutaes mpares de 1, 2, 3, ... , n. 3.2.1 - Determinante de Matriz 2 x 2

As permutaes de 1 e 2 so 12 e 21. Em 12 no h nenhuma inverso ou tem 0 inverses. Portanto 12 uma permutao par. Em 21 tem 1 inverso. uma inverso mpar. Assim, det(A) = a11.a22 - a12.a21. Observe os ndices para as linhas permanecem na ordem 12 e os que indicam as colunas nos produtos so as permutaes de 12. Em resumo, o determinante de uma matriz 2X2 igual ao produto dos elementos da diagonal principal (a11.a22) menos o produto dos elementos da diagonal secundria (a12.a21). Desta forma: det(A) = a11.a22 - a12.a21

Temos: det(M) = 6.3 (-4).5 = 18 + 20 = 28.

3.2.2 - Determinante de Matriz 3 x 3

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As permutaes de 123 so: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. Em 123 temos 0 permutaes; em 132, 1 permutao; em 213, 1 permutao, em 231, 2 permutaes, 312, 2 permutaes e 321 3 permutaes. Desta forma, 123, 231 e 312 so permutaes pares e 132, 213 e 321 so permutaes mpares. Aplicando a definio, temos: det(A) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) - (a11a23a32 + a12a21a33 + a13a22a31). Para calcular o determinante de uma matriz 3 x 3 pode-se usar um processo prtico que consiste em repetir direita da matriz os elementos da 1 e 2 coluna. A seguir efetua as operaes indicadas na figura.

Teremos ento: det (A) = S1 S2. Exemplo: para a matriz:

, teremos:

Aplicar a definio para matrizes de ordem superior a 3 extremamente cansativo pois, o nmero de permutaes de n elementos igual a n!. Assim, para matrizes de ordem 4, teremos 4! = 24 produtos, de ordem 5 teremos 5! = 120 produtos. Entretanto, existem procedimentos mais simples e menos cansativos para se obter um determinante de ordem superior. Estes procedimentos sero estudados em itens posteriores.

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EXERCCIOS 1. Calcule o determinante das seguintes matrizes

3.2.3 - CALCULANDO DETERMINANTES NO EXCEL E NO STARCAL O processo de calcular o determinante de uma matriz nos dois aplicativos bastante simples. No Excel: (1) Digita-se a matriz. (2) Clica-se em uma clula fora da matriz. e digita a frmula =MATRIZ.DETERM( (3) Seleciona-se ento a matriz. Ser exibido na clula algo como =MATRIZ.DETERM(D6:F8 (4) Completa a frmula fechando o parnteses o que ir resultar em =MATRIZ.DETERM(D6:F8) (5) Pressiona-se a tecla ENTER. O determinante ser exibido na clula onde foi digitada a frmula.

No StarCalc: (1) Digite a matriz. (2) Clique em uma clula fora do espao ocupado pela matriz dada. (3) Clique no boto .Funo AutoPiloto. Ao abrir a janela Funo AutoPiloto, no campo Categoria, use a seta para baixo e clique na opo Matriz. (4) No campo funes, aplique um clique duplo na opo MATRIZ.DETERM. (5) - No campo direito, clique na seta frente do campo Matriz . Ao minimizar a tela, selecione a matriz e pressione a tecla ENTER. (5) - Pressione a tecla ENTER duas vezes. O determinante ser exibido na clula selecionada no item (1). 3.3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR Seja A = [aij], uma matriz quadrada de ordem n. Define-se: (1) - Matriz complementar de um elemento aij de A, a matriz indicada Aij, obtida quando se elimina a linha i e a coluna j da matriz A. (2) - Co-fator ou complemento algbrico do elemento aij, que se indica por aij, calculado por: aij = (-1)i+j.det(Aij) Estes dois conceitos so de extrema importncia quando se deseja calcular o determinante de uma matriz, principalmente se a mesma for de ordem superior a 3. Exemplos: Seja a matriz A, tal que A =

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A matriz A23, que representa a matriz complementar do elemento a23

A23 tal que:

Para o co-fator ou complemento algbrico do elemento a23, temos: a23 = (-1)2+3.det(A23) = (-1)(3.4 5.2) = (-1)(12 10) = -2 Exerccio: Para a matriz A, acima, determine a21.a21 + a22a22 + a23.a23 . Calcule o determinante da matriz A e compare o resultado com o valor da expresso acima.

P1 - Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. Tem-se:

Ou seja, o determinante de uma matriz igual soma dos elementos de uma fila (linha ou coluna) multiplicados pelos respectivos co-fatores. (Esta propriedade conhecida como Teorema de Laplace). P2 - A soma dos elementos de uma fila multiplicados pelos co-fatores dos elementos de outra fila paralela nula. P3 - nulo o determinante de uma matriz. i) que apresente uma fila onde todos os elementos so nulos; ii) que tenha duas filas paralelas iguais ou proporcionais; iii) onde uma fila igual combinao linear de outras filas paralelas. P4 - Multiplicando uma fila de uma matriz por um fator "k", o determinante dessa matriz tambm ficar multiplicado por esse fator "k". Conseqncia: ao multiplicar uma matriz de ordem n por um fator "k", o determinante ficar multiplicado por kn. P5 - O determinante de uma matriz no modifica se substituirmos uma fila pela combinao linear dessa fila com outras filas paralelas. Esta propriedade til para transformar elementos de uma fila em zero e assim reduzir o clculo do determinante aplicando a propriedade P1. P6 - Permutando duas filas vizinhas paralelas, o determinante fica multiplicado por (-1) P7 - Det(A.B) = det(A) . det(B) P8 - Det(At) = Det(A), onde At a transposta de A. EXERCCIOS 1 - Usando a propriedade P1,calcule os determinantes das matrizes:

2- Aplicando as propriedades dos determinantes, calcule os determinantes das matrizes:

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3 - Crie duas matrizes quadradas de ordem 2x2 e verifique se as igualdades a seguir so falsas ou verdadeiras. a) det(A + B) = det(A) + det(B) b) det(AB) = det(BA) c) det(A) = det(AT) 4 - Mostre que o determinante de uma matriz A = [aij] igual a a11a22a33...ann se aij = 0 quando i > j. 5 Calcule o determinante da matriz

7 - Qual o valor do determinante da

matriz identidade?

3.4 ESCALONANDO UMA MATRIZ Quando uma matriz quadrada A = [aij] tal que aij = 0 para todo ij0) o determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Tal matriz chamada de matriz triangular. Por exemplo:

Aplicando Laplace na 1 coluna, teremos

3.(-1)1 + 1.det

+ 0.a12 + 0.a13 = 3.(7.1 - 3.0) = 3.7.1 = 21.

Para matrizes de ordem superior a trs aconselhvel transform-la em uma matriz triangular e ento calcular o determinante pelo produto dos elementos da diagonal principal. Para tornar uma matriz triangular podemos usar o processo de Gauss que consiste em zerar os elementos abaixo da diagonal principal. Usaremos os smbolo A(n) e aij(n) para indicar a matriz A e o elemento aij aps aplicada a n-sima transformao. A matriz original e o elemento original sero indicados, respectivamente, por A(0) e aij(0). Para zerar os elementos ai1, i> ,1 da primeira coluna, subtramos os elementos da linha i pelos elementos da linha 1 multiplicados por mi1, tal que mi1 = ai1(0)/a11(0). Se algum ai1 = 0 sua linha mantida. Para zerar os elementos ai2(1), i > 2 da segunda coluna, subtramos os elementos da linha i dos elementos da linha i2(1) (i > 2) multiplicados por m12 = ai2(1)/a22(1). Se algum ai2 = 0 sua linha mantida. O processo continuado at atingir a linha n. No Excel ou no StarCalc pode ser criado um algoritmo que permite automatizar o processo. O procedimento para criar o algoritmo semelhante ao procedimento para escalonar um No site meumundo.web.pt e no CDRoom, disponibilizamos, nas verses xls e htm, o aplicativo j construdo. Exerccio: Calcular o determinante das matrizes abaixo

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CAPTULO 04 - INVERSO DE MATRIZES 4.1 DEFINIO Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Defini-se a inversa da matriz A, que se indica por A, matriz de ordem n, tal que A-1 . A = A . A-1 = In, onde In a matriz identidade de ordem n.

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4.2 INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2

Resolvendo os sistemas sero obtidos os valores de x, y, z e w, e em conseqncia a matriz inversa. Para resolver o sistema 1, multipliquemos a 1 equao por d e somemos 2 multiplicada por - c. Isto elimina a varivel y. Obtemos ento (ad bc)x = d x = d/(ad bc) . Para eliminar a varivel x, multiplicamos a 1 equao por b e a segunda por a. Somando as equaes, teremos: (ad bc)y = -b y = -b/(ad bc). Por procedimento semelhante, obtm-se: z = -c/(ad bc) e w = a/(ad bc).

Observe que (ad bc) o determinante da matriz A. Note ainda que na formao da inversa, os elementos da diagonal principal foram trocados de posio e na diagonal secundria trocou-se o sinal dos elementos.

EXERCCIOS 1 - Calcule as inversas das matrizes abaixo:

3 - Calcule a inversa da matriz 2A - 3B + 4C, sendo A, B e C as matrizes do exerccio 1. 4 - Considerando as matrizes A, B e C do exerccio 1, determine: (a) (A.B)-1 (b) A-1.B-1 c) B-1.A-1 d) (B.A)-1. e) ((AB)T)-1 -1 T T -1 T -1 -1 T (f) ((AB) ) (g) (A ) .(B ) (h) (B ) .(A-1)T (i) (A-1)T.(B-1)T Que concluses voc tira, a partir dos resultados? 4.3 - MATRIZ INVERSA NO STARCALC O clculo da matriz inversa no StarCalc um processo direto. Os passos necessrios so: (1) Digite a matriz cuja inversa se quer obter. Lembre que somente matrizes quadradas cujo

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determinante diferente de zero tm determinantes. A matriz inversa tem a mesma ordem da matriz dada. (2) Clique em uma clula de modo que o espao que ser ocupado pela matriz inversa no sobreponha ao espao ocupado pela matriz dada. (3) Clique no boto .Funo AutoPiloto. Ao abrir a janela Funo AutoPiloto, no campo Categoria, use a seta para baixo e clique na opo Matriz. (4) No campo funes, aplique um clique duplo na opo MATRIZ.INVERSA. (5) - No campo direito, clique na seta frente do campo Matriz . Ao minimizar a tela, selecione a matriz e pressione a tecla ENTER. (5) - Pressione a tecla ENTER duas vezes. A matriz inversa ser exibida a partir da clula selecionada no item (1). Os elementos da matriz inversa em geral sero exibidos na forma decimal. Devido a aproximao do sistema aconselhvel configurar tais elementos para a forma fracionnia. Para isso: (1) Selecione a matriz inversa. (2) No menu FORMATAR, selecione a opo Clulas. (3) Ao ser exibida a janela Atributos de Clula clique na aba Nmero.

(4) No campo Categoria, use a barra de rolagem at ser exibida a opo Fraco. Clique nessa opo. (5) No campo Cdigo do formato substitua a expresso # ?/? por ???/??? e a seguir clique em OK. Com esse procedimento os elementos da matriz sero exibidos na forma de frao. 4.4 - MATRIZ INVERSA NO EXCEL (1) Digite a matriz cuja inversa se quer obter. (2) Clique em uma clula de modo que o espao que ser ocupado pela matriz inversa no sobreponha ao espao ocupado pela matriz dada. (3) Digite na clula escolhida a frmula =MATRIZ.INVERSO( (4) Selecione ento a matriz dada arrastando o mouse sobre ela. frente da frmula digitada ser exibido o conjunto de clulas selecionada). (5) Complete a frmula fechado o parnteses. Ser exibido algo como =MATRIZ.INVERSO(C3:E5). (6) Pressione a tecla ENTER. (7) Selecione as clulas onde sero exibidos os elementos da matriz inversa. (8) Pressione a tecla F2. (9) Pressione ento CRTL+SHIFT+ENTER. Na regio selecionada ser exibida a matriz inversa. Da mesma forma que no StarCalc os elementos das matriz sero exibidos no formato decimal. Converta-os para a forma de frao, aplicando: (1) Selecione a matriz. (2) No menu Formatar, selecione a opo Clulas. Ser ento exibida a janela Formatar Clula.

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(3) (4) (5) (6)

Clique na aba Nmero. No campo Categoria, clique em Personalizado. No campo Tipo, substitua o termo exibido (default = Geral) por ???/???. Clique no boto OK. Isto far com que os elementos da matriz inversa sejam exibidos na forma de frao.

4.5 MATRIZ ADJUNTA Seja A = [aij]n uma matriz quadrada. Define-se a adjunta da matriz A, que denotaremos por ou A(AD) como sendo a matriz de ordem n, e cujos elementos aij so os complementos dos elementos aij da matriz A. Lembre-se que aij = (-1)i + j .det(matriz que sobra ao cortar a linha i a coluna j da matriz A).

calculando os complementos algbricos temos:

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PROPRIEDADES:- Como a matriz adjunta formada pelos complementos algbricos, pode-se concluir: 1 a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos elementos de igual fila da matriz A igual ao determinante da matriz (teorema de Laplace) 2 a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A por elementos de qualquer fila paralela de A igual a zero. EXERCCIO:- Verifique as propriedades acima usando as matrizes A e A do exemplo anterior. 4.6 ADJUNTA E INVERSA Teorema: A inversa de uma matriz quadrada, com determinante diferente de zero, (1/det(A)).(A) T. Demonstrao:

uma matriz quadrada e a transposta de sua adjunta. Seja ainda cij os elementos do produto A . (A)T. Temos ento: De acordo com o teorema de Laplace: (1)

De acordo com a propriedade 2 do item 3.3:

(2)

Assim, o produto A.(A)T uma matriz C = [cij]n cujos elementos cij = det(A), para i = j e cij = 0 para i j. Desta forma C = det(A).In onde I a matriz identidade. Portanto, (1/det(A)).C = I. Ou seja: (1/det(A))A.(A)T = I ==> (1/det(A))(A)T a inversa de A. Conseqncia: somente matrizes cujo determinante diferente de zero tm matrizes inversas. Justificativa: Como A-1 = (1/det(A))(A)T no possvel a diviso por zero. Exemplo:- Considerando a matriz do exemplo resolvido no item 4.3 O determinante da matriz A pode ser obtido somando os produtos dos elementos de uma fila de A pelos elementos de fila de mesma ordem de A. Usando as primeiras filas de A e , temos det(A) = 1.(-46) + 3.3 + 2.38 = -46 + 9 + 76 = 39.

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4.7 ALGUMAS PROPRIEDADES ENVOLVENDO A MATRIZ INVERSA P1. Se A e B so inversveis ento (AB)-1 = B-1.A-1 Demonstrao:- Provemos que AB a inversa de B-1.A-1. Temos: (B-1.A-1). AB = B-1(A-1.A)B = B-1.I.B = B-1.B = I AB a inversa de B-1.A-1 . Como (AB)-1 a inversa de AB, e a inversa nica, resulta que (AB)-1 = B-1.A-1. P2. (AB)T = BT.AT Demonstrao:- Sejam A = [aij]mxn, B = [bij]nxp, C = AB = [cij]mxp. Os elementos de suas transpostas sero indicados por aijT, bijT, cijT, respectivamente. Assim, aijT = aji, bijT = bji e cijT = cji

resulta: (AB)T = BT.AT P3 (AT)-1 = (A-1)T Demonstrao:Provemos que AT a inversa de (A-1)T. Temos: (A-1)T.A = (A.A-1)T = IT = I AT a inversa de (A-1)T. Como (AT)-1 a inversa de AT, e a inversa nica, resulta (A-1)T = (AT)-1. 4.8 - RESOLVENDO EQUAES MATRICIAIS Dada uma matriz quadrada A podemos, como j foi visto, definir as matrizes -A e A-1, tais que A + (-A) = 0 (matriz nula) e A.A-1 = I (matriz identidade). A matriz identidade goza da propriedade A.I = I.A = A. A partir destas observaes podemos resolver qualquer equao matricial do tipo A + B.X = C. Teremos A + B.X = C B.X = C + (-A) B-1.B.X = B-1.(C - A) X = B-1.(C - A). Para equao do tipo A + X.B = C, devemos fazer X.B.B-1 = (C - A).B-1 pois a multiplicao de matrizes no comutativa. Exemplo: Determinar a matriz X, tal que: A + B.X = C, sendo

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4.9 OUTRA FORMA DE DETERMINAR A INVERSA Algumas transformaes em matrizes podem ser obtidas a partir de multiplicaes por matrizes derivadas da matriz identidade. Estas matrizes, derivadas da identidade so chamadas de matrizes elementares. Vejamos algumas dessas matrizes: M1 = matriz que troca uma linha com outra paralela. Essa matriz obtida trocando as linhas correspondentes na matriz identidade.

M2 - Substituir a 2 linha pela 2 linha somada 1 linha multiplicada por 3. A matriz que produz essa modificao

Assim, ao multiplicar uma matriz elementar por uma matriz A, ser produzida na matriz A igual transformao. Essa propriedade permite obter um processo para obter a inversa de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Temos: Se A.B = I, ento A a inversa de B, ou seja B = A-1. Multiplicando sucessivamente A por matrizes elementares, podemos transformar a matriz A na matriz identidade. As mesmas multiplicaes aplicadas em I, iro transform-la na inversa de A. Veja A.B = I ==> M1.M2.M3...A . B = M1.M2.M3I ==> (M1.M2.M3A) . B = M1.M2.M3 I ==> I.B = M1.M2.M3I ==> M1.M2.M3I = B = A-1.

A expresso L2.(-2) + L1 L1 indica que a linha 1 substituda pela linha 3 multiplicada por -2 e somada com a linha 1.

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Para evitar o uso de fraes, o caminho mais fcil igualar os termos da terceira coluna da primeira matriz. Isto se obtm atravs das operaes: L1.x11x4; L2x3x4; L3x3x11.

Trocando a ordem das linhas 1 e 3, resulta e a seguir dividindo a linha 1 por 33, a linha 2 por 132 e a linha 3 por 44, teremos

Simplificando, temos, finalmente

Concluindo, a matriz dada foi transformada na matriz identidade e a matriz identidade foi transformada na inversa da matriz dada. EXERCCIOS

02 - Multiplique a matriz A dada acima pela sua inversa e verifique se o resultado foi ou no o esperado. 03 - Escreva a matriz que transforma

04 Qual a condio necessria e suficiente para que uma matriz quadrada tenha uma inversa? 05 Encontre, se houver, a inversa de cada uma das matrizes abaixo:

Determine a matriz X para cada uma das equaes matriciais abaixo: a) AX + B = C b) XA + 2B = C c) AX + B = CX d) XA + C = X 07 Usando as matrizes dos itens e e f do exerccio n 7, chame-as de A e B, respectivamente. a) Determine uma matriz X tal que AX + B = 0 b) Determine uma matriz X tal que XA B = 0 c) Calcule (A-1)t e (At)-1. d) Calcule (AB)t e Bt.At.

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4.10 - GRAFOS - UMA APLICAO DA LGEBRA DAS MATRIZES A teoria dos grafos uma rea da Matemtica Aplicada que envolve matrizes, principalmente na representao de circuitos e redes de comunicao. Um grafo um conjunto de pontos que so chamados de vrtices ligados por segmentos ou curvas chamados arestas. Seja, por exemplo, uma figura como:

Na figura os pontos A, B, ...E, F so os vrtices do grafo. Cada segmento como AB, AF, FB, etc., so as arestas. Definio 1 - Um vrtice chamado de vrtice par se e somente se um nmero par de arestas partem desse vrtice. Para um nmero mpar de arestas partindo do vrtice, o mesmo chamado de vrtice mpar. Com relao aos vrtices e arestas de um grafo temos as propriedades: P1 - A quantidade de vrtices mpares sempre par. P2 - S possvel sair de um vrtice e retornar ao mesmo percorrendo todas as arestas se todos os vrtices forem pares. Definio 2 - Considerando cada aresta como um caminho a percorrer, define-se o comprimento de um caminho como sendo o nmero de arestas a serem percorridas para se deslocar de um vrtice a outro. Tomando por exemplo os vrtices A e F, o caminho AF tem comprimento 1, o caminho ABCDF tem comprimento 4. Definio 3 - Para um grafo de n vrtices podemos associar uma matriz A de ordem n x n chamada matriz de adjacncia, tal que A = [aij]n x n, de modo que aij = 1 se os vrtices i e j so ligados por uma aresta e aij = 0 se os vrtices i e j no so ligados por uma aresta i = j . Para o grafo da figura 1 teremos a matriz de adjacncia

P3 - Se A a matriz de adjacncia de um grafo e se aijn um elemento da matriz An, ento aijn igual ao nmero de caminhos de comprimento "n" do vrtice i para o vrtice j.

Tomando os vrtices na ordem A B C D e calculando A, A2 e A3, temos

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A quantidade de caminhos AC com comprimento 1 o elemento a13 de A, com comprimento 2 o elemento a13 de A2 e de comprimento 3 o elemento a13 de A3. Assim temos 0 caminhos de comprimento 1, 2 caminhos (ABC e ADC) de comprimento 2 e 2 caminhos (ABDC e ADBC) de comprimento 3. EXERCCIOS

a) Determine a matriz de adjacncia do grafo. b) Calcule A2 e A3. Quantos caminhos de comprimento 2 ligam os vrtices B e D? Quantos caminhos de comprimento 3 ligam os vrtices A e D? 02 - Para a matriz

03 - A figura representa um rio que corta uma cidade. As regies A e B so duas ilhas. Por meio de 7 pontes ligam-se as regies C e D e as ilhas A e B. a) Pode-se ou no sair de uma regio (ou ilha) e retornar mesma regio (ou ilha) passando por todas as pontes sem que uma mesma ponte seja repetida? b) Justifique sua resposta usando uma das propriedades dos grafos.

04 - Considere um pentgono e suas diagonais. possvel sair de um vrtice, percorrer todos os lados e diagonais e retornar ao ponto de partida sem repetir caminho? Justifique. 05 - Considere um hexgono e suas diagonais. possvel sair de um vrtice, percorrer todos os lados e diagonais e retornar ao ponto de partida sem repetir caminho? Justifique. 06 - A partir dos exerccios 04 e 05 pode voc concluir em quais tipos de polgonos possvel percorrer todos os lados e diagonais e retornar ao ponto de partida sem repetir caminho? Explique. 07 - Apostila Pitgoras - A empresa Linhas Areas Airways e a nica operadora de vos no remoto pais de lslands, um pequeno arquiplago composto por ilhas. Na matriz A definida abaixo cada elemento aij igual a 0, se no h vo da ilha i para a ilha j e igual a 1, se existe tal vo.

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a) Por que os elementos da diagonal principal so iguais a zero? b) Existe vo direto da ilha 5 para a ilha 2? c) E da ilha 2 para a ilha 5? d) Se um habitante de lslands tomasse um vo da ilha 5 para a ilha 2, poderia ele retornar de avio para a ilha 5? Nesse ultimo caso considere que ele poderia retornar passando por outras ilhas. e) Existe algum trajeto areo da ilha 3 para a ilha 2? Em caso afirmativo, qual seria esse trajeto? 07 - Apostila Pitgoras - Uma rede de telefonia celular possui 5 estaes transmissoras com potncias diferentes. Considere a matriz abaixo:

Nela aij = 1 se a estao pode transmitir diretamente para a estao j caso contrario aij = 0. Observe que a diagonal principal nula, porque uma estao no transmite diretamente para si mesma a) Calcule A2 e A3. b) Qual o significado da matriz A2? e da matriz A3? c) Um sistema real de telefonia celular possui grande quantidade de transmissores. Voc capaz de perceber uma aplicao realmente prtica para a multiplicao de matrizes quadradas de ordem elevadas? 08 - Tente resolver os desafios: " Caso Van Diamont", "Promessa de Casamento", Rotas Possveis" e "Menino Esperto" que esto no menu "Desafios" deste Site.

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CAPTULO 05 ESPAOS VETORIAIS 5.1 OPERAES E PROPRIEDADES

Consideremos dois conjuntos, o primeiro que indicaremos por R cujos elementos sero representados por letras gregas {, , ...} e o segundo, V cujos elementos sero representados por letras latinas minsculas em negrito, isto V = {a, b, c, ...}. No conjunto R so definidas as operaes adio e multiplicao que verificam as propriedades: ( i ) Se e so elementos de R, ento + e . pertencem a R. (Fechamento em R) ( ii ) , , R ( + ) + = + ( + ) e (.). = .(.) (Propriedade associativa) ( iii ) , R ( + ) = ( + ) e (.) = (.) (Propriedade comutativa) ( iv ) R, + 0 = 0 + = , com 0 R e R, .1 = 1. = , com 1 R. (elemento neutro) ( v ) R, (-) R, tal que + (-) = (-) + = 0 ( e - so denominados simtricos) R, 0 , (-1) R, tal que .-1 = -1. = 1 ( e -1 so chamados de inversos) ( vi ) , , R, .( + ) = . + . (propriedade distributiva da multiplicao em relao adio). Usaremos a abreviatura FANIC para indicar as propriedades fechamento, associativa, neutro, simtrico (ou inverso) e comutativa. Usaremos o D para indicar a propriedade distributiva. Assim, o conjunto R munido com duas operaes, ambas com as propriedades FANIC e D da multiplicao em relao adio. No conjunto V definida a operao adio com as propriedades FANIC. Todas as operaes acima so definidas dentro de cada conjunto. Podemos, tambm, definir uma operao que permite utilizar elementos dos dois conjuntos resultando em um elemento de V. Esta operao a multiplicao onde o resultado ser um elemento de V. Uma operao deste tipo chamada de operao externa. Isto .a V. 5.2 DEFINIO DE ESPAO VETORIAL Um conjunto V um espao vetorial sobre R, se em V munido da operao adio que apresente as propriedades FANIC e R apresenta duas operaes, adio e multiplicao, com as propriedades FANIC e distributiva da multiplicao em relao adio. Para tais conjuntos tambm deve ser definida uma operao externa, a multiplicao de um elemento de R por um de V cujo resultado um elemento de V. A1 A2 A3 A4 A5 Alm das exigncias acima, devem tambm ser verificados os axiomas: - .(a + b) = a + b ( + ).a = a + a ().a = (.a) 1.a = a e (-1)a = -a 0.a = 0, sendo 0 um elemento de V.

Os elementos de V sero chamados de vetores e os de R denominados escalares. Convm observar que os vetores j estudados em Geometria Analtica, que se representam por setas, so apenas um caso particular. Conforme veremos no decorrer deste estudo, existem diversos tipos de conjuntos que constituem um espao vetorial, como por exemplo: o espao vetorial P(x) dos polinmios sobre o conjunto dos reais; o espao vetorial M2, das matrizes quadradas de ordem 2 sobre os nmeros reais ou sobre os nmeros complexos; o espao vetorial C[a, b] das funes definidas e contnuas no intervalo [a, b] sobre o conjunto dos reais, entre outros. Tambm, poderemos encontrar situaes em que as operaes definidas nos conjuntos sejam diferentes da multiplicao e da adio, porm devendo as mesmas apresentar as propriedades descritas. EXERCCIOS:01 - Verificar se o conjunto das matrizes 2x2, tais que a11 = x, com x R e a12=a21=a22 = 0 ou no um espao vetorial sobre o conjunto dos nmeros reais.

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02 Considere os vetores x1 = (8, 6) e x2 = (4, -1) em R2. a) determine o mdulo de cada um b) seja x3 = x1 + x2. Determine o comprimento (mdulo) de x3. Qual a relao entre seu comprimento e a soma dos comprimentos de x1 e x2? 03 Seja C o conjunto dos complexos da forma x + yi onde i = - 1. 04 - Considere definidas as operaes adio (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2)i + (y1 + y2) e multiplicao (x + yi) = x + yi para todo nmero real . Mostre que C um espao vetorial sobre o conjunto dos reais. 05 Mostre que o conjunto V = {(x, y) R2} um espao vetorial sobre R, considerando (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e [(a, b)] = (a, b) 06 Seja S o conjunto de todos os pares ordenados de nmeros reais (a, b). Define-se (a, b) = (a, b) e (a, b) + (c, d) = (a + c, 0). Mostre que S no um espao vetorial. 07 - Seja R o conjunto de todos os nmeros reais. Define-se a multiplicao a = .a (multiplicao por escalar) e adio a b por a b = max(a, b) (mximo dos dois nmeros). R um espao vetorial em relao a estas operaes? Justifique. 5.3 - SUBESPAO VETORIAL Partes de um espao vetorial V pode tambm ser um espao vetorial. Como o espao vetorial apresenta adio e multiplicao de escalares, que resulta num vetor, se as operaes com suas propriedades forem verificadas nesse subconjunto de V, tal subconjunto tambm ser um espao vetorial, que nesse caso chamaremos de subespao vetorial. Definio:- Seja V' um subconjunto de um espao vetorial V sobre o conjunto R. V' um subespao vetorial de V, se: (1) 0 V', sendo 0 o vetor nulo. (2) au V', para todo escalar a de R e para todo vetor u de V'. (3) u + v V' , para todo u e v de V'. As demais operaes e propriedades no so inclusas na definio pois elas so vlidas para todos os elementos de V, uma vez que o mesmo um espao vetorial e, portanto, vlidas para todo subconjunto de V. Os conjuntos {0} e V so denominados subespaos vetoriais prprios de V. Exemplo: O conjunto das matrizes A = [aij]2x2, um espao vetorial sobre R. (Verifique). Se tomarmos o subconjunto A' = [aij]2x2, tais que aij = x R se i = j = 1 e aij = 0 para i 1 e j 1, este subconjunto ser um subespao vetorial de A. Vamos confirmar isso, verificando as trs condies da definio de subespao vetorial.

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EXERCCIOS: 01 - Verifique se cada conjunto abaixo ou no um subespao de R2 sobre R. a) {(x1, x2) | x1 + x2 = 0} b) {(x1, x2) | x1x2 = 0} c) {(x1, x2) | x1 = 3x2} d) {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} 02 - Determine se cada conjunto abaixo ou no um subespao de R3 sobre R. a) {(x1, x2, x3) | x1 + x3 = 1}. b) {(x1, x2, x3) | x1 = x2 = x3} . c) {(x1, x2, x3) | x3 = x1 + x2} . d) {(x1, x2, x3)) | x3 = x12 + x22} . 03 - Seja S o conjunto das matrizes 2x2 e A uma matriz particular de S. Determine se cada conjunto abaixo ou no um subespao vetorial das matrizes 2x2. a) V = {B S | AB = BA} b) V = {B S | AB BA} c) V = {B S | BA = 0} onde 0 a matriz nula (aij = 0, quaisquer que sejam i e j) 5.4 GERADORES DE UM ESPAO VETORIAL Consideremos os vetores (x, y) de R2 e, em especial os vetores (2, 1) e (3, 2). Quaisquer que sejam x e y, de (x, y), existem os nmeros reais e , tais que (2, 1) + (3, 2) = (x, y), pois o sistema 2 + 3 = x e 1 + 2 = y ter sempre soluo nica. Tomando por exemplo o vetor (23, 14), teremos (23, 14) = 4.(2, 1) + 5.(3, 4). Entretanto, o mesmo no acontece com os vetores (2, 1) e (4, 2), pois somente os vetores da forma (2x, x) podero ser escritos com (2, 1) + (4, 2). Neste caso, (10, 5) pode ser escrito como 3.(2, 1) + 1.(4, 2) pois (10, 5) da forma (2x, x). J o vetor (23, 14) no poderia ser escrito como (2, 1) + (4, 2). Note que a igualdade (23, 14) = (2, 1) + (4, 2) levaria a 2 + 4 = 23 e + 2 = 14. Multiplicando a segunda equao por (-2) e somando primeira levaria 0 + 0 = -5 o que impossvel. Como qualquer vetor (x, y) pode ser escritos como (2, 1) e (3, 2), dizemos que o conjunto {(2, 1), (3, 2)} gera o espao vetorial R2. O mesmo no acontece com o conjunto {(2,1), (4, 2)}. Nota:- Os vetores (2, 1), (4, 2) geram o subespao vetorial formado pelos vetores da forma (2x, x). DEFINIO 1:- Dizemos que um vetor v uma combinao linear dos vetores v1, v2, v3, ... vn se existirem os escalares 1, 2, 3, ..., n, tais que v = 1v1 + 2v2 + 3v3 + ... + nvn . Tomando por exemplo os vetores v1 = (2, 1) e v2 = (3, 2), o vetor (23, 14) uma combinao linear de v1 e v2 pois existem os escalares 4 e 5, tais que (23, 14) = 4.v1 + 5v2. Exemplo: Escrever o vetor (6, 1) como combinao linear de (2, -1) e (-3, 2). De acordo com a definio, o caminho encontrar os escalares x e y tais que (6, 1) = x.(2, -1) + y(-3, 2). Temos ento: 2x 3y = 6 e 2x + 2y = 1. Resolvendo o sistema, encontramos x = 15 e y = 8. Assim, (6, 1) = 15.(2, -1) + 8.(-3, 2) a maneira de se escrever (6, 1) como combinao linear de (2, -1) e (-3, 2). DEFINIO 2:- Seja o conjunto G = {v1, v2, v3, ... , vn} onde cada vi um vetor. O conjunto V de todos os vetores formados por combinaes lineares de elementos de G, denominado espao vetorial gerado pelos vetores v1, v2, v3, ... , vn. Estes vetores so chamados de geradores do espao vetorial V.

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EXERCCIOS 01 Escreva o vetor (3, 2, -5) como combinao linear dos vetores (2, 1, 0), (-1, 0, 3) e (0, 4, 1).

03 Mostre que os vetores (2, 1) e (3, 2) so geradores do espao vetorial R2. 04 Mostre que os vetores (2, 1, 0), (-1, 0, 3) e (0, 4, 1) geram o espao vetorial R3. 05 Verifique se os vetores x4, x3, x2, x1, x0 geram o espao vetorial formado pelos polinmios de 4 grau. 06 Mostre que as matrizes do exerccio 2, geram o espao vetorial formado pelas matrizes quadradas de ordem 2. 5.5 GERADORES DE Rn Analisemos inicialmente alguns exemplos 1) Vejamos se o conjunto V = {(2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1)} gera ou no o espao R3. Se for provado que todo vetor (x, y, z) de R3 pode ser escrito na forma a.(2, 1, 1) + b(-1, 0, 2) + c(1, 2, 1), ento V gera R3. Temos: a.(2, 1, 1) + b(-1, 0, 0) + c(1, 2, 1) = (x, y, z), de onde se pode tirar o sistema:

Para que o sistema tenha soluo nica a primeira matriz deve ser inversvel, isto , seu determinante dever ser diferente de zero. Calculando o valor do determinante teremos: (0 1 + 2) (0 + 4 1) = 1 3 = -2. Como esse determinante diferente de zero existem os valores de a, b e c que satisfazem a igualdade a.(2, 1, 1) + b.(-1, 0, 0) + c.(1, 2, 1) = (x, y, z), o que implica em todos os vetores de R3 podem ser escritos como combinao linear dos vetores dados. 2) Analisando o conjunto {(2, 1, 3), (3, 1, 2), (5, 2, 5)} teremos: a.(2, 1, 3) + b(3, 1, 2) + c(5, 2, 5) = (x, y, z) de onde se obtm o sistema:

O determinante da primeira matriz det(M) = (10 + 18 + 10) - (15 + 8 + 15) = 38 - 38 = 0. Sendo nulo o determinante, o conjunto no gera R3. Neste caso, o conjunto ir gerar um subconjunto de R3. Para determinar tal subconjunto podemos usar o escalonamento das matrizes formadas pelas coordenadas dos vetores e a matriz formada por (x, y, z).

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o sistema s ter validade para vetores (x, y,z) que satisfaam a relao (x 5y + z) = 0, ou seja: o conjunto geral o subespao vetorial de R3 cujos vetores (x, y, z) guardam a relao x - 5y + 5z = 0.

EXERCCIOS 1. Verificar se os conjuntos abaixo geram ou no R3. a) {(1, 2, 3), (2, 2, -5), (3, 2, -1)} b) {(1, 2, -4), (3, 1, 2), (5, 5, -6)}. Em caso negativo, que subespao de R3 gerado? 5.6 DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEAR Definio 1:- Seja B = {v1, v2, v3, ... vn} um conjunto de vetores. Os vetores de B so ditos linearmente dependentes de existirem os escalares 1, 2, 3 ... n, nem todos nulos, de modo que 1v1+ 2v2+ 3v3 + .... + nvn = 0. Se todos os 1 forem nulos os vetores v1, v2, v3, ... vn so ditos linearmente dependentes. Como conseqncia da definio, podemos fazer: v1 = (-2/1)v2+ (-3 /1)v3 + .... + (-n/1)vn v1 = 1v2+ 2v3 + .... + nvn Definio 2:- Um conjunto de vetores linearmente dependente se um deles for uma combinao linear dos demais. Exemplo 1: verificar se o conjunto (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1) linearmente dependente ou independente. Aplicando a definio 2, verifiquemos se existem x e y, tais que (2, 1, 1) = x(-1, 0, 2) + y(1, 2, 1). Da igualdade tiramos: -x + y = 2 (1) 0 + 2y = 1 (2) e 2x + y = 1 (3) Da equao (2) tiramos y = . Das equaes (1) e (3) tiramos x = -1/3 e y = 5/3. Como pode ser visto, o sistema impossvel (2 valores para y). Isto significa que no existem x e y e em conseqncia os vetores so linearmente independente. Exemplo 2:- Para o conjunto (2, 1, 3), (3, 1, 2), (5, 2, 5), temos: 2x + 3y = 5 , x + y = 2 e 3x + 2y = 5. Os sistema tem soluo nica x = 1 e y = 1. Portanto, cada vetor uma combinao linear dos outros dois. Assim, eles so linearmente dependentes. 5.7 BASE E DIMENSO DE UM ESPAO VETORIAL Definio 1:- Um conjunto de vetores B = {v1, v2, v3, ... vn} uma base de um espao vetorial V se, e somente se: ( 1 ) v1, v2, v3, ... vn so linearmente independentes ( 2 ) v1, v2, v3, ... vn geram o espao vetorial V. Definio 2:- Se n o nmero de vetores da base B de um espao vetorial V, dizemos que o espao vetorial V, tem dimenso n. Vimos em exemplos anteriores que os vetores (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1) so linearmente independentes e que todos os vetores de R3 podem ser escritos como combinao linear destes trs vetores. Assim, o conjunto {(2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1)} uma base de R3, cuja dimenso 3 pois a base possui exatamente trs vetores. 5.8 -PROPRIEDADES E CONSEQNCIAS DA DEFINIO P1 Se v1, v2, v3, ... vn uma base de um espao vetorial V, ento qualquer conjunto com m elementos e m > n linearmente dependente.

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P2 Se um espao vetorial V tem dimenso n, ( i ) qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes uma base de V ( ii ) qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes gera o espao vetorial V ( iii ) qualquer conjunto de n vetores que geram V so linearmente independentes. P3 Se o conjunto {v1 = (x11, x12, ..., x1n), v2 = (x21, x22, ... , x2n), .....,vn = (xn1, xn2, ... , xnn)} uma base de Rn, ento todo vetor v = (x1, x2, ..., xn) de Rn pode ser escrito como combinao linear de v1, v2, ..., vn. Como conseqncia temos v = 1v1+ 2v2+ 3v3 + .... + nvn (x1, x2, ..., xn) = 1(x11, x12, ..., x1n) + 2 (x21, x22, ... , x2n), .....,+ n(xn1, xn2, ... , xnn). Esta igualdade pode ser representada na forma matricial

A igualdade ter soluo para todo x1, x2, ..., xn se e somente se o determinante da primeira matriz for diferente de zero. Deste modo, escrevendo as coordenadas dos vetores sob forma matricial, o conjunto ser uma base de Rn se e somente se o determinante desta matriz for diferente de zero. 5.9 BASE CANNICA Para cada espao vetorial existem bases que podem ser consideradas como formadas por vetores mais simples. A base cannica do espao vetorial R2 formada pelos vetores (1, 0) e (0, 1). A base cannica do espao vetorial R3 formada pelos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) Representaremos por {e1, e2, e3, ... en} a base cannica de Rn. A base cannica do espao vetorial constitudo pelos polinmios de grau menor ou igual a n {1, x, x2, x3 ... xn}. Costuma-se indicar esse espao vetorial por Pn+1 . O ndice (n + 1) usado pois esse espao vetorial tem dimenso n + 1. A base cannica para o espao vetorial das matrizes 2x2, indicado em geral por R2x2, formado pelas matrizes {E11, E12, E21, E22}, tais que

EXERCCIOS: 01 Determine se os vetores abaixo so linearmente dependentes ou independentes: a) (2, 1) e (3, 2) b) (2, 3) e (4, 6) c) (-2, 1), (1, 3) e (2, 4) d) (-1, 2), (1, -2) e (2, -4) e) (1, 2) e (-1, 1) 02 Dos conjuntos acima, qual ou quais formam uma base de R2? 03 Verifique se os vetores abaixo so linearmente dependentes ou independentes: a) (1, 0, 0), (0, 1, 1) e (1, 0, 1) b) (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 2, 3) c) (2, -1, 2), (3, 2, -2) e (2, 2, 0) d) (2, 1, -2), (-2, -1, 2) e (4, 2, -4) e) (1, 1, 3) e (0, 2, 1) f) (1, -2, 5) e (-2, 4, -10) 04 - Dos conjuntos acima, qual ou quais formam uma base de R3? 05 Verifique se os conjuntos abaixo so linearmente dependentes ou independentes em R2x2.

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06 - Dos conjuntos acima, qual ou quais formam uma base de R3? 07 Verifique se os vetores dados so linearmente dependentes ou independentes em P2 = polinmios de grau menor ou igual a 2. a) 1, x2, x2 2 b) 2, x2, x, 2x + 3 2 c) x + 2, x + 1, x 1 d) x + 2, x2 1 08 Informe se algum conjunto acima forma uma base de P2. 09 Elimine algum ou alguns dos vetores (1, 2, 2), (2, 5, 4), (1, 3, 2), (2, 7, 4), (1, 1, 0) de modo a obter uma base para R3. 10 Escreva as bases cannicas dos espaos vetoriais: a) R4 b) R3x3 c) P6 11 Escreva o vetor (2, 1) como combinao linear de (1, 0) e (0, 1). 12 Escreva o vetor (3, 4) como combinao linear de (1, 1) e (2, -1). 13 Escreva o vetor (2, 1, 2) como combinao linear de (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). 14 Escreva o vetor (4, -5, 3) como combinao linear de (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1).

17 Observando os exerccios 11, 13 e 16, que concluso voc pode tirar? 5.10 MUDANA DE BASES Vimos anteriormente que qualquer conjunto de vetores linearmente independentes que geram todos os vetores de um espao vetorial formam uma base para esse espao. Sejam ento A = {v1, v2, v3, ..., vn} e B = {w1, w2, w3, ..., wn} duas bases de um espao vetorial V e vA = (x1, x2, x3 , ..., xn)A um vetor qualquer de V expresso na base A. Temos ento: v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ..... + anvn. ( 1 ) Cada vetor de A, escrito na base B ser: v1 = b11w1 + b12w2 + b13w3 + ... + b1nwn v2 = b21w1 + b22w2 + b23w3 + ... + b2nwn v3 = b31w1 + b32w2 + b33w3 + ... + b3nwn .......................................................... vn = bn1w1 + bn2w2 + bn3w3 + ... + b3nwn Substituindo estes valores na expresso 1, resulta: v = x1(b11w1 + b12w2 + b13w3 + ... + b1nwn) + x2(b21w1 + b22w2 + b23w3 + ... + b2nwn) + x3(b31w1 + b32w2 + b33w3 + ... + b3nwn) + + an(bn1w1 + bn2w2 + bn3w3 + ... + b3nwn) = = (x1b11 + x2b21 + x3b31 + ... + xnbn1)w1 + (x1b12 + x2b22+ x3b32 + ... + xnbn2)w2 + (x1b13 + x2b23+ x3b33 + ... + xnbn3)w3 + .... + (x1b1n + x2b2n+ x3b3n + ... + xnbnn)wn Se o vetor v escrito na base B vB = (y1, y2, y3, ..., yn), teramos ento: y1 = (x1b11 + x2b21 + x3b31 + ... + xnbn1) y2 = (x1b12 + x2b22 + x3b32 + ... + xnbn2) y3 = (x1b13 + x2b23 + x3b33 + ... + xnbn3) ........................................................

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yn = (x1b1n + x2b2n + x3b3n + ... + xnbnn) As igualdades acima podem ser expressas pelo produto matricial

que representada por MA,B ou [M]AB sendo formada pelas coordenadas dos vetores que constituem a base A escritos na base B , transforma qualquer vetor escrito na base A para um vetor escrito na base B. Da equao acima se pode concluir que a inversa da matriz MA,B igual matriz MB,A, ou seja a inversa da matriz que transforma a base A para a base B a matriz que transforma a base B para a base A. Exemplo 1 - Transformar o vetor v = (3, -2), base cannica, para a base B = {(2, 0), (1, 2)}. 1 processo:- Como o vetor (3, - 2) est expresso na base cannica, temos v = 3.(1, 0) + -2.(0, 1) = (3, -2). Para escrev-lo na base B, devemos encontrar x e y tais que (3, 2) = x.(2, 0) + y.(1, 2). Temos 2x + y = 3 e 0x + 2y = -2 . A soluo desse sistema fornece y = -1 e x = 2. Desta forma temos:- (3, -2) = (2, -1)B. IMPORTANTE:- Quando o vetor indicado unicamente por (x, y) isto significa que o mesmo est expresso na base cannica. Caso contrrio, obrigatria a indicao da base, como acontece acima (2, -1)B. Este processo vantajoso quando se quer transformar apenas um vetor. Para transformar vrios vetores aconselhamos utilizar o procedimento descrito no segundo processo. 2 processo:- Consiste em determinar a matriz que converte uma base em outra. Devemos transformar a base cannica para a base B, escrevemos (1, 0) = b11(2, 0) + b21(1, 2) 2b11 + 1.b21 = 1 e 0b11 + 2b21 = 0 b21 = 0 e b11 = (0, 1) = b12(2, 0) + b22(1, 2) 2.b12 + 1.b22 = 1 e 0.b12 + 2.b22 = 1 b22 = e b12 = -1/4. A matriz MC,B que transforma a base cannica para a base B

Aplicando a matriz ao vetor (3, -2), resulta Exemplo 2 Obter a matriz que transforma a base A = {v1 = (2, -1, 0), v2 = (2, -1, 0), v3 = (-1, 1, 2)} na base cannica C = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} Devemos ento escrever os vetores de A na base cannica. v1 = (1, 2, 1) = 1e1 + 2e2 + 1e3 = (1, 2, 1) v2 = (2, -1, 0) = 2e1 + (-1)e2 + 0e3 = (2, -1, 0) v3 = (-1, 1, 2) = (-1)e1 + 1e2 + 2e3 = (-1, 1, 2) Para obter a matriz, conforme j foi visto, basta escrever as coordenadas dos vetores em colunas. Portanto,

Note que para transformar de uma base qualquer para a base cannica, basta escrever os vetores daquela base dispostos em colunas.

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NO ESQUEA:- A inversa da matriz MA,C, transforma a base cannica para a base C.

Conseqncia: Para transformar de uma base A para outra B, pode-se transformar a base A para a base cannica e a seguir transformar da base cannica para a base B. Isto implica em usar o produto MA,C x (MB,C)-1 que torna o processo mais prtico pois pode-se usar o Excel ou o StarCalc, pois MA,C formada pelos vetores da base A e MB,C formada pelos vetores da base B. Exemplo: Escrever a matriz que transforma a base A = {(1, 2, 2), (3, - 1, 2), (-1, 2, 3)} para a base B = {(3, -1, 0), (5, -2, 4), (3, 2, -1)}. Escrevendo as matrizes MA,C e MB,C, (vetores em colunas) temos:

EXERCCIOS:Ateno:- voc pode usar os programas anteriores relativos resoluo de sistema e inverso de matrizes citados em aulas anteriores. 01 Sejam A = {(2, 2), (-1, 3)}, B = {(1, -2), (-3, 2)} e C a base cannica: ( a ) Transforme v = (4, -9)A para as bases B e C. ( b ) Transforme v = (-12, 11)B para as base A e C ( c ) Transforme v = (4, -2) para as bases A e B. ( d ) Ache as matrizes que transformam as bases A para B, A para C, B para A, B para C, C para A e C para B. 02 Sejam as bases A = {(1, 1, -3), (2, 3, 5), (-3, 4, -1)}, B = {(-4, 1, 2), (2, -1, 5), (-1, 6, -1)} e C a base cannica. ( a ) Transforme v = (4, -9, 8)A para as bases B e C. ( b ) Transforme v = (-12, 11, 7)B para as base A e C ( c ) Transforme v = (4, -2, 0) para as bases A e B. ( d ) Ache as matrizes que transformam as bases A para B, A para C, B para A, B para C, C para A e C para B. 03 Sejam A = {a1 = 2, a2 = x + 1, a3 = x2 + 2}, B = {b1 = 4, b2 =2x 1, b3 = x2 x + 1} e C = {c1 =1, c2 = x, c3 = x2}, base do espao vetorial dos polinmios de grau menor ou igual a dois. a) Transforme P(x)C = 4x2 2x + 7 para as bases B e A. b) Transforme P(x)A = 5a32 + 3a2 + 2a1 para as bases B e C. c) Escreva as matrizes que transformam as bases A para B, A para C, B para A, B para C, C para A e C para B

a matriz que transforma a base J para a base K de R3, determine a matriz que transforma a base K para a base J. 05 Qual a base cannica para o espao vetorial das matrizes 4 X 4? Que matriz ser obtida se somarmos todas as matrizes que constituem essa base?

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CAPTULO 06 TRANSFORMAES LINEARES 6.1 INTRODUO Uma funo uma lei que associa cada elemento de um conjunto chamado domnio, um nico elemento de um segundo conjunto, chamado contradomnio. Em geral, o domnio e o contradomnio so subconjuntos de R. Neste captulo iremos estudar um tipo especial de funo onde o domnio e o contra-domnio so subespaos vetoriais de Rn. Tais funes so chamadas de transformaes em espaos vetoriais. Lembre-se que os elementos de Rn so representados por (x1, x2, x3, ..., xn). Conceituao:- Uma transformao T do subespao vetorial V no espao vetorial W uma funo indicada por T:V W. A imagem do vetor v de V um nico vetor w de W pois T uma funo. Assim, escrevemos T(v) = w. Exemplos:- (1) Seja T:R2 R2, tal que T(x, y) = (2x + y, y + x). A imagem do vetor v = (1, 2) T(1, 2) = (2.1 + 2, 1 + 2) = (4, 3) = w.

(2) T:R3 R2, tal que T(x, y, z) = (2x + y z, y + 2z) EXERCCIO: Considere a transformao definida no exemplo 2. Calcule T(1, -2, 3). 6.2 TRANSFORMAO LINEAR Definio:- Sejam V e W dois espaos vetoriais. Uma aplicao T:V W dita linear se forem verificadas as relaes (1) T(u + v) = T(u) + T(v) e (2) T(u) = T(u), sendo um nmero real e u, v elementos de V. Se V = W e T uma transformao linear, ento T chamado de operador linear sobre V. Exemplo: a transformao T: R2 R2, definida por T(x, y) (3x, x + y) uma transformao linear pois: (1) T((a, b) + (c, d)) = T(a + c, b + d) = [3.(a + c), a + b + c + d] = = (3a, a + b) + (3c, c + d) = T(a, b) + T(c, d) (2) T((a, b)) = T(a, b) = (3a, a + b) = (a, a + b) = T(a, b) EXERCCIOS: (1) Mostre que T:R R, tal que T(x) = 4x linear. (2) Calcule T(2, 4, -1) se T(x, y, z) = T(x + y, 2z). Verifique se esta transformao de R3 em R2 ou no linear. (3) Sendo T(x) = 2x + 1, calcule T(10). Verifique se esta transformao de R em R ou no linear. (4) Das transformaes acima, existe alguma que pode ser chamada de operador linear? PROPRIEDADE:- condio necessria, porm no suficiente, que em toda transformao linear, T(0) = 0, ou seja, a imagem do vetor nulo o prprio vetor nulo. Atravs dessa propriedade fcil verificar se uma transformao no linear pois condio necessria, mas no prova se a mesma linear, pois a condio no suficiente. Assim, T(x, y) = (2x, x + y 3) no linear pois T(0, 0) = (2.0, 0 + 0 3) = (0, -3) (0, 0). Para a transformao T(x, y) = (x, 2xy), teremos T(0, 0) = (0, 0). Faa os clculos. Entretanto, esta transformao no linear. Observe que 3T(1,2) = 3.(1, 4) = (3, 12) e T(3.(1,2)) = T(3, 6) = (3, 2.3.6) = (3, 36) 3T(1,2)

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Nota: para provar que uma propriedade no verdadeira basta um exemplo. Entretanto, o exemplo no serve para provar que a propriedade seja verdadeira. EXERCCIOS 01. Considere a transformao linear T:R2 R2 definida por T(x,y) = (3x - 2y, x + 4y). a) Utilize os vetores u = (1. 2) e v = (3, - 1) para mostrar que T(3u + 4v) =3T(u) + 4T(v). b) Considerando a transformao acima, construa um grfico mostrando os vetores (x,y) e T(x, y) 02. Se T(x, y, z) = (2x + y - z, x - y + 2z), calcule: a) T(0, 0, 0), b) T(2a - b, a + b, b) 03. Sendo T(x, y, z) = (x + y, 2x -z, y - 3z), calcule o vetor (x, y, z), tal que T(x, y, z) = (1, 2, 3). 04. Verificar se as transformaes abaixo so lineares ou no lineares: a) T(x, y) = (2x + y - 3, x - y +1) b) T(x, y) = (x2, y2) c) T(x, y, z) = (2x - y + z, x - y - z, x + y) d) T(x, y) = (x - 1, y - 1). 6.3 TRANSFORMAES LINEARES E MATRIZES Seja T: Rn Rn , uma transformao linear, tal que T(u) = v, sendo u, v Rn. sempre possvel, a partir do produto de uma matriz pelo vetor u, expresso como vetor coluna, obter o vetor v. Tomando, por exemplo, a transformao T(x, y) = (2x, x + y), a matriz M que transforma (x, y) em (2x, x + y)

teremos:

ax + by = 2x a = 2 e b = 0 cx + dy = x + y c = d = 1 Note que a e b so os coeficientes das variveis x e y. A igualdade de polinmios implica na igualdade dos coeficientes. 6.4 TRANSFORMAES LINEARES NO PLANO E SUAS REPRESENTAES GRFICAS Uma transformao linear no plano aquela em que a imagem de um ponto do plano cartesiano tambm um ponto do plano cartesiano. Na computao grfica encontramos a principal aplicao das transformaes lineares no plano. As principais transformaes lineares no plano so: reflexo, translao, rotao e cisalhamento. 1. - Reflexo: As formas algbricas so: a) em relao origem: T(x, y) = (-x, -y), b) em relao ao eixo dos y: T(x, y) = (-x, y) c) em relao ao eixo dos x: T(x, y) = (x, -y) A figura a seguir mostra as reflexes aplicadas a um retngulo localizado no primeiro quadrante.

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O retngulo (1) a figura original. O retngulo (2) o mesmo refletido em relao origem; o retngulo (3) a reflexo em relao ao eixo dos y e o retngulo (4) a reflexo em relao ao eixo dos x. Na reflexo as dimenses so conservadas. Representando as reflexes RO em relao origem, Ry em relao ao eixo dos y e Rx em relao ao eixo dos x, na forma matricial, temos:

2. Dilatao ou contrao de um fator "k". Teremos uma dilatao de k > 1 ou uma contrao quando 0 < k < 1. Formas algbricas: a) paralela ao eixo dos x, T(x, y) = (kx, y) b) paralela ao eixo dos y, T(x, y) = (x, ky) A figura abaixo mostra as dilatao em paralela ao eixo do x (retngulo 2) e paralela ao eixo do y (retngulo 3) aplicadas ao quadrado (1), por uma fator k = 4.

As formas matriciais da dilatao so Dx e Dy, indicadas a seguir:

3. Cisalhamento de um fator "k" Formas algbricas: a) paralela ao eixo dos x, T(x, y) = (x + ky, y) b) paralela ao eixo dos y, T(x, y) = (x, kx + y). A figura abaixo mostra um cisalhamento paralelo a x, com fator 2 (figura 2) e um cisalhamento paralelo a y, de fator 1,5 (figura 3) aplicados a um quadrado.

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As formas matriciais correspondentes so:

4. Rotao de um ngulo no sentido anti-horrio Formas algbricas: a) sentido anti-horrio: T(x, y) = (x.cos + y.sen , x.sen - y.cos ). b) sentido horrio: T(x, y) = (x.cos - y.sen , x.sen + y.cos ). Na figura a seguir, o retngulo (2) uma rotao anti-horria do retngulo (1) enquanto que o retngulo (3) uma rotao horria do retngulo (1).

As formas matriciais so RH - rotao horria e RA - rotao anti-horria, apresentadas a seguir:

6.5 OPERAES COM TRANSFORMAES LINEARES Trs so as operaes definidas para as transformaes lineares: adio, multiplicao por real e composio. 6.5.1 ADIO Sejam T1: V V e T2: V V. Define-se a soma de duas transformaes lineares T1(v) + T2(v) como sendo a transformao T1 + T2: V V , tal que (T1 + T2)(v) = T1(v) + T2(v).

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Exemplo: Considerando as transformaes T1:R2 R2 e T2: R2 R2, definidas por T1(x, y) = (2x y, x + 2y) e T2(x, y) = (3x, y). A transformao T1 + T2 ento determinada por (T1 + T2)(x, y) = T1(x, y) + T2(x, y) = (2x y, x + 2y) + (3x, y) = (5x y, x + 3y). Se M1 e M2 so as matrizes correspondentes s transformaes T1 e T2, a matriz correspondente a T1 + T2 ser a matriz M1 + M2. Para o exemplo acima, as matrizes das transformaes T1 e T2 so

como pode ser observado, a matriz de T1 + T2. 6.5.2 MULTIPLICAO POR ESCALAR Seja T:V V uma transformao linear e x um nmero real. Define-se o produto da transformao T pelo real x, como sendo a transformao linear xT: V V , tal que (xT)(v) = x.T(v). Se M a matriz correspondente transformao T, x.M ser a matriz correspondente transformao xT. Exemplo: Seja T:R2 R2, tal que T(x, y) = (2x 5y, x + y). A transformao 3T(x,y) ser: (3T)(x, y) = (6x 15y, 3x + 3y). 6.5.3 COMPOSIO DE TRANSFORMAES LINEARES Considerando as transformaes lineares T1: V V e T2: V V , define-se a transformao composta de T2 e T1, ou a composta de T2 sobre T1, indicada por T2oT1, como sendo a transformao T2oT1: V V, tal que (T2oT1)(v) = T2. (T1 (v)) Esquematizando podemos visualizar a composta das transformaes T1 e T2.

Exemplo: Considerando as transformaes T1:R2 R2 e T2: R2 R2, definidas por T1.(x, y) = (2x y, x + 2y) e T2.(x, y) = (3x, y + x). A transformao T1 o T2 ento determinada por (T2 o T1)(x, y) = T2.(T1.(x, y)) = T2.( 2x y, x + 2y) = [3.(2x y), (x + 2y) + (2x y)] = (6x 3y, 3x + y). Considerando as matrizes M1 e M2, associadas s transformaes T1 e T2, respectivamente, a matriz correspondente transformao T1oT2 M1.M2. Para o exemplo anterior, temos:

O produto M2.M1 a matriz da transformao T2oT1.

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EXERCCIOS 01 Sejam T1: R2 R3 e T2: R2 R3 transformaes lineares tais que T1.(x,y) = (2x y, x - 2y, 3x + y) e T2 (x, y) = (x y, y + x, x + 2y). Determine:. a) T1 (5, 4) b) T2 (-3, 2) c) 2T1(4, 2) d) 3T1 (-1, 2) + 4T2 (-1,2) 02 Considerando as transformaes T1 e T2 dadas no exerccio anterior, escreve as matrizes correspondentes a: a) T1 b) T2 c) 2T1 d) 5T2 e) 2T1 + 5T2 03 Sejam T1: R2 R2 e T2: R2 R2 transformaes lineares tais que T1.(x,y) = (2x y, x - 2y) e T2 (x, y) = (x y, y + x). Determine: a) 2T1 + 3T2 b) T1oT1 c) T2oT1 d) T1oT1 e) T2oT2. 04 Escreva as matrizes correspondentes s transformaes dadas no exerccio 3. 05 (a) Considere a transformao T: R2 R2 tal que T(x, y) = (-x + 2y, 4x + 3y). Usando os vetores u = (2, 3) e v = (5 1), mostre que T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v). (b) Seja A = {(1, 2), (2, 1)} uma base de R2. Seja B = {v B | v = 3T(u) + 4.T(u) e u A} . Mostre que B uma base de R2. 06 Para cada uma das transformaes T : R2 R2, verificar se so ou no lineares. Para aquelas que forem lineares, escreva a matriz correspondente. a) T(x, y) = (x 3y, 2x + 5y) b) T(x, y) = (y, x) c) T(x, y) = (x2, y2) d) T(x, y) = (x + 1, y) e) T(x, y) = (y x, 0) f) T(x, y) = (|x|, y) g) T(x, y) = (senx, y) h) T(x, y) = (xy, x y) i) T(x, y) = (3y, -2x) 07 (a) Ache a transformao linear T:R2 R3 tal que T(-1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, 1) = (1, 1, 0). (b) Determinar v R2 tal que t(v) = (-2, 1, -3). 08 Determinar, para cada caso abaixo, a matriz transformao linear de R2 em R2 que representa a seqncia de transformaes dadas: a) reflexo em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direo horizontal. b) Rotao de 30 no sentido horrio, seguida de uma duplicao do mdulo e inverso do sentido. c) Reflexo em torno da reta y = -x, seguida de uma dilatao de fator 2 na direo Ox e finalmente, um cisalhamento de fator 3 na direo vertical. d) Reflexo em torno da reta y = x, seguida de um cisalhamento horizontal de fator 2, seguida de uma contrao na direo Oy de fator 1/3. 09 Seja T:R2 R2 a transformao linear tal que T(1, 2) = (-1, 0) e T(2, -1) = (-2, 3). Determine a matriz de T. Nota:- Esta matriz transforma a base {(1, 2), (2, -1)} na base {(-1, 0), (-2, 3)}. 10 Seja T:R3 R3 a transformao linear tal que T(1, 0, 0) = (0, 2, 0), T(0, 1, 0) = (0, 0, -2) e T(0, 0, 1) = (-1, 0, 3). Determine T( 2, 2, -4). 11 - Seja T:R3 R3 a transformao linear tal que T(1, 1, 1) = (2, -2, 0), T(2, 0, 1) = (1, 3, -2) e T(1, 3, 2) = (-1, 1, 3). Determine a matriz associada transformao T. 12 Represente graficamente a imagem do vetor (2, -1) quando se aplica a seqncia de transformaes: a) rotao de 90 no sentido anti-horrio, b) reflexo em relao ao eixo dos x; c) reflexo em relao reta y = x, d) reflexo em relao origem; e) rotao de 90 no sentido anti-horrio; f) expanso de fator 3, no sentido do eixo dos x. 13 Qual a matriz correspondente ao conjunto de transformaes do exerccio 12? 14 Qual ser a imagem do vetor (2, -1) quando lhe for aplicada a seqncia de transformaes do exerccio 12, na ordem de f para a? O resultado igual ou diferente ao obtido no exerccio 12? 15 Qual o vetor (x, y) cuja imagem (5, -4) quando se aplicam as transformaes relacionadas no exerccio 12? Qual a matriz correspondente a este conjunto de transformaes?

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CAPTULO 07 OPERADORES LINEARES 7.1 INTRODUO Estudamos no captulo anterior as transformaes lineares e as matrizes que as podem representar. No caso especfico em que as transformaes levam um espao vetorial em si mesmo, estas transformaes so denominadas OPERADORES LINEARES. Isto : se T linear e T:V V ento T um operador linear. As matrizes correspondentes a tais transformaes so matrizes quadradas. Iremos caracterizar neste captulo tipos especiais de operadores que so operadores inversveis, operadores ortogonais e operadores simtricos. 7.2 NCLEO DE UMA TRANSFORMAO LINEAR Consideremos o esquema abaixo, representativo da transformao linear T: V W

Como W um espao vetorial ento o vetor nulo 0 pertence a W. Alguns vetores de V podem ter com imagem o vetor nulo de W. Definio:- O conjunto de vetores de V cuja imagem o vetor nulo de W, constitui um conjunto que chamamos de NCLEO DA TRANSFORMAO T, e o indicamos por N(T). No diagrama acima, N(T) = {v4, v5} pois v4 e v5 so os vetores que tm por imagem o vetor nulo 0. Vejamos alguns exemplos: (1) Para a transformao T:R2 R2, T(x, y) = (x + y, x - y), N(T) = {(0, 0)} pois x + y = 0 e x - y = admite como nica soluo x = 0 e y = 0. (2) Para a transformao T:R2 R2, T(x, y) = (2x + 2y, x + y), N(T) = {v R2 | v = (x, -x)} Note que o sistema 2x + 2y = 0 e x + y = 0 admite infinitas solues da forma y = -x. (3) Para a transformao T:R3 R3, T(x, y) = (x + y + z, 2x - y + 3z), teremos: x + y + 3z = 0 2x - y + 3z = 0 Escalonando o sistema, que pode ser feito multiplicando a 1 equao por -2 e somando 2, teremos: x + y + 3z = 0 - 3y - 3z = 0. Temos um sistema escalonado com 3 variveis e 2 equaes. O sistema poder ento ser resolvido em funo de uma das variveis. NOTA:- Chama-se "grau de liberdade" de um sistema escalonado diferena entre o n de variveis e o nmero de equaes. O grau de liberdade indica para quantas variveis podemos escolher arbitrariamente valores para se obter uma soluo particular do sistema. O grau de liberdade pode ser usado tambm para definir o nmero de variveis que serviro como parmetros para obteno das demais variveis. Isto , obter as demais variveis em funo das variveis escolhidas. No sistema acima, tomando z, como parmetro, teremos: 3y = -3z y = - z. Levando esse valor para a primeira equao resulta: x - z + 3z = 0 x = -2z. Desta forma: N(T) = { v R3 | v = (-2z, -z, z)}.

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EXERCCIOS: 01 - Determine N(T) se a) T(x, y) = (-3x + 2y, 6x - 4y) b) T(x, y) = (x + y, x, 2y) c) T(x, y, z) = (x + 2y - z, 2x - y + z) d) T(x, y, z) = (x - 3y, x - z, z - x) 02 - Quais dos vetores (10, 5), (-2, - 3), (-2, 1), (2, 1) pertencem a N(T), se T(x, y) = (x - 2y, - 2x + 4y)? 7.3 - OPERADORES INVERSVEIS Definio: Seja T1:V V, um operador linear, tal que T1 (u) = v, com u e v Dizemos que T1 inversvel se existir um operador T2: V V, tal que T2 (v) = u.

V.

P1) P2) P3) P4) P5)

Neste caso indicamos T2 = T-1. Com relao a T e T-1 so vlidas as propriedades: -1 ToT = T-1oT = I, onde I o transformador I(v) = (v), denominado operador identidade. A matriz de T-1 a matriz inversa de T. Se T inversvel, N(T) = {0}. Se T inversvel, T transforma uma base de V em outra base de V. T inversvel, se e somente se o determinante da matriz de T for diferente de zero.

EXERCCIOS 01 - Seja T:R3 R3 um operador linear definido por T(1, 1, 1) = (1, 0, 0); T(-2, 1, 0) = (0, -1, 0) e T(-1, -3, -2) = (0, 1, -1). a) mostre que T inversvel b) determine T-1(x, y, z) c) qual a matriz que transforma a base {(1, 1, 1), (-2, 1, 0), (-1, -3, -2)} para a base {(1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 1, -1)}. 02 - Para os operadores T lineares abaixo, verifique quais so inversveis e em caso afirmativo, determine T-1. a) T(x, y) = (3x - 4y, -x + 2y) b) T(x, y) = (x - 2y, -2x + 3y) c) T(x, y) = (2x - x, -4x + 2y) d) T(x, y) = (-x, y) e) T(x, y, z) = (x + y - z, x + 2y, z) f) T(x, y, z) = (x - y + 2z, y - z, -2x + y 3z) 03 - Considere os operadores T:R2 R2 que definem as transformaes no plano a) reflexo em relao origem b) reflexo em relao ao eixo dos x c) reflexo em relao ao eixo dos y d) cisalhamento de um fator k em relao ao eixo dos x e) expanso de um fator k paralelo ao eixo dos y f) rotao de 30 no sentido anti-horrio Mostre que todos eles so operadores inversveis e calcule os operadores inversos. 04